1

I. PRINCIPIILE METODEI ELEMENTELOR FINITE. METODA

DEPLASĂRILOR

1.1.Aproximarea numerică în mecanica solidelor

Simularea fenomenelor fizice a constituit de-a lungul timpurilor, o preocupare permanentă în încercările inginerilor de-a urmări cât mai corect comportamentul real al diferitelor fenomene. Realitatea fizică este logic punctul de plecare în modelarea tuturor fenomenelor. Complexitatea însă a fenomemenelor fizice ridică nenumărate probleme, pentru studiul acestora, aproximarea devenind practic inevitabilă.

Teoretic toate fenomenele fizice pot fi descrise matematic printr-un sistem de ecuaŃii cu derivate parŃiale aplicabile în spaŃiul modelat, volum, timp, etc., cu condiŃii impuse pe frontieră în spaŃiul considerat. Pentru rezolvarea unui astfel de sistem, sunt posibile două căi: analitică şi numerică, ambele fiind metode de aproximare.

SoluŃia analitică aproximativă constă în a utiliza anumite condiŃii iniŃiale (ipoteze simplificatoare) care să permită rezolvarea analitică a modelului matematic – eroarea este de

origine analitică. În astfel de situaŃii, rezolvarea analitică impune crearea unui model simplificat, pentru care integrarea ecuaŃiilor diferenŃiale să fie realizabilă, obŃinându-se astfel o soluŃie exactă a acestora.

Avantajul unor astfel de soluŃii este aceea că acestea rămân valabile independent de valorile numerice ale parametrilor sistemului (geometrie, material, încărcări).

SoluŃia numerică aproximativă consideră modelul matematic original, dar introduce aproximări la nivelul tehnicii de rezoluŃie - eroarea este de origine numerică. Două aproximări sunt avute în vedere: la nivel local (la nivelul ecuaŃiilor diferenŃiale) şi la nivel global (echilibrul sistemului este exprimat sub o formă mai generală). Această aproximare prezintă un avantaj considerabil în tratarea sistemelor complexe.

Fig. 1.1. Metode de rezolvare a problemelor matematice

La un moment dat metodele experimentale şi metodele analitice au constituit singurele

metode de analiză şi interpretare a rezultatelor. SoluŃiile analitice, însă, nu sunt posibile decât pentru situaŃii relativ simple. În cazul nevoilor industriale, unde sistemele sunt departe de-a putea fi uşor abordate prin aproximări analitice, soluŃiile analitice devin insuficiente.

Au apărut, apoi, metodelele semi-analitice de aproximare, metoda Rayleigh-Ritz, ca o alternativă la soluŃiile pur analitice. Însă după apariŃia metodelor numerice, acestea au devenit

D (Φ) – f = 0

Domeniul cu condiŃii la limită

SoluŃii analitice

- Separarea variabilelor - SoluŃii analoage - Transformata Fourier - Transformata lui Laplace

SoluŃii numerice

- DiferenŃe finite - Metoda Ritz - Elemente finite - Elemente de frontieră

2

instrumentul principal de modelare şi analiză a o serie de sisteme complexe şi variate. Astfel astăzi, metodele de aproximare numerică au devenit indispensabile pentru

rezolvarea diferitelor sisteme reale din diferite sectoare ale ingineriei, şi nu numai. În modelarea oricărui fenomen, inginerul trebuie să fie conştient că între modelul

numeric şi realitatea fizică există un mare număr de aproximări, pe care va trebui, cât mai mult să le stăpânească. În încercarea de a se apropia cât mai mult de realitate, pe tot parcursul modelării, el trebuie să rămână tot timpul atent.

Metoda elementelor finite constituie o metodă numerică care se bazează pe două principii fundamentale: discretizare şi interpolare.

1.2. Metoda elementelor finite. Domenii de aplicare. Tipuri de probleme

1.2.1. Interesul pe care îl prezintă metodele numerice Utilizarea metodelor numerice prezintă interes deosebit datorită următoarelor considerente: - se pot studia forme geometrice complicate; - se pot studia comportamente complexe şi evolutive: neliniaritate, vîscozitate, fenomene

tranzitorii; - se pot cupla probleme de tipuri diferite: mecanice, termice, magnetice, hidraulice; - exploatare directă şi rapidă a rezultatelor; - capacitate mare de adaptare la diferite situaŃii: modele, materiale, procedee; - foarte mare simplitate în utilizare; În acelaşi timp anumite inconveniente ar putea fi supărătoare: - durată de timp de calcul semnificativă pentru modelarea fenomenelor reale complexe; - grijă mare în resursele informatice; - sensibilitate a informaŃiilor locale pentru diferite tipuri de probleme (ex. propagări de

fisuri...); - efort considerabil în interpretarea şi validarea rezultatelor;

1.2.2. Metoda elementelor finite

Metoda Rayleigh-Ritz a permis punerea bazelor metodei elementelor finite, introducînd noŃiunea de aproximare a câmpului necunoscut studiat.

Fig. 1.2. Modelarea sistemelor fizice complexe

Metoda Rayleigh-Ritz, presupune definirea unei singure forme a câmpului necunoscut pentru toate situaŃiile. Pentru rezolvarea, însă, a problemelor complexe când geometria pieselor se schimbă, câmpul de studiat nu este de aceeaşi formă în toate zonele structurii.

Metoda elementelor finite

Câmp necunoscut

Metoda Ritz (aproximarea câmpului)

Geometrie complexă

Geometrii elementare (discretizare)

3

Pentru rezolvarea acestei probleme, metoda elementelor finite propune decuparea sistemului real într-un anumit număr de elemente geometrice simple. Acest procedeu prin care un domeniu continuu este împărŃit în subdomenii, elemente discrete numite elemente finite - E.F. - cu proprietăŃi fizice şi funcŃionale identice cu cele ale domeniului studiat, se numeşte „discretizare”.

În baza acestui concept, modelul analitic diferenŃial al procesului fizic de analizat se transformă într-un model numeric care poate fi rezolvat cu ajutorul calculatorului. EcuaŃiile E.F. alcătuiesc sisteme de ecuaŃii liniare având forma tipică:

=+++

=+++

=+++

nnnnnnn

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

...

.......

.......

...

...

221

22222121

11212111

Acest sistem de ecuaŃii se poate scrie explicit ca o ecuaŃie matriceală de forma:

=

nnnnnn

n

n

b

b

b

x

x

x

aaa

aaa

aaa

..

...

......

...

...

2

1

2

1

21

22221

11211

Sau, sub forma condensată: [A]{x} = {b}

în care: [A] - matricea coeficienŃilor ; {x} - vectorul necunoscutelor ; {b} - vectorul constantelor,

SoluŃia ecuaŃiei matriceale devine, astfel: {x} = [A]-1{b}

ceea ce arată că problema principală în rezolvarea ecuaŃiilor constă în inversarea matricei coeficienŃilor [A]. În baza aceluiaşi raŃionament, sistemul de ecuaŃii al unei structuri formate dintr-un număr finit de elemente discrete, elemente finite, se poate scrie : în care:

{F} - vectorul încărcărilor; [K] - matricea de rigiditate (matricea caracteristicilor geometrice şi de material);

{F}= [K] {Φ}

vectorul generalizat al încărcărilor

matricea de rigiditate (caracteristici geometrice

şi de material)

vectorul necunoscuteor (deplasări, temperaturi, etc.)

4

{Φ}- vectorul necunoscutelor (deplasări, temperature, etc.);

1.2.3. Domenii de aplicabilitate

Domeniile fizice de aplicabilitate a metodei elementelor finite sunt diverse: mecanică,

construcŃii civile şi navale, electronică, fluide, termice, meteorologie, medicina, etc. (Fig. 1.3.) În toate situaŃiile, formularea metodei este identică, natura câmpului studiat şi legile de comportare sunt adaptate domeniului studiat.

Fig. 1.3. Domeniile de aplicabilitate a metodei elementelor finite

Este posibilă astfel tratarea prin MEF a majorităŃii situaŃiilor întâlnite în practică: � materiale izotrope şi anizotrope; � structuri omogene sau materiale compozite; � comportamente elastice, elasto-plastice şi plastice; � deformaŃii mici, deplasări mici, deplasări mari; � calcule de câmpuri termice, staŃionare sau nestaŃionare, cuplaje termo-elastice; � curgerea fluidelor, în regim staŃionar sau nestaŃionar; � comportamente neliniare; flambaj;

analize dinamice: frecvenŃe, vibraŃii fortaŃe 1.2.4. Tipuri de probleme

Metoda elementelor finite permite rezolvarea a trei tipuri de probleme principale: − Probleme de echilibru staŃionar: presupun determinarea parametrilor necunoscuŃi,

independenŃi de timp, pentru un regim staŃionar al procesului fizic studiat. Comportamentul este definit de starea sistemului, geometrie, încărcare şi condiŃii la limită. Exemple de astfel de probleme: probleme de echilibru static liniar sau neliniar, regim staŃionar de curgere a fluidelor, analiza statică a transferului de căldură, electromegnetism;

− Probleme de valori proprii: cu necunoscutele, anumite valori critice ale parametrilor fizici, invariabile în timp, pentru configuraŃii de echilibru şi condiŃii la limită date. Astfel de situaŃii se întâlnesc în probleme de analiza frecvenŃelor proprii a modurilor de vibraŃii şi flambaj, analiza regimurilor de curgere laminară (mecanica fluidelor), analiza caracteristicilor de rezonanŃă (electricitate);

− Probleme de propagare (dependente de timp): presupun determinarea parametrilor necunoscuŃi dependenŃi de timp, pentru regimuri tranzitorii ale proceselor fizice studiate.

Electrostatică Φ ?

Mecanica solului u, ε, σ ?

Biomecanica Φ ?

Circuite electrice I, U ?

Piezo-electrice Φ ?

AplicaŃii ale metodei elementelor finite

Electromagnetism Φ ?

Mecanica cuantică Φ ?

Acustică p, Φ ?

ReacŃii chimice Φ ?

Transfer de căldură T, u, ε, σ ?

Mecanica solidului u, ε, σ ? Mecanica fluidelor

p, Φ ?

5

Este cazul sistemelor a căror comportament se modifică în timp, rezolvarea directă nefiind posibilă. Exemple de astfel de probleme: comportament neliniar (neliniartate de material, geometrie, încărcare), probleme de analiză dinamică neliniare, regimuri tranzitorii a transferului de căldură, analiza curgerii nestaŃionare a fluidelor, propagarea fisurilor;

Fig. 1.4. Tipuri de probleme fizice posibile a fi rezolvate prin metoda elementelor finite

1.2.5. Avantajele – dezavantajele metodei elementelor finite comparativ cu metodele clasice

de calcul a structurilor pe baza teoriei elasticităŃii-plasticităŃii Avantaje:

� Posibilitatea de-a modela domenii neregulate, corespunzătoare configuraŃiei geometrice a corpurilor studiate, prin folosirea de elemente finite cu forme şi dimensiuni diferite;

� Posibilitatea utilizării în tot cuprinsul domeniului de elemente finite cu dimensiuni diferite; este posibil astfel ca reŃelele de elemente finite să fie rafinate sau rarefiate în funcŃie de zonele de interes;

� Posibilitatea considerării oricăror condiŃii la limită corespunzator problemei studiate; � Posibilitatea de a trata fără nici o dificultate probleme în care proprietăŃile fizice ale

corpului studiat variază: situaŃia materialelor neomogene, anizotrope, compozite, stratificate, etc.;

� Posibilitatea elaborării unor algoritmi şi programe cu grad mare de generalitate, apte să rezolve o gamă largă de probleme dintr-un domeniu de specialitate sau chiar din mai multe domenii;

Dezavantaje:

� Volumul extrem de mare de date de intrare cerute de programele de analiză prin MEF (coordonatele nodurilor, informaŃii de conectivitate a elementelor în reŃea, condiŃii la limită, etc.);

� Deşi au fost depaşite dificultăŃile legate de introducerea manuală a datelor de intrare, prin elaborarea de programe preprocesoare, rămâne dezavantajul spaŃiului mare pe care aceste date le ocupa pe discul magnetic; apare necesitatea existenŃei unităŃilor de disc cu capacitate sporită;

� Sistemele de ecuaŃii care se obŃin prin aplicarea metodei elementelor finite sunt în mod obişnuit foarte mari, pentru rezolvarea acestora în condiŃii de eficienŃă fiind necesare memorii interne mari;

Probleme de valori

proprii

Tipuri de probleme fizice posibile a fi

rezolvate prin metoda elementelor finite

Probleme de

echilibru staŃionar

- Mecanica solidului - Curgerea fluidelor - Transfer de căldură - Câmp magnetic

- Neliniaritate - Dinamică - Regimuri tranzitorii - Propagare fisuri

- Dinamică, vibraŃii - Stabilitatea sistemelor - Curgere laminară - Acustică

Probleme

dependente de timp

6

� Rezultatele se obŃin sub forma unei vaste colecŃii de valori numerice ale funcŃiei sau funcŃiilor studiate, într-un număr foarte mare de noduri; facilitatea analizării rezultatelor este posibilă prin elaborarea de programe postprocesoare care să furnizeze datele nu numai numeric ci şi grafic;

� Calitatea rezultatelor obŃinute prin MEF care presupune o serie de aproximări, va depinde de: � experienŃa şi abilitatea programatorului de-a elabora un model cu elemente finite

pentru problema studiată (aproximări la definirea funcŃiei de interpolare); � necesitatea unui ansamblu minim de cunostinŃe fundamentale referitoare la metodă şi a

experientei necesare pentru utilizator (aproximări la definirea formei); riscul erorilor de interpretare a rezultatelor sunt foarte mari;

Dacă, însă, calculele clasice din RezistenŃa Materialelor, bazate pe ipoteze

simplificatoare, cum ar fi asimilarea corpurilor cu forme schematice simple cât mai apropiate

de forma reală, duc la rezultatele exacte, prin metoda elementelor finite, care presupune

rezolvarea sistemelor de ecuaŃii gigant, se vor obŃine soluŃii aproximative a problemei reale.

De cele mai multe ori însă, este de preferat, ca în locul soluŃiei exacte a unui model simplificat (RM), să se dispună de o soluŃie aproximativă a problemei reale (MEF).

1.3. Discretizarea unei structuri. Tipuri de elemente finite

O structură este alcătuită dintr-un număr de puncte singulare care permit definirea

geometriei structurii (puncte de legătură, conexiuni...) denumite „noduri fizice”. Modelarea cu elemente finite presupune împărŃirea domeniului supus analizei – „discretizare” - în elemente discrete, numite „ elemente finite”. Conexiunea elementelor finite se realizează prin „noduri” (Fig. 1.5.).

Fig. 1.5. Tipuri de elemente finite

element tip bară

elemente tip grindă

element tip placă

element plan

element de volum

element de volum

element tip membrană

7

1.3.1. Tipuri de elemente finite

În funcŃie de domeniul discretizat pot fi utilizate diferite tipuri de elemente finite: • Elemente finite unidimensionale – tip 1D - bară : aceste elemente finite sunt utilizate

pentru modelarea şi discretizarea structurilor din bare plane sau spaŃiale. În această categorie sunt incluse: − E.F. tip bară cu noduri articulate, solicitate numai de eforturi axiale – structuri de

bare articulate; − E.F. tip bară cu noduri rigide (grindă), solicitate şi la încovoiere – structuri de bare

tip cadre plane sau spaŃiale; − E.F. tip axi-simetrice - utilizate pentru modelarea şi discretizarea structurilor axial-

simetrice – corpuri de revoluŃie cu pereŃi subŃiri – care pot fi modelate cu elemente 1D, după generatoarea de revoluŃie;

• Elemente finite bidimensionale – tip 2D: sunt elementele cele mai des utilizate, deoarece permit modelarea şi discretizarea unui număr important de structuri. Aceste elemente permit analiza problemelor de elesticitate plană şi structuri axial-simetrice – corpuri de revoluŃie cu pereŃi groşi – care pot fi modelate cu elemente 2D − E.F. tip plane - triunghiulare şi patrulatere – utilizate pentru studiul problemelor de

elasticitate plană; − E.F. tip membrană - studiul suprafeŃelor solicitate la eforturi transversale, când

trebuie luat în considerare şi fenomenul de încovoiere; − E.F. tip axi–simetrice - corpuri de revoluŃie cu pereŃi groşi – care pot fi modelate cu

elemente 2D; 1 D :

- bare articulate - grinzi - membrane axi-simetrice

a. cu 2 noduri b. cu 3 noduri

2 D : triunghiulare şi patrulatere - elasticitate plană - axi-simetrice - plăci subŃiri - membrane subŃiri

a. triunghiular b. patrulater (3 noduri) (4 noduri)

nodurile reŃelei noduri

geometrice

8

cu 3 noduri cu 4 noduri axi-simetrice

• Elemente finite tridimensionale – tip 3D – de volum : sunt utilizate în cazul structurilor

masive la care cele trei dimensiuni în spaŃiu sunt de acelaşi ordin de mărime - corpuri masive şi plăci groase;

3 D :

- corpuri masive - plăci groase - tuburi cu pereŃi groşi

a. tetraedru b. hexaedru (4 noduri) (8 noduri)

Fig. 1.6.

1.3.2. Reguli de discretizare ale domeniului în elemente finite La discretizarea domeniului studiat în elemente finite trebuie să se respecte următoarele

reguli: � Două elemente finite învecinate distincte nu pot avea în comun decât nodurile situate pe

frontiera comună; această condiŃie exclude apariŃia interferenŃei între elementele învecinate. Frontierele dintre elemente pot fi puncte, curbe sau suprafeŃe (Fig. 1.8.);

Fig. 1.8. Frontierele între două elemente

1 2

frontiera

comună

frontiera

comună

2 1

frontiera

comună

intrepătrundere

aaa

9

� Elementele finite adiacente trebuie să aibă pe suprafaŃa sau linia nodală comună acelaşi număr de noduri geometrice definite de aceleaşi coordonate; astfel frontiera 1 – 2 - 3 dintre elementele din figura 1.9., este definită de coordonatele nodurilor 1, 2 şi 3; porŃiunile de frontieră comună a celor două elemente trebuie definite într-o manieră identică; astfel se poate alege o parabolă ce va trece prin cele trei noduri;

� Excluderea golurilor între elementele finite învecinate (Fig.1.10.);

Fig. 1.9. Discretizare corectă Fig. 1.10. Discretizare incorectă

� Ansamblul tuturor elementelor trebuie să constituie un domeniu cât mai apropiat domeniului supus analizei. Dacă frontiera domeniului este constituită din curbe sau suprafeŃe complexe, erorile de discretizare sunt inevitabile; ele pot fi reduse micşorând dimensiunile elementelor, sau folosind elemente cu frontiere mai complexe – număr mai mare de noduri (Fig.1.11.);

Fig. 1.11. Discretizarea unei frontiere complexe � Nu se recomandă decalaje între elementele finite; nu se poate asigura continuitatea celor

două frontiere (Fig.1.12.);

Fig.1.12. Discretizare incorectă

� SituaŃii recomandate:

− pentru trecerea de la anumite tipuri de elemente finite la alte tipuri se recomandă folosirea unor elemente de tranziŃie care să facă legătura între ele (Fig.1.13.);

eroare de discretizare

geometrică mărirea numărului

elementelor

utilizarea elementelor

cu frontieră curbă

1

2

gol inadmisibil între elemente frontiera

2

1

3

10

Fig.1.13. Asigurarea tranziŃiei între elemente

− dimensiunile elementelor finite bi- şi tridimensionale trebuie să fie cam de acelaşi

ordin de mărime; raportul tolerat între dimensiunile maximă şi minimă a elemetului finit depinde de problema studiată (Fig.1.14.):

♦♦♦♦ pentru analiza tensiunilor 3min

max≤

h

h;

♦♦♦♦ pentru analiza deplasărilor 10min

max≤

h

h;

Fig.1.14. Raportul tolerat între dimensiunile maximă şi minimă a elemetului finit

− abateri de la această regulă se admit în zonele structurilor cu concentratori care constituie zone de interes, şi unde chiar se recomandă o discretizare diferenŃiată;

element

de tranziŃie

h max /h min ≤ 3 h max /h min ≤ 10

h max

h m

in

h m

in

h max

h m

in

h m

in

h max

h max