metoda celor mai mici patrate
TRANSCRIPT
Metoda celor mai mici patrate
x
๐น
o Facem o serie de experimente atarnind diverse greutati de mase cunoscute de un resort si masuram alungirea resortului fata de lungimea lui initiala. Scriem intr-un tabel aceste valori.
o Stim ca forta elastice este F=kx (de fapt e cu minus, dar pentru
scopul nostru nu conteaza).
o Utilizand valorile experimentale obtinute vrem sa calculam constanta elastica a resortului.
o Cum procedam?
F(N) 2 4 6 8 10 12 14 16 18
X(m) 0.5 1.8 2 4 4.5 6.5 7.5 11.2 11.5
o Trasam graficul F=F(x) o Conform ecuatiei de mai sus graficul ar fi trebuit sa fie o dreapta care trece prin origine. o Din cauza erorilor de masura (aleatoare) punctele experimentale sunt dispersate
Cazul 1 โ dreapta care trece prin origine
Metoda celor mai mici patrate o O metoda care permite calculul constantei elastice a resortului si care tine seama de erorile
de masura este metoda celor mai mici patrate o Presupunem ca avem un set de masuratori (xi, yi) cu i=1โฆn. Stim ca marimea fizica Y depinde
de marimea fizica X sub forma unei drepte care trece prin origine. o Ecuatia dreptei este y=f(a,x)=ax
Calculam diferentele ฮ y1 = y1 โ f(a,x1) = y1-ax1 ฮ y2 = y2 โ f(a,x2) =y2-ax2
. . .
ฮ yn = yn โ f(a,xn) =yn-axn Aceste diferente nu sunt nule pentru ca masuratorile sunt afectate de erori aleatoare. Astfel punem conditia ca suma patratelor acestor diferente sa fie minima:
๐ = (โ๐ฆ๐)2
๐
๐=1
= (๐ฆ๐ โ ๐๐ฅ๐)2
๐
๐=1
= ๐๐๐
Metoda celor mai mici patrate o Conditia de minim inseamna ca derivata intai a lui S in raport cu a trebuie sa fie 0:
๐๐
๐๐= 0 โ
๐๐
๐๐= โ2 ๐ฆ๐ โ ๐๐ฅ๐ ๐ฅ๐
๐๐=1 โ ๐ =
๐ฅ๐๐ฆ๐๐๐=1
๐ฅ๐2๐
๐=1 cu eroarea ๐๐ =
(๐ฆ๐โ๐๐ฅ๐)2๐
๐=1
(๐โ1) ๐ฅ๐2๐
๐=1
o Calitatea fitarii liniare (o masura a erorii) este date de coeficientul de determinare:
o R2 ia valor intre 0 si 1. Ca urmare valori foarte aproape de 1 indica o dependenta foarte
puternica intre marimile fizice X si Y si putem avea o incredere foarte mare in modelul liniar.
o Exemplu: introducem datele noastre in Origin si calculam constanta elastica k=a (a se mai numeste si panta dreptei).
o Obtinem urmatoarele valori:
a= 1.6662916N/m=k ฮตa= 0.09615816 R2 = 0.97404976
๐ 2 = 1 โ (๐ฆ๐ โ ๐๐ฅ๐)
2๐๐=1
(๐ฆ๐)2๐
๐=1
Metoda celor mai mici patrate
Cazul 2 โ dreapta care nu trece prin origine o Masuram rezisenta unui material (roca, filamentul unui bec, etc) functie de temperatura si obtinem urmatoarele valori:
T(ยฐC) 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800
R(ฮฉ) 10.5 11.8 12 14 14.5 16.5 17.5 21.2 21.5
o Trasam graficul R=R(T) o Graficul se aseaza pe o dreapta oarecare care nu trece prin origine. o Din cauza erorilor de masura (aleatoare) avem abateri de la linia dreapta o Ecuatia dreptei va fi R=aT+b
o Caz general y=ax+b=f(a,b,x)
Metoda celor mai mici patrate
o Aplicam metoda celor mai mici patrate ca sa calculam a si b si astfel sa determinam in ce fel rezistenta depinde de temperatura. Calculam diferentele:
ฮ y1 = y1 โ f(a,b,x1) = y1-ax1-b ฮ y2 = y2 โ f(a,b,x2) =y2-ax2-b
. . . ฮ yn = yn โ f(a,b,xn) =yn-axn-b
o punem conditia ca suma patratelor acestor diferente sa fie minima:
๐ = (โ๐ฆ๐)2
๐
๐=1
= (๐ฆ๐ โ ๐๐ฅ๐ โ ๐)2
๐
๐=1
= ๐๐๐
o Aceasta inseamna ca
(๐๐
๐๐)๐=๐๐๐๐ ๐ก= 0 โ โ2 ๐ฆ๐ โ ๐๐ฅ๐ โ ๐ ๐ฅ๐
๐
๐=1
= 0
(๐๐
๐๐)๐=๐๐๐๐ ๐ก= 0 โ โ2 ๐ฆ๐ โ ๐๐ฅ๐ โ ๐
๐
๐=1
= 0
Metoda celor mai mici patrate
o Se rezolva sistemul de 2 ecuatii cu necunoscutele a si b si rezulta:
๐ = (๐ฅ๐โ๐ฅ )(๐ฆ๐โ๐ฆ )๐๐=1
(๐ฅ๐โ๐ฅ )2๐
๐=1 cu eroarea ๐๐ =
(๐ฆ๐โ๐๐ฅ๐)2๐
๐=1
(๐โ1) (๐ฅ๐โ๐ฅ )2๐
๐=1
๐ = ๐ฆ โ ๐๐ฅ ๐๐= (๐ฆ๐โ๐๐ฅ๐)
2๐๐=1 ๐ฅ๐
2๐๐=1
๐(๐โ1) (๐ฅ๐โ๐ฅ )2๐
๐=1
o Cu coeficientul de determinare:
๐ 2 = 1 โ (๐ฆ๐ โ ๐๐ฅ๐)
2๐๐=1
(๐ฆ๐ โ ๐ฆ )2๐
๐=1
o Exemplu: introducem date noastre in Origin si calculam a si b.
o Obtinem urmatoarele valori:
a=0.00714167 cu ฮตa=5.60178189E-4 b=8.35833333 cu ฮตb=0.63045975 R2=0.95871058
Metoda celor mai mici patrate
Cazul 3 โ caz neliniar o In acest caz avem de-a face cu un
polinom de grad 3 care arata in felul urmator:
o Y=c1x3+c2x2+c3x+c4
o Cum aflam coeficientii c1, c2, c3, si c4?
o Putem aplica metoda celor mai mici
patrate dar in acest caz algoritmii de fitare sunt mai complicati
o Cativa algoritmi care lucreaza cu metoda celor mai mici patrate pe caz neliniar:
1. Levenberg-Marquardt 2. Monte Carlo 3. Markov Chain Monte Carlo 4. Simplex 5. Dynamic programming 6. Simulated annealing
In acest caz a fost aplicat un algoritm de tip simplex si s-au obtinut valorile: C1=1; c2=-2; c3=1; c4=-1