Microeconomie

Curs 1

Microeconomia este acea parte a teorie economice care abordeaz i analizeaz

fenomenele i procesele economice la nivel micro; analizeaz comportamentul agen ilor

economici bine individualiza i (consumatori, produc tori), cererea i oferta, mecanismul

de produc ie i modul de alocare i combinare a resurselor, diferitelor forme de

concuren ; analizeaz diferite politici economice de restabilire a eficien ei Pareto (în

economiile cu externalit i i cu bunuri publice).

În general, analiza comportamentului agen ilor economici se face plecând de la sistemul

de pre uri i, din acest motiv, câteodat microeconomia se g se te i sub denumirea de

teoria pre urilor.

În microeconomie sunt folosite dou genuri de principii:

A. Principiul optimiz rii;

B. Principiul echilibrului.

Problemele de optimizare întâlnite în microeconomie sunt cele de optimizare

condi ionat .

Optimizare condi ionat

Foarte multe dintre problemele economice se reduc la optimizarea unei func ii obiectiv pe

o mul ime admisibil de solu ii.

Formal, problema poate fi dat în felul urm tor:

( )[ ] ( )( )

==

ℜ∈ℜ→ℜℜ→ℜ

m1,2,...,j,,...,,g..Opt:cere

Cgsif,:gsi:f

21j

2j

jn

nnn

cxxxrsxfSe

Fie

Mul imea solu iilor admisibile este dat de cele m restric ii.

Rezolvarea unei astfel de probleme se face cu ajutorul metodei LAGRANGE care

presupune parcurgerea urm toarelor etape:

EI:

1. Se asociaz problemei func ia lui Lagrange

ℜ→ℜ×ℜ mnL :

( ) ( ) ( )[ ]∑=

−+=m

jjnjjnmn cxxxgxxxfxxxL

121212121 ,...,,,...,,,...,,,,...,, λλλλ

unde jλ reprezint multiplicatorul lui Lagrange asociat restric iei ( ) jnj cxxg =,...,1 .

(Dac nu exist pericolul unei confuzii vom scrie ( ) ( ) ( )[ ]∑=

−+=m

jjjj cxgxfxL

1

, λλ ).

2. Se determin punctele sta ionare, adic solu iile sistemului:

==∂∂

==∂∂

m1,2,...,j,0

n1,2,...,i,0

j

i

LxL

λ

,

De m+n ecua ii cu m+n necunoscute.

Fie ( )∗∗ λ,x , ( ) ( )( )**2

*1

**2

*1 ,...,,,,...,, mnxxxx λλλλ == ∗∗ una dintre solu ii (dac exist ), adic

unul dintre punctele sta ionare.

3. Se calculeaz matricea hessian pentru func ia ( ) ( )*, λφ xLx = ;

( )njniji xx

xH,...,1,...,1

2

==

∂∂∂

=φ

φ

4. Se stabile te natura matricei simetrice ( )*xH φ :

i) dac nu este definit → STOP (punctul sta ionar nu este

punct de optim)

ii) dac este definit , atunci avem dou posibilit i:

- negativ definit → punctul sta ionar este punct de maxim

- pozitiv definit → punctul sta ionar este punct de minim

În cazul în care ( )*xH φ este semipozitiv definit sau seminegativ definit se trece la

etapa a doua.

E2

5. Se scrie forma p tratic generat de matricea ( )*xH φ (diferen iala de ordinul II a

func iei lui Lagrange) dup formula : ( ) ( )( )dxxHdxLd T *2φ= unde

=

ndx

dxdx

dx...

2

1

6. Se diferen iaz restric iile de tip egalitate : ( ) m1,2,...,j,0,...,, 21 ==− jnj cxxxg

i se ob ine un sistem în necunoscutele ( )ndxdxdx ,...,, 21 de m ecua ii cu n

necunoscute. (Variabilele nxxx ,...,, 21 se înlocuiesc în derivatele par ialei

j

xg

∂

∂ cu

( )**2

*1 ,...,, nxxx de la punctul (1).

presupunem c rangul sistemului este r. Vom rezolva sistemul cu cele r necunoscute

principale în func ie de cele n-r necunoscute secundare i le vom introduce în Ld 2 de

mai sus.

Se ob ine o form p tratic redus (doar cu n-r variabile).

7. Se stabile te natura acestei forme p tratice i se decide astfel:

i) Dac forma p tratic este negativ definit , atunci punctul

sta ionar este un punct de maxim.

ii) Dac forma p tratic este pozitivdefinit , atunci punctul

sta ionar este un punct de minim.

În caz contrar, se afirm c punctul sta ionar ales nu este punct de extrem.

Se procedeaz ca mai sus cu toate punctele sta ionare.

Exemplul 1:

se determine:[ ] ( )

>>=+

=

0 x,04 x..

21

21

212

211

xxrs

xxxfMax

E1.

1. ( ) ( )4,, 2121

221

121 −++= xxxxxxL λλ

2. 02

01

2

1

=+⇒=∂∂

λx

xxL

02

02

1

2

=+⇒=∂∂

λx

xxL

40 21 =+⇒=∂∂ xxLλ

Solu ia sistemului este unic i anume:21,2 **

2*1 −=== λxx

3. ( ) ( ) ( )421, 21

212

211

* −+−== xxxxxLx λφ cu ( )

−

−=

81818181*xH φ care

4. este seminegativ definit .

Se trece la E2:

5. ( ) ( )2221

21

2

81

41

81 dxdxdxdxLd −+−=

6. 021 =+ dxdx

21 dxdx −=

7. Forma p tratic redus devine: ( ) 021 2

12 <−= dxLd . Atunci punctul sta ionar

( )

−=

21,2,2,, **

2*1 λxx este punct de maxim.

Un alt tip de optimizare condi ionat mai des întâlnit în analiza economic este cel cu

restric ii de tip inegalitate.

În general, variabilele economice care se refer la input-urile din sistemul economic

trebuie s fie nenegative.

De asemenea, consumul de resurse (materiale, financiare, energetice) sau capacitatea de

produc ie nu pot dep i disponibilul.

Puterea de absorb ie a unei pie e este limitat .

Acestea reprezint doar câteva argumente pentru a studia problemele de acest tip.

Formularea problemei:

Fie ℜ→ℜ njggf :,, , mj ,...,1= func ii de clas 2C pe nℜ .

Se cere:

[ ] ( )( )( )

( )

==≥

≥

≤=

m1,2,..,jn,1,2,...,i,00,...,,g

0,...,,g,...,,g.,...,,

21j

21j

021

21

i

n

n

n

n

xxxx

sauxxx

gxxxrsxxxfOpt

Rezolvarea acestei probleme se face cu ajutorul metodei KUHN-TUCKER care

generalizeaz problema multiplicatorilor lui Lagrange de mai sus.

Vom nota cu λ multiplicatorul asociat restric iei de tip egalitate i cu jλ multiplicatorii

Kuhn-Tucker asocia i restric iilor de tip inegalitate.

Vom fixa semnul multiplicatorilor i anume: vom presupune c sunt nenegativi.

Atunci, problema de maxim trebuie s fie scris astfel:

[ ] ( )( )

( )

==≥

≥=

m1,2,..,jn,1,2,...,i,0

0,...,,g0,...,,g-g

,...,,

21j

210

21

i

n

n

n

x

xxxxxx

xxxfMax

Pentru problema de minim:

[ ] ( )( )

( )

==≥

≤=

m1,2,..,jn,1,2,...,i,0

0,...,,g0,...,,g-g

,...,,

21j

210

21

i

n

n

n

x

xxxxxx

xxxfMin

Condi iile necesare de optim

(Condi iile de ordinul I Kuhn-Tucker)

Pentru maxim

Se scrie func ia lui Lagrange:

( ) ( ) ( )[ ] ( )∑=

+−+=m

jnjjnnmn xxxgxxxggxxxfxxxL

121210212121 ,...,,,...,,,...,,,...,,,,,...,, λλλλλλ

==∂∂

≥≥∂∂

=∂∂

==∂∂

≥≤∂∂

m1,2,...,j0,si0,0

0

n1,2,...,i0,si0,0

jjjj

iii

i

LL

LxLxx

xL

λλλ

λ

λ

sau înc :

0≤∂∂

ixL dac 0=ix

0=∂∂

ixL dac 0>ix

0=∂∂λL

0≥∂∂

j

Lλ

dac 0=jλ

0=∂∂

j

Lλ

dac 0>jλ

Condi iile Kuhn-Tucker pentru problemele de minim:

==∂∂

≥≤∂∂

=∂∂

==∂∂

≥≥∂∂

m1,2,...,j0,si0,0

0

n1,2,...,i0,si0,0

jjjj

iii

i

LL

LxLxx

xL

λλλ

λ

λ

sau

0≥∂∂

ixL dac 0=ix

0=∂∂

ixL dac 0>ix

0=∂∂λL

0≤∂∂

j

Lλ

dac 0=jλ

0=∂∂

j

Lλ

dac 0>jλ

Exist i o alt formulare a problemei de mai sus cu integrarea variabilelor în func ia lui

Lagrange.

Pentru problema de maxim mai sus formulat func ia lui Lagrange se scrie:

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ∑∑==

++−+=n

iii

m

jnjjnn xxxxgxxxggxxxfL

1121210211 ,...,,,...,,,...,, αλλ (cu

multiplicatorii 0≥iα ).

Condi iile de ordinul I devin:

==∂∂

≥≥∂∂

==∂∂

≥≥∂∂

=∂∂

==∂∂

n1,2,...,i0,si0,0

m1,2,...,j0,si0,0

0

n1,2,...,i,0

11

1jj

1

1

1

iii

i

jj

i

LL

LL

LxL

ααα

α

λλλ

λ

λ

sau

01 =∂∂

ixL

, i=1,2,...,n

01 =∂∂

λL

01 ≥∂∂

j

Lλ

dac 0=jλ

01 =∂∂

j

Lλ

dac 0>jλ

01 ≥∂∂

i

Lα

dac 0=iα

01 =∂∂

i

Lα

dac 0>iα

Analog, pentru problemele de minim. (Se schimb sensul ultimelor dou grupuri de

restric ii).

Condi iile de ordinul I sunt doar necesare nu i suficiente.

Condi iile suficiente Kuhn-Tucker:

Pentru problema de maxim:

1. Func ia obiectiv s fie diferen iabil i concav în n+ℜ

2. Func iile care definesc restric iile s fie diferen iabile i convexe în n+ℜ

3. Punctul ( )nxxxx ,...,, 21= s verifice condi iile de optim Kuhn-Tucker.

Pentru problema de minim:

1. Func ia obiectiv s fie diferen iabil i convex în n+ℜ

2. Func iile care definesc restric iile s fie diferen iabile i concave în n+ℜ

3. Punctul ( )nxxxx ,...,, 21= s verifice condi iile de optim Kuhn-Tucker.

Exemplul 2:

se determine:

( ) ( )

>>>>>>>

≥≥≥≤++

+=

0p0,p0,p0,n0,m,0x,0u

0,0,0p

,,

3211*

321

332211

3211321

si

xxxRxpxpx

xxxxxxxMaxU nm

Rezolvare

Problema poate fi transformat astfel:

( ) ( )

( )

=>>≥

≤++

+++=

0ucontrarcazin0,0,0p

lnlnln,,

*321

332211

3211321

xxxRxpxpx

xnxmxxxxxMaxV

Func ia lui Lagrange asociat :

( ) ( ) [ ]3322113211321 lnlnln,,, xpxpxpRxnxmxxxxxL −−−++++= λλ

Condi iile de ordinul I (condi iile necesare, condi iile Kuhn-Tucker)

=∂∂

≥≥∂∂

>=∂∂

>=∂∂

=∂∂

≥≤∂∂

0si0,0

0 x,0

0 x,0

0 xsi0 x,0

33

22

111

1

λλλ

λLL

xLxL

xL

xL

sau

>=−

>=−

=∂∂

⇒>≤−+

0 x,0

0 x,0

00cu x01

*33

**3

*22

**2

1

*11

1*1

pxn

pxm

xLp

xx

λ

λ

λ

i 0*33

*22

*11 =−−− xpxpxpR deoarece din ultimele dou ecua ii rezult 0>λ .

Distingem dou cazuri:

Cazul 1. 0*1 =x

Elimin m *λ din ultimele dou ecua ii:

Rnm

xpxpnm

xpn

xpm +

=++

=== *33

*22

*33

*22

*λ

i deci:

( )nmpmRx

+=

2

*2

( )nmpnRx

+=

3

*3

Aceast solu ie este acceptat dac :( )

Rpnm

px

11

1

1 +=≤ λ sau ( ) 1

1pnm

Rx+

≥ sau

( ) 11 xnm

Rp+

≥ . (Dac pre ul este prea mare, atunci 0*1 =x )

Cazul 2: 0*1 >x

Atunci, eliminând *λ ob inem:

( ) Rnm

xpxpxpxpnm

xpn

xpm

xxp+

=+++

++===

+=

11*33

*22

*11

*33

*221

*11

* 11λ

Sau

11

* 1xpR

nm+

++=λ

( ) *33

*221

*1111

* 11xp

nxp

mxxpxpR

nm==

+=

+++

=λ

( )111

1*11 ++

+=+

nmxpR

xxp

( ) ( )( )

( )11

11 1

11

1

111

1

11*1 ++

++−

+++

=−++

+=

nmpnmxp

nmpxpR

xnmpxpR

x

( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )nmxRp

nmnmx

nmpR

nmnmx

nmpRx

+<⇒

+++

>++

⇒>++

+−

++=

11

1

1

1

1

*1 11

011

( )( )12

11*2 ++

+=

nmpxpRm

x

( )( )13

11*3 ++

+=

nmpxpRn

x