modele matematice în stiinte si nu numaistoleriu/mathmodelling2016.pdf · metabolice, reµelele...

Modele matematice în ³tiinµe ³i... nu numai

Dr. Iulian Stoleriu

Facultatea de Matematic

Universitatea Al. I. Cuza Ia³i

[email protected]; [email protected]

8 Aprilie 2015

Dr. Iulian Stoleriu (Univ. Al. I. Cuza Ia³i) Modele matematice în ³tiinµe ³i... nu numai 8 Aprilie 2015 1 / 15

Aplicaµii în Biologie: Apariµia ³i evoluµia formelor în natur

Dintotdeauna oamenii au fost fascinaµi de varietatea formelor ³i culorilor ce apar înnatur , c utând s le explice în diverse moduri.De ce sunt dungate ZEBRELE? Cum apar petele la leoparD? Cum

evolueaz coarnele la ? Cum apare coloritul la ?J.D. Murray (Mathematical Biology, Springer Verlag) sugereaz c apariµia ³i evoluµiaacestor forme în natur poate explicat folosind anumite sisteme de ecuaµii cuderivate parµiale, numite ecuaµii de reacµie-difuzie, introduse de A. Turing.Turing a armat c diversele modelele ce apar pe pielea/blana animalelor apar înurma unor instabilit µi in difuzia substanµelor morfogenetice din piele ap rute întimpul st rii embrionare a evoluµiei.Dac u = u(x , y) ³i v = v(x , y) sunt concentraµiile activatorului/inhibitorului,atunci rata de schimbare a concentraţiei =

producţia - degradarea + difuzia în spaţiu∂u

∂t= F (u, v)− αu + du∆u, (x , y) ∈ Ω,

∂t= G(u, v)− βu + dv∆v .

Aplicaµii în Biologie: Apariµia ³i evoluµia formelor în natur

Dintotdeauna oamenii au fost fascinaµi de varietatea formelor ³i culorilor ce apar înnatur , c utând s le explice în diverse moduri.De ce sunt dungate ZEBRELE? Cum apar petele la leoparD? Cum

evolueaz coarnele la ? Cum apare coloritul la ?J.D. Murray (Mathematical Biology, Springer Verlag) sugereaz c apariµia ³i evoluµiaacestor forme în natur poate explicat folosind anumite sisteme de ecuaµii cuderivate parµiale, numite ecuaµii de reacµie-difuzie, introduse de A. Turing.Turing a armat c diversele modelele ce apar pe pielea/blana animalelor apar înurma unor instabilit µi in difuzia substanµelor morfogenetice din piele ap rute întimpul st rii embrionare a evoluµiei.

Teorem :

Nu exist animale care au, în acelaµi timp, dungi pecorp (piele/blan ) ³i coada în pic µele, îns exist animale ce au corpul în pic µele ³i coada dungat .

[N.B. Excepµiile sunt considerate a anomalii]

Aplicaµii în Ecologie: Modele prad -r pitor

Model matematic de lanµ troc în Ecologie:

Modeleaz evoluµia în timp pentrupopulaµiile a trei specii de pe³ti (mici,mijlocii ³i mari) aaµi în competiµie.

Notaµii: n(t) = num rul pe³tilor mici;N1(t), N2(t) = populaµiile celor dou specii de pr d tori.

dt= r n

1− n

− a1nN1

1 + b1n,

dt= c1

1 + b1n− d1N1 −

a2N1N2

1 + b2N1

dt= c2

a2N1N2

1 + b2N1

− d2N2.

Urm torul sistem de ecuaµii diferenµiale modeleaz evoluµia în timp a dou specii deanimale, prad ³i r pitor (e.g., iepuri ³i vulpi):

dt= aI (t)− bI (t)V (t) (I (t)− nr. de iepuri la momentul t)

dt= −cV (t) + dI (t)V (t). (V (t)− nr. de vulpi la momentul t)

dt= r n

1− n

− a1nN1

1 + b1n,

dt= c1

1 + b1n− d1N1 −

a2N1N2

1 + b2N1

dt= c2

a2N1N2

1 + b2N1

− d2N2.

dt= r n

1− n

− a1nN1

1 + b1n,

dt= c1

1 + b1n− d1N1 −

a2N1N2

1 + b2N1

dt= c2

a2N1N2

1 + b2N1

− d2N2.

Aplicaµie în Finanµe: Evaluarea activelor nanciare derivate

Evalueaz dreptul de cump rare a unui activ nanciar, ce valoreaz acum S0, la unmoment viitor T , cu un preµ prestabilit K ;A fost introdus de F. Black, M. Scholes & R. Merton în 1973; (premiul Nobel)

Ipoteze de lucru:opµiuni de tip call european − C(S, t);St este o mi³care brownian geometric ,

dSt = µStdt + σStdW (t);

nu exist dividende;piaµa nanciar este perfect .volatilitatea σ este o constat .

Ecuaµia Black-Scholes:

12σ2S2 ∂

∂S2+ rS

∂S= rC , t ∈ [0, T ]

Condiµia nal : C(St , T ) = (S(T )− K)+

Condiµii la limit : C(0, t) = 0, pt S = 0

C(S , T )

S→ 1 pt S →∞

Soluµia ecuaµiei este:

C0 = S0 Φ(d1)− K e−rT Φ(d2),

unde: d1 =ln (St/K) +

(r + σ2/2

σ√T

³i d2 = d1 − σ√T .

Aplicaµie în Sociologie grade de separaµie (six degrees of separation)

Psihologul american Stanley Milgram a f cut un grup de experimente ce doreau s stabileasc lungimea medie a conectivit µii unei reµele sociale din Statele Unite.

Aceste experimente au dus la concluzia c reµeaua social uman este o lume mic

Oricare dou persoane de pe glob pot unitede un ³ir de cuno³tinµe de lungime medie ≤ 6

Alte lumi mici: reµele metabolice, reµeleneuronale, reµele de computere legate lainternet ([D. Watts, 2001] analizând 48.000 deutilizatori din 157 de µ ri)

Fenomenul poate descris folosind Teoria

Grafurilor ³i Statistic Distanµa dintre dou noduri alese la întâmplare este proporµional cu num rul denoduri din reµea.

Exemple de small worlds: reµelele de socializare, internetul, Wikipedia, reµelelemetabolice, reµelele genetice, reµeaua actorilor de la Hollywood (Kevin Bacon =⇒Bacon number), reµeaua matematicienilor (Paul Erdös =⇒ Erdös number) etc.

Au aplicaµii în Sociologie, Medicin , Computer Science, tiinµele P mântului etc.

Aplicaµie în Chimie: Studiul reacµiilor chimice

ki k1 k2

k oS + E C E + P

Kinetic

(massaction

kinetics)

dt= ki − k1S E + k−1C , S(t)−substrat, E(t)−enzim

dt= −k1S E + (k−1 + k2)C , C(t)−complex, P(t)−produs

dt= k1S E − (k−1 + k2)C , lege de conservare: E + C = E0.

dt= k2C − koP.

Evoluµia reacµiei chimice este guvernat

de ecuaµia variet µii invariante:dS

dt= − vmaxS

S + KM

C = E S0

S + K M

Aplicaµie în Biochimie: Studiul reµelelor metabolice

Aplicaµii în Muzic : Serii Fourier

Aplicaµie în Arheologie: Radiocarbon dating

Willard Libby (premiul Nobel în 1960) a sugerat în 1946c elementul chimic 14C se g se³te în orice inµ vie.

Datarea cu radiocarbon este o metod de determinarea vârstei aproximative a unui obiect organic vechi prinm surarea conµinutului de 14C , izotop radioactiv al C .

Metoda: se determin concentraµia de 14C din obiec-tul g sit. În acela³i sit, se caut o mostr de copac cuaproximativ aceea³i concentraµie de 14C . Pe baza ine-lelor copacului putem determina vârsta calendaristic alui, deci ³i a obiectului.

Apar erori în datare, deoarece 14C/12C nu estecontinuu în timp. Erorile sunt determinate de diver³ifactori: glaciaµiuni, efectele omului ³i a concentraµieiatmosferice.

Este necesar o calibrare, transformarea anilorradiocarbon în ani calendaristici.

Datele necalibrate sunt prezentate în forma:SUERC-5153 3480±50 BP, iar cele calibrate subforma 1749-1875 BC.

Se presupune c 14C este produs constant ³i r mâne con-stant în atmosfer (prin interacµia neutronilor din radiaµiacosmic cu izotopul azotului 14N).

O inµ vie schimb carbon cu mediul înconjur tor, deciva avea aceea³i concentraµie de 14C ca ³i atmosfera.

Dup moarte, nu mai exist schimb de 14C , doar degradare.

Ecuaµia de degradare: N(t) = N0e−rt , unde r este rata.

Timpul de degradare la jum tate este de 5730± 40 ani.

Se presupune c 14C este produs constant ³i r mâne con-stant în atmosfer (prin interacµia neutronilor din radiaµiacosmic cu izotopul azotului 14N).

O inµ vie schimb carbon cu mediul înconjur tor, deciva avea aceea³i concentraµie de 14C ca ³i atmosfera.

Dup moarte, nu mai exist schimb de 14C , doar degradare.

Ecuaµia de degradare: N(t) = N0e−rt , unde r este rata.

Timpul de degradare la jum tate este de 5730± 40 ani.

Rezultatul dat rii va un intervalcare, cu o probabilitate de 95%,acoper vârsta real .

Sunt folosite metode statisticepentru determinarea intervalului −analiza Bayesian .

Se fac estim ri a priori pentru vârstareal a obiectului → repartiµieprobabilistic .

Aplicaµie în Geologie: Crearea de h rµi

Geologii au ca sarcin realizarea unui model geologic complet plecând de la un num rde observaµii/m sur tori care, de regul , reprezint doar o mic fracµiune din aria sauvolumul de interes.

Exemple de fenomene spaµiale sauspaµio-temporale de interes pentru ge-ologi: concentraµia polu rii solului,rata inltr rii apei în sol, porozitateasolului, exploatarea µiµeiului etc.

Multe dintre fenomenele din Geologiesunt extrem de complexe.

Realizarea unei descrieri complete aunui sistem spaµial este practic impo-sibil . Obµinerea unui num r foartemare de m sur tori este costisitoare.

Geostatistica ofer unelte ³i tehnici de interpolare ³i extrapolare (atat determinist cât³i stochastic ), necesare determin rii (prezicerii) valorilor de interes în locaµii unde nuau fost efectuate m sur tori.

Problema Didonei (eng., Dido)

Dido a fost o prinµes de origine fenician din Tyre (Liban), sor cu Pygmalion;

Soµul s u, Sichaeus, era foarte bogat. Pygmalion l-a omorât, ca s îi fure averea;

Dido a ascuns toat averea lui Sichaeus pe mai multe cor bii ³i a fugit pe mare;

Ajuns pe coasta Africii, a cerut ad post localnicilor. Ace³tia i-au spus c poatecump ra un petic de p mânt, exact cât va putea cuprinde cu o piele de bou.

Dido a t iat pielea fâ³ii, le-a lipit cap la cap, înconjurând un deal mare (Byrsa);

Ea ³i cu însoµitorii s i au întemeiat ora³ul Cartagina.

Problem : Determinaµi curba închis , de lungime x , care delimiteaz un domeniu dearie maxim .

Aplicaµie în ... dragoste: Cum putem întreµine o poveste de iubire?

O poveste simpl de dragoste tradus în limbaj matematic:

Romeo o iube³te pe Julieta, îns Julieta este rece faµ de el.

Not m cu R(t) afecµiunea lui Romeo faµ de Julieta ³i cu J(t) afecµiunea Julieteifaµ de Romeo.

Dac la un moment t avem R(t) > 0, atunci spunem c Romeo iube³te, iar dac R(t) < 0, atunci spunem c Romeo o ur ³te (do not do this at home!). R(t) = 0este semn de indiferenµ . Similar pentru Julieta.

Iniµial, avem c : R(0) = 10 (o iubire de nota 10), J(0) = 0 (înc neimpresionat ).

Îns lucrurile nu trebuie s r mân a³a! Romeo dore³te s o scoat pe Julieta dinstarea de indiferenµ , apelând la diverse... ³tiµi voi!

D.p.d.v. matematic, evoluµiapove³tii de iubire o scriem astfel[S. Strogatz (1994)]:

R ′ = αR + βJ

J ′ = γR + δJ

[α, β, γ, δ ∈ R]

Exemple de stiluri romantice:α > 0, β > 0 : Romeo e pe cai mariα > 0, β < 0 : Romeo e narcisistα < 0, β > 0 : Romeo e precautα < 0, β < 0 : Romeo este Hermitα = 0, β = 0 : Romeo este robot

Ecuaµiile iubirii:

R ′ = αR + βJ

J ′ = γR + δJ

Dinamica pove³tii de dragoste:

Povestea se complic : apare o necunoscut nou în sistem, s o numim... X (t);

Probabil c este o amant =⇒ ∆riunghiul iubirii.

[Tem pentru acas !]

Ecuaµiile iubirii:

R ′ = αR + βJ

J ′ = γR + δJ

[Tem pentru acas !]

Ecuaµiile iubirii:

R ′ = αR + βJ

J ′ = γR + δJ

[Tem pentru acas !]

Ecuaµiile iubirii:

R ′ = αR + βJ

J ′ = γR + δJ

[Tem pentru acas !]

Ecuaµiile iubirii:

R ′ = αR + βJ

J ′ = γR + δJ

[Tem pentru acas !]

Aplicaµie în ... dragoste: Ce s-a ales de povestea de iubire?

O poveste de dragoste complicat :

Sistem Lorenz:

R ′ = −aR + aJ,

J ′ = bR − J − JX ,

X ′ = cX − RJ.

Dinamica pove³tii → haos (buttery eect):

modele matematice în stiinte si nu numaistoleriu/mathmodelling2016.pdf · metabolice, reµelele...

Documents