metoda elementelor finite. indrumatorusers.utcluj.ro/~mnedelcu/indrumator mef preview.pdf · 8 7...
TRANSCRIPT
Mihai Nedelcu
-
Cuprins
Algoritmul MEF pentru calculul structural liniar ...................................................................... 1
- ................................ 10
Lucrarea III ................................................................. 11
Lucrarea IV ............................................................................................... 18
.................................................................................................................... 18
.......................................................................................... 21
Lucrarea V Cadre plane ........................................................................................................ 29
...................................................................................................................... 29
V.2. Exemplu: cadru plan ............................................................................................................... 33
Lucrarea VI ................................................. 43
.................................................................................................................... 43
..................................................................................................... 47
Lucrarea VII utilizarea programului de calcul avansat Abaqus ............................................ 58
Bibliografie .............................................................................................................................. 60
APPENDIX ............................... 61
1. ............................................................................................................................. 61
2. Variabile ................................................................................................................................. 61
3. ctori ................................................................................................................... 62
3.1. Definirea matricelor ........................................................................................................ 62
3.2. ..................................................................... 67
3.3. ........................................................................................... 71
3.4. Manipularea matricelor ................................................................................................... 72
3.5. Operatori MATLAB........................................................................................................ 78
3.6. Calcul matriceal .............................................................................................................. 84
3.7. Prelucrarea datelor .......................................................................................................... 85
4. R ............................................................................... 89
5. ..................................................................................................... 90
6. ............................................................................................................... 95
7. Elemente de Programare MATLAB ...................................................................................... 106
7.1. ........................................................................................... 106
7.2. ............................................................................................ 107
7.3. Vectorizarea calculelor .................................................................................................. 112
Algoritmul MEF pentru calculul structural liniar
Principiul Metodei Elementelor Finite (MEF) printr-
(tensiunile), sau o
Fig.
I.1 p u(x)
Fig. I.1: Bara
Fig. I.2 de lungime l noduri.
Fig. I.2
Fig. I.3 prez Ox
paralel cu sistemul global de coordonate Ox (originea O coincide cu nodul i).
Fig. I.3: Elementul Finit
Deplasarea u(x) a unui punct curent pe un EF (unde ( , )i jx x x ), se poate aproxima prin
ui uj
pO
L
x, x
u1 u2 u3 u4
l l lL
Rpl
pl2 1 2 3
1 2 3 4
plpl2
i jui uj
l
e xpl2
pl2
1 xxU 1 2
T
destinat calculului structural.
pe Gradelor de Liberate (GL) nodale care devin necunoscutele problemei. care definesc pozi ia nodurilor
T
i ju ueU
Din Ec. (I.1) (I.4)
(I.3) (I.5) care au caracter general:
Se introduce ( )
i j
pe EF x i cu
(I.7):
(I.6).
1 1
l lB
1 2( )u x x (I.1)
1
21u x
(I.2)
xu U (I.3)
11
1 2 2
ii
j j i
uuu l u u l (I.4)
11 01
i
j
uu le eU A A U (I.5)
( ) j ii
u uu x u x
l (I.6)
11 01 11 1 i j
x xx
l ll l
x e e e eu U A U U U U (I.7)
eu U (I.8)
x
du
dx (I.9)
1 1j j iix
d u ud l
dx dx l l l le eU U (I.10)
Recapitulare
vedere de ansamblu a MEF:
xu U 1eA U eu U
eBU eCBU
W L
e eu U U
T Te
V
W dV e e eU k U T
V
dVek CB
t t Te
V S
L dV dS e eX u F u U P t t
V S
dV dSeP X F
e eW L e e eP k U
Te e eU R U T
ee eP = R P Te ee ek = R k R
T
tot e1 e2 enU U U U T
tot e1 e2 enP P P P
tot
e1
e2
en
kkk
k
1 2
T
mU u u u 1 2
T
mP P P P
Ttot tot tot tot totP = L P P k U U LU
TtotP KU K L k L
redus redus liberP K U 1liber redus redusU K P
R RR K U - P
tot e tot tot e totBR U CBR U
Lucr I - Matlab
- familiarizarea cu mediul de programare MATLAB
- definirea i manipularea matricelor i vectorilor;
- calcule cu matrice i vectori;
- rezolvarea sistemelor de liniare;
-
- i 3D;
- elemente de programare MATLAB.
Pentru MATLAB,
APPENDIX.
Lucrarea III
Caracteristicile structurii: interval a = 1000mm, modulul lui Young E = 1000MPa, A = 100mm2 p = 1N/ mm.
% memorie clear all; %Se introduc datele de intrare: %lungimea barei [mm] lungime_bara=1000; % Ae=100; %modulul lui Young [N/mm^2] E=1000; % p=1; % nrEF=3; % nrGL_EF=2;
% nrnod=nrEF+1; % nrGL=nrnod; %lungime EF l=lungime_bara/nrEF; %se matricea Elementelor Finite % M_EF=zeros(nrEF,nrGL_EF+1); % M_EF(:,1)=1:nrEF; % primul nod al EF M_EF(:,2)=1:nrEF; % al doilea nod al EF M_EF(:,3)=2:nrEF+1; %
M_GL=M_EF; %matricea de rigiditate a EF
ke=E*Ae/l*[1 -1;-1 1;]; %se matricea de localizare L
L=zeros(nrGL_EF*nrEF,nrGL); for i=1:nrEF for j=1:nrGL_EF L(j+(i-1)* nrGL_EF, M_GL(i,j+1))=1; end end
nrnod=4 nrGL=4 l=333.33
M_EF = 0 0 0 0 0 0 0 0 0
M_EF = 1 1 2 2 2 3 3 3 4 ke = 300 -300 -300 300 L = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1
%
% x=0:l:l*nrEF; % subplot(1,2,1); bar(x,U,1,'r'); axis tight; title('deplasari); % subplot(1,2,2); bar(x(1:nrEF)+l/2,sigma_ctEF,1); axis tight; title('sigma'); hold on plot(x,sigma,'color','r','Linewidth',2); axis tight; title('sigma'); legend('sigma pe EF,'sigma mediat',2); % %
Fig. III.4 nodale
P = 1kN):
Fig. III.5: 1 bare te axial
p
L L/2 L/2
P
2L/3 L/3
P
p
p(x)=pxL
L
b)a)
d)c)
Lucrarea IV
Fig. IV.1: Grinda cu
primul capitol
elementul finit este bara la capete Fig. IV.2 .
Fig. IV.2 - GL
l
pe baza coordonatelor nodurilor ( ,i ix y i ,j jx y
ul local Oxy al barei nu este paralel cu sistemul global Oxy ci este rotit
l barei .
3 5
1 1195 73
1 7
2 6 10
4 8
2
P1
4 6p1 p2
y
x
P2 P3
O xix j
y
x
y j
yi
2 22 1 2 1
2 1
2 1
( ) ( )
arctan
l x x y y
y y
x x
(II.1)
Fig. IV.4). Caracteristicile structurii: interval a = 1m, modulul lui Young E = 2.1e05MPa A1 = 200mm2, aria diagonalelor A2 = 100mm2,
P = 100kN.
Fig. IV.4 Libertate
% ???
%Se introduc datele de intrare %modulul lui Young [N/mm^2] E=210000; %se introduc coordonatele nodurilor [mm] noduri=[1 0 0;2 2000 0;3 4000 0;4 6000 0;5 1000 1000;6 3000 1000;7 5000 1000;]; %ariile barelor (A1 - talpi, A2 - diagonale) [mm^2] A1=200; A2=100; %se introduce matricea Elementelor Finite %se introduc barele cu nodurile de cap t i aria fiec rei bare M_EF=[1 1 2 A1;2 2 3 A1;3 3 4 A1;4 5 6 A1;5 6 7 A1;6 1 5 A2;7 5 2 A2;8 2 6 A2;9 6 3 A2;10 3 7 A2;11 7 4 A2;]; % Pinc=[5 0 -100000;6 0 -100000;7 0 -100000;]; %se introduc nule n reazeme nodrez=[1 1 1; 4 0 1;]; %nod 1 - GL blocat, 0 - GL liber % nrGL_nod=???; % % nrnodEF=???;
A1
A2
A1
R1
R2
a a a a a a
1 2 3 4
5 6 7
P P P4 5
1 2 3
76 8 9 10 11
R3
hold on; end %titlul figurii title('Forte axiale [kN]','FontSize',12); axis equal; % Sf r it!
Fig. IV.5
p = 10kN/m, = C
Sap2000):
Fig. IV.6
Obs: La curs s- le
6x(2a) a a
A1
a) b)
A2
A1
2P
A1
PP
P
PP
P/2 P/22P
P P
p
3a 4x(2a)
d)c)
A1
A2
A2
A1
A2
A1
Lucrarea V Cadre plane
, iar barele sunt supuse ,
-
Fig. V.1 ele
(barele cadrului).
Fig. V.1: Cadru plan
Fig. V.2
Fig. V.2: Elementul Finit
scrie:
Obs: (II.2) Vectorul eforturilor nodale pe EF se scrie:
P
1
2
3
p
1
2 3
4 1
1
2
x
22 3
y
yx
3
3
4
y
x
ei j
l
Ni
Mi
l
e
M jT jTi
N j
vi v j
ui u j
T
i i i j j ju v u veU (III.1)
i j
V.2. Exemplu: cadru plan
Fig. V.4. Caracteristicile structurii: interval a = 6m, modulul lui Young E = 30000MPa cm P = 40kN
p = 20kN/m.
Fig. V.4: a) Cadru plan; b) Grade de Libertate
Fig. V.5
Fig. V.5:
% ??? %Se introduc datele de intrare %modulul lui Young [kN/m^2] E=3*10^7; %aria barelor [m^2] A=0.24; %
a
2 32
1
u6 u9
u3
a) b)
pP
R8
R1
R3R2
u5 u8
u4 u7
u2
u1 1
p=20
83pl
=45
[kN, m]
l=6
85pl
=75
8pl2
=90
% ???
Fig. V.6:
48.72
71.28
172.32
40
7.69 7.69
[kN, m, rad]
·10-3
R
N M
48.72
71.28
48.7267.68
T
40 172.32
un program de calcul comercial :
a
P
30
30
E=3·104 MPa
[cm]
[cm]
grinzi
stâlpi
a)
p
p
pP
P/2
a a
p
20
5
0.5
[cm]
[cm]
stâlpE=3.5·104 MPa
contravântuiriE=2.1·105 MPa
b)
Lucrarea VI
-
este paralel
Fig. VI.1).
Fig. VI.1:
Tensorul tensiunilor se reduce la:
provenite din lui Hooke) se scriu:
i anume u v din planul xOy (vezi Fig. VI.2). De multe ori este
x
y
t
p(x,y)y
x
x yx
xy y (IV.1)
2
2
1
1
2(1 )
x x y
y y x
xy xy xy
E
E
EG
(IV.2)
x x
y
y
xy
xy
p Fig. VI.3) [5]. Caracteristicile structurii: L = 1m, H = 2L, modulul lui Young E = 1000kN/m2, coeficientul lui Poison
p = 1kN/m.
Fig. VI.3:
Obs: S
Re. % ??? %Se introduc datele de intrare E=1000; %modulul lui Young [kN/m^2] miu=0.3; %coeficientul lui Poisson L=1; %lungime consol [m] H=2*L; % consol [m] t=1; %grosime consol [m] p=1; % [kN/m] nrEFx=2; % EF pe x nrEFy=2; % EF pe y nrnodEF=4; % noduri pe EF nrGL_nod=2; % GL pe nod
u17
1
2
3
4
a a
papa2
L
x
yu18
c)b)a)
p
1
2
3
4
u11
u12
u5
u6
u15
u16
u9
u10
u3
u4
u13
u14
u7
u8
u1
u2
pa2
%a patra figur : tau_xy subplot(2,2,4); patch('Vertices',varfuri,'Faces',elemente,'FaceVertexCData',tauxy','FaceColor','interp'); title('tau_xy'); set(gca,'YDir','reverse'); axis equal tight; colorbar('location','eastoutside'); %Sf r it! %
Fig. VI.4:
Fig. VI.5:
L/5
L
xL/5
y
L L L
b)a)
p
x
y
p p
Bibliografie
1. Bia C., Ille V., Soare M.V., E.D.P. ,1983.
2. Avram C., Bob C., Friedrich R., Stoian V., Structuri din beton armat Metoda Elementelor
, Editura Academiei RSR, 1984.
3. Stabilitatea structurilor elastice, Editura Academiei RSR, 1975.
4. Calculul neliniar al structurilor
5.
Cluj-Napoca, 1999.
6. Metode numerice in proiectare - Metoda Elementelor Finite - Litografia UTC-
N, 1992.
7. Smith I.M., Griffiths D.V., Programming the finite element method - John Wiley, 2004.
8. Ziennkievicz O.C.,Taylor R.L., The finite element method: Ist Basis and Fundamentals -
Butterworth-Heinemann, 2005.
9. Matlab Version 7.1.0246 Documentation, The Mathwork Inc., 2005.
10. http://www.3ds.com/products-services/simulia/products/abaqus/
APPENDIX MATLAB
1.
MATLAB MATLAB este un produs al companiei americane The
A1 MATLAB.
Fig. A1. MATLAB
Principalele ferestre ale MATLAB-ului sunt:
Current Folder (Directorul de lucru) -
Command Window (Fereastra de comenzi) permite lansarea comenzilor;
Command History (Istoria comenzilor)
Editor Matlab.
2. Variabile
MATLAB
=expresie
sau, simplificat:
expresie
Expresiile
expresiei nu i s , rezultatul acesteia va fi atribuit variabilei ans variabila ans expresii -a atribuit un nume.
;
MATLAB-ul face
Exemple
A
3.
3.1. Definirea matricelor
MATLAB-ul este matricea. Scalarii sunt matrice de dimensiune 1x1, iar vectorii sunt matrice de dimensiune 1xn sau nx1. Elementele unei matrice pot fi numere reale, complexe sau orice expresie MATLAB.
Definirea
-
-
- MATLAB (extensie mat.);
-
La introducerea unei
-
-
-
B) a matricei
B1) a
matricei A B2) a matricei A.
4.
n necunoscute:
unde:
-
- matricea necunoscutelor;
- matricea termenilor liberi.
MATLAB
MATLAB
Exemplu
unde:
5.
6.
Pentru a desc figuresintaxele:
figure
figure(h)
h = figure
clf toate elementele grafice din
clf
clf ( reset )
close
close
close(h) h
close all toate ferestrele grafice
plotdintre sintaxele:
plot(X,Y)- Y X.
X Y Y X.
line(X, Y) X Y X Y sunt
Exemplu