108

NUMĂRUL DE AUR. APLICAŢII DIN TRIGONOMETRIE, GEOMETRIE PLANĂ

ŞI ANALIZĂ MATEMATICĂ

Locotenent-colonel lector univ.dr. ing. Garibald POPESCU Academia de Poliţie „Alexandru Ioan Cuza”, Facultatea de Pompieri

Sublocotenent ing. Liviu SBORA Inspectoratul pentru Situaţii de Urgenţă „Oltenia” al Judeţului Dolj

Student fruntaş Marius VINTILĂ Academia de Poliţie „Alexandru Ioan Cuza”, Facultatea de Pompieri

Rezumat

În articol, se prezintă unele elemente referitoare la istoria numărului ϕ , asocierea lui cu anumite discipline. Se emit o serie de aplicaţii în algebră, analiză matematică, geometrie plană, trigonometrie. Acest număr este evocat şi de Leonardo da Vinci, în scrierile sale.

1. Scurtă istorie a numărului ϕ

Numărul de aur notat în literatura de specialitate cu ϕ , admite valoarea numerică

aproximativ 1,618 şi reprezintă prescurtarea numelui lui Fidias, considerat creator de armonie, frumos, echilibru şi proporţionalitate a formelor controlate de legea acestui număr.

Armonia universală reprezintă o sumă de forme din lumea animală, vegetală sau a obiectelor din realitatea obiectivă, la baza cărora stau legi de dezvoltare şi principii matematice de alcătuire.

Numărul de aur este demonstrat ştiinţific şi exprimă printre altele, legi de creştere a: plantelor, animalelor etc.

Acesta se regăseşte în mediul ambiant/natură şi se identifică în poziţia frunzelor pe lujeri, în dezvoltarea oaselor la om, la unele animale, a cochiliilor de melci şi scoici etc.

Numărul pus în discuţie, determină o anumită arhitectură, prin utilizarea sa optimizată, asigurând echilibrul volumelor şi proporţiilor părţilor componente ale unui ansamblu constructiv.

Egiptenii au utilizat numărul de aur la construcţia piramidelor; aceştia considerau că înţeleg „efectul de piramidă” prin care se conservă viaţa, construind piramidele ca morminte ale faraonilor, mumiile acestora, fiind aşezate la 1/3 de bază, unde efectul de piramidă se considera ca fiind maxim.

Raportat la geometria plană, punctul M realizează pe segmentul AB o „secţiune de aur”; această denumire este atribuită lui Leonardo da Vinci.

Acesta a adus argumente în favoarea acestei teorii, printr-o serie de exemple observate din proporţiile diferitelor zone ale corpului omenesc şi din arhitectură, afirmând că forma armonioasă a corpului uman se explică prin prezenţa acestui raport între diferitele părţi ale sale, fiind de părere că „secţiunea de aur” reprezintă „canonul” după care trebuie să se stabilească proporţiile între diferitele părţi ale aceleiaşi clădiri, dintre volumul construit şi cel rămas liber etc.

109

Aceeaşi secţiune a fost denumită de către Fra Luca Pacioli di Borgo, „divina proportione”, iar de către arhitectul Le Corbusier, „modulor”.

În secolul al XIX-lea, psihologul G. Th. Fechner a prezentat unui eşantion mare de populaţie, o serie de dreptunghiuri cu dimensiuni diferite şi pătrate, cerând să fie alese acelea care au forma cea mai plăcută; majoritatea preferinţelor au fost îndreptate către dreptunghiurile care aveau dimensiunile laturilor în „raportul de aur”.

2. Numărul de aur, lege a lumii vii

Fenomenul biologic denumit „ fillotaxis” constă în modul de dispunere a frunzelor de-a lungul

ramurilor, în cazul unor specii de plante precum şi modul în care sunt dispuse petalele florilor, aceasta, fiind în strânsă legătură cu legea creşterilor organice; această lege are ca suport matematic şirul lui L. Fibonnaci.

Fiecare termen se află prin însumarea a doi termeni consecutivi, iar raportul dintre doi termeni consecutivi se apropie de valoarea lui ϕ , pe măsură ce numărul de termeni ai şirului creşte.

Legea creşterilor organice prin intermediul „raportului de aur” se întâlneşte în spirala evoluţiei lumii vii şi în spirala evoluţiei Universului.

3. Elemente de geometrie în spaţiu. Asocierea cu numărul ϕ

Raportul de aur a preocupat, în mod constant, generaţii întregi de matematicieni, filosofi şi

arhitecţi. Dintre cele şapte minuni ale lumii, cel puţin două îşi datorează celebritatea raportului de aur:

statuia lui Zeus din Olimp şi piramida lui Keops. Urmare a unei călătorii în Egipt, Herodot află că „…aria feţei laterale a unei piramide

patrulatere este egală cu aria pătratului construit pe înălţimea sa”. De asemenea, unghiul diedru format de o faţă laterală cu baza piramidei este de aproximativ

52 de grade (mai exact 51 de grade şi 50 de minute). În acest sens, este important de menţionat faptul că, cristalul de cuarţ, care a luat naştere în

condiţii de presiune şi temperatură foarte mare, implică creşterea după o spirală în care apar atât unghiul de 52 de grade cât şi „raportul de aur “.

4. Elemente de algebră. Asocierea cu numărul ϕ

Numărul de aur, notat cu ϕ , se determină din ecuaţia corespunzătoare relaţiei: 11 += ϕϕ , (1) sau ϕϕ +=12 , (2) care admite soluţiile: ( ) 2/512,1 ±=ϕ , (3) de unde se acceptă doar valoarea 0>ϕ , respectiv: ϕ = (l + 5 )/2 = 1,6180339... , (4) denumit „ numărul de aur”. Se observă că :

1...618,0...618,12

152

151=⋅=

−⋅

+=⋅

ϕϕ . (5)

110

3. Elemente de geometrie plană. Asocierea cu numărul ϕ

Interpretarea geometrică a numărului ϕ constă în împărţirea unei drepte în două segmente, conform cu figura l.

A M B

Figura 1- Împărţirea unei drepte în două segmente

„Raportul de aur” implică determinarea pe un segment AB, a poziţiei unui punct M, MBAM > , astfel încât să fie îndeplinită relaţia:

618,1=== ϕAMAB

MBAM . (6)

4. Elemente de analiză matematică. Asocierea cu numărul ϕ

Forme ale şirului lui Fibonacci Importanţa număruluiϕ a impus conexiunea acestuia cu o serie de discipline, aşa cum este

de exemplu, analiza matematică. Se consideră în acest sens, şirul: 11 =f , 12 =f , 11 −+ += nnn fff , 2)( ≥∀ n (7) care poartă numele de şirul lui L. Fibonacci (1170...1240).

O altă formă a acestui şir este: ,1,1 21 == ff 21 −− += nnn fff , 3)( ≥∀ (8) Acesta a obţinut, în jurul anului 1200, prin calcule, pentru π , valoarea 3,1418. Pentru 2)( ≥∀ n , termenul general, în forma explicită, admite expresia:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⋅=

nn

nf2

512

5155 , *)( Nn∈∀ , (9)

care se poate demonstra prin inducţie matematică după n sau cu ecuaţia caracteristică. Relaţia (9) este demonstrată la aplicaţia 1.

5. Proprietăţi ale şirului lui Fibonacci

În acelaşi, context termenii şirului, definit anterior, admit proprietăţile (fără demonstraţie):

1... 221 −=+++ +nn ffff , *)( Nn∈∀ (10) 43 23 −− ⋅+⋅= nnn fff , 5)( ≥∀ n (11) n

nnn fff )1(211 −+=⋅ +− , 2)( ≥∀ n (12)

122

22

1 ... +⋅=+++ nnn fffff , 1)( ≥∀ n (13) nn ffff 21231 ... =+++ − , 1)( ≥∀ n (14) 1... 12242 −=+++ +nn ffff , 0)( ≥∀ n (15)

111

12

432 )1()1(... −⋅−=⋅−+++− nn

n fffff , 2)( ≥∀ n (16) 022

12 =−− + nnn fff , 0)( ≥∀ n (17) 012

21

2 =−+ ++ nnn fff , 0)( ≥∀ n (18) 12

22 )1( ++− −=−⋅ n

nnn fff , 0)( ≥∀ n (19) n

nnnn ffff )1(22211 −⋅=⋅−⋅ +−+− , 2)( ≥∀ n (20) 10

11

0 ... +− =+++ nn

nn fCCC , 0)( ≥∀ n (21) kh

nkhnnknhn ffffff ⋅⋅−=⋅−⋅ ++++ )1( 1,)( ≥∀ kh . (22)

Relaţiile (1) şi (2) se rezolvă prin recurenţă, iar relaţiile (3) şi (4)se rezolvă prin inducţie.

8. Corolare ale şirului lui Fibonacci

În sprijinul teoriei pusă în discuţie, există o serie de corolare, dintre care se enumeră (fără

demonstraţie) unele dintre acestea:

=+

=−

∞→ 251lim 1

n

n

n ff

ϕ ; (23)

=+

=∞→ 2

51lim nnn

f ϕ ; (24)

( )∑≥

=+

=+++

⋅−1

222

21

151

2...

11n n

n

fff ϕ. (25)

9. Asocierea cu numărul ϕ. Elemente de trigonometrie.

În acelaşi context se demonstrează că:

2

515

cos2 +==⋅ ϕπ . (26)

10. Studii / cercetări din diferite domenii de activitate O serie de studii au pus în evidenţă faptul că piramidele construite pe principiul ”numărului

de aur”, au următoarele proprietăţi: - efectul de piramidă contribuie la vindecarea unor boli: a rănilor, a stărilor de

stres, a durerilor de cap etc.; - facilitează procesul de creştere biologică la plante, animale şi om; - influenţează structurile minerale modificând cristalizarea unor substanţe cum este

sulfatul de cupru; - cristalizează aliajele unor metale, restructurând ordinea moleculară; - magnetizează apa, care asigură creşterea spectaculoasă a plantelor, animalelor;

aceasta admite proprietăţi curative pentru tratarea unor boli la om; - conservă legumele, fructele şi seminţele, întârziind procesul de putrezire/ descompunere.

De asemenea, prin „efectul de piramidă” s-a încercat să se explice rezistenţa fizică mărită a unor populaţii care trăiesc în corturi şi iurte cum sunt spre exemplu mongolii, laponii, tibetanii.

112

O serie de alte domenii în care se utilizează efectul de piramidă sunt: în medicină, pentru o serie de boli, se practică tratamente în piramidă; în zootehnie, unde s-a experimental creşterea în piramidă a unor animale cu

blană scumpă; în agricultură, legumicultură, pomicultură prin construcţia unor depozite

piramidale pentru conservare de scurtă şi lungă durată a: seminţelor, legumelor, fructelor etc.;

în horticultură, efectul de piramidă a generat creşterea rapidă a răsadurilor de flori;

în cadrul măsurilor de prevenire cu efect ecologic şi de mediu, cum este spre exemplu epurarea apelor reziduale.

Spre exemplu, în cadrul proceselor tehnologice din industria lemnului, „numărul de aur” poate fi valorificat pentru realizarea unor produse, care au acoperire arhitecturală, cum sunt:

gabaritele de mobilier ale componentelor acestuia, ale elementelor decorative, rame, oglinzi, desene pe stofe pentru mobilă etc.;

dimensiunile de contur ale uşilor, ferestrelor etc.; raportul dintre lungimea şi lăţimea unor produse finite din lemn.

11. Aplicaţii conexe/conjugate care relevă utilizarea numărului de aur

Aplicaţia 11.1 Elemente de analiză matematică

Să se determine termenul general al şirului ( ) 0≥nnx care admite condiţiile iniţiale 110 == ff , şi este definit de relaţia de recurenţă 21 −− += nnn fff .

Soluţia 11.1

Pentru a obţine exprimarea completă a lui ( ) 0≥nnx se determină numerele reale α, β, u, v(u ≠ v) astfel încât:

nnn vux ⋅+⋅= βα , ( ∀ )n≥0, (27)

adică scriind pe 0)( ≥nnx ca sumă a termenilor generali a două progresii geometrice. Condiţia:

21 −− += nnn xxx (28) devine 2211 −−−− ⋅+⋅+⋅+⋅=⋅+⋅ nnnnnn vuvuvu βαβαβα (29) sau 0)1()1( 2122 =−−⋅⋅+−−⋅⋅ −− vvvuuu nn βα , 2)( ≥∀ n (30)

Condiţia este îndeplinită dacă u, v sunt rădăcini ale ecuaţiei: 12 −− xx , (31)

de unde

2

51,2

51 −=

+= vu . (32)

În aceste condiţii:

2)(,2

512

51≥∀

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −⋅+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⋅= nx

nn

n βα , (33)

113

şi rămâne să determinăm α şi β ca această relaţie să aibă loc pentru 0=n , 1=n . Utilizând condiţiile de mai sus rezultă:

0)(,2

512

515

1x11

n ≥∀⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⋅=

++

nnn

. (34)

Soluţia 11.2 Şirul 0)( ≥nnx , 21 −− += nnn xxx , 0)( ≥∀ n , (35) este echivalent cu şirul nnn xxx += ++ 12 (∀ )n≥0. (36)

Ecuaţia caracteristică a şirului este:

12 += rr ⇔ 012 =−− rr ⇒ r1,2 = 2

51± . . (37)

În aceste condiţii, termenul general al şirului este:

,2

512

5121

nn

nnn barbrax ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −⋅+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⋅=⋅+⋅= (38)

în care a, b sunt constante care se determină din condiţia 121 == xx . Utilizând condiţiile specificate, rezultă termenul general al şirului, definit de relaţia (1.8). Aplicaţia 11.2 Elemente de trigonometrie

Să se calculeze 5

2cos π şi 5

2sin π , rezolvând ecuaţia 015 =−z , Cz∈ .

Soluţie Se explicitează rădăcinile ecuaţiei 015 =−z sub formă trigonometrică şi apoi se rezolvă ecuaţia, algebric. Deci,

⇒⋅+==⇒=− 0sin0cos101 55 izz { }4,3,2,1,0,5

2sin5

2cos ∈⋅+= kkikzkππ . (39)

În altă ordine de idei:

( ) ( ) 0111 2345 =++++⋅−=− zzzzzz = ( ) 01111 222 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++++⋅⋅−

zz

zzzz . (40)

Rezolvăm ecuaţia reciprocă:

01112

2 =++++z

zz

z , (41)

pentru care notăm

yz

z =+1 , (42)

şi rezultă

114

2211 22

22 −=−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=+ y

zz

zz . (43)

În aceste condiţii, ecuaţia reciprocă devine:

2

5101 2,12 ±−

=⇒=−+ yyy . (44)

Revenind la substituţie rezultă:

012

152 =+⋅+⋅

+ zz α , în care 1±=α . (45)

Soluţiile ecuaţiei sunt:

4

52104

154,3,2,1

⋅⋅−±

+⋅−=

αα iz şi 4

52104

151

+⋅+

−= iε , (46)

de unde

4

155

2cos −=

π şi 4

52105

2sin +=

π . (47)

De asemenea:

Aplicaţia 11.3 Elemente de trigonometrie

Să se calculeze 5

cosπ , 5

sin π , ştiind că 4

52105

2sin +=

π şi 4

155

2cos −=

π .

Soluţie Atunci:

4

52102

52cos1

5sin −

=−

=

ππ ;

415

853

25

2cos1

5cos +

=+

=+

=

ππ . (48)

Aplicaţia 11.4 Elemente de trigonometrie şi geometrie plană

Să se calculeze lungimile laturilor unui pentagon regulat şi ale unui decagon regulat înscrise

într-un cerc de rază R. Soluţie

Se calculează numerele:

4

52105

4sin102

sin10

cos −==⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

ππππ ; 4

155

2cos102

cos10

sin −==⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

ππππ . (49)

Atunci,

2

52105

sin25−

⋅=⋅⋅= RRl π , 2

1510

sin210−

⋅=⋅⋅= RRl π . (50)

Aplicaţia 11.5 Elemente de trigonometrie

Să se calculeze 5

sin π , utilizând dezvoltarea α5sin .

115

Soluţie

Calculăm α5sin în modul următor:

)sin16sin205(sin5sin42αααα ⋅+⋅−⋅= . (51)

Pentru

5πα = 0

5sin16

5sin205

5sin 42 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−⋅⇒

πππ . (52)

Împărţind cu 05

sin ≠π şi înlocuind

0520165

sin 2 =+−⇒= tttπ , (53)

care admite soluţiile

8

552,1

±=t . (54)

Atunci:

8

555

sin8

555

sin 2 ±±=⇒

±=

ππ . (55)

Se acceptă doar soluţia

8

555

sin ±=

π . (56)

De aici se poate deduce valoarea lui ϕπ⋅=

+= 2

415

5cos

Aplicaţia 11.6 Elemente de algebră /trigonometrie

Să se calculeze 5

2cos π şi 5

4cos π , utilizând elemente de algebră/trigonometrie.

Soluţie Deoarece αααααα 2coscossin42cos2sin24sin ⋅⋅=⋅⋅= . (57) Pentru

5πα = , αα sin4sin = (anexa 11.6)

41

5cos

52cos

41cos2cos =⋅⇔=⋅⇒

ππαα . (58)

Pentru

5πα = , αα cos4cos −= (vezi anexa 11.6). (59)

Pe de altă parte

5

cos5

3cos25

4cos5

2cos ππππ⋅=+ . (60)

Deoarece

5

2cos5

2cos5

3cos ππππ−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −= , (61)

116

rezultă că

21

54cos

52cos −=+

ππ . (62)

Facem notaţiile:

5

2cos π=x ,

54cos π

=y 21

−=+⇒ yx . (63)

Deoarece,

αααα 2coscossin44sin ⋅⋅⋅= 5

8sin5

4cos5

2cos5

2sin4 ππππ=⋅⋅⋅⇒ . (64)

În acelaşi context,

5

2sin5

3sin5

3sin5

8sin πππππ−=−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ += . (65)

5

2sin5

2sin5

3sin ππππ=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −= . (66)

Corelând relaţiile scrise/deduse anterior rezultă:

⇒−=⋅⋅⋅5

2sin5

4cos5

2cos5

2sin4 ππππ 41

41

54cos

52cos −=⋅⇒−=⋅ yxππ . (67)

Soluţia 11.6.1

Fie ecuaţia 02 =+⋅− pxsx cu rădăcinile 5

2cos1π

=x şi 5

4cos2π

=x , în care s-au făcut

notaţiile 21 xxs += şi 21 xxp ⋅= . Atunci rezultă ecuaţia:

0124 2 =−+ xx , (68) care admite soluţiile

4

512,1

±−=x . (69)

Se acceptă doar valoarea

04

515

2cos >+−

=π . (70)

Soluţia 11.6.2

Deoarece

21

−=+ yx , 41

−=⋅ yx (71)

rezultă 0124 2 =−+ yy , (72) care admite soluţiile

4

518

2022,1

±−=

±−=y . (73)

Se acceptă doar valoarea 04

515

2cos >+−

=π . (74)

117

Anexa 11.6 Deoarece

αππππα sin5

sin5

sin5

4sin4sin ==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −== , (75)

de unde rezultă,

αα sin4sin = , dacă 5πα = . (76)

Deoarece

αππππα cos5

cos5

cos5

4cos4cos −=−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −== , (76)

de unde rezultă,

αα cos4cos = dacă 5πα = . (77)

În mod identic, calculăm α5cos : ( ) ( ) 1sinsincoscos4cos5cos −=⋅−−⋅=+= ααααααα . (78)

Situaţia se verifică, deoarece

1osc5

5cos5cos −==⋅= ππα . (79)

Aplicaţia 11. 7 Elemente de geometrie plană

Se dă pentagonul de latură l. Să se calculeze raportul laturilor determinat de intersecţia diagonalelor sale.

Soluţia 11.7.1

Notăm punctele de intersecţie ale diagonalelor pentagonului, ca în figura 1 şi construim înălţimea din E: EO⊥AD. Din construcţie Δ EOD este isoscel cu EO = EB = AD. Din Δ AED rezultă: măs( DEA ˆ ) + măs( ADE ˆ ) + măs( DAE ˆ ) =π . (80)

Fig. 1 – Pentagon regulat ABCDE Deoarece

măs. ( ADE ˆ ) + măs. ( DEA ˆ ) =α şi măs. ( DEA ˆ ) =5

2π , (81)

se poate calcula:

118

.10331051022

52 παπαπαππαπ

=⇒=⇒=+⇔=+ (82)

Valoarea lui 103π , se calculează astfel:

.107

103 πππ

−= (83)

Valoarea lui 107π se calculează astfel:

.5210

7 πππ+= (84)

În acelaşi context

.103coscoscos παα ⋅=⋅=⇒= lEDOD

EDOD (85)

Deoarece

.103cos22 π

⋅⋅=⇒⋅= lADODAD (86)

Deoarece, Δ ENM ~ Δ EOB din construcţie,

ELEO

l

EMELEO

EBEM

≡⋅⋅

⇔≡

103cos2 π

. (87)

Pe de altă parte

103cos

422

42 π

⋅==⋅= lADOAODEO , (88)

de unde rezultă

103cos π

⋅= lEO . (89)

Pe de altă parte

2

222

4BCADLCECEL −=−= 1

103cos16

22 −⋅⋅=πl . (90)

Utilizând relaţiile scrise anterior, rezultă:

1

103cos16

103cos4

1103cos16

2

103cos

103cos2 2

2

2 −⋅

⋅⋅=⇒

−⋅⋅

⋅=

⋅⋅ π

π

π

π

π

lEM

l

l

l

EM . (91)

Notăm pentru simplificare,

103cos2 π

⋅= lm . (92)

Se poate scrie că:

=−== 22 EOEMONOM116

16152

42

−⋅⋅−⋅

mmm ; (93)

116

1615222 2

42

−⋅⋅−⋅

⋅=⋅=⋅=m

mmONOMMN . (94)

ADNDMN =+ 2 . (95)

119

Soluţia 11.7.2

Din construcţie, AQDE este romb, rezultă: .lEADEQDAQ ==== (96)

Se poate calcula, atunci:

=⇒+=+=⋅⋅== QCQClQCAQlADAC103cos2 π

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅⋅ 1

103cos2 πl . (97)

Rezultă astfel că:

.1103cos2 −⋅=π

AQQC (98)

Deoarece

,cos12

cos2 2 αα+=⋅ (99)

pentru 5πα = rezultă,

2

5521

10cos

5cos1

10cos2 2 +

⋅±=⇒+=⋅πππ . (100)

Se acceptă doar

2

5521

10cos +

⋅=π . (101)

Soluţia 11.7.2.1

Se scrie 103π sub forma:

.5210

7103

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−=−=

ππππππ (102)

Soluţia 11.7.2.2

Se scrie 103π sub forma:

;3103 απ

= 10πα = . (103)

Astfel,

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅⋅= 3

10cos4

10cos

103cos 2 πππ . (104)

Se calculează atunci

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+⋅

+⋅=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅⋅= 3

255

255

213

10cos4

10cos

103cos 2 πππ . (105)

În aceste condiţii:

1103cos2 −⋅=π

AQQC . (106)

Pe de altă parte, ACQCAQ =+ , (107) se poate calcula

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅=⋅=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−⋅=

52sin2

107sin2

52sin2

52cos2

103cos πππππππππ

120

61,12

515

cos2 =+

=⋅=π ϕ= , (108)

care reprezintă numărul de aur.

Aplicaţia 11.8 Elemente de geometrie plană

Se dă un pentagon regulat de latură a . Să se determine înălţimea trapezului determinat de trei laturi consecutive şi o înălţime a pentagonului.

Soluţie

Latura pentagonului admite expresia:

=⋅⋅=5

sin25πRl aEADECDBCAB ===== . u.l. (109)

Se calculează aria (ACDE) care are înălţimea OE . Se calculează aria (ABCDE) şi aria (ABC), de unde rezultă:

aria (ACDE) = aria (ABCDE) - aria(ABC). (110)

Deoarece

)(21)( DEACOEACDEaria +⋅⋅= , (111)

din relaţiile de mai sus rezultă:

DEAC

ABCariaABCDEariaOE+

−⋅=

)()(2 . (112)

Atunci

)53(25

cos22

222 −⋅=⋅⋅⋅−+=aBCABBCABAC π , (113)

de unde rezultă

2

53521022

535

sin22

53 −⋅−⋅=

−⋅⋅⋅=

−=

RRaAC π , u.l. (114)

( ) .)5210(322

CB̂Asin)( 32

−⋅=⋅⋅

=RBCABABCaria u.a. (115)

Pentru calcule, s-a utilizat faptul că aria suprafeţei poligonale determinată de un poligon cu n laturi, este dată de relaţia:

,2sin2

2

nRnSn

π⋅⋅= 3≥n u.a. (116)

în care R este raza cercului circumscris poligonului.

121

În aceste condiţii avem

=⋅⋅=5

2sin25)( 2 πRABCDEaria )15(5210

165 2 +⋅−⋅⋅ R . u.a. (117)

Atunci

)25(52108

)(2

−⋅−⋅=RACDEaria . u.a. (118)

Aceeaşi arie se poate calcula astfel:

aria(ACDE) ( ) ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +−⋅−⋅⋅⋅=+⋅⋅= 4535210

81

21 ROEDEACOE u.a. (119)

Rezultă

453

)25(

+−

−⋅=

ROE u.l. (120)

Deoarece, din relaţia (109), avem

5sin2 π⋅

=aR u.l. (121)

rezultă

5sin)53(2

)25(π

⋅−⋅

−⋅=

aOE u.l. (122)

11.9 Aplicaţii propuse spre rezolvare

Aplicaţia 11.9.1

Să se calculeze 5

cosπ , utilizând dezvoltarea lui α5cos .

Aplicaţia 11.9.2

Să se calculeze 5

sin πn , 1≥n , Nn∈ .

Aplicaţia 11.9.3

Să se calculeze 5

cos πn , 1≥n , Nn∈ .

Aplicaţia 11.9.4

Să se calculeze∑=

=

⋅nk

k

k1 5sin π şi ∑

=

=

⋅nk

k

k1 5cos π .

Aplicaţia 11.9.5

Să se calculeze∏=

=

nk

k

k1 5

sin π şi ∏=

=

nk

k

k1 5

cos π .

122

Aplicaţia 11.9.6

Să se calculeze∑=

= ⋅

nk

k k1 5sin π şi ∑

=

= ⋅

nk

k k1 5cos π .

Aplicaţia 11.9.7

Să se calculeze∏=

= ⋅

nk

k k1 5sin π şi ∏

=

= ⋅

nk

k k1 5cos π .

Aplicaţia 11.9.8

Să se calculeze 5

11cos πn , 1≥n , Nn∈ .

Aplicaţia 11.9.9

Să se calculeze 5

11sin πn , 1≥n , Nn∈ .

Aplicaţia 11.9.10

Să se arate că 41

53cos

5cos −=⋅

ππ .

Aplicaţia 11.9.11

Utilizând 5

cosπ şi 5

sin π , să se calculeze 5

2sin π şi 5

2cos π .

Aplicaţia 11.9.12

Utilizând 5

cosπ şi 5

sin π , să se calculeze 5

2011sin π⋅ şi 5

0232000000000cos π⋅ .

Aplicaţia 11.9.13

Se dă un pentagon regulat de latură a . Să se calculeze rapoartele: DEAC ;

OEBF ;

BGGD .

Aplicaţia 11.9.14

Să se rezolve în R, sistemul dat de 1=⋅ yx , 5=+ yx .

Aplicaţia 11.9.15 Să se rezolve în R, sistemul dat de 1=−=⋅ yxyx .

Aplicaţia 11.9.16

Să se rezolve în R, sistemul dat de 122 =− yx , 5=+ yx .

Aplicaţia 11.9.17 Să se rezolve în R, sistemul dat de 322 =+ yx , 5=+ yx .

123

Aplicaţia 11.9.18 Să se rezolve în R, sistemul dat de 322 =+ yx , 2=⋅ yx .

Aplicaţia 11.9.19

Să se rezolve în R, sistemul dat de 522 =− yx , 1=− yx .

Aplicaţia 11.9.20 Fie ecuaţia 03 23 =++− axxx , care admite soluţiile 1x , 2x , 3x . Să se determine parametrul Ra∈ şi

să se rezolve ecuaţia ştiind că 121 =+ xx .

Aplicaţia 11.9.21 Să se descompună polinomul 1)(cos22 +⋅⋅−= ⋅ nn xtxf , )2,0[ π∈t în factori ireductibili, în

mulţimea numerelor reale R şi în mulţimea numerelor complexe C.

Bibliografie

[1] Dobre, F. – Numărul ϕ, chintesenţa armoniei universale, Revista Astrologia, nr. 7/(38), 1997. [2]Georgescu, N. – Numărul de aur şi produsele din lemn, Revista Industria lemnului nr.2/1990. [3]Sireţchi, Gh. – Calcul diferenţial şi integral, vol. 2, Editura Ştiinţifică şi Enciclopedică, Bucureşti, 1985. [4]Cuculescu, I. – Culegere de probleme rezolvate pentru admiterea în învăţământul superior Editura Ştiinţifică şi Enciclopedică, Bucureşti, 1984. [5] Stănăşilă, O, ş.a. – Manual de analiză matematică pentru clasa a XI-a, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1982. [6] Popescu, G.,Vâscu, M. – Numărul de aur. Trecut, prezent şi viitor, Sesiunea cercurilor ştiinţifice studenţeşti „CERC- 2004” , Bucureşti, România, (20-21) mai, 2004. [7] Udrişte, C., Ţevy, I., Necşuleu, I., Catană, V., Guşatu, M., Bercu, L. – Matematică, manual pentru clasa a- X-a, Editura Fair Partners, Bucureşti, 2004. [8] Coţa, A., Marta, R., Kurthy, E., Răduţiu, M., Popa, F., E., Vornicescu, F. – Matematică, manual pentru clasa a -X-a, Geometrie şi trigonometrie, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1987. [9] Darie, E., Popescu, G., Popa, C., Dolha, S. – Numărul de aur de la trecut la prezent, a X-a Sesiune de Comunicări ştiinţifice cu participare internaţională, „Leadership şi management la orizonturile secolului al XXI-lea”, vol. XIII, Sibiu (24-26) noiembrie, 2005, Editura Academiei Forţelor Terestre, Sibiu, 2005. [10] Darie, E., Popescu, G., Popa, C., Dolha, S.- Numărul de aur - trecut, prezent şi viitor, Buletinul Pompierilor nr. 2/2006, Editura Ministerului Administraţiei şi Internelor, Bucureşti, 2007. [11] Popescu, G.,Sbora, L.,Vintilă, M. - Numărul de aur. Aplicaţii din trigonometrie, geometrie plană şi analiză matematică, a VI-a Sesiune ştiinţifică a studenţilor din Facultatea de Pompieri cu participare internaţională, „SIGPROT-2009”, Bucureşti, 2009.

124

MODALITĂŢI DE REZOLVARE A UNEI INTEGRALE, DENUMITĂ )(2 θI .

Student sergent Cezar DINCĂ Student caporal Ionuţ GERU

Locotenent-colonel lector univ.dr. ing. Garibald POPESCU Academia de Poliţie „Alexandru Ioan Cuza”, Facultatea de Pompieri

Rezumat

În articol, se doreşte rezolvarea integralei integrală la care, se face referire în volumul „Evaluarea riscurilor generate de descărcările electrostatice”, publicată la Editura Tehnică, Bucureşti, 2000.

Rezumat

În articol se doreşte rezolvarea integralei integrală la care, se face referire în volumul „Evaluarea riscurilor generate de descărcările electrostatice”, publicată la Editura Tehnică, Bucureşti, 2000.

Rezolvare

Notaţiile utilizate sunt R, - constante, ( ρ>R ), θ - variabilă. Pentru rezolvare, se face substituţia:

22

2

2

2

12,

11

)2/(tan1)2/(tan1cos)2/tan(

tdtd

ttt

+⋅

=+−

=+−

=⇒= θθθθθ . (1)

Integrala I(θ) se poate scrie şi sub forma:

=⋅⋅⋅−+⋅⋅−

⋅= ∫⋅π

θρρθθρθ

2

022 cos2

)cos(2)(RR

dRI ∫⋅

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⋅⋅+

⋅⋅⋅

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅

⋅π

θρρρ

θθρ

ρ2

022

cos2

2

cos2

RRR

dR

. (2)

Dacă se face substituţia: AR =ρ/ şi BRR =⋅⋅+ ρρ 2/)( 22 , (3) rezultă

θθθθ

π

dBA

RI ⋅

−−

⋅= ∫⋅2

0 coscos1)( , (4)

sau

∫⋅

=+

⋅⋅++−⋅++−

⋅=π

θ2

022

2

1)1()1()1()1(2)(

tdt

tBBtAA

RI 2

2

0 2

2

11111

112

tdt

tBB

tAA

BA

R +⋅

++−

++−

⋅++

⋅ ∫⋅π

. (5)

Utilizând notaţiile:

cBAb

BBa

AA

=++

=+−

=+−

11,

11,

11 , (6)

125

se obţine

dtbtbt

tacRt

dttbtac

RtI ⋅

+⋅+++

⋅⋅=+

⋅++

⋅⋅= ∫ ∫⋅ ⋅π π2

0

2

024

2

22

2

)1(2

12)( . (7)

Dacă expresia de sub integrală se exprimă sub forma unor fracţii rezultă:

∫⋅

=⋅+⋅+

+=

π2

022

2

)1()()( dt

tbtattI ∫ ∫

π⋅ π⋅

+⋅

−−

++

⋅−−

2

0

2

022 11

11 t

dtba

btdt

bab =

= .arctan11arctan1

12

2

0

π⋅

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

−−

+⋅⋅−−

⋅⋅ tba

bt

bbabc

R (8)

Revenind la substituţiile anterioare, cu condiţia ρ>R , rezultă:

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⋅

−+

⋅=⋅π

θθρρθ

2

02

tanarctan2

tanarctan2)(RR

RI

RR

RR

πθρρ

π⋅

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

−+

⋅=⋅

22

tanarctan22

0

. (9)

Deoarece 0)2/tan( 2

0=⋅πθ şi +∞→−+ )/()( ρρ RR pentru ρ→ R, cu ρ < R , (10)

produsul

2

tanθρρ⋅

−+

RR , (11)

tinde către valoarea nedeterminată )0( ⋅∞ , fapt ce impune calculul acestei expresii într-un alt mod. Se face notaţia

αθρρ

π

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

−+

⋅2

02

tanarctanRR , ]2,0[ πα ∈ (12)

şi se calculează valoarea numerică a limitelor. Se obţine

αρρπ

ρρ

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

−+

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

−+ 0tanarctantanarctan

RR

RR , (13)

la care se aplică funcţia tangentă ambilor membri. În acest mod, rezultă

αρ

απ

ρρ

ρρ

ρρπ

ρρ

tan)(

0tan0tantan1

0tantan

2 =−

⇔=⋅⋅

−+

⋅−+

+

⋅−+

−⋅−+

RRR

RR

RR

RR

. (14)

La limită, pentru RR <→ ρρ , se obţine Zkk ∈⋅+=⇒= ,0arctan0tan παα . (15)

Singura valoare din intervalul [0, 2π] care se poate accepta, este α = π. Bibliografie [1] Roşculeţ, M. – Analiză matematică, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1984. [2] Flondor, D., Donciu, N. – Algebră şi analiză matematică. Culegere de probleme. vol. 2, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1979. [3] Sireţchi, Gh. – Calcul diferenţial şi integral. vol. 1/vol. 2, Editura Ştiinţifică şi Enciclopedică, Bucureşti, 1985. [4] Şabac, I. – Matematici speciale, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1981. [5] Golovanov, N., Popescu, G., Dumitrana, T., Coatu, S. – Evaluarea riscurilor generate de descărcările electrostatice, Editura Tehnică, Bucureşti, 2000.

126

MODALITĂŢI DE REZOLVARE A UNEI PROBLEME DE EXTREM ÎN FIZICĂ

Locotenent-colonel lector univ. dr. ing. Garibald POPESCU

Student fruntaş Marius VINTILĂ Student fruntaş Alexandru PANAIT

Academia de Poliţie „Alexandru Ioan Cuza” – Facultatea de Pompieri

Rezumat În articol, se prezintă mai multe soluţii pentru o problemă de extrem în fizică, care are aplicaţii în cazul surselor de energie electrică continuă cu funcţie de sursă de rezervă în caz de avarie pentru iluminatul de siguranţă care dotează anumite locuri de muncă, sau ca sursă de rezervă pentru anumite instalaţii de detecţie/semnalizare incendii etc., în cazul pierderii din diferite motive a sursei de bază.

Aplicaţie Se consideră un circuit electric simplu, alimentat la tensiunea electromotoare E care are

rezistenţa internă echivalentă r. Să se determine expresia puterii maxime cedată circuitului exterior bateriei definit de ..echR

Soluţia nr. 1 Conform cu teorema lui Ohm rezultă:

rR

EIech +

=.

. (1)

atunci

( )2

.

2.2

. rRER

IRIUPech

echech

+

⋅=⋅=⋅= . (2)

Din 0. =echdRdP rRech =⇒ . , (3)

valori pentru care se realizează transferul maxim de putere circuitului exterior deoarece 0.

22 <echdRPd (4) În aceste condiţii

( )

[ ].max

2

.

2

2.

2.

.max ,0,44

PPcur

ER

ErR

ERP

echech

ech ∈⋅

=⋅

=+

⋅= (5)

sau

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅

∈echR

EP4

,02

. (6)

127

Soluţia nr. 2

( )

=+

⋅=⋅=⋅= 2

.

2.2

. rRER

IRIUPech

echech

rRrR

E

echech ⋅+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− 4

2

..

2

. (7)

Se observă că:

.

22

.max 44 echRE

rEPP

⋅=

⋅== , (8)

dacă şi numai dacă

rRRrR ech

echech =⇔=− .0 . (9)

Soluţia nr. 3

( ) ( )

( )( ) ⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+−

−⋅⋅

=+⋅⋅⋅⋅⋅

=+⋅

=⋅=⋅= 2.

2.

2

2.

2.

2.

2.2

. 144

4rRrR

rE

rRrErR

rRER

IRIUPech

ech

ech

ech

ech

echech , (10)

se observă că, dacă

( ).

22

.max.2

. 440

echechech R

Er

EPrRrR⋅

=⋅

=⇒=⇒=− . (11)

Soluţia nr. 4

( )2

.

2.2

. rRER

IRPech

echech

+

⋅=⋅= ; (12)

( ) ( ) ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+⋅=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+

⋅= 2

.

.

.

22

.

2.

.. rRR

dRdE

rRER

dRd

dRdP

ech

ech

echech

ech

echech

= rRech =⇒ .0 , (13)

deoarece

2.

2

echdRPd < 0

rEPP⋅

==⇒4

2

.max , ⇔ rRech =. . (14)

Soluţia nr. 5

Deoarece intensitatea curentului prin circuit este:

rR

EIech +

=.

, (15)

şi plecând de la expresia puterii se obţine: ( ) IErIIPP ⋅+⋅−== 2 . (16) Valoarea maximă a puterii cedate în circuitul exterior, materializat prin rezistenţa

electrică .echR , se calculează astfel:

( )r

EIEIrIErIdId

dIdP

⋅=⇒=+⋅⋅−=⋅+⋅−=

2022 . (17)

Deoarece

rdIdP

dId

dIPd

⋅−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= 2

2

2

< 0, (18)

128

rezultă că puterea admite un maxim care poate fi transferat circuitului exterior, pentru:

r

EI⋅

=2

, (19)

având valoarea:

( )r

EIPP⋅

==4

2

. (20)

Soluţia nr. 6

Plecând de la expresia puterii avem: IEIrP ⋅+⋅−= 2 , (21)

care se scrie în mod echivalent: 02 =+⋅−⋅ PIEIr . (22) Discriminantul ecuaţiei anterioare este:

PrE ⋅⋅−=Δ 42 . (23) Valorile intensităţii curentului prin circuit admit expresiile:

r

PrEEI⋅

⋅⋅−±=

242

2,1 . (24)

Pentru ca în circuit să avem curent, este necesar şi suficient să fie îndeplinită condiţia:

PrE ⋅⋅− 42 ≥0 ⇔ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅

∈⇔⋅

≤r

EPr

EP4

,04

22

, (25)

de unde rezultă că puterea maximă cedată circuitului exterior este:

r

EP⋅

=4

2

.max . (26)

Soluţia nr. 7

Plecând de la relaţia (1.2), expresia puterii prin circuit este:

( )2

.

2

.2

. rRERIRP

echechech

+⋅=⋅= , (27)

expresie echivalentă cu: ( ) 02 2

.22

. =⋅+⋅−⋅⋅+⋅ rPRErPRP echech . (28) Discriminantul ecuaţiei (27) este:

( ) ( )rPEErPErP ⋅⋅−⋅=⋅⋅−−⋅⋅=Δ 442 222222 . (29) Expresia puterii cedată prin circuit este:

2.

22

2,1 242

echRrPEErPEP

⋅⋅⋅−⋅±⋅⋅−

= . (30)

Pentru ca în circuit să se genereze putere, este necesar şi suficient să fie îndeplinită condiţia:

042 ≥⋅⋅− rPE ⇔ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅

∈⇔⋅

≤r

EPr

EP4

,04

22

, (31)

de unde rezultă că puterea maximă cedată circuitului exterior este:

r

EP⋅

=4

2

.max . (32)

129

Soluţia nr. 8 Expresia puterii cedată circuitului exterior este:

( )2

.

.22

..

2. rR

RE

rRERIRP

ech

ech

echechech

+⋅=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⋅=⋅= . (33)

Atunci, maxPP = , (34) dacă şi numai dacă, expresia:

( )2

.

.

rRR

ech

ech

+ (35)

admite o valoare maximă. Mărimea fizică .echR , trebuie să fie soluţie a ecuaţiei:

( )

xrR

R

ech

ech =+ 2

.

. , (36)

respectiv a ecuaţiei ( ) 012 2

.2

. =⋅+⋅−⋅⋅+⋅ rxRrxRx echech , (37) care are soluţii reale, numai dacă:

( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⋅−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅⋅=⋅⋅−−⋅⋅=Δ 2

2

222 4121412 r

xr

xrxxr ≥0, (38)

care implică

rx

r ⋅≥−⋅ 212 , (39)

care este echivalentă cu

x

rrrx

12221−⋅≤⋅≤⋅− , (40)

din care se acceptă doar soluţia

r

x⋅

≤41 . (41)

care conduce la 02 2

.2

. =+⋅⋅− rRrR echech , (42) cu soluţia dublă rRech =. . (43) Rezultă astfel că:

.

22

.max 44 echRE

rEP

⋅=

⋅= . (44)

Soluţia nr. 9

Expresia puterii cedată circuitului exterior este:

( )2

.

.22

..

2. rR

RE

rRERIRP

ech

ech

echechech

+⋅=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⋅=⋅= . (45)

Atunci, maxPP = , (46) dacă şi numai dacă, expresia:

130

( )2

.

.

rRR

ech

ech

+, (47)

admite o valoare maximă. Mărimea fizică .echR , trebuie să fie soluţie a ecuaţiei:

( )

xrR

R

ech

ech =+ 2

.

. , (48)

sau ( ) 012 2

.2

. =⋅+⋅−⋅⋅+⋅ rxRrxRx echech , (49) care are soluţii reale, numai dacă:

( ) xrrxxr ⋅⋅−=⋅⋅−−⋅⋅=Δ 41412 22 ≥0, (50) de unde rezultă x ≤ r⋅41 , (51) care înlocuită cu valoarea sa maximă în (49), implică: rRech =. , respectiv,

.

22

.max 44 echRE

rEP

⋅=

⋅= . (52)

Bibliografie [1] Romulus, S. – Probleme de limită şi extrem în fizică, ediţia a-II-a, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1997. [2] Popescu, G., Bălănescu, L. – Prevenirea incendiilor la autovehicule, Editura Ministerului Administraţiei şi Internelor, Bucureşti, 2005. [3] Popescu, I.M. ş.a. – Culegere de probleme de fizică pentru admiterea în învăţământul superior, Editura Politehnica, Bucureşti, 2000.

131

MODALITĂŢI DE REZOLVARE A UNEI INTEGRALE DENUMITĂ )(1 θI .

Locotenent-colonel lector univ. dr. ing. Garibald POPESCU Student fruntaş Marius VINTILĂ

Student fruntaş Alexandru PANAIT Academia de Poliţie „Alexandru Ioan Cuza” – Facultatea de Pompieri

Rezumat

În articol, se doreşte rezolvarea integralei ( ) θθθπ

duuI ⋅+⋅⋅−= ∫⋅2

0

21 cos21ln)( , u > 0,

integrală la care se face referire în volumul “Evaluarea riscurilor generate de descărcările electrostatice”, publicată la Editura Tehnică, Bucureşti, 2000.

Rezolvare

Soluţia 1

Notaţiile utilizate sunt: u - constantă, θ - variabilă. Deoarece:

0)1(cos21)( 22 >−≥+⋅⋅−= uuuuf θ , (1) pentru 1≠u , ],0[ π∈θ , şi funcţia cosinus este pară, rezultă că f(u) este corect definită, fiind continuă şi integrabilă. Se calculează rădăcinile ecuaţiei: θθ sincos12 iu n +==⋅ , pentru θ = 0, (2) care admite soluţia dată de relaţia lui Moivre:

1,...,1,sincos −=⋅

⋅+⋅

= nkn

kin

kukππ . (3)

Pentru valori numerice ale lui k, se obţine: 0=k ⇒ 10sin0cos0 =⋅+= iu , 10sin0cos0 =⋅−= iu ; (4)

k =1 ⇒ n

in

u ππ sincos1 ⋅+= , n

in

u ππ sincos1 ⋅−= ; (5)

.................................................................................................................

k = n −1 ⇒ n

nin

nunππ ⋅−

⋅+⋅−

=−)1(sin)1(cos1 , (6)

n

nin

nunππ ⋅−

⋅−⋅−

=−)1(sin)1(cos1 . (7)

Pe de altă parte, se poate scrie că: )()(...)()()()(1 111100

2−−

⋅ −⋅−⋅⋅−⋅−⋅−⋅−=− nnn uuuuuuuuuuuuu =

])([)1()()()1(1 1

222kkk

n

nk

n

nkkkk uuuuuuuuuuuu ⋅++⋅−⋅−=−⋅−⋅−= ∏ ∏

−

−=

−

−=

.

(8)

132

Deoarece:

n

kin

kukππ ⋅

⋅+⋅

= sincos , (9)

şi

n

kin

kukππ ⋅

⋅−⋅

= sincos , (10)

rezultă

n

kuu kkπ⋅

⋅=+ cos2 , (11)

şi

1sincos 22 =⋅

+⋅

=⋅n

kn

kuu kkππ . (12)

Utilizând relaţiile anterioare se obţine:

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅

⋅−⋅

−=− ∏−

−=

⋅1

2 sincos1n

nk

n

nki

nkuu ππ

∏−

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

⋅⋅−⋅−=

1

1

222 1cos2)1(n

k nkuuu π . (13)

Se consideră suma:

∑−

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

⋅⋅⋅−⋅=

1

1

2cos21lnn

kn u

nku

nS ππ , (14)

având diviziunea

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ =

⋅<<

⋅=<=<==Δ ππππ

nn

nx

nxx ...20 210 , (15)

cu punctele intermediare,

,,...,3,2,1, nknkxkk ===ξ (16)

se obţine

∑=

−Δ −⋅=n

kkkkk xxff

h1

1 )()(),( ξξσ , (17)

pentru care )cos21ln()( 2uxuxf +⋅⋅−= . (18)

Rezultă astfel că:

=−⋅= ∑=

−Δ

n

kkkkk xxff

h1

1 )()(),( ξξσ

∑=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⋅−⋅

⋅+⋅⋅−=n

k nk

nkuxu

1

2 1)cos21ln( ππ =

∑=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

⋅⋅⋅−⋅=

n

ku

nku

n 1

2cos21ln ππ , n ≥ 1. (19)

Limita sumei (9) se calculează:

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

⋅⋅−⋅= ∑

=∞→∞→

n

knnnu

nku

nS

1

2cos21lnlimlim ππ

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

⋅⋅⋅−⋅= ∏

=∞→

n

kn

un

kun 1

2cos21lnlim ππ

133

11lnlim 2

2

−−

⋅=∞→ u

un

n

n

π , n ≥ 1. (20)

Pentru rezolvare, se face următoarea discuţie:

Cazul 1, 1<u :

011lnlim)cos21ln()( 2

22

0

=−−

⋅=⋅+⋅⋅−=∞→∫ u

un

duuIn

n

πθθθπ

, (21)

deoarece 0lim 2 =⋅

∞→

n

nu .

Deoarece funcţia θcos este pară, rezultă că integrala este nulă şi pe intervalul [π, 2π]. Cazul 2, 1>u :

=−−

⋅=⋅+⋅⋅−= ∫⋅

∞→

π πθθθ0

2

22

11lnlim)cos21ln()(

uu

nduuI

n

n

=−⋅−−⋅=∞→

⋅

∞→)1ln(lim)1ln(lim 22 u

nu

n n

n

n

ππ

.ln211lnlim 22 u

uu

n nn⋅⋅=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅⋅= ⋅∞→

ππ (22)

Deoarece integrala este definită pe intervalul [0, 2π], iar funcţia θcos este pară se obţine:

∫⋅

⋅⋅=⋅+⋅⋅−=π

πθθθ2

0

2 ln4)cos21ln()( uduuI . (23)

Soluţia 2

Se calculează integrala:

∫ ⋅+⋅⋅+=−π

θθ0

2 )cos21ln()( dxxxI . (24)

Se face schimbarea de variabilă ϕπθ −= şi se obţine:

∫ =⋅+⋅⋅−=−π

ϕϕ0

2 )()cos21ln()( xIdxxxI . (25)

Se calculează integrala:

∫ =⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ π

θθ0

2

1cos21ln1 dxxx

I

∫ ∫ =⋅+⋅+⋅⋅−=π π

θθθ0 0

22 1ln)1cos2ln( d

xdxx xxI ln2)( ⋅⋅− π . (26)

Se adună membru cu membru integralele I(x) şi I(− x) de unde rezultă:

=⋅+⋅⋅−=⋅=−+ ∫ θθπ

dxxxIxIxI )cos21ln()(2)()( 2

0

=⋅+⋅⋅−⋅= ∫⋅π

ϕϕ2

0

42 )cos21ln(21 dxx

ϕϕϕϕπ

π

π

dxxdxx ⋅+⋅⋅−⋅+⋅+⋅⋅−⋅= ∫∫⋅

)cos21ln(21)cos21ln(

21 42

2

0

42 . (27)

Se face schimbarea de variabilă ϕ π ψ= + şi rezultă:

)(21)(

21)(2 22 xIxIxI −⋅+⋅=⋅ , (28)

134

sau )()(2 2xIxI =⋅ , (29) de unde rezultă

)(21)( 2xIxI ⋅= . (30)

Analog se deduce că:

)(41)( 4xIxI ⋅= , (31)

sau generalizând,

)(21)( 2 n

n xIxI ⋅⋅= , n∈N. (32)

Cum însă, 12 ≤⋅nx şi I(x) este o funcţie continuă, aceasta admite o margine superioară finită în intervalul (−1,1).

În aceste condiţii se poate considera:

.sup21)( LxI n ⋅≤ , (33)

ceea ce implică faptul că 0)(lim →

∞→xI

n, (34)

situaţie care implică

∫⋅

=⋅+⋅⋅−=π

θθθ2

0

2 0)cos21ln()( duuI , dacă 1≤u . (35)

În aceleaşi condiţii, pentru 1<x ⇔ 1/ x >1, (36)

expresia:

xxIx

I ln2)(1⋅⋅+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ π , (37)

devine

xx

I 1ln21⋅⋅=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ π , (38)

sau dacă se notează y =1/x se obţine yyI ln2)( π= , 1≥y . (39) Pentru notaţiile date la rezolvarea 1, uy = , integrala din text devine: uI ln2)( πθ = , dacă 1≥u . (40)

Deoarece integrala este definită pe intervalul [0, 2π], iar funcţia θcos este pară se obţine:

∫⋅

⋅⋅=⋅+⋅⋅−=π

πθθθ2

0

2 ln4)cos21ln()( uduuI , dacă 1≥u . (41)

Bibliografie [1] Roşculeţ, M. - Analiză matematică, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1984. [2] Flondor, D., Donciu, N. - Algebră şi analiză matematică. Culegere de probleme. vol. 2, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1979. [3] Sireţchi, Gh. - Calcul diferenţial şi integral, vol.1/vol. 2, Editura Ştiinţifică şi Enciclopedică, Bucureşti, 1985. [4] Şabac, I. - Matematici speciale, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1981. [5] Golovanov, N., Popescu, G., Dumitrana, T., Coatu, S. - Evaluarea riscurilor generate de descărcările electrostatice, Editura Tehnică, Bucureşti, 2000.