www.neutr

ino.roSocietatea de Ştiinţe matematice din România

Filiala Caraş-Severin

REVISTA DE MATEMATICĂ

A ELEVILOR ŞI PROFESORILOR

DIN JUDEŢUL CARAŞ-SEVERIN

Nr.13, An IV-2005

Editura „Neutrino” Reşiţa, 2005

2

© 2005, Editura „Neutrino” Titlul: Revista de matematică a elevilor şi profesorilor din judeţul Caraş-Severin I.S.S.N. 1584-9767 Colectivul de redacţie:

Dragomir Lucian Bădescu Ovidiu

Stăniloiu Nicolae Şandru Marius Moatăr Lavinia

Pistrilă Ion Dumitru Şuşoi Paul

Gâdea Vasilica Didraga Iacob

Golopenţa Marius

© 2005, Editura „Neutrino” Toate drepturile rezervate Tel/ fax: 0255-224411 Mobil: 0724224400 E-mail: editura@neutrino.ro

www.neutr

ino.ro

3

CUPRINS Regulile grupului............................................................................pag. 4

Note, articole

1) Aplicaţii în fizică a unor inegalităţi algebrice……………...pag. 5

2) Funcţii numerice total aditive……………………………...pag. 7

3) Congruenţa modulo n…………………………………… ..pag. 12

Din viaţa SSMR

1)Efortul depus se transformă sigur în bucuria împlinirilor…pag. 15

2)Despre Gazeta Matematică……………….………………..pag. 21

3)Cursurile de perfecţionare pentru profesorii de matematică,

Buşteni 2005....................................................................................pag. 23

Concursuri şi olimpiade

1) Calendarul olimpiadei de matematică, 2005-2006………pag.24

2) Programa olimpiadei locale……………………………..pag. 24

Probleme rezolvate din numărul 12 al revistei …………….....pag. 26

Probleme propuse………………………………………………pag. 37

Rubrica rezolvitorilor…………………………………………..pag. 46

4

Regulile grupului

1)Toată lumea este egală.

2)Trei minute pentru a închide o

conversaţie care nu duce nicăieri!

3)Fiţi punctuali!

4)O persoană vorbeşte o dată.

5)Criticăm ideea, nu persoana!

6)Interacţionaţi!

7)Vorbiţi în nume propriu!

8)Ce se discută în sală, rămâne în sală!

9)Sunteţi responsabil de propriul proces

de învăţare!

10)Respectaţi diferenţele!

11)Toată lumea contribuie.

12)Fiţi pregătiţi să iertaţi.

13)Asiguraţi-vă că aţi înţeles.

14)Faceţi greşeli!

15)Colaboraţi!Distraţi-vă!

www.neutr

ino.ro

5

Aplicaţii în fizică ale unor inegalităţi algebrice

Alin Eugen Popescu, student , Timişoara

Vom prezenta în cele ce urmează câteva poate surprinzătoare ( pentru matematicieni ) aplicaţii în fizică ; nu credem că e cazul să insistăm pe importanţa prezentării unor astfel de chestiuni interdisciplinare . 1) Un mobil parcurge într-o mişcare rectilinie şi uniformă un anume spaţiu dat S , cu viteza constantă v . Arătaţi că fragmentând spaţiul S într-un număr oarecare de n intervale egale , parcurse fiecare cu o altă viteză , dar astfel încât media aritmetică a valorilor vitezelor să fie v , timpul necesar parcurgerii spaţiului dat S este mai mare decât în cazul în care acesta este parcurs în întregime cu viteza v . Soluţie : Fragmentăm S în n spaţii egale is , ni ,1= ⇒

nSsss n ==== ...21 ; conform ipotezei avem şi : ∑

=

⋅=n

iiv

nv

1

1, aşadar

timpul în care se parcurge spaţiul S cu viteza v este:

∑=

== n

iiv

nSvSt

1

.

Timpul în care se parcurge acelaşi spaţiu , dar fragmentat , este :

∑∑∑===

===n

i i

n

i i

in

ii vn

Svs

TT111

1.

Facem raportul dintre T şi t şi ajungem la :

)1)((11

2 ∑∑==

=⋅n

i i

n

ii v

vtTn . ( * )

Folosim acum inegalitatea Cauchy-Buniakowski-Schwarz : 2

11

2

1

2 ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛≥⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ∑∑∑===

n

iii

n

ii

n

ii baba , cu ii ba , ∈ℝ , ni ,1= , pentru

6

ii va = şi i

i vb 1= . Obţinem astfel din ( * ) : 22 n

tTn ≥⋅ , de unde

tT ≥ şi deci tT =min ( atunci când vvi = , ∀ ni ,1= ) ( Aşadar : mersul uniform , cu aceeaşi viteză ,conduce la durata minimă ; e deci important ca unele activităţi să fie desfăşurate ritmic ! ) ■ 2 ) Un conductor electric de lungime dată se taie în două bucăţi , iar din fiecare bucată se confecţionează câte un rezistor . Conectând cei doi rezistori în serie şi alimentându-i la o sursă de energie de current continuu de o anumită t.e.m. şi de rezistenţă electrică interioară neglijabilă , se obţine un anumit curent . Conectând în paralel cei doi rezistori şi alimentându-i de la aceeaşi sursă se obţine alt curent . Cum trebuie tăiat conductorul iniţial astfel încât raportul celor doi curenţi să fie maxim şi care este valoarea acestuia ? Soluţie: Notăm cu E tensiunea electromotoare a sursei , cu x lungimea iniţială a conductorului , s – secţiunea , ρ - rezistivitatea , iar 1x şi 2x lungimile celor două bucăţi de conductoare rezultate , deci 21 xxx += . În cazul legării în serie avem :

)( 21 xxs

EI s

+=ρ

iar în cazul legării în

paralel :

)(21

21

xxxx

s

EI p

+

=ρ

. Raportul celor doi curenţi este astfel :

)11)((

1

2121 xx

xxII

p

s

++= . Folosind acum inegalitatea mediilor avem :

( )

21

21

112

2xx

xx

+≥

+ ⇒ ( ) 411

2121 ≥⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

xxxx ⇒

41

≤p

s

II

; valoarea

maximă este deci 41

şi se obţine pentru 221xxx == . ■

www.neutr

ino.ro

7

3) Doi prieteni fac o plimbare cu o barcă cu motor pe un lac şi parcurg 20 km. A doua zi , cu aceeaşi barcă , prietenii fac o plimbare pe un râu , parcurgând 10 km , apoi se întorc imediat înapoi . Care plimbare a durat mai mult timp ? Soluţie : Pentru început facem câteva notaţii : v = viteza apei râului , u = viteza bărcii ( evident u > v ) , T = timpul necesar plimbării pe lac , t 1 = timpul necesar plimbării împotriva curentului , t 2 = timpul necesar plimbării în sensul curentului apei; evident , folosim formula S = vt .

Avem acum vu

tvu

tu

T+

=−

==10,10,20

21 . Notând 2

vux +=

şi 2

vuy −= , vom folosi inegalitatea dintre media aritmetică şi cea

armonică a numerelor distincte ( ! ) x şi y :

21

211

222 tt

yxTa

uyx+

=+

>==+

. Obţinem imediat Ttt >+ 21 ,

adică plimbarea pe râu a durat mai mult . ■ Bibliografie : Romulus Sfichi – Probleme de limită şi extrem în fizică , Ed.Didactică şi Pedagogică , Bucureşti , 1979

FUNCTII NUMERICE TOTAL ADITIVE prof. Eugenia A. Schwab si prof. Emilia Costea

Becicherecu Mic, Timis Timisoara

Teoria funcţiilor numerice ocupă un loc central în teoria numerelor. Cunoaşterea unor funcţii numerice ca “numărul divizorilor unui număr natural nenul”, “suma divizorilor unui număr natural nenul”, sau funcţia (indicatorul) lui Euler etc. sunt cunoscute de elevi din ciclul gimnazial şi mai târziu din liceu. O funcţie numerică este o funcţie definită pe mulţimea numerelor naturale nenule si cu valori în mulţimea numerelor

8

reale. O funcţie numerică nenulă f:N*→R se numeşte multiplicativă dacă pentru orice două numere naturale nenule m si n prime între ele, are loc egalitatea:

)()()( nfmfnmf ⋅=⋅

Dacă egalitatea de mai sus are loc oricare ar fi numerele naturale nenule m şi n, atunci funcţia numerică nenulă f se numeşte total multiplicativă. Functiile numerice id0 si id definite prin:

,1)(*)( 0 =∈∀ nidNn ,)(*)( nnidNn =∈∀

sunt funcţii aritmetice total multiplicative. În schimb funcţiile aritmetice τ (numărul divizorilor unui număr natural nenul), σ (suma divizorilor unui număr natural nenul) şi indicatorul lui Euler ϕ (ϕ(n)=numărul numerelor naturale nenule mai mici sau egale cu n şi prime cu n) nu sunt funcţii aritmetice total multiplicative (τ(4)≠τ(2)⋅τ(2); σ(4)≠σ(2)⋅σ(2); ϕ(4)≠ϕ(2)⋅ϕ(2 )). Faptul că ele sunt totuşi multiplicative poate fi arătat direct sau folosind o proprietate de bază a funcţiilor numerice multiplicative: Teorema 1. Fie f o functie numerică si F funcţia numerică definită prin:

∑=∈∀nd

dfnFNn|

)()(*)(

(însumarea se face după toţi divizorii naturali ai lui n). Atunci, F este multiplicativă dacă şi numai dacă f este multiplicativă.

Uşor putem constata că

*)( Nn∈∀ ∑=nd

didn|

0 )()(τ şi

∑=∈∀nd

didnNn|

).()(*)( σ

Cum orice funcţie total multiplicativă este şi multiplicativă, urmează că id0 si id sunt multiplicative şi deci în baza teoremei 1, rezultă că τ şi σ sunt funcţii numerice multiplicative. Aplicând tot teorema 1 asupra unei egalitaţi bine cunoscute, numită formula lui Gauss:

www.neutr

ino.ro

9

*)( Nn∈∀ ∑ =nd

nd|

)(ϕ (adică ∑ =nd

nidd|

)()(ϕ ),

rezultă că şi indicatorul lui Euler este multiplicativă. Pentru funcţii numerice total multiplicative sunt cunoscute mai multe caracterizări. Caracterizarea lui L.Carlitz ([1]) este dată de Teorema 2. Funcţia numerică f este total multiplicativă dacă şi numai dacă are loc

∑ ⋅=⋅∈∀nd d

nfdfnnfNn|

).()()()(*)( τ

O functie numerică f se numeşte total aditivă dacă ).()()(*),( nfmfnmfNnm +=⋅∈∀ Restricţia funcţiei logaritm la mulţimea numerelor naturale nenule este o funcţie numerică total aditivă. Funcţia numărul divizorilor primi luată cu ordinul lor de multiplicitate:

,)(*)( 21 skkknNn +++=Ω∈∀

unde sks

kk pppn ...2121= este descompunerea în factori primi a lui n, este

de asemenea o funcţie numerică total aditivă. O caracterizare analoagă cu a lui Carlitz ale acestor funcţii (vezi şi [3]) este dată de teorema de mai jos pentru care prezentăm o demonstraţie elementară asemănătoare cu demonstraţia teoremei lui Carlitz prezentată în [5] în sensul că folosim şi noi în demonstraţie inducţia după Ω(n). Teorema 3. Funcţia numerică f este total aditivă dacă şi numai dacă are loc

∑⋅=⋅∈∀nd

dfnnfNn|

).(2)()(*)( τ

Demonstraţie. Presupunem că f este o funcţie numerică total aditivă. Atunci oricare ar fi n∈N*,

∑ ∑ ∑ ∑⋅=+=⋅=⋅=⋅nd nd nd nd

dfdnfdfdidnfdidnfnnf

| | | |

00 ).(2)]()([)()()()()()( τ

Să presupunem acum că f este o funcţie numerică ce verifică egalitatea din enunţ. Pentru n număr prim, avem:

)]()1([22)( nffnf +⋅=⋅

10

şi deci .0)1( =f Demonstrăm că f este total aditivă prin inducţie după Ω(n), arătând că

)()()()((*) 2211 ss pfkpfkpfknf ⋅++⋅+⋅=

dacă sks

kk pppn 2121 ⋅= este descompunerea în factori primi a lui n.

Pentru Ω(n)=1 egalitatea este evidenta. Pentru Ω(n)=2 putem avea n=p1p2 sau n= 2

1p . În primul caz avem: )]()()()1([24)( 21 nfpfpffnf +++⋅=⋅

de unde rezultă ).()()( 21 pfpfnf +=

In al doilea caz: )]()()1([23)( 1 nfpffnf ++⋅=⋅

si deci ).(2)( 1pfnf ⋅=

Presupunem acum că Ω(n)>2 şi că egalitatea (*) are loc pentru orice m cu Ω(m)<Ω(n). Pentru un divizor natural arbitrar d al lui

sks

kk pppn 2121 ⋅= , avem

ssts

tt ktktktcupppd s ≤≤≤≤≤≤⋅= 00,0 22112121

şi deci conform ipotezei inducţiei pentru d≠n,

).()()()( 2211 ss pftpftpftdf ⋅++⋅+⋅= Rezultă:

∑≠

⋅++⋅+⋅=ndnd

ss pfpfpfdf,1;|

2211 ).()()()( ααα

În cele ce urmează vom determina coeficienţii αi. Ţinând seama de formula bine cunoscută şi elevilor:

)1()1()1()( 21 ++⋅+= skkknτ

www.neutr

ino.ro

11

( sks

kk pppn 2121 ⋅= fiind descompunerea în factori primi a lui n),

numărul divizorilor lui n ce conţin ca factor pe itip este

∏≠=

+s

ijj

jk1

)1( .

Rezultă:

1 1[1 2 ( 1)] ( 1) [ ( 1) 1]

s s

i i j i jj jj i j i

k k k kα= =≠ ≠

= + + + − ⋅ + + ⋅ + − =∏ ∏

1

( 1) ( 1)2

si i

j ijj i

k k k k=≠

+⋅ + −∏

Folosind acum egalitatea din enunt:

| | ; 1,

( ) ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( )d n d n d n

f n n f d f n f dτ≠

⋅ = ⋅ = + ⋅∑ ∑ ,

obţinem

∑∑ ∑∏

== =

≠=

⋅=⋅−

−+⋅+

=⋅−

=s

iiii

s

i

s

i

s

ijj

ijii

ii pfkpfn

kkkk

pfn

nf11 1

1

)()(2)(

2)1()1(

)(2)(

2)(τ

ατ

şi deci f este total aditivă.

Bibliografie

[1] L.Carlitz, Problem E 2268, American Math.Monthly, 78 (1971), p.1140. [2] C.Năstasescu, G.Andrei, M.Ţena, I.Otărăşanu, Probleme de structuri algebrice, Ed.Academiei, (1988), Problema S26, p.166. [3] E.Schwab, E.D.Schwab, Total additivity and summation function, Seminar Arghiriade Nr.25 (1990). [4] I.M.Vinogradov, Bazele teoriei numerelor, Ed.Academiei, (1954). [5] RMT (Revista Matematica a elevilor din Timisoara), XX Nr.1,2 (1989), Problema 6159, p.79.

12

Congruenţa “modulo n” Prof. Ovidiu Bădescu, Liceul Traian Lalescu, Reşiţa

În perioada 20 august – 5 septembrie 2005, prin amabilitatea

domnului profesor Saraolu Constantin, am participat la o tabără de pregătire a concursurilor şcolare în localitatea Voineasa. Cu o programă bine stabilită, una din temele pe care a trebuit să o prezint elevilor de clasa a VII-a a fost “Congruenţa modulo n”. Fiind o temă pentru care aveam 4 ore, conţinutul ei a fost foarte bogat, însă aici prezint doar o sinteză absolut obligatorie oricărui elev de clasa a VII-a ce aspiră la un loc fruntaş la olimpiada de matematică.

Definiţia 1: Fie ,a b∈ . Spunem că a şi b sunt congruenta

modulo n ( )m a b⇔ − . Notăm acest lucru prin ( )moda m n≡

Exemplu: ( ) ( ) ( )2 5 mod3 ,2 5 mod 3 ,2 5 mod 1≡ ≡ − ≡ − dar

2 ≡ ( )5 mod5

Observaţia 1: 1) dacă ( )0,m m a b a b= − ⇔ =

2) ( ) ( ), mod1 şi mod 1a b a b a b∀ ∈ ⇒ ≡ ≡ −

3) pentru ( )0, fie restul :m r a m≠ = , atunci

( ) ( )mod şi moda r m a r m m≡ ≡ − Exemplu: Cum restul lui 25 : 7 este egal cu 4, atunci ( ) ( )25 4 mod 7 ,25 3 mod 7≡ ≡ −

Observaţia 2: ( )moda b m≡ ⇔ a şi b dau acelaşi rest la împărţirea prin m Proprietăţi: 1) ( )moda a m≡ - reflexivitate

2) ( ) ( )mod moda b m b a m≡ ⇔ ≡

3) ( )moda b m≡ şi ( ) ( )mod modb c m a c b d m≡ ⇒ + ≡ + şi

( )moda c b d m− ≡ −

www.neutr

ino.ro

13

4) ( )moda b m≡ şi *n∈ ⇒ ( )modn na b m≡

5) ( )moda b m≡ şi ( )modc ac bc m∈ ⇒ ≡

6) ( )moda b m≡ şi ( )modc ac bc mc∈ ⇒ ≡

7) ( )modac bc m≡ şi ( ) ( ), 1 modc m a b m= ⇒ ≡

8) ( )modac bc mc≡ şi ( )0 modc a b m≠ ⇒ ≡

9) ( ) ( ) ( )1 2mod , mod ,..., mod ka b m a b m a b m≡ ≡ ≡ şi dacă

[ ] ( )1 2, ,..., modkM m m m a b M⇒ ≡

10) ( ) ( )mod , moda b m d m a b d≡ ⇒ ≡

11) ( )mod , ,a b m d a d m d b≡ ⇒

12) ( )mod ,a b m m a m b≡ ⇒ Demonstraţia acestor afirmaţii e trivială şi o lăsăm în seama cititorului. Teorema lui Fermat: Dacă , prim şi a p∈ p nu îl divide pe a, atunci

( )1 1 modpa p− ≡ Demonstraţie: Fie ( )1 2 1, 2 ,..., 1pM a M a M p a−= = = − multipli lui a. Evident că

iM , 1, 1p i p∀ = − . Fie 1 2 1, ,..., pr r r − resturile lui :iM p ⇒

( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 1 1mod , mod ,..., mod *p pM r p M r p M r p− −≡ ≡ ≡ Arătăm prin reducere la absurd că resturile obţinute mai sus sunt distincte. Presupunem că , unde i jr r i j= ≠ . Vom avea

( ) ( )i jp M M p a i j− ⇒ − . Cum /p a (p nu îl divide pe a) vom avea

( ).p i j− Cum i j p i j− < ⇒ = , fals aşadar resturile sunt distincte.

Obţinem deci că { }1 2 1, ,..., 1,2,..., 1pr r r p− ∈ − . Înmulţind congruenţele din relaţia (*) obţinem

( )1 2 1 1 2 1... ... modp pM M M rr r p− −≡ ⇔ ( ) ( ) ( )11 ! 1 ! modpp a p p−− ≡ − ⇒

( )1 1 modpa p− ≡

Aplicaţia 1: Arătaţi că 40 403 2A = − este divizibil cu 5. (G.M. 5/1987)

14

Soluţie: Folosind teorema lui Fermat obţinem

( ) ( ) ( ) ( )104 4 10 403 1 mod5 3 1 mod5 3 1 mod5≡ ⇒ ≡ ⇒ ≡ . Analog

( ) ( )40 40 402 1 mod5 3 2 0 mod5≡ ⇒ − ≡ ( )40 405 3 2⇒ −

Aplicaţia 2: Aflaţi cel mai mic număr natural k astfel încât numărul 19 14194 125A k= ⋅ + să fie divizibil cu 7

(G.M. 1/1988) Soluţie: Deoarece ( ) ( )19 19194 7 27 5 194 5 mod 7 194 5 mod 7= ⋅ + ⇒ ≡ ⇒ ≡ Din Teorema lui Fermat avem

( ) ( ) ( )6 18 195 1 mod 7 5 1 mod 7 5 5 mod 7≡ ⇒ ≡ ⇒ ≡ ⇒

( )19194 5 mod 7≡ . Procedând în mod analog obţinem

( )14125 1 mod7≡ , deci

( ) ( )19 14 19 14194 125 5 mod 7 94 125 2 0 mod 7⋅ ≡ ⇒ ⋅ + ≡ 2k⇒ = Aplicaţia 3: Demonstraţi că ecuaţia 2 7 19x y z+ = nu are soluţii în mulţimea numerelor naturale Soluţie: Deoarece ( ) ( )19 1 mod3 19 1 mod3z≡ ⇒ ≡ (*)

( ) ( ) ( )2 7 1 1 mod3xx y ⎡ ⎤+ ≡ − +⎣ ⎦ , obţinem, pentru x par că

( )2 7 2 mod3x y+ ≡ , iar pentru x impar că ( )2 7 0 mod3x y+ ≡ , care, împreună cu relaţia (*) conduce la contradicţie. Bibliografie: 1.Vasile Şerdean, Ovidiu Pop, …- Matematica pentru grupele de performanţă, clasa a VII-a, Editura Dacia Educaţional, Cluj Napoca, 2004 2. Artur Bălăucă, Ioan Ţicalo – Algebră, Probleme semnificative pentru concursurile şcolare, Botoşani, 1995 3. Colecţia Gazeta Matematică, 1995-2000

www.neutr

ino.ro

15

“ Efortul depus se transformă sigur în bucuria împlinirilor “

(interviu realizat cu Domnul Prof.Univ.Dr.Ioan Cuculescu de către Prof. Lucian Dragomir ) Avem deosebita plăcere şi onoare de a putea discuta , pentru prea puţin timp , cu Domnul Profesor Univ . Dr . Ioan Cuculescu de la Universitatea din Bucureşti , membru corespondent al Academiei Române .Distinsul nostru interlocutor oferă astfel iubitorilor de matematică din Caraş-Severin ( şi nu numai ) câteva clipe de reală desfătare intelectuală . L.D. : Domnule Profesor , de la bun început trebuie să vă mai mulţumesc încă o dată pentru amabilitatea de a vă adresa cititorilor revistei noastre. Să facem însă şi primul pas : care vă sunt primele amintiri legate de matematică ? I.C. : Din capul locului trebuie să vă mărturisesc că mă bucură şi mă onorează întâlnirea cu cititorii revistei din Caraş-Severin . Să facem însă primul pas : n-aş putea identifica un moment de “cotitură “ , matematica începe din clasa a-I-a primară ; îmi aduc aminte însă de ceva în afara şcolii : eram prin clasa I primară când mama avea dificultăţi în a face pe cineva , o rudă parcă , să înţeleagă ciurul lui Eratostene ( determinarea numerelor prime prin ştergerea succesivă a multiplilor de 2 , 3 , etc ) . Nu ştiu ce a înţeles persoana în cauză , îmi amintesc însă că pe mine m-a amuzat şi atras grozav aplicarea algoritmului . Dar matematica nu înseamnă numai aplicarea de algoritmi ; la extrema cealaltă s-ar situa o problemă “distractivă” care , elev în clasele primare fiind , m-a “ îngheţat “ : Luaţi un pătrat de latură 12 şi unul de latură 5 , tăiaţi pe cel de 12 în trei părţi aşa încât împreună cu cel de 5 să compuneţi un pătrat cu latura 13 . Şi până azi , deşi cunosc soluţia , continui să consider că în faţa acestei probleme sunt inutile orice studii , diplome , etc. L.D. : Când aţi avut primul contact cu Gazeta Matematică şi care a fost rolul acesteia în formarea Dumneavoastră ? I.C. Eram elev în clasa a VI a şi cred că lucrul cel mai important a fost că pe această cale am intrat în contact cu ceea ce s-ar numi lumea matematică şi am constatat că aş avea loc şi eu în aceasta . Pe acea vreme

16

, Kostake şi Silviu Teleman impresionau prin multitudinea de exerciţii ce le rezolvau din “Suplimentul cu Exerciţii “ . L.D.: Povestiţi-ne puţin despre anii de şcoală , despre vreun profesor care v-a marcat adolescenţa I.C. : Am avut un profesor în clasa întâia de liceu ( acum a 5 a ) pe nume Nicolae Niculescu , care cu 30 de ani în urmă îl avusese elev pe cel ce avea să devină Academicianul Gheorghe Mihoc . Pe scurt , treceai de la 9 la 10 numai dacă constata că ştii la matematică şi altceva decât ce scrie în manual . Ne referim aşadar la anii 1948 – 53 , ani cu totul deosebiţi în viaţa din ţara noastră. Interesul deosebit pentru cultura rusă a determinat dorinţa multora de a înţelege geometria Lobacevski ; profesorul Miron Niculescu conducea o acţiune concentrată de a aduce predarea analizei la nivelul de rigoare contemporan. A fost o adevărată revelaţie să înţeleg despre ce e vorba ( ca de altfel şi cu geometria neeuclidiană ). Toate acestea au creat un antren deosebit către matematica modernă ; piaţa era plină de cărţi de matematică în limba rusă , la preţuri ridicol de mici , însă pe măsura banilor de buzunar ai unui elev cu părinţi cu venituri medii , cărţi accesibile care urmau să umple golul multor biblioteci distruse . Din una din ultimele citite ca elev am aflat ce sunt numerele transfinite , ce sunt spaţiile metrice şi topologice . L.D.: De ce e util să studiem matematica? Nu se poate fără? Pe de altă parte, dacă ştiu bine matematică, e suficient pentru a mă realiza? I.C. : Matematica e o activitate umană veche de mii de ani ; mi se pare ridicol să întrebăm de ce o facem ; pentru un elev , matematica oferă posibilităţi de afirmare , de integrare reuşită în viaţă , nu neapărat ca profesionist mathematician ; sunt exemple nenumărate de ingineri , biologi , etc , care au avut mari succese datorită înţelegerii şi utilizării eficiente a matematicii . Evident , se poate să te afirmi şi altfel , oricare dintre noi e în afara unor anumite activităţi ; acesta nu e un motiv de a avea complexe . Cred că orice persoană cu minte normală poate face faţă onorabil pretenţiilor matematicii şcoalare . Mai cred că asemenea întrebări nu s-ar pune aşa de des dacă , de exemplu , s-ar învăţa derivate la matematică odată cu învăţarea vitezei la fizică în diverse mişcări neuniforme ; s-ar vedea imediat cum matematica poate fi şi o fereastră

www.neutr

ino.ro

17

spre realitate .Aş mai adăuga ceva : campioana României la fotbal nu va câştiga neapărat Champions League ( dar se luptă pentru asta permanent , chiar dacă nu o declară) , pe când în lumea ştiinţifică în care se utilizează matematică este mult loc şi pentru cei ce nu luptă să fie campioni . L.D. : Ce se poate răspunde unui elev care întreabă în clasă ( la o lecţie de matematică , desigur ) : “ La ce-mi folosesc mie acestea ? “ I.C. : Un exemplu bun cred că poate fi următorul : Domnul Profesor inginer Mircea Grigoriu ( Prof. la Cornell University , SUA ) a primit titlul de Doctor Honoris Causa al Universităţii de Construcţii Bucureşti în 2004 ca urmare a marilor succese repurtate pe plan mondial utilizând procesele şi integralele stocastice , adică materia unui curs opţional pe care l-a urmat în urmă cu vreo 30 de ani ( ! ) la Facultatea de Matematică . L.D. : Îmi amintesc că în facultate erau câteva cursuri la care mergeam efectiv cu plăcere : erau Profesori care impuneau şi captau toate simţurile noastre prin vasta lor cultură (nu numai matematică, prin eleganţa şi logica simplă a discursului ; sigur aţi avut şi Dumneavoastră astfel de mari dascăli ai şcolii româneşti . Ne puteţi destăinui ceva în acest sens ? I.C. : Am avut mulţi profesori remarcabili , de la fiecare am învăţat mai multe lucruri . Cred că a fost important că am înţeles de la ei că valoarea unui profesor nu se reduce la calităţile didactice manifestate în sala de curs , ci depinde în mare măsură de orizontul său ştiinţific , de viziunea asupra matematicii . “ Să nu-mi veniţi cu detalii de demonstraţie să vi le explic “ – spunea nu numai unul – “ Faceţi eforturi ! “ . Dacă în timpul studenţiei s-a întâmplat ceva ce mi-a influenţat vizibil cariera , aceasta a fost studierea unui articol al lui von Neumann şi Murray ; cum am ajuns la el , e mai mult de povestit , mi s-a spus însă că am nevoie de vreo 6 luni pentru a-l studia ; după o lună am constatat că îl stăpânesc … Un rol important în cariera mea a fost jucat şi de matematicieni pe care nu i-am întâlnit niciodată : când în cartea celui supranumit Mozart al probabilităţilor ( Henry Mc.Kean Jr. ) am citit : “ Demonstraţie : Toată treaba este în … , restul sunt înflorituri de teoria măsurii “ şi mi-am zis că şi eu cred la fel , am simţit că am înţeles cum trebuie domeniul .

18

L.D. : În perioada 1973 – 1982 aţi fost şeful delegaţiei ţării noastre la OIM ( Olimpiada Internaţională de Matematică ) , în 1978 fiind chiar preşedintele juriului acestei extraordinare competiţii . Cât e de greu pentru un elev să ajungă în lotul olimpic al României , ba chiar c ear trebui să facă pentru a obţine un premiu în această competiţie ? I.C. : Nu trebuie crezut că la lotul naţional pentru olimpiadă întâlnim elevi epuizaţi de efortul făcut pentru a ajunge acolo ; elevii respectivi au manifestări proprii vârstei lor , evident la nivelul corespunzător de civilizaţie ; n-am întâlnit , de exemplu , vicii . La fel este şi atmosfera de la OIM , între elevi şi juriu ; în orice caz , cordială . Nu auzim acolo , ca în sport , că echipa X este duşmană de moarte a echipei Y . Când eram elev nu exista OIM , deci nu pot spune din proprie experienţă c ear trebui făcut pentru a ajunge în lot ; pot însă să vă spun ce am făcut pentru a simţi că m-aş adapta poziţiei de conducător de delegaţie şi deci a accepta acest post ( la solicitarea Acad.Prof. Gheorghe Mihoc ): am luat o culegere de probleme de la olimpiadele trecute şi am început să le rezolv ; am văzut că merge şi atunci am acceptat ( de fapt , încă de când eram elev mă luptasem cu probleme de pe la olimpiadele ruseşti , evident pretenţioase) . Aş putea totuşi spune că a ajunge în lotul olimpic înseamnă în primul rând poate a agrea probleme care nu sunt “ standard “ . L.D. : Există vreo problemă discutată în juriile OIM care v-a plăcut în mod deosebit şi de ce ? I.C. : Categoric da ( Yugoslavia 1977 ) Pe coperta cărţii despre olimpiade ce am scris-o în 1984 ( n.red. : o carte excepţională , care n-ar trebui să lipsească din biblioteca nici unui iubitor de matematică ) figurează o schiţă sugerată de această problemă . Ca exemplu de problemă specifică OIM , ea a apărut şi în New York Times în 1981 . Despre ce e vorba : Într-un şir finit de numere reale suma oricăror 7 termeni consecutivi este negativă , iar suma oricăror 11 termeni consecutivi este pozitivă . Determinaţi numărul maxim de termeni ai unui astfel de şir . Problema a fost propusă de Vietnam , dar delegatul ţării nu ajunsese ( ca de obicei , din cauza vizei ) . Juriul nu avea la dispoziţie o soluţie convenabilă astfel că , iniţial , problema a fost refuzată ; am reuşit să găsesc o soluţie şi problema a fost dată în concurs , juriul fiind pus totuşi în dificultate . În limbaj competiţional , mai tare decât juriul au fost doi

www.neutr

ino.ro

19

concurenţi : cehul Martin Cadek ( o soluţie surprinzătoare ) şi englezul John Rickard , a treia oară câştigător al premiului I ( cu o soluţie şi o generalizare a problemei ) . Într-adevăr , a fost olimpiada elevilor ! L.D : Aţi urmărit cumva evoluţia ulterioară a premianţilor români la OIM din acea perioadă ? Ce mai ştiţi despre ei , care v-au lăsat impresii puternice ? I.C. : Am întocmit la un moment un material cu acest subiect , am adunat multe date , dar n-am reuşit să aflu informaţii despre toţi . Primul roman cu succese de excepţie la OIM a fost Domnul Dan Voiculescu (1965-7), astăzi mathematician consacrat , invitat special la majoritatea conferinţelor de specialitate. Se vorbeşte de teoria probabilităţilor libere ce a creat-o (i s-a asociat astfel numele cu cel al lui Copernic ) ; În 1974 premiul I a fost câştigat de Domnul Adrian Ocneanu ; am auzit comunicări cu autoritate la conferinţe de specialitate care începeau cu “ aşa a indicat Ocneanu “ . Nu toţi olimpicii noştri au urmat o carieră matematică şi pe atunci , românii nu s-au prea dus departe , cel mult unii s-au mulţumit a fi profesori de şcoală . Aş aminti şi de un olimpic englez care a devenit poliţist . L.D. : Să facem , cu permisiunea Dumneavoastră , un mic exerciţiu de imaginaţie : sunteţi ministru al învăţământului – ce aţi schimba în învăţământul preuniversitar ? I.C. : Nu-mi permit să contrazic răspunsul la o întrebare anterioară ; deoarece , ca elev , am dat atenţie , exagerată poate , matematicii şi n-am avut rezultate comparabile la toate materiile n-aş accepta o astfel de poziţie , nici măcar pe cea de creator de programe de învăţământ . Am întâlnit la lotul naţional un elev care satisfăcea această condiţie , dar nu-mi permit să dau sfaturi ; nici nu cred că este cazul să mai urmez o dată liceul . Pe de altă parte , am fost circa 30 de ani şef de catedră şi am înţeles că învăţământul nu se bazează pe comandă , el presupune iniţiativa şi adeziunea tuturor participanţilor. Orice măsură aş anunţa-o cu ceva timp înainte de aplicarea ei şi m-aş asigura de acordul a cât mai mulţi (profesori în primul rând). Dacă am reuşi să găsim răspunsul la întrebarea: În ce măsură şcoala îndeamnă şi ajută elevii să înţeleagă cele din jurul

20

lor : computere , aparate electronice , etc , ar fi mai puţini cei care întreabă la ce este bună învăţătura , am avea un învăţământ mai performant . L.D. : O întrebare pusă chiar de un elev : Învăţăm despre Arhimede , Pitagora , Descartes , Newton , Riemann , dar a doua jumătate a secolului XX a mai adus nume mari în matematica mondială , au mai apărut rezultate atât de importante ? I.C. : Poate cel mai la îndemână exemplu este demonstrarea marii teoreme a lui Fermat de către Andrew Wiles ( 1995 ) . Am pomenit numele lui John von Neumann , din ale cărui rezultate cunosc bine o parte , dar care are şi altele foarte importante . Evident , nu sunt eu acela care să decidă ordinea pe o astfel de listă , mă pot însă limita la câteva nume de matematicieni ale căror contribuţii mi le-am însuşit : Andrei Kolmogorov ( pe care îl admir pentru rezultatele din probabilităţi mai mult decât pentru “ axiomatizare” ) , Alain Connes ( algebre von Neumann , geometrie diferenţială necomutativă ) şi exemplele pot continua . Matematicienii nu se împart în “mari şi mici “ , însă ar fi aproape imposibil să dăm detalii asupra contribuţiilor matematicienilor secolului XX , fiind vorba de domenii specializate . L.D. : În final , din păcate , un îndemn pentru elevii apropiaţi de matematică , pentru tinerii profesori ? I.C. : Învăţatul nu este un scop în sine , mai importantă este încadrarea în fenomenul matematic , modul logic de abordare a problemelor din orice domeniu , aşa cum ne învaţă matematica . Evident , nimeni nu poate învăţa toată matematica ,cred că nici măcar unul dintre domenii în întregime ; până învăţăm ceva , apare alt nou rezultat . Nu trebuie disperat niciodată , trebuie muncit ,fără a gândi la un câştig imediat , pentru că efortul depus se va transforma sigur în bucuria împlinirilor , undeva , cândva . L.D. : Suntem şi noi convinşi că aşa este . Vă dorim multă sănătate şi putere de muncă , oferindu-vă cele mai calde gânduri pentru clipele pe care ni le-aţi dăruit . Lucian Dragomir ( L.D.) Preşedintele Filialei SSMR Caraş-Severin

www.neutr

ino.ro

21

Despre Gazeta Matematică Lucian Dragomir Terminasem clasa a IV a când , pentru prima dată , tata mi-a pus pe masă un număr “ proaspăt” al Gazetei Matematice ; am discutat şi rezolvat împreună câteva probleme , am învăţat cum să redactez , am trimis apoi soluţiile la Bucureşti . Au urmat ani în şir în care , deşi era profesor de matematică , tata nu m-a mai ajutat la vreo problemă din Gazetă ; mi-a urmărit însă constant evoluţia , bucurându-se sau necăjindu-se odată cu mine . Simţeam astfel o deosebită satisfacţie şi împlinire deopotrivă când deschideam câte un număr al revistei la rubrica rezolvitorilor ( şi mai târziu la cea a problemelor propuse ) şi îi arătam numele meu . De-atunci şi până azi am ajuns să aştept cu nerăbdare fiecare nouă apariţie a Gazetei. Încercaţi aceleaşi sentimente ? La invitaţia Biroului Consiliului SSMR , am participat în 8.10.2005 la Gala festivă dedicată împlinirii a 110 ani de apariţie neântreruptă a Gazetei Matematice ; ca o recunoaştere a rolului său determinant în formarea matematică a atâtor generaţii de elevi ( şi nu numai ) , festivitatea s-a desfăşurat sub înaltul patronaj al Preşedinţiei României şi al Academiei Române , prezidiul însuşi fiind o dovadă a importanţei evenimentului : Prof.Univ.Dr. Dorin Popescu – preşedintele SSMR , Acad. Eugen Simion – preşedintele Academiei României , Prof.Univ.Dr. Ioan Chiţescu – Decanul Facultăţii de matematică-informatică a Universitaţii Bucureşti , Claudiu Săftoiu – consilier prezidenţial , Florin Talpeş – director Softwin România. Toţi cei care au luat cuvântul au evocat amintiri deosebite legate de întâlnirile lor cu Gazeta Matematică , cu probleme frumoase , cu probleme care au rezistat încercărilor de soluţionare zile întregi , cu articole şi note matematice surprinzătoare şi incitante . Cred că trebuie să amintim aici că Gazeta Matematică s-a născut din iniţiativa a 5 ingineri care lucrau sub conducerea lui Anghel Saligny la construirea podului de la Cernavodă : Victor Balaban , Vasile Cristescu , Ion Ionescu , Mihail Roco şi Ion Zottu ; aceştia au fost şocaţi de rezultatele extrem de slabe obţinute de candidaţii la examenul da admitere la Şcoala de Şosele şi Poduri ( viitoarea Politehnică ) din Bucureşti . S-a decis atunci ( 4 octombrie 1894 ) înfiinţarea unei reviste de matematică “ de care să profite elevii liceelor noastre “; impedimentul major era însă lipsa banilor → pentru o bună perioadă de timp , Gazeta

22

urma să apară prin contribuţia financiară voluntară a fiecărui membru al redacţiei ! Imediat s-au mai adăugat Emanoil Davidescu , Mauriciu Kinbaum , Nicolae Niculescu , Tancred Constantinescu , la fel de tineri ca şi iniţiatorii , apoi Andrei G.Ioachimescu şi Gheorghe Ţiţeica . În primul an ( 1895 ) au fost 144 de abonaţi , în 1974 tirajul era de peste 50 000 de exemplare , ajungând în anii ’80 la peste 120 000 de exemplare . Şocant , în anul 2005 se tipăresc 8 000 de exemplare ( în judeţul nostru există sub 50 de abonaţi !! ) . Revenind la manifestarea excepţională la care am participat , nu pot uita de emoţia încercată urmărindu-l pe Domnul Avocat Dinu Roco , fiul unuia dintre fondatori , care , la 93 de ani , îşi mărturisea încă o dată dragostea faţă de fenomenul cu care a crescut : Gazeta Matematică . Către final , Domnul Florin Talpeş , unul dintre susţinătorii mişcării olimpice matematice româneşti , a prezentat un produs de excepţie al companiei Softwin pe care o conduce : întreaga colecţie a Gazetei Matematice seria B ( perioada 1895-2004) – Ediţia Electronică , adică peste 55 000 de probleme şi articole , grupate pe ani , pe autori , pe domenii .Nu cred că e nevoie să insist pe utilitatea acestui produs pentru orice apropiat al matematicii ( comenzi se pot face cât mai repede la autorul acestor rânduri ). În final , preşedintele SSMR a mulţumit tuturor colaboratorilor Gazetei din ultimii 40 de ani , oferind , din partea Societăţii de Ştiinţe Matematice , diplome jubiliare tuturor celor care prin problemele şi articolele publicate au făcut posibilă apariţia continuă a revistei. Din judeţul nostru au fost evidenţiaţi ( doar ) doi colaboratori : prof.Nistor Budescu , Dalboşeţ şi prof. Lucian Dragomir , Oţelu- Roşu . Nu comentăm în plus , sperăm doar ca măcar aceste rânduri să retrezească în judeţul nostru simţirile oricui apropiat de matematică . Reînnoim cu acest prilej şi invitaţia de a colabora cu noi ; trimiteţi aşadar articole , note , probleme propuse . ●

www.neutr

ino.ro

23

CURSURILE DE PERFECŢIONARE PENTRU PROFESORII DE MATEMATICĂ - BUŞTENI 2005 –

Prof. Marius Şandru, Reşiţa

În periada 27 iulie – 6 august 2005, sub patronajul “Societaţii de Ştiinţe Matematice din România”, s-au desfăşurat la Buşteni “Cursurile de perfecţionare pentru profesorii de matematică”. Din judeţul nostru au participat 4 profesori: prof. Rodica Iatan – Liceul Teoretic “Tata Oancea”, Bocşa, prof. Marius Şandru – Şcoala cu clasele I-VIII Nr. 2, Reşiţa, prof. Ovidiu Bădescu – Liceul Teoretic “Traian Lalescu”, Reşiţa, prof. Marius Golopenţa – Liceul Teoretic “Hercules”, Băile Herculane. Ţinuta academică a cursurilor a fost dată de calitatea şi exigenţa expunerilor unor nume de referinţă ale matematicii româneşti contemporane: prof. univ. dr. Ioan Tomescu – Universitatea din Bucureşti, prof. univ. dr. Constantin Popovici – Universitatea din Bucureşti, prof. univ. dr. Constantin Niculescu - Universitatea din Craiova, prof. univ. dr. Adrian Albu – Universitatea de Vest din Timişoara, prof. univ. dr. Dan Ştefănescu – Universitatea din Bucureşti, prof. univ. dr. Dragoş Popescu – Universitatea din Bucureşti, prof. univ. dr.Eugen Păltănea – Universitatea din Braşov, conf. univ. dr. Cristinel Mortici – Universitatea “Valahia” din Târgovişte. Aceste cursuri au avut un statut oficial, fiind atestate de Ministerul Educaţiei şi Cercetării prin adresa 31001/2001 a M.Ed.C. către S.S.M.R. Cursurile s-au finalizat cu un colocviu având drept Preşedinte al Comisiei de Examinare pe prof. univ. dr. Ioan Tomescu, în urma căruia fiecare dintre reprezentanţii judeţului nostru a primit “Certificatul de Absolvire” care conferă fiecăruia drepturile stipulate de lege, privind domeniile Matematică, Probleme ale didacticii matematice şi Metode de lucru cu elevii dotaţi pentru matematică. De menţionat că în anul 2010 Societatea de Ştiinţe Matematice din România împlineşte 100 de ani, spunându-i de pe acum “La mulţi ani!”

24

Calendarul olimpiadei de matematică 2005/2006

● etapa pe şcoală – până în 21. 01 . 2006 ● etapa locală ( zonală ) - 28. 01. 2006 ● etapa judeţeană - 11. 03. 2006 , Reşiţa ● etapa naţională - 15 – 22. 04 . 2006 , Iaşi

Programa olimpiadei de matematică

pentru etapa locală

Clasa a V a :

1 ) Metode de rezolvare a problemelor de arithmetică 2 ) Numere naturale

Clasa a VI a : Aritmetică-Algebră 1 ) Numere naturale 2 ) Rapoarte şi proporţii Geometrie : 1 ) punct, dreaptă, semidreaptă 2 ) Unghiuri 3 ) Congruenţa triunghiurilor

Clasa a VII a :

Algebră 1 ) Mulţimea numerelor întregi 2 ) Mulţimea numerelor raţionale Geometrie 1 ) Recapitulare şi completări 2 ) Teorema lui Thales

www.neutr

ino.ro

25

Clasa a VIII a : Algebră 1 ) Numere reale Geometrie 1) Cercul 1 ) Inegalităţi geometrice 3) Construcii cu rigla şi compasul 4) Probleme elementare de loc geometric 5)Relaţii între puncte , drepte , plane

Clasa a IX a :

Algebră : 1 ) Mulţimi şi elemente de logică matematică 2 ) Şiruri 3 ) Funcţii , funcţia de gradul întâi Geometrie 1 ) Vectori în plan 2) Coliniaritate, concurenţă, paralelism în plan-calcul vectorial

Clasa a X a :

1)Numere reale ( puteri , radicali , logaritmi ) 2)Funcţii şi ecuaţii , Mulţimea numerelor complexe

Clasa a XI a :

Matrice , Determinanţi , Matrice inversabilă , rang , Şiruri

Clasa a XII a : 1) Legi de compoziţie 2) Grupuri 3) Primitive ■

26

Rezolvări ale unor probleme din RMCS nr. 12 ( Facem de la început sublinierea că , deocamdată , problemele la care nu s-a primit nici o soluţie nu vor fi prezentate în acest număr , oferind astfel elevilor posibilitatea de a mai căuta , de a mai încerca ; nu le vom uita însă , pentru că unele sunt chiar interesante şi instructive , aşadar mai încercaţi şi trimiteţi soluţii la cele care nu apar aici ! ) V. 001 Făcând observaţii meteorologice mai multe zile consecutive , s-a constatat că în nici una din zile nu a plouat şi dimineaţa şi după-amiaza. A plouat în total 9 zile şi n-a plouat în 7 dimineţi şi 6 după-amieze. Câte zile au durat observaţiile ? În câte zile a plouat dimineaţa şi în câte zile după-amiaza ? American Mathematical Monthly

Soluţie : Au fost 2)976(21

=−+ zile când nu a plouat nici

dimineaţa şi nici după-amiaza , deci perioada studiată a fost de 1129 =+ zile . ■

V.002 Într-o găleată avem 12 litri de lapte . Cum se poate împărţi această cantitate de lapte în două părţi egale folosind două vase de 5 şi 7 litri ? Kvant Soluţie : Facem succesiv următoarele operaţii :

Numărul operaţiei

V 12 7V 5V

0 12 0 0 1 7 0 5 2 7 5 0 3 2 5 5 4 2 7 3 5 9 0 3 6 9 3 0 7 4 3 5 8 4 7 1 9 11 0 1 10 11 1 0 11 6 1 5 12 6 6 0

www.neutr

ino.ro

27

V.003. Determinaţi numerele prime a , b , c , d care satisfac : 566232 =+++ dcba Viorel Cornea , Hunedoara Soluţie : Avem imediat 2 / 3b , b număr prim ⇒ b = 2 , deci

2532 1 =++− dca . Deoarece pentru a > 5 avem 1622 41 =>−a ajungem la concluzia că a ≤ 5 . Obţinem rapid soluţiile :

)2,3,2,5(),7,2,2,2(),2,17,2,2( . ■ V.004. Ştiind că a , b , n ∈ ℕ * , stabiliţi care număr este mai mare :

2000

2507

75

++

=aaA sau n

n

bbB

75

++

= .

Gheorghe Molea , Curtea de Argeş Soluţie : 312555 = , 240174 = ⇒ 45 75 > ; 25052507 55 > ⇒ 50145015 )7()5( > ⇒ 20002004 77 > deci 20002507 75 > ⇒ A > 1 ( 1 )

Evident nn 75 < , ∀ n ∈ ℕ* ⇒ B < 1 ( 2 ) . Din ( 1 ) şi ( 2 ) , concluzia e imediată : A > B . ■ V.005 Determinaţi numerele naturale x , y pentru care avem : 137172326 −⋅=+⋅+ + xyyxy . Manuela Prajea , Drobeta Turnu-Severin Soluţie : 13717232232 −⋅=+⋅⋅+⋅ xyyxyy . Deosebim cazurile : I ) x < y . Putem scrie : 1572)13232(2 2 ⋅=+⋅+⋅− yyyxyx ; suma din paranteză este un num impar , aşadar 222 =x , adică x = 2 . În continuare avem : 1563232 2 =⋅+⋅− yyyy ⇒

523)22(3 2 ⋅=+− yyy ⇒ 5222133 21 =+⇒=⇒= −yy ( fals ) . I I ) x > y ; raţionament asemănător şi ajungem la y = 2 , x = 4 ; I I I ) x = y ; calcule analoage conduc la o egalitate absurdă. Aşadar x = 4 , y = 2 . ■

28

Observaţie : Trebuie să amintim de soluţia unui elev care observă că putem scrie ( cu notaţiile a = 2 x şi b = 3y ) : 36361616 +⋅+=++ baba de unde a = 16 , b = 36 sau a = 36 , b = 16 ; se ajunge imediat la x = 4 , y = 2 . Aveţi ceva de spus ? V.006. Comparaţi numerele 533=a şi 788081 222 −−=b . Felicia Boldea , Oţelu – Roşu Soluţie : b = 7878 23)148(2 ⋅=−−⋅ ; rămân astfel de comparat numerele c = 523 şi d = 782 ; deoarece c = 134 )3( şi d = 136 )2( , iar

6481 > , avem c > d şi apoi a > b . ■

VI.001. Se consideră triunghiul ABC cu oAm 90)( >∧

şi triunghiurile dreptunghice isoscele ABD şi ACE cu m ( ∠ 090)() =∠= CAEmBAD . Arătaţi că dacă punctele D şi E nu aparţin interiorului unghiului BAC∠ , atunci DCBE ⊥ . Este adevărată proprietatea în cazul în care punctele D şi E aparţin interiorului unghiului

BAC∠ ? American Mathemathical Monthly Soluţie : )()(),()(, ACAEADABDACBAE ≡≡∠≡∠ ⇒

DACBAE Δ≡Δ şi , deoarece au două perechi de laturi perpendiculare , cea de-a treia pereche are aceeaşi proprietate : .DCBE ⊥ ■ VI.002. 2 Găsiţi toate numerele naturale x de două cifre astfel încât ultimele două cifre ale numărului x 2 să formeze tot numărul x . Kvant Soluţie : nabxabx == 2, , unde n poate fi o cifră sau un număr de două cifre ⇒ nxx ⋅=− 1002 sau )1(/100 −xx . Deoarece 425100 ⋅= , ultima condiţie este îndeplinită numai dacă 25 / x sau 25 / ( x – 1 ) ⇒ x ∈ { 25 , 26 , 50 , 51 , 75 , 76 } . Dintre acestea doar două numere satisfac şi 4 / x ( x -1 ) ⇒ x ∈ { 25 , 76 } . ■

www.neutr

ino.ro

29

VI.003. . Toţi locuitorii unui oraş din Canada vorbesc fie franceza , fie engleza. Dacă 65% vorbesc franceza şi 56% engleza , câţi vorbesc ambele limbi ? Geo Ilian , Brad Soluţie : Fie E mulţimea celor care vorbesc engleza , F a celor care vorbesc franceza , iar n numărul locuitorilor din oraşul dat . Din

ncardFncardE ⋅=⋅=10065,

10056

şi

)()( FEcardcardFcardEFEcard ∩−+=∪ ajungem că vorbitorii ambelor limbi sunt în proporţie de 21% . ■ VI.004 Aflaţi măsurile unghiurilor ascuţite CODBOCAOB ∠∠∠ ,, , ştiind că sunt proporţionale cu 2 , 3 , 4 , iar suplementele complementelor lor sunt proporţionale cu 13 , 15 , 17 . Gheorghe Crişan , Haţeg

Soluţie : 432cba

== . Deoarece suplementul complementului

unghiului x este xx +=−− 000 90)90(180 avem şi

1790

1590

1390 cba +

=+

=+

. Calcule simple conduc la :

000 80,60,40 === cba . ■ VI.005. În triunghiul ascuţitunghic ABC , D este piciorul înălţimii din A , iar [DE este bisectoarea unghiului ADB∠ , E ∈ AB. Perpendiculara în D pe DE intersectează AB în F şi AC în G . a ) Aflaţi măsurile unghiurilor BDF∠ şi CDF∠ ; b ) Arătaţi că [DG este bisectoarea unghiului ADC∠ . Maranda şi Dorin Linţ , Deva Soluţie : a ) BCAD ⊥ ⇒ 090)( =∠ADBm ; din ( DE bisectoare ⇒

045)()( =∠=∠ ADEmBDEm şi apoi 045)( =∠GDCm , deci 045)()( =∠=∠ GDCmBDFm şi 045)( =∠CDFm ;

b ) 045)()( =∠=∠ GDCmADGm . ■

30

VI.006. Se consideră a , b , c ∈ ℤ şi se notează

223,

232,

232 cbazcbaycbax ++

=++

=++

= .

a) Determinaţi a , b , c dacă sunt numere prime şi x = 9 ; b) Arătaţi că dacă două dintre elementele mulţimii

},,{ zyxA = sunt numere întregi , atunci ⊂A ℤ . Adriana Dragomir , Oţelu-Roşu Soluţie : a ) a + 2b + 3c = 18 ⇒ c ≤ 6 ; dacă c = 5 avem 32 =+ ba care nu are soluţii în condiţiile impuse ( scrieţi explicit totul ! ) ; dacă c = 3 , obţinem imediat a = 3 , b = 3 sau a = 5 , b = 2 ; dacă c = 2 , obţinem a + 2b = 12 ⇒ a = 2 , b = 5 ; aşadar avem tripletele ( 2 , 5 , 2 ) , ( 5 , 2 , 3 ) . ( 3 , 3 , 3 ) ; b ) observăm că )(3 cbazyx ++=++ ∈ ℤ ; dacă , de exemplu , x , y ∈ ℤ , avem yxcbaz −−++= )(3 ∈ ℤ . ( Soluţii complete , asemănătoare , s-au primit de la Prunar Victor , Adina Vlad , Roxana Milcu, Ovidiu Stăniloiu ) ■ VII .001 Fie ABCD un trapez isoscel cu baza mică [AB] . Arătaţi că dacă M ∈ AB , atunci : MA + MB < MD + MC . Dan Ştefan Marinescu , Hunedoara Soluţie : Cazul I : M ∈ [AB] ⇒ MA + MB = AB < CD < MD + MC . Cazul II : M ∈ AB ∖ [AB] . Presupunem M ∈ AB ∖ [AB ⇒ există N ∈ [AB ∖ [AB] astfel încât MA=NB ⇒ MA + MB = MN . Cum

NADMBC Δ≡Δ ⇒ MC=DN ⇒ MA + MB = MN < MD + DN = = MD + MC . ( Din păcate , problema a put simplă , majoritatea elevilor s-au limitat la tratarea cazului I ; soluţii complete s-au primit doar de la Mureşan Ana-Maria şi Mureşan Alexandru – Ioan ) ■ VII.002 Aflaţi numărul maxim de puncte M din interiorul pătratului ABCD pentru care triunghiurile MAB , MBC , MCD şi MDA sunt isoscele. ( Triunghiul echilateral este isoscel ! ) Ioan Şerdean , Orăştie

www.neutr

ino.ro

31

Soluţie : Evident , unul dintre punctele ce satisfac enunţul este chiar centrul pătratului ; mai există însă şi altele ? Răspunsul este afirmativ : puneţi, de exemplu , vârful compasului în C şi luaţi deschiderea egală cu BC . Cercul cu centrul în C şi de rază BC va intersecta mediatoarea laturii ( AB ) într-un punct P ; e satisfăcător acest punct ? Răspunsul căutat : 5 puncte ( de ce ? ) ( Soluţie corectă primită doar de la Adina Vlad ) ■ VII. 003 a ) Dacă a , b ∈ ℕ * sunt numere impare distincte şi a este divizor al lui b , arătaţi că b ≥ 3a . b ) Dacă a 1 , a 2 , … , a 8 sunt numere naturale impare mai mici decât 2187 astfel încât a 1 / a 2 , a 2 / a 3 , … , a 7 / a 8 , arătaţi că cel puţin două dintre cele opt numere sunt egale . Dan Ştefan Marinescu , Hunedoara Soluţie : a ) a / b şi a , b impare ⇒ b = ak , k ≥ 3 ⇒ b ≥ 3a ; b ) presupunem prin absurd că toate numerele sunt distincte . Conform (a) avem că : 218733,...,3,3 1

78782312 ≥⋅≥⇒≥≥≥ aaaaaaaa ,

contradicţie . ■ VII. 004 Fie ABCD un trapez isoscel cu AB // CD şi M ∈ ( AD ) , N ∈ ( BC ) astfel încât [ AM ] ≡ [ CN ] . Arătaţi că : a ) Mijlocul segmentului [ MN ] se află pe linia mijlocie a trapezului ;

b ) 2

CDABMN +≥ .

Dan Ştefan Marinescu , Hunedoara Soluţie : a ) Fie ),(),,( CDNdyCDMdx == , iar h lungimea înălţimii

trapezului . Din ADMD

hx= şi

BCNC

hy= avem 1=+

hyx

⇒ x + y = h .

Dacă O este mijlocul lui [MN] , atunci : 22

),( hyxCDOd =+

= , deci O

este situat pe linia mijlocie a trapezului . b ) Fie P şi Q mijloacele lui [AD], respectiv [BC] ; considerăm S ∈ [ OP astfel ca OS = PQ , adică

OQSP = ; Din )..( LULOQNSPM Δ≡Δ deducem că SM = ON . În

32

SOMΔ avem SO ≤ SM + MO ⇒ MNONMOPQ =+≤ ⇒

MNCDAB≤

+2

. ■

VII. 005 Determinaţi numerele naturale a , b care satisfac :

111=

−+

−a

bb

a. Lucian Dragomir

Soluţie : ( Soluţia autorului ) Ecuaţia se poate scrie 1)11( =+−+baa

bba .

Cum a , b > 0 , se ştie că 2≥+ab

ba

şi astfel ajungem la 111≥+

ba.

Dacă a ≥ b avem ba11

≤ şi 221211≤⇒≤⇒≤+ b

bbba. De aici ,

drumul e uşor şi se ajunge rapid la soluţiile (a ,b) : (1,2) , (2,1) , (2,2) . ( O soluţie asemănătoare s-a primit de la Ovidiu Stăniloiu ) ■ Soluţia II ( mai naturală , redactată corect de elevii Adina Vlad , Roxana Milcu , Alexandra Moatăr ) : Se înmulţeşte ecuaţia dată cu 2ab apoi se ajunge imediat la

2)()1()1( 222 =−+−+− baba . Să nu uităm că suntem în ℕ şi obţinem în urma unei scurte discuţii perechile ( a ,b ) de mai sus : Dacă a = b ⇒ ( ) 11 2 =−a ⇒ a = 2 sau a = 0 ( acest ultimo caz e

imposibil ) ; dacă ba ≠ ⇒ 1±=− ba şi a – 1 = 1 , b – 1 = 0 sau invers , etc. ■ VII . 006. Să se demonstreze că :

( 3 2)( 4 3)( 1 0)( 2 1) ( 2 1)( 3 2) ...2 3 1 4 2

( 2024 2023)( 2025 2024) 5061122025 2023

− −− − − −+ + +

− −

− −+ ≤ +

−

prof . Zsibriczki Ecaterina , Bocşa.

www.neutr

ino.ro

33

Soluţie : Ideea : Folosiţi inegalitatea 4

baba

ab +≤

+ . ( Ovidiu Stăniloiu )

■ VIII . 001 Dacă a , b , c sunt numere reale pozitive , arătaţi că :

abccabbcacba++≥

++3

)( 2

.

Geo Ilian , Brad Soluţie :

)(3)( 2222 cabcabcbacabcabcba ++≥++⇒++≥++

( justificaţi fiecare pas ! ) ⇒ cabcabcba++≥

++3

)( 2

, ∀ a,b,c ∈ ℝ

De asemenea : ( ) ( ) ( )222cabcabcabcab ++=++ ≥

abccabbcaabcacabcbcab ++=⋅+⋅+⋅ . Concluzia vă aparţine . ■ VIII. 002 Determinaţi funcţiile f , g : ℝ → ℝ care satisfac : a ) f ( x + 1 ) = 2x + 2f ( 2 ) – g ( 1 ) b ) g ( x – 2 ) = x + 3 g ( 1 ) – 9 f ( 2 ) , ∀ x ∈ ℝ . Calculaţi suma S = f ( 1 ) + f ( 2 ) + … + f ( 2005 ) . Viorel Cornea , Hunedoara Soluţia : Facem x = 1 în ( a ) şi x = 3 în ( b ) , de unde avem că

1)2(,3)1( == fg ⇒ f ( x + 1 ) = 2x – 1 şi , notăm x + 1 = t , de unde : 32)( −= xxf , apoi g ( x ) = x + 2 . ⇒

20032005200532

20062005220053)2005...321(2 ⋅=⋅−⋅

⋅=⋅−++++=S

■ VIII. 003 . Arătaţi că pentru orice număr natural a , numărul 222 )1()1( aaax ++⋅−= este pătratul unui număr natural impar. Maranda şi Dorin Linţ , Deva

34

Soluţie : [ ]21)1( +−= aax şi a(a -1 ) este număr par ( ca produs de

numere naturale consecutive ) pentru orice a ∈ ℕ . ■ VIII. 004 Rezolvaţi în numere naturale ecuaţia : zxyzxyzyx ++=++ 222 . Dragoş Constantinescu , Râmnicu-Vâlcea Soluţie : Notăm 2tzxyzxy =++ şi folosim din nou

zxyzxyzyx ++≥++ 222 . Ecuaţia dată conduce astfel la : 2tt ≥ .

Cum t ∈ ℕ , avem t = 0 sau t = 1 . Obţinem imediat soluţia unică ( verificaţi totdeauna soluţiile obţinute ! ) : ( 0 , 0 , 0 ) . ■ VIII. 005 . Rezolvaţi în ℝ ecuaţia 32)33)(1( 22 +=++++ xxxxx . Lucian Dragomir Soluţie : Notăm yxx =++ 222 şi obţinem

32)1)(1( +=++−− xxyxy ⇒ 2)2(32)1( 2222 +=⇒+=⇒+=+− xyxyxxy sau y = - x – 2 .

Se analizează imediat cele două cazuri posibile şi ajungem la x ∈{-1,0}. ■ IX.001 Determinaţi numerele naturale n pentru care inegalitatea )(3)( nnnn zyxzyx ++⋅≤++

este adevărată pentru orice x , y , z ∈ ℝ . * * * Soluţie : Pentru x = y = z = 1 ajungem la 293 ≤⇒≤ nn . Dacă n = 0 avem o inegalitate adevărată pentru orice x , y , z ∈ ℝ : 1 ≤ 9 . Dacă n = 1 obţinem x + y + z ≤ 3 ( x + y + z ) care nu este adevărată pentru orice x , y , z ∈ ℝ ( aşa cum au scris unii elevi ! ) ; faceţi , de exemplu , x = 0 , y = 0 , z = - 1 ! ;

www.neutr

ino.ro

35

Dacă n = 2 obţinem o inegalitate care se deduce dintr-o inegalitate cunoscută ( Cauchy – Buniakowski-Schwarz ) : ( ) ))(( 2222222 zyxcbaczbyax ++++≤++ . Faceţi aici a = b = c = 1 şi o să vedeţi ! ■ IX.002 Determinaţi ( a , b ) ∈ ℝ 2 ştiind că { x ∈ℝ / x2 – 4x + a = 0 } ∪ { x ∈ℝ / x 2 – ax + b = 0 } = { 1 , 2 , 3 } . Lucian Dragomir Soluţie : Notăm cele două mulţimi cu A şi B ( de fapt , aşa erau date iniţial ) ; deoarece card A∪ B = 3 , avem A = { x1 , x 2 } şi B = ={ }, 31 xx sau { }32 , xxB = . Din 421 =+ xx ( Viete ) ⇒ 3,1 21 == xx

sau 221 == xx . Cazul I : 3,1 21 == xx ⇒ 321 ==⋅ axx .

Dacă 1 ∈ B ⇒ b = 2 ; dacă 3 ∈ B ⇒ b = 0 ( faceţi calculele complet pe foaia de concurs ! ) Acum , obligatoriu verificare ( înlocuim în ecuaţii şi vedem ce se obţine : sunt satisfăcute condiţiile enunţului ? ! ) . Într-adevăr , convine doar perechea ( a , b ) = ( 3 ,2 ) . Cazul II : 221 == xx .⇒ a = 4 , apoi imediat ajungem la b = 3 ( arătaţi cum ! ) . Aşadar ( a , b ) ∈ { ( 3 , 2 ) , ( 4 , 3 ) } . ( Atenţie , chiar şi elevii cotaţi foarte bine au greşit aici , oferind prea multe perechi (a , b)! ) ■ IX. 003 . Fie M ⊂ ℝ care satisface : 1 ) 0 ∈ M ; 2 ) x ∈ M ⇒ ( sin 3x + cos 2x ) ∈ M ; 3 ) ( sin 2x + cos x ) ∈ M ⇒ x ∈ M . Arătaţi că : a ) M conţine cel puţin trei numere întregi ; b ) M conţine o infinitate de numere iraţionale . Lucian Dragomir

36

Soluţie : a ) a ∈ M M∈=+⇒ 10cos0sin)2(

; )3(

02

cos2

2sin ⇒∈=+⋅ Mππ

)2(

2⇒∈Mπ

- 2 ∈ M , aşadar { } M⊂− 1,0,2 ; b ) e de aşteptat să fie aşa

deoarece funcţiile sin şi cos sunt periodice , aşadar : pentru orice k ∈ ℤ

avem : Mkk ∈=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅ 02

2cos2

22sin ππππ

)3(

⇒ ππ k22+ ∈ M ,

∀ k ∈ ℤ . ■ IX.004 . Determinaţi numerele prime p pentru care ecuaţia 0)42(2 =+⋅−− pxpx are rădăcinile întregi . * * * Soluţie : Cu relaţiile lui Viete avem : pxx =⋅ 21 ; ţinând cont de condiţiile din enunţ concluzionăm : pxx == 21 ,1 ( sau invers ) de unde prin înlocuire sau folosind cealaltă relaţie a lui Viete obţinem p = 5 ( nu uitaţi , verificare ! ) Avem însă şi posibilitatea : pxx −=−= 21 ,1 ; studiem ce se întâmplă şi vom vedea că nu se întâmplă nimic convenabil în final . ■ IX. 005. Determinaţi numerele întregi a , b care satisfac : )(2)(3 22 bababa ++=+ . Lucian Dragomir Soluţie : Egalitatea se poate scrie ( ) ( ) ( ) 211 222 =−+−+− baba . Se obţin imediat ( scrieţi ce gândiţi , adică redactaţi ! ) perechile :

)2,1(),1,2(),2,2(),0,0( . ( vezi problema VII.005 ) ■

www.neutr

ino.ro

37

Probleme propuse

Clasa a V a V. 007. Scrieţi numărul 2005 ca sumă de numere naturale al căror produs este 2005 . * * * V. 008. Determinaţi cel mai mic număr natural care are suma cifrelor egală cu 2005 . * * * V. 009. Produsul vârstelor a trei fraţi exprimate prin numere naturale este 96. Doi fraţi sunt gemeni , cel mare are ochii albaştri , iar tatăl are 29 de ani . Ce vârste au cei trei copii ? * * * V. 010. Suma a 45 de numere naturale impare este 2005 . Arătaţi că cel puţin două dintre aceste numere sunt egale . * * * V. 011. Găsiţi mulţimile A şi B de numere naturale care satisfac proprietăţile : 1 ) A ∪ B are 3 elemente ; 2 ) A ∩ B are un element ; 3 ) A ∖ B = { 4 } ; 4 ) x 2 ∈ A dacă şi numai dacă x ∈ B . Adriana Dragomir , Oţelu-Roşu V. 012. Se poate obţine numărul 2005 utilizând 10 cifre de 3 , paranteze şi operaţii aritmetice ? * * * V. 013. Găsiţi trei numere naturale consecutive a căror sumă să fie un număr care se termină în 2005 . Care este cel mai mic triplet care satisface această condiţie ? * * *

38

V. 014. Pentru o mulţime M cu trei elemente ( numere naturale nenule ) notăm cu S ( M ) suma elementelor sale . Determinaţi mulţimile A şi B care satisfac proprietăţile : 1 ) Dacă a ∈ A , atunci ( 1 + a ) ∈ B ; 2 ) )(3)(4 BSAS ⋅=⋅ . Adriana Dragomir , Oţelu-Roşu

Clasa a VI a VI. 007. Găsiţi câte numere divizibile cu 2 sau cu 3 , dar nu divizibile cu 6 sunt în mulţimea { 1 , 2 , 3 , … , 2005 } . * * * VI. 008. Determinaţi numerele ab scrise în baza 10 pentru care numărul

babaab +++ este pătrat perfect . Adriana Dragomir , Oţelu-Roşu VI. 009. În câte feluri poate fi scris numărul 2005 ca diferenţă a două numere de câte patru cifre ? * * * VI. 010. Suma a cinci numere naturale este egală cu 200 . Arătaţi că produsul lor nu poate fi un număr care se termină în 2005. * * * VI. 011. Notăm cu S ( n ) suma cifrelor numărului natural n . Găsiţi toate numerele n pentru care n + S ( n ) = 2006 . * * * VI. 012. Dacă { a , b , c } = { - 1 , 0 , 1 } , determinaţi toate numerele naturale n pentru care )()(2 222 cbancba nnn ++=++ . * * *

VI. 013. Arătaţi că numărul 981...

41

31

21

++++=A nu este număr

întreg . * * *

www.neutr

ino.ro

39

VI. 014. Determinaţi toate perechile ( x , y ) de numere naturale care satisfac : 242 =++ yxx .

* * *

Clasa a VII a VII. 007. Fie mulţimea abbaababbaA ,/{ <= şi ba numere prime}. Calculaţi suma câturilor împărţirilor tuturor elementelor mulţimii A la cel mai mare număr natural n pentru care obţinem de fiecare dată acelaşi rest r . Delia Marinca , Timişoara VII. 008. Un poligon convex are de 2005 ori mai multe diagonale decât laturi. Câte laturi are poligonul ? * * * VII. 009. Demonstraţi că nu există x , y , z ∈ ℤ astfel încât : 2005333444 +++=++ zyxzyx . * * * VII. 010. Determinaţi câte elemente are mulţimea }2005,...,17,10,3{=A ? Există x , y , z ∈ A astfel încât x + y + z să fie pătrat perfect ? * * * VII. 011. Găsiţi toate numerele naturale care pot fi scrise sub forma

nm

mn++1

, cu m şi n numere naturale .

concurs Rusia VII. 012. Găsiţi toate tripletele ( a , b , c ) de numere prime pentru care numerele accbba −−− ,, sunt de asemenea prime . concurs Rusia VII. 013. Să se arate că patrulaterul ABCD este trapez dacă şi numai dacă are loc relaţia 2222 2 ADBCCDABBDAC +=⋅−+

Nicolae Stăniloiu, Bocşa

40

VII. 014. Un elefant are o şosetă şi un pantof pentru fiecare din cele 4 picioare . În câte feluri îşi poate pune elefantul şosetele şi pantofii , dacă pe fiecare picior întâi se pune şoseta şi apoi pantoful ? ( Se poate folosi următorul rezultat : n obiecte se pot ordona în

!...321 nnnot=⋅⋅⋅⋅ moduri )

* * *

Clasa a VIII a VIII. 007. Determinaţi toate numerele reale a pentru care există x ∈ ℤ astfel încât 02)1(2)1( 222 =−+−+ axaxa . Dan Negulescu , Brăila VIII. 008. Determinaţi numerele naturale x , y care verifică 2163 yx =+ . Irina Haivas , Iaşi VIII. 009. Demonstraţi că în orice triunghi avem : pcba 32<++ , notaţiile fiind cele uzuale . Gheorghe Molea , Curtea de Argeş VIII. 010. Găsiţi cel mai mic număr natural care poate fi scris ca sumă a 9 numere naturale consecutive , dar şi ca sumă a 10 şi ca sumă a 11 numere naturale consecutive . Concurs Moldova VIII. 011. Fie a , b , c > 0 astfel încât abccba ≥++ . Demonstraţi că : 3222 abccba ≥++ . Cristinel Mortici , Târgovişte VIII. 012. Demonstraţi că dacă a , b , c > 0 avem :

21 <+

++

++

<ac

ccb

bba

a .

* * * VIII. 013. Găsiţi toate numerele naturale n pentru care 13 +n este

www.neutr

ino.ro

41

o putere a lui 3 . Concurs Rusia VIII. 014. Găsiţi cel mai mic număr întreg a pentru care : xaxx 42 34 ≥++ , ∀ x ∈ ℝ . Concurs Rusia

Clasa a IX a IX. 007. Să se demonstreze inegalitatea:

( ) pozitive si reale c b, a, 18 3444

∀++≥⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

++

++

cbaba

cca

bcb

a.

Nicolae Stăniloiu, Bocşa IX. 008. Arătaţi că pentru orice n ∈ ℕ * are loc inegalitatea :

4

1)1(1

22

+≤

++−⋅∑

=

nknknkn

k.

Delia Marinca , Timişoara IX. 009. Considerăm următorul tabel , în care linia n conţine n numere: 1 3 5

7 9 11 ……………………. Stabiliţi câte linii ale tabelului au primul element un număr raţional . * * *

IX. 010. Rezolvaţi ecuaţia : { }[ ]xxx = .

Titu Andreescu , SUA IX. 011. Câte numere naturale de câte 6 cifre au suma ultimelor două cifre egală cu 11 şi diferenţa primelor două cifre egală cu 3 ? * * *

42

IX. 012. Determinaţi cinci numere naturale ştiind că sumele de câte patru dintre ele formează mulţimea { 21 , 25 , 28 , 30 } . * * * IX. 013 Dacă x , y ≥ 0 satisfac x + y = 2 , arătaţi că : 2)( 2222 ≤+⋅⋅ yxyx . Concurs Irlanda IX. 014. Fie a , b , c > 0 astfel încât abc = 1 . Arătaţi că :

1111111 ≤⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

ac

cb

ba .

Concurs Coreea

Clasa a X a X. 007. Fie A o mulţime de numere reale care satisface proprietăţile : a ) 1 ∈ A ; b ) 3 x ∈ A ⇒ ( 1 + x ) ∈ A ;

c ) x∈ A ⇒ x ∈ A .

Demonstraţi că : 3 ∈ A şi 221+ ∈ A . Lucian Dragomir , Oţelu – Roşu X. 008. Arătaţi că mulţimea ℝ ∖ ℚ este infinită . * * * X. 009. Într-un triunghi ABC avem 060)( ≥∠Am .

Arătaţi că : 411 ≥⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

ca

ba

.

Titu Andreescu , SUA X. 010. Dacă x ∈ ℝ şi ( sin x + cos x ) ∈ ℚ , arătaţi că ( sin n x + cos n x ) ∈ ℚ , ∀ n ∈ ℕ * . Alexandru Blaga, Ovidiu Pop, Satu – Mare

www.neutr

ino.ro

43

X. 011. Fie f , g : ℝ → ℝ două funcţii pentru care există a , b ∈ ℝ * astfel încât : )()())(( 3xfbxgaxgg ⋅+⋅= , ∀ x ∈ ℝ . Arătaţi că dacă f este injectivă , atunci şi g este injectivă . D.M.Bătineţu-Giurgiu , Bucureşti

X. 012. Fie a > b > 0 . Determinaţi ( ) x

xbax sin

cosmin,0

⋅−∈ π

.

Nicolae Bişboacă , Alba-Iulia X. 013. Dacă în triunghiul ABC avem A = 2B , arătaţi că între laturile sale există relaţia : )(2 cbba += . E.Constantinescu , Bucureşti X. 014. Se pot numerota muchiile unui cub de la 1 la 12 astfel încât suma numerelor corespunzătoare celor 3 muchii care pleacă dintr-un acelaşi vârf să fie constantă ? * * *

Clasa a XI a

XI. 007. Fie f : ℕ → ℕ o funcţie injectivă . Demonstraţi că ∞=

∞→)(lim nf

n. Rămâne adevărată afirmaţia dacă se înlocuieşte condiţia

de injectivitate cu cea de surjectivitate ? * * *

XI. 008. Calculaţi ∑−

=

+ ⋅⋅−=13

0

126 3)1(

n

k

kkn

k CS .

* * *

XI. 009. Demonstraţi că : 3

14

3 −≥

− xxx , ∀ x ≥ 0 .

Gheorghe Stoica , Bucureşti

XI. 010. Se consideră matricea ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=abba

A ∈ M2( ℝ ) .

Arătaţi că următoarele afirmaţii sunt echivalente :

44

a ) ∃ n ∈ ℕ * astfel încât 2IAn = ; b ) ∃ q ∈ ℚ * astfel încât ππ qbqa sin,cos == . Marcel Ţena , Bucureşti XI. 011. Care este numărul maxim de elemente ce pot fi alese din mulţimea { 1 , 2 , 3 , … , 2005 } astfel încât oricare două dintre cele alese să aibă suma multiplu de 8 ? * * *

XI. 012. Un pătrat de latură 1 se împarte în 9 pătrate egale de latură 31

şi

se haşurează pătratul din mijloc . Se repetă procedeul , împărţind cele 8 pătrate rămase în 9 pătrate fiecare , haşurându-se pătratele din mijloc. Arătaţi că după 1000 de astfel de paşi aria haşurată nu depăşeşte 0,999. Cristinel Mortici , Târgovişte XI. 013. În interiorul unui cub de latură 9 se află 1981 de puncte . Să se arate că există 2 puncte la o distanţă mai mică decât 1 . Titu Andreescu , SUA XI. 014. Determinaţi polinoamele f ∈ ℝ[X] care satisfac : )()1(27)3()27( XfXXfX −=− . Concurs Austria

Clasa a XII a XII. 007. Fie H o parte stabilă a lui ℕ în raport cu adunarea . Arătaţi că dacă 6 ∈ H , 7 ∈ H , atunci ∀ n ∈ ℕ , n ≥ 30 ⇒ n ∈ H . * * * XII. 008 Determinaţi a ∈ ℝ astfel încât funcţia f : ℝ → ℝ ,

1)( 2

3

++

=x

axxf să fie injectivă .

Laurenţiu Panaitopol , Bucureşti

www.neutr

ino.ro

45

XII. 009. Se consideră o funcţie f : →⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

2,0 π

ℝ având o primitivă F

cu proprietatea că : )2

()0( πFF = . Demonstraţi că există t ∈ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

2,0 π

astfel încât ).()cos(sin)()cos(sin tFtttftt −=+ Lucian Dragomir , Oţelu-Roşu XII. 010. Determinaţi toate funcţiile ),0(),0(: ∞→∞f care satisfac : )()()(2 yyfxxfyxf +≤ , ∀ x , y > 0 . Marcel Chiriţă , Bucureşti XII. 011. Dacă F : ℝ → ℝ e o primitivă a funcţiei f : ℝ → ℝ ,

2

)( xexf = , calculaţi : )()(lim

xfxxF

x ∞→.

Mihai Bălună , Bucureşti XII. 012. Tangenta la graficul funcţiei f : ℝ → ℝ , 2)( xxf = intersectează axele Ox şi Oy în punctele A , respectiv B astfel încât

OBOA = . Determinaţi lungimea segmentului [AB]. Concurs Rusia XII. 013. Găsiţi toate numerele întregi n pentru care mulţimea A = { 1 , 2 , 3 , … , n } se poate scrie ca o reuniune de trei submulţimi disjuncte astfel încât suma elementelor fiecăreia să fie aceeaşi . Concurs Iran XII. 014 Se consideră o funcţie f : ( 0 , ∞ ) → ( 0 , ∞ ) cu proprietatea

că yxfxyf )()( = , ∀ x , y > 0 . Dacă f ( 500 ) = 3 , determinaţi f ( 600 )

Concurs SUA

46

Rubrica rezolvitorilor(Concursul revistei ) ● Clasa a VI a ( actuală a VII a ) □ Prunar Victor ( Liceul Pedagogic Caransebeş , prof. Hurduzeu Diana )

- 114 puncte □ Ciucă Cristian Sorin ( Şcoala Teregova , prof. Damian Ilie )

- 94 puncte □ Cherloabă Edith ( Liceul de Artă Reşiţa , prof. Mara Adriana )

- 66 puncte □ Novăcescu Dorin ( Liceul Traian Doda Caransebeş , prof. Dragomir Delia ) – 48 puncte ● Clasa a VII a ( actuală a VIIIa ) □ Milcu Roxana ( Lic. Traian Doda Caransebeş , prof. Moatăr Lavinia)-

170 puncte □ Vlad Adina ( Lic. Traian Doda Caransebeş , prof. Moatăr Lavinia ) –

160 puncte □ Stăniloiu Ovidiu ( Şcoala nr. 2 Bocşa , prof. Todor Veronica ) -

134 puncte □ Moatăr Alexandra ( Lic. Traian Doda Caransebeş ,prof. Moatăr Lavinia) - 120 puncte □ Mureşan Ana-Maria ( Liceul Pedagogic Caransebeş, prof. Humiţa Dorina ) - 78 puncte □ Mureşan Ana-Maria ( Liceul Pedagogic Caransebeş, prof. Humiţa Dorina ) - 78 puncte □ Ploştinaru Diana ( Liceul Pedagogic Caransebeş, prof. Moatăr Lavinia) - 66 puncte □ Lupu Vlad ( Şcoala Generală 3 , Oţelu-Roşu ,prof. Boldea Felicia ) –

61 puncte □ Megan Ligia ( Lic. Pedagogic Caransebeş , prof. Moatăr Lavinia)

- 52 puncte □ Cristescu Loga-Cella ( Lic. Pedagogic Caransebeş , prof. Moatăr Lavinia) - 42 puncte □ Condruz Claudiu Viorel ( Şcoala Gen. 3 , Oţelu-Roşu ,prof. Boldea Felicia ) - 41 puncte

www.neutr

ino.ro

47

● Clasa a VIII a ( actuală a IX a ) □ Unguraş Dragoş Cristian ( Grup Şcolar Industrial Oţelu-Roşu, prof . Dragomir Adriana ) - 83 puncte □ Dragomir Maria – Lucia ( Grup Şcolar Industrial Oţelu-Roşu, prof . Dragomir Adriana ) - 67 puncte □ Kremer Emanuela ( Liceul Pedagogic Caransebeş , prof. Moatăr Lavinia ) - 55 puncte □ Gurgu Caius ( Liceul Pedagogic Caransebeş , prof. Moatăr Lavinia )

- 30 puncte ● Clasa a IX a ( actuală a X a ) □ Popovici Doru ( Liceul Traian Lalescu Reşiţa , prof. Bădescu Ovidiu ) - 98 puncte □ Faur Olivia ( Grup Şcolar Industrial Oţelu-Roşu, prof . Dragomir Lucian ) - 96 puncte □ Istodor Cosmin (Grup Şcolar Industrial Oţelu-Roşu, prof . Dragomir Lucian ) -76 puncte □ Ştefănuţ Paula Loredana ( Liceul Traian Doda Caransebeş , prof. Moatăr Lavinia ) - 55 puncte □ Dochin Luminiţa ( Liceul Traian Doda Caransebeş , prof. Moatăr Lavinia ) - 53 puncte ● Clasa a X a ( actuală a XI a ) □ Mandreşi Elena ( Liceul Traian Doda , prof. Didraga Iacob)

- 42 puncte □ Ceauşu Ioana ( Liceul Traian Doda , prof. Didraga Iacob )

- 30 puncte Rugăm insistent toţi elevii care trimit soluţii la problemele propuse să respecte întocmai instrucţiunile de concurs ( plic , talon , fiecare problemă pe foaie separată , data limită , redactare îngrijită , scris citeţ – pe cât posibil, etc . ) . Vă mulţumim şi vă dorim spor la treabă ! Redacţia

48

CE OFERĂ ACEASTĂ CULEGERE? Suficiente exerciţii pentru a înţelege aşa cum trebuie capitolul de geometrie analitică şi vectorială în spaţiu şi este ceea ce ne-am fi dorit noi să folosim ca profesori la clasă. Nu este deci o culegere pentru centrele de excelenţă şi ne cerem scuze celor care aşteptau mai mult de la noi, însă de data asta ne adresăm majorităţii elevilor.

Format A5, 44 pag Preţ 40 000 lei

Chiar dacă nu veţi lua chiar nota 10 la examenul de bac, parcurgerea cu seriozitate a acestei noi şi calde culegeri credem că vă va asigura o pregătire eficientă pentru examen.Puteţi recapitula foarte multe noţiuni (culegerea e sigur utilă nu numai celor de a XII a), puteţi să vă încercaţi forţele cu exerciţii şi probleme de diverse niveluri de dificultate; primele teste sunt ceva mai uşoare (testele 1 – 18 ), pot fi parcurse în general fără probleme şi de cei cu mai puţine ore de matematică pe săptămână (M2 şi M1 – 3 ore); urmează teste puţin mai dificile (nu vă speriaţi, nu sunt chiar aşa de grele) şi încheiem cu subiectele de la simulare, cele de la sesiunea specială şi cele propuse în 2005 celor care au absolvit clasele de matematică-informatică.

Format A5, 150 pag. Preţ 80 000 Comenzi se pot face la: EDITURA NEUTRINO Reşiţa, cod 320093, Str. D. Bojincă, Nr.6, Ap.1 Tel/fax: 0255 224411 Mobil: 0724 224400 www.neutrino.ro E-mail: comenzi@neutrino.ro

DO

SAR

EL

E X

OY

NR

. 1

LUCIAN DRAGOMIR OVIDIU BĂDESCU

GEOMETRIE ANALITICĂ,

VECTORIALĂ,…ÎN SPAŢIU

PENTRU CLASA A XI-A ( ŞI NU NUMAI )

EDITURA NEUTRINO, REŞIŢA, 2005

Ovidiu Bădescu Lucian Dragomir Marius Golopenţa M. Constantinescu Aurel Bârsan Rodica Iatan

Spre nota 10

prin 4 X 10

Teste de MATEMATICĂ pentru

BACALAUREAT

( şi nu numai )

Editura Neutrino,

Reşiţa, 2005