proprietati fizico-mecanice si caracteristici de calcul ... · plasa cel mult 5% din valorile...

Suport de curs BETON ARMAT I anul III/1

MIRCEA ALEXE 2016-2017 1

PROPRIETATI FIZICO-MECANICE SI CARACTERISTICI DE CALCUL ALE BETONULUI SI OTELULUI PROPRIETATI FIZICO-MECANICE SI CARACTERISTICI DE CALCUL ALE BETONULUI Marca şi clasa betonului Până în anul 1990 s-a utilizat pe larg noţiunea de "marcă", reprezentând valoarea în Kgf/cm2 a rezistenţei medii teoretice, prevăzută în reglementările tehnice, pentru o valoare normată a coeficientului de variaţie de 15%. În cazul în care fabricantul nu putea asigura valoarea coeficientului de variaţie (în general mai mare de 15%), era necesar ca rezistenţa pe cuburi să fie mai mare. Prin introducerea noţiunii de "clasă" a betonului, rezistenţa betonului este definită în mod riguros. Clasa betonului reprezintă valoarea în N/mm2(MPa) a rezistenţei caracteristice la compresiune, determinată pe cuburi păstrate în condiţii standard. Mărimea rezistenţei caracteristice este definită probabilistic ca valoarea sub care se pot plasa cel mult 5% din valorile rezistenţelor. Valorile reprezentând clasa betonului se notează cu "Bc", în timp ce valorile corespunzătoare mărcii se notează cu "B". Echivalenţa între clasă şi marcă este dată în tabelul de mai jos:



Clasele minime recomandate sunt: Bc 7,5 pentru elemente de rezistenţă din beton simplu (respectiv marca minimă B100) Bc 15 pentru elemente din beton armat (respectiv marcă minimă B200) Bc 25 - Bc 30 pentru elemente din beton precomprimat (respectiv marcă minimă B330- B400) Se menţionează că se consideră necesare a fi cunoscute ambele definiri - respectiv clasă şi marcă-având în vedere tradiţia inginerească pentru efectuarea unor calcule rapide şi predimensionări, precum şi înţelegerea unor elemente de calcul pentru studenţii facultăţilor de arhitectură, pentru care metoda de calcul la rupere este mai abordabilă şi cu rezultate satisfăcătoare. Proprietăţi fizico-mecanice Obţinut prin întărirea unui amestec de agregate naturale (nisip şi pietriş), apă şi ciment, betonul simplu se prezintă ca un material artificial cu o densitate de cca 2.400Kg/m3. Orientativ, pentru obţinerea unui m3 de beton, se utilizează 1,2 m3 agregate, 300-400 kg



ciment şi 120-200 l apă. Trecerea betonului din faza fluidă în faza solidă se face în două etape: priza şi întărirea. Priza începe la 4 ore de la amestecul cimentului cu apa, iar sfârşitul prizei este convenţional, când betonul poate suporta o anumită presiune. Întărirea betonului se realizează într-o perioadă relativ lungă, dar este important de reţinut că în primele 7 zile de la preparare se poate obţine 70% din rezistenţă. Rezistenţa proiectată se consideră, în mod convenţional, atinsă la 28 zile de la preparare; rezistenţa reală finală se atinge după trecerea unei perioade de ani, crescând cu 30%. În ceea ce priveşte epruvetele standard pe care se fac încercările pentru determinarea rezistenţei la compresiune, se menţionează următoarele categorii: cuburi cu latura de 140 mm şi 200 mm cilindri cu diametrul de 150 mm şi înălţimea de 300 mm prisme cu secţiune egală cu a cuburilor şi înălţimea egală cu de 3-4 ori latura secţiunii. La aceeaşi calitate de beton, rezistenţa obţinută pe cuburi este mai mare decât cea obţinută pe cilindri sau prisme. Rcil = ( 0,83÷0,9) Rcub

Rpr = 0,83 Rcub = Rcil

Modulul de elasticitate longitudinal al betonului la compresiune sau întindere se determină pe prisme încărcate la eforturi ce nu depăşesc 30% din rezistenţa la compresiune. Valorile modulului de elasticitate longitudinal Eb variază în raport cu clasa (marca) betonului; pentru clasa Bc 7,5 corespunde Eb = 140.000 Kgf/cm2, iar pentru clasa Bc 25 corespunde Eb = 400.000 Kgf/cm2. Pentru calcule rapide se poate utiliza relaţia: Eb = 16500 28R

Coeficientul de deformaţie transversală (Poisson) μ = 0,2

Modulul de elasticitate transversală: Gb = 0,4Eb = 12bE



Diagrama a - s la încercarea la compresiune monoaxială precum şi la cea de întindere monoaxială arată comportarea şi limitele rezistenţelor şi deformaţiilor specifice

Domeniul elastic, la solicitarea la compresiune, valorile caracteristice sunt: α = (0,4...0,5) R28 şi εe=0,5%0 (deformaţia specifică corespunzătoare sau scurtarea specifică). Modulul de elasticitate longitudinal este Eb = tg α. Comportarea betonului poate fi, deci, considerată liniară până la eforturi unitare ce nu depăşesc jumătate din rezistenţa betonului la compresiune. Peste acest domeniu, betonul fisurează, la început cu fisuri foarte fine, comportarea fiind neliniară. În general, pentru o deformaţie (scurtare) specifică sbo = 2o/oo se atinge rezistenţa la compresiune, iar rigiditatea betonului comprimat tinde spre zero. Creşterea deformaţiei specifice εbo peste valoarea de 2 o/oo se produce concomitent cu scăderea efortului ab, pe ramura descendentă a curbei. În final, se poate atinge o deformaţie specifică ultimă la compresiune sbu = 3.4 o/oo. La întindere, betonul fisurează pentru o deformaţie specifică εf = 0,1o/oo, deci de 20 ori mai mică decât deformaţia la compresiune εbo = 2o/oo. Rezistenţa la întindere corespunzătoare este, în general, ( 1/10 ÷1/20) R28compresiune. Fenomenul cel mai important îl reprezintă insă diferenţa mare între deformaţiile ultime de compresiune şi deformaţiile ultime de întindere, respectiv rezistenţa la compresiune şi rezistenţa la întindere, rapoartele Rt/Rc şi εt/εc fiind de 1/10÷÷1/20. Rezistenţa slabă la întindere (ca şi la solicitarea de forfecare) şi deformaţia mică asociată demonstrează faptul că betonul simplu nu poate fi utilizat în elemente structurale solicitate la încovoiere cu forţă tăietoare sau la compresiune excentrică. Betonul simplu (nearmat) poate fi utilizat în elemente solicitate preponderent la compresiune şi în elemente cu eforturi reduse la încovoiere (ziduri de sprijin de greutate,



drumuri etc.). În elementele în care, datorită stării de solicitare, apar eforturi de întindere, betonul se foloseşte în asociere cu oţelul, în două modalităţi: betonul armat - la care armăturile din oţel sunt dispuse în zonele întinse; betonul precomprimat - la care, prin intermediul armăturilor speciale se introduc eforturi iniţiale de compresiune, care anulează sau reduc eforturile de întindere. Variaţia în timp a proprietăţilor betonului O proprietate caracteristică betonului o constituie creşterea deformaţiilor în timp, sub încărcări constante, datorită proceselor fizico-chimice intrinseci; această proprietate poartă numele de curgere lentă a betonului şi se manifestă prin creşterea de până la 3 ori a deformaţiei instantanee (iniţiale) în decurs de 3 ani. Acest aspect trebuie avut în vedere la proiectarea structurilor din beton armat. Modulul de elasticitate longitudinal îşi reduce valoarea în timp

Em = 1/3 Einiţial

Rezistenţa la compresiune creşte însă în timp, conform relaţiei

Rm = (1,2 - 1,3) R28.

PROPRIETĂŢI FIZICO-MECANICE ŞI CARACTERISTICI DE CALCUL ALE ARMĂTURILOR DIN OŢEL Tipuri de armături Armăturile de oţel în elementele de beton armat sunt bare laminate la cald din oţeluri OB37 (netede), PC52 şi PC60 (profilate) şi sârme trefilate (STNB). Oţelul OB37 se livrează în colaci pentru diametrele 6-12 mm, în legături de bare drepte cu lungimea de max. 18m pentru diametrele 14-28 mm şi ca bare individuale pentru diametre mai mari decât 28mm. Oţelul OB37 are un conţinut redus de carbon. Se utilizează în special ca armătură constructivă şi de montaj, dar şi ca armătură de rezistenţă atunci când armarea se face la procentul minim prevăzut în reglementări. Oţelurile PC52 şi PC60 - au, de asemenea, conţinut redus de carbon dar şi adaosuri sau elemente de slabă aliere, care le măresc rezistenţa. Livrarea se face în aceleaşi condiţii cu cele menţionate pentru oţelul OB37. Oţelurile OB37, PC52 şi PC60 sunt oţeluri ductile ( cu capacitate de deformare în domeniul post- elastic), aspect deosebit de important în comportarea structurilor din beton armat la solicitări seismice. Astfel, oţelul OB37 are alungirea la rupere de 25%, iar oţelurile PC52 şi PC60 au alungirea la rupere de 20% şi respectiv 16% (alungirea la rupere măsurată pe probe supuse la întindere, având lungimea egală cu de 5 ori diametrul armăturii). Alte caracteristici mecanice principale sunt următoarele: Rezistenţa de rupere: 3.600Kgf/cm2 - OB37 5.100Kgf/cm2 - PC52 6.000Kgf/cm2 - PC60 Limita de curgere =



2.500... 2.850 Kgf/cm2 - OB37 3.500Kgf/cm2 - PC52 4.000Kgf/cm2 - PC60 Se menţionează că probabilitatea ca limita de curgere să se situeze sub valorile de mai sus este de 2,3%, deci gradul de asigurare este practic dublu faţă de cel al betonului. Oţelurile OB37, PC52, PC60 se sudează în condiţii bune pe şantier, dacă se respectă reglementările specifice. Deosebirea esenţială între oţelul OB37 (neted) şi oţelurile PC52 şi PC60 (profilate) constă în conlucrarea mult superioară cu betonul a oţelurilor profilate. Sârma trefilată pentru beton (STNB) este puternic ecruisată prin trecerea repetată prin filiere. Având suprafaţa foarte netedă, conlucrarea cu betonul se asigură utilizându-se plase sudate prin puncte. Sârma trefilată profilată (STPB) asigură prin profilare o conlucrare superioară cu betonul. Se menţionează că alungirea la rupere a armăturilor STNB şi STPB este mult redusă faţă de cea a oţelurilor laminate la cald, având valori de 6%...8%, motiv pentru care

utilizarea lor este permisă numai la elementele structurale care nu au rol semnificativ în dezvoltarea unor mecanisme de ce-dare în domeniul post-elastic. În ceea ce priveşte rezistenţa la rupere şi limita de curgere a acestor tipuri de armături, ele se situează între 4.000 Kgf/cm2 şi 6.000Kgf/cm2. Valorile privind caracteristicile mecanice ale oţelurilor pentru beton armat utilizate în România sunt prezentate în STAS 10.107/0-90.

Diametrul armăturii (mm)

6 8 10 12 14 16 20 22 25 28 32

Aria armăturii- cm2 (rotunjită)

0,28 0,5 0,8 1,1 1,5 2,0 3,1 3,8 5,0 6,2 8,0



Legea lui Hooke ( σ = Eε ) se aplică pentru ε < εp, unde εp este limita de proporţionalitate între eforturi şi deformaţii. Pentru deformaţii ε < εe , nu rezultă deformaţii remanente la descărcare. Valoarea maximă εu de 50 o/oo (5%) acceptată în calcule este evident inferioară alungirii la rupere obţinută pe epruvete (16%. 25%).



CALCULUL ELEMENTELOR DE BETON ARMAT LA SOLICITĂRI SIMPLE PRIN METODA

LA RUPERE

A) ÎNTINDERE CENTRICĂ. Solicitarea de întindere centrică pura nu exista în realitate datorita imperfecţiunilor barelor şi excentricităţii forţelor. Cu toate acestea există elemente structurale din beton armat la care solicitarea de întindere centrică este preponderentă, aceasta dimensionând elementul. Elementele structurale supuse preponderent la întindere sunt: - pereţii rezervoarelor; - barele întinse ale grinzilor cu zabrele; - tiranţii. Predimensionarea elementelor structurale din beton armat se realizează pentru una din următoarele situaţii: 1) Predimensionare din condiţia de siguranţă la rupere. În aceasta situaţie se acceptă ca betonul să lucreze fisurat. 2) Predimensionare din condiţia neadmiterii fisurării în exploatare. În aceasta situaţie nu se acceptă ca betonul să fie fisurat. CAZUL A1 Elementul de beton armat solicitat la întindere centrică la care se accepta ca betonul să lucreze fisurat. *Datorită fisurării betonului, acesta nu mai participă la preluarea nici unei părţi din forţa axială de întindere, întreaga forţă trebuind să fie preluată de armătură.

→Nr = Aaσc →N ≤ Nr/c = Aaσc/c unde :- N forţa axiala de exploatare normala - Nr forţa axiala de rupere - C coeficient de siguranţa (la solicitarea de întindere c=2) - σc efort unitar de curgere (limita de curgere pentru oţelul din armături)



CAZUL A2 Elementul de beton armat solicitat la întindere centrică la care nu se accepta ca betonul să lucreze fisurat. * Alungirea relativa maximă admisă, pentru ca betonul să nu fisureze este εb = 0.1/1000 * Datorită aderenţei perfecte dintre beton şi armaturi, alungirea relativă a betonului este egală cu alungirea relativă a armaturilor (εb=εa) → εb = εa = 0.1/1000 = σa/Ea = σa/2.1x106 → σa = εa Ea = 210kgf/cm2

→ Rt = 1/10 Rb Rezultă că efortul maxim dezvoltat în armătură, pentru ca betonul să nu fisureze, este σa= 210 kgf/cm2. → Nr = AbRb/10+210Aa → N ≤ Nr/c unde :- Ab aria de beton a secţiuni elementului - Aa suma ariilor armăturilor - Rb marca betonului

EXEMPLE DE CALCUL PENTRU ÎNTINDEREA CENTRICĂ

PROBLEMA 1:



Să se armeze un tirant din beton armat B300 cu secţiunea 30x30cm. (Rb= 300 kgf/cm2), care este solicitat cu o forţă axială N = 16tf. şi care se află într-un mediu umed şi coroziv. Armăturile se vor realiza din PC52 (σc = 3500 kgf/cm2) Tirantul se va predimensionare din condiţia neadmiterii fisurii în exploatare, deoarece tirantul lucrează într-un mediu coroziv. Nr = AbRb/10+210Aa N ≤ Nr/c → Nr = cN= 2x16 = 32tf = 32000kgf Ab = bxh = 30x30 = 900cm2. → Aa = (Nr-AbRb/10)/210 = (32000-900x300/10)/210 = 23.8cm2. → Aa,ef = 8φ20 = 8x3.14 = 25.12cm2.

PROBLEMA 2: Să se armeze un tirant din beton armat B300 cu secţiunea 25x30cm. (Rb = 300 kgf/cm2), care este solicitat cu o forţă axială N = 16tf. şi care se afla într-un mediu „curat”. Armăturile se vor realiza din PC52 (σc = 3500kgf/cm2) Tirantul se va predimensiona din condiţia admiterii fisurării în exploatare, deoarece tirantul lucrează într-un mediu fără coroziune. Nr = σc Aa N ≤ Nr/c → Nr = cN = 2x16 = 32tf = 32000kgf → A a= Nr/ σc = 32000/3500 = 9.14cm2. → Aa,ef = 6φ14 = 6x1.54 = 9.23cm2.

PROBLEMA 3: Să se armeze un tirant din beton armat cu secţiunea 30x30cm. (Rb= 300 kgf/cm2). (Rb = 300 kgf/cm2), care este solicitat de un arc cu deschiderea de 30 m şi săgeata de 8 m. încărcat cu o sarcina verticală uniform distribuită de 8tf/ml. Tirantul se afla în mediu umed şi coroziv.



Armăturile se vor realiza din PC52 (σc = 3500kgf/cm2)

Tirantul se va predimensiona din condiţia admiterii fisurării în exploatare, deoarece tirantul lucrează într-un mediu necoroziv. H = pl2/8f → H = 8x302/8x8 = 115tf. N = H = 115tf Nr = σc Aa N ≤ Nr/c → Nr = cN = 2x115 = 230tf → A a= Nr/ σc = 230000/3500 = 66cm2. → Aa,ef = 14φ25 = 14x5= 70cm2.

PROBLEMA 4: Să se determine forţă de întindere maximă pe care o poate prelua un tirant din beton armat B300 cu secţiunea 30x30cm. (Rb= 300 kgf/cm2), care este armat cu 8φ25 şi se află într-un mediu „curat”. Armaturile se vor realiza din PC52 (σc = 3500kgf/cm2) Tirantul se va predimensiona din condiţia admiterii fisurării în exploatare, deoarece tirantul lucrează într-un mediu fără coroziune. Nr = σc Aa N ≤ Nr/c Nr = σc Aa = 3500 x 40 = 140000 kgf Aa,ef = 8φ25 = 8x5 = 40 cm2. → Nr = N/c = 140000/2 = 70000kgf =70tf PROBLEMA 5:



Să se determine forţa de întindere maximă pe care o poate prelua un tirant din beton armat B300 cu secţiunea 30x30cm. (Rb= 300kgf/cm2), care este armat cu 8φ25 şi se află într-un mediu umed şi coroziv. Armăturile se vor realiza din PC52 (σc = 3500kgf/cm2) Tirantul se va predimensiona din condiţia neadmiterii fisurării în exploatare, deoarece tirantul lucrează într-un mediu coroziv. Nr = AbRb/10+210Aa Ab = bxh = 30x30 = 900 cm2. Aa,ef = 8φ25 = 8x5 = 40 cm2. N ≤ Nr/c → Nr = AbRb/10+210Aa =900 x 300/10 + 210 x 40 = = 35400kgf = 35.4tf. → N = Nr/c = 35.4 / 2 =17.7tf.

B) COMPRESIUNE CENTRICĂ. Solicitarea de compresiune centrică pură, la fel ca şi întinderea centrică, nu există în realitate datorită imperfecţiunilor barelor şi excentricităţii forţelor. Cu toate acestea exista elemente structurale din beton armat la care solicitarea de compresiunea centrică este preponderentă, aceasta dimensionând elementul. Elementele structurale supuse preponderent la compresiune sunt: - stâlpii; - arcele în coincidenţă; - barele comprimate ale grinzilor cu zabrele. Ruperea elementelor comprimate centric, din beton armat, are un caracter casant şi se realizează prin zdrobirea betonului şi expulzarea sa urmată de flambarea armăturilor longitudinale.



Predimensionarea secţiunii de beton a stâlpilor

k

RN

Ab

b

unde: k = 4 pentru stâlpii centrali; k = 5 pentru stâlpii de faţadă; k = 6 pentru stâlpii de colt. În cazul predimensionării secţiunii de beton a stâlpilor aflaţi în zone seismice puternice secţiunea obţinută conform formulei anterioare se majorează cu 40%. CAZUL B1 Element de beton armat solicitat la compresiune centrică la care se neglijează flambajul. *Flambajul se neglijează atunci când zvelteţea λ ≤ 14. λ = lf / b unde: lf este lungimea de flambaj b este dimensiunea minimă a secţiunii transversale. Lungimea de flambaj, în funcţie de tipul structurii şi de înălţimea liberă a stâlpului, ia următoarele valori :

lf = 0.7l pentru structuri cu planşee monolite; lf = 1.0l pentru structuri cu planşee prefabricate; lf = 1.2l pentru structuri tip hală parter.

→ Nr = 0.7AbRb+σcAa



→ N ≤ Nr/c unde :- Ab aria de beton a secţiuni elementului - Aa suma ariilor armaturilor - Rb marca betonului - c coeficient de siguranţă (c=2.0÷2.2) Rezistenţa betonului este corectată cu un coeficient egal cu 0.7 datorat următoarelor consideraţii: - rezistenţa betonului pentru piese lungi este caracterizată de rezistenţa pe prisma care este mai mică decât rezistenţa pe cuburi Rb (Rpr = 0.83 Rb); - rezistenţa betonului la încărcări de lungă durată este mai mică decât rezistenţa pe cuburi Rb; (Rld= 0.85 Rb). σb = 0.85x0.83x Rb= 0.7 Rb

CAZUL B2 Element de beton armat solicitat la compresiune centrică la care nu se neglijează flambajul. *Flambajul nu se neglijează atunci când zvelteţea λ > 14 şi se determină coeficientul de flambaj din tabelul următor.

λ 14 16 18 20 22 24 26 30

φ 1.00 0.89 0.80 0.77 0.67 0.62 0.57 0.50

→ Nr = 0.7AbRb+σcAa → N ≤ φNr/c

EXEMPLE DE CALCUL PENTRU COMPRESIUNE CENTRICĂ

PROBLEMA 6:



Să se armeze un stâlp din beton armat B300 cu secţiunea 30x30cm. (Rb= 300kgf/cm2), care este solicitat cu o forţă axială N = 120tf. Stâlpul face parte dintr-o structură cu planşee monolit şi are înălţimea H=3.00m. Armăturile se vor realiza din PC52 (σc = 3500kgf/cm2). λ = lf / b → λ = lf / b = 2.10 / 0.3 = 7 lf = 0.7 H = 0.7x3.00 = 2.10m. λ < 14 → neglijam flambajul Nr = 0.7AbRb+ σc Aa N ≤ Nr/c → Nr = cN= 2x120 = 240tf = 240000kgf Ab = bxh = 30x30 = 900cm2. → Aa = (Nr - 0.7AbRb) / σc = (240000 – 0.7x900x300)/3500

PROBLEMA 6: Sa se armeze un stâlp din beton armat B300 cu secţiunea 30x30cm. (Rb= 300kgf/cm2), care este solicitat cu o forţă axială N = 100tf. Stâlpul face parte dintr-o structură tip sală parter şi are înălţimea H=6.00m. Armaturile se vor realiza din PC52 (σc = 3500kgf/cm2). λ = lf / b → λ = lf / b = 7.20 / 0.3 = 24 lf = 1.2 H = 1.2x 6.00 = 7.20m. λ =24 → φ=0.62 Nr = 0.7AbRb+ σc Aa N ≤ φ Nr/c → Nr = cN/ φ = 2x100/0.62 = 322tf = 322000kgf Ab = bxh = 30x30 = 900cm2.

→ Aa =14.57cm2. → Aa,ef = 8φ16 = 8x2 = 16 cm2.



PROBLEMA 7: Să se determine forţa de compresiune centrică maximă ce poate fi preluată de un stâlp din beton armat B300 cu secţiunea 35x35cm. (Rb= 300kgf/cm2). Stâlpul face parte dintr-o structură multietajată cu planşee prefabricate şi are înalţimea H=5.00m. Stâlpul este armat cu 8φ20 din PC52 (σc = 3500kgf/cm2). λ = lf / b → λ = lf / b = 5.00 / 0.35 = 14 lf = 1.0 H = 1.0x 5.00 = 5.00m. λ =14 → φ=1 Nr = 0.7AbRb+ σc Aa = 0.7x 1225x300 + 3500x25.12 = 345170kgf N ≤ φ Nr/c → N = φ Nr/c = 1x345/2 = 172.5tf = 172500kgf Ab = bxh = 35x35 = 1225cm2. Aa,ef = 8φ20 = 8x3.14 = 25.12cm2.

→ Aa = (Nr - 0.7AbRb) / σc → Aa = (322000 – 0.7x900x300)/3500 = 38cm2. → A ef = 8φ25 = 8x5 = 40cm2



ÎNCOVOIERE PURĂ.

Solicitarea de încovoiere pură există în foarte puţine situaţii. Cu toate acestea există elemente structurale din beton armat la care solicitarea de încovoiere este preponderentă, aceasta dimensionând elementul.

Grinda prezentată în figura alăturată este solicitată la încovoiere pură în zona centrală. Ipoteze de lucru: - Secţiunea plană normală rămâne normală şi după deformare (ip. Bernoulli) - Aderenţa perfectă beton-armătura Ruperea elementelor încovoiate, din beton armat, poate avea caracter casant şi se realizează prin zdrobirea betonului sau caracter ductil şi se realizează prin curgerea armăturilor.

Notaţii: - h înălţimea grinzii - b lăţimea grinzii - h0 înălţimea utila - x înălţimea zonei comprimate

STADII DE FISURARE

1) Betonul întins nefisurat - Efortul de întindere este preluat de beton şi de armătura



2) Betonul întins fisurat şi betonul comprimat este în domeniul elastic. Domeniu de exploatare. Beton întins εt =0

Beton comprimat εb ≤ 0.5‰ σb ≤ 0.4Rb

3) Betonul întins fisurat şi betonul comprimat este în stadiul ultim. Stadiu de rupere. εb > 2‰ Condiţia de echilibru Cb=Ta.

→ Cub = 0.85Rbxb

→ T ua = Aaσc →

b

ca

bR85.0

AX

0h

x înălţimea relativă a zonei comprimate

o

a

B

c

bh

A

R85.0

→

B

c

R85.0p

0

a

bh

Ap procent de armare

Experimental s-a arătat că dacă ξ≤0.55 ruperea se produce casant prin beton.

→ c

blim

R45,0p

procent maxim de armare pentru care cedarea

elementului are caracter ductil.

M u = C u

bu

b z = T ua z

Ipoteze h0 = 0.9h si x = 0.3h M u = zAaσc= 0.75hAaσc



→ c

u

a h75.0

MA

- Dacă procentul de armare efectiv este mai mare decât procentul de armare maxim armează dublu

p> pmax

necesitatea armării duble, cu armătura comprimată la partea superioară sau mărirea secţiunii. Sporul de moment va fi: ΔM = Mu - M u

max

ΔM = ΔA σc(h0 – a) = ΔA σc ha M u

max = 1/3·bh 20 Rb reprezintă momentul maxim ce poate fi preluat de grindă cu armare numai

la partea inferioară, respectând condiţia ξ≤ξlim = 0.55 ΔA = ΔM/σc(h0 – a)

M u = z C ub = 0.85 b x Rb (ho -

2

x ) = b ho x (1 -2

) 0.85 Rb = = b 20h ξ (1 -

2

) 0.85 Rb = b 20h 0.55 (1

-2

55.0 ) 0.85 Rb 1/3 b 20h Rb

M umax 1/3 b 2

0h =2 W0 Rb reprezintă momentul maxim ce poate fi preluat de grindă cu armare numai la partea inferioară, respectând condiţia ξ ≤ ξlim = 0.55

c)Prevederi generale pentru predimensionarea grinzilor.

- Predimensionarea secţiunii grinzilor: *Grinda principala hgr = l/(8÷10) valorile se vor rotunji la multiplu de 50mm. bgr = hgr (1/3÷2/3) *Grinda secundară hgr = l/(10÷15) valorile se vor rotunji la multiplu de 50mm. bgr = hgr (1/3÷1/4)

Deschidere



[m]

Grinzi cu inimă plină monolite

<15

Grinzi cu inimă plină prefabricate

< 15 -18

Grinzi cu zăbrele 18 - 24

Arce 24 ….. 100

Experienţa de proiectare recomandă ca săgeţile să fie limitate la max. 1/10 din deschiderea arcelor circulare (uzual, se folosesc valori între 1/5 ... 1/8), iar pentru arce cu săgeţi mari (1/4 ... 1/2 din deschidere) forma parabolică este singura indicată.

Forma riglei

h

Cadre cu o deschidere

Cadre cu mai multe deschideri

Dreaptă l/10 ... l /12 l /12 ... l /16

Frântă, fără tirant

l /12 ... l /16 l /10 ... l /18

Frântă cu tirant

l /16 ... l /20 l /16 ... l /24

Curbă, fără tirant

l /18 ... l /24 l /18 ... l /30

Curbă, cu tirant

l /30 ... l /35 l /30 ... l/40

- Lăţimea secţiunii dreptunghiulare (b) este, de obicei, egală cu h/3 ... 2h/3; - Înălţimea secţiunii transversale a stâlpilor marginali, la cadrele cu un singur nivel, se ia egală cu aprox. 60% din înălţimea secţiunii riglei, iar pentru stâlpii centrali, cu 50% din înălţime secţiunii riglei; - Lăţimea secţiunii stâlpilor este, de obicei, egală cu lăţimea riglei.



- Predimensionarea armăturilor grinzilor: - Predimensionarea armăturii longitudinale: *diametru minim – 12mm. Pentru Pc52 si Pc60 *distanţa minimă între bare – d = 25mm. *distanta maximă între bare – d = 200mm. * Numărul minim de bare – 4 pentru secţiune patrulateră – 6 pentru secţiune circulară * Procente de armare – pmediu = (0.8 ÷ 2)% * acoperirea cu beton a armăturilor a = (10÷50)mm

EXEMPLE DE CALCUL PENTRU ÎNCOVOIERE PURĂ PROBLEMA 8: Să se armeze o grindă din beton armat B300 cu secţiunea 30x60cm. şi lungimea de 8m. (Rb= 300kgf/cm2), care este solicitată cu o forţă uniform distribuită pe toata lungimea q = 3tf/m. Armăturile se vor realiza din PC52 (σc = 3500kgf/cm2). Să se poziţioneze armătura.



Aa=c

u

h75.0

M

=

3500x60x75.0

100x1000x48 = 30.47cm2

→ Aa,ef = 6φ25 = 6x5 = 30 cm2.

PROBLEMA 9: Să se armeze o grindă din beton armat B300 cu secţiunea 30x60cm. şi lungimea de 6m. (Rb= 300kgf/cm2). Aceasta este solicitată cu o forţă concentrată în mijlocul deschiderii P = 12tf/m. Armăturile se vor realiza din PC52 (σc = 3500kgf/cm2). Să se poziţioneze armătura.

p= (Aa /bxh)100 = 1.66%

pmax ≤ 0.45c

bR

≤0.45

3500

300 ≤3.8%

pmin>0.2% pmin< p< pmax

armare corecta

Mmax = pl2/8 = 3x82/8 = 24tfm. Tmax = pl/2 = 3x8/2 = 12tf. M M 2 24 48 f



Aa=

c

u

h75.0

M

=

3500x60x75.0

100x1000x36 = 22.85cm2

→ Aa,ef = 6φ22 = 6 x 3.8 = 22.8 cm2. p= (Aa /bxh)100 = (22.8/60x30)100 = 1.266%

pmax ≤ 0.45c

bR

≤0.45

3500

300 ≤0.038=3.8%

PROBLEMA 10: Să se determine greutatea maximă ce poate fi atârnată de o consolă din beton armat B300 cu secţiunea 30x60cm. şi lungimea de 3m. (Rb= 300kgf/cm2). Armăturile se vor realiza


Rezulta armare corecta.

M = Pl/4 = 12x6/4 = 18tfm. T = P/2 = 12/2 = 6tf. Mu = cxM = 2x18 = 36tfm.



din PC52 (σc = 3500kgf/cm2) şi este realizată din 4φ25. Să se poziţioneze armătura. Se neglijează greutatea proprie a grinzii.

Mu = 0.75h Aa σc = 0.75x60x20x3500= 31.5tfm M = Mu/c = 31.5 x1000x100/2 = 15.75tfm M = Pl P = M/l = 15.75/3 = 5.25tf

PROBLEMA 11: Să se armeze o grindă din beton armat B300 cu secţiunea 25x60cm. şi lungimea de 8m. (Rb= 300kgf/cm2), care este solicitata cu o forţă uniform distribuită pe toata lungimea q = 7tf/m. Armăturile se vor realiza din PC52 (σc = 3500kgf/cm2). Să se poziţioneze armătura.

Mmax = pl2/8 = 7x82/8 = 56tfm. Mu = cxM = 2x56 = 112tfm.

2

c

u

a cm11,713500x60x75,0

100x1000x112

h75.0

MA

→ p= (Aa /bxh)100 = (71.11/60x25)100 = 4.7%

%8,3038,03500

30045,0

R45,p

c

bmax



pmin>0.2% pmin< p< pmax fals rezultă armare incorectă. necesară armarea dublă, cu armătura comprimată la partea superioară sau mărirea secţiunii. Sporul de moment va fi: ΔM = ΔA σc(h0 – a) ΔM = Mmax - Mu Mmax= 1/3·bh2Rb reprezintă momentul maxim ce poate fi preluat de grindă cu armare numai la partea inferioară, respectând condiţia ξ≤ξlim = 0.55 Mmax= 1/3x25 x602x250 = 75tfm. h0= h-a = 60-2.5 =57.5cm ha= h0-a =57.5-2.5 =55cm Aa,max =pmaxbh = 3.8%x60x25=57cm2 →ΔA = ΔM/σc(h0 – a)= (112-75)/3500x55=19.22cm2 →Aat = Aa,max + ΔA = 57+19.22 =76.22cm2 Aat,ef = 7φ32 = 7x8.04 = 60.95 cm2. Aac,nec = 4.13 cm2. → Aac,nec =3φ14 = 4.62 cm2.



ÎNCOVOIERE ŞI FORŢĂ TĂIETOARE. Solicitarea de încovoiere cu forţă tăietoare este situaţia întâlnită cel mai frecvent la grinzile de beton armat.

Grinda prezentata în figura alăturată este solicitată la încovoiere cu forţa tăietoare. Ipoteze de lucru: - Secţiunea plană normală rămâne normală şi după deformare (ip. Bernoulli) - Aderenţa perfecta beton-armatura Armarea longitudinală se va calcula pentru preluarea momentului încovoietor şi se va dimensiona conform capitolului anterior. Forţa tăietoare va fi preluata de beton, armaturi înclinate şi de etrieri în diferite proporţii. Forţa tăietoare preluată de beton conform STAS 10.107/0-90 este Qb.

i

tb S

pRbhQ

20

Qe =ΣAej σcae = (pe/100)bSiRat

Qi = ΣAik σci sin φ



Q = Qi + Qe + Qb unde: Q forţa tăietoare totala Qi forţa tăietoare preluata de armătura înclinată Qe forţa tăietoare preluata de etrieri Qb forţa tăietoare preluata de beton Si lungimea proiecţiei orizontale a fisurii P procent de armare al armăturii longitudinale Rt rezistenta betonului la întindere Aej aria secţiunii etrierului j Aik aria secţiunii armăturii înclinate k σcae limita de curgere a oţelului din etrierul j σci limita de curgere a oţelului din armatura înclinată Φ unghiul de înclinaţie al fisurii Dificultatea determinării ponderii contribuţiei fiecăruia dintre cele trei elemente la preluarea forţei tăietoare totale consta în necunoaşterea lungimii fisurii. În practica s-a constatat ca exista o fisură critică, fisură pentru care cedarea se face casant, exploziv. În cazurile mai complicate la care se doreşte o asigurare mai precisă este necesară verificarea mai multor secţiuni având înclinaţii diferite pentru a se determina înclinaţia critică pentru care suma forţelor tăietore preluate de beton, etrieri şi armături înclinate este minimă. Pentru aflarea forţei tăietoare minime se egalează derivata sumei cu 0 şi rezultă mărimea Si.

Si = 10 0ate

t hRp

Rp

Pe= 100ba

nA

e

ceaej

Cu valoarea acestei lungimi se poate afla fracţiunea din forţa tăietoare totala, din secţiunea considerată, preluată de beton, etrieri şi armături înclinate. Astfel se poate determina armătura necesară pentru forţa dată sau forţa capabilă pentru o armătură dată.



În calculul simplificat la forţa tăietoare se poate ignora contribuţia betonului în preluarea forţei tăietoare, iar armăturile înclinate pot lipsi sau nu. Acesta este un calcul aproximativ şi acoperitor. - Numai etrieri Tu = cT Tu = n nr Aae σcae unde: c coeficient de siguranţă n numărul de ramuri ale etrierilor nr = Z/t t distanţa între etrieri Z lungimea proiecţiei fisurii - Predimensionarea armăturii longitudinale: *diametru minim – 12mm. Pentru Pc52 si Pc60 *distanţa minimă între bare – d = 25mm. *distanta maximă între bare – d = 200mm. * Numărul minim de bare – 4 pentru secţiune patrulateră – 6 pentru secţiune circulară * Procente de armare – pmediu = (0.8 ÷ 2)% - Predimensionarea armăturii transversale: *diametru minim – 6mm. pentru h grindă <800mm. – 8mm. pentru h grindă >800mm. *diametru etrier – φetr = (1/4) φa *număr de laturi ale etrierilor – 2 pentru b grinda <400mm. – 4 pentru b grinda >400mm. * distanta între etrieri – d ≤ 100mm. – d ≤ h/4 – d ≤ 15 φetr

* Procente de armare transversală – ptotal ≥0.2 % EXEMPLE DE CALCUL PENTRU ÎNCOVOIERE ŞI FORŢĂ TĂIETOARE



PROBLEMA 12: Să se armeze o grindă din beton armat B300 cu secţiunea 25x50cm. şi lungimea de 6m. (Rb= 300kgf/cm2), care este solicitată cu o forţă uniform distribuită pe toată lungimea q = 6tf/m. Armăturile longitudinale se vor realiza din PC52 (σc = 3500kgf/cm2) iar armăturile transversale din OB37(σc = 2850kgf/cm2). Să se poziţioneze armătura.

Aa=c

u

h75.0

M

=

3500x50x75.0

100x1000x52 = 40cm2

→ Aa,ef = 8φ25 = 8x5 = 40 cm2. p= (Aa /bxh)100 = (40/50x25)100 = 3,2%

pmax ≤ 0.45c

bR

≤0.45

3500

300 ≤0.038=3.8%


Rezulta armare corecta.

M = pl2/8= 6x62/8 = 27tfm. Mu = cxM = 2x27 = 52tfm.

Aa=uM



→t = n Z Aae σcae/Tu = 2x37.5x0.785x2850/19800 = 8.47cm → Etrieri φ10/7.5 OB37 Armare transversala Etrieri şi armătura înclinată Se considera că forţa tăietoare ultima este preluată în mod egal de etrieri şi de armătura înclinată T = pl/2 = 3x6/2 = 9tf Tu = cT = 2.2x9.0 = 19.8tf. Tu,etr = 1/2Tu = 0.5x19.8 = 9.9tf. Tu,ai = 1/2Tu = 0.5x19.8 = 9.9tf. Propun: etrieri φ10 simpli (n = 2) → Aae = 0.785cm2

Z=0.75h = 0.75x50 = 37.5cm. OB37→ σc = 2850kgf/cm2 Tu,etr = n nr Aae σcae = n Z/t Aae σcae

→t = n Z Aae σcae/Tu,etr = 2x37.5x0.785x2850/9900 = 16,54cm → Etrieri φ10/15 OB37

Tbara = 2

2 Tu,ai forţa preluată de barele înclinate

Ai = Tbara/ σcae = 2

2 Tu,ai/ σcae = 2

2 9900/3500 = 4,00cm2

→ Armătura înclinată 2φ16 PC52

Armare transversala Numai etrieri T = pl/2 = 3x6/2 = 9tf Tu = cT = 2.2x9.0 = 19.8tf. Propun: etrieri φ10 simpli (n = 2) → Aae =



→ Ai,ef = 2x2.01 = 4.02cm2.

PROBLEMA 13: Grinda din beton armat B300 cu secţiunea 30x60cm. şi lungimea de 8m este armată transversal cu φ8/10 OB37(σc = 2850kgf/cm2). Să se determine forţa maximă P pentru grinda încărcată conform figurii de mai jos. Etrieri vor prelua întreaga forţa tăietoare. Să se poziţioneze armătura.

etrieri φ8 simpli (n = 2) → Aae = 0.5cm2



Z=0.75h = 0.75x60 = 45cm. OB37→ σc = 2850kgf/cm2 Tu = n nr Aae σcae = n Z/t Aae σcae Tu = 2x45/10x0.5x2850 = 12.82tf Tu = cT →T = Tu/2.2 = 5.82tf T = P/2 →P = 2T = 2 Tu/2.2 = 11.64tf. P = 11.64tf.

COMPRESIUNE EXCENTRICĂ Solicitarea de compresiune excentrică este situaţia întâlnită în cele mai frecvent la stâlpii de beton armat. Foarte important, în cazul de compresiune excentrică, este prezenţa forţei tăietoare care poate determina modul de cedare a stâlpilor. Zvelteţea stâlpului, se defineşte după cum urmează:

Stâlpii scurţi se vor evita deoarece la valori mari ale forţelor axiale şi forţelor tăietoare ruperea se face pe secţiune înclinată, brutal (clivaj exploziv).

λ0 = Het/bmax λ0 ≤ 2 Stâlpi scurţi 2 ≤λ0 ≤ 5 Stâlpi mijlocii λ0 > 5 Stâlpi lungi



Calculul stâlpilor la compresiune excentrică. Compresiunea excentrică este o solicitare compusă din forţă axială şi moment încovoietor. Această solicitare rezultă prin aplicarea excentrică a forţei de compresiune sau a unei forţe orizontale.

Σ Fx = Nu + T u

at - C uac -C u

bc = 0

Deoarece T uat = C u

ac = Aa σc Nu = C ubc = 0,85bxRb

bR_

= 0,85Rb Nu = C ubc = bx bR

_

σ0= bh

N u

= bRh

x _

valoarea efortului unitar din beton ca urmare a forţei axiale Nu

ξ = h

x Înălţimea relativă a zonei comprimate

σ0 = ξ bR_

Notăm cu s = ξ =

bR_0 Intensitatea relativă a compresiunii - fracţiunea din

rezistenţa betonului consumată pentru preluarea forţei de compresiune N



Sumă de momente faţă de centrul secţiunii

ΣM = Mext – M int = Nue - T uat 2

ah - C uac

2ah - C u

bc (2

h -2

x ) = 0

M u = Nue = C ubc (

2

h -2

x ) + 2 Aa σc 2ah

M u = Nue = 0,85bxRb (2

h -2

x ) + 2 Aa σc 2ah = bx bR

_

(2

h -2

x ) + 2 Aa σc 2ah

ha = 0,9 h

b

u

Rbh

M2

= h

x

2

h

x1 + 0,9

bh

Aa

b

c

R

b

u

Rbh

M2

= h

x

2

h

x1 + 0,9

bh

Aa

b

c

R

b

u

Rbh

M2

= 2

s s1 + 0,9 pb

c

R

Mo 1/6 b 2h bR M0 momentul izostatic (momentul capabil al unei secţiuni omogene cu

aceleaşi dimensiuni şi cu rezistenţă egala cu bR bR85,0

06M

M u

= 2

s s1 + 0,9 pb

c

R

Mu = bRbh

6

2

[3s(1-s) + b

c

R

p4,5 ] = M0(ma+mb)

Mu = M0(ma+mb) M0 momentul izostatic (momentul capabil al unei secţiuni omogene cu aceleaşi dimensiuni şi cu rezistenţă egala cu bb R85,0R

b

2

o R6

bhM

- ma = 5.4pσc/ bR contribuţia armăturii - mb = 3s(1-s) contribuţia betonului

- b

o

RS

intensitatea relativă a compresiuni

- b

a

A

Ap coeficientul de armare

- σ0 = Nu/bh efortul unitar în beton în stadiul ultim



Mu = M0(ma+mb) = b

2

R6

bh [3s(1-s) + b

c

R

p4,5 ]

Schema logică pentru calculului la compresiune excentrică

Calculul secţiunilor din beton armat de forma dreptunghiulara si armate simetric, solicitate la compresiune excentrica, cuprinde doua cazuri de baza:

1) DIMENSIONARE:

- Se dau: b, h, σc, Rb, Nu, M

- Se cere: Aa



SCHEMA LOGICA A SUCCESIUNII CALCULULUI

a) VERIFICARA:

- Se dau: b, h, Aa, σc, Rb, Nu

- Se cere: Mu

SCHEMA LOGICA A SUCCESIUNII CALCULULUI



EXEMPLE DE CALCUL PENTRU COMPRESIUNE EXCENTRICĂ PROBLEMA 14: Un stâlp din beton armat B300 cu secţiunea 60x60cm. este comprimat cu forţă N=250tf. ce acţionează la distanţa e=20cm faţă de axa longitudinala a elementului. Stâlpul este armat cu PC60 (σc = 4000kgf/cm2). Să se armeze stâlpul.

Mu = M0(ma+mb) →ma = Mu/ M0 - mb ma = 100x105/90x105 – 0.74 = 0.37 ma = 5.4pσc/ bR

→p = (ma/5.4) bR /σc

p = (0.37/5.4)x250/4000 = 0.0043 p coeficient de armare pe o latura Aa = pbh = 0.0043x60x60 = 15,5cm2

efaA = 3φ25 = 15cm2

Atot= 8φ25 = 40 cm2

Nu = cN = 2x250 = 500tf M = Ne = 250x0.2 = 50tfm Mu = cM = 2x50 = 100tfm

bR = 0.85Rb=250daN/cm2

M0 = b

2

R6

bh = 2506

60x60 2

= 90tfm

σ0 = Nu/bh =500000/60x60 = 138.88daN/cm2 s = σ0/ bR = 138.88/250 = 0.555

mb = 3s(1-s) = 3x0.555(1-0.555) mb =0.74



PROBLEMA 15: Un stâlp din beton armat B300 cu secţiunea 60x60cm. este comprimat cu forţa axială N=350tf. Stâlpul este armat cu 8φ20 PC52 (σc = 3500kgf/cm2). Să se determine excentricitatea maximă la care poate fi aplicată forţă N.


ALEXE MIRCEA 2016-2017

bR = 0.85Rb=250daN/cm2

M0 = b

2

R6

bh = 2506

60x60 2

= 90tfm

Nu = cN = 2x350 = 700tf σ0 = Nu/bh =700000/60x60 = 194.44daN/cm2 s = σ0/ bR = 194,44/250 = 0.777 mb = 3s(1-s) = 3x0.777(1-0.777) = 0.519 pe o latura avem 3φ20 PC52 adica Aa= 9.42cm2

p = b

a

A

A = 60x60

42.9 = 0.0026

ma = 5.4pσc/ bR = 5.4x0.0026x 3500/ 250 = 0.196 Mu = M0(ma+mb) = 90(0.196+0.519) =64.26tfm M = Mu/c = 64.26/2 = 32.13tfm M = Ne → N = M/e e = M/N = 32.13/350 = 0.09m = 9cm.

proprietati fizico-mecanice si caracteristici de calcul ... · plasa cel mult 5% din valorile...

Documents