cursul 7 matematic a - anul iadrian.zalinescu/mat/slides 07.pdf · a. z alinescu (ia˘si) cursul 7...

Forme liniare, biliniare si patraticeCursul 7

Matematica - anul I

Facultatea de Informatica, UAIC

e-mail: [email protected]

web: https://profs.info.uaic.ro/~adrian.zalinescu

26 Noiembrie 2019

A. Zalinescu (Iasi) Cursul 7 26 Noiembrie 2019

[email protected]

https://profs.info.uaic.ro/~adrian.zalinescu

Cuprins

1 Forme liniare

2 Forme biliniare

3 Forme patratice


Forme liniare

Forme liniare

Definitie

Fie V un spatiu liniar.

• O aplicatie liniara f : V → � se numeste forma liniara sau functionala liniara.

• Spatiul liniar L(V ;�) al tuturor formelor liniare se numeste dualul lui V si senoteaza V ∗.

Propozitie

Fie V un spatiu liniar finit-dimensional. Atunci V ∗ este de asemeneafinit-dimensional si dimV ∗ = dimV .

Propozitie

Fie V un spatiu liniar finit-dimensional. Daca v ∈ V si v 6= 0, atunci existaf ∈ V ∗ astfel ıncat f (v) 6= 0.

Consecinta. Daca u, v ∈ V si u 6= v, atunci exista f ∈ V ∗ astfel ıncatf (u) 6= f (v).


Forme liniare

Hiperplanuri vectoriale

Definitie

Fie (V ,+, ·) un spatiu liniar. Un subspatiu W ⊆ V se numeste un hiperplan(vectorial) daca exista f ∈ V ∗ r {0V ∗} astfel ıncat ker f = W .

Propozitie

Daca V este un spatiu finit-dimensional cu dimV = n ∈ �∗, atunci un subspatiuliniar W ⊆ V este un hiperplan daca si numai daca dimW = n− 1.

Demonstratie

“⇒” Daca W = ker f pentru o functionala liniara f ∈ V ∗ r {0V ∗}, atunci, dinteorema dimensiunii,

dimW = dim(ker f ) = dimV − dim(Im f ) = n− 1,

deoarece f 6= 0V ∗ si astfel Im f = �.


Forme liniare

Demonstratie

“⇐” Reciproc, daca dimW = n− 1, atunci exista o baza B = {b1, . . . , bn−1, bn}a lui V astfel ıncat Lin{b1, . . . , bn−1} = W . Luand f : V → � definita de

f (α1b1 + · · ·+ αnbn) := αn

pentru α1, . . . , αn ∈ �, avem f 6= 0V ∗ si

f (b1) = · · · = f (bn−1) = 0,

ceea ce implica W ⊆ ker f (adica f (v) = 0, ∀v ∈ W ). Pe de alta parte, dinimplicatia directa, dim(ker f ) = n− 1 si deci W = ker f . �


Forme liniare

Fie (V ,+, ·) un spatiu liniar finit-dimensional si B = {b1, . . . , bn} o baza a lui V .

Daca W este un hiperplan cu W = ker f , unde f ∈ V ∗ r {0V ∗}, fieβ1 := f (b1), . . . , βn := f (bn). Atunci v ∈ ker f este caracterizata de ecuatia

(1) β1x1 + · · ·+ βnxn = 0,

unde x1, . . . , xn sunt coordonatele lui v ın baza B. Asadar

(2) W = {x1b1 + · · ·+ xnbn ∈ V | β1x1 + · · ·+ βnxn = 0} .

Reciproc, fiind dati β1, . . . , βn ∈ �, nu toti 0, submultimea lui V definita derelatia de mai sus este un hiperplan al lui V .

Se poate arata ca orice subspatiu liniar al lui V (nu numai hiperplanurile) potfi caracterizate de sisteme de ecuatii de forma (1).

Daca V = �n si B este o baza canonica, relatia (2) poate fi scrisa ca

W = {(x1, . . . , xn) ∈ �n | β1x1 + · · ·+ βnxn = 0} .

In cazurile particulare n = 2 si n = 3, ecuatia (1) caracterizeaza o dreapta(1-dimensionala), respectiv un plan (2-dimensional) ce trece prin origine.


Forme liniare

Functionale afine

Urmatoarea notiunie permite caracterizarea tuturor dreptelor (daca n = 2) siplanurilor (cand n = 3), nu neaparat a celor ce trec prin origine.

Definitie

Fie V un spatiu liniar. O functie f : V → � se numeste functionala afina dacaexista o functionala liniara f0 ∈ V ∗ si o constanta c ∈ � astfel ıncatf (v) = f0(v) + c , ∀v ∈ V .

Pentru o functionala afina f : V → � se poate defini nucleul ei ın acelasi mod capentru functionalele liniare, adica ker f := {v ∈ V | f (v) = 0}.

Definitie

Fie V un spatiu liniar. O submultime U ⊆ V se numeste hiperplan afin dacaexista o functionala afina neconstanta f : V → � astfel ıncat ker f = U.

Cu alte cuvinte, U este un hiperplan afin daca exista un hiperplan vectorialW si un vector v0 ∈ V astfel ıncat

U = W + v0 := {v + v0 | v ∈ W }.


Forme liniare

Daca V este finit-dimensional cu o baza B = {b1, b2, . . . , bn}, atuncihiperplanurile afine sunt date de submultimi de forma

U = {x1b1 + · · ·+ xnbn ∈ V | β1x1 + · · ·+ βnxn + c = 0} ,

unde c , β1, . . . , βn ∈ �.

In cazurile n = 2 si n = 3, hiperplanurile afine sunt dreptele, respectivplanurile.


Forme biliniare

Forme biliniare

Definitie

Fie V si W spatii liniare. O functie g : V ×W → � se numeste forma (aplicatie)biliniara pe V ×W daca sunt satisfacute urmatoarele conditii:

1 g(αu + βv, w) = αg(u, w) + βg(v, w), ∀α, β ∈ �, ∀u, v ∈ V , ∀w ∈ W ;

2 g(v, λw + µz) = λg(v, w) + µg(v, z), ∀λ, µ ∈ �, ∀v ∈ V , ∀w, z ∈ W .

In cazul W = V , o forma biliniara pe V × V se mai numeste forma (aplicatie)biliniara pe V .


Forme biliniare

1. Sa presupunem acum ca V si W sunt finit-dimensionale, cu bazeleB = {b1, . . . , bn} si B = {b1, . . . , bm} pe V , respectiv W .

Daca v ∈ V si w ∈ W au coordonatele ın bazele B, respectiv B, peα1, . . . , αn ∈ �, respectiv β1, . . . , βm ∈ �, atunci

g(v, w) = g

(n

∑i=1

αibi ,m

∑j=1

βj bj

)=

n

∑i=1

m

∑j=1

αi βjg(bi , bj ).

Scalarii aij := g(bi , bj ), 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m sunt numiti coeficientii formeibiliniare g ın raport cu bazele B si B;

matricea AgB,B

:= (aij ) 1≤i≤n1≤j≤m

ın Mnm se numeste matricea formei biliniare g

ın raport cu bazele B si B.


Forme biliniare

2. Daca B ′ = {b′1, . . . , b′n} este o alta baza a lui V si B ′ = {b′1, . . . , b′m} este oalta baza a lui W , sa notam S = (sij )1≤i ,j≤n ∈Mn matricea de trecere de la B laB ′ iar S = (sij )1≤i ,j≤m ∈Mm matricea de trecere de la B la B ′.

Atunci matricea lui g ın raport cu bazele B ′ si B ′ poate fi scrisa ca

AgB ′,B ′

= ST · AgB,B· S .

Se poate demonstra ca rangAgB ′,B ′

= rangAgB,B

, deci rangul matricei formei

biliniare g nu depinde de bazele considerate. Aceasta valoare comuna senumeste rangul lui g si este notata rang g .


Forme biliniare

Nucleul unei forme biliniare

Fixand w ∈ W , forma biliniara g : V ×W → � defineste o functionalaliniara fw : V → � prin

fw(v) := g(v, w), v ∈ V .

Lasand w sa varieze, aplicatia w 7→ fw defineste un operator liniarg ′ : W → V ∗.Intr-o maniera similara se poate defini un operator liniar g ′′ : V → W ∗ pring ′′(v) := hv, unde functionala liniara hv ∈ W ∗ este introdusa de

hv(w) := g(v, w), w ∈ V .Definitie

Fie g : V ×W → � o forma biliniara si operatorii liniari asociati g ′ : W → V ∗ sig ′′ : V → W ∗ introdusi mai sus.

• Subspatiul liniar ker g ′ ⊆ W se numeste nucleul drept al lui g .

• Subspatiul liniar ker g ′′ ⊆ V se numeste nucleul stang al lui g .

• Daca Ker(g ′) = {0W } si Ker(g ′′) = {0V }, atunci forma biliniara g senumeste nedegenerata.


Forme biliniare

Forme biliniare simetrice

Definitie

O forma biliniara g : V × V → � se numeste simetrica daca

g(u, v) = g(v, u), ∀u, v ∈ V ,

respectiv antisimetrica daca

g(u, v) = −g(v, u), ∀u, v ∈ V .

Propozitie

Fie g : V ×V → � o forma biliniara simetrica sau antisimetrica. Atunci nucleul eidrept coincide cu nucleul ei stang.

Pentru o forma liniara ca mai sus, nucleul stang (ce coincide cu cel drept) senumeste nucleul lui g si se noteaza ker g .


Forme biliniare

Teorema dimensiunii pentru forme biliniare

Propozitie

Fie V un spatiu liniar finit-dimensional si g : V × V → � o forma biliniarasimetrica. Atunci rang g + dim (ker g) = dimV .

Observatie. Datorita rezultatului de mai sus, o conditie necesara si suficienta cao forma biliniara simetrica sa fie nedegenerata este ca rang g = dimV .

Definitie

Fie g : V × V → � o forma biliniara simetrica.

• Doi vectori u, v ∈V se numesc ortogonali ın raport cu g daca g(u, v) = 0.

• Daca ∅ 6= U ⊆ V , spunem ca U este ortogonala ın raport cu g (saug -ortogonala) daca g(u, v) = 0 pentru orice vectori distincti u, v ∈ U.

• Daca ∅ 6= U ⊆ V , multimea U⊥g := {v ∈ V | g(u, v) = 0, ∀u ∈ U} e unsubspatiu liniar al lui V , numit suplimentul ortogonal al lui U ın raport cu g .

Observatie. Daca W este un subspatiu finit-dimensional al lui V cu {b1, . . . , bn}baza a lui W , atunci v ∈ W⊥g daca si numai daca g(bk , v) = 0, ∀k ∈ {1, . . . , n}.


Forme biliniare

Legea inertiei a lui Sylvester

Teorema

Fie (V ,+, ·) un spatiu liniar n-dimensional si g : V × V → � o forma biliniarasimetrica. Atunci exista p, q, r ∈ � astfel ıncat pentru orice baza g -ortogonala{b1, . . . , bn} a lui V , printre g(b1, b1), g(b2, b2), ..., g(bn, bn):

p reprezinta numarul de valori strict pozitive,

q reprezinta numarul de valori strict negative,

r reprezinta numarul de valori nule.

In plus,r = n− rang g .

Numerele p si q sunt numiti indicii de inertie pozitiva, respectiv negativa.

Tripletul (p, q, r) se numeste signatura lui g .

Evident, p + q + r = n (n = dimV ); mai mult, rang g = p + q = n− r .


Forme patratice

Forme patratice

Definitie

Fie V un spatiu liniar si g : V × V → � o forma biliniara simetrica. Functiah : V → �, definita de

h(v) := g(v, v), v ∈ V

se numeste forma (functionala) patratica asociata lui g .

Observatie. Deoareceh(u + v) = g(u + v, u + v) = g(u, u) + g(u, v) + g(v, u) + g(v, v) sig(u, v) = g(v, u), avem

h(u + v) = h(u) + 2g(u, v) + h(v), ∀u, v ∈ V .

Din aceasta formula putem deduce pe g daca-l cunoastem pe h:

g(u, v) =1

2[h(u + v)− h(u)− h(v)] , ∀u, v ∈ V

sau

g(u, v) =1

4[h(u + v)− h(u− v)] , ∀u, v ∈ V .


Forme patratice

Sa presupunem acum ca V este un spatiu liniar finit-dimensional siB = {b1, . . . , bn} o baza a lui V .

Fie AgB,B = (aij )1≤i ,j≤n matricea lui g ın raport cu B. Daca x1, . . . , xn ∈ �

sunt coeficientii unui vector v ∈ V ın raport cu B, atunci

h(v) = h(x1b1 + · · ·+ xnbn) =n

∑i=1

n

∑j=1

aijxixj .

Partea dreapta a acestei egalitati este un polinom omogen de gradul 2, numitpolinomul patratic asociat cu forma patratica h si bazei B.

Determinantul matricei simetrice AgB,B se numeste discriminantul lui h ın

raport cu B, iar semnul acestuia este invariant ın raport cu B.

Spunem ca h este o forma patratica nedegenerata daca g este o formabiliniara nedegenerata, adica discriminantul lui h este diferit de zero(rangAg

B,B = rang g = n). Altfel, spunem ca h este o forma patraticadegenerata.

Daca (p, q, r) este signatura lui g , o vom numi de asemenea signatura lui h.


Forme patratice

Forma redusa a unei forme biliniare

Definitie

Fie V un spatiu liniar finit-dimensional si h : V → V o forma patratica asociataunei forme biliniare g : V × V → �.

• Daca B este o baza a lui V astfel ıncat matricea lui g este diagonala, numimforma canonica (redusa) a lui h polinomul patratic asociat lui h si B.

• Forma canonica a lui h se numeste normala daca matricea diagonala a lui gare pe diagonala numai elementele 1, −1 si 0.

Daca B = {b1, . . . , bn} este o baza a lui V care da forma canonica

ω1x21 + ω2x

22 + · · ·+ ωnx

2n

lui h, atunci B ′ = {c1b1, . . . , cnbn} da o forma normala lui h, unde ci = 1 dacaωi = 0, ın timp ce ci =

1√|ωi |

daca ωi 6= 0, pentru 1 ≤ i ≤ n.


Forme patratice

Metoda lui Gauss

Teorema

Fie V un spatiu liniar n-dimensional si h : V → � o forma patratica. Atunciexista o baza {b1, . . . , bn} a lui V si ω1, . . . , ωn ∈ � astfel ıncat pentru oricex1, . . . , xn ∈ � sa avem

h(x1b1 + · · ·+ xnbn) = ω1x21 + ω2x

22 + · · ·+ ωnx

2n .

Observatii.

Polinomul patratic ω1x21 + ω2x

22 + · · ·+ ωnx

2n este forma redusa a lui h

(matricea lui g ın raport cu {b1, . . . , bn} este o matrice diagonala cu intrarileω1, . . . , ωn).

Daca signatura lui h este (p, q, r), atunci printre coeficientii ω1, . . . , ωn, psunt strict pozitivi, q sunt strict negativi, iar r sunt egali cu 0.


Forme patratice

Metoda lui Jacobi

Teorema

Fie V un spatiu liniar n-dimensional si h : V → � o forma patratica. Fie ∆i ,1 ≤ i ≤ n minorii principali ai matricei (aij )1≤i ,j≤n asociate lui h ın raport cu obaza a lui V , adica

∆i =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 . . . a1i

a21 . . . a2i...

...ai1 . . . aii

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ , 1 ≤ i ≤ n.

Daca ∆i 6= 0, ∀i ∈ {1, . . . , n}, atunci h poate fi redusa la forma canonica

µ1x21 + µ2x

22 + · · ·+ µnx

2n ,

unde µi =∆i−1

∆i, ∀i = {1, . . . , n}, cu ∆0 = 1.


Forme patratice

Definitie

Fie V un spatiu liniar n-dimensional si h : V → � o forma patratica cu signatura(p, q, r).

• Daca p = n, h se numeste forma patratica pozitiv-definita.

• Daca q = 0, forma patratica h se numeste pozitiv-semidefinita.

• Daca q = n, h se numeste forma patratica negativ-definita.

• Daca p = 0, forma patratica h se numeste negativ-semidefinita.

• Forma patratica h se numeste nedefinita daca p > 0 si q > 0.

Fie ∆i , 1 ≤ i ≤ n minorii principali ai matricei asociate lui h ın raport cu o baza alui V . Atunci h este pozitiv-definita daca si numai daca

∆i > 0, ∀i ∈ {1, . . . , n},

iar h este negativ-definita daca si numai daca

(−1)i∆i > 0, ∀i ∈ {1, . . . , n}.


Forme patratice

Metoda valorilor proprii

Teorema

Fie (V , 〈·, ·〉) un spatiu prehilbertian cu dimV = n si h : V → � o formapatratica. Atunci exista o baza ortonormala ın raport cu care h are forma canonica

λ1x21 + λ2x

22 + · · ·+ λnx

2n , x1, x2, . . . , xn ∈ �,

unde λ1, λ2, . . . , λn ∈ � sunt valorile proprii ale matricei asociate lui h ın raportcu orice baza a lui V .

Metoda demonstratiei este similara cu algoritmul de diagonalizare pentruoperatori liniari.


Forme patratice

Functionale patratice neomogene

Definitie

Fie V un spatiu liniar, h : V → � o forma patratica si f : V → � o functionalaafina. Suma h+ f se numeste functionala (forma) patratica neomogena pe V .

Daca V este finit-dimensional si B = {b1, . . . , bn} este o baza a lui V ,atunci pentru orice x1, . . . , xn ∈ �,

(3) (h+ f )(x1b1 + · · ·+ xnbn) =n

∑i=1

n

∑j=1

aijxixj +n

∑i=1

bixi + c ,

unde A = (aij )1≤i ,j≤n este matricea asociata lui h, b1, . . . , bn ∈ � si c ∈ �.

Termenul din dreapta acestei egalitati se numeste polinomul patratic asociatlui h+ f (acesta este un polinom de grad 2, nu necesar omogen).

Daca V = �n si B este baza sa canonica, atunci (3) poate fi privit ca

(h+ f )(x) = ρ(x) := 〈Ax, x〉+ 〈b, x〉+ c , ∀x ∈ �n

(unde vectorul x ∈ �n este interpretat ca matrice coloana pentru ınmultireacu A).


Forme patratice

Reciproc, pentru o matrice simetrica A ∈Mn, b ∈ �n si c ∈ �, functiaρ : V → � data de

ρ(x) := 〈Ax, x〉+ 〈b, x〉+ c , ∀x ∈ �n

defineste o functionala patratica neomogena pe V .

Mai mult, A poate fi nesimetrica, deoarece

〈Ax, x〉 =1

2〈Ax, x〉+ 1

2〈x,Ax〉

=1

2〈Ax, x〉+ 1

2〈ATx, x〉 =

⟨1

2

(A+ AT

)x, x

⟩,

asadar matricea A poate fi ınlocuita de matricea simetrica 12 (A+ AT).


Forme patratice

Forma normala a unei functionale patratice neomogene

Sa consideram acum o schimbare afina de coordonate, adica o transformare deforma

x′ = Sx + x0,

unde S ∈Mn este o matrice nesingulara si x0 ∈ �n.Se poate arata ca exista o astfel de schimbare, cu S matrice ortonormala(S−1 = ST) astfel ıncat ρ are forma:

ρ(x) =n

∑i=1

λi (x′i )

2 + c0, ∀x ∈ �n,

daca detA 6= 0.

ρ(x) =n−r∑i=1

λi (x′i )

2 + γx ′n−r+1, ∀x ∈ �n,

daca detA = 0 si (p, q, r) este signatura lui h (deci r > 0, iar n− r esterangul lui A).


Forme patratice

Clasificare geometrica

Dintr-un punct de vedere geometric,

ker ρ := {x ∈ �n | ρ(x) = 0}

reprezinta o conica ın cazul n = 2, o cuadrica ın cazul n = 3, respectiv ohipercuadrica daca n ≥ 4.

1. Cazul n = 1: formele normale ale ρ sunt:

x2 + 1 (ker ρ = ∅: doua puncte “imaginare”);

x2 − 1 (ker ρ = {−1, 1}: doua puncte distincte);

x2 (ker ρ = {0}: doua puncte identice).


Forme patratice

2. Cazul n = 2: noua tipuri de conice, dupa forma normala a lui ρ:

x21 + x2

2 + 1 = 0 (∅: elipsa “imaginara”);

x21 − x2

2 + 1 = 0 (hiperbola);

x21 + x2

2 − 1 = 0 (elipsa);

x21 − x2 = 0 (parabola);

x21 + x2

2 = 0 (un punct: doua drepte “imaginare”, conjugate);

x21 − x2

2 = 0 (doua drepte ce se intersecteaza);

x21 + 1 = 0 (∅: doua drepte “imaginare”);

x21 − 1 = 0 (doua drepte paralele);

x21 = 0 (doua drepte identice).


Forme patratice


Forme patratice

3. Cazul n = 3: avem 17 tipuri de cuadrice, caracterizate de urmatoarele formenormale:

x21 + x2

2 + x23 + 1 = 0 (elipsoid “imaginar”);

x21 + x2

2 + x23 − 1 = 0 (elipsoid);


Forme patratice

x21 + x2

2 − x23 − 1 = 0 (hiperboloid cu o panza);

x21 − x2

2 − x23 − 1 = 0 (hiperboloid cu doua panze);


Forme patratice

x21 + x2

2 + x23 = 0 (un punct: con “imaginar”);

x21 + x2

2 − x23 = 0 (con);


Forme patratice

x21 + x2

2 − x3 = 0 (paraboloid eliptic);

x21 − x2

2 − x3 = 0 (paraboloid hiperbolic).


Forme patratice

Celelalte 9 forme normale ramase sunt aceleasi ca ın cazul n = 2, care ın �3

reprezinta cilindri de diferite tipuri: eliptic, hiperbolic sau parabolic.

Primele 6 cuadrice sunt cuadrice nesingulare, ın timp ce celelalte sunt cuadricesingulare.


Forme patratice

M. Ariciuc, S. Roatesi, Lectii de algebra liniara si geometrie analitica, EdituraMatrix Rom, Bucuresti, 2008.

K. C. Border, More than you wanted to know about quadratic forms, Caltech,2016.

K. Conrad, Bilinear Forms, Notes on Advanced Linear Algebra, 2015.

C. Costinescu, Algebra liniara si aplicatii ın geometrie, Editura Matrix Rom,Bucuresti, 2005.

D. Draghici, Algebra, Editura Didactica si Pedagogica, Bucuresti, 1972.

G. Galbura, F. Rado, Geometrie, Ed. Didactica si Pedag., Bucuresti, 1979.

M. Neagu, Geometria curbelor si suprafetelor. Teorie si aplicatii, EdituraMatrix Rom, Bucuresti, 2013.

P. Ott, Bilinear and Quadratic Forms, Prof. Robert Beezer’s Notes onAdvanced Linear Algebra, 2014.

I. Radomir, Elemente de algebra vectoriala, geometrie si calcul diferential,Editura Albastra, Cluj-Napoca, 2000.


cursul 7 matematic a - anul iadrian.zalinescu/mat/slides 07.pdf · a. z alinescu (ia˘si) cursul 7...

Documents