om 1 cursul 13

ORGANE DE MAŞINI 1 Cursul 13

101

Cursul nr.13

ANGRENAJE MELCATE CU MELC CILINDRIC.

Obiectivele cursului:

Prezentarea angrenajelor melcate cu melc cilindric (elemente geometrice, particularităţi

cinematice, materiale).

Calculul forţelor şi calculul de rezistenţă al angrenajelor melcate.

Metodologia de calcul a angrenajelor melcate.

Verificarea la încălzire a angrenajelor.

10.4 Angrenaje cu axe încrucişate

10.4.1 Angrenaje melcate cu melc cilindric

10.4.1.1 Terminologie. Simboluri. Relaţii geometrice.

Clasificarea melcilor se face în funcţie de posibilităţile desfăşurării în plan a flancurilor lor:

• melci reglaţi (suprafaţa flancurilor lor este generată de o linie dreaptă): ▪ arhimedic: ZA;

▪ evolventic: ZE;

▪ convoluţi: ZN1; ZN2.

• melci nereglaţi: ZK1; ZK2.

În figura 10.19 se pot urmări elementele geometrice ale angrenajelor melcate.

Fig.10.19 Elemente geometrice ale angrenajelor melcate

d2=dw2

dw1

ω2

ω1

γ

1'

px

π·d1

d1

df1

da1

dw1

df2 dw2=d2

da2 de2

a

c

d

≈100°

cilindru de referinţă

planul frontal median al roţii

2' 3'

1

2

3

ph

d1

b


102

Cilindrul de referinţă este un cilindru convenţional caracteristic melcului (de referinţă) considerat

izolat din angrenaj. Faţă de acest cilindru se definesc elementele danturii. În cazul melcului de referinţă,

cilindrul de referinţă joacă acelaşi rol ca şi linia de referinţă pentru cremaliera de referinţă. Dacă

angrenajul este fără deplasări de profil acest cilindru coincide cu cilindrul de divizare (sau rostogolire) al

melcului.

Diametrul cilindrului de referinţă al melcului:

qmd x 1 (10.137)

unde: mx – modulul axial (standardizat);

q – coeficientul diametral (standardizat);

dw1 – diametrul cilindrului de rostogolire (diametrul cilindrului de divizare (convenţional)) al

melcului;

d2 – diametrul cilindrului de divizare (rostogolire) al roţii melcate.

Observaţie: În STAS 13024-91 nu 2wd !! (este folosit peste tot d2) deoarece 22 wdd .

Cilindrul de divizare al melcului este tot un cilindru convenţional, tangent la cilindrul de divizare (de

fapt de rostogolire) al roţii şi este folosit pentru a avea o analogie cu roata (nu are acelaşi rol ca şi

cilindrul de divizare al unei roţi dinţate cilindrice cu dinţi înclinaţi). Având în vedere faptul că elementele

geometrice ale melcului se obţin referindu-ne la cilindrul de referinţă (ca la o cremalieră), iar cele ale roţii

melcate sunt cele cunoscute de la o roată dinţată cilindrică cu dinţi înclinaţi care are m = mx (datorită

încrucişării axelor) vom avea:

xqmd xw 21 (10.138)

22 zmd x (10.139)

221

qmhqmd xaxa ; (10.140)

xzmxhzmd xaxa 2222 222 (10.141)

5,222 *

1 qmchqmd xaxf (10.142)

xzmxchzmd xaxf 25,2222 2

**

22 (10.143)

2

6

1

22

z

mdd x

ae (10.144)

Pentru de2 există şi alte variante de calcul. După cum se vede melcul este întotdeauna fără deplasare de

profil, aceasta făcându-se doar asupra roţii melcate.

Considerăm un melc cu z1 începuturi (două în figura 10.19,c). Unghiul de înclinare al elicei directoare

pe cilindrul de referinţă se poate determina astfel:

q

z

qm

mz

qm

pz

d

p

x

x

x

xh 111

1

tan

(10.145)

Valorile coeficientului diametrul q sunt standardizate şi sunt grupate în funcţie de mx. În standard sunt

prevăzute valori preferenţiale ale lui q pentru un anumit mx.

Pentru prelucrarea unei roţi dinţate cilindrice sau conice scula prelucrătoare se alege în funcţie de

modulul roţii ce urmează a fi confecţionată. În schimb, pentru prelucrarea unei roţi melcate de un anumit

modul, trebuie aleasă o sculă la care trebuie ţinut cont şi de q (d1 = mx·q), adică, la un acelaşi modul,

pentru fiecare q trebuie o sculă diferită. Acest lucru este foarte costisitor şi, de aceea, gama valorilor lui q

se limitează pentru un anumit mx şi, din acest motiv, avem valori preferenţiale.

10.4.1.2 Particularităţi cinematice ale angrenajelor melcate

Funcţionarea unui angrenaj melcat precum şi sensul de rotaţie al roţii melcate se poate urmări în figura

10.19 (datorită încrucişării axelor sensul de înclinare al dinţilor pe roata melcată şi pe melc este acelaşi).

Raportul de transmitere al unui angrenaj este:

uz

zi

1

2

2

112 (10.146)

În cazul angrenajului melcat nu mai este valabilă relaţia u = d2/d1 ca şi în cazul angrenajelor cilindrice

sau conice. Un element cinematic important este viteza de alunecare, viteza cu care alunecă flancurile


103

dinţilor roţii melcate peste flancurile melcului. În figura 10.20,a este schiţa unui angrenaj melcat

reprezentat doar prin cilindrii de rostogolire (de divizare).

Punctul C de contact (la un moment dat) dintre cele două flancuri va avea viteza v1 (dacă îl considerăm

pe melc) şi viteza v2 (dacă el este pe roată). Direcţia vectorului viteză de alunecare val este cunoscută (de-

a lungul flancurilor). Din paralelogramul vitezelor ( 21 vvval ) avem:

w

w

w

al

ndvv

cos60000cos

111 (10.147)

unde dw1 – diametrul cilindrului de rostogolire al melcului, [mm].

n1 – turaţia melcului, [rot/min].

val – viteza de alunecare, [m/s].

Se consideră viteze periferice mari viteze v1>5 m/s. Se observă că val are valori mari (oricum mai mari

decât în cazul celorlalte angrenaje).

Fig.10.20

În figura 10.20,b este prezentat un model al alunecării flancurilor, modelul format din două pene. Se

observă că pentru o deplasare x a penei 1 (melcului) punctul A va descrie o lungime de alunecare oarecare

A1A2 = s > x. Cu cât această lungime este mai mare cu atât uzura este mai pronunţată. În cazul

angrenajului melcat, în plus, se manifestă şi condiţiile nefavorabile de ungere şi vom avea: uzură (mai

pronunţată decât în cazul altor angrenaje), tendinţe de gripaj, încălzire, randament scăzut (frecare mare).

10.4.1.3 Materiale

De toate cele de mai sus trebuie ţinut cont atunci când se aleg materialele şi tratamentele termice

pentru melc şi roata melcată. Melcul fiind un organ de maşină scump se vor folosi oţeluri cu rezistenţă

ridicată şi cu posibilităţi de tratament termic pentru durificarea suprafeţelor flancurilor (adesea nitrurare

sau cementare). Roata se va confecţiona din material antifricţiune, alegerea materialului făcându-se în

funcţie de viteza de alunecare. În tabelul 10.2 se prezintă materialul cel mai ieftin ce se poate alege pentru

viteza de alunecare respectivă.

Tabelul 10.2

Viteza de alunecare

val [m/s] Material minimal

≤1 fonte cenuşii

1…2 fonte cu grafit nodular

2…5 bronzuri fără staniu (sau cu conţinut mic de staniu), de exemplu cu aluminiu

≥5 bronzuri cu staniu

Atunci când se foloseşte bronzul, deoarece este un material scump, la diametre de peste 250 mm, se va

confecţiona doar coroana din bronz, iar butucul şi discul (spiţele) se vor confecţiona din fontă sau oţel.

Ancorarea coroanei pe discul roţii se face prin două metode:

C

dintele roţii

ω2

v1

γw

a b

A1

v2

v2

v1

v1

val

C

C

val

v2

x s

A A2


104

• Prin seraj (fig.10.21,a). Metoda este veche şi prezintă unele dezavantaje precum ar fi:

prelucrări pretenţioase;

necesitatea folosirii unor utilaje de presare;

la angrenajele pretenţioase se folosesc şi ştifturi de siguranţă împotriva patinării.

• Prin turnare directă pe disc (fig.10.21,b). Turnarea se face în cochilă. În figura 10.21,b se observă

canalele din disc care vor servi la transmiterea mişcării şi la eliminarea posibilităţilor patinării.

Fig.10.21

10.4.1.4 Forţele din angrenajele melcate

Pentru stabilirea forţelor în angrenajul melcat vom considera un angrenaj din care vom reţine doar

cilindrii de rostogolire (fig.10.22).

Fig.10.22 Forţele în angrenajul melcat

La fel ca la angrenajele cu roţi dinţate cilindrice cu dinţi înclinaţi, forţa normală asupra dintelui roţii se

găseşte în planul de angrenare. Scriind echilibrul dinamic al roţii, avem (ţinând cont de principiul al III-

lea al dinamicii):

1

2

22

2at F

d

TF

(10.148)

122 tan rxwtr FFF (10.149)

1

2

22022

coscos

2

coscoscosn

bxwbxw

t

b

n Fd

TFFF

(10.150)

X

X

a b

d2

dw1

ω2

T1 , ω1

O2

N2

βb βb F02

F02

αxw αxw

Fa2

Fa1 Fr1

Ft2

Fr2

Fn2

N2

N’2

O1

db2

Fa2 Ft1

b

b

B

B

B-B

Fr2

Fr1 ω1

T1

T2

C

C

plan de angrenare

γw


105

Deoarece melcul nu este altceva decât un şurub, plecând de la legătura dintre forţa tangenţială şi

sarcina axială, se poate scrie:

wat FF tan11 (10.151)

şi, ţinând cont de relaţiile: 21

21

ta

at

FF

FF

(10.152)

rezultă: wta FF tan22 (10.153)

Schema simplificată a forţelor este prezentată în figura 10.23.

10.4.1.5 Calculul angrenajelor melcate

Se face conform STAS 13024-91.

10.4.1.5.1 Calculul la presiune de contact

Pentru calculul la presiune de contact se pleacă de la relaţia lui Hertz

2

2

2

1

2

1 11

11

EE

L

F

nk

nH (10.154)

unde: bxw

Hefnn

d

CTFF

coscos

2

2

22 (10.155)

Conform notaţiilor din figura 10.24:

bbb

k ddAB

L

cos180cos180

2

2cos1

1

(10.156)

unde: χ – semiunghiul coroanei dinţate a roţii melcate.

ξ – coeficientul de variaţie a lungimii de contact (ia în considerare efectul imperfecţiunilor de

execuţie). Uzual ξ = 0,75.

εα – gradul de acoperire în planul frontal median. Se poate aprecia εα = 1,82.

xw

b

nnnn dCN

sin

cos211111

22

221

(10.157)

Doar pentru melcii convoluţi ZN1 şi ZN2, care au profil rectiliniu în planul normal, este valabilă relaţia

(10.157). Totuşi se poate accepta că pentru toate tipurile de melci:

1n (10.158)

Acest lucru se va corecta cu un factor de corecţie ZC care este factorul de influenţă a variaţiei razei de

curbură echivalente în procesul angrenării asupra solicitărilor de contact.

qzzxZC 008,00014,0005,001,06,0 21

Înlocuind în relaţia (10.154) rezultă:

d1

A B

χ χ

Fig.10.24

ω2

T1 , ω1

O2

Fa1

Fr1

Ft2

Fr2

O1

Fa2 Ft1

Fr2

Fr1

Fig.10.23 Schema simplificată a forţelor


106

2

21

2

2

2

2

1

2

1

2

2

2

1

2

1212

2

2180

cossin

cos2

11

1

11

1

sin

cos2cos180

coscos

2

dd

CT

EE

EE

ddd

CT

H

xwxw

b

xw

bb

bxw

HH

(10.159)

HpH

CHEHdd

CTZZZZ

2

21

22 (10.160)

În relaţia (10.160) s-a introdus factorul de corecţie ZC.

a) Calculul distanţei axiale

Pentru dimensionarea distanţei axiale se fac următoarele raţionamente:

2

2

2

2

2

2221xzqmzmxqmdd

a xxxw

w

(10.161)

de unde: xzq

am w

x

2

2

2

(10.162)

Avem: 32

2

2

32

2

32

212

8

xzq

zqazqmdd w

x

(10.163)

Înlocuind în relaţia (10.160) se obţine (la limită):

322

2

2222

22

42

Hp

CHEHnecw

zq

ZZZZCTxzqa

(10.164)

b) Calculul modulului axial

Înlocuind varianta corespunzătoare a relaţiei (10.163) în relaţia (10.160) se obţine (la limită):

322

2

2222

22

Hp

CHEHnecx

zq

ZZZZCTm

(10.165)

10.4.1.5.2 Calculul la încălzire a angrenajelor melcate

În figura 10.25 este prezentat un angrenaj melcat cu o treaptă.

Fig.10.25

de2

da1

Pm

O2

O1

a1

b c

aw

da1

10…15

10…15 10…15

10…15 10…15

>30


107

Premisa de la care se pleacă este aceea că răcirea este naturală (de exemplu printr-un sistem de răcire

cu serpentină). Transmisia trebuie să aibă o temperatură de regim „t” sub cea admisibilă. Cantitatea de

căldură rezultată prin frecare trebuie să fie egală cu cantitatea de căldură evacuată.

ef QQ (10.166)

Prin împărţire se poate trece la putere:

ef PP (10.167)

sau: 0

3 1101 ttSPm (10.168)

unde: Pm – puterea la arborele melcului, [kW];

η – randamentul reductorului (inclusiv randamentul lagărelor);

λ – coeficientul de transmitere a căldurii, [W/m2·ºC];

ψ – coeficient ce ţine seama de faptul că un anumit procent din căldura produsă este evacuată

prin fundaţie (ψ = 0,25);

S – suprafaţa liberă a carcasei, [m2];

t – temperatura băii de ulei, [ºC];

t0 – temperatura mediului ambiant, [ºC].

La limită când t = t0 (valoarea admisibilă se poate scrie:

0

3

1

101

tt

PS

a

m

(10.169)

Pe de altă parte S poate fi exprimată în funcţie de elementele geometrice ale angrenajului:

cbcabaS 11 22 (10.170)

Cotele a1, b şi c pot fi exprimate în raport cu aw. De exemplu:

04,022

121 ae

w

ddaa (10.171)

unde:

2

622

2

6

1

2

1

22z

xzmz

mdd x

xae (10.172)

21 qmd xa (10.173)

xzq

am w

x

2

2

2

(10.174)

Rezultă că wafa 11 . În mod similar se poate arăta că wafb 2 şi wafc 3 . Înlocuind în relaţia

(10.170) se obţine:

PaNaMS ww 2 (10.175)

unde M, N şi P sunt coeficienţi.

Corelând relaţiile (10.169) şi (10.175) se poate scrie:

0

32

1

101

tt

PPaNaM

a

mnecwnecw

(10.176)

Din relaţia (10.176) se obţine aw nec. Pentru reductoare cu mai multe trepte se aduc corecţii faţă de

această situaţie.

10.4.1.5.3 Calculul la încovoiere

Angrenajul echivalent al unui angrenaj melcat este un angrenaj cremalieră–roată dinţată cu dinţi

înclinaţi care se obţin din planul frontal median al angrenajului melcat, lăţimea roţii fiind obţinută prin

desfăşurarea danturii roţii melcate (lungime ce se corectează). Calculul de încovoiere (de fapt numai

verificarea) se face pentru roata dinţată echivalentă a roţii melcate deoarece atât datorită geometriei, cât şi

datorită materialului, ea este mai puţin rezistentă. Roata echivalentă cu dinţi drepţi a acestei roţi dinţate cu

dinţi înclinaţi are modulul egal cu modulul normal a roţii dinţate cu dinţi înclinaţi. Aplicând formula

(10.40) se obţine:


108

w

F

x

F

F

wxxx

FF

n

FFa

n

FtF

Yzqm

CT

Y

mqmzm

CTY

mdd

CTY

mb

CF

cos

11802

cos180

2

180

2

2

3

2

2

2

12

22

(10.177)

FpF

x

FF YYY

zqm

CT

2

3

22 (10.178)

unde Y – factorul de influenţă a lungimii minime de contact şi a gradului de acoperire frontal asupra

solicitării de încovoiere;

Yγ – factorul de influenţă a înclinării dinţilor asupra solicitării de încovoiere.

Factorul Ysa lipseşte datorită faptului că materialul este moale iar efectul de crestătură este neglijabil.

În expresiile lui CH şi CF în locul coeficienţilor KH şi KF apare factorul KT, factor ce ţine seama de

treapta de precizie a angrenajului melcat.

10.4.1.5.4 Metodologia de calcul a angrenajelor melcate

1. Datele de intrare: T2, n1, u.

2. Se aleg materialele pentru melc şi roată şi tratamentul termic pentru melc. Alegerea materialului

pentru roata melcată se face în funcţie de viteza de alunecare, care în această fază se calculează cu relaţia

empirică:

4321 101,4...7,3 Tnval [m/s] (10.179)

unde: n1 – turaţia melcului, [rot/min];

T2 – momentul de torsiune pe roată, [N·m].

Se calculează factorul ZE Se alege z1 în funcţie de raportul de transmitere (numărul mai mare de

începuturi determină creşterea randamentului). Se poate calcula şi alege apoi z2 (z2 = u·z1), ţinându-se cont

de următoarele observaţii:

din motive de execuţie şi de rezistenţă a dintelui la încovoiere: 27 ≤ z2 ≤80;

creşterea lui z2 determină scăderea rezistenţei la încovoiere.

Se alege q. Nu se cunoaşte mx şi de aceea q se va lua în funcţie de puterea P2 de pe arborele roţii

melcate (există recomandări în acest sens) sau se poate alege q=10 (valoarea cea mai frecventă în tabelul

STAS). Preliminar x se alege egal cu 0 (x=0).

3. Se determină σHp şi coeficientul CH.

4. Se determină factorii ZC, Z şi ZH (αxw ≈ 20º).

5. Se calculează aw nec atât din considerente de presiune de contact, cât şi din considerente termice. Se

alege valoarea cea mai mare.

6. Din relaţia:

2

2

2

221 xzqmdda xw

w

, considerând x = 0 se calculează necxm .

2

2

zq

am

necw

necx

(10.180)

7. Se alege din STAS valoarea lui mx cea mai apropriată şi se verifică dacă q a fost bine ales. Dacă nu

se modifică acest q şi se reiau punctele 2…7.

8. Se recalculează distanţa dintre axe de referinţă:

2

2zqma x (10.181)

9. Din standardul distanţelor axiale se alege distanţa dintre axe aw cea mai apropriată de valoarea dată

de relaţia (10.181).

10. Se calculează coeficientul deplasării de profil:

x

w

m

aax

(10.182)

şi se verifică condiţia: -1 ≤ x ≤ 1 (10.183)

Dacă această condiţie nu este respectată se alege alt q sau se modifică cu un dinte numărul de dinţi ai

roţii melcate (z2). În această situaţie se modifică raportul de transmitere iar această modificarea poate să


109

determine ieşirea lui u din limitele de eroare permise (standardizate). Dacă se modifică q şi/sau z2 se reiau

punctele 2…10.

11. Se face calculul complet al geometriei angrenajului melcat.

12. Se recalculează toţi factorii aproximaţi la început şi se calculează factorii de la solicitarea la

încovoiere.

13. Se face verificarea la presiune de contact.

14. Se face verificarea la încovoiere.

15. Se face verificarea termică.

10.5 Verificarea angrenajelor la încălzire

Conform relaţiilor deja cunoscute (10.166) şi (10.167) rezultă:

0

3 1101 ttSPm (10.184)

De unde se obţine: a

m ttS

Pt

0

3

1

101 (10.185)

Unde ta ≈ 70°C pentru transmisiile cu angrenaje conice sau cilindrice şi ta ≈ 80°C pentru cele melcate.

Limitarea temperaturii se face din următoarele considerente:

vâscozitatea uleiului scade cu creşterea temperaturii şi există pericolul apariţiei fenomenului de

întrerupere a peliculei de ulei.

viteza de oxidare a uleiului se dublează cu fiecare 10ºC peste 55ºC.

aditivii EP (extremă presiune) din uleiuri conţin sulf (S) care devine coroziv la anumite temperaturi

(peste 60º la piesele pe bază de crom (Cr) şi 80º la cele pe bază de fier (Fe)).

Dacă nu este realizată condiţia (10.185) se pot lua următoarele măsuri:

mărirea suprafeţei S prin nervurarea carcasei.

accelerarea schimbului de căldură (mărirea lui ) prin montarea unui ventilator.

alegerea unei soluţii de răcire forţată.

Bibliografie

[1] Pop, D., Tudose, L., Haragâş, S., - Organe de maşini. Training şi evaluare – Metoda open book, Ed.

Todesco, Cluj-Napoca, 2006.

[2] Roloff / Matek - Organe de Maşini, Vol II, capitolul 23, Ed. Matrix Rom, Bucureşti, 2008.

[3] Sucală, F., ş.a., - Organe de Maşini, Mecanisme şi Tribologie. Studii de caz, lucrarea 21, Ed.

Todesco, Cluj Napoca, 2008.

[4] Sucală,F., Bojan,Şt., - Mecanisme şi Organe de Maşini, Vol II, capitolul 15, Ed. Risoprint, Cluj-

Napoca 2006.

Test de autoevaluare 13

1. La angrenajele melcate cu melc cilindric este standardizat:

a) coeficientul diametral; b) modulul normal; c) modulul axial; d) numărul de începuturi.

2. Angrenajul echivalent al unui angrenaj melcat este un angrenaj:

a) cremalieră–roată dinţată cu dinţi înclinaţi; b) roţi dinţate cilindrice cu dinţi drepţi;

c) cremalieră–roată dinţată cu dinţi drepţi; d) roţi dinţate cilindrice cu dinţi înclinaţi.

3. Angrenajele melcate se dimensionează:

a) la presiune de contact; b) la încălzire;

c) la încovoiere; d) la presiune de contact şi la încălzire.

Răspunsuri corecte: 1 – a, c; 2 – a; 3 – d.

om 1 cursul 13

Documents