Prefa

30M. Cristea - Fizic general31Mecanic newtonian

1. MECANICA NEWTONIAN1.1. IntroducereMecanica clasic (newtonian) este tiina care se ocup cu cea mai simpl form de micare a corpurilor, micarea mecanic. Domeniul ei de valabilitate este restrns la corpuri cu dimensiuni macroscopice i la viteze mult mai mici dect viteza luminii n vid (). Micarea corpurilor a cror vitez este comparabil ca ordin de mrime cu viteza luminii este studiat de mecanica relativist (Albert Einstein, 1905). Pentru studiul micrilor particulelor cu dimensiuni atomice a fost creat (1925) mecanica cuantic (E. Schrodinger, W. Heisenberg, L. de Broglie, P.A.M. Dirac i alii).n mecanica clasic se presupune c interacia dintre particulele materiale este descris prin intermediul energiei poteniale de interacie. Aceasta este o funcie de poziia relativ a particulelor (coordonate) i timp. Energia potenial nu depinde de viteza relativ de micare a particulelor, ceea ce implic propagarea instantanee a interaciilor. Informaia referitoare la poziia relativ a particulelor se propag cu vitez infinit astfel nct orice modificare relativ a poziiilor corpurilor este resimit imediat n orice punct din spaiu. Aceasta introduce un anume grad de imprecizie, n natur existnd doar interacii care se propag prin contiguitate (din aproape n aproape), cu viteze finite. De asemenea, n mecanica clasic se presupune existena unui timp absolut, acelai pentru ntregul Univers i a unui spaiu absolut. n prezentarea mecanicii clasice ne vor restrnge la formularea principiilor dinamicii newtoniene i a teoremelor i legilor care sunt importante pentru nelegerea fizicii teoretice moderne. Astfel vom revedea, pe scurt, sub form vectorial, definiiile noiunilor fundamentale ale mecanicii punctului material i sistemelor de puncte materiale i ale integralelor prime ale ecuaiilor micrii punctului material i sistemelor de puncte materiale.

Studiul micrii unui corp presupune alegerea unui alt corp, considerat fix, fa de care se raporteaz micarea celui dinti. Acest reper fix, dotat cu o rigl pentru msurarea distanelor i cu un ceasornic pentru msurarea timpului, constituie un sistem de referin (SR). n mecanica newtonian se admite c spaiul infinit este omogen i izotrop, iar timpul este uniform i izotrop.

O noiune important a mecanicii newtoniene este punctul material. Newton a considerat c, ntr-o prim aproximaie, un corp poate fi nlocuit printr-un corp punctiform, adic un obiect fr dimensiuni (punct geometric), n care s fie concentrat ntreaga mas a corpului respectiv.

Aproximaia punctului material este destul de grosier. Aceast aproximaie este bun n cazul n care micarea corpului se desfoar pe distane cu mult mai mari dect dimensiunile corpului.

Trecere la o aproximaie mai apropiat de realitatea experimental nseamn nlocuirea corpului punctiform cu un corp extins. Acest lucru se realizeaz fie prin intermediul noiunii de sistem de puncte materiale, fie prin intermediul noiunii de mediu continuu.

Unitile fundamentale de msur n Sistemul Internaional (SI) utilizate de mecanic sunt: pentru lungime (L) metrul, pentru mas (M) kilogramul i pentru timp (T) secunda. Unitile de msur pentru celelate mrimi fizice utilizate n mecanic sunt mrimi derivate.

1.2. Traiectoria. Ecuaiile micriiPoziia n spaiu a unui corp la un moment dat este dat de vectorul de poziie n raport cu originea sistemului de axe al referenialului. Dac parametrul variaz, corpul descrie o curb numit traiectorie. Ecuaia

(1.1)

reprezint legea de micare a corpului fa de referenialul considerat.

Funcia vectorial trebuie s satisfac anumite condiii matematice. Anume, ea trebuie s fie o funcie continu, uniform, finit n modul i derivabil de cel puin dou ori. Acest lucru rezult din faptul c micarea unui corp este un proces continuu ntr-o anume regiune de Univers, bine determinat i se face cu viteze i acceleraii finite.

Ecuaia (1.1) poate fi scris pe componente n forma:

(1.2)

ce poart numele de ecuaiile parametrice ale traiectoriei.Prin eliminarea timpului ntre cele trei ecuaii parametrice se obin ecuaiile:

(1.3)Fiecare dintre cele dou ecuaii ale sistemului (1.3) reprezint cte o suprafa. Intersecia celor dou suprafee va da tocmai ecuaia traiectoriei raportat la un sistem de axe carteziene. Traiectoria poate fi rectilinie sau curbilinie (n particular, circular). Forma traiectoriei depinde de sistemul de coordonate folosit.1.3. Noiuni mecanice fundamentalePentru un mobil ce descrie o traiectorie oarecare i a crui lege de micare raportat la un sistem de referina este descris de relaia (1.1), definim urmtoarele mrimi derivate:

1.3.1. VitezaViteza instantanee (sau viteza momentan) este prin definiie variaia vectorului de poziie n unitatea de timp:

(1.4)innd cont de expresia n coordonate carteziene a vectorului de poziie, , obinem componentele vitezei:

(1.5)unde am presupus c versorii unitari i ai axelor de coordonate nu se modific n timp, astfel c .Componentele vitezei sunt reprezentate grafic in Fig. 1.1 Aceast modalitate de scriere a vitezei este foarte util n studiul micrilor plane.1.3.2. Acceleraia

Acceleraia instantanee (sau acceleraia momentan) este prin definiie variaia vitezei n unitatea de timp:

(1.10)sau pe componente:

(1.11)Adic

(1.13)

unde reprezint acceleraia tangenial (rspunztoare de modificarea modulului vitezei) i reprezint acceleraia normal (rspunztoare de modificarea direciei vectorului vitez). Ca o concluzie, se observ c orice micare curbilinie este o micare accelerat.Relaia (1.12) este util n studiul micrii circulare precum i n cazul studiului micrii unui particule n jurul unui centru de fore (satelii orbitali, problema Keppler etc.).

Particulariznd relaia (1.12) n cazul micrilor rectilinii (cnd ), obinem ecuaia:

(1.14)

a crei integrare conduce la soluia:

(1.15)

n cazul n care acceleraia tangenial este constant se obine legea micrii rectilinii uniforme

(1.16)

unde constantele i se obin din condiiile Cauchy i .Dac n schimb modulul vectorului de poziie pstreaz valoare constant (), se obine micarea circular variat. Mai mult, dac , atunci micarea este circular uniform cu acceleraia centripet . n acest caz ecuaiile de micare se scriu

(1.17)

Pentru o astfel de micare se pot defini perioada de rotaie i frecvena de rotaie , unde este numit vitez unghiular.1.3.3. ImpulsulImpulsul sau cantitatea de micare a unei particulei este prin definiie:

(1.18)

unde este masa particulei.El reprezint o msur vectorial a micrii de translaie.Se poate arta c legea de conservare a cantitii de micare este o consecin a principiului al treilea al dinamicii, principiul aciunii i reaciunii.De asemenea, conservarea impulsului este stns legat de proprietatea de omogenitate a spaiului (v. capitolul de mecanic analitic).1.4. Principiile mecanicii newtonieneMecanica newtonian are la baz cteva adevruri fundamentale cunoscute sub numele de principii. Acestea au fost stabilite plecnd de la un numr imens de observaii experimentale. Organizarea logic i sistematic se datoreaz n special lucrrilor lui Galileo Galilei i lui Isaac Newton. Principiile sunt adevruri ce nu pot fi demonstrate, dar pe care nici un experiment nu le-a putut infirma.

n anul 1687, Isaac Newton formuleaz, n celebra lucrare Principiile matematice ale filosofiei naturale (Philosophiae Naturalis Principia Mathematica), axiomele fundamentale ale dinamicii. n continuare vom prezenta, sub formulri echivalente, aceste principii.

1.4.1. Principiul ineriei (lex prima)Acest principiu afirm c orice corp continu s rmn n starea de repaus sau de micare rectilinie uniform, atta timp ct asupra lui nu acioneaz o for exterioar care s i schimbe starea mecanic. Un corp asupra cruia nu accioneaz nici o for se numete corp liber.Pentru ca acest principiu s aib un coninut bine determinat, este necesar s se indice reperul fa de care se determin starea mecanic a corpului. Newton a presupus existena unui spaiu absolut, totdeauna acelai i imobil. Micarea era considerat absolut fa de acest referenial. Orice sistem de referin n care principiul ineriei este valabil se numete sistem de referin inerial (SRI). Dac un sistem de referin se afl ntr-o micare rectilinie i uniform fa de un sistem de referina inerial, atunci i el este un sistem de referina inerial. Pe de alt parte, orice sistem de referin care are o anumit acceleraie fa de un SRI este un sistem de referin neinerial (SRN). n astfel de sisteme pe lng forele reale apar i fore complementare de inerie.Trebuie remarcat c sistemele de referina legate de Terra nu sunt riguros ineriale (micarea Pmntului n Univers fiind o micare curbilinie). Ca exemplu, un punct aflat n repaus pe suprafaa Pmntului la ecuator are o acceleraie centripet datorat micrii de rotaie a Pmntului a crei valoare este . Acceleraia Pmntului pe orbita de revoluie n jurul Soarelui este cu un ordin de mrime mai mic i anume . Acceleraia Soarelui spre centrul Galaxiei noastre nu este cunoscut experimental. Dar din studii privind deplasarea Doppler a liniilor spectrale ale stelelor se crede c viteza Pmntului relativ la centrul Galaxiei este de . Considernd c Pmntul se mic la o distan de centrul Galaxiei, rezult o acceleraie . Se observ c acceleraiile normale datorate curburii traiectoriei Pmntului prin Univers sunt mici, astfel c forele complementare pot fi neglijate n raport cu forele aplicate i Pmntul poate fi considerat, ntr-o prim aproximaie, un bun sistem de referin inerial. (Nu tim dac centrul nsui al Galaxiei noastre nu este cumva puternic accelerat !!!).1.4.2. Principiul aciunii forei (lex secunda)Dac asupra unui corp acioneaz o for , aceasta va imprima corpului o acceleraie n sensul forei, proporional cu fora i invers proporional cu masa corpului . Matematic:

(1.19)

Conform concepiei lui Newton, apariia acceleraiilor reprezint existena unei micri absolute i anume: micarea absolut a substanei, dac este vorba de fore reale, i micarea absolut a sistemului de referint, dac este vorba de fore fictive, cum ar fi fora complementar de inerie. Forele fictive pot fi suprimate prin alegerea unui sistem de referin inerial (n care s fie valabil principiul ineriei).Parametrul care apare n relaia (1.19) se numete mas inert (mas inerial). Mas este o msur a ineriei corpului. Ineria reprezint proprietatea unui corp de a se opune schimbrii strii de repaus relativ sau de micare uniform. Pe lng masa inert, ce apare n expresia principiului doi al dinamicii, mai exist i masa gravitaional. Ea apare n expresia legii atraciei universale a lui Newton. n urma unor multiple msurtori fizicianul maghiar Eotvos a artat c cele dou mase sunt proporionale. Mai trziu, Einstein avea s postuleze principiul echivalenei celor dou mase (egalitatea lor). Acest principiu sugereaz c gravitaia poate fi ntr-un anumit sens echivalent cu o accelerare. Imponderabilitatea unui om aflat ntr-un satelit pe o orbit circumterestr este o consecin a principiului echivalenei. Pe baza acestui principiu Einstein avea s pun bazele teriei generale a relativitii.Relaia (1.19) poate fi scris i n alta form dac se consider c masa este o mrime scalar invariant:

(1.20)

Ultim relaie, , este valabil i n cadrul mecanicii relativiste unde masa nu mai este o mrime constant, ci o mrime variabil ce depinde de starea de micare a corpului. 1.4.3. Principiul aciunii i reaciunii (lex tertia)La orice for, numit aciune, corespunde o for egal i de sens contrar, numit reaciune. Aciunile mutuale a dou corpuri sunt ntotdeauna egale i opuse. Dac avem un punct material A ce interacioneaz cu o for asupra altui punct material B, atunci cel de-al doilea reacioneaz cu o for astfel nct

(1.21)

Aciunea i reaciunea sunt fore carea acioneaz asupra unor corpuri diferite.

Un punct liber este un punct a crui micare se face fr nici o restricie. Dac punctul este obligat s se mite pe o anume suprafa sau dac viteza lui trebuie s satisfac anumite condiii spunem c obiectul este supus la legturi. Legturile intervin n legea de micare sub forma unor fore de legtur. Aceste fore se supun principiului aciunii i reaciunii.

1.4.4. Principiul superpoziiei forelorAcest principiu arat ce se ntmpl atunci cnd asupra unui corp acioneaz mai multe foreDac asupra unui punct material acioneaz mai multe fore, atunci fiecare imprim corpului o acceleraie independent de prezena celorlalte fore, acceleraia punctului material fiind dat de rezultanta vectorial a acceleraiilor pariale.Din punct de vedere matematic, acest principiu se scrie

(1.22)

Rezult c fiecare for acioneaz independent, efectul uneia nefiind afectat de prezena altor fore. 1.4.5. Principiul relativitii n mecanica clasic(principiul lui Galilei).Acest principiu afirm c legile mecanicii sunt aceleai n toate sistemele de referin ineriale. ntr-o form echivalent, el afirm c nu exist nici un experiment mecanic care s poat pune n eviden starea de micare rectilinie uniform a unui SRI fa de un altul considerat fix. Din punct de vedere matematic, principiul relativitii galileene arat c ecuaiile micrii rmn invariante (neschimbate) fa de grupul transformrilor galileene.

Din cele prezentate pn aici reiese c principiile mecanicii newtoniene sunt necesare n formularea problemei micrii unui sistem de puncte materiale n condiii date. Deoarece cunoscnd starea mecanic a unui sistem dat se poate determina starea sistemului la orice moment ulterior, rezult c principiile dinamicii newtoniene sunt legi deterministe.

1.5. Transformarea Galilei

Alegerea sistemului de referin pentru studierea micrii mecanice a unui punct material sau a unui sistem de puncte materiale este o problem important din punctul de vedere al modelrii matematice i formulrii legilor fizice. Pentru aceasta trebuie cunoscute rspunsurile la urmtoarele ntrebri:

exist vreun sistem de referin privilegiat pentru exprimarea legilor fizicii n raport cu acesta?

cum se face trecerea de la un sistem de referin la altul?

Rspunsul la prima ntrebare a fost dat prin introducerea sistemelor de referin ineriale. Din punctul de vedere al celei de-a doua ntrebri exist posibile mai multe rspunsuri. Acestea au fost date pe diverse trepte de evoluie a fizicii i au marcat caracteristicile fundamentale ale teoriilor clasic i relativist ale spaiului i timpului. Relaiile de trecere de la un sistem de referin inerial la un altul n cadrul mecanicii clasice, au fost obinute pentru prima oar (1590) de Galileo Galilei (1564 1642). Acesta a iniiat metodele experimentale n fizic.Fie dou refereniale (presupus fix) i , ultimul fiind n micare de translaie fa de primul cu viteza . Pentru simplitatea calcululor am presupus c viteza este orientat n lungul axei , c axele celor dou sisteme de referin sunt paralele (Fig.1.2), iar c la momentul iniial originile sistemelor coincid.

Un eveniment fizic care se desfoar n punctul poate fi descris prin vectorul de poziie i n sistemul sau prin i n sistemul . Este evident relaia:

(1.23)

unde . Proiectnd pe axele celor dou refereniale, avem:

relaiile lui Galilei directe

(1.24)

relaiile lui Galilei inverse

(1.25)

Din aceste relaii rezult imediat caracterul absolut al spaiului i al timpului. Dac n sistemul avem un obiect de lungime l, orientat de-a lungul axei , atunci pentru determinarea lungimii acestui obiect trebuie s msurm n acelai moment coordonatele capetelor acestui obiect:

(1.26)

innd cont de relaiile de transformare Galilei, lungimea acestui obiect msurat n sistemul , va fi:

(1.27)

Dac n sistemul avem un fenomen mecanic care se desfoar n punctul x i a crui durat este , atunci durata aceluiai fenomen msurat n va fi:

(1.28)

Rezult c fenomene simultane n () vor fi simultane i n (), timpul avnd o curgere obiectiv, independent de starea de micare a lucrurilor.

1.6. Consecinele transformrii Galilei1.6.1. Legea de compunere a vitezelor

Fie i vitezele punctului (din Fig. 1.2) raportate la cele dou sisteme de referin i . Atunci, tinnd cont de relaiile de transformare Galilei (1.23), obinem legea de compunere a vitezelor n mecanica clasic:

(1.29)

1.6.2. Legea de compunere a acceleraiilorConsidernd i acceleraiile n cele dou sisteme de referin ineriale, atunci, prin derivarea relaiei vectoriale de compunere a vitezelor avem:

(1.30)

Ce devine n acest caz legea a doua a dinamicii? Tinnd cont c fora de interacie dintre punctul material i alte corpuri sau cmpuri depinde, n cazul cel mai general, de distana relativ dintre corpuri, de viteza relativ i de timp, avem:

(1.31)

Dar din caracterul absolut al spaiului i timpului i din legea de compunere galileean a vitezelor, rezult c i . innd cont c i c rezult c , adic masa este o mrime invariant n mecanica clasic. Mai mult, legea fundamental a dinamicii capt aceeai form matematic n toate sistemele de referin ineriale: . Spunem c legile mecanicii sunt invariante (nu i schimb forma la trecerea de la un reper inerial la altul) n raport cu transformarea Galilei. De aici rezult principiul relativitii lui Galilei (paragraful 1.4.5). 1.7. Teoreme generale ale mecanicii punctului material

i sistemelor de puncte materiale1.7.1. Teorema impulsuluiS considerm relaia de definiie a forei . De aici rezult c , expresie ce constituie teorema impulsului: variaia n timp a impulsului unei particule este egal cu impulsul forei aplicate particulei. Mai mult, constatm c dac asupra particulei nu acioneaz nici o for (), atunci impulsul particulei se conserv (impulsul constituie o integral prim a micrii).

Pentru un sistem de puncte materiale de mase , forele pot fi grupate n fore exterioare i fore interioare. Forele interioare reprezint interacia dintre particule. Ele sunt fore perechi care ascult de principiul aciunii i reaciunii. Astfel, pentru forele dintre dou puncte materiale i i j avem: .

Ecuaia de micare a punctului material de mas poate fi scris

(1.32)

unde reprezint fora exterioar ce acioneaz asupra particulei i. Sumnd peste toate particulele sistemului, innd cont c i c suma forelor exterioare ce acioneaz asupra fiecrei particule reprezint fora exterioar pentru ntreg sistemul , obinem:

(1.33)

Definind impulsul total al sistemului de puncte materiale, obinem teorema impulsului pentru sistemul de puncte materiale:

(1.34)

Dac fora exterioar ce acioneaz asupra sistemului este zero, atunci impulsul total se conserv. Indiferent de forele care apar n interiorul unui sistem izolat, impulsul rmne constant ca o consecin a principiului aciunii i reaciunii. Consecina este extrem de util n studiul ciocnirilor dintre corpuri.

1.7.3. Teorema energiei cinetice

S presupunem c sub aciunea forei rezultante ce acioneaz asupra punctului material aflat n punctul P, acesta s-a deplasat n poziia infinit apropiat Q (Fig. 1.3). Prin definiie, lucrul mecanic elementar al forei relativ la deplasarea este:

(1.41)

Aceast relaie poate fi rescris n forma:

(1.42)

unde T reprezint energia cinetic a punctului material.

Ultima relaie exprim teorema energiei cinetice: variaia energiei cinetice a unui punct material este egal cu lucrul mecanic al forelor ce acioneaz asupra punctului material. Integrnd ultima relaie, obinem:

(1.43)

care reprezint expresia lucrului mecanic efectuat ntr-un timp finit.

1.7.4. Teorema conservrii energiei mecaniceDac fora ce acioneaz asupra punctului material poate fi obinut ca gradient al unei funcii scalare , spunem c punctul material se mic ntr-un cmp potenial. Dac potenialul cmpului nu depinde explicit de timp, cmpul de fore se numete conservativ, iar U se numete energie potenial. ntr-o astfel de situaie, lucrul mecanic al forelor conservative nu depinde de drum, ci doar de poziiile final i iniial:

EMBED Equation.3

(1.46)

Din ultima relaie rezult c suma dintre energia cinetic i cea potenial, numit energie mecanic, rmne constant. Energia mecanic este o integral prim a sistemelor conservative.

n cazul sistemelor de puncte materiale, lucrul mecanic efectuat de ctre forele interioare i exterioare ntr-un interval de timp finit se obine prin integrarea relaiei (1.45):

(1.47)

Dac forele exterioare sunt conservative , unde gradn indic derivata parial n raport cu atunci

(1.48)

S admitem c forele interioare sunt i ele conservative , unde gradjk semnific derivata dup direcia , iar este energia potenial de interacie ntre particulele j i k. Atunci lucrul mecanic al forelor interne poate fi scris dup cum urmeaz:

(1.49)

unde coeficientul este pus pentru c sumarea se face de dou ori. Rezult c putem defini o energie potenial total

(1.50)

i c legea conservrii energiei mecanice totale este:

(1.51)

1.7.5. Teorema centrului de masPentru un sistem de puncte materiale de mase i vectori de poziie se definete centrul de mas ca fiind un punct al crui vector de poziie este dat de relaia:

(1.52)

unde M este masa total a sistemului. Derivnd aceast relaie n raport cu timpul, obinem viteza centrului de mas:

(1.53)

respectiv acceleraia centrului de mas:

(1.54)

Se observ c dac fora exterioar este nul, atunci acceleraia centrului de mas este nul i viteza centrului de masa nu variaz. De aici rezult conservarea impulsului sistemului de particule.

n cazul sistemelor cu distribuie continu de mas, poziia centrului de mas poate fi calculat dac se cunoate distribuia densitii masice , unde este volumul elementar. Astfel:

cu

(1.55)

Trebuie remarcat c n cmp gravitaional omogen (cnd acceleraia gravitaional nu depinde de nlimea fa de suprafaa pmntului), centrul de mas coincide cu centrul de greutate. Pentru cmpuri gravitaionale neomogene, centrul de greutate se gsete pe aceeai vertical terestr, dar la altitudini mai coborte.

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

Fig. 1.1.

Fig. 1.2.

x

y

y

z

x

z

O

O

P

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

z

y

x

P

Q

EMBED Equation.3

Fig. 1.3

_1185548389.unknown

_1185869820.unknown

_1185885259.unknown

_1186068918.unknown

_1186206714.unknown

_1189672592.unknown

_1189672601.unknown

_1189672670.unknown

_1189672673.unknown

_1189672597.unknown

_1189672583.unknown

_1189672587.unknown

_1189672571.unknown

_1186068969.unknown

_1186069069.unknown

_1186078333.unknown

_1186069013.unknown

_1186068947.unknown

_1185885577.unknown

_1186050104.unknown

_1186067776.unknown

_1186068679.unknown

_1186068851.unknown

_1186068667.unknown

_1186050106.unknown

_1186050107.unknown

_1186033507.unknown

_1186042744.unknown

_1185886229.unknown

_1185885455.unknown

_1185885547.unknown

_1185885280.unknown

_1185882869.unknown

_1185883235.unknown

_1185883406.unknown

_1185883044.unknown

_1185870936.unknown

_1185871469.unknown

_1185870847.unknown

_1185559001.unknown

_1185559487.unknown

_1185697920.unknown

_1185698314.unknown

_1185698324.unknown

_1185867345.unknown

_1185697986.unknown

_1185698021.unknown

_1185698036.unknown

_1185697977.unknown

_1185559566.unknown

_1185697146.unknown

_1185697678.unknown

_1185559597.unknown

_1185559609.unknown

_1185559620.unknown

_1185559585.unknown

_1185559520.unknown

_1185559543.unknown

_1185559502.unknown

_1185559221.unknown

_1185559431.unknown

_1185559463.unknown

_1185559279.unknown

_1185559061.unknown

_1185559194.unknown

_1185559041.unknown

_1185558626.unknown

_1185558735.unknown

_1185558966.unknown

_1185558981.unknown

_1185558961.unknown

_1185558708.unknown

_1185558722.unknown

_1185558660.unknown

_1185558551.unknown

_1185558599.unknown

_1185558615.unknown

_1185558576.unknown

_1185549336.unknown

_1185557866.unknown

_1185548544.unknown

_1035623673.unknown

_1035635244.unknown

_1062150233.unknown

_1185545820.unknown

_1185546122.unknown

_1185546152.unknown

_1185546092.unknown

_1062150906.unknown

_1185462291.unknown

_1185462306.unknown

_1148262068.unknown

_1148262481.unknown

_1062150299.unknown

_1062150581.unknown

_1062150582.unknown

_1062150583.unknown

_1062150374.unknown

_1062150281.unknown

_1035636349.unknown

_1062143636.unknown

_1062143968.unknown

_1062144496.unknown

_1062143660.unknown

_1035636652.unknown

_1035637184.unknown

_1042271902.unknown

_1035636664.unknown

_1035636369.unknown

_1035635787.unknown

_1035635830.unknown

_1035635618.unknown

_1035625571.unknown

_1035632029.unknown

_1035633579.unknown

_1035635163.unknown

_1035632041.unknown

_1035628442.unknown

_1035628591.unknown

_1035625747.unknown

_1035625174.unknown

_1035625543.unknown

_1035625555.unknown

_1035625207.unknown

_1035623858.unknown

_1035624884.unknown

_1035623684.unknown

_1033976773.unknown

_1035373157.unknown

_1035373248.unknown

_1035623622.unknown

_1035373247.unknown

_1035370966.unknown

_1035370997.unknown

_1033976948.unknown

_1035370938.unknown

_1033976827.unknown

_1033373414.unknown

_1033373559.unknown

_1033473928.unknown

_1033474074.unknown

_1033976755.unknown

_1033473960.unknown

_1033373646.unknown

_1033373497.unknown

_1033372933.unknown

_1033373035.unknown

_1033372289.unknown