metode de analiza a circuitelor

Metode de analiză a circuitelor electrice liniare

1

8. METODE DE ANALIZĂ A CIRCUITELOR ELECTRICE LINIARE

8.1. CONSIDERAŢII GENERALE Analiza (studiul sau rezolvarea) unui circuit electric – indiferent dacă este de tensiune continuă sau de tensiune alternativă – se poate face din două puncte de vedere: - circuitul electric nu există; se cunoaşte traseul pe care trebuie să îl aibă circuitul –

deci schema electrică – poziţia pe schemă şi parametrii surselor şi receptorilor şi se caută să se determine secţiunile diverşilor conductori, astfel ca circuitul să funcţioneze în condiţiile optime şi în conformitate cu prescripţiile în vigoare.

- circuitul electric există; se cunoaşte traseul său – schema electrică completă – poziţia pe schemă şi parametrii surselor şi receptorilor; problema constă în stabilirea intensităţilor curenţilor în diversele ramuri ale circuitului şi determinarea căderilor de tensiune pe acestea.

În primul caz problema este în general nedeterminată şi nu se poate rezolva cu ajutorul legilor şi teoremelor stabilite; pentru rezolvarea problemei trebuie puse anumite condiţii suplimentare (încălzirea conductorilor, minim de material etc.) Această problemă face obiectul altor discipline. În al doilea caz problema este determinată. Ea constituie obiectul analizei circuitelor electrice şi se poate rezolva complet cu ajutorul legilor şi teoremelor generale ale electrotehnicii. Prin analiza (rezolvarea) unui circuit se înţelege deci determinarea: - intensităţilor curenţilor din ramurile circuitului, - tensiunilor între noduri (pe ramuri), - puterilor consumate sau produse pe ramuri (efectuarea şi verificarea bilanţului

puterilor). Pentru analiza unui circuit este necesar să se cunoască:

- structura circuitului (legăturile dintre diversele elemente de circuit), - parametrii circuitului (impedanţele sau admitanţele), - parametrii surselor de energie (tensiunea electromotoare, curentul injectat,

impedanţa internă). Pentru analiza circuitelor electrice liniare, funcţionând fie în regim staţionar fie în regim cvasistaţionar, au fost stabilite o serie de metode speciale şi dintre care, câteva din cele considerate mai importante, vor fi prezentate în cele ce urmează (prezentarea se va face corespunzător regimului cvasistaţioar, pentru regimul staţionar făcându-se o serie de particularizări (impedanţele complexe se înlocuiesc

BAZELE ELECTROTEHNICII I – TEORIA CIRCUITELOR ELECTRICE

2

cu rezistenţe, t.e.m complexe şi curenţii injectaţi complecşii, corespunzători surselor de tensiune respectiv curent se înlocuiesc cu amplitudinile t.e.m respectiv curenţilor injectaţi).

8.2. METODA UTILIZĂRII TEOREMELOR LUI KIRCHHOFF

Principiul metodei

Metoda utilizării teoremelor lui Kirchhoff este o metodă generală de analiză a circuitelor electrice. Principiul metodei constă în aplicarea teoremelor lui Kirchhoff, valabile în orice regim de funcţionare. Considerăm un circuit complex care are r ramuri şi n noduri. Dacă sunt date valorile tensiunilor electromotoare ale surselor şi impedanţele tuturor ramurilor, necunoscutele sunt cei r curenţi care străbat cele r ramuri. Metoda de rezolvare a circuitului constă în a forma, cu ajutorul celor două teoreme ale lui Kirchhoff, un sistem de r ecuaţii cu r curenţi necunoscuţi, a cărui rezolvare conduce la determinarea curenţilor din ramuri. Circuitul având n noduri, conform primei teoreme a lui Kirchhoff se pot obţine

1−= np ecuaţii (din r ecuaţii necesare). Într-adevăr din cele n ecuaţii care se pot forma folosind prima teoremă a lui Kirchhoff, se constată că numai 1−n sunt independente. Ultima ecuaţie (a n-a) este identică cu ecuaţia obţinută din suma primelor 1−n ecuaţii. Această constatare rezultă din faptul că la formarea ecuaţiilor pe baza primei teoreme a lui Kirchhoff, trecând de la un nod la altul intervine cel puţin un curent nou, astfel încât în cele 1−n ecuaţii intră toţi cei n curenţi ce se ramifică din n noduri. Având 1−= np ecuaţii formate cu ajutorul primei teoreme a lui Kirchhoff, până la completarea sistemului de r ecuaţii mai sunt necesare ( )1−−=−= nrprb ecuaţii. Restul de b ecuaţii (b – numărul de bucle independente) necesare se obţin prin aplicarea teoremei a doua a lui Kirchhoff în p circuite închise (ochiuri) independente. Ochiurile alese pentru aplicarea teoremelor lui Kirchhoff trebuie să fie independente pentru ca ecuaţiile rezultate să nu fie unele consecinţe ale celorlalte. Un circuit este independent dacă se deosebeşte de circuitele precedente cel puţin printr-o ramură nouă. Din cele spuse rezultă că teoremele lui Kirchhoff permit să se obţină: - 1−= np ecuaţii formate cu prima teoremă, - ( )1−−= nrb ecuaţii formate cu a doua teoremă, - rbp =+ ecuaţii formate în total cu ajutorul celor două teoreme, prin urmare un

sistem de r ecuaţii independente care permit determinarea celor r curenţi necunoscuţi din ramurile circuitului complex.


3

Pentru aplicarea metodei la rezolvarea unui circuit complex este necesar să se realizeze următoarele etape: 1. Se stabilesc arbitrar sensurile curenţilor în ramuri (se recomandă ca în cazul în

care o ramură conţine o singură sursă de tensiune sau curent, sensul curentului din ramură să fie considerat acelaşi cu cel al t.e.m. sau curentului injectat corespunzător sursei).

2. Se aleg arbitrar cele 1−= np noduri şi se scriu primele 1−n ecuaţii utilizând prima teoremă a lui Kirchhoff (respectând regula semnelor prezentată la această teoremă).

3. Se aleg arbitrar sensul de parcurgere considerat pozitiv pentru fiecare ochi independent (de regulă sensul orar; se recomandă însă alegerea ca sens de referinţă pentru ochiul considerat al sensului t.e.m. ale surselor şi curenţilor din ramurile ochiului considerat ca fiind „majoritar” – de exemplu dacă majoritatea sensurilor precizate sunt în sens orar atunci ca sens de referinţă al ochiului se va considera sensul orar).

4. Se scriu restul de ( )1−−= nrb ecuaţii utilizând teorema a doua a lui Kirchhoff (se vor considera pozitive t.e.m. şi intensităţile curenţilor reprezentate în sensul de referinţă ales pentru ochiul respectiv).

5. Se rezolvă sistemul celor rqp =+ ecuaţii liniare cu r necunoscute determinând intensităţile celor r curenţi din ramuri.

6. Se fixează sensul real al curenţilor inversând sensul acelor curenţi care au rezultat negativi din calcul.

Aplicaţie

Se consideră în fig.8.1 schema unui circuit format din două surse de tensiune conectate în paralel determinând, prin intermediul impedanţelor Z1 şi Z2, curentul I3 prin impedanţa Z3.

În circuitul considerat: 2=n , 3=r , 11 =−= np , ( ) 21 =−−= nrb .

Se formează sistemul de ecuaţii:

=+

=+

=−+

23322

13311

321 0

EIZIZ

EIZIZ

III

Rezolvând sistemul de ecuaţii se obţine:

( )

323121

3232111

∆

∆

ZZZZZZ

ZEZZEI

++

−+== (8.1)

( )

323121

3131222

∆

∆

ZZZZZZ

ZEZZEI

++

−+== (8.2)

323121

122133

∆

∆

ZZZZZZ

ZEZEI

++

+== (8.3)

în care:

+ +

Figura 8.1

B

A

E2 E1

I3

I2 I1

Z3

Z2 Z1


4

32

31

0

0

111

∆

ZZ

ZZ

−

= ,

322

311 0

110

∆

ZZE

ZE

−

= ,

32

3112

0

101

∆

ZE

ZEZ

−

= ,

22

113

0

0

011

∆

EZ

EZ= .

Rezolvarea circuitelor complexe prin folosirea directă a teoremelor lui Kirchhoff prezintă dezavantajul că necesită rezolvarea unui sistem format dintr-un număr de ecuaţii egal cu numărul curenţilor necunoscuţi (ramurilor). Deoarece, în cazul unui circuit complex cu număr mare de ramuri, prin scrierea teoremelor lui Kirchhoff se obţine un număr mare de ecuaţii, este incomod de a rezolva acest sistem şi, din acest motiv, s-au elaborat metode simplificatoare, care conduc la un număr mai mic de ecuaţii. Unele din aceste metode conduc la micşorarea numărului de ecuaţii, altele la desfacerea problemei complexe în probleme mai simple, iar altele la transformarea circuitului complex astfel încât calculul să se simplifice. În majoritatea lor, metodele simplificatoare fac apel la principiul superpoziţiei (suprapunerii efectelor) şi din această cauză aceste metode sunt aplicabile numai circuitelor liniare (parametrii R, L şi C sunt constanţi). Unele metode utilizează necunoscute auxiliare. De aceea metodele care permit simplificarea calculului au deosebită importanţă.

8.3. METODA BAZATĂ PE PRINCIPIUL SUPRAPUNERII EFECTELOR

Principiul metodei

Unele metode de calcul permit descompunerea unei probleme complexe în mai multe probleme mai simple. Dintre acestea face parte şi metoda de rezolvare bazată pe principiul suprapunerii efectelor (prezentat în paragraful 7.4). Aplicarea principiului suprapunerii efectelor la circuitele electrice se bazează pe faptul că, în general impedanţele sunt independente de intensitatea curenţilor ce le străbat şi că ecuaţiile scrise în baza teoremelor lui Kirchhoff sunt liniare. Justificarea metodei se obţine scriind teoremele lui Kirchhoff pentru fiecare sursă în parte şi adunând apoi rezultatele, de unde rezultă şi modul ei de utilizare. Metoda constă în a considera că în circuitul dat acţionează pe rând câte o singur sursă, determinând intensităţile curenţilor parţiali pe care i-ar crea ea în ramuri şi, în final, a intensităţilor curenţilor reali, din suma algebrică (suprapunerea) intensităţilor curenţilor parţiali. Pentru simplificarea calculelor se recomandă ca toate sursele de curent să fie transformate în surse de tensiune, conform echivalenţei dintre acestea. În consecinţă calculul intensităţilor curenţilor necesită următoarele etape: 1. Se descompune circuitul într-un număr de subcircuite egal cu numărul surselor

(prin anularea tensiunilor electromotoare ale tuturor surselor care acţionează în circuitul complex, cu excepţia uneia singure – impedanţele interne ale surselor se menţin).


5

2. Pentru fiecare subcircuit, se calculează intensităţile curenţilor parţiali din ramuri (pe care îi creează singura sursă ce acţionează).

3. Se calculează intensităţile curenţii reali din ramuri făcând suma algebrică a intensităţilor curenţilor parţiali.

Avantajul acestei metode constă în aceea că nu mai este necesar să se scrie şi să se rezolve ecuaţiile rezultând din aplicarea teoremelor lui Kirchhoff şi rezultatul se poate obţine printr-o simplă sumare algebrică. Pentru a ilustra metoda, se va considera circuitul din fig.8.1 şi se vor compara rezultatele cu cele obţinute prin utilizarea metodei teoremelor lui Kirchhoff.

Aplicaţie

Rezolvarea acestui circuit a fost realizată, ca aplicaţie, la prezentarea principiului suprapunerii efectelor (paragraful 7.4), fapt pentru care nu se va mai reveni la această rezolvare. S-au obţinut atunci, în relaţiile (7.176), (7.180) şi (7.181) aceleaşi expresii pentru curenţii reali din ramurile circuitului ca şi cele din relaţiile (8.1), (8.2), (8.3)..

8.4. METODELE TRANSFIGURĂRII CIRCUITELOR Metodele transfigurării circuitelor electrice constau în a transforma un circuit sau o porţiune de circuit, complexă într-un circuit mai simplu, fără ca prin aceasta distribuţia curenţilor sau tensiunilor să se schimbe în restul circuitului. În acest mod, calculul intensităţilor curenţilor în circuit se poate face mai uşor, revenindu-se apoi prin operaţii inverse, la circuitul iniţial şi găsindu-se astfel mult mai simplu intensităţile curenţilor în ramurile circuitului.

8.4.1. METODA TRANSFIGURĂRII TRIUNGHI-STEA �I STEA-TRIUNGHI

În unele cazuri calculul circuitelor complexe se simplifică pe calea transformării acestora în circuite mai simple. Un astfel de caz este acela al circuitelor complexe care conţin conexiuni de impedanţe în formă de stea sau triunghi. Asemenea circuite pot fi reduse la conexiuni accesibile calculului, prin transformarea conexiunilor din stea în triunghi sau invers (relaţiile (7.98) şi (7.99)), operaţie care poartă denumirea de transfigurare a circuitelor.

Aplicaţie

Să considerăm circuitul complex indicat în fig.8.2.a, care conţine 6 ramuri şi 4 noduri. Rezolvarea prin metoda aplicării directe a teoremelor lui Kirchhoff ar necesita alcătuirea şi rezolvarea unui sistem de 6 ecuaţii cu 6 necunoscute. Observând că circuitul conţine un grup de impedanţe conectate în triunghi se poate simplifica rezolvarea prin transfigurarea circuitului, obţinând schema din fig.8.2.b.


6

Impedanţele conexiunii stea funcţie de impedanţele conexiunii triunghi se calculează cu relaţiile (7.98). Se rezolvă apoi circuitul simplificat (fig.8.2.b) prin

aplicarea teoremelor lui Kirchhoff, direct sau descompunând circuitul în ochiuri separate şi se determină astfel intensităţile curenţilor I1, I2, I3. Apoi, aplicând teoremele lui Kirchhoff circuitului format de conexiunea triunghi, se obţin curenţii I12, I23, I31. Cum triunghiul 1,2,3 conţine trei ramuri şi trei noduri rezultă că se formează

2131 =−=−= nq ecuaţii aplicând prima teoremă şi 123 =−=−= qrp ecuaţii aplicând a doua teoremă a lui Kirchhoff. Rezultă sistemul:

=++

−=−

−=+−

0

313123231212

22312

13112

IZIZIZ

III

III

(8.4)

Sistemul se rezolvă în continuare notând:

312312

312312

011

101

∆ ZZZ

ZZZ

++=−

−

= ; 223131

3123

2

1

1

0

01

10

∆ IZIZ

ZZ

I

I

−=−−

−

= ;

331212

3112

2

1

2

0

01

11

∆ IZIZ

ZZ

I

I

+=−

−−

= ; 223112

2312

2

1

3

0

11

01

∆ IZIZ

ZZ

I

I

−−=−−

−−

= ,

relaţii în care s-a ţinut seama că 321 III =+ . Intensităţile curenţilor din circuitul triunghiului rezultă:

312312

223131112

∆

∆

ZZZ

IZIZI

++

−== , (8.5)

312312

131212223

∆

∆

ZZZ

IZIZI

++

+== , (8.6)

312312

323112331

∆

∆

ZZZ

IZIZI

++

+−== . (8.7)

a

E2 E1

I2 I1

3

2 Z12 1

Z23 Z31

I31

I23

I12

I3

b

+ +

B

A

E2 E1

I3

I2 I1

Z3

Z2 Z1

Figura 8.2


7

Se determină intensităţile curenţilor din schema echivalentă (fig.8.2.b) utilizând relaţiile determinate anterior pentru această schemă în paragraful 8.2 – relaţiile (8.1), (8.2), (8.3).

( )

323121

3232111

∆

∆

ZZZZZZ

ZEZZEI

++

−+== ,

( )

323121

3131222

∆

∆

ZZZZZZ

ZEZZEI

++

−+== ,

323121

122133

∆

∆

ZZZZZZ

ZEZEI

++

+== .

Înlocuind apoi expresiile intensităţilor curenţilor I1, I2, I3 în relaţiile (8.5), (8.6) şi (8.7) se determină intensităţile curenţilor din ramurile conexiunii triunghi, ale căror expresii s-au dedus mai sus.

8.4.2. METODA BAZATĂ PE TEOREMA SURSEI ECHIVALENTE DE TENSIUNE

Principiul metodei

Una din metodele care permit determinarea curentului într-o ramură oarecare a unui circuit complex, fără a fi necesară determinarea intensităţilor curenţilor din celelalte ramuri, este metoda bazată pe teorema sursei echivalente de tensiune. După această metodă, întregul circuit complex cu excepţia ramurii în care urmează să se determine intensitatea curentului, se consideră echivalent cu o sursă reală de tensiune la ale cărui borne este legată ramura respectivă de impedanţă Z (fig.8.3).

Sursa echivalentă se caracterizează prin t.e.m. Eg egală cu tensiunea de mers în gol UAB0 corespunzătoarele restului de circuit şi impedanţa internă Zg egală cu impedanţa echivalentă ZAB0 a restului de circuit pasivizat. Conform teoremei sursei echivalente de tensiune

ZZ

E

ZZ

UI

g

g

AB

AB

+=

+=

0

0 . (8.8)

Calculul curentului dintr-o ramură oarecare a unui circuit complex se face în două etape:

1. Se deschide ramura considerată, eliminând impedanţa ei şi se determină tensiunea de mers în gol UAB0 la bornele ei.

2. Se pasivizează apoi toate sursele de tensiune electromotoare (prin anularea tensiunilor lor electromotoare) şi se calculează impedanţa echivalentă ZAB0 a circuitului pasiv astfel rezultat.

Figura 8.3

Z U

A I

B

Eg=UAB0

Zg=ZAB0


8

3. Se înlocuiesc valorile UAB0 şi ZAB0 determinate în etapele anterioare în relaţia (8.8) şi se determină intensitatea curentului prin ramura dată.

Observaţie: Pentru determinarea lui UAB0 = Eg şi ZAB0 = Zg, în restul circuitului conectat între bornele A şi B se pot efectua transfigurări succesive până la obţinerea unei singure ramuri active echivalente (tocmai sursa echivalentă de tensiune) la care se determină Eg şi Zg conform relaţiilor corespunzătoare transfigurărilor efectuate.

Aplicaţie

Să determinăm curentul I1 din circuitul complex anterior (fig.8.1) aplicând metoda sursei echivalente de tensiune. Se deschide ramura străbătută de curentul I1 şi la bornele ei apare tensiunea de mers în gol UAB0 (fig.8.4.a).

Conform teoremei sursei echivalente de tensiune curentul căutat se obţine din relaţia:

10

01

ZZ

UI

AB

AB

+= (8.9)

Aplicând a doua teoremă a lui Kirchhoff în ochiul care conţine sursa de tensiune electromotoare E1 rezultă:

IZUE AB 301 += de unde

IZEU AB 310 −= .

Curentul I este furnizat de sursa de tensiune electromotoare E2 şi se determină aplicând teorema lui Ohm în circuitul corespunzător:

32

2

ZZ

EI

+= .

Prin urmare: ( )

32

32321

32

210

ZZ

ZEZZE

ZZ

EEU AB

+

−+=

+−= . (8.10)

Pentru calculul impedanţei interne a sursei echivalente (Zg), se pasivizează sursele de tensiune din schema din fig.8.4.a, rezultând o grupare de impedanţe (fig.8.4.b) şi se determină impedanţa echivalentă a circuitului complex privită din punctele de legături ale ramurii cercetate (fig.8.4.b). În cazul de faţă Zg este impedanţa echivalentă grupului de impedanţe Z2, Z3 conectate în paralel.

Figura 8.4

+

B

a

E2 E1

I

A

Z3

Z2 UAB0 B

b

A

Z3

Z2 ZAB0


9

32

320

ZZ

ZZZ AB

+= (8.11)

şi

32

1332211

ZZ

ZZZZZZZZ g

+

++=+ . (8.12)

Prin urmare: ( )

133221

323211

ZZZZZZ

ZEZZEI

++

−+= . (8.13)

Curentul I3 se determină după acelaşi procedeu. Se elimină impedanţa Z3 a ramurii considerate şi se determină tensiunea de mers în gol UAB0 aplicând a doua teoremă a lui Kirchhoff (fig.8.5.a):

30

03

ZZ

UI

AB

AB

+= (8.14)

Aplicând a doua teoremă a lui Kirchhoff în ochiul care conţine sursa de tensiune electromotoare E1 rezultă:

011 ABUIZE += şi IZEU AB 110 −= .

Curentul I se deduce aplicând aceeaşi teoremă în ochiul prin care se închide curentul:

( )IZZEE 2121 +=− de unde:

21

21

ZZ

EEI

+

−= .

După înlocuirea curentului în prima ecuaţie se obţine:

21

1221

21

21110

ZZ

ZEZE

ZZ

EEZEU AB

+

+=

+

−−= . (8.15)

Impedanţa ZAB0 se determină după pasivizarea surselor de tensiune electromotoare în schema din fig.8.5.a, rezultând schema din fig.8.5.b şi observând că aceasta este echivalentă grupului de impedanţe Z1, Z2, conectate în paralel (fig.8.5.b):

+

a

B

A

E2 E1 UAB0

I Z2 Z1

Figura 8.5

b

B

A

Z2 Z1

ZAB0


10

21

210

ZZ

ZZZ AB

+= . (8.16)

Pe de altă parte, în fig.8.5.a, ramurile active 1 şi 2, conectate în paralel, se pot înlocui cu o sursă echivalentă de tensiune având t.e.m. şi impedanţa internă date de relaţiile:

21

1221

21

2

2

1

1

11 ZZ

ZEZE

ZZ

Z

E

Z

E

E g+

+=

+

+

=

21

21

21

21

21

111ZZ

ZZZ

ZZ

ZZ

ZZZg

g +=⇒

+=+=

şi cum gAB EU =0 şi gAB ZZ =0 rezultă aceleaşi expresii ca cele din relaţiile (8.15) şi

(8.16). Prin urmare impedanţa totală se exprimă prin suma:

21

133221

21

21330

ZZ

ZZZZZZ

ZZ

ZZZZZ AB

+

++=

++=+ (8.17)

şi deci curentul I3 căutat rezultă din relaţia:

133221

12213

ZZZZZZ

ZEZEI

++

+= . (8.18)

Având în vedere că 321 III =+ rezultă:

( )

323121

3131222

∆

∆

ZZZZZZ

ZEZZEI

++

−+== . (8.19)

Comparând rezultatele obţinute cu relaţiile (8.1), (8.2), (8.3) se costată aceleaşi expresii pentru curenţii I1, I2, I3 ca cele obţinute prin metoda utilizării teoremelor lui Kirchhoff (identice, pe de altă parte, cu cele obţinute prin metoda suprapunerii efectelor).

8.4.3. METODA BAZATĂ PE TEOREMA SURSEI ECHIVALENTE DE CURENT

Principiul metodei

Pentru determinarea tensiunii la bornele unei ramurii oarecare a unui circuit complex (şi prin urmare a intensităţii curentului prin această ramură) fără a fi necesară determinarea intensităţilor curenţilor din celelalte ramuri, se utilizează metoda bazată pe teorema sursei echivalente de curent.


11

După această metodă, întregul circuit complex cu excepţia ramurii la bornele căreia urmează să se determine tensiunea, se consideră echivalent cu o sursă reală de curent la ale cărui borne este legată ramura respectivă de impedanţă Z (fig.8.6).

Sursa echivalentă se caracterizează prin curentul injectat Ig egal cu curentul de scurtcircuit IABsc corespunzător restului de circuit şi admitanţa internă Yg egală cu admitanţa echivalentă YAB0 a restului de circuit pasivizat. Conform teoremei sursei echivalente de curent

YY

I

YY

IU

g

g

AB

ABsc

+=

+=

0

. (8.20)

Calculul tensiunii la bornele unei ramuri oarecare a circuitului complex se face în două etape: 1. Se elimină admitanţa Y, se scurtcircuitează bornele rămase şi se determină

curentul de scurtcircuit IABsc corespunzător bornelor respective. 2. Se deschide legătura de scurtcircuit, se pasivizează apoi toate sursele de curent

(prin anularea curenţilor injectaţi) şi se calculează admitanţa echivalentă YAB0 a circuitului pasiv astfel rezultat.

3. Se înlocuiesc valorile IABsc şi ZAB0 determinate în etapele anterioare în relaţia (8.20) şi se determină tensiunea la bornele ramurii date.

Aplicaţie

Să considerăm din nou circuitul din fig.8.1 şi să determinăm tensiunea la bornele ramurii 3. Conform relaţiei (8.20)

3303

YY

I

YY

IU

g

g

AB

ABsc

+=

+= (8.21)

Pentru determinarea parametrilor IABsc şi YAB0 în fig.8.7 ramurile active 1 şi 2 ale circuitului din fig.8.1, conectate în paralel, s-au înlocuit cu surse echivalente reale de curent (fig.8.7.a) având parametrii:

Figura 8.6

Y U

A I

B

Ig=IABsc Yg=YAB0

Figura 8.7

b

B

A

Y2 Y1

YAB0

a

B

A

Ig1 IABsc Y1 Y2 Ig2


12

2,1,1

=

=

==

k

ZY

EYZ

EI

kk

kkk

kgk

care, conform regulilor de transfigurare se pot înlocui, la rândul lor, cu o singură sursă echivalentă reală de curent având parametrii:

21

2112

2

2

1

1221121

ZZ

EZEZ

Z

E

Z

EEYEYIII ggg

+=+=+=+= , (8.22)

21

21

2121

11ZZ

ZZ

ZZYYY g

+=+=+= . (8.23)

Înlocuind relaţiile (8.22) şi (8.23) în relaţia (8.21) se deduce:

3133221

1221

321

22113 Z

ZZZZZZ

ZEZE

YYY

EYEYU

++

+=

++

+= . (8.24)

Deoarece 3

33

Z

UI = rezultă

133221

12213

ZZZZZZ

ZEZEI

++

+= (8.25)

Se constată pentru I3 aceeaşi expresie determinată şi prin metodele prezentate anterior.

8.5. METODA CURENŢILOR DE BUCLĂ Principiul metodei

Această metodă (numită şi metoda Maxwell, metoda descompunerii circuitului complex în ochiuri independente, metoda circuitelor independente sau a curenţilor independenţi sau a curenţilor de contur sau a curenţilor ciclici) se bazează pe faptul că, în laturile unui circuit oarecare, curenţii respectivi pot fi exprimaţi în funcţie de un număr mai mic de curenţi aleşi în mod arbitrar. Reducerea numărului de ecuaţii poate fi realizată prin alegerea unor noi necunoscute numite curenţi fictivi (sau curenţi independenţi sau ciclici). Fiecare curent fictiv parcurge toate ramurile ce alcătuiesc o buclă independentă (buclele independente sunt bucle care nu se suprapun) şi îndeplinesc condiţia ca suma lor algebrică în fiecare ramură, să fie egală cu curentul ramurii respective. Cele 1−= np ecuaţii scrise utilizând prima teoremă a lui Kirchhoff dau posibilitatea să se determine b curenţi în funcţie de restul de ( )1−−=−= nrprb curenţi care circulă în ramurile circuitului. Maxwell a arătat că aceşti curenţi pot fi


13

determinaţi numai cu ajutorul a b ecuaţii (b < r) care se pot obţine alegând din circuit un număr b de bucle independente şi făcând să circule în fiecare din aceste bucle un curent fictiv. Aplicând acestor bucle cea de a doua teoremă a lui Kirchhoff se obţin cele b ecuaţii căutate. Curenţii reali din ramurile circuitului se obţin apoi prin suprapunerea acestor curenţi. Metoda are avantajul de a permite micşorarea numărului de ecuaţii necesare rezolvării circuitului complex de la r la ( )1−−= nrb . În acest scop buclele independente ale reţelei se descompun în b bucle separate cărora li se asociază tot atâţia curenţi fictivi ce se închid prin ele. Pentru ca noua reţea constituită din b bucle separate, să funcţioneze din punct de vedere electric la fel cu reţeaua dată, este necesar şi suficient ca din suprapunerea curenţilor fictivi să rezulte curenţii reali din ramurile circuitului complex dat. Prin urmare curentul real dintr-o ramură a circuitului complex este egal cu suma algebrică a curenţilor fictivi din ramurile separate corespunzătoare. Pentru rezolvarea unui circuit utilizând metoda curenţilor de buclă se parcurg următoarele etape: 1. Se fixează în mod arbitrar sensul curenţilor I necunoscuţi, din ramurile circuitului. 2. Se aleg în circuit b bucle independente; acestea pot fi desenate pe o schemă

separată. 3. În fiecare din aceste bucle, circulă câte un curent fictiv J, al cărui sens de circulaţie

se fixează arbitrar (pentru simplificare, se recomandă ca sensurile curenţilor fictivi să fie alese aceleaşi cu sensurile de parcurgere ale buclelor respective – de regulă sensul orar).

4. Pentru fiecare buclă în parte se aplică a doua teoremă a lui Kirchhoff, cu observaţia că, în circuitul respectiv produc căderi de tensiune şi curenţii independenţi din buclele vecine, cu care bucla considerată are impedanţe comune, semnul acestor căderi de tensiune fiind dat de sensul de circulaţie al buclei vecine în raport cu sensul de circulaţie prin aceeaşi impedanţă a curentului fictiv din bucla considerată: dacă cei doi curenţi au acelaşi sens, căderea de tensiune respectivă are semnul (+); ea are semnul (–) în caz contrar.

Se va obţine astfel un sistem de b ecuaţii liniare de forma:

=+++

=+++

=+++

ebbbbbb

ebb

ebb

EJZJZJZ

EJZJZJZ

EJZJZJZ

...

...

...

2211

22222121

11212111

MMMM (8.26)

în care: - coeficienţii cu indici dublii de forma Zjj (de pe diagonală) reprezintă impedanţele

proprii ale buclelor j, egale cu suma tuturor impedanţelor din bucla j; - coeficienţii de forma Zjk reprezintă impedanţa mutuală (comună) a buclelor j, k,

egală cu suma impedanţelor din ramura comună buclelor j şi k (se consideră cu semnul (+) impedanţele în care curenţii Jj şi Jk au acelaşi sens şi se consideră cu semnul (–) impedanţele în care curenţii Jj şi Jk au sensuri contrare);

- termenii liberi (din membrul drept) Eek reprezintă suma algebrică a tensiunilor electromotoare care acţionează în bucla independentă k.


14

Acest sistem este compatibil, având b ecuaţii şi b necunoscute (curenţii fictivi prin cele ( )1−−= nrb bucle, notaţi J1, J2, ... , Jb).

5. Se rezolvă apoi sistemul, determinându-se curenţii fictivi Jk ( )bk ,1= .

6. Curenţii reali Ik rk ,1= din ramurile circuitului se obţin făcând suma algebrică a curenţilor fictivi care trec prin ramura respectivă

=

==∑

rk

bjJCI jjkk

,1

,1,

unde coeficienţii Cjk pot avea una din valorile 0, ±1, aceasta depinzând de sensul arbitrar ales pentru circulaţia curenţilor fictivi; valoarea 0 va apărea acolo unde circuitul respectiv nu conţine o anumită ramură. Pentru ca sistemul de ecuaţii să prezinte o oarecare simetrie, care să permită o verificare rapidă a scrierii lor corecte, este necesar să se urmeze o anumită regulă în stabilirea lor. Astfel, deşi alegerea buclelor independente este arbitrară, este recomandabil ca: - fiecare latură a circuitului să intre cel puţin o dată în aceste bucle; această condiţie

este obligatorie; - două laturi ale circuitului să nu comporte curenţi identici, în afară de cazul când ele

aparţin aceleaşi bucle; - să se aleagă acelaşi sens de circulaţie pentru curenţii fictivi circulând în cele b

bucle independente (de regulă sensul orar); - cele mai simple bucle independente şi deci ecuaţiile corespunzătoare, se obţin

când buclele independente sunt bucle simple ale circuitului dat, cu alte cuvinte, când aceste bucle separă circuitul dat în ochiuri. În acest caz curentul dintr-o ramură este format din cel mult doi curenţi fictivi.

În aceste condiţii determinantul coeficienţilor necunoscutelor (determinatul impedanţelor) este simetric faţă de diagonala principală, care este formată din impedanţele proprii ale buclelor alese, celelalte elemente fiind impedanţele comune diverselor bucle.

Aplicaţie

Pentru exemplificare, în fig.8.8.b, se prezintă descompunerea în b bucle independente a circuitului complex întâlnit mai înainte (fig.8.1.a). Deoarece în acest caz r = 3, n = 2, rezultă ( ) 21 =−−= nrb bucle independente. Notând cu J1 şi J2 curenţii fictivi care străbat buclele separate, (fig.8.8.b) rezultă:

+ +

a

B

A

E2 E1

I3

I2 I1

Z3

Z2 Z1

Figura 8.8

+ + E2 E1

J1

Z3

Z2 Z1

b

J2


15

11 JI = ; 22 JI −= ; 213 JJI −= .

Aplicând a doua teoremă a lui Kirchhoff în cele două bucle independente ale circuitului dat (fig.8.8.a) se obţin ecuaţiile:

−=−−

=+

23322

13311

EIZIZ

EIZIZ (8.27)

respectiv, un sistem de două ecuaţii cu trei necunoscute care nu poate fi rezolvat. Înlocuind curenţii reali cu curenţi ciclici, ecuaţiile devin:

( )

( )

−=−−

=−+

221322

121311

EJJZJZ

EJJZJZ

de unde, prin gruparea termenilor, se obţine:

( )

( )

−=++−

=−+

223213

123131

EJZZJZ

EJZJZZ (8.28)

adică un sistem de două ecuaţii cu două necunoscute, care poate fi uşor de rezolvat în raport cu curenţii ciclici J1 şi J2. Sistemul (8.28) se obţine şi particularizând sistemul (8.26) pentru circuitul din fig.8.8.a.

=+

=+

2222121

1212111

e

e

EJZJZ

EJZJZ (8.29)

în care:

3111 ZZZ += reprezintă impedanţa proprie a buclei (1),

3222 ZZZ += – impedanţa proprie a buclei (2),

32112 ZZZ −== – impedanţa comună buclelor (1) şi (2),

11 EE e = – t.e.m. echivalentă corespunzătoare buclei (1),

22 EE e −= – t.e.m. echivalentă corespunzătoare buclei (2). Rezolvând sistemul rezultă:

( )

323121

32321111

∆

∆

ZZZZZZ

ZEZZEJI

++

−+=== (8.30)

( )

323121

31312222

∆

∆

ZZZZZZ

ZEZZEJI

++

−+=== (8.31)

323121

12213213

∆

∆

ZZZZZZ

ZEZEJJI

++

+==+= (8.32)

în care:

323

331∆

ZZZ

ZZZ

+

+= ,

322

311∆

ZZE

ZE

+= ,

23

1312∆

EZ

EZZ += .


16

Se observă că s-a ajuns la aceleaşi expresii ale curenţilor ca şi în cazul metodelor prezentate anterior, însă pe calea rezolvării unui sistem de ecuaţii mai simplu, format din două ecuaţii cu două necunoscute.

8.6. METODA POTENŢIALELOR NODURILOR Principiul metodei

Această metodă se bazează pe faptul că, între două noduri oarecare ale unui circuit electric oarecare, în care există o circulaţie de curenţi, există întotdeauna o diferenţă de potenţial; dacă aceste noduri constituie extremităţile unei ramuri, cunoaşterea diferenţei de potenţial respective şi a impedanţei ramurii conduce imediat la găsirea intensităţii curentului care circulă prin ramura respectivă. În consecinţă, fixarea arbitrară a unei perechi de noduri într-un circuit pune imediat problema găsirii diferenţei de potenţial între aceste noduri, întocmai cum fixarea arbitrară a unei bucle în circuit punea problema determinării intensităţii curentului fictiv în acea buclă; rezultă că determinarea tensiunilor corespunzătoare perechilor de noduri într-un circuit poate conduce la rezolvarea problemelor puse acelui circuit. Numărul perechilor de noduri independente ce se poate stabili într-un circuit este 1−= np , în cazul circuitelor în regim staţionar sau cvasistaţionar. Metoda are avantajul că reduce problema – ca şi metoda curenţilor de buclă – la rezolvarea unui sistem de p ecuaţii liniare în care necunoscutele sunt potenţialele a 1−n noduri (potenţialul celui de al n-lea nod fiind considerat ca potenţial de referinţă şi luat, în general, egal cu zero), care, de asemenea, sunt mai puţine decât cele r ecuaţii liniare care se obţin prin metoda utilizării teoremelor lui Kirchhoff. Prin această metodă se operează cu noi variabile şi anume potenţialele nodurilor, egale ca număr cu numărul nodurilor independente 1−n ale circuitului. Se alege ca nod de referinţă nodul n, faţă de care, celelalte noduri au potenţialele V1, V2, ... , Vp ( 1−= np ). Pentru analiza unui circuit prin metoda potenţialelor nodurilor se parcurg următoarele etape: 1. Se înlocuiesc în schema dată impedanţele prin admitanţe şi sursele de tensiune

prin surse de curent. 2. Se aleg în reţea 1−n noduri, în mod arbitrar, al n-lea nod se leagă la pământ,

luându-se ca nod de referinţă (cu potenţial nul). Aceste n-1 noduri formează cu nodul de referinţă, p perechi de noduri arbitrar alese.

3. Se presupune că la fiecare pereche de noduri, există o diferenţă de potenţial

kj VV − , având un anumit sens de polaritate de asemenea ales arbitrar.

4. Pentru fiecare nod în parte se aplică prima teoremă a lui Kirchhoff. Se va obţine astfel un sistem de p ecuaţii liniare de forma:


17

=+++

=+++

=+++

epqpppp

epp

epp

IVYVYVY

IVYVYVY

IVYVYVY

...

...

...

2211

22222121

11212111

MMMM (8.33)

în care: - coeficienţii cu indici dublii de forma Yii (de pe diagonală) reprezintă admitanţa

totală corespunzătoare nodului i (suma admitanţelor tuturor ramurilor incidente nodului i);

- coeficienţii de forma Yij (i ≠ j) reprezintă admitanţa totală a perechii de noduri i şi j (suma admitanţelor tuturor ramurilor conectate între nodurile i şi j); - Vi reprezintă tensiunea independentă la bornele acestei perechi de noduri (potenţialul nodului i în cazul când toate perechile de noduri s-au considerat în raport cu nodul având potenţialul de referinţă);

- termenii liberi (din membrul drept) de forma ∑∑∈∈

±=±=

ik

kk

ik

gkei EYII

reprezintă curentul echivalent corespunzător nodului i (suma curenţilor produşi şi injectaţi de surse referitoare la nodul i, Ek fiind t.e.m. respective (se consideră pozitivi curenţii injectaţi în nodul k – ce au sensul spre nodul k – şi negativi cei ejectaţi – ce au sensul dinspre nod).

5. Rezolvând sistemul de ecuaţii se găsesc valorile şi semnul potenţialele Vi ale tuturor nodurilor arbitrar alese din circuit raportate la potenţialul de referinţă ales, cu ajutorul cărora se pot determina diferenţele de potenţial la extremităţile fiecărei ramuri.

6. Curenţii din circuit se determină apoi aplicând legea conducţiei fiecărei ramuri în parte.

kkkk IZVE =+ , apoi ( )kkkk

kkk VEY

Z

VEI +=

+=

metoda rezultând astfel puţin mai dificilă decât metoda curenţilor independenţi. Metoda este recomandată numai în cazul circuitelor cu două noduri; dacă circuitul are mai mult de două noduri, se recomandă altă metodă.

Aplicaţie

Să considerăm acelaşi circuit din fig.8.1, în care sursele de tensiune au fost transformate în surse de curent şi impedanţele în admitanţe (fig.8.9). Figura 8.9

0

1

Ig1 Y1 Y2 Ig2 Y3

I1 I2

I3

U1 U2 U3


18

Circuitul având 2=n noduri, rezultă 11 =−= np noduri independente. S-a notat nodul de referinţă (având potenţial nul) cu (0) şi nodul rămas cu (1). Scriind prima teoremă a lui Kirchhoff pentru nodul (1) rezultă:

032121 =−+++ IIIII gg (8.34)

unde

2,1, === kEYZ

EI kk

k

kgk . (8.35)

( ) 2,1,101 =−=−−=−= kVYVVYUYI kkkkk (8.36)

( ) 13013333 VYVVYUYI =−== (8.37)

Înlocuind relaţiile (8.35), (8.36), (8.37) în relaţia (8.34) rezultă:

( ) 22111321 EYEYVYYY +=++ . (8.38)

Pe de altă parte, relaţia (8.38) se poate obţine particularizând relaţia (8.33) pentru circuitul din fig.8.9. Astfel

1111 eIVY = (8.39) unde:

32111 YYYY ++= reprezintă admitanţa totală corespunzătoare nodului (1)

2211211 EYEYIII gge +=+= – curentul echivalent corespunzător nodului (1).

Din relaţia (8.38) se deduce:

321

22111321

YYY

EYEYVUUU

++

+==== . (8.40)

Exprimând curenţii ramurilor (1) şi (2) cu ajutorul primei teoreme a lui Kirchhoff şi cel al ramurii (3) cu ajutorul teoremei lui Ohm se obţine:

( ) ( ) 2,1,1 =−=−=−=−= kVEYUEYUYEYUYII kkkkkkkkkkkgkk

de unde: ( )

323121

323211

ZZZZZZ

ZEZZEI

++

−+= , (8.41)

( )

323121

313122

ZZZZZZ

ZEZZEI

++

−+= (8.42)

respectiv:

( )323121

12212211

321

313333

ZZZZZZ

ZEZEEYEY

YYY

YVYUYI

++

+=+

++=== (8.43)

Se constată, de asemenea, aceleaşi expresii obţinute pentru curenţi din ramurile circuitului analizat cu cele obţinute prin metodele anterioare.


19

Alegerea între metoda curenţilor de buclă sau cea a potenţialelor nodurilor pentru analiza circuitelor electrice depinde de numărul ecuaţiilor ce urmează a fi rezolvate. Astfel, dacă pb < este mai avantajos să se utilizeze metodă curenţilor de buclă, iar dacă pb > , este mai avantajoasă metoda potenţialelor nodurilor. În aceste condiţii, numărul necunoscutelor ce urmează să fie determinate este întotdeauna mai

mic sau cel mult egal cu 2r

, această din urmă situaţie apărând atunci când pb = ; în

acest caz se alege indiferent care dintre cele două metode. Din analiza metodelor de rezolvare a circuitelor liniare complexe rezultă că la aplicarea uneia sau alteia dintre metode trebuie să se ia în considerare complexitatea circuitului considerat, forma în care se prezintă, volumul de calcul pe care îl necesită aplicarea uneia sau alteia dintre metode, acesta din urmă reprezentând criteriul fundamental al alegerii metodei de rezolvare a circuitului.

metode de analiza a circuitelor

Documents