Ştefan Sorohan Cristian Cătălin Petre

PROGRAME ŞI APLICAŢII CU ELEMENTE FINITE

Editura PRINTECHISBN: 973-718-005-4

Bucureşti, 2004(revizuită în format electronic, Febr. 2009)

Prefaţă

Disciplinele tehnice clasice, întâmpină adeseori greutaţi în rezolvarea unor probleme practice, deoarece geometria complexă şi mai ales condiţiile la limită, nu pot încadra problema într-o categorie rezolvabilă pe căi analitice. Una dintre soluţiile “salvatoare” cele mai răspândite şi utilizate, este Metoda Elementelor Finite (MEF), un puternic instrument de calcul la îndemâna inginerului.

Piaţa de soft oferă numeroase programe de calcul cu elemente finite. Abordarea unui anumit program de firmă, necesită pe lângă manualele de utilizare care însoţesc programul, o cunoaştere temeinică a conceptelor şi noţiunilor de bază ale MEF.

Cartea de faţă se adresează cu precădere studenţilor de la facultăţile mecanice, în special Transporturi şi Aeronave, unde autorii predau cursurile de elemente finite în ingineria mecanică, respectiv complemente de rezistenţa materialelor, dar poate fi utilă celor care doresc să obţină un bagaj minim de cunostinţe despre metoda elementelor finite aplicată în tehnică. Lucrarea este concepută astfel încât să poată fi parţial parcursă de studenţi pe parcursul unui semestru în cadrul şedinţelor de laborator.

Din cauza dificultăţii de elaborarea a unei culegeri de probleme cu elemente finite, generată în special de dependenţa faţă de un program de calcul, acest manual a fost conceput şi dezvoltat pe baza unor programe dedicate, dezvoltate de autori în limbajul de programare FreePascal 2.2. Programele sunt concepute să lucreze cu câte un singur tip de element finit, sunt testate, corectate şi perfecţionate timp de peste 12 ani şi s-au dovedit foarte utile studenţilor.

Pentru asimilarea cât mai rapidă şi temeinică a conceptelor şi a tehnicilor de modelare, fiecare capitol de aplicaţii este însoţit de o descriere sumară a unelor aspecte teoretice, de o serie de probleme rezolvate în detaliu, cu comentarii şi studii comparative. Problemele propuse sunt în general inspirate din practica inginerească şi au fost în principal preluate dintr-o culegere anterior publicată de primul autor.

Unul dintre aspectele cele mai importante în rezolvarea acceptabilă a problemelor este “dezvoltarea” corectă a modelului de calcul. Lucrarea insistă foarte mult pe posibilităţile de reducere a dimensiunii modelului folosind simetria geometrică şi cea de încărcare.

Deoarece calculul numeric efectiv este efectuat de calculator, sarcina utilizatorului se reduce la elaborarea modelului, la pregătirea şi introducerea datelor de intrare, precum şi la interpretarea rezultatelor obţinute şi mai apoi luarea unor decizii corespunzătoare.

2

O atenţie deosebită se acordă părţii grafice de vizualizare a modelului şi a rezultatelor, se scot în evidenţă caracteristicile fundamentale ale reprezentărilor grafice pe calculator. Unul dintre capitole este consacrat prezentării unei serii de algoritmi de bază folosiţi în grafica legată de elementele finite. Lipsa cunoştinţelor elementare de reprezentare grafică pe calculator poate conduce la interpretări greşite ale rezultatelor corecte !

Prezentarea în detaliu a matricelor caracteristice şi a vectorilor de încărcare pentru elementele finite folosite în programele autorilor, este o invitaţie la programare pentru cei care doresc să implementeze mici programe cu elemente finite. Alături de limbajele clasice, FORTRAN, BASIC, PASCAL, programul MATLAB s-a dovedit foarte eficient pentru dezvoltarea de programe cu elemente finite în scop didactic şi chiar practic.

Programele, concepute să lucreze în mod interactiv dar şi “batch”, pot fi abordate relativ uşoar de către studenţi. Discretizarea manuală cât şi introducerea completă a datelor (fără generare), conduce la aprofundarea noţiunilor de bază ale metodei. Echivalarea nodală a unor mărimi de către utilizator în cadrul unor probleme, are scopul de a scoate în evidenţă încă o dată în plus, caracterul aproximativ al metodei.

Din rezumatul noţiunilor teoretice care preced capitolele de aplicaţii, se pot afla informaţii suplimentare, necesare utilizării unor programe de firmă mult mai complete decât cele didactice prezentate în carte. Elementele finite prezentate sunt în general cele discutate la cursurile de MEF ale facultăţilor mecanice din UPB, din acest motiv nu s-a insistat pe partea teoretică fundamentală, ci doar pe aspectele practice esenţiale, necesare unui utilizator al MEF.

Parcurgerea, în paralel, a cursurilor de MEF şi efectuarea laboratoarelor cu cartea şi calculatorul în faţă, constituie un mod eficient de a face primul pas către înţelegerea şi stăpânirea acestei metode care a devenit celebră în zilele noastre.

Februarie 2009, Bucureşti Autorii

3

Cuprins

Notaţii........................................................................................................... 5Lista programelor folosite în carte................................................................ 101. Ce este MEF si unde se aplică ?............................................................... 112. Cunoştinţe necesare pentru a realiza programe de MEF............................ 213. Cunoştinţe necesare unui utilizator al MEF............................................... 224. Principii fundamentale ale MEF............................................................... 265. Cele trei faze ale rezolvǎrii unui model cu MEF........................................ 356. Noţiuni fundamentale de graficǎ pe calculator........................................... 387. Sisteme de bare articulate......................................................................... 56

7.A. Sisteme plane de bare articulate................................................. 567.B. Sisteme 3D de bare articulate..................................................... 75

8. Sisteme de bare şi grinzi sudate................................................................. 818.A. Cadre plane............................................................................... 818.B. Cadre în spaţiu........................................................................... 97

9. Modelarea plană a unor probleme de analiză statică structurală................. 1189.A. Elementul triunghiular cu trei noduri (CST)............................. 1189.B. Elementul patrulater cu patru noduri (QUAD4)....................... 142

10. Modelarea bidimensională a unor fenomene termice............................. 16710.A. Elementul termic triunghiular cu trei noduri în analizastationară………………………………………………………….. 16710.B. Elementul termic triunghiular cu trei noduri în analizatranzitorie………………………………………………………….. 186

11. Modelarea mişcarii fluidelor ideale în regim staţionar........................... 198Elementul triunghiular cu trei noduri în analiza curgerii potenţialea fluidelor ideale............................................................................... 198

12. Modelarea 3D a unor probleme de analiză statică structurală…………... 212Elementul hexaedral cu opt noduri (BRICK)………………………. 212

Bibliografie................................................................................................... 245

4

Notaţii

Sisteme de axe

XOY -sistemul global de axe în planOXYZ -sistemul global de axe în spatiuxoy -sistemul de axe al elementului în planoxyz -sistemul de axe al elementului în spatiul, m, n -cosinusurile directoare ale unei drepte în sistemul globalXSim -simetrie faţă de un plan X=constYSim -simetrie faţă de un plan Y=constZSim -simetrie faţă de un plan Z=constXAsim -antisimetrie faţă de un plan X=constYAsim -antisimetrie faţă de un plan Y=constZAsim -antisimetrie faţă de un plan Z=const

Date generale de control

NEC -numarul total de ecuaţii al sistemului global redusLB -semilăţimea matricei (de rigiditate) globale reduse NN -numărul total de noduri al discretizăriiNE -numarul total de elemente al discretizăriiNP -numarul de puncte de calcultimp -timpul de calculTIPE -tipul elementului pentru programe care permit alegerea

tipului de element finit-0 - axial simetric (SAS)-1 - stare plană (de tensiune) (SP, SPT)-2 - stare plană de deformaţie (SPD)-pentru elementul finit BRICK: 1 sau 2: se folosesc 8 sau 11 funcţii de formă pentru aproximare

Date despre noduri

GLN -numărul de grade de libertate pe nodNI -numărul de identificare al unui nod oarecare

5

BX, BY, BZ -blocaje la translaţie pe direcţiile axelor X, Y, ZBXX, BYY, BZZ -blocaje la rotire pe direcţiile axelor X, Y, Z

1-blocat0-liber

X, Y, Z -coordonate nodale globaleICON -condiţie de restricţie în temperatura nodală

1-temperatura nu variază, rămâne constantă - Ti0-temperatura este necunoscută

FICON -condiţie de restricţie în potenţial nodal1-potenţialul nu variază, rămâne constant - Fi0-potentialul este necunoscut

Ti -temperatura impusă sau iniţială (funcţie de caz)Fi -potenţialul impus

Date despre materiale

NMAT -numărul total de materiale diferite într-un modelMATI -numărul de identificare al materialuluiMAT -numărul materialului ataşat elementuluiE -modulul de elasticitate longitudinal al materialului [N/m2]G -modulul de elasticitate transversal al materialului [N/m2]niu, ν -coeficientul de contracţie transversală (Poisson)DENS, ρ -densitatea materialului [Kg/m3]ALFA, α -coeficient de dilatare termică [1/K]c -căldura specifică masică [Ws/Kg/K]LambdaX, λx -conductivitatea termică a materialului ortotrop pe

direcţia X [W/m/K]LambdaY, λy -conductivitatea termică a materialului ortotrop pe

direcţia Y [W/m/K]λ -conductivitatea termică a materialului izotrop [W/m/K]g -constanta gravitatională [m/s2]

Date legate de elementele finite

EI -numărul de identificare al unui element finitI, J, K, L, ... -nodurile elementului finit EINSECT -numărul total de sectiuni diferite într-un model cu bareSECTI -numărul de identificare al secţiuniiSECT -numărul secţiunii ataşat elementului EINPROP -numărul total de proprietăţi de element într-un model

6

PROPI -numărul de identificare al proprietăţii de elementPROP -numărul proprietăţii ataşat elementului EIA -aria secţiunii unei bare sau aria unui element finit

triunghiularIy, Iy -momentul de inerţie al sectiunii faţă de axa principală yIz, Iz -momentul de inerţie al sectiunii faţă de axa principală zIt, It -momentul de inerţie convenţional la torsiuneFiy, Φy; Fiz, Φz -coeficienţii de corecţie a efectului forţei tăietoare asupra

calcului deplasărilor pe cele două axe y şi z în modelulbarei Timoshenko

t -grosimea elementului finit plan (CST, QUAD, etc)INT -ordinul de integrare Gauss-Legendre pentru calculul

matricelor caracteristice (de obicei 2 sau 3)

Date despre încărcari

NF -numărul total de noduri în care există încărcari cu forţe concentrate (şi momente concentrate dacă e cazul)

NIF -numărul de identificare a unui nod încărcat cu forţe şi momente concentrate

FX, FY, FZ -forţe nodale în sistemul global de axeMX, MY, MZ -momente nodale în sistemul global de axeM -fluxul termic volumic generat într-un elementNFLUX -numărul total de laturi ale elementelor modelului

discretizat pe care există flux termic impusEIF -numarul de identificare al unui element pe care există flux

termic impus - qLAT -numărul laturii elementului (1, 2 sau 3)N1, N2 -nodurile care formează latura LATq -flux termic impus pe o latura [W/m2]NCONV -numărul total de laturi ale elementelor modelului

discretizat pe care există transfer termic convectivEIC -numărul de identificare al unui element finit pe care există

flux termic convectivALFA, α -coeficientul de convecţie al suprafeţei unei laturi [W/m2/K]TA, TA -temperatura mediului ambiant NVIT -numărul total de laturi ale elementelor unei discretizări pe

care există viteză impusă de curgere V0V0 -viteza de curgere cunoscută, perpendiculară pe latură

7

Rezultate

UX, UY, UZ sauDX, DY, DZ -deplasările nodale în sistemul global de axeRX, RY, RZ -rotirile nodale în sistemul global de axeN, T, M -eforturile în bare din componenţa cadrelor planeN, Ty, Tz, şiMt, My, Mz -eforturile în bare solicitate în 3DSIGMA, σ -tensiunea normală în bară (în sistemul de referinţă al barei)SX -tensiunea normală în direcţia X (a sistemului global de

referinţă)SY -tensiunea normală în direcţia Y (a sistemului global de

referinţă)SZ -tensiunea normală în direcţia Z (a sistemului global de

referinţă)SXY -tensiunea tangentială în planul XOY (a sistemului global

de referinţă)SYZ -tensiunea tangentială în planul YOZ (a sistemului global

de referinţă)SXZ -tensiunea tangentială în planul XOZ (a sistemului global

de referinţă)S1, S2, S3 -tensiunile principaleALFA -unghiul direcţiei tensiunii principale S1 cu axa X pentru

SPT sau SPDSech -tensiunea echivalentă von MisesTEMP, T -temperatura în noduriFi -potenţialul în noduriVX, VX; VY, VY -vitezele de curgere în elementele finite de curgere, faţă de

sistemul de referinţă globalVtot -viteza totală de curgere

Notaţii matriceale şi vectoriale

[M] -matricea de masă globală a structurii discretizate[C] -matricea de amortizare globală a structurii discretizate[G] -matricea giroscopică globală a structurii discretizate[K] -matricea de rigiditate globală a structurii discretizate[ ]rK -matricea de rigiditate globală redusă a structurii

discretizate de dimensiune NEC×LB[Ke] -matricea de rigiditate în coordonate globale a unui element

8

[ke] -matricea de rigiditate în coordonate locale a unui element[T] -matricea de transformare a coordonatelor din sistemul de

referinţă local la cel globalU, T, Fi -vectorul necunoscutelor nodale globale (deplasări,

temperaturi, potenţial) rU , rT , rFi -vectorul necunoscutelor nodale corespunzător matricei

globale reduse (deplasări, temperaturi, potenţial)F, Q -vectorul încărcărilor globale rF , rQ -vectorul încărcărilor globale corespunzător matricei

globale reduse U , T -vectorul derivatelor în raport cu timpul (al vitezelor

nodale) U -vectorul derivatelor de ordinul doi în raport cu timpul

(al acceleraţiilor nodale)[D] -matricea de rigiditate (elasticitate) a materialului[B] -matricea derivatelor funcţiilor de formă

Alte notatii

δ -deplasareσa -tensiune admisibilă a materialuluia, b, h -cotă, distanţăd, D -diametreL, -lungimeF -forţăM -moment al forţelor (cuplu de forţe)

9

Lista programelor folosite în carte

ARTPLw_re.EXE- Program dedicat structurilor de bare articulate plane, solicitate static, limitat la 1000 noduri, 2000 elemente, lătime de semibandă 500, permite 200 materiale şi 200 secţiuni diferite

ARTSPw_re.EXE- Program dedicat structurilor de bare articulate în spaţiu solicitate static, limitat la 1000 noduri, 2000 elemente, lăţime de semibandă 400, permite 200 materiale şi 200 secţiuni diferite

CADPLw_re.EXE- Program dedicat structurilor de cadre plane, solicitate static, limitat la 1000 noduri, 1000 elemente, lătime de semibandă 500, permite 20 secţiuni şi 20 materiale diferite

CADSPw_re.EXE- Program dedicat structurilor de cadre în spaţiu, solicitate static, limitat la 1000 noduri, 1000 elemente, lăţime de semibandă 400, permite 20 secţiuni şi 20 materiale diferite

CSTPLw_re.EXE- Program dedicat structurilor plane (SPT, SPD) solicitate static, limitat la 1000 noduri, 2000 elemente, lăţime de semibandă 500, permite 2000 materiale şi 2000 de grosimi diferite

QUAD4PLw_re.EXE- Program dedicat structurilor plane (SPT, SPD, SAS), solicitate static, limitat la 1000 noduri, 1000 elemente, lăţime de semibandă 500, permite 1000 materiale şi 1000 de grosimi diferite

TERMSTw_re.EXE- Program dedicat modelelor plane (SP, SAS) de analiză termică stationară, limitat la 1000 noduri, 2000 elemente, lăţime de semibandă 500 şi 20 materiale diferite

TERMTRw_re.EXE- Program dedicat modelelor plane (SP, SAS) de analiză termică tranzitorie, limitat la 1000 noduri, 2000 elemente, lăţime de semibandă 500, permite 20 materiale diferite şi 100 pasi de calcul

CURGPLw_re.EXE- Program dedicat modelelor plane de curgere laminară a fluidelor ideale, limitat la 1000 noduri, 2000 elemente şi lătime de semibandă 500

BRICK8w_re.EXE- Program dedicat analizei corpurilor 3D solicitate static, limitat la 3000 noduri, 2500 elemente, lăţime de semibandă 2000, permite 10 materiale şi 10 proprietăţi de element diferite

Notă: Aceste programe se pot obţine din Laboratorul de elemente finite (sala CA008) de la catedra de Rezistenţa materialelor, Facultatea IMST, Universitatea POLITEHNICA Bucureşti. Faţă de versiunea anterioară programele au fost modificate pentru a rula sub windows şi la alegere cu interfaţa în limba română sau engleză.

10

Cap. 1. Ce este MEF şi unde se aplicǎ ?

Metoda elementelor finite (MEF) este o metodǎ generalǎ de rezolvare aproximativǎ a ecuaţiilor diferenţiale cu derivate parţiale care descriu sau nu fenomene fizice. Principial MEF constǎ în descompunerea domeniului de analiză în porţiuni de formă geometrică simplă, analiza acestora şi recompunerea domeniului respectând anumite cerinţe matematice.

Problema derivatelor parţiale este redusǎ la un sistem de ecuaţii algebrice, la o problemǎ de valori şi vectori proprii sau la un sistem de ecuaţii diferenţiale ordinare de ordinul unu sau doi. Rezolvarea sistemelor de ecuaţii sau a problemelor de valori si vectori proprii ar fi practic imposibilǎ dacǎ nu s-ar dispune de CALCULATOR (maşină de calcul numeric) şi SOFT (totalitatea programelor de calcul care realizeazǎ funcţionalitatea şi folosirea calculatorului).

Din punct de vedere al domeniilor de aplicaţie metoda poate fi extinsǎ în orice domeniu de activitate care descrie un fenomen cu ajutorul unor ecuaţii diferenţiale. Pânǎ în prezent metoda s-a dezvoltat în mod deosebit în domenii ca: analiza structuralǎ; analiza termicǎ; analiza fluidelor; analiza electricǎ; analiza magneticǎ, dar şi în analiza fenomenelor complexe interdisciplinare cum ar fi: analiza termoelastică, analiza cuplată termic şi structural, analiza interacţiunii fluid-solid; analiza electro-magnetică; analiza piezoelectrică şi altele.

Concepte de bază

Un domeniu de analiză (Fig. 1.1), raportat la un sistem de referinţă XOY, numit sistem de referintă global, este încărcat cu o forţă F şi încastrat pe conturul din stânga. Fiecare punct al domeniului prezintă o deplasare elastică pe direcţia OX, notată ( )Y,Xu şi una pe direcţia OY, ( )Y,Xv .

Fig. 1.1: Domeniu de analiză

11

Din punct de vedere matematic, problema este descrisă de un set de ecuaţii diferenţiale cu derivate parţiale şi de anumite condiţii la limită. Pentru anumite cazuri particulare există soluţii analitice pentru expresiile câmpului deplasărilor dar în general problema nu se poate rezolva pe cale analitică. Se menţionează că o soluţie analitică prezintă soluţii pentru toate punctele din domeniul de analiză care reprezintă o structură continuă.

Pentru a rezolva problema cu MEF, domeniul de analiză (sau volumul structurii) notat V, se împarte într-un număr NE de subdomenii (Fig. 1.2), porţiuni de formă geometrică relativ simplă Ve, numite elemente finite. Deoarece

elementele finite nu se intersectează între ele se poate scrie că ∑=

=NE

1e

eVV Fiecare

element finit se numerotează (este identificat printr-un număr), de obicei de la 1 la numărul total de elemente finite NE. Raportarea la un element oarecare se face de obicei printr-un indice superior (e pentru un element oarecare).

Elementele finite se definesc (geometric) prin intermediul unor puncte, de exemplu colţurile triunghiului, dacă elementul finit are forma unui triunghi. Se poate considera, pentru început, fără o definiţie fundamentată teoretic, că aceste puncte poartă denumirea de noduri. Elementele finite "se leagă" (interacţionează) între ele prin intermediul nodurilor comune. În domeniul de analiză există un număr finit de noduri şi elemente, de obicei definite de utilizator. Similar elementelor, nodurile se numerotează, de obicei, de la 1 la numărul total de noduri, notat NN.

Fig. 1.2: Discretizarea domeniului de analiză

Operaţia de împărţire a anui domeniu în noduri şi elemente de un anumit fel precum şi numerotarea acestora poartă denumirea de discretizare.

Fiecare nod din domeniul de analiză are o deplasare pe orizontală şi verticală, se poate spune că există doi parametrii independenţi care caracterizează deplasarea unui nod. Aceşti parametrii poartă denumirea de grade de libertate a nodului. De obicei gradele de libertate ale tuturor nodurilor reprezintă

12

necunoscutele problemei, în exemplul de faţă, gradele de libertate notate UX şi UY definesc deplasarea "posibilă" a unui nod oarecare.

Pentru unele noduri (1, 2, 3 şi 4 din încastrare), deplasările sunt nule, deci în aceste puncte gradele de libertate se definesc "potenţial", ele nu reprezintă necunoscute. Numărul total de grade de libertate al problemei N se obţine prin însumarea gradelor de libertate active ale tuturor nodurilor. Prin grade de libertate active se înţeleg acele grade de libertate care definesc o deplasare necunoscută.

Din cele prezentate mai sus rezultă că un domeniu continuu cu un număr infinit de grade de libertate este transpus într-un model discret cu N grade de libertate, deci necunoscutele problemei se limitează. De obicei în practică numărul gradelor de libertate nu se precizeaza explicit, se specifică de obicei numărul total de noduri – NN, şi numărul total de elemente NE asociat cu tipul elementelor finite (triunghiuri, patrulatere, tetraedre, etc).

Pentru toată structura se defineşte vectorul deplasărilor nodale totale T

NN,yNN,x2,y2,x1,y1,x UUUUUUU = , (1.1)şi vectorul forţelor nodale exterioare

TNN,yNN,x2,y2,x1,y1,x FFFFFFF = . (1.2)

Pentru un element oarecare (e) din Fig 1.3, pentru care se notează cele trei noduri cu I, J şi K, se defineşte vectorul deplasărilor nodale

TK,yK,xJ,yJ,xI,yI,x

e UUUUUUU = , (1.3)care este un subset al vectorului (1.1), şi vectorul forţelor nodale a elementului

TeK,y

eK,x

eJ,y

eJ,x

eI,y

eI,x

e FFFFFFF = (1.4)

Fig. 1.3: “Echilibrul” unui element

13

între care există relaţia matriceală “de echilibru” [ ] eee UKF = , NE,,2,1e = (1.5)

similară relaţiei de echilibru a unui sistem elastic (arc) cu un grad de libertate F=kx. Matricea pătratică [ ]eK poartă denumirea de matricea de rigiditate a elementului finit. Aceasta se poate determina pentru fiecare element finit, deocamdată se neglijează modul în care ea se poate obţine.

Dacă se izolează un nod oarecare n (Fig. 1.4), pentru care există Nc elemente concurente, atunci fiecare element finit acţionează cu o forţă în acel nod şi din motive de echilibru suma tuturor forţelor trebuie să fie zero. Atunci când în nodul izolat acţionează şi forţe exterioare, echilibrul se scrie

n,x

Nc

1i

in,x FF =∑

=n,y

Nc

1i

in,y FF =∑

=NN,,2,1n = (1.6)

Fig. 1.4: Echilibrul unui nod

Dacă se ţine seama de cele NN2 ∗ ecuaţii (1.6), şi în expresiile sumelor se introduc forţele obţinute din relaţiile (1.5), se obţine o relaţie de forma

[ ] UKF = (1.7)în care [ ]K este numită matricea de rigiditate globală a structurii. Această operaţie de obţinere a matricei de rigiditate globale din matricele de rigiditate a elementelor poartă denumirea de asamblarea matricei de rigiditate globală şi se prezintă sugestiv în schema

14

[ ] [ ] FUKFUKNE,,2,1e

ASAMBLAREeee = →==

Dimensiunea matricei de rigiditate [ ]K este ( ) ( )NN2NN2 ∗×∗ şi de obicei aceasta este singulară, deci din ecuaţia (1.7) nu se pot obţine direct deplasările necunoscute. Dacă însă se ţine seama de condiţiile la limită, adică pentru unele noduri se cunosc deplasările iar pentru altele forţele exterioare aplicate şi gradele de libertate se clasifică în două seturi (vezi Fig. 1.4) a: deplasări cunoscute (de cele mai multe ori nule) şi forţe necunoscute şi b: deplasări necunoscute şi forţe cunoscute, ecuaţiile (1.7) se pot partiţiona (rearanja) în raport cu acestea şi rezultă sistemul de ecuaţii

[ ] [ ][ ] [ ]

=

b

a

b

a

bbba

abaa

FF

UU

KKKK

. (1.8)

Din a doua ecuaţie matriceală (1.8) rezultă deplasările necunoscute [ ] [ ] ( )abab

1bbb UKFKU −= − , (1.9)

iar apoi din prima ecuaţie (1.8) rezultă forţele necunoscute (reacţiunile) [ ] [ ] babaaaa UKUKF += . (1.10)

Cunoscând câmpul deplasărilor în cele NN noduri se poate reprezenta, la scară mult mărită, configuraţia deformatei structurii (Fig. 1.5). Dacă însă matricele de rigiditate ale elementelor nu au fost "adecvat" calculate, având în vedere că elementele sunt legate între ele numai în noduri, e posibil uneori ca deformata să arate în realitate ca în figura 1.5.b, adică să apară goluri sau suprapuneri între laturile elementelor finite adiacente (nu este îndeplinită condiţia de continuitate) sau dacă aceasta este îndeplinită este posibil să nu fie respectate condiţiile la limită (Fig. 1.5.c).

a. b. c.Fig. 1.5: a. Deformata corectă. b. Elementele nu asigură continuitatea pe laturile

comune. c: Nu se asigură condiţiile la limită.

Ecuaţia generală de echilibru

15

În analiza structurală, pentru un sistem, cu n grade de libertate, ecuaţia de mişcare raportată la un sistem de referinţă global fix este de forma

[ ] [ ] [ ] FUKUCUM =++ , (1.11)în care [M] este matricea de masă structurii, [C] este matricea de amortizare vâscoasă, U este vectorul vitezelor nodale; U este vectorul acceleraţiilor nodale, F este vectorul încărcărilor nodale. Matricele din (1.11) pot fi constante sau variabile.

În analiza termică, rezultă o ecuaţie similară celei de mai sus în care [M] = 0. Se menţionează că de regulă MEF indiferent de domeniul aplicaţiilor conduce la ecuaţii matriceale de forma (1.11) sau chiar mai simple.

Aplicaţii în analiza structurilor

Analiza structurilor constǎ în calcule de analizǎ:-staticǎ (stationarǎ);-dinamicǎ;-de stabilitate.

Analiza dinamicǎ uzuală constǎ în calcule cu deplasǎri mici (vibraţii liniar elastice), dar chiar şi în domeniul deplasǎrilor de corp rigid. Se disting douǎ categorii esenţiale de probleme în calculul dinamic:

-analiza modalǎ;-raspunsul dinamic;

Analiza modală este de obicei prima etapă de calcul a unei structuri şi poate conduce la informaţii esenţiale de comportare dinamică a structurii. Uneori aceasta analiză este o fază premergătoare a unei analize dinamice complexe.Raspunsul dinamic (la perturbaţii cu deplasǎri iniţiale, viteze iniţiale sau forţe perturbatoare) poate fi tratat funcţie de forma perturbaţiei în probleme de:

-analizǎ armonicǎ;-analizǎ tranzitorie;-analizǎ spectralǎ.

Analiza de stabilitate s-a dezvoltat în douǎ direcţii:-analizǎ statică neliniarǎ care poate capta fenomene de pierdere a stabilităţii;-analizǎ de valori şi vectori proprii, valabilă în domeniul deplasărilor mici.Problemele întâlnite în practicǎ sunt în general neliniare. Totuşi, majoritatea

aplicaţiilor pot fi abordate în regim de comportare liniarǎ. Dacă ipotezele de liniarizare nu satisfac cerinţele practice atunci analiza cu elemente finite poate fi neliniară.

Calculul liniar este un calcul simplificat care în general permite obţinerea soluţiei problemei dupǎ un pas de calcul.

16

Neliniaritatea se poate pune în evidenţǎ prin cel puţin una din situaţii:-deplasǎrile sunt mari, şi deci ecuaţiile de echilibru trebuie scrise pentru

structura deformatǎ;-forţele îşi schimbǎ orientarea odatǎ cu deformata structurii;-materialul are o comportare neliniarǎ (neliniaritate constitutivǎ), rigiditatea

se modificǎ în timpul încǎrcǎrii, pot apare fenomene de curgeri şi deformaţii permanente în material;

-încǎrcarea este de duratǎ mare şi apare fenomenul de fluaj, adică variaţia în timp a deformaţiilor sub încǎrcare constantǎ. Fenomenul depinde de încǎrcare şi este accentuat de temperaturile ridicate;

-materialul are o comportare neliniarǎ (curba caracteristicǎ) chiar la încǎrcǎri mici, cum ar fi cauciucul (material hiperelastic);

-în timpul încǎrcǎrii anumite porţiuni din structurǎ pot veni în contact sau pot desface o legătură cu altele componente sau cu zonele de fixare.

Din punct de vedere teoretic neliniaritaţile se consideră de douǎ categorii:-neliniaritaţi geometrice (produse de plasǎri mari care pot fi însoţite sau nu şi

de fenomene de contact);-neliniarităţi de material.Din punct de vedere practic neliniaritatea este generală. Uneori unul dintre

aspectele de mai sus este preponderent şi atunci analiza neliniară se poate simplifica. Se menţionează că analizele neliniare se efectuează de regulă după o analiză liniară simplificată. Analizele neliniare sunt mult mai complicate, necesită un volum mai mare de date de intrare şi un efort de calcul considerabil.

Această carte nu abordează aspecte ale MEF aplicate în electricitate magnetism, sau analize combinate interdisciplinare.

Analiza staticǎ este folositǎ pentru determinarea deplasǎrilor, tensiunilor, deformaţiilor specifice şi a eforturilor pentru bare şi plăci în modele de structuri pentru care se poate neglija efectul masei (altele decât forţele de greutate sau de inerţie staţionarǎ). Încǎrcǎrile pot fi forţe, presiuni, forte inertiale în regim stationar, deplasări impuse, deformaţii generate de încǎrcǎri termice cunoscute. Analiza staticǎ poate fi liniarǎ sau

neliniară. Analiza statică liniară este cel mai simplu calcul din punct de vedere numeric, se ajunge la un sistem de ecuaţii algebrice liniare care se rezovǎ “exact” (neglijând erorile de calcul numeric) prin metode de eliminare cum ar fi metoda Gauss sau metoda de rezolvare frontalǎ, sau “aproximativ” cu ajutorul metodelor iterative de rezolvare a ecuaţiilor cum ar fi metoda Jacobi sau metoda gradienţilor conjugaţi. Analizele neliniare se trateazǎ folosind metode de rezolvare incrementale şi iterative (Newton-Raphson).

17

Analiza modalǎ este folositǎ pentru determinarea frecvenţelor şi modurilor proprii de vibraţie pentru structuri sau componente de structuri. Frecvenţele proprii şi modurile proprii sunt mărimi importante pentru proiectarea structurilor care lucreazǎ în regim dinamic. Analiza modalǎ este o faza obigatorie de calcul pentru analiza spectralǎ şi analiza tranzitorie prin suprapunere de efecte. Analiza modalǎ este o

analizǎ liniarǎ, care constă în rezolvarea unei probleme de valori şi vectori proprii. Metodele de rezolvare a problemelor de valori şi vectori proprii care s-au impus în mod deosebit sunt:

-metoda Jacobi;-metoda iteraţiilor pe subspaţii;-metode QR;-metoda vectorilor Lanczos.

Efortul de calcul pentru rezolvarea unei probleme de valori şi vectori proprii este mult mai mare decât cel necesar rezolvării unei analize statice. Uneori este necesar ca înainte de rezolvarea numerică efectivă să se reducă dimensiunea problemei iniţiale care practic nu poate fi rezolvată. Pentru reducerea dimensiunii se folosesc metode speciale de condensare dinamicǎ cum ar fi metoda Irons-Guyan sau metode de substructurare dinamică cum ar fi metoda Craig-Bampton.

Analiza armonicǎ este o tehnicǎ utilizatǎ pentru determinarea răspunsului staţionar pentru o structurǎ cu comportare liniarǎ supusǎ unei încǎrcǎri particulare constând dintr-un set de forţe (sau deplasǎri, viteze, acceleraţii) cu variaţie sinusoidalǎ în timp, de aplitudine şi frecvenţă cunoscute. Aceastǎ tehnicǎ permite calculul răspunsului staţionar al unor vibraţii întreţinute (forţate). Efectul tranzitoriu nu este luat în considerare şi toate încǎrcǎrile trebuie sǎ aibǎ aceeaşi frecvenţǎ.

Analiza tranzitorie este utilizatǎ pentru determinarea rǎspunsului dinamic al unei structuri încǎrcatǎ cu orice sistem de forţe dependent de timp. Acest tip de analizǎ poate fi utilizat pentru determinarea variaţiei deplasǎrilor, tensiunilor, deformaţiilor şi forţelor într-o structurǎ ca urmare a unei încǎrcǎri oarecare. Analiza se efectuează prin integrare numerică în timp, pas cu pas. Se pot include toate tipurile de neliniarităţi (inclusiv amortizare) şi pentru un pas de calcul se

18

F=Fosin(ω t+ϕ )

F

ajunge la rezolvarea unui sistem de ecuaţii liniare. Cele mai folosite tehnici de integrare a ecuaţiilor diferenţiale ordinare sunt metodele de integrare implicite Wilson θ, Houboult, Newmark β.

Analiza spectralǎ este utilizatǎ pentru determinarea deplasǎrilor, deformaţiilor, reacţiunilor şi tensiunilor întru-un model pentru care încărcarea se impune sub forma unui “spectru” cunoscut. Această analiză este liniară şi se bazează pe compunerea răspunsului modal obţinut din analiza modalǎ. Calculul spectral este o variantă simplificată de obţinere a

răspunsului maxim tranzitoriu pentru o încărcare aleatorie de genul şocurilor şi vibraţiilor produse de cutremure, forţa vîntului, valurile oceanelor, vibraţia motoarelor etc. Din punctul de vedere al utilizatorului un spectru este o reprezentare grafică (de regulă obţinută experimental) a valorilor deplasărilor, a vitezei, a acceleraţiei sau a forţelor impuse funcţie de frecvenţă. Analiza suportă diverse formulǎri spectrale: rǎspuns spectral pentru excitaţie într-un punct; rǎspuns spectral pentru excitaţie multipunct, rǎspuns spectral al densitǎţii de putere şi altele). Excitaţiile pot fi pe una două sau pe cele trei direcţii ale sistemului de coordonate global. Se permit şi excitaţii de rotire.

Analiza de stabilitate (flambaj), este utilizatǎ pentru determinarea sarcinii critice de flambaj la care structura devine nestabilǎ (puncte de bifurcaţie) şi forma asociatǎ structurii deformate în aceastǎ situaţie. Această analiză constă în rezolvarea unei probleme de valori şi vectori

proprii, pentru valorile proprii cele mai mici. Analiza de stabilitate permite deasemenea depistarea punctelor de încărcare limită şi obţinerea curbelor caracteristice de răspuns a structurilor (de trecere printr-o poziţie instabilǎ la membrane pocnitoare de exemplu), caz în care analiza este de fapt o analiză statică neliniară în domeniul deplasărilor mari. Algoritmii de rezolvare sunt incrementali şi iterativi. Analiza neliniarǎ de stabilitate este recomandatǎ pentru cǎ determinǎ sarcina criticǎ de flambaj pentru o creştere incrementalǎ a încǎrcǎrii. Analiza de valori şi vectori proprii se foloseşte pentru a prezice rezistenţa teoreticǎ la flambaj pentru o structurǎ idealǎ la care deplasările elastice până la pierderea de stabilitate sunt foarte mici. În general este bine sǎ fie evitatǎ pentru structuri cu deplasǎri mari şi neconservative.

Aplicaţii în analiza termicǎ

Analiza termică presupune în general douǎ tipuri de calcule, în regim:

19

-stationar;-tranzitoriu.

Analiza termicǎ stationarǎ (staticǎ) este utilizatǎ pentru determinarea distribuţiei de temperaturǎ, şi a fluxurilor termice în structuri pentru care cantitatea de căldură primită este egală cu căldura cedată. Încǎrcǎrile considerate sunt: flux termic convectiv, flux termic generat, radiaţii, temperaturi impuse, etc. Se poate face analizǎ liniarǎ sau neliniarǎ (dacă constantele de material depind de

temperaturǎ), iar problema la care se ajunge este un sistem de ecuaţii liniar, în care nucunoscutele sunt temperaturile în noduri.

Analiza termicǎ tranzitorie este utilizatǎ pentru determinarea distribuţiei de temperatură şi a fluxului termic în structuri cu încǎrcǎri dependente de timp, sau pentru perioade scurte de timp în care structura nu ajunge la un echilibru termic. Se pot face analize liniare sau neliniare (parametrii dependenţi de temperaturǎ). Din punct de vedere

numeric se ajunge la rezolvarea unor ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi.

Aplicaţii în mecanica fluidelor

Analiza fluidelor este utilizatǎ pentru determinarea caracterului de curgere a fluidelor, a distribuţiei de viteze şi presiuni, a direcţiilor de curgere, a forţelor aerodinamice şi al efectului temperaturii asupra curgerii. Încǎrcǎrile folosite sunt viteze iniţiale, presiuni, temperaturi, energie cineticǎ de

turbulenţǎ, coeficientul disipǎrii turbulenţei, convecţie, flux termic, etc. Pot fi rezolvate probleme de curgere laminarǎ sau turbulentǎ, se pot utiliza modele de fluid compresibil sau incompresibil, se poate considera convecţia liberǎ, forţatǎ sau mixtǎ, se poate ţine cont de conducţia termicǎ etc. Se poate face şi studiu acustic (analizǎ armonicǎ). Analiza fluidelor este una dintre cele mai complicate analize, de obicei abordarea teoretică este cea care limitează posibilităţile MEF. Pentru modele teoretice simple şi o abordare euleriană se pot face analize staţionare, dar de regulă analiza fluidelor se face în regim dinamic.

În ultimul timp analiza cu metoda elementelor finite a abordat probleme de optimizare, substructurare, s-au implementat o serie de legi constitutive de material care sǎ permitǎ calculul materialelor de altă natură decât cele metalice clasice,

20

compozite, plastice, etc atât în domeniul în domeniul liniar cât şi în cel neliniar. S-au dezvoltat elemente finite noi, mult mai performante decât cele iniţial folosite, există foarte multe tipuri de elemente finite de cuplare a efectelor (efectul termic cu cel mecanic, electric şi cel magnetic etc). Pentru a facilita operaţia de discretizare s-au dezvoltat noi tehnici de discretizare automatǎ, bazate pe eroarea de calcul obţinutǎ la o primă discretizare grosolanǎ.

Progresul şi succesul metodei elementelor finite din ultima vreme se datorează dezvoltării spectaculoase a calculatoarelor numerice precum şi a programelor de calcul cu elemente finite. Se poate afirma cu tărie că în momentul de faţă proiectarea este de neconceput fără utilizarea metodei elementelor finite în calcule de rezistenţă, stabilitate, oboseală, etc.

Cap. 2. Cunoştinţe necesare pentru a realiza programe de MEF

MEF are un caracter pluridisciplinar, pentru a realiza programe de rezolvat anumite tipuri de probleme (sau un program general de calcul), în domeniul ingineriei mecanice, cu precǎdere pentru calcule ale structurilor de rezistenţǎ, se impune stǎpânirea diciplinelor (vezi fig. 2.1):

-mecanica structurilor (mecanica staticǎ, dinamicǎ, rezistenţa materialelor, vibraţii);

-analiza numericǎ (proceduri şi algoritmi de calcul precum şi cunoştinţe de graficǎ pe calculator);

-programare într-un limbaj de nivel înalt (FORTRAN, C, BASIC sau PASCAL).

De obicei grupǎri mici de cercetǎtori într-un domeniu relativ restrâns elaboreazǎ programe de calcul folosind MEF pentru nevoile imediate sau probleme relativ simple.

Programe mari, cu facilitati multiple sunt realizate de firme specializate, astfel se pot enumera câteva programe (coduri executabile) care sunt folosite de colectivele de proiectare/cercetare din ţarǎ sau în universitǎţi, în scop educaţional şi de cercetare: NASTRAN, ANSYS, COSMOS, ALGOR, IMAGES3D, variante SAP.

Programele prezentate în aceastǎ carte sunt scrise în limbajul de programare Turbo Pascal 6.0, sunt programe mici, specializate pe diverse tipuri de probleme şi au fost realizate în scop didactic.

Deşi programele mari de firmǎ sunt scrise de obicei în limbajul FORTRAN, s-a recurs la limbajul Pascal pentru cǎ este uşor de urmǎrit şi studenţii îl învaţǎ în cadrul programǎrii.

În ultimul timp a luat avânt programarea în MATLAB care pentru studenţi este foarte comodǎ, şi permite rezolvarea unor aplicaţii la temele de casă.

21

Fig. 2.1: Caracterul pluridisciplinar al MEF

Cap. 3. Cunoştinţe necesare unui utilizator al MEF

Un utilizator este pus în situaţia rezolvǎrii unei anumite probleme, şi nu în a implementa un program de MEF pentru rezolvarea ei, de aceea utilizatorul trebuie sǎ afle dacǎ problema se preteazǎ rezolvǎrii cu MEF şi sǎ foloseascǎ un program adecvat problemei respective.

Odatǎ stabilit programul de calcul este necesar a se face o informare asupra posibilitaţii programului. Dacǎ performanţele programului ne convin trebuie sǎ ne informǎm despre modul de lucru al programului şi sǎ pregǎtim problema pentru rezolvare !

Trebuie sǎ menţionǎm de la început cǎ programul de calcul folosit pentru analiza problemei nu rezolvǎ structura reală, ci doar un MODEL al ei pe care în general îl face utilizatorul. Rezultatele pot fi confirmate sau nu, funcţie de cum a fost ales modelul de calcul. Modelarea este o activitate de simplificare a structurii prin încadrarea diverselor porţiuni ale structurii în categoria barelor, plǎcilor, blocurilor, prin considerarea încǎrcǎrilor şi a rezemǎrilor etc. Modelarea corectǎ (cât mai aproape de realitate) este o problemǎ de experienţǎ, inspiraţie şi nu mai puţin de cunoaştere a bazelor teoretice ale metodei.

Scopul acestei lucrǎri este de a scoate în evidenţǎ unele aspecte ale modelǎrii şi a noţiunilor generale de lucru cu MEF astfel încât dupǎ parcurgerea acestei lucrǎri utilizatorul sǎ poatǎ utiliza cu mici rezerve orice cod de MEF.

Cunoştinţele necesare se dobândesc pe mǎsurǎ ce utilizatorul rezolvǎ diverse probleme. Nu trebuie uitat faptul cǎ pentru a rezolva corect o problemǎ este absolut necesarǎ (nu şi suficientă) livrarea tuturor datelor care caracterizeazǎ problema.

Programele concepute şi discutate în aceastǎ lucrare permit introducerea datelor în mod interactiv (“calculatorul întreabǎ - utilizatorul rǎspunde”) dar şi direct

22

în mod fişier pentru reluarea unei probleme sau pentru cei care editeazǎ mai uşor un fişier şi cunosc modul de introducere a datelor problemei.

Programele de firmǎ respectǎ anumite reguli generale de introducere a datelor (notaţii unificate, ordonarea comenzilor de pregǎtire a datelor etc), ceea ce faciliteazǎ lucrul la programe diferite pentru utilizatori experimentaţi. Pentru începǎtori este indicat a se folosi un singur program de lucru.

NU UITA ! MEF nu rezolvǎ problema iniţialǎ ci un model al ei, deci între structura de

calcul şi analiza cu MEF se aflǎ modelul:

STRUCTURA DE CALCUL → MODEL → ANALIZĂ cu MEF

Odatǎ stabilit modelul de calcul, se impune pregǎtirea datelor de intrare pentru rezolvarea problemei. Fiecare program cu elemente finite prezintǎ particularitǎti care trebuie învǎţate dar existǎ o serie de reguli de bazǎ ale metodei care odatǎ stǎpânite permite abordarea oricǎrui program cu elemente finite.

În continuare se prezintǎ câteva aspecte comune tuturor programelor, urmând a se reveni asupra noţiunilor de bazǎ pe care trebuie sǎ le stǎpâneascǎ un utilizator, în urmǎtoarele trei capitole.

Unitaţi de mǎsurǎ

De obicei utilizatorul hotǎrǎşte cu ce unitǎţi de mǎsurǎ lucreazǎ dar trebuie avut în vedere că orice abatere de la SI (Sistemul Internaţional al Unitǎţilor de Mǎsurǎ) atrage o atenţie deosebitǎ asupra unitǎţilor de mǎsurǎ adoptate. În acest sens trebuie respectate unitǎţile de mǎsurǎ iniţial stabilite pentru absolut toate datele de intrare ale problemei. Rezultatele finale se vor regǎsi în unitǎţile stabilite de utilizator.

Pentru a evita eventualele probleme care pot apare la schimbarea tipului de analiză se recomandǎ lucrul în SI. De exemplu dacă un model se analizează static într-un sistem de măsură altul decât SI şi apoi urmează un calcul dinamic, sau termic, este posibil ca unel mărimi cum ar fi frecvenţele proprii de vibraţie să nu aibă semnificaţia reală, chiar dacă aparent unităţile de măsură sunt consistente.

Sisteme de axe

Menţionǎm cǎ toate programele cu elemente finite trateazǎ modelul într-un sistem de axe global (OXYZ). Acest sistem de axe este un sistem cartezian drept şi în general modelul se poziţioneazǎ în sistemul global de axe conform dorinţelor

23

utilizatorului. Existǎ şi excepţii, pentru probleme plane, când sistemul de axe este plan (XOY), şi pentru probleme axial simetrice, care presupun alegerea axei de simetrie, de regulă, drept axa OY. Pentru uşurarea introducerii coordonatelor se folosesc şi sisteme de axe cilindrice, sferice sau sisteme de axe definite de utilizator, în final însǎ problema este tratatǎ în sistemul de axe global.

Notaţii uzuale

Pe mǎsurǎ ce s-au dezvoltat noi programe cu elemente finite, au apǎrut noţiuni noi de lucru dar o parte a denumirilor şi notaţiilor nu s-au modificat. Notaţiile utilizate în aceastǎ carte sunt inspirate dintr-o serie de programe de firmǎ des utilizate, menţionate în capitolul 2. Lista notaţiilor din programele prezentate în capitolele urmǎtoare este prezentatǎ la începutul cǎrţii.

Astfel, anticipǎm câteva noţiuni şi notaţii (care se întâlnesc în capitolele imediat urmǎtoare), cum ar fi gradele de libertate nodale (GLN). Pentru un model de structurǎ în spaţiu, un nod (zonă de dimensiune finită !) are şase grade de libertate, adicǎ trei translaţii în lungul axelor X, Y, Z şi trei rotaţii în jurul aceloraşi axe X, Y, Z. Gradele de libertate translaţii se noteazǎ de obicei cu UX, UY, UZ iar gradele de libertate rotaţii se noteazǎ cu RX, RY, RZ. Dacǎ unele grade de libertate se cunosc apriori ca fiind nule, atunci se denumesc blocaje. In aceastǎ situaţie pot exista blocaje la translaţie pe cele trei direcţii: BX, BY, BZ şi blocaje la rotaţie: BXX, BYY, BZZ. Convenţional se atribuie unui grad de libertate valoarea 0 dacǎ este “liber” şi valoarea 1 dacǎ este “blocat”.

Ordonând gradele de libertate, adicǎ UX, UY, UZ, RX, RY, RZ, o referire la blocaje se poate face cu un cod numeric, adicǎ 123456. Apariţia în cod a unei cifre de la 1 la 6 precizeazǎ blocaj pe direcţia respectivǎ (exemplu 134 semnifică BX=1; BZ=1; BXX=1).

Declararea elementelor se face notând nodurile cu: I, J, K, L, M, N, O, P,... , depinde de câte noduri are elementul.

Tensiunile în model se prezintǎ în general în sistemul global de axe, (nu obligatoriu însǎ) şi componentele tensorului tensiune se noteazǎ: SX, SY, SZ, SXY, SYZ, SZX, iar tensiunile principale se noteazǎ: S1, S2, S3, şi întotdeauna se respectǎ regula S1 > S2 > S3.

Tipuri de materiale

Din punct de vedere al proprietǎţilor pe diferite direcţii ale materialului materialele uzuale se pot clasifica în:

-izotrope;-ortotrope;

24

-anizotrope;O categorie aparte o fac materialele hiperelastice cum ar fi cauciucul.

Materialele izotrope se caracterizeazǎ prin trei constante de material E, G, ν între care existǎ o relaţie de legǎturǎ:

)1(2EG

ν+= . (3.1)

În general programele de calcul verificǎ relaţia (3.1) sau completeazǎ o necunoscutǎ dacǎ se declarǎ douǎ dintre constantele de material. Unele programe atribuie unor constante de material valori implicite, cum ar fi de exemplu ν=0,3 sau ν=0. De obicei în practică se declară E (modulul de elasticitate longitudinal) şi ν (coeficientul de contracţie transversală).

Materialele ortotrope se caracterizeazǎ prin 12 constante de material corespunzǎtor celor trei direcţii principale ale materialului, dintre care nouă sunt independente. Acestea din urmă, se introduc drept date de intrare şi sunt: 1E , 2E ,

3E , 12G , 23G , 13G , ν 12 , ν 23 , ν 13 .Materialele anizotrope se caracterizeazǎ prin 21 de constante de material

independente, iar pentru analize neliniare există legi de material proprii fiecărui tip de material.

De obicei programele de firmă au implementate cel puţin câteva sute de legi de material din care utilizatorul trebuie să aleagă modelul adecvat şi să introducă o serie de constante de material. Aceste constante de material se obţin din încercări experimentale, deci legile de material caracterizează materialul din punct de vedere macroscopic, deci pentru analiza unor modele de dimensiuni foarte mici legile de material trebuie reconsiderate. Considerente similare trebuie avute în vedere şi pentru legile şi ecuaţiile matematice cu care se implementează fiecare tip de element finit.

25

Cap. 4. Principii fundamentale ale MEF

Discretizarea

În cele ce urmeazǎ se pune problema discutǎrii principiilor MEF din punctul de vedere al utilizatorului. S-a menţionat mai sus cǎ MEF considerǎ modelul de calcul format dintr-o sumǎ de porţiuni numite elemente finite legate între ele punctual, adicǎ în noduri.

Este clar pentru oricine, cǎ o structurǎ (un domeniu) poate fi împǎrţitǎ în diverse moduri, cu mai multe sau mai puţine noduri şi elemente. În figura 4.1 se prezintǎ împǎrţirea domeniului patrulater a în triunghiuri b sau în patrulatere c.

MEF a dezvoltat o serie de tipuri de elemente finite care pentru început pot fi clasificate în (referire la elemente structurale):

-elemente finite unidimensionale (reprezentând bare dar nu numai ...);-elemente finite bidimensionale (reprezentând plǎci, şi chiar volume !);-elemente finite tridimensionale (reprezentând solidele, blocurile).

Fig. 4.2: Tipuri de elemente finite

În figura 4.2 se prezintǎ diverse tipuri de elemente finite. Se observǎ cǎ elementele finite sunt generate de puncte care nu sunt altceva decât noduri ale structurii. Existǎ elemente de grad superior celor cubice (care sunt mai performante), dar cel mai des utilizate sunt elementele liniare şi parabolice.

26

Fig. 4.1: Moduri de discretizare în plan

Sǎ nu uitǎm cǎ necunoscutele unei probleme sunt alese chiar în nodurile elementelor finite, noduri mai multe pe element înseamnǎ în general precizie mai bunǎ.

Unele elemente finite au noduri interioare (pe feţe sau în interiorul volumelor) pentru a îmbunǎtǎţi precizia, dar utilizatorul nu lucreazǎ cu aceste noduri pentru cǎ ele sunt generate şi apoi condensate în faza de calcul a matricilor de rigiditate ale elementelor.

Operaţia de împǎrţire a unei structuri (domeniu) în elemente finite, prin punerea în evidenţǎ a nodurilor şi a elementelor poartǎ denumirea de DISCRETIZARE. Reamintim cǎ elementele nu au porţiuni comune între ele decât nodurile comune (pentru elemente vecine). Reuniunea tuturor elementelor trebuie sǎ reproducǎ domeniul iniţial.

Un exemplu sugestiv al discretizǎrii poate fi consideratǎ o oglindǎ spartǎ şi lipitǎ cu bucǎţi mici de bandǎ adezivǎ la colţuri. Alt exemplu ilusrativ ar fi o hainǎ din petece cusute doar la colţurile petecelor.

Reuniunea contururilor elementelor genereazǎ reţeaua discretizǎrii.Referirea la noduri şi elemente se face prin numerotarea acestora. Operaţia de

discretizare include pe lângǎ împǎrţirea structurii în noduri şi elemente numerotarea nodurilor de la 1 la NN (numǎrul total de noduri) şi a elementelor de la 1 la NE (numǎrul total de elemente). Numerotarea nodurilor şi a elementelor poate sǎ nu înceapǎ de la unu şi să nu fie neapărat în ordine pentru programe de firmǎ.

Operaţia de discretizare este de obicei dirijatǎ de utilizator chiar dacǎ programele de firmǎ permit utilizarea discretizarii automate pe diverse domenii.

Stabilirea domeniului de analizǎ şi a condiţiilor la limită

Domeniul de analizǎ reprezintǎ un model al corpului de studiat, sau numai al unei regiuni semnificative aparţinând acestuia. El se obţine printr-un proces de idealizare a geometriei corpului original şi uneori de selecţie a regiunii de analizǎ.

Idealizarea este necesarǎ pentru a reduce din complexitatea configuraţiei geometrice a corpului original, pentru a micşora efortul de pregǎtire a datelor de intrare şi de calcul. În acelaş scop se face şi selecţia unei regiuni de analizǎ, atunci când proprietǎţile de simetrie şi omogenitate permit acest lucru. De asemenea, selecţia apare necesarǎ atunci când se lucreazǎ cu corpuri de dimensiuni foarte mari, sau atunci când o problemǎ tridimensionalǎ se transformǎ într-o problemǎ bidimensionalǎ sau unidimensionalǎ.

În cazul în care domeniul de analizǎ reprezintǎ numai o parte din corpul original de studiat, o atenţie deosebitǎ trebuie acordatǎ adaptǎrii condiţiilor la limitǎ, astfel încât sǎ nu schimbǎm odatǎ cu geometria şi structura câmpului de variabile analizat.

27

a: Schema reală b: Modelul idealizatFig. 4.3: Grindă în consolă

Exemplul 1. Se consideră elementul de grindă, de secţiune variabilă în care sunt aplicate două găuri circulare Fig. 4.3.a. Această grindă este parte componentă a unei structuri mult mai mari şi preia o forţă în capătul liber, generată de contactul cu altă componentă a unei alte structuri. Se cere să se determine săgeata din secţiunea B precum şi tensiunea echivalentă maximă. Se presupune că sunt cunoscute toate dimensiunile, valoarea şi poziţia forţei rezultante F precum şi caracteristicile materialului.

Pentru această aparent simplă problemă apar o serie de întrebări, la care analistul trebuie să ia deciziile cele mai adecvate pentru a obţine soluţia cu o precizie cât mai mare. Unele dintre aceste întrebări sunt: a. este adecvat un model în plan sau în spaţiu, răspunsul în general depinde de grosimea acestei grinzi, dacă grinda este înaltă (adică are grosime mică), un model în 3D nu se justifică, deoarece efortul de calcul creşte considerabil fără a obţine un rezultat mai precis; b. modelul trebuie să includă şi zonele din vecinătatea forţei aplicate şi respectiv o zonă cât mai mare din structura de care această grindă este fixată, răspunsul la această întrebare este greu de precizat în special din cauză că deplasarea secţiunii B este produsă atât de deformaţia grinzii cât şi de deformaţia structurii de care aceasta este fixată, tensiunea maximă însă este de aşteptat să apară în zona slăbită a celor două găuri şi nu depinde esenţial de condiţiile de modelare a structurii care susţine grinda în virtutea principiului Saint Vénant. Dacă structura de fixare a grinzii se poate considera rigidă, atunci cel mai comod este să se modeleze efectul acesteia asupra grinzii printr-o încastrare rigidă; c. cum se consideră aplicată forţa, având în vedere că de fapt se cunoaşte rezultanta forţei distribuite şi punctul de aplicaţie al ei, aplicarea forţei într-un singur nod poate conduce la obţinerea unor tensiuni "false" foarte mari în vecinătatea acestui nod, dacă discretizarea din zona respectivă este foarte fină, apoi problema s-a delimitat ca zonă de interes în secţiunea din punctul B şi în vecinătatea celor două găuri. Din acest motiv, zona din dreapta punctului B poate să nu facă parte din modelul de calcul, iar încărcarea se poate aplica în secţiunea B, prin impunerea condiţiilor la limită în tensiuni, (obţinute din relaţiile Navier şi Juravski) sau pur şi simplu se consideră torsorul echivalent din secţiunea B şi forţele se aplică concentrat în noduri dacă

28

discretizarea în această secţiune nu conţine multe noduri. În condiţiile deciziilor de mai sus modelul de calcul se prezintă în Fig.4.3.b. El urmează să fie discretizat cu elemente de tip solid plan: Q4, Q6, Q8, etc şi apoi analizat.

Aspectele de modelare ar putea continua cu faza a doua adică alegerea tipului de element cel mai adecvat, modul de discretizare, etc. Nu trebuie pierdut din vedere că rezultatele obţinute reflectă modelul de calcul şi nu structura reală şi acestea trebuie interpretate cu mare atenţie.

Scopul şi tipul calcului poate influenţa alegerea domeniului de analizǎ, asfel dacǎ intereseazǎ un efect local şi la distanţǎ se pot considera variaţia mǎrimilor cunoscutǎ, domeniul de analizǎ se poate reduce la zona de interes. Aceastǎ reducere nu este întotdeauna posibilǎ, exemplul de mai sus al concentratorului poate fi valabil într-un calcul static dar nu şi în unul dinamic.

Stabilirea ipotezelor de lucru

Stabilirea corectǎ a ipotezelor de lucru este factorul esenţial în obţinerea unor rezultate apropiate de soluţia exactǎ. În acest sens se au în vedere:

-geometria corpului;-proprietǎţile materialelor (liniar elastice, neliniare, plastice etc);-domeniul de variaţie al principalelor mǎrimi de câmp investigate;-regimul de funcţionare (static, dinamic etc);-modul de aplicare al sarcinilor si felul reazemelor, etc.

Exemplul 2. Se consideră o grindă de secţiune variabilă (structura unui podeţ) care sprijină prin aşezare pe trei stâlpi ca în Fig. 4.4.a. Structura trebuie să preia o încărcare uniform distribuită dată de presiunea de valoare constantă p, şi accidental sarcina axială distribuită liniar de valoare maximă a presiunii q. Se cere să se precizeze valoarea maximă a reacţiunilor din reazeme şi tensiunea maximă din grindă pentru trei cazuri de încărcare: a. numai forţa distribuită p; b. numai forţa distribuită q; c. ambele forţe lucrează simultan. Se presupune că sunt cunoscute geometria structurii, datele despre materiale şi încărcări.

În forma prezentată, problema de mai sus prezintă deja câteva caracteristici de modelare primară incluse în enunţ, acestea ar putea proveni de la un beneficiar care comandă un astfel de calcul. Este de presupus că încărcarea cu forţele distribuite p modelează forţele utile de încărcare apărute în momentul solicitării grinzii precum şi încărcarea generată de greutatea proprie. Forţele distribuite q ar putea proveni dintr-o preluare ineficientă a dilatării termice. Nu se precizează nimic despre o posibilă nealiniere a celor trei stâlpi de sprijin. Aceste aspecte ar putea fi omise intenţionat sau nu de către beneficiar, şi în această situaţie interesează doar livrarea unor rezultate corespunzătoare pentru modelul propus.

29

Fig. 4.4: Grindă static nedeterminată

Primele aspecte care se pot evidenţia sunt: simetria modelului şi a cazurilor de încărcare; caracterul static nedeterminat al structurii din punct de vedere al reacţiunilor din partea celor trei stâlpi.

Dacă dimensiunea d a diametrului celor trei stâlpi este relativ mică în comparaţie cu dimensiunile grinzii, încărcarea necunoscută cu presiunea de contact dintre stâlpi şi grindă se poate înlocui cu un reazem simplu într-un singur nod (sau mai multe noduri funcţie de discretizare), dar aici apare o problemă esenţială şi anume: reacţiunile sunt orientate în sus sau e posibil ca sensul lor să fie invers ? Această incertitudine face problema neliniară, pentru că de exemplu reazemul din B lucrează numai pe o direcţie. Problema însă se analizează în două etape: 1) se presupune că reazemul lucrează sau nu lucrează şi 2) se face verificarea rezultatelor.

Fig. 4.5: Piesă de analizat fixată cu patru şuruburi pe un bloc rigid

Exemplul 3. Piesa din Fig. 4.5 trebuie analizată din punct de vedere static pentru analiza stării de tensiune. Din motive de simetrie şi analiza cu atenţie a comportării piesei se poate adopta modelul de calcul prezentat în Fig. 4.6. Se obervă că modelarea se face numai pentru piesa de interes, iar efectul celorlalte componente se “include” prin condiţiile la limită în deplasări şi forţe distribuite după anumite legi considerate de analist.

30

Fig. 4.6: Modelul de calcul pentru problema din figura 4.5

Factori de influenţǎ a discretizǎrii

Se poate face o distincţie netǎ între: -1.discretizarea structurilor care au un suport fizic respectiv discretizarea în

elementele sale componente (structuri din bare);-2.discretizarea corpurilor solide sau fluide care este un proces pur

matematic, arbitrar. O serie de factori care condiţioneazǎ discretizarea sunt:-tipul elementelor finite (se aleg funcţie de tipul problemei şi domeniul de

analizǎ, de precizia doritǎ, de variaţia mǎrimii necunoscute etc). Elementele parabolice sunt preferate elementelor liniare, întrucât la acelaş numǎr de noduri soluţia discretizǎrii cu elemente parabolice este mai precisǎ decât cea cu elemente liniare. Dacǎ existǎ mai multe tipuri de elemente finite la graniţǎ dintre ele trebuie sǎ se asigure continuitatea;

-mǎrimea şi numǎrul elementelor finite influenţeazǎ convergenţa soluţiei (vezi Fig. 4.7). Se observǎ cǎ la un numǎr mai mare de elemente rezultatul se apropie cǎtre soluţia exactǎ dar creşterea excesivǎ poate duce la un “colaps” datoritǎ efectului erorii de maşinǎ la un volum mare de calcule;

-poziţionarea nodurilor, care în general se face uniform în structurǎ.

31

Fig. 4.7: Influenta numarului de elemente asupra preciziei

Discontinuitaţi în geometrie (Fig. 4.8.a) sau în încǎrcare (Fig. 4.8.b) impun alegerea unor noduri intermediare. Trecerea de la o zonǎ cu discretizare finǎ la una cu discretizare grosolanǎ se face progresv, nu brusc;

-gradul de uniformitate al reţelei de elemente finite (vezi Fig. 4.9). Se evitǎ folosirea elementelor cu formǎ alungitǎ (triunghiuri foarte ascuţite, dreptunghiuri cu raportul dimensiunilor mai mare de 3). Preferabil ar fi ca discretizarea cu triunghiuri sǎ conţinǎ numai triunghiuri echilaterale, discretizarea cu patrulatere sǎ conţinǎ doar pǎtrate iar cea spaţialǎ cu brickuri sǎ conţinǎ elemente cubice etc;

Fig.4.8: Discontinuitati în geometrie şi încărcare

Fig. 4.9: Forme bidimensionale de elemente

-stabilirea zonelor de frontierǎ, pentru introducerea corectǎ a condiţiilor la limitǎ;

-numǎrul maxim de noduri sau elemente permis de program;-posibilitatea numerotǎrii optime a nodurilor sau a elementelor pentru

reducerea necesarului de memorie şi calcul.

Cum poate reduce simetria geometricǎ dimensiunea problemei?

Se poate arǎta (cu metoda eforturilor studiatǎ la rezistenţa materialelor, de exemplu), cǎ structurile cu simetrie geometricǎ faţǎ de un plan (simetrie în oglindǎ), încǎrcate simetric (Sim) sau antisimetric (ASim) faţǎ de acelaşi plan de simetrie pot reduce problema la tratarea pe jumǎtate pentru fiecare plan de simetrie prin considerarea condiţiilor de deformaţie în planul de simetrie geometricǎ (vezi Fig. 4.10).

În general se pun în evidenţǎ simetrii faţǎ de cele trei axe ale sistemului de referinţă global. Dacǎ normala planului de simetrie coincide ca direcţie cu axa X se spune cǎ simetria este faţǎ de planul X. Încǎrcǎrile faţǎ de acest plan pot fi simetrice (XSim) sau antisimetrice (XASim).

32

În tabelul 4.1 se prezintǎ condiţiile la limitǎ în planul de simetrie pentru cele 6 posibilitǎţi de simetrie şi antisimetrie de încǎrcare pentru structuri cu simetrie faţǎ de sistemul global de axe. Deci, nodurile care se află în planul de simetrie, trebuie să fie “blocate” pe anumite direcţii la translaţii şi rotaţii dacă e cazul (se discută analiza structurală, dar condiţii similare există si pentru alte tipuri de analize), astfel încât deformatele structurilor să fie simetrice sau antisimetrice, funcţie de încărcare.

Tabelul 4.1:Condiţii la limită în planul de simetrie reflexivăÎncărcare BX BY BZ BXX BYY BZZ cod al

blocajelorXSim 1 0 0 0 1 1 156YSim 0 1 0 1 0 1 246ZSim 0 0 1 1 1 0 345

XAntiSim 0 1 1 1 0 0 234YAntiSim 1 0 1 0 1 0 135ZAntiSim 1 1 0 0 0 1 126

Menţionǎm cǎ o structurǎ simetricǎ, încarcatǎ oarecum, pentru un calcul liniar poate fi şi ea redusǎ la rezolvarea a douǎ probleme tratate pe jumǎtate şi suprapunere de efecte conform cu figura 4.11.

33

Fig. 4.10: Reducerea problemei prin simetrie geometrică

Simetria “ciclică” poate reduce considerabil modelul de calcul (vezi Fig 4.12). Hexagonul regulat încǎrcat cu o forţǎ centralǎ perpendicularǎ pe plan poate fi tratat pe a douǎsprezecea parte (deoarece există şi simetrie reflexivă pentru fiecare triunghi echilateral care formează hexagonul). Forţa se împarte egal pe cele douǎsprezece zone.

Pentru a putea avea acces la asemenea artificii programul trebuie sǎ permitǎ punerea condiţiilor la limită în deplasǎri pe orice direcţie.

Fig. 4.12: Simetrie “ciclică” Fig. 4.13: Simetrie axială

Structurile axial simetrice (cu geometria obţinutǎ prin rotirea unei figuri plane în jurul unei axe) încǎrcate simetric (nu neapǎrat) deşi sunt spaţiale se pot trata în plan, conform cu Fig. 4.13. Forţa echivalentǎ F reprezintǎ suma forţelor distribuite pe întreaga circumferinţǎ sau suma forţelor pe arcul corespunzǎtor unui radian, depinde de programul de lucru. Condiţiile la limitǎ în deplasǎri pe direcţia X apar doar dacǎ geometria structurii conţine axa Y.

Pentru alte tipuri de probleme (cum ar fi analiza termicǎ pe structuri cu simetrie) condiţiile la limitǎ se pun mai simplu.

34

ig. 4.11: Reducerea problemei cu simetrie geometrica in doua probleme particulare care se pot trata pe jumatate

Cap. 5. Cele trei faze ale rezolvǎrii unui model cu MEF

În programele mari de firmǎ se disting trei faze importante de rezolvare a unei probleme cu ajutorul MEF, şi anume:

-preprocesarea;-procesarea;-postprocesarea;

Preprocesarea este etapa de pregǎtire a datelor de intrare pentru rezolvarea unei probleme (model al problemei) şi salvarea lor într-un fişier al datelor de intrare pentru problemă. Fişierul cu date poate fi editat direct dacǎ se cunoaşte formatul exact al fişierului cu datele problemei sau se editeazǎ într-un meniu al programului de firmǎ.

Etapa de preprocesare constǎ în introducerea datelor despre materiale, despre forma, tipul şi dimensiunile elementelor finite folosite, datele despre discretizare (coordonatele nodale şi configuraţia elementelor), date despre încǎrcǎri şi blocaje (condiţii la limitǎ). Discretizarea, operaţia cea mai laborioasǎ se poate face automat de proceduri specializate, cu opţiuni specificate de către utilizator, sau direct de cǎtre utizator prin specificarea tuturor coordonatelor nodale şi a elementelor finite.

Aceasta etapǎ, a preprocesǎrii este de obicei etapa cea mai dificilǎ şi cea mai laborioasǎ. O detaliere a celor prezentate mai sus se prezintǎ în continuare.

Date necesare pentru rezolvarea unui model

1. Tipul analizei (static, dinamic, termic, stabilitate etc);2. Date despre materiale. Funcţie de tipul problemei se precizeazǎ o serie de constante de material cum ar fi: modulul de elasticitate longitudinal (E), sau transversal (G), coeficientul contracţiei transversale (coeficientul lui Poisson ν), densitatea materialului (ρ), coeficientul de dilatare termicǎ (α), cǎldura specificǎ masicǎ (c), conductivitatea materialului (λ) etc.3. Date proprii elementelor folosite în discretizare, care depind de tipul elementului finit. În categoria acestor date intrǎ:

-pentru bare: aria secţiunii transversale (A), momentele de inerţie geometricǎ ale secţiunii (It, Iy, Iz), dimensiunile secţiunii pentru calculul tensiunilor, coeficienţii de contribuţie a forţei tǎietoare la determinarea deplasǎrilor (Fiy, Fiz);

-pentru plǎci: grosimea plǎcii (t), ordinul de integrare Gauss-Legendre (INT), şi alte mǎrimi dependente de teoria elementului de placǎ;

-pentru elemente spaţiale: ordinul de integrare şi eventual alţi parametrii dependenţi de teoria de element.4. Date despre discretizarea modelului:

35

a. Coordonatele nodale X, Y, Z;b. Definirea elementelor (matricea de conectivitate, materialul elementului, şi

mǎrimile care caracterizeazǎ elementul). Reamintim cǎ nodurile elementului se noteazǎ cu I, J, K, L, M, N,..., iar ordinea de declarare a nodurilor unui element nu este întâmplǎtoare, cu excepţia câtorva cazuri (bare articulate spre exemplu).

În urma discretizǎrii rezultǎ caracteristicile generale ale discretizǎrii, cum ar fi numǎrul total de noduri (NN) şi numǎrul total de elemente (NE).5. Date despre condiţii la limitǎ. Acestea depind de tipul problemei. Pentru probleme de analizǎ structuralǎ se pot pune în evidenţǎ:

a. Date despre rezemǎri (blocaje sau relaţii între gradele de libertate);b. Date despre încǎrcǎri (forţe, deplasǎri impuse nenule, temperaturi în

noduri sau elemente, presiuni etc).

IMPORTANT !

Rezolvarea unor probleme de MEF presupune rezolvarea unui sistem de ecuaţii algebrice care dacǎ este singular nu permite rezolvarea problemei. În general aceste situaţii se întâlnesc atunci când nu sunt aplicate suficiente condiţii la limitǎ (în restricţii de deplasare pentru probleme de analizǎ structuralǎ staticǎ).

Se poate arǎta cǎ un model care permite mişcări de solid rigid (translaţie sau rotatie), sau mişcări de mecanism, genereazǎ o matrice de rigiditate singularǎ, ceea ce face imposibilǎ rezolvarea problemei de deformaţie în analiza statică. Justificarea acestei situaţii se poate face din punct de vedere fizic: sub încǎrcarea cu forţe sistemul se accelereazǎ; şi matematic: întrucât un sistem de ecuaţii singular nu are soluţie unicǎ.

Dacǎ modelul de calcul este în echilibru sub acţiunea forţelor care acţioneazǎ asupra lui dar nu sunt prevǎzute suficiente legǎturi cu exteriorul (blocaje), utilizatorul trebuie sǎ intervinǎ cu completarea unor blocaje care sǎ înlǎture mişcarea de corp rigid dar care sǎ nu modifice definiţia iniţialǎ a problemei. Câteva exemple de acest gen se gǎsesc în capitolele de aplicaţii care urmeazǎ.

În ultima vreme preprocesoarele sunt în măsură să preia o serie de date de intrare din programe CAD în care modelele unor structuri au fost deja definite.

Procesarea constǎ în rezolvarea efectivǎ pe cale numericǎ a modelului problemei. Datele deja pregǎtite (în preprocesor) sunt preluate din fişierul de date şi “rulate” conform tipului de problemǎ şi cerinţelor specificate în preprocesor.

Rezultatele rulǎrii sunt stocate într-un fişier (sau mai multe) în vederea prelucrǎrii lor ulterioare. Unele programe considerǎ fază a procesǎrii şi introducerea condiţiilor la limitǎ. Aceastǎ fazǎ a procesǎrii este practic “creierul programului”, procedurile cele mai complexe sunt încorporate în aceastǎ zonǎ.

36

Timpul de lucru efectiv depinde de tipul calculatorului, de felul calculului şi de mǎrimea problemei (numǎr de elemente, numǎr de noduri, numǎrul gradelor de libertate al nodului). Relativ la timpul petrecut în faza de preprocesare, faza procesǎrii este scurtǎ (nu în toate cazurile însǎ).

Etape generale de calcul

1. Pentru fiecare element finit se calculeazǎ matricele de rigiditate, masă, amortizare etc;2. Se asambleazǎ matricele elementelor în matricele globale ale structurii precum şi vectorii liberi în vectorul liber global;3. Rezolvarea sistemului global ordinar de ecuaţii şi obţinerea necunoscutelor nodale prin considerarea condiţiilor la limită. În cazul cel mai general pentru analiza structuralǎ, sistemul de ecuaţii este:

FU]K[U]GC[U]M[ rrrrrrrr =+++ , (5.1)în care semnificaţia mărimilor acestei ecuaţii matriceale se prezintă în paragraful “Notaţii”. În general, pentru un pas de calcul, matricele [ ]rM , [ ]rC , [ ]rG , [ ]rK şi vectorul rF sunt constante.4. Obţinerea mǎrimilor de interes (necunoscute elementale, de exemplu) funcţie de rezultatele obţinute la pasul 3.Observaţii

i. Unele programe care folosesc metoda frontalǎ de rezolvare a ecuaţiilor problemei, parcurg paşii 2 şi 3 simultan.

ii. Pentru probleme neliniare o parte a etapelor de calcul se repetǎ de un numǎr de ori.

Postprocesarea este faza de “examinare” a rezultatelor în formă tabelarǎ sau în formǎ graficǎ. Aceastǎ fazǎ permite evaluarea şi comentarea rezultatelor. Folosirea graficelor şi a reprezentǎrii în culori a mǎrimilor de interes simplificǎ foarte mult munca utilizatorului (în trecut rezultatele se prezentau sub forma unor liste). Capitolul 6 prezintǎ o serie de facilitǎţi grafice foarte utile în postprocesare.

37

Cap. 6. Noţiuni fundamentale de graficǎ pe calculator

Etapele de pre- şi post procesare prezintǎ desene ale structurii, discretizarea, numerotarea nodurilor şi a elementelor, grafice, distribuţii de mǎrimi de interes etc.

Creatorul de programe trebuie sǎ foloseascǎ posibilitaţile grafice ale calculatorului pentru a uşura munca de verificare a corectitudinii datelor introduse şi pentru urmǎrirea cu uşurinţǎ a rezultatelor.

Utilizatorul de programe trebuie sǎ cunoascǎ semnificaţia graficǎ şi posibilitǎţile de care dispune pentru a-şi uşura munca de elaborare şi rezolvare a unei anumite probleme cu un program de calcul cu elemente finite. În continuare se prezintǎ o serie de proceduri şi facilitǎţi grafice dezvoltate de autori.

Cu speranţa cǎ reproducerile unor “cutii negre” într-un mod intuitiv foloseşte ultilizatorilor precum şi celor care doresc să implementeze programe cu elemente finite, în continuare se prezintǎ o serie de noţiuni simple de algebrǎ liniarǎ şi grafică pe calculator capabile sǎ reproducǎ algoritmi “interesanţi” prezenţi în programele mari de firmă.

Transformarea coordonatelor pentru desenare pe ecran

Pentru a reproduce o imagine plană (poligonul ABCDEFG din Fig. 6.1.a) generată în sistemul global da axe XOY, în fereastra generată de punctele 1 si 2 ale ecranului de monitor (Fig. 6.1.b) se pot folosi relaţiile de transformare a coordonatelor:

Fig. 6.1: Încadrarea unui desen într-o fereastră a ecranului de monitor

XrCF K)XX(XX −+= ; (6.1a)

38

YrCF K)YY(XY −−= . (6.1b)în care:

XF, YF - coordonatele în fereastra de lucru (numere naturale);XC = DXF/2, YC = DYF/2 - coordonatele centrului ferestrei;X, Y -coordonatele unui punct oarecare din sistemul global de axe;Xr=(Xmax+Xmin)/2; Yr=(Ymax+Ymin)/2 -coordonatele centrului dreptunghiului în care se înscrie imaginea plană;KX, KY -factori de scalare a imaginii.De obicei KX ≠ KY, datorită faptului că pixelii sunt dreptunghiulari, nu

pătraţi. Factorii de scalare pot mări sau micşora imaginea reprodusă pe ecran, dar de obicei ei se aleg iniţial astfel incât sa reproducă integral imaginea pe ecran. De exemplu dacă se doreşte reproducerea imaginii cu o rezervă de 10 % se pot folosi relaţiile:

=

=

RXY

X

XFX

AKKDD9,0K

dacă YF

XFR

Y

X

DDA

DD > ; (6.2a)

=

=

RYX

Y

YFY

A/KKDD9,0K

dacă YF

XFR

Y

X

DDA

DD ≤ . (6.2b)

unde: PixelYPixelXAR = , adică raportul dimensiunii unui pixel pentru modul curent de

iniţializarea al ecranului.

Efectul de mărire/micşorare (“zoom”) al imaginii

Modificând factorii de scalare KX şi KY imaginea reprodusă pe ecran se poate regla funcţie de dorinţă. Mărirea imaginii poate reproduce parţial figura, depăşind fereastra iniţială de lucru dacă interesează zone din imaginea reprodusă pe ecran. Amplificând factorii de scală cu numere subunitare se obţine micşorarea imaginii în timp ce amplificarea cu numere supraunitare mareşte imaginea.

Mărirea imaginii cu 10 % de exemplu se poate face cu relaţiile:KX = 1,1KX; (6.3a)KY = 1,1KY. (6.3b)

Micşorarea imaginii cu 10 % se poate face folosind relaţiile:KX = 0,9KX; (6.4a)KY = 0,9KY. (6.4b)

Deplasarea imaginii pe ecran (“pan”)

39

Aşa cum au fost alese funcţiile de transformare a coordonatelor (vezi relaţiile 6.1) este clar că modificarea coordonatelor XC, YC produce deplasări ale imaginii pe ecran.

Pentru deplasări de 10 % pe orizontală se foloseşte relaţia:XFCC D1,0XX ±= , 6.5)

în care se ia + pentru deplasări spre dreapta şi - pentru deplasări spre stânga.Pentru deplasări de 10 % pe verticală se foloseşte relaţia:

YFCC D1,0YY = , (6.6)în care se ia - pentru deplasări în sus şi + pentru deplasări în jos.

Reprezentarea elementelor

De obicei reprezentarea fidelă a elementelor (în concordanţă cu geometria reală a lor) este greoaie şi se recurge la reprezentări simplificate, sugestive. Astfel se pot pune în evidenţă reprezentări ale elementelor funcţie de clasificarea lor după dimensiuni:

A. Elemente unidimensionale (TRUSS, BEAM) - Se trasează o linie între coordonatele nodurilor de capăt I si J (vezi Fig. 6.2.a).Observaţie: dacă elementul este parabolic (cu trei noduri, unul intermediar care defineşte bara curbă, se va trasa o porţiune de parabolă sau un cerc între nodurile de capăt care trece prin nodul intermediar).

B. Elemente bidimensionale (CST, QUAD) - Se desenează un poligon închis cu trei sau patru laturi (I J K L din Fig. 6.2.b). Dacă elementul este parabolic se pot folosi reprezentări cu laturi curbe, similar elementelor unidimensionale parabolice.

Fig. 6.2: Reprezentarea elementelor

C. Elemente tridimensionale (BRICK) - Pentru elemente hexaedrice se desenează şase patrulatere corespunzătoare celor şase feţe sau 12 linii corespunzătoare celor 12 muchii (Fig. 6.2.c). Pentru elemente parabolice se poate folosi reprezentarea cu linii curbe. Reprezentarea elementelor tetraedrice sau pentaedrice se face similar.

40

Efectul “shrink“ de reprezentare a elementelor

O vizionare rapidă a reprezentării elementelor unei structuri nu poate pune în evidenţă lipsa unor elemente sau declararea greşită a lor. Pentru înlaturarea acestui neajuns se poate recurge la reprezentarea micşorată a elementelor (vezi Fig. 6.3).

Reprezentarea redusă (micşorată a elementelor în plan se poate face cu relaţiile):

−−=′−−=′

)YY(SYY)XX(SXX

mKm

mKm , (6.7)

unde: SK ∈ (0,1]- factor de "shrink"

(reducere);Xm şi Ym -coordonatele (fixe)

nemodificabile la contracţie, de obicei centrul de greutate al elementului.

Structuri în spaţiu - plan de proiecţie

O imagine plană este în esenţă reproducerea proiecţiei obiectului pe un plan. Astfel imaginea din Fig. 6.1.a (poligonul haşurat) este “proiecţia” în planul XOY a unui corp. Din punctul de vedere al unui observator aspectul proiecţiei depinde de poziţia observatorului în spaţiu, de poziţia sursei de lumină, a planului de proiecţie etc.

Este clar că un corp în spaţiu la un moment dat nu poate fi “văzut” decât parţial de către un singur observator. Pentru a putea avea acces la părţi nevăzute ale obiectului supus atenţiei, între obiect şi observator trebuie să existe o mişcare relativă, astfel cele mai simple două situaţii sunt:

1. Poziţia observatorului este fixă în timp ce obiectul se roteşte;2. Obiectul stă pe loc, dar observatorul îşi schimbă poziţia şi direcţia de

privire.Pentru simplificarea noţiunilor, în continuare vom considera poziţia

observatorului şi a sursei de lumină în acelaşi punct, la distanţă foarte mare (infinit) de obiectul supus atenţiei.

1.Rotaţia axelor obiectului

41

Fig. 6.3: Reprezentarea cu “shrink”

Să presupunem situaţia iniţială prezentată în Fig. 6.4 când poziţia observatorului este la ∞→Z . Zona accesibilă observaţiei este proiecţia în planul XOY. Poziţia observatorului fiind fixă, la rotirea axelor (de care este fixat obiectul) el va "vedea" proiecţia obiectului în planul iniţial XOY. Esenţial pentru construirea imaginii la un moment dat este stăpânirea coordonatelor X si Y.

Fig. 6.4: Proiecţia pe un plan al unui obiect care se roteşte

Dacă notăm cu TZYX ′′′ noile coordonate ale unui punct X Y ZT supus unei transformări de rotaţie ℜ se obţine:

ℜ=

′′′

ZYX

ZYX

. (6.8)

Matricele de transformare RX, RY, RZ corespunzătoare rotaţiei în jurul axei X cu unghiul α, în jurul axei Y cu unghiul β şi în jurul axei Z cu unghiul γ au expresiile:

−=

αcosαsin0αsinαcos0

001R X ; (6.9a)

−=

βcos0βsin010

βsin0βcosR Y ; (6.9b)

42

−=

1000γcosγsin0γsinγcos

R Z . (6.9c)

Trebuie menţionat că rotaţia nu este o operaţie comutativă şi pentru a vedea întreg corpul sunt suficiente două din cele trei transformări de rotaţie.

Dacă interesează poziţia corpului după aplicarea succesivă a trei rotaţii în jurul axelor X, Y şi Z, matricea de transformare are expresia:

,βcosαcosβcosαsinβsin

γsinβsinαcosγcosαsinγsinβsinαsinγcosαcosγsinβcosγcosβsinαcosγsinαsinγcosβsinαsinγsinαcosγcosβcos

R XYZ

−−−

−−−= (6.10)

unde: RXYZ=RXRYRZ.

De multe ori pentru a evita recentrarea figurii proiectate, rotaţiile se fac în jurul axelor XC, YC, ZC care trec prin centrul paralelipipedului în care se înscrie obiectul şi sunt paralele cu axele iniţiale X, Y, Z. Dacă notăm cu Xr , Yr , Zr

coordonatele punctului C în sistemul de axe OXYZ relaţiile de transformare prin rotaţie se modifică astfel:

−−−

ℜ+

=

′′′

r

r

r

r

r

r

ZZYYXX

ZYX

ZYX

(6.11)

2.Direcţia de privire a obiectului

Dacă obiectul supus atenţiei se află într-un sistem de referinţă fix OXYZ, poziţia observatorului (ca direcţie) se poate defini printr-un vector ce trece prin originea sistemului de axe W(a,b,c), cum se poate observa în Fig. 6.5.

Distanţa observatorului faţă de obiect fiind foarte mare se poate considera ca zona observată este proiecţia pe planul normal direcţiei de privire YOX ′′ . Problema care rămâne nerezolvată este poziţia de spin în jurul direcţiei de privire, astfel observatorul are o infinitate de poziţii ale proiecţiei funcţie de unghiul de spin. De obicei acest neajuns se rezolvă prin considerarea a câtorva poziţii particulare de proiectie a celor trei axe pe ecranul de proiectie. Se pot alege situaţiile de proiecţie a axei OX verticală în sus sau verticală în jos, similar se pot alege axele OY sau OZ, rezultând în final şase poziţii distincte.

Din punct de vedere matematic se pune problema determinării matricei A(3×3) care face legătura dintre cele două sisteme de axe OXYZ şi OX Y Z′ ′ ′ la trecerea de la o bază ortonormată i j k la o alta ′ ′ ′i j k . Noile coordonate ale unui punct ZYX ′′′ se exprimă funcţie de cele vechi prin relaţia:

43

Fig. 6.5: Proiecţia obiectului pe un plan perpendicular direcţiei de privire

=

′′′

ZYX

aaaaaaaaa

ZYX

333231

232221

131211

. (6.12)

Pentru a determina matricea [A] se pun condiţiile:-planul YOX ′′ este normal la vectorul W(a,b,c) al direcţiei de privire;- ZYXO ′′′ este sistemul de axe rotit faţă de sistemul OXYZ;-o axă OX, OY sau OZ se proiectează ca axă YO ′+ sau YO ′− .În continuare se prezintă deducerea matricei [A] pentru cazul când axa OZ se

proiectează ca axa YO ′ .Ecuaţia planului YOX ′′ normal la direcţia de privire trece prin O(0, 0, 0) şi

deci ecuaţia care îl descrie este:0cZbYaX =++ . (6.13)

Expresia versorului k′ este:

)kcjbia(r1k ++=′ , (6.14)

în care 222 cbar ++= .Versorul k (axa OZ) şi w (sau k′ ) determină un plan. Planul determinat de

k si k′ are ecuaţia:

0aYbX0100cbaZYX

=−⇔= . (6.15)

44

Intersecţia planelor determinate de relaţiile (6.13) si (6.15) dă o dreaptă YO ′de parametrii directori:

;ca0acb

l ⋅=−

= ;cbb0ac

m ⋅== )ba(ab

ban 22 +−=

−= . (6.16)

Deci, expresia versorului j′ (axa YO ′ ) este:

)k)ba(jbciac(r1j 22

1

′++′−′−=′ , (6.17)

unde: 222221 )ba()bc()ac(r +++= .

Semnul minus la cosinusurile directoare s-a ales pentru a considera axa YO ′ în sus.Versorul i′ rezultă din condiţia ca j′ şi k′ sunt perpendiculare pe i′ deci:

)jaib(rr

rc

rb

ra

rba

rbc

rac

kji

kji11

22

11

+−=+−−=′×′=′ . (6.18)

În final, matricea de transformare, ţinând cont de relaţiile (6.18), (6.17), (6.14) şi (6.12), devine:

[ ]

+−−

−

=

rc

rb

ra

rba

rbc

rac

0rar

rbr

A1

22

11

11

. (6.19)

În tabelul 6.1 se prezintă matricea de transformare pentru cele şase cazuri mai sus menţionate.

45

Tabelul 6.1Poziţia axei verticale r, r1 Matricea de transformare [A]

X sus222 cbar ++=

222221 )cb()ac()ab(r +++=

−−+

−

rc

rb

ra

rac

rab

rcb

rbr

rcr0

111

2211

X jos222 cbar ++=

222221 )cb()ac()ab(r +++=

+−

−

rc

rb

ra

rac

rab

rcb

rbr

rcr0

111

2211

Y sus222 cbar ++=

222221 )ca()bc()ab(r +++=

−+−

−

rc

rb

ra

rbc

rca

rab

rar0

rcr

11

22

1

11

Y jos222 cbar ++=

222221 )ca()bc()ab(r +++=

+−

−

rc

rb

ra

rbc

rca

rab

rar0

rcr

11

22

1

11

Z sus222 cbar ++=

222221 )ba()bc()ac(r +++=

+−−

−

rc

rb

ra

rba

rcb

rac

0rar

rbr

1

22

11

11

Z jos222 cbar ++=

222221 )ba()bc()ac(r +++=

+−

−

rc

rb

ra

rba

rcb

rac

0rar

rbr

1

22

11

11

46

Relaţiile din tabel pot fi folosite pentru vizualizarea obiectului din orice poziţie din spaţiu dar nu întotdeauna pot fi valabile opţiunile de poziţie a axei verticale, spre exemplu dacă dorim să privim un obiect cu parametrii directori W(0,0,1), adică poziţia observatorului este la infinit pe axa Z, nu se poate în acelaşi timp a se proiecta axa Z a sistemului de coordonate verticală în sus sau în jos.

Mentionăm că parametrii directori asemenea (spre exemplu W1(1,2,3) şi W2(2,4,6)) produc acelaşi efect.

Transformarea de vedere în perspectivǎ

Dacǎ se renunţǎ la ipoteza cǎ observatorul se aflǎ la infinit faţǎ de obiectul studiat şi se acceptǎ ideea cǎ el priveşte de la o distanţǎ relativ micǎ, atunci putem pune în evidenţǎ un unghi 2θ (vezi Fig. 6.6) de proiecţie care dǎ un efect special de vedere în perspectivǎ.

θ θ

Fig. 6.6: Proiecţie pentru vederea în perspectivă

Este evident că zonele mai apropiate de observator “se văd” mai mari faţă de cele mai depărtate, de aceea transformarea funcţiei de unghiul de perspectivă 2θ, poate fi gândită ca o transformare de perspectivă piramidală sau conică. În continuare ne vom referi la transformarea piramidală, care transformă coordonatele X′ şi Y′ independent de relaţia dintre ele. Dacă se proiectează punctul P pe planul minZ′ din relaţiile de asemănare ale triunghiurilor se obţine:

′′−

−=′P

P

minmin Y

ZSO

ZSOY . (6.20)

Relaţia (6.20) se modifică dacă se înlocuieşte SO conform cu notaţiile din fig. 6.6:

47

′−′+

′+=′

″=

PmaxP

PP

ZZd

Zdimd

Y

YK , (6.21)

unde dY

tg= ′dim

2 θ .

Se poate scrie deci:

′=′′′=′′

YKYXKX

P

P , (6.22)

în care ZCCK

2

1P ′−

= , ( 1KP ≥ ) este un factor de perspectivă iar C1, C2 - constante.

Factorul de perspectivă trebuie reactualizat la fiecare transformare (6.22) întrucât depinde de coordonata Z′ .

Algoritm pentru desenarea muchiilor şi feţelor libere

Un domeniu plan discretizat cu elemente finite triunghiulare sau/şi patrulatere complică reprezentarea grafică, dacă se doreşte doar reprezentarea conturului domeniului se poate recurge la o procedură foarte simplă. Urmărind Fig. 6.7 se poate trage concluzia că dacă o latură aparţine la două elemente atunci ea nu se desenează.

Procedura poate fi generalizată pentru desenarea feţelor unui corp spaţial discretizat în elemente de volum (brick-uri sau tetraedre cum se poate observa în Fig. 6.8.a) dar se desenează şi feţele care nu se văd (vezi Fig. 6.8.b), pentru a înlătura acest impediment algoritmul trebuie combinat cu un algoritm de ascundere a liniilor.

Algoritm de ascundere a liniilor

Structurile discretizate desenate complet (toate elementele) complică foarte mult desenul dacă elementele finite sunt de tip SHELL sau BRICK, vezi Fig. 6.8.a. Pentru a distinge parţi din structura desenată se recurge la desenarea liniilor care se văd din reţeaua discretizării sau pur şi simplu se desenează elementele care se văd (Fig. 6.8.c).

48

Fig. 6.7: Eliminarea liniilor interioare

Fig. 6.8: Reprezentarea discretizării solidelor

Algoritmii de ascundere a liniilor sunt foarte complicaţi dar în MEF se folosesc algoritmi simplificaţi care pentru structuri discretizate corect nu dau rateuri.

Se consideră un element de volum (brick) într-o poziţie oarecare în spaţiu (vezi Fig. 6.9). În poziţia desenată trei feţe sunt vizibile şi trei feţe sunt ascunse. Pentru a desena doar feţele vizibile se apelează la următoarea observaţie: pentru ca o faţă să fie vizibilă trebuie ca proiecţia versorului normalei la suprafaţa feţei pe direcţia de privire să fie pozitivă. Pot apare probleme dacă cele patru noduri ale unei feţe nu sunt coplanare, dar se poate recurge la o mediere a normalei. În general condiţiile de precizie a elementului brick impune existenţa unor

abateri mici de la planeitatea feţelor. Dacă spre exemplu se doreşte verificarea vizibilităţii feţei I J K L, ne limităm la verificarea vizibilităţii planului determinat de I J K şi eventual se verifică coplanaritatea nodului L cu planul determinat de nodurile I J K. Cu cele trei noduri se pot construi doi vectori între IJ şi JK. Normala comună la cei doi vectori este produsul vectorial al celor doi vectori. Trebuie menţionat că înmulţirea vectorială nu este comutativă şi vectorii IJ şi JK trebuie aleşi în concordanţă cu numerotarea elementului brick. Înmulţirea vectorială se va face în sistemul de coordonate ZYXO ′′′ al proiecţiei pe planul normal direcţiei de privire. Conform regulii de îmulţire vectorială se obţine:

′−′′−′′−′′−′′−′′−′

′′′=

IKJKJK

IJIJIJIJK

ZZYYXXZZYYXX

kjin . (6.23)

49

Fig. 6.9: Verificarea feţelor vizibile

Proiecţia normalei la direcţia de privire este produsul scalar între nIJK şi k′ , adică:

)YY)(XX()YY)(XX()k,n( IJJKJKIJIJK′−′′−′−′−′′−′=′ . (6.24)

Din studiul semnului produsului scalar dat de relaţia (6.24) se poate deduce dacă faţa determinată de nodurile I J K este vizibilă sau nu.

În concluzie, o structură formată din mai multe feţe libere (suprafeţe exterioare) poate fi desenată cu liniile care nu se văd ascunse dacă:

-ordinea de desenare a feţelor este “din spate către în faţă”, adică nu în ordinea numerotării elementelor ci în ordinea crescătoare a cotei Z′ corespunzătoare centrelor elementelor sau feţelor suprafeţelor libere;

-feţele se desenează pline, adică nu se vede prin faţă;-pentru elementele de volum se desenează doar feţele care se văd.

Reprezentarea distribuţiilor unor mărimi pe suprafeţele elementelor

Fie modelul discretizat al unei structuri plane cel din Fig. 6.10.a. În urma rezolvării problemei se obţin necunoscutele nodale şi mărimile de interes în nodurile elementelor, să considerăm pentru acest exemplu tensiunile principale 1σ în nodurile modelului discretizat.

a. b.Fig. 6.10: Distribuţie pe model

Este destul de laborios să examinăm o listă a valorilor în toate nodurilor şi apoi să tragem o concluzie. Pentru a evita această muncă de urmărire a rezultatelor de multe ori se recurge la prezentarea rezultatelor sub forma unor reprezentări grafice, topologice (curbe, suprafeţe de nivel constant) diferit colorate (sau haşurate), aşa cum se poate urmări în Fig. 6.10.b.

50

Apare problema haşurării unui patrulater (poligon) cu un număr de haşuri diferite rezultat din valorile globale ale suprafeţei şi valorile nodale ale patrulaterului în ipoteza că întreaga suprafaţă constăîn reprezentarea a Nh haşuri diferite.

Fig. 6.11: Reprezentarea unei distribuţii pe un element patrulater

Exemplu. Patrulaterul din Fig. 6.11.a are valorile nodale egale cu: VI = 5; VJ = 12; VK = 16; VL = 8. Stiind că patrulaterul face parte dintr-o structură în care valorile nodale limită sunt Vmin = 0; Vmax = 20 şi reprezentarea este cu Nh = 10 haşuri diferite în Fig. 6.11.b se prezintă haşurile pe patrulater. Haşurile diferite au pasul

2N

VV

h

minmax =−; ca urmare, dacă se presupune variaţia mărimilor liniară pe element

şi dacă delimitarea zonelor se face doar prin depistarea punctelor de trecere de la o zonă la alta de pe laturile elementului, trebuie să se obţină distibuţia de mai sus.

Algoritmul care poate realiza haşurarea (colorarea) unui poligon (patrulater sau triunghi) în concordanţă cu problema expusă mai sus poate fi rezumat în:

-pentru fiecare interval care corespunde unui tip de haşura (din cele Nh) “se baleiază” laturile poligonului reţinându-se punctele care delimitează zonele de haşură de pe fiecare latură (se includ şi vârfurile patrulaterului dacă e cazul); cu punctele reţinute, (dacă există) se trasează un poligon haşurat corespunzător tipului de haşură căutat.

Cu mici modificări algoritmul de mai sus poate fi adaptat şi la trasarea curbelor de nivel constant. Astfel, dacă se revene la exemplul anterior, curbe de nivel constant ar putea fi cele de 2, 4, 6, 8,...,20 (vezi Fig. 6.12.a). Reprezentarea unor mărimi de nivel constant pentru exemplul din Fig. 6.10.a cu marcarea valorilor este prezentată în Fig. 6.12.b. De regulă reprezentarea curbelor de nivel constant se face cu linii diferit colorate.

51

a. b.Fig. 6.12: Reprezentarea cu linii (curbe) de nivel constant

Algoritmul pentru trasarea curbelor de nivel constant poate fi rezumat în:-pentru fiecare nivel constant se baleiază laturile poligonului reţinându-se

punctele corespunzătoare de pe fiecare latură; cu punctele reţinute, (dacă există) se trasează un poligon corespunzător nivelului căutat.

Reprezentarea convenţională a tensiunilor principale

O altă posibilitate de reprezentare a mărimilor vectoriale, de obicei a tensiunilor principale în centrul elementelor finite este reprezentarea cu săgeţi. Valorile pozitive se reprezintă cu sensul săgeţilor spre exterior iar valorile negative cu sensul săgeţilor spre interiorul punctului de reprezentare. Direcţiile săgeţilor corespund direcţiilor principale ale tensiunilor.

În Fig. 6.13 se prezintă reprezentarea la scară a tensiunilor principale în centrul elementelor patrulatere plane unde tensiunile principale nenule sunt două (în spaţiu există trei tensiuni principale).

Procedura de reprezentare cu săgeţi (duble sau simple) este relativ simplă şi poate fi uşor reprodusă de către cei interesaţi prin folosirea elementelor grafice linii şi scalarea corespunzătoare a mărimilor sageţilor.

52

Fig. 6.13: Reprezentare cu săgeţi a tensiunilor principale

Trasarea deformatei

Foarte utilă ca prima verificare după rezolvarea unei probleme cu MEF a structurilor de rezistenţă este desenarea structurii deformate în urma încărcărilor. De obicei pentru calcule reale deformata coincide practic cu structura nedeformată ca urmare a deplasărilor foarte mici ale structurii.

Pentru vizualizarea structurii deformate (de multe ori suprapusă peste structura nedeformată) se impune reprezentarea deformatei la scara marită a deplasărilor. Dacă coordonatele iniţiale ale nodurilor sunt Xi, Yi, Zi, iar deplasările nodale sunt u, v, w atunci coordonatele structurii deformate sunt:

+=+=+=

wKZZvKYYuKXX

Dif

Dif

Dif

, (6.25)

unde: Xf , Yf , Zf sunt coordonatele deformatei în sistemul global de axe, iar KD este factorul de scală al deplasărilor.

De obicei KD se alege astfel încât deformata (deplasarea maximă a structurii reprezentate) să reprezinte o fracţiune (10-20 %) din dimensiunea maximă a structurii. Ca exemplu se poate urmări Fig. 6.14 unde s-a ales un factor de scală de 10 % din dimensiunea maximă a structurii, în cazul de faţă L.

Dacă se notează cu MaxG dimensiunea maximă a structurii şi cu MaxD deplasarea maximă rezultată din calcul, KD de determina cu relaţia:

MaxDMaxG1,0KD = . (6.25)

Trebuie menţionat că anumite elemente finite (de obicei grinzi şi plăci) au şi grade de libertate rotiri alături de translaţii astfel că pentru a reprezenta corect deformata ar trebui să se ţină seama şi de rotirile calculate. Introducerea rotirilor în trasarea deformatei complică procedurile de scalare a factorului KD precum şi procedurile de desenare a elementelor deformate şi de obicei se renunţă la considerarea lor.

Din punct de vedere grafic reprezentarea deformatei fără considerarea rotirilor este satisfăcătoare dacă numărul elementelor finite este relativ mare (cel putin 4-5 elemente de-a lungul unei bare sau 4-5 elemente shell pe fiecare din cele două dimensiuni ale suprafeţei).

53

Fig. 6.14: Trasarea deformatei

Animaţia imaginilor

Pentru vizualizarea unor fenomene ca moduri proprii de vibraţie, evoluţia deformării în timp, modificarea stărilor de tensiune sub încărcare progresivă şi altele este utilă reprezentarea secvenţială în timp a unor poziţii sau distribuţii. Aceste proceduri se realizează prin reprezentarea succesivă a desenelor şi o scurtă pauză.

Viteza de animaţie depinde de puterea calculatorului şi complexitatea imaginii de desenat. Dacă secvenţa de animaţie este periodică, tehnica de animaţie se poate simplifica prin desenarea şi stocarea (în memorie sau pe hard) a imaginilor ce compun animaţia; reâncărcarea imaginilor gata construite fiind mai rapidă decât reproducerea lor.

Vizualizarea numerotării nodurilor şi a elementelor

Pentru localizarea unor noduri sau elemente sau dacă discretizarea unei structuri este greşită şi se doreşte identificarea elementelor şi a nodurilor este foarte utilă o procedură de notare a numărului nodurilor şi elementelor. De obicei numărul nodului se aplică în imediata vecinătate a lui iar numărul elementului se figurează în centrul elementului finit.

Fig. 6.15: Numerotare şi condiţii la limită

În Fig. 6.15 se poate urmări numerotarea nodurilor şi a elementelor, de unde se poate trage concluzia că nodul 7 are coordonatele greşite iar elementul 11 este declarat greşit.

54

Procedurile de reprezentare a numerotării sunt foarte simple, necesitând cunoştinţe de scriere în mod grafic.

Vizualizarea condiţiilor la limită

Declararea corectă a condiţiilor la limită pentru o problemă este esenţială pentru obţinerea unor rezultate corecte, din acest motiv şi aceste condiţii se pot vizualiza în programele cu elemente finite. În Fig. 6.15 se poate urmării blocarea nodurilor 1, 2 si 3, precum şi forţele de încărcare care acţionează în nodurile 11 şi 21 de valoare 1000.

55

Cap. 7. Sisteme de bare articulate

7.A. Sisteme plane de bare articulate

A. Caracteristici principale ale elementului barǎ articulatǎ planǎ (Fig. 7.1):

β

Fig. 7.1: Elementul bară articulată în plan

1. este generatǎ de douǎ noduri I şi J;2. are douǎ grade de libertate pe nod (GLN = 2), translaţii X şi Y (UX, UY);3. este bară dreaptă, încărcată axial la capete (nu poate prelua încovoiere), cu

proprietăţi uniforme de la un capăt la celălalt;4. elementul poate fi folosit pentru a modela bara articulată plană, arc în plan

etc, (funcţie de aplicaţie);5. matricea de rigiditate în coordonate globale este:

−−−−

−−−−

=

22

22

22

22

e

mlmmlmlmllmlmlmmlmlmllml

LEA]K[ , (7.1)

în care: l = cosβ; m = sinβ.6. uzual elementul este denumit TRUSS, ROD sau LINK.

B. Date legate de element1. aria transversală a secţiunii barei - A.

C. Date despre materialul elementului1. modulul de elasticitate longitudinal - E;(2). coeficientul de dilatare termică - α;(3). densitatea materialului - ρ;(4). acceleraţia gravitaţională - g sau greutatea specifică - γ = ρg.

56

D. Date despre încărcări1. blocaje în direcţia X-BX şi în direcţia Y-BY;2. forţe la noduri în direcţia X-FX şi Y-FY;(3). deplasări impuse pe orice direcţie;(4). temperaturi în noduri sau în elemente;(5). forţe de inerţie generate de câmpul gravitaţional (pentru care sunt

necesare ca date de intrare ρ, g direcţia şi sensul gravitaţiei), sau generată de mişcarea de rotaţie uniformă (pentru care trebuie precizate axa de rotaţie şi viteza unghiulară ω).

E. Rezultatele rezolvării1. deplasările nodale - UX, UY;2. eforturile şi tensiunile în bare: N, SIGMA;(3). reacţiunile din legăturile cu exteriorul.

F. Structura fişierului cu date de intrare1. Date generale NN NE2. Date despre noduriNI BX BY X Y...3. Date despre elementeEI I J A E...4. Date despre încărcări cu forţeNFNIF FX FY...

G. Programul de lucruARTPLw_re.EXE

Acest program a fost conceput astfel încât lucrează cu noţiunile (datele) de la punctele B-E care nu sunt incluse între paranteze. Programul este de fapt implementarea metodei deplasărilor (metoda de calcul exactă) pentru sisteme de bare articulate în plan.

H. Schema logică a programului se prezintă în Fig. 7.2. Sistemul de ecuaţii care se rezolvă este stocat în memoria RAM a calculatorului sub formă de matrice bandă. Dimensiunea maximă a problemelor ce pot fi rezolvate rezultă din numărul

57

necunoscutelor şi lăţimea de bandă. Pentru a rezolva probleme de dimensiuni mari se impune reconsiderarea gestionării resurselor hard (memoria extinsă).

Fig. 7.2: Schema logică a programului ARTPL.EXE

Aplicaţii

ARTP1. Un sistem de susţinere (vezi Fig. 7.3) este format dintr-o sârmă de oţel de diametru φ6 şi o baretă de plastic de secţiune dreptunghiulară 20×15 [mm]

58

articulată în punctul A. Ştiind că sistemul susţine o forţă verticală de 1 kN, modulul de elasticitate al oţelului este EOL=2.105 MPa iar al plasticului Eplastic=1.104 MPa, se cere deplasarea punctului B şi tensiunile din materiale.

Rezolvare

Deoarece legăturile din B şi C pot fi considerate articulaţii (sârma nu preia încovoiere decât dacă este foarte groasă) putem încadra problema în categoria barelor articulate plane.

Se alege sistemul global de axe cu originea în punctul A, unităţile de măsură folosite se aleg [mm] pentru dimensiuni; [N] pentru forţe şi rezultă [mm2] pentru arie, [MPa] pentru tensiuni.

Fişierul cu date de intrare artp1 construit interactiv este:

3 2 1 1 1 0.0000000000E+00 0.0000000000E+00 2 1 1 0.0000000000E+00 3.5000000000E+02 3 0 0 5.0000000000E+02 3.5000000000E+02 1 2 3 2.8260000000E+01 2.0000000000E+05 2 1 3 3.0000000000E+02 1.0000000000E+04 1 3 0.0000000000E+00 -1.0000000000E+03

Atenţie! Fişierul nu trebuie să conţină linii goale nici la începutul fişierului nici între datele intermediare. Pentru separarea datelor în cadrul liniei se foloseşte cel puţin un spaţiu (blanc).

Discretizarea se poate urmări în Fig. 7.4 (imagine reprodusă de pe ecran).

Fig. 7.4: Discretizare ARTP1 Fig. 7.5: Deformata ARTP1

59

Fig. 7.3: Problema ARTP1

Rulând programul se obţine listingul:

NOD BX BY X Y

1 1 1 0.0000000000E+00 0.0000000000E+00 2 1 1 0.0000000000E+00 3.5000000000E+02 3 0 0 5.0000000000E+02 3.5000000000E+02

ELEM I J A E

1 2 3 2.8260000000E+01 2.0000000000E+05 2 1 3 3.0000000000E+02 1.0000000000E+04

NOD FX FY

1 0.0000000000E+00 0.0000000000E+00 2 0.0000000000E+00 0.0000000000E+00 3 0.0000000000E+00 -1.0000000000E+03

NUMAR DE ECUATII NEC= 2SEMIBANDA MATRICII DE RIGIDITATE LB= 2

DEPLASARI NODALE

NOD UX UY

1 0.0000000000E+00 0.0000000000E+00 2 0.0000000000E+00 0.0000000000E+00 3 1.2637751491E -01 -7.9917086714E -01

EFORTURI SI TENSIUNI IN ELEMENTE

ELEM N SIGMA

1 1.4285714286E+03 5.0551005965E+01 2 -1.7437936594E+03 -5.8126455313E+00

60

Interpretarea rezultatelor

Rezultatele se pot citi din listă, nodul B este nodul numărul 3, deci deplasarea lui este 0,126 mm pe orizontală spre dreapta şi 0,799 mm pe verticală în sus (invers sensului axei Y întrucât valoarea este negativă). Tensiunea din bara de oţel, (elementul numărul 1) este întindere de valoare 50,55 MPa iar în bara de plastic (elementul numarul 2) este de compresiune cu 5,81 MPa. Valorile obţinute pentru deplasare sunt foarte mici, ceea ce justifică calculul liniar. Tensiunile obţinute sunt acceptabile. Deformata structurii se prezintă în Fig. 7.5.

Faza de interpretare a rezultatelor este importantă pentru o primă confirmare a rezultatelor. Pentru aplicaţiile care urmează această fază cade în grija celui care rezolvă problemele.

ARTP2. Pentru sistemul de bare articulate din Fig. 7.6 se cere să se determine forţa capabilă Fcap şi deplasarea ei ştiind că barele sunt din oţel cu E=2,1.105 MPa; A=100 mm2; a=0,1 m; σa = 150 MPa (tensiunea admisibilă).

Fig. 7.6: Problema ARTP2 Fig. 7.7: Discretizare ARTP2

RezolvareSe observă ca problema prezintă simetrie geometrică şi de încărcare (întrucât

reacţiunile verticale din C şi D sunt egale iar reacţiunea orizontală din reazemul C este nulă), deci putem adopta rezolvarea unui model pe jumătate din structură. Forţa F se împarte egal pe cele două jumătăţi, ca şi aria barei din axa de simetrie. Stiind că

relaţia dintre tensiune şi efort este liniară (ANσ = ), şi eforturile din bare sunt funcţie

de F, se adoptă iniţial o valoare oarecare pentru F (spre exemplu F=1 N) şi din tensiunile maxime corespunzătoare acestei forţe se poate determina forţa capabilă funcţie de tensiunea admisibilă.

Discretizarea cu condiţiile la limită se poate urmări în Fig. 7.7 (sau pe ecranul monitorului dacă se ruleaza fişierul artp2).

Fişierul cu datele de intrare este:

61

3 3 1 1 0 0.00 100 2 1 0 0.00 200 3 0 1 200 0.00 1 1 2 100 2.1E5 2 2 3 100 2.1E5 3 1 3 100 2.1E5 1 1 0.00 -0.50

Rezultatele rulării sunt:

DEPLASARI NODALE

NOD UX UY

1 0.0000000000E+00 -9.0018468776E-05 2 0.0000000000E+00 -8.5256564014E-05 3 5.8319162825E -05 0.0000000000E+00

EFORTURI şi TENSIUNI IN ELEMENTE

ELEM N SIGMA

1 1.0000000000E+00 1.0000000000E-02 2 -1.4142135624E+00 -1.4142135624E-02 3 1.1180339888E+00 1.1180339888E-02

Tensiunea maximă (în valoare absolută) se atinge în bara 2 şi este 2

1F|max 104142,1σ −= ⋅= MPa. Dacă forţa creşte tensiunea maximă în această bară

poate atinge σa, deci forţa capabilă poate creşte de 1F|max

a

σσ

= ori, deci Fcap=

2104142,1150

−⋅=10607 N.

Deplasarea pe verticală a nodului 1 este -9,001846.10-5 pentru F=1, pentru Fcap deplasarea va fi UY(1)⋅Fcap= -0,954 mm pe verticală şi UX(3)⋅Fcap= 0,618 mm pe orizontală.TEMĂ: Trataţi problema fără a ţine seama de simetrie pentru a verifica rezultatele de mai sus.

62

ARTP3. Un cadru dreptunghiular cu diagonale format din bare articulate este solicitat ca în figura 7.8. Ştiind că barele sunt din oţel cu E=2,1.105 MPa, şi toate au arie A=200 mm2; a=0,5 m; σa=100 MPa şi F=13 kN, se cere să se facă verificarea solicitării în bare şi să se determine deplasarea relativă între punctele A şi C.

Rezolvare

Aşa cum este dată problema deşi în echilibru, structura are “mişcare de solid rigid” şi nu poate fi rezovată decât dacă se impun deplasări (de obicei blocaje) unor noduri ale modelului. În plan numărul gradelor de libertate mecanică sunt trei (două translaţii şi o rotaţie), prin urmare se impune blocarea a minim trei grade de libertate din model astfel încât să nu se modifice problema iniţială. Unele modele pot arăta ca în Fig. 7.9.

Fig. 7.9: Modele pentru problema ARTP3

Modelele a, b, c introduc trei blocaje care asigură înlăturarea mişcării de solid rigid, modificarea aparentă a încărcărilor b, c nu modifică problema întrucât calculând reacţiunile din reazeme, acestea sunt egale cu forţele din încărcare. Modelul d, deşi are trei blocaje conduce la matrice de rigiditate singulară întrucât poate avea mişcare de rotaţie în jurul punctului D (vezi Fig. 7.8). Modelul e modifică problema întrucât impiedică deplasarea relativă între A şi C. Modelul f modifică problema prin introducerea de elemente suplimentare, dar dacă rigidităţile acestor

63

Fig. 7.8: Problema ARTP3

elemente, sunt neglijabile faţă de cele ale barelor reale atunci se poate obţine un rezultat foarte aproape de cel real. Aceasta metodă (“a rigidităţilor adiţionale”) poate fi folosită şi pentru înlăturarea mişcării de mecanism. Pentru problema de mai sus sunt suficiente trei sau chiar două bare în locul celor patru din colţuri. Uneori modificarea rigidităţilor poate duce la obţinerea de rezultate false, deoarece matricea de rigiditate rezultă slab condiţionată.

E posibil ca programul să ruleze şi fără condiţii la limită în deplasări şi uneori se pot obţine rezultate acceptabile datorită faptului ca procedura de rezolvare folosită în program (Gauss), nu face toate verificările necesare rezolvării corecte a unui sistem de ecuaţii.

Dacă se adoptă pentru rezolvare modelul din Fig. 7.9.f, alegând pentru modulul de elasticitate al elementelor suplimentare valoarea E = 1 MPa, iar pentru arie se păstrează A=200 mm2 (se pot modifica E şi A în sensul scăderii valorilor şi L în sensul creşterii), cu discretizarea din Fig. 7.10 fişierul datelor de intrare este:

8 10 1 0 0 0.00E+00 0.00E+00 2 0 0 1.00E+03 0.00E+00 3 0 0 1.00E+03 5.00E+02 4 0 0 0.00E+00 5.00E+02 5 1 1 -2.50E+02 -2.50E+02 6 1 1 1.25E+03 -2.50E+02 7 1 1 1.25E+03 7.50E+02 8 1 1 -2.50E+02 7.50E+02 1 1 2 2.00E+02 2.10E+05 2 2 3 2.00E+02 2.10E+05 3 3 4 2.00E+02 2.10E+05 4 4 1 2.00E+02 2.10E+05 5 1 3 2.00E+02 2.10E+05 6 2 4 2.00E+02 2.10E+05 7 5 1 2.00E+02 1.00E+00 8 6 2 2.00E+02 1.00E+00 9 7 3 2.00E+02 1.00E+0010 8 4 2.00E+02 1.00E+00 4 1 0.00E+00 1.30E+04 2 2.60E+04 0.00E+00 3 0.00E+00 -1.30E+04 4 -2.60E+04 0.00E+00

64

Fig. 7.10: Discretizare ARTP3

Rezultatele rulării sunt:

DEPLASARI NODALE

NOD UX UY

1 3.314931E -01 -3.80460E -01 2 5.336515E -01 4.84683E -01 3 -3.314931E -01 3.80460E -01 4 -5.336515E -01 -4.84683E -01 5 0.000000E+00 0.00000E+00 6 0.000000E+00 0.00000E+00 7 0.000000E+00 0.00000E+00 8 0.000000E+00 0.00000E+00

EFORTURI SI TENSIUNI IN ELEMENTE

ELEM N SIGMA

1 8.490E+03 4.245E+01 2 -8.754E+03 - 4.377E+01 3 8.490E+03 4.245E+01 4 -8.754E+03 -4.377E+01 5 -9.492E+03 -4.746E+01 6 1.957E+04 9.788E+01 7 -1.958E -02 -9.793E -05 8 -1.958E -02 -9.793E -05 9 -1.958E -02 -9.793E -0510 -1.958E -02 -9.793E -05

Deformata structurii se poate urmări în Fig. 7.11, iar reprezentarea tensiunilor pe elemente în Fig. 7.12. Un anumit tip de linie precizează tensiune între valoarea imediat superioară şi inferioară din legenda tensiunilor, spre exemplu bara 3 se încadrează între tensiuni cuprinse între 39,74 şi 54,45 MPa, adică mai precis (din lista tensiunilor) 42,45 MPa. Cea mai mare tensiune în valoare absolută este în bară numărul 6 şi are valoare 97,88 MPa inferioară tensiunii admisibile.

Pentru a afla deplasarea relativă A - C se calculează lungirea barei 5 adică:

65

Fig. 7.11: Deformata ARTP3

δAC = 252,0200101,2

500100085,9492AELN

5

2255 =

⋅⋅+⋅=

⋅⋅

mm sau se poate folosi relaţia de

calcul a deplasării între două noduri:−−−++−−+= 2

JJII2

JJIIIJ )UYYUYY()UXXUXX(δ2

JI2

JI )YY()XX( −+−− , (7.2)care dă acelaşi rezultat.

Fig. 7.12: Distribuţia tensiunilor ARTP3

ARTP4. O grindă cu zăbrele se sprijină pe trei arcuri identice ca în Fig. 7.13. Cunoscând forţa F = 5 kN, aria secţiunilor barelor A = 500 mm2; E = 2.105 MPa; a = 0,3 m, iar pentru arcuri: raza spirei de înfăşurare R = 40 mm; diametrul sârmei d = 10 mm; numărul spirelor i = 12; modulul de elasticitate transversal G = 8,1.104 MPa se cer tensiunile maxime în bare şi în arcuri precum şi săgeata maximă a arcurilor.

Rezolvare

Arcurile spirale după cum se ştie lucrează în principal la răsucire, dar din punct de vedere al rigidităţii cu care participă la structură poate fi considerat o bară. Dacă ţinem seama de relaţia dintre săgeată şi forţa pentru un arc:

66

Fig. 7.13: Problema ARTP4

arc4

3

arc FGd

iR64f = , (7.3)

şi de relaţia dintre lungire şi forţă pentru o bară de lungime L:

NEALLΔ = , (7.4)

rezultă că între rigidităţile unui arc şi ale unei bare există relaţia:

iR64Gd

LEA

3

4

= . (7.5)

Dacă alegem pentru bara echivalentă arcului E=2.105 MPa şi L = a = 300 mm rezultă pentru secţiunea barei care modelează arcul (din relaţia 7.5) aria:

235

44

3

4

1047192,2124010264

30010101,8iER64

LGdA −⋅=⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅== mm2 .

Discretizarea se prezintă în Fig. 7.14. Blocajul nodului 2 pe orizontală se introduce pentru înlăturarea posibilităţii de pendulare a cadrului (mişcare de mecanism).

Fişierul cu date de intrare artp4 este:

11 16 1 1 1 0.0000000000E+00 0.0000000000E+00 2 1 0 0.0000000000E+00 3.0000000000E+02 3 0 0 3.0000000000E+02 3.0000000000E+02 4 0 0 3.0000000000E+02 5.1000000000E+02 5 1 1 6.0000000000E+02 0.0000000000E+00 6 0 0 6.0000000000E+02 3.0000000000E+02 7 0 0 6.0000000000E+02 5.1000000000E+02 8 0 0 9.0000000000E+02 3.0000000000E+02 9 0 0 9.0000000000E+02 5.1000000000E+02 10 1 1 1.2000000000E+03 0.0000000000E+00 11 0 0 1.2000000000E+03 3.0000000000E+02 1 2 3 5.0000000000E+02 2.0000000000E+05 2 2 4 5.0000000000E+02 2.0000000000E+05 3 3 4 5.0000000000E+02 2.0000000000E+05 4 3 6 5.0000000000E+02 2.0000000000E+05 5 3 7 5.0000000000E+02 2.0000000000E+05

67

Fig. 7.14: Discretizare - ARTP4

6 4 7 5.0000000000E+02 2.0000000000E+05 7 6 7 5.0000000000E+02 2.0000000000E+05 8 6 8 5.0000000000E+02 2.0000000000E+05 9 7 8 5.0000000000E+02 2.0000000000E+05 10 7 9 5.0000000000E+02 2.0000000000E+05 11 8 9 5.0000000000E+02 2.0000000000E+05 12 8 11 5.0000000000E+02 2.0000000000E+05 13 9 11 5.0000000000E+02 2.0000000000E+05 14 1 2 2.4719238000E -02 2.0000000000E+05 15 5 6 2.4719238000E -02 2.0000000000E+05 16 10 11 2.4719238000E -02 2.0000000000E+05 1 4 0.0000000000E+00 -5.0000000000E+03

Rezultatele rulării sunt:

DEPLASARI NODALE

NOD UX UY

1 0.0000000000E+00 0.0000000000E+00 2 0.0000000000E+00 -1.7697610689E+02 3 1.2499184595E -02 -1.3911275317E+02 4 -2.6524018051E+01 -1.3911712857E+02 5 0.0000000000E+00 0.0000000000E+00 6 1.6068982437E -02 -1.0115888525E+02 7 -2.6536517235E+01 -1.0116238605E+02 8 1.9638780288E -02 -6.3220382696E+01 9 -2.6538302134E+01 -6.3219508095E+0110 0.0000000000E+00 0.0000000000E+0011 2.1423679168E -02 -2.5272405030E+01

EFORTURI şi TENSIUNI IN ELEMENTE

ELEM N SIGMA

1 4.1663948650E+03 8.3327897300E+00 2 -5.0857329184E+03 -1.0171465837E+01 3 -2.0835234872E+03 -4.1670469745E+00 4 1.1899326140E+03 2.3798652279E+00

68

5 3.6332351749E+03 7.2664703499E+00 6 -4.1663947729E+03 -8.3327895457E+00 7 -1.6670470636E+03 -3.3340941272E+00 8 1.1899326171E+03 2.3798652342E+00 9 -7.2624892174E+02 -1.4524978435E+00 10 -5.9496625909E+02 -1.1899325182E+00 11 4.1647642363E+02 8.3295284726E-01 12 5.9496629309E+02 1.1899325862E+00 13 -7.2624890507E+02 -1.4524978101E+00 14 -2.9164763376E+03 -1.1798407126E+05 15 -1.6670470402E+03 -6.7439256834E+04 16 -4.1647639651E+02 -1.6848270020E+04

Tensiunea maximă în bare este -10,17 MPa în bara 2. Săgeata maximă a arcului corespunde cu deplasarea pe verticală a nodului 2 şi este 176,97 mm. Tensiunile din barele care modelează arcurile sunt false, pentru a afla tensiunea din arcuri folosim relaţia:

3arc

arc dπRF16τ = . (7.6)

Forţa din arcul 14 (modelat ca bară) este forţa maximă care încarcă un arc, deci tensiunea maximă în acest arc este:

1,59410π

40291616τ 3arc ≅⋅

⋅⋅= MPa.

ARTP5. Să se dimensioneze cu secţiune circulară barele structurii din Fig. 7.15, ştiind că: a = 1 m; E = 7.104 MPa; F=100 kN; σa = 200 MPa, şi să se calculeze deplasarea totală a punctului de aplicaţie al forţei F.

Indicaţie. Se alege iniţial A=1 mm2, Anec

rezultă că trebuie să fie de a

1A|max

σσ = ori mai

mare.

Raspuns: A=161,7 mm2, deci φ14,38 şi φ20,29. În practică se aleg valori rotunjite superior. 588,5285,4586,3UYUXδ 2222

F =+=+= mm.

69

Fig. 7.15: Problema ARTP5

ARTP6. Pentru grinda cu zăbrele (în consolă) din Fig.7.16 se cere distribuţia tensiunilor în elementele structurii şi săgeata maximă a grinzii ştiind că: a = 0,4 m; F=6 kN; toate barele sunt din oţel cu E=2.105 MPa şi au aceeaşi arie a secţiunii A=400 mm2. Numerotaţi diferit nodurile şi constataţi care sunt modificările în rulare şi rezultate.

Răspuns:vmax = -5,069 mm.Pentru distribuţievezi Fig.7.17.

Fig.7.16: Problema ARTP6

Fig.7.17: Distribuţia de tensiuni - ARTP6

70

ARTP7. Grinda cu zăbrele din Fig.7.18 este formată din bare de secţiune circulară φ60. Se cunosc E=2,1.105 MPa; a =250 mm şi σa = 150 MPa. Pentru încărcarea din figură se cere forţa maximă capabilă Fcap de încărcare a grinzii, deplasarea pe orizontală a reazemului din dreapta şi bara cea mai solicitată.

Fig.7.18: Problema ARTP7

Răspuns: Fcap = 159,042 kN; δu= -0,46875 mm.

ARTP8. Structura din Fig.7.19 este formată din bare de oţel (E = 2,1.105

MPa) de secţiune pătrată 20x20 fixate cu bolţuri la capete. Stiind că a = 0,4 m; F = 70 kN si σa = 150 MPa să se verifice barele.

Fig.7.19: Problema ARTP8 Fig.7.20: Problema ARTP9

Indicaţii: Modelul se poate face pe jumătate din structura, dar pentru înlăturarea mişcării de mecanism (aparută prin tăierea barelor centrale) se mai adaugă două elemente cu rigidităţi neglijabile. Este utilă tratarea în paralel a celor două modele, cu întreaga structură şi pe jumătate.

Răspuns: σmax = 134 MPa.

ARTP9. Să se determine forţa capabilă la care rezistă structura din Fig.7.20, şi deplasarea relativă între punctele de aplicaţie ale forţelor (pentru forţa capabilă) ştiind că: A = 250 mm2; E = 2,1.105 MPa; a = 0,2 m; σa =100 MPa. Ce se întâmplă dacă lipsesc cele două reazeme ?

71

Indicaţii: Modelul se poate alege pe un sfert de structură întrucât structura are două axe de simetrie.

Răspuns: Fcap = 77936 N; δ = 0,7569 mm.

ARTP10. Pentru podul din Fig.7.21 se cunosc E=2,1.105 MPa; a = 1 m; F=120 kN şi σa =150 MPa. Să se dimensioneze barele podului ştiind că barele de la talpa inferioară podului au aria de 4 ori mai mare decât barele care formează talpa superioară, stâlpii din dreptul reazemelor au secţiunea de 6 ori mai mare decât barele tălpii superioare, iar restul stâlpilor au aria jumătate din cea a stâpilor din dreptul reazemelor, toate diagonalele au aria dublă tălpii superioare.

Să se studieze distribuţia de tensiuni şi să se precizeze dacă se poate neglija greutatea proprie (ρ = 7800 Kg/m3, g = 10 m/s2). Care este săgeata podului sub încărcarea dată ?

Fig.7.21: Problema ARTP10

Indicaţie: Se lucrează pe jumătate şi se alege iniţial un parametru A = 1 mm2 (aria tălpii superioare).

72

Fig.7.22: Distribuţia de tensiuni - ARTP10

Răspuns: A=1600 mm2. Greutatea unei bare de secţiune 4A din talpa inferioară este: 4,998107800121016004gρa2A4G 6 =⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅= − N. Comparativ cu forţa F (de încărcare într-un nod), forţa rezultată din greutatea proprie reprezintă 0,83%. Pentru estimarea corectă ar trebui determinată greutatea întregului pod raportată la forţa totală de încărcare, sau determinarea tensiunii şi deformaţiilor cu considerarea greutăţii proprii, oricum greutatea proprie se poate neglija. Distribuţia de tensiuni este prezentată în Fig.7.22.

ARTP11. Stâlpul din Fig.7.23 suportă în vârf o forţa orizontală F=20 kN. Stiind că barele conţinute între cotele (0, 2a] au aria 300 mm2, cele între (2a, 5a] au aria 200 mm2, iar cele două bare de vârf au aria 150 mm2; E=2.105 MPa şi a=0,5 m, să se afle tensiunea maximă în bare şi deplasarea punctului din vârful stâlpului.

73

Fig.7.23: Problema ARTP11 Fig.7.24: Problema ARTP12

Indicaţie: Modelul problemei poate fi dezvoltat pe jumătate din structură, datorită simetriei geometrice şi antisimetriei de încărcare.

Răspuns: σmax = 210,8 MPa, u = 15,25 mm; v = 0.

ARTP12. Să se determine tensiunea maximă pentru structura din figura 7.24. Se cunosc E=2.105 MPa; a = 0,3 m; A=200 mm2; F=10 kN. Ce se intamplă dacă dispare reazemul simplu ?

Răspuns: σmax = 106 MPa. Dacă dispare reazemul simplu problema nu se poate rezolva întrucât devine neliniară (vezi problema ARTP15).

ARTP13. Structura cu bare şi arcuri din Fig.7.25 este formată din bare de secţiune A=25 mm2; modulul lui Young E = 2.105 MPa şi patru arcuri identice cu caracteristicile: R=6 mm; d=2 mm; i = 15 spire; G=8,1.104 MPa.

Cunoscând a=20 mm si F=10 N să se calculeze deplasarea relativă între punctele 1 şi 2 precum şi tensiunea din arcuri.Indicaţie: Arcurile se modelează ca bare (vezi problema ARTP4). Structura fiind repetitivă modelul se poate dezvolta pe o porţiune de bară şi o jumătate de arc (1/16 din structura) ca în Fig.7.26. Lungimea barei care modelează arcul este cunoscută 3a, pentru modulul de elasicitate longitudinal se poate alege valoarea E=2.105 MPa şi rezultă din relaţia (7.5) A=1,875.10-2 mm2.

74

Fig.7.25: Problema ARTP13 Fig.7.26: Model - ARTP13

Răspuns: δ1-2 = 14,4 mm; τarc = 57,3 MPa.

ARTP14. O structură tip macara ca în Fig.7.27, formată din bare de oţel (E=2.105

MPa) de secţiuni egale A=4000 mm2, trebuie să reziste la solicitarea unei forţe înclinate F. Stiind că a = 1 m şi σa = 150 MPa, să se afle forţa capabilă de încărcare fără a de depăşi tensiunea admisibilă şi să se calculeze deplasarea totală a punctului unde este aplicată forţa.

Răspuns: Fcap = 161 kN.=−+= 22 )78,59(52,36δ 70,05 mm.

ARTP15. Sistemul de două bare articulate prezentat în Fig.7.28, încărcat cu forţa F perpendiculară pe bare nu poate fi rezolvat cu acest program. Să se explice de ce? Dacă unghiul dintre cele două bare este foarte mic (aproximativ un grad) problema se poate rezolva ! Interpretaţi rezultatul.

Fig.7.28: Problema ARTP15

Răspuns: Calculul fiind liniar echilibrul nodului central trebuie să poată fi scris în poziţia iniţială (nedeformată) ceea ce este imposibil. Problema este neliniară. Deşi pentru unghiuri mici programul poate fi rulat, rezultatele sunt false (deplasare exagerată pentru forţă F mică).

7.B. Sisteme 3D de bare articulate

75

Fig.7.27: Problema ARTP14

Problemele spaţiale ale barelor articulate diferă puţin faţă de cele plane. In continuare se face o scurtă introducere pentru rezolvarea structurilor în trei dimensiuni formate din bare articulate la capete. Din punct de vedere fizic articulaţiile sunt sferice (cele ale barelor articulate în plan sunt cilindrice).Faţă de cele enumerate la barele plane modificări apar la:

-GLN = 3 (UX, UY, UZ);-matricea de rigiditate în coordonate globale este:

−

−=

00

00e

kkkk

LEA]K[ , (7.7)

unde:

=

2

2

2

0

nnmnlmnmmllnlml

k ; l, m, n -cosinusurile directoare ale axei barei;

-fişierul cu date de intrare se completează cu BZ, Z şi FZ;-programul de lucru este ARTSPw_re.EXE.

Aplicaţii

ARTS1. Patru bare identice, din oţel cu E=2.105 MPa, şi aria secţiunii A=100 mm2 sunt fixate ca în Fig.7.29. Stiind că a =200 mm si F=50 kN, să se afle tensiunile din bare şi deplasarea punctului de aplicare al forţei.

Rezolvare

Alegând sistemul de axe ca cel din figura, dacă modelul problemei include toată structura, fişierul cu date de intrare arts1 este:

5 4 1 1 1 1 200.0000 200.0000 0.0000 2 1 1 1 -200.0000 200.0000 0.0000 3 1 1 1 -200.0000 -200.0000 0.0000 4 1 1 1 200.0000 -200.0000 0.0000 5 0 0 0 0.0000 0.0000 300.0000

76

Fig.7.29. Problema ARTS1

1 1 5 100.000000 200000.0000 2 2 5 100.000000 200000.0000 3 3 5 100.000000 200000.0000 4 4 5 100.000000 200000.0000 1 5 0.00 0.00 -50000.00

Discretizarea se poate urmări în Fig.7.30, iar deformata în Fig.7.31.

Deoarece reprezentarea în spaţiu este mai dificilă, s-a adoptat pentru reprezentarea blocajelor şi forţelor coduri numerice, astfel codul 123 pentru blocaje semnifică blocaj la toate gradele de libertate (vezi cap. 6); forţele de încărcare se listeză pe desen ca valori rotunjite. Cele două desene de mai sus (discretizarea şi deformata) sunt privite în spaţiu din puncte diferite.

Rulând programul se obţine lista datelor de intrare şi rezultatul rulării:

NOD BX BY BZ X Y Z

1 1 1 1 200.0000 200.0000 0.0000 2 1 1 1 -200.0000 200.0000 0.0000 3 1 1 1 -200.0000 -200.0000 0.0000 4 1 1 1 200.0000 -200.0000 0.0000 5 0 0 0 0.0000 0.0000 300.0000

ELEM I J A E

1 1 5 100.0000 200000.0000

77

Fig.7.31. Deformata ARTS1 Fig.7.30. Discretizare ARTS1

2 2 5 100.0000 200000.0000 3 3 5 100.0000 200000.0000 4 4 5 100.0000 200000.0000

NOD FX FY FZ

1 0.0000 0.0000 0.0000 2 0.0000 0.0000 0.0000 3 0.0000 0.0000 0.0000 4 0.0000 0.0000 0.0000 5 0.0000 0.0000 -50000.0000

NUMARUL ECUATIILOR NEC = 3SEMILATIMEA DE BANDA LB = 3

DEPLASARI NODALE

NOD UX UY UZ 1 0.00000000 0.00000000 0.00000000 2 0.00000000 0.00000000 0.00000000 3 0.00000000 0.00000000 0.00000000 4 0.00000000 0.00000000 0.00000000 5 0.00000000 0.00000000 -0.48675553

EFORTURI SI TENSIUNI IN ELEMENTE

ELEM N SIGMA

1 -17179.60677300 -171.79606773 2 -17179.60677300 -171.79606773 3 -17179.60677300 -171.79606773 4 -17179.60677300 -171.79606773Deci tensiunile în bare sunt egale (de compresiune), iar deplasarea forţei datorită simetriei este doar de-a lungul axei Z (-0,4867 mm).

TEMA: Să se trateze problema pe sfert folosind simetria.

ARTS2. Sistemul de şase bare identice din Fig.7.32 este solicitat cu o forţa F a cărei componente pe cele trei axe sunt: FX=4 kN;

78

Fig.7.32: Problema ARTS2

FY=8kN; FZ=12 kN. Stiind că aria secţiunii barelor este A=300 mm2; modulul de elasticitate longitudinal E=2.105 MPa; lungimea barelor L = 500 mm; să se afle tensiunile din bare şi deplasarea punctului de aplicaţie al forţei. Cum se poate folosi simetria geometrică pentru reducerea modelului ?Răspuns: Modelul poate fi redus dacă folosim suprapunerea de efecte şi considerăm ca cele trei componente ale forţei F actionează pe rând. Deplasările şi tensiunile sunt (pentru numerotarea din figură):

NOD UX UY UZ

7 0.01666667 0.03333333 0.05000000

ELEM N SIGMA

1 -2000.00000000 -6.66666667 2 -4000.00000000 -13.33333333 3 2000.00000000 6.66666667 4 4000.00000000 13.33333333 5 6000.00000000 20.00000000 6 -6000.00000000 -20.00000000

ARTS3∗. Se consideră o grindă cu zăbrele (din ţevi de oţel E=2·1011 Pa) simplu rezemată (Fig.7.33.a), de deschidere totală 4L=3 m, care susţine o sarcină verticală centrală F=10 kN. Lăţimea maximă a grinzii este B=0,3 m, iar înălţimile sunt 1H =0,15 m, 2H =0,25 m, 1H =0,35 m. Pe fiecare faţă patrulateră a grinzii, se introduce câte o diagonală, pentru rigidizarea structurii. Dacă nodurile de îmbinare fizică se consideră articulaţii sferice, structura rezultă interior static determinată. Deoarece rezemarea (Fig.7.33.b) în planul XOY este în cele patru puncte de colţ, rezultă că structura este exterior odată static nedeterminată. Restul de blocaje au fost introduse pentru preluarea mişcării de corp rigid. Modul în care se introduc diagonalele pe fiecare faţă, generează un număr foarte mare de configuraţii geometrice. Se au în vedere patru configuraţii particulare reprezentative (Fig.7.34). Cele 12 diagonale se dispun ca în tabelul 7.2 în care s-a folosit numerotarea nodurilor fizice din Fig.7.34, în care s-au reprezentat cele patru configuraţii.

Se cere să se precizeze care dintre variantele de montare a diagonalelor din Fig.7.34 este mai eficientă din punctul de vedere al tensiunilor maxime în bare şi

Problemă preluată şi adaptată din raportul de cercetare al contactului CNCSIS 487/2003 condus de prof. dr.ing. Adriana Sandu, Catedra de Rezistenţa materialelor, UPB

79

al săgeţii maxime a grinzii. Se precizează că există cinci categorii (seturi) de ţevi de diametrul D şi grosimea pereţilor t (vezi Fig.7.33.b) prezentate în Tabelul 7.1.

Fig.7.33.a: Parametrii geometrici de gabarit (reprezentare fără diagonale) pentru problema ARTS3

Fig.7.33.b: Seturile de proprietăţi ale secţiunilor, rezemarea şi încărcarea structurii (reprezentare fără diagonale). Diagonalele se consideră din setul 5

Tabelul 7.1: Caracteristicile secţiunilor pentru problema ARTS3Setul 1 2 3 4 5

D [mm] 20 30 32 35 25t [mm] 2 2 2 2 2,5

80

a. Configuraţia 1 (diagonale paralele) b. Configuraţia 2 (diagonale în zig-zag)

c. Configuraţia 3 (diagonale dispuse simetric în Λ faţă de centrul grinzii)

d. Configuraţia 4 (diagonale dispuse simetric în V faţă de centrul grinzii )

Fig.7.34: Dispunerea diagonalelor în mai multe variante

Tabelul 7.2: Configuraţiile de aranjare a diagonalelor din Fig.7.34Diagonala Configuraţia 1 Configuraţia 2 Configuraţia 3 Configuraţia 4

Nod I NodJ Nod I NodJ Nod I NodJ Nod I NodJ1 2 3 2 3 2 3 2 32 4 5 3 6 3 6 3 63 6 7 6 7 6 7 6 74 8 9 7 10 7 10 7 105 1 12 1 12 1 12 3 116 3 13 12 5 3 13 5 127 5 14 5 14 7 13 5 148 7 15 14 9 9 14 7 159 4 11 4 11 2 12 4 11

10 6 12 13 4 13 4 6 1211 8 13 8 13 8 13 6 1412 10 14 15 8 10 14 8 15

81

Cap. 8. Sisteme de bare şi grinzi sudate

8.A. Cadre plane

A. Caracteristici principale ale elementului grindă plană 2D (Fig. 8.1):1. este generat de două noduri I şi J;2. are trei grade de libertate pe nod (GLN = 3), deplasări pe direcţia X şi Y

(UX, UY) şi rotire în jurul axei Z (RZ);3. reprezintă o bară dreaptă, cu proprietăţi uniforme de la un capăt la celalalt,

încărcată cu forţe axiale, tăietoare şi momente încovoietoare la capete. Elementul nu modelează corect barele cu pereţi subţiri iar secţiunea este simetrică faţă de axa y (sau axele y şi z sunt axe principale);

β σ

Fig. 8.1: Elementul grindă plană (BEAM 2D)

4. elementul poate fi folosit pentru modelarea grinzilor plane, a barelor articulate plane, arcuri lamelare etc;

5. matricea de rigiditate în coordonate globale este:]T][k[]T[]K[ eTe = , (8.1)

în care:

−−−

−=

22

z

2

z

2

2

z

2

3ze

L4L60L2L60120L6120

IAL00

IAL

L4L60SIM120

IAL

LEI]k[ ;

82

=

]λ[00]λ[

]T[ ;

−=

1000lm0ml

]λ[ ;

şi l = cosβ; m = cos( β2π − ) = sinβ.

6. uzual elementul este denumit BEAM 2D.

B. Date legate de element1. aria transversală a secţiunii barei - A;2. momentul de inerţie al secţiunii faţă de axa z a sistemului de axe local - Iz;(3). înălţimea - H (sau H1 şi H2) pentru calculul tensiunilor;(4). coeficientul Fiz al efectului forţei tăietoare asupra deplasării, dacă acesta

nu se neglijează.

C. Date despre materialul elementului1. modulul de elasticitate longitudinal - E;(2). coeficientul de dilatare termică - α;(3). densitatea materialului - ρ;(4). acceleraţia gravitaţională g sau greutatea specifică - γ = ρg.

D. Date despre încărcări1. blocaje la translaţie în direcţia X - BX, Y - BY şi la rotire Z - BZZ;2. forţe la noduri în direcţia X - FX, Y - FY şi moment pe direcţia Z - MZ;(3). deplasări şi rotiri impuse pe orice direcţie;(4). temperaturi în noduri sau pe elemente, se pot declara temperaturi diferite

pe feţele y = -H2 şi y = +H1;(5). forţe de inerţie generate de câmpul gravitaţional (pentru care sunt

necesare ca date de intrare ρ, g direcţia şi sensul gravitaţiei), sau generată de mişcarea de rotaţie uniformă (pentru care trebuie precizate axa de rotaţie şi viteza unghiulară ω).

(6). presiuni pe element (declarate ca forţe distribuite liniar pe porţiuni din lungimea barei). Aceste forţe de pe element se reduc la nodurile elementului prin forţe şi momente “echivalente”. Două cazuri mai des întâlnite de reducere se prezintă în Fig. 8.2. Se observă că forţa distribuită se reduce la noduri ca forţă concentrată dar şi ca moment concentrat datorită echivalării în concordanţă cu principiile MEF.

E. Rezultatele analizei1. deplasările nodale DX, DY şi rotirea RZ;

83

2. eforturile din bare: N, T, M, care sunt pozitive dacă semnul lor în nodul J (faţa pozitivă) este plus sau minus în nodul I (faţa negativă);

Fig. 8.2: Echivalarea nodală a forţelor distibuite pe elementul BEAM 2D

(3). tensiunile în bare, calculate la noduri cu relaţiile:

=

−=+=

ATτ

σσσσσσ

iNmin

iNmax

; (8.2)

unde: ANσN = şi 21

Zi H,Hmax

IMσ = ;

(4). reacţiunile din legăturile cu exteriorul.

F. Structura fişierului cu date de intrare1. Date generale despre discretizareNN NE2. Date despre materialeNMATMATI E...3. Date despre proprietăţile secţiunilorNSECTSECTI A Iz...4. Date despre noduriNI BX BY BZZ X Y...5. Date despre elementeEI I J MAT SECT...6. Date despre încărcări cu forţe şi momente

84

NFNIF FX FY MZ...

G. Programul de lucruCADPLw_re.EXE

Acest program a fost conceput astfel încăt lucrează cu noţiunile (datele) de la punctele B-E care nu sunt incluse între paranteze. Programul este de fapt implementarea metodei deplasărilor (metoda de calcul exactă) pentru sisteme de cadre plane ale căror bare sunt îmbinate rigid (sudate) între ele.

H. Schema logică a programului coincide cu cea prezentată în Fig. 7.2. Mici modificări apar la calculul matricei de rigiditate conform relaţiei (8.1).

Aplicaţii

CADP1. Un stâlp din oţel (E=2.105 MPa) de secţiune inelară cu diametrul exterior D =100 mm şi cel interior d = 80 mm, este ancorat prin intermediul unei brăţări cu o sârmă de cupru (E=1,2.105 MPa) de diametru φ10, cum se poate urmări în Fig. 8.3. Să se determine tensiunile σ maxime, în stâlp şi sârmă, dacă F=2 kN, şi să se precizeze cu cât se deplasează vârful stâlpului.

Fig. 8.3: Problema CADP1 Fig. 8.4: Discretizare - CADP1

Rezolvare

Problema se poate modela în plan cu bare legate rigid între ele chiar dacă sârma de cupru se fixează de stâlp printr-un ochi şi lucrează numai la întindere (se poate considera rigiditatea la încovoiere a sârmei nulă). Deoarece stâlpul şi sârma au secţiuni diferite şi sunt din materiale diferite se impune declararea a două tipuri de materiale şi două tipuri de secţiuni. Relaţiile de calcul ale proprietăţilor geometrice ale secţiunilor se dau în tabelul 8.3. Discretizarea minim necesară este prezentată în Fig. 8.4. Fişierul cu date de intrare cadp1 este:

85

4 3 2 1.2000000E+05 2.0000000E+05 2 7.8539800E+01 0.0000000E+00 2.8274300E+03 2.8981192E+06 1 1 1 1 0.00000E+00 0.00000E+00 2 1 1 1 2.00000E+03 0.00000E+00 3 0 0 0 2.00000E+03 3.00000E+03 4 0 0 0 2.00000E+03 4.50000E+03 1 1 3 1 1 2 2 3 2 2 3 3 4 2 2 1 4 2.00000E+03 0.00000E+00 0.00000E+00

Blocarea la rotire a nodului 1 este necesară deoarece neconsiderarea proprietăţilor de preluare a încovoierii (Iz = 0 pentru elementul 1) ar produce matricea de rigiditate redusă singulară.

În urma rulării programului se obţine listingul:

DATE DESPRE MATERIALEMAT E 1 1.2000000E+05 2 2.0000000E+05DATE DESPRE SECTIUNISECT A Iz 1 7.8539800E+01 0.0000000E+00 2 2.8274300E+03 2.8981192E+06NOD BX BY BZZ X Y 1 1 1 1 0.0000 0.0000 2 1 1 1 2000.0000 0.0000 3 0 0 0 2000.0000 3000.0000 4 0 0 0 2000.0000 4500.0000ELEM I J MAT SECT 1 1 3 1 1 2 2 3 2 2

86

3 3 4 2 2

NOD FX FY MZ 1 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 2 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 3 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 4 2.0000E+03 0.0000E+00 0.0000E+00NUMARUL ECUATIILOR NEC = 6SEMIBANDA MATRICII DE RIGIDITATE LB = 6DEPLASARI NODALENOD DX DY RZ 1 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 2 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 3 4.0648E+00 -2.5769E-02 -5.9142E-03 4 1.6818E+01 -2.5769E-02 -9.7961E-03EFORTURI IN BARE ELEMENTUL 1 NOD 1 NOD 3N -5.8377769E+03 5.8377769E+03T 0.0000000E+00 0.0000000E+00M 0.0000000E+00 0.0000000E+00 ELEMENTUL 2 NOD 2 NOD 3N 4.8573240E+03 -4.8573240E+03T -1.2382160E+03 1.2382160E+03M -7.1464793E+05 -3.0000000E+06 ELEMENTUL 3 NOD 3 NOD 4N -1.4901161E-08 1.4901161E-08T 2.0000000E+03 -2.0000000E+03M 3.0000000E+06 -1.5258789E-05

Se observă că deplasarea vârfului stâlpului corespunde deplasării nodului 4 şi este u = 16,81 mm; v = -2,57.10-2 mm şi ϕ = -9,79.10-3 rad.

Trasând diagramele de eforturi (vezi Fig.8.5), dar şi din listingul de mai sus se observă ca momentul maxim absolut în stâlp este 3.106 Nmm în nodul 3 pe stâlp în care există şi forţa axiala N2 = -4857,3 N, deci tensiunea maximă şi minimă în stâlp conform relaţiilor (8.2) este:

87

=−+−= 502,2898119

10.34,28273,4857σ

6

max 50,04 MPa;

=−−−= 502,2898119

10.34,28273,4857σ

6

min -53,48 MPa.

Tensiunea din sârmă de cupru este:

==54,78

8,5837σCu 74,33 MPa.

Lipsa ancorei ar produce în stâlp tensiunea 2,155σmax = MPa, prezenţa ancorei reduce tensiunnea de 2,9 ori.

Fig. 8.5: Diagrame de eforturi - CADP1

TEMĂ: Să se rezolve problema considerând sârma de cupru fixată rigid de stâlp. Comparaţi rezultatele.

CADP2. Intr-o grindă formată din două profiluri U12 este fixat un scripete prin intermediul căruia se ridică sarcina F=30 kN conform Fig. 8.6. Se cunosc a=0,8 m; b=0,4 m; E=2.105 MPa şi diametrul de fixare al a scripetelui d=60 mm. Să se afle tensiunea maximă în secţiunea periculoasă a grinzii şi deplasarea axului scripetelui.

Fig. 8.6: Problema CADP2 Fig. 8.7: Deformata - CADP2

88

RezolvareProblema este foarte simplă şi poate fi rezolvată cu usurinţă folosind

cunoştinţe de bază ale rezistenţei materialelor. Scopul rezovării însa, îl constituie modelarea cu elemente finite. Întrucât nu interesează starea de tensiuni din scripete, modelul se axează pe studiul grinzii, ca urmare forţele din scripete se transmit la grindă prin intermediul axului. Pentru modelarea cu elemente finite a grinzii se neglijează gaura de fixare a scripetelui în calculul de rigiditate, dar se revine pentru determinarea tensiunii maxime.

Pentru profile STAS caracteristicile geometrice ale secţiunilor se precizează în diverse tabele din cărţi de specialitate [7], [17]. Pentru profilul U12 dintr-un astfel de tabel s-a extras: A = 17 cm2 ; Iz = 364 cm4, .precum şi dimensiunile din Fig. 8.6. Deoarece sunt două profile aria şi momentul de inerţie al elementelor finite se dublează.

Fişierul datelor de intrare cadp2 este:3 2 1 2.0000000E+05 1 3.4000000E+03 7.2800000E+06 1 1 1 0 0.00000E+00 0.00000E+00 2 0 0 0 8.00000E+02 0.00000E+00 3 0 1 0 1.20000E+03 0.00000E+00 1 1 2 1 1 2 2 3 1 1 1 2 3.00000E+04 -3.00000E+04 0.00000E+00

Rulând fişierul de mai sus se obţine:DEPLASARI NODALENOD DX DY RZ 1 0.0000E+00 0.0000E+00 -1.4652E -03 2 3.5294E -02 -5.8608E -01 7.3260E -04 3 3.5294E -02 0.0000E+00 1.8315E -03EFORTURI IN BARE ELEMENTUL 1 NOD 1 NOD 2N -3.0000000E+04 3.0000000E+04T 1.0000000E+04 -1.0000000E+04M 7.6293945E -06 8.0000000E+06 ELEMENTUL 2

89

NOD 2 NOD 3N 0.0000000E+00 0.0000000E+00T -2.0000000E+04 2.0000000E+04M -8.0000000E+06 -3.0517578E -05

Deplasarea nodului 2, adică corespunzătoare axului scripetelui este 0,586 mm pe verticală în jos şi 0,035 mm pe orizontală spre dreapta. Rezultatele obţinute sunt în mm întrucât toate datele de intrare au fost date în unităţi de măsură generate de [N] şi [mm]. Dacă se figurează deformata (vezi Fig.8.7) se observă o neconcordanţă cu realitatea întrucât deformata este trasată tinând cont doar de deplasările nodale (nu şi de rotiri). Diagramele de eforturi se prezintă în Fig.8.8, de unde se trage concluzia că secţiunea periculoasă este cea din stânga nodului 2 unde N=30 kN şi Mmax=8 kNm. Fig. 8.8: Diagramele de eforturi - CADP2

Deoarece secţiunea din dreptul nodului 2 este slăbită de gaura scripetelui în calculul tensiunilor intervine aria A′ şi momentul de inerţie ZI′ :

2560)6071700(2A =⋅−=′ mm2

63

4Z 10.028,7

1260710.3642I =

⋅−=′ m4

Tensiunea maximă conform relaţiei (8.2) este:

806010.028,7

10.82560

10.30σ 6

63

max =+= MPa.

În concluzie problema de mai sus demonstreză că pentru obţinerea unor rezultate corecte, utilizatorul trebuie să intervină pe lângă programul de calcul. Programe de firmă livrează ca date de ieşire şi tensiunile în elemente, dacă însă nu s-ar ţine cont de corecţiile de mai sus, simpla citire a rezultatelor poate conduce la interpretarea greşită a soluţiei problemei.

CADP3. O grindă de lungime L=1,6 m este încărcată cu o sarcină uniform distribuită p

90

Fig. 8.9: Problema CADP3

= 10 N/mm. Echivalând forţa distribuită ca forţe şi momente concentrate la noduri, conform Fig. 8.2a, să se calculeze săgeata şi momentul maxim pentru:

a) grinda în consolă (Fig.8.9.a);b) grinda dublu încastrată (Fig.8.9.b),

folosind discretizări cu 1, 2, 4 şi 8 elemente de lungimi egale. Se dau E=2.105 MPa şi secţiunea dreptunghiulară 100×60 [mm], precum şi valorile exacte ale săgeţilor şi momentelor maxime:

a)z

4

max EI8plv = în capătul liber;

2plM

2

max = în încastrare;

b)z

4

max EI384plv = la mijloc;

12plM

2

max = în încastrare.

RezolvareFişierul datelor pentru grindă în consola (cadp3a1) discretizată cu un element

este:2 1 1 2.0E+05 16.0E+03 1.8E+06 1 1 1 1 0.00E+00 0.00E+00 2 0 0 0 1.60E+03 0.00E+00 1 1 2 1 1 12 0.0E+00 -8.0E+03 2.13333E+06

Diagramele de eforturi se prezintă în Fig. 8.10 iar deformata se prezintă în Fig. 8.11.

Fişierul cu date de intrare pentru grinda în consolă discretizată cu 8 elemente (cadp3a8) este:

9 8 12.0000000E+05 1 6.0000000E+03 1.8000000E+06 1 1 1 1 0.00E+00 0.00E+00 2 0 0 0 2.00E+02 0.00E+00 3 0 0 0 4.00E+02 0.00E+00 4 0 0 0 6.00E+02 0.00E+00 5 0 0 0 8.00E+02 0.00E+00

91

6 0 0 0 1.00E+03 0.00E+00 7 0 0 0 1.20E+03 0.00E+00 8 0 0 0 1.40E+03 0.00E+00 9 0 0 0 1.60E+03 0.00E+00

Fig. 8.10: Diagrame de eforturi CADP3a discretizată cu 1 element

Fig. 8.12: Diagrame de eforturi CADP3 discretizată cu 8 elemente

Fig. 8.11: Deformata CADP3a discretizata cu 1 element

Fig. 8.13: Deformata CADP3a discretizată cu 8 elemente

1 1 2 1 1 2 2 3 1 1 3 3 4 1 1 4 4 5 1 1 5 5 6 1 1 6 6 7 1 1 7 7 8 1 1 8 8 9 1 1 8 2 0.00000E+00 -2.00000E+03 0.00000E+00 3 0.00000E+00 -2.00000E+03 0.00000E+00 4 0.00000E+00 -2.00000E+03 0.00000E+00 5 0.00000E+00 -2.00000E+03 0.00000E+00 6 0.00000E+00 -2.00000E+03 0.00000E+00 7 0.00000E+00 -2.00000E+03 0.00000E+00 8 0.00000E+00 -2.00000E+03 0.00000E+00 9 0.00000E+00 -1.00000E+03 3.33333E+04

92

Diagrama de eforturi pentru această discretizare se poate urmări în Fig. 8.12 iar deformata în Fig. 8.13.

Rezultatele complete pentru problemă se prezintă în tabelul 8.1.

Tabelul 8.1: Rezultatele aplicaţiei CADP3

Nr. elem.Grinda în consolă Grinda dublu încastrată

maxv [mm] maxM [kNm] maxv [mm] maxM [kNm]1 22,756 10,667 - -2 22,756 12,267 0,47407 1,6004 22,756 12,667 0,47407 2,0008 22,756 12,767 0,47407 2,100

Exact 22,756 12,800 0,47407 2,134

În concluzie, pentru barele cu încărcare uniform distribuită, rezultatele deplasărilor nodale sunt corecte în urma echivalării nodale a încărcărilor dar eforturile sunt mai aproape de cele reale pentru discretizări cu mai multe elemente. Dacă într-o structură există grinzi cu forţe distribuite şi nu interesează mărimile de pe acestea, discretizarea acestora în mai multe elemente nu se justifică.

TEMĂ: Discretizaţi grida în elemente de lungimi diferite. Ce se constată ?

CADP4. O grindă rezemată pe un număr foarte mare de reazeme (teoretic infinit) ca în Fig. 8.14 este încărcată cu o forţă F, se ştie că între momentele din dreptul reazemelor există relaţia:

...MM

MM

MM

C

D

B

C

A

B ===

Să se verifice această relaţie pentru şase reazeme, dacă a = 100 mm; E = 2.105 MPa; F=288 N; secţiune pătrată 12×12 [mm] şi să se precizeze valoarea săgeţii maxime.

Fig. 8.14: Problema CADP4 Fig. 8.15: Problema CADP5

Răspuns: 2486,02666,02677,02679,0 ≈≈≈ ; =maxv 0,5183 mm.

93

CADP5. Să se calculeze săgeata şi tensiunea maximă într-un arc parabolic de secţiune dreptunghiulară 100x20 [mm], (vezi Fig. 8.15) în situaţiile: 1) capetele A şi B articulate fix; 2) A-articulaţie fixă, B-reazem simplu, care permite deplasarea pe x. Se cunosc E=2.105 MPa; L = 2 m; h = 50 mm; F = 6 kN. Să se compare rezultatul obţinut pentru punctul 1) cu valorile teoretice pentru arcul parabolic cu Lh << :

FhL

12825Nmax = ; FL

1287Mmax = .

Indicaţie. Din motive de simetrie modelul cu elemente finite se poate dezvolta pe

jumătate din structură. Se descompune arcul parabolic de ecuaţie )xLx(Lh4y 22 −=

în elemente drepte prin considerarea unui număr de circa 10 ÷ 40 noduri pe jumătate din structură.

Răspuns: Pentru discretizarea cu 10 elemente pe jumătate se obţine:1) vmax = 3,5496 mm; =maxσ 129,3 MPa; 2) vmax = 75,038 mm; =maxσ 450,1 MPa;Rezultatele teoretice dau pentru tensiuni: 1) =maxσ 121,87 MPa; 2) =maxσ 450 MPa.

CADP6. Un lanţ cu 100 zale identice preia o sarcină F=250 N. Stiind că o za are forma şi dimensiunile din Fig. 8.16 să se calculeze cât se întinde lanţul şi care este tensiunea maximă în lanţ. Se dau: d = 5 mm; R = 25 mm; E=2.105 MPa.

Indicaţii. Se neglijează deformaţiile de contact şi efectul de curbură asupra tensiunilor şi a deformaţiilor. Porţiunea circulară se modelează cu cel puţin 8 elemente pe °90 . Problema se tratează pe sfert datorită dublei simetrii.

Răspuns: =lΔ 16,28 mm; maxσ =207 MPa.

θ

Fig. 8.16: Problema CADP6 Fig. 8.17: Problema CADP7

94

CADP7. Un arc spiral cu n = 2 spire (Fig. 8.17) este încărcat cu un moment 0M =1200 Nmm în articulaţia din A. Să se afle rotirea secţiunii α din A şi tensiunea

maximă din arc. Se dau b = 20 mm; h = 1,2 mm; R = 30 mm; E = 2.105 MPa.

Indicaţii. Ecuaţia spiralei în coordonate polare este θnπ2

Rr = . Pentru arcurile cu

spire strânse soluţia teoretică a problemei este:

z

0

EIsM

45α = , unde nRπs = ;

20

max bhM12σ =

Răspuns: 454,0αA = rad = °02,26 ; =maxσ 451,8 MPa.Observaţie: Valorile rotirilor (şi ale deplasărilor) fiind mari pentru o tratare corectă se impune folosirea unui program de calcul neliniar.

CADP8. Lăţimea curentă a secţiunii barei curbe din Fig. 8.18 este funcţie de unghiul α. Lăţimea barei în încastrare este B. Ştiind că bara este solicitată cu forţa verticală F, să se determine deplasarea punctului de aplicaţie al forţei. Se cunosc: E = 2.105 MPa; B = 20 mm; R = 50 mm; h = 2,4 mm; F = 100 N.

Indicaţii. Modelul constă într-o succesiune de cel puţin 8 elemente de secţiuni diferite, rezultate din medierea lăţimii între nodurile elementelor. Lăţimea variază

funcţie de α după relaţia απB2b = . Deplasarea pe verticală a punctului de aplicaţie

al forţei se poate determina teoretic cu relaţia max

3

EIFR46,0v ≅ , unde

12BhI

3

max = .

Răspuns: u = 3,1811 mm spre dreapta; v = 2,0794 mm în jos.

α

ω

Fig. 8.18: Problema CADP8 Fig. 8.19: Problema CADP9

95

CADP9. O bielă, considerată bară de secţiune constantă este solicitată datorită forţelor de inerţie ca în Fig.8.19. Dacă L = 400 mm; R = 130 mm; a =5 mm;

E = 2.105 MPa; n = 4375 minrot

; 3mkg7850ρ = să se determine săgeata maximă şi

tensiunea maximă din bielă în poziţia cea mai defavorabilă.

Indicaţii. Încărcarea maximă datorată forţei de inerţie a bielei este în poziţia în care ea face unghi drept cu manivela. Forţa distribuită maximă se determină din relaţia

2max ωARρp = . Problema se reduce deci la calculul unei grinzi simplu rezemate

încărcată cu fortă distribuită liniar. Pentru obţinerea unei soluţii acceptabile biela se împarte în cel puţin 10 elemente. Echivalarea forţelor distribuite la noduri se face

conform Fig. 8.2. Teoretic, momentul maxim este 39LpM

2max

max = şi se atinge la

L577,0x ≅ iar săgeata maximă este z

4max

max EIlp0065,0v = la L52,0x ≅ .

Echivalarea sarcinii distribuite nu asigură continuitatea nici a forţei tăietoare nici a momentului încovoietor decât în anumite cazuri particulare. Diagrama de forţe tăietoare T are variaţie parabolică iar cea de moment M are variaţie cubică. Elementul de grindă plană folosit în programul de lucru este dezvoltat pentru forţa tăietoare constantă şi momentul încovoietor liniar pe element, deci pentru a reproduce cât mai bine diagramele se impune o discretizare cât mai fină. Anumite programe de MEF pot corecta acest neajuns prin considerarea sarcinilor distribuite pe element şi nu a sarcinilor echivalate la noduri.

Răspuns: vmax = 1,24 mm; maxσ =307,1 MPa.

CADP10. O grindă tip profil I (vezi Fig. 8.20) este întărită cu 5 bare de secţiune circulară φ50. Stiind că E=2.105 MPa; a = 1 m; p = 0,4 MPa; t = 40 mm, să se determine săgeata maximă şi tensiunile maxime în grindă şi întărituri. Comparaţi rezultatele cu cele obţinute pentru grinda fără întărituri.

Fig. 8.20: Problema CADP10

96

Răspuns: 392,10vmax = mm; maxσ =120 MPa în grindă; maxσ =173 MPa în barăPentru grinda fără întărituri maxv = 33,28 mm şi maxσ =218,5 MPa.

CADP11. Structura de rezistenţă a unui pod constă în patru grinzi profil I, două arce de rază R=65 m, profil chesonat şi nouă tiranţi de secţiune circulară φ100, toate din otel, conform Fig. 8.21. Se cunosc a = 10 m; p =300 kN/m; E = 2.105 MPa. Să se determine săgeata maximă a podului şi să se precizeze care este semnificaţia ei ştiind că sarcina distribuită p provine de la greutatea betonului, asfaltului şi a încărcării podului cu sarcina utilă maximă (vehicule). Calculaţi tensiunile maxime în talpa podului (profilul I), în arcul podului (talpa superioară) şi în tiranţi.

Fig. 8.21: Problema CADP11

Indicaţii: Se poate lucra cu unităţi de măsură SI şi pe jumătate din structură.

Răspuns: vmax = 136 mm; maxσ = 66 MPa in profilele I; maxσ =161,5 MPa în arce; maxσ =303,4 MPa în tiranţi.

CADP12. Pentru cadrul din Fig. 8.22 se cunosc E=2,1.105 MPa; a =0,5 m şi F=2 kN. Se cere:a) deplasarea punctului k;b) să se traseze diagramele N, T, M;c) să se determine tensiunea maximă.

Răspuns:a) uk = 3,5584 mm; vk = 0.c) maxσ = 76,13 MPa în încastrare. Fig. 8.22: Problema CADP12

97

8.B. Cadre în spaţiu

A. Caracteristici principale ale elementului grindă în spaţiu (Fig. 8.23):1. este generat de trei noduri I, J şi K sau de două noduri I şi J şi un unghi

care precizează direcţiile axelor principale y şi z ale secţiunii (vezi Fig. 8.23.a);2. are şase grade de libertate pe nod (vezi Fig. 8.23.b), GLN = 6, deplasări pe

direcţiile axelor X, Y şi Z (UX, UY, UZ) şi rotiri faţă de aceleaşi axe X, Y, Z (RX, RY, RZ);

3. este bară dreaptă, cu proprietăţi uniforme de la un capăt la celălalt, suportă încărcări cu forţe şi momente pe toate direcţiile (vezi Fig. 8.23.c). Elementul nu modelează corect barele cu pereţi subţiri;

Fig. 8.23: Elementul grindă în spaţiu (BEAM 3D)

4. elementul poate fi folosit pentru modelarea grinzilor în spaţiu şi în plan, a barelor articulate, a arcurilor (ca rigidităţi suplimentare în structuri);

5. matricea de rigiditate în coordonate globale este:]T][k[]T[]K[ eTe = (8.1)

în care:

=

]λ[0000]λ[0000]λ[0000]λ[

]T[ ,

=

zzz

yyy

xxx

nmlnmlnml

]λ[ ,

98

Φ+Φ+

Φ+−

Φ+Φ−

Φ+

Φ+Φ+

Φ+Φ+Φ−

Φ+−

−

Φ+Φ+Φ+−

Φ+Φ+−

Φ+−

−

Φ+Φ+

Φ+

Φ+Φ+

Φ+−

Φ+

Φ+

=

)1(LEI)4(

000)1(L

EI60

)1(LEI)2(

000)1(L

EI60

)1(LEI)4(

0)1(L

EI6000

)1(LEI)2(

0)1(L

EI600

LGI

00000L

GI000

)1(LEI12

000)1(L

EI60

)1(LEI12

00

)1(LEI12

0)1(L

EI6000

)1(LEI12

0L

EA00000

LEA

)1(LEI)4(

000)1(L

EI60

)1(LEI)4(

0)1(L

EI600

SIML

GI000

)1(LEI12

00

)1(LEI12

0L

EA

]k[

y

zy

y2

z

y

zy

y2

z

z

yz

z2

y

z

yz

z2

y

tt

z3

y

z2

y

z3

y

y3

z

y2

z

y3

z

y

zy

y2

z

z

yz

z2

y

t

z3

y

y3

z

e

99

unde: lx, mx, nx -cosinusurile directoare ale axei barei x în raport cu sistemul de referinţă global XYZ s. a. m. d;

6. uzual elementul este denumit BEAM 3D.

Ω

τ τ δ τ

Fig. 8.24: Diverse tipuri de secţiuni şi distribuţiile de tensiuni tangenţiale generate de răsucirea liberă

B. Date legate de element (proprietăţi ale secţiunilor)1. aria transversală a secţiunii barei - A;2. momentul de inerţie al secţiunii faţă de axa y în sistemul local de axe - Iy;3. momentul de inerţie al secţiunii faţă de axa z a sistemului de axe local - Iz;4. momentul de inerţie convenţional la răsucire al secţiunii - It, acest moment

depinde de forma secţiunii astfel: i) pentru secţiuni circulare şi inelare coincide cu momentul de inerţie polar al secţiunii; 2) pentru secţiuni tip cheson (vezi Fig. 8.24.a) se calculează cu relaţia:

∫=

δdsΩ4I

2

t ; (8.4)

în care: Ω este aria marginită de fibra medie a chesonului;ii) pentru secţiuni deschise formate din dreptunghiuri alungite (vezi Fig. 8.24.b) se foloseşte relaţia:

∑=i

3iit tb

31I ; (8.5

iii) pentru secţiuni dreptunghiulare vezi (Fig. 8.24.c)se foloseşte relaţia:3

t bhβI ⋅⋅= ; (8.6în care coeficientul β se poate calcula cu relaţia:

−−= 4

4

h12b1

hb21,0

31β , (8.7)

100

şi este prezentat în tabelul 8.2 pentru câteva valori uzuale;

Tabelul 8.2: Coeficienţi pentru secţiunea dreptunghiularăh/b 1 1,2 1,5 1,75 2 2,5 4 10 ∞α 0,208 0,219 0,231 0,239 0,246 0,258 0,282 0,313 0,333β 0,141 0,166 0,196 0,214 0,229 0,249 0,281 0,313 0,333γ 1,000 0,930 0,859 0,820 0,795 0,766 0,745 0,742 0,742

5. coeficienţii Fiy şi Fiz ( yΦ , zΦ ) de influenţă a forţei tăietoare asupra deplasării, pentru câteva secţiuni simple se dau în tabelul 8.3;

(6). dimensiunile secţiunii pe direcţia y şi z dacă se doreşte determinarea tensiunilor.

Pentru câteva secţiuni uzual folosite în practică, tabelul 8.3. prezintă caracteristicile geometrice de bază.

C. Date despre materialul elementului1. modulul de elasticitate longitudinal - E;2. modulul de elasticitate transversal - G, sau coeficientul contracţiei

transversale niu (ν), constantele E, G, ν sunt dependente (vezi relaţia 3.1);(3). coeficientul de dilatare termică α;(4). densitatea materialului ρ;(5). acceleraţia gravitaţională g sau greutatea specifică γ=ρg.

D. Date despre încărcări1. blocaje la translaţie BX, BY şi BZ precum şi la rotire BXX, BYY şi BZZ;2. forţe la noduri FX, FY şi FZ şi momente la noduri MX, MY şi MZ (vezi

Fig. 8.23.c);(3). deplasări şi rotiri impuse pe orice direcţie;(4). temperaturi în noduri sau pe elemente;(5). forţe de inerţie generate de câmpul gravitaţional (pentru care sunt

necesare ca date de intrare ρ, g direcţia şi sensul gravitaţiei), sau generată de mişcarea de rotaţie uniformă (pentru care trebuie precizate axa de rotaţie şi viteza unghiulară ω).

(6). presiuni pe element (declarate ca forţe distribuite liniar pe porţiuni din lungimea barei), se pot declara presiuni pe direcţia axei y şi z, relativ la sistemul de axe legat de element;

101

Tabelul 8.3: Caracteristici geometrice ale unor secţiuniSectiunea A Iy Iz It zy Φ,Φ

πd2

4πd 4

64πd4

64πd4

32109

π( )D d2 2

4− π( )D d4 4

64− π( )D d4 4

64− π( )D d4 4

32− 1 2 2, ÷

bh b h3

12 12bh3 3hbβ 6

5

)htbt(2 21 +6

b)ht3bt( 221 + ( )ht bt h2 1

236

+12

2122

htbttthb2

+≅

125

Din tabele de profil I 3bt2ht 3

132 +

-

Din tabele de profil U 3htbt2 3

132 + -

Observaţii: 1. Pentru secţiunea inelară

2

2zy

Dd1

Dd

03,313,1Φ,Φ

+

+=

2. Pentru ultimele trei secţiuni se presupune h,bt,t 21 <<

102

E. Rezultatele analizei1. deplasările nodale DX, DY, DZ şi rotirile RX, RY RZ;2. eforturile din bare: N, Ty, Tz, Mt, My, Mz (vezi Fig. 8.23.d). Se

menţionează că acestea sunt pozitive dacă semnul lor în nodul J (faţa pozitivă FP) este plus sau minus în nodul I (faţa negativă FN);

(3). tensiunile în bare, calculate de obicei la noduri, cu relaţiile:

yI

MzI

MANσ

z

z

y

y±= ; (8.8)

AT

τ yxy = ;

ATτ z

xz = ; (8.9)

cI

Mτt

tr = ; (8.10)

unde: c este o constantă declarată la dimensiunile secţiunii. De obicei tensiunile σ se calculează în colţurile dreptunghiului în care se înscrie secţiunea.

Trebuie menţionat că de fapt distribuţia tensiunilor tangenţiale produse de forţele tăietoare se obţine în rezistenţa cu relaţia lui Juravski:

zz

zyxy Ib

STτ = ;

yy

yzxz Ib

STτ = ; (8.11)

iar tensiunile τ de răsucire se calculează funcţie de forma secţiunii, asfel se pun evidentă:

i) pentru secţiuni circulare şi inelare:

rI

Mτt

t= ; 2D

IMτ

t

tmax = ; (8.12)

în care: r este raza curentă, şi d = D pentru secţiunea circulară;ii) pentru secţiuni chesonate (vezi Fig. 8.24.a)

δΩ2Mτ t= ;

min

tmax δΩ2

Mτ = ; (8.13)

iii) pentru secţiuni deschise (vezi Fig. 8.24.b)

tI

Mτt

t= ; maxt

tmax t

IMτ = ; (8.14)

iv) pentru secţiuni dreptunghiulare (vezi Fig. 8.24.c şi Tabelul 8.2)

2t

Amax hbαMττ == ; AB γττ = . (8.15)

(4). reacţiunile din legăturile cu exteriorul.

F. Structura fişierului cu date de intrare1. Date generale despre discretizare

103

NN NE2. Date despre materialeNMATMATI E G niu...3. Date despre proprietăţile secţiunilorNSECTSECTI A Iy Iz It Fiy Fiz...4. Date despre noduriNI BX BY BZ BXX BYY BZZ X Y Z...5. Date despre elementeEI I J K MAT SECT...6. Date despre încărcări cu forţe şi momenteNFNIF FX FY FZ MX MY MZ...

G. Programul de lucruCADSPw_re.EXE

Acest program a fost conceput astfel încât lucrează cu noţiunile (datele) de la punctele B-E care nu sunt incluse între paranteze. Pogramul este de fapt implementarea metodei deplasărilor (metoda de calcul exactă) pentru sisteme de cadre spaţiale, îmbinate rigid (sudate) şi poate suplini programul CADPL.EXE prin blocarea corespunzătoare a gradelor de libertate nefolosite.

H. Schema logică a programului coincide cu cea prezentată în Fig. 7.2.

Aplicaţii

CADS1. O piesă din oţel este confecţionată dintr-o tijă de secţiune dreptunghiulară 50×25 prin îndoire în două plane la 90° ca în Fig. 8.25. Piesa este solicitată cu două forţe F şi 2F în colţurile din capătul liber. Pentru E=2,1.105 MPa,

3,0ν = şi F=400 N se cere: a) deplasarea capătului liber al piesei; b) să se traseze diagramele de eforturi; c) să se determine tensiunile maxime.

104

Fig.8.25: Problema CADS1 Fig. 8.26: Model pentru problema CADS1

Rezolvare

Deoarece piesa se compune din trei părţi care pot fi considerate bare, se va recurge la rezolvarea problemei prin modelare cu BEAM. Fiecare tronson se modelează prin axa barei şi secţiunea corespunzătoare. Deoarece piesa s-a obţinut dintr-o bară este clar că secţiunea barelor este aceeasi dar poziţia ei se schimbă pe fiecare tronson, din acest motiv trebuie stabilită cu grijă poziţionarea axelor barelor în sistemul global de axe. O soluţie de alegere a axelor barelor ar putea fi cea prezentată în Fig. 8.26. Forţele actionează pe colţurile capătului liber şi trebuie transferate (conform regulilor de reducere a torsorilor) la axa barei (vezi Fig. 8.26). Dacă se studiază cu atenţie orientarea barelor, se constată că pentru a defini corect bara 3 se impune declararea unui nod suplimentar 5 în planul z = 462,5. Acest nod suplimentar se poate evita prin introducerea a două proprietăţi de secţiuni, adică se introduce o a doua secţiune cu axele y şi z schimbate între ele.

Fişierul cu date de intrare cads1 este:

5 3 1 2.1000000E+05 8.0769231E+04 3.0000000E-01 1 1.2500+03 2.60417E+05 6.51042E+04 1.78906E+05 1.20+00 1.20E+00 1 0 0 0 0 0 0 5.7500000E+02 0.0000000E+00 0.0000000E+00 2 0 0 0 0 0 0 5.7500000E+02 3.8750000E+02 0.0000000E+00 3 0 0 0 0 0 0 5.7500000E+02 3.8750000E+02 4.6250000E+02

105

4 1 1 1 1 1 1 0.0000000E+00 3.8750000E+02 4.6250000E+02 5 1 1 1 1 1 1 0.0000000E+00 0.0000000E+00 4.6250000E+02 1 1 2 3 1 1 2 2 3 1 1 1 3 3 4 5 1 1 1 1 0.000E+00 -8.000E+02 -4.000E+02 -1.000E+04 -1.000E+04 -2.000E+04

Nodul 5 este total blocat întucât, din lipsa de verificări (el nu aparţine elementelor decât pentru declararea orientării), ar produce matricea de rigiditate redusă singulară.

În urma rulării programului se obţine listingul:

DATE DESPRE MATERIALEMAT E G niu 1 2.1000000E+05 8.0769231E+04 0.3000DATE DESPRE SECTIUNISECT A Iy Iz It Fiy Fiz 1 1.250E+03 2.6042E+05 6.5104E+04 1.7891E+05 1.2E+00 1.2E+00NOD BX BY BZ BXX BYY BZZ X Y Z 1 0 0 0 0 0 0 5.750E+02 0.000E+00 0.000E+00 2 0 0 0 0 0 0 5.750E+02 3.875E+02 0.000E+00 3 0 0 0 0 0 0 5.750E+02 3.875E+02 4.625E+02 4 1 1 1 1 1 1 0.000E+00 3.875E+02 4.625E+02 5 1 1 1 1 1 1 0.000E+00 0.000E+00 4.625E+02ELEM I J K MAT SECT 1 1 2 3 1 1 2 2 3 1 1 1 3 3 4 5 1 1NOD FX FY FZ MX MY MZ 1 0.000E+00 -8.000E+02 -4.000E+02 -1.000E+04 -1.000E+04 -2.000E+04 2 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 3 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 4 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 5 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00NUMARUL ECUATIILOR NEC = 18SEMIBANDA MATRICII DE RIGIDITATE LB = 12

DEPLASARI NODALE

106

NOD DX DY DZ RX RY RZ 1 -4.8408E+00 -8.8971E+00 3.0426E+00 -8.3932E-03 7.5126E-04 -1.1296E-02 2 -4.9104E -01 -8.8959E+00 -4.3671E -01 -1.0306E-02 1.0194E-03 -1.1154E-02 3 5.6067E -14 -3.9553E+00 -4.3601E-01 -8.9532E-03 1.1040E-03 -1.0514E-02 4 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 5 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000EFORTURI IN BARE ELEMENTUL 1 NOD 1 NOD 2N -8.0000000E+02 8.0000000E+02Ty -4.0000000E+02 4.0000000E+02Tz 0.0000000E+00 0.0000000E+00Mt -1.0000000E+04 1.0000000E+04My -2.0000000E+04 2.0000000E+04Mz -1.0000000E+04 -1.4500000E+05 ELEMENTUL 2 NOD 2 NOD 3N -4.0000000E+02 4.0000000E+02Ty 8.0000000E+02 -8.0000000E+02Tz 2.2352000E-08 -2.2352000E-08Mt -2.0000000E+04 2.0000000E+04My 1.0000000E+04 -1.0000000E+04Mz 1.4500000E+05 2.2500000E+05 ELEMENTUL 3 NOD 3 NOD 4N -2.5596000E-08 2.5596000E-08Ty 8.0000000E+02 -8.0000000E+02Tz -4.0000000E+02 4.0000000E+02Mt 2.2500000E+05 -2.2500000E+05My 1.0000000E+04 2.2000000E+05Mz -2.0000000E+04 4.8000000E+05

Deplasarea nodului 1 reprezintă deplasarea capătului liber (centrul secţiunii de capăt) deci: 5758,10)0426,3()8971,8()8408,4(δ 222

1 =+−+−= mm.Diagramele de eforturi reproduse de pe monitor sunt prezentate în Fig. 8.27.

Pentru determinarea tensiunilor maxime se observă că secţiunea periculoasă este în încastrare. Distribuţia tensiunilor în secţiune se prezintă în Fig. 8.28.

Tensiunea 28,11312,2116,92σmax =+= MPa se atinge în colţul 5 (conform relaţiilor 8.8), aceeaşi tensiune de compresiune însă, se atinge şi în colţul 1.

107

Fig. 8.27: Diagramele de eforturi problema CADS1

108

Solicitarea fiind compusă, interesează valoarea tensiunii echivalente maxime care se poate stabili conform teoriei a III-a de rezistenţă cu relaţia:

22ech τ4σσ += . (8.16)

În punctele 2 şi 6 se obţine:18,10927,29416,92σ 22

max,ech =⋅+=MPa.

τxzM t

σMy

τxzTz

σMz

τxy

Ty

Fig. 8 .28: Distribuţia tensiunilor în încastrare pentru CADS1

CADS2. În Fig. 8.29 se prezintă un profil U încastrat la un capăt. Să se determine deplasările şi rotirile capătului liber sub acţiunea greutăţii proprii. Se dau t = 4 mm; L = 2 m; ρ = 7800 Kg/m3; g = 10 m/s2, E = 5102 ⋅ MPa, 3,0ν = .

Fig. 8.29: Problema CADS2

Rezolvare

Se cunoaşte faptul că dacă rezultanta forţelor nu trece prin centrul de încovoiere-răsucire (CIR) al unei secţiuni (cum este cazul problemei de mai sus) pe lângă deplasări de încovoiere apar şi rotiri ale secţiunii în jurul CIR. Dacă bara se modelează cu elemente BEAM care reproduc axa barei (trec prin centrul de greutate al secţiunilor G) încărcarea modelului va consta într-o forţă uniform distribuită generată de greutatea proprie p = ρgA. Cu acest model plan (vezi problema CADP3a) rotirile în jurul CIR nu pot fi “prinse”.

109

O altă soluţie ar fi modelarea barei cu elemente BEAM care trec prin CIR. În această situaţie efectul forţei distrubuite p se reduce la axa barei printr-o forţă distribuită p şi un moment de răsucire distribuit de-a lungul barei mt = pb. Dacă modelăm bara cu 10 elemente atunci fişierul cu date de intrare cads2 este:

12 10 11 2.0000000E+05 7.6923077E+04 3.0000000E-01 11 2.560E+02 9.30133E+03 3.61813E+04 1.36533E+03 0.00E+00 0.00E+00 1 0 0 0 0 0 0 2.0000000E+03 0.0000000E+00 0.0000000E+00 2 0 0 0 0 0 0 1.8000000E+03 0.0000000E+00 0.0000000E+00 3 0 0 0 0 0 0 1.6000000E+03 0.0000000E+00 0.0000000E+00 4 0 0 0 0 0 0 1.4000000E+03 0.0000000E+00 0.0000000E+00 5 0 0 0 0 0 0 1.2000000E+03 0.0000000E+00 0.0000000E+00 6 0 0 0 0 0 0 1.0000000E+03 0.0000000E+00 0.0000000E+00 7 0 0 0 0 0 0 8.0000000E+02 0.0000000E+00 0.0000000E+00 8 0 0 0 0 0 0 6.0000000E+02 0.0000000E+00 0.0000000E+00 9 0 0 0 0 0 0 4.0000000E+02 0.0000000E+00 0.0000000E+00 10 0 0 0 0 0 0 2.0000000E+02 0.0000000E+00 0.0000000E+00 11 1 1 1 1 1 1 0.0000000E+00 0.0000000E+00 0.0000000E+00 12 1 1 1 1 1 1 0.0000000E+00 1.0000000E+02 0.0000000E+00 1 1 2 12 1 1 2 2 3 12 1 1 3 3 4 12 1 1 4 4 5 12 1 1 5 5 6 12 1 1 6 6 7 12 1 1 7 7 8 12 1 1 8 8 9 12 1 1 9 9 10 12 1 1 10 10 11 12 1 1 10 1 0.00E+00 -1.99680E+00 0.00E+00 2.42491E+01 0.00E+00 0.00E+00 2 0.00E+00 -3.99360E+00 0.00E+00 4.84982E+01 0.00E+00 0.00E+00 3 0.00E+00 -3.99360E+00 0.00E+00 4.84982E+01 0.00E+00 0.00E+00 4 0.00E+00 -3.99360E+00 0.00E+00 4.84982E+01 0.00E+00 0.00E+00 5 0.00E+00 -3.99360E+00 0.00E+00 4.84982E+01 0.00E+00 0.00E+00 6 0.00E+00 -3.99360E+00 0.00E+00 4.84982E+01 0.00E+00 0.00E+00 7 0.00E+00 -3.99360E+00 0.00E+00 4.84982E+01 0.00E+00 0.00E+00

110

8 0.00E+00 -3.99360E+00 0.00E+00 4.84982E+01 0.00E+00 0.00E+00 9 0.00E+00 -3.99360E+00 0.00E+00 4.84982E+01 0.00E+00 0.00E+00 10 0.00E+00 -3.99360E+00 0.00E+00 4.84982E+01 0.00E+00 0.00E+00

Rezultatele în deplasări sunt:

DEPLASARI NODALENOD DX DY DZ RX RY RZ 1 0.0000E+00 -5.5373E+00 0.0000E+00 4.6178E-03 0.0000E+00 -3.6976E-03 2 0.0000E+00 -4.7981E+00 0.0000E+00 4.5716E-03 0.0000E+00 -3.6921E-03 3 0.0000E+00 -4.0619E+00 0.0000E+00 4.4330E-03 0.0000E+00 -3.6645E-03 4 0.0000E+00 -3.3352E+00 0.0000E+00 4.2022E-03 0.0000E+00 -3.5928E-03 5 0.0000E+00 -2.6292E+00 0.0000E+00 3.8789E-03 0.0000E+00 -3.4548E-03 6 0.0000E+00 -1.9592E+00 0.0000E+00 3.4633E-03 0.0000E+00 -3.2285E-03 7 0.0000E+00 -1.3451E+00 0.0000E+00 2.9554E-03 0.0000E+00 -2.8919E-03 8 0.0000E+00 -8.1127E -01 0.0000E+00 2.3551E-03 0.0000E+00 -2.4228E-03 9 0.0000E+00 -3.8632E -01 0.0000E+00 1.6624E-03 0.0000E+00 -1.7992E-0310 0.0000E+00 -1.0339E -01 0.0000E+00 8.7737E-04 0.0000E+00 -9.9892E-0411 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00

Observaţie Această ultimă modelare, mai corectă decât precedenta enunţată, nu este

acceptabilă deoarece elementul BEAM nu poate prinde efectele generate de barele cu pereţi subţiri (bimomente, momente de răsucire împiedicată, etc). În concluzie pentru a modela bare cu pereţi subţiri încărcate cu forţe ce nu trec prin CIR se va alege un element finit corespunzător, totuşi pentru situaţii mai puţin pretenţioase se poate folosi elementul BEAM poziţionat în dreptul punctelor CIR.

CADS3. O structură plană formată din bare circulare φ80 din oţel este încărcată cu forţe perpendiculare pe ea ca în Fig. 8.30. Ştiind că E = 2,1.105

MPa; G =8.104 MPa; d=80 mm; a = 0,5 m şi F =2 kN se cere:a) deplasarea punctului k;b) să se figureze diagramele de eforturi;c) să se determine tensiunea echivalentă maximă.

Fig. 8.30: Problema CADS3

111

Rezolvare

Datorită dublei simetrii problema se poate trata pe un sfert. Din tabelul 8.3 se pot alege relaţiile de calcul pentru proprietăţile secţiunii, iar din tabelul 4.1 se aleg condiţiile la limită corespunzătoare simetriilor. Bara, ca şi forţa din axa de simetrie tăiate pe lungime, datorită simetriei împarte mărimile proprietăţilor de secţiune la doi. Cu aceste menţiuni fişierul datelor de intrare cads3 este:

5 5 11 2.1000000E+05 8.0000000E+04 3.1250000E-01 21 5.02654E+03 2.01062E+06 2.01062E+06 4.02124E+06 0.00E+00 0.00E+002 2.51327E+03 1.00531E+06 1.00531E+06 2.01062E+06 0.00E+00 0.00E+00 1 1 0 0 0 1 1 0.0000000E+00 0.0000000E+00 1.0000000E+03 2 0 0 0 0 0 0 5.0000000E+02 0.0000000E+00 1.0000000E+03 3 0 1 0 0 0 0 5.0000000E+02 0.0000000E+00 5.0000000E+02 4 0 0 1 1 1 0 5.0000000E+02 0.0000000E+00 0.0000000E+00 5 1 0 0 0 1 1 0.0000000E+00 0.0000000E+00 5.0000000E+02 1 1 2 3 1 1 2 2 3 1 1 1 3 3 4 1 1 1 4 4 5 2 1 1 5 5 1 2 1 2 2 2 0.000E+00 -2.000E+03 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 4 0.000E+00 -2.000E+03 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00

Fig. 8.31: Discretizarea şi condiţiile la limită pentru problema CADS3

112

Secţiunea fiind circulară poziţia nodului K (de precizare a orientării barei) este arbitrară în afara axei barei. Discretizarea se poate urmări în Fig. 8.31. Se observă ca blocajele se figurează în “cod numeric”. Reprezentarea încărcărilor în mod grafic se face în nodurile în care există cel puţin o valoare nenulă, prin înşiruirea nodului şi a celor 6 încărcări cu valorile rotunjite la întregi.

Rulând fişierul se obţin rezutatele:

DEPLASARI NODALENOD DX DY DZ RX RY RZ 1 0.0000E+00 -3.3727E-01 0.0000E+00 6.6329E-04 0.0000E+00 0.0000E+00 2 0.0000E+00 -3.4237E-01 0.0000E+00 8.1313E-04 0.0000E+00 -8.5132E-06 3 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 3.7089E-04 0.0000E+00 2.7144E-05 4 0.0000E+00 4.0407E-02 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 6.2801E-05 5 0.0000E+00 -7.4602E-02 0.0000E+00 3.6360E-04 0.0000E+00 0.0000E+00

EFORTURI IN BARE ELEMENTUL 1 NOD 1 NOD 2N 0.0000000E+00 0.0000000E+00Ty 0.0000000E+00 0.0000000E+00Tz 1.2052000E+02 -1.2052000E+02Mt -9.6409000E+04 9.6409000E+04My -3.7320000E+04 -2.2942000E+04Mz 0.0000000E+00 0.0000000E+00 ELEMENTUL 2 NOD 2 NOD 3N 0.0000000E+00 0.0000000E+00Ty 0.0000000E+00 0.0000000E+00Tz -1.8795000E+03 1.8795000E+03Mt 2.2942000E+04 -2.2942000E+04My 9.6409000E+04 8.4333000E+05Mz 0.0000000E+00 0.0000000E+00 ELEMENTUL 3 NOD 3 NOD 4N 0.0000000E+00 0.0000000E+00Ty 0.0000000E+00 0.0000000E+00Tz 2.1205000E+03 -2.1205000E+03Mt 2.2942000E+04 -2.2942000E+04My -8.4333000E+05 -2.1693000E+05Mz 0.0000000E+00 0.0000000E+00

113

ELEMENTUL 4 NOD 4 NOD 5N 0.0000000E+00 0.0000000E+00Ty 0.0000000E+00 0.0000000E+00Tz 1.2052000E+02 -1.2052000E+02Mt 1.3717000E+05 -1.3717000E+05My -1.6962000E+05 8.4394000E+04Mz 0.0000000E+00 0.0000000E+00 ELEMENTUL 5 NOD 5 NOD 1N 0.0000000E+00 0.0000000E+00Ty 0.0000000E+00 0.0000000E+00Tz 1.2052000E+02 -1.2052000E+02Mt 0.0000000E+00 0.0000000E+00My -1.5667000E+05 9.6409000E+04Mz 0.0000000E+00 0.0000000E+00

Deci deplasarea nodului k, în acest model nodul 2 este =kδ 0,34237 mm (fără considerarea efectului forţei tăietoare).

Diagramele de eforturi reproduse de pe monitor se prezintă în Fig. 8.32.

Fig. 8.32: Diagrame de eforturi CASD3

Pentru secţiuni circulare şi inelare tensiunea echivalentă se poate determina cu relaţia:

2D

IMσ

y

echech = , (8.17)

unde: 2z

2y

2tech MMMM ++= , iar efectul forţelor axiale şi tăietoare se neglijează

în calculul tensiunilor.Momentul echivalent maxim se atinge în nodul 3, deci:

114

=+= 3

22

max,ech 80π8434402279732σ 16,785 MPa

TEMĂ: Trataţi problema fără a folosi simetria.

Observaţii: Structurile plane încărcate cu forţe perpendiculare (sau momente generate de aceste încărcări), denumite “GRILAJE” pot fi reduse la 3 GLN (TY, RX şi RZ pentru sistemul de axe global ales cu axele X şi Z în planul cadrelor) întrucât restul deplasărilor şi rotirilor sunt nule.

TEMĂ: Reluaţi problema blocând TX, TZ şi RY pentru toate nodurile.

CADS4. Cadrul plan din Fig. 8.33 de secţiune inelară este încărcat cu forţa F perpendiculară pe planul cadrului. Stiind că D = 212 mm; d = 193 mm; a =0,4 m; E = 21.104 MPa; G = 8,1.104 MPa; F = 21 kN se cere:a) Să se determine deplasarea punctului de aplicaţie al forţei;b) Să se determine tensiunea echivalentă maximă.

Răspuns: δ = 10,35 mm; =max,echσ 80 MPa;

Fig. 8.33: Problema CADS4 Fig. 8.34: Problema CADS5

CADS5. Sistemul de susţinere din Fig. 8.34 este format dintr-o bară cotită, de secţiune circulară din oţel. Cunoscând d = 50 mm; E=2.105 MPa; ν=0,3; a = 0,4 m; b = 0,5 m si σa =150 MPa să se determine forţa capabilă pe care o poate susţine sistemul fără să depăsească tensiunea admisibilă.

Răspuns: Fcap = 7279 N.

115

CADS6. Bara cotită de secţiune circulară din Fig. 8.35 are a = 0,5 m; E = 21.105 MPa; d = 70 mm; ν = 0,3; F = 10 kN. Să se determine sageata maximă a barei şi să se calculeze tensiunea echivalentă maxima. Se precizează că toate rotirile în lagăre sunt permise.

Indicaţie: Problema se poate trata pe jumătate, urmăriţi capitolul 4 şi precizaţi în ce categorie de simetrie se încadrează problema.

Răspuns: δmax = 20,734 mm; σech,max = 166 MPa.

Fig. 8.35: Problema CADS6 Fig. 8.36: Problema CADS7

CADS7. Bara cotită din Fig. 8.36 de secţiune circulară constantă este încărcată cu forţele F1 şi F2 . Lagărul din A nu permite deplasări pe nici o direcţie, cel din B permite deplasarea în lungul barei AB iar reazemul din C nu permite deplasări pe verticală. Să se afle deplasarea punctului de aplicaţie al forţelor şi tensiunea maximă din bară. Se dau: d = 80 mm; E = 2.105 MPa; ν = 0,3; a = 0,8 m; F1 = 6 kN; F2 =8 kN.

Răspuns: u = 1,752 mm; v = 2,567 mm; w = 7,539 mm; σmax = 101,9 MPa.

CADS8. O bară de secţiune dreptunghiulară este îndoită în formă de semi-inel ca în Fig. 8.37. Stiind că E = 2.105 MPa; ν = 0,3; R=50 mm; F=25 N; b = 5 mm; h = 8 mm, să se afle săgeata maximă a barei şi tensiunea echivalentă maximă.

Răspuns: δ = 1,0016 mm; σech,max = 106,4 MPa.

CADS9. Se dă cadrul de secţiune circulară din Fig. 8.38, încărcat la capetele

A şi B cu forţele F. Stiind că a = 0,5 m; d = 100 mm; E = 2,1.105 MPa; =GE

2,6; F =

35,445 kN. Să se calculeze deplasarea relativă între A şi B şi tensiunea maximă în bară.

116

Fig. 8.37: Problema CADS8 Fig. 8.38: Problema CADS9

Indicaţii: Vezi problema ARTP3. Unul din punctele A sau B se poate încastra.

Răspuns: δAB = 12,26 mm; σech,max = 150 MPa.

CADS10. Pentru grilajul din Fig. 8.39 se dau: a = 500 mm; E = 2,105 MPa; G = 8.104 MPa; F = 1 kN; d = 70 mm. Se cere: a) deplasarea punctului k; b) să se traseze diagramele de momente; c) tensiunea echivalentă maximă.

Răspuns: δ = 0,4197 mm; σech,max = 11,36 MPa.

Fig. 8.39: Problema CADS10 Fig. 8.40: Problema CADS11

CADS11. Un arc elicoidal format din două spire este încărcat cu o forţă F ca în Fig. 8.40. Ştiind că F = 1 kN; G = 8,1.104 MPa; ν = 0,3; d = 10 mm; R = 40 mm; şi h = 50 mm, se cer: a) să se determine săgeata maximă a arcului; b) tensiunea maximă din arc; c) să se compare rezultatul obţinut prin MEF cu cel teoretic pentru arcuri cu spire strânse:

4

3

arc GdiFR64f = 3max dπ

FR16τ =

Indicaţie: Se descompune elicea arcului în elemente BEAM, (câte 16 pe spiră).

117

Răspuns: f = 10,235 mm; σech,max = 409 MPa.

CADS12. Două cercuri identice de secţiune dreptunghiulară sunt sudate ca în Fig. 8.41. Ştiind că E = 2.105 MPa; G = 8.104 MPa, R = 100 mm; F=1000 N; M=10000 Nmm se cere să se calculeze deplasarea relativă între punctele de aplicaţie ale încărcărilor în cele două situaţii de încărcare: a) întindere; b) răsucire.

Fig. 8.41: Problema CADS12

Răspuns: δ = 0,8597 mm; ϕ = 0,9414.10-3 rad.

118

Cap. 9. Modelarea plană a unor probleme de analiză statică structurală

9.A. Elementul triunghiular cu trei noduri (CST)

A. Caracteristici principale ale elementului CST (Fig. 9.1):1. este generat de trei noduri I, J, K care trebuie declarate în sensul dat de

rotirea axei X peste Y pe drumul cel mai scurt ;2. are două grade de libertate pe nod (GLN = 2), deplasări X şi Y (UX, UY);3. are grosime constantă şi poate fi încărcat cu forţe la noduri;

Fig. 9.1: Elementul CST

4. elementul se poate folosi pentru modelarea stării plane de tensiune (SPT) şi stării plane de deformaţie (SPD);

5. matricea de rigiditate în coordonate globale este:[ ] [ ] [ ][ ]AtBDBK Te = , (9.1)

în care:

[ ]

=

kkjjii

kji

kji

bcbcbcc0c0c00b0b0b

A21B ; (9.2)

)K(Y)K(X1)J(Y)J(X1)I(Y)I(X1

21A = ; (9.3)

)I(X)J(Xc);J(Y)I(Yb)K(X)I(Xc);I(Y)K(Yb)J(X)K(Xc);K(Y)J(Yb

kk

jj

ii

−=−=−=−=−=−=

(9.4)

119

[ ]

−−=

2ν100

01ν0ν1

ν1ED 2 pentru SPT; (9.5)

[ ]

−−

−

−+=

2ν2100

0ν1ν0νν1

)ν21)(ν1(ED pentru SPD. (9.6)

6. uzual elementul este denumit CST (Constant Strain Triangle).

B. Date legate de element1. grosimea elementului - t;2. tipul analizei sau tipul elementului (SPT sau SPD).

C. Date despre materialul elementului1. modulul de elasticitate longitudinal - E;2. coeficientul lui Poisson - niu;(3). coeficientul de dilatare termică - α;(4). densitatea materialului - ρ;(5). acceleraţia gravitaţională g sau greutatea specifică - γ = ρg.

D. Date despre încărcări1. blocaje la translaţie în direcţia X - BX şi în direcţia Y - BY;2. forţe la noduri în direcţia X - FX şi Y - FY;(3). deplasări impuse pe orice direcţie;(4). temperaturi în noduri sau în elemente;(5). forţe de inerţie, generate de câmpul gravitaţional (pentru care sunt

necesare ca date de intrare ρ, g direcţia şi sensul gravitaţiei), sau generate de mişcarea de rotaţie uniformă (pentru care trebuie precizate axa de rotaţie şi viteza unghiulară ω);

(6) presiuni, distribuite liniar sau constante pe laturile elementului. Aceste presiuni (sau forţe distibuite liniar) se echivalează la nodurile elementului prin forţe concentrate (vezi Fig. 8.2 în care se neglijează momentele).

E. Rezultatele rezolvării1. deplasările nodale DX, DY;2. tensiunile în sistemul global de axe SX, SY, SXY, precum şi tensiunile

principale S1, S2 şi unghiul ALFA pe care îl face direcţia tensiunii principale S1 cu

120

axa X (vezi Fig. 9.1). Se menţionează că tensiunile sunt constante pe element, dar valorile obţinute din calcul se consideră corecte în centrul de greutate al triunghiului. Tensiunile din element se determină cu relaţia:

[ ][ ] eUBDSXYSYSX

=

(9.7)

Pentru corectarea distribuţiei tensiunilor, de obicei, se recurge la medierea lor în noduri după diverse metode, cea mai simplă mediere, fără a ţine seama de ariile elementelor vecine, este inclusă în programul de calcul. Conform acestei reguli, dacă într-un nod I sunt “n” elemente vecine (vezi Fig. 9.2), atunci tensiunea medie în nod se determină cu relaţia:

n

SS

n

1ii

m,I

∑== . (9.8a)

Se poate folosi şi relaţia care ţine cont de aria de participare la nod:

∑

∑

=

== n

1ii

i

n

1ii

m,I

A

ASS , (9.8b)

Fig. 9.2: Elemente vecine unui nod I

în care:SI,m -valoarea medie a tensiunii în nodul I;Si -valoarea tensiunii în elementul i (i=1..n);Ai -aria elementului i.Se pot media tensiunile SX, SY, SXY şi apoi se pot calcula S1, S2 şi ALFA

în nod sau se pot media toate tensiunile.În practică, pentru precizarea gradului de solicitare, este utilă determinarea

unei tensiuni echivalente de solicitare conform unei teorii de rezistenţă, de obicei se foloseşte teoria a V-a (a energiei de modificare a formei), denumită şi von Mises conform căreia tensiunea echivalentă Sech se determină cu relaţia:

2S1S2S1SSech 22 ⋅−+= (9.9)(3). deformaţiile specifice din element, calculate cu relaţia:

[ ] eUBε = (9.10)(4). reacţiunile din legăturile cu exteriorul.

F. Structura fişierului cu date de intrare

121

1. Date generale NN NE TIPE2. Date despre noduriNI BX BY X Y...3. Date despre elementeEI I J K E niu t...4. Date despre încărcări cu forţeNFNIF FX FY...

G. Programul de lucruCSTPLw_re.EXE

Acest program a fost conceput astfel încât lucrează cu noţiunile (datele) de la punctele B-E neincluse între paranteze.

H. Schema logică a programului coincide cu cea prezentată în Fig. 7.2. Sistemul de ecuaţii care se rezolvă este stocat în memoria RAM a calculatorului sub formă de matrice bandă. Dimensiunea maximă a problemelor ce pot fi rezolvate rezultă din numărul necunoscutelor şi lăţimea de bandă. Pentru a rezolva probleme de dimensiuni mari se impune reconsiderarea gestionării resurselor hard (memoria extinsă). O parte a rezultatelor (în special tensiuni) sunt stocate în fişiere (text ) care se pot urmări după fiecare rulare, astfel de exemplu tensel este un fişier cu rezultate tensiuni în elemente.

Aplicaţii

CST1. O bareta ca cea din Fig. 9.3 este supusă unei încărcări cu forţa concentrată prin intermediul unei piese ascuţite. Cunoscând caracteristicile de material ale baretei E = 2.105 MPa si ν = 0,3 precum şi grosimea ei t = 5 mm; L = 100 mm; h = 20 mm, se cere să se studieze distribuţia deformaţiilor şi tensiunilor din bareta pentru F=10 kN.

Fig.9.3: Problema CST1

122

Rezolvare

Întrucât bareta prezintă axa de simetrie şi simetrie în încărcare, modelul cu elemente finite se poate dezvolta pe jumătate din structură. Discretizarea baretei constă în împărţirea (acoperirea domeniului de analiză=“meshing”) unei jumătăţi cu elemente triunghiulare, se neglijează pentru început aspectul discretizării.

Fig. 9.4: Discretizare pentru problema CST1

Se adoptă o discretizarea din Fig. 9.4 pentru care fişierul cu date de intrare cst1 este:

22 20 1 1 1 1 0.000E+00 0.000E+00 2 1 1 0.000E+00 1.000E+01 3 0 1 1.000E+01 0.000E+00 4 0 0 1.000E+01 1.000E+01 5 0 1 2.000E+01 0.000E+00 6 0 0 2.000E+01 1.000E+01 7 0 1 3.000E+01 0.000E+00 8 0 0 3.000E+01 1.000E+01 9 0 1 4.000E+01 0.000E+00 10 0 0 4.000E+01 1.000E+01 11 0 1 5.000E+01 0.000E+00 12 0 0 5.000E+01 1.000E+01 13 0 1 6.000E+01 0.000E+00 14 0 0 6.000E+01 1.000E+01 15 0 1 7.000E+01 0.000E+00 16 0 0 7.000E+01 1.000E+01 17 0 1 8.000E+01 0.000E+00 18 0 0 8.000E+01 1.000E+01 19 0 1 9.000E+01 0.000E+00 20 0 0 9.000E+01 1.000E+01 21 0 1 1.000E+02 0.000E+00 22 0 0 1.000E+02 1.000E+01 1 1 3 4 2.00000E+05 0.300 5.00E+00

123

2 3 5 6 2.00000E+05 0.300 5.00E+00 3 5 7 8 2.00000E+05 0.300 5.00E+00 4 7 9 10 2.00000E+05 0.300 5.00E+00 5 9 11 12 2.00000E+05 0.300 5.00E+00 6 11 13 14 2.00000E+05 0.300 5.00E+00 7 13 15 16 2.00000E+05 0.300 5.00E+00 8 15 17 18 2.00000E+05 0.300 5.00E+00 9 17 19 20 2.00000E+05 0.300 5.00E+00 10 19 21 22 2.00000E+05 0.300 5.00E+00 11 1 4 2 2.00000E+05 0.300 5.00E+00 12 3 6 4 2.00000E+05 0.300 5.00E+00 13 5 8 6 2.00000E+05 0.300 5.00E+00 14 7 10 8 2.00000E+05 0.300 5.00E+00 15 9 12 10 2.00000E+05 0.300 5.00E+00 16 11 14 12 2.00000E+05 0.300 5.00E+00 17 13 16 14 2.00000E+05 0.300 5.00E+00 18 15 18 16 2.00000E+05 0.300 5.00E+00 19 17 20 18 2.00000E+05 0.300 5.00E+00 20 19 22 20 2.00000E+05 0.300 5.00E+001 21 -5.000E+03 0.000E+00

Rulând problema se obţine listingul:

ANALIZA PLANA PENTRU MODEL STARE PLANA DE TENSIUNENOD BX BY X Y 1 1 1 0.0000 0.0000 2 1 1 0.0000 10.0000 3 0 1 10.0000 0.0000 4 0 0 10.0000 10.0000 5 0 1 20.0000 0.0000 6 0 0 20.0000 10.0000 7 0 1 30.0000 0.0000 8 0 0 30.0000 10.0000 9 0 1 40.0000 0.0000 10 0 0 40.0000 10.0000 11 0 1 50.0000 0.0000 12 0 0 50.0000 10.0000 13 0 1 60.0000 0.0000 14 0 0 60.0000 10.0000

124

15 0 1 70.0000 0.0000 16 0 0 70.0000 10.0000 17 0 1 80.0000 0.0000 18 0 0 80.0000 10.0000 19 0 1 90.0000 0.0000 20 0 0 90.0000 10.0000 21 0 1 100.0000 0.0000 22 0 0 100.0000 10.0000 ELEM I J K E niu t 1 1 3 4 2.00000E+05 0.300 5.0000 2 3 5 6 2.00000E+05 0.300 5.0000 3 5 7 8 2.00000E+05 0.300 5.0000 4 7 9 10 2.00000E+05 0.300 5.0000 5 9 11 12 2.00000E+05 0.300 5.0000 6 11 13 14 2.00000E+05 0.300 5.0000 7 13 15 16 2.00000E+05 0.300 5.0000 8 15 17 18 2.00000E+05 0.300 5.0000 9 17 19 20 2.00000E+05 0.300 5.0000 10 19 21 22 2.00000E+05 0.300 5.0000 11 1 4 2 2.00000E+05 0.300 5.0000 12 3 6 4 2.00000E+05 0.300 5.0000 13 5 8 6 2.00000E+05 0.300 5.0000 14 7 10 8 2.00000E+05 0.300 5.0000 15 9 12 10 2.00000E+05 0.300 5.0000 16 11 14 12 2.00000E+05 0.300 5.0000 17 13 16 14 2.00000E+05 0.300 5.0000 18 15 18 16 2.00000E+05 0.300 5.0000 19 17 20 18 2.00000E+05 0.300 5.0000 20 19 22 20 2.00000E+05 0.300 5.0000NOD FX FY21 -5000.0 0.0000MATRICEA DE RIGIDITATE ASAMBLATA ARE NEC = 30 ECUATIISEMILATIMEA MATRICII ASAMBLATE ESTE LB = 6DEPLASARI NODALENOD DX DY 1 0.000000000E+00 0.000000000E+00 2 0.000000000E+00 0.000000000E+00 3 -4.777555420E-03 0.000000000E+00 4 -4.707205101E-03 1.282535072E -03 5 -9.719106431E-03 0.000000000E+00

125

6 -9.688136841E-03 1.459074101E -03 7 -1.470247393E-02 0.000000000E+00 8 -1.468950816E-02 1.490055294E -03 9 -1.969960862E-02 0.000000000E+00 10 -1.968857179E-02 1.497272443E -03 11 -2.470594078E-02 0.000000000E+00 12 -2.468128233E-02 1.499536580E -03 13 -2.973048825E-02 0.000000000E+00 14 -2.965689730E-02 1.501004877E -03 15 -3.480832827E-02 0.000000000E+00 16 -3.458048124E-02 1.503741634E -03 17 -4.004997478E-02 0.000000000E+00 18 -3.934307058E-02 1.510377902E -03 19 -4.579173475E-02 0.000000000E+00 20 -4.360997452E-02 1.518501774E -03 21 -5.300365057E-02 0.000000000E+00 22 -4.638281685E-02 1.430692063E -03TENSIUNI IN ELEMENTEELEM SX SY SXY S1 S2 ALFA Sech 1 -9.6544943E+01 -3.3127814E+00 5.4115630E-01 -9.6548084E+01 -3.3096404E+00 -3.3255240E-01 9.4936541E+01 2 -9.8985248E+01 -5.1409237E-01 2.3822762E-01 -9.8985824E+01 -5.1351604E-01 -1.3861248E-01 9.8730068E+01 3 -9.9700020E+01 -1.0890013E-01 9.9736722E-02 -9.9700120E+01 -1.0880025E-01 -5.7379469E-02 9.9645764E+01 4 -9.9955010E+01 -4.1054143E-02 8.4898707E-02 -9.9955082E+01 -4.0982003E-02 -4.8685220E-02 9.9934597E+01 5 -1.0014222E+02 -5.1935559E-02 1.8968036E-01 -1.0014258E+02 -5.1576099E-02 -1.0858029E-01 1.0011681E+02 6 -1.0053288E+02 -1.3976621E-01 5.6608418E-01 -1.0053607E+02 -1.3657435E-01 -3.2305861E-01 1.0046785E+02 7 -1.0168610E+02 -4.3099718E-01 1.7526695E+00 -1.0171643E+02 -4.0066853E-01 -9.9136213E-01 1.0151669E+02 8 -1.0524249E+02 -1.3651880E+00 5.4377246E+00 -1.0552636E+02 -1.0813120E+00 -2.9884081E+00 1.0498988E+02 9 -1.1618043E+02 -4.4840927E+00 1.6782771E+01 -1.1864760E+02 -2.0169173E+00 -8.3629482E+00 1.1765211E+02 10 -1.4907051E+02 -1.6107312E+01 5.0929490E+01 -1.6633625E+02 1.1584234E+00 -1.8727303E+01 1.6691847E+02

126

11 -1.0345506E+02 -3.1036517E+01 9.8656544E+00 -1.0477501E+02 -2.9716567E+01 -7.6204887E+00 9.3527124E+01 12 -1.0101475E+02 -4.6537242E+00 1.8991488E+00 -1.0105217E+02 -4.6163090E+00 -1.1286400E+00 9.8824910E+01 13 -1.0029998E+02 -9.0851197E-01 4.7654449E-01 -1.0030226E+02 -9.0622717E-01 -2.7470317E-01 9.9852235E+01 14 -1.0004499E+02 -2.1239110E-01 1.5525325E-01 -1.0004523E+02 -2.1214967E-01 -8.9102434E-02 9.9939325E+01 15 -9.9857776E+01 -1.1883966E-02 1.0231515E-01 -9.9857881E+01 -1.1779120E-02 -5.8712659E-02 9.9851992E+01 16 -9.9467121E+01 1.5059537E-01 2.0097495E-01 -9.9467526E+01 1.5100083E-01 -1.1559143E-01 9.9543113E+01 17 -9.8313900E+01 5.2592741E-01 5.8713616E-01 -9.8317388E+01 5.2941504E-01 -3.4033691E-01 9.8583162E+01 18 -9.4757513E+01 1.6475787E+00 1.8037177E+00 -9.4791249E+01 1.6813140E+00 -1.0714913E+00 9.5642990E+01 19 -8.3819573E+01 5.0616862E+00 5.5002159E+00 -8.4158648E+01 5.4007611E+00 -3.5276806E+00 8.6984866E+01 20 -5.0929490E+01 1.5091188E+01 1.6107312E+01 -5.4649628E+01 1.8811327E+01 -1.3004973E+01 6.6094477E+01

Deformata modelului (desenată punctat) suprapusă peste structura nedeformată se prezintă în Fig. 9.5.

Fig. 9.5: Deformata CST1

Dacă se urmăreşte distribuţia de tensiune mediată la noduri Sech în model (vezi Fig.9.6) se pun în evidenţă trei zone:

-zona de aplicare a forţei care constituie un concentrator de eforturi datorită acţiunii punctuale;

-zona de mijloc pentru care tensiunea este aproximativ constantă (se poate verifica teoria de compresiune a barelor în ipoteza Bernoulli);

-zona încastrării în care apar perturbaţii în tensiuni datorită fixării rigide a baretei (efect local datorat împiedicării contracţiei/dilatării transversale).

Deoarece la capetele baretei există concentratori de tensiune, discretizarea modelului trebuie făcută cu densitate mai mare de noduri în zona forţei concentrate şi în încastrare.

TEMĂ: Adaptaţi discretizarea, funcţie de gradientul tensiunii şi analizaţi problema. Comparaţi deplasarea capătului liber al baretei cu deplasarea dată de relaţia

127

deplasării unei bare solicitată axial: EAFLLΔ = . Distribuiţi forţa F pe toată faţa din

dreapta şi refaceţi calculul.

Fig. 9.6: Distribuţia tensiunii echivalente CST1

Dacă se discretizează întreaga baretă ca în Fig. 9.7 a şi b, şi se determină distribuţia corespunzătoare a deplasărilor (Fig. 9.7 c şi d) se poate pune în evidenţă “favorizarea de direcţie“ în poziţionarea elementelor CST. Deplasările corespunzătoare discretizării a nu sunt simetrice faţă de axa de simetrie. Pentru discretizări cu elemente CST se recomandă poziţionarea elementelor ca în Fig. 9.7.b, adică se încearcă reproducerea pe porţiuni a “steagului englezesc”.

a b

c dFig. 9.7: Două tipuri de discretizări şi deplasările corespunzătoare - CST1

128

CST2. O platbandă de grosime constantă cu un orificiu circular (vezi Fig.9.8) constituie o problemă tipică a unui concentrator de tensiune. Folosind pentru discretizare elementul CST să se studieze distribuţia de tensiuni în zona concentratorului şi să se determine valoarea coeficientului de concentrare al tensiunii pentru E=2,1.105 MPa; ν=0,3; p=5 MPa; t=2 mm; d=20 mm; B=40 mm; L=60 mm.

Fig. 9.8: Problema CST2

RezolvareModelul problemei poate fi dezvoltat pe un sfert de platbandă datorită

simetriilor. Alegând sfertul din dreapta sus cu sistemul de axe în centrul orificiului circular pentru discretizarea adoptată în Fig. 9.9 fişierul datelor de intrare cst2 este:

Fig. 9.9: Discretizare CST2

31 40 1 1 0 1 10.0000 0.0000 2 0 1 15.0000 0.0000 3 0 1 20.0000 0.0000 4 0 1 25.0000 0.0000

129

5 0 1 30.0000 0.0000 6 0 0 9.2380 3.8260 7 0 0 15.0000 4.0000 8 0 0 20.0000 4.0000 9 0 0 25.0000 5.000010 0 0 30.0000 5.000011 0 0 7.0710 7.071012 0 0 15.0000 8.000013 0 0 20.0000 9.000014 0 0 25.0000 10.000015 0 0 30.0000 10.000016 0 0 3.8260 9.238017 1 0 0.0000 10.000018 1 0 0.0000 15.000019 0 0 4.0000 15.000020 0 0 8.0000 15.000021 0 0 15.0000 15.000022 0 0 20.0000 15.000023 0 0 25.0000 15.000024 0 0 30.0000 15.000025 1 0 0.0000 20.000026 0 0 4.0000 20.000027 0 0 8.0000 20.000028 0 0 15.0000 20.000029 0 0 20.0000 20.000030 0 0 25.0000 20.000031 0 0 30.0000 20.0000 1 1 2 7 210000.00 0.300 2.0000 2 1 7 6 210000.00 0.300 2.0000 3 2 3 8 210000.00 0.300 2.0000 4 2 8 7 210000.00 0.300 2.0000 5 3 4 9 210000.00 0.300 2.0000 6 3 9 8 210000.00 0.300 2.0000 7 4 5 10 210000.00 0.300 2.0000 8 4 10 9 210000.00 0.300 2.0000 9 6 7 12 210000.00 0.300 2.0000 10 6 12 11 210000.00 0.300 2.0000 11 7 8 13 210000.00 0.300 2.0000 12 7 13 12 210000.00 0.300 2.0000 13 8 9 14 210000.00 0.300 2.0000

130

14 8 14 13 210000.00 0.300 2.0000 15 9 10 15 210000.00 0.300 2.0000 16 9 15 14 210000.00 0.300 2.0000 17 17 16 18 210000.00 0.300 2.0000 18 16 19 18 210000.00 0.300 2.0000 19 11 20 16 210000.00 0.300 2.0000 20 16 20 19 210000.00 0.300 2.0000 21 11 12 20 210000.00 0.300 2.0000 22 12 21 20 210000.00 0.300 2.0000 23 12 13 21 210000.00 0.300 2.0000 24 13 22 21 210000.00 0.300 2.0000 25 13 14 22 210000.00 0.300 2.0000 26 14 23 22 210000.00 0.300 2.0000 27 14 15 23 210000.00 0.300 2.0000 28 15 24 23 210000.00 0.300 2.0000 29 18 19 25 210000.00 0.300 2.0000 30 19 26 25 210000.00 0.300 2.0000 31 19 20 26 210000.00 0.300 2.0000 32 20 27 26 210000.00 0.300 2.0000 33 20 21 27 210000.00 0.300 2.0000 34 21 28 27 210000.00 0.300 2.0000 35 21 22 28 210000.00 0.300 2.0000 36 22 29 28 210000.00 0.300 2.0000 37 22 23 29 210000.00 0.300 2.0000 38 23 30 29 210000.00 0.300 2.0000 39 23 24 30 210000.00 0.300 2.0000 40 24 31 30 210000.00 0.300 2.0000 5 5 25.000000 0.000000 10 50.000000 0.000000 15 50.000000 0.000000 24 50.000000 0.000000 31 25.000000 0.000000

Se observă că în axele de simetrie s-au introdus condiţii la limită în blocaje care nu permit modelului deplasări de solid rigid. Presiunea uniform distribuită a fost redusă la noduri, adică fiecare element încărcat cu presiune uniformă pe o latură, împarte forţa echivalentă în două parţi egale, la cele două noduri de pe latura respectivă. Nodul comun 10 la elementul 7 şi 15 spre exemplu, preia forţa:

131

=

−+−=

2)10(Y)15(Y

2)5(Y)10(YptF10 50 N.

O parte din rezultatele rulării prezentate în mod grafic se pot urmări în Fig. 9.10 - 9.16. Fig. 9.10 şi Fig. 9.11 prezintă deformaţiile la scară mărită şi în reprezentare hasurata pe intervale de valori. Fig. 9.12 şi Fig. 9.13 scot în evidenţă caracterul constant al tensiunilor pe elemente şi modificările introduse prin determinarea tensiunilor nodale prin mediere. Fig. 9.14 prezintă linii de echisolicitare, iar Fig. 9.15 prezintă orientarea tensiunilor principale în reprezentare la scară. Graficul din Fig. 9.16 arată variaţia tensiunii SX în zona slabită (X = 0).

Fig. 9.10: Deformata CST2

Fig. 9.11: Reprezentarea deplasării pe direcţia X-CST2

132

Fig. 9.12: Reprezentarea tensiunilor SX pe elemente - CST2

Fig. 9.13: Reprezentarea tensiunilor SX mediate la noduri - CST2

Fig. 9.14: Linii de egală solicitare - CST2

133

Fig. 9.15: Tensiunile principale CST2

Fig. 9.16: Variaţia tensiunii SX în zona concentratorului - CST2

Observaţie: Dorind să se urmarească gradientul de tensiune în discretizare, adică introducerea a mai multor noduri (şi elemente) în zona concentratorului, cei începători fac deseori greşeli de discretizare ca în Fig. 9.17a, adică nu se asigură continuitatea mărimilor (se “leagă“ noduri de laturi contrar metodei elementelor finite). Aceste modelari greşite echivalează cu introducerea de fisuri în model.

O modelare care urmareşte gradientul tensiunii se prezintă în Fig. 9.17b, datorită influenţei găurii lungimea L s-a mărit la L′ =100 mm.

134

a bFig. 9.17: Variante de discretizări - CST2

Pentru calculul coeficientului de concentrare al tensiunilor, se reţine din rezultate σx,max = 16,85 MPa în zona nodului 17 şi se calculează tensiunea medie pe axa Y (la X = 0):

( ) =−

=tdB

pBtσm 10 MPa,

şi rezultă

===10

85,16σ

σk

m

max,xσ 1,685.

Această valoare este mai mică decât valoarea exactă obţinută analitic:≅exact,σk 2,18. O discretizare mai fină în zona concentratorului poate îmbunătăţi

valoarea calculată a lui kσ, astfel pentru discretizarea din Fig. 9.17.b s-a obţinut kσ

=2,037.

CST3. Să se studieze starea de tensiune şi deformaţia unei plăci pătrate de latura a = 50 mm şi grosime t = 1 mm supusă la forfecare ca în Fig. 9.18. Se dau E=2.105 MPa; ν=0,3; şi τ=100 MPa.

τ

Fig. 9.18: Problema CST3 Fig. 9.19: Posibila discretizare CST3

135

Rezolvare

Problema se poate rezolva adoptând o discretizare pe întreaga structură, impunănd blocajele minim necesare pentru înlaturarea miăcării de corp rigid şi echivalând tensiunea τ la noduri prin forţe echivalente ca în Fig. 9.19.

Fig. 9.20: Discretizare CST3 Fig. 9.21: Tensiunile principale

Dacă ţinem cont de simetria geometrică a problemei şi de antisimetria de încărcare, modelul problemei se poate dezvolta pe un sfert din structura ca în Fig. 9.20 pentru care fişierul datelor de intrare cst3a este:

9 8 1 1 1 1 0.0000 0.0000 2 1 0 12.5000 0.0000 3 1 0 25.0000 0.0000 4 0 1 0.0000 12.5000 5 0 0 12.5000 12.5000 6 0 0 25.0000 12.5000 7 0 1 0.0000 25.0000 8 0 0 12.5000 25.0000 9 0 0 25.0000 25.0000 1 1 2 5 2.00000E+05 0.300 1.00000E+00 2 1 5 4 2.00000E+05 0.300 1.00000E+00 3 2 3 5 2.00000E+05 0.300 1.00000E+00 4 3 6 5 2.00000E+05 0.300 1.00000E+00 5 4 5 7 2.00000E+05 0.300 1.00000E+00 6 7 5 8 2.00000E+05 0.300 1.00000E+00 7 5 6 9 2.00000E+05 0.300 1.00000E+00 8 5 9 8 2.00000E+05 0.300 1.00000E+00

136

5 3 0.000000 625.000000 6 0.000000 1250.000000 9 625.000000 625.000000 8 1250.000000 0.000000 7 625.000000 0.000000

Se observă (vezi Fig. 9.21) că starea plană de forfecare pură este echivalentă cu întindere şi compresiune la 45° de tensiuni σ1 = τ si σ2 = -τ. Elementul patrulater se deformează după un romb. Se poate verifica relaţia:

γGτ = .Modulul de elasticitate transversal G se determină din relaţia E, G, ν (vezi

rel. 3.1) iar deformaţia specifică unghiulară γ se determină pentru discretizarea dată cu relaţia:

( ))7(UX)3(UYa2γ += .

Fig. 9.22: Problema CST4 Fig. 9.23: Discretizare - CST4

CST4. Grinda înaltă din Fig. 9.22 este formată din două platbande din oţel de grosimi t1 şi t2 sudate între ele. Ştiind că E = 2.105 MPa; ν = 0,3; F = 50 kN; L = 2 m; h = 0,5 m; t1 = 40 mm; t2 = 20 mm se cere:

-să se afle deplasarea punctului k şi tensiunea maxima din grindă (se va neglija efectul forţei concentrate);

-să se precizeze dacă medierea tensiunilor la noduri este corectă având în vedere grosimile diferite ale unor elemente finite;

-să se compare rezultatele obţinute prin MEF cu cele obţinute analitic prin asimilarea grinzii cu o bară.

Răspuns: Pentru discretizarea din Fig. 9.23, se obţine:σ x,max = 72,99 MPa; σ x,min = -99,94 MPa.

=ku -0,449 mm; =kv -2,17 mm, iar calculul analitic conduce la:

137

σ x,max = 72,72 MPa; σ x,min = -101,82 MPa; v = -2,327 mm.Observaţie: Grinzile înalte se calculează cu relaţii diferite faţă de cele bazate pe ipoteza Bernoulli. În Fig. 9.24 se poate observa că distribuţia tensiunilor σx nu este liniară în încastrare. Trebuie menţionat că pe lângă efectul grinzii înalte, în încastrare există şi un concentrator de tensiune suplimentar, generat de împiedicarea contracţiei transversale deoarece 0ν ≠ .

Fig. 9.24: Distribuţia SX în încastrare - CST4

CST5. Piesa din Fig. 9.25 are grosimea t = 4 mm şi a = 10 mm; cunoscând E=2,1.105 MPa; ν=0,3 şi p = 50 MPa se cere: a) deplasarea relativă A-C; b) tensiunea SX maximă (de întindere) şi zona în care se atinge.

Fig. 9.25: Problema CST5 Fig. 9.26: Discretizare - CST5

Indicaţie: Modelul cu elemente finite se generează pentru un sfert din piesă.

138

Răspuns: Pentru discretizarea cu 40 elemente identice ca mărime (Fig. 9.26) se obţin rezultatele: δAC = 0,0496 mm; σx,max = 98,73 MPa în punctele B, D.

CST6. Saltul de lăţime pentru piesa de grosime t = 3 mm din Fig. 9.27 se realizează printr-o racordare de raza r =10 mm. Ştiind că E = 2.105 MPa; ν = 0,3; L = 80 mm; t1 =40 mm; t2 = 70 mm să se afle coeficientul concentratorului de tensiune şi deplasarea capătului liber al plăcii pentru p = 100 MPa.

Fig. 9.27: Problema CST6 Fig. 9.28: Discretizare - CST6

Răspuns: Pentru discretizarea din Fig. 9.28 se obţine: kσ = 1,44 şi u = 0,064 mm. Menţionăm că după unele norme germane kσ = 1,692.

CST7. Să se afle coeficientul de concentrare al tensiunilor pentru crestăturile semicirculare din piesa de grosime constantă prezentată în Fig. 9.29 pentru cele două tipuri de solicitări: a) întindere; b) încovoiere. Se va lua E=2.105 MPa; ν = 0,3; grosimea plăcii t = 1 mm; L=100 mm; B=60 mm; d=20 mm; p=100 MPa; M=6.104 Nmm.

Fig. 9.29: Problema CST7

Indicaţie: Se va trata problema pe sfert. Momentul se echivalează prin 2 forţe concentrate egale şi de semn contrar.Răspuns: Pentru discretizarea din Fig. 9.30 se obţine:

a) ==n

maxσ σ

σk 1,726 b) ==i

maxσ σ

σk 1,236.

139

Teoretic după norme germane: a) ==n

maxσ σ

σk 2,027 b) ==i

maxσ σ

σk 1,740.

a bFig. 9.30: Discretizare - CST7

CST8. Să se afle tensiunea maximă pe direcţia încărcării, la vârful fisurii pentru placa din Fig. 9.31. Se dau E = 1,1.105 MPa; ν = 0,35; p = 10 MPa; L = 200 mm; B = 120 mm; t = 10 mm; s = 1 mm.

Fig. 9.31: Problema CST8 Fig. 9.32: Discretizare CST8

Răspuns: Pentru discretizarea unei jumătăţi a plăcii prezentată în Fig. 9.32 se obţine σx,max = 56,48 MPa;

CST9. Un stăvilar din beton de lungime foarte mare de secţiune trapezoidală (Fig. 9.33) este solicitat de presiunea apei şi greutatea proprie. Să se calculeze tensiunea maximă în beton şi să se precizeze dacă există pericolul basculării stăvilarului. Se dau Ebeton =2,5.1010 Pa; νbeton = 0,18; ρbeton = 2200 Kg/m3;σr,beton = 1,1 MPa; ρapa = 1000 Kg/m3; B = 10 m; b = 3 m; h = 15 m; g =10 m/s2 .

Indicaţie: Lungimea mare a stăvilarului împiedică deformaţia de-a lungul stăvilarului şi deci problema de rezolvat este o problemă de SPD pentru care se alege o grosime oarecare de obicei egală cu unitatea. Pentru a nu greşi la transformarea unităţilor de măsură se preferă lucrul în SI. Presiunea apei la baza stăvilarului este p = ρapagh. În lipsa unei proceduri de echivalare a forţelor de volum, greutatea

140

betonului se reduce la noduri prin forţe corespunzătoare volumului de beton aferent la un nod (vezi Fig. 9.34) conform relaţiei: gVρF nn = .

Observaţie: Solicitări de întindere în beton pot produce fisuri care duc la distrugerea prematură a construcţiei.

Fig. 9.33: Problema CST9 Fig. 9.34: Discretizare CST9

Răspuns: Pentru discretizarea din Fig.9.34 se obţin tensiuni de compresiune, deci nu există pericol de basculare.

=max,1σ -1,578.104 Pa; =min,2σ -8,702.105 Pa.

CST10. Un disc ca cel din Fig. 9.35 este comprimat cu o forţa F = 500 N. Ştiind că raza discului este R = 50 mm, grosimea t = 5mm; E = 8.103 MPa; ν = 0,38, să se determine deplasarea relativă între punctele de aplicare a forţelor şi tensiunile în centrul discului. Comparaţi rezultatele obţinute cu rezultatele analitice ale tensiunilor în centrul discului:

RtπFσ1 = ;

RtπF3σ2 −= .

Răspuns: Pentru discretizarea pe sfert din Fig. 9.36 se obţine δ = 0,0496 mm iar media tensiunilor pe elementele centrale conduce la tensiunile principale: σ1 = 0,6351 MPa; şi σ2 = -1,9041 MPa.Rezultatul analitic este: σ1 = 0,6366 MPa; σ2 = -1,9098 MPa.

141

Fig. 9.35: Problema CST10 Fig. 9.36: Discretizare CST10

CST11. Grinda din Fig. 9.37 poate fi calculată ca o bară, dar poate fi modelată şi cu elemente CST. Dacă se alege L =1,6 m; b = 100 mm; h = 60 mm; E = 2.105 MPa; ν = 0,3; p = 0,1 MPa; problema coincide cu CADP3b. Să se compare sageata şi tensiunea maximă determinată prin modelare cu elemente CST cu valorile exacte: vmax = 0,474 mm; σmax = 35,55 MPa.

Fig. 9.37: Problema CST11 Fig. 9.38: Discretizare - CST11

Răspuns: vmax = 0,234 mm; σx,max = 14,64 MPa.

142

9.B. Elementul patrulater cu patru noduri (QUAD4)

A. Caracteristici principale ale elementului patrulater (Fig. 9.39):1. este element izoparametric, definit de patru noduri I, J, K, L care trebuie

declarate în sensul dat de rotirea axei X peste Y pe drumul cel mai scurt ;2. are două grade de libertate pe nod (GLN = 2), deplasări X şi Y (UX, UY);3. are grosime constantă şi poate fi încărcat cu forţe la noduri;

a

bFig. 9.39: Elementul QUAD4

4. elementul se poate folosi pentru modelarea stării plane de tensiune (SPT) şi stării plane de deformaţie (SPD) conform Fig. 9.39.a dar şi a stării axial simetrice (SAS) ca în Fig. 9.39.b;

5. matricea de rigiditate in coordonate globale este:[ ] [ ] [ ] [ ]∫=

V

Te dVBDBK , (9.11)în care:

[ ] [ ]

∂=

4321

4321

N0N0N0N00N0N0N0N

B ;

(9.12)este matricea derivatelor funcţiilor de formă, iar expresia matricelor de derivare este:

143

[ ]

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=∂

xy

y0

0x

pentru SPT şi SPD; (9.13a)

[ ]

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=∂

0x1

xy

y0

0x

pentru SAS. (9.13b)

Funcţiile de formă în coordonate naturale sunt:

( ) ( )s1r141N1 −−= ;

( ) ( )s1r141N2 −+= ;

( ) ( )s1r141N3 ++= ; (9.14)

( ) ( )s1r141N4 +−= ;

matricele de rigiditate [D] sunt aceleaşi ca pentru elementul CST, (vezi rel. (9.5), (9.6)) iar pentru SAS este:

[ ] ( )( ) ( )

( )

−−

−−

−−

−−

−+−=

10ν1

νν1

ν

0ν12ν2100

ν1ν01

ν1ν

ν1ν0

ν1ν1

ν21ν1ν1ED (9.15)

6. uzual elementul este denumit QUAD4(Quadrilateral).

B. Date legate de element1. grosimea elementului, pentru analize de tip SPT sau SPD;

144

2. tipul studiului (SPT, SPD sau SAS).3. ordinul de integrare al matricei de rigiditate al elementului, INT (pentru

programe de firmă se alege automat 2, 3 sau 4);

C. Date despre materialul elementului1. modulul de elasticitate longitudinal - E;2. coeficientul lui Poisson - niu;(3). coeficientul de dilatare termică - α;(4). densitatea materialului -DENS;(5). acceleraţia gravitatională - g sau greutatea specifică - γ = ρg.

D. Date despre încărcări1. blocaje la translaţie în direcţia X - BX şi în direcţia Y - BY;2. forţe la noduri în direcţia X - FX şi Y - FY;(3). deplasări impuse pe orice direcţie;(4). temperaturi în noduri sau în elemente;(5). forţe de inerţie generate de câmpul gravitaţional (pentru care sunt

necesare ca date de intrare ρ, g direcţia şi sensul gravitaţiei), sau generată de mişcarea de rotaţie uniformă (pentru care trebuie precizate axa de rotaţie şi viteza unghiulară ω);

(6) presiuni distribuite liniar sau constante pe laturile elementului. Aceste presiuni (sau forţe distribuite liniar) se echivalează la nodurile elementului cu forţe concentrate (vezi Fig. 8.2 pentru care se neglijează momentele);

Observatie: Pentru analize axial simetrice încărcările se declară pe întreaga structură (360°), pentru unel programe încărcarea se declară pe un radian.

E. Rezultatele analizei1. deplasările nodale - UX, UY;2. tensiunile în sistemul global de axe - SX, SY, SXY, SZ la nodurile

elementului, precum şi în centrul lui, tensiunile principale S1, S2 şi unghiul ALFA pe care îl face direcţia tensiunii principale S1 cu axa X în centrul elementului (vezi Fig. 9.39.a) pentru SPT şi SPD.

Tensiunile într-un nod diferă pentru elementele care au nodul respectiv comun. Pentru corectarea rezultatelor de obicei se recurge la medierea tensiunilor la noduri folosind diverse metode, cea mai simplă mediere fără a ţine seama de ariile şi grosimile elementelor vecine este inclusă în programul de calcul, conform acestei reguli dacă într-un nod I sunt n elemente vecine (vezi Fig. 9.40) atunci tensiunea medie în nod se determină cu relaţia:

145

SS

nI m

I ii

n

,

,

= =∑

1 (9.16a)

Se mai pot folosi relatii de calcul ce tin cont de ariile elementelor vecine, cum ar fi:

Fig. 9.40: Nod comun la n elemente

SS A

AI m

I ii

n

i

ii

n,

,

= =

=

∑

∑1

1

(9.16b)

în care:SI,m -valoarea medie a unei tensiuni în nodul I;SI,i -valoarea tensiunii în nodul I pentru elementul i (I = 1,...,n);Ai -aria elementului i.Tensiunile dintr-un punct P al elementului se determină cu relaţia:

[ ] [ ] eP UBD

SZSXYSYSX

=

><

(9.17)

<SZ> intervine pentru probleme axial simetrice iar pentru starea plană de deformaţie se pot calcula direct din tensiunile SX şi SY. Se menţionează că pentru calculul tensiunilor în general se foloseşte altă tehnică: tensiunile se determină în punctele Gauss 22 × (unde se demonstrează că erorile de calcul a tensiunilor sunt minime) şi apoi se expandează la noduri folosind funcţiile de formă 9.14. Pentru elemente patrulatere puţin distorsionate, adică apropiate de un pătrat, practic tensiunile determinate direct în noduri coincid cu cele expandate din punctele Gauss.

Se pot media tensiunile SX, SY, SXY, SZ şi apoi se pot calcula tensiunile principale S1 > S2 > S3 în noduri, sau se pot media toate tensiunile de la început.

Tensiunea echivalenta, von Mises - Sech se determina cu relatia:

( ) ( ) ( )[ ]222 1S3S3S2S2S1S21Sech −+−+−= (9.18)

(3). deformaţiile specifice din element, într-un punct P se calculeaza cu relaţia:

[ ] eP UBε = (9.19)

(4). reactiunile din legaturile cu exteriorul.

146

F. Structura fişierului cu date de intrare este1. Date generale NN NE TIPE2. Date despre noduriNI BX BY X Y...3. Date despre elementeEI I J K L E niu t INT...4. Date despre încărcări cu forţe în noduriNFNIF FX FY...

G. Programul de lucruQUAD4PLw_re.EXE

Acest program a fost conceput să lucreze cu noţiunile (datele) de la punctele B-E neincluse între paranteze.

H. Schema logică a programului coincide cu cea prezentată în Fig. 7.2. Sistemul de ecuaţii care se rezolva este stocat în memoria RAM a calculatorului în matrice bandă. Dimensiunea maximă a problemelor care pot fi rezolvate rezultă din numărul necunoscutelor şi laţimea de bandă. Pentru a rezolva probleme de dimensiuni mari se impune reconsiderarea gestionării resurselor hard (memoria extinsă). O parte a rezultatelor (în special tensiuni) sunt stocate în fisiere text care se pot examina după fiecare rulare, astfel se pot urmari fişierele: tensel.5; tensel.pr; tensx.nod; tenstot.nod.

Aplicaţii

QUAD1. Pentru placa dreptunghiulară prezentată în Fig. 9.41 se cere sa se determine deplasarea punctului k şi tensiunea maximă. Se dau E = 2.105 MPa; ν = 0,3; t = 6 mm; L = 80 mm; h = 40 mm; F=1 kN.

Fig. 9.41: Problema QUAD1 Fig. 9.43: Discretizare QUAD1

147

Rezolvare.

Datorită simetriei geometrice, problema se poate “descompune” în două încărcări, aşa cum se poate urmări în Fig. 9.42. Deoarece interesează doar deplasarea punctului k şi tensiunea maxima care se presupune a fi în încastrare (dacă se neglijează efectul local al forţei concentrate), încărcarea simetrică (vezi Fig. 9.42.a) nu produce deplasarea punctului k, iar tensiunile la distanţă mare de forţele F sunt neglijabile. Problema se poate rezolva doar cu încarcarea b) pe un model de jumătate de placă.

Fig. 9.42: Descompunerea încărcării pentru problema QUAD1

O variantă a discretizării se prezintă în Fig. 9.43 pentru care fişierul datelor de intrare quad1 este:

10 4 11 1 1 0.0 0.02 1 1 0.0 20.03 1 0 20.0 0.04 0 0 20.0 20.05 1 0 40.0 0.06 0 0 40.0 20.07 1 0 60.0 0.08 0 0 60.0 20.09 1 0 80.0 0.010 0 0 80.0 20.01 1 3 4 2 200000.0 0.3 6.0 32 3 5 6 4 200000.0 0.3 6.0 33 5 7 8 6 200000.0 0.3 6.0 34 7 9 10 8 200000.0 0.3 6.0 3110 0.000000 -1000.000000

În urma analizei se obţine listingul:

ANALIZA PLANA PENTRU MODEL STARE PLANA DE TENSIUNE

148

NOD BX BY X Y 1 1 1 0.0000 0.0000 2 1 1 0.0000 20.0000 3 1 0 20.0000 0.0000 4 0 0 20.0000 20.0000 5 1 0 40.0000 0.0000 6 0 0 40.0000 20.0000 7 1 0 60.0000 0.0000 8 0 0 60.0000 20.0000 9 1 0 80.0000 0.000010 0 0 80.0000 20.0000ELEM I J K L E niu t INT 1 1 3 4 2 200000.00 0.300 6.0000 3 2 3 5 6 4 200000.00 0.300 6.0000 3 3 5 7 8 6 200000.00 0.300 6.0000 3 4 7 9 10 8 200000.00 0.300 6.0000 3NOD FX FY 1 0.0000 0.0000 2 0.0000 0.0000 3 0.0000 0.0000 4 0.0000 0.0000 5 0.0000 0.0000 6 0.0000 0.0000 7 0.0000 0.0000 8 0.0000 0.0000 9 0.0000 0.000010 0.0000 -1000.000MATRICEA DE RIGIDITATE ASAMBLATA ARE NEC = 12 ECUATIISEMILATIMEA MATRICII ASAMBLATE ESTE LB = 6DEPLASARI NODALENOD UX UY 1 0.0000000000E+00 0.0000000000E+00 2 0.0000000000E+00 0.0000000000E+00 3 0.0000000000E+00 -5.3361624581E -03 4 7.5782340791E -03 -6.5754049539E -03 5 0.0000000000E+00 -1.8179242393E -02 6 1.3202556964E -02 -1.8846449395E -02 7 0.0000000000E+00 -3.5476490273E -02 8 1.6501261008E -02 -3.5586352818E -02 9 0.0000000000E+00 -5.4226030124E -02

149

10 1.7834840910E -02 -5.5506248219E -02

Tensiunile în elemente se pot urmări în fişierul tensel.5 reprodus mai jos. Tensiunile pe fiecare element se dau în cele patru noduri I, J, K, L şi în centrul elementului pe câte o linie, în ordinea SX SY SXY SZ.

Fisierul tensel.5: 0.00000000E+00 0.00000000E+00 -2.05237018E+01 0.0-4.08541482E+00 -1.36180494E+01 8.62335239E+00 0.0 7.91918828E+01 1.13651399E+01 3.85703510E+00 0.0 8.32772976E+01 2.49831893E+01 -2.52900191E+01 0.0 3.95959414E+01 5.68256993E+00 -8.33333333E+00 0.0

-4.08541482E+00 -1.36180494E+01 -2.02494071E+01 0.0-2.19958352E+00 -7.33194508E+00 1.38260396E+00 0.0 5.96061625E+01 1.12097787E+01 3.58274047E+00 0.0 5.77203312E+01 4.92367439E+00 -1.80492706E+01 0.0 2.77603738E+01 -1.20413534E+00 -8.33333333E+00 0.0

-2.19958352E+00 -7.33194508E+00 -1.57488112E+01 0.0-3.62184214E-01 -1.20728071E+00 -3.06148797E+00 0.0 3.58873108E+01 9.66756778E+00 -9.17855446E-01 0.0 3.40499115E+01 3.54290342E+00 -1.36051787E+01 0.0 1.68438636E+01 1.16781135E+00 -8.33333333E+00 0.0

-3.62184214E-01 -1.20728071E+00 -8.64722632E+00 0.0-4.22049921E+00 -1.40683307E+01 -3.51807285E+00 0.0 1.04342250E+01 -9.67191345E+00 -8.01944035E+00 0.0 1.42925400E+01 3.18913655E+00 -1.31485938E+01 0.0 5.03602039E+00 -5.43959708E+00 -8.33333333E+00 0.0

Fig. 9.44: Distribuţia tensiunii SX pe elemente - QUAD1

150

Fig. 9.45: Distribuţia tensiunii SX mediată la noduri - QUAD1

Deplasarea nodului k, adică a nodului 9, este vk =-5,422 mm iar tensiunea SX maximă se poate urmări în Fig. 9.44 nemediată la noduri şi în Fig. 9.45 mediată la noduri.

TEMĂ: Rezolvaţi problema discretizând întreaga structură şi comparaţi rezultatele. Creşteţi numărul de elemente pentru o nouă discretizare şi examinaţi tensiunile echivalente în zona de aplicare a sarcinii.

QUAD2. Discretizaţi întreaga placă din Fig. 9.46 în 20 de elemente dreptunghiulare QUAD4 egale, cu diferite rapoarte ale laturilor şi comparaţi deplasarea punctului B, tensiunea SX în punctul D şi Sech în punctul C. Se dau E = 2.105 MPa; ν = 0,3; t = 1 mm; L = 100 mm; h = 40 mm; F = 250 N. Care sunt rezultatele dacă se discretizează cu 1 element ? Dar dacă se discretizează cu 40 elemente patrate egale ?

Fig. 9.46: Problema QUAD2

a b c d

e f g h

Fig. 9.47: Diferite discretizări pentru problema QUAD2

151

Rezolvare

Se adoptă discretizările din Fig. 9. 47 pentru care se obţin rezultatele prezentate în Tabelul 9.1.

Concluzii. Rezultatele cele mai apropiate de valorile exacte se obţin printr-o discretizare cu cât mai multe elemente apropiate de forma pătrată. Trebuie menţionat că pentru îmbunătăţirea soluţiei în cazul general se poate recurge la creşterea numărului de elemente, sau la alegerea unui element finit mai performant (cu noduri mai multe sau cu grade de libertate mai multe – care conţine şi grade de liberate rotiri, în cazul de faţă RZ).

Tabelul 9.1: Rezultatele aplicaţiei QUAD2Discretizarea UX(B)

[mm]UY(B)[mm]

SX(D)[MPa]

Sech(C)[MPa]

a. 100×2 -6,658.10-3 -2,550.10-2 15,991 24,753b. 5×40 -1,591.10-2 -2,613.10-2 90,909 37,987c. 50×4 -1,428.10-2 -5,283.10-2 47,232 22,814d. 10×20 -2,155.10-2 -8.042.10-2 90,200 48,823e. 25×8 -1,987.10-2 -7,376.10-2 77,674 33,626f. 20×10 -2,076.10-2 -7,721.10-2 83,817 38,601g. 10×10 = 40 el -2,213.10-2 -8,282.10-2 96,522 65.283h. 100×40 = 1 el -6,421.10-2 -2,449.10-2 15,300 36,241EXACT -2,229.10-2 -8,613.10-2 ≈144 ∞

QUAD3. Un tub cu pereţi groşi de lungime foarte mare (Fig. 9.48) are raza interioară Ri = 50 mm şi cea exterioară Re = 100 mm. Ştiind ca E =2,1.105 MPa şi ν = 0,3 să se calculeze distribuţia de tensiuni în tub pentru o presiune interioară pi

= 100 MPa.Fig. 9.48: Problema QUAD3

Comparati rezultatele analizei cu rezultatul analitic al tensiunilor într-un punct de raza r:

−

−= 2

2e

2i

2e

2ii

r rR1

RRRpσ ;

+

−= 2

2e

2i

2e

2ii

t rR1

RRRpσ .

152

Rezolvare

Deoarece lungimea tubului este foarte mare, deformaţiile în lungul tubului se presupun a fi impiedicate şi deci dacă se reţine o felie din tub se poate face un calcul de SPD. Din motive de simetrie se poate face analiza pe un sfert din structură, astfel modelul de calcul se poate urmări în Fig. 9.49.

Presiunea de pe laturile elementelor se reduce la noduri prin forţe echivalente. Conform Fig. 9.50, presiunea de pe latura IJ se reduce la nodurile I şi J prin forte de valori:

αcos2

ptl)J(FX)I(FX == ; αsin2

ptl)J(FY)I(FY == .

Fişierul datelor de intrare quad3a este:

45 32 21 0 1 50 0 2 0 1 62 0 3 0 1 75 0 4 0 1 87.5 0 5 0 1 100 0 6 0 0 49.03926 9.754516 7 0 0 61.29908 12.19314 8 0 0 73.55890 14.63177 9 0 0 85.81872 17.07040 10 0 0 98.07853 19.50903 11 0 0 46.19398 19.13417 12 0 0 57.74248 23.91771 13 0 0 69.29097 28.70126 14 0 0 80.83947 33.48480 15 0 0 92.38795 38.26834 16 0 0 41.57348 27.77851 17 0 0 51.96686 34.72314

Fig. 9.49: Discretizare QUAD3

18 0 0 62.36023 41.66777 19 0 0 72.75360 48.6124020 0 0 83.14697 55.55702 21 0 0 35.35534 35.35534 22 0 0 44.19418 44.19418 23 0 0 53.03302 53.03301 24 0 0 61.87185 61.87185 25 0 0 70.71069 70.71068 26 0 0 27.77852 41.57348

153

27 0 0 34.72315 51.96685 28 0 0 41.66778 62.36022 29 0 0 48.61241 72.75360 30 0 0 55.55703 83.14697 31 0 0 19.13418 46.19398 32 0 0 23.91773 57.74248 33 0 0 28.70127 69.29097 34 0 0 33.48481 80.83947 35 0 0 38.26836 92.38796 36 0 0 9.754523 49.03927 37 0 0 12.19316 61.29909 38 0 0 14.63179 73.55891 39 0 0 17.07042 85.81873

α

Fig. 9.50: Reducerea presiunii uniform distribuite pentru elementele plane

40 0 0 19.50905 98.07854 41 1 0 0.00000 50.00000 42 1 0 0.00000 62.50000 43 1 0 0.00000 75.00000 44 1 0 0.00000 87.50000 45 1 0 0.00000 100.0000 1 1 2 7 6 210000 0.3 6.25 22 2 3 8 7 210000 0.3 6.25 23 3 4 9 8 210000 0.3 6.25 24 4 5 10 9 210000 0.3 6.25 25 6 7 12 11 210000 0.3 6.25 26 7 8 13 12 210000 0.3 6.25 27 8 9 14 13 210000 0.3 6.25 28 9 10 15 14 210000 0.3 6.25 29 11 12 17 16 210000 0.3 6.25 210 12 13 18 17 210000 0.3 6.25 211 13 14 19 18 210000 0.3 6.25 212 14 15 20 19 210000 0.3 6.25 213 16 17 22 21 210000 0.3 6.25 214 17 18 23 22 210000 0.3 6.25 215 18 19 24 23 210000 0.3 6.25 216 19 20 25 24 210000 0.3 6.25 217 21 22 27 26 210000 0.3 6.25 218 22 23 28 27 210000 0.3 6.25 219 23 24 29 28 210000 0.3 6.25 220 24 25 30 29 210000 0.3 6.25 221 26 27 32 31 210000 0.3 6.25 2

154

22 27 28 33 32 210000 0.3 6.25 223 28 29 34 33 210000 0.3 6.25 224 29 30 35 34 210000 0.3 6.25 225 31 32 37 36 210000 0.3 6.25 226 32 33 38 37 210000 0.3 6.25 227 33 34 39 38 210000 0.3 6.25 228 34 35 40 39 210000 0.3 6.25 229 36 37 42 41 210000 0.3 6.25 230 37 38 43 42 210000 0.3 6.25 231 38 39 44 43 210000 0.3 6.25 232 39 40 45 44 210000 0.3 6.25 291 3048.28 0.006 5979.42 1189.3811 5632.49 2333.0516 5069.11 3387.0721 4310.92 4310.9226 3387.07 5069.1131 2333.05 5632.4936 1189.38 5979.4341 0.00 3048.28

Fig. 9.51: Deformata QUAD3

Rezultatele rulării se pot urmări în formă grafică, în Fig. 9.51-deformata, în Fig. 9.52-distribuţia tensiunilor principale maxime S1, iar în Fig. 9.53-distribuţia tensiunilor principale minime S3.

Fig. 9.52: Distributia tensiunii S1 pentru problema QUAD3

Fig. 9.53: Distributia tensiunii S3 pentru problema QUAD3

155

Nu s-au reprezentat tensiunile SX, SY şi SXY deoarece sunt mai puţin semnificative pentru această problemă.

Tensiunile S1 corespund tensiunilor tangentiale σt iar tensiunile S3 corespund tensiunilor radiale σr.

Deoarece lăţimea benzilor de haşuri diferite este mai mică la interiorul tubului, se poate trage concluzia că gradientul tensiunilor S1 este mai pronunţat la interior.

Faţă de axa tubului există simetrie axială, deci se poate dezvolta un model SAS. Deoarece deplasările în lungul tubului sunt nule se reţine o felie din tub pentru care modelul se poate urmări în Fig. 9.54.

α

Fig. 9.54: Model axial simetric discretizat QUAD3

Fig. 9.55: Echivalarea nodala pentru elmentul axial simetric

Încarcarile nodale rezultă din presiunea pe element pe toata circumferinţa, adică dacă se urmăreşte Fig. 9.55 relaţia de determinare a forţelor echivalente este:

( ) αcos)J(X)I(Xplπ)J(FX)I(FX +== ;( ) αsin)J(X)I(Xplπ)J(FY)I(FY +== .

Fişierul datelor de intrare quad3b este:10 4 01 0 1 5.00E+01 0.00E+002 0 1 5.00E+01 1.00E+013 0 1 6.25E+01 0.00E+004 0 1 6.25E+01 1.00E+015 0 1 7.50E+01 0.00E+006 0 1 7.50E+01 1.00E+017 0 1 8.75E+01 0.00E+008 0 1 8.75E+01 1.00E+019 0 1 1.00E+02 0.00E+0010 0 1 1.00E+02 1.00E+011 1 3 4 2 2.1E+05 0.3 1.0 32 3 5 6 4 2.1E+05 0.3 1.0 3

Fig. 9.56: Deformata QUAD3

3 5 7 8 6 2.1E+05 0.3 1.0 3

156

4 7 9 10 8 2.1E+05 0.3 1.0 321 1.5707963E+05 0.000E+002 1.5707963E+05 0.000E+00

Rezultatele rulării se pot urmări în Fig. 9.56-deformata; Fig. 9.57-tensiunile S1 care sunt identice cu tensiunile SX; Fig. 9.58- tensiunile S3.

Fig. 9.57: Distribuţia tensiunii S1 pentru QUAD3

Fig. 9.58: Distribuţia tensiunii S3 pentru QUAD3

Tensiunile maxime tangenţiale şi radiale calculate cu relaţiile analitice conduc la: =max,tσ 166,66 MPa; =min,rσ -100 MPa;

Din analiza problemei prin cele două modele diferite se observă că rezultatele sunt practic aceleaşi, (trebuie acordată atenţie asupra interpretării rezultatelor care depind de sistemul de referinţă). Modelul axial simetric deşi este format din 4 elemente conduce la rezultate foarte apropiate de cele exacte ceea ce impune acest model în rezolvarea problemelor de tipul celei de mai sus. Dacă

157

modelul axial simetric conţine 10 elemente egale în plan pe un singur strat tensiunile devin: == max,1max,z σσ 175,54 MPa; == min,3min,x σσ -78,48 MPa.

Această problemă ca şi altele prezentate anterior arată că rezolvarea unei probleme cu ajutorul MEF nu presupune un model unic. Această problemă ar putea fi modelată spaţial cu ajutorul unor elemente de volum sau s-ar putea încerca şi o modelare cu elemente de placă groasă.

Rezultatele obţinute pe diverse modele nu sunt întotdeauna apropiate de soluţia exactă şi atunci se impune un studiu mai larg, în care un rol esenţial este deţinut de experienţa utilizatorului în tehnica de modelare.

QUAD4. Să se studieze distribuţia de tensiuni în vecinătatea îmbinărilor sudate prezentate în Fig. 9.59. Se consideră că tablele sunt de laţime foarte mare (SPD), cordonul de sudură este continuu, iar materialul sudurii este foarte apropiat de materialul tablelor. Se neglijează zona influenţată termic. Se dau E = 21.105 MPa; ν = 0,3; p = 100 MPa; t =20 mm.

Fig. 9.59: Problema QUAD4

Răspuns: Solicitările maxime apar în vecinătatea sudurii şi nu în cordonul de sudură. Pentru discretizarea din Fig. 9.60 se obţine:

a) =echσ 646,20 MPa;b) =echσ 373,14 MPa;c) =echσ 146,15 MPa;Dacă încovoierea tablelor este

pronunţată, în zona sudurilor tensiunile cresc foarte mult (vezi rezultatul îmbinării a).TEMĂ: Studiaţi starea de tensiuni dacă se rupe un cordon de sudură.Observaţie: Varianta c) rezultă din varianta a) prin modificarea blocajelor.

a

b

cFig. 9.60: Discretizare QUAD4

158

QUAD5. Într-o placă solicitată la întindere ca în Fig. 9.61 există o fisură de lungime d = 50 mm. Ştiind că L = 200 mm; B = 100 mm; E = 2.105 MPa; ν = 0,3; t = 8 mm; p = 10 MPa să se afle şi să se localizeze tensiunea maximă din placă.

Fig. 9.61: Problema QUAD5 Fig. 9.62: Discretizare QUAD5

Răspuns: Pentru discretizarea pe sfert ca în Fig. 9.62 se obţine σx,max = 26,47 MPa.

QUAD6. Placa cu fisură din Fig. 9.63 este încărcată cu opt forţe care produc forfecarea fisurii, să se localizeze şi să se determine tensiunea echivalentă maximă din zona fisurii. (se neglijează efectul forţelor concentrate).

Se dau: L = 200 mm; d = 50 mm; E = 2.105 MPa; ν = 0,3; F = 500 N.

Fig. 9.63: Problema QUAD6 Fig. 9.64: Discretizare QUAD6

Răspuns: Pentru discretizarea pe sfert ca în Fig. 9.64, tensiunile maxime se obţin în zona de aplicare a forţelor şi pentru a obtine tensiunile din zona fisurii se urmăresc fişierele de rezultate cu tensiuni, se obţine σech,max = 5,88 MPa.

Fig. 9.65: Discretizare pentru problema CST2 cu elemente QUAD4

159

QUAD7. Determinati concentratorul de tensiune pentru problema CST2 folosind elementul QUAD4 şi o discretizare care păstreaza numărul şi poziţionarea nodurilor din Fig. 9.17.b.

Răspuns: Pentru discretizarea prezentată în Fig. 9.65 se obtine kσ ≈ 2,2.

QUAD8. Să se compare tensiunile obţinute într-o bară curbă de secţiune dreptunghiulară supusă la încovoiere pură, (Fig. 9.66) cu rezultatul analitic ştiind că E = 2.105 MPa; ν = 0,3; t = 20 mm; a = 10 mm; M = 5,33333.105 Nmm. Distribuţia tensiunilor în bara curbă este dată de relaţia (vezi Fig. 9. 67 pentru notaţii):

Fig. 9.66: Problema QUAD8 Fig. 9.67: Notaţii pentru bara curbă

Fig. 9.68: Discretizare problema QUAD8

yry

AeMσ

−= ; unde

1

2

RRln

hRe −=.

Tensiunile extreme au valorile:

1

1max R

dAeMσ = ;

2

2min R

dAeMσ −= .

Indicaţie: Modelul problemei se poate face pe jumătate din structură, o axa de coordonate trebuie să coincidă cu axa de simetrie, înclinată la 45°.

Raspuns: Teoretic σmax =137,01 MPa; σmin = -77,77 MPa. Pentru discretizarea întregii structuri ca în Fig. 9.68 şi aplicarea momentului prin forţe echivalente ale distibuţiei liniare de tensiuni pe portiunea barei drepte se obtine:σmax = σ1 = 143,82 MPa; σmin = σ3 = -74,50 MPa.

QUAD9. Un înveliş sferic de raza interioară Ri =100 mm şi rază exterioară Re =104 mm este încărcat cu o presiune interioară pi = 1 MPa (Fig. 9.69). Ştiind că

160

sfera este din oţel cu E = 21.104 MPa şi ν = 0,3 să se determine tensiunea maximă din sferă.

αi α αe

Fig. 9.69: Problema QUAD9

Fig. 9.70: Echivalarea presiunii pe modelul axial simetric

Fig.9.71: Discretizare QUAD9

Indicaţie: Modelul problemei este axial simetric şi se poate dezvolta ca în Fig. 9.71. Presiunea se reduce la noduri prin forţe echivalente, spre exemplu în nodul i (vezi Fig. 9.70) care preia presiunea cuprinsa între unghiurile αi şi αe pentru discretizări cu noduri echidistante forţele echivalente la nod sunt:

( )

+−=

2ααcosαsinαsinpRπ2F ei

ie2ixi ; ( )

+−=

2ααsinαsinαsinpRπ2F ei

ie2iyi

Din punct de vedere teoretic învelişul poate fi considerat subţire ==4

102hR

25,5 şi deci σ1 = σ2 = h2pR

=12,75 MPa.

Răspuns: Pentru discretizarea din Fig. 9.71 se obţine: σ1 = σ3 =12,93 MPa la exteriorul sferei.

QUAD10. Discul de rază R = 100 mm şi grosime h = 20 mm din Fig. 9.72 se roteşte în jurul axei cu viteza unghiulara ω = 1000 rad/s. Ştiind că densitatea materialului este ρ = 7850 Kg/m3; E= 2.105 MPa; ν = 0,3; să se determine tensiunile maxime din disc.

ω ω

Fig. 9.72: Problema QUAD10 Fig. 9.73: Discretizare QUAD10

161

Indicaţie: Modelul este axial simetric, forţele de inerţie se reduc la noduri pentru o discretizare ca cea din Fig. 9.73 conform relaţiei: ( )2

i2e

2i rrrωhρπF −= . Soluţia

analitică conduce la tensiune maximă în centrul discului:( )

8Rρων3σσ

22

max,tmax,r+== = 32,38 MPa.

Răspuns: Pentru discretizarea din Fig. 9.73 se obţine == xmax,r σσ 32,28MPa; == zmax,t σσ 32,28 MPa.

TEMĂ: Consideraţi un orificiu circular φ2 în centrul discului şi reanalizaţi problema. Cum se modifică tensiunile ?

QUAD11. O placă este formată prin lipirea a două materiale diferite ca în Fig. 9.74. Ştiind că jumatatea inferioară are E1 = 2.105 MPa; ν1 = 0,3; iar cea superioară E2 = 5.104 MPa ν2 = 0,3 şi dimensiunile plăcii sunt L = 100 mm; B = 40 mm; t = 1 mm, să se găsească distribuţia de tensiuni pentru o presiune p = 100 MPa. Care este solicitarea maximă şi unde se atinge ? Este corectă medierea tensiunilor la noduri pentru elemente vecine de tipuri diferite ?

Fig. 9.74: Problema QUAD11 Fig. 9.75: Discretizare QUAD11

Răspuns: Deformata structurii seamană cu cea obţinută la o solicitare de încovoiere. Medierea la noduri nu este corectă întrucât εEσ = iar continuitatea este numai în deformaţii (ε). Tensiunea maximă se atinge în zona îmbinării din materialul mai rigid (din partea inferioară) şi este =max,xσ 225,6 MPa pentru discretizarea prezentată în Fig. 9.75.

QUAD12. Placa din oţel prezentată în Fig. 9.76 are E = 2.105 MPa; ν = 0,3; grosimea t = 10 mm şi a = 20 mm. Să se calculeze tensiunea maximă pentru o încărcare cu p = 10 MPa.

Indicaţie: Din considerente de simetrie modelul problemei se poate dezvolta pentru un sfert din structură.

162

Răspuns: Pentru discretizarea din Fig. 9.77 se obţine =max,echσ 82,43 MPa.

Fig. 9.76: Problema QUAD12 Fig. 9.77: Discretizare QUAD12

QUAD13. Problema J. Boussinesq plană (Fig. 9.78): O forţă distribuită liniar F [N/mm] acţionează pe o suprafaţă foarte mare a unui bloc din oţel. Să se compare rezultatele tensiunilor într-un punct P (vezi Fig. 9.79) cu rezultatele obţinute prin MEF discretizând o felie din semispaţiul infinit.

θ

Fig. 9.78: Problema QUAD13 Fig. 9.79: Tensiunile într-un punct

Relaţiile analitice de calcul sunt:

θcosrπF2σ 3

y −= ; θcosθsinrπF2σ 2

x ⋅−= ; θcosθsinrπF2τ 2

xy ⋅=

Indicaţii: Discretizarea trebuie să respecte gradientul tensiunii, deci în zona forţei se vor introduce mai multe noduri şi elemente.Răspuns: Pentru o discretizare ca cea din Fig. 9.80 şi pentru F = 1000 N/mm se obţine:

Elemsau nod

R[mm] θ xσ [MPa] yσ [MPa] xyτ [MPa]

MEF Analitic MEF Analitic MEF Analiticelem 12 15 45° -9,81 -15 -12,8 -15 10,2 15nod 6 50 0° -0,44 0 -13,7 -4,5 1,74 0nod 33 50 90° 2,04 0 0,68 0 0,60 0

163

Fig. 9.80: Discretizare QUAD13

QUAD14. În componenţa unui angrenaj cu roţi dinţate (cu dantură dreaptă) intră un arbore pinion de lăţime t = 10 mm, cu 17 dinţi, pentru care diametrul de divizare este Dd =51 mm, diametrul cercului de picior al dintelui Di = 43,5 mm şi diametrul cercului de cap De = 57 mm. Dacă la intrarea în angrenare a unui dinte forta pe dinte este F = 1000 N şi actionează inclinat ca în Fig. 9.81 se cere să se determine tensiunea maximă de încovoiere la baza dintelui. Flancul dintelui se generează prin coordonatele date în tabelul de mai jos, relativ la un sistem de referinţă legat de centrul roţii.X [mm] 3,996 3,655 3,154 2,867 2,633 2,554Y [mm] 21,379 21,453 21,739 22,074 22,611 23,052X [mm] 2,565 2,545 2,354 1,854 1,010 -Y [mm] 23,813 24,386 25,385 26,831 28,482 -

164

Fig. 9.81: Problema QUAD14 Fig. 9.82: Discretizare QUAD14

Indicaţie: Deoarece discretizarea întregii roţi este destul de laborioasă şi nu neapărat necesară, pentru un calcul de rezistenţă, problema se poate rezolva prin discretizarea unui dinte şi a zonei învecinate care se consideră rigidă la exterior.Răspuns: Pentru discretizarea din Fig. 9.82 se obtine:

=max,1σ 148,3 MPa; =min,3σ -183,8 MPa.

QUAD15. Elementul elastic al unui cantar tensometric este prezentat in Fig. 9.83. Stiind ca materialul este un duraluminiu cu E=2,6.104 MPa şi ν = 0,35, forta maxima de incarcare este F = 100 N iar grosimea elementului elastic este t = 40 mm sa se determine deplasarea din dreptul fortei şi tensiunile din zonele slabite (din drepul marcilor tensometrice).

Fig. 9.83: Problema QUAD15 Fig. 9.84: Discretizare QUAD15

Indicaţie: Modelul se poate discretiza pe jumătate.Raspuns: Pentru discretizarea din Fig. 9.84 se obţine vF = -0,4738 mm; =max,xσ39,24 MPa. Aceste valori sunt departe de soluţia exactă deoarece elementul QUAD4 este puţin performant atunci când este supus forfecării. Pentru îmbunătăţirea soluţiei se poate creşte numărul de straturi pentru discretizarea zonei slăbite sau se poate folosi un element mai performant cum ar fi elementul patrulater cu nod central (cu funcţii de formă suplimentare). Rularea cu programul QUAD6PL.EXE pe aceeaşi discretizare conduce la: vF = -1,867 mm; =max,xσ 182,3 MPa. Valorile “exacte” ale problemei (obţinute pentru o discretizare foarte fină) sunt: vF = -1,820 mm; =max,xσ124 MPa.

QUAD16. Cârligul de tracţiune al unor vagonete de cale ferată au aproximativ forma din Fig. 9.85. Ştiind că încărcarea cârligului este F = 40 kN şi grosimea lui se aproximeaza la t = 25 mm pe toată suprafaţa, să se determine starea de tensiune şi tensiunea maximă din cârlig. Materialul este oţel cu E = 2.105 MPa şi ν = 0,3.

165

Răspuns: Pentru discretizarea din Fig. 9.86 se obţine =max,echσ 254,2 MPa. Pentru distribuţia de tensiune vezi Fig. 9.87.

Fig. 9.85: Problema QUAD16 Fig. 9.86: Discretizare - QUAD16

Fig. 9.87: Starea de solicitare în cârlig

QUAD17. O placă circulară încastrată pe contur este încărcată cu presiune uniform distribuită p = 1 MPa. Ştiind că h = 10 mm; R = 100 mm; E = 2.105 MPa şi ν = 0,3 să se afle săgeata şi tensiunea maximă şi să se compare cu rezultatele obţinute din soluţia analitică:

[ ]222r r)ν3(R)ν1(

hp

83σ +−+= ; [ ]22

2t r)ν31(R)ν1(hp

83σ +−+= ;

D64pRv

4

max = ;)1(12

EhD2

3

ν−= .

Indicaţie: Modelul problemei este axial simetric.

166

Răspuns: Pentru discretizarea prezentată în Fig. 9.89 se obţine:

vmax = 0,0794 mm;=max,xσ -71,13 ÷71,04 MPa; =max,zσ -56,10 ÷55,68 MPa.

Analitic se obţine:vmax = 0,0853 mm;

== tr σσ 48,8 MPa în centrul plăcii pe faţa inferioară;

=rσ -75 MPa; =tσ -22,5 MPa în încastrare. Fig. 9.88: Problema QUAD17

Fig. 9.89: Discretizare QUAD17

167

Cap. 10. Modelarea bidimensională a unor fenomene termice

Introducere

Temperatura este o masură a energiei interne a unui corp. Transmiterea căldurii este procesul natural de transfer a energiei interne de la un corp cu temperatura mai mare la cele cu temperatura mai mică, sau în interiorul corpului de la părti cu temperatura mai ridicată la cele cu temperatura mai scazută.

În tehnică se consideră ca energia termică se transmite prin:-CONDUCŢIE, de la particulă la particulă în interiorul unui corp;-CONVECŢIE, adică prin intermediul unui agent termic fluid (lichid sau

gaz) în general de la corpul solid spre exterior sau invers;-Radiaţie, adică prin unde electromagnetice, acest schimb de căldură este

important pentru corpurile cu temperatura foarte mare, de obicei pentru componentele uzuale ale maşinilor se neglijează.

Fenomenele termice se pot descrie prin intermediul ecuaţiei matriceale a elementelor finite:

FT]K[tT]C[ =+

∂∂

, (10.1)

în care:[C] - matricea capacităţilor calorice;[K] - matricea rigiditatilor termice (matricea caracteristică);T - vectorul temperaturilor nodale;F - vectorul încărcărilor termice (vectorul termenilor liberi); t - variabila timp.

10.A. Elementul termic triunghiular cu trei noduri în analiza stationară

Prin regim staţionar, se înţelege acea situaţie de echilibru termic, în care distribuţia temperaturii nu depinde de timp, cu alte cuvinte, energia internă a corpului se conservă dar există schimb de căldură între diverse părti ale acestuia.

În regim staţionar ecuaţia (10.1) devine:[ ] FTK = , (10.2)

ecuaţie similară cu ecuaţia de echilibru din calculul static al structurilor.

A. Caracteristici principale ale elementului termic triunghiular (Fig. 10.1)1. este generat de trei noduri I, J şi K care se declară în sensul rotirii axei X

pesteY pe drumul cel mai scurt. Laturile elementului se noteaza 1, 2, 3;2. are un grad de libertate pe nod (GLN = 1), temperatura -T;

168

3. elementul suportă diverse încărcări termice:-flux termic generat/consumat în interiorul elementului - M, de

valoare constantă, pozitiv dacă este generat [W/m3];-flux termic impus pe laturile elementului - q, de valoare constantă,

pozitiv dacă intră în element [W/m2];-flux termic convectiv pe laturile elementului de parametrii α

[W/m2/K] şi TA[K].

Fig. 10.1: Elementul triunghiular termic

Vectorul încărcărilor termice pe element se calculează cu relaţia: αqM

e fffF ++= (10.3)în care:

=111

3hMAfM echivalarea fluxului termic interior elementului;

h = 1 pentru elementul plan şi h = ( ))K(X)J(X)I(X3π2 ++ pentru elementul axial

simetric;

=011

L2

hqf IJq echivalarea fluxului impus pe latura 1;

=011

L2Tαhf IJ

Aα echivalarea fluxului de convecţie pe latura 1;

h = 1 pentru elementul plan şi h = ( ))J(X)I(Xπ + pentru elementul axial simetric;

( ) ( ) 22IJ )J(Y)I(Y)J(X)I(XL −+−= lungimea laturii IJ;

169

=110

L2

hqf JKq echivalarea fluxului impus pe latura 2;

=110

L2Tαhf JK

Aα echivalarea fluxului de convecţie pe latura 2;

h = 1 pentru elementul plan şi h = ( ))K(X)J(Xπ + pentru elementul axial simetric;

( ) ( ) 22JK )K(Y)J(Y)K(X)J(XL −+−= lungimea laturii JK;

=101

L2

hqf KIq echivalarea fluxului impus pe latura 3;

=101

L2Tαhf KI

Aα echivalarea fluxului de convecţie pe latura 3;

h = 1 pentru elementul plan şi h = ( ))I(X)K(Xπ + pentru elementul axial simetric;

( ) ( ) 22KI )I(Y)K(Y)I(X)K(XL −+−= lungimea laturii KI;

α - coficientul de convecţie al schimbului de caldură între element şi exterior;TA - temperatura mediului exterior;

4. elementul poate fi folosit pentru modelarea plană sau axial simetrica a schimburilor de căldura prin conducţie şi convecţie;

5. matricea de rigiditate în coordonate globale este:[ ] [ ] [ ]21

e KKK += (10.4)în care:

[ ]

+++++++++

=2ky

2kxjkyjkxikyikx

kjykjx2jy

2jxijyijx

kiykixjiyjix2iy

2ix

1

cλbλccλbbλccλbbλccλbbλcλbλccλbbλccλbbλccλbbλcλbλ

A4hK ;

A - aria elementului (vezi relaţia 9.3);λx, λy - coeficienţii de conductivitate ai materialului pe cele două direcţii principale X şi Y [W/m/K];coeficienţii bi,...,ci ... se determină cu relaţia (9.4);

h = 1 pentru elementul plan şi h = ( ))K(X)J(X)I(X3π2 ++ pentru elementul axial

simetric;

170

[ ]

=

000021012

L6αhK IJ2 pentru flux de convecţie pe latura 1;

h=1 pentru elementul plan şi h= ( ))J(X)I(Xπ + pentru elementul axial simetric;LIJ - lungimea laturii IJ;

[ ]

=

210120000

L6αhK JK2 pentru flux de convectie pe latura 2;

h=1 pentru elementul plan şi h= ( ))K(X)J(Xπ + pentru elementul axial simetric;LJK - lungimea laturii JK;

[ ]

=

201000102

L6αhK KI2 pentru flux de convecţie pe latura 3;

h=1 pentru elementul plan şi h= ( ))I(X)K(Xπ + pentru elementul axial simetric;LKI - lungimea laturii KI;

B. Date legate de element1. tipul elementului SP - stare plană sau SAS - stare axial simetrică;

C. Date despre materialul elementului1. coeficienţii de conductivitate termică pentru material ortotrop λx şi λy

pentru cele două direcţii principale X şi Y, pentru materialul izotrop se consideră λλλ yx == .

D. Date despre încărcări1. temperaturi impuse în noduri - Ti. Dacă în ecuaţia de echilibru a

elementului:[ ] eee FTK = ,

există temperatură impusă în nodul I ecuaţia se modifică astfel:

−−=

)I(T)1,3(K)3(F)I(T)1,2(K)2(F

)I(T

)K(T)J(T)I(T

)3,3(K)2,3(K0)3,2(K)2,2(K0

001

iee

iee

i

ee

ee ,

dacă mai există temperaturi impuse în nodurile J şi/sau K relaţia de mai sus se modifică în continuare conform unor relaţii similare;

2. flux termic generat/consumat în element - M;

171

(3). flux termic generat/consumat în nodurile discretizării; 4. flux termic impus pe una sau două din laturile elementului - q; 5. flux termic convectiv pe una sau două laturi ale elementului, se declară

prin coeficientul de convecţie - ALFA şi temperatura exterioară elementului - TA

(temperatura mediului ambiant);

E. Rezultatele rezolvării1. temperaturile nodale - TEMP;

F. Structura fişierului cu date de intrare1. Date generale despre discretizareNN NE TIPE2. Date despre noduriNI ICON X Y <Ti>...3. Date despre materialeNMATMATI LambdaX LambdaY...4. Date despre elemente şi încărcări în elementeEI I J K MAT M...5. Date despre încărcări cu flux impus pe laturile elementelor (conturul

exterior modelului)NFLUXEIF LAT N1 N2 q...6. Date despre încărcări cu flux convectiv pe laturile elementelor (conturul

exterior modelului)NCONVEIC LAT N1 N2 ALFA TA...

Observaţie: Contururile nedeclarate nici la punctul 5 nici la punctul 6 se consideră izolate adiabatic.

G. Programul de lucruTERMSTw_re.EXE

Acest program a fost conceput să lucreze cu noţiunile (datele) de la punctele B-E care nu sunt incluse între paranteze.

172

H. Schema logică a programului se prezintă în Fig. 10.2.

În Tabelul 10.1 se prezintă, cu aproximaţie, pentru temperatura de 20° C constantele de material care intervin în calcule de analiză termică pentru câteva materiale mai des întâlnite în practică.

Tabelul 10.1: Constante de material pentru analize termice

Materialul

⋅ KmWλ

⋅ KKg

Wsc

3mKgρ

Aer 0,025 916,6 1,293Apă 0,6 4185,5 1000

Beton 0,3 - 1,0 780 2200 - 2500Cărămidă 0,69 830 ≈2500

Lemn 0,17 1760 700 - 900Sticlă 0,34 - 1,0 780 2400 - 2800

Porţelan 0,7 837 ≈2500Oţel 45 - 50 460 - 710 7850

Aluminiu 238 900 2700Cupru 394 385 8700Argint 408 235 10500

În practică sunt utile şi relaţiile de transformare:

Cscmcal1039,2

mKW1 3

°⋅⋅⋅= − ;

KJ1855,4

Ccal1 =°

.

Aplicaţii

TERMS1. Un corp paralelipipedic, de lungime foarte mare a cărei secţiune se prezintă în Fig. 10.3 primeşte căldură prin două feţe adiacente în care pătrunde fluxul termic qx = 2325 W/m2 şi qy = 930 W/m2. Pe celelalte laturi se cedează căldură prin convecţie cu parametrii == yx αα 23 W/m2/K, TA = 10° C. Corpul este ortotrop cu =xλ 6 W/m/K şi =yλ 12 W/m/K, iar dimensiunile în secţiune sunt a = 500 mm şi b = 400 mm, să se găsească distribuţia de temperatură în corp pentru regimul stationar.

173

Fig. 10.2: Schema logică a programului TERMST.EXE

α, TA

Fig. 10.3: Problema TERMS1 Fig. 10.4: Discretizarea problemei TERMS1

174

Rezolvare

Deoarece lungimea corpului este foarte mare se poate neglija schimbul de căldura pe la capetele corpului şi se poate presupune că nu există schimb de căldură pe lungimea corpului, ceea ce permite rezolvarea unei probleme plane pentru schimbul de căldură.

Se adoptă discretizarea din Fig. 10.4 pentru care fişierul datelor de intrare temps1 este:

12 12 1 1 0 0.000E+00 0.000E+00 2 0 0.000E+00 2.000E -01 3 0 0.000E+00 4.000E -01 4 0 1.700E -01 0.000E+00 5 0 1.700E -01 2.000E -01 6 0 1.700E -01 4.000E -01 7 0 3.300E -01 0.000E+00 8 0 3.300E -01 2.000E -01 9 0 3.300E -01 4.000E -01 10 0 5.000E -01 0.000E+00 11 0 5.000E -01 2.000E -01 12 0 5.000E -01 4.000E -011 1 6.00 12.00 1 1 4 5 1 0.0000000000E+00 2 1 5 2 1 0.0000000000E+00 3 2 5 6 1 0.0000000000E+00 4 2 6 3 1 0.0000000000E+00 5 4 7 8 1 0.0000000000E+00 6 4 8 5 1 0.0000000000E+00 7 5 8 9 1 0.0000000000E+00 8 5 9 6 1 0.0000000000E+00 9 7 10 11 1 0.0000000000E+0010 7 11 8 1 0.0000000000E+0011 8 11 12 1 0.0000000000E+0012 8 12 9 1 0.0000000000E+005 2 3 2 1 2.3250000000E+03 4 3 3 2 2.3250000000E+03 4 2 6 3 9.3000000000E+02

175

8 2 9 6 9.3000000000E+0212 2 12 9 9.3000000000E+025 1 1 1 4 2.3000000000E+01 1.0000000000E+01 5 1 4 7 2.3000000000E+01 1.0000000000E+01 9 1 7 10 2.3000000000E+01 1.0000000000E+01 9 2 10 11 2.3000000000E+01 1.0000000000E+0111 2 11 12 2.3000000000E+01 1.0000000000E+01

Rulând programul pentru acest model se obţine listingul:

MODEL PLAN BIDIMENSIONAL

MAT LambdaX LambdaY 1 6.0000000E+00 1.2000000E+01

NOD ICON X Y Ti 1 0 0.00000E+00 0.00000E+00 2 0 0.00000E+00 2.00000E-01 3 0 0.00000E+00 4.00000E-01 4 0 1.70000E-01 0.00000E+00 5 0 1.70000E-01 2.00000E-01 6 0 1.70000E-01 4.00000E-01 7 0 3.30000E-01 0.00000E+00 8 0 3.30000E-01 2.00000E-01 9 0 3.30000E-01 4.00000E-01 10 0 5.00000E-01 0.00000E+00 11 0 5.00000E-01 2.00000E-01 12 0 5.00000E-01 4.00000E-01

ELEM I J K MAT M 1 1 4 5 1 0.00 2 1 5 2 1 0.00 3 2 5 6 1 0.00 4 2 6 3 1 0.00 5 4 7 8 1 0.00 6 4 8 5 1 0.00 7 5 8 9 1 0.00 8 5 9 6 1 0.00 9 7 10 11 1 0.00

176

10 7 11 8 1 0.00 11 8 11 12 1 0.00 12 8 12 9 1 0.00

ELEM LAT N1 N2 q 2 3 2 1 2325.00 4 3 3 2 2325.00 4 2 6 3 930.00 8 2 9 6 930.00 12 2 12 9 930.00

ELEM LAT N1 N2 ALFA TA 1 1 1 4 23.0000 10.0000 5 1 4 7 23.0000 10.0000 9 1 7 10 23.0000 10.0000 9 2 10 11 23.0000 10.0000 11 2 11 12 23.0000 10.0000

MATRICEA CARACTERISTICA ASAMBLATA ARE NEC = 12 ECUATIISEMILATIMEA MATRICII ASAMBLATE ESTE LB = 5

TEMPERATURI NODALENOD TEMP 1 151.69947516 2 188.24403111 3 210.04376054 4 102.40575506 5 133.02216828 6 153.27186956 7 72.34919445 8 94.73271007 9 112.37871296 10 44.80713607 11 60.69452233 12 74.94927217

Distribuţia temperaturilor se poate urmări în Fig. 10.5 iar curbele de izotemperaturi în Fig. 10.6.

177

Pentru a obţine o soluţie mai bună şi a netezi curbele de izotemperatură se impune o discretizare mai fină a modelului de calcul. Se poate lucra şi în grade Kelvin, întrucât

T[K]=273,15+T[°C].

Fig. 10.5: Distribuţia temperaturilor TERMS1

Fig. 10.6: Reprezentarea liniilor de temperatură constantă TERMS1

TERMS2. O bară de lungime foarte mare este în contact pe o faţă cu un corp a carui temperatură se menţine constantă egală cu Ti = 100° C (Fig. 10.7). Ştiind că prin interiorul barei circulă apă care produce un schimb convectiv de căldură de

178

parametrii =iα 35 W/m2/K şi =AiT 40° C, iar în exterior există schimb convectiv de căldură de parametrii =eα 20 W/m2/K şi TAe = 20° C, să se determine distribuţia de temperatură în secţiunea barei. Se cunosc: materialul barei este izotrop cu λ = 30 W/m/K iar dimensiunile barei se caracterizează prin a = 0,2 m.

αi

TAi

αe,TAe

Fig. 10.7: Problema TERMS2 Fig. 10.8: Discretizare - TERMS2

Rezolvare

Se adoptă discretizarea “grosieră” din Fig. 10.8 pentru care fişierul datelor de intrare terms2 este:

16 16 1 1 1 0.000E+00 0.000E+00 1.00E+02 2 1 0.000E+00 1.000E-01 1.00E+02 3 1 0.000E+00 3.000E-01 1.00E+02 4 1 0.000E+00 4.000E-01 1.00E+02 5 0 2.000E-01 0.000E+00 6 0 2.000E-01 1.000E-01 7 0 2.000E-01 3.000E-01 8 0 2.000E-01 4.000E-01 9 0 4.000E-01 0.000E+00 10 0 4.000E-01 1.000E-01 11 0 4.000E-01 3.000E-01 12 0 4.000E-01 4.000E-01 13 0 6.000E-01 0.000E+00 14 0 6.000E-01 1.000E-01 15 0 6.000E-01 3.000E-01 16 0 6.000E-01 4.000E-011

179

1 30.00 30.00 1 1 5 6 1 0.00 2 1 6 2 1 0.00 3 2 6 7 1 0.00 4 2 7 3 1 0.00 5 3 7 8 1 0.00 6 3 8 4 1 0.00 7 5 9 10 1 0.00 8 5 10 6 1 0.00 9 7 11 12 1 0.0010 7 12 8 1 0.0011 9 13 14 1 0.0012 9 14 10 1 0.0013 10 14 15 1 0.0014 10 15 11 1 0.0015 11 15 16 1 0.0016 11 16 12 1 0.00

Fig. 10.9: Distribuţia temperaturilor-TERMS2

013 1 1 1 5 2.0000000000E+01 2.0000000000E+01 3 2 6 7 3.5000000000E+01 4.0000000000E+01 6 2 8 4 2.0000000000E+01 2.0000000000E+01 7 1 5 9 2.0000000000E+01 2.0000000000E+01 8 2 10 6 3.5000000000E+01 4.0000000000E+01 9 1 7 11 3.5000000000E+01 4.0000000000E+0110 2 12 8 2.0000000000E+01 2.0000000000E+0111 1 9 13 2.0000000000E+01 2.0000000000E+0111 2 13 14 2.0000000000E+01 2.0000000000E+0113 2 14 15 2.0000000000E+01 2.0000000000E+0114 3 11 10 3.5000000000E+01 4.0000000000E+0115 2 15 16 2.0000000000E+01 2.0000000000E+0116 2 16 12 2.0000000000E+01 2.0000000000E+01

Distribuţia de temperatură se prezintă în Fig. 10.9. Se observă că distribuţia temperaturilor este simetrică faţă de axa de simetrie, iar temperatura minimă în bară este superioară temperaturii mediului exterior atât în aer cât şi în contactul cu apa.

Temperatura barei rămâne constantă pe una din laturi, acest fapt este posibil dacă acastă latură primeşte căldură de la corpul cu care vine în contact. Fluxul termic transferat către corpul studiat nu intervine în calcul, prezintă interes faptul că acest flux menţine constantă temperatura într-o anumită zonă cunoscută.

180

TEMĂ: Să se analizeze problema pe jumătate din secţiune, considerând simetria.

TERMS3. O bară de secţiune pătrată, foarte lungă este izolată adiabatic pe două laturi adiacente ca în Fig. 10.10, şi se cunoaste temperatura pe celelalte două laturi TA = 50° C. Ştiind ca a = 0,1 m; λ = 300 W/m/K şi că în interiorul barei ia naştere un flux termic M = 107 W/m3, să se determine distribuţia de temperatură în secţiunea barei.

Fig. 10.10: Problema TERMS3

Fig. 10.11: Distributia temperaturilor TERMS3

Raspuns: Datorită simetriei modelul plan se poate alege pe jumatate din secţiune ca în Fig. 10.11 care prezintă şi distribuţia temperaturilor.

TERMS4. O bară de secţiune trapezoidală din oţel transmite căldură de la baza mare către baza mică, vezi Fig.10.12. Pe feţele laterale se pierde căldură prin convecţie. Pentru λ = 48 W/m/K; a = 12 mm; q1 = 1000 W/m2; q2 = 500 W/m2; α = 15 W/m2/K; TA = 20 °C, se cere

a) să se studieze distribuţia de temperatură în regim staţionar;

b) ce se întâmplă dacă q1 = 500 W/m2; şi q2 = 1000 W/m2 ?

c) dar daca q1 = 100 W/m2; şi q2 = 1000 W/m2;

Fig. 10.12: Problema TERMS4

181

Răspuns: Pentru cazul a) distribuţia de temperatură se prezintă în Fig. 10.13 pe un model dezvoltat pe jumătate din secţiunea barei datorită simetriei. În cazul b) nu mai există schimb de căldură cu exteriorul întrucât căldură care pătrunde în bară este egală cu cea care iese din bară. Cazul c) presupune absorbţia unei călduri din mediul înconjurător şi pentru aceasta temperatura de echilibru a barei trebuie să fie sub temperatura mediului.

Fig. 10.13: Distribuţia temperaturii TERMS4

TERMS5. Intr-o bara din aluminiu de sectiune patrata ca in Fig.10.14 ia nastere un flux termic volumic M = 105 W/m3. Stiind ca bara se afla in aer şi exista un schimb de căldură convectiv de parametrii α = 30 W/m2/K şi TA = 0°C sa se afle distributia de temperatura in sectiunea barei pentru a = 0,2 m.

α , TA

Fig. 10.14: Problema TERMS5 Fig. 10.15: Distribuţia temperaturii TERMS5

Răspuns: Având în vedere cele patru axe de simetrie modelul problemei se poate dezvolta pe o optime din secţiune pentru care distribuţia temperaturilor se prezintă în Fig. 10.15.

182

TERMS6. În miezul coloanei circulare din Fig.10.16 pe o zonă de rază cunoscuta r = 10 mm ia naştere un flux termic volumic interior de valoare constantă M = 5.106 W/m3. Ştiind că raza exterioară a coloanei este R = 60 mm, materialul este un aliaj pentru care λ = 70 W/m/K; iar schimbul de căldură cu exteriorul este de parametrii α = 50 W/m2/K şi TA = 20 °C să se găsească distribuţia de temperatură în secţiunea coloanei.

α,TA

Fig. 10.16: Problema TERMS6

Indicaţie: Din motive de simetrie, modelul de calcul se poate dezvolta pe un sfert din secţiune sau chiar pentru un sector de unghi oarecare sau se poate face o modelare cu elemente axial simetrice pe o felie de grosime egală cu unitatea.Răspuns: Pentru discretizarea pe un sector circular cu elemente plane se obţine distribuţia de temperatură din Fig. 10.17.a, iar pentru discretizarea cu elemente axial simetrice pe o felie de lungime oarecare distribuţia de temperatură se poate urmări în Fig. 10.17.b.

Fig. 10.17: Distribuţia temperaturilor TERMS6

183

TERMS7. În Fig. 10.18 se prezintă secţiunea unei piese paralelipipedice formată din două materiale diferite cu λ1 = 45 W/m/K şi λ2 = 12 W/m/K. Ştiind că în materialul 2 ia naştere un flux termic constant de valoare M = 105 W/m3, iar materialul 1 schimbă căldură cu aerul din jur în condiţiile α = 45 W/m2/K şi TA = 20 °C, să se calculeze distribuţia de temperatură pentru a = 0,1 m.

α ,TA

Fig. 10.18: Problema TERMS7 Fig. 10.19: Distribuţia temperaturii TERMS7

Raspuns: Pentru discretizarea pe sfert a secţiunii se obţine distribuţia de temperatură din Fig. 10.19.

TERMS8. Fig. 10.20 prezintă o secţiune printr-un perete. Ştiind că la interior temperatura peretelui se menţine constantă egală cu Ti = 30 °C iar în exterior există schimb de căldură prin convecţie de parametrii α = 10 W/m2/K şi TA = -40 °C să se găsească distribuţia de temperatură pentru a = 0,1 m.

α,TA

Fig. 10.20: Problema TERMS8 Fig. 10.21: Distribuţia temperaturii TERMS8

Răspuns: Distribuţia temperaturii în secţiune se prezinta în Fig. 10.21.

TERMS9. Cilindrul unui compresor prezinta nervuri pentru racire ca in Fig. 10.22. Stiind ca temperatura la interiorul cilindrului se mentine constanta,

184

egala cu Ti = 70 °C iar la exterior nervurile sunt racite prin intermediul unui ventilator ce asigura un schimb convectiv de căldură de parametrii cunoscuti α = 80 W/m2/K şi TA = 10 °C, sa se calculeze distributia de temperatura in cilindrul compresorului care este din otel cu λ = 45 W/m/K.

Fig. 10.22: Problema TERMS9

Fig. 10.23: Distribuţia temperaturii TERMS9

Răspuns: Modelul problemei este axial simetric şi se poate rezolva pe jumătate din secţiunea nervurii. Distribuţia de temperatură se poate urmări în Fig. 10.23.

TERMS10. Roata unui vehicul de cale ferată are aproximativ dimensiunile din Fig. 10.24. În regim de frânare prelungită în roată se introduce un flux termic de la saboţii de frână q = 62000 W/m2. Ştiind că roata este dintr-un oţel care are λ = 50 W/m/K, iar prin ventilaţie naturală se asigură un schimb convectiv de căldură cu parametrii α = 50 W/m2/K şi TA = 25 °C pe toată suprafaţa liberă mai puţin pe osie unde temperatura se menţine constantă, egală cu temperatura mediului ambiant, să se găsească distribuţia de temperatură în roată.

Răspuns: Pe modelul axial simetric discretizat cu 150 elemente se prezintă în Fig. 10.25 distribuţia de temperatură, iar în Fig. 10.26. câteva izoterme.

185

Fig.10.24: Problema TERMS10

Fig. 10.25: Distribuţia temperaturilor TERMS10

Fig. 10.26: Curbe de egală temperatură TERMS10

186

10.B. Elementul termic triunghiular cu trei noduri în analiza tranzitorie

Prin regim tranzitoriu se înţelege în general faza de trecere a unui fenoen către un regim nominal (staţionar) de funcţionare. Este clar că variabila timp nu poate fi exclusă din analiza unui regim tranzitoriu. Studiul se face pentru o perioadă precizată cu condiţia de a cunoaşte o serie de parametri la începutul intervalului de timp (t = 0). Pentru analiza termică prezentată în continuare se consideră variabilă temperatura în nodurile discretizării.

Toate noţiunile şi notaţiile prezentate la analiza termică stationară ( §10.A) rămân valabile.

Ecuatia (10.1) se poate transforma utilizand metoda reziduurilor (Galerkin) în:

[ ] tit fTK = , (10.5)în care:

[ ] [ ] [ ] iit K3

tΔ2CK += ; (10.6)

[ ] [ ] i1iiit FtΔTK3tΔCf +

−= − ; (10.7)

1ii tttΔ −−= ,prin indicele i se inţelege mărimea la timpul i.

Deci, dacă se cunosc temperaturile iniţiale, se pot afla pas cu pas următoarele temperaturi. În general proprietăţile de material depind de temperatură şi atunci matricele [ ] iC , [ ] iK şi vectorul iF trebuie actualizate pentru fiecare pas, chiar dacă pasul este constant. Programul conceput lucrează însă cu proprietăţi de material constante, ceea ce simplifică puţin modul de introducere al datelor şi calculul.

Ecuaţia (10.1) se poate transforma în forma (10.5) şi prin metoda diferenţelor finite, dar expresiile [ ] tK şi tf se modifică:

[ ] [ ] [ ] iit KCtΔ

2K += , (10.8)

[ ] [ ] i1iiit F2TKCtΔ

2f +

−= − . (10.9)

Expresia matricei capacităţilor calorice este:

[ ]

=

211121112

12AρcCe pentru elementul plan;

187

[ ]

=

333231

232221

131211e

CCCCCCCCC

60AρcC pentru elementul axial simetric;

în care:

( ) ( ) ( )KX2JX2IX6C11 ++= ;( ) ( ) ( )KXJX2IX2C12 ++= ;( ) ( ) ( )KX2JXIX2C13 ++= ;

1221 CC = ;( ) ( ) ( )KX2JX6IX2C22 ++= ;

( ) ( ) ( )KX2JX2IXC23 ++= ;

1331 CC = ;

2332 CC = ;( ) ( ) ( )KX6JX2IX2C33 ++= ;

c - căldura specifică masică a materialului;ρ - densitatea materialului.

Modificări pentru calculul tranzitoriu intervin la:

C. Date despre materialul elementului1. coeficienţii de conductivitate termică pentru materialul ortotrop λx şi λy

pentru cele două direcţii principale X şi Y, pentru materialul izotrop se consideră λλλ yx == ;

2. căldura specifică masică a materialului - c;3. densitatea materialului - ρ.

E. Rezultatele rezolvarii1.temperaturile nodale la fiecare pas de calcul TEMP;(2). cantitatea de caldura schimbată între model şi mediul exterior sau între

diferite părţi ale modelului;(3). fluxurile termice pe laturile elementelor.

F. Structura fişierului cu date de intrare este:1. Date generale despre discretizare şi timpul de calculNN NE TIPP NP timp2. Date despre noduri

188

NI ICON X Y Ti (Dacă ICON = 0 atunci Ti - temperatura iniţială)... (Dacă ICON = 1 atunci Ti - temperatura impusă)3. Date despre materialeNMATMATI LambdaX LambdaY c DENS...4. Date despre elemente şi incarcari în elementeEI I J K MAT M...5. Date despre încărcări cu flux impus pe laturile elementelor (de regulă

contururile modelului)NFLUXEIF LAT N1 N2 q...6. Date despre încărcări cu flux convectiv pe laturile elementelor (de regulă

pe conturul exterior modelului)NCONVEIC LAT N1 N2 ALFA TA...

Observaţie. Contururile nedeclarate nici la punctul 5 nici la punctul 6 se consideră implicit izolate adiabatic.

G. Programul de lucruTERMTR.EXEAcest program a fost conceput să lucreze cu noţiunile (datele) de la

programul TERMST.EXE completate cu elementele necesare unui calcul în regim tranzitoriu.

Orice fişier pregătit pentru programul termst.exe poate fi completat pentru rulare în regim tranzitoriu cu programul termtr.exe.

Orice fişier pregătit pentru programul termtr.exe poate fi rulat în regim staţionar cu programul termst.exe pentru a determina distribuţia de temperatură după un timp foarte mare de la începerea schimbului de caldură.

Programul poate fi modificat pentru a se lucra cu parametri şi constante de material variabile de temperatura.

H. Schema logică a programului se prezintă în Fig. 10.27.Programul este implementat atât cu metoda de integrare dedusă din metoda

Galerkin cât şi cu integrarea prin diferenţe finite. Metoda Galerkin este mai stabilă şi se preferă celei cu diferenţe finite.

189

Fig. 10.27: Schema logică a programului TERMTR.EXE

190

Aplicaţii

TERMT1. Într-un corp paralelipipedic izolat, din cupru cu secţiunea prezentată în Fig. 10.28 ia naştere un flux termic interior M = 106 W/m3. Ştiind că temperatura initială a corpului este 0 °C să se calculeze temperatura corpului după t = 100 s. Comparaţi rezultatul obţinut cu MEF cu rezultatul analitic.

Fig. 10.28: Problema TERMT1 Fig. 10.29: Discretizare TERMT1

Rezolvare

Mărimea corpului nu intervine în calcul dar se alege spre exemplu a = 0,04 m. Fluxul termic volumic fiind constant, discretizarea domeniului se poate face în oricât de multe elemente finite sau chiar cu un element. Pentru discretizarea cu 2 elemente finite din Fig. 10.29. fişierul datelor de intrare termtr1 este:

4 2 1 3 1.0000000E+02 1 0 0.0E+00 0.0E+00 0.0E+00 2 0 4.0E-02 0.0E+00 0.0E+00 3 0 4.0E-02 4.0E-02 0.0E+00 4 0 0.0E+00 4.0E-02 0.0E+001 1 3.94E+02 3.94E+02 3.85E+02 8.7E+03 1 1 2 3 1 1.000E+06 2 1 3 4 1 1.000E+06 0 0Constantele de material s-au preluat din Tabelul 10.1. Rezultatul rulării este:

MODEL PLAN TIMPUL DE STUDIU t = 1.0000000E+02

191

PASI DE CALCUL NP = 3

MAT LambdaX LambdaY c DENS 1 3.9400E+02 3.9400E+02 3.850E+02 8.700E+03

NOD ICON X Y Ti 1 0 0.0000 0.0000 0.0000 2 0 0.0400 0.0000 0.0000 3 0 0.0400 0.0400 0.0000 4 0 0.0000 0.0400 0.0000EL I J K MAT M

1 1 2 3 1 1.0000000E+06 2 1 3 4 1 1.0000000E+06

EL LAT N1 N2 q

EL LAT N1 N2 ALFA TA

MATRICEA CARACTERISTICA ASAMBLATA ARE NEC = 4 ECUATIISEMILATIMEA MATRICII ASAMBLATE ESTE LB = 4

PASUL 1 DE TIMPNOD TEMP

1 9.95173409 2 9.95173409 3 9.95173409 4 9.95173409

PASUL 2 DE TIMPNOD TEMP

1 19.90346818 2 19.90346818 3 19.90346818 4 19.90346818

PASUL 3 DE TIMPNOD TEMP

Fig. 10.30: Variaţia temperaturii în timp pentru TERMT1

192

1 29.85520227 2 29.85520227 3 29.85520227 4 29.85520227

Din punct de vedere analitic folosind echivalarea energiei produse MVt cu cea preluată de metal ρcV(Tf - Ti) rezultă:

C855,293858700

10010cρ

MtT6

f °=⋅

⋅== .

Deci, se obţine o concordanţă perfectă a rezultatului teoretic cu cel analitic. Variaţia temperaturii în timp se prezintă grafic în Fig. 10.30.

TERMT2. Placa de aluminiu din Fig. 10.31 iniţial la temperatura ambianta TA = 20°C este izolată termic mai puţin pe două laturi (suprafeţe). Pe suprafaţa din stânga se introduce un flux termic constant q = 1000 W/m2, iar pe suprafaţa din dreapta există schimb convectiv de căldură cu parametrul α = 25 W/m2/K. Ştiind că a = 15 mm să se găsească distribuţia de temperatură după t = 3 ore. Cum variază temperatura în acest interval pe cele două feţe neizolate ? După cât timp începe transferul de căldura prin fata din dreapta ?

α,TA

Fig. 10.31: Problema TERMT2

Rezolvare

Se discretizează placa în elemente triunghiulare, se alege un număr de intervale de calcul, pentru care se reproduce mai jos parţial fişierul cu date de intrare termt2:

28 30 1 20 1.080000E+04 1 0 0.0000000E+00 0.0000000E+00 2.0000000E+01 2 0 1.5000000E-02 0.0000000E+00 2.0000000E+01 3 0 3.0000000E-02 0.0000000E+00 2.0000000E+01...1 1 2.380E+02 2.380E+02 9.00E+02 2.700E+03 1 1 2 5 1 0.0000000E+00

193

2 2 3 5 1 0.0000000E+00 3 1 5 4 1 0.0000000E+00...2 NUMARUL LATURILOR CU FLUX IMPUS 1 1 1 2 1.00E+03 2 1 2 3 1.00E+032 NUMARUL LATURILOR CU FLUX CONVECTIV 27 1 26 27 2.500E+01 2.00E+01 30 1 27 28 2.500E+01 2.00E+01

Fig. 10.32: Distribuţia de temperatură după 3 ore TERMT2

Fig. 10.33: Variaţia temperaturii pe faţa din dreapta TERMT2

194

Distribuţia temperaturii după 3 ore de la începerea transferului termic se prezintă în Fig.10.32.

Dacă se urmăreşte variaţia temperaturilor pe feţele libere se observă că temperaturile cresc continuu, dar datorită inerţiei termice transferul convectiv de caldură începe după circa 6 secunde (vezi Fig. 10.33), timp în care caldura se propagă din partea stangă în partea dreaptă.

TERMT3. Un motor electric cu rotorul în colivie (Fig. 10.34) iniţial la temperatura mediului ambiant TA = 20°C, absoarbe la pornire un curent I = 7300 A timp de 10 secunde. Să se găsească distribuţia de temperatură în rotor după 10 s, ştiind că schimbul de căldura cu exteriorul de face convectiv la exteriorul rotorului cu α = 6 W/m2/K. Geometria rotorului în secţiune este definită de: De = 200 mm; Dm

= 110 mm; R = 25 mm; h = 12 mm; d = 20 mm; s = 1 mm; e = 3 mm.

Fig. 10.34: Problema TERMT3 Fig. 10.35: Discretizare TERMT3

Rezolvare

Neglijând pierderile de căldură pe la capetele motorului, problema poate fi considerată plană. Datorită simetriei ciclice problema se poate rezolva pe un model geometric care reprezintă 1/16 din secţiune, aşa cum se poate observa în discretizarea din Fig. 10.35.

Se discretizează domeniul în care se află oţelul, cuprul dar şi aerul. Este clar că datorită efectului Joule la trecerea curentului electric prin bara de cupru, ia naştere un flux termic volumic. Pentru determinarea acestui flux generat, se foloseşte relaţia de echivalenţă:

2

22

2

SIρ

S

IS

ρ

VRIM

′=

′==

în care:

195

R - rezistenţa electrică a conductorului [Ω];ρ′ - rezistivitatea electrică la temperatura 20°C;S - aria secţiunii conductorului.Dacă rezistivitatea conductorului este ρ′ ≈0,027.10-6 Ωm, aria secţiunii se

poate determina aproximativ cu relatia:

he2d

2D

2D

4dπS me

2

−−−+= ,

şi rezultă M ≈ 2,94.106 W/m3.Rulând programul pentru condiţiile precizate mai sus se obţine distribuţia de

temperatură prezentată în Fig. 10.36. Se observă că stratul de aer este un izolator foarte bun care împiedică transferul termic spre masa de oţel a rotorului.

Fig. 10.36: Distribuţia temperaturii după 10 s TERMT3

TERMT4. O bară din oţel, de secţiune pătrată, încălzită la Ti = 100°C este lăsată să se răceasca liber în atmosferă. Ştiind că a = 0,2 m; λ = 50 W/m/K; c = 700 Ws/Kg/K; α = 30 W/m2/K şi că temperatura atmosferei este 20°C, să se determine distribuţia de temperatură dupa 5 ore.

Dupa cât timp temperatura barei scade sub 21°C ?Dacă a = 0,02 m în cat timp se răceste piesa sub 21°C ?

Indicatie: Din motive de simetrie se poate aborda un model pe 1/8 din secţiunea barei.

196

α,TA

Fig. 10.37: Problema TERMT4

Fig. 10.38: Distribuţia temperaturii după 5 ore de răcire TERMT4

Răspuns: Distribuţia temperaturii se prezintă în Fig. 10.38. Temperatura scade sub 21°C după aproximativ 12 ore (calcul cu 20 de paşi, vezi Fig. 10.39). Pentru bara cu a = 0,02 m temperatura scade sub 21°C după 1,16 ore.

TEMĂ: Modificaţi numărul paşilor de calcul şi analizaţi modelul în variantele de integrare Galerkin şi diferenţe finite. Verificaţi stabilitatea mai bună a metodei Galerkin.

TERMT5. Într-o farfurie din porţelan se pune supă fierbinte la 100°C într-un timp foarte scurt, vezi Fig. 10.40. să se determine timpul în care farfuria poate fi transportată în mâini fără să frigă (temperatura care se poate suporta 50°C).

Fig. 10.40: Problema TERMT5 Fig. 10.41: Discretizare TERMT5

Se cunoaşte: temperatura camerei TA = 20°C; h = 25 mm; h1 = 5 mm; h2 = 10 mm; s1

= 5 mm; s2 = 6 mm; Rf = 58 mm; Re = 98 mm. Coeficienţii de convecţie sunt: între supă şi aer α1 = 14 W/m2/K; între fundul farfuriei şi aer α2 = 20 W/m2/K, iar pe lateral α3 = 18 W/m2/K. Se presupune pentru supă λ = 0,6 W/m/K; c = 3000 Ws/Kg/K şi ρ = 900 Kg/m3. După cât timp supa ajunge la 40°C ?

197

Răspuns: Dacă farfuria se ţine de marginea de sus, dar se neglijează efectul mâinii asupra transferului termic, temperatura nu depaseste 40°C, dar lateral în nodul 40 (vezi discretizarea SAS din Fig. 10.41) temperatura are o variaţie ca în Fig. 10.42, adică după circa 13 s temperatura depăşeşte 50°C.

Deoarece abordarea teoretică din acest capitol a fost realizată pentru modele solide, nu se ţine cont de mişcarea lichidului şi se observă că supa nu se răceşte uniform ceea ce contrazice realitatea.

Fig. 10.42: Variaţia temperaturii la marginea farfuriei ( în nodul 40) TERMT5

198

Cap. 11. Modelarea mişcarii fluidelor ideale în regim staţionar

Introducere

În acest capitol, prin fluid ideal se înţelege un mediu continuu, uşor deformabil sub acţiunea forţelor exterioare, incompresibil şi fără frecare internă sau cu mediul solid care îl mărgineste. În această categorie se pot încadra o serie de lichide.

În orice punct dintr-un fluid se pot defini mărimi medii unice ca: densitate, presiune, viteză, etc. Pentru fluidul ideal unele dintre aceste mărimi nu au sens fizic. Modelul de fluid trebuie să se supună legilor naturii de:

-conservare a masei;-conservare a impulsului;-conservarea energiei,

legi care generează ecuaţiile generale de mişcare. Studiul fluidelor s-a dezvoltat după sistemul Lagrange care urmăreşte în mişcare analiza unei particule de fluid şi după modelul lui Euler care studiază distribuţia mărimilor care caracterizează mişcarea fluidului pe un domeniu fix, bine delimitat în spaţiu.

Tratarea generală a problemelor de curgere este foarte complicată. În cele ce urmează se discută doar despre curgerea potenţială (irotaţională) plană, pentru care a treia dimensiune este infinită. Exemple tipice ar fi curgerea în jurul unor obstacole, în canale sau profile plane (vezi Fig. 11.1).

∂ϕ∂n

=0

∂ϕ∂n

V=

∂ϕ∂n

= 0

Fig. 11.1: Curgerea potenţială în jurul unui obstacol

199

Din ecuaţia de continuitate (conservarea masei) rezultă o relaţie între vitezele de curgere:

0YV

XV YX =

∂∂+

∂∂

. (11.1)

Dacă se presupune că vitezele VX şi VY se pot obţine ca derivate ale unui potential ϕ:

XVX ∂

ϕ∂−= ;Y

VY ∂ϕ∂−= , (11.2)

atunci ecuaţia (11.1) se transcrie:

0YX 2

2

2

2

=∂

ϕ∂+∂

ϕ∂ . (11.3)

Pentru un domeniu de analiză se pot scrie condiţii la limită, de tip Dirichlet pe conturul C1:

ϕ(X,Y)=g(X,Y), (11.4a)adică se cunoaşte sau se impune potenţialul, şi condiţii de tip Newman pe conturul C2:

*Vn

=∂ϕ∂

. (11.4b)

Condiţii de tipul (11.4a) nu se pot pune în general pentru că nu se cunoaşte potenţialul ϕ, dar condiţii în viteze pe contur (11.4b) se pot preciza cu uşurinţă pentru diverse probleme întâlnite în practică.

Plecând de la ecuaţia (11.3), pentru un element finit se poate ajunge la ecuaţia matriceală:

[ ] eee QφK = , (11.5)în care:

[Ke] - matricea caracteristică a elementului finit;ϕe - vectorul necunoscutelor nodale (potenţial);Qe - vectorul debitelor nodale echivalente.

Elementul triunghiular cu trei noduri în analiza curgerii potenţiale a fluidelor ideale

A. Caracteristici principale ale elementului de curgere triunghiular (Fig. 11.2):1. este generat de trei noduri I, J şi K care se declară în sensul rotirii axei X

pesteY pe drumul cel mai scurt. Laturile elementului se notează 1, 2, 3;2. are un grad de libertate pe nod (GLN = 1), potenţialul Fi;3. elementul suportă următoarele încărcări: viteză impusă constantă V0 pe

una din laturi, sau potenţial impus în noduri. Se consideră viteza pozitivă dacă intră

200

în element şi negativă dacă iese din element. Funcţie de latura pe care circulă fluidul în element, expresia vectorului liber Qe este:

Fig. 11.2: Elementul triunghiular de curgere potenţială

==011

2LVQQ IJ0

IJe ; (11.6a)

==110

2LVQQ JK0

JKe ; (11.6b)

==101

2LVQQ KI0

KIe . (11.6c)

unde LIJ, LJK, LKI sunt lungimile laturilor 1, 2 şi 3;4. elementul poate fi folosit pentru modelarea curgerii potenţiale a fluidelor

ideale pentru domenii în care a treia dimensiune (grosimea elementului) este foarte mare (teoretic infinită);

5. matricea caracteristică în coordonate globale este:

[ ]

+++++++++

=2k

2kjkjkikik

kjkj2j

2jijij

kikijiji2i

2i

e

cbccbbccbbccbbcbccbbccbbccbbcb

A41K , (11.7)

în care:A - aria elementului (vezi relaţia 9.3);coeficienţii bi,...,ci,... se determină cu relaţia (9.4).

B. Date legate de element - nu există.

201

C. Date legate de tipul fluidului - pentru acest element fluidul este ideal.

D. Date despre încărcări1. potenţial impus în noduri Fi = const, deoarece matricea caracteristica a

domeniului de analiză [K], este singulară, se impune precizarea potenţialului în cel puţin un nod al discretizării, de obicei se impune potenţialul zero într-un nod de pe contur unde nu se cunoaşte viteza;

2. viteze constante pe una din laturile elementelor de pe contur;

E. Rezultatele analizei1. potenţialul în nodurile discretizării;2. vitezele în sistemul global de axe VX şi VY constante în elemente. Aceste

viteze se calculeaza cu relaţiile:

( )KkJjIiX φbφbφbA21V ++−= ; (11.8a)

( )KkJjIiY φcφcφcA21V ++−= ; (11.8b)

în care: ϕI, ϕJ, ϕK reprezintă potenţialul în nodurile elementului. Se poate calcula şi viteza totală în element, folosind relaţia:

2Y

2X VVV += (11.9)

Vitezele se pot media la noduri cu relaţii similare relaţiilor (9.8a) şi (9.8b) pentru a reprezenta grafic câmpul vitezelor în domeniul discretizat.

F. Structura fişierului cu date de intrare1. Date generale despre discretizareNN NE2. Date despre noduriNI FICON X Y <Fi>...3. Date despre elementeEI I J K...4. Date despre încărcări cu viteză impusă pe laturile elementelor (conturul

exterior modelului)NVITEIV LAT N1 N2 V0...

202

Observaţii: 1. Contururile nedeclarate cu viteză impusă şi nici cu valorile nodale Fi cunoscute se consideră că au vitezele normale pe laturile respective nule.

2. <Fi> se precizează doar pentru nodurile în care FICON = 1.

G. Programul de lucruCURGPLw_re.EXEAcest program, de uz didactic, a fost implementat folosind teoria prezentată

mai sus şi ca urmare nu poate fi folosit decât la modelarea unor fenomene simple de curgere, care în realitate nu se întâlnesc prea des.

Un program performant de analiză a curgerii trebuie să includă în primul rând influenţele date de presiune şi temperatură.

Teoriile dezvoltate în MEF pentru curgeri consideră elemente finite mixte cu grade de libertate viteze, presiuni şi temperatură. Unele noduri pot avea grade de libertate viteze iar alte noduri pot avea grade de libertate presiuni, de obicei se consideră elemente cu noduri pe laturi, şi cu noduri interioare.

H. Schema logică a programului se prezintă în Fig. 11.3. Această schemă bloc coincide ca etape principale cu schema prezentata în Fig.7.2. Se modifică însă denumirea mărimilor cu care se lucrează.

Aplicaţii

CURG1. Să se găsească distribuţia de viteze pentru curgerea potenţială a unui fluid ideal printr-un canal ca cel din Fig. 11.4. Se cunosc: a = 20 mm şi V 0

= 10 mm/s.

Fig. 11.4: Problema CURG1 Fig.11.5: Discretizare CURG1

203

START

Citeste date de intrare-din fisier sau-de la tastatura (interactiv)

Afiseaza datele de intrare

-grafic (discretizare cu conditii la limita)

cu metoda Gauss

Reface si afiseaza vectorul initial

Postprocesare grafica a rezultatelor

STOP

-format listing si

Determina dimensiunea matriceicaracteristice reduse

Calculeaza matr. caracteristice si vect.

ecuatiile de echilibru ale elementelorsi apoi le asambleaza

r r r

debitelor nodale pentru elemente

Daca exista potential impus nenul se modifica

al potentialului nodal

Determina si afiseaza vitezelein elemente

Determina vitezele nodale

Rezolva problema [K ]Fi =Q

Fig. 11.3: Schema logică a programului CURGPL.EXE

Rezolvare

Pentru discretizarea adoptată în Fig. 11.5 fişierul datelor de intrare curg1 este:

16 16

204

1 0 0.0E+00 0.0E+00 2 0 0.0E+00 2.0E+01 3 0 0.0E+00 4.0E+01 4 0 2.5E+01 0.0E+00 5 0 2.5E+01 2.0E+01 6 0 2.5E+01 4.0E+01 7 0 5.0E+01 0.0E+00 8 0 5.0E+01 2.0E+01 9 0 5.0E+01 4.0E+01 10 0 7.0E+01 0.0E+00 11 0 7.0E+01 2.0E+01 12 0 7.0E+01 4.0E+01 13 0 5.0E+01 5.5E+01 14 0 7.0E+01 5.5E+01 15 1 5.0E+01 7.0E+01 0.0016 1 7.0E+01 7.0E+01 0.00 1 1 4 5 2 1 5 2 3 2 5 3 4 3 5 6 5 4 7 8 6 4 8 5 7 5 8 6 8 6 8 9 9 7 10 810 8 10 1111 8 11 1212 8 12 913 9 12 1314 13 12 1415 13 14 1516 14 16 15

Fig. 10.6: Distribuţia vitezelor totale pentru problema CURG1

2 2 3 2 1 1.0000000000E+013 3 3 2 1.0000000000E+01

Deoarece nu se cunoaşte viteza la ieşire în nodurile 15 şi 16 se impune potenţial zero.

În urma rulării problemei se obţine listingul:NOD FICON X Y Fi

205

1 0 0.0000 0.0000 2 0 0.0000 20.0000 3 0 0.0000 40.0000 4 0 25.0000 0.0000 5 0 25.0000 20.0000 6 0 25.0000 40.0000 7 0 50.0000 0.0000 8 0 50.0000 20.0000 9 0 50.0000 40.0000 10 0 70.0000 0.0000 11 0 70.0000 20.0000 12 0 70.0000 40.0000 13 0 50.0000 55.0000 14 0 70.0000 55.0000 15 1 50.0000 70.0000 0.00 16 1 70.0000 70.0000 0.00

ELEM I J K 1 1 4 5 2 1 5 2 3 2 5 3 4 3 5 6 5 4 7 8 6 4 8 5 7 5 8 6 8 6 8 9 9 7 10 8 10 8 10 11 11 8 11 12 12 8 12 9 13 9 12 13 14 13 12 14 15 13 14 15 16 14 16 15

ELEM LAT N1 N2 V0 2 3 2 1 10.0000 3 3 3 2 10.0000

MATRICEA CARACTERISTICA ASAMBLATA ARE NEC = 14 ECUATII

206

SEMILATIMEA MATRICII ASAMBLATE ESTE LB = 5POTENTIALELE NODALENOD Fi 1 1.2792718898E+03 2 1.2728041607E+03 3 1.2631669829E+03 4 1.0393777164E+03 5 1.0252802926E+03 6 9.9810889264E+02 7 8.4353799269E+02 8 7.9818451198E+02 9 6.4814017760E+02 10 7.8891154529E+02 11 7.3428509789E+02 12 5.5185982233E+02 13 3.1132710060E+02 14 2.8867289936E+02 15 0.0000000000E+00 16 0.0000000000E+00 Fig. 10.7: Reprezentarea vitezelor cu săgeţi CURG1

VITEZELE PE ELEMENTE

ELEM VX VY 1 9.5957669341E+00 7.0487119359E-01 2 9.9009547268E+00 3.2338645262E-01 3 9.9009547268E+00 4.8185888964E-01 4 1.0602323612E+01 1.3585699961E+00 5 7.8335889497E+00 2.2676740355E+00 6 9.0838312233E+00 7.0487119359E-01 7 9.0838312233E+00 1.3585699961E+00 8 1.3998748602E+01 7.5022167191E+00 9 2.7313223699E+00 2.2676740355E+00 10 3.1949707042E+00 2.7313223699E+00 11 3.1949707042E+00 9.1212637783E+00 12 4.8140177635E+00 7.5022167191E+00 13 4.8140177635E+00 2.2454205133E+01 14 1.1327100620E+00 1.7545794864E+01 15 1.1327100620E+00 2.0755140040E+01 16 0.0000000000E+00 1.9244859957E+01

Distribuţia vitezelor totale V se prezintă în Fig. 10.6.

207

Dacă discretizarea se face cu 68 de elemente de dimensiuni egale, viteza se modifică între limitele 2,12 - 22,12 iar reprezentarea vitezelor de curgere cu săgeţi în centrul elementelor finite se dă în Fig. 10.7.

CURG2. Să se găsească distribuţia de viteze la curgerea potenţială a unui fluid ideal printr-un canal în care există un obstacol cilindric, aşa cum se prezintă în Fig. 11.8.

Fig. 11.8: Problema CURG2

Rezolvare

Deoarece vitezele sunt constante pe elemente, pentru a obţine distribuţia vitezelor cât mai precis se impune o discretizare cât mai fină a modelului de calcul. Pentru a reduce efortul de discretizare şi de calcul se poate folosi simetria problemei şi analiza pe o porţiune decupată ca în Fig. 11.8 (zona haşurată) pentru care se pot pune condiţiile la limită în viteze, adică se poate presupune că la o distanţa 3a de centrul obstacolului viteza este neperturbată.

Pentru modelare se alege o valoare oarecare pentru a (de exemplu a = 40). Dacă se impune viteza la intrare şi la iesire V = 10, şi se atribuie unui nod arbitrar un potenţial oarecare (zero, de exemplu), distribuţia de viteze pe direcţia X (orizontală) se prezintă în Fig. 11.9, iar a vitezelor pe directia Y (verticală) în Fig. 11.10.

Fig. 11.9: Distribuţia vitezei VX pentru problema CURG2

208

Fig. 11.10: Distribuţia vitezei VY pentru problema CURG2

Datorită simetriei fenomenului, problema se poate reduce şi la analiza unui sfert din zona cilindrului, dar condiţiile la limită se pun în viteze acolo unde se cunosc şi în potenţial în zona în care nu se cunoaşte distribuţia vitezei. Distribuţia vitezei de curgere pe directia X, pentru abordarea pe sfert se prezintă în Fig. 11.11, iar reprezentarea vitezelor cu săgeţi în Fig.11.12. Se menţionează că în partea din stânga s-a impus viteza iar la ieşirea din model (în dreapta) s-a impus potenţialul în toate nodurile axei de simetrie. Potenţialul impus poate fi nul sau de orice valoare constantă, egal în nodurile precizate mai sus.

Fig. 11.11: Distribuţia vitezei VX CURG2 Fig. 11.12: Vitezele CURG2

CURG3. Pentru canalul ramificat din Fig. 11.13 se cere să se studieze distribuţia vitezelor la curgerea laminară a unui fluid ideal. Cum se poate pune condiţia la limită la ieşirea din cele două braţe ?

Indicaţie. Problema poate fi rezolvată pe jumatate din motive de simetrie.

209

Fig. 11.13: Problema CURG3 Fig. 11.14: Distribuţia vitezelor CURG3

Răspuns: Pentru rezolvarea pe întreg domeniul, distribuţia vitezelor totale se prezintă în Fig. 11.14. Dacă pe laturile celor două braţe la ieşire se impune un potenţial diferit sus faţa de jos distribuţia de viteze se modifică.

CURG4. Studiaţi distribuţia de viteze în bifurcaţia din canalul prezentat în Fig. 11.15. Verificaţi dacă vitezele la ieşire în cele două ramuri sunt diferite. Este corect ? De ce ?

Fig. 11.15: Problema CURG4 Fig. 11.16: Vitezele CURG4

Răspuns: Distribuţia de viteze se prezintă în Fig. 11.16.

CURG5. Găsiţi distribuţia vitezelor de curgere potenţială a unui flui ideal în domeniul de analiză prezentat în Fig. 11.17. Credeţi că există în realitate o astfel de curgere ? În ce condiţii ? Cum credeţi că se poate îmbunătăţii regimul de curgere pentru o deviere la unghi drept ?

Răspuns: Reprezentarea cu săgeţi a distribuţiei de viteze se prezintă în Fig. 11.18. Se observă că în partea din drepta vitezele de curgere sunt foarte mici, ceea ce conduce la ideea de a renunţa la porţiunea aceasta care de altfel pentru curgeri la

210

viteze mari este o sursă de generare a curgerii turbionare. Regimul de curgere se poate îmbunătăţi prin introducerea unor raze de racordare în zona cotului.

Fig. 11.17: Problema CURG5 Fig. 11.18: Distribuţia vitezelor CURG5

CURG6. Studiaţi distribuţia vitezelor de curgere a fluidului care trece prin racordul plan prezentat în Fig. 11.19. Trasaţi graficul variaţiei vitezei în lungul axei de simetrie a racordului.

Indicaţie: Se poate trata problema pe jumătate.

Fig. 11.19: Problema CURG6

Răspuns: Distribuţia vitezelor de curgere pentru discretizarea pe jumatate se prezintă în Fig. 11.20. Variaţia vitezei în lungul axei de simetrie se dă în Fig. 11.21.

Fig. 11.20: Distribuţia vitezelor totale CURG6

211

Fig. 11.21: Variaţia vitezei VX în lungul axei de simetrie pentru aplicaţia CURG6

212

Cap. 12. Modelarea 3D a unor probleme de analiză statică structurală

Elementul hexaedral cu opt noduri (BRICK8)

A. Caracteristici principale ale elementului BRICK8 (Fig. 12.1):1. este element izoparametric, definit de opt noduri I, J, K, L, M, N, O, P care

trebuie declarate în sensul precizat în Fig. 12.1.a;2. are trei grade de libertate pe nod (GLN = 3), deplasări pe direcţiile X, Y şi

Z (UX, UY, UZ);3. are forma unui hexaedru oarecare şi poate fi încărcat cu forţe la noduri;

a bFig. 12.1: Elementul BRICK8

4. elementul se poate folosi pentru modelarea stării 3D de tensiune pentru materiale izotrope şi orice domeniu de analiză, adică acest element poate fi considerat unul dintre cele mai generale tipuri de elemente finite. Cu ajutorul acestui element finit se pot analiza toate componentele unei structuri, fie ele bare, plăci sau blocuri. Totuşi, din considerente ale dimensiunilor foarte mari ale modelelor cu elemente finite, acest element finit se foloseşte cu precădere pentru modelarea stucturilor considerate blocuri (adică prezintă cele trei dimensiuni geometrice comparabile);

5. matricea de rigiditate în coordonate globale este:[ ] [ ] [ ][ ]∫=

V

Te dVBDBK , (12.1)în care:

[ ] [ ][ ]NB ∂= ; (12.2)este matricea derivatelor funcţiilor de formă, iar expresia matricelor de derivare este:

213

[ ] ⋅

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=∂

x0

z

yz0

0xy

z00

0y

0

00x

(12.3)

Funcţiile de formă în coordonate naturale sunt:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )t1s1r181N

t1s1r181N

t1s1r181N

t1s1r181N

4

3

2

1

−+−=

−++=

−−+=

−−−= ( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )t1s1r181N

t1s1r181N

t1s1r181N

t1s1r181N

8

7

6

5

++−=

+++=

+−+=

+−−=

(12.4a)

( )( )( ) ( )( ) ( )t1t1N

s1s1Nr1r1N

11

10

9

+−=+−=+−=

(12.4b)

matricea de rigiditate (elasticitate) a materialului [D] este

[ ] ( ) ( )

−

−

−

−−

−

−+=

ν21

0ν21tricmeSi

00ν21

000ν1000νν1000ννν1

ν21ν1ED (12.5)

6. uzual elementul este denumit BRICK8.

214

B. Date legate de element1. tipul elementului finit, adică pentru obţinerea matricei de rigiditate se pot

folosi funcţiile de formă (12.4a), sau, pentru creşterea preciziei, se pot folosi şi funcţiile de formă (12.4b), caz în care înainte de asamblare matricea de rigiditate a elementului se “condensează” la gradele de libertate corespunzătoare celor opt noduri;

2. ordinul de integrare al matricei de rigiditate al elementului, INT (pentru programe de firmă se alege automat 2, 3 sau 4);

C. Date despre materialul elementului1. modulul de elasticitate longitudinal - E;2. coeficientul lui Poisson - niu;(3). coeficientul de dilatare termică - α;(4). densitatea materialului -DENS;(5). acceleraţia gravitatională - g sau greutatea specifică - γ = ρg.

D. Date despre încărcări1. blocaje la translaţie în direcţia X – BX, şi în direcţia Y – BY şi în direcţia

Z - BZ;2. forţe la noduri în direcţia X – FX, Y - FY şi Z - FZ;(3). deplasări impuse pe orice direcţie;(4). temperaturi în noduri sau în elemente;(5). forţe de inerţie generate de câmpul gravitaţional (pentru care sunt

necesare ca date de intrare ρ, g direcţia şi sensul gravitaţiei), sau generate de mişcarea de rotaţie uniformă (pentru care trebuie precizate axa de rotaţie şi viteza unghiulară ω);

(6) presiuni distribuite liniar sau constante pe feţele elementului, care se identifică prin numere de la 1 la 6 (vezi Fig. 12.1.a). Aceste presiuni (sau forţe distribuite liniar) se echivalează la nodurile elementului cu forţe concentrate (vezi Fig. 8.2 pentru care se neglijează momentele);

E. Rezultatele analizei1. deplasările nodale - UX, UY şi UZ (notate şi DX, DY şi DZ);2. tensiunile în sistemul global de axe - SX, SY, SZ, SXY SYZ, SXZ, adică

tensorul complet al tensiunilor la nodurile elementului, precum şi în centrul lui, tensiunile principale S1, S2, S3 şi unghiurile corespunzătoare de orientare (vezi Fig. 12.1.b, în care s-au figurat doar tensiunile normale).

Tensiunile într-un nod comun mai multor elemente nu rezultă egale. Pentru corectarea rezultatelor, de obicei, se recurge la medierea tensiunilor în noduri

215

folosind diverse metode, cea mai simplă mediere fără a ţine seama de volumele elementelor vecine este inclusă în programul de calcul (vezi relaţia 9.16.a).

Tensiunile dintr-un punct P al elementului se determină cu relaţia:

[ ] [ ] eP UBD

SXZSYZSXYSZSYSX

=

. (12.6)

Se menţionează că pentru calculul tensiunilor în general se foloseşte altă tehnică: tensiunile se determină în punctele Gauss 222 ×× (unde se demonstrează că erorile de calcul a tensiunilor sunt minime) şi apoi acestea se expandează la noduri folosind funcţiile de formă 12.4a. Pentru elemente hexaedrice puţin distorsionate, adică apropiate de un cub, practic tensiunile determinate direct în noduri coincid cu cele expandate din punctele Gauss. Diferenţe mai mari apar pentru elementele finite care folosesc funcţii de formă suplimentare (12.4b). Programul dispune de alegerea modului în care se calculează tensiunile pe elemente.

Tensiunile principale în noduri se pot calcula odată cu calculul tensiunilor în elemente sau tensiunile componente ale tensorului tensiune se pot media la noduri şi apoi se pot calcula tensiunile principale S1 > S2 > S3 în noduri. Programul mediază tensiunile componente şi apoi calculează tensiunile principale.

Tensiunea echivalenta, von Mises - Sech se determina cu relatia (9.18.)(3). deformaţiile specifice din element, într-un punct P se calculeaza cu

relaţia: [ ] e

P UBε = (12.7)(4). reactiunile din legaturile cu exteriorul.

1. Date generale despre discretizareNN NE2. Date despre materialeNMATMATI E niu...3. Date despre proprietăţile elementelorNPROPPROPI TIPE INT...4. Date despre noduri

216

NI BX BY BZ X Y Z...5. Date despre elementeEI I J K L M N O P MAT PROP...6. Date despre încărcări cu forţe în noduriNFNIF FX FY FZ...

G. Programul de lucruBRICK8w_re.EXE

Acest program a fost conceput să lucreze cu noţiunile (datele) de la punctele B-E neincluse între paranteze.

H. Schema logică a programului coincide cu cea prezentată în Fig. 7.2. Sistemul de ecuaţii care se rezolva este stocat în memoria RAM a calculatorului în format matrice bandă. Dimensiunea maximă a problemelor care pot fi rezolvate rezultă din numărul necunoscutelor şi laţimea de bandă. Pentru a rezolva probleme de dimensiuni mai mari pentru numerotări de noduri neadecvate unei lăţimi de bandă minime programul dispune de o procedura de renumerotare a nodurilor adaptată din [11]. O parte a rezultatelor (în special tensiuni) sunt stocate în fisiere text care se pot examina după fiecare rulare, astfel se pot urmări fişierele: tens.elm pentru examinarea tensiunilor în elemente şi fişierul tens.nod în care sunt stocate tensiunile mediate în toate nodurile discretizării.

Aplicaţii

217

SOLID1. Un corp de formă paralelipipedică, din oţel (E= 2 510⋅ MPa şi =ν 0,3), încastrat la un capăt (Fig. 12.2) este solicitat în capătul liber. Cunoscând b = 15 mm; h = 30 mm; L = 100 mm şi F = 1000 N, să se discretizeze structura cu 4 elemente finite şi să se analizeze câmpul de deplasări şi tensiuni în modelul de calcul.

RezolvareCorpul se discretizează cu patru

elemente finite ca în Fig. 12.3.

Fig. 12.2: Problema SOLID1

În Fig 12.4 se prezintă reprezentarea “expandată” a elementelor, utilă în verificările grafice ale datelor de intrare, de asemenea în Fig. 12.5 se prezintă condiţiile la limită.

Fig. 12.3: Discretizare SOLID1 Fig. 12.4: Reprezentarea “SHRINK” a elementelor

218

a: Blocaje b: ForţeFig. 12.5: Condiţiile la limită pentru aplicaţia SOLID1

Fişierul cu date de intrare solid1.txt, obţinut interactiv din rularea programului brick8.exe este: 20 4 1 1 200000.0000 0.3000 1 1 2 2 1 0 0 0 100.0000 0.0000 0.0000 2 0 0 0 100.0000 0.0000 30.0000 3 0 0 0 100.0000 15.0000 30.0000 4 0 0 0 100.0000 15.0000 0.0000 5 0 0 0 75.0000 0.0000 0.0000 6 0 0 0 75.0000 0.0000 30.0000 7 0 0 0 75.0000 15.0000 30.0000 8 0 0 0 75.0000 15.0000 0.0000 9 0 0 0 50.0000 0.0000 0.0000 10 0 0 0 50.0000 0.0000 30.0000 11 0 0 0 50.0000 15.0000 30.0000 12 0 0 0 50.0000 15.0000 0.0000 13 0 0 0 25.0000 0.0000 0.0000 14 0 0 0 25.0000 0.0000 30.0000 15 0 0 0 25.0000 15.0000 30.0000 16 0 0 0 25.0000 15.0000 0.0000 17 1 1 1 0.0000 0.0000 0.0000 18 1 1 1 0.0000 0.0000 30.0000 19 1 1 1 0.0000 15.0000 30.0000 20 1 1 1 0.0000 15.0000 0.0000 1 1 2 3 4 5 6 7 8 1 1

219

2 5 6 7 8 9 10 11 12 1 1 3 9 10 11 12 13 14 15 16 1 1 4 13 14 15 16 17 18 19 20 1 1 2 2 4000.000000 0.000000 -2000.000000 4 0.000000 -1000.000000 0.000000

Programul listeză următoarele date:PROPRIETATI DE MATERIAL MAT E niu 1 200000.0000 0.3000

ATRIBUTELE ELEMENTELORPROP TIPE INT 1 2 2

NOD BX BY BZ X Y Z 1 0 0 0 100.0000 0.0000 0.0000 2 0 0 0 100.0000 0.0000 30.0000 3 0 0 0 100.0000 15.0000 30.0000 4 0 0 0 100.0000 15.0000 0.0000 5 0 0 0 75.0000 0.0000 0.0000 6 0 0 0 75.0000 0.0000 30.0000 7 0 0 0 75.0000 15.0000 30.0000 8 0 0 0 75.0000 15.0000 0.0000 9 0 0 0 50.0000 0.0000 0.0000 10 0 0 0 50.0000 0.0000 30.0000 11 0 0 0 50.0000 15.0000 30.0000 12 0 0 0 50.0000 15.0000 0.0000 13 0 0 0 25.0000 0.0000 0.0000 14 0 0 0 25.0000 0.0000 30.0000 15 0 0 0 25.0000 15.0000 30.0000 16 0 0 0 25.0000 15.0000 0.0000 17 1 1 1 0.0000 0.0000 0.0000 18 1 1 1 0.0000 0.0000 30.0000 19 1 1 1 0.0000 15.0000 30.0000 20 1 1 1 0.0000 15.0000 0.0000

ELEM I J K L M N O P MAT PROP 1 1 2 3 4 5 6 7 8 1 1

220

2 5 6 7 8 9 10 11 12 1 1 3 9 10 11 12 13 14 15 16 1 1 4 13 14 15 16 17 18 19 20 1 1

NOD FX FY FZ 2 4000.0000 0.0000 -2000.0000 4 0.0000 -1000.0000 0.0000

MATRICEA DE RIGIDITATE ASAMBLATA ARE = 48 ECUATIISEMILATIMEA MATRICII ASAMBLATE ESTE 24

DEPLASARI NODALENOD UX UY UZ 1 -4.1050605E-02 -1.0650079E-01 -1.4165984E-01 2 3.3450330E-02 -1.0075491E-01 -1.4624384E-01 3 4.5604455E-02 -1.0128309E-01 -1.4455142E-01 4 -2.0061453E-02 -1.0629921E-01 -1.4578037E-01 5 -3.7727651E-02 -7.2174599E-02 -8.8188541E-02 6 2.3255118E-02 -7.1130960E-02 -8.8511773E-02 7 4.3906856E-02 -7.2491856E-02 -8.8768511E-02 8 -1.6575953E-02 -7.1240508E-02 -8.8961847E-02 9 -3.0305585E-02 -3.8245453E-02 -4.3017221E-02 10 1.5361396E-02 -3.6724889E-02 -4.2685138E-02 11 3.4690121E-02 -3.8436515E-02 -4.3372686E-02 12 -1.1132448E-02 -3.6900012E-02 -4.2115243E-02 13 -1.7540419E-02 -1.1900827E-02 -1.2468632E-02 14 7.4918796E-03 -9.3792206E-03 -1.1248481E-02 15 1.9531512E-02 -1.2147289E-02 -1.2973098E-02 16 -5.4722542E-03 -9.6412123E-03 -1.0784287E-02 17 0.0000000E+00 0.0000000E+00 0.0000000E+00 18 0.0000000E+00 0.0000000E+00 0.0000000E+00 19 0.0000000E+00 0.0000000E+00 0.0000000E+00 20 0.0000000E+00 0.0000000E+00 0.0000000E+00

Fişierele cu tensiunile nodale în elemente şi la noduri (calculate în punctele Gauss şi apoi expandate la noduri) sunt:tens.elm:Elem Nod SX SY SZ SXY SYZ SXZ

1 1 -4.387662E+001 -2.525433E+001 -3.959073E+001 1.319748E+001 -2.220537E-001 1.203209E+001 1 2 8.258015E+001 1.052896E+001 -1.433587E+001 -1.764192E+001 1.335843E+001 3.883797E+000 1 3 1.677327E+001 1.479551E+000 1.960280E+000 -1.523389E+001 1.536512E+001 -1.277269E+001 1 4 -1.992124E+001 4.165800E+000 1.517496E+001 1.078944E+001 1.784641E+000 -2.092097E+001

221

1 5 -2.767118E+001 1.787911E+000 1.788718E+000 -8.174492E+000 4.886155E+000 1.346102E+000 1 6 8.674543E+001 9.477470E+000 1.500340E+001 3.730047E+000 -8.694326E+000 -6.802187E+000 1 7 5.678227E-001 -1.994266E+001 -1.623213E+001 6.138081E+000 -1.070102E+001 -2.086702E+000 1 8 -2.408652E+001 1.083732E+001 9.022727E+000 -1.058253E+001 2.879460E+000 -1.023499E+001 1 0 8.888889E+000 -8.649975E-001 -3.401080E+000 -2.222222E+000 2.332051E+000 -4.444444E+000

2 5 -6.303334E+001 -5.820893E+000 -4.763210E+000 -2.065410E-001 -6.096067E+000 -1.226110E+000 2 6 6.342761E+001 2.850731E+000 -3.193285E-001 -4.237903E+000 -6.958252E-001 -4.466255E+000 2 7 7.728125E+001 5.388110E+000 8.041767E+000 -3.065472E+000 2.812010E-001 -4.422634E+000 2 8 -4.211996E+001 -2.579086E-001 6.623491E+000 -1.378972E+000 -5.119041E+000 -7.662779E+000 2 9 -5.605208E+001 4.638428E+000 4.837733E+000 -1.887433E+000 3.718019E+000 -2.066556E+000 2 10 6.454671E+001 -3.683153E-001 3.419457E+000 -2.557011E+000 -1.682223E+000 -5.306701E+000 2 11 7.029999E+001 -5.931300E+000 -7.120295E+000 -1.384580E+000 -2.659249E+000 -3.582188E+000 2 12 -4.323906E+001 2.101049E+000 -2.676413E+000 -3.059865E+000 2.740992E+000 -6.822333E+000 2 0 8.888889E+000 3.249877E-001 1.005400E+000 -2.222222E+000 -1.189024E+000 -4.444444E+000

3 9 -1.072656E+002 -7.987051E+000 -8.380002E+000 -1.081100E+000 -3.066442E+000 -3.440273E+000 3 10 6.376670E+001 4.708066E+000 -1.225601E+000 -3.363345E+000 1.598780E+000 -6.239406E+000 3 11 1.260348E+002 8.631875E+000 8.035134E+000 -3.316276E-001 4.125211E+000 -2.649483E+000 3 12 -4.698034E+001 -4.913027E+000 3.094945E-002 -4.112817E+000 -5.400107E-001 -5.448616E+000 3 13 -9.618741E+001 1.210704E+001 6.892147E+000 -6.089972E-001 3.512476E+000 -3.204222E+000 3 14 5.968633E+001 -1.056787E+001 -1.112037E+000 -3.835447E+000 -1.152746E+000 -6.003355E+000 3 15 1.149566E+002 -1.364190E+001 -8.179577E+000 -8.037302E-001 -3.679177E+000 -2.885534E+000 3 16 -4.289996E+001 8.183235E+000 -1.025177E+000 -3.640714E+000 9.860448E-001 -5.684667E+000 3 0 8.888889E+000 -4.349534E-001 -6.205204E-001 -2.222222E+000 2.230171E-001 -4.444444E+000

4 13 -1.337970E+002 1.025078E+001 6.776123E+000 -6.028457E+000 7.509988E+000 -6.999165E+000 4 14 5.590827E+001 -5.654832E+000 -1.249528E+001 1.584013E+000 -1.230941E+000 -1.754608E+000 4 15 1.514212E+002 -1.227637E+001 -8.554289E+000 -6.150885E+000 -7.676689E+000 -7.134281E+000 4 16 -3.797685E+001 3.760931E+000 1.084880E+001 1.706441E+000 1.064240E+000 -1.889724E+000 4 17 -1.596900E+002 -3.663575E+001 -2.319206E+001 -6.101617E+000 -7.593339E+000 -7.035745E+000 4 18 6.868981E+001 3.769910E+001 -3.788974E+000 1.657173E+000 1.147591E+000 -1.791188E+000 4 19 1.773141E+002 4.418896E+001 3.074527E+001 -6.077725E+000 7.593339E+000 -7.097701E+000 4 20 -5.075840E+001 -3.001421E+001 1.147387E+001 1.633281E+000 -1.147591E+000 -1.853144E+000 4 0 8.888889E+000 1.414826E+000 1.476681E+000 -2.222222E+000 -4.167526E-002 -4.444444E+000

tens.nod (prezentate în format zecimal):Nod SX SY SZ SXY SYZ SXZ S1 S2 S3 SEQV

1 -43.88 -25.25 -39.59 13.20 -0.22 12.03 -16.93 -34.30 -57.49 35.252 82.58 10.53 -14.34 -17.64 13.36 3.88 86.67 13.40 -21.30 95.483 16.77 1.48 1.96 -15.23 15.37 -12.77 36.76 -2.70 -13.85 46.054 -19.92 4.17 15.17 10.79 1.78 -20.92 25.38 6.74 -32.70 51.375 -45.35 -2.02 -1.49 -4.19 -0.60 0.06 -0.94 -2.16 -45.75 44.226 75.09 6.16 7.34 -0.25 -4.70 -5.63 75.55 11.23 1.81 69.517 38.92 -7.28 -4.10 1.54 -5.21 -3.25 39.25 -0.55 -11.14 46.028 -33.10 5.29 7.82 -5.98 -1.12 -8.95 9.70 6.18 -35.87 43.929 -81.66 -1.67 -1.77 -1.48 0.33 -2.75 -1.28 -2.04 -81.78 80.12

10 64.16 2.17 1.10 -2.96 -0.04 -5.77 64.82 2.09 0.51 63.5311 98.17 1.35 0.46 -0.86 0.73 -3.12 98.27 1.71 -0.01 97.4412 -45.11 -1.41 -1.32 -3.59 1.10 -6.14 0.80 -2.42 -46.21 45.4813 -114.99 11.18 6.83 -3.32 5.51 -5.10 15.17 3.13 -115.28 124.8714 57.80 -8.11 -6.80 -1.13 -1.19 -3.88 58.05 -6.21 -8.95 65.6715 133.19 -12.96 -8.37 -3.48 -5.68 -5.01 133.44 -4.57 -17.00 144.6316 -40.44 5.97 4.91 -0.97 1.03 -3.79 6.77 4.44 -40.77 46.4217 -159.69 -36.64 -23.19 -6.10 -7.59 -7.04 -19.66 -39.46 -160.39 131.9518 68.69 37.70 -3.79 1.66 1.15 -1.79 68.82 37.65 -3.87 63.1619 177.31 44.19 30.75 -6.08 7.59 -7.10 177.97 47.06 27.22 141.8720 -50.76 -30.01 11.47 1.63 -1.15 -1.85 11.56 -29.93 -50.94 55.09

222

Rezultatele se pot examina mult mai uşor în prezentare grafică, ca în figurile 12.6 – 12.22. Aceste reprezentări se pot face fie color, în nuanţe de gri sau cu haşuri diferite. Din motive de prezentare în carte (alb-negru) s-au introdus poze cu haşuri sau nuanţe de gri. Tensiunile reprezentate s-au calculat în punctele Gauss şi apoi au fost expandate la noduri.

Fig. 12.6: Deformata pentru aplicaţia SOLID1 (2 vederi, cu şi fără conturul structurii nedeformate)

Fig. 12.7: Câmpul deplasărilor UX Fig. 12.8: Câmpul deplasărilor UY

223

Fig. 12.9: Câmpul deplasărilor UZ Fig. 12.10: Câmpul deplasărilor totale

Fig. 12.11: Câmpul tensiunilor SX Fig. 12.12: Câmpul tensiunilor SY

Fig. 12.13: Câmpul tensiunilor SZ Fig. 12.14: Câmpul tensiunilor SXY

224

Fig. 12.15: Câmpul tensiunilor SYZ Fig. 12.16: Câmpul tensiunilor SXZ

Fig. 12.17: Câmpul tensiunilor S1 Fig. 12.18: Câmpul tensiunilor S2

Fig. 12.19: Câmpul tensiunilor S3 Fig. 12.20: Câmpul tensiunilor echivalente

225

Fig. 12.21: Câmpul tensiunilor SX (altă vedere pentru vizualizare completă)

Fig. 12.22: Câmpul tensiunilor echivalente (vedere “shrink” feţe exterioare)

Trebuie menţionat că dacă tensiunile se calculează direct în noduri, sau valorile din punctele Gauss se copiază la noduri precum şi dacă se foloseşte formularea elementului cu numai 8 funcţii de formă rezultatele de mai sus se modifică.

SOLID2. Bara în consolă din Fig. 12.23 este solicitată la încovoiere simplă. Să se determine săgeata maximă şi distribuţia de tensiuni în bară. Să se compare rezultatele obţinute din analiza cu elemente finite cu rezultatele analitice. Se cunosc: E = 2 510⋅ MPa;

=ν 0,3; b = 20 mm; h = 10 mm; L = 80 mm şi F = 900 N. Sarcina F se consideră distribuită în toate nodurile secţiunii în care lucrează. Fig. 12.23: Problema SOLID2

Răspuns: Pentru discretizarea prezentată în figura 12.24, şi folosirea elementului finit cu 11 funcţii de formă se obţin rezultatele prezentate grafic în Fig. 12.25-26. Rezultatele se pot corecta dacă se folosesc discretizări mai fine ca cea prezentată în figura 12.27.

226

a: Numerotarea nodurilor b: Numerotarea elementelor

Fig. 12.24: Discretizare pentru aplicaţia SOLID2

Fig. 12.25: Deformata SOLID2 (două vederi)

Fig. 12.26: Distribuţia SX şi Sech- SOLID2

227

Fig. 12.27: Discretizare uniformă cu 2000 elemente finite şi distribuţia Sech - SOLID2

Dacă se compară o serie de rezultate pentru cele două discretizări se pot scoate în evidenţă limitările şi avantajele folosirii celor două formulări ale elementului finit cunoscând şi soluţia analitică prezentată de rezistenţa materialelor. De exemplu pentru deplasarea totală maximă şi tensiunea echivalentă maximă se obţine:

Discretizare Tip element Deplasarea totală maximă[mm]

Tensiunea echivalentă maximă[MPa]

16 elemente

8 funcţii de formă

0,176 117,4

11 funcţii de formă

0,437 171,7

2000 elemente

8 funcţii de formă

0,450 198,2

11 funcţii de formă

0,460 221,9

Un exerciţiu foarte util este refacerea tabelului de mai sus pentru toate componentele tensiunilor şi apoi considerarea materialului cu ν =0, precum şi modificarea blocajelo în încastrare astfel încât contracţia transversală a barei să nu fie împiedicată. Se menţionează că prin folosirea teoriei de bară la această aplicaţie nu există decât tensiuni SX cu variaţie liniară în secţiune şi liniară pe lungime (maximă în încastrare 216 MPa) şi tensiuni SXZ cu variaţie parabolică pe înălţimea secţiunii şi constantă în lungul barei (maximă în linia de centru a secţiunii 6,75 MPa). Săgeata maximă a grinzii în consolă (pentru axa barei) se obţine analitic 0,4608 mm.

228

SOLID3. Să se analizeze aplicaţia din Fig. 12.28 (care coincide cu CADS1 din Fig. 8.25, de unde se preiau datele problemei), folosind discretizarea din Fig. 12.29 – 12.30 cu elemente finite de tip BRICK. Să se compare rezultatele obţinute în cele două abordări diferite. Pentru discretizarea cu elemente finite 3D să se calculeze deplasările şi tensiunile pentru utilizarea a 8 şi 11 funcţii de formă.

Răspuns: Rezultatele se prezintă grafic în Fig. 12.31 – 12.35 pentru cazul utilizării elementului finit cu 11 funcţii de formă şi în Fig. 12.37 distribuţia Sech pentru utilizarea a 8 funcţii de formă. Se observă o bună concordanţă pentru calculul deplasărilor, tensiunile însă sunt prea mari sau prea mici, deoarece există un singur element finit într-o secţiune oarecare a barei şi în plus există un efect de concentrare al tensiunilor în zona încastrării. Rezultate mai bune se pot obţine dacă se utilizează o discretizare mai fină. O discretizare foarte fină pune în evidenţă concentratorii de tensiune atât în zona aplicării forţelor concentrate cât şi în zona racordărilor (îmbinărilor dintre tronsoane). Se menţionează că tensiunile normale din fiecare tronson de bară se regăsesc pe una din distribuţiile de tensiuni SX, SY sau SZ, de asemenea trebuie menţionat că estimarea tensiunilor prin extrapolarea tensiunilor din punctele Gauss conduce la rezultate mai corecte, decât cele obţinute prin calculul direct în noduri.

Fig. 12.28: Aplicaţia SOLID3 Fig. 12.29: Numerotarea nodurilor SOLID3

229

Fig. 12.30: Condiţii la limită SOLID3 Fig. 12.31: Deformata SOLID3

Fig. 12.32: Deplasări totale pentru aplicaţia SOLID3

Fig. 12.33: Distribuţia tensiunilor SX pentru aplicaţia SOLID3

230

Fig. 12.34: Distribuţia tensiunilor SY pentru aplicaţia SOLID3

Fig. 12.35: Distribuţia tensiunilor SZ pentru aplicaţia SOLID3

Fig. 12.36: Tensiunile Sech pentru aplicaţia SOLID3 (11 funcţii de formă)

12.37: Tensiunile Sech pentru aplicaţia SOLID3 (8 funcţii de formă)

231

SOLID4. O grindă din oţel (Fig. 12.37), pentru care E = 2 510⋅ MPa; =ν0,3, şi L = 400 mm, este simplu rezemată la capete şi este solicitată central cu o forţă F = 20 kN. Să se determine săgeata maximă şi distribuţia de tensiuni în grindă pentru discretizarea unei jumătăţi de structură, aşa cum se prezintă în Fig. 12.38 şi 12.39.

12.37: Aplicaţia SOLID4

12.38: Discretizare SOLID4 12.39: Numerotarea elementelor SOLID4

Răspuns: Deplasarea totală maximă este de 0,7337 mm pentru utilizarea a 11 funcţii de formă pentru obţinerea matricelor de rigiditate a elementelor şi de 0,4595 mm pentru utilizarea a 8 funcţii de formă. Forma deformatei se prezintă în Fig. 12.41, iar distribuţia tensiunilor SX şi Sech în Fig. 12.42 şi 12.43 pentru utilizarea a 11 funcţii de formă.

Fig. 12.40: Diferite vederi pentru elementele SOLID4 (utile la verificare)

Fig. 12.41: Deformata SOLID4

232

Fig. 12.42: Tensiunile SX - SOLID4 Fig. 12.43: Tensiunile Sech - SOLID4

SOLID5. O bară de secţiune inelară este solicitată la încovoiere. Să se compare rezultatele analitice cu cele obţinute cu programul brick8.exe. Se consideră: d = 20 mm; D = 40 mm; L = 120 mm; E = 2 510⋅ MPa; =ν 0,3 şi F = 2000 N.

Răspuns: Pentru discretizarea prezentată în Fig. 12.45, cu condiţiile la limită din Fig. 12.46, se obţine distribuţia câmpului de deplasări totale din Fig. 12.47.

Fig. 12.44: Problema SOLID5

Se observă efectul aplicării forţei concentrate într-un singur punct.Observaţie: Se poate aborda şi un sfert din bară, pentru care condiţiile la

limită se prezintă în Fig. 12.48.

Fig. 12.45: Discretizare SOLID5 (model 1/2 din bară)

Fig. 12.46: Condiţii la limită SOLID5(model 1/2 din bară)

233

Fig. 12.47: Distribuţia deplasărilor totale SOLID5

Fig. 12.48: Condiţii la limită SOLID5(model 1/4 din bară)

SOLID6. Să se dezvolte un model cu elemente finite brick pentru aplicaţia QUAD3 (Fig. 9.48), adică un tub cu pereţi groşi solicitat la presiune interioară. Se menţionează că echivalarea sarcinilor nodale se face similar modelului plan (vezi Fig. 9.50). Să se compare rezultatele şi să se evidenţieze avantajul modelării plane a structurilor axial simetrice.

a: Numerotare noduri b: Numerotare elemente

Fig. 12.49: Model pe un sfert de felie de tub – SOLID6

Răspuns: Modelul discretizat se prezintă în Fig. 12.49, iar condiţiile la limită în Fig. 12.50. Deformata (Fig. 12.51) arată corespunzător condiţiilor la limită, iar distribuţiile deplasărilor (Fig. 12.52 şi 12.53) şi tensiunilor (Fig. 12.54) coincid practic cu cele obţinute în modelul plan.

234

Fig. 12.50: Condiţii la limită SOLID6 Fig. 12.51: Deformata SOLID6

Fig. 12.52: Câmpul deplasărilor UX Fig. 12.53: Câmpul deplasărilor totale

235

Fig. 12.54: Distribuţia tensiunilor echivalente SOLID6

SOLID7. Bara curbă de secţiune dreptunghiulară bxh = 5x8 mm2 şi rază medie R = 50 mm (Fig. 12.55,a) este încastrată la un capăt şi solicitată în capătul liber cu o forţă F = 25 N. Să se determine deplasarea elastică totală maximă şi tensiunea echivalentă maximă folosind modelarea cu elemente BRICK ştiind că materialul barei este oţel pentru care E = 2 510⋅ MPa şi =ν 0,3. În figura 12.55,b se prezintă o posibilă discretizare, pentru care se prezintă răspunsul.

Să se compare rezultatele obţinute cu cele obţinute pentru aceeaşi aplicaţie modelată cu elemente finite de tip BEAM 3D (vezi aplicaţia CADS8). Folosiţi elementul finit cu 8 şi cu 11 funcţii de formă şi comparaţi rezultatele obţinute.

a. Modelul conceptual b. Discretizare posibilă

Fig. 12.55: Aplicaţia SOLID7

Răspuns:

236

Tip element Deplasarea totală maximă[mm]

Tensiunea echivalentă maximă[MPa]

8 funcţii de formă 1,029 85,76211 funcţii de formă 1,037 85,774

SOLID8. Bara curbă de secţiune dreptunghiulară variabilă (Fig. 12.56,a) este încastrată la capătul de secţiune mai mare şi solicitată în capătul liber cu o forţă verticală F = 100 N. Să se determine deplasarea elastică totală maximă şi tensiunea echivalentă maximă folosind modelarea cu elemente BRICK ştiind că materialul barei este oţel pentru care E = 2 510⋅ MPa şi =ν 0,3. În figura 12.56,b se prezintă o posibilă discretizare, pentru care se prezintă răspunsul.

Să se compare rezultatele obţinute cu cele obţinute pentru aceeaşi aplicaţie modelată cu elemente finite de tip BEAM 2D (vezi aplicaţia CADP8). Folosiţi elementul finit cu 8 şi cu 11 funcţii de formă şi comparaţi rezultatele obţinute.

a. Modelul conceptual b. Discretizare posibilă

Fig. 12.56: Aplicaţia SOLID8

Răspuns:Tip element Deplasarea totală maximă

[mm]Tensiunea echivalentă maximă

[MPa]8 funcţii de formă 1,775 212,311 funcţii de formă 2,361 281,6

SOLID9. Bara cotită de secţiune circulară φ 100 (Fig. 12.57,a) are axele barelor de-a lungul unui cub şi este solicitată “la întindere” pe direcţia diagonalei cu o forţă F = 35,445 kN. Să se determine deplasarea elastică totală maximă şi tensiunea echivalentă maximă folosind modelarea cu elemente BRICK ştiind că

237

materialul barei este oţel pentru care E = 2,1 510⋅ MPa şi =ν 0,3. În figura 12.57,b se prezintă o posibilă discretizare, pentru care se prezintă răspunsul.

Să se compare rezultatele obţinute cu cele obţinute pentru aceeaşi aplicaţie modelată cu elemente finite de tip BEAM 3D (vezi aplicaţia CADS9). Folosiţi elementul finit cu 8 şi cu 11 funcţii de formă şi comparaţi rezultatele obţinute.

a. Modelul conceptual b. Discretizare posibilă

Fig. 12.57: Aplicaţia SOLID9

Răspuns:Tip element Deplasarea totală maximă

[mm]Tensiunea echivalentă maximă

[MPa]8 funcţii de formă 12,039 276,511 funcţii de formă 12,735 283,0

SOLID10. Cadrul plan din figura 12.58,a este format din bare de secţiune pătrată şi dreptunghiulară bxh. Cotele sunt precizate relativ la axele barelor. Cadrul este încastrat la bază şi este solicitat cu două forţe Fx = 2 kN şi două momente Mz = 0,5 kNm, considerate concentrate. În model se consideră că forţele concentrate se distribuie pe nodurile secţiunii în care lucrează iar momentul concentrat se aplică ca perechi de forţe (cupluri) care lucrează în zona colţurilor. Să se determine deplasarea elastică totală maximă şi tensiunea echivalentă maximă folosind modelarea cu elemente BRICK ştiind că materialul barei este oţel pentru care E = 2,1 510⋅ MPa şi =ν 0,3.

238

În figura 12.58,b se prezintă o posibilă discretizare pentru întreg modelul, pentru care se prezintă răspunsul. Din considerente de simetrie/antisimetrie modelul cu elemente finite se poate dezvolta doar pe un sfert din structură.

Să se compare rezultatele obţinute cu cele obţinute pentru aceeaşi aplicaţie modelată cu elemente finite de tip BEAM 2D (vezi aplicaţia CADP12). Folosiţi elementul finit cu 8 şi cu 11 funcţii de formă şi comparaţi rezultatele obţinute.

a. Modelul conceptual b. Discretizare posibilă

Fig. 12.58: Aplicaţia SOLID10

Răspuns:Tip element Deplasarea totală maximă

[mm]Tensiunea echivalentă maximă

[MPa]8 funcţii de formă 2,701 54,611 funcţii de formă 3,515 74,8

SOLID11. Structurile din figura 12.59 sunt realizate din două, respectiv trei cercuri, toate de rază medie R = 100 mm şi secţiune dreptunghiulară pentru care bxh = 24x6 mm2. Cercurile sunt sudate perpendiculare între ele şi sunt solicitate “la întindere” pe direcţia unui diametru cu o forţă F = 1 kN. Să se determine deplasarea elastică maximă între punctele de aplicaţie ale forţelor şi tensiunea echivalentă maximă folosind modelarea cu elemente BRICK ştiind că materialul barei este oţel pentru care E = 2 510⋅ MPa şi =ν 0,25. În figura 12.60 se prezintă posibile discretizări pe modelul complet (deşi din considerente de simetrie

239

se pot folosi modele dezvoltate chiar pe 1/8 din structură), pentru care se prezintă răspunsul.

Să se compare rezultatele obţinute pentru varianta a) cu cele obţinute pentru aceeaşi aplicaţie modelată cu elemente finite de tip BEAM 3D (vezi aplicaţia CADS12). Folosiţi elementul finit cu 8 şi cu 11 funcţii de formă şi comparaţi rezultatele obţinute.

a. Varianta a) b. Varianta b)

Fig. 12.59: Aplicaţia SOLID11

a. Varianta a) b. Varianta b)

Fig. 12.60: Discretizări posibile pentru aplicaţia SOLID11

Răspuns:Varianta Tip element Deplasarea relativă Tensiunea echivalentă

240

[mm] maximă [MPa]a) 8 funcţii de formă 0,4176 81,6

11 funcţii de formă 0,7320 104,8b) 8 funcţii de formă 0,06592 20,3

11 funcţii de formă 0,14940 45,0

Observaţii: Dacă se folosesc discretizări cu un singur element pe grosimea barelor se obţin diferenţe foarte mari între rezultatele obţinute cu cele două formulări ale elementelor finite. Rezultatele din cele două formulări se apropie dacă discretizările sunt foarte fine.

SOLID12. Placa circulară din figura 12.61,a este încastrată pe un inel rigid şi este solicitată pe faţa superioară cu o presiune uniform distribuită de valoare p = 1 MPa. În model se echivalează forţa de presiune prin distribuirea forţei totale la noduri. Să se determine deplasarea elastică totală maximă şi tensiunea echivalentă maximă folosind modelarea cu elemente BRICK ştiind că materialul barei este oţel pentru care E = 2 510⋅ MPa şi =ν 0,3.

Din considerente de simetrie modelul cu elemente finite se poate dezvolta doar pe un sfert din structură. În figura 12.61,b se prezintă o posibilă discretizare pentru care se prezintă răspunsul.

Să se compare rezultatele obţinute cu cele obţinute pentru aceeaşi aplicaţie modelată cu elemente finite de tip QUAD4 (vezi aplicaţia CADP12). Folosiţi elementul finit cu 8 şi cu 11 funcţii de formă şi comparaţi rezultatele obţinute.

a. Modelul conceptual b. Discretizare posibilă pe ¼ din placă

Fig. 12.61: Aplicaţia SOLID12

Răspuns:Tip element Deplasarea totală maximă Tensiunea echivalentă maximă

241

[mm] [MPa]8 funcţii de formă 0,09417 58,911 funcţii de formă 0,1091 73,2

SOLID13. “Bara” de secţiune inelară (ţeava) de diametru exterior D = 100 mm, diametru interior d = 80 mm şi lungime L = 180 mm (Fig. 12.62,a) este încastrată în partea stângă şi are aplicată prin sudură o placă “rigidă” (cu modulul de elasticitate de 10 ori mai mare decât al tevii) în partea dreaptă pentru a putea fi încărcată cu diverse configuraţii de forţe. Să se analizeze distribuţia deplasărilor (pentru E = 2 510⋅ MPa şi =ν 0,3) şi a tensiunilor în ţeavă şi să se determine deplasările totale maxime şi tensiunile echivalente maxime din model pentru solicitările:

a) de întindere cu o forţă N = 50 kN;b) de încovoiere pură cu un moment Mi = 2 kNm;c) de răsucire cu un moment Mt = 2 kNm;d) de încovoiere în consolă (încovoiere simplă) cu o forţă F = 5 kN.Să se compare rezultatele obţinute cu cele obţinute din aplicarea relaţiilor

de calcul din rezistenţa materialelor în ipoteza că ţeava este o bară, deşi lungimea ei este prea mică pentru a fi încadrată în categoria barelor. Pentru a reduce efectul concentrării tensiunilor din cauza aplicării forţelor concentrate, forţele se vor distribui în mai multe noduri ca în figura 12.63 pentru discretizarea prezentată în figura 12.62,b. Folosiţi elementul finit cu 8 şi cu 11 funcţii de formă şi comparaţi rezultatele obţinute. Analizaţi şi explicaţi modificarea rezultatelor atunci când coeficientul lui Poisson devine =ν 0,0.

a. Modelul conceptual b. Discretizare posibilăFig. 12.62: Aplicaţia SOLID13

242

a) b) c) d)Fig. 12.63: Aplicarea forţelor pentru cazurile de încărcare ale aplicaţiei SOLID13

Răspuns:Varianta Tip element Deplasarea relativă

[mm]Tensiunea echivalentă

maximă [MPa]a) 8 funcţii de formă 0,01594 18,6

11 funcţii de formă 0,01502 20,1b) 8 funcţii de formă 0,1020 100,9

11 funcţii de formă 0,1052 117,2c) 8 funcţii de formă 0,09619 30,5

11 funcţii de formă 0,09627 30,5d) 8 funcţii de formă 0,03018 16,8

11 funcţii de formă 0,03041 18,8

SOLID14. Să se determine tensiunea echivalentă maximă pentru îmbinarea celor două ţevi din figura 12.64,a ştiind că 2F = 145 kN; E = 2 510⋅ MPa şi =ν 0,3. Deoarece ţevile sunt groase se neglijează posibilele racordări dintre cilindri. Cele două secţiuni de capăt ale ţevii φ 30x5 se consideră încastrate, iar forţa 2F se distribuie uniform la nodurile secţiunii libere a ţevii φ 16x4.

În figura 12.64,b se prezintă o posibilă discretizare pentru 1/4 din model pentru care se prezintă răspunsul.

Folosiţi elementul finit cu 8 şi cu 11 funcţii de formă şi comparaţi rezultatele obţinute.

Răspuns:Tip element Deplasarea totală maximă

[mm]Tensiunea echivalentă maximă

[MPa]8 funcţii de formă 0,03495 145,211 funcţii de formă 0,03592 162,8

243

a. Modelul conceptual b. Discretizare posibilăFig. 12.64: Aplicaţia SOLID14

SOLID15. Piesa din figura 12.65,a se obţine prin găurirea centrală a calupului din oţel (E = 2 510⋅ MPa şi =ν 0,3). Ştiind că diametrul celor două găuri este φ 20 să se determine tensiunea echivalentă maximă obţinută prin comprimarea calupului pe cele două feţe 60x40 cu o presiune p = 100 MPa. În figura 12.65,b se prezintă o posibilă discretizare pentru 1/2 din model pentru care se prezintă răspunsul. Forţa totală rezultată din presiunea aplicată se distribuie la nodurile de pe faţa 60x40. Din considerente de simetrie modelul cu elemente finite se poate dezvolta şi pentru 1/8 din structură.

Folosiţi elementul finit cu 8 şi cu 11 funcţii de formă şi comparaţi rezultatele obţinute.

a. Modelul conceptual b. Discretizare posibilăFig. 12.65: Aplicaţia SOLID15

244

Răspuns:Tip element Deplasarea totală maximă

[mm]Tensiunea echivalentă maximă

[MPa]8 funcţii de formă 0,04054 786,011 funcţii de formă 0,04184 860,0

SOLID16. Diamantul din figura 12.66,a este format din 6 feţe pătrate şi 12 feţe hexagonale şi este solicitat la compresiune uniformă pe toate feţele pătrate cu o presiune p = 100 MPa. Pentru a reduce numărul încărcărilor se consideră ipotetic încărcarea cu presiune numai pe trei feţe şi rezemare simplă pe feţele opuse. Ştiind că E = 10 510⋅ MPa şi =ν 0,07 să se determine tensiunea echivalentă maximă din diamant. Pentru verificarea geometriei se precizează că laturile mici ale feţelor hexagonale au lungimea 1,4061 mm. În figura 12.66,b se prezintă o posibilă discretizare pentru tot modelul. Forţa totală rezultantă din presiunea aplicată pe fiecare faţă se distribuie la nodurile feţei. Din considerente de simetrie modelul cu elemente finite se poate dezvolta şi pentru 1/8 din structură.

Folosiţi elementul finit cu 8 şi cu 11 funcţii de formă şi comparaţi rezultatele obţinute.

a. Modelul conceptual b. Discretizare posibilă

Fig. 12.66: Aplicaţia SOLID16

Răspuns:Tip element Deplasarea totală maximă

[μm]Tensiunea echivalentă maximă

[MPa]8 funcţii de formă 0,2845 232,611 funcţii de formă 0,3052 113,3

Observaţii:

245

1. Din analiza deformatei rezultă că feţele încărcate cu presiune nu rămân plane, ceea ce arată că rezemarea impusă pe feţele opuse nu este corectă. Modelul trebuie încărcat cu forţe pe toate feţele pătrate şi pentru preluarea mişcării de corp rigid trebuie blocate 6 grade de libertate;

2. Se observă că pentru această aplicaţie tensiunea echivalentă obţinută cu 11 funcţii de formă este mai mică decât cea obţinută cu 8 funcţii de formă.

246

Bibliografie

1. Alămoreanu, E., Metoda elementelor finite şi elementelor de frontieră, U.P.B., 1995

2. Bathe, K.J., Wilson, E. L., Numerical Methods in Finite Element Analysis, Prentice-Hall, New Jersey, 1976

3. Blumenfeld, M., Introducere în metoda elementelor finite, Editura Tehnică, Bucureşti, 1995

4. Blumenfeld, M., Ioniţa, A., Mareş, C., Metoda elementelor finite - aplicaþii şi programe introductive - U.P.B., 1992

5. Brătianu, C., Metode cu elemente finite în dinamica fluidelor, Editura Academiei R.S.R., Bucureşti, 1983

6. Buga, M., Iliescu, N., Atanasiu, C., Tudose, I., Radu, Gh., Probleme alese din rezistenţa materialelor, U.P.B., 1995

7. Buzdugan, Gh., Rezistenţa materialelor, Editura Academiei R.S.R., Bucureşti, 1986

8. Constantinescu, I. N., Munteanu, M. Gh., Golumbovici, D. C., Calcule de rezistenţa a structurilor de maşini şi utilaje, Editura Tehnică, Bucureşti, 1984

9. Ciofoaia, V., Botiş M., Dogaru, F., Curtu, I., Metoda Elementelor Finite, Editura INFOMARKET, Braşov, 2001

10. Deutsch, I., Rezistenţa materialelor, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1976

11. Faur, N., Elemente finite fundamente, Editura Politehnica,Timişoara, 2002

12. Gârbea, D., Analiză cu elemente finite - aplicaţii pe microcalculatoare, Editura Tehnică, Bucureşti, 1990

13. Gheorhiu, H., Constantinescu I., Hadăr, A., Petre, C., Méthodes numériques pour le calcul des structures de résistance, Editura Bren, Bucureşti, 1999

14. Marin, C., Hadăr, A., Popa, I.F., Albu, L., Modelarea cu Elemente Finite a Structurilor Mecanice, Editura Academiei Române, Editura Agir, Bucureşti, 2002

247

15. Marinescu, G., Ivan, C., Metoda Elementului Finit, Analiză Numerică şi Aplicaţii în TermoElasticitate, Editura CIA, Bucureşti, 1996

16. Mocanu, D. R., Analiza experimentală a tensiunilor, Editura Tehnică, Bucureşti, 1977

17. Mocanu, D. R., Rezistenţa materialelor, Editura Tehnică, Bucureşti, 1980

18. Olariu, V., Brătianu, C., Modelare numerică cu elemente finite, Editura Tehnică, Bucureşti, 1986

19. Pascariu, I., Elemente finite. Concepte-Aplicaţii, Editura Militară, Bucureşti, 1985

20. Postolache, M., Metode Numerice, Editura Sirius, Bucureşti, 1994

21. Przemieniecki, J. S., Theory of Matrix Structural Analysis, McGraw-Hill, 1968

22. Sandu, A., Sandu, M., Găvan, M., Metode şi Programe pentru Calculul Structurilor Elastice, Editura Printech, Bucureşti, 2003

23. Sándor, Kovács, Turbo Pascal 6.0. - Ghid de utilizare, Editura microInformatica, Cluj-Napoca, 1993

24. Sorohan, Şt., Metoda elementelor finite în ingineria mecanică - Programe şi aplicaţii, partea I, UPB, 1996

25. Sorohan, Şt., Constantinescu, I. N., Practica modelării şi analizei cu elemente finite, Editura Politehnica Press, Bucureşti, 2003

26. Timoshenko, S. P., Goodier, J. N., Theory of elasticity, McGraw-Hill, 1970

248