Lista de exercitii

pentru examenul de Matematici Avansate 2

1 Clasificarea si forma canonica a e.d.p.

Sa se aduca la forma canonica urmatoarele ecuatii cu derivate partiale:

1. 4uxx + 5uxy + uyy + ux + uy = 2

2. x2uxx + 2xyuxy + y2uyy + xyux + y2uy = 0

3. uxx + 2uxy − 3uyy − 4ux − 12uy0

4. 9uxx + 12uxy + 4uyy − 9ux − 6uy = 0

5. y2uxx + 2xyuxy + 2x2uyy + yuy = 0, x 6= 0, y 6= 0

Sa se determine tipul ecuatiei (discutie):

xuxx + uyy = x2

2 Problema Chauchy

Sa se determine solutia urmatoarelor probleme Chauchy:

1. x2uxx − y2uyy + xux − yuy = 0

in conditiile u (x, 1) = ex si uy (x, 1) = xe−x.

2. uxx + 2uxy − 3uyy − 4ux − 12uy = 0

in conditiile u (x, 0) = 4x si uy (x, 0) = −4x

3. x2uxx − 2xyuxy − 3y2uyy = 0

in conditiile u (1, y) = 1y si ux (1, y) =

2y

4. x2uxx − 2xyuxy + y2uyy + xux + yuy = 0

in conditiile u (1, y) = sin y si ux (1, y) = 2y cos y

5. 25uxx + 10uxy + uyy = 50 (x− 5y)

in conditiile u (x, 0) = x3 si uy (x, 0) = −10x2

1

Sa se rezolve urmatoarele probleme Cauchy pentru ecuatia coardei vibrante 1

6.utt − c2uxx = 0

u (x, 0) = sinx

ut (x, 0) = x2

7.utt − c2uxx = sinx

u (x, 0) = cosx

ut (x, 0) = 1 + x

8.utt − 4uxx = 6xt

u (x, 0) = x2

ut (x, 0) = 1 + x

3 Probleme la limita pentru ecuatia Laplace sau Pois-son

1.∆u = −2 r < a 0 < θ < 2πu (a, θ) = 0 0 ≤ θ ≤ 2π

2.∆u = 0 1 < r < 2 0 < θ < π

u (1, θ) = sin θ 0 ≤ θ ≤ πu (2, θ) = 0 0 ≤ θ ≤ πu (r, 0) = 0 1 < r < 2u (r, π) = 0 1 < r < 2

3.∆u = 0 1 < r < 2 0 < θ < 2π

ur (1, θ) = sin θ 0 ≤ θ ≤ 2πur (2, θ) = 0 0 ≤ θ ≤ 2π

4.∆u = −r2 sin 2θ 1 < r < 2 0 < θ < 2πur (1, θ) = 0 0 ≤ θ ≤ 2πur (2, θ) = 0 0 ≤ θ ≤ 2π

1vezi formula lui D’Alembert si principiul lui Duhamel

2

5.∆u = 0 0 < x < 1 0 < y < 1

u (x, 0) = 3 sin 5x 0 ≤ x ≤ 1u (x, 1) = 2 sin 2x 0 ≤ x ≤ 1

u (0, y) = 0 0 ≤ y ≤ 1u (1, y) = 0 0 ≤ y ≤ 1

6.∆u = −2y 0 < x < 1 0 < y < 1u (0, y) = 0 0 ≤ y ≤ 1u (1, y) = 0 0 ≤ y ≤ 1u (x, 0) = 0 0 ≤ x ≤ 1u (x, 1) = 0 0 ≤ x ≤ 1

7.∆u = 0 0 < x < π 0 < y < π

ux (0, y) = 0 0 ≤ y ≤ πux (π, y) = 2 cos y 0 ≤ y ≤ πuy (x, 0) = 0 0 ≤ x ≤ πuy (x, π) = 0 0 ≤ x ≤ π

8. Sa se determine solutia ecuatiei lui Laplace in interiorul cercului unitate,care verifica urmatoarea conditie pe frontiera2:

u |x2+y2=1=x+ y − 1

4x− 5

9. Fie o sfera dielectrica de raza a. Pentru a determina potentialul in in-teriorul sferei, cunoscindu-se potentialul pe sfera, avem de rezolvat urmatoareaproblema la limita 3:

∆u = 0 0 ≤ r < a 0 < θ < π 0 < ϕ < 2πu (a, θ, ϕ) = cos3 θ 0 ≤ θ ≤ π 0 ≤ ϕ ≤ 2π

4 Problema mixta pentru ecuatia coardei vibrante siecuatia caldurii

1.utt − c2uxx = 0 0 < x < π t > 0u (x, 0) = 3 sinx 0 ≤ x ≤ πut (x, 0) = 0 0 ≤ x ≤ π

u (0, t) = u (π, t) = 0 t ≥ 0

2vezi prob.Dirichlet cu conditii rationale pe frontiera3vezi polinoame Legendre

3

2.utt − c2uxx = Ashx 0 < x < l t > 0

u (0, t) = h t ≥ 0u (l, t) = k t ≥ 0u (x, 0) = 0 0 ≤ x ≤ lut (x, 0) = 0 0 ≤ x ≤ l

unde h,k,A sunt constante.

3.ut − a2uxx = 0 0 < x < 1 t > 0u (0, t) = 0 t ≥ 0u (1, t) = 0 t ≥ 0

u (x, 0) = sinx 0 ≤ x ≤ 1

4.ut − a2uxx = x cos t 0 < x < π t > 0

u (0, t) = t2 t ≥ 0u (π, t) = 2t t ≥ 0u (x, 0) = sinx 0 ≤ x ≤ π

4