operaciones frac deci

$: Operaciones frac deci$
Universidad Interamericana de Puerto RicoRecinto Metropolitano

Facultad de Ciencias y TecnologíaPropuesta LiNUS-MSP

Prof. Manuel Fernández

Fracciones y Decimales

Operaciones con Fracciones

Números fraccionarios

1. Fracciones2. Simplificación y ampliación de

fracciones3. Comparación y ordenación4. Operaciones con fracciones5. Operaciones combinadas

1º ESO | UNIDAD 05 | MATEMÁTICAS

1. Facciones

NÚMEROS FRACCIONARIOS


• Una fracción es el cociente entre dos números enteros a y b tales que b ≠ 0.El denominador b indica las partes iguales en que se divide la unidad.El numerador a indica las partes que se toman de las que se ha dividido la unidad.• Una fracción es propia si el numerador es menor que el denominador. Por ejemplo .

62

ba

1. Facciones



• Una fracción es impropia si el denominador es menor que el numerador. Por ejemplo .

• Dos fracciones son equivalentes cuando representan la misma cantidad. Las fracciones equivalentes cumplen que el producto de extremos es igual al producto de medios. es equivalente a a · d = b · c

69

ba

dc

2. Simplificación y ampliación de fracciones



• Fracción ampliadaSe multiplica el numerador y el denominador por un mismo número mayor que 1.

43

86

2 · 42 · 3

2. Simplificación y ampliación de fracciones



• Fracción simplificadaSe divide el numerador y el denominador entre un divisor común mayor que 1.

• Fracción irreducibleEs aquella en la que el máximo común divisor del numerador y denominador (m. c. d.) es 1, es decir, son primos entre sí.

43

2 : 82 : 6

86

3. Comparación y ordenación



• Reducir fracciones a común denominador consiste en hallar otras con el mismo denominador que sean equivalentes a las originales. Este denominador común será el mínimo común múltiplo de los denominadores.

• Para comparar fracciones se reducen a común denominador y se comparan los numeradores. Será mayor la que tenga mayor numerador.

1520

159

34

53 y153) , m.c.m.(5y

159

1520

3. Comparación y ordenación



• También se pueden comparar fracciones en la recta numérica. Dividimos la unidad en tantas partes iguales como indica el denominador y situamos la fracción en el punto que coincide con el número de partes que indica el numerador. La fracción mayor será la que quede situada a la derecha.

4. Operaciones con fracciones. Adición y sustracción



• Si tienen el mismo denominador, se suman o restan los numeradores y se mantiene el denominador común.

• Si tienen distinto denominador, se reducen a común denominador y después se suman o restan los denominadores y se mantiene el denominador común.

49

46

43

43

42

45

63

610

21

35

4. Operaciones con fracciones. Adición y sustracción



Las propiedades de la suma de fracciones son las siguientes:

Conmutativa

Asociativa

Elemento neutro

Elemento opuesto

32

41

41

32

32

45

31

32

45

31

34

10

34

10

30

35

35

4. Operaciones con fracciones. Multiplicación y división



• Al multiplicar dos fracciones, se obtiene otra fracción cuyo numerador es el producto de los numeradores y el denominador el producto de los denominadores. · = b

adc

d · bc · a

158

54

32




• Las propiedades de la multiplicación de fracciones son las siguientes:

Conmutativa

Asociativa

Elemento neutro

Elemento opuesto

Distributiva respecto a la suma o la resta

32 ·

41

41 ·

32

32 ·

21 ·

52

32 ·

21 ·

52

38

11 ·

38

11

2020

45 ·

54

21 ·

34

45 ·

34

21

45 ·

34




• Al dividir dos fracciones, se obtiene otra fracción cuyo numerador es el producto del numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda y el denominador es el producto del denominador de la primera fracción por el numerador de la segunda.

: =ba

dc

c · bd · a

1514

75:

32

4. Operaciones con fracciones. Potencias



• Para calcular la potencia de una fracción se multiplica la fracción por sí misma tantas veces como indique el exponente.

También se puede calcular elevando numerador y denominador al exponente al que está elevada la fracción.

veces nn

ba · ... ·

ba ·

ba

ba

n

nn

ba

ba

169

43

43

43

43

2

22

4. Operaciones con fracciones. Potencias



• Se pueden realizar las mismas operaciones con las potencias de fracciones que con las potencias de base entera:

Multiplicación de potencias de la misma base

División de potencias de la

misma base

Potencia de una potencia

qpqp

ba

ba · b

a

qpqp

ba

ba : b

a

q · pqp

ba

ba

7252

5

43

43

43 ·4

3

53838

21

21

21 : 2

1

62 · 3

23

53

53

53

5. Operaciones combinadas



Cuando se realizan varias operaciones con fracciones se debe seguir el siguiente orden:1.º Efectuar las operaciones entre paréntesis del más interno al más externo.

2.º Calcular las potencias y las raíces.

3.º Realizar las multiplicaciones y las divisiones de izquierda a derecha según el orden de aparición.

4.º Hallar las sumas y las restas de izquierda a derecha según el orden de aparición.

5. Operaciones combinadas



1617

4851

4848

4872

4827

11218

169

149

32

94:

41

149

32

32:

41

123

32

311:

21

2

222

·

·

·

Repaso

¿Habrá alguna otra forma de fracción equivalente al 5?

Si. Veamos:

¿Cuántas formas hay de escribir el 5 como fracción?

• Hay infinitas maneras de escribir el 5 como una fracción.

• Para buscar una fracción equivalente a 5, solo hay que buscar dos números tales que al dividirse se obtenga 5 como resultado.

10 ,2

15 ,3

20 ,4

5010

Una fracción (como 3/8) tiene dos números: Al número de arriba lo llamamos

Numerador, es el número de partes que tenemos.

Al número de abajo lo llamamos Denominador, es el número de partes en que hemos dividido el total.

Fracciones

Fracciones Propias: Son aquellas fracciones cuyo numerador es

menor que el denominador. Ejemplos: , , Fracciones Impropias: Son aquellas fracciones cuyo numerador es

mayor o igual que el denominador. Ejemplos: ,

Fracciones

Un número entero y una fracción propia juntos.

Ejemplo: 1 Para convertir un número mixto a fracción:

Se multiplica el entero por el denominador. A ese resultado se le suma el numerador. Este es el

numerador de la fracción. Se coloca el mismo denominador en la fracción.

Ejemplo: 3

Fracciones Mixtas

¿Por qué el denominador no puede ser cero?

La división por cero no está definida ya que no existe número alguno que se obtenga como resultado cuando se divide por cero.

Ejemplo: = 0 11 Todo número que se multiplica por 0 da 0.

Suma y Resta de Fracciones Homogéneas

811

2 + 5 – 3 + 6 – 2 = 11 11 11 11 11

Ejemplos de suma y resta de fracciones heterogéneas

2 + 3 = 3 4

1 - 2 = 5 15

3 . 4 12

2 . 4 + 3 . 3 = 8 + 9 = 17

12

5 . 151 . 15 - 2 . 5 = 15 - 10

75= 5

75

= 1

15

Multiplica los números de arriba (los numeradores).

Multiplica los números de abajo (los denominadores).

Simplifica la fracción.

Multiplicar Fracciones

Ejemplos de División de Fracciones

2 ÷ 3 = 3 7

5 ÷ 1 = 12 3

1

4

14 9

2 . 7 = 3 3

5 . 3 = 12 1

54

Operaciones con Decimales

Números decimales


1. Números decimales. Ordenación y representación

2. Tipos de números decimales3. Conversión de decimal a fracción4. Operaciones con números

decimales

1. Números decimales

NÚMEROS DECIMALES


Un número decimal se compone de dos partes (entera y decimal) separadas por una coma. Se lee primero la parte entera (a la izquierda de la coma) y después la decimal (a la derecha).

325,679 parte entera parte decimal

1. Números decimales

NÚMEROS DECIMALES


parte entera parte decimalcentenas decenas unidades décimas centésimas milésimas

UM C D U d c m dm

3 2 5 6 7 9

325,679

1. Números decimales. Representación

NÚMEROS DECIMALES


El número 2,36 es mayor que 2 unidades pero menor que 3, por lo que dividimos la unidad que contiene el número en diez partes iguales, es decir en décimas.

-1 0 1 2 2,3 3 2,4

1. Números decimales. Ordenación

NÚMEROS DECIMALES


Para ordenar, se compara cifra por cifra. 1,62 < 1,67

porque 2 centésimas < 7 centésimasOtra forma de comparar estos números es mediante su representación en una recta numérica.

2. Tipos de números decimales

NÚMEROS DECIMALES


3. Conversión de decimal a fracción

NÚMEROS DECIMALES


Los números decimales exactos se pueden expresar en forma de fracción de tal forma que:+ el numerador: el número decimal sin coma.+ el denominador: la unidad seguida de tantos ceros como decimales tenga el número.

10034242,3


NÚMEROS DECIMALES


Los números decimales periódicos puros se pueden expresar en forma de fracción de tal forma que:+ el numerador: la parte entera seguida del período menos la parte entera.+ el denominador: tantos nueves como cifras tenga el período.


NÚMEROS DECIMALES


Los números decimales periódicos mixtos se pueden expresar en forma de fracción de tal forma que:+ el numerador: la parte entera seguida del período y el antiperíodo, menos la parte entera seguida del antiperíodo.+ el denominador: tantos nueves como cifras tiene el período seguido de tantos ceros como cifras tiene el antiperíodo.

4. Operaciones con números decimales. Adición y sustracción

NÚMEROS DECIMALES


Se colocan los números en fila haciendo coincidir la coma decimal.

12,376 12,376 + 3,42 – 3,42 15,796 8,956

4. Operaciones con números decimales. Multiplicación

NÚMEROS DECIMALES


Se multiplican los números sin las comas, y después se añade al resultado la coma, teniendo en cuenta que el número de cifras decimales del resultado coincide con la suma de las cifras decimales de los números multiplicados. 3,95 x 2,3 1185 790 8,985

4. Operaciones con números decimales. Multiplicación

NÚMEROS DECIMALES


Para multiplicar un número decimal por una potencia de 10, se desplaza la coma a la derecha tantas cifras como ceros tenga la potencia de 10.

4,76 · 10 000 = 47600

4. Operaciones con números decimales. División

NÚMEROS DECIMALES


• Si el divisor es entero, ponemos la coma en el cociente cuando vamos a dividir la cifra de las décimas. 3,47 2 1 4 1,73 07 1 • Si el divisor es una potencia de 10 se traslada la coma tantos lugares a la izquierda como ceros tenga la potencia de 10.

34,7 : 1 000 = 0,0347

4. Operaciones con números decimales. División

NÚMEROS DECIMALES


• Si el divisor es decimal, multiplicamos el dividendo y el divisor por una potencia de 10 de manera que el divisor sea un número entero.

80 : 2,5 800 : 25 • Si el dividendo y el divisor son números decimales, multiplicamos el dividendo y el divisor por una potencia de 10 de manera que el divisor sea un número entero.

28,92: 27,2 289,2 : 272

4. Operaciones con números decimales. Raíz cuadrada

NÚMEROS DECIMALES


Raíz cuadrada: Se separan las cifras en grupos de 2 desde la coma hacia la izquierda en la parte entera y desde la coma hacia la derecha en la parte decimal, y al bajar la primera pareja de cifras decimales del radicando ponemos la coma decimal en el resultado.

Ejemplo de Suma de Decimales

4.5 + 3.12 + 0.56 + 2.008 =

4.500 3.120 0.560 + 2.008

10.188

Alinear lugares decimales

4.5 3.12 0.56 + 2.008

Colocar ceros en lugares decimales que faltan y luego sumar

Ejemplo de Resta de Decimales

45.60

- 13.84 31.76

45.6 - 13.84

Alinear lugares decimales Colocar ceros en lugares decimales que faltan y luego restar

45.6 - 13.84 =

Ejemplo de Multiplicación de Decimales

3 4 5 . 6 7 x 8 . 0 0 3


3 4 5 . 6 7 x 8 . 0 0 3 1 0 3 7 0 1 + 2 7 6 5 3 6 0 0 2 7 6 6 3 9 7 0 1

Se multiplica como si no hubieran lugares decimales.


3 4 5 . 6 7 x 8 . 0 0 3 1 0 3 7 0 1 + 2 7 6 5 3 6 0 0 2 7 6 6 3 9 7 0 1 .

Se cuentan los lugares decimales en los factores

El resultado tiene que tener el mismo total de lugares decimales

- - - - -

El punto decimal se colocaría aquí

Ejemplo de División de Decimales

4. Dividir

. 2 4 4 . 5 6 . 7 2 1 9 . 0 3 2 4 . 4 5 6 . 7 2 2 4 2 1 6 2 1 6 7 0 7 2 7 2 0

3. Subir el punto

1. Correr el punto decimal hasta que el divisor se convierta en entero

2. Correr el punto del dividendo la misma cantidad que se haya corrido en el divisor

Tecnología

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Fracciones





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Fracciones









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Enteros





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Herramientas tecnológicas




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