ww.neutr

ino.ro

Societatea de Ştiinţe Matematice din România Filiala Caraş-Severin

REVISTA DE MATEMATICĂ

A ELEVILOR ŞI PROFESORILOR

DIN JUDEŢUL CARAŞ-SEVERIN

Nr. 21, An VIII-2007

Editura „Neutrino” Reşiţa, 2007

2

© 2006, Editura „Neutrino” Titlul: Revista de matematică a elevilor şi profesorilor din judeţul Caraş-Severin I.S.S.N. 1584-9767

Colectivul de redacţie

Bădescu Ovidiu Golopenţa Marius Chiş Vasile Iatan Rodica Dragomir Adriana Moatăr Lavinia Dragomir Lucian Pistrilă Ion Dumitru Drăghici Mariana Stăniloiu Nicolae Didraga Iacob Şandru Marius Gâdea Vasilica Şuşoi Paul

Redacţia

Redactor-Şef: Dragomir Lucian Redactor-Şef Adjunct: Bădescu Ovidiu Redactori principali: Dragomir Adriana Neagoe Petrişor Stăniloiu Nicolae Responsabil de număr: Dragomir Lucian

© 2007, Editura „Neutrino” Toate drepturile rezervate Mobil: 0724224400 www.neutrino.ro E-mail: editura@neutrino.ro

ww.neutr

ino.ro

3

CUPRINS

● Despre probleme ……………………………………... Pag. 4 ● Chestiuni metodice, note matematice ■ Aplicaţii interesante pentru teorema produsului de funcţii care admit primitive(Cristinel Mortici ) ……….

Pag. 6

■ Contraexemple în matematica elementară (Lucian Dragomir) ………............................................................

Pag. 8

■ Pentru o înţelegere aprofundată a problemelor de matematică în ciclul primar(Mariana Mitrică) ...………..

Pag. 14

■ Paritate, imparitate(Lucian Dragomir ) ……...…... Pag. 17 ■ Ecuaţii funcţionale pe (Mădălina Teodorescu, Ovidiu Bădescu) .......................................................……

Pag. 22

● Probleme rezolvate …………………………………... Pag. 29 ● Regulamentul Concursului Revistei.............................. ● Probleme propuse …………………………………….

Pag. 47 Pag. 48

● Rubrica rezolvitorilor ………………………………… Pag. 59

4

Despre probleme

(rânduri ale autorului din prefaţa unei cărţi excepţionale: Descoperirea în matematică, GeorgePolya, Ed. Ştiinţifică, Bucureşti, 1971 ) A rezolva o problemă înseamnă a găsi o ieşire dintr-o dificultate, înseamnă a găsi o cale de a ocoli un obstacol, de a atinge un obiectiv care nu este direct accesibil. A găsi soluţia unei probleme este o performanţă specifică inteligenţei, iar inteligenţa este apanajul distinctiv al speciei umane; se poate spune că, dintre toate îndeletnicirile omeneşti, cea de rezolvare a problemelor este cea mai caracteristică…A şti să rezolvi probleme este o îndemânare practică, o deprindere – cum este înotul, schiul sau cântatul la pian, care se pot învăţa numai prin imitare şi exerciţiu… dacă vreţi să învăţaţi să înotaţi, trebuie să intraţi în apă, iar dacă vreţi să învăţaţi să rezolvaţi probleme, trebuie...să rezolvaţi probleme. Cunoştinţele noastre asupra oricărui subiect constau în informaţie şi în know-how–adică priceperea de a utiliza informaţia; nu poate exista nici o îndoială că, în matematică, priceperea aceasta este mult mai importantă decât bagajul brut de informaţii. De aceea, în şcoala medie, ca şi la orice alt nivel de predare, elevului trebuie să i se inoculeze şi o anumită doză de know-how, adică, în matematică, îndemânarea de a rezolva probleme – nu probleme de simplă rutină, ci probleme care cer un anumit grad de independenţă, de gândire, de originalitate, de creativitate. Profesorul ar trebui să ştie, să cunoască temeinic ceea ce este chemat să înveţe pe alţii. El ar trebui să arate cum se rezovă problemele-dar dacă el însuşi nu ştie, cum ar putea să arate altora? Profesorul ar trebui astfel să acorde mare atenţie

ww.neutr

ino.ro

5

propriului său know-how, capacităţii lui de a raţiona, abilităţii lui de a rezolva probleme, gândirii lui creatoare. …Cititorul care s-a străduit serios cu o problemă poate trage foloase din efortul său chiar şi atunci când nu reuşeşte să o rezolve singur; de pildă, el poate citi într-o carte numai o parte a rezolvării, căutând să extragă de acolo vreo informaţie utilă, şi după aceea, punând cartea deoparte, poate încerca să elaboreze singur restul rezolvării. Momentul cel mai potrivit pentru reflecţii… este, probabil, cel imediat după ce cititorul(elev, profesor,… ) a rezolvat singur o problemă sau a citit într-o carte rezolvarea. El îşi poate pune sieşi multe întrebări utile: Care a fost momentul hotărâtor?, Care a fost dificultatea principală? , Cum ar fi fost mai bine să se procedeze?, N-am reuşit să sesizez un anumit aspect: ce detaliu din cunoştinţele mele ar fi trebuit să rememorez, ce modalitate de a gândi ar trebui să adopt ca să îl sesizez? Există aici vreun truc pe care ar fi bine să îl ţin minte, vreun artificiu pe care l-aş putea folosi data viitoare, într-o situaţie similară? Toate aceste întrebări sunt utile, şi pe lângă ele există multe altele, dar întrebarea cea mai bună rămâne totuşi cea care-ţi vine spontan în minte. Nu ezita să întrebi şi să te întrebi, căutând răspunsuri.( N.red.)

6

Aplicaţii interesante pentru teorema produsului de funcţii care admit primitive

În această notă vom da câteva aplicaţii originale ale următorului rezultat: Teoremă. Fie , :f g I ⊆ → , astfel încât f admite primitive şi g este derivabilă, cu /g continuă(se spune astfel că g este clasă 1C şi notăm 1g C∈ ). Atunci f g⋅ admite primitive. Aplicaţiile originale pe care le prezentăm aici au ca punct de plecare următoarea problemă care a constituit subiect de bacalaureat în Franţa: Problemă. Fie :f → o funcţie astfel încât funcţiile

, : , ( ) ( ) sin , ( ) ( ) cosg h g x f x x h x f x x→ = ⋅ = ⋅ admit primitive. Demonstraţi că funcţia f admite primitive. Soluţie: Funcţia g admite primitive şi 1sin , x x C x∈ ∈ , de unde 2( ) sin ( ) sing x x f x x⋅ = ⋅ admite primitive. Analog, h admite primitive şi 1cos , x x C x∈ ∈ , conduce la: 2( ) cos ( ) cosh x x f x x⋅ = ⋅ admite primitive. Acum, suma a două funcţii care admit primitive fiind o funcţie care admite primitive, avem că

2 2( ) sin ( ) cos ( )f x x f x x f x⋅ + ⋅ = admite primitive. ● Aplicaţii : A1)Fie :f → astfel încât funcţiile 3 3( ) sin , ( ) cosx f x x x f x x⋅ ⋅ şi ( ) sin 2 , x f x x x⋅ ∈ admit primitive. Demonstraţi că f admite primitive . Soluţie:Conform teoremei, 3 4( ) sin sin ( ) sinf x x x f x x⋅ ⋅ = ⋅ şi

3 4( ) cos cos ( ) cosf x x x f x x⋅ ⋅ = ⋅ admit primitive, de unde ( ) ( )4 4 4 4 2 2( ) cos ( ) sin ( ) cos sin ( ) cos sin ( ) cos2f x x f x x f x x x f x x x f x x⋅ − ⋅ = ⋅ − = ⋅ − = ⋅

admite primitive. Conform ipotezei ( ) sin 2 , x f x x x⋅ ∈ admite primitive şi astfel f admite primitive . ● A 2)Fie :f → astfel încât funcţiile 3 3( ) sin , ( ) cosx f x x x f x x⋅ ⋅ , şi ( ) cos 4 , x f x x x⋅ ∈ admit primitive. Demonstraţi că f admite primitive .

ww.neutr

ino.ro

7

Soluţie: Ca înainte, 4( ) sinx f x x⋅ şi 4( ) cosx f x x⋅ admit primitive, deci ( ) ( )4 4 2 2( ) cos sin ( ) 1 2sin cosf x x x f x x x⋅ + = ⋅ − ⋅ =

21 1 cos 4( ) 1 sin 2 ( ) 12 4

xf x x f x −⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ − ⋅ = ⋅ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

admite primitive. Cum

( ) cos4 , x f x x x⋅ ∈ admite primitive, rezultă că f admite primitive . ● A3) Fie :f → astfel încât funcţiile 3( ) sinx f x x⋅ ,

2( ) cosx f x x⋅ admit primitive. Demonstraţi că f admite primitive . Soluţie: Cum 2( ) cosx f x x⋅ şi 1cos , x x C x∈ ∈ , rezultă că

3( ) cosx f x x⋅ admite primitive. Acum, 3( ) sinx f x x⋅ şi 3( ) cosx f x x⋅ admit primitive şi, ca la A1), avem că

( ) cos 2 x f x x⋅ admite primitive. Deoarece ( )2 2( ) cos 2 ( ) cos sinf x x f x x x⋅ = ⋅ − şi 2( ) cosx f x x⋅ admite

primitive, obţinem că 2( ) sinx f x x⋅ şi 2( ) cosx f x x⋅ admit primitive, deci 2 2( ) (sin cos ) ( )x f x x x f x⋅ + = admite primitive. ● Acestea sunt de fapt câteva exerciţii care au rolul de a familiariza cititorul cu această metodă şi, de ce nu, de crea şi alte rezultate interesante. Un îndemn în plus ar fi şi acela că e suficient ca funcţiile

3( ) sinx f x x⋅ , 3( ) cos ,x f x x x⋅ ∈ să admită primitive, pentru ca f să admită primitive, dar metoda găsită aici de subsemnat diferă de tehnica de aici. Această metodă şi generalizarea ei vor fi prezentate într-un articol ulterior.

Conf.Univ.Dr. Cristinel Mortici Universitatea Valahia,Târgovişte

8

Contraexemple în matematica elementară(II) Continuăm aşadar ideile din numărul 19 al revistei noastre. Să reamintim doar că este vorba de afirmaţii A despre care se cere să stabilim dacă sunt adevărate (demonstraţie) sau false (contraexemple). Vom schimba puţin şi modul de prezentare, oferind mai întâi afirmaţiile şi, la sfârşit, răspunsurile, aceasta evident pentru a lăsa cititorilor să încerce singuri să găsească drumul cel bun.

1) Dacă ,x y∈ şi x y< , atunci 2 2.x y< 2) Dacă 0x ≥ , atunci 2 .x x≥ 3) Dacă 3 nu divide m∈ şi 3 nu divide n∈ , atunci 3 nu

divide ( ).m n+ 4) Dacă 5 divide m∈ şi 5 nu divide n∈ , atunci 5 nu

divide ( ).m n+ 5) Dacă , ,A B C ⊂ şi A B C∩ ∩ =∅ , atunci .A B∩ =∅ 6) Dacă , ,A B C ⊂ şi A B⊂ , atunci ( ) ( ).A C B C∩ ⊂ ∩ 7) Dacă , ,A B C ⊂ şi ( ) ( )A C B C∩ ⊂ ∩ , atunci A B⊂ . 8) Dacă A⊂ este o mulţime mărginită, atunci A are un cel

mai mic element. 9) Dacă :f → este o funcţie definită prin

2( ) , 0f x ax bx c a= + + ≠ şi ecuaţia ( ) 0f x = are cel puţin o soluţie reală în ( )0,1 , atunci (0) (1) 0.f f⋅ <

10) Dacă :f → este o funcţie definită prin 2( ) , 0f x ax bx c a= + + ≠ şi (0) (1) 0f f⋅ < , atunci ecuaţia

( ) 0f x = are cel puţin o soluţie reală în ( )0,1 . Să ne oprim puţin şi să reamintim, sau, pentru cei care nu ştiu încă, să spunem ce înseamnă o funcţie injectivă, surjectivă sau bijectivă .

ww.neutr

ino.ro

9

Definiţie 1 . O funcţie :f A B→ este injectivă dacă pentru orice , ,x y A x y∈ ≠ , avem ( ) ( ).f x f y≠ Definiţie 2 . O funcţie :f A B→ este surjectivă dacă pentru orice y B∈ , există x A∈ astfel încât ( ) .f x y= Definiţie 3. O funcţie :f A B→ se numeşte bijectivă dacă este injectivă şi surjectivă. Să continuăm acum : 11) Dacă A , B sunt mulţimi finite şi :f A B→ este o funcţie

surjectivă, atunci .cardB cardA≤ 12) Dacă A , B sunt mulţimi finite şi cardB cardA≤ , atunci orice

funcţie :f A B→ este surjectivă. 13) Dacă : , :f A B g B C→ → sunt funcţii surjective, atunci

g f este surjectivă. 14) Dacă pentru funcţiile : , :f A B g B C→ → avem că g f este

surjectivă, atunci f este surjectivă. 15) Dacă pentru funcţiile : , :f A B g B C→ → avem că g f este

surjectivă, atunci g este surjectivă. 16) Dacă A , B sunt mulţimi finite şi :f A B→ este o funcţie

injectivă, atunci .cardA cardB≤ 17) Dacă cardA cardB≤ , atunci orice funcţie :f A B→ este

injectivă. 18) Dacă : , :f A B g B C→ → sunt funcţii injective, atunci g f

este injectivă. 19) Dacă pentru funcţiile : , :f A B g B C→ → avem că g f este

injectivă, atunci g este injectivă. 20) Dacă pentru funcţiile : , :f A B g B C→ → avem că g f este

injectivă, atunci f este injectivă. 21) Dacă :f A A→ nu este injectivă, atunci f nu e nici

surjectivă. 22) Dacă :f A A→ nu este surjectivă , atunci f nu e nici

injectivă. 23) Dacă :f A A→ este strict monotonă, atunci f este injectivă.

10

24) Dacă :f A A→ este injectivă, atunci f este strict monotonă. În sfârşit, să vedem dacă aţi dat răspunsurile corecte : 1) Afirmaţie falsă, după cum arată contraexemplul:

2, 1.x y= − = Ce trebuie adăugat în ipoteză pentru ca afirmaţia să devină adevărată?

2) Afirmaţie falsă, un contraexemplu poate fi : 1 .2

x =

3) Afirmaţie falsă, un contraexemplu : 5, 4.m n= = 4) În sfârşit, afirmaţie adevărată. Demonstraţie prin reducere la

absurd: presupunem că 5 divide suma ( )m n+ , deci 5 ,m n k k+ = ∈ ; cum 5 ,m p p= ∈ , deducem că

5( )n k p= − ,contradicţie cu ipoteza . 5) Afirmaţie falsă, un contraexemplu poate fi :

{ } { } { }1,2 , 2,3 , 4,5 .A B C= = = 6) Dacă x A C∈ ∩ , atunci x A∈ şi x C∈ , deci x B∈ şi x C∈ , de

unde .x B C∈ ∩ Afirmaţia este aşadar adevărată. 7) Considerând, de exemplu, { } { } { }1,4 , 1,2,3 , 1,2,5A B C= = = ,

deducem că afirmaţia este falsă. 8) Afirmaţie falsă, e suficient să găsim un contraexemplu .

Putem lua 1 /A nn

∗⎧ ⎫= ∈⎨ ⎬⎩ ⎭

, care este mărginită, deoarece

( ]1 0,1 , nn

∗∈ ∀ ∈ ; presupunând însă că există

1min ,A a mm

∗= = ∈ , avem imediat că există 11

Am

∈+

, dar

11

am

<+

, contradicţie cu minimalitatea lui a .

9) Afirmaţie falsă. De exemplu, pentru ( ) ( ) 2( ) 2 1 3 1 6 5 1f x x x x x= − ⋅ − = − + avem (0) (1) 0f f⋅ < , deşi

ecuaţia ( ) 0f x = are ambele rădăcini în intervalul indicat. 10) Afirmaţia este adevărată (şi chiar e bine de reţinut). E

suficient să ne imaginăm parabola corespunzătoare care este

ww.neutr

ino.ro

11

o curbă fără întreruperi (continuă) şi astfel, din faptul că ordonatele punctelor de abscisă 0, respectiv 1 au semne contrare, avem că punctele sunt de o parte şi de alta a axei Ox , aşadar pe intervalul ( )0,1 parabola intersectează cel puţin o dată axa, ceea ce conduce la o rădăcină a ecuaţiei.

11) Adevărat. Prin reducere la absurd, presupunând că : cardB n cardA m= > = ,deducem că există kb B∈ astfel încât

( ) ,k k kf a b a A≠ ∀ ∈ , deci f nu e surjectivă, contradicţie cu ipoteza.

12) Fals. Să considerăm { } { }1,0,1 , 0,1,2A B= − = şi 13) 2: , ( )f A B f x x→ = ; ipoteza e îndeplinită , dar

( ) 2,f x x A≠ ∀ ∈ , aşadar funcţia nu e surjectivă. Putem lua şi

{ } [ ]1 30, ,1, , 0,1,2 , ( )2 2

A B f x x⎧ ⎫= = =⎨ ⎬⎩ ⎭

.Găsiţi şi alte

contraexemple? 14) Afirmaţie adevărată. Într-adevăr, deoarece g e surjectivă,

avem că pentru orice y C∈ ,există t B∈ astfel ca ( )g t y= .Cum însă şi f este surjectivă , pentru t B∈ anterior

avem că există x A∈ astfel încât ( )f x t= .Avem acum că pentru orice y C∈ , există x A∈ astfel încât

( ) ( ( ))g t g f x y= = ,adică g f este surjectivă. 15) Afirmaţie falsă , după cum arată contraexemplul:

1, : , ( ) 2 1, ( )2

xf g f x x g x +→ = − = . Într-adevăr ,

g f = 1 este surjectivă, dar ( ) 2 ,f x x≠ ∈ ∀ ∈ , deci f nu e surjectivă.

16) Afirmaţie adevărată, justificarea e apropiată de cea de la afirmaţia 13).

17) Adevărată. Demonstraţie prin reducere la absurd: Presupunem că cardA n cardB m= > = şi astfel deducem că există , ,k j k ja a A a a∈ ≠ cu ( ) ( )k jf a f a= , deci f nu este injectivă, contradicţie cu ipoteza, aşadar presupunerea făcută e falsă.

12

18) Afirmaţie falsă.Oferim două contraexemple : { } { } 21,1 , 1,2,3 , ( )A B f x x= − = = sau { } { }0,1,2 , 1,3,5,7 , ( ) 2 1 .A B f x x= = = − Justificarea e

imediată. 19) Adevărat: dacă ,x y A∈ şi ( )( ) ( )( )g f x g f y= , atunci

( )( ) ( )( )g injectiva f injectiva

( ) ( )g f x g f y f x f y x y= ⇒ = ⇒ = , aşadar g f este injectivă.

20) Afirmaţie falsă, un contraexemplu poate fi :

, : , ( ) 2 , ( )2xf g f x x g x ⎡ ⎤→ = = ⎢ ⎥⎣ ⎦

21) Afirmaţie adevărată. Într-adevăr,dacă ,x y A∈ şi ( ) ( )f x f y= ,atunci ( )( ) ( )( )g f x g f y= şi,cum g f este

injectivă, deducem că x y= . 22) Fals, după cum arată, de exemplu, următoarea funcţie

: , ( )3xf f x ⎡ ⎤→ = ⎢ ⎥⎣ ⎦

care nu este injectivă, dar este

surjectivă. Într-adevăr , (3) (4)f f= , deşi 3 4≠ , iar pe de altă parte, , 3y x y∀ ∈ ∃ = ∈ astfel încât ( ) .f x y=

23) Fals; un contraexemplu: : , ( ) 3 2f f x x→ = − este injectivă, dar nu e surjectivă.

24) Afirmaţie adevărată: dacă x y≠ , atunci sau x y x y< > , de unde ( ) ( ) sau ( ) ( )f x f y f x f y< > , oricum ( ) ( )f x f y≠ , deci f este injectivă.

25) Afirmaţie falsă,un contraexemplu : ( ] [ )

( ), ,0 1,

: , ( )1 , 0,1

x xf f x

x x⎧ ∈ −∞ ∪ ∞⎪→ = ⎨ − ∈⎪⎩

este strict

monotonă doar pe intervale, este injectivă, dar

( ) 1 10 .3 2

f f f⎛ ⎞ ⎛ ⎞< >⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Remarcă: Să facem aici, pentru elevii de liceu, observaţia că dacă :f A A→ , cu A interval de numere reale, este injectivă şi

ww.neutr

ino.ro

13

are proprietatea lui Darboux , atunci funcţia este strict monotonă. Dacă A nu este interval, proprietatea anterioară nu rămâne adevărată, după cum arată următorul exemplu:

[ ] { }0,2 \ 1A = şi [ )( ]

, 0,1: , ( )

3 , 1,2x x

f A A f xx x

⎧ ∈⎪→ = ⎨ − ∈⎪⎩. Avem că

funcţia are proprietatea lui Darboux pe A (fiind continuă) , este strict crescătoare pe [ )0,1 şi pe ( ]1,2 , dar (0) (2)f f> , deci f nu este strict crescătoare pe A. Reînnoim invitaţia , elevilor şi profesorilor deopotrivă , de a continua cu exemple şi contraexemple din geometrie sau analiză matematică.

Bibliografie:

1. R.B.Gelbaum,M.H.Olmsted – Contraexemple în analiză, Ed.Ştiinţifică,1973

2. Tamara Fodor – Rolul exemplelor şi al contraexemplelor în predarea analizei matematice, lucrare metodico-ştiinţifică pentru gradul didactic I, 1988

3. O.Konnerth – Greşeli tipice în învăţarea analizei matematice, Ed.Dacia, 1982

4. G.Polya-Descoperirea în matematică, Ed.Ştiinţifică,1971 5. Gazeta Matematică, 1980-2007

Lucian Dragomir,Oţelu-Roşu

14

Pentru o înţelegere aprofundată a problemelor de matematică în ciclul primar

Rezolvarea problemelor matematice în ciclul primar reprezintă o activitate de profunzime, în cadrul căreia se îmbină eforturile mintale de înţelegere a celor învăţate şi aplicare a algoritmilor cu structurile conduitei creative, pe fondul stăpânirii unui repertoriu de cunoştinţe matematice solide (noţiuni, definiţii, reguli, tehnici de calcul), dar şi a unor deprinderi de aplicare a acestora.. Pe parcursul celor trei decenii de activitate didactică, am constatat că rezolvarea anumitor tipuri de probleme matematice creează unele dificultăţi elevilor din ciclul primar. Drept urmare, articolul de faţă îşi propune a veni în sprijinul acelor copii care nu reuşesc să înţeleagă structura unui anumit tip de probleme şi a logicii rezolvării ei. Pentru a ajunge la generalizarea raţionamentului comun unei categorii de probleme, trebuie să fie formate capacităţile de a analiza şi de a înţelege datele problemei, de a sesiza condiţia problemei şi de a orienta logic şirul de judecăţi către întrebarea problemei. Rezolvarea oricărei probleme trece prin mai multe etape .În fiecare etapă, datele problemei apar în combinaţii noi, reorganizarea lor la diferite nivele ducând către soluţia problemei, fiind vorba de un permanent proces de analiză şi sinteză (prin care se separă şi se reconstituie, se desprinde şi se construieşte raţionamentul care conduce la soluţia problemei), de o îmbinare a analizei cu sinteza. Pentru eliminarea barierelor întâlnite în rezolvarea anumitor probleme, consider că programa analitică ar trebui să consacre mai multe ore problemelor aşa-zise „tipice”. Şi, pentru a fi mai explicită, îndrăznesc să propun extinderea paletei de probleme tipice la clasa a IV-a prin introducerea unui subcapitol ce vizează rezolvarea problemelor despre care voi face referire în continuare. Rezolvarea unei „probleme de orientare” (formulare găsită în unele lucrări de specialitate) urmată de rezolvarea „problemelor cu variante” ar facilita efortul de înţelegere a enunţurilor,

ww.neutr

ino.ro

15

favorizând, în acelaşi timp, creşterea şanselor de rezolvare corectă a acestora. Prin utilizarea unor valori numerice reduse, atenţia elevilor va fi direcţionată spre raţionamentul logic al problemei şi nu asupra calculelor greoaie, cu numere mari. Voi argumenta, în continuare, aceste afirmaţii prin ilustrarea unor tipuri de probleme, ca de exemplu: I. În sala de sport, sunt 10 bănci şi 74 elevi. Dacă se aşează câte 6 elevi într-o bancă, câţi elevi vor rămâne fără loc? Dacă se aşează câte 9 elevi în bancă, căte locuri rămân libere?

Plan de rezolvare 1.Aflăm numărul de elevi care au loc în bănci 6 x 10 = 60 (elevi) 2.Aflăm numărul elevilor care nu au loc 74 – 60 = 14 (elevi) 3.Aflăm numărul elevilor care au loc când sunt aşezaţi câte 9 în bancă 9 x 10 = 90 (elevi) 4.Aflăm numărul locurilor care rămân libere 90 – 74 = 16 (locuri libere)

R: 14 elevi; 16 locuri libere. Pornind de la această problemă de orientare se pot formula alte probleme, probleme cu variante, după cum urmează: II. În sala de sport s-au adunat mai mulţi elevi. Dacă s-ar aşeza câte 6 elevi într-o bancă, rămân 14 elevi fără loc. Dacă s-ar aşeza câte 9 elevi într-o bancă, ar rămâne 16 locuri libere.Câţi elevi şi câte bănci sunt în sală? Se scriu datele problemei: 6 elevi.........1bancă..............14 elevi 9 elevi.........1 bancă.............16 locuri ................................................................ ?elevi ?bănci Având în vedere cele două cazuri distincte ale problemei date, enunţul mai poate fi reprezentat şi sub următoarea formă grafică, fiecărui elev fiindu-i corespondent câte un cerculeţ:

16

Primul caz: • • • • • • • • • • • • ...................... +14 elevi • • • • • • Al doilea caz:

• • • • • • • • • • • • • • • • • •

................................... • • • • • • • • • ------------------ 16 locuri libere

Analizând conţinutul problemei, se constată următoarele: - În al doilea caz, elevii s-au aşezat cu trei mai mult într-o bancă; - Pentru a completa cele trei locuri din fiecare bancă, este nevoie de

14 + 16 = 30 (elevi) Aflăm câte bănci sunt 30 : 3 = 10 (bănci) Aflăm câţi elevi sunt în cele 10 bănci 10 x 6 = 60 (elevi) Aflăm câţi elevi sunt în sală 60 +14 = 74 (elevi)

R: 74 elevi; 10 bănci. Prin rezolvarea problemelor care se încadrează în aceeaşi

categorie, având acelaşi mod de organizare a judecăţilor, deci acelaşi raţionament, în mintea elevilor se conturează schema mintală de rezolvare, care se fixează ca un algoritm sau semialgoritm de lucru, se învaţă, se transferă şi se aplică.

Aflarea căii de rezolvare a unei probleme se face cu multă uşurinţă atunci când se poate include problema nouă unei categorii, unui tip determinat de probleme, deja cunoscute.Dar această includere se poate face corect numai dacă au fost înţelese particularităţile tipice ale categoriei respective,raţionamentul rezolvării ei, dacă se descoperă şi se recunoaşte în orice condiţii concrete s-ar prezenta problema.

Instit. Mariana Mitrică, Şc. cu cls. I-VIII Nr.9 Reşiţa

ww.neutr

ino.ro

17

Paritate, imparitate Vom pune în evidenţă, pentru început , unele principii de bază: ● Mulţimea a numerelor întregi se poate partiţiona în două submulţimi, cea a numerelor pare şi cea a numerelor impare: 2 , respectiv 2 1+ , adică ( )2 2 1∩ + =∅ şi ( )2 2 1 .∪ + = Pe surt , orice număr întreg este sau par sau impar. ● Suma a două numere întregi de parităţi diferite este un număr par. ● Produsul a două numere întregi de aceeaşi paritate are aceeaşi paritate ca şi factorii produsului. ● Suma a două numere întregi de aceeaşi paritate este un număr par. ● Produsul a două numere de parităţi diferite este un număr par. ● Produsul a două numere întregi consecutive este un număr par. ● Suma unui număr par de numere impare este un număr par. În cele ce urmează, vom prezenta unele proprietăţi şi probleme interesante : P 1) Orice pătrat perfect al unui număr întreg este de forma 4n sau 8 1.m + Demonstraţie: E suficient să considerăm formele posibile pentru un număr întreg: dacă numărul este par, 2 ,a k k= ∈ , atunci

2 24 4 ,a k n n= = ∈ , iar dacă numărul este impar, avem 2 1,a k k= + ∈ şi astfel 2 24 4 1 4 ( 1) 1 8 1, .a k k k k m m= + + = + + = + ∈

P 2 ) Suma a 10 numere naturale nenule şi distincte este 108. Arătaţi că printre acestea cel puţin două sunt impare. Soluţie: Presupunem, prin reducere la absurd, că în suma dată avem cel mult un număr impar; deoarece suma este egală cu un număr par, deducem că toţi termenii sunt numere pare. Adunăm acum cele mai mici 10 numere pare, nenule şi distincte :

18

2 4 6 ... 20 110 108+ + + + = > , contradicţie cu ipoteza, aşadar cel puţin două numere sunt impare. P 3 ) Să se arate că pentru orice , 2n n∈ ≥ , numărul 2n se poate scrie ca o sumă de două numere naturale impare consecutive. Soluţie : ( ) ( )1 1 1 1 12 2 2 2 2 2 1 2 1n n n n n n− − − − −= ⋅ = + = − + + . P 4 ) Să se arate că suma a n ( )2n ≥ numere naturale impare consecutive, nu poate fi un număr prim. Soluţie : Evident ( ) ( ) ( ) [ ]2 1 2 3 ... 2 2 1 2 1 3 5 ... (2 1)k k k n kn n+ + + + + + − = + + + + + − =

( )22 2kn n n k n= + = ⋅ + .Deoarece 2n ≥ avem că suma se divide prin n , deci nu poate fi un număr prim . P 5 ) Arătaţi că dintre oricare trei numere naturale se pot alege două astfel încât suma lor să fie un număr par. Soluţie: Conform principiului cutiei (Dirichlet) avem că, din trei numere naturale, cel puţin două au aceeaşi paritate, deci suma lor este un număr par. P 6 ) Dacă notăm cu S suma a 100 de numere naturale pare consecutive şi cu T suma a 100 de numere naturale impare consecutive, arătaţi că nu există k∈ astfel încât S k T= ⋅ . Soluţie : Avem imediat

99 1002 (2 2) (2 4) ... (2 198) 200 22

S p p p p p ⋅= + + + + + + + = + ⋅ ,deci

100(2 99), .S p p= + ∈ La fel, (2 1) (2 3) ...(2 199) 100(2 100),T q q q q q= + + + + + = + ∈ . Dacă ar

exista k cu proprietatea din enunţ am avea 100(2 99) 100 (2 100)p k q+ = + , de unde 2 99 2 ( 50)p k q+ = + , adică o egalitate absurdă(membrul stâng este impar, iar cel drept este număr impar).

ww.neutr

ino.ro

19

P 7 ) Să se determine numerele naturale ,x y pentru care 2 2 5111.xy y+ = +

Soluţie: Deoarece 2 ( 1)y y y y+ = + este un număr par, deducem 2 1 0x x= ⇒ = şi, imediat, 71.y = P 8 ) Numerele naturale nenule x , y , z sunt direct proporţionale cu numerele , ,a b b c c a+ + + ( ), ,a b c ∗∈ . Arătaţi că dacă x y z+ + este un număr impar, atunci numerele a , b , c au aceeaşi paritate.

Soluţie : Din 2 12( ) 2

x y z x y z ka b b c c a a b c p

+ + += = = =

+ + + + + (evident , am

notat 2 1,x y z k a b c p+ + = + + + = ),deducem : 22 1

pxa bk

+ = ∈+

.

Cum 2 şi 2 1k + sunt prime între ele, avem acum că a b+ este număr par; analog şi ,b c c a+ + sunt numere pare şi astfel numerele a, b, c au aceeaşi paritate. P 9 ) Să se arate că suma pătratelor a două numere naturale distincte de aceeaşi paritate poate fi scrisă ca suma pătratelor a patru numere naturale nenule. Soluţie: Fie numerele a,b de aceeaşi paritate, aşadar

2 , 2a b k a b m+ = − = , ,k m ∗∈ . Deducem astfel ( ) ( )2 2 2 24 4a b a b k m+ + − = + , de unde imediat avem

2 2 2 2 2 2.a b k k m m+ = + + + P 10 ) Să se arate că dacă p şi q sunt numere prime şi a este număr natural astfel încât 2 2 2 1a p q= + + , atunci a este număr prim . Soluţie: Considerăm cele două cazuri posibile pentru a (având în vedere cadrul în care discutăm):(1) a este impar. În acest caz ajungem imediat la câteva subcazuri : ( i ) p , q impare. Folosind P 1 ) ajungem la egalitatea absurdă 8 1 8 3k h+ = + ; (ii) p , q pare, deci 2 3p q a= = ⇒ = (care este număr prim); (ii) p par , q impar, deci 2p = şi 8 1 3 8 1 8 3k h s+ = + + ⇒ = , absurd .

20

( 2 ) a număr par. În acest caz vom obţine 2 2 4 1p q k+ = − şi, folosind din nou P 1) şi cele trei subcazuri, ajungem la rezultate contradictorii. P 11)Cele m n⋅ căsuţe ale unui tablou cu m linii şi n coloane se completează numai cu numerele – 1 şi 1 astfel încât produsul elementelor de pe fiecare linie şi de pe fiecare coloană să fie – 1. Să se arate că numerele m şi n nu pot fi de parităţi diferite . Soluţie: Să presupunem că m este un număr par, iar n este impar. Calculăm produsul elementelor din fiecare linie şi înmulţim toate aceste produse; obţinem astfel produsul tuturor celor m n⋅ elemente, care este deci egal cu:

de m ori

( 1) ( 1) ... ( 1) 1− ⋅ − ⋅ ⋅ − = . Acum, calculăm

produsul elementelor din fiecare coloană şi înmulţim toate aceste produse; obţinem astfel tot produsul tuturor celor m n⋅ elemente, care este însă egal cu:

de n ori

( 1) ( 1) ... ( 1) 1− ⋅ − ⋅ ⋅ − = − , absurd.

Rămâne totuşi o întrebare: condiţia ca m şi n să aibă aceeaşi paritate este şi suficientă, adică există vreun tablou care să satisfacă proprietăţile din enunţ? Răspunsul e afirmativ, după cum arată următorul exemplu( 2, 4m n= = ): P 12 ) Să se arate că nu există numere întregi x , y , z astfel încât 2 22 8 3x y z− + = . Soluţie : Presupunând că există numere care să satisfacă egalitatea din enunţ , avem că x trebuie să fie număr impar , deci

2 1,x k k= + ∈ .Înlocuind , ajungem la concluzia că şi y ar trebui să fie impar. Înlocuind mai departe 2 1,y m m= + ∈ ajungem la o egalitate absurdă între un număr par şi unul impar. Folosind, în general, aceleaşi metode, vă propunem să vă încercaţi puterile cu următoarele :

-1 1 1 1 1 -1 -1 -1

ww.neutr

ino.ro

21

P 13 ) Dacă n numere naturale , nenule şi distincte ( 3)n ≥ au suma egală cu 2 2n n+ − , arătaţi că printre acestea există cel puţin două numere impare. P 14 ) Să se arate că oricare ar fi trei numere naturale impare există un număr natural impar astfel încât suma pătratelor celor patru numere să fie pătrat perfect. P 15 ) Dacă n este un număr natural impar şi 1 2, ,..., na a a o permutare oarecare a numerelor 1,2,...,n , să se arate că produsul ( ) ( ) ( ) ( )1 2 31 2 3 ... na a a a n− ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ − este un număr par . P 16 ) Să se arate că orice număr întreg se poate scrie într-o infinitate de moduri sub forma 2 2 2 cu , , .x y z x y z+ − ∈ P 17 ) Să se arate că pentru orice pereche ( ),a b de numere întregi se poate găsi un număr întreg c astfel încât mulţimile

{ }2 /A x ax b x= + + ∈ şi { }22 2 /B x x x x= + + ∈ să fie disjuncte. Bibliografie :

1) D.M.Bătineţu-Giurgiu şi colectiv – Olimpiadele naţionale de matematică 1990-2003 (VI – XII), Ed.Bârchi, 2004

2) Gh. Eckstein şi colectiv – Olimpiadele şi concursurile de matematică (V – VI , VII – VIII 2006) , Ed. Bârchi, 2006

3) L.Panaitopol, D.Şerbănescu – Probleme de teoria numerelor şi combinatorică pentru juniori, Ed. GIL, 2003

Lucian Dragomir, Oţelu – Roşu

22

Ecuaţii funcţionale pe În general, prin ecuaţie funcţională înţelegem o egalitate în care apare una sau mai multe funcţii necunoscute, egalitatea fiind satisfăcută pentru o întreagă mulţime de valori ale variabilelor . Fiind conştienţi că ecuaţiile funcţionale sunt probleme non-standard, încercăm totuşi o sintetizare a principalelor principii de abordare, o prezentare foarte succintă a unor exemple . I) Rezolvarea ecuaţiilor funcţionale prin înlocuirea variabilelor cu valori particulare (substituţii): E.1. Determinaţi funcţiile :f → cu proprietatea că ( ) ( ) ( )2 2 , ,f x y f x f y x y+ = + ∀ ∈ .

Olimpiadă Belarus 1993 Soluţie: Pentru 0x y= = obţinem imediat ( )0 0f = ; pentru 0y =

deducem apoi ( ) ( )2f x f x= , x∀ ∈ . Acum , pentru

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )22 4 20 0y x f f x f x f x f x= − ⇒ = = + = + =

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 0f x f x f x f x= + = ⇒ = , aşadar

( ) 0f x = x∀ ∈ . ○ E.2: Determinaţi funcţiile :f → cu proprietatea că ( ) ( ) 4 , ,f x y f x y xy x y+ − − = ∀ ∈ .

Soluţie : Luăm 2tx y= = şi deducem ( ) 2f t t k= + , unde k este o

constantă reală . ○ E.3: Rezolvaţi ecuaţia funcţională ( ) ( ) 2: , ,f f x f x x x→ − − = ∀ ∈ . Soluţie : Considerăm x x→− şi ajungem la:

ww.neutr

ino.ro

23

( ) ( ) 2f x f x x− − = ; adunând cu egalitatea iniţială obţinem o relaţie contradictorie, deci nu există funcţii cu proprietatea din enunţ. ○ E.4: Rezolvaţi ecuaţia funcţională

( ) ( ) ( ) ( ): , , ,f f x y f x y f x f y x y→ + − − = ⋅ ∀ ∈

Soluţie : ( )0 0 0x y f= = ⇒ = , apoi

( ) ( )0x f y f y= ⇒ = − , y∀ ∈ şi

( ) ( ) 0y y f x f y→− ⇒ ⋅ = , de unde f este funcţia identic nulă . ○ E.5: Rezolvaţi ecuaţia funcţională

( ) ( ) ( ): , , ,f f x y f x f y x y→ − = ⋅ ∀ ∈ Soluţie : Pentru y x= obţinem ( )2 (0) , .f x f x= ∀ ∈ Dacă

0x = deducem (0) 0 sau (0) 1.f f= = Dacă (0) 0 f = , obţinem ( ) 0,f x x= ∀ ∈ . Dacă (0) 1f = , facem 0x = în relaţia din enunţ şi

ajungem la ( ) ( ),f y f y y− = ∀ ∈ şi astfel avem : ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x y f x y f x f y f x f y f x y+ = − − = ⋅ − = ⋅ = − sau ( ) ( ) , ,f x y f x y x y+ = − ∀ ∈ . E sufficient acum să facem

substituţiile ,2 2x xx y→ → şi ajungem la ( ) (0) 1,f x f x= = ∀ ∈ .

Avem aşadar două soluţii ale ecuaţiei funcţionale date(funcţii care verifică relaţia din enunţ!). ○ E.6 : Determinaţi toate funcţiile :f → care satisfac ( ) ( )2 2( )f x y f x f y+ = + , ,x y∀ ∈ .

Marcel Chiriţă, OL Bucureşti 1984 Soluţie : Pentru 0x y= = ajungem imediat la

1(0) 0 sau (0) .2

f f= = Dacă (0) 0 f = , atunci , cu substituţia y x→− ,

deducem ( ) ( )2 2(0)f f x f x= + − deci ( ) ( )2 2 0f x f x+ − = , adică

( ) 0, .f x x= ∀ ∈ Dacă 1(0)2

f = , pentru 0y = ajungem la

24

( ) ( )2 2( ) 0f x f x f= + , de unde 21( ) 0

2f x⎛ ⎞− =⎜ ⎟

⎝ ⎠şi deci

1( ) , .2

f x x= ∀ ∈ Aşadar singurele soluţii ale ecuaţiei funcţionale

(care verifică egalitatea din enunţ!) sunt ( ) 0,f x x= ∀ ∈ şi 1( ) , .2

f x x= ∀ ∈ ○

II) Rezolvarea ecuaţiilor funcţionale prin formarea unui sistem E.1: Rezolvaţi ecuaţia funcţională ( ) ( )2 3 1 10 7,f x f x x x− − = − ∀ ∈ . Soluţie: Înlocuim x cu 1 x− şi obţinem relaţia:

( ) ( )2 1 3 10 3,f x f x x x− − = − + ∀ ∈ .

Aşadar:( ) ( )( ) ( )

2 3 1 10 72 1 3 10 3

f x f x xf x f x x

− − = −⎧⎪⎨ − − = − +⎪⎩

; rezolvând acest sistem

obţinem ( ) 2 1,f x x x= + ∈ . ○ E.2: Rezolvaţi ecuaţia funcţională ( ) ( )4 3 2 ,f x f x x x− − = ∀ ∈ . Soluţie: Facem x x→− ,rezolvăm sistemul care se obţine şi ajungem la ( ) 2f x x= . ○ E.3: Rezolvaţi ecuaţia funcţională ( ) ( )2 1 1,x f x f x x⋅ = ⋅ − + ∀ ∈ .

Soluţie : ( ) 2

31 conduce la , .4

xx x f x xx x

−→ − = ∀ ∈

− + ○

E.4: Determinaţi funcţiile { }: \ 1 ,f → cu proprietatea că

( ) { }2 13 , \ 12 2

xf x f a x b xx−⎛ ⎞+ ⋅ = ⋅ + ∀ ∈⎜ ⎟−⎝ ⎠

.

ww.neutr

ino.ro

25

Soluţie : Fie ( ) 2 12 2

xg xx−

=−

şi astfel ecuaţia dată conduce la

( ) ( )( )3f x f g x ax b+ = + , { }\ 1x∀ ∈ . Cu substituţia

( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) deducem 3x g x f g x f g g x a g x b→ + = ⋅ + .

Pe de altă parte ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )

3

3

f x f g x ax bg g x x

f x f g x a g x b

⎧ + = +⎪= ⇒⎨+ = ⋅ +⎪⎩

( ) ( )( )3 28

a g x x bf x

⋅ − +⇒ = , { }\ 1x∀ ∈ . ○

E.4. Determinaţi funcţiile :f → care satisfac relaţia ( ) 2 ( ) 3 ( )f x y f x y f x y+ + − = − , , .x y∀ ∈

Gheorghe Andrei , OL Constanţa 1987 Soluţie : În relaţia dată facem transformările , y x x y→ → şi ajungem astfel la : (2 ) 2 (0) 3 ( ) , f x f f x x x+ = − ∀ ∈ , respectiv

(0) 2 (2 ) 3 ( ) , f f x f x x x+ = + ∀ ∈ . Eliminând (2 )f x , adică rezolvând sistemul obţinut, deducem: ( ) (0)f x x f= + , adică

( )f x x a= + , cu .a∈ Rămâne acum să verificăm că funcţiile găsite satisfac ecuaţia funcţională din enunţ . ● III) Determinarea unor funcţii care satisfac inecuaţii funcţionale E.1: Determinaţi funcţiile [ ): 0;f → ∞ pentru care

1) ( ) 2 ,xf x x≤ ∀ ∈

2) ( ) ( ) ( ) , ,f x y f x f y x y+ ≤ ⋅ ∀ ∈

Soluţie:Din 1) avem ( )0 1f ≤

Din 2) avem ( ) ( ) ( ) ( )0f x f x f f x≤ ⋅ ≤ , deci

( ) ( ) ( )0 , 0f x f x f x f= ⋅ ∀ ∈ ⇒ = sau ( )0 1f = .

Dacă ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 1 1 2 2 2 1x x xf f x x f x f x f x − −= ⇒ = − = ⋅ − ≤ ⋅ ≤ ⋅ =

26

( ) 2 ,xf x x⇒ = ∀ ∈ . Aşadar, funcţiile căutate sunt

( )0 şi 2xf f x= = (verificare!) . ○ Exp.2: Fie :f → o funcţie bijectivă, strict crescătoare. Să se determine funcţiile :g → pentru care ( )( ) ( )( ) ,f g x x g f x x≤ ≤ ∀ ∈ .

Soluţie:Funcţia inversă 1f − este şi ea crescătoare. Din

( )( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )1 1 1f g x x f f g x f x g x f x− − −≤ ⇒ ≤ ⇔ ≤ .

Dacă în ( )( )x g f x≤ înlocuim ( ) ( ) ( )1 1x f x f x g x− −→ ⇒ ≤ ,

aşadar ( ) ( )1g x f x−= . ○ Probleme diverse: E.1: Să se determine :f → care verifică ( ) ( )2 2,f x x f x x+ ≤ ≤ + ∀ ∈ .

Soluţie: În ( )2f x x+ ≤ notăm ( )2 2,x t f t t t+ = ⇒ ≤ − ∀ ∈ .

Folosind ( ) 2,x f x x≤ + ∀ ∈ obţinem ( ) 2f x x= − . ○

E.2: Determinaţi ( ): 1,f ∞ → care verifică

( ) ( ) ( ) ( ) , , , 1f xzy xf y yf z zf x x y z= + + ∀ > Dorel Miheţ, concurs G. Moisil 1997

Soluţie: ( ) ( )3 3x y z f x f x= = ⇒ = ⋅ , apoi

( ) ( ) ( ) ( )5 3 3f x f x x x x x x f x= ⋅ ⋅ = + + ⋅

( ) ( ) ( ) ( )9 5 3 6 4 3 23 4f x f x x x x x x x f x= ⋅ ⋅ = + + + ⋅

( ) ( ) ( )9 3 3 3 49f x f x x x x f x= ⋅ ⋅ = ⋅ , deci

( ) ( )6 4 3 23 4 0, 1x x x x f x x+ + + ⋅ = ∀ > , de unde ( ) 0f x = , căci

( ) ( )22 21 3 6 1 0, 1x x x x x− + + > ∀ > . ○

ww.neutr

ino.ro

27

E.3: Determinaţi :f → care verifică ( ) ( ) 1 , ,f x y x f y x x y− − ⋅ ≤ − ∀ ∈ Marcel Chiriţă, OJ Bucureşti 1991 Soluţie: ( )0 1,x f t t= ⇒ ≤ ∀ ∈ . Deoarece

( ) ( ) ( ) ( ) 11 , 0,

x f x yxf y x f x y f y x y

x+ − −

≥ + − − ⇒ ≥ ∀ > ∈

( ) ( )11 ,f y

y x y f x y x yx x

→ − ⇒ − ≥ − + ∀ > . Folosind ipoteza

obţinem ( ) ( )11 1 ,f y

xf y x x yx x

− + − ≤ − ∀ > adică

( )( ) ( )11 ,

f yx f y x y

x−

− ≤ ∀ > . Dacă există t∈ cu ( ) 1f t <

rezultă { }2 1, max ,0x x t≤ ∀ > , contradicţie. Deci ( ) 1 , f t t= ∀ ∈ ○ E.4: Determinaţi :f → care verifică ( ) ( ){ } ( ){ }max , min , , ,f x y f x y f y x x y+ = + ∀ ∈

Concurs T. Lalescu, 1992 Soluţie: ( ) ( ){ } ( ){ }max , min , , ,f y x f y x f x y x y+ = + ∀ ∈ , care adunată cu cea iniţială conduce la

( ) ( ) ( )2 , ,f x y f y x f x y x y+ = + + + ∀ ∈ .

Pentru ( ) ( )0 0 ,y f x x f x k x= ⇒ = + = + ∀ ∈ .

Relaţia din enunţ devine ( ) ( )max , min ,x y k y k x x k y+ + = + + + .

Dând valorile ( )0, 0x y k k f x x= = ⇒ = ⇒ = . ○ Vă propunem în continuare să încercaţi singuri să rezolvaţi următoarele probleme: P 1. Să se determine funcţiile :f → care satisfac egalitatea : 2 ( 1) (3 ) 14 , f x f x x x⋅ + + − = + ∀ ∈ . P 2. Să se determine funcţiile :f → care satisfac relaţia: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 , , , .f xy f xz f x f yz x y z+ − ⋅ ≥ ∀ ∈

28

P 3. Să se determine funcţiile :f → care satisfac relaţia: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 , , .f x f y f x f y xy x y⋅ = + + − ∀ ∈ P 4. Fie A⊆ şi :f A→ o funcţie cu proprietatea : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ,f x f y y x f x f y x y A− = − ⋅ ⋅ ∀ ∈ .

a) Pentru A = , arătaţi că singura funcţie cu proprietatea de mai sus este funcţia identică ;

b) Determinaţi toate funcţiile cu proprietatea dată în cazul în care { }\ 1A = .

P 5. Fie :f → o funcţie cu proprietatea că ( ) ( ) ( ) , ,f xy f y x f y x x y+ − ≥ + ∀ ∈ .

a) Să se arate că ( ) 0 , f x x≥ ∀ ∈ . b) Să se arate că există funcţii neconstante care verifică relaţia

dată. P 6. Să se determine funcţiile :f → care satisfac proprietăţile : a) ( ) , f x x x≤ ∀ ∈ . b) ( ) ( ) ( )f x y f x f y+ ≤ + , ,x y∀ ∈ . Bibliografie :

1) Gh. Andrei , C. Caragea , I . Cucurezeanu , Gh. Bordea – Probleme de algebră pentru concursuri de admitere şi olimpiade şcolare , E.D.P. Bucureşti , 1993

2) Vasile Pop – Ecuaţii funcţionale , Ed. Mediamira , Cluj-Napoca , 2002

Mădălina Teodorescu, Brăila Ovidiu Bădescu, Reşiţa

ww.neutr

ino.ro

29

Probleme rezolvate din RMCS nr. 20

Clasa a IV-a

IV. 071 Calculaţi suma dintre deîmpărţit şi împărţitor ştiind că împărţitorul este cel mai mic număr par scris cu trei cifre distincte, câtul reprezintă 2/3 din împărţitor, iar restul este cel mai mare număr scris cu două cifre.

Inst. Mariana Mitrică, Reşiţa Răspuns: 7035 . IV. 072 Dacă din triplul unui număr natural scădeţi 34, dublaţi rezultatul pe care îl micşoraţi apoi cu 50, obţineţi anul naşterii lui Mihai Eminescu. Determinaţi numărul iniţial.

Inst. Mariana Mitrică, Reşiţa Răspuns: 328. IV. 073 Suma a trei termeni este 8750. Primul termen reprezintă jumătate din al doilea termen şi un sfert din ultimul termen.

Care sunt cei trei termeni? Inst. Mariana Mitrică, Reşiţa

Răspuns: 1250, 2500, 5000 . IV. 074 Într-o cutie sunt bile de trei culori: albe, negre şi roşii. Numai 27 dintre ele nu sunt albe, numai 35 nu sunt negre şi numai 30 nu sunt roşii. Câte bile de fiecare culoare sunt în cutie?

Înv. Eufemia Jurca, Reşiţa Rezolvare: Dacă numai 27 de bile nu sunt albe, atunci acest număr reprezintă suma bilelor roşii şi negre. Avem bile: roşii + negre= 27 albe + roşii = 35 albe + negre = 30 27+ 30 = 57 bile (albe+ roşii + de două ori numărul bilelor negre) 57 – 35 = 22 bile (dublul bilelor negre) 22 : 2 = 11 bile negre 30 – 11 = 19 bile albe 27 – 11 = 16 bile roşii Răspuns:19 bile albe, 11 bile negre, 16 bile roşii .

30

IV. 075 Suma a două numere este 240. Dacă înmulţim primul număr cu 3, iar al doilea rămâne neschimbat, atunci suma devine 500. Care sunt cele două numere?

Înv. Eufemia Jurca, Reşiţa Rezolvare: Diferenţa dintre a doua sumă şi prima sumă (500 – 240) reprezintă de două ori primul număr.

500 – 240 = 260 (de două ori primul număr) 260 : 2 = 130 (primul număr) 240 – 130 = 110 (al doilea număr) Răspuns: 130 şi 110 . IV. 076 A treia parte din sfertul jumătăţii unui număr este 15. Care este numărul?

Înv. Eufemia Jurca, Reşiţa Rezolvare:

15 x 3 = 45 (sfertul jumătăţii) 45 x 4 = 180 (jumătatea)

180 x 2 = 360 (numărul) Răspuns: 360 . IV. 077 Un tată este cu 30 de ani mai mare decât fiul său, iar peste 6 ani el va avea de 4 ori vârsta fiului său de atunci. Câţi ani are fiecare în prezent?

Înv. Georgeta Gaiţă, Reşiţa Răspuns: 4 şi 34 . IV. 078 Ionel are de 6 ori mai multe beţişoare decât Andrei. Dacă Ionel i-ar da lui Andrei 45 de beţişoare, atunci ei ar avea acelaşi număr de beţişoare. Câte beţişoare are fiecare ?

Înv. Georgeta Gaiţă, Reşiţa Răspuns: 18 şi 108 .

Clasa a V-a

V. 079 Adina a fost rugată de către mama ei să aranjeze sufrageria (care are forma unui pătrat), pentru primirea unor musafiri, cu 14 scaune, astfel încât în dreptul fiecărui perete să se găsească un acelaşi număr de scaune. Fata este nedumerită; părerea ei este că ar avea nevoie de 16 scaune sau ar trebui să aranjeze mai puţine. Voi ce credeţi, se pot aranja cele 14 scaune aşa cum cere mama sau Adina are de ce să fie nedumerită ?

* * *

ww.neutr

ino.ro

31

Soluţie: Se pot aranja scaunele după dorinţa mamei: în două colţuri opuse câte un scaun, restul de 12 scaune se distribuie în mod egal pe cei patru pereţi(câte 3 la fiecare perete). V. 080 Alin, Bianca, Costel şi Diana au avut de învăţat o poezie şi unul singur a învăţat-o. Profesoara de limba română i-a întrebat cine a învăţat poezia şi ei au răspuns astfel : Alin: Eu nu am învăţat poezia ! Bianca: Costel a învăţat poezia ! Costel: Alin a învăţat poezia ! Diana: Bianca nu a învăţat poezia ! Ştiind că exact unul dintre copii nu spune adevărul, găsiţi cine a învăţat poezia.

Prof. Lucian Dragomir, Oţelu-Roşu Soluţie: 1) Dacă Alin minte, atunci Alin a învăţat poezia; restul însă spun adevărul, deci mai mulţi au învăţat poezia, contradicţie cu ipoteza; 2) Dacă Bianca minte, înseamnă că Alin şi Costel spun adevărul, ceea ce e imposibil; 3) În cazul în care Costel minte, avem că Alin nu a învăţat poezia; Bianca spune adevărul şi deci Costel a învăţat poezia, iar Bianca şi Diana nu au învăţat-o; 4) Dacă Diana minte, atunci Bianca a învăţat poezia; cum ceilalţi spun adevărul, avem că şi Costel a învăţat poezia, ceea ce nu se poate(unul singur a învăţat-o). Aşadar, Costel e cel care a învăţat poezia. V. 081 Într-o carte de limba română sunt mai mult de 40de opere literare , dar mai puţin de 50. O treime sunt legende, un sfert sunt poezii, iar restul sunt poveşti. Câte poezii sunt în carte ?

Prof.Lucian Dragomir, Oţelu-Roşu Răspuns: 12 poezii, 16 legende, 20 poveşti. V. 082 Arătaţi că dacă a este cifră nenulă, diferită de 9, numărul

( ) ( )( ) aaaa

aaan,,

,00,0−+

= este natural.

Prof. Loreta Ciulu, Reşiţa

Soluţie : 11 9090 90 90 11 .90

909 10

a aa a aaan aa a aa a

−+ ⋅

= = = ⋅ = ∈⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

V. 083 Arătaţi că numerele A = 2+22+23+....+22006 şi B = 32+34+36+...+34006 dau acelaşi rest la împărţirea la 7.

Prof. Mariana Drăghici, Reşiţa 32

Soluţie: Observăm că sumele 2 32 2 2+ + şi 2 4 6 23 3 3 3 7 13+ + = ⋅ ⋅ sunt divizibile cu 7. Putem scrie ( ) ( )2006 2005 2004 5 4 3 22 2 2 ... 2 2 2 2 2A= + + + + + + + + =

7 6q= + şi ( ) ( )4006 4004 4002 10 8 6 4 23 3 3 ... 3 3 3 3 3 91 7 12 6B p= + + + + + + + + = + ⋅ + .

Ambele numere dau prin împărţire la 7 restul 6. V. 084 Într-un coş sunt de 4 ori mai multe mere decât pere. Se mai pune în coş un fruct, după care se constată că numărul merelor este de 2 ori mai mare decât numărul perelor. Câte mere şi câte pere au fost la început în coş?

Prof. Mariţa Mirulescu, Caransebeş Răspuns: 4 mere şi o pară. V. 085 Într-o împărţire cu rest a două numere naturale nenule se ştie că suma dintre cât, rest şi împărţitor este 18, suma dintre rest şi împărţitor este 9, iar suma dintre cât şi împărţitor este 17. Aflaţi deîmpărţitul.

Prof. Dorina Humiţa, Caransebeş Răspuns: 73 .

Clasa a VI-a

VI. 079 În câte feluri puteţi schimba ordinea literelor din cuvântul PACE astfel încât să nu avem două vocale alăturate ?

Prof. Lucian Dragomir, Oţelu-Roşu Soluţie : Dacă A este pe primul loc, E trebuie să fie pe locul 3 sau 4; în fiecare din aceste cazuri avem câte două posibilităţi pentru concoane, total: 4 feluri. Dacă A este pe locul 2, avem un singur fel. Dacă A este pe locul 3, avem 2 posibilitaţi, iar dacă A este pe ultimul loc avem din nou 4 posibilităţi. În total avem deci 11 posibilităţi de schimbare(ordinea iniţială aici nu se numără, pentru că se cere în câte feluri putem schimba ordinea). VI. 080 Fie ABC un triunghi ascuţitunghic şi M un punct al laturii BC. Din M se duce perpendiculara MN pe AC şi se prelungeşte cu un segment NP congruent cu MN. Tot aşa, se duce perpendiculara MQ pe AB şi se prelungeşte cu un segment QR congruent cu MQ. Să se aleagă punctul M astfel încât linia frântă RAP să fie cât mai scurtă.

Prof. Loreta Ciulu, Reşiţa Soluţie: Din ANPANM Δ≡Δ (L.U.L.), avem .AMAP ≡ La fel se arată că .AMAR ≡ Lungimea liniei frânte RAP este 2AM. Ea este minimă, când .BCAM ⊥

ww.neutr

ino.ro

33

VI. 081 Calculaţi suma: 3 7 13 21 133...2 6 12 20 132

S = + + + + +

Prof. Mariana Drăghici,Reşiţa

Soluţie : 1 1 1 111 1 ... 1 11 .1 2 2 3 11 12 12

S = + + + + + + = +⋅ ⋅ ⋅

Am folosit

1 1 1 1 1 1 1 1 1... 1 ... 11 2 2 3 ( 1) 2 2 3 1 1 1

nn n n n n n

+ + + = − + − + + − = − =⋅ ⋅ ⋅ + + + +

Metoda a 2 a : Notăm numărătorii fracţiilor cu nx şi deci

1 2 1 3 2 4 33, 7 4, 13 6, 21 8,...x x x x x x x= = = + = = + = = + Se ajunge astfel la 2 1nx n n= + + ; aşadar , un termen al sumei (cel de pe locul k) este de

forma ( )22 11 1 11

( 1) ( 1) 1k kk k

k k k k k k+ −+ +

= = + −+ + +

şi deci

111

1 1 1 1 1431 1 12 .1 1 12 12

n

nk

S n Sk k n=

⎛ ⎞= + − = + − ⇒ = − =⎜ ⎟+ +⎝ ⎠∑

VI. 082 Să se afle numerele naturale x, y din proporţia 2 2

2 2

2 3 331 3

xy a ba b

− +=

+, unde numerele a , b sunt direct proporţionale cu

numerele 3 şi 2. OLM /1996 ,Iaşi

Soluţie : 3 , 2 ... 12a k b k xy= = ⇒ ⇒ = şi astfel avem 6 perechi de numere naturale care satisfac enunţul: ( )1,12 ,(2,6),(3,4),(4,3),(6,2),(12,1).

VI. 083 Să se afle cel mai mic număr natural de forma kaaa ...7 21 , care

este de 5 ori mai mare decât numărul 7...21 kaaa , unde 1≥k . ***

Răspuns : 714285 . VI. 084 Cuiele cu ajutorul cărora se fixează potcoavele se numesc caiele. Pentru potcovirea cailor unei ferme se folosesc, la fiecare copită, acelaşi număr de p caiele, 2 6.p≤ ≤ Se constată că, după ce au fost potcoviţi 25% din cai, au fost folosite 444 de caiele. a) Determinaţi p; b) Aflaţi numărul cailor de la fermă.

OL Bucureşti 2007

34

Soluţie: a) Fie x numărul cailor, atunci 4 | x şi 254 444100

p x⋅ = de

unde 444p x⋅ = şi cum 4 | x deducem, din 2 6p≤ ≤ , că 3p = . b) 3 444x⋅ = de unde 148x = .

VI. 085 a) Fiecare număr din mulţimea { }1,2,3,..., 4010 se împarte cu rest la 2007.Calculaţi suma câturilor obţinute. b) Luăm un număr natural nenul q ţi împărţim cu rest fiecare număr din mulţimea { }1,2,3,...,3q la q. Determinaţi q pentru care suma tuturor câturilor astfel obţinute este 2007.

OL Bucureşti 2007 Soluţie : a) Suma câturilor este

20051 1 ... 1 2 2007

ori+ + + + = (2004 numere dau

câtul 0, 2005 numere dau câtul 1, iar 4010 dă câtul 2). b) De la 1 la 1q − obţinem câtul 0. De la q la 2 1q − obţinem câtul 1. De la 2q la 3 1q− obţinem câtul 2. Deci, 2 3 2007,3 2004, 668q q q q+ + = = = .

Clasa a VII-a

VII. 079 Să se calculeze:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +++⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ ++⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ ++⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ +n

nn...4

443

332

22.

Prin [a] se înţelege partea întreagă a numărului real a.

Prof. Loreta Ciulu, Reşiţa Soluţie : Pentru orice număr natural k avem:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ +kk

kk

kkk 11 (1)

Dar kk < pentru orice { }* \ 1k∈ , deci ( )1;0∈kk

şi 0=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

kk

.

În aceste condiţii (1) devine: 1=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +k

kk, ( ) { }1* −∈∀ Nk (2)

ww.neutr

ino.ro

35

Suma din enunţ având n-1 termeni, toţi egali cu 1, conform relaţiei (2),

rezultă că: 1...3

332

22−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ +++⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ ++⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ + nn

nn.

VII. 080 Demonstraţi egalitatea *2 2 2 2

2 1 1 1 ,( 1) ( 1)k k

k k k k+

= − ∈⋅ + +

a) Găsiţi cea de a 2007-a zecimală a numărului 48 A, unde:

3 5 7 47...1 4 4 9 9 16 529 576

A = + + + +⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Prof. Mariana Drăghici,Reşiţa Soluţie: a) Calcul efectiv; b) Folosind a) ajungem la

575 57548 47,91(6)576 12

A A= ⇒ ⋅ = = şi apoi zecimala căutată: 6 .

VII. 081 Numerele întregi sunt colorate cu alb şi violet. Suma a două numere de culori diferite este un număr violet, iar produsul lor este alb. Cum este colorat numărul care se obţine înmulţind două numere colorate în alb ?

*** Soluţie: Considerăm două numere albe oarecare, a şi b şi v un număr violet; avem astfel : a b+ este violet, deci ( )ab vb a v b+ = + ⋅ este alb. Cum vb este alb, deducem că ab este alb (pentru că în caz contrar, ab violet şi vb alb ab vb⇒ + este violet, contradicţie) .

VII. 082 Determinaţi numerele întregi x şi y astfel încât: 132=−

yx.

O.L.Tulcea,2007

Soluţie : 62 3 32

y x xy yx

− = ⇒ − = + ∈−

conduce la

{ }2 6, 3, 2, 1,1,2,3,6x − ∈ − − − − . Înlocuim , ajungem la y şi la perechile

( ) { }, ( 4, 2),( 1, 1),(1,3),(3, 9),(4, 6),(5, 5),(8, 4)x y ∈ − − − − − − − − .

VII. 083 Considerăm mulţimea { }1,3,5,7,9,11A = . Determinaţi toate perechile de mulţimi ( , )E F care îndeplinesc simultan condiţiile: a) E şi F au acelaşi număr de elemente; b) E F A∪ = ;

36

c) pentru orice x A∈ , dacă x E∈ , atunci ( 2) .x F+ ∈ OL Bucureşti 2007

Răspuns: { }1,5,9E = { }3,7,11F = . VII. 084 Se notează cu I centrul cercului înscris într-un triunghi ABC. Mediatoarea segmentului [ ]BI intersectează latura [ ]BC în E,

mediatoarea segmentului [ ]CI intersectează latura [ ]BC în F, iar cele două mediatoare se taie în P.

a) Arătaţi că triunghiul IEF este asemenea cu triunghiul ABC; b) Arătaşi că punctele A, I, P sunt coliniare.

OL Bucureşti 2007 Soluţie: Fie 'A mijlocul arcului mic BC în cercul circumscris ABCΔ . Atunci [ ] [ ] [ ]' ' 'BA IA CA≡ ≡ de unde mediatoarea segmentului [ ]BI şi mediatoarea segmentului [ ]CI sunt concurente în 'A care în problemă este P de unde A, I, P sunt coliniare. Din IE BE= deducem că ( ) ( )m IEF m B= , iar din IF CF= deducem că ( ) ( )m IEF m C=

adică ~IEF ABCΔ Δ . VII. 085 La un concurs de matematică participă n elevi , 5n ≥ , iar proba conţine 5 probleme. Fiecare elev a rezolvat exact 3 probleme. Pentru orice grup de 5 elevi există o aceeaşi problemă rezolvată de fiecare elev din grup. Să se arate că există o aceeaşi problemă rezolvată de toţi concurenţii.

Concurs Iaşi 2007 Soluţie: Presupunem, prin reducere la absurd, contrariul. Avem astfel că există concurenţii A, B, C, D, E care nu au rezolvat problemele 1, 2, 3, 4, respectiv 5. Grupul elevilor A , B , C , D , E nu respectă însă condiţia ca ei să aibă o problemă comună rezolvată, contradicţie.

Clasa a VIII-a

VIII. 079 Fie DCBAABCD ′′′′ un paralelipiped dreptunghic. Fie M un punct al muchiei AA ′ . Paralelipipedul se intersectează cu un plan α determinat de muchia BC şi punctul M. a) Determinaţi natura secţiunii. b) Cum se modifică aria ei când punctul M descrie muchia AA ′ de la A

la A′ ? Fie AB=a, BC=b, AA ′=c. Aflaţi valorile extreme ala ariei. Prof. Loreta Ciulu, Reşiţa

ww.neutr

ino.ro

37

Soluţie: a)Deoarece ( )DADBC ′// , planul α intersectează ( )DAD ′ după dreapta MN paralelă cu BC. Intersecţia este patrulaterul BCNM.

ADMN ≡ şi MBCNBCAD ⇒≡ este paralelogram. ( ) MBCNBMCBBABCB ⇒⊥⇒′⊥ este un dreptunghi.

b)Baza BC este fixă, deci aria sa este proporţională cu BM. Dacă AM

creşte, creşte şi BM. Aria minimă= ba ⋅ şi aria maximă= 22 cab + . VIII. 080 Să se arate că dacă k este cifră diferită de 1 şi 0 atunci ecuaţia

kyx =− 25 11 nu are soluţii în mulţimea numerelor întregi. Prof. Nicolae Stăniloiu , Bocşa

Soluţie: Din ecuaţia dată obţinem: kyx += 25 11 . Ridicând la pătrat avem: ( ) 22410 21111 kkyyx ++= . E clar că x nu este multiplu de 11 iar în acest caz se ştie conform cu teorema lui Fermat că 11110 += Mx . Se constată acum că în dreapta restul împărţirii la 11 este diferit de 1 deci egalitatea nu poate exista. VIII. 081 Să se determine valorile reale ale lui m pentru care ecuaţia

2 ( 1)x x mx x− = + are trei rădăcini reale diferite. ***

Soluţie : a) Pentru 0x > ajungem la 11

1mx

m+

=−

, care este soluţie dacă şi

numai dacă 1 01m

m+

>−

, ceea ce este echivalent cu ( )1,1 .m∈ −

b) pentru 0x ≤ obţinem imediat soluţiile 2 30, 1x x= = − . Aşadar ( )1,1 .m∈ −

VIII. 082 Să se arate că pentru , 2n n∈ ≥ numărul 5 4 1A n n= + + nu este prim.

*** Soluţie: O problemă nu foarte uşoară. Putem încerca câteva valori pentru ( ) 5 4 1A n n n= + + , poate observăm ceva . Avem astfel : (2) 7 7, (3) 13 25, (4) 21 61A A A= ⋅ = ⋅ = ⋅ care nu sunt într-adevăr prime.

Putem găsi însă o formulă generală de tip ( ) n nA n x y= ⋅ ? Să observăm că

1 2 1 3 2 4 33, 7 4, 13 6, 21 8,x x x x x x x= = = + = = + = = + deci 1 2n nx x n−= + .

38

Adunând aceste egalităţi ajungem la : 2 1nx n n= + + . Deducem acum destul de repede 3 1ny n n= − + , problema fiind astfel rezolvată. VIII. 083 Să se determine numerele întregi ,x y pentru care 2 2.x y x xy y+ = − +

*** Soluţie: După transformări relativ uşoare , ecuaţia se poate scrie ( ) ( ) ( )2 2 21 1 2x y x y− + − + − = şi astfel obţinem soluţiile :

( )0,0 ,(1,0),(0,1),(2,1),(1,2),(2,2). VIII. 084 Fiecare punct din spaţiu este colorat alb sau violet.Arătaţi că printre pătratele de latură 1 din spaţiu există cel puţin unul cu vârfurile violet sau cel puţin unul cu trei vârfuri albe.

*** Soluţie: Considerăm propoziţia (P) conform căreia există un pătrat unitate cu toate vârfurile violet şi deosebim cazurile: (1) Toate punctele spaţiului sunt colorate violet; avem astfel (P). (2) Există un punct 1A alb; considerăm piramida patrulateră cu muchii egale având vârful 1A şi baza 1 2 3 4B B B B . Avem aici subcazurile : ( i ) 1 2 3 4, , ,B B B B violet ( )P⇒ ; ( ii ) unul dintre punctele 1 2 3 4, , ,B B B B este alb, de exemplu 1B ; construim acum o prismă triunghiulară regulată cu muchii egale, o muchie laterală fiind 1 1A B . Dacă 5 6 7 8, , ,B B B B sunt violet, avem (P); Dacă unul dintre 5 6 7 8, , ,B B B B este alb, de exemplu 5B , avem 1 1 5, ,A B B trei vârfuri albe ale unui pătrat unitate . VIII. 085 a) Arătaţi că oricare ar fi n∈ , numărul 2 2 2007n n+ + nu este pătrat perfect ; b) Fie k un număr natural par , 4.k ≥ Să se arate că există un număr natural n astfel încât numărul 2 2n n k+ + să fie pătrat perfect.

Concurs Iaşi 2007 Soluţie: a) restul împărţirii lui 2 22 2007 ( 1) 2006n n n+ + = + + la 4 este 2 sau 3; b) Fie deci 2 , , 2.k a a a= ∈ ≥ Deducem imediat

2 2 22 ( 1) 2 1 ( 1) 2( 1) 1n n k n a n a+ + = + + − = + + − + şi luăm 2.n a= −

ww.neutr

ino.ro

39

Clasa a IX-a

IX. 068 Demonstraţi că dacă centrul cercului circumscris unui patrulater inscriptibil este centru de greutate al patrulaterului atunci patrulaterul este dreptunghi.

Prof. Nicolae Stăniloiu , Bocşa Soluţie: Problema admite mai multe soluţii. Una dintre ele este următoarea:

Se ştie că centrul de greutate este caracterizat de egalitatea:

0=+++ GDGCGBGA . Deci ( )OCODOBOA +−=+ . De aici

rezultă că ONOM −= ceea ce ne spune că O, M şi N sunt coliniare şi cum ONCD si ⊥⊥ OMAB va rezulta că AB//CD. Analog se arată că AD//BC şi deci patrulaterul ABCD este paralelogram inscriptibil deci dreptunghi.

IX. 069 Să se demonstreze inegalitatea:

1222 222 ≤

++

++

+ cabab

abcbc

bacac

, oricare ar fi a, b, c numere reale

pozitive. Prof. Nicolae Stăniloiu , Bocşa

Soluţie: Considerăm funcţia :f + +→ , ( )tx

xxf+

=2

cu 0≥t .

Funcţia f se mai scrie: ( )tx

ttx

ttxtx

xxf+

−=+−+

=+

=22

121

22

21

22

21

.

Este evident că funcţia f este strict crescătoare. Facem acum 2t b= şi

scriem că ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +≤

2

22 cafacf ; se obţine astfel: 222

22

22

2 bca

ca

bacac

++

+

≤+

A

D

C B

O

40

Analog 222

22

22

2 bca

cb

abcbc

++

+

≤+

şi 222

22

22

2 bca

ba

cabab

++

+

≤+

. Adunând

cele trei relaţii se obţine inegalitatea cerută.

IX. 070 Să se rezolve ecuaţia : [ ]

1 1x x

⎡ ⎤ =⎢ ⎥⎣ ⎦ , unde [ ]a reprezintă partea

întreagă a numărului real a . ***

Soluţie: [ ] [ ] { }1 1

1,1xx x

= ∈ ⇒ ∈ −⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

. Distingem cazurile:

a) dacă [ ] [ )1 1 , 0,1x x α α= ⇒ = + ∈ şi ecuaţia devine

11 1 0 1;

1xα

α⎡ ⎤ = ⇒ = ⇒ =⎢ ⎥+⎣ ⎦

b) dacă [ ] [ )1 1,0x x= − ⇒ ∈ − şi ( ]1 1 11 1 0 , 1xx x x⎡ ⎤ ⎡ ⎤=− ≤ < + = ⇒ ∈ −∞ −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

.

Aşadar şi în acest caz avem o singură soluţie : 2 1.x = −

IX. 071 Să se determine x∈ pentru care fracţia 2

3 13 1

xx−+

are valoare

maximă. ***

Soluţie : 23 1323 1

3 1 0.xy yx

xx y−

= ⇒+

− + + = Cum x∈ se impune

29 12 12 0y yΔ = − − ≥ , de unde imediat ajungem la 3 1,2 2

y ⎡ ⎤∈ −⎢ ⎥⎣ ⎦. Aşadar

valoarea maximă a fracţiei este max12

y = şi se obţine pentru 1.x =

IX. 072 Să se arate că pentru orice triunghi având laturile a,b,c şi aria S este adevărată inegalitatea 2 2 2 4 3a b c S+ + ≥ ⋅ .

***

ww.neutr

ino.ro

41

Soluţia 1 : Presupunemprin reducere la absurd că 2 2 2sin4 3 4 3

2bc AS a b c⋅ = ⋅ > + + şi astfel ajungem la

2 2 22 3 sinbc A a b c⋅ > + + sau încă ( ) ( )22 2 2 2 212 sin .bc A a b c⋅ > + + ( 1)

Cu teorema cosinusului avem şi: ( ) ( )22 2 2 2 24 cos .bc A b c a⋅ > + −

( ) ( )22 2 2 2 212 cos 3 .bc A b c a⇒ ⋅ > + − ( 2 )

Din (1) şi (2), prin adunare, deducem :

( ) ( ) ( )22 2 2 2 2 2 212 3 3 .bc b c a b c a⇒ > + − + + + Calcule efective conduc la

2 2 2 2 2 2 4 4 4a b b c c a a b c+ + > + + , de unde avem ( )22 2 0a b− <∑ , fals.

Soluţia 2 . Din inegalitatea cunoscută 2 2 2a b c ab bc ca+ + ≥ + +

deducem 2 2 2 1 1 12sin sin sin

a b c SA B C

⎛ ⎞+ + ≥ ⋅ + +⎜ ⎟⎝ ⎠

. Folosim acum

convexitatea funcţiei ( ) 1: 0, , ( )sin

f f xx

π → = ; aplicând inegalitatea

lui Jensen avem: ( ) ( ) ( )3 3

A B C f A f B f Cf + + + +⎛ ⎞ ≤⎜ ⎟⎝ ⎠

, de unde

1 1 1 3 2 3.sin sin sin 3

fA B C

π⎛ ⎞+ + ≥ ⋅ =⎜ ⎟⎝ ⎠

Finalizarea e imediată .

Clasa a X-a

X. 068 Se consideră o mulţime M de numere reale care satisface proprietăţile: a) 0 M∈ ; b) Dacă ( )0,x y+ ∈ ∞ şi 2log ( )x y M+ ∈ , atunci 3x M∈ şi

4log y M∈ .

Să se arate că 20072008

M∈ .

Prof. Lucian Dragomir, Oţelu-Roşu

42

Soluţie : ● Pentru orice n ∗∈ considerăm , de exemplu,

( )4 1 1, 0,4 4

n

n nx y−= = ∈ ∞ şi avem astfel:

2 2log ( ) log 1 0x y M+ = = ∈ , de unde ajungem la 4log 4 n n M− = − ∈ .

● Pentru , 2n n∗∈ ≥ , putem considera 3logx n= şi

23

1log 3n

yn

−⎛ ⎞= ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

şi obţinem astfel: 2log ( )x y n M+ = − ∈ , de unde :

3log3 3 nx n M= = ∈ .

● Pentru ,m n ∗∈ astfel încât 1mn> şi 23 1

nnm⋅ > alegem

3log mxn

= şi 23log 3

nnym

⎛ ⎞= ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

, de unde imediat avem :

22 2 3log ( ) log log 3

nm nx y n Mn m

⎛ ⎞+ = ⋅ ⋅ = ∈⎜ ⎟⎝ ⎠

şi astfel ajungem la

m Mn∈ . E suficient acum să alegem 2007, 2008m n= = (pentru care

sunt satisfăcute condiţiile anterioare).

X. 070 Să se calculeze suma: 1 1

.n k

jk

k jk C

= =

⎛ ⎞⋅⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ ∑

***

Soluţie : 1

2 1k

j kk

jC

=

= − ⇒∑ ( )1 1

( 1)2 1 22

n nk k

k k

n nS k k= =

+⎛ ⎞= ⋅ − = ⋅ −⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ ∑ .

Acum, dacă 1

2n

k

kT k

=

= ⋅∑ , avem 1

12 2

nk

kT k +

=

= ⋅ ⇒∑

2 3 1 11 22 2 2 2 ... 2 2 2 21 2

nn n nT T n n+ +−

− = + + + + − ⋅ = ⋅ − ⋅−

şi imediat

1 ( 1)( 1) 2 2 .2

n n nT n + += − ⋅ + −

ww.neutr

ino.ro

43

X. 071 Dacă 0,2πα ⎡ ⎞∃ ∈ ⎟⎢⎣ ⎠

astfel încât a tgα= , să se calculeze suma :

1 3 2 5 3 7 ...n n n nC a C a C a C− ⋅ + ⋅ − ⋅ + ***

Soluţie : ( )1n

i a S i a T+ = + ⋅ , unde T este chiar suma căutată. Pe de

altă parte, ( ) ( ) cos sin1 1cos

n nn

n i ni a i tg α ααα

++ = + ⋅ = şi imediat avem

sin 1 .cosn

nTtg

αα α

= ⋅

X. 072 Se consideră într-un reper cartezian xOy un triunghi ABC astfel încât picioarele înălţimilor din B şi C sunt puncte fixe pe axa Ox, iar vârful A este mobil pe axa Oy. Să se determine locul geometric al ortocentrului triunghiului ABC.

*** Soluţie: Dacă picioarele înălţimilor din B şi C sunt ( )/ ,0B b , respectiv

( )/ ,0C c , iar ( ,0)A Oyα ∈ , ecuaţia înălţimii din B este

( )1

AC

y x bm

= − ⋅ − , adică ( )by x bα

= ⋅ − , iar ecuaţia înălţimii din C este

( )cy x cα

= ⋅ − . Rezolvând sistemul obţinut ajungem la 2 2bx b cx c− = − şi,

cum b c≠ , deducem const.x b c= + = , adică locul geometric căutat este dreapta (paralelă cu Oy) de ecuaţie .x b c= +

Clasa a XI-a

XI. 068 Se consideră mulţimea M a matricelor cu 4 linii şi 5 coloane în care toate elementele sunt numerele – 1 şi 1 , iar produsul numerelor din fiecare linie şi din fiecare coloană este – 1 . Să se determine numărul elementelor mulţimii M .

*** Indicaţie: Studiaţi articolul despre paritate şi imparitate din revistă. XI. 069 Se consideră două funcţii , :f g → continue în *n∈ şi care satisfac [ ]( ) ( ), .g x x f x x= ⋅ ∀ ∈ Să se calculeze ( ).f n

***

44

Soluţie: ( 0) ( 1) ( 0) ( 1) ( ) ( 0)g n n f n n f n g n− = − ⋅ − = − ⋅ = + = ( 0) ( ) ( ) 0.n f n n f n f n= ⋅ + = ⋅ ⇒ =

XI. 070 Se consideră o funcţie derivabilă :f → pentru care există lim ( )x

f x a→∞

= ∈ şi există /lim ( ).x

x f x→∞

⋅ Să se determine /lim ( ).x

x f x→∞

⋅

*** Soluţie: Considerăm , : , ( ) ( ), ( )g h g x x f x h x x→ = ⋅ = şi astfel,

pentru calculul limitei spre ∞ a raportului ( )( )

g xh x

ne situăm în cazul

exceptat ∞∞

; putem aplica regula lui L’Hospital şi astfel

( )( )( ) ''( )lim lim lim '( ).

' 1x x x

f x x f xg x a x f xh x→∞ →∞ →∞

+ ⋅= = + ⋅ Aceasta există şi este

egală astfel cu a de fapt, aşadar /lim ( ) 0.x

x f x→∞

⋅ =

XI. 071 Să se rezolve inecuaţia 1 1arcsin arccos 0.x x− ≥ ***

Soluţie: Considerăm funcţia 1 1: , ( ) arcsin arccosf D f xx x

→ = − . Din

condiţia [ ]1 1,1x∈ − deducem mai întâi ( ] [ ), 1 1, .D = −∞ − ∪ ∞ Se ajunge

imediat la derivata funcţiei considerate şi se obţine că ( ) ( ) ( )/ 0, , 1 1,f x x< ∀ ∈ −∞ − ∪ ∞ , deci f este descrescătoare pe fiecare

dintre intervalele care definesc D.

Deoarece lim ( ) 1 ,x

f x→−∞

= − ( 1) , (1) , lim ( )2 2 2x

f f f xπ π ππ→∞

− = − − = = − şi

( )2 0f = , avem că mulţimea soluţiilor inecuaţiei este 1, 2 .⎡ ⎤⎣ ⎦

XI. 072 Să se arate că 5: , ( )f f x x x→ = + este bijectivă şi, notând cu g inversa sa, să se calculeze // (2).g

*** Soluţie: 5( ) ( )f x x x y x g y= + = ⇒ = şi deci ( )5 ( ) .g y g y y+ =

Derivăm această relaţie de două ori şi obţinem 3

1 20'(2) , ''(2) .6 6

g g= = −

ww.neutr

ino.ro

45

Clasa a XII-a

XII. 068 Fie : , ( ) 2F F x x x a x b→ = − + − . Determinaţi

,a b∈ astfel încât F să fie primitivă a unei funcţii :f → . ***

Soluţie: Folosim proprietatea: “O funcţie :f → ,

( ) ( ) ( )f x g x h x= ⋅ este derivabilă pe dacă şi numai dacă toate

rădăcinile lui ( )h x sunt rădăcini pentru ( )g x sau dacă ( )h x nu are rădăcini reale.” Aşadar, se ajunge la condiţia a b= (oare de ce?) şi deci

( )( ) 2F x x x a= + − , de unde 2a b= = − .

XII. 069. Fie { }0,1,2,3M = . Definim { }

1, 3*

max , , în restx y x y

x yx y

⎧ − + < <⎪= ⎨⎪⎩

,

,x y M∀ ∈ . Rezolvaţi ecuaţia *2 2z = . ***

Soluţie: Se face tabla legii de compoziţie sau se verifică toate valorile lui { }0,1,2,3z∈ şi se obţine soluţia 1, 2z z= = .

XII. 070. Pe mulţimea *+ definim legea " " care verifică următoarele

proprietăţi: ( ) ( ) ( ) ( ) *) , , , ,i x y z t x z y t x y z t +⋅ = ⋅ ⋅ ∀ ∈ *) 1,ii x x x += ∀ ∈ *) 1 ,iii x x x += ∀ ∈ , unde " "⋅ este înmulţirea numerelor raţionale.

Calculaţi ( ) ( )18 12 21 28α = ***

Soluţie: Variante de rezolvare sunt multiple, se calculează fiecare paranteză şi apoi compunem. Astfel,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )18 12 3 6 3 4 3 3 6 4 6 4 2 3 2 2= ⋅ ⋅ = ⋅ = = ⋅ ⋅ =

( ) ( ) ( ) ( )3 3 32 2 3 2 3 2 2 1 2 1 2 22 2 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ = = ⋅ ⋅ = ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

.

Analog, 321 284

= şi ( ) ( ) 3 318 12 21 28 22 4

= = (sper că ştiţi cum

am ajuns la rezultat).

46

XII. 071. Se consideră funcţia [ ): 1,f ∞ → cu proprietăţile:

a) ( )1 1f =

b) ( )( ) [ )( ) ( ) , , 1,y f xy f x F y y x y− = + ∀ ∈ ∞ , unde F este o

primitivă a lui f pe [ )1,∞ .

Calculaţi ( ) (1)nf . ***

Soluţie: În tehnoredactarea enunţului problemei din RMCS 20 s-a strecurat o greşeală de tehnoredactare, enunţul corect este cel de aici. În relaţia de la b), pentru 1x = obţinem ( ) ( )( ) ( )1y f y f F y y− = + ,

adică ( ) ( ) ( ) ( ) 22 , 1

F y yy f y F y y f y y

y+

⋅ = + ⇔ = ≥ , deci f este

derivabilă pe [ )1,∞ . Derivând relaţia ( ) ( ) 2y f y F y y⋅ = + obţinem

( ) 2'f yy

= , deci ( ) ( ) ( ) ( )1 1 !1 2nn

n

nf y

y− −

= − ⋅ ⋅ , adică

( ) ( ) ( ) ( )11 1 2 1 !nnf n−= − ⋅ ⋅ − (Noi zicem că este o problemă frumoasă...te uiţi la ea zile întregi) XII. 072. Studiaţi dacă [ ]

[ ]( )2

0,1: 0,1 , ( ) max

yF F x x y

∈→ = − poate fi

primitivă a unei funcţii [ ]: 0,1f → ***

Soluţie: ( )2

2

11 , 0,2

( )1, ,12

x xf x

x x

⎧ ⎡ ⎤− ∈⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎣ ⎦= ⎨⎛ ⎤⎪ ∈⎜ ⎥⎪ ⎝ ⎦⎩

, în continuare e simplu.

ww.neutr

ino.ro

47

Concursul Judeţean al Revistei de Matematică Caraş-Severin, Ediţia a III –a (Regulament)

Ediţia a III-a a Concursului Revistei este în plină desfăşurare.Fiecare elev trebuie să rezolve(subliniem din nou: singur!) cât mai multe probleme de la clasa sa, de la clasa precedentă sau de la orice clasă superioară. Redactaţi îngrijit fiecare problemă pe câte o foaie separată (enunţ+autor+soluţie+numele vostru), completaţi talonul de concurs de pe ultima pagină a revistei şi trimiteţi totul într-un plic adresat astfel: Prof. Lucian Dragomir, Grup Şcolar Industrial Oţelu-Roşu, str.Republicii 10-12, 325700, Oţelu-Roşu, Caraş-Severin, cu menţiunea “probleme rezolvate”. Insistăm asupra respectării cu stricteţe a termenelor finale indicate de fiecare dată - plicurile primite după data limită nu vor fi luate în considerare. La ediţia a III-a a concursului vor fi selectaţi concurenţii în funcţie de punctajele obţinute din rezolvarea problemelor publicate în numerele 19, 20, 21 şi 22 ale revistei noastre. În jurul datei de 20 ianuarie 2008 se va întocmi clasamentul general (prin însumarea punctelor obţinute) şi astfel primii clasaţi vor fi invitaţi, împreună, ca şi în acest an, să participe la concurs; acesta va avea loc tot la începutul lunii februarie într-un oraş care va fi anunţat în timp util . Subiectele vor fi alese tot din probleme de genul RMCS sau G.M. sau ceva cât de cât nou. Spor la treabă tuturor: elevi, profesori, părinţi sau prieteni ! (Informaţii suplimentare se pot obţine la: prof. Lucian Dragomir, tel: 0255/530303 sau 0722/883537). ■

48

Probleme propuse (soluţiile se primesc până în 26 noiembrie 2007)

Ciclul primar

IV. 079 La litere diferite corespund cifre diferite, iar la litere identice corespund cifre identice. Găsiţi numărul ARC ştiind că :

RACRACACT

+

Prof. Adriana Dragomir, Oţelu – Roşu IV. 080 9 cărţi şi 5 stilouri costă 195 lei, iar 3 cărţi şi 7 stilouri costă 129 lei. Cât costă 2 cărţi şi 3 stilouri?

Apostol Beg, elev , Oţelu – Roşu IV. 081 Alin şi Dragoş au împreună 24 de culegeri de exerciţii şi probleme de matematică. Dacă Dragoş i-ar oferi cadou două dintre culegerile sale de matematică, Alin ar avea de trei ori mai puţine cărţi decât Dragoş. Câte cărţi mai trebuie să – şi cumpere Dragoş pentru a avea de şapte ori mai multe decât are Alin ?

Iulia Kurucz, elevă, Oţelu – Roşu IV. 082 În timpul vacanţei de vară, Lorena, Andrei şi Ovidiu au cheltuit împreună la mare 952 lei. Dacă Andrei a cheltuit de două ori mai mult decât Lorena şi jumătate din suma cheltuită de Ovidiu, aflaţi câţi lei a cheltuit fiecare copil.

Inst. Mariana Mitrică, Reşiţa IV. 083. La ora de matematică de la clasa a V-a , dacă aşezăm câte 2 elevi într-o bancă , rămân 7 elevi în picioare , iar dacă aşezăm câte 3 elevi într-o bancă, rămân 5 elevi în picioare. Câte bănci sunt în cabinetul de matematică şi câţi elevi sunt în clasa a V-a?

Inst. Mariana Mitrică, Reşiţa IV. 084 La litere diferite corespund cifre diferite , iar la litere identice corespund cifre identice. Găsiţi numărul URS ştiind că

A

AARUS

+

Prof. Adriana Dragomir, Oţelu - Roşu

ww.neutr

ino.ro

49

IV. 085 Câte numere (naturale nenule) au proprietatea că adunând jumătatea sa şi cu dublul său obţinem un număr cel mult egal cu 10 ?

* * * IV. 086 Bogdan îşi aduce aminte că la un concurs de matematică au participat 83 de elevi. Ştefan ştie sigur că numărul fetelor participante a fost cu 18 mai mare decât cel al băieţilor participanţi.

a) Să se stabilească dacă Bogdan a reţinut numărul participanţilor la concurs.

b) Să se stabilească dacă următoarea afirmaţie a lui Bogdan este adevărată: Numărul elevilor participanţi este de fapt mai mare decât 80 şi mai mic decât 85.

* * * IV. 087 Lucia îşi alege un număr, îl înmulţeşte cu 4, la rezultatul obţinut adună 14, numărul nou obţinut îl înmulţeşte cu 2 şi obţine 100. Adina îşi alege alt număr, îl înmulţeşte cu 3, la rezultatul obţinut adună 15, numărul nou obţinut îl înmulţeşte cu 3 şi obţine 99. Cine şi-a ales la început un număr mai mare: Lucia sau Adina ?

Roxana Popa , elevă , Oţelu-Roşu IV. 088 La un concurs de matematică au participat 200 de elevi din clasele IV – VIII. La fiecare clasă s-a acordat acelaşi număr de diplome (premii şi menţiuni), astfel încât din clasa a IV-a exact 24 de elevi nu au primit diplome, din a V-a exact 26 de elevi nu au primit diplome , iar din clasele a VI-a, a VII-a, a VIIII-a, câte 25 de elevi nu au primit diplome. Puteţi afla câţi elevi au participat la concurs din fiecare clasă?

R.M.T. 2004 IV. 089 Suma a trei numere (naturale) diferite este 14. Dacă dublăm două dintre numere, suma celor trei noi numere va fi 21. Puteţi găsi cele trei numere, dacă produsul lor este un număr care are prima cifră exact unul dintre numere?

Lavinia Corlan, elevă, Oţelu – Roşu IV. 090 Bunicul lui Dragoş are o livadă cu pomi fructiferi. Dragoş şi Alin au strâns prune. Sergiu îi întreabă câte au reuşit să strângă. Dragoş spune: Dacă Alin strângea de două ori mai multe prune decât mine, am fi avut împreună 600 de fructe . Alin spune: Dacă Dragoş strângea de patru ori mai puţine prune decât mine, am fi avut împreună 250 de prune. Poate calcula Sergiu cine a strâns mai multe prune: Dragoş sau Alin ?

Sorin Dascălu, elev, Oţelu -Roşu

50

IV. 091 În fiecare zi din luna octombrie, Laurenţiu rezolvă câte o problemă de aritmetică. Pentru o problemă rezolvată corect primeşte de la părinţi câte 2 lei, dar pentru o problemă rezolvată greşit i se ia un leu.

a) Ar putea Laurenţiu, la sfârşitul lunii octombrie, să îşi cumpere un atlas zoologic care costă 60 de lei? .

b) Poate avea Laurenţiu la sfârşitul lunii octombrie exact 17 lei? Dar exact 14 lei?

Prof. Lucian Dragomir, Oţelu – Roşu IV. 092. Puteţi pune în locul semnelor ⊗ şi ○ numere astfel încât să avem: 123⊗+ =○ şi 456+⊗+ =○ ○ ?

Prof. Lucian Dragomir, Oţelu – Roşu Clasa a V-a

V. 086 Să se compare numerele 1013a = şi 1492b = . Cristi Munteanu, elev, Oţelu - Roşu

V. 087 Pentru o mulţime finită M se notează cu ( )s M suma elementelor sale.Să se determine mulţimile A şi B de numere naturale care satisfac simultan următoarele proprietăţi: a) Dacă x A∈ , atunci ( )2 1 ;x B+ ∈ b) A şi B au câte trei elemente ; c) ;A B∩ ≠∅ d) 7 ( ) 3 ( ).s A s B⋅ = ⋅

Prof. Adriana Dragomir, Oţelu - Roşu V. 088 Pe o insulă trăiesc oameni cinstiţi care spun întotdeauna adevărul şi mincinoşi care întotdeauna mint. Un explorator a întâlnit doi băştinaşi A şi B. Băştinaşul A a spus: Cel puţin unul dintre noi doi (A şi B) este mincinos. Băştinaşul B a spus: Nici unul dintre noi doi nu spune acum adevărul. Poate stabili exploratorul cum sunt cei doi (cinstiţi sau mincinoşi)?

Olimpiadă Rusia V. 089 Un arab bolnav şi-a chemat soţia însărcinată şi a rugat-o să-i respecte ultima dorinţă după ce el nu va mai fi, privind împărţirea celor 63 de cămile pe care le avea. - Dacă naşti băiat, dă-i de 3 ori cât opreşti pentru tine, iar dacă naşti fată, dă-i jumătate din cât opreşti pentru tine! Cum va împărţi văduva arabului cămilele dacă a născut gemeni: un băiat şi o fată?

Prof. Valer Pop, RMT

ww.neutr

ino.ro

51

V. 090 La un meci de fotbal al naţionalei ţării noastre, trei prieteni au îmbrăcat tricouri de culoare roşie, galbenă, albastră şi şi-au scris pe spate câte un număr (al jucătorului favorit) – fiecare altă culoare şi alt număr. Se ştie că : 1) Sergiu nu are tricoul galben şi nu are numărul 5. 2) Cine are tricoul galben, are numărul 7. 3) Cine are numărul 10 nu are tricoul albastru. 4) Costel nu are numărul 10. 5) Sorin nu are numărul 7. Puteţi găsi ce tricou şi ce număr are fiecare dintre cei trei prieteni ?

Lucia Dragomir, elevă, Oţelu – Roşu V. 091 Fiecare fată dintr-un grup de patru prietene are câte un gen de muzică preferată şi câte o materie preferată, diferite de ale celorlalte. Se ştie că: 1) Alina preferă muzica simfonică şi nu îi place istoria. 2) Roxana preferă matematica şi nu îi place muzica populară. 3) Fetei căreia îi place muzica populară, îi place şi geografia. 4) Fetei căreia îi place muzica rock nu îi place fizica. 5) Bianca nu suportă muzica rock . 6) Fetei căreia îi place istoria nu îi place muzica dance. Puteţi găsi ce gen de muzică preferă Lucia şi cui îi place fizica ?

Alin Drăgan, elev, Oţelu - Roşu V. 092 Se poate scrie numărul 2007 folosind doar operaţiile de adunare , scădere, înmulţire şi împărţire şi zece de 3?

* * * Clasa a VI-a

VI. 086 Să se determine numărul numerelor ab scrise în baza 10 pentru care numărul N ab ba a b= + + + este pătrat perfect.

* * * VI. 087 Pe o şosea circulă autoturisme: spre apus un Logan şi un Cielo, cu aceeaşi viteză, iar spre răsărit un Audi şi un BMW, cu aceeaşi viteză, dar nu neapărat egală cu a primelor două. Loganul s-a întâlnit cu BMW-ul la ora 12, Cielo cu BMW-ul la ora 15, iar Loganul cu Audi la ora 14. La ce oră s-au întâlnit Cielo cu Audi?

* * *

52

VI. 088 Există o mulţime de numere naturale consecutive astfel încât diferenţa dintre cel mai mare element şi cel mai mic element al său să fie 2007, iar suma celor mai mici trei elemente ale mulţimii să fie tot 2007? (justificaţi răspunsul) .

Prof. Lucian Dragomir, Oţelu - Roşu VI. 089 Pe podeaua unei camere placate cu gresie în formă de pătrat cu latura de 4 m sunt 600 de furnici. Să se arate că în orice moment găsim cel puţin 3 furnici care sunt pe una din plăcile de gresie, care sunt tot în formă de pătrat, dar cu latura de 25 cm .

Dragoş Unguraş, elev, Oţelu - Roşu VI. 090 Să se arate că nu există două numere naturale astfel încât suma lor să fie egală cu 39 iar produsul lor să se dividă la 39 .

* * * VI. 091 Să se găsească numerele naturale m şi n pentru care 13 2 80.m n+ − =

Alina Buzuriu, elevă, Oţelu – Roşu

VI. 092 Ce termeni ai sumei 1 1 1 1 1 12 4 6 8 10 12+ + + + + trebuie şterşi astfel

încât suma termenilor rămaşi să fie egală cu 1? Olimpiadă SUA

Clasa a VII-a

VII. 086 Mulţimea numerelor naturale nenule se împarte în grupe astfel: (1,2),(3,4,5),(6,7,8,9),... astfel încât în prima grupă sunt 2 numere, în a doua grupă sunt 3 numere, ... , în a zecea grupă sunt 11 numere şi păstrăm această regulă de a grupa numerele naturale consecutive.

a) Cu ce număr începe grupa 2007? b) În a câta grupă se găseşte numărul 2007?

Andrei Popa, elev, Caransebeş VII. 087 Să se determine numerele întregi a şi b pentru care

2 .1 1

a bb a a b

+ =+ + +

Prof. Lucian Dragomir, Oţelu - Roşu

ww.neutr

ino.ro

53

VII. 088 Se spune că un triplet ( )0 , ,t a b c= se transformă după un pas în tripletul ( )1 1 1 1, , ( , 1, 1)t a b c a b b c= = + + − , iar după încă un pas în tripletul

( )2 2 2 2 1 1 1 1, , ( , 1, 1)t a b c a b b c= = + + − ,procedeul de transformare repetându-se pas cu pas; după n astfel de paşi obţinem tripletul

( ), , .n n n nt a b c= a) Să se găsească tripletul în care se transformă după trei paşi tripletul

( )0 1,1,2 ;t = b) Să se determine numărul minim de paşi după care obţinem din

( )0 1,1,2t = un triplet ( ), ,n n n nt a b c= cu 2007;nt ≤ c) Să se arate că din tripletul ( )0 1,1,2t = nu se poate obţine un triplet nt cu

2007.n n na b c+ + = Prof. Lucian Dragomir, Oţelu - Roşu

VII. 089 Mediatoarele segmentelor (AB) şi (AC) se intersectează în punctul M. Să se arate că ( ) 090m BAC = dacă şi numai dacă punctele B , M , C sunt coliniare.

Gazeta Matematică

VII. 090 Se consideră un trapez ABCD cu //BC AD şi BC AD< . Să se afle măsuriele unghiurilor trapezului ştiind că 2CD AB= şi ( ) ( ) 0120 .m BAD m CDA+ =

Olimpiadă Belarus VII. 091 Să se determine numerele întregi x şi y pentru care

2 3 4.x y xy+ + = Prof. Lucian Dragomir, Oţelu – Roşu

VII. 092 Numerele 1 , 2 , 3 , ... , 100 sunt scrise pe 100 de bileţele (câte un număr pe fiecare bileţel). Se aleg la întâmplare două bileţele şi în locul lor se pune un bileţel pe care este scris modulul diferenţei numerelor de pe cele două bileţele (cele două bileţele se aruncă). Procedăm la fel cu cele 99 de bileţele care se obţin , ş.a.m.d. până când rămâne un singur bileţel. Ce paritate are numărul scris pe acest bileţel ?

RMT

54

Clasa a VIII-a VIII. 086 Să se arate că : 4 8 9 0 , .x x x+ + ≥ ∀ ∈

Prof. Lucian Dragomir, Oţelu - Roşu VIII. 087 Dacă I este centrul cercului înscris în triunghiul ABC şi K , M , N sunt punctele de tangenţă ale acestui cerc cu laturile AC, AB, respectiv BC, iar mediana 1BB intersectează MN în D, să se arate că punctele I, D, K sunt coliniare.

Olimpiadă Rusia VIII. 088 Fie , 1.n n∈ ≥ Să se determine numerele reale strict pozitive

1 2, ,..., nx x x şi numărul real α ştiind că 1 2 ... nx x x n α+ + + = − şi

1 2

1 1 1...n

nx x x

α+ + + = + .

Prof. Maria Miheţ, Timişoara VIII. 089 Determinaţi numerele naturale n pentru care există x∈

astfel încât 1 1 1... 11 1 2 1x x x x x n x n+ + + =

+ + + + + + + + +.

Prof. Lucian Dragomir, Oţelu - Roşu VIII. 090 Să se arate că dacă ( ), 2,4x y∈ , atunci şi ( ) ( )3 3 12 2,4 .xy x y− − + ∈

* * * VIII. 091 a) Să se arate că dacă a şi b sunt numere raţionale pozitive

astfel încât a bb a+ ∈ , atunci ;a b=

b) să se determine numerele raţionale pozitive a şi b pentru care a b+ ∈

şi 1 1a b+ ∈ .

Concurs Drăgăşani VIII. 092 a) Să se arate că dacă a , b , c sunt numere reale, atunci

2 2 2a b c ab bc ca+ + ≥ + + ; b) Dacă x , y , z sunt numere reale strict pozitive astfel încât

2 2 2 2x y z+ + = , determinaţi cea mai mică valoare a expresiei xy yz zxEz x y

= + + .

Concurs Arhimede

ww.neutr

ino.ro

55

Clasa a IX-a (vă invităm să încercaţi şi problemele propuse în notele şi articolele

publicate în revistă) IX. 073 Notăm cu a , b lungimile catetelor şi cu c lungimea ipotenuzei

unui triunghi dreptunghic dat. Să se arate că : 3 .2

a b b a c c+ <

RMT

IX. 074 Să se determine funcţiile :f → cu proprietatea că [ ] { }( ) ( ) ( ) 2 , .f x f x f x x x+ + = ∀ ∈

Prof. Dorel Miheţ, Timişoara

IX. 075 Să se arate că dacă ,n p ∗∈ şi

1 1 1 1 1 11 ... 1 ...2 3 2 3n p

⎧ ⎫⎧ ⎫+ + + + = + + + +⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎩ ⎭ ⎩ ⎭

, atunci n p= .

Prof. Ion Savu, Bucureşti

IX. 076 Rezolvaţi în ecuaţia { } { }2x x x− = , unde { }a reprezintă partea fracţionară a numărului real a .

Olimpiadă Bucureşti 2004

IX. 077 a) Să se arate că nu există funcţii :f → cu proprietatea că ( 2) (4 ) 6 , ;f x f x x x− + − = ∀ ∈ b) Să se arate că există cel puţin două funcţii :f → cu proprietatea că ( 2) (4 ) 6, .f x f x x− + − = ∀ ∈

Prof. Lucian Dragomir, Oţelu – Roşu

IX . 078 Se spune că o mulţime M de numere reale pozitive se numeşte artistică dacă orice element al său este media geometrică a două elemente distincte din M.

a) Să se arate că există o infinitate de mulţimi artistice; b) Să se determine mulţimile artistice care au 2007 elemente .

Prof. Gabriel Popa, Iaşi

56

Clasa a X-a

X. 073 Să se arate că într-un triunghi ABC în care 2 2 22b c bc a+ − ⋅ ≥ ,

avem : 3 .4

B C π+ ≥

Lucian Dragomir, Oţelu - Roşu X. 074 Să se stabilească natura triunghiului ABC în care sin sin cos cos .A B A B+ = +

* * *

X. 075 Se consideră mulţimile { }2/ 0A x x x a= ∈ + + = şi

{ }2/ 2 3 0B x x ax= ∈ + + = . Să se determine a∈ ştiind că .A B∩ ≠∅

Lucian Dragomir, Oţelu – Roşu

X. 076 Rezolvaţi ecuaţia : [ ]2 4 cos( ) 4 0 , , 0, .x x xy x y π+ ⋅ + = ∈ ∈ RMT

X. 077 Să se determine funcţiile surjective * *:f → astfel încât:

( ) ( ) ( ) ( )

1 1 1 1.... , , 2.2 1 3 2 1

n n nf f nf n f n

−+ + + = ∀ ∈ ≥

−

Prof. Nicolae Stăniloiu, Bocşa

X. 078 Să se arate că nu există funcţii strict monotone :f → astfel încât { } [ ]( ( )) , 0,1 .f f x x x= ∀ ∈

Olimpiadă Bucureşti 2004

Clasa a XI-a

XI. 073 Studiaţi dacă există matrice ( )2, ,A B C M∈ , distincte două câte două, care satisfac egalităţile: 2AB AC A+ = şi 2BC BA B+ = .

Prof. Lucian Dragomir, Oţelu - Roşu

ww.neutr

ino.ro

57

XI. 074 Studiaţi convergenţa şirului ( ) 1n nx

≥definit prin 1 1

3 21,2

nn

n

xx xx+

+= =

+

1n∀ ≥ . Puteţi determina limita şirului dat? Prof. Lucian Dragomir, Oţelu - Roşu

XI. 075 Determinaţi funcţiile bijective :f → pentru care 1( ) ( ) , , , .f x f y x y x y x y−+ = + ∀ ∈ ≠

Prof. Manuela Prajea, Drobeta Tr.Severin XI. 076 Se consideră şirul ( )n n

a∈

definit prin 2

1 11 , 2 3 2, .n n na a a a n+= = + − ∀ ∈ Să se arate că şirul este strict monoton şi că , .na n∈ ∀ ∈

Titu Andreescu, SUA XI. 077 a) Să se dea un exemplu de două matrice ( )2A M∈ pentru care

223 ;A I= ⋅

b) Să se arate că există o infinitate de matrice ( )2A M∈ pentru care 2

23 .A I= ⋅ Prof. Lucian Dragomir, Oţelu – Roşu

XI. 078 Să se determine numerele naturale m, n, p, q pentru care ! ! ! !m n p q+ + =

* * * Clasa a XII-a

XII. 073 Să se arate că : a ) sin cos 2 , ;x x x+ ≤ ∀ ∈

b) 3 3sin cos 1 , .x x x+ ≤ ∀ ∈

* * * XII. 074 Se consideră ( )0, ,A B A A= ∞ = × şi funcţia :f B A→ , definită

prin 1(( , )) , ( , ) .xf x y x y By+

= ∀ ∈

a)Să se studieze injectivitatea şi surjectivitatea funcţiei f ; b)Defineşte f o lege de compoziţie pe A; în caz afirmativ, este această lege comutativă, admite element neutru ?

c)Să se studieze convergenţa şirului definit prin 1

(( , )).n

nk

a f k k=

=∑

Lucian Dragomir, Oţelu - Roşu

58

XII. 075 Să se determine primitiva F a funcţiei :f → ,

( ) sin cos (sin cos )f x x x x x= ⋅ ⋅ − , pentru care 1(0) .3

F =

* * * XII. 076 Să se determine mulţimea primitivelor funcţiei ( ): 0,f ∞ → ,

definită prin 6

1( ) .f xx x

=+

* * *

XII. 077 Se consideră un poligon regulat convex cu n laturi , având lungimea laturii a şi un punct P în interiorul poligonului. Dacă

1 2, ,..., nd d d sunt distanţele de la P la laturile poligonului, să se arate

că:1

1 2 .n

k kd aπ

=

>∑

Admitere Universitate 1988

XII. 078 Fie , :f g → două funcţii derivabile astfel încât ecuaţia ( ) ( )xgxf = are soluţia 00 ≠x . Să se demonstreze că ecuaţia:

( ) ( ) ( ) ( )/ /f x xf x g x xg x+ = + are cel puţin o soluţie reală. Prof. Nicolae Stăniloiu, Bocşa

Anunţ : Rugăm şi pe această cale membrii Filialei Caraş-Severin ai SSMR să achite, până în data de 1 octombrie, la responsabilii de zonă, cotizaţia pe anul 2007. (15 RON.Până la ora apariţiei am primit doar de la zona Caransebeş).

Comitetul Filialei

ww.neutr

ino.ro

59

Rubrica rezolvitorilor: În dreptul numelui elevului apare punctajul obţinut pentru rezolvarea probemelor din RMCS nr.20, iar în paranteză punctajul realizat pentru ediţia a III-a a Concursului RMCS.

Insistăm asupra redactării clare, riguroase, asupra justificării complete a rezultatelor obţinute

Clasa a IV-a

Liceul Hercules Băile Herculane (Înv. Felicia Adriana Laitin , Înv. Mirela Bolbotină) Urdeş Florin (103), Sgîncă Iustin Ştefan (82), Moagă Alecsandru 80(238), Marcu Laura (124), Urzică Ionuţ Sorin 60(173) , Căpăţână Alexandra Maria(95), Ştefan Răzvan Bogdan(75), Velcan Anca 50(50), Cîrdei Alex-Cosmin 73(73), Stanciu Ana-Maria 79(79), Stanciu Ana 78(78) Şcoala Generală 2 Reşiţa (Înv. Florica Boulescu )Neaţu Monica 80(167) , Imbri Alexandru 70(90), Damian Dario(20), Vasilovici Camil Robert 30(60), Dăescu Vanesa (30), Ursul Larisa Iasmina 50(90) , Popescu Vlad Şerban 40(80), Ciobanu Anca 90(150) . Şcoala Romul Ladea Oraviţa (Inst. Mariana Ţeicu ) Balmez Andrada-Ioana 80(80) Şcoala Teregova(Înv. Maria Lăzărescu) Berzescu Ilie Adrian (40)

Clasa a V-a

Liceul Hercules Băile Herculane (Înv. Doina Zah, Floarea Kuszay) Domilescu Manuel Ilie 123(207), Dobreanu Răzvan (97), Şandru Ilie Daniel 80(198), Gherghina Liviu 110(227), Dancău Anca Ionela 80(198), Susana Ionuţ Emanoil(123), Dimcea Alexandra AnaMaria 80(203) , Coman Daniel 88(211), Török Bogdan 78 (201), Ciopec Oana 74(197) , Mihart Georgiana 104 (219), Ausmann Adelina 87(207), Cosma Iulia 115 (218), Ferescu Liana 125(240), Şuşară Bianca(85), Bălaj Denisa Maria (118) , Rabota Alexandru(123), lozovanu Dumitru (123), Vlaicu Dana 108(108) Şcoala Berzasca(Înv- Nicoleta Jugănaru) Vulpescu Iulia (50) Şcoala Broşteni (Inst. Ionela Popa) Pelian Popa Dragoş 65 (160)

60

Şcoala Generală Dalboşeţ (înv. Purea Emilia), Curiţa Ileana(40), Negru Nicolae 80(80) Liceul Traian Doda Caransebeş (Înv. Marinela Galescu, Mariana Andraş) Dragomir Ioana Ştefania 92 (162), Ionescu Cristian Ionuţ (40) Şcoala Generală 2 Reşiţa (Înv. Eufemia Jurca, Înv. Aurica Niţoiu) Rada Simina (97), Manciu Emilian (65), Lăvan Iasmina (35), Mihai Radu Bogdan (85), Codilă Silvana (45), Frenţiu Adrian Ramon (45), Borozan Antonio (35), Feraru Carla (70), Iordănescu Andreea(115), Vîlceanu Vlad (90), Şandru Bogdan(70), Blaga Isabel (50), Perian Cezara(30), Stanca Andreea (60) Şcoala Generală nr. 9 Reşiţa(Înv. Margareta Filip) Peptan Andrei Valentin 80(205) Şcoala Generală nr. 1 Oraviţa (Înv. Merima Velcotă)Gheorghişan Călin 80(205), Pîrvu Ancuţa Iulia 125 (250) . Şcoala Generală 3 Oţelu-Roşu (Instit. Simona Petrila) Kocsis Laura Celine (125), Ilin Ana-Maria (125), Băilă Cristina (127), Românu Nicoleta (127) Liceul Pedagogic Caransebeş (Înv. Ion Ritta) Bivolaru Iulia Mălina 80 (205)

Clasa a VI-a

Şcoala Generală 1 Anina(Prof. Marin Constantin Cleşiu) Tiron Romina (30) , Bardaş Alexandra (30) Şcoala Bănia (Prof.Iancu Cleşnescu) Odobaşa Daniel 189(503) Şcoala Bozovici(Prof. Iosif Găină, Maria Bololoi)Vrancea Andreea(116), Borchescu Eugen 128(213), Ştefan Ana (95), Munteanu Mădălina 34(34) Şcoala Generală 2 Caransebeş (Prof. Carina Corîci) Caraiman Lia(70) Liceul Pedagogic C.D.Loga Caransebeş (Prof. Dorina Tuvenie, Dorina Humiţa) Ştefănigă Claudiu (125), Huian Cristina 68(193), Ştirbei Daiana (125), Pop Silvia(185), Ban Ioana 100(215), Mucenica Lorena (95), Barcan Alexandra (75) Liceul Traian Doda Caransebeş (Prof. Adrian Dragomir, Gheorghe Hogea) Szabo Ildiko 98(98) Şcoala Ciclova Română(Prof. Geta Mâşcoi) Măran Budo Cristian Samuel(218), Chisăliţă Cătălin (185) Şcoala Generală Dalboşeţ (Prof. Pavel Rîncu) Băcilă Alexandru (58), Careba Denisa 88(173).

ww.neutr

ino.ro

61

Şcoala Lăpuşnicu Mare (Prof. Iosif Găină, Prof. Pungilă Petru) Chera Patricia (70), Ungureanu Daniel(70), Goşa Violeta 103(103), Vodă Andreea 123 (123). Şcoala Generală nr. 1 Moldova Nouă (Prof. Marioara Radosavlevici) Gîrjan Andra Alina 113(113), Albu Giulia Cristiana 123(123) . Şcoala Generală nr. 3 Moldova Nouă (Prof. Sânefta Vladu) Lupulovici Silvana (40) Grup Şcolar Moldova Nouă (Prof. Vasilica Gîdea ) Oprea Adelina 105(235), Tarsoly Carla 102(232), Beloia Marinela 76 (213), Păunovici Rebeca Veronica 72 (207), Onescu Mădălina Ana – Maria 97 (97) . Şcoala Generală 2 Reşiţa ( Prof. Mariana Drăghici) Ţeudan Adina 133 (245), Drăghici Livia Liliana 150 (378), Aghescu Monica Elena 67(172) Şcoala Generală nr. 9 Reşiţa ( Prof. Irina Avramescu ,Prof.Vasile Chiş, Prof. Ion Belci)Peptan Alexandru 137(224), Colgea Alexandru 120(190) , Hrincescu Teodor(126), Popescu Ovidiu(40), Lazăr Silviu Ioan190( 295) , Muscai Lorena 86(268), Zeman Andrei Miodrag (47) , Zima Marius 37 (87), Carpăn Adrian – Florin 41(41) Şcoala Generală nr. 1 Oraviţa (Prof. Camelia Pîrvu, Prof. Marian Bădoi, Prof. Maria Cenda, Prof. Mihai Lazarov) Săcrieru Andreea-Marta (95), Brădeanu Simona Ştefania(50), Adam Bogdan(55), Serafin Dennis George 147(322) , Vucu Paul 128(178), Marocico Flavius 64(159), Corcan Denisa Cristina 27(27) . Şcoala Generală 1 Oţelu-Roşu (Prof. Heidi Feil) Pop Cristian Ionuţ 150 (358), Radu Ionela 153(347), Tuştean Patricia(107), Stan Corina Larisa (50), Butoi Armin (50), Muntean Lavinia Mihaela (94), Bidilici Răzvan Marian 110(246), Blagoescu Adrian 90(90). Şcoala Generală 3 Oţelu-Roşu (prof.Felicia Boldea)Cărăuşu Robert 135(338), Băilă Diana 112(305), Tănasă Raul 143(358), Preda Gabriela Dagmar 136 (351), Jurma Cristina 71(71) . Grup Şcolar Industrial Oţelu-Roşu (Prof. Iulia Cecon) Lazăr Raluca (79), Vărgatu Alina 35(145), Gherăescu Alina (68), Oprea Filip Emanuela (68).

Clasa a VII-a

Şcoala Generală 1 Anina ( Prof. Livia Lath ) Sârghie Bianca Flavia 68 (104), Rotaru Ana-Maria(21), Drăgilă Patricia Elena 86(126), Vrînceanu Cezar Aurelian 84 (84) . Liceul Hercules Băile Herculane (Prof . Marius Golopenţa) Talpoş Bogdan Mihai (88), Tabugan Dana 36(133) .

62

Şcoala Bănia (Prof. Iancu Cleşnescu) Derlean Pavel 48(48) Şcoala Bozovici(Prof. Iosif Găină) Barbeş Cezara 110(190), Păunescu Alexandra110(190), Nicola Alexandra 108(188),Băcilă Cristiana100(100) Liceul Traian Doda Caransebeş ( Prof. Adrian Dragomir) Puşchiţă Daniel (60), Beudean Andra (40), Dorca Adrian (30), Antonescu Nicoleta 25(85), Bălăşoiu Bogdan (60), Rada Cristiana (60), Keleti Edith (60) Stepanescu Mihai (30), Stoicănescu Gelu 70(150), Popa Andreea 65(141) Liceul Pedagogic C.D.Loga Caransebeş (Prof. Mariţa Mirulescu , Prof. Monica Bocicariu) Benec Sînziana 41(41), Vladu Iris Cristiana 46(46) . Şcoala Generală 2 Caransebeş (Prof. Carina Corîci) Bărbuceanu Florin (80), Agape Oana Gabriela 104 (184), Dumitraşcu Andreea 76(156) . Şcoala Generală Dalboşeţ (Prof. Pavel Rîncu) Jarcu Lorena Maria (90), Marin Lidia Mădălina(90) Şcoala Generală nr. 1 Moldova Nouă(Prof. Marioara Radosavlevici) Gîrjan Laura(80), Craiovan Andreia – Dana 112(179) . Şcoala Generală 2 Reşiţa (Prof. Mariana Drăghici ) Cernea Serena (80) , Ciorogar Irina (95), Pascu Andra Diana (80) . Şcoala Rusca Teregova (Prof. Sorin Ciucă) Codoşpan Florinela 65(107), Blaj Marinela Alisa (47) , Humiţa Maria 56(103), Curmei Roxana (19) . Şcoala Generală nr. 1 Oraviţa (Prof. Camelia Pîrvu), Pelian Popa Ioana 100(195) . Şcoala Generală 1 Oţelu-Roşu (Prof. Heidi Feil) Pîrjol Claudia (70) , Buţă Cristina (70), Krokoş Lorena (158), Cîmpureanu Gilbert (106) , Buţă Anamaria Diana(162), Kuhn Anne Marie(162) Şcoala Generală 3 Oţelu-Roşu (prof.Felicia Boldea)Hinoveanu Octavian (135), Iuhasz Patricia(103), Grafenberger Andreas (105), Buzuriu George (132), Găină Petronel (132) Grup Şcolar Industrial Oţelu-Roşu (Prof. Adriana Dragomir) Dumitresc Cecilia 125(209), Nasta Laura 116 (200). Şcoala Şopotu Vechi ( Prof. Nicolae Găină ) Ciortuz Păunică 125 ( 125 )

Clasa a VIII-a

Şcoala Bozovici (Prof. Maria Bololoi) Borozan Florina Elisaveta 71(99), Borchescu Anamaria 46(140). Şcoala Generală 2 Caransebeş (Prof. Carina Corîci) Muntean Cosmin 70(70) Liceul Traian Doda Caransebeş (Prof. Delia Dragomir) Szabo Cristian 93(93), Mocanu Ioana 109 (109).

ww.neutr

ino.ro

63

Colegiul Naţional Carol I Craiova Stanciu Ioan 88(88) Şcoala Generală nr. 9 Reşiţa ( Prof. Irina Avramescu) Filip Larisa (30) , Kormos Nicholas 30(70) . Şcoala Rusca Teregova(Prof. Sorin Ciucă) Banda Vasile(18), Paşan Petru 43(43) Liceul Pedagogic C.D.Loga Caransebeş (Prof. Dorina Humiţa, Prof. Mariţa Mirulescu) Semenescu Anca 105 (256), Mihai Cristian (50), Matei Sergiu 40(40) Şcoala Vîrciorova (Prof. Ioan Liuba) Măram Marius 108(108). Şcoala Generală 1 Oţelu-Roşu (Prof. Heidi Feil) Duma Andrei 80(80)

Clasa a IX-a

Liceul Pedagogic C.D.Loga Caransebeş (Prof. Antoanela Buzescu) Prunar Victor 106(256) Şcoala Teregova(Prof. Sorin Ciucă) Ciucă Cristian Sorin 43 ( 43 ) Grup Şcolar Industrial Oţelu-Roşu(Prof. Lucian Dragomir ) Atinge Carina 56(56), Cococeanu Oana 72(72). Liceul Traian Lalescu Reşiţa (Prof. Ovidiu Bădescu) Brează Lorena 40(40), Fleşer Cristian 40(40), Meşter Sergiu 60(60), Popovici Georgian 60(60), Simion Larisa 30(30), Zglimbea Diana 40(40)

Clasa a X-a

Colegiul Naţional Moise Nicoară Arad (Prof. Ioan Ioja) Vlad Adina 49 (274) Liceul Tata Oancea Bocşa (Prof.Ioan Todor) Stăniloiu Ovidiu 98(218) Liceul Pedagogic C.D.Loga Caransebeş ( Prof. Lavinia Moatăr) Daia Daniela (48), Moatăr Alexandra 56(96), Jdioreanţu Doriana (40), Miculescu David(48) , Vornic Iosif (48) , Colţan Călin (48), Blidariu Florentina 31(91), Lazăr Ion (78), Timofte Andrei 36(136), David Bogdan (48), Ţurcan Lucian Vlad (100), Megan Ligia 36(96), Milcu Roxana 80 (170) , Gurgu Caius (30) , Enăşel Ion 36 (123), Dumitrescu Otilia 36(86), Ciobanu Claudiu 36(36) Liceul Pedagogic C.D.Loga Caransebeş (Prof. Antoanela Buzescu) Mureşan Ana-Maria 50 (110) , Mureşan Alexandru Ioan 48 (108) . Liceul Traian Doda Caransebeş (Prof. Lavinia Moatăr, Prof. Iacob Didraga) Blidaru Mihaela(48), Ţiu Mihai(48), Cornean Luiza Doriana

64

(47), Bălulescu Bianca Veronica(60), Galamba Ionel Marinel(48), Aghescu Alina Mihaela (48), Plavă Mihaela 57(107) . Grup Şcolar Industrial Oţelu-Roşu (Prof. Lucian Dragomir) Bugariu Dan 38 (98), Lupu Vlad 60 (60), Moisescu Mihaela 18(18).

Clasa a XI-a

Liceul General Dragalina Oraviţa (Prof. Mihai Lazarov)Răşinariu Lucian 28(48) Grup Şcolar Industrial Oţelu-Roşu (Prof. Lucian Dragomir) Unguraş Dragoş 40(120), Buzuriu Alina(70), Dragomir Lucia (70), Beg Apostol (70), Muntean Cristian (70), Popa Roxana (70), Kurucz Iulia (70)

Clasa a XII-a

Liceul Traian Doda Caransebeş (Prof. Lavinia Moatăr, Prof. Delia Dragomir) Popovici Daniel 21(74), Drăgoi Georgiana 33(98), Moisă Marius (20), Cojocariu Carolina (53), Aghescu Loredana 41(106), Roiban Florin (26), Roşca Alexandru (26), Dochin Luminiţa 35(55), Cărăbaş Florentina(26), Stănescu Alexandru Alvin (45), Micluţ Mihai (20) , Curescu Cristian (26) , Piele Cristian 23(61), Humiţa Sorin (45) , Mutuleanu Alexandra 27 (115), Burghelea Dragoş Bogdan (38), Cuţitoi Simina 32(97), Ştefănuţ Paula Loredana (65), Işfănuţ Elena (65), Voinea Alexandra 39(99), Goga Anca 24(84), Guţulescu Oana Lavinia 39(99), Petruş Laura 24(74), Beldie Anca 43(43) . Liceul Pedagogic C.D.Loga Caransebeş (Prof. Mariţa Mirulescu)Labo Laurenţiu (70) Liceul Traian Lalescu Reşiţa (Prof. Ovidiu Bădescu) Popovici Doru 70(70)