mecanica_astronomie

Partea I

Elemente de mecanicateoretica

1

Capitolul 1

Cinematica

1.1 Cinematica punctului material

1.1.1 Viteza unui punct material

FieO; i1; i2; i3

un reper cartezian n spatiul tridimensional euclidian E3:

Vom nota cu

r = OP = xi1 + yi2 + zi3 (1.1)

vectorul de pozitie al punctului generic P: Presupunnd ca P si schimbapozitia n timp, avem

r = r(t): (1.2)

Relatia (1.2) poate considerata ca reprezentnd ecuatia unei curbenumita traiectorie.

n general se presupune ca r(t) are derivate de ordinul doi. Viteza punc-tului P este derivata n raport cu timpul a vectorului de pozitie

v(t0) =dr(t0)

dt=

:r(t0) = lim

t!t0r(t) r(t0)t t0 = limt!t0

P (t0)P (t)

t t0 :

1.1.2 Acceleratia unui punct material

Acceleratia punctului material P este derivata vitezei n raport cu timpul,sau echivalent, derivata a doua a vectorului de pozitie n raport cu timpul

a(t0) =d2r(t0)

dt2=r(t0) =

dv(t0)

dt= lim

t!t0v(t) v(t0)t t0 :

3

4 CINEMATICA

Cum derivata a doua poate denita direct, fara calculul prealabil alderivatei nti, avem de asemenea

a(t0) =r(t0) = lim

!0r (t0 + ) + r (t0 ) 2r (t0)

2=

= lim!0

P (t0)P (t0 + ) + P (t0)P (t0 )2

:

1.1.3 Proiectiile vitezei si acceleratiei pe axeletriedrului lui Frenet atasat traiectoriei

Fie

s(t) =

Z tt0

qx(t)2 +

y(t)2 +

z(t)2dt

abscisa curbilinie a traiectoriei. Viteza punctului material este

v(t) =dr(t)

dt=dr

ds dsdt

= ds

dt=

s = v (1.3)

iar acceleratia

a =dv

dt=

d2s

dt2+d

ds

ds

dt

2=

v +

v2

; (1.4)

unde reprezinta tangenta la traiectorie, este normala la traiectorie, este raza de curbura iar v = kvk este marimea vitezei.

1.1.4 Proiectiile acceleratiei pe axele triedrului lui Darboux

n cazul n care punctul material se misca pe o suprafata, putem atasatraiectoiei triedrul lui Darboux (! ;!n ;!m) ; unde ! este versorul tangenteila traiectorie iar !n versorul normalei la suprafata. Notnd cu unghiuldintre ! si !n , din (1.4) rezulta

!a = ! v +!n v2

n+!m v

2

m; (1.5)

unde1

n=

cos

reprezinta curbura normala iar

1

m=

sin

repezinta

curbura geodezica.

CINEMATICA PUNCTULUI MATERIAL 5

1.1.5 Coordonate curbilinii

Presupunem ca putem determina vectorul de pozitie al unui punct n functiede trei parametri independenti (numiti coordonate curbilinii)

r = xi1 + yi2 + zi3 = rq1; q2; q3

astfel nct

det@ (x; y; z)

@ (q1; q2; q3)=

@r

@q1;@r

@q2;@r

@q3

6= 0:

Asadar vectorii@r

@q1;@r

@q2;@r

@q3sunt liniar independenti si putem considera

ca determina o baza n E3 numita baza locala naturala: Sa consideram n

spatiul euclidian E3 reperul local fP; e1; e2; e3g cu ei = @r@qi

: Schimbnd

eventual ntre ei pe q1 si q2; putem considera ca acesta este un reper drept

(e1; e2; e3) > 0:

Fie n continuare matricea simetrica (gij)1i;j3 cu

gij = gji = ei ej:

Daca gij = 0 pentru i 6= j spunem ca avem un sistem de coordonateortogonale. Notnd cu g = det (gij) sa demonstram relatia

(e1; e2; e3) =pg: (1.6)

Folosind identitatea lui Lagrange avem succesiv

(e1; e2; e3)2 = [e1 (e2 e3)]2 =

= e21 (e2 e3)2 [e1 (e2 e3)]2 =

= e21

he22e

23 (e2 e3)2

i [e2 (e1 e3) e3 (e1 e2)]2 =

=

e1 e1 e1 e2 e1 e3e2 e1 e2 e2 e2 e3e3 e1 e3 e2 e3 e3

= det (gij) = g > 0;de unde rezulta (1.6).

6 CINEMATICA

1.1.6 Baze reciproce. Componentele contravariante si co-variante ale unui vector din E3

Daca fe1; e2; e3g este o baza n E3 atunci sie1; e2; e3

cu

e1 =e2 e3p

g; e2 =

e3 e1pg

; e3 =e1 e2p

g

este o baza, numita baza reciproca. n raport cu baza fe1; e2; e3g ; oricevector X 2 E3 se poate scrie sub forma

X =3Xi=1

Xiei:

Coordonatele Xi poarta numele de componente contravariante al vectoruluiX: n raport cu baza reciproca

e1; e2; e3

; orice vector X 2 E3 se poate

scrie sub forma

X =

3Xi=1

Xiei:

Coordonatele Xi poarta numele de componente covariante al vectorului X:n cele ce urmeaza, n aceasta sectiune, vom omite sa mai folosim semnulP; considernd implicit ca daca n cadrul unui produs un indice se repeta

atunci se face sumare dupa acel indice de la valoarea 1 pna la valoarea 3 aindicelui.

Fie n continuare matricea simetricagij

1i;j3 cu

gij = gji = ei ej :Sa aratam ca

gij

= (gij)1 ;

echivalent cugjigik =

jk: (1.7)

Pentru aceasta este sucient sa vericam ca

gij =Gij

g

unde Gij reprezinta complementul algebric al lui gij: Vom efectua vericareapentru g12: Avem succesiv

g12 = e1 e2 = (e2 e3) (e3 e1)g

=(e2 e3; e3; e1)

g=


=(e3; e1; e2 e3)

g=e3 (e1 (e2 e3))

g=

=e3 [e2 (e1 e3) e3 (e1 e2)]

g=g31g32 g33g12

g=G12

g:

Vom stabili n continuare regula de coborre si ridicare a indicelui, adicaregula de calculare a componentelor covariante cnd cunoastem componen-tele contravariante si invers.

Pornim pentru aceasta de la egalitatea usor de vericat

ei ej = ji :In relatia

X = Xjej = Xkek (1.8)

nmultind scalar cu ei avem

Xjgij = Xkki

de undeXi = gijX

j : (1.9)

Daca n (1.8) nmultim scalar cu ei avem

Xjij = Xkgki

de unde rezultaXi = gikXk:

si legaturile dintre baze pot exprimate cu ajutorul regulii de ridicare sicoborare a indicelui. Plecam de la relatia

ei = jej :

nmultind scalar cu ek avem

gik = jjk = k

deciei = gike

k: (1.10)

nmultind n (1.10) cu gji (cu sumare subnteleasa dupa i) avem

gji ei = gji gike

k

de unde, n virtutea lui (1.7) rezulta

ej = gji ei: (1.11)

Observatie. Daca fP; e1; e2; e3g este un reper cartezian, atunci gij =gij = ij iar componentele covariante si contravariante ale unui vector coincidsi acelasi lucru se ntmpla cu baza initiala si baza reciproca.

8 CINEMATICA

1.1.7 Componentele zice ale unui vector

Prin normarea bazei

X = Xjej =3Xj=1

Xjpgjj

ejpgjj

= Xkek =

Xk=1

Xkpgkk

ekpgkk

se asociaza ecarei componente a unui vector o marime numita componentazica :

Xj(fiz) = Xjpgjj ; Xj(fiz) = Xk

pgkk (fara sumare).

1.1.8 Componentele contravariante si covariante ale vitezeisi acceleratiei

Din relatia

v = viei =@r

@qiqi

=qiei

calculam componentele contravariante ale vitezei n cazul sistemului de co-ordonate curbilinii

q1; q2; q3

:

vi =qi; i = 1; 2; 3: (1.12)

Cu regula de coborre a indicelui rezulta componentele covariante alevitezei

vi = gijqj; i = 1; 2; 3: (1.13)

Pentru a calcula componentele acceleratiei tinem cont de relatia

a =dv

dt=

d

dt

@r

@qjqj

=@2r

@qj@qkqj qk

+@r

@qjqj:

Pentru a calcula componentele covariante ale acceleratiei, n relatia

a = ajej ;

nmultind scalar cu ei obtinem

ai = a ei = qjej ei + q

j qkei @ej

@qk

echivalent cuai =

qjgji +

qj qki;jk; i = 1; 2; 3; (1.14)


unde

i;jk = ei @ej@qk

(1.15)

reprezinta coordonatele covariante ale lui@ej@qk

si poarta numele de simbolul

lui Christoel de speta nti.Observam ca

i;jk = ei @ej@qk

= ei @2r

@qj@qk= ei @ek

@qj= i;kj : (1.16)

Pentru a calcula componentele contravariante ale acceleratiei folosim reg-ula de ridicare a indicelui:

al = gliai =qjlj +

qj qkglii;jk: (1.17)

Din egalitatea@gij@qk

=@ei@qk ej + @ej

@qk ei

si din (1.15) deducem pentru simbolul lui Christoel de speta nti formulade calcul

k;ij =1

2

@gij@qk

+@gik@qj

+@gjk@qi

:

Introducnd simboliul lui Christoel de speta a doua:

ljk = glii;jk = g

liei @ej@qk

= el @ej@qk

avem alta expresie pentru componentele contravariante ale acceleratiei:

al =ql+qj qkljk: (1.18)

Vom expune n continuare o noua metoda de calcul a componentelorcovariante ale acceleratiei. Introducnd energia punctului de masa egala cuunitatea

T =1

2v2 =

1

2

qjej

qiei

=

1

2gjiqj qi;

sa demonstram ca

aj =d

dt

"@T

@:qj

# @T@qj

: (1.19)

10 CINEMATICA

Avem succesiv

d

dt

"@T

@:qj

# @T@qj

=d

dt

gji

:qi @@qj

1

2gkiqk qi

=

=@gji@qk

:qk :qi+ gji

::qi 1

2

@gki@qj

:qk :qi

=

= gji::qi+

@

@qk(ei ej) 1

2

@

@qj(ei ek)

:qk :qi

=

= gji::qi+

i;jk + j;ik 1

2i;kj 1

2k;ij

:qk :qi

=

= gji::qi+

j;ik +

1

2i;jk 1

2k;ji

:qk :qi

=

= gji::qi+ j;ik

:qk :qi

= aj :

Aplicatii. 1) Sa se determine componentele vitezei si acceleratiei n co-ordonate cilindrice.

Rezolvare. Fie coordonatele cilindrice (; ; z) ; 2 (0;1) ; 2 [0; 2) ; z 2R introduse prin relatiile

x = cos ; y = sin ; z = z:

Fie vectorul de pozitie r = xi1+yi2+zi3 si baza locala naturala fe1; e2; e3g =fe; e; ezg introdusa prin relatiile

e =@r

@= cos i1 + sin i2; e =

@r

@=

sin i1 + cos i2 ; ez = i3:Coordonatele cilindrice sunt ortogonale deoarece

(gij)1i;j3 =

0@ 1 0 00 2 00 0 1

1A ; : gij1i;j3 =

0@ 1 0 00 12

0

0 0 1

1A :Componentele contravariante ale vitezei sunt date de relatia

v =:e +

:e +

:zez

iar componentele contravariante zice ale vitezei le sunt date de relatia

v =:i +

: i +

:ziz


cui = e; i =

e; iz = ez:

Componentele covariante ale vitezei sunt date de relatia

v =:e + 2

:e +

:zez

iar componentele covariante zice ale vitezei le sunt date de relatia

v =:e +

:e

+:zez =

:i +

: i +

:ziz

si coincid cu componentele contravariante zice.Fie energia cinetica a punctului material cu masa egala cu unitatea

T =1

2v2 =

1

2

:

2+ 2

:

2+

:z

2:

Componentele covariante ale acceleratiei sunt

a =d

dt

@T

@:

@T@

=::

:

2;

a =d

dt

@T

@:

@T@

= 2:: + 2

::;

az =d

dt

@T

@:z

@T@z

=::z;

iar cele contravariante

a = a; a = 2a; a

z = az:

Componentele zice ale acceleratiei se obtin din relatia

a =

::

:

2i +

:: + 2

::i +

::ziz:

Observatie. n cazul n care miscarea punctului material are loc ntr-unplan (sa zicem planul Oxy ) avem

= r = krk ; z = 0iar componentele zice ale vitezei si acceleratiei se obtin din relatiile

v =:ri + r

: i;

12 CINEMATICA

a =

::r r

:

2i +

r:: + 2

:r:i:

Coordonatele (r; ) poarta numele de coordonate polare.1) Sa se determine componentele vitezei si acceleratiei n coordonate

sferice.Rezolvare. Fie (r; ; ') ; r 2 (0;1) ; 2 [0; ] ; ' 2 [0; 2),

coordonatele sferice introduse prin relatiile

x = r sin cos'; y = r sin sin'; z = r cos :

Baza locala naturala este formata din vectorii

e1 = er = sin cos'i1 + sin sin'i2 + cos i3;

e2 = e = rcos cos'i1 + cos sin'i2 sin i3

;

e3 = e' = r sin sin'i1 + cos'i2 :

Avem de asemenea

(gij)1i;j3 =

0@ 1 0 00 r2 00 0 r2 sin 2

1A ; gij1i;j3 =

0@ 1 0 00 1r2

00 0 1

r2 sin 2

1A ;coordonatele sferice ind deci coordonate ortogonale. Vectorii bazei reciprocesunt

er = sin cos'i1 + sin sin'i2 + cos i3;

e =1

r

cos cos'i1 + cos sin'i2 sin i3

;

e' =1

r sin

sin'i1 + cos'i2 :Componentele contravariante si componentele contravariante zice ale

vitezei se obtin din relatiile :

v =:rer +

:e +

:'e' =

:rer + r

:

er

+ r sin

:'

e'

r sin

:

Componentele covariante si componentele covariante zice ale vitezei seobtin din relatiile :

v =:rer + r2

:e + r2 sin 2

:'e' =

:rer + r

:re

+ r sin :' (r sin e') :

CINEMATICA SOLIDULUI RIGID 13

Energia cinetica a punctului cu masa egala cu unitatea este

T =1

2v2 =

1

2

:r

2+ r2

:

2+ r2 sin 2

:'

2

iar coordonatele covariante ale acceleratiei sunt

ar =d

dt

@T

@:r

@T@r

=::r r

:

2 r sin 2 :'2;

a =d

dt

@T

@:

@T@

= r2:: + 2r

:r: r2 :'2 sin cos ;

a' =d

dt

@T

@:'

@T@'

=d

dt

r2 sin 2

:':

1.2 Cinematica solidului rigid

1.2.1 Vectorul de rotatie instantanee. Formulele lui Poisson

Fie n spatiul euclidian E3 reperul cartezian xO1; i1; j1; k1

: Fie de

asemenea reperul mobilO; i; j; k

solidar legat de corpul solid rigid (S)

(vezi gura 1.1). Notnd cu M un punct al solidului, sa consideram vectoriide pozitie

!r1 = !O1M; !r = !OM; !rO = !O1O;astfel ca

r1 = x1i1 + y1j1 + z1k1; r = xi+ yj + zk; rO = xOi+ yOj + zOk:

n timpul miscarii solidului coordonatele x; y; z sunt constante iar coor-donatele xO; yO; zO precum si versorii i; j; k variaza cu timpul.

Consideram relatiile

di

dt= !11i+ !12j + !13k; (1.20)

dj

dt= !21i+ !22j + !23k; (1.21)

dk

dt= !31i+ !32j + !33k: (1.22)

14 CINEMATICA

Figure 1.1: Miscarea solidului rigid

tinnd cont de conditiile de ortonormalitate

i2

= 1; j2

= 1; k2

= 1; i j = 0; j k = 0; k i = 0

deducem

i didt

= 0; j djdt

= 0; k dkdt

= 0; (1.23)

i djdt

+ j didt

= 0; j dkdt

+ k djdt

= 0; k didt

+ i dkdt

= 0: (1.24)

Din (1.20) - (1.24) rezulta

!11 = !22 = !33 = 0;

!12 + !21 = 0; !13 + !31 = 0; !23 + !32 = 0:

Am denit n felul acesta tensorul antisimetric !! = (!ij)1i;j3 numitsi tensorul rotatie.

Punnd

k djdt

= !23 = p(t);

i dkdt

= !31 = q(t);

j didt

= !12 = r(t)

CINEMATICA SOLIDULUI RIGID 15

se deneste un vector ! = pi+ qj + rk numit vectorul rotatie (viteza unghi-ulara). Cu noile notatii avem

di

dt= rj qk = ! i; (1.25)

dj

dt= pk ri = ! j; (1.26)

dk

dt= qi pj = ! k: (1.27)

Formulele (1.25) - (1.27) poarta numele de formulele lui Poisson.

1.2.2 Distributia vitezei si acceleratiei n cazulmiscarii solidului rigid

Vom demonstra mai nti relatia

dr

dt= ! r: (1.28)

Avem succesiv

dr

dt= x

di

dt+ y

dj

dt+ z

dk

dt= x! i+ y! j + z! k = ! r:

Viteza punctului generic M al solidului, raportata la reperul x va

v(t) =dr1dt

=drOdt

+dr

dt;

de unde, notnd cu vO viteza punctului O avem

v = vO + ! r: (1.29)

Acceleratia punctului M este

a =dv

dt=dvOdt

+d!

dt r + ! dr

dt;

sau notnd cu aO acceleratia punctului O rezulta

a = aO +:! r + ! (! r) : (1.30)

16 CINEMATICA

1.3 Teoria miscarii relative

1.3.1 Cazul unui reper x si al unui reper mobil

Vom considera reperul xO1; i1; j1; k1

si reperul mobil

O; i; j; k

:Notnd

cu M un punct oarecare vom folosi notatiile

r1 = O1M = x1i1 + y1j1 + z1k1; r = OM = xi+ yj + zk; rO = O1O:

Vom deni viteza relativa (adica viteza n raport cu reperul mobilO; i; j; k

)

a punctului M prin relatia

vr =@r

@t=

:xi+

:yj +

:zk; (1.31)

(prin@

@tindicam o derivare partiala n sensul ca vectorii i; j; k nu sunt

derivati.)Viteza absoluta (adica viteza n raport cu reperul x

O1; i1; j1; k1

) a

punctului M va

va =dr1dt

=drOdt

+dr

dt= vO +

d

dt

xi+ yj + zk

=

= vO +

x:

i+ y:

j + z:

k

+ :xi+

:yj +

:zk

sau, tinnd cont de (1.31) si de formulele lui Poisson,

va = vO + ! r + vr (1.32)

unde ! este vectorul rotatie al reperului mobilO; i; j; k

n raport cu repe-

rul xO1; i1; j1; k1

: Introducnd viteza de transport (ca ind viteza unui

punct solidar legat de reperul mobil):

vt = vO + ! r

putem rescrie relatia (1.32) sub forma

va = vt + vr: (1.33)

Pentru a obtine expresia acceleratiei absolute aa a punctuluiM , derivamn raport cu timpul relatia (1.32):

aa =dvadt

=dvOdt

+:! r + ! dr

dt+dvrdt: (1.34)

TEORIA MISCARII RELATIVE 17

Vom introduce acceleratia relativa (adica acceleratia n raport cu reperulmobil

O; i; j; k

) a punctului M prin relatia

ar =@vr@t

=::xi+

::yj +

::zk: (1.35)

Tinnd cont de (1.34) si de formulele lui Poisson obtinem

dvrdt

=d

dt

:xi+

:yj +

:zk

= ! vr + ar: (1.36)

Cumdr

dt= ! r + vr;

din (1.34) - (1.36) rezulta

aa = aO +:! r + ! (! r) + 2! vr + ar; (1.37)

unde

aO =dvOdt

reprezinta acceleratia punctului O:Introducnd acceleratia de transport (ca ind acceleratia unui punct sol-

idar legat de reperul mobil):

at = aO +:! r + ! (! r) ;

si acceleratia complementara (sau acceleratia lui Coriolis)

ac = 2! vr;

putem rescrie relatia (1.37) sub forma

aa = at + ac + ar: (1.38)

18 CINEMATICA

Capitolul 2

Dinamica punctului si asistemelor de punctemateriale

2.1 Legile mecanicii clasice

Mecanica newtoniana clasica admite ca realitate zica existenta unui spatiuabsolut si a unui timp absolut , independente ntre ele si fara nici-o relatiecu materia, n sensul ca modelul matematic al acestui spatiu este spatiuleuclidian R3, iar oricarui eveniment mecanic, care se traduce prin prezentaunei particule materiale ntr-un punct al acestui spatiu la un moment dat,i corespunde un element al produsului cartezian R3 R:

n mecanica clasica se postuleaza existenta unui sistem de referinta nu-mit reper inertial astfel ca, n cadrul geometriei euclidiene sa e vericateurmatoarele principii enuntate de Newton:

1. Principiul inertiei. Acest principiu arma ca daca asupra unuipunct material nu actioneaza nici-o forta, el se misca rectiliniu si uni-form sau este n stare de repaus fata de reperul inertial .

2. Legea a doua a lui Newton. Conform acestei legi forta F careactioneaza asupra unui punct material este egala cu produsul dintremasa m a punctului si acceleratia sa (notata cu a) :

F = ma (2.1)

3. Principiul actiunii si reactiunii. Acest principiu postuleaza cadaca actiunea exercitata de punctul material M2 asupra lui M1 se

19

20 DINAMICA PUNCTULUI SI A SISTEMELOR DE PUNCTE

reprezinta prin forta F12 si daca F21 este forta exercitata de punctulmaterial M1 asupra lui M2, atunci F12 si F21 au ca suport dreaptaM1M2 si

F12 + F21 = 0: (2.2)

2.1.1 Principiul de relativitate n mecanica clasica

Ecuatia (2.1) este valabila fata de un reper inertial O1x1y1z1 a carui exis-tenta a fost postulata. Sa consideram un nou reper Oxyz animat fata deO1x1y1z1 de o miscare de translatie rectilinie si uniforma de viteza (evi-dent constanta) vO: Cum vectorul de rotatie al reperului Oxyz n raportcu reperul O1x1y1z1 este nul, conform legilor de compunere a vitezelor siacceleratiilor, ntre viteza v si acceleratia a a unui punct M fata de reperulO1x1y1z1 si viteza relativa vr si acceleratia relativa ar fata de noul reper,avem relatiile

v = vr + vO (2.3)

a = ar (2.4)

Din relatia (2.3) deducem ca principiul inertiei este valabil si fata dereperul Oxyz iar din relatia (2.4) rezulta ca fata de acest reper isi pastreazavalabilitatea si legea a doua a lui Newton caci

F = mar: (2.5)

Rezulta de aici ca daca avem un reper inertial, exista o innitate de astfelde repere inertiale, deducndu-se unul din altul printr-o translatie rectiliniesi uniforma.

Aceasta armatie constituie principiul de relativitate al lui Galileu.

2.2 Miscarea punctului material liber

Legea a doua a lui Newton, scrisa pe coordonate sub forma

mx = F1(x; y; z; _x; _y; _z; t);

my = F2(x; y; z; _x; _y; _z; t); mz = F3(x; y; z; _x; _y; _z; t) (2.6)

constituie un sistem de 3 ecuatii diferentiale ordinare de ordinul doi.

MISCAREA PUNCTULUI MATERIAL LIBER 21

2.2.1 Legi de conservare n dinamica punctului material

Integrarea sistemului (2.6) este usurata de cunoasterea unei sau mai multorintegrale prime, adica relatii de forma

f(x; y; z; _x; _y; _z; t) = C (2.7)

n care C = const: iar (x; y; z) reprezinta o solutie a sistemului (2.6).Putem avea cel mult 6 integrale prime independente de forma

fi(x; y; z; _x; _y; _z; t) = Ci ; i = 1; 2; :::; 6 (2.8)

Integralele prime sunt independente daca avem relatia

det@(f1; f2; f3; f4; f5; f6)

@(x; y; z; _x; _y; _z)6= 0: (2.9)

n acest caz, cu teorema functiilor implicite, din (2.9) se obtine

x = x(t; C1; :::; C6); y = y(t; C1; :::; C6); z = z(t; C1; :::; C6) (2.10)

_x = _x(t; C1; :::; C6); _y = _y(t; C1; :::; C6); _z = _z(t; C1; :::; C6) (2.11)

constantele C1; :::; C6 obtinndu-se din conditiile initiale.Integralele prime ale sistemului (2.6), continnd relatii ntre coordonatele

punctului material, componentele vitezei si timp, poarta numele de legi deconservare.

2.2.2 Teoremele generale ale mecanicii punctului material

Teoremele generale ale mecanicii punctului material sunt teorema impulsu-lui, teorema momentului cinetic si teorema energiei cinetice. Ele sunt im-portante printre altele pentru ca n anumite cazuri ne pot furniza integraleprime ale sistemului (2.6).

Teorema impulsului

Deoarece masa punctului material este constanta se deduce

ma =d(mv)

dt= F :

Introducnd impulsul (sau cantitatea de miscare) ca produsul dintremasa punctului material si viteza sa

H = mv (2.12)

obtinem:


1. Teorema impulsului. Derivata impulsului n raport cu timpul esteegala cu forta :

d H

dt= F (2.13)

Daca forta F ndeplineste anumite conditii, putem deduce de aici inte-grale prime ale sistemului (2.6).

De exemplu, daca forta F este perpendiculara pe un vector x u(; ; )vom avea din (2.13):

d

dt( H u) = F u = 0) H u = C;

C ind o constanta. Proiectiile vectorului H pe axe ind

Hx = m _x; Hy = m _y; Hz = m _z

integrala prima obtinuta se scrie

m( _x+ _y + _z) = C:

Teorema momentului cinetic

Fie r =OM vectorul de pozitie al punctului materialM n raport cu reperulinertial Oxyz. Avem asadar

v =dr

dt; a =

d2r

dt2:

Deducem de aici

mr d2r

dt2=

d

dtm(r dr

dt) = r F :

VectorulK = r mv = r H

este momentul lui H, aplicat nM fata de originea O. El se numestemomentcinetic sau moment al cantitatii de miscare fata de punctul O. Pe de altaparte, r F este momentulMO al fortei F , aplicate n punctul M , fata depunctul O. Avem deci

Teorema momentului cinetic. Derivata momentului cinetic fata deun punct x O este egala cu momentul fortei fata de acel punct,


d K

dt=MO: (2.14)

Din consideratiile facute mai sus, observam ca teorema momentului ci-netic este valabila nu numai fata de originea O a reperului, ci si fata deorice punct x n raport cu reperul inertial considerat. Daca nsa se iaumomentele fata de un punct mobil, enuntul teoremei se modica.

Fie punctul mobil A de vector de pozitie rA(t) si viteza vA: Notnd prinKO momentul lui mv fata de O si prin KA momentul lui mv fata de A, apoicuMO momentul lui F fata de O si cuMA momentul sau fata de A; avem

KO = KA +OAmv = KA + rA H;

MO =MA +OA F =MA + rA F :Prin urmare relatia (2.14) conduce la

d KAdt

+ vA H + rA dH

dt=MA + rA F :

tinnd cont de (2.13) deducem

d KAdt

=MA vA H

aceasta relatie reprezentnd teorema momentului cinetic fata de un punctmobil A:

Teorema ariilor

Daca momentulMO este perpendicular pe versorul x u(; ; ) atunci din(2.14) se deduce

d

dt( KO u) =MO u = 0

deciKO u = mC

unde C este o constanta. Avem o integrala prima. Fie

Kx = m(y _z z _y); Ky = m(z _x x _z); Kz = m(x _y y _x)

proiectiile vectorului KO pe axele de coordonate. Integrala prima obtinutase mai scrie

Kx + Ky + Kz = mC:


Considernd ca u este versorul axei Oz, vom avea = = 0; = 1 siintegrala prima se va scrie mai simplu

(x _y y _x) = C: (2.15)

FieM(x; y; z) punctul mobil considerat, de viteza v si P (x; y; 0), proiectiasa pe planul Oxy, care este perpendicular pe versorul u:

Punctul P va descrie n planul Oxy o traiectorie care este proiectia ortog-onala pe acest plan a traiectoriei punctului M ; viteza lui P este vP ( _x; _y; 0),proiectia ortogonala a lui v:

Fie Sz(t) suprafata descrisa de raza vectoare OP de la momentul initialt0, cnd M era n M0 iar P era n P0 pna la momentul t: Notam cu Az(t)aria suprafetei Sz(t) si cu @Sz(t) frontiera ei. Pornind de la relatia

Az(t) =

Z ZSz(t)

dxdy

si folosind formula lui StokesZ ZSz(t)

@Q

@x @R@y

dxdy =

Z@Sz(t)

Rdx+Qdy

cuQ =

x

2; R = y

2

obtinem

Az(t) =1

2

Z@Sz(t)

xdy ydx:

Cum @Sz(t) este alcatuit din segmentele OP;P0O si din arcul P0P ,obtinem n denitiv,

Az(t) =1

2

ZP0P

xdy ydx (2.16)

deoarece avemdy

dx=y

x; (x; y) 2 OP [ P0O:

Din (2.16) rezulta

Az(t) =1

2

Z tt0

(x _y y _x)dt:


tinnd cont de (2.15) obtinem

Az =C

2(t t0): (2.17)

Prin urmare avemTeorema ariilor. Daca momentul fortei F este mereu nul fata de axa

Oz, atunci n proiectie pe planul Oxy, aria descrisa de raza vectoare OP , dela pozitia sa initiala OP0; este proportionala cu intervalul de timp parcurs.

MarimeadAzdt

=1

2(x _yy _x) poarta numele de viteza areolara a punctului

P.Daca momentul fortei este mereu nul fata de o alta dreapta trecnd prin

origine, de directie xa, teorema ariilor se aplica n proiectie pe un planperpendicular pe dreapta si care trece prin origine. Constanta C se numesteconstanta ariilor.

Teorema energiei cinetice

Sa reluam ecuatia de miscare (2.1) sub forma

mdv

dt= F (2.18)

nmultind ambii membrii scalar cu v si integrnd ntre momentele t0 (cndviteza ia valoarea v0) si t, obtinem

1

2mv2 1

2mv20 =

Z tt0

F vdt (2.19)

MarimeaT =

1

2mv2 =

1

2mv2

poarta numele de energie cinetica a punctului material , marimea F vde putere a fortei iar marimea

R tt0

F vdt de lucru mecanic total al fortei.Conform celor de mai sus avem

Teorema energiei cinetice. Variatia energiei cinetice ntre momentelet0 si t este egala cu lucrul mecanic total al fortei ntre aceste momente.

Putem formula teorema energiei cinetice si sub forma diferentiala dacan relatia (2.18) nmultim cu dr = vdt: Obtinem atunci relatia

d

1

2mv2

= F dr (2.20)

care ne arata ca diferentiala energiei cinetice a punctului material este egalacu lucrul mecanic elementar al fortei F dr:


Cmp de forte care admite un potential

Daca forta F nu depinde dect de r, adica de pozitia punctului material,avem

F = F (x; y; z):

Se spune ca n acest caz avem de-a face cu un cmp de forte. n cazul ncare cmpul de forte admite un potential U(x; y; z), adica

F = gradU(x; y; z)

relatia (2.19) devine

1

2mv2 1

2mv20 =

Z tt0

(@U

@x

dx

dt+@U

@y

dy

dt+@U

@z

dz

dt)dt =

Z tt0

dU

dtdt

echivalenta cu

1

2mv2 U(x; y; z) = 1

2mv20 U(x0; y0; z0) (2.21)

Se obisnuieste ca functia V = U sa e denumita energia potentiala apunctului material iar functia T +V energia mecanica totala. Asadar relatia(2.21) se mai scrie

T + V = const: (2.22)

Avem deci legea de conservare : n cazul unui cmp de forte care admiteun potential, energia mecanica totala a punctului material supus actiuniiacelui cmp este constanta.

Cmpul de forte se numeste din acest motiv cmp de forte conservativ.

2.2.3 Miscarea unui punct material sub actiunea unei fortecentrale

Spunem ca o forta este centrala daca suportul sau trece printr-un punct xnumit pol sau centru

Propozitie. Traiectoria unui punct material care se misca sub actiuneaunei forte centrale este plana.

Demonstratie. Fie O polul fortei. Din relatia

:

KO =MO = 0

deducemKO = r mv = C = const:


Asadar C r = 0 deci miscarea are loc ntr-un plan perpendicular pe vectorulC: Considernd reperul Oxyz = O; i1; i2; i3 astfel nct C k i3, rezulta camiscarea are loc n planul Oxy: Trecnd la coordonate polare,

x = r cos ; y = r sin

deducem din teorema ariilor ca

x:y y :x = r2

: = C:

2.2.4 Formula lui Binet

n cazul unei forte centrale avem asadar

F = Fi: (2.23)

tinnd cont de expresiile coordonatelor zice ale acceleratie n coordonatepolare din (2.23) deducem n virtutea legii a doua a lui Newton

m

::r r

:

2

= F; (2.24)

m

2:r: + r

::

= 0) ddt

r2

:

= 0) r2: = C: (2.25)

Observam ca regasim teorema ariilor cu C = r(t0)2:(t0) = r

20

:0:

Din (2.24) si (2.25) deducem relatia

m::r = F +

C2

r3: (2.26)

Cautnd ecuatia traiectoriei plane sub forma r = r(); avem

:r =

dr

d

:: =

C

r2dr

d= C d

d

1

r

; (2.27)

::r = C d

2

d2

1

r

: = C

2

r2d2

d2

1

r

: (2.28)

Din (2.26) - (2.28) deducem formula lui Binet :

F = mC2

r2

1

r+

d2

d2

1

r

: (2.29)


Daca F = F (r; ) cu formula lui Binet se poate aa traiectoria punctuluimaterial care se misca sub actiunea fortei centrale. Urmeaza apoi sa se ae = (t); adica legea orara a miscarii pe traiectorie.

Aplicatie. Un punct material M de masa m este atras de centrul O cu

o forta F = kmr5

unde r =

OM

iar k este o constanta cunoscuta. Ce

viteza initiala v0 paralela cu axa Oy trebuie sa se imprime punctului M aatn A 2 Ox pentru ca el sa descrie un cerc de diametru OA (se va expriman functie de k si R)? Dupa ct timp ajunge mobilul n O ?.

Rezolvare. Deoarece punctul M descrie semicercul de raza R (g. 2.1)avem

r = 2R cos ; C = r2: = (2R)2 v0

2R= 2Rv0;

de unde

1

r=

1

2R cos ;d

d

1

r

=

sin

2R cos2 ;d2

d2

1

r

=

1 + sin2

2R cos3 :

nlocuind n formula lui Binet obtinem

1 + sin2

2R cos3 +

1

2R cos =

k

(2R cos )3 (2Rv0)2 ) v20 =

k

32R2:

Figure 2.1: Aplicatie la formula lui Binet

Timpul dupa care mobilul ajunge n O se calculeaza din legea ariilor

C = r2: = 2

A

t) t = 2A

C=

R2

2Rv0=R

2v0:

PUNCTUL MATERIAL SUPUS LA LEGATURI 29

2.3 Miscarea punctului material supus la legaturi

2.3.1 Cazul legaturilor ideale (fara frecare)

Miscarea pe o suprafata

n cazul miscarii unui punct material pe suprafata ' (x; y; z; t) = 0, din legeaa doua a lui Newton obtinem

ma = F +N (2.30)

unde F este rezultanta fortelor active iar forta de legatura (reactiune) este

N = grad':

n cazul unei suprafete xe de ecuatie '(x; y; z) = 0; notnd cu r =r(s); ecuatia traiectoriei (unde s reprezinta abscisa curbilinie), se considera

triedrul lui Darboux ( ;m; n) cu =dr

ds; n =

grad'

kgrad'k ; m = n :Cunoscnd proiectiile acceleratiei pe axele triedrului lui Darboux

a = v + n

v2

n+m

v2

m

si considernd rezultanta fortelor active

F = F + Fmm+ Fnn;

obtinem ecuatiile de miscare n proiectie pe axele triedrului lui Darboux

m:v = F ; (2.31)

mv2

n= Fn +N; (2.32)

mv2

m= Fm: (2.33)

Sa presupunem n continuare ca forta F este conservativa avnd potentialulU (x1; x2; x3) (F = gradU). nmultind n (2.31) cu v avem

dT

dt= mv

:v = vF = F v = @U

@x1

dx1dt

+@U

@x2

dx2dt

+@U

@x3

dx3dt

=dU

dt; (2.34)

de unde rezulta integrala prima a energiei

T U = const: (2.35)


Miscarea pe o suprafata xa data sub forma parametrica

Fie r = rq1; q2

ecuatia parametrica a suprafetei. Avem relatiile

:r = r0q1

:q

1+ r0q2

:q

2;

::r = r0q1

::q

1+ r0q2

::q

2+ r00q1q1(

:q

1)2 + 2r00q1q2

:q

1 :q

2+ r00q2q2(

:q

2)2: (2.36)

Tinnd cont de relatiile (2.36), avem n virtutea relatiilor (??) din anexa(formulele lui Gauss)

::r r0qi = g1i

::q

1+ g2i

::q

2+ i;11(

:q

1)2 + 2i;12

:q

1 :q

2+ i;22(

:q

2)2; i = 1; 2: (2.37)

::r U = G11( :q1)2 + 2G12 :q1 :q2 +G22( :q2)2: (2.38)

Cu acestea ecuatia (2.30) n proiectie pe suporturile tangentelor r0q1 ; r0q2

si normalei U =r0q1 r0q2

r0q1 r0q2

la suprafata ne da

mg1i

::q

1+ g2i

::q

2+ i;11(

:q

1)2 + 2i;12

:q

1 :q

2+ i;22(

:q

2)2

= Qi; i = 1; 2

(2.39)cu Qi = F r0qi si

mG11(

:q

1)2 + 2G12

:q

1 :q

2+G22(

:q

2)2

= F U +N: (2.40)

Daca n (2.39) nmultim cu gij si sumam dupa i obtinem ecuatia echivalenta

m::qj

+ j11(:q

1)2 + 2j12

:q

1 :q

2+ j22(

:q

2)2

= Q1g1j+Q2g

2j ; j = 1; 2: (2.41)

Miscarea pe o suprafata de rotatie sub inuenta fortei de greutate

Fie n raport cu reperul Oxyz suprafata de rotatie data de ecuatiile para-metrice

x = f (z) cos ; y = f (z) sin ; z = z:

Cu notatiile folosite mai sus facem identicarile q1 = ; q2 = z si avem

r0 = f (z) sin i+ f (z) cos jr0z = f 0 (z) cos i+ f 0 (z) sin j + k;


r00 = f (z) cos i f (z) sin j;r00z = f 0 (z) sin i+ f 0 (z) cos j;r00zz = f

00 (z) cos i+ f 00 (z) sin j;

g11 = r0 r0 = f (z)2 ; g12 = r0 r0z = 0; g22 = r0z r0z = 1 + f 0 (z)2 ;

1;11 = r0 r00 = 0; 1;12 = r0 r00z = f (z) f 0 (z) ; 1;22 = r0 r00zz = 0;2;11 = r

0z r00 = f (z) f 0 (z) ; 2;21 = r0z r00z = 0;

2;22 = r0z r00zz = f 0 (z) f 00 (z) ;

U =r0 r0z

r0 r0z

= cos i+ sin j f

0 (z) kq1 + f 0 (z)2

;

G11 = U r00 =f (z)q

1 + f 0 (z)2; G12 = U r00zz = 0; G22 =

f 00 (z)q1 + f 0 (z)2

:

Sa consideram mai nti cazul n care axa de simetrie a suprafetei derotatie este verticala, deci forta de greutate este

F = mg = mgk:

Ecuatiile (2.41) devin

f (z)2:: + 2f (z) f 0 (z)

::z =

F r0m

= 0; (2.42)

1 + f 0 (z)2

::z f (z) f 0 (z)

:

2+ f 0 (z) f 00 (z) :z2 =

F r0zm

= g: (2.43)

Dupa ce solutiile (t) si z (t) sunt aate se calculeaza forta de legatura(reactiune) din ecuatia

m

0@ f (z)q1 + f 0 (z)2

:

2+

f 00 (z)q1 + f 0 (z)2

:z

2

1A = mgf 0 (z)q1 + f 0 (z)2

+N: (2.44)

Se verica imediat ca ecuatia (2.42) are integrala prima (care de altfelpoate obtinuta si din teorema ariilor)

f (z)2: = C: (2.45)


nlocuind n (2.43) rezulta1 + f 0 (z)2

::z Cf

0 (z)f (z)3

+ f 0 (z) f 00 (z) :z2 =F r0zm

= g (2.46)

Ecuatia (2.46) are integrala prima1 + f 0 (z)2

:z

2+

C2

f (z)2+ 2gz = 2gh; (2.47)

care este de fapt integrala prima a energiei.n cazul cilindrului circular drept ca axa verticala avem f (z) = l: Din

(2.45) rezulta: = C iar din (2.46) deducem

::z = g:

Sa consideram si cazul cilindrului circular drept cu axa de simetrie ori-zontala. n acest caz putem lua F = mgi iar ecuatiile (2.42) si (2.43) vor nlocuite cu

:: +

g

lsin = 0; (2.48)

::z = 0: (2.49)

Ecuatia (2.49) are solutia

z (t) = v0zt+ z0:

Alegnd conditiile initiale v0z = 0; z0 = 0; miscarea are loc n planul Oxy:n acest caz, modelul mecanic prezentat se numeste pendulul matematic sil vom studia n detaliu ntr-o subsectiune urmatoare.

Miscarea pe o curba

n cazul miscarii pe curba de ecuatii

'1 (x; y; z; t) = 0; '2 (x; y; z; t) = 0

din legea a doua a lui Newton obtinem

ma = F +N

unde F este rezultanta fortelor active iar forta de legatura (reactiune) este

N = 1grad'1 + 2grad'2:


n cazul unei curbe xe, considernd triedrul lui Frenet atasat curbei ; ;

; notnd

F = F + F + F; N = N +N

avem

m:v = F ; (2.50)

mv2

= F +N ; (2.51)

0 = F +N: (2.52)

Daca ecuatia curbei este data sub forma parametrica

r = r (s) ;

s reprezentnd abscisa curbilinie, deducem

m::s = F

s;

:s; t:

Integrnd aceasta ecuatie diferentiala cu conditiile initiale s (t0) = s0;:s (t0) =

v0 se obtine legea de miscare pe curba data s = s (t) : n cazul n care Fdepinde doar de pozitia punctului, avem din teorema energiei cinetice (2.19):

1

2mv2 1

2mv20 =

Z tt0

F vdt =Z tt0

F:sdt =

Z ss0

F (s) ds; (2.53)

de unde deducem v = v (s) : Avnd pe v =:s, putem aa timpul printr-o

cuadratura

t t0 =Z ss0

ds

v (s);

de unde obtinem apoi s = s (t) : Daca functia F are potentialul U; atunci

F v = gradU drdt

=dU

dt

si din (2.53) deducem integrala prima a energiei

T U = const:


Pendulul matematic

Consideram un reper cartezian Oxyz cu axa Ox avnd directia si sensulverticalei descendente. Ne propunem sa studiem miscare unui punct materialgreu M pe cercul vertical x2 + y2 = l2; z = 0:

Pentru simplitate vom omite sa mai scriem a treia variabila spatiala.Normala la cerc este de forma N = xi+ yj iar ecuatiile de miscare sunt

m::x = x+mg; m

::y = y:

Fie = \(Ox;OM). Trecnd la coordonate polare x = l cos ; y = l sin (gura 2.2) ecuatiile de miscare devin

ml

:: sin

:

2cos

= l cos +mg;

ml

:: cos

:

2sin

= l sin :

(2.54)

Figure 2.2: Pendulul matematic

Prin eliminarea lui se obtine ecuatia pendulului matematic

:: +

g

lsin = 0: (2.55)

Eliminnd:: gasim valoarea lui

= ml:

2 mg cos l

;


si de aici marimea algebrica a reactiunii

N = mg cos +ml:

2: (2.56)

Putem regasi mai usor relatiile (2.55), (2.56) scriind ecuatiile de mis-care n proiectie pe axele triedrului lui Frenet. Tinnd cont ca tangenta sinormala la curba sunt

= sin i+ cos j; = cos i+ sin j;

iar vitezav =

:xi+

:yj = l sin

:i+ l cos

:j;

ecuatiile (2.50), (2.51) devin

m::l = mg sin ;

ml:

2= mg cos +N;

adica tocmai ecuatiile (2.55), (2.56).Ecuatia pendulului matematic poate obtinuta si din teorema momen-

tului cinetic. Momentul cinetic fata de O este

KO = r mv = ml2cos i+ sin j

sin :i+ cos :j = ml2 :kiar momentul rezultant al fortelor de greutate si reactiune

MO = r N + r mg = r r + lcos i+ sin j

mgi = mgl sin k:Aplicam teorema momentului cinetic si gasim ecuatia pendulului matematic:

:

KO = MO ):: +

g

lsin = 0:

nmultind (2.55) cu:

l2 si integrnd gasim integrala prima

l2:

2 2gl cos = h = const: (2.57)

Cum energia cinetica a punctului material este T =1

2mv2 =

1

2ml2

:

2iar

potentialul fortei de greutate este U = mgx = mgl cos ; integrala prima(2.57) este chiar integrala prima a energiei.

Tipuri de miscari ale punctului material greu pe cerc.


Miscarea punctului material greu pe un cerc vertical va determinatade conditiile initiale

(0) = 0;: (0) =

:0: (2.58)

Marimea vitezei initiale si abscisa pozitiei initiale sunt

v0 = l:0; x0 = l cos 0:

Integrala prima a energiei (2.57) se expliciteaza

l2:

2 2gl cos = v20 2gx0: (2.59)

Fie xA abscisa denita prin

xA = x0 v20

2g;

astfel nct integrala prima se scrie sub forma

l2:

2= 2gl(cos xA): (2.60)

Aceasta relatie ne arata ca n cursul miscarii xA x l:1. Cazul l < xA (miscarea oscilatorie)n acest caz exista pe cerc doua puncte A si A0 cu abscisa xA si se poate

notaxA = l cos; 0 < < ;

iar ecuatia de miscare devine

l: =

p2gl (cos cos): (2.61)

Punnd

cos = 1 2 sin2 2; cos = 1 2 sin2

2;

se obtine ecutia diferentiala

d

dt= 2

rg

l

rsin2

2 sin2

2: (2.62)

Fie:0 > 0: Din ecuatia de mai sus, n care se ia semnul " + "; rezulta ca

va creste pna la valoarea cnd: se anuleaza. Lund apoi semnul "" n

fata radicalului, se vede ca: va descreste pna la valoarea , cnd iarasi


: se anuleaza etc. Intervalul de timp n care si

: revin la aceeasi valoare

este perioada de oscilatie

=

sl

g

Z

drsin2

2 sin2

2

: (2.63)

Notnd

sin

2= u sin

2;

se exprima sub forma integralei eliptice

= 4

sl

g

Z 10

dup(1 u2) (1 k2u2) ; (2.64)

(forma normala Legendre), unde parametrul

k2 = sin2

2< 1

depinde de conditiile initiale.Pentru calculul numeric al lui se poate folosi dezvoltarea n serie

1p(1 k2u2) = 1 +

1Xn=1

1 3 ::: (2n 1)2 4 ::: 2n k

2nu2n;

valabila pentru k2u2 < 1, urmata de integrarea termen cu termen a serieiuniform convergente. DarZ 1

0

u2ndup1 u2 =

1 3 ::: (2n 1)2 4 ::: 2n

2

si prin urmare

= 2

sl

g

1 +

1Xn=1

1 3 ::: (2n 1)

2 4 ::: 2n2

sin2n

2

!: (2.65)

n cazul oscilatiilor mici

sin

2

2) 2

sl

g

1 +

2

16

:


Daca si 2 este neglijabil, atunci avem formula lui Galileu

= 2

sl

g: (2.66)

2. Cazul xA < l (miscarea de rotatie)n acest caz v20 > 2g (x0 + l) si punctul descrie complet cercul n acelasi

sens, impus de semnul lui:0. Ecuatia diferentiala care descrie miscarea este

l: =

s2g (l xA)

1 k21 sin2

2

unde

k21 =2l

l xA < 1:

Intervalul de timp n care punctul plecat din pozitia data de 0 revinen aceeasi pozitie cu = 0 + 2 este dat de

=lp

2g (l xA)

Z 0+20

dq1 k21 sin2 2

=2lp

2g (l xA)

Z 10

duq(1 u2) 1 k21u2 :

3. Cazul xA < l (miscarea asimptotica)Pentru realizarea acestui caz, pur teoretic, ar trebui ca v20 = 2g (x0 + l) :

n aceasta ipoteza, se aplica formulele din primul cazcu = : Alegnd deexemplu semnul " + ", avem

l: =

p2gl (cos + 1)

si prin integrare, dupa separarea variabilelor

t =1

2

sl

g

Z 0

d

cos

2

= ln tan

4+

4

j0 :

Mobilul se misca n sensul n care creste; el ajunge n punctul = ntr-un timp innit

lim!

t () =1;

4. Micile oscilatii


Daca pozitia initiala si viteza initiala sunt astfel nct punctul material saramna n vecinatatea pozitiei de echilibru = 0 atunci ecuatia de miscare(2.55) se poate lineariza

sin ):: +

g

l = 0: (2.67)

Solutia ecuatiei de miscare linearizate, cu conditiile initiale (2.58) este

= 0 cos

rg

lt+

:0

sl

gsin

rg

lt:

Miscarea este periodica cu perioada data de formula lui Galileu

= 2

sl

g:

Conditia ca linearizarea sa aiba sens ( < = 50) este ca

20 +l

g

:

2

0 2

Capitolul 3

Miscarea sistemelor depuncte materiale

3.0.2 Ecuatiile lui Newton pentru sisteme de puncte mate-riale

Fie un sistem de n puncte materiale Pj ; j = 1; 2; :::; n de mase mj a caruimiscare ne propunem sa o studiem. Aplicnd legea a doua a lui Newtonecarui punct material obtinem

mjaj = F j +nXi=1

F ij ; j = 1; :::; n: (3.1)

n relatiile (3.1) aj reprezinta acceleratia punctului Pj ; F j reprezintarezultanta fortelor active ce actioneaza asupra punctului Pj iar Fij forta cucare punctul Pi actioneaza asupra punctului Pj : Fortele

Fij

1i;jN suntforte interioare. Ele au mai fost intlnite si n sectiunea referitoare la staticasistemelor de puncte materiale si au urmatoarele proprietati

Fij = ijPiPj ; (3.2)

Fij + Fji = 0: (3.3)

Din relatiile precedente rezulta

MO(F ij ; F ji) = OP i F ij +OP j F ji = 0: (3.4)

41


3.0.3 Teorema impulsului

Din (3.3) rezultanXj=1

nXi=1

F ij = 0:

tinnd apoi cont de (3.1) obtinem

nXj=1

mjaj =nXj=1

F j : (3.5)

Sa consideram n continuare vectorul

H =nXj=1

mjvj (3.6)

numit impuls total sau cantitate de miscare totala a sistemului precum si

F =

nXj=1

F j (3.7)

reprezentnd rezultanta generala a fortelor active (exterioare). Din (3.5)deducem

dH

dt= F : (3.8)

Relatia (3.8) exprimaTeorema impulsului: Derivata n raport cu timpul a impulsului total al

unui sistem de puncte materiale este egala cu rezultanta generala a fortelorexterioare.

Aceasta teorema, enuntata n esenta chiar de Newton, poate prezentatasub o forma mai sugestiva.

Fie ri = OP i vectorii de pozitie ai punctelor Pi fata de repeulO; i1; i2; i3

si

r =

Pni=1miriPni=1mi

(3.9)

vectorul de pozitie al centrului de masa (numit si centrul de greutate) alsistemului de puncte materiale. Notnd cu

M =nXi=1

mi

MISCAREA SISTEMELOR DE PUNCTE 43

masa totala a sistemului de puncte materiale din (3.9) deducem

Mr =nXi=1

miri

si prin derivare n raport cu timpul

M:r =

nXi=1

mivi = H: (3.10)

n virtutea relatiei (3.8) rezulta

M::r = F (3.11)

relatie cunsocuta sub numele deTeorema centrului de masa: Centrul de masa al sistemului se misca

ca si cum n el ar concentrata toata masa sistemului si asupra sa ar actionarezultanta fortelor exterioare.

Aceasta teorema justica introducerea notiunii de punct material nmecanica.

3.0.4 Teorema momentului cinetic

nmultind vectorial cu rj ambii membrii ai ecuatiei (3.1) si sumnd obtinem

d

dt

nXj=1

rj mj:rj =

nXj=1

rj mj::rj =

nXj=1

rj F j +nXj=1

rj nXi=1

F ij : (3.12)

Dar cum n virtutea lui (3.4)

nXj=1

rj nXi=1

F ij =X

1i


precum si momentul rezultant al fortelor exterioare fata de punctul O :

MO =

nXj=1

rj F j ; (3.15)

relatia (3.13) devinedKOdt

= MO (3.16)

reprezentndTeorema momentului cinetic: Derivata momentului cinetic total fata

de un punct x O este egala cu momentul rezultant al fortelor exterioare fatade acelasi punct.

Sa consideram n continuare punctul mobil A si e

KA =nXj=1

AP j mjvj ; MA =nXj=1

AP j F j ; (3.17)

momentul cinetic total al sistemului de puncte materiale n raport cu punctulA, respectiv momentul rezultant al fortelor exterioare fata de punctul A:Avem prin urmare

KO =nXj=1

(OA+AP j)mjvj = rA H +KA; (3.18)

MO =

nXj=1

(OA+AP j) F j = rA F +MA: (3.19)

Din (3.8), (3.16), (3.18) si (3.19) obtinem teorema momentului cinetic nraport cu un punct mobil A, exprimata prin relatia

dKAdt

= MA vA H: (3.20)

3.0.5 Integrale prime. Teorema ariilor

Fierj = xji1 + yji2 + zji3 (3.21)

vectorul de pozitie al punctului Pj asupra caruia actioneaza fortele exterioare

F j = Xji1 + Yji2 + Zji3 (3.22)


si cele interioareF ij = Xiji1 + Yiji2 + Ziji3: (3.23)

Sistemul (3.1) poate pus sub forma

mj::xj = Xj +

Pni=1Xij ;

mj::yj = Yj +

Pni=1 Yij ;

mj::zj = Zj +

Pni=1 Zij ; j = 1; :::; n:

(3.24)

Vom pune n evidenta cteva integrale prime ale sistemului (3.25) de-curgnd din teoremele impulsului si momentului cinetic.

De exemplu, daca F este perpendicular pe o directie xa de versor u =i1 + i2 + i3, atunci din teorema impulsului avem

dH

dt u = d

H udt

= F u = 0 (3.25)

deciH u = Hx + Hy + Hz = const: (3.26)

unde

Hx =

nXj=1

mj:xj ; Hy =

nXj=1

mj:yj ; Hz =

nXj=1

mj:zj ; (3.27)

sunt proiectiile lui H pe axele de coordonate.O alta integrala prima poate furnizata de teorema momentului cinetic.

Fie proiectiile momentului cinetic KO pe axele de coordonate

Kx =Pn

j=1mjyj

:zj zj :yj

;

Ky =Pn

j=1mjzj

:xj xj :zj

;

Kz =Pn

j=1mjxj

:yj yj

:xj:

(3.28)

Ecuatia (3.16) (teorema momentului cinetic) ne da n proiectie pe axelede coordonate

dKxdt =

Pnj=1 (yjZj zjYj) = L;

dKydt =

Pnj=1 (zjXj xjZj) = M;

dKzdt =

Pnj=1 (xjYj yjXj) = N:

(3.29)

Daca vectorul MO = Li1 +Mi2 +Ni3 este perpendicular pe o directie xade versor u = i1 + i2 + i3 atunci teorema momentului cinetic (3.16)conduce la

:

KO u =dKO u

dt

= MO u = 0


de undeKO u = Kx + Ky + Kz = C = const: (3.30)

ceea ce constituie o integrala prima a sistemului (3.25).Relatia (3.30) are o interpretare remarcabila. Alegnd, la fel ca si n

cazul unui singur punct material reperulO; i1; i2; i3

astfel ca i3 = u;

relatia (3.30) se reduce la

Kx =nXj=1

mjyj

:zj zj :yj

= C; (3.31)

sau introducnd vitezele areolaredAjdt

=1

2(xj _yj yj _xj) ale proiectiilor

P 0j (xj ; yj ; 0) ale punctelor P (xj ; yj ; zj) pe planul Oxy

2nXj=1

mjdAjdt

= C: (3.32)

Deci, suma poduselor maselor punctelor sistemului cu vitezele areolare aleproiectiilor lor pe un plan perpendicular pe u este constanta. Constanta Cse numeste constanta ariilor. Integrnd (3.32) obtinem

nXj=1

mjAj =C

2t+ C 0: (3.33)

Am obtinut asadarTeorema ariilor : Daca momentul rezultant este perpendicular pe o

directie xa, suma produselor maselor punctelor sistemului cu ariile descrisede razele vectoare ale proiectiilor lor pe un plan perpendicular pe directia xa,este o functie liniara de timp.

3.0.6 Teorema momentului cinetic n miscarea fata de cen-trul maselor

Teorema momentului cinetic, demonstrata n cazul miscarii raportate la unreper inertial, poate extinsa si la miscarea fata de un reper neinertial,avnd axe de directii xe si cu originea n centrul de masa G al sistemuluiconsiderat.

Fie Oxyz =O; i1; i2; i3

reperul inertial considerat si Gx0y0z0 =

G; i1; i2; i3reperul cu originea n G; cu axe de directii xe. Punctul Pj

are fata de aceste repere vectorii de pozitie

rj = OPj ; r0j = GPj :


Punnd OG = r; avemrj = r + r

0j

si derivnd fata de timp, ca un observator legat de axele xe,

drjdt

=dr

dt+dr0jdt;dr0jdt

=@r0j@t

+ ! r0j =@r0j@t

deoarece ! = 0: Asadar notnd cu vj viteza absoluta a lui Pj si cu v0j vitezasa relativa fata de noul reper, avem

vj =:r + v0j : (3.34)

Rezulta de aici

KO =

nXj=1

rj mjvj =nXj=1

r + r0j

mj :r + v0j == Mr :r +

nXj=1

r0j mjv0j +0@ nXj=1

mjr0j

1A :r + r 0@ nXj=1

mjv0j

1A : (3.35)Din (3.9) rezulta

nXj=1

mjr0j = 0 (3.36)

si prin derivare tin raport cu timpul

nXj=1

mjv0j = 0: (3.37)

n acelasi timp, daca notam prin

K0G =

nXj=1

r0j mjv0j (3.38)

momentul cinetic al sistemului in miscarea relativa fata de reperul Gx0y0z0

avem din relatiile (3.35) - (3.38)

KO = K0G +Mr

:r: (3.39)

Am obtinut astfel


Relatia lui S. Koenig: Momentul cinetic n miscarea absoluta fata dereperul inertial cu originea n O este egal cu momentul cinetic n miscarearelativa fata de centrul de masa plus momentul cinetic, n miscare abso-luta, fata de punctul O al centrului de masa, n care se presupune ca esteconcentrata toata masa sistemului.

Din teorema momentului cinetic fata de punctul O si din (3.39) avem

dKOdt

=dK0G

dt+Mr ::r =

nXj=1

rj F j = MG + r nXj=1

F j : (3.40)

Din (3.40) si din teorema centrului de masa (3.11) deducem

dK0G

dt= MG =

nXj=1

r0j F j : (3.41)

Cum ! = 0; avemdK0G

dt=@K0G

@t

si pin urmare (3.41) poate scrisa sub forma

@K0G

@t= MG: (3.42)

Aceasta relatie reprezinta:Teorema momentului cinetic tin miscarea fata de centrul maselor

conform careia teorema momentului cinetic este valabila si n miscarea rel-ativa a sistemului fata de reperul neinertial Gx0y0z0 cu axe de directii xe.

3.0.7 Teorema energiei cinetice

nmultind n (3.1) cu vj si sumnd obtinem

nXj=1

mjvj dvjdt

=

nXj=1

F j vj +nXj=1

nXi=1

F ij vj (3.43)

sau, sub forma diferentiala, notnd drj = vjdt;

nXj=1

mjvj dvj =nXj=1

F j drj +nXj=1

nXi=1

F ij drj : (3.44)


Introducnd enegia cinetica a sistemului de puncte materiale

T =1

2

nXj=1

mjv2j ; (3.45)

lucrul mecanic elementar al fortelor exterioare

dLe =

nXj=1

F j drj ; (3.46)

precum si lucrul mecanic elementar al fortelor interioare

dLi =

nXj=1

nXi=1

F ij drj (3.47)

relatia (3.44) devinedT = dLe + dLi (3.48)

si ea exprimaTeorema energiei cinetice: diferentiala fata de timp a energiei cinet-

ice este egala cu suma lucurilor mecanice elementare ale fortelor exterioaresi interioare.

La rndul sau, relatia (3.43) se mai poate scrie sub forma

dT

dt=

nXj=1

F j vj +nXj=1

nXi=1

F ij vj (3.49)

si a exprima faptul ca derivata energiei cinetice fata de timp este egala cusuma puterilor dezvoltate de fortele exterioare si de fortele interioare.

3.0.8 Teorema energiei cinetice n miscarea fata de centrulde masa

Sa reluam sistemul de axe Gx0y0z0 de directii xe, cu originea n centrul demasa al sistemului de puncte materiale studiat si e T 0 energia cinetica asistemului n miscarea relativa la aceste axe. Din (3.34) si (3.45) rezulta

T =1

2

nXj=1

mjv2j =

1

2

nXj=1

mj

:r

2+ 2

:r v0j + v02j

=

=1

2M

:r

2+

1

2

nXj=1

mjv02j =

1

2M

:r

2+ T 0


cacinXj=1

mjv0j = 0:

FormulaT =

1

2M

:r

2+ T 0 (3.50)

datorata lui Samuel Koenig arata ca : energia cinetica a unui sistem depuncte materiale n miscarea absoluta este egala cu energia cinetica n mis-carea relativa la centrul maselor plus energia cinetica a centrului maselor ncare se presupune concentrata ntreaga masa a sistemului.

Teorema energiei cinetice (3.48) ne conduce, tinnd cont de formula luiKoenig (3.50) la

dT = dT 0 +Mr :rdt =

nXj=1

F j (dr + dr0j) +nXj=1

nXi=1

F ij (dr + dr0j): (3.51)

Tinnd cont ca

nXj=1

nXi=1

F ij = 0; M::r =

nXj=1

F j ; dr =:rdt

obtinem din (3.51)

dT 0 =nXj=1

F j dr0j +nXj=1

nXi=1

F ij dr0j : (3.52)

Relatia (3.52) reprezintaTeorema energiei cinetice n miscarea fata de centrul de masa:

diferentiala energiei cinetice relative la reperul Gx0y0z0 este egala cu suma lu-crurilor mecanice elementare relative ale fortelor active plus suma lucrurilormecanice elementare relative ale fortelor interioare.

Partea II

Elemente de mecanicaterestra

51

Capitolul 4

Miscarea punctului materialgreu

Alegem un reper Oxyz astfel nct la momentul initial vectorul de pozitiesi viteza initiala sa e n planul Oxy iar axa Oy sa aiba directia si sensulverticalei ascendente. Deci

r0 = x0i+ y0j; v0 = v0 cosi+ v0 sinj (4.1)

iar forta de greutate este

F = mgj;undem este masa punctului iar g marimea acceleratiei gravitationale. Ecuati-ile de miscare sunt

::x = 0;

::y = g; ::z = 0; (4.2)

care, integrate mpreuna cu conditiile initiale (4.1) dau

x = v0 cos t+ x0; y = 12gt2 + v0 sin t+ y0; z = 0: (4.3)

Asadar miscarea are loc n planul Oxy: n acest plan ecuatia traiectoriei este

y y0 = g2v20 cos

2 (x x0)2 + tan (x x0) ; 6=

2;

respectiv

x = 0; =

2:

53


Parabola de siguranta

Sa presupunem ca la momentul initial punctul material greu se aa n orig-inea sistemului de coordonate (x0 = 0; y0 = 0). Ne punem problema de-terminarii unghiului (unghiul vitezei cu axa orizontala Ox) astfel ncttraiectoria sa treaca prin punctul P (X;Y ). Notnd tan = u; conditia caP sa apartina traiectoriei este

Y = g2v20

1 + u2

X2 + uX;

sau echivalentgX2

2v20u2 Xu+ Y + gX

2

2v20= 0:

Pentru ca ecuatia de gradul 2 n variabila u sa aiba solutie trebuie ca dis-criminantul sa e pozitiv:

= X2 4gX2

2v20

Y +

gX2

2v20

0, Y + gX

2

2v20 v

20

2g 0:;

Parabola

y = g2v20

x2 +v202g

se numeste parabola de siguranta iar punctul vizat pentru a putea sa se aepe o posibila traiectorie trebuie sa se ae n regiunea delimitata de aceastaparabola si axa Ox.

4.1 Miscarea relativa a punctului material.

4.1.1 Ecuatiile miscarii relative

Fie reperul cartezian x (inertial)O1; i1; j1; k1

si reperul cartezian mobil

O; i; j; kavnd n raport cu reperul x rotatia !: FieM un punct material

mobil avnd masa m: Cu notatiile r1 = O1M = x1i1 + yj1 + z1k1; r =

OM = xi+yj+zk3; rO = O1O; v =dr1dt; a =

d2r1dt2

; vO =drOdt

; aO =d2rOdt2

;

vr =@r

@t=

:xi+

:yj+

:zk; ar =

@2r

@t2=

::xi+

::yj+

::zk avem relatiile binecunoscute

din teoria miscarii relative

v = vt + vr; a = at + ar + ac;

MISCAREA RELATIVA. MECANICA TERESTRA 55

unde

vt = vO + ! r; at = aO + ! (! r) +:! r; aC = 2! vr:

Cu acestea ,notand cu F rezultanta fortelor ce actioneaza asupra luiM , legea a doua a lui Newton

ma = F ;

poate rescrisa sub forma

4.1.2 Greutatea corpurilor

Fie P1 (x; y; z) si P2 (x0; y0; z0) doua puncte materiale avnd masele m1 sim2. Vom spune ca cele doua puncte se atrag conform legii atractiei univer-sale daca marimea fortei de atractie exercitata de P2 asupra lui P1 este

F = fm1m2rr3

; r = P2P1:

Daca n locul punctului material P2 avem un corp C avnd centrul demasa G (x0; y0; z0) si densitatea ; forta de atractie exercitata de corpul Casupra punctului P1 este

F = fm1Z Z Z

C

d

d3ddd = fm1 grad

Z Z ZC

dddd

unde d = PP 1; P (; ; ) reprezentnd un punct generic n corpul C:Sa presupunem n continuare ca C este o sfera de raza RS . Fie R = GP 1

si r = GP . Trecnd la un sistem de coordonate sferice cu centrul n G avemnotnd = \POP1

F = fm1grad

Z RS0

Z 0

Z 20

pR2 2rR cos + r2 r

2 sin dr d d':

Considernd ca densitatea depinde de departarea fata de centrul sferei,adica = (r) avem

F = 2fm1grad

Z RS0

(r) r

R

pR2 2rR cos + r2 j0 dr =

= 4fm1grad1

R

Z RS0

(r) r2dr: (4.4)


Tinnd cont ca masa corpului C este

M =

Z RS0

Z 0

Z 20

(r) r2 sin dr d d' = 4

Z RS0

(r) r2dr; (4.5)

deducem expresia fortei cu care corpul C avnd centrul de masa G atragepunctul P1

F = fm1M grad1

R; R =

GP 1

: (4.6)Marimea fortei F este

F =fMm1R2

: (4.7)

Sa consideram acum un punct material aat la suprafata Pamntului.Forta de atractie exercitata de Pamnt este data de formula (4.7) n careMeste masa Pamntului. Datorita acestei forte de atractie punctul materialeste greu, iar greutatea sa este, ntr-o prima aproximatie

F = m1g; (4.8)

unde g reprezinta acceleratia gravitationala. Din (4.7) si (4.8) deducem

g =fM

R2: (4.9)

Aplicatie. Sa se determine naltimea maxima H la care se ridica unproiectil de masa m, lansat de la suprafata Pamntului cu viteza initialav0; sub unghiul cu orizontala. n timpul miscarii proiectilul este supus

actiunii fortei de atractie a Pamntului F =fMm

r2si se neglijeaza fortele

rezistente.Rezolvare. Fie R raza Pamntului, r distanta de la proiectil la centrul

Pamntului, rmax distanta maxima si H = rmax R: Marimea fortei (cen-trale) de atractie este

F =fMm

r2=mgR2

r2:

Reamintim relatiile (2.24), (2.25), pe care le rescriem sub forma

::r r

:

2= gR

2

r2; (4.10)

r2: = C: (4.11)


Din conditiile initiale ale problemei

t = 0; r0 = R;:r0 = v0 sin;

:0 =

v0R

cos; 0 = 0;

deducemr2

: = Rv0 cos;

: =

Rv0 cos

r2:

nlocuind n (4.10) obtinem

::r R

2v20 cos2

r3= gR

2

r2:

nmultind cu:r si integrnd gasim

:r

2

2+R2v20 cos

2

2r2=gR2

r+ const:

si tinnd cont de conditiile initiale,

:r

2

2+R2v20 cos

2

2r2=gR2

r 2gR v

20

2; (4.12)

sau, echivalent

r2:r

2=v20 2gR

r2 + 2gR2r R2v20 cos2 = q (r) : (4.13)

Membrul drept al relatiei (4.13) este o functie polinomiala de gradul 2n r notata cu p (r). Discriminantul ei este

= 4R2g2R2 + v20 cos

2 v20 2gR

0:n cazul n care v0 2gR; q0 (r) > 0 si q (r) > 0 pentru r R: Cum lamomentul initial r = R, deducem n acest caz ca

:r nu se anuleaza, ramne

tot timpul pozitiv si distanta de la centrul Pamntului la proiectil creste ntimp.

Daca v0 < 2gR; cum q (0) < 0; q (R) > 0 si limr!1 q (r) < 0, deducemca pentru r > R;

:r se anuleaza ntr-un punct (punctul cel mai nalt al

traiectoriei) unde avemr = rmax;

:r = 0

si din (4.13) deducem ecuatia algebrica2gR v20

r2max 2gR2rmax +R2v20 cos2 = 0:


din care rezulta

rmax =gR2

p

22gR v20

:

Cu conditia rmax R din solutiile de mai sus se retine cea cu semnul +.Rezultatele obtinute aici vor regasite n sectiunea care urmeaza.

mar = F mat maC : (4.14)

4.1.3 Miscarea corpurilor grele. Forta de greutate

Vom considera n cotinuare sistemul geocentric, adica un reper (presupusinertial) avnd originea O1 n centrul Pamntului, axa O1z1 orientata dupalinia polilor (adica linia ce uneste polul N cu polul S) iar axele O1x1 siO1y1 n plan ecuatorial orientate spre doua stele presupuse xe. RotatiaPamntului este ! = !k1 cu k1 versorul axei O1z1 si practic

:! = 0 ) ! =

const: Sa alegem un reper mobil cartezian solidar legat de Pamnt astfelnct axa O1z sa coincida cu axa O1z1 iar axele O1x si O1y sa e n planulecuatorial (gura 4.1, a)). Fie la suprafata Pamntului punctul materialM de masa m: Asupra punctului actioneaza din partea Pamntului fortade atractie newtoniana (al carei suport trece prin centrul Pamntului) maT(nu mg pentru ca mai trebuie adaugat un termen pentru a obtine greutatea)precum si forte de alta natura a caror rezultanta o notam cu F

0: Rezulta

decimar = F

0+maT ! (! r) 2m! vr: (4.15)

tinnd cont ca! (! r) = !2PM = !2d;

unde P este proiectia lui M pe O1X3; avem

mar = F0+mg 2m! vr; (4.16)

cug = aT + !

2d: (4.17)

Atractia Pamntului maT plus forta centrifuga m!2d dau forta de greu-tate mg unde g reprezinta acceleratia gravitationala. Suportul lui g nu treceneaparat prin centrul O1 dar este n planul meridian ce trece prin punctulM:


Figure 4.1: Devierea rului cu plumb

4.1.4 Devierea rului cu plumb. Variatia acceleratiei gravi-tationale la suprafata Pamntului

Sa studiem echilibrul rului cu plumb (gura 4.1, b)). Asupra bilei metalicen echilibru actioneaza forta de tensiune n r F

0= T si greutatea mg:

Conditia de echilibru ar = 0; vr = 0 conduce la relatia

T +mg = 0:

Vectorul g se gaseste n planul meridian al punctului M: Consideram caaT este riguros dirijat spre centrul O1 al Pamntului si notam cu unghiuldintre raza O1M , suport al lui aT si verticala locului (suportul lui g). masoara devierea rului cu plumb. Notam cu latitudinea punctului M(unghiul dintre O1M si planul ecuatorial. Vectorul T de sens opus lui g facecu planul ecuatorial unghiul + : Proiectnd relatia (4.17) pe verticala siorizontala locului avem

g = aT cos !2d cos (+ ) ;0 = aT sin !2d sin (+ ) ; (4.18)

cud = R cos; (4.19)

unde R este raza Pamntului. Cum este mic, cu aproximatiile

sin ; sin (+ ) sin;


din (4.18) si (4.19) deducem ca

=!2R sin 2

2aT:

Asadar devierea maxima a rului cu plumb de la directia perpenducularape suprafata Pamntului se obtine pentru =

4: La aceasta latitudine avem

6 grade sexagesimale.

4.1.5 Ecuatiile de miscare la suprafata Pamntului

Vom considera n cele ce urmeaza ca g este practic constant si dirijat sprecentrul Pamntului. Consideram la suprafata Pamntului reperul Oxyzsolidar legat de Pamnt ales astfel (gura 4.2, a)): Oxeste dirijat pe tangentala paralela ce trece prin punctul O cu sensul pozitiv spre est, Oy este dirijatpe tangenta la meridianul ce trece prin O cu sensul pozitiv spre nord iar Ozeste verticala ascendenta. Evident avem

! = ! cosi2 + ! sini3:

n emisfera nordica 0 2iar n cea sudica

2 0:

Proiectiile ecuatiei (4.14) pe axele reperului Oxyz sunt

m::x = F 01 2m!

:z cos :y sin ;

m::y = F 02 2m!

:x sin;

m::z = F 03 mg + 2m!

:x cos:

(4.20)

4.1.6 Pendulul lui Foucault

O proba mecanica a rotatiei Pamntului o aduce celebra experienta a lui L.Foucault efectuata n 1851 la Observatorul Astronomic din Paris, si repetatan mod public n 1852 la Pantheonul din Paris.

Fie un pendul format dintr-o bila metalica M atasata de un r inexten-sibil al carui capat este xat n O. n acest caz

F0= T = N

r

l; r = OM; l =

OM

;iar ecuatiile (4.20) devin

m::x = N x1l 2m!

:z cos :y sin ;

m::y = N yl 2m!

:x sin;

m::z = N zl mg + 2m!

:x cos;

(4.21)


Figure 4.2: Repere neinertiale la suprafata Pamntului

cux2 + y2 + z2 = l2: (4.22)

nmultind ecuatiile (4.21) respectiv cu:x;

:y;

:z; adunnd, integrnd n ra-

port cu t si tinnd cont de (4.22) obtinem integrala prima a energiei

:x

2+

:y

2+

:z

2= 2g (z + h) : (4.23)

Din (4.22) deducem

z = lr

1 x2 + y

l2= l

1 x

2 + y2

2l2+ :::

:

Vom considera cazul micilor oscilatii, adica marimilex

l;y

lvor mici, de

ordinul lui 0 <


iar (4.23) l putem rescrie sub forma

:x

2+

:y

2+

:z

2= 2gl

zl

+ 1

+O2: (4.27)

Din (4.24) - (4.27) obtinem

:x = O () ;

:y = O () ;

:z = O

2:

Din (4.21) obtinem

::x = O () ;

::y2 = O () ;

::z3 = O

2;

si de aiciN = mg +O () : (4.28)

de unde rezulta ::x = gl x+ 2!

:y sin+O

2;

::y = gl y 2!

:x sin+O

2;

z = l +O 2 : (4.29)n planul z = l avem deci ecuatia

::xi1 +

::yi2 = g

l

xi1 + yi2

2! sini3 :xi1 + :yi2 : (4.30)Sa consideram acum un sistem de axe (gura 4.2 b)) O0x0y0 (avnd ver-

sorii i0 si j0) care se roteste n planul z = l n jurul verticalei O0z cu vitezaunghiulara !1 = ! sini3:

Din cele cunoscute de la studiul miscarii relative, notnd

= x1i1 + yi2 = x0i0 + y0j0;

@

@t=

:xi+

:yj;

@2

@t2=

::xi+

::yj;

@0@0t

=:

x0i0 + :y0j0;@02@0t2

=::x0i01 +

::y0j0;

avem@

@t=@0@0t

+ !1 ; (4.31)@2

@t2=@02@0t2

+ !1 (!1 ) +:!1 + 2!1 @

0@0t

: (4.32)

Din (4.30) rescrisa sub forma

@2

@t2= g

l+ 2!1 @

@t


si din (4.31), (4.32) observnd ca:!1 = 0 si !1 = 0 deducem

@02@0t2

=::x0i0+

::y0j0=

=@2

@t2 !1 (!1 ) 2!1

@

@t !1

=

= gl

+ !21

= 2;

adica::x0= 2x0; ::y0 = 2y0: (4.33)

Ecuatiile (4.33) au solutiile

x0 (t) = x0 (0) cos t+:x0(0)

sin t; y0 (t) = y0 (0) cos t+

:y0(0)

sin t: (4.34)

care dau ecuatiile parametrice ale traiectoriei punctului M n planul O0x0y0:Daca la momentul initial viteza si vectorul de pozitie fata de reperul O0x0y0

sunt paralele, adica:x0(0)

:y0(0)

=x0 (0)y0 (0)

;

traiectoria este un segment de dreapta n planul O0x0y0: Altfel, eliminndcos t si sin t din relatiile (4.34) obtinem ecuatia unei conice (elipse)h

x0 :y0 (0) y0 :x0 (0)i2

+ 2 [x0y0 (0) y0x0 (0)]2 ==hx0 (0) :y0 (0) y0 (0) :x0 (0)

i2:

(4.35)

Cum n general conditia initiala cel mai usor de realizat este

@

@t(0) =

:x (0) i+

:y (0) j = 0;

deducem din (4.31) ca n acest caz,:y0(0) ; x0 (0) sunt foarte mici iar traiecto-

ria punctului M n planul O0x0y0 este o elipsa alungita, practic un segmentde dreapta. Perioada n care este parcursa elipsa este

=2qgl + !

21

2sl

g


n timp ce durata unei rotatii n planul O0xy n sensul nord-est-sud-vest(sens retrograd) a elipsei descrise de M este

T =2

!1=

2

! sin:

La latitudinea Parisului = 480500 avem T 32h:

Partea III

Elemente de mecanicacereasca

65

Capitolul 5

Sfera terestra

5.1 Elemente de referinta de pe sfera terestra

Cum cele mai multe observatii astronomice se fac din locuri aate pe Pamnt,este important de precizat pozitia geograca a observatorului O. Vom pre-supune, ntr-o prima aproximatie, ca Pamntul are o forma sferica si seroteste n jurul unui diametru pp0 (axa lumii, axis mundi n latina). preprezinta Polul Nord geograc iar p0 Polul Sud geograc. Privit de dea-supra polului Nord, Pamntul se roteste n sens invers comparatic cu acelede ceasornic.

Alte elemente sunt:Planul ecuatorului terestru - planul care trece prin centru T al Pamn-

tului si este perpendicular pe axa de rotatie pp0.Ecuatorul terestru - cercul mare qq0 (gura 5.1) aat la intersectia sferei

terestre cu planul ecuatorului terestru. Ecuatorul terestru mparte sferaterestra n doua semisfere: emisfera de Nord (boreala) cu vrful n PolulNord si emisfera de Sud (australa) cu vrful n Polul Sud.

Paralela geograca - cercurile aate la intersectiile sferei terestre cuplanele paralele cu planul ecuatorial terestru.

Tropicul Racului - paralela bb0 din emisfera boreala aata la 230270 fatade Ecuator.

Tropicul Capricornului - paralela cc0 din emisfera australa aata la230270 fata de Ecuator. ntre cele doua tropice, de o parte si alta a Ecua-torului este situata zona calda a suprafetei terestre.

Cercul Polar de Nord - paralela aa0 situata la 230270 fata de Polul Nordgeograc.

Cercul Polar de Sud - paralela bb0 situata la 230270 fata de Polul Sud

67

68

geograc.Zona temperata de nord - regiunea de pe suprafata Pamntului cuprinsa

ntre Tropicul Racului si Cercul Polar de Nord.Zona temperata de sud - regiunea de pe suprafata Pamntului cuprinsa

ntre Tropicul Capricornului si Cercul Polar de Sud.Calota glaciala de nord - regiunea de pe suprafata Pamntului aata n

nordul Cercului Polar de Nord.Calota glaciala de sud - regiunea de pe suprafata Pamntului aata n

sudul Cercului Polar de Sud.Meridianul geograc al locului O - semicercul mare de pe suprafata

Pamntului ce trece prin cei doi poli geograci si prin punctul (locul) O.Primul meridian (meridianul origine/zero) - meridianul geograc al ob-

servatorului astronomic dela Greenwich (Anglia). Cercul mare care includeprimul meridian mparte suprafata Pamntului n emisfera estica si emisferavestica.

Directia verticalei geograce a locului O - directia segmentului OT .

5.2 Coordonate geograce

Coordonatele geograce ale punctului (locului) O de pe suprafata terestrasunt latitudinea geograca ' 2 900; 900 si longitudinea geograca 21800; 1800 (gura 5.1) Fie B intersectia meridianului locului cu ecua-torul si G0 intersectia meridianului observatorului de la Greenwich cu ecua-torul. Latitudinea punctului O este masura unghiului ^BTO Ea are valoripozitive n emisfera boreala (latitudinea nordica) si negative n emisferaaustrala (latitudinea sudica). Longitudinea punctului O este masura unghi-ului ^G0TB: Ea are valori pozitive n emisfera estica (longitudine estica) sivalori negative n emisfera vestica (longitudine vestica). Bucurestiul are co-ordonatele geograce de 44260700 latitudine nordica si 26601000 longitudineestica.

69

Figure 5.1: Coordonate geograce

Capitolul 6

Sfera cereasca

Motto: Doua lucruri umplu suetul cu mereu noua si crescnda admiratie si vener-ati, cu ct mai des si mai staruitor gndirea se ocupa cu ele: cerul nstelat deasupramea si legea morala din mine. Immanuel Kant, Critica Ratiunii Practice.

Sfera cereasca cunoscuta si sub denumirea de bolta cereasca, cupolacerului, "cer" sau rmamenteste considerata ca ind aproximativ con-centrica sferei terestre si pe ea sunt proiectati toti astrii (gura 6.1)

Pentru un observator, pozitia aparenta a unui corp ceresc este data numaide unghiurile dintre dreapta de la el spre corpul respectiv si dreptele sprediverse puncte de reper. Distanta pna la corpul ceresc nu afecteaza pozitiaaparenta pe bolta a acestuia, pentru om distanta ind imperceptibila direct.

Privind bolta cereasca, vedem stelele rasarind, apoi culminnd periodic siapunnd, de unde suntem condusi la aparenta ca bolta cereasca, se roteste,de la Est spre Vest. Numai steaua Ursa Minoris, numita si Steaua Po-lara pare imobila. Stnd cu fata spre Steaua Polara observam ca stelelese deplaseaza de la Est spre Vest, n sens contrar rotirii acelor unui ceasor-nic. Acest sens al miscarii aparente diurne este sensul retrograd. Adevaratacauza a acestui fenomen aparent este miscarea reala de rotatie a Pamntului,efectuata n sens direct.

Sfera cereasca este o sfera de raza nedenita ("foarte mare"), cu centruln punctul n care se aa observatorul. Semidreapta de la observator spreun obiect ceresc intersecteaza sfera cereasca ntr-un punct care constituie"pozitia aparenta" a corpului ceresc pe sfera cereasca. Pozitia aparentaa unui obiect este descrisa cu ajutorul unui sistem de coordonate sfericeconstruit pe sfera cereasca.

Pentru obiecte ceresti ale caror distante fata de Pamnt sunt mult maimari dect diametrul Pamntului, ca de exemplu stele, galaxii si, ntr-o

71

72

prima aproximatie, pentru Soare si planetele din sistemul solar, diferenteledintre unghiurile observate de diversi observatori de pe Pamnt spre corpulrespectiv sunt neglijabile. Aceste obiecte apar n aceleasi pozitii pe sferacereasca, indiferent de observatorul de pe Pamnt. Astfel se poate postula osingura sfera cereasca, iar Pamntul poate considerat punctiform si aatn centrul sferei ceresti. De la un observator la altul difera numai directiaverticala a observatorului.

Pentru obiectele ceresti mai apropiate de Pamnt trebuie precizat fatade ce observator este considerata pozitia pe sfera cereasca. Astfel sferacereasca poate topocentrica sau locala (daca centrul sau coincide cu loculde observare de pe suprafata Pamntului), geocentrica (daca centrul sfereieste acelasi cu centrul Pamntului) sau heliocentrica (atunci cnd centrulsferei este n centrul Soarelui).

Sfera trebuie imaginata ntreaga, chiar daca punctele situate sub orizon-tul observatorului nu sunt vizibile simultan cu cele de deasupra lui.

73

Figure 6.1: Sfera cereasca

6.1 Elemente de referinta de pe sfera cereasca

Consideram sfera cereasca topocentrica. Principalele puncte, cercuri, axe siplane sunt:

Axa lumii dreapta paralela cu axa de rotatie a Pamntului, ce treceprin centrul sferei ceresti;

Polul Nord ceresc, Polul Sud ceresc punctele de intersectie dintre sferacereasca si axa lumii (proiectiile polilor geograci Nord si Sud pe sferacereasca);

Planul ecuatorului ceresc planul ce trece prin centrul sferei ceresti,perpendicular pe axa lumii PP 0;

Ecuatorul ceresc intersectia sferei ceresti cu planul ecuatorului ceresc.El mparte sfera cereasca n doua emisfere ceresti: nordica (boreala) si sudica(australa);

Ecliptica drumul anual aparent al centrului Soarelui. " =230270 -unghiul dintre planul eclipticii cu planul ecuatorului ceresc;

Axa eclipticii dreapta care trece prin centrul sferei ceresti si este per-pendiculara pe planul eclipticii;

si 0 polii eclipticii - punctele in care axa eclipticii intersecteaza sfera

74

Figure 6.2: Ecliptica, ecuatorul, polii

cereasca;Punctele n care ecliptica intersecteaza ecuatorul ceresc sunt: punc-

tul vernal (punctul echinoctiului de primavara) si punctul autumnal(punctul echinoctiului de toamna);

Verticala locului (axa zenitala) directia rului cu plumb. Punctele deintersectie ale acesteia cu sfera cereasca sunt: Z= zenit (deasupra observa-torului), Z 0= nadir (sub observator).

Plan orizontal plan ce trece prin centrul sferei ceresti, perpendicularpe verticala locului;

Orizont matematic (orizont adevarat, astronomic) al locului intersectiaplanului orizontal cu sfera cereasca;

Punctele cardinale est (E) si vest (V) punctele de intersectie ale ori-zontului matematic cu ecuatorul ceresc;

Planul meridian al locului planul determinat de axa lumii PP 0 si ver-ticala locului ZZ 0;

Meridianul locului ceresc semicercul aat la intersectia dintre planulmeridian cu sfera cereasca;

Meridiana locului (NS) intersectia planului meridian cu orizontul locu-

75

Figure 6.3: Zenit, nadir, orizont, meridian, puncte cardinale

lui;

Punctele cardinale nord (N) si sud (S) punctele de intersectie dintreorizontul matematic si meridiana locului;

Paralel ceresc cercul mic paralel cu ecuatorul ceresc descris n miscareadiurna de rotatie retrograda (de la Est la Vest) de catre ecare stea. Punctelecomune cu meridianul locului se numesc culminatii : culminatia superioarasi culminatia inferioara.

Plan vertical al astrului - planul care contine verticala locului ZZ 0 siastrul (steaua). Intersectia planului vertical cu sfera cereasca este verticalulastrului.

Almucantarat (cerc de naltime al astrului) - cerc de pe sfera cereasca cetrece prin astru si al carui plan este paralel cu planul orizontului astronomic;

Cerc orar (cerc de declinatie) al astrului - intersectia sferei ceresti cuplanul ce contine astrul si axa lumii.

76

Figure 6.4: Paralel ceresc, culminatii

6.2 Localizarea unui astru pe sfera cereasca. Sis-teme de coordonate ceresti

Localizarea unui astru pe sfera cereasca nseamna determinarea directieidreptei O, unde O este locul n care se aa observatorul (centrul sfereiceresti) iar este locul n care se aa astrul. Pentru aceasta este necesaracunoasterea a doua unghiuri (numite coordonate unghiulare sau coordonateceresti): un unghi diedru si un unghi plan. Pentru aceasta se atasaza loculuide observare o axa fundamentala (care intersecteaza sfera cereasca n doipoli) si un plan fundamental care trece prin punctul de observatie si esteperpendicular pe axa fundamentala.

6.2.1 Coordonate ceresti orizontale

Coordonate orizontale ceresti ale astrului (gura 6.5) sunt azimutul cerescal astrului (A) si naltimea astrului deasupra orizontului astronumic al locu-lui (h) sau distanta zenitala a astrului (z). Azimutul A este unghiul diedruformat de planul meridianului ceresc al locului (determinat de axa lumii siverticala locului) cu planul vertical al astrului (determinat da astru si verti-cala locului). Unghiul plan al acestuia se masoara pe orizontul astronomic

77

Figure 6.5: Coordonate orizontale

78

al locului plecnd de la punctul cardinal ceresc Sud al locului, n sensulmiscarii diurne aparente (sens retrograd) catre punctul cardinal ceresc Vestal locului pna la intersectia 0 cu verticalul ceresc al astrului:

A = ^SO0 21800; 1800 :

Daca 0 apartine semicercului SV N al orizontului astronomic avem 00 A 1800 (azimut occidental) iar daca 0 apartine semicercului NES alorizontului astronomic avem 1800 A 00 (azimut oriental)

naltimea h a astrului este masura unghiului ^0O format de razavectoare a astrului cu planul orizontal naltimea astrului se masoara pe verti-calul astrului pornind de la punctul 0 (intersectia cu orizontul astronomic)mergnd spre zenit daca astrul este vizibil (00 h 900) sau spre Nadirdaca este invizibil (900 h 00).

Distanta zenitala z a astrului este unghiul facut de verticala locului cudirectia astrului. Ea se masoara pe verticalul astrului pornind de la Zenitspre astrul : Avem relatiile

h+ z = 900; 00 z 1800:

6.2.2 Coordonate orare (semilocale)

Planul fundamental n acest sistem este planul ecuatorului ceresc (QV Q0E).Dreapta QQ0 (cu Q si Q0 pe sfera cereasca) se aa la intersectia planuluivertical al locului cu ecuatorul ceresc. EV este perpendiculara pe planulvertical al locului, deci si pe QQ0: Coordonatele orare ale astrului sunt decli-natia si unghiul orar H.(gura 6.6) Declinatia 2 900; 900 a astrului este unghiul format de vectorul de pozitie al acestuia cu planul ecuatorului

ceresc; se masoara prin arcul de cerc_

0 de la ecuatorul ceresc la astru siia valori pozitive n emisfera cereasca boreala. n locul declinatiei se mai

foloseste distanta polara p =_P 2 0; 1800 (P ind polul Nord ceresc) si

legata de prin relatia p + = 900. Cum astrul ceresc descrie n miscareasa diurna un paralel ceresc, distanta polara si declinatia sa nu variaza ntimpul miscarii diurne.

Unghiul orar H 2 00; 3600 este unghiul format de meridianul cerescal locului cu cercul orar al astrului; masura arcului de ecuator ceresc (carecreste n sens retrograd de la 00 la 3600) cuprins ntre acestea este si masuraunghiului orar.

79

Figure 6.6: Coordonate orare si ecuatoriale

80

6.2.3 Coordonate ecuatoriale

Aceste coordonate au aceeasi axa fundamentala si acelasi plan fundamen-tal ca si coordonatele orare. Declinatia astrului se pastreaza, dar unghiulorar este nlocuit prin ascensia dreapta () a stelei. Ascensia dreapta 200; 3600

sau 2 0h; 24h a unui astru este unghiul format de planul orar

al punctului vernal cu planul orar al astrului si se masoara n sens direct.Fiind un punct al sferei ceresti, punctul vernal participa la miscarea diurnampreuna cu astrul, deci ascensia dreapta a astrului este constanta. Unghiulorar al punctului vernal (notat cu ) se numeste timp sideral si avem relatia

= +H:

6.2.4 Relatiile dintre coordonatele ceresti si cele geogracen cazul trecerilor la meridianul ceresc

n cazul trecerii astrului la meridianul ceresc, latitudinea geograca esteegala cu naltimea astrului deasupra orizontului

' = h: (6.1)

Fie n meridianul ceresc al locului astrul 1; n culminatia superioara, lasud de zenit. Se observa (vezi gura 6.7) ca

' = + zm: (6.2)

unde ' reprezinta latitudinea locului, reprezinta declinatia astrului iar zmeste distanta zenitala masurata la momentul trecerii astrului la meridianulceresc al locului. n cazul n care astrul 2 se aa la nord de zenit avem

' = zm: (6.3)

Pentru culminatia inferioara 3 este valabila relatia

zm + '+ = 1800: (6.4)

Formulele (6.1)-(6.4) sunt folosite pentru determinarea latitudinii geogracea locului de observatie.

Stele circumpolare

Stelele circumpolare sunt acele stele care se aa mereu numai deasupra ori-zontului ceresc sau numai sub orizontul ceresc. Ele nu rasar si nu apun.

81

Figure 6.7: Proiectia sferei ceresti pe planul meridianului ceresc

82

Deoarece orizontul face cu ecuatorul ceresc unghiul 900'; pentru ca ostea sa e circumpolara n emisfera cereasca boreala.(sa nu apuna) trebuiendeplinita conditia

900 ':Pentru ca steaua sa nu rasara (sa e circumpolara n emisfera australa),

culminatia sa superioara 4 trebuie sa e sub planul orizontului, deci

900 ' :Recapitulnd, conditia ca o stea sa nu apuna sau sa nu rasara este

jj 900 '; (6.5)

iar conditia ca o stea sa aiba rasarit si apus este

jj 900 ': (6.6)

6.2.5 Miscarea Soarelui pe ecliptica. Zodiacul

Observatiile astronomice au dovedit ca Soarele, pe lnga miscarea diurnala care participa mpreuna cu toti astrii de pe bolta cereasca, se deplaseazasi printre stele, executnd n interval de un an un ocol complet pe boltacereasca. Determinnd zilnic coordonatele ecuatoriale ale centrului Soare-lui se constata ca declinatia S a Soarelui variaza n timpul unui an ntre230270 si 230270. Ascensia dreapta a Soarelui S variaza n timpul unui ann intervalul

00; 3600

(sau

0h; 24h

) ceea ce nseamna ca n ecare luna,

Soarele se deplaseaza n medie printre stele cu 300 sau 2h. Cercul mare

mecanica_astronomie

Documents