elemente de mecanică şi aplicaţii în biologie

Biofizică – Elemente de mecanică şi aplicaţii în biologie

23

Capitolul II.

Elemente de mecanică şi aplicaţii în biologie

Acest capitol are drept scop familiarizarea cititorului cu cele mai

importante noţiuni şi legi ale mecanicii. De a semeni, se urmăreşte realizarea

unei legături între mecanică şi biologie, prin exemple concrete şi prin tratarea

distinctă a legăturii între mecanică şi biologie. Prin noţiunile şi principiile

introduse, acest capitol reprezintă şi o bază pentru prezentarea unor alte părţi

ale cursului.

Cea mai simplă definiţie a mecanicii ar putea fi următoarea: mecanica

este partea fizicii care se ocupă cu studiul mişcării. În realitate, mecanica se

ocupă atât de studiul mişcării, prin intermediul cinematicii şi dinamicii, dar şi de

studiul stării de echilibru, de repaus, în cadrul staticii. Mecanica reprezintă în

acelaşi timp şi baza pentru majoritatea celorlalte capitole ale fizicii şi de aceea

trebuie să reprezinte şi punctul de plecare al unui curs de biofizică, datorită

faptului că mişcarea poate fi considerată esenţa vieţii.

2.1. CINEMATICA

Cinematica este acea parte a mecanicii care studiază mişcarea fără a

cerceta cauzele mişcării. Un sistem fizic aflat în mişcare se numeşte mobil, iar

locul geometric al tuturor punctelor prin care trece mobilul în timpul deplasării se

numeşte traiectorie.

Iuliana Lazăr

24

Să considerăm un sistem de coordonate carteziene Oxyz (Fig.2.1.) în raport

cu care poziţia unui punct P este determinată de vectorul de poziţie r , care poate

fi scris astfel:

kz+j+yix = r (2.1.)

unde x, y, z sunt coordonatele carteziene ale punctului P, iar k ,j ,i sunt vectorii

unitari (versorii) pe cele trei direcţii x, y, z.

Să prezentăm acum câteva elemente ale mişcării:

Viteza

Viteza instantanee a punctului P (Fig.2.2) se defineşte prin raportul dintre

spaţiul parcurs de mobil şi intervalul infinitezimal (care tinde la zero) de timp în

care a fost parcurs acest spaţiu:

v dr dx dy dz= = i + j + kdt dt dt dt

(2.2)

sau:

v v v vx y z= i + j + k (2.3)

In sistemul astfel ales, mărimea vectorului viteză se exprimă prin relaţia:

vv v v22 2yx z= + + (2.4)

Dacă notăm cu τ versorul tangentei la punctul în care se calculează viteza, atunci

dr=rd τ şi relaţia (2.2) capătă forma:

v vdr= =dtτ τ (2.5)

Fig.2.1. Fig.2.2 Fig.2.3


25

Rezultă astfel că viteza este o mărime vectorială, direcţia ei fiind tangentă la

traiectorie în punctul considerat.

În multe situaţii, prezintă interes cunoaşterea unei valori medii a vitezei.

Aceasta se defineşte tot ca fiind raportul dintre spaţiul parcurs de mobil şi

intervalul de timp în care a fost parcurs acest spaţiu, numai că de această dată,

intervalul de timp este unul finit:

vmeddt

Δ=Δ

(2.6)

Acceleraţia

Acceleraţia instantanee este definită ca raportul dintre variaţia vitezei şi

intervalul de timp (considerat foarte mic) în care a avut loc această variaţie:

vda =dt

(2.7)

Ţinând seama de relaţia (2.2), se obţine:

2

v 2d rda = =dt dt

(2.8)

Raportând mişcarea la un sistem cartezian de axe, putem scrie:

v v v2 2 2

x y z x y z2 2 2

d x y zd d da = ( i + j + k)= i + j + k = a i +a j +a kdt dt dt dt

(2.9)

Analog relaţiei (2.4) putem scrie pentru modulul vectorului acceleraţie expresia:

a+a+a=a|=a| 2z

2y

2x (2.10)

In general, vectorul acceleraţie nu este tangent la traiectorie (cu excepţia

mişcărilor rectilinii), el având o componentă tangentă la traiectorie şi una normală

la aceasta. In cazul unei mişcări oarecare viteza v variază atât ca direcţie ( τ ) cât

şi ca mărime (v) şi ca urmare putem scrie:

v vv vd d d da = = ( )= +dt dt dt dt

ττ τ (2.11)

Cum τ este un vector unitar, avem: 2 1= =τ τ τ⋅ (2.12)

şi derivând această relaţie în raport cu timpul, se obţine:

0d d+ =dt dtτ ττ τ⋅ ⋅ (2.13)

Iuliana Lazăr

26

sau:

0=dtdτ

τ

relaţie care arată că vectorii τ şi dtdτ au direcţii perpendiculare. Notând cu n

vectorul unitate al normalei la traiectorie în punctul respectiv (Fig.2.3.), rezultă că:

ndtd=n

dtd=

dtd τττ (2.14)

Ca urmare, relaţia (2.8) devine:

v vd da = + ndt dt

ττ (2.15)

şi arată că vectorul a are două componente reciproc perpendiculare: o

componentă tangentă la traiectorie, ta , determinată de variaţia vitezei ca mărime

şi o componentă normală la traiectorie, na , determinată de variaţia vitezei ca

direcţie. Cele două componente au expresiile:

v vt nd d= şi =a adt dt

τ (2.16)

Din figura 2.3 se observă că:

1| d |=| | d = dτ τ α α (2.17)

iar arcul P1P2 = dS = R.dα.

Acum se poate scrie:

v vv v2

nd d dS= = = =a dt dt R dt Rτ α (2.18)

sau, conform cu relaţia (2.15), avem:

v2

n = na R (2.19)

vt

d=adtτ (2.20)

Se pot considera câteva cazuri particulare:

a) dacă R→∞, mişcarea devine rectilinie şi na = 0 , putând să existe numai ta ;


27

b) dacă R = const. şi v = const., mişcarea este uniform circulară şi ta = 0 , respectiv

v2

n = naR

, ultima numindu-se acceleraţie centripetă.

2.2. DINAMICA

Dinamica este acea parte a mecanicii care studiază mişcarea pornind de

la cauzele acesteia. Studiul sistemelor din punct de vedere dinamic are la bază

un număr de principii fundamentale, cunoscute sub numele de principiile

dinamicii. Cel mai important dintre acestea, cunoscut şi sub numele de

principiul fundamental al dinamicii, poate fi enunţat astfel: "forţa rezultantă care

acţionează asupra unui punct material este proporţională cu viteza de variaţie a

impulsului":

dtpdF ~ (2.21)

unde mărimea notată cu litera p este egală cu produsul dintre masă şi viteză şi

poartă numele de impuls. În Sistemul Internaţional de Unităţi, constanta de

proporţionalitate este egală cu unitatea, astfel încât:

( v)dp d mFdt dt

= = (2.22)

Cum în mecanica clasică, masa este o mărime constantă, ecuaţia de mai

sus se mai poate scrie:

vdF m madt

= = (2.23)

Conform acestei relaţii, masa este "o constantă de proporţionalitate" între forţă

şi acceleraţie, sau altfel spus, este o mărime care determină valoarea

acceleraţiei unui corp atunci când este supus unei forţe date. Cu cât masa este

mai mare, cu atât acceleraţia determinată de forţă este mai mică, adică masa

este o măsură a inerţiei corpurilor şi masa astfel definită mai poartă numele de

masă inerţială. O altă posibilă definiţie a masei este legată de forţa de atracţie

gravitaţională:

mgG = (2.24)

Iuliana Lazăr

28

Masa astfel definită este denumită masă grea şi are altă semnificaţie decât

masa inertă: dacă valoarea unei forţe oarecare nu este determinată de valoarea

masei inerte, valoarea greutăţii este determinată direct şi univoc de valoarea

masei grele. În primul caz, masa este o măsură a inerţiei, în timp ce în al doilea

caz, masa determină valoarea forţei. Diferenţa dintre cele două feluri de masă a

constituit o problemă pentru fizicieni timp de secole, echivalenţa celor două fiind

postulată de Einstein în teoria relativităţii generale.

Cel de-al doilea principiu important al mecanicii este principiul acţiunii şi

reacţiunii: "dacă un corp acţionează asupra altui corp cu o forţă numită acţiune,

cel de-al doilea acţionează asupra celui dintâi cu o forţă egală şi de sens

contrar numită reacţiune".

Pentru caracterizarea din punct de vedere dinamic a unui sistem, sunt

folosite şi mărimile energetice: lucrul mecanic, energia cinetică şi energia

potenţială.

Să considerăm un punct material asupra căruia acţionează forţa F ,

variabilă atât ca mărime cât şi ca direcţie şi sens. Fie r şi rd+r vectorii de

poziţie a punctului material P la momentul iniţial şi după un interval de timp dt,

unde dr|=rd| reprezintă deplasarea elementară (Fig.2.4.).

Prin definiţie, lucrul mecanic elementar făcut de forţa F pentru deplasarea

punctului material din punctul P0 în punctul P este:

αcosFdr=rdF=dW (2.25)

iar lucrul mecanic total, pe întreaga curbă AB, va fi:

Fig.2.4. Fig.2.5


29

rdF=WB

A∫ (2.26)

Dacă F,F,F zyx sunt proiecţiile forţei F pe cele trei axe, iar d,d,d zyx sunt

componentele vectorului rd pe aceleaşi axe de coordonate, se poate scrie:

dz)F+dyF+dxF(=W zyx

B

A∫ (2.28)

care reprezintă expresia analitică a lucrului mecanic.

Intr-un sistem de axe de coordonate )r,F( , lucrul mecanic este egal cu

suprafaţa haşurată din figura 2.5.

Prin definiţie, energia cinetică a unui punct material este egală cu: 2v

2mT = (2.29)

unde m este masa iar v este viteza punctului material. Trebuie subliniat faptul că

energia cinetică este conform relaţiei de definiţie o mărime întotdeauna pozitivă.

Presupunem că forţa care se exercită asupra punctului material nu depinde

decât de poziţia punctului. O regiune în care asupra fiecărui punct acţionează o

forţă formează un câmp de forţe. O forţă care are proprietatea că lucrul mecanic

efectuat de ea este independent de drumul parcurs şi nu depinde decât de poziţia

iniţială şi de poziţia finală a punctului se numeşte forţă conservativă. Un alt mod de

a defini forţa conservativă este următorul: o forţă este conservativă dacă ea poate fi

scrisă ca fiind egală cu gradientul (derivata spaţială) unei mărimi spaţial numite

potenţial sau energie potenţială. Matematic aceasta se scrie astfel:

UF −∇= (2.30)

unde U este energia potenţială. Relaţia se poate scrie şi pe componente astfel:

zUF

yUF

xUF zyx ∂

∂−=

∂∂

−=∂∂

−= ;; (2.31)

Energia potenţială este o energie de poziţie, spre deosebire de energia

cinetică, definită ca o energie de mişcare, însă ambele reprezintă forme ale energiei

mecanice.

Trebuie subliniat faptul că prin modul în care a fost definită energia

potenţială în relaţia (2.31), prin adăugarea unei constante lui U, valoarea forţei nu

Iuliana Lazăr

30

se modifică. Aceasta înseamnă că poziţia corespunzătoare unei energii potenţiale

nule este arbitrară, trebuind însă ca pentru o problemă dată, să avem grijă ca

nivelul de referinţă al energiei potenţiale să fie ales în mod unic. Termenul de forţă

conservativă cu care este asociată energia potenţială indică faptul că ea este utilă

numai în cazul problemelor în care nu există pierderi de energie mecanică. Cea

mai des întâlnită ocazie în care apar pierderi de energie mecanică este aceea în

care deplasările se fac cu frecare.

2.3. CINEMATICA ŞI DINAMICA MIŞCĂRII DE ROTAŢIE

În situaţia în care traiectoria pe care se efectuează mişcarea este un cerc

de rază r, spaţiul parcurs pe circumferinţă este:

θ= rs (2.32)

unde θ este unghiul la centru descris de raza vectoare (Fig.2.6).

Calculul vitezei dă, ţinând cont că raza traiectoriei este constantă:

v drdtθ

= (2.33)

Poziţia mobilului pe traiectorie poate fi exprimată prin valoarea unghiului la

centru θ, iar variaţia în timp a unghiului poartă numele de viteză unghiulară:

dtdθ

=ω (2.34)

Similar acceleraţiei liniare se poate defini şi o acceleraţie unghiulară:

2

2

dtd

dtd θ

=ω

=ε (2.35)

sθ

rO

Fig.2.6


31

Corpurile supuse unor mişcări circulare sunt caracterizate de o mărime

numită moment de inerţie. Pentru un punct material de masă m care se mişcă

pe o traiectorie circulară de rază r, valoarea acestuia este: 2mrI = (2.36)

Dacă este vorba despre un corp oarecare, rotindu-se în jurul unei axe

fixe, expresia momentului de inerţie se scrie astfel:

∫= dmrI 2 (2.37)

unde r este distanţa de la elementul de masă dm la axa de rotaţie. Folosindu-se

în locul masei momentul de inerţie, iar în locul vitezei liniare, viteza unghiulară,

expresia energiei cinetice devine:

2

2ω=

IT (2.38)

relaţie echivalentă cu (2.29).

In mişcarea de translaţie, acceleraţia liniară a unui punct material este

asociată cu forţa. In mişcarea de rotaţie, acceleraţia unghiulară a punctului

material este asociată cu momentul forţei. Dacă o forţă F acţionează asupra unui

punct material P a cărui poziţie este dată de vectorul de poziţie r (Fig.2.7),

momentul M al forţei în raport cu originea O, este definit prin relaţia:

Fr=M × (2.39)

Momentul M al forţei F este un vector perpendicular pe planul determinat

de F şi r şi al cărui sens este dat de regula produsului vectorial. Modulul

momentului forţei are valoarea:

nrFbFFrrFM === ),sin( (2.40)

Fig.2.7 Fig.2.8

Iuliana Lazăr

32

unde b, care poartă numele de braţul forţei, reprezintă distanţa de la centrul de

rotaţie la dreapta suport a forţei, iar Fn este componenta forţei normală pe raza

vectoare. Aşa cum forţa este necesară pentru modificarea vitezei liniare,

momentul forţei este necesar pentru modificarea vitezei unghiulare. Conform

relaţiei (2.40), pentru ca o forţă să nu determine o mişcare de rotaţie, este necesar

ca forţa să fie aplicată în punctul în jurul căruia se poate produce rotaţia (b = 0)

sau să fie paralelă cu corpul (Fn = 0).

Anterior am văzut că impulsul este util în studiul mişcării de translaţie a

punctelor materiale individuale sau a sistemelor mecanice. Se pune întrebarea:

care este omologul impulsului în mişcarea de rotaţie? Acesta este momentul

cinetic, dat de vectorul L (Fig.2.8) definit prin relaţia:

pr=L × (2.41)

unde p este vectorul impuls al punctului de masă m, iar r este vectorul de

poziţie al acestuia în raport cu originea O. Direcţia lui L este perpendiculară pe

planul determinat de vectorii r şi p , iar sensul este dat de sensul produsului lor

vectorial.

Cele două mărimi pot fi exprimate şi în funcţie de mărimile cinematice

caracteristice mişcării de rotaţie astfel:

ω=θ= ILIM ; (2.42)

2.4. TEOREME DE CONSERVARE

Probabil cea mai importantă idee din fizică este aceea a conservării. Ea

este importantă deoarece permite obţinerea unor ecuaţii utile în rezolvarea

problemelor practice. În fizică sunt multe mărimi care se conservă, însă unele

se conservă în orice situaţie (sarcina electrică, energia totală), iar altele, în

anumite condiţii (impulsul, momentul cinetic). O menţiune specială trebuie

acordată masei, a cărei conservare nu a fost pusă la îndoială până la apariţia

teoriei relativităţii şi la punerea în evidenţă a variaţiei masei în procesele

nucleare. Vom trece în revistă în continuare trei teoreme de conservare folosite

frecvent în mecanică.


33

Teorema de conservare a impulsului. Dacă forţa rezultantă care

acţionează asupra unui sistem este nulă, impulsul său se conservă.

Într-adevăr, dacă scriem ecuaţia principiului fundamental al dinamicii

(2.22):

.00 constppddtpdF =⇒=⇒== (2.43)

Această teoremă este deosebit de utilă în special în procesele de interacţiune

dintre particule, unde nu sunt implicate forţe externe (de exemplu în cazul

ciocnirilor).

Teorema de conservare a energiei mecanice Într-un sistem mecanic în

care acţionează numai forţe conservative, energia mecanică se conservă.

În demonstrarea acestei teoreme se pleacă de la expresia lucrului

mecanic, transformată după cum urmează: 2v v. v v v

2d dr mdL Fdr ma dr m dr m d m d d dTdt dt

⎛ ⎞= = = = = = =⎜ ⎟

⎝ ⎠ (2.44)

Scriind acum din nou lucrul mecanic:

dUdzzUdy

yUdx

xUrUdrdFdL −=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

−=−∇== (2.45)

Combinând cele două relaţii, rezultă că:

.0)(0 constUTEUTddUdT =+=⇒=+⇒=+ (2.46)

deci energia mecanică totală a unui sistem conservativ este constantă.

Teorema de conservare a momentului cinetic. Dacă momentul forţei care

acţionează asupra unui sistem este nul faţă de un punct, momentul cinetic faţă de

acelaşi punct este constant.

Pentru demonstrarea teoremei vom calcula viteza de variaţie a momentului

cinetic:

( v) vvdL d r m dr dm r m r F Mdt dt dt dt

×= = × + × = × = (2.47)

şi dacă momentul forţei este nul, atunci variaţia momentului cinetic este zero şi

deci valoarea acestuia este constantă. În stabilirea relaţiei (2.47) am folosit faptul

că:

Iuliana Lazăr

34

v v v 0dr m mdt

× = × = (2.48)

deoarece produsul vectorial a doi vectori coliniari este nul.

2.5. STATICA

Statica este acea parte a mecanicii care se ocupă cu studiul echilibrului

corpurilor, atunci când acestea sunt supuse acţiunii unor forţe şi unor cupluri de

forţe.

Condiţia ca un sistem mecanic să se găsească într-o stare de echilibru

este ca suma vectorială a forţelor care acţionează asupra sistemului şi suma

vectorială a momentelor forţelor faţă de orice punct să fie nule:

∑ ∑ == 0;0 ii MF (2.49)

Pentru a înţelege mai bine condiţia de echilibru, vom folosi un exemplu

practic: să calculăm forţa necesară menţinerii antebraţului în poziţie orizontală,

atunci când în mână este ţinut un corp de masă m = 10 kg.

Pentru rezolvarea acestei probleme, vom folosi un model simplificat al

braţului, în care am reprezentat toate forţele implicate, ca în Fig.2.9.

În figură sunt reprezentate braţul, antebraţul şi bicepsul. Forţa cu care

acţionează bicepsul, şi pe care trebuie să o calculăm este Fb, greutatea proprie a

antebraţului este Ga = mag = 40 N (am considerat masa antebraţului 4 kg şi

acceleraţia gravitaţională 10 m/s2), greutatea corpului G = 100 N, iar Fr este forţa

de reacţiune care acţionează asupra antebraţului, din partea braţului, în cot.

Lungimea antebraţului o vom considera egală cu 0.4 m, iar punctul în care

bicepsul acţionează asupra antebraţului îl vom considera la 4 cm de cot. Vom mai

considera unghiul făcut de biceps cu orizontala β = 70°.

În această problemă, numărul de necunoscute este egal cu trei: forţa din

biceps, forţa de reacţiune şi unghiul sub care aceasta acţionează. Pentru

rezolvarea problemei este deci necesar să scriem trei ecuaţii: două ecuaţii de

echilibru pentru forţe, corespunzătoare la două direcţii perpendiculare (x şi y) şi

una pentru momentele forţelor.


35

Pentru aceasta, trebuie să descompunem forţele după o direcţie orizontală

şi una verticală şi să alegem un punct faţă de care să calculăm momentele.

Acesta trebuie să fie punctul în care sistemul poate să se rotească, în cazul nostru

cotul. Cu notaţiile din Fig.2.9.b, se pot scrie ecuaţiile de echilibru:

a. ecuaţia de echilibru a forţelor pe direcţia x:

0coscos =β−α=− brbxrx FFFF (2.50)

b. ecuaţia de echilibru a forţelor pe direcţia y:

0sinsin =−−α−β=−−− GGFFGGFF arbaryby (2.51)

c. ecuaţia de echilibru a momentelor (considerăm prin convenţie pozitive

momentele forţelor care tind să rotească antebraţul în sens orar şi negative pe

cele care tind să imprime o rotaţie în sens trigonometric):

02

sin =−−β=−− GllGdFMMM abGGF ab (2.52)

unde am folosit faptul că punctul de aplicaţie al lui Ga este la jumătatea

antebraţului (în centrul de greutate), braţul forţei Fb este d.sinβ, iar momentul lui Fr

este nul deoarece are punctul de aplicaţie chiar în cot.

Din relaţia (2.52) rezultă imediat:

Nd

GllGF

a

b 1277sin2 =

β

+= (2.53)

Această valoare a forţei exercitate de biceps, mult mai mare decât a

greutăţii corpului ţinut în mână, se datorează faptului că punctul de aplicaţie al

Fig.2.9 a) Modelul simplificat al braţului; b) Schema forţelor implicate

Iuliana Lazăr

36

forţei este mult mai aproape de cot decât cel al greutăţii, şi de aceea şi momentul

forţei corespunzătoare este mai mic.

Continuând calculele se obţin şi valorile celorlalte necunoscute:

NFr 1146;6.67 =°=α

2.6. FRECAREA ŞI REZISTENŢA

Faptul că frecarea este incompatibilă cu energia potenţială, nu este de

natură să ne permită să considerăm frecarea neglijabilă sau neimportantă. De

fapt, în natură toate sistemele sunt supuse sub o formă sau alta frecării, iar în

unele cazuri, frecarea este indispensabilă realizării deplasării. Dacă de exemplu

între cauciucul unui automobil şi asfalt nu ar exista frecare, deplasarea

automobilului nu ar fi posibilă, cauciucul rotindu-se în loc. Forţele care duc la

pierderea de energie mecanică (disipative) pot fi împărţite în două categorii:

- forţele de frecare: sunt forţele care iau naştere la suprafaţa de contact

dintre corpuri solide

- forţele de rezistenţă: sunt forţele care iau naştere la deplasarea unui corp

solid într-un fluid.

Forţele de frecare sunt caracterizate de un coeficient de frecare şi sunt

proporţionale cu forţa cu care corpul în mişcare apasă asupra suprafeţei pe

care se deplasează:

NFf μ= (2.54)

unde μ este coeficientul de frecare, care depinde de natura suprafeţelor în

contact, iar N este forţa de apăsare normală pe suprafaţă. Forţa de frecare este

orientată întotdeauna în sens opus deplasării.

Experimental s-a pus în evidenţă faptul că un corp care se mişcă într-un

fluid vâscos este supus unei forţe care se opune mişcării. Sub o formă generală,

forţa de rezistenţă cu care acţionează fluidul asupra corpului poate fi scrisă astfel:

vr = -ksf( )F (2.55)


37

unde k este o constantă ce depinde de densitatea fluidului, s este aria maximă a

secţiunii transversale a corpului, iar vf( ) este o funcţie de viteza relativă a

corpului faţă de fluid.

Constanta k poate fi considerată ca fiind constantă pentru o formă

geometrică dată. Ca exemplu în acest sens, în figura 2.10 se indică valorile lui k

(în funcţie de densitatea fluidului) pentru diferite obstacole cu simetrie de revoluţie,

toate de acelaşi diametru.

In cazul vitezelor mici, f(v)=v. Un caz particular, deosebit de interesant din

punct de vedere practic, este cel studiat de către Stokes şi anume mişcarea unei

sfere omogene printr-un fluid vâscos. In această situaţie, forţa de frecare este:

vr = - 6 r F π η (2.56)

unde r este raza sferei, v - viteza ei relativă, iar η este un coeficient care depinde

ne natura fluidului şi care poartă numele de vâscozitate dinamică.

In cazul corpurilor care se deplasează cu viteze medii prin fluid, funcţia din

formula (2.55) are forma f(v)=v2, iar la viteze supersonice f(v)=v3.

Pentru a exemplifica în continuare modul în care forţa de rezistenţă

influenţează mişcarea, vom considera căderea unei macromolecule, pe care

pentru simplitate, o vom considera de formă sferică, într-un lichid biologic.

Fig.2.10 Valorile constantei k din expresia forţei de

rezistenţă în funcţie de forma geometrică a corpului

Fig.2.11

Iuliana Lazăr

38

După cum se poate observa din figura 2.11, asupra moleculei acţionează

trei forţe: forţa de greutate, forţa arhimedică şi forţa de rezistenţă. Forţa

arhimedică este prin definiţie egală cu greutatea volumului de fluid dislocuit de

corp şi este orientată în sens opus greutăţii. Presupunând că molecula cade în

fluid, forţa de rezistenţă este orientată de asemeni în sens opus greutăţii.

Principiul fundamental al dinamicii dă pentru acest caz ecuaţia:

v 6 v ( ) 6 va r f m fdma m G F F mg Vg r Vg rdt

ρ πη ρ ρ πη= = − − = − − = − − (2.57)

unde m este masa moleculei, ρf este densitatea fluidului, ρm este densitatea

moleculei, iar V este volumul moleculei. Forţa de rezistenţă a fost înlocuită cu

relaţia din (2.56). Ecuaţia (2.57) reprezintă o ecuaţie diferenţială de ordinul întâi,

care prin integrare dă expresia vitezei în funcţie de timp. Presupunând că la

momentul iniţial (t = 0), viteza moleculei era nulă, atunci, după un timp suficient

de lung, se ajunge la o viteză care nu mai depinde de timp, numită viteză limită

de cădere:

max

( )v

6m f Vg

rρ ρ

πη−

= (2.58)

O mărime mai generală decât această viteză limită care să caracterizeze

mişcarea este constanta de sedimentare, definită ca raportul dintre viteza limită

şi acceleraţia gravitaţională:

max ( )v6

m f Vs

g rρ ρ

πη−

= = (2.59)

Utilizarea acestei mărimi este legitimată de faptul că de multe ori

mişcarea descrisă mai sus nu se face numai sub acţiunea greutăţii. Cel mai bun

exemplu este acela al proceselor care au loc într-o centrifugă. Într-un astfel de

dispozitiv, particulele aflate într-un fluid sunt supuse unor forţe centrifuge foarte

mari, ale căror acceleraţii sunt cu mult mai mari decât acceleraţia gravitaţională,

astfel încât greutatea devine neglijabilă.


39

2.7. DEFORMAREA CORPURILOR SOLIDE

In paragrafele precedente, corpurile au fost presupuse având o formă

bine precizată, care nu se modifică în timpul considerat. In realitate, sub

acţiunea unor forţe suficient de intense, corpurile solide suferă modificări de

formă şi dimensiune, care pot fi temporare (dispar o dată cu acţiunea forţei),

numite deformări elastice sau permanente (se menţin şi după încetarea acţiunii

forţei), numite deformări plastice. Limita de separare dintre cele două domenii

de deformare este dată de proprietăţile substanţei din care este făcut corpul şi

de intensitatea forţei care acţionează asupra lui. Cantitativ, limita de separare

dintre cele două domenii este dată de o lege stabilită pe cale experimentală şi

numită legea lui Hooke. Conform acesteia, în domeniul de elasticitate,

deformarea este proporţională cu forţa care acţionează asupra obiectului,

normalizată de obicei la unitatea de suprafaţă. In afara domeniului de

elasticitatea, legătura dintre cele două mărimi nu mai este liniară (Fig. 2.12).

Natura şi orientarea forţelor care acţionează asupra unui solid este foarte

diversă. Pentru a caracteriza deformarea produsă, vom considera în continuare

un corp solid de formă paralelipipedică, având una dintre feţe fixe, asupra feţei

opuse acţionând o forţă arbitrară (Fig.2.13). Indiferent de orientarea forţei, ea

poate fi descompusă în două componente, una aflată în acelaşi plan cu faţa

corpului, iar cealaltă perpendiculară pe prima. Cele două componente ale forţei

Fig.2.12

M'

Mdomeniu plastic

Q

Pdomeniu elastic

Def

orm

area

Efortul unitar

Iuliana Lazăr

40

sunt corespunzătoare celor două tipuri principale de acţiuni la cere este supus

un solid: tracţiunea sau compresiunea, pentru componenta forţei orientată

perpendicular pe faţa solidului, respectiv forfecarea pentru componenta aflată în

planul forţei.

Corespunzător acţiunii acestor forţe, deformările corespunzătoare ale

corpului sunt alungirea sau comprimarea, respectiv alunecarea. Vom studia în

continuare separat fiecare caz.

2.7.1. Acţiunile simple la care este supus un corp solid

Prima categorie a acţiunilor elementare la care este supus un corp solid

este aceea a tracţiunii şi comprimării şi se întâlneşte în situaţia în care forţa se

exercită pe direcţie perpendiculară pe faţa corpului care este opusă unei feţe

fixe, ca în Fig. 2.14:

Cazul ilustrat în Fig.2.14 este cel al tracţiunii, în cel al comprimării forţa F

fiind orientată în sens invers. După cum se poate observa, sub acţiunea forţei

de tracţiune, corpul suferă o alungire Δl. Se constantă experimental, conform

legii lui Hooke, că alungirea relativă este proporţională cu forţa exercitată pe

unitatea de suprafaţă:

1l Fl E SΔ

= (2.60)

F

Ft

Fn

Fig. 2.13 Modul de descompunere al forţei care acţionează asupra feţei unui corp solid


41

unde mărimea E este o constantă specifică materialului din care este

confecţionat corpul, numită modul de elasticitate sau modul Young. Făcând o

analiză dimensională a relaţiei (2.60) rezultă că unitatea de măsură a modulului

de elasticitate este N.m-2.

In cel de-al doilea caz, când forţa deformatoare se află în acelaşi plan cu

faţa asupra căreia se exercită, avem de-a face cu o forfecare, al cărei efect este

alunecarea.

Aşa cum se arată în Fig. 2.15, măsura alunecării este unghiul cu care se

abate corpul de la direcţia iniţială şi conform legii lui Hooke, acesta trebuie să

fie proporţional cu forţa exercitată pe unitatea de suprafaţă:

1 FG S

α = (2.61)

F

α

Fig. 2.15. Forţa F este o forţă de forfecare şi are drept efect o alunecare a corpului

l

F

Δl m

Fig. 2.14. Sub acţiunea forţei F care acţionează perpendicular pe faţa corpului, acesta suferă o alungire

Iuliana Lazăr

42

unde G este modulul de rigiditate sau modulul de forfecare având valoarea

dependentă de natura corpului. In tabelul alăturat sunt date câteva valori ale

constantelor elastice ale unor materiale uzuale.

Tabelul 2.1. Constantele elastice ale diferitelor materiale

F/S (N.m-2) Material E(N.m-2) G(N.m-2)

în punctul P în punctul Q

Aluminiu Fier Oţel normal Cupru Bronz Os compact de femur umed Os spongios

7x1010 2x1011 (1,8 la

2,5)x1011 1,2x1011 1,1x1011 1,7x1010

1,7x108

2,5x1010 8x1010 (7,5 la

10)x1010 4x1010

4,5x1010 0,8x1010

108

5x107 2x108 109 107 107

5x107

15x107 4x108 2x109 3x107 3x107 15x107

Se poate observa că valorile constantelor elastice ale osului compact

sunt apropiate de cele ale metalelor. Este interesant de calculat comprimarea la

care este supus unul dintre cele mai solicitate din punct de vedere mecanic

oasele scheletului uman, tibia. Să considerăm un om cu masa de 70 de kg care

stă în picioare. Presupunând că greutatea se distribuie în mod egal pe cele

două picioare şi neglijând influenţa altor oase, pentru o rază medie a tibiei de 1

cm, efortul unitar suportat este:

6 22 4

70 9.81 1.1 10 /2 2 10

F G N mS Rπ π −

×= = ×

×

şi folosind legea lui Hooke (2.60), obţinem o comprimare relativă de:

51 6.5 10 0.0065%l Fl E S

−Δ= = × =

Considerând o lungime medie a tibiei de 30 cm, rezultă ca sub acţiunea

greutăţii corpului osul suferă o comprimare de aproximativ 0,02 mm. Această

valoare poate fi considerată pe bună dreptate neglijabilă, însă proprietăţile

elastice ale scheletului îşi dovedesc importanţa în solicitările complexe la care

este supus.


43

In realitate, solicitările mecanice la care este supus un sistem sunt

complexe, fiind date nu numai de forţele care tind să deformeze corpul, dar şi

de momentele acestora, cum este în cazul flexiunii plane sau al torsiunii (Fig.

2.16).

2.7.2. Limita de elasticitate şi rupere

După cum se poate vedea din figura 2.12, în care este reprezentată

dependenţa experimentală a deformării de efortul unitar, diagrama poate fi

împărţită în funcţia de mărimea deformării în două zone distincte. La valori mici

ale deformării (din origine până în punctul P), la încetarea acţiunii forţei

deformatoare, corpul revine la forma şi dimensiunile iniţiale şi spunem că ne

găsim în domeniul deformărilor elastice. Dacă se depăşeşte limita de

elasticitate, deformările devin permanente (domeniul P-Q) şi legea lui Hooke nu

mai este valabilă, deformarea nemaifiind proporţională cu efortul unitar. La

încetarea forţei deformatoare, corpul nu mai revine la starea iniţială, el urmează

o diagramă nouă, M-M’, corespunzătoare noilor stări ale sistemului. In acest

domeniu, forma corpului nu se modifică foarte mult, el păstrându-şi parţial

elasticitatea.

Dacă forţa aplicată corpului este suficient de mare pentru ca diagrama

deformării să atingă punctul Q, spunem că este atinsă limita de rupere şi corpul

suferă o transformare plastică importantă, ruperea. In tabelul 2.1 pot fi văzute

valorile eforturile unitare corespunzătoare punctelor P şi Q ale unor materiale.

F F

F

Fig.2.16. a) Flexiunea plană b) Torsiunea

Iuliana Lazăr

44

După cum se poate vedea valorile respective sunt mult inferioare valorilor

modulului de elasticitate, adică valorile posibile ale alungirilor relative din

domeniul de elasticitate sunt mici, în general sub 1 %.

2.8. MIŞCAREA ÎN BIOLOGIE. INFLUENŢA GRAVITAŢIEI ASUPRA VIEŢII

Se poate spune că mişcarea este însăşi esenţa vieţii. În biologie, mişcarea

este prezentă sub toate formele, de la mişcarea mecanică simplă, până la

mişcarea biologică, realizată cu organe specializate. Deşi ar părea că plantele

nu au legătură cu mişcarea, trebuie să nu confundăm mişcarea cu modificarea

poziţiei în spaţiu a întregului sistem. Plantele au o capacitate ridicată de

mişcare, cel mai bun exemplu în acest sens fiind floarea soarelui. Însuşi

procesul de creştere poate fi perceput ca o mişcare mecanică.

La nivel celular, mişcarea este realizată de obicei prin mecanisme

chimice: difuzie, mişcări ionice, sau prin gradienţi ai unor mărimi fizice. Curenţii

care iau naştere în interiorul citoplasmei celulare au un rol foarte important,

acela de a transporta diferitele substanţe în celulă, asigurând astfel buna

funcţionare a diferitelor componente ale acesteia. Mai mult, la unele organisme

monocelulare (ameoba), aceşti curenţi citoplasmatici au chiar rol de locomoţie.

Un nivel superior de dezvoltare este reprezentat de apariţia la unele organisme

unicelulare a unor cili (flageli) care permit deplasarea în medii fluide.

Poate cel mai important factor mecanic ce influenţează lumea vie este

gravitaţia. Prin faptul că toate organismele sunt supuse permanent unei forţe de

atracţie din parte Pământului, întreaga dezvoltare a biosferei a fost influenţată.

Mărimea forţei gravitaţionale influenţează poate cel mai mult dezvoltarea viului.

Dacă Pământul ar fi fost mai mare, suferind acţiunea unor forţe mai mari,

organismele ar fi avut cu siguranţă o talie mai mică, deplasarea ar fi fost mai

greoaie, şi este posibil chiar ca zborul să nu mai fi fost posibil. Experimentele

realizate în spaţiu cosmic, în condiţii de imponderabilitate au demonstrat faptul

că funcţiile organismului se modifică în absenţa gravitaţiei, aceasta fiind poate

cea mai importantă piedică în calea colonizării cosmosului.


45

Forţa de atracţie gravitaţională este proporţională cu masa corpului

ceresc care o exercită; este necesară o anumită mărime a planetei pentru ca

această forţă să fie favorabilă evoluţiei chimice a materiei spre viaţă. O planetă

prea mare are o forţă de atracţie gravitaţională suficient de mare pentru a reţine

în atmosferă gaze ca hidrogenul, amoniacul sau metanul, atmosfera este foarte

densă şi razele soarelui nu reuşesc să ajungă până la suprafaţa nucleului solid

pentru a putea realiza reacţiile chimice necesare existenţei vieţii. In sistemul

solar acesta este cazul planetelor Jupiter sau Saturn. Pe de altă parte, o

planetă prea mică, cu gravitaţie redusă, nu poate reţine la suprafaţă o

atmosferă gazoasa, ceea ce împiedică de asemenea apariţia vieţii.

Efectul direct al gravitaţiei asupra fiinţelor vii se manifestă prin influenţa

mărimii, formei şi structurii. Forţa de atracţie gravitaţională este proporţională cu

masa, deci cu volumul corpului, ceea ce este echivalent cu o relaţie de

proporţionalitate între forţă şi cubul dimensiunii liniare a corpului F ∼ L3. Pe de

altă parte, alte forţe din natură sunt proporţionale cu suprafaţa corpului sau cu

secţiunea sa transversală, deci relaţia de proporţionalitate este de tipul F ∼ L2.

Unul dintre cele mai importante efecte este cel al forţelor de tip elastic. Forţa

deformatoare este greutatea, proporţională cu cubul dimensiunii liniare, în timp

ce efectul acesteia este proporţional cu secţiunea, deci cu pătratul dimensiunii

liniare. Aceasta face ca pentru aceeaşi masă, corpuri cu secţiuni (forme) diferite

să suporte solicitări diferite. Cum forma este legată şi de utilitate şi

funcţionalitate, înseamnă ca gravitaţia aduce o limitare pentru dimensiunile

plantelor şi animalelor, dar şi pentru construcţiile umane. Cel dintâi care a

sesizat această limitare a fost Galilei, care a presupus că natura nu poate

construi arbori şi animale oricât de mari cu materialele pe care le are la

dispoziţie, după cum omul este limitat în ambiţiile sale de a construi edificii cât

mai înalte de rezistenţa materialelor folosite. In 1778 Euler a demonstrat

matematic faptul că o coloană prea înaltă se poate strivi sub acţiunea propriei

greutăţi. Propria greutate şi limitarea rezistenţei la vânt limitează şi talia

arborilor. Un studiu statistic realizat în 1983 asupra a 576 de specii de arbori din

Statele Unite a demonstrat relaţia teoretică dintre înălţimea maximă a arborilor

şi raza acestora l3 ∼ r2.

Iuliana Lazăr

46

Influenţa gravitaţiei asupra animalelor se manifestă mai ales la nivelul

scheletului. Animalele de talie mare (elefantul, rinocerul, hipopotamul) au

oasele membrelor relativ mai groase. In acelaşi timp, proporţional cu cele ale

altor animale ele sunt mai scurte, pentru a evita flambajul (flexiunea plană). Ca

exemplificare, la şoarece scheletul reprezintă 8 % din masa totală, în timp ce la

om procentul ajunge la 18 %. Pe parcursul evoluţiei, formele de dimensiuni

foarte mari nu s-au dovedit viabile şi nu au supravieţuit până în prezent.

Animalele voluminoase nu sunt numai grele, ele sunt şi greoaie. Dacă masa

deplasată este proporţională cu L3, eficienţa muşchilor este proporţională cu L2,

în timp ce energia necesară deplasării este proporţională cu L4. Probabil cel mai

mare animal din epoca dinozaurilor era brahiozaurul, care putea să ajungă la 78

de tone. Pentru comparaţie, cel mai mare animal terestru de astăzi, elefantul,

are o masă de aproximativ 4 tone. In schimb, datorită forţei arhimedice, în apă

greutatea reală a animalelor este mult mai mică, ceea ce permite atingerea

unor dimensiuni cu mult superioare celor ale animalelor terestre. Astfel, balena

poate să cântărească până la 100 tone. Diferenţele se observă şi la nivelul unor

animale mai mici, talia crabilor de apă fiind mai mare decât a celor de uscat.

Pentru a le putea permite zborul, păsările au o structură particulară care le

permite să îşi micşoreze greutatea specifică. Ele au oasele tubulare având în

interior saci cu aer cald în conexiune cu plămânii. De asemenea, penajul

conţine o anumite cantitate de aer care contribuie şi ea la scăderea greutăţii

specifice a întregului corp.

O altă limitare dinamică a taliei animalelor este dată de efectul energiei

cinetice când se atinge pământul în mers şi în salt. Oasele unui iepure de 3 kg

suferă după un salt de 0.4 m o tensiune echivalentă cu o masă de 6.7 kg, în

timp ce pentru un cal cu masa de 320 kg, după un salt efortul este echivalent

unei mase de aproximativ 2 tone.

Rezumând, acţiunea gravitaţiei se manifestă atât asupra factorilor de

mediu, cât şi asupra formei şi dimensiunii lumii vii. Putem să ne imaginăm viaţa

pe o planetă cu o gravitaţie mai mare decât a Terrei. Datorită gravitaţiei mai

mari atmosfera este mai densă, absorbţia radiaţiei solare la nivelul solului este

mai scăzută şi deci temperatura mai mică. Animalele ar fi mai mici, cu organe


47

de locomoţie mai dezvoltate, iar zburătoarele ar lipsi, fauna fiind în general mai

săracă, cu o mai mică diversitate. Condiţiile climatice ar duce şi la modificări de

metabolism, acesta fiind probabil mai ridicat.

Existenţa câmpului gravitaţional se constituie în acelaşi timp şi ca factor

de excitare a unor organe specializate. Astfel, plantele cresc în direcţie verticală

(pe direcţia liniilor de câmp), indiferent de forma solului. Animalele superioare

au în urechea internă un întreg sistem mecanic ce permite menţinerea

echilibrului, acesta lucrând pe baze gravitaţionale. Demonstrarea acestui fapt

este foarte simplă şi se realizează prin "păcălirea" sistemelor specializate cu

ajutorul altor tipuri de forţe, cea mai uşor de folosit fiind forţa centrifugă. Cu toţii

ne amintim de jocurile copilăriei, când după ce ne roteam suficient de rapid, ne

pierdeam imediat echilibrul, senzaţia de ameţeală dispărând doar după un timp,

necesar organismului pentru a reveni la normalitate. Un experiment interesant a

fost făcut şi asupra plantelor. Au fost plantate seminţe pe circumferinţa unei roţi

aflată în mişcare. Toate plantele au crescut către interiorul roţii, luând forţa

centrifugă drept forţă gravitaţională. Acesta este unul dintre motivele pentru

care cucerirea spaţiului cosmic este deocamdată un vis departe de a fi realizat,

absenţa gravitaţiei pentru perioade lungi ducând la modificări importante şi

negative în structura scheletului, a sistemului muscular, fiind influenţat chiar şi

metabolismul.

În concluzie, pentru aprofundarea anumitor laturi ale ştiinţelor biologice

este utilă şi necesară cunoaşterea unor capitole ale mecanicii. Să nu uităm că

dezvoltarea fizicii ca „ştiinţă a naturii” a început cu mecanica.

Iuliana Lazăr

48

elemente de mecanică şi aplicaţii în biologie

Documents