Aspecte metodice în predarea capitolului “Proiecţii ortogonale pe plan”; obiective operationale, activităţi de învăţare,

evaluare.

Capitolul “Proiecţii ortogonale pe plan “ este studiat conform programei şcolare în vigoare la clasa a-VIII-a.Acesta se poate preda pe parcursul a 10 ore de curs.

La nivelul manualului de matematică, editura Teora, este structurat în trei subcapitole importante şi anume:

1) Proiecţii de puncte, drepte şi segmente pe plan.Unghiul unei drepte cu un plan;lungimea proiecţiei unui segment.

2) Teorema celor trei perpendiculare.Reciprocele teoremei celor trei perpendiculare.

3) Unghiul diedru; unghiul plan corespunzător diedrului.Unghiul a două plane:plane perpendiculare.

Capitolul se încheie cu probleme recapitulative din temele studiate.

Primul subcapitol se poate preda pe parcursul a două ore de curs.Se introduc noţiunile de bază a ceea ce înseamnă proiecţie ortogonală pe plan, făcându-se analogie cu proiecţiile ortogonale pe o dreaptă studiate în clasa a-VII-a.În prima oră de curs se dau definiţiile pentru: proiecţie ortogonală a unui punct pe un plan, proiecţia unei figuri geometrice pe plan şi se enunţă teoremele privind proiecţia unei drepte pe un plan şi proiecţia unui segment pe un plan.Se exemplifică noţiunile predate pe corpurile studiate (piramidă,paralelipiped dreptunghic) făcându-se referiri la proiecţiile vârfurilor sau anumitor segmente pe plane date.În cea de-a doua oră de curs se defineşte unghiul unei drepte cu un plan specificându-se cele trei cazuri posibile când dreapta intersectează planul, când este perpendiculară pe acesta şi când este paralelă cu planul ales.Se enunţă teorema privind lungimea proiecţiei unui segment şi se exemplifică pe o aplicaţie dată folosirea formulei:A’B’=AB.cosu unde [A’B’] este proiecţia segmentului [AB] pe planul dat iar “u” măsura unghiului dintre AB şi plan.Exemplu:Calculaţi lungimea proiecţiei segmentului [AB] pe planul dacă AB=8 cm şi formează cu planul dat un unghi de 600.Rezolvare:A’B’=AB.cosu=8.cos60=4cm.

Obiectivele operaţionale ce se impun urmărite în cadrul acestui subcapitol sunt:

Descrierea proiecţiei unei figuri geometrice pe o dreaptă sau pe un plan;

Reproducerea definiţiilor privind unghiul unei drepte cu un plan şi aplicarea lor;

Motivarea acestor definiţii; Exprimarea relaţiei dintre lungimea unui segment şi

lungimea proiecţiei sale; Determinări de distanţe şi măsuri unghiulare în contextul

corpurilor studiate.Ca activităţi de învăţare pot fi folosite:

Exerciţii de desenare cu ajutorul instrumentelor geometrice a proiecţiilor ortogonale ale unei figuri pe un plan;

Exerciţii de identificare a proiecţiilor ortogonale ale unor puncte,drepte,segmente pe plan;

Calculul unor măsuri de unghiuri şi unor lungimi de segmente folosind funcţiile trigonometrice;

Argumentarea orală şi scrisă a demersului de rezolvare a unei probleme;

Folosirea softului educaţional A.E.LDintre metodele de evaluare ce se pot aplica enumerăm: observarea sistematică,aprecierea verbală,raportarea rezultatelor obţinute în munca independentă,verificarea temei de casă prin sondaj,chestionarea orală.

Al doilea subcapitol introduce o teoremă de bază în geometria în spaţiu şi anume “Teorema celor trei perpendiculare” cu cele două reciproce ale ei.Aceasta se poate studia pe parcursul a patru ore de curs.În prima oră se predă teorema propri-zisă cu demonstraţia ei, efectuându-se eventual cu ajutorul elevilor.

Pentru o mai bună înţelegere,exemplificare şi modelare se poate folosi softul educaţional A.E.L.Programul conţine trei momente M1,M2,M3.Momentul M1 realizează desenarea teoremei pe etape şi demonstraţia ei.Urmează aplicaţia (1) care conţine patru exerciţii de recunoaştere a teoremei pe figurile date.Fiecare elev execută aplicaţia şi îşi corectează răspunsurile greşite.Aplicaţia (2) conţine o problemă privitoare la calculul distanţei de la un punct la o dreaptă.Se urmăreşte pe ecran desenarea şi rezolvarea etapă cu etapă apoi se face calculul propriu-zis al distanţei cerute pe caietele de notiţe.Momentele M2 şi M3 conţin enunţurile celor două reciproce ale teoremei care se vor preda ulterior.Fixarea noţiunilor predate se realizează în orele următoare prin numeroase aplicaţii din manual şi din culegeri insistându-se pe determinarea şi calculul distanţei de la un punct la o dreaptă unde elevul trebuie să recunoască şi să aplice teorema celor trei perpendiculare.Deasemenea trebuiesc reactualizate cunoştinţele din clasa a-VII-a privind relaţiile metrice în triunghi dreptunghic ce folosesc la calculul acestor distanţe.

Ca activităţi de învăţare în cadrul acestui subcapitol recomandăm:

Exerciţii în care să recunoască distanţa de la un punct la o dreaptă;

Exerciţii de calcul a unor lungimi de segmente folosind relaţiile metrice în rezolvarea unor probleme cu conţinut practic;

Abordarea unor situaţii problemă; Discutarea în grup a unor metode de rezolvare a unei

probleme şi stabilirea celei mai adecvate metode de rezolvare.

Obiectivele operaţionale ce vizează noţiunile predate sunt: Reproducerea enunţurilor teoremelor; Exemplificarea utilităţii lor; Aplicarea lor în determinări de distanţe de la un punct la

o dreaptă; Justificarea perpendicularităţii cu ajutorul acestor

teoreme.Metodele de evaluare pot fi variate de la chestionări orale la cele scrise,evaluarea unei activităţi independente de 5-10 minute,aprecieri verbale,verificarea temei de casă e.t.c

Ultimile patru ore din studierea capitolului sunt rezervate pentru ultimul subcapitol ce introduce noţiunile de unghi diedru, unghiul a două plane, plane perpendiculare.

În cadrul primei ore se enunţă definiţia unghiului diedru,a unghiului plan asociat diedrului exemplificându-se şi executându-se cu ajutorul instrumentelor geometrice modul de construcţie al diedrului.

În cea de-a doua oră de curs se prezintă unghiul a două plane,se dă definiţia planelor perpendiculare şi se enunţă cele două teoreme privind perpendicularitatea planelor şi anume:Teoremă1:Dacă un plan conţine o dreaptă perpendiculară pe un alt plan atunci cele două plane sunt perpendiculare.Teoremă2:Dându-se două plane perpendiculare,perpendiculara dusă dintr-un punct oarecare al unuia pe dreapta de intersecţie a celor două plane este perpendiculară pe cel de al doilea plan.

Următoarele două ore realizează consolidarea noţiunilor predate prin numeroase şi variate aplicaţii din manualele alternative şi culegeri.Deasemenea se poate folosi şi la acest subcapitol softul A.E.L pentru o mai bună înţelegere a modului de construcţie al diedrului.

Ca activităţi de învăţare folosite enumerăm: Exerciţii de desenare folosind instrumentele geometrice a

unor configuraţii spaţiale ce satisfac ipoteze date;

Calculul unor măsuri de unghiuri folosind proprietăţile figurilor şi funcţiile trigonometrice;

Argumentarea orală a demersului de rezolvare a unei probleme;

Redactarea rezolvării unei probleme date; Utilizarea unor metode variate în rezolvarea problemelor.

Obiectivele operaţionale ce vizează acest subcapitol sunt: Cunoaşterea şi folosirea terminologiei aferente; Recunoaşterea unghiului plan asociat diedrului; Folosirea corespunzătoare a funcţiilor trigonometrice

pentru calculul unghiurilor plane asociate; Recunoaşterea şi justificarea perpendicularităţii a două

plane. O evaluare sumativă a întregului capitol se poate realiza în cea de-a zecea oră de curs, constând într-o testare scrisă ce conţine exerciţii privind toate noţiunile predate urmărindu-se obiectivele specifice fiecărui subcapitol.Deasemenea întregul capitol poate constitui tema unui portofoliu ce se poate da pe o perioadă de trei-patru săptămâni.

Resursele materiale folosite în cadrul predării sunt variate precum:manuale alternative, culegeri de probleme, instrumente geometrice, cretă colorată, soft A.E.L.

Dintre metodele de predare pot fi folosite:conversaţia individuală şi frontală, exerciţiul, demonstraţia, modelarea, muncă independentă, învăţarea prin descoperire, problematizarea.

Fiind un capitol de bază “Proiecţii ortogonale pe plan”se poate clasa printre cele mai pretenţioase, dificile dar şi frumoase capitole ale geometriei în spaţiu stimulându-le elevilor imaginaţia,inteligenţa,puterea de creativitate şi rezolvare de probleme.

Prof.Precup AlexSc.gimnaziala com Zagon