CINETICA REACIILOR ENZIMATICE

Paul Flondor

Introducere.

n acest text vom prezenta, pe scurt, cteva rezultate privind modelarea matematic a

desfurrii reaciilor chimice, cu accent pe modelarea reaciilor enzimatice i n consecin

pe descrierea ecuaiilor Michaelis-Menten. Considerm acest demers ca fiind deosebit de util

n modelarea fenomenelor legate de imunitatea nnscut, fenomene care fac obiectul acestui

proiect. Nu vom intra n detalii privind aspectele chimice (i fizice) ale reaciilor ci vom

urmri matematica implicat. Corespunznd fazei de documentare modelele prezentate sunt

cele utilizate n literatur urmnd ca, n fazele urmtoare ale proiectului s prezentm modele

originale i diferite tehnici de tratare ale acetora. Literatura consacrat modelrii reaciilor

enzimatice este foarte bogat; vom prezenta, n bibliografie, cteva dintre lucrrile cercetate.

Cinetica reaciilor chimice, legea aciunii maselor.

Intuiia de baz privind o reacie chimic este ciocnirea aleatoare a moleculelor care

are ca rezultat, de exemplu, obinerea unui produs din reactani. Desigur, aceast exprimare

este sumar dar, considerm c reflect destul de bine realitatea i, mai ales, constituie un bun

punct de plecare pentru modelele matematice care urmeaz. Deja acest suport intuitiv d

natere la o ntrebare fundamental: este un model matematic discret modul natural de a

descrie cinetica reaciilor sau este posibil folosirea unei aproximri printr-un model

continuu (bazat pe ecuaii difereniale)? Se consider c modelele bazate pe ecuaii

difereniale ofer o bun aproximaie a realitii i, desigur, folosirea lor aduce marele avantaj

al unui aparat matematic deosebit de puternic i de flexibil. Rezolvarea numeric a

ecuaiilor difereniale, n general neliniare, care apar este astzi bine pus la punct i ofer

posibiliti deosebite de analiz a modelelor i de simularea diferitelor scenarii pentru

testarea acestor modele. De altfel, chiar nainte ca tehnica modern de calcul s apar,

modelele bazate pe ecuaii difereniale au jucat un rol esenial n modelarea cineticii reaciilor

chimice (ecuaiile Michaelis-Menten dateaz din anul 1913 [1]). n paralel se studiaz i

modele discrete stohastice [2].

Ne vom ocupa, n principal, de modelele bazate pe ecuaii difereniale, lsnd pentru

finalul acestui text descrierea ecuaiei master. De altfel, modelele stohastice fac obiectul

unor faze ulterioare ale proiectului.

Prin legea aciunii maselor se nelege ipoteza conform creia viteza unei reacii chimice

este proporional cu concentraiile reactanilor. Pentru simplitatea scrierii vom nota la fel

reactanii ca i concentraiile acestora (n literatur se folosesc, n general, notaii diferite ca,

de exemplu, A pentru reactant i [A] pentru concentraia sa).

S considerm o reacie simpl A + B C : prin ciocnirea unei molecule tip A cu o molecul tip B se produce (cu o anumit probabilitate) o molecul a produsului C (moleculele care sau

ciocnit disprnd). n acest caz presupunnd c reacia este de ordinul 2 n ansamblu i de

ordinul 1 (liniar) n fiecare component legea aciunii maselor ne permite s scriem ecuaia

diferenial a vitezei de reacie :

(*)

kAB , n care k este o constant numit constant de vitez de reacie.

Se folosete notaia A + B C pentru a pune n eviden constanta de vitez de reacie.

Se presupune deci c aceast constant nu depinde de concentraii; n general constanta de

vitez de reacie depinde de temperatur. n anumite situaii, de exemplu n cinetica reaciilor

care se petrec ntr-un mediu intracelular cu aglomerare macromolecular (macromolecular

crowding) [3], se pare c un model mai adecvat este cel n care k=k(t) este o funcie de timp.

Un caz interesant, care ar putea fi luat n cosideraie i de modelele matematice ale

imunitii nnscute este aa numita cinetic fractal n care avem k(t)=k0t-h cu 0 1

introdus de Kopelman [4]. O alt situaie n care apar coeficieni dependeni de timp este cea

n care o aciune din exterior declaneaz i controleaz reacia; o astfel de modelare a

fost folosit n studiul fenomenului de toleran la endotoxine [5], fenomen ce constituie un

interesant aspect al imunitii nnscute cu probabile legturi cu sepsisul.

Revenind la ecuaia (*)

kAB s observm c produsul AB apare natural cci

numrul ciocnirilor dintre molecule de tip A cu cele de tip B este proporional cu numrul de

perechi care se pot forma deci cu numrul de elemente ale unui produs cartezian. Putem s

scriem i o variant discret a ecuaiei de mai sus: notnd cu An , Bn concentraiile

reactanilor la momentul n am avea (**) An+1-An= -kAnBn i s adugm condiiile iniiale

A0 , B0 . Am considerat varianta discret pentru a pune n eviden, mai clar, un principiu de

conservare uor de neles pe baza intuiiei discutate asupra reaciei ca urmare a ciocnirilor

dintre molecule. Anume avem, n mod evident, A1 - A0 = B1 B0 (numrul de molecule tip A

care au intrat n reacie este egal cu numrul de molecule de tip B intrate n reacie. Putem

scrie, n general, relaia An+1-An= Bn+1 - Bn pentru orice n 0.

Rezult relaiile: An+1- Bn+1= An - Bn pentru orice n 0 i deci An - Bn = A0 - B0 pentru orice

n 0. Obinem Bn = An - A0 + B0 i astfel putem reduce ecuaiile (**) la o recuren asupra

irului (An)n : An+1 = An -k An(An - A0 + B0). Fr s intrm n detalii trebuie s remarcm c

sistemul dinamic obinut este neliniar corespunznd unui polinom de gradul al doilea. Avnd

n vedere prezena unor interesante fenomene ca haosul pentru sisteme neliniare simple

(ecuaia logistic etc.) considerarea cazului discret poate furniza modele interesante.

ntorcndu-ne la sistemul n timp continuu (*) relaia de conservare se obine fr

dificultate observnd c avem i ecuaia

kAB iar din scderea celor dou ecuaii

obinem

-

= 0 deci A(t) B(t) = constant = A0 - B0. Se obine astfel o ecuaie

diferenial pentru funcia A ecuaie care se poate integra prin cuadraturi. A se vedea [6] unde

sunt tratate i alte cazuri interesante.

Am considerat, n exemplul de mai sus, cazul unei reacii ireversibile cu o stoichiometrie

simpl. n cazul unei reacii de tipul mA + nB C legea aciunii maselor conduce la ecuaiile :

kmAmBn ,

knAmBn,

kAmBn.

Legea aciunii maselor se aplic i n cazul reaciilor reversibile. S lum exemplul simplu :

A + B ,

n care din A i B rezult C care la rndul su se descompune n A i B cu

constantele de vitez de reacie corespunztoare. Vom avea, pentru viteza de variaie a

concentraiei lui A, ecuaia :

kAB + k-1C i varianta corespunztoare n cazul unei stoichiometrii mai complicate.

Putem considera c forma general a sistemelor de ecuaii difereniale care modeleaz

cinetica reaciilor pe baza legii aciunii maselor este polinomial n concentraiile

reactanilor:

= P(A1, A2, ..., An), i = 1,2,...,n .

De o deosebit importan s-ar putea dovedi, pentru studiul efectuat n proiect, prezena

oscilaiilor (cicli limit stabili) n sisteme ca cel de mai sus. Un exemplu celebru este

mecanismul de reacie numit Brusselator. l menionm n forma dat n [7] :

A X, B + X

Y + D, 2X + Y

3X, X

E .

Se presupune c, n timpul reaciei, concentraiile reactanilor A i B sunt constante.

Aplicnd legea aciunii maselor i adimensionalizare se ajunge la sistemul:

1 1 ,

n care u,v corespund lui X,Y, = k4t, iar constantele a,b depind de constantele de vitez de

reacie i de concentraiile (constante) ale reactanilor A,B.

Se poate arta c exist, pentru anumite valori ale parametrilor sistemului de mai sus, un ciclu

limit cu perioada

.

Nu intrm n amnunte propunndu-ne s revenim asupra fenomenelor oscilatorii n cursul

desfurrii proiectului. Este interesant problema oscilaiilor n modelele pentru fenomenele

de imunitate nnscut. Pentru un studiu aprofundat al oscilaiilor biochimice este foarte util

monografia [8].

Vom ncheia aceast seciune cu modelul unei reacii cu preechilibru (de fapt o

secven de reacii); motivul este asemnarea acestei situaii cu condiiile de valabilitate ale

ecuaiilor Michaelis-Menten.

S considerm secvena de reacii consecutive:

A + B

P n care C este un intermediar n obinerea produsului P. Aceast secven se

zice cu preechilibru dac intermediarul are concentraie constant ( practic vitezele de

formare i de descompunere a intermediarului sunt mult mai mari dect viteza de producere a

lui P ). Conform legii aciunii maselor vom avea ecuaiile difereniale:

k1AB + k-1C ,

k1AB - k-1C -k2C,

k-2C ; condiia de echilibru pentru C

este

0 deci obinem k1AB - k-1C -k2C = 0, de unde deducem C =

. nlocuind

n ecuaia produsului P vom obine ,

. Astfel se obine produsul P ca dintr-o

singur reacie de ordinul 2 cu constanta de vitez de reacie ,

.

Reacii enzimatice. Ecuaiile Michaelis-Menten.

Vom considera o reacie catalitic la care particip o enzim E i un substrat S .

La ciocnirea (cu anumit vitez i sub un anumit unghi) unei molecule de enzim cu o

molecul de substrat se formeaz o molecul de compus intermediar enzim-substrat notat

ES (enzima se ataeaz substratului); moleculele ES pot, n unitatea de timp, fie s se

descompun n molecule de E i S, fie s dea natere unui produs P, cu eliberarea enzimei,

fie s rmn n forma de compus intermediar ES. Enzima joac astfel rolul de catalizator

pentru transformarea substratului S n produsul P. Desigur, descrierea de mai sus este

sumar; n fapt trebuie adugate o serie de ipoteze legate de constana temperaturii, pH-lui

etc. Nu este scopul lucrrii de fa de a intra n astfel de amnunte ci doar de a pune n

eviden filozofia i natura matematic a modelului.

Ca o parantez trebuie spus c tentativa de simplificare n alctuirea modelelor o considerm

ca important pentru efortul de nelegere a esenei fenomenelor i ca o prim aproximare. S

citm din [7]: Rather the goal is to develop models which capture the essence of various

interactions allowing their outcome to be fully understood. As the data emerge from the

biological system, the models become more sophisticated and the mahtematics increasingly

challenging.

Revenind la reacia enzimatic descris ea este de fapt o secven de reacii dintre care

formarea compusului ES poate fi considerat ca pas intermediar. Am vzut c moleculele de

enzim-substrat pot evolua n trei direcii; nu ncercm a determina cauzele acestei aparente

nedeterminri, modelul innd cont de acest fapt prin estimri cantitative aposteriori. n

modelele stohastice de care vom vorbi mai jos evoluiile sunt gndite probabilist (ca un

proces Markov).

Avem astfel secvena: S + E

P cu constantele de vitez de reacie corespunztoare.

Aplicnd legea aciunii maselor vom deduce ecuaiile difereniale care descriu

cinetica reaciilor (pentru a nu crea confuzie este util s notm concentraiile cu litere mici:

s, e, p i c (pentru ES)):

k1es + k-1c,

k1es + (k-1 + k2)c,

k1es - (k-1 + k2)c,

k2c (***).

Condiiile iniiale le vom nota cu e0, s0, c0, p0.

O observaie important este c ultima ecuaie este decuplat n sensul c rezolvnd

sistemul format din primele trei ecuaii, determinarea produsului p se face printr-o simpl

integrare, deci ne putem concentra atenia asupra primelor trei ecuaii. A doua observaie este

c, aa cum a fost descris reacia enzima se conserv: concentraia de enzim liber plus

concentraia de enzim legat (de substrat) rmne mereu egal cu e0.

Acest fapt este regsit de model observnd c, prin adunarea celei de a doua ecuaii cu

cea de a treia, obinem

+

0 de unde rezult imediat conservarea enzimei:

e(t) +c(t) = e0. Putem scrie e = e0 c i nlocui n prima i a treia ecuaie din (***).

Se obine sistemul :

k1e0 +k1c) s + k-1c ,

k1e0 k1c) s - (k-1 + k2)c cu condiiile iniiale s0, c0.

Deci, n fapt, modelul matematic al reaciei enzimatice este constituit dintr-un sistem neliniar

de dou ecuaii difereniale, neliniaritatea fiind de tip biliniar.

n acest moment se face o ipotez decisiv: se presupune c reacia este cu preechilibru sau,

altfel spus, c intermediarul c este constant (n echilibru). Rezult ,

0 i deci

c =

unde s-a notat, tradiional

(constanta Michaelis). Se obine ecuaia

diferenial pentru s :

-

(****).

Aceasta este o ecuaie diferenial cu variabile separabile. Ipoteza care a dus la aceast

simplificare considerabil se consider plauzibil dac avem o concentraie mult mai mare a

substratului n raport cu enzima (ceea ce n general, concord cu realitatea). Trebuie totui

reinut c avem de-a face cu o aproximaie i trebuie vzut, de la caz la caz, n ce msur

aceast aproximaie este rezonabil. Pentru o tratare matematic amnunit, bazat pe

adimensionalizare i punerea n eviden a celor dou scale de timp implicate n ipoteza

discutat se poate consulta [7]. n urma adimensionalizrii se ajunge la un sistem care se

poate trata ca sistem cu parametru mic etc. Nu intrm n detalii.

Revenind la ecuaiile de mai sus, vom obine pentru ecuaia produsului, n ipoteza

echilibrului:

; dac presupunem concentraia substratului foarte mare ( s ) gsim o

ecuaie de ordin 0 pentru variaia produsului

k2e0 ; interpretm acest fapt ca o saturare

a enzimei de ctre substrat produsul fiind obinut cu viteza de descompunere a compusului

intermediar, iar constanta k2e0 ca o vitez maxim a reaciei enzimatice (vmax).

O problem important este determinarea (experimental) constantelor de vitez de reacie i

n general identificarea parametrilor modelelor. Aceast problem constituie un subiect de

studiu aparte n cadrul proiectului.

Mai general dect n modelul reaciei enzimatice prezentat mai sus se consider aa numitele

modele Hill, Shea-Ackers n care sistemul de ecuaii difereniale are forma :

= P,,..., ,,...,

, i = 1,2,...,n, deci vitezele de reacie sunt fracii raionale n

concentraiile reactanilor. Vom prezenta, mai jos, o asemenea situaie.

Dac introducem un factor de consumare a produsului P putem scrie o ecuaie Hill sub

forma:

unde h este un numr natural 1.

Studiul bifurcaiilor pentru sisteme tip Michaelis-Menten poate fi gsit n [9] plecnd

de la modele prad-prdtor. Este un fapt interesant c matematica reaciilor enzimatice

combinate i n special n cazul modelelor de imunitate este asemntoare matematicii

modelelor prad-prdtor. Acest fapt va fi aprofundat n cursul desfurrii proiectului.

Am vorbit, mai sus, despre situaia n care constantele de vitez de reacie sunt de

fapt funcii de timp. Un mod de a interpreta aceast situaie ar fi influena unor factori

exteriori mai mult sau mai puin controlabili asupra sistemului (reaciei). Vom avea, n

acest caz, modele de forma:

k1(t) es + k-1(t) c,

k1(t) es + (k-1(t) + k2(t))c,

k1(t) es - (k-1(t) + k2(t))c,

k2(t) c , unde, evident, s, e, p i c sunt funcii de timp; se pot imagina diferite scenarii

asupra dependenei de timp a coeficienilor: de exemplu cinetica fractal despre care am

vorbit mai sus sau aa numita distribuie Zipf-Mandelbrot k1(t) =

unde , ,h sunt

constante cu 0 1.

Pentru o situaie general se pot considera modele de tip exponenial:

k1(t) ea sb + k-1(t) c,

k1(t) ea sb + (k-1(t) + k2(t))c,

k1(t) ea sb- (k-1(t) + k2(t))c,

k2(t) c, care, n cazul coeficienilor constani au fost considerate n [10]. Ne propunem

ca pe parcursul desfurrii proiectului s testm astfel de modele imaginnd o serie de

scenarii controlate experimental.

Vom prezenta i un model mai complicat legat de producerea citokinei TNF- ntr-o

situaie de rejecie a grefei de cornee [11]. Fr a intra n detalii privind aspectele pur

biologice ale fenomenului s precizm c variabilele modelului sunt concentraiile de TNF-

i ale unui inhibitor la producerea de TNF- de ctre un stimul. Aceste concentraii sunt

notate x respectiv y. Producerea de TNF- este rezultatul unei reacii enzimatice controlat

de concentraia inhibitorului i de mrimea stimulului. Concentraia de TNF- controleaz, la

rndul ei, producia de inhibitor. Exist, n model, i termeni care corespund eliminrii de

TNF- i de inhibitor. Fa de modelele discutate mai sus apare i o modelare a fenomenului

de stimulare a produciei de TNF- de creterea concentraiei de TNF- (autocrinie).

Matematic vorbind, fenomenele de stimulare sau de inhibiie se modeleaz prin

nmuliri respectiv mpriri cu factori convenabili deci, ca proporionalitate i acest lucru este

natural avnd n vedere c avem de-a face cu cmpuri de vectori raionale n variabilele

sistemului. Iat sistemul de ecuaii (la care se adaug, evident, condiiile iniiale) cu notaia

autorilor:

v1

+

v1, v2, , , 1, 2, k2, d1, d2, n sunt constante (n numr natural).

O parte din filosofia acestui model a fost explicat mai sus, n rndurile dedicate reaciei

enzimatice. Astfel v1 reprezint ceea ce am numit vitez maxim (n cazul de fa viteza de

producere a TNF-); prezentat ca o constant v1 are, n model, i rolul de a ngloba efectul

stimulului extern. Este deci legtura sistemului TNF- - inhibitor cu exteriorul i se observ

c n lipsa stimulului (v1 = 0 ) termenul productor de TNF- este nul i, chiar dac

concentraia de TNF- este pozitiv, citokina va disprea n timp. Constanta are legtur cu

interaciunea dintre TNF- i inhibitor iar v2 este o vitez maxim legat de influena pe care

o are TNF- n producia de inhibitor. Nu vom continua discuia, foarte interesant de alfel,

asupra semnificaiei celorlalte constante din sistem i nici asupra intuiiei pe care matematica

implicat o reprezint. Numrul natural n se mai numete coeficient Hill i ar trebui

determinat experimental.

n articolul menionat se discut, din punctul de vedere al teoriei bifurcaiilor diferite

scenarii posibile n condiii diferite asupra stimulului etc.

Aa cum am menionat mai sus, problema identificrii parametrilor este de o

deosebit importan i pentru o corect identificare a parametrilor sunt necesare date

experimentale suficiente.

Modele stohastice

Se consider c, n sistemele mici n care mici variaii ale numrului de molecule

influeneaz sensibil evoluia sistemului, i innd seama de caracterul aleator al transformrii

sau al ciocnirii moleculelor, o modelare a cineticii reaciilor chimice, bazat pe teoria

probabilitilor ar fi mult mai adecvat. Vom prezenta o schi a unor asfel de modele,

existente n literatur, urmnd ca, pe parcursul desfurrii proiectului s aprofundm aceste

tehnici i s aplicm algoritmii de calcul existeni la problemele noastre concrete. Vom folosi

pentru expunere textele [12], [13].

Primul caz este acela al unei reacii de ordinul 0: A deci moleculele de tip A se

transform, aleator n molecule de tip B. Modelarea acestui fenomen este clasic i se bazeaz

pe considerarea unui proces stohastic ( X(t))t , n timp continuu i cu valori discrete, n care

variabila aleatoare X(t) reprezint numrul de molecule de tip A prezente la momentul t i fie

Px(t) = P( X(t) = x) (vom nota probabiliti cu P).

Se presupun urmtoarele condiii ndeplinite :

i) P( X(t + t) = x X(t) = x +1 ) = k(x + 1) t + o(t), n care k este constanta vitezei de reacie.

ii) P( X(t + t) = x -j X(t) = x +1 ) = o(t), dac j > 1. iii) P( X(t + t) = x + j X(t) = x +1 ) = 0, dac j 1. Se obine relaia:

Px(t + t) = k(x + 1)tPx+1(t) + (1 - kxt) Px(t) + o(t) (folosind regula probabilitii totale).

mprind cu t i trecnd la limit cnd t 0 obinem ecuaia master:

P

k(x + 1)Px+1(t) - kPx(t).

Trecerea de la acest tip de reacie simpl la reacii mai complicate nu prezint dificulti

conceptuale majore. De exemplu dac vom considera reacia de ordinul 1 A + B C va

trebui s considerm dou variabile aleatoare XA i XB care s reprezinte numrul de

molecule de tip A respectiv de tip B la momentul t i probabiliti condiionate care s

exprime trecerile de la stri x, y ale acestor variabile la stri x, y. Aceste probabiliti

condiionate se consider a fi proporionale cu numrul de perechi tip A, B de molecule i

invers proporionale cu volumul (constant) n care se petrece reacia [13].

Nu vom intra n detalii privind studiul ecuaiei master pe cazuri mai complicate.

Menionm c exist algoritmi de simulare pentru aceste modele stohastice ca, de exemplu,

algoritmul lui Gillespie descris n [13]. Ceea ce caracterizeaz algoritmul lui Gillespie este

introducerea probabilitilor P(, ) (aici P este o densitate de probabilitate) reprezentnd

probabilitatea ca n intervalul de timp s se produc o reacie de tip .

Iat un tabel de algoritmi stohastici, mpreun cu estimri ale performanelor acestora, aa

cum apare n [14]:

Table 1: Comparison of various stochastic algorithms

Algorithms Computational cost Modeling knowledge Speed Accuracy

Gillespie algorithms Very high Medium Slow Very high

Gibson algorithms High Medium Fast Very high

Stochsim High Medium Fast High

Tau-Leap methods Low High Very fast Medium

Spatial-temporal algorithms Extremely high Very high Very slow High

Parallel algorithms Low Medium Very fast Low

Hybrid algorithms Low High Very fast Medium

ncheiem aici aceast trecere n revist a modelrii matematice a cineticii reaciilor

chimice. Ne-am concentrat atenia asupra ecuaiilor Michaelis-Menten (i generalizrii

acestora) i asupra modelrii stohastice. Alte tipuri de modele ca, de exemplu, cele bazate pe

reele Petri, vor fi abordate n etape viitoare ale proiectului. Considerm mecanismul

Michaelis-Menten deosebit de important pentru nelegerea local a reelelor de citokine

care intervin n modelele de imunitate nnscut. De asemenea vor fi studiate i perturbaiile

aleatoare att la nivel local ct i la nivel global.

Bibliografie.

1. L.Michaelis and M.I.Menten Die Kinetik der Invertinwirkung.

Biochem.Z 49. 1913, 333-369.

2. D.T. Gillespie A rigorous derivation of the chemical master

equation. Physica A 188. 1992, 404-425.

3. S.Schnell, T.E.Turner Reaction in intracellular environenments with

macromolecular crowding: siumlations and rate

laws. Progess in Biophysics &

Molecular Biology. 85. 2004, 235-260.

4. R. Kopelman Fractal reaction kinetics.

Science. 241. 1988, 1620-1626.

5. Flondor, P , Vasilescu, C., Endotoxin tolerance in severe acute pancreatitis

Buttenschoen, K., Olteanu M and sepsis.

Amer J Surgery, 194, (Suppl.) ., 2007.

pg. 833-838.

6. P.W.Atkins Tratat de chimie fizic. Editura Tehnic. 1996.

7. J.D. Murray Mathematical Biology I: An introduction.

Springer 2002.

8. A. Goldbeter Biochemical oscilllations and Cellular Rhythms

Cambridge Univ.Press. 1996.

9. C. Bercia Studiul bifurcaiilor cu metode de analiz

complex i aplicaii n sisteme dinamice.

U.P.B 2007.

10. M.A. Savageau Michaelis-Menten mechanism reconsidered:

implications of Fractal kinetics.

J. Theor. Biol. 176, 1995, 115-124.

11. C.C.W. Chan, J. Stark, Analysis of cytokine dynamics in corneal

A.J.T. George allograft Rejection.

Proc. R. Soc. Lond. B 266, 1999, 2217-2223.

12. J. Kastner Modeling Enzyme Kinetics

http//etd.caltech.edu /J.Kastner.

13. R. Grima, S. Schnell Modelling reaction kinetics inside cells.

http//www.informatics.indiana.Edu/schnell/papers

14. T. C. Meng, S. Somani, Modeling and simulation of biological systems

Pawan Dhar with stochasticity.

In Silico Biology 4, 0024, 2004.

15. B. V. Gnedenko The Theory of Probability.

Mir Publisher. 1976.

16. M. Iosifescu Lanuri markov finite i aplicaii.

Ed.Tehnic. 1977.

17. M. Braun (ed.) Differential equation models.

Springer. 1983.