UNIVERSITATEA DIN PETROŞANIFACULTATEA DE MINECATEDRA DE INGINERIE MINIERĂ ŞI SECURIATE ÎN INDUSTRIE

MECANICA ROCILOR ŞI PĂMÂNTURILOR

CURS

Prof.univ.dr.ing. ARAD VICTOR

1

1. ANALIZA STABILITĂŢII MASIVELOR DE SARE

1.1. CRITERII DE STABILITATE A ROCILOR SALINE

1.1.1. Criteriul de stabilitate n

Stabilitatea masivului de sare conform acestui criteriu se estimează în funcţie de caracteristicile geomecanice ale rocilor printr-un coeficient n dat de relaţia:

(1.1)

în care : H – este adâncimea de amplasare a camerei ;a – greutatea specifică aparentă ;

rc – rezistenţa la compresiune monoaxială ; - coeficient funcţie de gradul de fisurare. - coeficient al rezistenţei de lungă durată;K - coeficient de influenţă a umidităţii;K1 - coeficient de concentrare a tensiunilor;K2 - coeficient de influenţă a lucrărilor adiacente, a camerelor învecinate.

Încadrarea sării într-o clasă de stabilitate se face în conformitate cu tabelul 1.1.Tabelul 1.1.

Încadrarea sării în clase de stabilitate funcţie de criteriul de stabilitate nCoeficientul de

stabilitate, nClasa de

stabilitate Aprecierea stabilităţii lucrării miniere

>1 I Lucrarea minieră este stabilă. Deplasarea rocilor u < 50 mm.0,7 < n < 1 n Stabilitate medie, 50 < u < 100 mm. Presiunea creată de

roci: P = 0,01 - 0,06 MPa0,35 <n<0,70 m Lucrarea devine instabilă, 100 < u < 410 mm. P = 0,15 -

0,2 MPa0,25 <n<0,35 IV Grad avansat de instabilitate, 410 <u< 600 mm. P = 0,2 -

0,3 MPan < 0,25 V Lucrare total instabilă, deformarea sub formă de curgere vâsco-

plastică P = 0,3-2MPaValoarea coeficientului de stabilitate n pentru sarea de la Târgu Ocna este redată în tabelul nr.3.8

1.1.2. Criteriul de stabilitate i

Conform acestui criteriu, evaluarea stabilităţii se face în funcţie de caracteristicile geomecanice ale sării şi de modul de deformare a acestora (tabelul 1.2). Acest criteriu este redat prin expresia:

(1.2)

Aprecierea stabilităţii după criteriul de stabilitate i este redată în tabelul 1.2.Tabelul 1.2

Aprecierea stabilităţii după criteriul de stabilitate i

Coeficient de stabilitate, i

Clasa de stabilitate

Condiţiile geomecanice în care se execută lucrarea

minieră

Deplasarea rocilor de pe contur, u

[mm]<0.2 I foarte uşoare 0

0,2 - 0,25 II uşoare <500,25 - 0.3 III medii 50 - 2000,3 - 0,6 IV grele 200 - 500

>0,6 V foarte grele >500

Valorile coeficientului de stabilitate „i” sunte redate în tabelul 3.8.

2

1.1.3. Criteriul de stabilitate U

În calitate de criteriu de determinare a stabilităţii sării de pe conturul lucrării miniere se poate utiliza mărimea deplasărilor U, deplasări care se pot stabili cu relaţia:

(1.3.)

în care: Kn este coeficient de influenţă al înclinării şi direcţiei lucrărilor miniere faţă de stratificaţia rocilor; K - coeficient funcţie de direcţia de manifestare a deplasării sării de pe contur. Valorile

coeficienţilor K şi K sunt redate în tabelul 3.3.

Tabelul 1.3.Valorile coeficienţilor K şi K

Direcţia lucrării miniere faţă de

stratificaţia rocilor

Valorile coeficienţilor K şi K pentru diferite înclinări ale stratificaţiei, o

20° 30° 40° 50° 60° 70°K K K K K K K K K K K K

Paralelă cu stratificaţia

1 0,35 0,95 0,55 0,8 0,8 0,65 1,2 0,6 1,7 0,6 2,25

Perpendiculară pe stratificaţie

0,7 0,55 0,6 0,8 0,45 0,95 0,25 0,95 0,2 0,8 0,15 0,55

Sub un unghi faţă de stratifi-caţic

0,85 0,45 0,8 0,65 0,65 0,9 0,45 1,05 0,35 1,1 0,35 0,95

Ks - coeficient de influenţă a secţiunii lucrării miniere asupra deplasării rocilor; valoarea acestui coeficient se determină cu relaţia:

(1.4.)

în care: 2 a este deschiderea lucrării miniere ;KV – coeficient de influenţă a camerelor învecinate.

Kv= 1 pentru lucrări miniere singulare; Kv= 1,6 pentru lucrări miniere ce se intersectează; Kt - coeficient de influenţă a duratei de activitate a lucrării miniere:Kt = 1 pentru lucrări miniere cu durata de activitate mai mare de 15 aniPentru lucrări miniere cu durata de activitate mai mică de 15 ani, valoarea coeficientului Kt

se determină grafic din figura 3.1, iar deplasarea Ut se determină din figura 3.2.

Fig.1.1. Diagrama de determinare Fig.1.2. Variaţia deplasării Ut aa coeficientului Kt sării în funcţie de adâncime şi de rezistenţa de rupere la compresiune monoaxială

Încadrarea rocilor intr-o clasă de stabilitate conform acestui criteriu este redată in tabelul 1.4.

3

Tabelul 1.4.Aprecierea stabilităţii după criteriul de stabilitate U

Valorile deplasărilor rocilor de pe conturul lucrărilor miniere,

U, [mm]

Clasa de stabilitate Gradul de stabilitate al lucrărilor miniere

0 I foarte stabile0-50 II stabile

50 - 200 III stabilitate medie200 - 500 IV instabile

>500 V foarte instabile

1.1.4. Criteriul de stabilitate m

Acest criteriu de prognozare a stabilităţii, propus de V.I. IZACSON, arată că sarea de pe conturul camerei îşi pierde stabilitatea atunci când distanţa m dintre suprafeţele de slăbire structurală este suficient de mică şi satisface inegalitatea:

(1.5.)

în care: 1 - este coeficient funcţie de tipul suprafeţelor de slăbire structurală şi de rezistenţa de rupere la

compresiune a rocii. Valorile acestui coeficient sunt redate în tabelul 1.5.Tabelul 1.5.

Variaţia coeficientului 1, funcţie de adâncime şi de rezistenţa de rupere la compresiune monoaxială

Adâncimea de lasuprafaţă, H [m]

Rezistenţa de rupere la compresiune monoaxială, rc [MPa]

10 20 30 40 50 60Valoarea coeficientului 1

100 0,6 0,44 0,28 0,22 0,075 0,03200 0,72 0.6 0,44 0,28 0,22 0,075300 0,8 0,72 0,6 0,44 0,28 0,22400 0,83 0,8 0,72 0,6 0,44 0,28500 0,87 0,83 0,8 0,72 0,6 0,44600 0,9 0,87 0,83 0,8 0,72 0,6700 0,93 0,9 0,87 0,83 0,8 0,72300 0,96 0,93 0,9 0,87 0,83 0,8900 0,99 0,96 0,93 0,9 0,87 0,831000 1 0,99 0,96 0,93 0,9 0,87

1.1.5. Criteriul de stabilitate t

Aprecierea gradului de stabilitate a rocilor din jurul lucrărilor miniere se poate face şi în funcţie de perioada de timp cât rocile se autosusţin.

Încadrarea rocilor într-o clasă de stabilitate, conform acestui criteriu, se face conform tabelului 1.6.

Tabelul 1.6.Aprecierea stabilităţii după criteriul de stabilitate

Durata cât sarea dezvelită se autosusţine

Clasa de stabilitate

Grad de stabilitate a camerelor

Caracterul sfărâmării rocilor din jurul lucrării miniere

Nelimitată 1 foarte stabile Lipseşte

6 luni II StabileAruncări de bucăţi de sare de pe

conturul lucrării miniere< 0,5 luni III stabilitate medie Sfărâmări locale şi aruncări de sare până

4

la adâncimi de 1 m

< 24 ore IV InstabileSfărâmarea sării se extinde pe adâncimi

mai mari de 1 m

0 V foarte instabileTrecerea în mişcare a unor volume

considerabile de sare

Din cercetările şi observaţiile practice efectuate s-a constatat că lucrările miniere de la saline sunt stabile, fără a fi susţinute, o perioadă lungă de timp, încadrându-se în clasa lucrărilor miniere foarte stabile.

1.1.6. Criteriul de stabilitate „S”

Aprecierea stabilităţii conform acestui criteriu se face în funcţie de caracteristicile de legătură create în timp de fenomenele geologo-tectonice şi de caracteristicile geomecanice ale sării.

Criteriul de stabilitate S este redat analitic prin expresia :

(1.6.)

în care : f – este coeficientul de tărie al sării;KM – coeficient funcţie de gradul de fisurare al sării;

KN – coeficient funcţie de numărul sistemelor de fisuri ; KR – coeficient funcţie de forma pereţilor lucrărilor miniere; KW – coeficient funcţie de umiditatea sării; KA – coeficient funcţie de cimentul de legătură depus pe fisuri; Kt – coeficient funcţie de gradul de deschidere a fisurilor; K – coeficient funcţie de unghiul format de direcţia lucrărilor miniere şi direcţia fisurilor.În funcţie de criteriul de stabilitate S, rocile se grupează în mai multe clase, tabel nr. 1.7. Valorile lui S

sunt redate în tabelul 1.8.

Tabelul 1.7.Aprecierea stabilităţii după criteriul S

Valoarea indicelui de stabilitate, S

Clasa de stabilitate a săriiGradul de stabilitate al lucrării

miniere 70 I complet stabile

5 – 70 II stabile1 – 5 III stabilitate medie

0,05 – 1 IV instabile 0,05 V foarte instabile

În conformitate cu criteriul de stabilitate S, sarea de la Târgu Ocna se încadrează, tabel 1.8, în clasa de stabilitate a II-a, cea a rocilor stabile.

Tabel nr. 1.8.Valorile criteriilor de stabilitate „n”, „i” şi „s”

Nr. epru-vetei

S

1 0,955 0,826 0,568 0,095 0,109 0,159 0,525 0,454 0,173 0,199 15,292 0,919 0,795 0,389 0,098 0,114 0,232 0,505 0,437 0,179 0,207 14,723 0,93 0,804 - 0,0977 0,112 - 0,511 0,442 0,177 0,205 14,894 0,908 0,664 - 0,118 0,136 - 0,424 0,365 0,215 0,248 12,295 0,99 0,864 - 0,0901 0,105 - 0,55 0,476 0,165 0,19 15,99

1.1.7. Criteriul de apreciere a stabilităţii funcţie de starea secundară de tensiune

Din studiile analitice şi măsurătorile practice s-a constatat ca în tavanul şi vatra lucrărilor miniere apar tensiuni de întindere, iar în pereţii laterali, tensiuni de compresiune.

5

Valoarea tensiunilor de întindere ce apar în tavanul şi vatra lucrărilor miniere se poate determina cu relaţia:

(1.7)

în care: K1 este coeficient de concentrare a tensiunilor.Tensiunile de compresiune ce apar în pereţii laterali ai lucrărilor miniere se pot determina cu

relaţia:(1.8)

în care: K2 este coeficient de concentrare a tensiunilor de compresiune.Condiţiile de stabilitate ale lucrărilor miniere, în funcţie de starea secundară de tensiune, sunt

redate de relaţiile:

(1.9)

(1.10)

(1.11)

În cazul camerelor amplasate la adâncimi mari de la suprafaţă, în roci cu comportament preponderent plastic, criteriul de stabilitate poate fi exprimat prin relaţia:

(1.12)

în care: KST - este un coeficient de creştere a stabilităţii, exprimat prin relaţia:

(1.13)

în care: KPL este un coeficient ce caracterizează comportamentul plastic al sării, exprimat prin relaţia:

(1.14)

în care: HPL reprezintă adâncimea limită de la care rocile se comportă plastic; această adâncime se poate calcula cu relaţia dată de K. V. Koşelev:

(1.15)

în care: Cf este coeficient ce caracterizează pierderea de rezistenţă în timp (tabelul 1.9);

K - coeficient de concentrare a tensiunilor;

n - rezerva de rezistenţă; pentru lucrări miniere de deschidere n = 3.Tabelul 1.9.

Valoarea coeficientului Cf funcţie de durata de activitate a lucrării miniere şi natura rocilor saline

Durata de activitate a lucrării miniere, t [ani] Valoarea coeficientului Cf

Roci uscate Roci umede<5 1 0,95

5-10 0,9 0,8> 10 0,8 0,7

1.1.8. Criteriul de stabilitate R.Q.D.

6

Coeficientul de calitate R.Q.D. (rock quality designation) indică calitatea rocilor şi se poate stabili cu relaţiile:

(1.16)

(1.17)

în care: prezintă suma lungimilor carotelor cu o lungime mai mare de 10 cm; L - lungimea totală a tronsonului forat;n - numărul de fisuri pe metru cub de rocă.încadrarea rocilor într-o clasă de stabilitate se face conform tabelului 1.10.

Tabelul 1.10.Aprecierea stabilităţii funcţie de coeficientul R Q.D.

R.Q.D. Gradul de fisurare a rocilor Calitatea rocii Gradul de stabilitate a rocilor

90 – 100 nefisurată foarte bună foarte stabile75-90 fisurare moderată Bună Stabile50-75 fisurată Satisfăcătoare stabilitate mică-medie25-50 puternic fisurată Slabă Instabile0-25 dezagregată foarte slabă foarte instabile

Valoarea coeficientului RQD pentru sarea de la Târgu Ocna oscilează între 78 şi 85. Deci calitatea rocii saline este buna şi roca salină este stabilă.

In funcţie de criteriile de stabilitate se poate realiza o clasificare a minelor şi salinelor din punct de vedere al stabilităţii rocilor de pe contur. Aceasta clasificare este redată in tabelul 1.11.

Tabelul 1.11.

7

Clasificarea minelor şi salinelor din punct de vedere al stabilităţii rocilor

Clasa minei

Gradul de

stabilitate al

rocilor

Criteriul de

stabilitate

„n”

Criteriul de

stabilitate

„i”

Criteriul de

stabilitate

„m”

Criteriul de

stabilitate

„U”

Criteriul de

stabilitate

„S”

Criteriul de

stabilitate

„t”

Criteriul de

stabilitate

„RQD”

Rezistenţa la

compresiune

monoaxială

rc [MPa]

Foarte

uşoară

foarte stabile

0,7 – 1 0,2 3 0 70 nelimitată

10 ani pentru

l 5 m

90 – 100

200

Uşoară

stabile 0,4 – 0,7

0,2 – 0,25

1 – 3 0 – 50 5 – 70 6 luni

l 4 m

75 – 90 100 – 200

Medie

stabilitate medie

0,3 – 0,4

0,25 – 0,3

0,5 – 1 50 – 200

1 - 5 0,5 luni

l 3 m

50 – 75 50 – 100

Grea instabile 0,2 – 0,3

0,3 – 0,6

0,3 – 0,5

200 – 500

0,05 – 1 24 ore

l 1,5 m

25 – 50 25 - 50

Foarte grea

foarte instabile

0,2 0,6 – 1 0,3 500 0,05 25 25

1.2. SIMULAREA COMPORTAMENTULUI MASIVULUI DE ROCĂ ŞI A FENOMENELOR DE INSTABILITATE

Pe lângă metodele directe de testare în laborator s-a folosit pentru simularea comportamentului masivului de roci saline de la Târgu Ocna, un software geotehnic bazat pe criteriul de rupere Hoek- Brown. Criteriul de rupere Hoek- Brown este general acceptat şi se aplică în întreaga lume obţinând rezultate care satisfac necesităţile inginereşti. Există câteva incertitudini şi uneori nu există acurateţe în rezultate obţinute, motiv pentru care se recurge la modele numerice şi programe de calcul ale echilibrului la limită.

Criteriul original de rupere Hoek- Brown a apărut în 1980, care apoi a suferit treptat modificări de către autori, aducândui-se completări şi îmbunătăţiri (1983, 1988, 1992, 1994, 2002). Autorii au propus relaţii de calcul pentru tensiunile principale pentru caracterizarea masivului (1.18), mai convenabil decât relaţii între tensiunile tangenţiale şi normale, fig.1.3

(1.18)

unde: σ1 este tensiunea principală maximă la rupere;σ3, este tensiunea principală minimă sau tensiunea de confinare; m şi s sunt constante de material;σrc rezistenţa de rupere la compresiune monoaxială a sării intacte;

8

Fig.1.3. Relaţia între tensiunea principală maximă şi minimă pentru criteriul Hoek- Brown

Din ecuaţia (1.18) se obţine rezistenţa de rupere la compresiune monoaxială a sării σ c daca se înlocuieşte σ3 = 0. Înlocuind σ1 = σ3 = σt, se obţine rezistenţa de rupere la tracţiune monoaxială a sării σt.

(1.19)

(1.20)

În criteriul generalizat s-a folosit valoarea redusă a constantei de material m i, şi anume mb, ecuaţia (1.21)

(1.21)

unde

Introducerea criteriului generalizat al lui Hoek- Brown (1994), dă posibilitatea să fie incorporate atât condiţiile criteriului original cât şi modificările la criteriu, ţinând seama de parametri geometrici, geologici ai masivului de sare. Pentru estimarea rezistenţei masivului de sare s-a introdus indicele GSI (Geological Strength Index) care acoperă neajunsurile indicelui RMR propus de Bieniawski. Acest indice ne permite să grupăm masivul de sare în şase categorii în funcţie de structură geologică de la structura intactă a masivului pâna la structura laminară şi în acelaş timp ţinând seama de caracterizarea discontinuităţilor masivului de sare, în cinci categorii, de la sarea foarte bună la sarea foarte slabă. Practica inginerească ne dă posibilitatea să alegem pentru masivul de sare, ţinând seama şi de structura geologică, un GSI cuprins în intervalul (90 - 87) adică o structură intactă sau masivă, cu puţine zone de discontinuitate.

S-au făcut simulări pentru valorile GSI din intervalul (87 - 90), observând cea mai bună comportare la GSI = 90 adică masivul de sare aproape intact, bine structurat prin legături interne, constând în blocuri cubice formate după trei axe, intersectate de locuri de discontinuitate.

Pentru rocile saline de la Târgu Ocna, cunoscând caracteristicile geo-morfologice s-a ales valoarea lui mi după recomandările din literatura de specialitate în intervalul (10 2), . S-au făcut simulări cu valorile 10 şi 12, observând cea mai bună comportare pentru valoarea lui mi = 10.

Deosebirile între masivul de rocă perturbat şi neperturbat sunt cunoscute în general din experienţa din practica inginerească. Ediţia 2002 a criteriului de rupere Hoek- Brown estimează acest lucru prin introducerea factorului de disturbanţă (perturbare) D. Influenţa factorului D poate să fie foarte largă. Am facut simulări apreciind acest factor D cu valori de la 0 la 0,5. Valoarea D = 0, este valabilă în cazul masivului intact, neperturbat, ceea ce nu corespunde masivului de sare şi atunci am ales valoarea de D = 0,1 a acestui factor, rezultatele fiind mai apropiate de cazul real.

Cunoscând valorile rezistenţei de rupere la compresiune monoaxială a rocilor, din caracterizarea geomecanică a sării de la Târgu Ocna, s-au făcut simulări pentru diferite valori a lui σ rc. Rezultatele acestor simulări sunt prezentate în Anexele 1 până la 12.

Cele mai multe software geotehnice sunt gândite având la bază elemente ale criteriului de rupere Mohr- Coulomb. Este necesar să se determine unghiul de frecare φ şi coeziunea C, pentru un şir de valori ale

9

tensiunii, pentru fiecare probă de rocă. Acestea sunt obţinute prin aproximarea printr-o dreaptă a mediei unor valori, la curba generată de rezolvarea ecuaţiei (1.21) a valorilor tensiunii principale minime, σ3.

Sunt trasate graficele pentru tensiunea principală minimă şi maximă pentru Hoek - Brown şi echivalentul criteriului Mohr - Coulomb. Conform criteriului Mohr – Coulomb, tensiunea de forfecare τ pentru o tensiune normală dată, se obţine prin substituirea valorilor lui C şi φ în ecuaţia (1.22)

(1.22)Ruperile încep la frontiera excavaţiei când σc este depăşit de tensiunea indusă la frontieră. Ruperea

se propagă de la punctul iniţial în planul suprafeţei tensiunilor şi eventual se stabilizează când rezistenţa locală, definită de ec. (1.21) este mai mare decât tensiunile induse σ 1 şi σ3. Cele mai multe modele numerice urmăresc acest proces al propagării fisurilor care este foarte important când avem în vedere stabilitatea excavaţiilor în roci şi când se proiectează elementele de susţinere la nivelul unei analize detaliate.

Heok sugerează că coeziunea determinată din aproximarea prin tangenta la înfăşurătoarea Mohr este valoarea limită superioară şi poate da rezultate bune în calculele de stabilitate. În consecinţă, o valoare medie determinată prin aproximarea lineară a relaţiei Mohr- Coulomb prin metoda celor mai mici pătrate poate fi mai apropiată. Hoek introduce de asemenea, conceptul criteriului generalizat Hoek-Brown în care panta curbei tensiunii principale trasate sau înfăşurătoarea Mohr poate fi ajustată prin coeficientul variabil a în locul termenului puterii 0,5 în ecuaţia (1.18).

Pe baza acestor consideraţii s-a folosit această metodă de simulare prin implementarea în programul specializat RocLab sub Windows a parametrilor şi proprietăţilor rocii saline de la Târgu Ocna, program care include tabele şi grafice pentru estimarea tensiunii monoaxiale de compresiune ale rocii intacte, (σ ci), constanta de material mi şi indicele GSI.

2. ÎMPINGEREA PĂMÂNTULUI ASUPRA ZIDULUI DE SPRIJIN

10

2.1. DEFINIREA NOŢIUNII DE ÎMPINGERE A PĂMÂNTULUI

Proiectarea şi executarea lucrărilor de infrastructură ale construcţiilor, precum şi lucrările de susţinere a pământului, sunt probleme complexe ale ingineriei geotehnice în calculul cărora intervine ca acţiune principală împingerea pământului. Mărimea împingerii pământului şi natura acţiunii sale, depind de posibilităţile de deplasare şi deformare ale construcţiilor de sprijin dar şi de caracteristicile fizico – mecanice ale pământului din masivul sprijinit.

După modul şi direcţia de deplasare a elementului de sprijin, în raport cu masivul de pământ sprijinit, există următoarele cazuri de manifestare a acţiunii de împingere a pământului:

- împingerea pământului în stare de repaus, P0;- împingerea activă a pământului, Pa;- rezistenţa pasivă a pământului Pp.

Acţiunea de împingere a pământului în stare de repaus, Po, se manifestă asupra elementelor de

fundaţii, sau de sprijin, care sunt absolut rigide, nu se deplasează şi nu se rotesc sub acţiunea de împingere a pământului. Acest caz poate fi întâlnit în cazul pereţilor unui tunel, fig. 5.1. La nivelul de adâncime z va acţiona presiunea verticală gz= z, dată de greutatea coloanei de pământ numită şi sarcina geologică. Această presiune verticală va genera presiunea orizontală gx, asupra peretelui vertical, care se exprimă prin relaţia:

gx = Ko gz = Ko z; (2.1)în care: Ko – este coeficientul de împingere laterală în stare de repaus, având valori

Ko = 0,40 ... 0,70, în funcţie de natura pământului.Aplicând relaţia de calcul 5.1 la partea superioară şi cea inferioară a peretelui, se determină diagrama

de presiuni din împingerea pământului în stare de repaus care acţionează pe peretele vertical considerat nedeformabil. Forţa totală în stare de repaus, Po, care acţionează asupra peretelui se determină prin calculul ariei diagramei de presiuni. Atunci când elementul de sprijin se poate deplasa, sau suferă o rotire, depărtându-se de masivul de pământ sprijinit, pământul sprijinit din spatele său se destinde iar împingerea pământului devine mai mică decât cea corespunzătoare stării de repaus. Acţiunea de împingere activă a pământului se produce la desprinderea din masiv a volumului de pământ ABC, după suprafaţa de alunecare AC, volum care acţionează direct asupra elementului de sprijin, pe suprafaţa AB. Experimental, s-a constatat că suprafaţa de alunecare AC se formează la o deplasare a elementului de sprijin de = 0,001 H, moment în care se manifestă şi împingerea activă a pământului, Pa.

Rezistenţa pasivă a pământului, Pp, se manifestă atunci când elementul de infrastructură al construcţiei, sau de sprijin, are deplasări înspre masivul de pământ, astfel că elementul de fundaţie exercită o compresiune asupra pământului, pe suprafaţa de contact AB, fig.2.3. Rezistenţa pasivă se manifestă atunci când deplasarea elementului de sprijin este ’ = 0,01 H.

Mărimea forţei sub care are loc ruperea şi alunecarea prismului de pământ ABC, după suprafaţa BC, este egală cu rezistenţa maximă opusă de pământ şi reprezintă rezistenţa pasivă a pământului, Pp.

Pentru un pământ cu aceleaşi caracte-ristici fizico – mecanice, aceleaşi suprafeţe de sprijin, de aceeaşi înălţime şi de aceeaşi formă, cele trei acţiuni de împingere a pământului se află în următorul raport:

Pa Po Pp; (2.2)

2.2. METODA COULOMB PRIVIND CALCULUL ÎMPINGERII ACTIVE A PĂMÂNTULUI

11

Fig.2.1. Împingerea în stare de repaus

Fig.2.2. Împingerea activă

Fig.5.3. Rezistenţa pasivă

Teoria împingerii pământului elaborată de savantul francez C.A. Coulomb (1736 – 1806) în anul 1773, se poate aplica în cazul cel mai general, pentru orice înclinare a suprafeţei de sprijin şi orice formă a suprafeţei libere a terenului sprijinit, fig.5.4. Calculele sunt efectuate în cazul problemei plane, considerându-se o lungime de 1,00 m din zidul de sprijin. Pentru calculul împingerii active a pământului Coulomb a stabilit următoarele ipoteze simplificatoare:

- masivul de pământ este omogen şi lipsit de coeziune; - suprafaţa de alunecare AC este o suprafaţă plană şi trece întotdeauna prin partea inferioară a

suprafeţei de sprijin, punctul B;- la limita echilibrului, forţele care acţionează asupra prismului de pământ alunecător ABC, sunt

concurente, condiţie care nu este riguros îndeplinită.

Prisma de pământ, ABC, este delimitată de suprafaţa de sprijin AB, suprafaţa liberă a terenului AC şi de suprafaţa de alunecare BC care face cu orizontala unghiul . La limita echilibrului, asupra prismei de pământ acţionează următoarele forţe, considerate concurente:

- greutatea proprie G, care este cunoscută ca mărime cât şi ca punct de aplicaţie, în centrul de greutate al prismei de pământ ABC. Greutatea se calculează cu relaţia:

G = SABC 1; [kN] (2.3)- reacţiunea de pe suprafaţa de sprijin AB, a cărei valoare este egală cu mărimea împingerii active P a,

dar de sens contrar, fiind înclinată cu unghiul , faţă de normala la suprafaţa de sprijin AB; este unghiul de frecare perete – pământ, egal cu = ( ... );

- reacţiunea Q de pe suprafaţa de alunecare BC a cărei direcţie este înclinată cu unghiul , faţă de normală.

Forţa G este cunoscută ca mărime şi direcţie, iar forţele Pa şi Q numai ca direcţii.Cunoscând că la limita echilibrului forţele sunt concurente, înseamnă că triunghiul forţelor care se

construieşte trebuie să fie închis, fig.5.4b. Din această construcţie grafică se pot determina mărimile forţelor Pa şi Q. Tot în acest triunghi al forţelor se poate aplica teorema sinusurilor:

,

, (2.4)

în care: = - - .Pentru o soluţie constructivă cunoscută şi un anumit tip de pământ, mărimile H, , , şi sunt valori

constante, astfel că mărimea forţei de împingere activă Pa de înclinarea planului BC, deci de unghiul .

12

Fig.2.4. Teoria lui Coulomb privind împingerea pământului

După Coulomb, împingerea activă este aceea forţă care corespunde unui plan de înclinare , pentru care se obţine valoarea maximă a lui Pa. În acest scop, Coulomb a stabilit procedeul grafic, fig.5.5, care stabileşte planul de alunecareo pentru care se obţine valoarea maximă a împingerii active, Pa max. Pentru rezolvarea problemei, Coulomb consideră mai multe planuri de alunecare AC i, cunoscute ca urare a alegerii valorilor i. Pentru fiecare plan de alunecare ACi, astfel determinat, se calculează cu ajutorul triunghiului forţelor mărimile corespunzătoare ale împingerilor active, Pai. Aceste valori se reprezintă la scară, în dreptul punctelor Ci, pe o linie de referinţă orizontală. Unirea extremităţilor acestor segmente permite reprezentarea grafică a curbei de variaţie Pai = fcţ(i). Dacă la aceată curbă de variaţie se duce tangenta şi paralela la linia de referinţă, se obţine valoarea maximă a împingerii active a pământului Pa max, dar şi unghiul o

corespunzător planului de alunecare cel mai periculos.

2.3. METODA GRAFICĂ CULMANN

Metoda grafică Culmann are la bază teoria lui Coulomb, dar prezintă într-un mod mult mai simplu determinarea împingerii active maxime Pa max. Culmann, trasează planul limită de alunecare AN, înclinat cu unghiul faţă de orizontală, fig. 2.6. Suprafeţele de alunecare se pot forma numai în interiorul prismei ABN, deoarece planul AN reprezintă taluzul stabil al pământului a cărui unghi de frecare interioară este .

Se construieşte dreapta BD, dreapta directoare, care intersectează planul AN în punctul D, sub unghiul , egal cu unghiul din triunghiul forţelor, dintre forţele Gi şi Pai. În interiorul prismei ABN se aleg planurile de alunecare AC1, AC2, AC3, ..., etc, cărora le corespund prismele de pământ ABC1, ABC2, ABC3, ..., etc, şi pentru care se calculează greutăţile G1, G2, G3, ..., etc.

Aceste greutăţi se reprezintă vectorial, la scară, pe linia planului limită de alunecare AN, obţinându-se segmentele = G1, A2 =G2, A3 =G3, etc.

Din punctele 1,2,3, ..., se duc segmente paralele cu dreapta directoare până intersectează planurile de

13

AAFig.2.5. Determinarea împingerii active maxime. Metoda Coulomb

Fig.2.6. Determinarea împingerii active maxime. Metoda Culmann

alunecare corespunzătoare AC1, AC2, AC3, ..., în punctele 1’, 2’, 3’, ... .Din examinarea triunghiurile astfel obţinute A11’, A22’, etc., cu triunghiul forţelor anexat, se

observă că ele sunt congruente. Înseamnă că vectorul 11’ reprezintă mărimea împingerii active P a1, corespunzătoare planului de alunecare AC1 care formează cu orizontala unghiul 1. Rezultă că şi celelalte segmente , , etc., reprezintă mărimi ale împingerilor active Pai, care corespund planurilor de alunecare ACi, construite cu unghiurile i.

Prin unirea punctelor 1’, 2’, 3’, etc., se obţine curba de variaţie a împingerii active a pământului. Tangenta dusă la această curbă de variaţie şi paralelă cu planul AN, permite aflarea mărimii maxime a împingerii active. Unind baza suprafeţei de sprijin, punctul A, cu punctul de tangenţă T se obţine poziţia planului de alunecare cel mai periculos o.

2.4. METODA ANALITICĂ ŞI APLICAŢIA GRAFICĂ REBHAN

Metoda de calcul a împingerii pământului elaborată de Rebhan are la bazăipotezele lui Coulomb şi rezolvă analitic expresia împingerii stabilită de acesta, relaţia 5.4, anulând derivata de ordinul I în raport cu unghiul .

În acest mod, Rebhan stabileşte o condiţie geometrică privind poziţia planului de alunecare pentru care se obţine valoarea maximă a împingerii active Pa max.

Sunt cunoscute următoarele elemente: unghiul frecării interioare a pământului , unghiul frecării dintre pământ şi suprafaţa de sprijin , înălţimea H a suprafeţei de sprijin şi înclinarea sa faţă de verticală şi suprafaţa liberă a masivului sprijinit, reprezentată de linia BN, fig.2.7. Din punctul A se trasează planul limită de cedare AN, înclinat cu unghiul faţă de orizontală, şi dreapta directoare BD decalată cu unghiul = + , faţă de suprafaţa de sprijin AB. În interiorul prismei ABN se trasează suprafaţa de alunecare AC, înclinată cu unghiul faţă de orizontală, şi se construieşte triunghiul forţelor G, Pa, Q, aferent, fig. 2.7b.

Aplicând teorema sinusurilor, se obţine:

. (2.5)

Valoarea maximă a împingerii active a pământului, Pa max, se obţine prin anularea derivatei I-a, în raport cu :

(5.6)

rezultând:

. (2.7)

14

Fig.2.7. Metoda analitică Rebhan

Înlocuirea termenilor, din relaţia 2.7, cu elementele geometrice reprezentate grafic în fig. 5.7 permite stabilirea următoarelor concluzii:

- condiţia geometrică pentru stabilirea poziţiei planului de alunecare AC căruia îi corespunde valoarea maximă a împingerii active este:

SABC = SACM, (2.8)adică suprafaţa prismei alunecătoare ABC să fie egală cu suprafaţa triunghiului ACM, construit în fig. 2.7;

- atunci când condiţia 2.8 este îndeplinită, împingerea activă maximă a pământului se calculează cu relaţia 2.5, pe baza fig.2.7 şi devine:

; (2.9)

Relaţia 2.9 ne permite calculul împingerii active cu ajutorul aplicaţiei grafice a metodei analitice Rebhan, fig.2.8. În interiorul prismei de pământ ABN se aleg mai multe planuri de alunecare AC1, AC2, etc., iar din punctele C1, C2, ... Ci se duc dreptele parelele la dreapta directoare BD până se obţin punctele de intersecţie Mi, cu planul AN. Prin aceste construcţii grafice, la o scară convenabil aleasă, se obţin perechile de suprafeţe ABCi şi ACiMi corespunzătoare fiecărui plan de alunecare ACi ales.

După ce au fost calculate, suprafeţele ABCi şi ACiMi se reprezintă de asemenea la scară, pe planurile de alunecare aferente, sub forma segmentelor: este aria suprafeţei ABC1, iar este aria triunghiului AC1M1, etc. Prin unirea punctelor 1’, 2’,..., 4’ se obţine curba de variaţie a suprafeţei ABC i, iar prin unirea punctelor 1”, 2”,...,4”, se obţine curba de variaţie a suprafeţelor triunghiurilor ACiMi, fig.2.8.

În punctul de intersecţie I al celor două variaţii de suprafeţe este îndeplinită prima condiţie a lui Rebhan, adică Pa are valoarea maximă dacă SABC = SACM.

Planul de alunecare se obţine prin unirea piciorului suprafeţei de sprijin A cu punctul de intersecţie al curbelor I, şi prelungirea sa până la intersecţia cu suprafaţa liberă a masivului de pământ C. Din punctul C, astfel obţinut, se duce o paralelă la dreapta directoare şi se obţine segmentul =e, şi o perpendiculară pe planul AN, obţinându-se segmentul CM’=f. Cu mărimile e şi f astfel obţinute, se calculează acum valoarea maximă a împingerii active a pământului, prin aplicarea relaţiei 2.9, Pa max = e f/2.

2.5. COEFICIENŢII ÎMPINGERII ACTIVE ŞI REZISTENŢEI PASIVE

Pe baza relaţiei 2.9, stabilită prin metoda Rebhan, şi a fig.2.9 se exprimă geometric segmentele = f în funcţie de:

e = f1(H, , , , ),f = f2(H, , , , ) (2.10)

După înlocuirile efectuate pentru e şi f, expresia generală a forţei de împingere activă a pământului devine:

(2.11)

15

Fig.2.8. Aplicaţia grafică a metodei Rebhan

în care: Ka = f(, , , ), este coeficientul împingerii active a pământului şi are expresia

. (2.12)

În mod analog se obţine şi relaţia de calcul a rezistenţei pasive:

, (2.13)

unde: Kp coeficientul rezistenţei pasive, are următoarea expresie:

. (2.14)

La aplicarea relaţiilor 2.12 şi 2.14 de calcul a coeficienţilor K a şi Kp, unghiurile , şi au semnele precizate în fig.2.10.

Valorile coeficienţilor de împingere activă sunt subunitari, Ka 1, iar ale coeficienţilor rezistenţei pasive sunt supraunitari, Kp 1.

În cazul particular, = = = 0 din fig.5.11, suprafaţa de sprijin este verticală, suprafaţa liberă a terenului este orizontală iar frecarea dintre pământ şi suprafaţa de sprijin este nulă.

Se observă că dreapta directoare BD este decalată faţă de suprafaţa verticală de sprijin AB cu unghiul = , deci ea este perpendiculară pe planul AN şi în acest caz = 90o. Paralela dusă din punctul C, la dreapta directoare, este şi perpendiculară pe planul AN şi înseamnă cu M M’, deci rezultă că e = f, fig. 2.11.

Din condiţia de egalitate a suprafeţelor SABC = SACM, rezultă că AC este dreaptă comună, deci , deoarece planul AC este bisectoare a unghi- ului 900 - , pe care îl face supra- faţa de sprijin AB cu planul limită AN.Din triunghiul dreptunghic ACM se exprimă e şi f:

,

(5.15)Prin exprimarea forţei din împingerea pământului în funcţie

de relaţia 5.15 avem:

16

Fig.2.9. Determinarea coeficientului de împingere activă Ka

Fig.2.10. Convenţia de semne a unghiurilor , şi

Fig.2.11. Cazul particular = = = 0

, (5.16)

în care coeficientul împingerii active în cazul particular = = = 0 are forma:

. (2.17)

În mod similar coeficientul rezistenţei pasive are forma:

, (5.18)

iar rezistenţa pasivă se poate scrie sub forma:

(2.19)

2.6. PRESIUNEA DIN ÎMPINGEREA PĂMÂNTULUI

2.6.1. Diagrama de presiune din împingerea dată de pământ

În calculele inginereşti de geotehnică este necesară cunoaşterea nu numai a forţei de împingere a pământului ci şi de modul său de distribuţie asupra elementului de sprijin şi punctul de aplicaţie al acesteia. Aceste aspecte pot fi determinate atunci când se cunoaşte diagrama de variaţie a presiunii dată de împingerea pământului asupra elementului de sprijin.

Pentru rezolvarea teoretică a acestor aspecte se consideră o suprafaţa de sprijin AB, cu înălţimea H, care suportă acţiunea de împingere a unui masiv de pământ omogen cu caracteristicile geotehnice cunoscute, fig.2.12.

Mărimea împingerii active a pământului pentru o înălţime z, se calculează cu relaţia 5.11, astfel că avem:

, (2.20)

iar pentru înălţimea z + dz, avem:

(2.21)

Se constată că variaţia forţei de împingere este o variaţie de tip parabolic, pe înălţimea de sprijin AB. Presiunea din împingerea pământului pentru elemental diferenţial se poate exprima sub forma:

,

(2.22)rezultând că presiunea este derivata forţei de împingere.Prin derivarea expresiei 2.20 se obţine presiunea din împingerea pământului la nivelul de adâncime z:

. (2.23)

Analizând expresia 2.23, se observă că presiunea din împingerea pământului are o variaţie liniară pe înălţimea suprafeţei de sprijin, astfel că diagrama de presiuni este reprezentată printr-un triunghi, fig.2.12b.

Mărimea împingerii pământului, ca forţă, se calculează prin determinarea ariei diagramei de presiuni, iar punctul său de aplicaţie este centrul de greutate al diagramei de presiuni. În cazul prezentat anterior, punctul de aplicaţie este situat la înălţimea de 1/3H, măsurată de la baza diagramei de presiuni, fig. 2.12b.

Direcţia de acţiune a împingerii pământului asupra elementului de sprijin se va lua în calcul în concordanţă cu unghiurile şi .

5.6.2. Diagrama de presiune din împingerea dată de pământ şi o sarcină uniform distribuită

17

z

dz

P

Fig.2.12. Diagrama de variaţie a împingerii şi a presiunii

Atunci când pe suprafaţa liberă a masivului de pământ acţionează o încărcare uniform distribuită q, aceasta se transformă într-un strat de pământ, cu aceleaşi caracteristici ca şi a stratului din spatele elementului de sprijin, a cărui grosime “i” să producă acelaşi efect ca şi sarcina q. Această echivalare de forţe este necesară pentru a se putea aplica schema de calcul prezentată în cazul terenului omogen, fig.2.13. Echi-valarea celor două situaţii de încărcare este dată de egalitatea

q = i, (2.24)

de unde se exprimă înălţimea stratului de pământ i echivalent al încărcării q:i = q / . (2.25)

Această echivalare fictivă consideră că pe înălţimea de calcul H+i se găseşte un strat de pământ omogen, cu greutatea volumică şi coeficientul împingerii active Ka .

În această situaţie de calcul, diagrama de presiune din împingerea pământului este o diagramă triunghiulară.

La partea superioară a elementului de sprijin, punctul B, valoarea presiuniieste:

pB = i Ka = q Ka. (2.26) iar pentru partea inferioară, punctul A, avem:

pA = (H+i) Ka = H Ka + i Ka; (2.27)

Din diagrama totală de presiune, triunghiul abc, asupra elementului de sprijin AB acţionează în realitate numai presiunea corespunzătoare înălţimii H, adică trapezul adeb.

Din relaţiile 2.16, 2.27 şi fig.2.13 se observă că diagrama de presiune generată de sarcina uniform distribuită q este numai suprafaţa dreptunghiului afed. Presiunea reprezentată de triunghiul efb este cea aferentă pământului aflat în spatele suprafeţei de sprijin. Mărimea împingerii în acest caz se determină prin calculul ariei trapezului DEAB.

.(2.28)

2.6.3. Diagrama de presiune din împingerea dată de straturi diferite de pământ

Atunci când masivul din spatele elementului de sprijin este format din straturi de pământ cu caracteristici geotehnice diferite, fig.2.14, diagrama de presiuni pentru primul strat, de înălţime h1 şi caracteristici 1 şi 1, se determină în mod obişnuit conform paragrafului 2.6.1. Diagrama de presiuni din împingerea pământului are o variaţie liniară cu adâncimea, cu valoarea zero la nivelul liber al terenului şi cu ordonata p1 la baza primului strat, fig.2.14:

p1 = 1 h1 Ka1, (2.29)în care: Ka1 = f(, 1, 1), este coeficientul împingerii active.

Diagrama de presiuni aferentă primului strat are formă triunghiulară, notată cu a b c în fig.2.14.Pentru trasarea diagramei de presiuni exercitate de stratul al doilea asupra elementului de sprijin este

obligatorie existenţa unui strat de pământ omogen în spatele acestuia. Pentru rezolvarea acestui neajuns se consideră primul strat ca fiind o suprasarcină pentru cel de-al doilea strat şi se înlocuieşte cu un strat echivalent de greutate volumică 2, dar care să exercite aceeaşi presiune verticală. Din condiţia de egalitate a presiunilor geologice la nivelul superior al stratului doi se obţine înălţimea echivalentă a stratului înlocuitor:

2 h1e = 1 h1 sau h1e = 1/2 h1, (2.30)

18

Fig.2.13. Diagrama de presiune din pământ şi sarcina q

Prin această echivalenţă va exista un singur tip de pământ omogen în spatele elementului de sprijin, pe înălţimea h2 + h1e, şi cu caracteristicile 2 şi 2. Diagrama de presiuni este reprezentată tot de un triunghi, ale cărui presiuni la partea superioară şi la baza stratului doi sunt:

, (2.31)

în care: Ka2 = f(, 2, 2), este coeficientul împingerii active pentru stratul al doilea de pământ.Din această diagramă triunghiulară se va lua în considerare numai porţiunea corespunzătoare

înălţimii h2 de formă trapezoidală d c e f. Prin reprezentarea celor două diagrame de presiune, suprapuse, se obţine diagrama de presiune rezultantă care are valori diferite ale presiunii din împingere în dreptul liniei de separare dintre cele două straturi.

Mărimile forţei de împingere Pa1 şi Pa2 se stabilesc prin calculul ariilor diagramelor de presiune aferente straturilor de pământ, aria triunghiului a b c şi a trapezului d c f e, cu punctele de aplicaţie ale forţelor Pai în dreptul centrelor de greutate ale diagramelor de presiuni aferente.

2.7. ÎMPINGEREA ACTIVĂ ŞI PASIVĂ ASUPRA ZIDURILOR DE SPRIJIN. APLICAŢII – STUDII DE CAZ

În general, metodele care sunt adoptate pentru determinarea împingerii pământurilor se bazează pe una din cele două teorii clasice şi anume, teoria lui coulomb şi teoria lui rankine. O atenţie deosebită trebuie însă acordată ipotezelor admise în cadrul acestor teorii, cât şi limitelor pe care acestea le impun în aplicarea lor. Ca şi în capitolele anterioare, simbolul reprezintă greutatea pe unitatea de volum, adică masa volumetrică (sau densitatea volumetrică) înmulţită cu 9,81.

2.1. Un zid de sprijin a cărui faţă posterioară verticală are 8 m înălţime, susţine un pământ necoeziv, cu densitatea de 1,75 t/m3 şi unghiul de frecare interioară = 300. Suprafaţa pământului este orizontală. Să se găsească mărimea şi direcţia împingerii laterale pe metru liniar de zid:

a) cu ajutorul teoriei lui Rankine;b) cu ajutorul teoriei lui Rankine modificată, pentru a ţine seama de frecarea care apare în zid (se

presupune că unghiul de frecare este = 200).

Rezolvare:

a) Pentru condiţiile date în problemă – zid vertical şi suprafaţa rambleului (pământului) orizontală - , teoria lui Rankine neglijează frecarea dintre pământ şi faţa posterioară a zidului.

Coeficientul împingerii active Ka al pământurilor este egal cu raportul dintre tensiunile principale. Conform cercului lui Mohr, acest raport devine:

(2.32)

de unde rezultă:

19

H

B

A

Pa1

Pa2

h1

h2

p1

pA

h1e

pA

p’1

p1p’1

e f

d c

a b

c

2

1

Fig.2.14. Diagrama de presiune pentru două straturi de pământ

Împingerea activă a zidului este deci:

(2.33)

în care este greutatea specifică (greutatea pe unitatea de volum):

= 1,75 9,81 = 17,17 kN/m3

Înlocuind în relaţia (5.33) a împingerii active, se obţine:

Pa = 183 kN/m.l. acţionând orizontal

b) Se poate ţine seama de frecarea care apare în zidul de sprijin în următorul mod:Se înmulţeşte împingerea activă obţinută din relaţia lui Rankine cu un coeficient empiric care

variază între 0,90 pentru = 150 şi 0,80 pentru = 300, pentru a obţine componenta orizontală a împingerii rezultante. Totodată:

(2.34)

Prin interpolare, se obţine că = 0,87 pentru = 200 (cos = 0,94) şi prin urmare, avem:

Împingerea activă acţionează în jos şi este înclinată cu 200 în raport cu normala la zid, deoarece acest unghi este presupus ca fiind unghi de frecare.

2.2. Un zid de sprijin cu înălţimea de 9,5 m susţine un pământ necoeziv, a cărui suprafaţă se extinde după un taluz înclinat cu 150 faţă de orizontală. Densitatea pământului este de 1,9 t/m3 şi = 320. Să se găsească împingerea activă pe m.l. de zid utilizând metoda lui Rankine.

Rezolvare:

Teoria lui Rankine presupune că împingerea activă rezultantă acţionează asupra zidului paralel cu suprafaţa pământului. Valoarea împingerii active depinde de raportul tensiunilor conjugate reprezentate în fig.5.15, în care s-a notat cu pr rezultanta în plan vertical şi cu ( z cos ) tensiunea verticală într-un plan paralel cu suprafaţa pământului.

20

Pentru a găsi raportul între tensiunile conjugate se trasează un cerc de rază oarecare şi o tangentă la cerc, înclinată cu 320 în raport cu diametrul acestuia OP1. Se trasează dreptele OV şi OQ înclinate la 150

deasupra, respectiv sub axă (diametrul OP1); aceste drepte reprezintă de fapt tensiunile ( z cos ) şi pr. Prin urmare, OQ / OV este raportul tensiunilor conjugate şi prin citire directă se stabileşte că acesta este de 0,35.

Greutatea specifică a pământului respectiv (greutatea pe unitatea de volum) este:

= 1,9 9,81 = 18,64 kN/m3

La baza zidului tensiunea OV este:

18,64 9,5 cos 150 = 171 kN/m2

Prin urmare, tensiunea ce acţionează asupra zidului de sprijin la acest nivel este:171 0,35 = 60 kN/m2

obţinută înmulţind tensiunea verticală la baza zidului, ce acţionează pe un plan înclinat cu 15 0 faţă de orizontală, cu raportul dintre tensiunile conjugate. Împingerea activă asupra zidului, pe metru de lungime, se obţine înmulţind presiunea cu înălţimea.

Împingerea asupra zidului va fi:

Împingerea activă astfel calculată, acţionează paralel cu suprafaţa.

2.3. Un zid de sprijin înalt de 8 m are suprafaţa posterioară verticală. Densitatea părţii superioare a rambleului cu înălţimea de 3 m, este de 1,75 t/m3 şi unghiul de frecare 300; pentru următorii 5 m de rambleu, valorile sunt 1,85 t/m3 şi respectiv 350. Pe suprafaţa orizontală a rambleului acţionează o suprasarcină echivalentă de 1,2 t/m2, uniform distribuită. Să se găsească amplitudinea şi punctul de aplicare a împingerii active asupra zidului de sprijin pe metru liniar:

a) dacă rambleul este bine drenat;b) dacă rambleul este nedrenat, fiind saturat în urma unei intemperii atmosferice. Se presupune că

densităţile în stare saturată a celor două straturi sunt 1,9 t/m3 şi respectiv 2,0 t/m3.

Rezolvare:

Pentru cei 3 m superiori, Ka = 0,33 la fel ca şi în problema 5.1; pentru partea inferioară:

(2.35)

Greutăţile specifice, , ale celor două strate sunt:

1 = 1,75 9,81 = 17,15 kN/m3

şi respectiv:

21

Fig.5.15. Împingerea activă dată de tensiuni conjugate

2 = 1,85 9,81 = 18,12 kN/m3

Datorită suprasarcinii, presiunea la o adâncime oarecare este mărită cu:

1,2 9,81 Ka = 11,8 0,33 = 3,9 kN/m2

pentru stratul superior şi cu:

1,2 9,81 Ka = 11,8 0,27 = 3,2 kN/m2

pentru stratul inferior.

a) Presiunea corespunzătoare rambleului pe o adâncime de 3 m este:

0,33 17,18 3 = 17,2 kN/m2

Presiunea suplimentară corespunzătoare celor 5 m de rambleu de la partea inferioară este:0,27 18,12 5 = 24,5 kN/m2

Împingerea totală este dată de aria diagramei de repartizare a presiunilor.Calculele sunt prezentate sub formă tabelară, tabelul 5.16.a.Astfel se obţine diagrama de distribuţie a presiunilor 3 reprezentată în fig.5.16.a şi tabelul 5.1.

Tabelul 2.1.Date de calcul ale presiunii active

Nr.Suprafaţa diagramei presiunii Înălţimea centrului de greutate deasupra

bazei, [m]Momentul în raport

cu baza1

2

3

4

5

3,9 3 = 11,7

3,2 5 = 16,0

17,2 5 = 86,0

200,8

6,5

6,0

2,5

2,5

1,67

76155

40

215

102

588

Din tabel rezultă că amplitudinea împingerii active este de 201 kN/m.l. şi acţionează la o înălţime de:

22

Fig.2.16.b. Diagrame de repartizare a presiunii

Fig.2.16.a. Diagrama de distribuţie a presiunilor

deasupra bazei.b) Dacă rambleul este nedrenat, saturat, greutăţile specifice aparente în stare umedă devin:

(1,9 – 1) 9,81 = 8,83 kN/m3

şi respectiv, 9,81 kN/m3. Presiunile active corespunzătoare sunt:

- pe cei 3 m ai stratului superior:0,33 8,33 3 = 8,8 kN/m3

- pe cei 5 m ai stratului inferior:0,27 8,81 5 = 13,2 kN/m3

În plus, există o presiune hidrostatică ce variază de la 0 la partea superioară, până la o valoare, la bază, egală cu:

1,0 8,81 8 = 78,5 kN/m3

Diagramele de repartizare a presiunii sunt reprezentate în fig.2.1.b.În tabelul 2.2. sunt date rezultatele obţinute.

Tabelul 2.2.Suprafeţele diagramei de presiune

Nr. Suprafaţa diagramei presiunii

1

2

3

4

5

6(hidrostatică)

3,9 3 = 11,7

3,2 5 = 16,0

8,8 5 = 44,0

117,9

431,9

23

Din tabel rezultă că împingerile pe metru liniar de zid sunt de 118 kN pentru împingerea dată de pământ şi de 314 kN în cazul presiunii hidrostatice, adică o împingere totală de 432 kN.

Înălţimea punctului de aplicare a acestei împingeri poate fi obţinut ca în cazul precedent, luând în considerare momentele, însă datorită faptului că presiunea hidrostatică este predominantă, împingerea rezultantă se va aplica într-un punct foarte aproape de o treime din înălţime, faţă de bază.

2.4. Rambleul situat în spatele unui zid de sprijin are profilul reprezentat în fig.2.17. Caracteristicile rambleului lipsit de coeziune, sunt: densitatea 1,75 t/m3; = 300; = 200. Să se găsească valoarea împingerii active pe metru liniar.

Rezolvare:

Metoda care se pretează cel mai bine în cazul acestei probleme este procedeul grafic, utilizându-se prismele de pământ, deoarece suprafaţa este neregulată şi nici una din metodele teoretice clasice de calcul nu se poate aplica.

Vom încerca mai multe plane de rupere B1, B2, …, aşa cum este reprezentat în fig.2.17.Forţele care acţionează pe fiecare prismă sunt:

- greutatea W = suprafaţa x 1,75 x 9,81;- reacţiunea R pe planul de rupere, acţionând după unghiul în raport cu normala la plan;- împingerea activă pe zid, Pa, care acţionează după unghiul în raport cu normala la zid.

Se cunosc direcţiile celor 3 forţe ce acţionează asupra fiecărei prisme şi se poate determina astfel mărimea W. Pentru fiecare prismă se va putea trasa triunghiul forţelor; acest procedeu permite determinarea grafică a împingerii, fig.2.17.B. Stabilindu-se grafic valorile lui Pa pentru toate prismele studiate, se poate găsi în final valoarea maximă a împingerii active cerută de problemă. Rezultatele sunt prezentate în tabelul 2.3.

Tabelul 2.3.Valorile maxime ale împingerii active

PRISMAARIA PRISMEI

[m2]Vectorul împingerii (măsurat pe triunghiul forţelor la

scara diagramei)AB1 14,00 9,3

24

Fig.2.17. Plane de rupere ale rocilor din spatele zidului de srpijin

AB2AB3AB4

28,0045,2562,50

13,214,811,7

Pentru a transforma suprafeţele şi modulele vectorilor împingerii, înscrise în tabel, în forţe, acestea se vor înmulţi cu , adică: 1,75 9,8 = 17,17.

Vectorul maxim măsurat este de 14,8 m2, ceea ce reprezintă o împingere Pa pe m.l. de zid egală cu:

Pa = 14,8 17,17 = 254 kN/m.l.

2.5. Un zid de sprijin are suprafaţa posterioară verticală şi înălţimea acesteia de 8 m. Solul este constituit din lut nisipos cu densitatea de 1,75 t/m3, coeziunea de 13 kN/m2 şi = 200. Neglijând efectul frecării pe zid să se determine împingerea activă asupra acestuia. Suprafaţa superioară a rambleului este orizontală.

Rezolvare:

Deoarece materialul nu este lipsit de coeziune, presiunea asupra zidului, la adâncimea z este dată de relaţia:

(2.36)

unde:

(2.37)

şi:

Greutatea specifică este: = 1,75 9,81 = 17,17 kN/m3

Întrucât adâncimea z este mică, expresia împingerii active este negativă datorită efectului coeziunii. Teoretic, aceasta semnifică faptul că pentru o anumită adâncime – numită adâncime critică - solul este într-o stare de tensiune sau că el are tendinţa să se autosusţină şi să se desprindă de zid.

În vârf, z = 0 şi prin urmare:

Semnul minus indică starea de tensiune. La bază, z = 8 m şi împingerea activă este:

Repartizarea presiunii este reprezentată în fig.5.18.a. În continuare, se determină adâncimea critică zc, începând de la care expresia de mai sus indică o tensiune care face ca pa = 0, adică:

25

(2.38)

Teoretic, suprafaţa triunghiului superior situat în stânga axei presiunilor, reprezintă o forţă de tracţiune care ar trebui să fie scăzută din forţa de compresiune ce se exercită la partea inferioară a zidului, pentru a obţine împingerea rezultantă. Deoarece această tracţiune nu poate fi aplicată fizic între pământ şi zidul de sprijin, forţa de tracţiune nu este luată în considerare

Din suprafaţa triunghiului presiunii se stabileşte împingerea totală asupra zidului:

Această problemă se poate rezolva şi grafic, cu ajutorul cercului lui Mohr, fig.5.18.b.

Se trasează segmentul vertical OL care este egal cu coeziunea, adică 13 kN/m 2 şi o dreaptă QL ce face un unghi de 200 cu orizontala (unghiul de frecare interioară).

Se determină segmentul OP1 egal cu presiunea stratelor acoperitoare, la adâncimea de 8 m:

OP1 = 17,17 8 = 137,2 kN/m2

Se trasează un cerc care trece prin P1 şi este tangent la dreapta QL. Atunci, OP3 reprezintă împingerea orizontală la adâncimea de 8 m şi este egală cu 49,0 kN/m 2. Acest rezultat este în concordanţă cu valoarea calculată.

Pentru a găsi adâncimea critică se trasează un alt cerc care trece prin O şi este tangent la dreapta QL. În acest caz, OA corespunde adâncimii la care pa este nulă. Prin măsurare direct pe figură, se obţine că OA = 37,2. Prin urmare:

2.6. Să se determine împingerea rezultantă asupra zidului de sprijin din problema 7.5 în cazul în care drenurile sunt obturate şi apa se acumulează în spatele zidului, până când nivelul acesteia atinge 3 m (deasupra bazei zidului), fig. 2.19.

Rezolvare:

În majoritatea problemelor prezentate anterior, pământul situat în spatele zidului era presupus uniform pe toată adâncimea. Dacă există o neuniformitate provocată de strate variabile sau de prezenţa apei, nu se mai poate presupune o simplă distribuţie triunghiulară a presiunilor şi astfel problema devine mult mai complexă.

26

Fig.2.18. Reprezentarea grafică a presiunii active

Sub nivelul apei, împingerea activă a stratelor este diminuată, deoarece pământul acţionează cu densitatea sa apreciabilă, dar din sens opus se exercită o împingere hidrostatică.

De la suprafaţă până la adâncimea de 5 m, condiţiile sunt aceleaşi ca şi în problema 2.5. Împingerea se exercită asupra zidului la 5 m adâncime, ţinând seama de starea de tensiune care există deasupra adâncimii critice:

0,49 17,17 (5 – 2,16) = 23,8 kN/m2

Sub adâncimea de 5 m, pământul acţionează prin densitatea sa nedeterminată (necunoscută). Se va presupune că densitatea dată de 1,75 t/m3 este cea corespunzătoare pământului în stare umedă, dar nu complet saturat. Sub nivelul apei, pământul este complet saturat şi probabil, densitatea sa creşte cu 10 – 15 %. Presupunem că densitatea este de 2,0 t/m3. Densitatea necunoscută va fi atunci egală cu (2 – 1) = 1 t/m3, ceea ce corespunde unei greutăţi specifice de 9,81 kN/m3.

Presiunea care trebuie adăugată valorii de 23,8 kN/m2 este de (0,49 9,81) pentru fiecare metru de adâncime. La baza zidului de sprijin presiunea totală este:

23,8 + 0,49 9,81 3 = 38,2 kN/m2

Presiunea hidrostatică la bază, pentru o înălţime a nivelului apei de 3 m, este:

9,81 3 = 29,43 kN/m2

În fig.2.19 este reprezentată diagrama de repartizare a presiunilor. Suprafaţa acesteia va fi împingerea totală asupra zidului de sprijin. Ca şi în exemplul anterior, suprafaţa triunghiulară situată în stânga axei diagramei presiunilor reprezintă o tracţiune şi în consecinţă, nu trebuie luată în considerare.

Într-o distribuţie triunghiulară normală a presiunilor, împingerea totală acţionează la o treime din înălţime. Într-o distribuţie cum este cea din această problemă, trebuie să se ia momentele fiecărei suprafeţe în raport cu baza zidului şi să se determine centrul de greutate al ansamblului, tabelul 2.4.

Tabelul 2.4.Elementele geometrice ale împingerii totale

Nr.Suprafaţa diagramei presiunii

[kN]Înălţimea centrului de

greutate[m]

Momentul suprafeţei în raport cu baza zidului

1 3,95 133,5

27

1

2 33 m

2,84 m

2,16 m

18,2

23,6 14,4 29,4

Fig.2.19. Diagrama de repartizare a presiunilor

2

3

23,8 3 = 71,4

170,8

1,50

1,00

107,1

65,6

306,2

Înălţimea centrului de greutate deasupra bazei este:

Împingerea totală are valoarea de 171 kN/m.l. de zid şi acţionează la o distanţă de 1,8 m deasupra bazei.

2.7. Un zid de sprijin înalt de 9 m susţine un rambleu de argilă nefisurată, a cărei densitate este de 1,9 t/m3, coeziunea c = 28,5 kN/m2 şi = 00. Să se determine împingerea activă pe m.l. de zid, presupunând că pentru suprafaţa posterioară a zidului coeziunea este 2/3 din coeziunea argilei.

Rezolvare:

Întrucât = 0, presiunea pa la adâncimea z, neglijându-se coeziunea zidului, este dată de relaţia:

(2.39)

Se poate arăta că, dacă se ţine seama de coeziunea cz corespunzătoare zidului, expresia (5.39) devine:

(2.40)

Pentru a stabili adâncimea critică zc, expresia lui pa se egalează cu zero, pa = 0 şi z = zc. Se obţine că:

(2.41)

La adâncimea de 9 m:

Neglijându-se tracţiunea deasupra adâncimii critice, la fel ca şi la celelalte două probleme precedente, împingerea va fi:

2.8. Un zid de sprijin înalt de 10 m, cu suprafaţa posterioară verticală, susţine un pământ coeziv cu densitatea aparentă 1,9 t/m3, coeziunea 15 kN/m2 şi unghiul de frecare interioară 150. Să se determine împingerea activă pe m.l. de zid, ţinând seama de frecare şi de coeziunea pe suprafaţa posterioară a zidului. Valorile frecării şi coeziunii zidului pot fi presupuse identice cu ale pământului.

28

Rezolvare:

În acest caz, metoda adecvată de rezolvare este a prismelor de analiză, datorită complexităţii sistemelor de forţe. Analizăm planele de rupere B1, B2, B3, etc. Cum pământul este coeziv, se presupune că ariile prismelor sunt diminuate de fisurile de tracţiune, adâncimea critică fiind:

(2.42)

unde:

şi:

Prin urmare, vom avea:

Forţele ce acţionează pe fiecare prismă sunt:

1. greutatea prismei: W = suprafaţa x 18,64;2. forţa de coeziune pe zid: CW = 15 (10 – 2,1) = 118 pentru fiecare prismă;3. forţa de coeziune pe planul de rupere: C = 15 x lungimea;4. reacţiunea R pe plan, acţionând după unghiul în raport cu normala;5. împingerea activă Pa asupra zidului, care acţionează după unghiul în raport cu normala la zid (aici s-a presupus că = ).

Amplitudinile şi direcţiile forţelor de la punctele 1, 2 şi 3 sunt cunoscute; de asemenea, se cunosc direcţiile de acţionare a forţelor de la punctele 4 şi 5. Astfel, se poate construi poligonul forţelor şi se poate măsura Pa, fig.5.20. Scopul este de a găsi cea mai mare valoare a lui P a care reprezintă împingerea activă, înainte de a fi utilizată pentru calculul zidului.

Valorile pentru cele trei prisme de analiză sunt date în tabelul 5.5.

29

Fig.2.20. Poligonul forţelor

Tabelul 2.5.Elementele geometrice ale prismelor ce generează presiunea activă

Prisma Suprafaţa[m2]

Greutatea W, [kN]

Lungimea L, [m]

Forţa de coeziune pe plan

C = c L, [kN]

Împingerea activă Pa, [kN]

(din diagramă)AB1AB2AB3

24,239,354,5

4507321014

8,810,211,9

132153179

140220215

Pentru o mai bună înţelegere, în fig.5.20.b a fost reprezentat numai un poligon al forţelor şi anume cel corespunzător prismei AB2. Din curba care uneşte extremităţile vectorului Pa se determină valoarea maximă a împingerii active, care este de aproximativ 225 kN/m.l. zid.

Vom prezenta în continuare, pentru acest exemplu de problemă, o altă metodă de rezolvare şi anume, utilizând coeficienţii din tabelele date în lucrarea “Civil Engineering Code of Practice”, nr.2 (1951): Earth Retaining Structures.

Din aceste tabele se obţine că pentru = = 150, avem:

K = 0,50 şi KAC = 1,85

Presiunea orizontală pa se determină din ecuaţia:

(2.43)

La baza zidului:

Pa = 18,64 10 0,50 – 15 1,85 = 93,2 – 27,75Pa = 64,45 kN/m2

Adâncimea critică se determină din ecuaţia:

18,64 zc 0,50 = 27,7

de unde rezultă că:zc = 2,98 3 m

Înălţimea zidului supusă presiunii este:H – zc = 10 – 3 = 7 m

Componenta orizontală a împingerii va fi:

Împingerea activă reală (acţionând la 150 în raport cu normala) este:

2.9. Baza suprafeţei din faţă a unui zid de sprijin este situată la 3 m sub nivelul pământului. Componenta orizontală a împingerii active asupra zidului este de 226 kN/m.l. şi componenta verticală a sarcinii de la bază este de 423 kN/m.l. Pământul este necoeziv şi posedă o densitate de 1,75 t/m3, unghiul de frecare interioară fiind = 270. Să se determine împingerea pasivă exercitată pe suprafaţa din faţă a zidului, neglijându-se frecarea pe zid. Să se determine factorul de siguranţă în raport cu deplasarea în faţă a zidului, ţinând seama de rezistenţa de alunecare la baza zidului (unghiul de frecare este de 200).

Rezolvare:

30

Utilizând teoria lui Rankine pentru împingerea pasivă, avem:

(2.44)

Împingerea pasivă pe m.l. este:

(2.45)

Rezistenţa totală la alunecare = împingerea pasivă la baza zidului + frecarea la baza zidului:= 206 + 423 tg 200 = 360 kN/m.l.

Factorul de siguranţă în raport cu alunecarea este:

2.10. Taluzul marginii de pământ a unui zid de sprijin cu înălţimea de 9,5 m are panta de 4:1 (vertical : orizontal). Pământul este coeziv şi are următoarele proprietăţi: densitatea 1,9 t/m 3; = 100; coeziunea 24 kN/m2; unghiul de frecare dintre pământ şi zid este de 100. Să se determine împingerea pasivă la deplasarea zidului spre rambleu.

Rezolvare:

Într-un pământ coeziv, suprafaţa de rupere care se produce când împingerea pasivă este depăşită, nu este plană. Fig.2.21.a redă o suprafaţă de alunecare de analiză, în care BZ este presupus a fi un arc de cerc cu raza de 8,5 m şi ZD un plan care face unghiul 450 - / 2 = 400

cu orizontala.Problema va fi tratată în trei etape:

a) Determinarea rezistenţei de deplasare a prismei YZD;b) Determinarea rezistenţei Pa aplicată la tot blocul ABZD şi care corespunde coeziunii de-a lungul suprafeţei de alunecare şi de-a lungul suprafeţei posterioare a zidului;c) Determinarea rezistenţei PW datorată greutăţii blocului.

31

a) Forţa pasivă totală care se exercită pe YZ ce măsoară 7,5 m, este:

(2.46)

şi acţionează la o treime din înălţime.

şi acţionează la mijlocul înălţimii, deoarece presiunea datorată coeziunii este uniformă.În continuare, vom studia echilibrul porţiunii ABZY.

b) Forţele de coeziune sunt:

- pe curba BZ:

C = C LUNGIMEA DREPTEI BZ

C = 24 5,8 = 139 kN

- pe zidul de sprijin:CW = c AB = 24 9,8 = 235 kN

32

Fig.2.21. Împingerea activă şi pasivă într-un taluz. Diagramele forţelor

1. Forţa C acţionează paralel cu coarda BZ, la o distanţă “a” de punctul O, adică:

c coarda BZ a = c arc BZ raza

de unde se obţine distanţa “a” ca fiind:

2. Se trasează o dreaptă paralelă cu BZ la distanţa de 8,7 m faţă de punctul O, care reprezintă linia de acţiune a forţei C.

3. Se determină rezultanta CR dintre C şi CW cu ajutorul triunghiului forţelor, fig.5.21.b şi se trece direcţia sa pe diagrama prismei.

4. Se adaugă Ec pe diagrama forţelor pentru a obţine rezultanta Sc.5. Împingerea Pc asupra peretelui, corespunzătoare coeziunii, acţionează la mijlocul înălţimii şi este

înclinată cu 100 în raport cu normala. Această dreaptă intersectează Sc în Q. 6. Trasăm cercul lui de centru O şi rază:

R sin = 8,5 sin 100 = 1,48

Rezultanta Rc a tuturor forţelor trebuie să fie tangentă la acest cerc şi trece prin Q.7. Trasăm Rc pe diagrama forţelor, paralel cu direcţia deja găsită şi se măsoară Pc, care este egal cu

630 kN.

c) Dacă se ţine seama de greutate şi se neglijează coeziunea, se obţin forţele reprezentate în fig.2.21.c. Determinăm aria suprafeţei ABZY şi poziţia centrului său de greutate. Această arie este de 59,7 m2 şi greutatea:

W = 59,7 1,9 9,81 = 1110 KN

Compunând greutatea W cu Ec, care a fost stabilită prin calcul ca fiind egală cu Ec = 744 kN, se obţine rezultanta SW, după care vom căuta punctul de intersecţie dintre SW şi PW (precizăm că EW şi PW

acţionează amândouă la o treime din înălţimile respective, faţă de bază). Rezultanta RW trece prin acest punct şi este tangentă la cercul frecării interioare . Se completează diagrama forţelor, fig.2.21.d şi se măsoară PW, PW = 1310 kN.

Rezistenţa pasivă totală este:

Pc + PW = 630 + 1310 = 1940 kN/m.l. zid

Această valoare reprezintă rezistenţa pasivă doar pentru o suprafaţă de alunecare particulară, presupusă. Pentru a obţine rezistenţa maximă este necesar să se studieze mai multe suprafeţe de alunecare. Practic, uneori, un studiu ca cel prezentat aici oferă indicaţii acceptabile referitoare la rezistenţa pasivă previzibilă.

2.11. Un batardou constituit dintr-o perdea de palplanşe neancorate susţine un pământ până la o înălţime de 6,6 m. Pământul este uniform şi prezintă un unghi de frecare interioară de 300. Să se determine adâncimea până la care trebuie înfipte şi fixate palplanşele, presupunând că teoretic 2 / 3 din rezistenţa pasivă sunt exercitate pe adâncimea respectivă (de încastrare).

Rezolvare:

Fie H înălţimea totală a palplanşelor şi de înălţimea încastrată în pământ.Coeficienţii împingerii active şi pasive ai pământului sunt:

- împingerea activă, fig. 2.22, va fi:

33

- împingerea pasivă va fi:

(teoretic)

Valoarea lui Kp exercitată este de 2 / 3 din ultima mărime calculată şi este egală cu .

Împingerile activă şi pasivă la baza perdelei de palplanşe sunt:

- împingerea activă

- împingerea pasivă

Împingerile active şi pasive totale sunt:

(2.47)

Forţele Pa şi Pp sunt echilibrate de rezistenţa pasivă ce acţionează foarte aproape de baza palplanşelor şi se presupune că această rezistenţă R acţionează sub forma unei forţe repartizată liniar de-a lungul bazei.

Scriind momentele în raport cu B şi eliminând pe , se obţine:

de unde:

(2.48)

Dar:

H = D + 6,61

Şi prin urmare, înlocuind pe H în relaţia (2.17), obţinem:

34

Fig.2.22. Diagramele presiunii active şi pasive

care este chiar adâncimea până la care trebuie să fie încastrate palplanşele.

2.12. O reţea de palplanşe ancorate are forma reprezentată în fig.2.23. Pământul este lipsit de coeziune, având densitatea de 1,9 t/m3 şi unghiul de frecare interioară = 300. Să se determine fracţiunea din rezistenţa pasivă maximă teoretică ce acţionează pe adâncimea încastrată BC care trebuie să fie mobilizată pentru a exista echilibru. Se va utiliza metoda numită susţinerea pământurilor libere. Să se determine forţa care acţionează pe una din ancore, presupunând că distanţa pe orizontală dintre ancore este de 2,5 m.

Rezolvare:

Prima parte a problemei poate fi rezolvată fără a utiliza valoarea densităţii pământului, însă pentru a doua parte este necesară şi această mărime. Soluţia o vom obţine foarte uşor dacă se calculează forţele activă şi pasivă. Coeficientul K a al împingerii active a pământului este 1/3, la fel ca şi la problema 2.9, iar împingerea activă va fi:

Împingerea activă acţionează la o distanţă de 9,6 / 3 = 3,2 m faţă de bază.Fie Pp forţa pasivă rezultantă care acţionează la distanţa de 3,6/3 = 1,2 m faţă de bază. Scriind

momentele în raport cu punctul de ancorare A, vom avea:

Pentru = 300 valoarea maximă a coeficientului împingerii pasive este:

Rezistenţa pasivă necesară este: x valoarea maximă.

Forţa de ancorare:

R = 286 – 206 = 80 KN/M DE ZID

2,5 80 = 200 kNForţa într-o ancoră (distanţa fiind de 2,5 m) este:

2.13. O perdea de palplanşe ancorate susţine un masiv de pământ cu înălţimea de 5,5 m şi suprafaţa orizontală. Pământul este necoeziv şi are unghiul de frecare interioară = 300. Tiranţii de ancorare sunt

35

Fig.2.23. Reţea de palplanşe

situaţi la 1,2 m sub nivelul suprafeţei superioare. Aplicând ipoteza susţinerii pământurilor libere , să se determine, aproximativ, adâncimea minimă a palplanşelor necesară pentru asigurarea stabilităţii. Se neglijează frecarea pe suprafaţa perdelei de palplanşe.

Rezolvare:

Ca şi în exemplele precedente:

, = 300

şi:

Împingerea activă:

Împingerea pasivă:

Scriind momentele în raport cu punctul A, fig.2.24, şi eliminând pe , obţinem:

care conduce la o ecuaţie de gradul III, de forma:

Această ecuaţie se poate rezolva fie grafic, fie prin aproximări succesive. Valoarea lui d obţinută este de aproximativ 2,1 m. Prin urmare, adâncimea minimă a palplanşelor, pentru a exista stabilitate, este:

36

2.14. O excavaţie de 7,5 m adâncime trebuie să fie realizată într-un pământ necoeziv, a cărui densitate este de 1,8 t/m3 şi = 280. Pereţii laterali ai excavaţiei vor trebui să fie susţinuţi printr-o perdea de palplanşe ancorate cu tiranţi de ancorare situaţi la 1,2 m faţă de suprafaţă. Aplicând ipoteza susţinerea extremităţii încastrate şi utilizând metoda grinzii echivalente, să se determine adâncimea minimă a palplanşelor, la echilibru.

Rezolvare:

Ca şi în cazurile precedente, termenul se elimină din soluţie, însă rezolvarea problemei va fi mai clară dacă vor fi exprimate complet împingerile activă şi pasivă şi forţele care apar. Grinzile echivalente sunt reprezentate în fig.2.25.a.

În mod obişnuit, pentru un pământ necoeziv, se presupune că punctul de inflexiune C este situat la o distanţă egală cu (0,1 h) sub punctul B, în acest caz aceasta fiind 0,75 m. Coeficienţii împingerilor activă şi pasivă sunt:

Greutatea specifică a pământului este: = 1,85 9,81 = 18,12 kN/m3

37

A R

d

Pp

Pa

1,2 m

B

5,5 m

Fig.2.24. Împingerea activă şi pasivă a unei palplanşe

Fig.2.25. Împingerea activă şi pasivă asupra unei grinzi echivalente

x

AE

BC

1,2 m

7,5 m

D

A

Pp

Rc

Pa

E

RA

RD

RC

D

C

a) b)

Vom trece în continuare la diagrama de repartizare a presiunilor, fig.2.25.b:

- împingerea activă în C este:

0,361 18,12 8,25 = 54 kN/m2

- împingerea activă în D este:

54 0,361 18,12 x = 54 + 6,55x kN/m2

- împingerea pasivă în C este:

2,77 18,12 0,75 = 37,6 kN/m2

- împingerea pasivă în D este:

37,6 2,77 18,12 x = 37,6 + 50,2x kN/m2

Grinda EC forţa activă:

şi acţionează la distanţa de punctul C.

- forţa pasivă:

acţionând la faţă de C.

Scriind momentele în raport cu A, vom avea:

Rc (8,25 – 1,2) = 222,5 (8,25 – 1,2 – 2,75) – 14,1 (8,25 – 1,2 – 0,25)

de unde rezultă că:Rc = 122 kN

Grinda CD: Forţele se obţin plecând de la suprafeţele dreptunghiurilor şi triunghiurilor din diagrama împingerilor. Scriind momentele în raport cu D, obţinem:

Împărţind prin x şi simplificând termenii asemenea se obţine o ecuaţie de gradul II, a cărui soluţie este x = 4,6 m.

Adâncimea de fixare în pământ a perdelei de palplanşe va fi:

hi = 4,6 + 0,75 = 5,35 m

şi înălţimea minimă a palplanşelor este:

hm i n = 5,35 + 7,5 = 12,85 m

38

3.CAPACITATEA PORTANTĂ A TERENULUI DE FUNDARE ŞI REPARTIZAREA TENSIUNILOR ÎN MASIVUL DE ROCĂ

39

Construcţiile transmit terenului de fundare diferite presiuni, pe care trebuie să le limităm în funcţie de caracteristicile rocilor care intră în alcătuirea terenului de fundare. Referindu-se la construcţiile civile şi industriale, amplasate pe terenuri de fundare alcătuite din roci moi, acestea transmit terenului o presiune efectivă, care după datele practice nu depăşeşte 5,00 daN/cm2. În cazul în care terenul de fundare este format din roci stâncoase, presiunea efectivă pe teren poate avea valori mai mari, ajungând până la 7,00 daN/cm2. Exemplul elocvent este coşul de fum de la termocentrala Mintia Deva ,cu o înălţime de 226 m, care transmite terenului de fundare alcătuit din gnaise, o presiune de 7 daN/cm2.

La baza fundaţiei se transmite o anumită presiune efectivă care este preluată de terenul de fundare. În adâncime, în terenul de fundare se resimte numai o parte din presiunea efectivă, denumită şi presiune repartizată sau efort distribuit, care scade o dată cu creşterea adâncimii. Adâncimea până la care se resimte în terenul de fundare presiunea transmisă de construcţie se numeşte “zonă activă”. A calcula repartiţia presiunii efective înseamnă de fapt determinarea mărimii zonei active, respectiv acea zonă de sub fundaţie în care rocile sunt deformate de către presiunea dată de construcţie.

Noţiunea de “teren de fundare” trebuie asociată cu cea de “zonă activă”, deoarece grosimea terenului de fundare se extinde practic pe toată adâncimea zonei active.

3.1. REPARTIŢIA PRESIUNII SUB SARCINI CONCENTRATE

3.1.1. Ecuaţia lui Boussinesq

Repartiţia sarcinilor în teren, atât în cazul sarcinilor concentrate, cât şi pentru fundaţii încărcate uniform este tratată numai pentru cazul în care terenul de fundare este format din roci sedimentare moi ,argiloase sau nisipoase.

Se consideră planele xOy şi xOz, fig.3.1, şi o sarcină concentrată P care acţionează în originea O, la suprafaţa terenului, şi vom determina eforturile distribuite într-un punct M situat în interiorul terenului de fundare, pentru care se cunosc coordonatele R şi , respectiv r şi z.

Presiunile cauzate de forţa P pe cele trei axe în punctul M vor fi:

x = f (P, z, R, )y = f’ (P, z, R, ) (3.1)

z =

Vom încerca să determinăm ecuaţia efortului unitar z care produce de faptdeformarea terenului de fundare. Din figura 3.1, rezultă: cos = z/R .

Introducând această expresie în ecuaţia lui z se obţine:

z = . (3.2)

Ţinând cont că R2 = r2 + z2, vom obţine :R = , iar ecuaţia 3.2, devine:

40

r

z

M

Z

Fig.3.1. Repartiţia presiunii în teren în cazul sarcinilor concentrate

.

Dacă notăm cu :

, ecuaţia efortului unitar vertical de compresiune va avea expresia:

(3.3)

în care :I - factor de influenţă .În cazul în care la suprafaţa terenului acţionează mai multe forţe P,...P1,...Pn, fig.7.2., presiunea repartizată într-un punct M, din interiorul terenului de fundare,situat la adâncimea z, se obţine prin însumarea presiunilor repartizate de fiecare forţă în parte:

(3.4)

Examinând relaţiile 3.3 şi 3.4, se constată că mărimea presiunii repartizate în teren este direct proporţională cu forţa, respectiv forţele, care acţionează la suprafaţa terenului şi invers proporţională cu pătratul adâncimii punctului considerat.

Sub acţiunea tensiunilor z, punctul M va înregistra o deplasare pe verticală:

(3.5)

unde: G = .

Din relaţiile 3.3 şi 3.4 se constată că mărimea presiunii repartizate scade odată cu creşterea adâncimii. Dacă punctul M se află la o oarecare distanţă r de verticala pe care acţionează forţa P, presiunea z scade deoarece factorul de influenţă I este mai mic. Modul de variaţie al presiunii z este prezentat în figura 3.3.

41

Fig.3.2. Repartiţia presiunii în punctul M în cazul mai multor forţe

Calculând efortul distribuit de forţa P într-un număr de puncte, la diferite adâncimi, atât pe verticală cât şi pe orizontală şi unind punctele de egal efort distribuit, se obţin curbele izobare care alcătuiesc bulbul presiunilor.

3.1.2. Ecuaţia lui Fröhlich

Teoria Fröhlich privind repartiţia presiunii în terenul de fundare reprezintă o generalizare a teoriei Boussinesq cu luarea în considerare a unui factor de concentrare al presiunii care ţine seama şi de natura rocilor.

Se consideră o semisferă de rază r şi o forţă P care acţionează la suprafaţa terenului în punctul O, fig.3.4. Pe sferă se ia un punct M de coordonate z şi .

Pe principiul superpoziţiei ,orice modificare a forţei P determină o modificare proporţională a presiunii repartizate, date de expresia:

, (3.6)

unde:r – presiunea (tensiunea) repartizată în punctul M;C – constantă;z – adâncimea punctului M;n – factorul de concentrare al tensiunilor .

Pentru a determina constanta C, suma componentelor verticale se egalează cu forţa exterioară P şi

42

Fig.3.3. Epura repartizării presiunilor z

Fig.3.4. Schema de calcul Fröhlich

vom obţine:

, (3.7)

unde: d - suprafaţa redusă pe care acţionează presiunea repartizată:d = 2r2 sind. (3.8)Făcând înlocuirile, vom obţine:

, (3.9)

sau: , (3.10)

dar: , şi se obţine:

. (3.11)

Această integrală este de tipul:

,

şi vom obţine:

, sau ,

.

Înlocuind în relaţia 7.6 valoarea lui C se obţine:

, (3.12)

dar : şi se obţine:

. (3.13)

Dacă notăm: atunci vom obţine:

, (3.14)

sau simplificând se obţine expresia finală:

. (3.15)

Factorul de concentrare al tensiunilor poate lua valori între 2 şi 6. Pentru n = 2 ecuaţia lui Fröhlich ia forma ecuaţiei lui Boussinesq.

Pentru pământurile argiloase şi nisipoase factorul de concentrare are valori mici, n = 2 ... 2.5. Pentru argile tari n = 3. Pentru nisipuri îndesate n = 4.

Valori cuprinse între 5 şi 6 se adoptă atunci când depozitele argilo – nisipoase sunt situate peste roci stâncoase situate la adâncime mică sub talpa fundaţiei.

Dacă notăm:

, atunci ecuaţia 7.15 ia forma:

43

. (3.16)

3.1.3. Repartizarea sarcinii geologice

Sarcina geologică reprezintă o stare de tensiune naturală care există în orice teren de fundare.Tensiunea verticală este dată de greutatea stratelor acoperitoare punctului considerat din scoarţa

terestră.Valoarea tensiunii verticale de origine gravitaţională este dată de expresia:

z = H [kPa] (3.17)unde: - greutatea volumică a rocilor, în kN/m3;

H – adâncimea punctului considerat, în m.

3.2. CAPACITATEA PORTANTĂ A TERENULUI DE FUNDARE

Prin capacitatea portantă a terenului de fundare se înţelege încărcarea pe care o poate suporta aceasta, fără ca deformaţiile sale să compromită buna exploatare a construcţiei pentru care serveşte ca suport.

La depăşirea unei anumite valori a tensiunii transmise în terenul de fundare are loc ruperea acestuia, cu efecte catastrofale şi poate compromite parţial sau total stabilitatea construcţiei.

Pentru explicarea fenomenului de rupere a terenului de fundare trebuie efectuate încărcări progresive până la rupere. S-a constatat că atunci când încărcarea creşte încet, rezultatul este o compactare a terenului de sub talpa fundaţiei, iar în diagrama compresiune – tasare se obţine o variaţie liniară. În această fază, granulele se mişcă de sus în jos pe direcţie verticală, având mici devieri laterale.

Creşterea în continuare a încărcării are drept consecinţă o accelerare a creşterii tasărilor, astfel încât dependenţa tensiune – tasare capătă un caracter neliniar. În terenul de fundare în afara fenomenelor de tasare încep să se dezvolte alunecări. Acestea apar iniţial în puncte izolate în jurul cărora procesele de alunecare se extind o dată cu creşterea încărcării.

Pentru a defini concret noţiunea de capacitate portantă se consideră o fundaţie încărcată cu o forţă concentrată N, normală şi centrică, fig.3.5.

Presiunea de contact la nivelul talpii fundaţiei va avea valoarea:

. (3.18)

Mărind valoarea forţei concentrate N şi măsurând deformaţia terenului de fundare, corespunzătoare fiecărei trepte de solicitare, se poate reprezenta diagrama de variaţie a tasării în funcţie de presiunea de contact.

Pe curba tensiune–tasare se pot pune în evidenţă trei sectoare caracteristice procesului de deformare a terenului de fundare.

Sectorul 0-1 este caracterizat prin relaţia de dependenţă liniară între tensiune şi deformaţie. Diagrama pe acest domeniu se poate aproxima cu o dreaptă.

Tasările suferite de terenul de fundare se datoresc în exclusivitate reducerii porozităţii, iar faza de deformare a terenului poartă denumirea de “fază de îndesare”.

44

Fig.3.5. Fundaţie încărcată centric şi diagrama compresiune – tasare

Sectorul 1-2 corespunde unor deformaţii neliniare. Aceastea, pe de o parte sunt date de tasarea terenului şi pe de altă parte de deformaţiile de alunecare produse de eforturile tangenţiale. La apropierea presiunii de contact de o anumită valoare p2, se poate ajunge la depăşirea rezistenţei la forfecare a pământului, fapt care conduce la formarea unor zone plastice. Această fază este denumită “faza alunecărilor” sau “faza zonelor plastice”.

Presiunea corespunzătoare acestei faze se numeşte presiune de plasticizare, ppl şi are semnificaţia de presiune acceptabilă pentru terenul de fundare.

Sectorul 2-3 corespunde unor creşteri accentuate ale deformaţiilor, datorită extinderii zonelor plastice şi formării unor suprafeţe de cedare – alunecare.

Pentru o anumită valoare a presiunii de contact p = p3 = pcr, terenul de fundare ajunge la starea limită a capacităţii portante, în care se produce ruperea şi refularea pământului de sub fundaţie, de-a lungul suprafeţelor de cedare formate.

Această fază se numeşte “fază de rupere” sau “fază de cedare”, iar presiunea corespunzătoare acestei faze reprezintă “presiunea critică”.

3.2.1. Metode pentru calculul capacităţii portante

Pornind de la constatările expuse anterior privind modul de evoluţie al deformaţiilor până în momentul în care se produce ruperea terenului de fundare s-au elaborat o serie de metode de calcul pentru determinarea capacităţii portante în care se ţine seama de fazele posibile ale comportamentului terenului de fundare.

Astfel, dacă se consideră o încărcare uniform distribuită, crescătoare, aceasta va duce la un moment dat la apariţia unui echilibru limită, pentru o anumită mărime a încărcării. Creşterea încărcării exterioare determină înmulţirea punctelor în care este atins echilibrul limită, apărând o zonă de echilibru limită.

În punctele în care are loc starea de echilibru limită se presupune că sunt valabile simultan atât relaţiile din teoria elasticităţii cât şi cele din teoria plasticităţii.

Pentru determinarea zonei echilibrului limită se porneşte de la o schemă de încărcare prezentată în fig.3.6.

Se consideră că greutatea pământului situat deasupra tălpii fundaţiei se poate înlocui cu tensiunea verticală q de origine gravitaţională. Din punct de vedere mecanic, starea de echilibru limită corespunde stării plastice, când deformaţia se produce fără modificarea volumului, = 0,5.

În punctul M, la cota z, tensiunile normale principale vor fi:- tensiunea dată de greutatea masivului:

, (3.19)

. (3.20)

Pentru = 0,5 rezultă:. (3.21)

Tensiunile date de încărcarea uniform distribuită de valoare p - D vor fi:

45

Fig.3.6. Schema de calcul pentru determinarea presiunii limită

, (3.22)

. (3.23)

Valoarea totală a tensiunilor normale principale în punctul M va fi:

, (3.24)

. (3.25)

Introducând aceste relaţii în condiţia de echilibru limită şi explicitând adâncimea z, se obţine:

(3.26)

unde: .

Această relaţie reprezintă ecuaţia liniei care separă domeniul deformaţiilor elastice de domeniul

deformaţiilor plastice, care pentru devine:

. (3.27)

În cazul în care se consideră ipoteza ruperii terenului de fundare, admiţându-se implicit dezvoltarea maximă a zonelor de deformaţie plastică prin apariţia în terenul de fundare a unor zone continue de echilibru limită, pentru rezolvarea problemei se pot aborda următoarele direcţii:

- se rezolvă problema prin intermediul aplicării ecuaţiilor diferenţiale de echilibru limită, punându-se condiţiile la limită, corespunzătoare problemei date;

- se admite o anumită formă pentru suprafeţele de alunecare de sub fundaţie, astfel încât tensiunea de rupere se determină pe baza ecuaţiilor de echilibru static în acel moment.

3.2.2. Ipoteza lui Terzaghi

Teoria lui Terzaghi privind capacitatea portantă a terenului de fundare pleacă de la presiunea critică, presiune care poate duce la cedarea terenului de fundare.

Modelul conceptual de cedare a terenului de fundare este prezentat în fig. 7.7.Terzaghi studiază capacitatea portantă pentru fundaţii considerând terenul de fundare omogen.Se consideră o fundaţie de lăţime B, situată la adâncimea h f, care transmite terenului o presiune

crescătoare p. Sub efectul încărcării, rocile se compactează, prin reducerea treptată a porozităţii. Zona compactată are forma unui con, orientat cu vârful în jos care face cu orizontala un unghi egal cu unghiul de frecare interioară . Crescând încărcarea pe terenul de fundare, zona 1 coboară pe verticală, iar efectul ei de “pană” produce ruperea terenului. Se disting două zone (2) mărginite de suprafeţe curbe şi două zone de forfecare liniară (3).

46

Fig.3.7. Zonele de forfecare în terenul de fundare după Terzaghi

Ecuaţiile stabilite de Terzaghi pentru diferite tipuri de fundaţii de suprafaţăsunt:

- fundaţii tip talpă continuă:, (3.28)

- fundaţii pătrate:, (3.29)

- fundaţii circulare:, (3.30)

unde: pcr – capacitatea portantă critică a terenului de fundare, în kPa; - greutatea volumică a terenului, kN/m3;B – lăţimea fundaţiei, în m;îL – lungimea fundaţiei, în m;D – diametrul fundaţiei, în m;N, Nc, Nq – factori de capacitate portantă adimensionali, care se determină în funcţie de unghiul de

frecare interioară, pe cale analitică sau grafică;c – coeziunea terenului de fundare, în kPa.

3.2.3. Ipoteza lui Skempton

Capacitatea portantă determinată prin ecuaţiile stabilite de Terzaghi, are valori care depăşesc cu mult presiunea maximă pe terenul de fundare, mai ales în cazul fundaţiilor cu dimensiuni mari, fapt ce ar conduce la tasări mai mari sau cel mult egale cu tasarea admisibilă pentru o construcţie dată.

Skempton a propus valori mai mari pentru coeficientul de siguranţă, ceea ce a condus la următoarele ecuaţii modificate:

- fundaţii sub formă de talpă:, (3.31)

- fundaţii pătrate:, (3.32)

- fundaţii circulare:. (3.33)

Capacitatea portantă critică obţinută cu relaţiile: 3.31, 3.32 şi 3.33 se împarte la coeficientul de siguranţă şi se obţine capacitatea portantă admisibilă a terenului de fundare:

. (3.34)

3.2.4. Ipoteza Terzaghi – Meyerhof

Meyerhof a studiat soluţia dată de Terzaghi şi a ajuns la o ecuaţie asemănătoare de forma:; (3.35)

în care: p0 – este presiunea normală pe “suprafaţa liberă” echivalentă care pleacă din colţul fundaţiei, sub unghiul 0 şi iese la suprafaţa terenului.

Suprafaţa liberă echivalentă este un plan înclinat, cuprins între suprafaţa terenului şi adâncimea de fundare care face cu orizontala unghiul 0. Presiunea p0 se poate determina pe baza tensiunii verticale de origine gravitaţională:

p0 = 0,5 hf. (3.36)Ţinând seama de ecuaţia 7.36 ecuaţia 7.35 devine:

. (3.37)Pentru un teren de fundare format din mai multe strate de pământ vom avea:

. (3.38)

Factorii de capacitate portantă N, Nc şi Nq sunt determinaţi în funcţie de unghiul de frecare

47

interioară şi se determină cu ajutorul nomogramelor din figura 3.8.

3.2.5. Calculul capacităţii portante bazat pe limitarea zonelor de deformare plastică

Această metodă permite determinarea presiunii admisibile pe teren, presiune egală cu tensiunea la limita plastică corespunzătoare unei anumite dezvoltări a zonelor plastice în terenul de fundare, fig. 3.9.

Pentru determinarea tensiunii la limita de plasticizare se consideră o fundaţie continuă cu lăţimea B situată la adâncimea Df şi care transmite terenului de fundare presiunea uniform repartizată p.

La nivelul tălpii fundaţiei presiunea litologică are valoarea:q = D. (3.39)

Presiunea netă este dată de relaţia:pn = p - D. (3.40)

Starea de tensiune într-un punct oarecare M, unde talpa fundaţiei se vede sub unghiul 20, poate fi exprimată cu relaţiile din teoria elasticităţii, pentru un semiplan încărcat cu o sarcină distribuită pe o porţiune finită. Tensiunile generate de presiunea netă se exprimă cu relaţiile:

,

, (3.41)

.

48

Fig.3.8. Factorii de capacitate portantă pentruipotezele Terzaghi-Meyerhof

Într-un punct M1, situat pe axa de simetrie a fundaţiei, din care lăţimea acesteia se vede sub acelaşi unghi 20 (numit unghi de vedere), unghiurile 1 = - 0 şi 2 = 0, tensiunile z, y, devin tensiuni principale. În aceste condiţii relaţiile 3.41 devin:

,

, (3.42)

.Din analiza relaţiilor 3.42 rezultă că tensiunile principale generate de încărcarea exterioară depind de

valoarea presiunii p şi de unghiul de vedere 2. Pentru o anumită valoare a presiunii p, tensiunile au aceiaşi valoare, în punctele cărora le corespunde

acelaşi unghi de vedere 20. Locul geometric al acestor puncte este un cerc care trece prin marginile fundaţiei şi prin punctul M.

În punctul M1 situat la adâncimea z sub talpa fundaţiei, sarcina geologică generează tensiunile principale:

,

, (3.43)

unde: - coeficientul presiunii laterale.

Prin suprapunerea efectelor sarcinilor create de greutatea fundaţiei a construcţiei şi a componentelor stării de tensiune gravitaţională se obţin tensiunile principale totale:

, (3.44)

Din relaţiile 3.44 se constată că în punctele situate pe acelaşi cerc şi caracterizate prin acelaşi unghi 20, tensiunile nu mai sunt constante fiind dependente de adâncimea z.

Pentru punerea unor condiţii de limitare a dezvoltării zonelor plastice în terenul de fundare, este necesară determinarea adâncimii z, până la care acestea pot să apară sub acţiunea tensiunilor principale totale 1 şi 3. Pentru aceasta se foloseşte condiţia de plasticitate Mohr-Coulomb, exprimată analitic prin relaţia:

. (3.45)

Înlocuind tensiunile principale totale date de relaţiile 3.44 în relaţia 3.45 se obţine adâncimea căutată z:

49

Fig.3.9. Schema de calcul a tensiunii la limita plasticizării

. (3.46)

În terenul de fundare pot exista mai multe puncte, care apar pe cercuri diferite ce trec prin marginile fundaţiei, în care se pot produce deformaţii plastice sub acţiunea aceloraşi încărcări p, fig. 3.10. Ne interesează însă adâncimea maximă zmax până la care se pot extinde zonele plastice în terenul de fundare.

În acest scop se pune condiţia de maxim pentru funcţia z = f(20), adică:

. (3.47)

Din ecuaţia 3.47 rezultă că: 2 . (3.48)

Prin înlocuirea relaţiei 3.48 în relaţiile 3.46 se obţine:

. (3.49)

Pornind de la relaţiile 3.49, metodele de determinare a tensiunii la limita plasticizării se deosebesc între ele prin ipotezele făcute asupra mărimii lui zmax.

Astfel Fröhlich şi Puzârevschi au pus condiţia ca la stabilirea presiunii admisibile pe terenul de fundare să nu apară zone de curgere plastică:

zmax = 0 (3.50)

Din condiţia 3.50 şi ecuaţia 3.49 rezultă:

. (3.51)

O altă metodă de determinare a capacităţii portante emisă de Maslov, admite ca zonele plastice să se extindă numai în exteriorul verticalelor duse prin marginile fundaţiei, fig.3.11.

Conform acestei concepţii rezultă:zmax = B tg . (3.52)

Din condiţia 7.52 şi relaţia 7.49 rezultă:

. (3.53)

50

Fig.3.10. Dezvoltarea zonelor plastice sub fundaţie

Se constată că în această relaţie intervine şi lăţimea fundaţiei B.Conform prevederilor STAS 3300/2-85, “Calculul terenului de fundare în cazul fundării directe”, se

limitează extinderea zonelor plastice în teren până la adâncimea: zmax = B/4, (3.54)

şi rezultă:

. (3.55)

Gruparea termenilor din relaţia 3.55, permite rescrierea presiunii de plasticizare, conform STAS 3300/2-85, sub forma generală:

, [kPa] (3.56)în care: - media ponderată a greutăţii volumice de calcul a straturilor de sub

fundaţie, cuprinse pe o adâncime B/4 măsurată de la talpa fundaţiei, în kN/m3;B – lăţimea tălpii fundaţiei, în m;q – suprasarcina de calcul la cota tălpii fundaţiei, în kPa;c – valoarea de calcul a coeziunii specifice a stratului de pământ de sub talpa fundaţiei, în kPa;N1, N2, N3 – coeficienţi adimensionali a căror valoare se determină din tabelul 3.1, în funcţie de valoarea de calcul a unghiului de frecare interioară a pământului de sub talpa fundaţiei.Presiunea de plasticizare, ppl, în cazul fundaţiilor izolate cu formă dreptunghiulară în plan, se

calculează cu relaţiile:- pentru construcţii fără subsol:

,[kPa] (3.57)- pentru construcţii cu subsol:

.[kPa] (3.58)

în care: ml – coeficient al condiţiilor de lucru, conform tabelului 3.2;B – latura mică a fundaţiei dreptunghiulare, în m;qe, qi – suprasarcina de calcul la nivelul tălpii fundaţiei, la exteriorul şi respectiv interiorul fundaţiei

din zona subsolului, în kPa. Presiunea efectivă pe teren la nivelul tălpii fundaţiei, pef, provenită din încărcările de calcul din

gruparea fundamentală, pentru care se efectuează calculul la starea limită de deformaţii, nu va depăşi valoarea limită a presiunii de plasticizare, adică:

pef = ppl, (3.59)în care: - coeficient care ţine seama de tipul solicitării exterioare; = 1 în cazul solicitării centrice, = 1,2 în cazul solicitării excentrice pe o direcţie şi = 1,4 în cazul solicitării excentrice pe două direcţii.

Tabelul 3.1.

51

Fig.3.11. Determinarea zonelor plastice după Maslov

Valorile coeficienţilor N1, N2, N3.

o N1 N2 N3 o N1 N2 N3

0 0,00 1,00 3,14 24 0,72 3,87 6,452 0,03 1,12 3,32 26 0,84 4,37 6,904 0,06 1,25 3,51 28 0,98 4,93 7,406 0,10 1,39 3,71 30 1,15 5,59 7,958 0,14 1,55 3,93 32 1.34 6,35 8,5510 0,18 1,73 4,17 34 1,55 7,21 9,2112 0,23 1,94 4,42 36 1,81 8,25 9,9814 0,29 2.17 4,69 38 2,11 9,44 10,8016 0,36 2,43 5,00 40 2,46 10,84 11,7318 0,43 2.72 5,31 42 2,87 12,50 12,7720 0,51 3,06 5,66 44 3,37 14,48 13,9622 0,61 3,44 6,04 45 3,66 15,64 14,64

Tabelul 3.2.Coeficienţii condiţiilor de lucru ml

Nr.crt.

Denumirea terenului de fundare ml

1. Bolovănişuri cu interspaţiile umplute cu nisip, pietrişuri şi nisipuri cu excepţia nisipurilor fine şi prăfoase.

2,00

2. Nisipuri fine: - uscate sau umede (Sr 0,8) - foarte umede sau saturate (Sr 0,8)

1,901,80

3. Nisipuri prăfoase: - uscate sau umede (Sr 0,8) - foarte umede sau saturate (Sr 0,8)

1,801,50

4. Bolovănişuri şi pietrişuri umplute cu pământuri argiloase cu Ic 0,5 1,605. Pământuri argiloase cu Ic 0,5 1,606. Bolovănişuri şi pietrişuri umplute cu pământuri argiloase cu Ic 0,5 1,107. Pământuri argiloase cu Ic 0,5 1,10

3.2.6. Calculul capacităţii portante. Metoda Rankine

Această metodă se bazează pe starea de echilibru limită în determinarea capacităţii portante a terenului de fundare.

În cazul în care presiunea de contact atinge valoarea critică p = pcr, terenul de fundare ajunge la limita capacităţii portante, la care se produce ruperea şi refularea terenului de fundare de-a lungul unor suprafeţe de cedare, suprafeţe pe care rezistenţa la forfecare este depăşită, fig. 3.12.

Rankine a admis, pentru o fundaţie continuă de lăţime B şi care transmite terenului de fundare o presiune de contact p = pcr, ipoteza simplificatoare că ruperea şi refularea rocilor are loc numai pe o parte a fundaţiei, după suprafeţe plane ac şi cd, şi aceste suprafeţe plane sunt considerate planurile de alunecare corespunzătoare împingerii active şi a rezistenţei pasive în cazul unui zid de sprijin.

Pentru determinarea presiunii critice se analizează starea de echilibru, în condiţiile problemei plane, pe suprafaţa verticală bc asupra căreia acţionează împingerea prismei de pământ abc şi suprasarcina p cr, respectiv rezistenţa pasivă dată de prisma bcd şi suprasarcina q = D.

La o anumită adâncime z, tensiunile principale verticale au valorile:- pentru zona activă:

1 = pcr + z; (3.60)- pentru zona pasivă:

. (3.61)

52

Din condiţia de rupere Coulomb – Mohr tensiunea principală secundară 3 este dată de relaţia:

. (3.62)

Relaţia 7.62 se mai poate scrie:, (3.63)

unde: Ka – coeficientul împingerii active:

Ka = tg2 .

Înlocuind relaţia 3.60 în relaţia 3.63 se obţine:

. (3.64)

În mod similar se poate determina şi tensiunea secundară pentru zona pasivă:, (3.65)

sau:, (3.66)

în care: Kp – coeficientul rezistenţei pasive:

Kp= .

Tensiunile principale secundare 3 şi , pe adâncimea z1, sunt egale cu împingerile active şi

rezistenţele pasive:

, (3.67)

pp = . (3.68)

Din triunghiul abc, rezultă:

. (3.69)

Condiţia de echilibru limită, pe suprafaţa bc, se poate scrie din egalarea presiunii active şi pasive:Pa = Pp. (3.70)

Prin înlocuirea relaţiilor 3.67, 3.68 şi 3.69 în relaţia 3.70 se obţine valoarea presiunii critice:

. (3.71)

Dacă facem notaţiile:

, (3.72)

53

r

Fig.3.12. Schema de calcul a presiunii critice ipoteza lui Rankine

relaţia 3.71 se poate scrie:, (3.73)

în care: N, Nc şi Nq sunt coeficienţi adimensionali, care caracterizează capacitatea portantă, a căror valori sunt în funcţie de valoarea de calcul a unghiului de frecare interioară a terenului de sub talpa fundaţiei.

Conform STAS 3300/2-85 presiunea critică se poate determina, atunci când rezultanta încărcărilor de calcul are o înclinare mai mică de 5o şi în condiţiile unei stratificaţii orizontale, cu relaţia:

pcr = B N + q Nq q + c Nc c [kPa] (3.74)în care: - greutatea volumică de calcul a straturilor de pământ de sub talpa fundaţiei, în kPa;

B - lăţimea redusă a tălpii fundaţiei, în m;q - suprasarcina de calcul care acţionează la nivelul tălpii fundaţiei, lateral faţă de fundaţie, în kPa;

c - valoarea de calcul a coeziunii straturilor de pământ de sub talpa fundaţiei, în kPa;

N, Nq, Nc – coeficienţi de capacitate portantă care depind de valoarea de calcul a unghiului de frecare interioară a straturilor de pământ de sub talpa fundaţiei, conform tabelului 3.3.

, q, c – coeficienţi de formă ai tălpii fundaţiei, conform tabelului 3.4.

Tabelul 3.3.Valorile coeficienţilor N, Nq, Nc

o Nr Nq Nc

0o 0,0 1,0 5,15o 0,1 1,6 6,510o 0,2 2,5 8,315o 0,7 3,9 11,020o 1,8 6,4 14,8

22o30 2,7 8,2 17,525o 4,1 10,7 20,7

27o30 6,1 13,9 24,930o 9,0 18,4 30,1

32o30 13,6 24,6 37,035o 20,4 33,3 46,1

37o30 31,0 45,8 58,440o 47,7 64,2 75,3

42o30 75,0 91,9 99,345o 120,5 134,9 133,9

În cazul prezenţei sub fundaţie a unei stratificaţii în care caracteristicile de rezistenţă la forfecare, şi c, nu diferă cu mai mult de 50% faţă de valorile medii, se pot adopta pentru calculul capacităţii portante valori , c şi ca medii ponderate ale straturilor de pământ.

În calculul terenului de fundare la starea limită de capacitate portantă, încărcarea de calcul care acţionează asupra fundaţiei provine din gruparea specială iar capacitatea portantă a terenului de fundare este cea a presiunii critice, de cedare a terenului.

Tabelul 3.4.Valorile coeficienţilor , q, c,

Forma fundaţiei c, q,

- Continuă 1,0 1,0- Dreptunghiulară B/L 0,2 1 + 0,3 B/L 1 – 0,4 B/L- Pătrat, cerc 1,3 0,6

În cazul fundaţiilor directe cu talpa fundaţiei orizontală, presiunea efectivă nu trebuie să depăşească valoarea de calcul a presiunii critice:

pef 0,90 pcr [kPa] (3.75)în care: pef – presiunea medie efectivă care acţionează la talpa fundaţiei, provenită din acţiunea încărcărilor de calcul corespunzătoare celei mai defavorabile grupări speciale, în kPa;

pcr – presiunea critică corespunzătoare cedării generale a terenului de fundare, calculată cu relaţia

54

3.74.

3.2.7. Calculul terenului de fundare pe baza presiunilor convenţionale

Din paragrafele anterioare se observă că pentru calculul mărimii presiunii de plasticizare ppl şi a presiunii critice pcr este obligatorie cunoaşterea valorilor de calcul ale parametrilor geotehnici, fizici şi de rezistenţă, ai terenului de fundare dar şi a dimensiunilor fundaţiilor respective. De aceea, la dimensionarea fundaţiilor este obligatorie elaborarea studiului geotehnic al amplasamentului. Elaborarea studiului geotehnic este obligatorie şi în cazul construcţiilor existente, la care urmează să se modifice substanţial regimul de încărcare, prin schimbarea destinaţiei sau supraetajării.

La stabilirea preliminară a dimensiunilor tălpii fundaţiilor, STAS 3300/2-85 admite calculul terenului de fundare pe baza presiunilor convenţionale pconv, presiuni acceptabile ale terenului de fundare determinate în mod empiric din tabelele 3.6 şi 3.7, din Anexa B a instrucţiunii tehnice menţionate. Calculul infrastructurii pe baza presiunilor empirice pconv, se admite şi în cazul construcţiilor care fac parte din clasa de importanţă IV, V şi unele din clasa III.

Prin calculul preliminar sau definitiv al terenului de fundare pe baza presiunilor convenţionale, trebuie să se respecte următoarea condiţie:

pef max pconv; [kPa] (3.76)în care:

pef max - reprezintă presiunea efectivă maximă pe teren, provenită din încărcările de calcul din gruparea fundamentală sau specială, în kPa;

- coeficient în funcţie de natura solicitării, conform tabelului 3.5;pconv - presiunea convenţională a terenului de fundare determinată în funcţie de presiunea

convenţională de bază şi corectată în funcţie de latura mică a fundaţiei şi de cota de fundare, conform relaţiei 3.77.

Tabelul 3.5.Valorile coeficientului

Gruparea încărcărilor de

calcul

Tipul de solicitareCentrică Excentrică după o direcţie Excentrică după două

direcţiiFundamentală 1,00 1,20 1,40

Specială 1,20 1,40 1,60Valorile presiunilor convenţionale de bază , pentru pământurile necoezive şi cele coezive sunt

redate în tabelele 3.6, respectiv 3.7, conform STAS 3300/2-85.Presiunile convenţionale de bază, , corespund unor fundaţii cu lăţimea tălpii B = 1,00 m şi cota

de fundare D = 2,00 m.Pentru alte situaţii, presiunea convenţională se calculează cu relaţia:

; [kPa] (7.77)Tabelul 3.6.

Valorile presiunii convenţionale de bază pentru unele pământuri necoezive

Denumirea terenului de fundareÎndesare Îndesare medie

pconv[kPa]Nisip mare 700 600Nisip mijlociu 600 500Nisip fin uscat sau umed 500 350

foarte umed sau saturat 350 250

Nisip fin prăfosuscat 350 250umed 250 200foarte umed sau saturat 200 150

Tabelul 3.7

55

Valorile presiunii convenţionale de bază pentru unele pământuri coeziveDenumirea terenului de fundare Indicele

porilore

ConsistenţaIc = 0,5 Ic = 1,0

pconv [kPa]Cu plasticitate redusă (Ip 10%): nisip argilos, praf nisipos, praf

0,5 300 3500,7 275 300

Cu plasticitate mijlocie (10% Ip 20%): nisip argilos, praf nisipos argilos, praf argilos, argilă prăfoasă-nisipoasă, argilă nisipoasă, argilă prăfoasă

0,5 300 3500,7 275 3001,0 200 250

Cu plasticitate mare şi foarte mare(Ip 20%):argilă nisipoasă, argilă prăfoasă, argilă, argilă grasă

0,5 550 6500,6 450 5250,8 300 3501,1 225 300

Pentru alte situaţii, presiunea convenţională se calculează cu relaţia:; [kPa] (3.78)

în care: - valoarea de bază a presiunii convenţionale, conform tabelelor 3.6 şi 3.7, în kPa;CB – corecţia presiunii funcţie de lăţime, în kPa;CD – corecţia presiunii funcţie de adâncime, în kPa.Corecţia de lăţime CB se determină astfel:- pentru fundaţii cu B 5 m:

; [kPa] (3.79)în care: K1 = 0,10 - pentru pământuri necoezive cu excepţia nisipurilor prăfoase;

K1 = 0,05 – pentru nisipuri prăfoase şi pământuri coezive.- pentru fundaţii cu B 5 m:CB = 0,40 - pentru pământuri necoezive în kPa;

CB = - pentru pământuri coezive în kPa.Corecţia de adâncime CD se determină cu relaţiile:

- pentru D 2,0 m: ; [kPa] (3.80)

- pentru D 2,0 m : ;[kPa] (3.81)în care: - greutatea volumică medie ponderată a straturilor situate deasupra cotei de fundare, în kN/m3;

K2 – coeficient conform tabelului 3.8.

Tabelul 3.8.Coeficient K2

Denumirea pământurilor K2

Pământuri necoezive, cu excepţia nisipurilor prăfoase 2,5Nisipuri prăfoase, pământuri coezive cu plasticitate redusă şi mijlocie

2,0

Pământuri coezive cu plasticitate mare şi foarte mare 1,5

La construcţiile cu subsol se adoptă pentru calculul presiunilor convenţionale, valorile corecţiilor corespunzătoare adâncimii de fundare măsurate de la nivelul pardoselii subsolului la nivelul tălpii fundaţiei.

3.3. CAPACITATEA PORTANTĂ A TERENULUI DE FUNDARE. APLICAŢII – STUDII DE CAZ

În cazul fundaţiilor există două tipuri de ruperi. O fundaţie se poate tasa, într-o foarte mare măsură, datorită consolidării pământului, iar lucrarea se poate deteriora. Acesta este tipul de rupere cel mai des întâlnit. Al doilea tip de rupere, cunoscut sub denumirea de rupere prin forfecare, se produce în situaţia în care pământul de sub talpa fundaţiei începe să curgă lateral. Asemenea ruperi nu sunt însă frecvent întâlnite, dar dacă se produc, ele pot fi catastrofale.

Termenul de sarcină de rupere este definit ca fiind sarcina pe unitatea de suprafaţă care provoacă distrugerea fundaţiei prin rupere prin forfecare plastică. Termenul de presiune de reacţiune de siguranţă se

56

referă la valoarea sarcinii de rupere redusă cu un factor de sarcină sau cum mai este cunoscut sub denumirea de factor de siguranţă. Această reacţiune de siguranţă este valoarea utilizată în calculele în care se poate neglija efectul tasării şi fundaţia nu necesită o siguranţă referitor la ruperea prin forfecare. Presiunea de reacţiune admisibilă utilizată în calcule, ţine seama pe de o parte de riscul de rupere prin forfecare şi de riscul de tasare. Mecanismul de rupere prin forfecare al unui pământ de sub talpa fundaţiei poate să fie de aceeaşi natură cu cel de rupere prin alunecare al unui taluz, studiul modului de rupere al fundaţiilor prin intermediul cercului de alunecare fiind actualmente rareori adoptat. În general, se utilizează metode bazate pe studiile teoretice ale ruperii elastice şi plastice, coroborate cu rezultatele experimentale. Metodele de bază în rezolvarea problemelor referitoare la capacitatea portantă sunt utilizate cu uşurinţă, dacă se consideră că talpa fundaţiilor este alungită, adică lungimea este mare în raport cu lăţimea şi în consecinţă, aceasta se rezumă la o problemă cu două dimensiuni.

Problemele din prima parte al acestui capitol tratează capacitatea portantă a fundaţiilor cu talpă alungită. Extinderea empirică la problemele cu trei dimensiuni – aici incluzându-se fundaţiile care au tălpi dreptunghiulare şi circulare – este relativ simplă. Exemple de acest tip vor fi prezentate în ultima parte a acestui capitol. Tot aici, vor fi examinate şi posibilităţile de ghidare, de orientare la alegerea factorului de siguranţă. În cazul tălpilor cu dimensiuni reduse este posibilă numai o rupere prin forfecare şi pentru a obţine presiunea de reacţiune admisibilă, sarcinii de rupere i se va aplica un factor de siguranţă scăzut. În mod frecvent şi în special în cazul tălpilor de dimensiuni mari, presiunea de reacţiune admisibilă trebuie să fie adoptată, astfel încât să nu fie depăşită valoarea maximă a tasării prestabilită. Pentru a defini intervalele de variaţie a factorului de siguranţă pentru diferite condiţii simplificate, Skempton a utilizat inversul produsului dintre coeziune şi coeficientul de compresibilitate. Aceşti factori de siguranţă pot fi utilizaţi în stabilirea presiunii de reacţie pentru o serie de pământuri de tipul argilelor.

3.1. Materialul de fundaţie al unei zone de şantier constă dintr-un strat adânc de argilă. În urma experimentărilor efectuate pe eşantioane în stare nedrenată, s-au obţinut valorile medii c = 60 kN/m 2 şi = 00, pe toată adâncimea, înainte ca stratul să fie solicitat de fundaţie. Care este sarcina de rupere a unei tălpi alungite situată pe această suprafaţă ?

Rezolvare:

În determinarea siguranţei unei fundaţii situată pe pământuri de tipul argilei, se obişnuieşte să se considere starea nedrenată ca reprezentând starea cea mai periculoasă. Diferiţi cercetători au arătat, după studiile teoretice efectuate, că sarcina de rupere q a unui pământ solicitat pe suprafaţa sa de o talpă alungită, este un multiplu al coeziunii, adică:

(3.82)

în care: Nc este factorul capacităţii portante.În tabelul 7.9 sunt date valorile factorului capacităţii portante stabilit de o serie de cercetători, putând

fi observate şi diferenţele care există între aceste valori.

Tabelul 3.9.Factorul capacităţii portante al unei tălpi alungite situată pe suprafaţa unei argile omogene, când nu

există strate acoperitoare:

AutorulFactorul capacităţii portante, Nc Sarcina netă de rupere

, [kN/m2]PrandtlSkemptonMeyerhofFelleniusTerzaghi

5,14

5,505,70

308

330342

De aici rezultă că în estimarea valorii capacităţii portante după diferiţi autori, aceasta variază între 308 kN/m2 şi 342 kN/m2. Dacă se împart aceste valori la un factor de siguranţă, intervalul de variaţie al capacităţii portante se situează în diferite condiţii întâlnite pe şantier.

57

3.2. Un pământ pur coeziv a fost testat prin încercare la compresiune monoaxială, obţinându-se următoarele valori pentru rezistenţa la compresiune: 39,3; 43,4; 37,2; 44,8; 48,3; 42,7; 40,7 kN/m2. Să se determine capacitatea portantă a acestui pământ solicitat pe suprafaţa sa de o talpă alungită.

Rezolvare:Rezistenţa medie la compresiune monoaxială a acestui pământ este:

Deoarece starea de compresiune monoaxială este reprezentată în diagrama cercului lui Mohr printr-un cerc tangent la axa verticală (3 = 0), rezistenţa la forfecare sau coeziunea este jumătate din rezistenţa la compresiune.

Utilizând factorul capacităţii portante determinat de Terzaghi, atunci sarcina de rupere va fi:

3.3. O talpă alungită trebuie amplasată la o adâncime de 2 m în raport cu suprafaţa, într-o argilă saturată. Din încercările la compresiune monoaxială s-a stabilit că valoarea medie a coeziunii este c = 54 kN/m2. Densitatea aparentă este de 1,76 t/m3. Care sunt sarcinile de rupere netă şi totală ?

Rezolvare:

Este clar că greutatea pământului de o parte şi de cealaltă a tălpii alungite creşte aptitudinea pământului de a rezista la presiunea dată de talpă, fără să aibă loc o rupere plastică. Terzaghi, care a arătat că factorii de siguranţă nu depind decât de valoarea lui şi de ipoteza unei baze rugoase, a indicat valoarea Nq=1, dacă = 0, fig.3.13.

z – presiunea exercitată de greutatea unei coloane de pământ, în care este:

= 1,76 9,81 kN/m2/m de adâncime = 17,3 kN/m2/m adâncime

58

Fig.3.13. Factorii capacităţii portante după Terzaghi.

Prin urmare, capacitatea portantă va fi:

(3.83)

Sarcina netă de rupere, adică presiunea care se adaugă la presiunea iniţială din pământ la această adâncime (de 2 m) este:

c Nc = 308 kN/m2

3.4. O talpă alungită cu lăţimea de 1,5 m trebuie amplasată la o adâncime de 4 m într-un pământ pur coeziv (c = 138 kN/m2; = 1,76 9,81 kN/m3). Estimaţi sarcinile de rupere conform teoriei lui Terzaghi şi a lui Skempton, fig. 7.14.

Rezolvare:

Conform teoriei lui Terzaghi, dacă = 0, atunci:

Nc = 5,7 ; Nq = 1 ; N = 0

iar sarcina de rupere va fi:

Valorile factorilor de siguranţă, conform teoriei lui Skempton, depind de raportul dintre lăţimea tălpii şi adâncimea la care aceasta este situată. În acest exemplu, raportul adâncime / lăţime este de 2,6. Valoarea lui Nc, după Skempton, este de aproximativ 7,2.

Rezultă că:

59

Fig.7.14. Factorii capacităţii portante pentru argilă (după Meyerhof şi Skempton).

Această estimare a capacităţii portante este cu aproximativ 24 % mai mare decât cea obţinută după Terzaghi.

3.5. O talpă alungită având lăţimea de 1,2 m trebuie amplasată la o adâncime de 2 m într-un pământ a cărui densitate aparentă este de 1,70 t/m3. Pământul este de tipul c - şi are o coeziune de 26 kN/m2 şi un unghi de frecare interioară de 280. Să se determine sarcina totală de rupere utilizând factorii capacităţii portante a lui Terzaghi şi să se compare rezultatele cu cele care au fost estimate de Meyerhof.

Rezolvare:

În situaţia în care devine suficient de mare, riscul ruperii prin forfecare este redus. Cea mai mare probabilitate de dislocare bruscă se obţine în cazul pământurilor pur coezive. Dacă 0 este necesar să se scrie întreaga ecuaţie a lui Terzaghi, adică:

(3.84)

Conform teoriei lui Terzaghi, factorii de siguranţă pentru = 280, fig.3.13, sunt:

Nc = 34 ; Nq = 18 ; N = 18

Prin urmare, se obţine:

Conform teoriei lui Meyerhof, fig.3.15, factorii de siguranţă sunt:

Nc = 28 ; Nq = 18 ; N = 14

Se obţine astfel că:

60

Fig.3.15. Factorii capacităţii portante pentru fundaţii

alungite situate la adâncimi mici (după Meyerhof).

3.6. O talpă alungită cu lăţimea de 1,5 m este situată într-un pământ de tipul c - , la adâncimea de 9 m în raport cu suprafaţa. Pământul are o densitate aparentă de 1,84 t/m3, c = 83,8 kN/m2 şi = 150. Să se determine sarcina de rupere.

Rezolvare:

Pentru rezolvarea acestui tip de problemă vom utiliza ecuaţia generală (3.84) în care factorii capacităţii portante sunt cei determinaţi de Meyerhof pentru fundaţii situate la adâncimi mari. Conform teoriei lui Meyerhof, pentru materiale de tip c - , fig.3.16, avem:

Nc = 35 ; Nq = 10 ; N = 6

Sarcina de rupere este:

3.7. Un material necoeziv, a cărui unghi de frecare interioară este = 300, suportă o talpă alungită cu lăţimea de 1,2 m, amplasată la adâncimea de 7 m. Densitatea aparentă este de 1,71 t/m3. Să se determine sarcina de rupere.

Rezolvare:

Această problemă se referă la un pământ necoeziv, astfel că primul termen al ecuaţiei generale (3.84) dispare şi vor fi utilizaţi doar ultimii doi termeni, ecuaţia devenind:

(3.85)În teoria lui Meyerhof, care s-a dovedit a fi în concordanţă cu experienţa şi rezultatele înregistrate

asupra fundaţiilor, valorile factorilor capacităţii portante depind de mai multe condiţii, care nu au fost luate în considerare de către Terzaghi. Pentru un material necoeziv, Meyerhof a realizat o extindere generală şi a combinat efectele date de N şi de Nq sub forma unui factor al capacităţii portante, Nq. Valorile acestui factor au fost deduse din teoriile ruperii plastice a pământurilor, fig.7.17.

61

Fig.3.16. Factorii capacităţii portante pentru fundaţii alungite situate la adâncimi mari (după Meyerhof).

Capacitatea portantă se determină din relaţia:

(3.86)

Valoarea lui N q este direct proporţională cu adâncimea şi valoarea coeficientului K0 al împingerii pământului, care se situează între valoarea minimă (împingerea activă Ka) şi maximă (împingerea pasivă Kp). Prin urmare, se poate presupune cu certitudine că acest coeficient nu atinge decât valoarea sa minimă, întrucât, dacă raportul adâncime / lăţime este scăzut, intervalul de variaţie între un K 0 maxim şi un K0 minim nu implică o diferenţă mare a capacităţii portante. În cazul acestui exemplu, raportul adâncime / lăţime este de 6 şi factorul capacităţii portante N q 300. Capacitatea portantă va fi:

3.8. O talpă alungită cu lăţimea de 1,5 m este aşezată pe suprafaţa unui material uscat necoeziv, având unghiul de frecare interioară = 170 şi = 1,84 9,81 kN/m3. O inundaţie provoacă creşterea temporară a nivelului stratului freatic până la suprafaţă. Cu ce procent se reduce capacitatea portantă a fundaţiei ?

Rezolvare:

Diminuarea capacităţii portante datorită inundaţiei nu are loc decât în cazul materialelor necoezive. În pământurile coezive, o inundaţie bruscă, neprevăzută şi temporară nu are decât un efect foarte mic asupra capacităţii portante. În pământuri lipsite de coeziune, inundaţia are un efect redus asupra valorii unghiului de frecare interioară, dar în schimb, presiunea efectivă care dă de fapt rezistenţa la forfecare a pământului, este puternic redusă.

Pentru un material necoeziv, solicitat pe suprafaţa sa, din ecuaţia generală a capacităţii portante rămâne doar ultimul termen, în care, conform teoriei lui Terzaghi, N = 3 şi prin urmare, capacitatea portantă iniţială este:

Dacă însă se produce o inundaţie, presiunea exercitată de greutatea pământului se reduce cu (1,0 9,81) kN/m2 pentru fiecare metru de adâncime de sub nivelul hidrostatic. Această presiune reprezintă presiunea interstiţială care trebuie scăzută din presiunea totală (1,84 9,81) kN/m2 şi q va deveni:

62

Fig.3.17. Factorul N q al capacităţii portante pentru pământuri necoezive (după

Meyerhof).

Diminuarea, în procente, a capacităţii portante este de 54 % şi putem preciza, ca o lege generală, faptul că pentru majoritatea pământurilor granulare, aproape jumătate din capacitatea portantă este pierdută în urma unei inundaţii.

3.9. O talpă alungită, puţin adâncă, este situată în argilă, la o adâncime de 0,9m. În mod sigur, ea trebuie să suporte o presiune de reacţiune de 130 kN/m2. Să se determine lăţimea necesară a tălpii, în cazul în care clădirea nu este susceptibilă de a fi afectată de tasarea diferenţială. Densitatea aparentă a pământului este de 1,68 t/m3 şi coeziunea de 46,8 kN/m2.

Rezolvare:

Teoria lui Meyerhof pentru cazul particular al unei argile pur coezive, conduce la ecuaţia sarcinii de rupere de forma:

(3.87)

în care Ncq este un factor combinând efectele lui Nc şi Nq. Valoarea acestui factor depinde de configuraţia zonei de rupere plastică, dar şi de lăţimea şi adâncimea tălpii, fig.3.14.

Deoarece clădirea nu este sensibilă la o tasare diferenţială, este rezonabil să se presupună un factor de siguranţă care ar asigura-o împotriva riscurilor ruperii prin forfecare. Să presupunem că acest factor de siguranţă este 3.

Presiunea de reacţiune admisibilă este:

(3.88)

condiţie dată în enunţul problemei.

Înmulţind această ecuaţie cu factorul de siguranţă 3, vom determina sarcina de rupere.

(3.89)

Acest calcul subliniază faptul că numai capacitatea portantă netă trebuie să fie împărţită la factorul de siguranţă, rezistenţa suplimentară furnizată de presiunea corespunzătoare greutăţii pământului se aplică integral, chiar şi pentru sarcina de siguranţă.

Din ecuaţia (3.89) se obţine:

Datele stabilite de Meyerhof arată că pentru această valoare a lui Ncq, în cazul unei tălpi alungite, raportul adâncime / lăţime este de 1,5. Teoretic, lăţimea necesară a tălpii alungite este de numai:

3.10. Caracteristicile unui pământ, determinate prin încercări de forfecare nedrenate, sunt c = 96 kN/m2 şi = 0. O sarcină de 3000 kN trebuie să fie suportată de o talpă pătrată situată la o adâncime de 3 m. Densitatea aparentă a pământului este de 1,92 t/m3. Pământul respectiv este de tipul unei argile preconsolidate. Să se determine dimensiunile necesare ale tălpii fundaţiei. Rezolvare:

Inversul produsului dintre coeficientul de compresibilitate mv şi coeziune, pentru un pământ cu o

63

astfel de rezistenţă, probabil că se situează în intervalul 100 – 200. Din tabelul 3.10, după Skempton, factorul de siguranţă al fundaţiilor situate pe argile, se poate alege o valoare cuprinsă în intervalul 3 – 24, după tasarea netă posibilă.

Tabelul 3.10.Factorii de siguranţă pentru argilă (după Skempton):

Tipul pământului Preconsolidat Normal consolidat

200 100 50 25

Tasare admisibilă, (mm)

25 75 150 25 75 150 25 75 150 25 75 150

Lăţimea tălpii fundaţiei,(m)

1,5 (3) (3) (3) 3 (3) (3) 6 (3) (3) 12 4 (3)3 3 (3) (3) 6 (3) (3) 12 4 (3) 24 8 46 6 (3) (3) 12 4 (3) 24 8 4 48 16 812 12 4 (3) 24 8 4 48 16 8 96 32 16

Dacă se presupune că trebuie să se ţină seama de o tasare netă de 25 mm, este necesar să se facă o estimare “grosieră” a dimensiunilor tălpii fundaţiei. Presupunând însă, că presiunea de reacţiune admisibilă este de aproximativ 320 kN/m2, latura fundaţiei va depăşi 3 m. Factorul de siguranţă ar fi situat atunci, conform tabelului, în intervalul de la 3 la 6. Dacă se cunoaşte valoarea lui mv sau poate fi determinată, trebuie făcută atunci o estimare mai exactă a factorului de siguranţă, dar s-ar putea ca munca necesară în studiul suplimentar să nu încurajeze precizia finală obţinută. Asemenea decizii corespund, în general, domeniului de concepţie, de proiectare a lucrărilor de artă şi sunt bazate atât pe experientă, dar şi pe calcul. Într-un studiu preliminar, un factor de siguranţă egal cu 4 ar fi foarte probabil o cifră convenabilă.

O fundaţie pătrată sau circulară poate suporta o tensiune pe m2 mai mare decât o fundaţie alungită. Terzaghi a estimat că se poate creşte cu mai puţin de 30% capacitatea portantă, dacă aceasta este determinată prin intermediul coeziunii. Astfel, sarcina netă de rupere este:

Aplicându-se sarcinii nete de rupere un factor de siguranţă egal cu 4, presiunea de reacţiune netă admisibilă este de 178 kN/m2. Această valoare trebuie adăugată la presiunea exercitată de greutatea dată de 3 m de pământ, care este egală cu:

Presiunea de reacţiune admisibilă este de:

178 + 57 = 235 kN/m2

În consecinţă, latura tălpii pătrate va fi de 3,58 m. Verificându-se ipoteza aplicată, vom observa că această valoare este superioară celei de 3 m pe care am presupus că ar avea-o latura tălpii fundaţiei pentru a putea adopta un factor de siguranţă. Întrucât acest factor de siguranţă creşte cu lăţimea tălpii fundaţiei pentru o tasare dată a argilei, trebuie să se facă un al doilea calcul, utilizând un factor mai mare.

3.11. O culee de pod de 4 m lăţime este situată într-o argilă solidă preconsolidată, la o adâncime de 3 m de suprafaţă. Să se determine lungimea fundaţiei pentru o sarcină aplicată de 10.000 kN, înclinată cu 100 în raport cu verticala. Coeziunea argilei este de 134 kN/m2, iar densitatea aparentă de 1,72t/m3.

Rezolvare:

Sarcina aplicată fundaţiei având baza orizontală, fiind înclinată cu 100, provoacă o diminuare a capacităţii portante, care devine mai mică decât cea stabilită la problema 7.1 când toate sarcinile au fost presupuse verticale. Meyerhof a dezvoltat o teorie bazată pe rezultatele experimentale, conform cărora, pentru condiţiile date ale acestei probleme, valoarea factorului Ncq este de 6, fig.7.18.

64

Pentru moment, presupunem că avem o talpă alungită; sarcina netă de rupere este:

Adăugând presiunea exercitată de cei 4 m de pământ, sarcina totală de rupere va fi:

şi presiunea de reacţiune admisibilă, utilizând un factor de siguranţă egal cu 6 (după Skempton) va fi:

Estimativ, aceasta dă o lungime a tălpii egală cu:

Capacitatea portantă a unei fundaţii dreptunghiulare este superioară capacităţii portante a unei tălpi

alungite cu o valoare de (după Skempton), însă, în acest caz, acest factor este sensibil mai mare

decât 1, astfel că poate fi considerat ca fiind egal cu 1. Lungimea culeei va fi deci de 14 m.

3.12. Un material de fundaţie a fost încercat în stare nedrenată – consolidată, obţinându-se următoarele proprietăţi: c = 9,6 kN/m2; = 200; = 1,93 9,81 kN/m3. Acest material susţine un pilot circular cu diametrul de 4,5 m situat la o adâncime de 2,5 m. Pilotul este solicitat concentric cu o sarcină de 3100 kN. Care va fi valoarea finală a factorului de siguranţă după ce se va produce cea mai mare parte a consolidării ?

Rezolvare:

Consolidarea unui strat gros de argilă are loc în urma drenării care se desfăşoară pe perioada mai multor ani, proces după care proprietăţile argilei sunt stabilite în timpul încercărilor nedrenate – consolidate pe eşantioane mici.

65

Fig.3.18. Factorii capacităţii portante pentru sarcini înclinate (după Meyerhof).

Pentru = 200, factorii capacităţii portante după Terzaghi sunt:

Nc = 18 ; Nq = 9 ; N = 4

Pentru o fundaţie circulară, în ecuaţia generală a sarcinii de rupere (3.84) apar factorii 1,3 şi 0,3 utilizaţi în primul şi ultimul termen, iar pentru o talpă alungită aceştia iau valoarea 1,0 şi respectiv 0,5.

Sarcina netă de rupere, exprimând pe z, este:

(3.90)

La această valoare se va adăuga frecarea dintre pământ şi corpul pilotului. Valoarea coeziunii pe acest corp de pilot este probabil mai mică decât a argilei, c, adică se poate reduce şi spunem noi, se reduce la jumătate.

Sarcina netă este atunci:

Sarcina netă aplicată pe fundaţie este:

Factorul de siguranţă va fi:

valoare care este acceptabilă, dacă se poate tolera tasarea pilotului.

3.13. O fundaţie de 6 m lungime şi 1,2 m lăţime, trebuie realizată la o adâncime de 2 m. pământul are densitatea aparentă de 1,8 t/m3, coeziunea c = 47,9 kN/m2 şi = 80. Să se determine presiunea de reacţiune admisibilă, dacă talpa se află într-o argilă a cărui coeficient de compresibilitate m v este de 0,000522 m2/kN. Nu se poate admite decât o tasare redusă.

Rezolvare:

Skempton a arătat că:

(3.91)

În situaţia prezentată în problemă, acest factor este:

66

Inversul produsului dintre c şi mv va fi:

Această valoare încadrează materialul în categoria pământurilor moi sau normal consolidate, iar factorul de siguranţă pentru o tasare de 25 mm se situează în vecinătatea valorii 8.

Utilizând coeficienţii lui Terzaghi, fig.3.13, avem:

Nc = 8 ; Nq = 3 ; N = 3

(3.92)

care este sarcina de rupere pentru o fundaţie de mică adâncime.Presiunea de reacţiune admisibilă, ţinând seama de presiunea stratelor acoperitoare, este:

Prin urmare, sarcina totală este:

Dacă se presupune că fundaţia este la adâncime mare, atunci sarcina totală va fi mult mai mare.

Pentru = 80 şi utilizând valorile aproximative ale factorilor lui Meyerhof, pentru o fundaţie adâncă cu o adâncime mai mare decât lăţimea tălpii, obţinem:

Nc = 18 ; Nq = 3 ; N = 1,8

Sarcina netă de rupere este:

3.14. Un stâlp de hangar cu utilizare de depozit, trebuie realizat pe o fundaţie pătrată. Datorită existenţei canalizărilor şi fundaţiilor în apropiere, talpa nu poate avea o latură mai mare de 2 m. La ce adâncime trebuie amplasată talpa pătrată pentru a suporta în mod sigur o sarcină de 1800 kN ? Argila are = 1,92 9,81 kN/m3 şi este preconsolidată la o coeziune de 112 kN/m2.

Rezolvare:

Presupunând o creştere de 25 % a sarcinii de rupere în raport cu cea a unei tălpi alungite, sarcina netă de rupere a tălpii pătrate este de:

(3.93)

67

În cazul unei argile preconsolidate şi a unei tasări admisibile de 75 mm, ceea ce nu este inacceptabil pentru un hangar depozit, factorul de siguranţă este de aproximativ 3 (vezi tabelul 3.10). Utilizând acest factor, pentru presiunea de reacţiune admisibilă, avem sarcina de rupere netă împărţită la factorul de siguranţă plus presiunea stratelor acoperitoare, adică:

(3.94)

sau:

(3.95)

Valoarea lui Nc, după Skempton, pentru o talpă pătrată situată pe un strat de argilă este funcţie de adâncimea de la care se realizează această talpă. În consecinţă, ecuaţia se poate rezolva imediat prin metoda aproximărilor succesive, după calculul estimativ al valorii lui z, tabelul 3.11.

Tabelul 3.11.Valorile coeficientului Nc

B = 2 m1,0 1,5 2,0 3,0

Nc 7,7 8,1 8,4 8,82,5 1,93 20,3 21,0 22,0z 2,0 3,0 4,0 6,0

2,5 Nc + z 21,3 23,3 25,0 28,0

Reprezentând grafic valorile de pe ultima linie din tabelul 3.11 în funcţie de z, fig.3.19, se stabileşte că valorii de 23,9 îi corespunde o adâncime a fundaţiei de aproximativ 3,3 m. Se verifică valoarea găsită, adică:

Prin urmare, Nc = 8,2 (din fig.7.14) şi se calculează:

Mărimea (2,5 Nc + z) trebuie să fie egală cu 23,9 şi se observă că eroarea este de 0,1 care este

68

18

20

22

24

26

28

30

0 2 4 6 8

adâncimea z, [m]

2,5

Nc

+ z

; 2

3,9

Fig.3.19. Reprezentarea grafică a lui 2,5 Nc + z

acceptabilă.3.15. Se cere să se estimeze sarcina ce poate fi suportată de un pilot înfipt într-un pământ având coeziunea de 72 kN/m2, = 1,76 9,81 kN/m3 şi = 100. Pilotul este înfipt în pământ pe o adâncime de 15 m, secţiunea sa transversală este pătrată şi are latura de 400 mm.

Rezolvare:

Capacitatea portantă se determină la fel ca şi pentru o talpă de dimensiuni mai mari.Meyerhof indică nişte valori semiempirice pentru Nc şi Nq, fig.3.20, pentru doi piloţi înfipţi în

pământ, cu vârfurile de 600. Sarcina netă de rupere (cunoscând că Nc = 25; Nq = 3,2) este:

Această sarcină trebuie înmulţită cu suprafaţa. Totodată, în cazul fundaţiilor pe piloţi este importantă frecarea laterală pe corpul pilotului. Experienţele au arătat că în cazul betoanelor rugoase, frecarea laterală este în jur de (0,8 c) sau puţin mai mare şi că pentru piloţi din oţel ea este ceva mai mică, între (0,6 – 0,8 c). Este totuşi permis să se admită un plus de frecare laterală asupra corpului pilotului şi această toleranţă poate fi importantă în cazul proiectării. Sarcina totală de rupere este egală cu presiunea pe laturile pătratului plus frecarea laterală:

Prin aplicarea unui factor de siguranţă convenabil, se obţine sarcina admisibilă.

3.16. Un ansamblu de piloţi (a căror centre sunt aliniate în spaţiu la distanţa de 1 m) are forma unui plan pătrat cu latura egală cu 4 m. piloţii au lungimea de 9 m şi sunt înfipţi într-un material cu coeziunea de 89 kN/m2. Unghiul de frecare interioară este = 50 şi = 1,75 9,81 kN/m3. Diametrul piloţilor este de 250 mm. Să se determine factorul de siguranţă minim pe care se poate conta, faţă de riscul scufundării prin

69

Fig.3.20. Factorii capacităţii portante pentru tălpi pătrate şi piloţi (după Meyerhof).

răsturnare provocat de ruperea prin forfecare a ansamblului de piloţi (Nc = 15; Nq = 1,7).

Rezolvare:

Utilizând factorii capacităţii portante prezentaţi în fig.3.20, sarcina netă de rupere a unui pilot este:

Sarcina totală de rupere pentru fiecare pilot, incluzând şi efectul frecării laterale pe periferia acestuia, este:

1600 x suprafaţa bazei pilotului + (0,8 c) x suprafaţa laterală a fiecărui pilot == 1600 ( 0,1252) + (0,8 89) (9 0,25) = 579 kN

Într-un plan pătrat cu latura de 4 m, distanţa între centrele piloţilor fiind de 1 m, rezultă că există în total 25 de piloţi. Sarcina de rupere totală este dată de cei 25 piloţi care suportă fiecare 579 kN, adică:

579 25 = 14.500 kN

Totodată, sarcina de rupere a unui ansamblu de piloţi se obţine considerând acest ansamblu ca o talpă pătrată, adică:

unde: Nc = 8 şi Nq = 1,6 (fig.3.20.).Sarcina totală de rupere ţinând seama de frecarea laterală la periferia ansamblului de piloţi, este:

960 x suprafaţa în plan a grupului de piloţi + frecarea laterală x x suprafaţa laterală a tălpii pătrate pe care este amplasat grupul de piloţi == 960 x 42 + (0,8 x 89) x 4 x 9 x 4 = 25.550 kN

Terzaghi şi Peck au insistat asupra faptului că teoretic, sarcina totală (sarcina de siguranţă pe fiecare pilot înmulţită cu numărul de piloţi) nu trebuie să fie mai mare de o treime din sarcina totală calculată pentru întreg ansamblul de piloţi, pentru a evita cufundarea. În consecinţă, teoretic, sarcina pentru acest grup de piloţi nu trebuie să depăşească:

Dacă se împarte sarcina totală de rupere (obţinută înmulţind sarcina de rupere a unui pilot cu numărul piloţilor) la această valoare, rezultatul este:

Această valoare este factorul de siguranţă minim. Că această valoare este sau nu satisfăcătoare, depinde de sensibilitatea lucrării la deplasare sau de riscul condiţiilor neomegene ale pământului situat sub diferite porţiuni ale fundaţiei. O creştere a factorului de siguranţă poate fi obţinut prin îndepărtarea piloţilor unul faţă de celălalt, în vederea obţinerii unei contribuţii mai mare a frecării laterale.

70

3.4. STAREA DE TENSIUNE ÎN TERENUL DE FUNDARE

Cunoaşterea modului în care solicitările date de o fundaţie sunt transmise pământului pe care aceasta este realizată, cât şi intensitatea şi distribuţia tensiunilor create în pământul respectiv, sunt de o mare importanţă pentru inginerul proiectant. Astfel de cunoştinţe permit pe de o parte estimarea tasărilor posibile şi a capacităţii portante limită, iar pe de altă parte utilizarea corectă a acestora, în paralel cu precizarea că ele furnizează datele necesare calculului de dimensionare a structurii fundaţiilor.

Cea mai mare parte a procedeelor utilizate în mod curent pentru studiul repartizării tensiunilor în interiorul masei de pământ, sau de rocă, se bazează pe teoria elasticităţii sau pe modificările empirice aduse soluţiilor matematice exacte ale teoriei elasticităţii. De fapt, aceste ipoteze presupun că materialul fundaţiei este:

1 – cu o extindere semiinfinită;2 – izotrop;3 – omogen;4 – elastic şi respectă legea lui Hooke.

Rareori însă, pământurile naturale se supun uneia din aceste ipoteze, dar absenţa altor procedee corecte de aproximare impun utilizarea lor, care practic este indispensabilă. Repartizările calculate ale tensiunilor nu trebuie să fie considerate decât ca un ghid de cunoaştere a ordinului de mărime a efectelor acestor tensiuni.

Utilizând teoria elasticităţii se pot stabili soluţiile multor probleme referitoare la lucrările miniere, cât şi rezolvarea lor pe cale analitică. În acest capitol vor fi prezentate o serie de soluţii, de metodologii de rezolvare a problemelor legate de fundaţii.

3.17. Să se stabilească modul de repartizare a tensiunii verticale în planele orizontale, până la o adâncime de 12 m, în dreapta liniei de acţiune a unei forţe verticale concentrate de 800 kN, perpendiculară pe suprafaţa superioară plană a unui mediu semiinfinit elastic, izotrop şi omogen.

Rezolvare:

Această problemă constitue modul de plecare în rezolvarea numeroaselor probleme referitoare relativ la tensiunile provocate de încărcările date de fundaţii. Soluţia acestei probleme (publicată de Boussinesq în 1885) arată că tensiunea verticală care acţionează direct pe un plan orizontal la adâncimea z (fig.3.21, punctul O), este:

71

În general, această ecuaţie este utilizată sub forma:

din care se obţine:

Acest factor de influenţă K, adimensional, a fost stabilit pentru diferite valori ale raportului r / z, rezultatele obţinute fiind prezentate în tabelul 3.12.

Pentru a obţine presiunea verticală la o adâncime dată (punctul O din fig.3.21) se înmulţeşte factorul de influenţă corespunzător cu valoarea forţei punctiforme P şi se împarte prin z2.

Factorii de influenţă pentru tensiunea verticală de forfecare sunt obţinuţi înmulţindu-se valorile lui K relativ la presiunea verticală cu valoarea corespunzătoare a raportului r / z.

În această problemă, avem că P = 800 kN, r = 0 pentru tensiunile axiale, iar din tabelul 3.12. rezultă pentru factorul de influenţă valoarea k = 0,4775. Rezultatele obţinute din calcule sunt prezentate în tabelul 3.13.

Tabelul 3.12.

Factorii de influenţă ai presiunii verticale corespunzători unei forţe punctiforme:

Factorul de influenţă K

Factorul de influenţă K

Factorul de influenţă K

0,000,100,200,30

0,47750,46570,43290,3849

1,001,101,201,30

0,08440,06580,05130,0402

2,002,102,202,30

0,00850,00700,00580,0048

72

Fig.3.21. Tensiunea verticală. Soluţia Boussinesq

0,40 0,3294 1,40 0,0317 2,40 0,00400,500,600,700,800,90

0,27330,22140,17620,13860,1083

1,501,601,701,801,90

0,02510,02000,01600,01290,0105

2,502,602,702,802,90

0,00340,00290,00240,00210,0018

Tabelul 3.13.

Valorile tensiunilor

z [m] z2 [m2] [kN / m2]

024681012

04163664100144

962411643

În final, aceste rezultate se vor reprezenta grafic.

3.18. În situaţia prezentată la problema 7.16., să se determine distribuţia tensiunii verticale într-un plan orizontal situat la adâncimea de 2 m în raport cu suprafaţa, până la o distanţă radială de 4 m, plecând de la linia de acţiune a sarcinii.

Rezolvare:

Sub forma cea mai simplă, calculele vor fi prezentate sub formă tabelară, tabelul 3.14.

Tabelul 3.14.

Valorile tensiunilor

z [m] r [m] K[kN / m2]

(a) (b) (c) (d) (e)

2 00,81,62,43,24,0

00,40,81,21,62,0

0,47750,32940,13860,05130,02000,0085

9666281042

Distribuţia tensiunilor este simetrică în raport cu axa şi în consecinţă, rezultatele indicate în coloana (e) din tabelul 3.14 se aplică pentru toate direcţiile radiale. Conform datelor prezentate, tabelul 3.14, se va putea obţine şi reprezentarea grafică a distribuţiei tensiunii verticale.

73

3.19. O fundaţie circulară este situată pe suprafaţa orizontală superioară a unei mase semiinfinite de pământ, a cărui proprietăţi se pretează ipotezelor obişnuite ale teoriei elasticităţii şi suportă o forţă de 800 kN. Presiunea de contact este uniformă, iar fundaţia este elastică. La baza fundaţiei nu există frecare. Diametrul fundaţiei este de 3 m. Să se stabilească modul de repartizare a tensiunii verticale în planele orizontale pe toată lungimea axei centrale a fundaţiei, până la adâncimea de 12 m în raport cu suprafaţa.(fig. 3.21)

Rezolvare:

Preluând derivata soluţiei lui Boussinesq pentru o forţă punctiformă, condiţiile la limita superioară arată că nu există tensiuni de forfecare în planul suprafeţei, nici tensiuni normale la suprafaţă (altele decât în punctul de aplicare al forţei). Prin urmare, tensiunile de pe conturul suprafeţei fac ca aceasta să se deformeze în direcţie verticală şi radială.

În acest exemplu se pot aplica aceleaşi condiţii la limită pe contur, datorită faptului că baza este fără frecare şi perfect elastică. Prin urmare, soluţia lui Boussinesq poate fi utilizată şi în mod convenabil integrată pentru o forţă repartizată.

Vom considera un element al fundaţiei reprezentat în plan, aşa cum se arată în fig.3.21, delimitat de razele OA, OB şi de arcele de cerc situate la distanţele radiale r şi (r + dr) faţă de centrul O.

Forţa aplicată pe elementul de suprafaţă este egală cu:

P = q r d dr (3.96)

în care q este intensitatea presiunii de contact.

Această forţă va produce tensiuni pe axa O, conform relaţiilor lui Boussinesq. Pentru tensiunea verticală dzz, vom obţine:

(3.97)

în care, ţinând seama că:

R2 = r2 + z2 (3.98)

Rezultă că:

(3.99)

Integrând ecuaţia (3.99) se obţine tensiunea totală ca fiind de forma:

74

Fig.3.21. Element de fundaţie reprezentat în plan

(3.100)

Datorită faptului că în această problemă q este independent de r şi de şi că este independent de toate celelalte mărimi, ecuaţia (7.100) se simplifică, în sensul că va fi nevoie să rezolvăm doar o integrală simplă (integrala de suprafaţă se transformă într-o integrală de lungime), obţinându-se astfel:

(3.101)

în care s-a notat:

(3.102)

Valorile factorului de influenţă K sunt date în tabelul 3.15.

Tabelul 3.15.

Valorile factorului de influenţă a presiunii verticale sub centrul unei suprafeţe circulare de diametru D, încărcată uniform:

Factorul de influenţă, K

Factorul de influenţă, K

Factorul de influenţă, K

0,000,200,400,600,801,001,201,401,601,80

0,00000,01480,05710,12130,19960,28450,36950,45020,52390,5893

2,002,202,402,602,803,003,203,403,603,80

0,64650,69560,73760,77330,80360,82930,85110,86970,88550,8990

4,004,204,404,604,805,005,205,405,605,80

0,91060,96840,98570,99250,99560,99720,99810,99900,99991,0000

Pentru a obţine presiunea verticală la o adâncime dată sub centrul suprafeţei circulare solicitate, se înmulţeşte factorul de influenţă corespunzător cu presiunea de contact q.

În această problemă se cunoaşte:

D = 2 R1 ; R1 = 1,5 m

75

Rezultatele obţinute în urma realizării calculelor sunt prezentate în tabelul 3.16. ar fi interesant să se facă şi o comparaţie a acestor rezultate cu cele din tabelul 3.13.

Tabelul 3.16.

Valorile tensiunilor

Adâncimea sub centrul suprafeţei, z [m] K

zz = q K[kN / m2]

0124681012

3,01,50,750,5

0,3750,3000,250

1,00000,82930,48800,18310,08690,05050,03280,0230

11394552110643

3.20. Un radier de fundaţie dreptunghiular, exercită pe suprafaţa unui pământ o presiune de contact de 115 kN / m2. Să se determine distribuţia tensiunii verticale în planele orizontale situate sub centrul fundaţiei, până la o adâncime de 18 m. Dimensiunile radierului sunt 36 m x 24 m.

Rezolvare:

Ar putea exista tendinţa de a rezolva această problemă într-o manieră asemănătoare cu cea adoptată la problema 3.18. Sunt însă necesare de efectuat o serie de integrări, care în mare parte au fost efectiv folosite de diferiţi autori.

Problema poate fi rezolvată utilizându-se curbele date de Fadum şi reprezentate în fig.3.22. Aceste curbe sunt raportate la presiunea predominantă ce acţionează asupra unei fundaţii dreptunghiulare sub un anumit unghi, dar ele pot fi utilizate întotdeauna. În cazul acestui exemplu se consideră că radierul fundaţiei este constituit din patru fundaţii separate, de dimensiuni 18 m x 12 m, în contact mutual cu unghiul lor comun din centrul fundaţiei de 36 m x 24 m. Contribuţia fiecăreia din cele patru fundaţii mai mici este estimată în mod separat, în final făcându-se suma acestora, întrucât se poate aplica principiul superpoziţiei. În problemă, cele patru fundaţii sunt identice, astfel că nu este necesar să se considere decât una dintre ele, iar tensiunile rezultante vor fi înmulţite cu 4. Rezultatele obţinute din calcule sunt prezentate în tabelul 3.17.

76

3.21. O fundaţie dreptunghiulară supune stratele pe care este situată la o presiune de contact netă de 215 kN / m2, uniform distribuită pe toată suprafaţa. Dimensiunile fundaţiei sunt 24 m x 12 m. Să se determine tensiunea verticală în punctul situat în spatele suprafeţei fundaţiei, pe verticala din punctul O, fig.7.23, la o adâncime de 8 m.

Tabelul 3.17.

Valorile tensiunilor verticale

Adâncimea,z

[m]

Factorul de influenţă,

If

Tensiunea verticală 4qIf

[kN / m2](a) (b) (c) (d) (e)0246891011

9,004,503,002,252,001,801,64

6,003,002,001,501,331,201,09

0,2500,2480,2460,2380,2250,2170,2100,200

155154153148140135130124

77

Fig.3.22. Diagrama lui Fadum.

12131415161718

1,501,381,291,201,131,061,00

1,000,930,860,800,750,710,67

0,1930,1850,1750,1700,1620,1560,146

1201151091051009791

Rezolvare:

Şi în cazul acestui tip de problemă pot fi utilizate graficele lui Fadum. Prin urmare, tensiunea în O se obţine considerându-se suprafaţa AEOH ca fiind solicitată şi în continuare se stabileşte efectul suprafeţei DCBEOH. Acesta din urmă se obţine considerând suprafeţele (DFOH + BEOG – CFOG) care au fiecare din ele punctul O comun. Rezultatele obţinute sunt date în tabelul 3.18.

Tabelul 3.18.

Elementele geometrice al fundaţiei si valoarea tensiunilor verticale

Suprafaţa L[m]

B[m]

If

Tensiunea verticală[kN / m2]

+ AEOH+ CFOG- DFOH- BEOG

3283220

20888

4,01,04,02,5

2,51,01,01,0

+ 0,243+ 0,176- 0,205- 0,203

+ 52,2+ 37,8- 44,11- 43,6

= + 2,3

78

A

D

HO

F

G

G

B 8 m E24 m

12 m

8 m

Fig.3.23. Fundaţie dreptunghiulară

q = 215 kN/m2

Se obţine că tensiunea verticală are valoarea de 2,3 kN / m2 şi se poate preciza că este o tensiune de compresiune.

3.22. O fundaţie dreptunghiulară este perfect elastică şi suportă pe suprafaţa sa superioară o sarcină de 360 kN / m2. Dimensiunile fundaţiei sunt 4,5 m x 3 m. Să se determine presiunea verticală la o adâncime de 6 m

sub punctul A situat aşa cum arată reprezentarea din fig.3.24. Se presupune că fundaţia nu are greutate proprie.

Rezolvare:

Datorită faptului că fundaţia este elastică, distribuţia presiunii de contact va fi identică cu distribuţia sarcinii la partea superioară a fundaţiei. Acest tip de problemă va fi rezolvată prin integrarea numerică a ecuaţiei lui Boussinesq pentru o forţă punctiformă. În acest scop, fundaţia este împărţită într-un număr convenabil de suprafeţe (în acest caz vor fi 9 suprafeţe). Se presupune că sarcina repartizată se comportă ca un sistem de forţe punctiforme distincte,

a căror puncte de aplicare sunt situate respectiv în centrul de greutate al fiecărei suprafeţe individuale.

Forţa care acţionează pe fiecare suprafaţă este:

P = 1,5 1 360 = 540 kN

Ecuaţia lui Boussinesq se va aplica fiecărei suprafeţe în parte, iar rezultatele se vor aduna, tabelul 3.19.

Tabelul 3.19.

Factorii de influenţă ai presiunii verticale

Numărul suprafeţei

Ordonata y a centrului de

greutate[m]

Abscisa x a centrului de

greutate[m]

Raza

[m]

K(din tabelul 7.12.)

1234567

+ 0,5+ 0,5+ 0,5- 0,5- 0,5- 0,5- 1,5

+ 2,25+ 0,75- 0,75+ 2,25+ 0,75- 0,75+ 2,25

2,300,900,902,300,902,702,70

0,380,150,150,380,150,150,45

0,34050,44930,44930,34050,44930,44930,3013

79

1,5 m

1,5 m

1,5 m

1 m

1 m

1 m

3 m

1

4

7

1=58

3

6

9

2 x

y

4,5 m

Fig.3.24. Fundaţie dreptunghiulară

89

- 1,5- 1,5

+ 0,75- 0,75

1,681,68

0,280,28

0,39450,3945

Tensiunea corespunzătoare unui element solicitat, este:

, i = 1, … , 9 (3.103)

Prin urmare, tensiunea totală va fi:

(3.104)

şi datorită faptului că în acest caz P şi z sunt identice pentru fiecare element, vom avea:

3.23. Talpa alungită a unei fundaţii de lungime mare şi lăţimea de 2 m, suportă o sarcină de 500 kN / m.l. Această fundaţie poate fi presupusă elastică şi suprafaţa sa inferioară netedă. Să se calculeze tensiunea verticală maximă la adâncimea de 5 m sub fundaţie, utilizându-se o metodă aproximativă de distribuţie a tensiunilor.

Rezolvare:

Există un număr destul de mare de astfel de metode la care, în general, precizia de calcul creşte progresiv şi proporţional cu îndepărtarea de zona solicitată. Vom menţiona aici doar două dintre aceste metode.

Prima metodă, metoda lui Kogler, presupune că tensiunea verticală este nulă începând de la limitele definite de dreptele ce prelungesc laturile bazei şi sunt înclinate cu 550 în raport cu verticala şi că variaţia acestei tensiuni este cea reprezentată în diagrama din fig.3.25.

Din această diagramă rezultă că:

80

Fig.3.25. Variaţia tensiunii. Metoda

Kogler.

Corespunzător faptului că forţa verticală totală orientată în jos trebuie să fie egală cu forţa aplicată fundaţiei, se poate obţine soluţia pentru zz. În acest exemplu, avem:

B = 2 m; ; z = 5 m

Vom considera unitatea de lungime a tălpii fundaţiei. În condiţii de echilibru:

de unde rezultă că:

A doua metodă, cea care este chiar mai simplu de aplicat, presupune că distribuţia tensiunii verticale este de forma celei prezentate în fig.3.26. În acest caz, avem:

L = B + z

Ţinând seama de această relaţie în cazul problemei noastre, vom obţine:

Teoretic, valoarea corectă este de 62 kN / m2.

81

Fig.3.26. Diagrama de variaţie a

tensiunii verticale

Concordanţa dintre aceste valori nu este întotdeauna bună şi în consecinţă, trebuie luate anumite măsuri în utilizarea acestor reguli empirice în rezolvarea problemelor practice.

3.24. O fundaţie pătrată suportă o forţă verticală totală de 5,4 MN. Să se calculeze variaţia presiunii verticale în funcţie de adâncime, pe axa centrală a fundaţiei, presupunând că presiunea de contact admisibilă este de 150 kN / m2; 337,5 kN / m2 şi 1,35 MN / m2. Să se determine această variaţie pentru o forţă punctiformă şi în cazul unei presiuni de contact de 150 kN / m2, calculată utilizând metoda aproximativă de la problema 3.22, ştiind că panta (înclinarea suprafeţei) este de 1:2.

Rezolvare:

Calculele au fost efectuate utilizând coeficienţii lui Boussinesq pentru o forţă punctiformă şi tabelele lui Fadum pentru forţe distribuite. Răspunsurile la întrebările formulate în enunţul problemei se regăsesc în tabelul 3.20, pentru adâncimi de până la 18 m.

Tabelul 3.20.

Variaţia presiunii verticale

Adâncimea sub fundaţie

[m]

Tensiunea verticală (în kN / m2) produsă de: Presiunea150

kN / m2

(metoda pantei 1:2)

forţa punctiformă

presiunea150

kN / m2

presiunea337,5

kN/ m2

presiunea1,35

MN / m2

024681012141618

6451617240261813108

150129835339231714118

3382381175838271714108

13504701587138271714108

15084543828211714119

Latura fundaţiei pătrate, [m] 0 6 4 2 6

Trebuie să reamintim faptul că dacă se utilizează metodele aproximative, atunci repartizarea tensiunilor are loc după două direcţii.

82

În cazul metodei cu panta 1:2, suprafaţa care suportă forţa la adâncimea z, este dată de (B + z) 2, unde B reprezintă lăţimea fundaţiei.

Rezultatele arată că există o concordanţă foarte bună între diferitele valori calculate pentru adâncimi de peste aproximativ 8 m, dacă se exclude metoda cu panta 1:2. Dacă însă se ţine seama şi de această metodă, rezultate comparabile sunt obţinute pentru adâncimi mai mari de 12 m. De aici se poate constata un fapt de mare importanţă practică, în sensul că se observă că o creştere a suprafeţei fundaţiei de la 4 m 2 la 36 m2 nu afectează într-un mod semnificativ tensiunile, peste o adâncime de peste 8 m, dacă sarcina totală suportată este menţinută constantă. Aceasta exprimă în mod evident principiul binecunoscut a lui Saint – Venant, frecvent întâlnit în teoria elasticităţii. Dacă se produce o tasare prin consolidare a unui strat situat la adâncime mare, nu este posibil să se reducă deplasările prin diminuarea presiunii de reacţiune admisibilă şi prin mărirea dimensiunilor fundaţiei. Factorul care influenţează în mod deosebit este de fapt sarcina totală suportată.

3.25. Trebuie realizat un şanţ de 3 m lăţime, 6 m lungime şi pe o adâncime de 2,4 m sub nivelul unui strat de pământ având densitatea aparentă 2000 kg/m3. Care va fi efectul său asupra repartiţiei presiunilor verticale până la o adâncime de 6 m sub punctul central al fundaţiei ?

Rezolvare:

Înaintea executării lucrărilor de săpare a şanţului, presiunea verticală este constantă pe toată suprafaţa planului orizontal şi este egală cu:

După realizarea şanţului, starea de tensiune este modificată în apropierea excavaţiei. Dacă se acceptă că sunt valabile ecuaţiile lui Boussinesq pentru sarcini aplicate la adâncimi mici în raport cu suprafaţa, atunci se poate determina repartiţia tensiunilor cerută în enunţul problemei.

Înaintea executării şanţului, la adâncimea de 2,4 m, presiunea verticală este:

După săparea şanţului, presiunea la acest nivel este zero. În consecinţă, se poate compara cu o excavaţie la aplicarea unei presiuni de contact negativă (adică orientată în jos) la nivelul tălpii şanţului, având o valoare de 47 kN/m2. Rezultatele obţinute din calcul sunt date în tabelul 3.21.

Tabelul 3.21.

Variaţia presiunilor verticale

Adâ

ncim

ea s

ub n

ivel

ul

de o

rigi

ne a

păm

ântu

lui

[mat

erii

pri

me,

m

ater

iale

]A

dânc

imea

sub

niv

elul

ex

cava

ţiei

, zm

(a)–

2,4m

Raportul n din legea lui Fadum

Raportul m din legea lui Fadum

Fac

toru

l de

infl

uenţ

ă I f

Var

iaţi

a te

nsiu

nii

4I f

(-4

7)[k

N /

m2 ]

Ten

siun

ea in

iţia

lă

core

spun

zăto

are

stra

telo

r ac

oper

itoa

re(a

) x

19,6

[kN

/ m

2 ]

Ten

siun

ea f

inal

ă du

pă

exca

vare

(g)

+ (

f) [

kN /

m2 ]

(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h)

83

02,43,64,86,0

- 2,40

1,22,43,6

--

2,501,250,83

--

1,250,6250,417

-0,2500,2180,1470,100

-- 47- 41- 28- 19

0477194118

00306699

Datele obţinute din calcul sunt reprezentate grafic în fig.3.27.

3.26. Un radier dreptunghiular de fundaţie are ca dimensiuni 12 m x 15 m şi suportă o sarcină totală de 24 MN. Radierul este situat în interiorul unui depozit uniform de nisip, care la rândul lui se află pe un strat compresibil de argilă cu grosimea de 3,2 m. Proprietăţile stratului de nisip sunt următoarele:

Densitatea în stare uscată 1950 kg / m3

Greutatea volumetrică a particulelor de nisip 2,65 g / cm3

Umiditatea nisipului situat deasupra nivelului hidrostatic 9 %

Adâncimea, în raport cu suprafaţa, la care se află nivelul hidrostatic 4,3 m

Grosimea stratului de nisip 6,4 m

Presiunea de contact poate fi presupusă uniformă pe toată suprafaţa radierului.

a) Utilizând graficele din fig.7.22, să se determine adâncimea la care trebuie amplasat radierul, după ce creşterea tensiunii verticale în argilă s-a stabilizat la o valoare de 75 kN / m 2. Trebuie admis prin ipoteză că ecuaţia lui Boussinesq este valabilă pentru fundaţii îngropate, puţin adânci.

b) Fundaţia fiind amplasată la o adâncime determinată la punctul a), care este presiunea verticală totală maximă la baza stratului de argilă, dacă densitatea aparentă a argilei este de 2020 kg / m3 ?

Rezolvare:

84

Fig.3.27. Diagrama de variaţie a presiunii veritcale

a) Presiunea medie de contact pe suprafaţa comună dintre pământ şi fundaţie este de:

24 102 : 12 15 = 133 kN / m2

Densitatea aparentă a nisipului situat deasupra nivelului hidrostatic este:

a n = 1950 1,09 = 2126 kg / m3

Înaintea realizării fundaţiei, presiunea verticală la adâncimea D (m) în stratul de nisip nu poate fi atribuită decât prezenţei tensiunilor din stratele acoperitoare şi va fi egală cu:

2126 9,81 D kN / m2 = 20,86 D kN / m2

pentru valori ale lui D mai mici de 4,3 m, adică până la nivelul hidrostatic.

Creşterea tensiunii verticale în argilă este datorată presiunii nete ce acţionează la nivelul fundaţiei. Presiunea netă este definită ca fiind diferenţa dintre presiunea dată de fundaţie (a se înţelege greutatea sa proprie şi toată greutatea situată deasupra bazei sale) şi presiunea existentă anterior, la nivelul fundaţiei. În această problemă, prima din aceste presiuni este presiunea de contact cu valoarea de 133 kN / m 2 şi a doua este presiunea dată de stratele acoperitoare existentă iniţial, egală cu 20,86 D kN / m 2, în care D reprezintă acum adâncimea fundaţiei.

Presiunea netă = (133 – 20,86 D) kN / m2, D 4,3 m.

Dacă radierul ar fi fost situat aproximativ la o adâncime de:

133 : 20,86 = 6,38 m

presiunea netă şi prin urmare, creşterea tensiunii verticale în argilă ar fi fost amândouă nule. Astfel, adâncimea reală necesară fundaţiei va fi în mod clar inferioară valorii de 6,38 m.

După stabilirea adâncimii de fundare necesară, se vor efectua calculele utilizându-se trei valori de încercare, iar soluţia reală se va găsi prin interpolare.

În consecinţă:

- cu un radier la o adâncime de 0 m, presiunea netă este de 133 kN / m2;

- cu un radier la o adâncime de 1,5 m, presiunea netă este de 102 kN/m2;

- cu un radier la o adâncime de 3 m, presiunea netă este de 70 kN / m2.

Creşterea maximă a tensiunii verticale în argilă se va produce pe suprafaţa sa superioară, adică cel mai aproape de fundaţie şi sub centrul radierului. Această suprafaţă este la 6,4 m adâncime în raport cu suprafaţa. Rezultatele obţinute în urma efectuării calculelor sunt prezentate sub formă tabelară, tabelul 3.22.

Tabelul 3.22.

Variaţia factorilor de influenţă funcţie de adâncimea fundaţiei

Adânci-mea

propusă a fundaţiei,

D[m]

Adânci-mea

suprafeţei stratului de argilă sub fundaţie, z

[m]

Raportul n din legea lui Fadum

Raportul m din

legea lui Fadum

Factorul de

influenţă If

(vezi fig.7.22.)

Factorul de

influenţă x 4

4 If

Presiunea netă

[kN/m2]

Creşterea tensiunii verticale(g) x (f)[kN/m2]

85

(vezi fig.7.22.)

(vezi fig.7.22.)

(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h)0

1,53,0

6,44,93,4

1,171,532,21

0,941,221,76

0,1020,2060,230

0,7280,8240,920

13310270

96,884,064,4

2,3 4,1 1,83 1,46 0,220 0,880 85 74,8

Prin interpolare grafică se stabileşte că adâncimea la care trebuie să fie amplasat radierul, pentru a limita creşterea tensiunilor verticale în argilă la 75 kN / m2, este de 2,3 m. Ultima linie din tabelul 3.22 reprezintă un calcul de verificare. Această adâncime situează radierul deasupra valorii adâncimii de 4,3 m al nivelului hidrostatic şi în consecinţă, calculele efectuate pentru presiunea netă sunt corecte. Dacă nu s-ar fi obţinut acest rezultat ar fi fost necesar să se accepte o toleranţă convenabilă pentru densitatea aparentă diferită a nisipului situat sub nivelul hidrostatic.

b) Fundaţia fiind la adâncimea de 2,3 m, distanţa z până la baza stratului de argilă devine:

6,4 + 3,2 – 2,3 = 7,3 m

Atunci: n = 1,03 ; m = 0,82 ; If = 0,162 ; 4 If = 0,648.

Prin urmare, creşterea maximă a tensiunii verticale la baza stratului de argilă este de:

0,648 85 = 55 kN /m2

După obţinerea presiunii verticale totale maxime, la această valoare trebuie adăugată presiunea dată de stratele acoperitoare.

Densitatea aparentă a nisipului de deasupra nivelului hidrostatic a fost deja calculată, iar cea a argilei este dată în problemă.

Densitatea aparentă a nisipului de sub nivelul hidrostatic poate fi obţinută astfel:

densitatea în stare uscată = 1950 kg / m3

Aceasta nu se va modifica prin saturare şi prin urmare, volumul particulelor solide în 1 m3 de nisip saturat, este:

V = 1950 : (2,65 1000) = 0,736 m3

şi deci indicele golurilor va fi:

86

Densitatea aparentă în stare saturată va fi:

Presiunea dată de stratele acoperitoare este:

Presiunea verticală totală maximă la baza stratului de argilă va fi:

55 + 199 = 254 kN / m2

3.27. În cazul în care fundaţia descrisă la problema 3.3 transmite o sarcină de 800 kN pe suprafaţa unui strat , cu o presiune de contact care variază liniar de la o valoare maximă în centrul fundaţiei, până la o valoare nulă la periferia acesteia, să se determine influenţa pe care o exercită asupra tensiunilor calculate anterior.

Rezolvare:

În problema precedentă, tensiunea (vezi relaţia (3.100)) a fost obţinută integrând expresia σzz, relaţia (3.99). În acest caz însă, q este funcţie de r şi în acelaşi timp independent de . Prin urmare, pentru a putea rezolva această problemă, va fi necesar să se stabilească de la început relaţia care există între q şi r. Dacă presiunea de contact maximă (adică în centrul fundaţiei) se notează cu qmax, atunci:

(3.105)

Presiunea de contact variabilă, trebuie să echilibreze sarcina totală aplicată P, adică:

(3.106)

relaţie din care rezultă că presiunea de contact maximă qmax este de 3 ori presiunea medie , adică:

(3.107)

Din relaţiile (4.12) şi (4.10) se obţine că:

87

(3.108)

Substituindu-se q în ecuaţia (3.100) se obţine:

(3.109)

în care factorul de influenţă [K] este:

(3.110)

Evoluţia componentelor tensiunii verticale este dată în tabelul 3.23, qmed având valoarea de 113 kN/m2, la fel ca şi în problema 3.3.

Tabelul 3.23.

Variaţia tensiuni zz

Adâncimea sub centrul fundaţiei

z, [m]K

zz = qmed K[kN/m2]

0124681012

3,0001,5000,7500,5000,3750,3000,250

3,00001,33590,60000,19110,08970,05130,03330,0231

339151682210643

3.28. Două fundaţii pătrate cu latura de 3 m, sunt amplasate astfel încât distanţa dintre centrele lor să fie de 5 m şi laturile lor paralele, pe suprafaţa orizontală a unui strat de pământ. Fiecare din ele suportă o sarcină verticală (a se înţelege greutatea lor proprie) de 3,6 MN. Să se determine distribuţia tensiunii verticale în planul orizontal situat la o adâncime de 6 m, pe dreapta care uneşte centrele lor. Presiunile de contact pot fi presupuse ca fiind uniforme.

88

Rezolvare:

Acest tip de problemă reprezintă un exerciţiu de determinare a efectelor combinate a două fundaţii. Întrucât, în mod curent, metoda de bază de rezolvare adoptată presupune o elasticitate liniară, soluţia este obţinută prin aplicarea principiului superpoziţiei, ceea ce atrage după sine faptul că rezultatul este o simplă sumă algebrică a efectelor produse de fiecare din fundaţii analizate separat. Presiunea medie de contact este:

Datorită faptului că ambele fundaţii au dimensiuni şi sarcini identice, va fi suficient să se efectueze calculele detaliate a tensiunilor numai pentru una din acestea. Metoda de rezolvare va fi cea reprezentată în fig.3.22. Întrucât există simetrie în raport cu dreapta care uneşte centrele fundaţiilor, va fi considerată numai o jumătate din lăţime, iar rezultatele vor fi înmulţite cu 2. Mai mult, aplicându-se modul de calcul prezentat în fig.3.23, rezultatul va fi obţinut ca suma algebrică a rezultatelor celor două zone dreptunghiulare solicitate.

În ansamblul calculelor rezultante prezentate în tabelul 3.24, adâncimea z este de 6 m, obţinându-se tensiunile (col. (j)) corespunzătoare sarcinii pe una din fundaţii, la diferite distanţe faţă de centrul acesteia (col. (a)). Tensiunile verticale rezultante, corespunzătoare sarcinilor pe cele două fundaţii, sunt obţinute în continuare aşa cum este indicat în tabelul 3.25.

De menţionat că, în tabelul 3.25., la adâncimea particulară de 6 m pentru care sunt făcute calculele, pământul situat între fundaţii este solicitat mai puternic decât cel situat imediat sub acestea. Efectul de interacţiune al celor două fundaţii se poate observa foarte clar comparându-se valorile din coloana (b) cu cele din coloana (c).

Tabelul 3.24.

Variaţia tensiunii verticale funcţie de distanţa de la centrul fundaţiei

Dis

tanţ

a de

la

cent

rul f

unda

ţiei

[m

]

Lăţ

imea

B

[m]

Lun

gim

ea L

[m]

I f el

emen

tar

I f re

zult

ant

I f re

zult

ant x

2

Ten

siun

ea v

erti

cală

(h)

x 40

0 [k

N/m

2 ](a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (j)

0 1,5 + 1,5 0,250 + 0,028

0,250 0,056 0,112 44,8

+ 1,5

+ 1,5

0,250

0,417

+ 0,028

+ 0,043

1 1,5

0,250 0,052 0,104 41,6

+ 0,5

+ 3,5

0,083

0,583

+ 0,009

+ 0,052

2 1,5

0,250 0,043 0,086 34,4

89

- 0,5

+ 4,5

0,083

0,750

- 0,009

+ 0,062

3 1,5

0,250 0,034 0,068 27,2

- 1,5

+ 5,5

0,250

0,917

- 0,028

+ 0,065

4 1,5

0,250 0,022 0,044 17,6

- 2,5

+ 6,5

0,417

1,083

- 0,043

+ 0,068

5 1,5

0,250 0,016 0,032 12,8

- 3,5 0,583 - 0,052

Tabelul 3.25.

Tensiunea corespunzătoare sarcinii pe cele doua fundaţii

Distanţa de la centrul fundaţiei

[m]

Tensiunea verticală corespunzătoare sarcinii pe fundaţie indicată în coloana (a) [kN/m2]

Tensiunea verticală corespunzătoare sarcinii pe cele

două fundaţii [kN/m2](a) (b) (c)012345

44,841,634,427,217,612,8

44,8 + 12,8 = 57,641,6 + 17,6 = 59,234,4 + 27,2 = 61,627,2 + 34,4 = 61,617,6 + 41,6 = 59,212,8 + 44,8 = 57,6

3.29. O forţă verticală de 500 kN este aplicată la o adâncime de 5 m sub suprafaţa unui pământ care are coeficientul lui Poisson egal cu 0,50. Să se traseze distribuţia tensiunii verticale de-a lungul liniei (direcţiei) de acţiune a forţei, până la o adâncime de 15 m. Să se compare cu ecuaţia lui Boussinesq.

Rezolvare:

Pentru aflarea soluţiei acestei probleme vom utiliza tabelul 3.26.

Tabelul 3.26.

Factorul de influenţă al presiunii verticale corespunzător unei sarcini verticale punctiforme care acţionează la o adâncime “d” sub nivelul suprafeţei. Coeficientul lui Poisson = 0,50:

r / d

z / d0 0,2 0,4 0,6 1,0 1,4 2,0 2,5 3,0

1,0 0,115 0,103 0,086 0,051 0,026 0,008 0,003 0,001

90

1,21,41,61,82,02,22,42,62,83,0

6,0671,5740,7320,4310,2890,2090,1600,1260,1030,086

0,1500,9340,5770,3780,2660,1970,1530,1230,1010,084

0,1940,3380,3280,2680,2120,1680,1360,1120,0930,079

0,0940,1440,1740,1720,1540,1330,1140,0970,0830,072

0,0500,0550,0650,0730,0760,0750,0710,0660,0610,055

0,0270,0290,0330,0370,0400,0420,0430,0420,0410,039

0,0100,0110,0130,0150,0170,0190,0200,0210,0220,022

0,0040,0050,0060,0070,0090,0100,0110,0120,0130,014

0,0010,0020,0030,0040,0040,0050,0060,0070,0080,008

Pentru a obţine presiunea verticală la o adâncime z dată, se înmulţeşte factorul de influenţă corespunzător raportului dat (z / d) şi raportului distanţei radiale (r / d) cu forţa (sarcina punctiformă) P şi se împarte la d2.

Calculele referitoare la problema enunţată sunt date în tabelul 3.27.

Tabelul 7.27.

Variaţia tensiunii verticale σzz

z[m]

Factorul de influenţă

σ zz[kN/m2]

[m2]

σ zz după Boussinesq[kN/m2]

(a) (b) (c) (d) (e) (f)

56789101112131415

1,01,21,41,61,82,02,22,42,62,83,0

6,0671,5740,7320,4310,2890,2090,1600,1260,1030,086

12131159643322

0149162536496481100

2396027151075432

Din datele problemei avem că:

r = 0 (considerându-se axa)

d = 5 m

De unde rezultă:

Coloana (d) se obţine înmulţind coloana (c) cu 20. Coloana (f) este calculată utilizându-se factorul

lui Boussinesq 0,4775 care se înmulţeşte cu , unde zm este adâncimea sub punctul de aplicare al forţei,

adică:

zm = z – 5

Făcând o comparaţie între coloanele (d) şi (f), se observă că valorile lui Boussinesq sunt mai mari cu aproximativ 50 % pe o porţiune destul de mare a adâncimii studiate.

91

3.30. Un pilot vertical de 10 m lungime, suportă o forţă de 1 MN, deci 400 kN sunt suportaţi prin rezistenţa vârfului pilotului, iar restul de 600 kN prin frecarea laterală. Se presupune că materialul în care este fixat pilotul are coeficientul lui Poisson egal cu 0,50. Să se calculeze tensiunea verticală în punctul situat la 6,7 m sub vârful pilotului, la o distanţă radială măsurată pe orizontală de 2 m. Forţa de frecare este repartizată uniform pe toată lungimea pilotului.

Rezolvare:

Pentru rezolvare, vom utiliza tabelele 7.26. şi 7.28. Avem că:

r = 2 m ; z = 10 + 6,7 = 16,7 m

d = 10 m ; z / d = 1,67

Din tabelul 7.26. rezultă că factorul de influenţă este 0,497.

Tabelul 3.28.

Variaţia tensiunii verticale σzz

r / d

z / d0 0,2 0,4 0,6 1,0 1,4 2,0 2,5 3,0

1,01,21,41,61,82,02,22,42,62,83,0

-1,420,5400,3390,2390,1800,1410,1140,0940,0800,068

0,7500,6490,4400,3050,2240,1720,1360,1110,0930,0780,067

0,3370,3290,2890,2350,1880,1510,1240,1030,0870,0740,064

0,1890,1930,1860,1690,1470,1250,1070,0910,0790,0680,060

0,0670,0760,0820,0840,0820,0770,0720,0650,0590,0540,049

0,0250,0320,0370,0410,0440,0450,0450,0430,0410,0390,037

0,0060,0090,0120,0150,0170,0190,0210,0220,0220,0230,022

0,0020,0030,0050,0060,0080,0100,0110,0120,0130,0140,014

0,0010,0010,0020,0030,0040,0050,0060,0070,0080,0080,009

Pentru a obţine presiunea verticală la o adâncime z dată, se înmulţeşte factorul de influenţă corespunzător valorilor date ale raporturilor (z / d) şi distanţei radiale (r / d) cu valoarea totală a forţei P t

repartizată liniar şi se împarte la d2.

Tensiunea corespunzătoare forţei în vârful pilotului, este:

Din tabelul 3.28 rezultă că factorul de influenţă este de 0,273. Tensiunea corespunzătoare forţei de frecare repartizată uniform, va fi:

92

Tensiunea verticală totală va fi:

2,0 + 1,6 = 3,6 kN/m2

4. CALCULUL DEFORMAŢIILOR TERENULUI DE FUNDARE

4.1. GENERALITĂŢI. TIPURI DE DEFORMAŢII

Starea de tensiuni din terenul de fundare provocată de presiunile transmise de talpa fundaţiilor este însoţită la rândul său de o stare de deformare a terenului de fundare, care se concretizează prin deplasări ale tălpilor fundaţiilor faţă de poziţia iniţială a acestora. Deformaţiile terenului de fundare conduc la deplasări ale fundaţiilor pe verticală, pe orizontală şi la rotiri ale acestora.

Deplasările pe verticală ale fundaţiilor datorate deformării straturilor de pământ care alcătuiesc terenul de fundare se numesc tasări. Tasările şi rotirile fundaţiilor pot produce în elementele suprastructurii construcţiei modificări importante în starea de solicitare. Acelaşi efect îl poate avea şi tasarea neuniformă a fundaţiilor unei construcţii. Ele pot avea influenţe negative asupra exploatării normale a construcţiei dar şi asupra funcţionării corecte a utilajelor existente în aceste construcţii.

Cunoaşterea mărimii tasărilor fundaţiilor este o condiţie obligatorie în proiectarea construcţiilor pentru că în funcţie de acesta se stabileşte soluţia constructivă a fundaţiilor, cota de fundare şi resturile de tasare.

Tasările fundaţiilor au un caracter complex, ele sunt influenţate de natura terenului de fundare, de condiţiile de încărcare, de dimensiunile şi forma în plan a tălpii fundaţiilor.

În calculul deformaţiilor terenului de fundare se consideră că deformaţia acestuia coincide, în fiecare punct, cu deformaţia tălpii fundaţiei, prin păstrarea permanentă a contactului între aceste două elemente.

Tasarea unui pământ se consideră a fi compusă din tasarea instantanee datorată schimbării de formă sub volum constant şi a reducerii volumului de goluri şi tasarea din consolidarea primară datorată reducerii progresive în timp a volumului de goluri şi disipării excesului presiunii apei din pori în cazul pământurilor saturate.

Se deosebesc următoarele tipuri de deformaţii:-tasarea absolută a fundaţiilor izolate s, reprezintă deplasarea pe verticală a unui punct al

fundaţiei, sau a întregii fundaţii izolate sau continue, fig.4.1a;-tasarea medie a construcţiei sm, reprezintă media a cel puţin trei tasări absolute ale unor fundaţii

izolate ale construcţiei respective, cu condiţia ca tasările absolute să nu depăşească 50% din valoarea tasării medii a construcţiei, adică s-sm 0,50 sm;

-tasarea relativă srel, reprezintă diferenţa dintre tasările absolute a două fundaţii învecinate, raportată la distanţa dintre ele, srel = (s2 – s1) L, fig.4.1b;

-înclinarea fundaţiei tg =(smax–smin)/L, reprezintă diferenţa tasărilor absolute a două puncte extreme ale tălpii fundaţiei, raportată la distanţa dintre acestea, fig.4.2a

93

s s2 s1

N

l

Fig.4.1. Tasarea absolută şi relativă

ab

- încovoierea relativă f, reprezintă raportul dintre săgeata şi lungimea părţii de construcţie care se încovoaie, fiind o caracteristică a fundaţiilor flexibile de lungime mare, fig.4.2b:

(4.1)

Tasarea uniformă a straturilor de pământ pentru fundaţiile unei construcţii, nu pune în pericol stabilitatea şi rezistenţa construcţiei, dar poate avea o acţiune defavorabilă asupra exploatării normale a acesteia.

Tasarea neuniformă a terenului de fundare produce tasarea inegală a unor părţi ale construcţiei, care pot la rândul lor afecta negativ rezistenţa construcţiei şi stabilitatea acesteia. Tasarea elementelor de infrastructură ale construcţiilor este determinată în faza de proiectare prin metodele de calcul stabilite în STAS 3300/2-85, fiind o tasare absolută probabilă (posibilă), iar cea măsurată în faza de exploatare a construcţiei reprezintă tasarea reală.

4.2. CALCULUL TERENULUI DE FUNDARE LA STAREA LIMITĂ DE DEFORMAŢII

Starea limită de deformaţii a terenului de fundare poate fi de natura unei stări limită ultime când deformaţiile terenului conduc la tasări şi deformaţii incompatibile cu structura de rezistenţă a construcţiei, sau a unei stări limită a exploatării normale, atunci când deformaţiile terenului de fundare nu permit exploatarea normală a construcţiei.

Prin calculul terenului de fundare la starea limită de deformaţii trebuie să se asigure respectarea următoarelor condiţii, STAS 3300/2-85:

- în cazul unei verificări la starea limită ultimă, SLU:; (4.2)

- în cazul unei verificări la starea limită de exploatare normală, SLEN:; (4.3)

în care: s – deplasări sau deformaţii posibile ale construcţiei datorate tasărilor terenului de fundare, calculate cu încărcări din gruparea fundamentală pentru SLU;t – aceeaşi semnificaţie ca şi s, calculate cu încărcări din gruparea fundamentală, pentru SLEN;

- deplasări sau deformări de referinţă admise pentru structură, stabilite de proiectantul structurii; orientativ în Anexa C din STAS 3300/2-85 sunt prezentate valori de referinţă în funcţie de tipul structurii construcţiei;

- deplasări sau deformări admise din punct de vedere tehnologic, specificate de proiectantul tehnolog.

Calculul tasărilor probabile ale terenului de fundare se efectuează în ipoteza comportării terenului de fundare ca un mediu liniar deformabil.

94

Lsmin

a

s1 s3s2

(8 prezentată în fig. 8Fig.4.2. Înclinarea fundaţiei şi încovoierea relativă

b

Pentru efectuarea calculului trebuie îndeplinite condiţiile:- pentru fundaţii încărcate centric:

pef ppl; (4.4)- pentru fundaţii încărcate excentric:

pef ppl şi pef max 1,2 ppl ; (4.5)- pentru fundaţii încărcate excentric după ambele direcţii:

pef ppl şi pef max 1,4 ppl; (4.6)în care: pef – presiunea efectivă medie verticală pe talpa fundaţiei, provenită din încărcările de calcul din

gruparea fundamentală;pef max – presiunea maximă verticală pe talpa fundaţiei, provenită din încărcările de calcul din gruparea fundamentală, în cazul încărcării excentrice a fundaţiei după o direcţie, respectiv ambele direcţii;ppl – presiunea de plasticizare corespunzătoare unei extinderi limitate a zonelor plastice în terenul de fundare.

4.3. CALCULUL TASĂRILOR PE BAZA DISTRIBUŢIEI EFORTURILOR UNITARE VERTICALE ÎN TEREN

Metodele de calcul ale tasărilor probabile, care utilizează relaţii din teoria elasticităţii conduc la obţinerea de rezultate corecte numai atunci când terenul de fundare este omogen, cu aceleaşi caracteristici mecanice pe întreaga zonă activă din masivul de pământ.

Practica inginerească din domeniul geotehnicii ne arată că marea majoritate a amplasamentelor au terenul de fundare alcătuit din mai multe straturi de pământ cu caracteristici geotehnice diferite.

Pe baza cunoaşterii valorilor eforturilor unitare verticale pe adâncimea zonei active, se pot aplica şi alte metode de determinare a tasărilor absolute probabile ale fundaţiilor.

4.3.1. Calculul tasării absolute probabile prin metoda însumării pe straturi elementare

Este metoda de calcul a tasărilor utilizată în calcul de dimensionare şi proiectare a fundaţiilor, reglementată prin standardul STAS 3300/2-85. Metoda ia în considerare variabilitatea modului de deformaţie pe adâncime, ţine cont de dimensiunile în plan ale fundaţiei, dar şi de forma sa în plan, prin coeficientul de influenţă o cu care se calculează variaţia eforturilor unitare verticale pe adâncimea zonei active.

Pentru calculul tasărilor considerăm o fundaţie izolată, cu dimensiunile tălpii fundaţiei L şi B, situată la cota de fundare D, fig.4.3.

Fundaţia izolată transmite terenului de fundare o presiune de contact p, calculată cu relaţia:

, [kPa] (4.6)

în care: N – reprezintă valoarea de calcul a încărcării provenite din suprastructură, calculată în gruparea fundamentală;G – reprezintă valoarea de calcul a greutăţii proprii a fundaţiei şi a pământului care reazemă pe ea.

În calculul tasării absolute probabile se utilizează numai sporul de presiune adus de fundaţie peste sarcina geologică calculată la nivelul tălpii fundaţiei, adică:

pnet = p - D; [kPa] (4.7)în care: - reprezintă greutatea volumică a pământului aflat până la cota de fundare.

Terenul de fundare, din cuprinsul zonei active, se împarte în straturi elementare cu înălţimea h i 0,4 B şi cu condiţia ca fiecare strat elementar să aibă în componenţa sa pământ cu aceleaşi caracteristici fizico – mecanice.

Limitele litologice ale straturilor de pământ vor constitui în mod obligatoriu şi limite ale straturilor elementare.

La limita de separare dintre straturile elementare, se calculează efortul unitar vertical z, produs de sporul de presiune calculat la talpa fundaţiei. Valorile zi sunt calculate în axa fundaţiei, pe baza relaţiei:

zi = oi pnet [kPa] (4.8)în care: oi – reprezintă coeficientul de distribuţie al eforturilor unitare verticale, în centrul fundaţiei şi în funcţie de rapoartele L/B şi Z/B, ale cărui valori se găsesc în tabelul 4.1.

Pentru stabilirea zonei active, se calculează şi eforturile unitare verticale provenite din sarcina geologică. Ele se calculează la limita de separare dintre straturile elementare, cu relaţia:

95

gzi = D + i hi; [kPa] (4.9)

Zona activă zo, reprezintă adâncimea din masivul de pământ până la care se iau în considerare tasările produse terenului de fundare. Zona activă se stabileşte prin compararea succesivă, de la baza fundaţiei înspre adâncime, a eforturilor unitare verticale generate de fundaţie zi cu cele generate de presiune geologică gzi.

Limita zonei active se consideră a fi adâncimea zo măsurată de la baza tălpii fundaţiei, în jos unde este îndeplinită pentru prima dată condiţia:

zi 0,20 gzi; (4.10)Atunci când limita inferioară a zonei active zo, se situează într-un strat a cărui modul de deformaţie

liniar este mult mai redus decât al stratului superior, sau E 5.000 kPa, adâncimea zo se majorează prin includerea în calcule a întregului strat slab, sau până la îndeplinirea condiţiei:

zi 0,10 gzi;

Tasarea unui strat elementar de pământ omogen i, considerat liniar deformabil pentru care se poate aplica legea lui Hooke, se calculează cu relaţia:

; [cm] (4.11)

în care : - reprezintă efortul unitar vertical mediu calculat cu relaţia:

; [kPa] (4.12)

în care: Ei – este modulul de deformaţie liniar al pământului din stratul elementar i, în kPa;

Tasarea absolută probabilă a fundaţiei se va determina prin însumarea tuturor tasărilor straturilor elementare aflate în cuprinsul zonei active.

96

Fig.4.3. Schema de calcul a tasării prin metoda însumării pe straturi elementare

Tabelul 4.1.Valorile coeficientului de distribuţie 0

z/B Fundaţii în formă de:Cerc Dreptunghi cu raportul laturilor L/B:

1 2 3 100,0 1,00 1,00 1,00 1,00 1,000,2 0,95 0,96 0,96 0,98 0,980,4 0,76 0,80 0,87 0,88 0,880,6 0,55 0,61 0,73 0,75 0,750,8 0,39 0,45 0,53 0,63 0,641,0 0,29 0,31 0,48 0,53 0,551,2 0,22 0,26 0,39 0,44 0,481,4 0,17 0,20 0,32 0,38 0,421,6 0,13 0,16 0,27 0,32 0,372,0 0,09 0,11 0,19 0,24 0,313,0 0,04 0,05 0,10 0,13 0,214,0 0,02 0,03 0,06 0,08 0,165,0 0,02 0,02 0,04 0,05 0,136,0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,10

Conform STAS 3300/2-85 “Calculul terenului de fundare în cazul fundării defecte”, tasarea absolută probabilă a fundaţiei se determină prin metoda însumării pe straturi elementare, cu relaţia:

; [cm] (4.13)

în care: - coeficient de corecţie egal cu 0,80;- efortul unitar vertical mediu pe stratul elementar i, în kPa;

hi – grosimea stratului elementar i, în metri;Ei – modulul de deformaţie liniar al stratului elementar i, în kPa;n – numărul de straturi elementare din cuprinsul zonei active;sadm – tasarea admisă a fundaţiei în funcţie de tipul construcţiei, în cm.

4.3.2. Metoda stratului liniar deformabil de grosime finită

Atunci când în limita zonei active, determinată conform paragrafului 4.3.1, apare un strat practic incompresibil, cu E 100.00 kPa, sau atunci când fundaţia are lăţimea B 10 m, iar straturile din zona activă se caracterizează prin valori E10.000kPa, STAS 3300/2-85 indică efectuarea calculului tasării absolute probabile prin metoda stratului liniar deformabil de grosime finită, cunoscută şi sub denumirea de metoda lui K.E. Egorov.

Calculul tasării unui strat liniar deformabil de grosime z care este încărcat la talpa unei fundaţii de lăţime B cu presiunea netă pnet, se calculează cu relaţia:

; [cm] (4.14)

în care: m – coeficient de corecţie dat în tabelul 4.2., în funcţie de grosimea stratului deformabil zo;K – coeficient adimensional a cărui valoare se determină în funcţie de raportul Z/B şi L/B, unde z reprezintă adâncimea de la talpa fundaţiei până la limita inferioară a stratului tasabil, tabelul 9 din STAS 3300/2-85;E – modulul de deformaţie liniar al terenului, în kPa; - coeficientul de deformare laterală a terenului, Poisson.

Când terenul de fundare este alcătuit din straturi diferite, tasarea unui strat se obţine ca diferenţa dintre tasarea acestui strat şi tasarea stratului precedent, considerând că ar începe de la nivelul tălpii fundaţiei. În calcule, stratul i se consideră de grosime Zi, măsurată de la talpa fundaţiei la baza stratului i, iar stratul i-1 va avea grosimea Zi-1, măsurată de la talpa fundaţiei la limita superioară a stratului i.

97

Tabelul 4.2. Valorile coeficientului m

Zo/B m0,00 ... 0,25 1,500,26 ... 0,50 1,400,51 ... 1,00 1,301,01 ... 1,50 1,201,51 ... 2,50 1,10

2,50 1,00

Aplicarea repetată a procedeului pentru fiecare strat în parte, şi apoi prin însumarea tuturor tasărilor straturilor din zona activă, ne permite stabilirea tasării absolute probabile a fundaţiei cu relaţia:

,[cm] (4.15)

în care: Ki şi Ki-1 – reprezintă coeficienţii adimensionali care se determină pentru limita inferioară, respectiv superioară a stratului i.

Metodele de calcul ale deformaţiilor terenului de fundare permit estimarea corectă a acestora atât timp cât pământul are un comportament de mediu liniar – deformabil. Aceasta presupune ca în calculele de dimensionare a fundaţiilor, presiunea efectivă de la talpa fundaţiei nu trebuie să depăşească mărimea presiunii de plasticizare, pef ppl, calculată conform STAS 3300/2-85, corespunzătoare unei extinderi limitate a zonelor plastice din terenul de fundare.

4.4. CALCULUL TASĂRILOR ŞI A CONSOLIDĂRII PAMÂNTURILOR. APLICAŢII – STUDII DE CAZ

Problemele care vor fi prezentate în cuprinsul acestui paragraf se referă la modul de stabilire a valorii tasării fundaţiilor care provine din consolidarea unui strat compresibil de argilă. Datorită permeabilităţii relativ scăzute a unui astfel de pământ, tasarea poate să nu se manifeste după un interval considerabil de timp de la finalizarea lucrării şi punerea ei completă sub sarcină. Din acest motiv, atunci când se calculează astfel de tasări, trebuie să se ţină seama de parametrul timp. Practic, calculul tasărilor care variază în funcţie de timp trebuie să se bazeze pe rezultatele încercărilor de consolidare realizate pe eşantioane de pământ de dimensiuni mici. Rezultatele acestor încercări sunt exprimate în funcţie de coeficientul de compresibilitate, în raport cu care se calculează tasarea rezultată în urma consolidării finale şi de coeficientul de consolidare care depinde de viteza de avansare a tasării.

4.1. În timpul unei investigaţii de şantier pentru realizarea proiectului unei clădiri, s-au prelevat eşantioane dintr-o argilă silicioasă saturată, care au fost supuse încercărilor de laborator, în scopul determinării caracteristicilor de consolidare ale acestora. Într-un edometru s-au aplicat variaţii discrete (creşteri foarte mici) de presiune pe un eşantion cu diametrul de 76,2 mm şi înălţimea iniţială a eşantionului de 19 mm. Ca o regulă generală, fiecare creştere a fost dublată faţă de cea anterioară şi a fost menţinută timp de mai puţin de 24 ore, până la încetarea definitivă a procesului de tasare. Variaţiile înălţimii eşantionului au fost determinate în funcţie de timp şi de presiunea aplicată. Valoarea maximă a presiunii aplicate a fost de 856 kN/m2, după care presiunea a fost redusă şi eşantionul s-a putut umfla liber în prezenţa apei, timp de 48 ore. În continuare s-a determinat umiditatea finală, care a înregistrat o valoare de 38,8 %. Rezultatele măsurătorilor finale pentru fiecare presiune aplicată sunt date în tabelul 4.3., greutatea volumetrică a particulelor fiind de 2,70 g/cm3.

Să se determine relaţia care există între indicele golurilor şi logaritmul presiunii efective; indicele de compresibilitate şi coeficientul de compresibilitate pentru diferite intervale de presiune.

98

Tabelul 4.3.Variaţia scurtării specifice funcţie de presiune

PRESIUNEA[kN/m2]

Citirea finală la microcomparator[mm]

(a) (b)

026,7553,51072144288560

5,5885,2324,9584,6023,9623,4142,7545,222

Rezolvare:

Pentru început este necesar să se efectueze calculul indicelui golurilor la extremitatea fiecărui interval de presiune. Acest calcul se poate face plecând de la valoarea finală a umidităţii şi de la variaţiile cunoscute ale înălţimii epruvetelor în timpul fiecărei faze (etape de creştere a presiunii).

Indicele final al golurilor pentru materialul saturat este:

Înălţimea epruvetei în această fază este de:

Într-o etapă oarecare a încercării, înălţimea h corespunde unui volum care este legat de mărimea (1 + e). Coeficientul de variaţie a indicelui golurilor în funcţie de înălţime este obţinut din relaţia:

(4.16)

de unde:

(4.17)

Înlocuindu-se valorile finale cunoscute ale lui e şi h în relaţia (8.17), se obţine:

(4.18)

Relaţia (4.18) permite calculul variaţiei indicelui golurilor, coloana (f) din tabelul 4.4., plecând de la variaţiile cunoscute ale înălţimii, coloana (e).

99

Tabelul 4.4.Variaţia indicelui golurilor

Intervalul de presiune, p

[kN/m2]

Creşterea presiunii,

p[kN/m2]

Variaţia creşterii înălţimii h

[mm]

Variaţia indicelui golurilor

e = 0,1097 h

Indicele golurilor la

sfârşitul fiecărei faze,e [m2/kN]

(c) (d) (e) (f) (g) (h)0 – 26,75

26,75 – 53,553,5 – 107107 – 214214 – 428428 – 856

856 - 0

+ 26,75+ 26,75+ 53,5+ 107+ 214+ 428- 856

- 0,356- 0,274- 0,356- 0,640- 0,548- 0,630+ 2,438

- 0,0391- 0,0301- 0,0391- 0,0702- 0,0601- 0,0691+ 0,2675

1,0461,0160,9770,9070,8470,7781,045

0,001460,001130,000730,000660,000280,00016

-

În continuare, se poate completa coloana (g) începând de la baza ei, cu indicele golurilor calculat anterior şi scăzând sau adunând, după caz, variaţiile indicelui golurilor pentru fiecare fază. În final, se poate obţine corelaţia dintre “e” şi “lg p” şi reprezenta grafic, aşa cum se arată în fig. 4.4.

Prin definiţie, indicele de compresibilitate este:

(4.19)

în care: e -este variaţia indicelui golurilor rezultat dintr-o variaţie p a presiunii. Datorită faptului că sarcinile au fost dublate pentru fiecare fază sau etapă de încercare, începând cu valoarea de 26,75 kN/m2, atunci (lg p) va fi egal cu 0,3010. Variaţiile e se pot obţine din tabelul 4.4. sau din fig. 4.4., iar în continuare, se pot determina valorile lui C c

care sunt date în tabelul 4.5., coloana (c).

Tabelul 4.5.Valorile coeficientului de compresibilitate

Presiunea

efectivă, p

[kN/m2]

Variaţia indicelui golurilor

, e

Indicele de compresibilitate

Panta curbei

[m2/kN]

Coeficientul de compresibilitat

e

[m2/kN]

Înălţimeah

[mm]

Panta curbei

[mmm2/kN]

Coeficientul de compresibilitat

e

[m2/kN]

(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i)0

-0,0391 2,065 0,00146

0,000707 18,822 0,0133 0,00707

26,75-0,301 0,100 2,031 0,0011

30,000556 18,507 0,0102 0,000551

53,5-0,0391 0,130 1,997 0,0007

30,000366 18,192 0,0067 0,000368

107-0,0702 0,233 1,942 0,0006

60,000340 17,650 0,0060 0,000340

214

100

Fig. 4.4. Digrama de corelaţie P-e

-0,0601 0,200 1,877 0,00028

0,000149 17,040 0,0026 0,000153

428-0,0691 0,230 1,813 0,0001

60,000088 16,420 0,0015 0,000091

856Făcând o comparaţie între coloanele (f) şi (i) se pune în evidenţă similitudinea rezultatelor obţinute

utilizând cele două metode diferite de rezolvare (vezi tabelul 4.5).Raportul (e/p) poate fi obţinut stabilind panta curbei e – p, fig. 4.5., sau printr-o metodă

aproximativă de calcul, făcând raportul dintre aceste cantităţi care sunt date în tabelul 4.4. Rezultatele obţinute se regăsesc în coloana (h), tabelul 4.5.

Coeficientul de compresibilitate mv este definit prin ecuaţia:

(4.20)

Prin urmare, acesta se poate determina împărţind valorile lui av sau de/dp cu expresia , în care este

indicele mediu al golurilor în intervalul dp. Rezultatele acestui calcul sunt trecute în coloana (f) din tabelul 4.5.

Pe de altă parte, se poate arăta că mv este dat de (1/h) (dh/dp) şi aceasta poate fi determinată plecând de la graficul înălţime – presiune efectivă (h – p), fig. 4.6 şi variaţia presiunii efective funcţie de grosimea stratului, h, fig. 4.7. Aceste valori ale lui mv sunt date în tabelul 4.5., coloana (i).

101

Fig. 4.5. Diagrama de variaţie P-e

4.2. În timpul uneia din fazele (etapele) de solicitare a unei argile supusă la consolidare monodimensională, s-au obţinut valorile prezentate în tabelul 4.6. Se cere valoarea coeficientului de consolidare care ţine seama de posibilitatea apariţiei efectelor datorită consolidării secundare, în conformitate cu metoda propusă de Taylor şi Merchant.

Tabelul 4.6.Variaţia lui h funcţie de timp

Timpul scurs din momentul aplicării sarcinii, t, [min.]

Înălţimea eşantionului,h, [mm]

Variaţia totală a înălţimii, h, [mm]

(a) (b) (c)0

0,251,02,254,06,259,0

12,2516,020,251201440

19,20219,07518,82118,65418,51218,42318,36418,31818,28818,27818,19918,123

00,1270,3810,5480,6900,7790,8380,8840,9140,9241,0031,079

Rezolvare:

Metoda propusă de Taylor şi Merchant se bazează pe faptul că până la o valoare de aproximativ 50 % din consolidarea totală, curba teoretică Uv / Tv pentru o distribuţie uniformă a presiunii, aşa cum se presupune că se aplică la încercarea cu edometru, este foarte aproape de o parabolă de ecuaţie:

(4.21)

Dacă se reprezintă grafic în funcţie de Uv se obţine o linie dreaptă cu panta 1,13. Datorită

faptului că tasarea este legată de mărimea Uv, iar timpul de mărimea Tv, dacă se reprezintă grafic în

102

Fig. 4.7. Variaţia presiunii efective funcţie de grosimea stratului

Fig. 4.6. Diagrama de corelaţie P-Cc

funcţie de tasare sau de înălţimea eşantionului, se obţine o diagramă similară, prezentată în fig. 4.8.Pentru a putea determina coeficientul de consolidare, se trasează o dreaptă de la primele puncte ale

curbei, acoperind un interval de 50 % sau puţin mai mult, din variaţia totală a înălţimii, reprezentată în fig.8.8 prin dreapta OH. În exemplul dat, această dreaptă trece aproximativ prin originea sistemului de coordonate. Acest caz nu este întâlnit întotdeauna, uneori fiind chiar indicată o abatere de la valoarea zero.

În continuare, se trasează dreapta OJ, astfel încât abscisa acesteia, pentru orice valoare a înălţimii, să fie de 1,155 ori abscisa dreptei OH. Punctul de intersecţie al dreptei OJ cu curba experimentală determină punctul C care are ordonata 90 % din tasarea dată de consolidarea primară. Din figură, avem că:

OD = 0,75

de unde rezultă că:

şi datorită faptului că nu există nici o corecţie de zero, această cifră reprezintă valoarea consolidării primare.La fel avem că:

şi

Coeficientul de consolidare cv este dat de expresia:

(4.22)

unde:d = 1/2 x înălţimea medie a eşantionului edometric:d = 1/2 x 18,663 = 9,331 mm,şi prin urmare:

103

Fig. 4.8. Variaţia tasării în timp

4.3. Utilizând datele din problema 8.2, să se determine coeficientul de consolidare corectat, pentru a ţine seama şi de efectul consolidării secundare, folosind procedeul lui Casagrande. Să se arate că poate fi calculat coeficientul de permeabilitate plecând de la rezultatele unei încercări de consolidare, fig. 4.9.

Rezolvare:

În cadrul acestei metode de rezolvare, se trasează într-un sistem de axe de coordonate semilogaritmic, curba timp – tasare, aşa cum este reprezentată în fig.4.9. Metoda constă în următoarele:

Graficul se compune dintr-o curbă formată din două porţiuni apropiate de drepte, racordate printr-un arc de cerc. Prima linie dreaptă reprezintă consolidarea primară, iar a doua consolidarea secundară. Punctul de intersecţie al celor două drepte reprezintă valoarea de 100 % din consolidarea primară. Pentru a efectua corecţia puntului de abscisă nulă (tasarea instantanee) se aplică aceeaşi ipoteză ca şi în cazul problemei 4.2, adică prima parte a graficului are formă parabolică. Abscisa punctului A, timpul t, se alege convenţional, corespunzând unei valori mai mici de 50 % din consolidare şi se determină înălţimea pentru o valoare a timpului egală cu t/4. Diferenţa dintre înălţimile corespunzătoare momentelor t şi t/4 este apoi trecută deasupra valorii t/4, obţinându-se astfel dreapta de compresiune nulă. În cazul acestui exemplu, punctul A are abscisa t = 1,0 min. şi variaţia înălţimii este de 0,381 mm. Pentru t/4 = 0,25 min. (punctul B), variaţia înălţimii este de 0,127 mm. Diferenţa este de 0,254 mm şi această valoare este reprezentată deasupra lui B pentru a da o valoare a compresiunii iniţiale de – 0,127 mm.

Totodată, avem că:- pentru Uv = 0, variaţia înălţimii este de – 0,127 ,,M- pentru Uv = 100 %, variaţia înălţimii este de + 0,915 mm.

Prin urmare, pentru Uv = 50 %, variaţia înălţimii este de + 0,394 mm.În concluzie, pentru o valoare a consolidării de Uv = 50 %, înălţimea eşantionului este de 18,808

mm.Lungimea de drenare va fi jumătate din această valoare, adică 9,404 mm.Pentru Uv = 50 %, avem că:

Tv = 0,197 (valoare teoretică, vezi tabelul 4.9.)

Deoarece:

(4.23)

rezultă că:

(4.24)

104

Fig.4.9. Diagrama tasare timp

În cazul în care porţiunea de mijloc a graficului este curbă şi nu este dreaptă, punctul corespunzător valorii de 100 % din consolidare se determină prin intersecţia liniei drepte finale cu tangenta la punctul de inflexiune inferior al porţiunii mediane a graficului. Având determinat coeficientul de consolidare şi valoarea corespunzătoare mv a coeficientului de compresibilitate, se poate obţine valoarea coeficientului de permeabilitate k, plecând de la relaţia:

(prin definiţie) (4.25)

de unde rezultă:(4.26)

4.4. Un radier al unei fundaţii este situat pe un strat de nisip, care la rândul lui se află pe un pat omogen de argilă situată deasupra unui mediu permeabil(fig. 4.10). Se cere să se estimeze tasarea finală pentru punctul central al fundaţiei, cât şi tasarea după 10 ani. Se dau:Dimensiunile fundaţiei 27 m x 18 mPresiunea de contact 215 kN/m2

Densitatea în stare uscată a nisipului 1830 kg/m3

Masa volumetrică a particolelor de nisip 2,65Conţinutul de apă al nisipului de deasupra nivelului hidrostatic 8 %Densitatea aparentă a argilei 1920 kg/m3

Masa volumetrică a particolelor de argilă 2,70Nivelul suprafeţei solului 54 m deasupra nivelului de referinţăNivelul superior al stratului de argilă 45 m deasupra nivelului de referinţăNivelul superior al rocii stâncoase 37,5 m deasupra nivelului de referinţăNivelul suprafeţei inferioare a fundaţiei 51 m deasupra nivelului de referinţăNivelul hidrostatic 48 m deasupra nivelului de referinţă

Caracteristicile medii ale consolidării argilei sunt date în tabelul 4.7.Tabelul 4.7.

Coeficientul de compresibilitatePresiunea efectivă

[kN/m2]Coeficientul de compresibilitate

[m2/kN](a) (b)122457112224448896

0,0004230,0004260,0004330,0002850,0002390,0001440,000049

În intervalul de presiuni considerate, se aplică un coeficient de consolidare mediu de 0,027 mm2/s.

105

Rezolvare:

După cum s-a arătat la problema 8.1, coeficientul mv este:

(4.27)

de unde:(4.28)

Reducerea grosimii unui strat cu grosimea iniţială h, supus unei creşteri efective de presiune dp, poate fi determinată dacă se cunoaşte mv. Această mărime mv este în funcţie de p (vezi fig.4.11) şi prin urmare, este necesar să se cunoască valoarea lui p şi respectiv, variaţia presiunii efective.Pentru a rezolva această problemă va trebui să cunoaştem:- distribuţia iniţială a presiunii efective pe toată adâncimea stratului compresibil;- distribuţia finală a presiunii efective;- relaţia între p şi mv.

Această relaţie este deja cunoscută şi în consecinţă, va trebui să determinăm primele două condiţii care sunt punctul de plecare esenţial al calculului.

Deoarece argila are o grosime apreciabilă, va exista variaţie de presiune pe toată adâncimea sa. Pentru un calcul precis, va trebui să se determine tasarea, rezolvând integrala:

(4.29)

în care ds înlocuieşte h şi dh înlocuieşte h din relaţia (4.27). În ecuaţia (4.29), p este în funcţie de h, mv

este funcţie de p şi deci şi de h. Cel mai uşor mod de a rezolva ecuaţia în raport cu s este de a utiliza metoda însumării, considerând că stratul cu grosimea totală h este împărţit în strate mici de grosimi h, pentru fiecare strat fiind calculată o valoare medie mv. Astfel, se obţine că:

(4.30)

Prin urmare, stratul de argilă este împărţit într-un număr convenabil de strate (în acest exemplu un număr de 5 strate), iar tasarea fiecărui strat va fi calculată aşa cum se arată în tabelul 4.8.

106

Fig.4.10. Terenul de fundare de sub radierul unei fundaţii

Tabelul 4.8.Valorile tasării specifice

Nr.

str

at

Adâ

ncim

ea s

trat

ului

sub

sup

rafa

ţa

supe

rioa

ră a

arg

ilei

[m

]

Adâ

ncim

ea d

e la

cen

trul

str

atul

ui

[m]

Gro

sim

ea s

trat

ului

, h

[m

]

Pre

siun

ea e

fect

ivă

iniţ

ială

, p

[kN

/m2 ]

Cre

şter

ea p

resi

unii

cor

espu

nzăt

or

soli

cită

rii

p, [

kN/m

2 ]

Pre

siun

ea e

fect

ivă

fina

lă p

+

p[k

N/m

2 ]

Pre

siun

ea e

fect

ivă

med

ie p

+

p /

2[k

N/m

2 ]

Coe

fici

entu

l de

com

pres

ibil

itat

e,

mv

[m2 /k

N]

h

p [k

N/m

]

Tas

area

s

= m

v h

p

(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (j) (k)12345

0 – 1,51,5 – 3,03,0 – 4,54,5 – 6,06,0 – 7,5

0,752,253,755,256,75

1,51,51,51,51,5

157170184197211

13712611410497

294296298301308

225233241249259

0,0002350,0002290,0002250,0002200,000215

206189171156146

0,04840,04330,03850,03430,0314

Tasarea totală:

107

Fig.4.11. Variaţia coeficientului de compresibilitate funcţie de presiunea efectivă

În acest mod s-a calculat presiunea efectivă iniţială la mijlocul adâncimii fiecărui strat.Densitatea aparentă a nisipului de deasupra nivelului hidrostatic este:

Sub nivelul hidrostatic, nisipul va fi complet saturat şi va avea o densitate aparentă:

Densitatea în stare uscată a nisipului este 1830 kg/m3 şi prin urmare, vom avea:

de unde se obţine e ca fiind:

valoare care se înlocuieşte în relaţia densităţii şi rezultă că:

Pentru argilă densitatea aparentă este 1920 kg/m3.La adâncimea z, în metri, sub nivelul superior al stratului de argilă, presiunea iniţială va fi:

Presiunea interstiţială corespunzătoare nivelului hidrostatic, este:

Din ultimele două relaţii, rezultă că presiunea efectivă iniţială este:

z fiind măsurat în metri.Aceste valori sunt trecute în coloana (e) din tabelul 4.8. Presiunea corespunzătoare solicitării poate fi

determinată în mai multe moduri, aşa cum de fapt s-a arătat în capitolul anterior. Aici este important să reamintim că această presiune este de fapt presiunea netă la nivelul fundaţiei care trebuie să fie utilizată pentru a stabili presiunea suplimentară. Spre exemplu, dacă greutatea structurii şi sarcinilor suprapuse au fost suficiente pentru a crea o presiune de contact egală cu presiunea dată de stratele acoperitoare preexistente deasupra fundaţiei, presiunea va fi nulă, iar creşterile de presiune nu se vor exercita asupra stratului acoperitor. Teoretic, tasările ar putea fi nule.

În finalul calculelor se va presupune că solicitarea netă a fundaţiei va produce o presiune de contact uniform repartizată. Intensitatea presiunii nete la nivelul fundaţiei este de:

Tensiunile verticale corespunzătoare acestei presiuni a fundaţiei, asemenea celor calculate prin metodele prezentate în capitolul 4, sunt trecute în coloana (f).

108

Aceste tensiuni au fost stabilite numai pentru punctele situate sub centrul fundaţiei, deoarece, datorită simetriei existente în această problemă, tasarea maximă se va produce în această zonă.

Valorile lui mv care corespund presiunilor efective medii din coloana (h) sunt obţinute de pe curba din fig.8.11. şi sunt trecute în coloana (i). Cele două coloane extreme sunt completate aşa cum este indicat în tabel şi făcând suma valorilor s se obţine tasarea totală. În acest exemplu, se observă că valorile lui mv sunt apropiate şi că nu ar fi introdusă nici o eroare importantă utilizându-se valoarea medie aritmetică sau o valoare bazată pe presiunea efectivă medie. Acest lucru nu are loc însă întotdeauna în practică.

Se vede că presiunea efectivă suplimentară sau netă care produce consolidarea variază liniar, de la valoarea de aproximativ 150 kN/m2 la suprafaţa superioară a argilei, până în jurul valorii de 90 kN/m2, la bază.

Calculul tasării după 10 aniFactorul timp este:

S-a luat în considerare o lungime de drenare egală cu 3,75 m, deoarece argila este situată pe un mediu permeabil.

Pentru această valoare a lui Tv, Uv este de 0,81 (vezi tabelul 4.9.). Tasarea după 10 ani va fi:

4.5. Un strat de argilă situat sub o clădire s-a consolidat şi a înregistrat o tasare de 30 mm într-o perioadă de 300 de zile din momentul în care solicitarea clădirii a devenit efectivă. După rezultatele încercărilor de consolidare realizate în laborator, aceasta corespunde valorii de 25 % din consolidarea stratului. Se cere să se găsească şi să se traseze curba probabilă timp – tasare pe o durată de 10 ani. Drenarea în strat se poate produce în cele două direcţii.

Rezolvare:

Uv = 0,25 pentru t = 300 zilest = 30 mm

de unde se obţine că tasarea totală este:

Pentru Uv 0,50 avem:

pentru drenaj dublu

Înlocuindu-se în aceste relaţii valorile cunoscute, vom avea:

de unde:

109

Prin urmare, pentru Uv având valori de până la 0,50 putem scrie că:

relaţie din care se obţine timpul:

Relaţia între gradul de consolidare şi factorul timp:

Modul de repartizare a presiunii (curgere monodimensională):

Observaţie: Pentru o curgere bidimensională se utilizează condiţia (1) în cazul repartizărilor liniare ale presiunii, iar “d” se ia ca fiind egal cu jumătate din grosimea stratului.

Înlocuind diferitele valori ale lui Uv situate în intervalul 0 – 0,50 se pot obţine timpii corespunzători, în zile. Pentru condiţia de drenaj dublu şi valorile lui Uv superioare lui 0,50 se pot obţine valorile corespunzătoare aproximative ale lui Tv cu ajutorul expresiei:

- după Fox (4.31)

sau plecând de la relaţia:

- după Terzaghi (4.32)

sau plecând de la tabelele prezentate. Astfel, se poate completa tabelul 8.10. şi se poate trasa curba timp – tasare, fig.4.12.

Tabelul 4.9.Variaţia gradului de consolidare

Gradul de consolidare Factorul timp Tv

Condiţia (1) Condiţia (2) Condiţia (3)

0,10,20,30,40,50,60,70,80,9

0,0080,0310,0710,1260,1970,2870,4030,5670,848

0,0470,1000,1580,2210,2940,3830,5000,6650,940

0,0030,0090,0240,0480,0920,1600,2710,4400,720

Tabelul 4.10.Variaţia grdului de consolidare

110

Partea superioară a stratului (permeabilă)

Partea inferioară (culcuşul) a stratului (impermeabilă)

(1) (2) (3)

Gradul de consolidare Uv

Factorul timpTv

Timpul Tasarea st

[mm]zile ani

(a) (b) (c) (d) (e)

00,200,250,400,500,600,700,800,90

-----

0,2870,4030,5670,848

019230076712001760246034705200

00,530,822,103,294,826,779,5014,23

024304860728496108

4.6. Durata de solicitare a unei clădiri noi a avut loc în perioada mai 1955 şi mai 1957. În mai 1960 tasarea medie măsurată a fost de 114 mm. Se ştie că tasarea finală va fi în jur de 356 mm. Să se estimeze tasarea în mai 1965. Se presupune că se produce un drenaj dublu (curgere bidimensională).

Rezolvare:

În majoritatea cazurilor practice în care sarcina este aplicată într-o anumită perioadă de timp, se obţine o precizie acceptabilă utilizând relaţiile de calcul timp – tasare şi presupunând că momentul de referinţă considerat este la mijlocul intervalului de solicitare sau de construcţie.

În această problemă avem:st = 114 mm pe o perioadă de timp t = 4 ani;s = 356 mm.

Se cere tasarea pe durata t = 9 ani, adică în 1965. Presupunem, ca punct de plecare, că tasarea după t = 9 ani va fi Uv 0,50. În aceste condiţii:

Dacă notăm: st 1 tasarea la momentul t1 şi st 2 tasarea la momentul t2, atunci:

111

Fig.4.12. Variaţia tasării în timp

(4.33)

Dar:

(4.34)

Din relaţiile (4.33) şi (4.34) se obţine că:

(4.35)

Deoarece: = constant, rezultă că:

şi tasarea la momentul t2 va fi:

Prin urmare, la t = 9 ani gradul de consolidare va fi:

Cum această cantitate este mai mică de 0,50, înseamnă că relaţiile utilizate sunt corecte. În concluzie, valoarea tasării cerută în enunţul problemei este de 171 mm.

În situaţia în care gradul de consolidare ar fi depăşit valoarea de 0,50, atunci ecuaţiile utilizate nu ar fi fost cele corespunzătoare şi prin urmare, ar fi trebuit să se facă apel la valorile U v şi Tv prezentate în tabelele anterioare. Spre exemplu, dacă pentru condiţiile date s-ar fi produs în mai 1960 o tasare de 152 mm în loc de valoarea precedentă de 114 mm, ar fi fost necesar să realizăm următorul calcul:

st = 152 mm la t = 4 ani;s = 356 mm.

Astfel, pentru gradul de consolidare s-ar fi obţinut:

la t = 4 ani

Pentru o drenare dublă, această valoare a lui Uv conduce la:

care a fost obţinută prin interpolare din tabelul 4.5.a.Se poate scrie că:

şi întrucât t = 4 ani, vom avea:

Pentru t = 9 ani:

Din tabelul 4.5.a se observă că la Tv = 0,3375 îi corespunde un grad de consolidare Uv = 0,65.Astfel, tasarea în mai 1965 ar fi fost:

4.7. Trebuie să se construiască un rambleu deasupra unei zone situată pe un strat compresibil de argilă, aflat la rândul lui pe un strat de roci mai tari. Rambleul trebuie să aibă înălţimea de 7,35 m şi după consolidare va rezulta o creştere a tensiunii verticale efective medii în argilă de la o valoare de 86 kN/m 2

112

până la 204 kN/m2. Coeficientul de consolidare pentru argilă, în cele două direcţii – orizontală şi verticală – este de 0,0699 mm2/s, iar coeficientul său de compresibilitate este mv = 0,00023 m2/kN. Stratul are grosimea de 7,6 m. Rambleul, destinat să suporte o şosea, trebuie să fie construit în 4 luni şi este prevăzut ca după un an de la începerea construirii să se realizeze protejarea şoselei. După protejarea acesteia, se va accepta o tasare de 25 mm. Să se arate în ce mod poate fi obţinut acest rezultat.

Rezolvare:

În problemele de care ne-am ocupat până acum, am prezentat o serie de aplicaţii ale teoriei lui Terzaghi în consolidarea monoaxială, în care tasările se produc datorită expulzării apei numai în sens vertical sub efectul gradienţilor de presiune creaţi de sarcinile aplicate. Cu cât pământul este mai puţin permeabil, cu atât grosimea care interesează este mai mare şi timpul în care se produce cea mai mare parte a tasării este mai lung. În anumite cazuri, nu se pot accepta tasările pe o perioadă îndelungată şi este necesar să se găsească metodele corespunzătoare pentru a evita acest inconvenient.

O astfel de metodă constă în forarea unor puţuri cu diametrul de până la 0,5 m sau chiar mai mare, la distanţe egale şi care traversează total sau parţial stratul compresibil. În continuare, aceste foraje (puţuri) sunt umplute cu un material de o anumită granulometrie şi cu permeabilitate ridicată. Prin suprapresiune, apa interstiţială va putea fi atunci evacuată orizontal, până la un dren orizontal (nu vertical) şi întrucât traiectoriile orizontale de drenaj pot fi reduse substanţial şi fiind mai scurte decât cele verticale, viteza de consolidare va fi accelerată. Un astfel de dispozitiv este cunoscut sub denumirea de dren de nisip.

Pe lângă faptul că accelerează viteza de tasare, drenurile de nisip produc o creştere mai rapidă a rezistenţei la forfecare asociată şi în consecinţă, oferă posibilitatea aplicării unor sarcini mai mari asupra pământului încă din fazele iniţiale de realizare a construcţiei. Un dispozitiv tipic de dren de nisip este reprezentat în fig.4.13.

Calculul tasării finaleTasarea finală corespunzătoare consolidării unui strat compresibil de pământ se calculează

utilizându-se procedeele uzuale care au fost descrise anterior. Întrucât tasarea este , se presupune

că prezenţa drenurilor de nisip nu are nici o influenţă.

Calculul vitezei de tasareAcest calcul se bazează pe o extindere a teoriei lui Terzaghi şi se aplică la drenarea radială

orizontală. Pentru un dispozitiv particular de drenuri de nisip, metoda constă în a calcula, în mod separat, gradele de consolidare corespunzătoare drenajului vertical şi radial şi de a le combina apoi, aşa cum se prezintă în cele ce urmează.

113

Fig.4.13. Drenuri de nisip

Gradul de consolidare corespunzător unui singur drenaj vertical, la momentul t după aplicarea solicitării, este dat de:

(4.36)unde: Uv este gradul de consolidare corespunzător unui singur drenaj vertical; Tv – coeficient de durată (factorul timp) pentru consolidarea corespunzătoare drenajului vertical, Tv = cv t / d2; cv – coeficient de consolidare în sens vertical; d – lungimea traiectoriei verticale a drenajului (a cărui valoare depinde de modul de drenare, fie de un drenaj bidimensional, fie de un drenaj monodirecţional).

Această ecuaţie (4.36) este cea care va fi utilizată, funcţia f1 (Tv) fiind redată valoric în tabelul 4.10, iar grafic este reprezentată în fig.4.14.

Soluţia ecuaţiei din care se obţine UR ţine seama de o altă cantitate, n, care este raportul dintre raza echivalentă R şi raza drenului r, adică:

(4.37)

În fig.4.14. sunt trasate curbele reprezentative a relaţiei între UR şi Tr pentru un ansamblu de valori n.Gradul de consolidare rezultant, U, datorat efectului combinat al drenajului vertical şi radial, este dat

de:

(4.38)

valorile lui U, Uv şi UR fiind exprimate în procente.Tasarea la momentul t se obţine din ecuaţia:

(4.39)

În această problemă, tasarea finală este:

114

Fig.4.14. Variaţia gradului de consolidare în timp

deoarece mv şi p sunt presupuse independente de h şi:

Considerând pentru momentul iniţial, pe scara timpului, mijlocul perioadei de realizare a construcţiei, se obţine că acest dispozitiv produce o tasare de: 206 – 25 = 181 mm în 10 luni.

Totodată, dacă t = 305 zile, U 88 %, atunci:

Din graficul prezentat în fig.4.14. se obţine că: Uv = 18 %.Dacă se realizează drenuri dispuse după o reţea pătrată, având diametrul de 380 mm şi distanţa dintre

centrele acestora este de 2,14 m, atunci:

Prin urmare

Din graficul prezentat în fig.8.14, se obţine:

UR = 90 %

U = 91,8 %

Aceasta este superioară valorii minime dorite şi se poate spune că dispozitivul va avea performanţe satisfăcătoare. Crescând distanţa dintre centrele drenurilor până la 2,29 m se va reduce U la 86,9 %, care este mult sub valoarea dorită. În practică, dispozitivele posibile de aplicat trebuie să fie încercate pentru diferite valori ale diametrelor, distanţelor dintre centre şi de ce nu, a configuraţiei, iar soluţia adoptată va trebui să răspundă atât criteriilor economice, cât şi tehnice.

4.8. Ca alternativă în utilizarea exclusiv a drenurilor de nisip pentru a accelera consolidarea, uneori se utilizează o suprasolicitare temporară suplimentară. Aceasta permite reducerea numărului de drenuri de nisip necesare. În dispozitivul descris în problema 4.7, se realizează o grosime suplimentară temporară de rambleu care creşte tensiunea verticală efectivă la 236 kN/m2. Se cere să se găsească ce modificare va fi adusă dispozitivului de drenaj ?

Rezolvare:

Presupunem că creşterea presiunii corespunzătoare suprasarcinii temporare nu este suficientă pentru a modifica valorile calculate ale coeficientului de consolidare şi a celui de compresibilitate. Tasarea finală va fi:

115

Urmând toată metodologia prezentată anterior, se stabileşte că o distanţă de 2,90 m între drenurile aranjate în reţea pătrată (drenuri cu diametrul de 380 mm) va produce un grad de consolidare U = 71,3 % şi astfel, va constitui o soluţie satisfăcătoare. Reamintim că în problema 4.7 erau necesare drenuri situate la o distanţă de 2,14 m (reţea pătrată). În consecinţă, economia de drenuri va fi de:

4.9. Utilizând datele problemei 4.7, să se calculeze din nou condiţiile cerute drenajului, în cazul în care pământul compresibil ar avea un coeficient de consolidare orizontal egal cu de patru ori coeficientul în sens vertical, adică 0,280 mm2/s.

Rezolvare:

Această neomogenitate este un caz care se produce în mod frecvent în natură şi care poate avea consecinţe importante, aşa cum arată această problemă.

Tasarea finală va fi de 206 mm.

(vezi problema 4.7.)

Vom încerca drenuri de nisip cu diametrul de 380 mm a căror centre sunt repartizate după o reţea pătrată cu latura de 3,66 m.

Din fig.8.14. se obţine că:

UR = 87,7 %

ceea ce este corect, având în vedere condiţia U 88 %.Efectul anizotropiei este de a reduce numărul de drenuri necesare, cu un factor egal cu:

În practică, perturbaţiile aduse terenului în timpul realizării drenurilor pot conduce la o modificare a proprietăţilor de drenare a aşa-numitei zone impurificate. Scopul însă, nu este de a discuta aici acest tip de problemă, dar este posibil să se ţină seama, dacă se efectuează calculele, de o reducere a diametrului drenului.

4.10. Un rezervor circular cu diametrul de 36 m este aşezat pe un strat de argilă consolidat în mod natural, cu grosimea de 30 m. Care este ordinul de mărime al erorii susceptibile să se producă la determinarea tasării prin consolidare, utilizând teoria consolidării monodimensionale ?

116

Rezolvare:

În problema 8.4 calculul tasării răspundea rezultatelor încercării la consolidare în laborator. Mai mult, s-a presupus că creşterea presiunii apei interstiţiale la fiecare treaptă de aplicare a sarcinii este egală cu creşterea presiunii verticale la această treaptă şi că aceasta din urmă era, eventual, complet disipată, astfel încât să se producă o creştere a presiunii efective finale egală cu presiunea aplicată în treapta respectivă. Astfel, a fost obţinută o consolidare de 100 %. Este de fapt ceea ce se produce la încercarea edometrică, dacă se neglijează efectele consolidării secundare şi dacă se presupune că nu este indus nici un efort de frecare între eşantioane şi inelul de prindere.

În problemele practice de şantier este valabilă o analogie între rezultatele încercării edometrice şi rezultatele in situ, dacă sunt îndeplinite următoarele condiţii:

a) un strat relativ subţire de argilă situat între strate necompresibile;b) zona solicitată este extinsă şi dimensiunea sa orizontală este mare în raport cu grosimea stratului

de argilă situat dedesubt.În aceste condiţii, tensiunile laterale vor avea o importanţă foarte mică, exceptând marginile zonei

solicitate. Din păcate însă, datorită acestor limitări, majoritatea calculelor de tasare sunt încă efectuate pornind de la o aplicare directă a teoriei de consolidare monodirecţională a lui Terzaghi. Recent, au fost sugerate şi alte metode de investigare, dintre care uşor de aplicat este metoda preconizată de Skempton şi Bjerrum. Vom prezenta în continuare şi o aplicaţie a acestei metode, dar, înainte de a rezolva această problemă, este bine să se menţioneze principiile acestei metode de rezolvare.

Aplicarea unor variaţii 1 şi 3 tensiunilor principale conduce la o suprapresiune a apei interstiţiale, u, dată de expresia:

(4.40)

în care A şi B sunt coeficienţii presiunii interstiţiale. Pentru argile saturate, coeficientul B = 1. Valoarea lui A poate fi determinată din măsurătorile obţinute pentru presiunea interstiţială în urma realizării încercărilor triaxiale nedrenate. În general, ea depinde de valorile tensiunile aplicate şi din acest motiv nu este strict constantă pentru orice tip de argilă. În tabelul 8.11. sunt date valorile lui A pentru diferite tipuri de argile.

Tabelul 4.11.Valorile coeficientului presiunii interstiţiale

Tipul de argilă A

Argile moi foarte sensibileArgile normal consolidateArgile preconsolidateArgile nisipoase puternic preconsolidate

10,50 – 10,25 – 0,500 – 0,25

Dacă în ecuaţia (4.40) vom nota că A = 1 şi B = 1, atunci:(4.41)

care este de fapt ipoteza clasică. Dacă A 1, atunci presiunea interstiţială care trebuie să fie disipată este funcţie atât de 3, cât şi de 1.

S-a văzut în capitolul 4, că pentru diferite forme şi dimensiuni ale zonei solicitate, este posibil să se calculeze 1; valorile lui 3 pot fi obţinute în mod similar. Prin urmare, va trebui să se scrie corect, ecuaţia tasării:

(4.42)

(4.43)

Pentru uşurarea calculelor, putem utiliza expresia: (4.44)

în care:

117

(4.45) fiind funcţie de caracteristicile geometrice ale problemei. Valorile lui sunt date în tabelul 4.12., în funcţie de raportul z / b, în care z este grosimea stratului de argilă situată sub un pilot de lăţime b. Aceste valori sunt reprezentate grafic în fig.4.15.

Tabelul 4.12.Valorile lui pentru diferite forme de piloţi

Valorile lui pentru un pilot de formă:circulară alungită

(a) (b) (c)

00,250,501,02,04,010,0

1,000,670,500,380,300,280,260,25

1,000,740,530,370,260,200,14

0

Raportul: z / b = 30 / 36 = 0,83.Din tabelul 8.11. sau fig.8.15, prin interpolare, se obţine că:

= 0,41Pentru A = 0,50:

= 0,50 + 0,41 (1 – 0,5) = 0,70Pentru A = 1,00:

= 1,0 + 0,41 (1 – 1,0) = 1,0Tasarea prin consolidare este astfel susceptibil de a fi supraestimată de o valoare care poate ajunge la

0,30 / 0,70 = 43 %. Dacă pământul în discuţie ar fi o argilă nisipoasă puternic preconsolidată, supraestimarea ar fi atunci şi mai mare.

În acest caz, A ar varia între 0 – 0,25.Pentru A = 0,25:

= 0,25 + 0,41 (1 – 0,25) = 0,56Pentru A = 0:

= 0,41Supraestimarea s-ar situa în intervalul 79 – 144 %.

118

Fig.4.15. Variaţia lui x funcţie de raportul z/b

4.11. Un strat orizontal de argilă cu grosimea h în metri, este supus la o solicitare care determină o repartizare liniară a presiunii, începând de la un maxim p, kN/m2 la suprafaţa superioară, până la 0,5 p, kN/m2 la limita sa inferioară. Acest strat este acoperit de strate permeabile şi este situat pe un strat permeabil. Să se determine relaţia care există între coeficientul de durată (factorul timp) T v şi gradul de consolidare Uv al acestui strat. Să se traseze grafic distribuţia suprapresiunilor interstiţiale pentru coeficienţii de durată care ajung până la o valoare de 0,20, fig. 4.16.

Rezolvare:

Ecuaţia care stă la baza obţinerii consolidării monodimensională, este:

(4.46)

ecuaţie ce descrie modul în care suprapresiunea interstiţială u variază în funcţie de adâncimea z şi timpul t. Pentru anumite tipuri de solicitare, această ecuaţie poate fi rezolvată dacă se ţine seama riguros de condiţiile date la limită. În tabelul 8.17. sunt date asemenea rezultate considerate în cazul problemei tip ce se pune aici.

În loc de a adopta o metodă de rezolvare strict matematică, această problemă se poate rezolva utilizându-se un procedeu

numeric de aproximare, care este o aplicaţie mai generală decât metoda clasică de rezolvare, datorită faptului că aceasta se poate aplica la numeroase configuraţii de distribuţie a presiunii interstiţiale.

Ecuaţia diferenţială care stă la baza rezolvării acestei probleme este înlocuită printr-o aproximare de diferenţe finite, obţinând:

b (4.47)

În această ecuaţie: u0, u2 şi u4 reprezintă suprapresiunile interstiţiale la momentul t, în punctele 0, 2 şi 4 în argilă, situate pe verticală, la o distanţă z; t – creştere foarte mică de timp; u0 – creşterea suprapresiunii interstiţiale în punctul 0, fig.4.17.

Considerând:

(4.48)

ecuaţia (4.47) devine:

(4.49)

Se poate da lui o valoare convenabilă (dar care să fie mai mică de 0,50) şi după ce stratul compresibil a fost împărţit într-un număr convenabil de strate h = m z, atunci t este o valoare constantă pentru orice valoare a lui cv. Utilizarea repetată a acestei ecuaţii permite stabilirea lui u pentru diferite adâncimi şi la diferite momente.

În această problemă grosimea totală h va fi împărţită în 10 strate, astfel că vom avea: m = 10 şi z = 0,1 h; pentru se va considera valoarea = 0,25.

Prin definiţie:

119

Timpul t

Timpul t + t

u0 + u

u4

u0

u2

z

z

Fig.4.16. Variaţia presiunii iterstiţiale funcţie de adâncime

Înlocuind:

(4.50)

în care: n este număr întreg, n = 1, 2, 3, …, şi:

(4.51)

atunci:

(4.52)

deoarece d = h / 2, drenajul realizându-se în ambele sensuri.Prin urmare, vom avea că:

(4.53)

În acest exemplu: = 0,25 şi m = 10 şi astfel obţinem:

Tv = 0,01 n

În fig.4.17., valorile iniţiale ale suprapresiunii interstiţiale sunt înscrise pe axa verticală dreapta, pentru diferite nivele ale stratului de argilă. Pentru calcul, valoarea superioară este luată egală cu 100 unităţi (şi egală cu p), iar valoarea pe suprafaţa inferioară este egală cu 50 unităţi (egală cu 0,5 p). Celelalte valori sunt interpolate liniar. Ele reprezintă suprapresiunile interstiţiale generate de dispozitivul de solicitare (de realizare a sarcinii) la momentul t = 0, care eventual vor fi complet disipate pentru t = , solicitarea devenind atunci complet operativă asupra pământului.

Întrucât drenarea se produce o dată pe limitele superioară şi inferioară, suprapresiunile interstiţiale la aceste nivele vor scădea imediat la valoarea zero. Aceste valori sunt înscrise în vârful şi la baza liniei verticale următoare a reţelei care reprezintă distribuţia pentru un coeficient de durată de 0,01 (sau altfel spus, pentru momentul t = t).

Aplicând ecuaţia:

se găseşte noua valoare în punctul X, care este egală cu:

120

Se înscrie şi această valoare pe grafic, iar restul valorilor pentru Tv = 0,01 se stabilesc în mod similar.

În continuare, se trece la următorul interval de timp pentru care Tv = 0,02 şi se repetă procedeul, utilizându-se valorile care au fost calculate pentru Tv = 0,01. Ansamblul valorilor rămase se obţin la fel, până la Tv = 0,20. În fig.4.18. este reprezentată distribuţia presiunilor pentru n valori diferite (Tv = 0,01 n).

Pentru determinarea gradului de consolidare se procedează astfel: compresiunea sau tasarea variază direct proporţional în funcţie de tensiunea efectivă şi este:

Dar: p la toate nivelele şi la momentul t este ut = 0 - ut , de unde se obţine că tasarea va fi:

121

Fig.4.17. Valorile suprapresiunii interstiţiale u.

Fig.4.18. Variaţia suprapresiunii interstiţiale

Tasarea = (4.54)

Valorile ut = 0 apar ca valori de plecare în stabilirea lui u, fig.4.18. iar valorile lui u t sunt obţinute din aceeaşi figură pentru diferite valori ale lui t. Calculul se efectuează printr-o însumare numerică, înlocuindu-se ecuaţia diferenţială cu forma sa echivalentă:

Tasarea = (4.55)

Tasarea finală va fi , deoarece valoarea finală a lui u este nulă pe toată adâncimea.

Prin urmare, gradul de consolidare va fi:

(4.56.)

sau:

(4.57.)

Numărătorul expresiei (4.56.) sau (4.57.) este aria suprafeţei graficului suprapresiunii interstiţiale la momentul t şi numitorul este aria suprafeţei graficului suprapresiunii interstiţiale iniţiale. Aceste două suprafeţe pot fi determinate foarte uşor fie prin planimetrie, fie aplicând regula lui Simpson sau alte metode de aproximare. Spre exemplu, vom considera că Tv = 0,20. Valorile presiunii interstiţiale sunt reprezentate în fig.4.18. şi trecute în coloana (b) din tabelul 4.13.

Aria suprafeţei diagramei ut = 378,1 z.

Aria suprafeţei diagramei .

De aici rezultă că:

pentru Tv = 0,20

Celelalte valori ale lui Uv au fost obţinute plecând tot de la fig.4.17. şi sunt trecute în tabelul 4.14. Valorile rezultate sunt reprezentate grafic în fig.4.19., la fel ca şi curba reprezentativă dată de valorile din tabelul 4.9. Referitor la această figură, vom preciza că există o concordanţă excelentă între aceste valori.

Tabelul 4.13.Valorile presiuni intrestiţiale

Adâncimea (fracţiuni din h) Suprapresiunea interstiţială, u Suprapresiunea interstiţială medie la adâncimea z

(a) (b) (c)0

0,10,20,30,40,50,60,70,80,91,0

020,037,550,558,059,555,546,533,017,5

0

10,028,844,054,258,857,551,039,825,28,8

Tabelul 4.14.

122

Valorile suprapresiunii interstiţialeTv Uv

(a) (b)

00,010,030,060,100,150,20

00,100,190,270,350,430,50

4.12. Să se preia calculul precedent (problema 4.11) în cazul unui strat supus la o suprapresiune interstiţială iniţială repartizată după o diagramă triunghiulară, valoarea maximă a acesteia fiind înregistrată la suprafaţa superioară a argilei; drenajul nu se efectuează decât prin această suprafaţă superioară.

Rezolvare:

Stratul de argilă va fi împărţit în 5 benzi, adică m = 5 şi = 0,25.

deoarece: h = d, drenarea realizându-se într-un singur sens.La fel ca şi în problema precedentă:

Limita inferioară impermeabilă impune o condiţie suplimentară:

(4.58)

123

Fig.4.19. Variaţia gradului de consolidare funcţie de timp

Scriind această ecuaţie sub forma diferenţelor finite, vom avea:

(4.59)de unde rezultă că:

u4 = u2

Eliminând u4 din ecuaţia care descrie fenomenul, se obţine:

Această ultimă ecuaţie o înlocuieşte pe prima, dar numai pentru punctele situate pe limita inferioară.Fără a lua în considerare această excepţie, calculul se continuă în acelaşi mod ca şi în cazul

problemei 4.11. Rezultatele obţinute din calculul presiunilor sunt reprezentate în figurile 4.20. şi 4.21., iar în fig.4.17. este reprezentată grafic relaţia

Uv – Tv care decurge din compararea cu ecuaţia teoretică.

4.13. O fundaţie pătrată cu latura de 3 m este situată pe un depozit uniform de argilă de mare adâncime. În cazul în care ea este solicitată cu 1 / 3 din sarcina sa de rupere şi când deformaţia longitudinală este de 0,7 % pentru o tensiune egală cu 1 / 3 din tensiunea de rupere, dintr-o încercare triaxială efectuată pe argilă, să se estimeze tasarea instantanee a fundaţiei.

Rezolvare:

Tasarea instantanee se produce în urma unei solicitări, înainte de a se produce tasările de consolidare şi este datorată deformaţiei elastice a structurii pământului. Soluţia acestei probleme se bazează pe o metodă propusă de Skempton. Tasarea totală este suma tasării instantanee şi a tasării de consolidare.

Tasarea instantanee medie a unui mediu elastic situat sub o zonă solicitată de lăţime B, este dată de expresia:

(4.60)

în care: Is este factorul de influenţă care depinde de forma zonei solicitate şi repartizarea presiunii de contact.

124

Fig.4.21. Variaţia suprapresiunii interstiţiale funcţie de adâncime

Fig.4.20. Valorile suprapresiunii interstiţiale u.

Valorile lui Is sunt date în tabelul 4.15. Pentru argile saturate, poate fi luat egal cu 0,5.

Tabelul 4.15.Valorile factorilor de influenţă

Is Nc

(a) (b) (c) (d)1:1 dreptunghiular

2:15:110:1

circular

0,821,001,221,260,73

6,25,75,45,36,2

1,92,12,42,51,7

Prin urmare, pentru orice formă de fundaţie:

(4.61)

Dar:

q = c Nc (4.62)

iar la rupere:

q = qD (4.63)

Din (4.62) şi (4.63) rezultă că:

qD = c Nc (4.64)

Putem scrie că:

(4.65)

Înlocuind în relaţia (4.65) expresia (4.64), se obţine:

(4.66)

În timpul încercării triaxiale, diferenţa între tensiunile principale 1 - 3 produce o deformaţie longitudinală:

(4.67)

în care: este diferenţa între tensiunile principale la rupere. Pentru o argilă, valoarea 2c nu prezintă nici o variaţie a umidităţii.

Din ecuaţia (4.67) avem că:

(4.68)

Dacă se utilizează acelaşi factor de siguranţă, atunci:

125

(4.69)

şi raportul s / B va deveni:

(4.70)

Valorile sunt prezentate în tabelul 8.14.

În problema noastră avem că:

de unde se obţine:

5. STABILITATEA TALUZURILOR, TERASAMENTELOR ŞI VERSANŢILOR. LUCRĂRI DE CONSOLIDARE ŞI SUSŢINERE

5.1 Soluţii moderne de susţinere a terasamentelor şi a versanţilor

5.1.1 Consolidarea cu ajutorul ranforţilor

Ranforţii sunt lucrări de construcţii care se utilizează pentru consolidarea terasamentelor şi versanţilor care pot să ajungă în faza de alunecare şi la care suprafaţa de alunecare posibilă este situată la o

126

adâncime de până la 3,5 m de la suprafaţă.Ranforţii sunt realizaţi din beton, iar săparea în terenul de fundare se poate realiza mecanizat.

Realizarea săpăturilor se execută perpendicular pe frontul ce urmează a fi susţinut şi prezintă avantajul de a nu periclita stabilitatea terasamentelor în timpul execuţiei săpăturii în terenul de fundare.

Ranforţii se pot realiza şi în formă tipizată, caz în care ei sunt proiectaţi pentru a putea prelua presiuni maxime pe talpă de 4 daN/cm2 şi sunt utilizaţi la susţinerea taluzurilor drumurilor sau la stabilizarea taluzurilor sau versanţilor aferenţi căilor de comunicaţie terestre.

Din experienţa acumulată până în prezent a rezultat că aceste lucrări sunt oportune numai pentru lucrări în rambleu şi foarte rar în debleu.

Ranfortul este alcătuit din fundaţie şi elevaţie. Pentru fundaţie s-au adoptat următoarele valori ale adâncimilor de săpare: 3,5 m, 4,5 m şi 5,5 m corespunzătoare tipurilor de ranforţi, mic, mijlociu şi mare.

Elevaţia are înălţimi cuprinse între 1 şi 2 m şi pe ea sunt aşezate elementele de susţinere ce transmit o împingere terenului de fundare. Elementele de suţinere pot fi fâşii prefabricate de planşeu, fâşii prefabricate de poduri, bolţi prefabricate, etc.

În funcţie de adâncimea la care se află planul de alunecare posibilă se stabileşte tipul de ranfort care trebuie utilizat, cu respectarea condiţiei de realizare a unei încastrări de minimum 2,0 m sub planul de alunecare.

În figura 5.1 este prezentat un ranfort cu principalele elemente constructive :

Execuţia ranfortului este posibilă în două moduri care diferă între ele prin poziţia platformei de lucru a utilajului de săpat, şi care poate fi amplasată în amonte sau în aval. În general este de preferat amplasarea în amonte. Amplasarea în aval prezintă avantajul că se poate realiza o adâncime de săpare mai mare, atunci când planul de alunecare este mai profund, dar are dezavantajul că accesul utilajului de săpare este mai dificil şi se dezafectează o suprafaţă mai mare de teren.

În tabelul 5.1 sunt prezentate comparativ soluţiile de susţinere cu zid de sprijin din casete prefabricate şi cei cu ranforţi executaţi mecanizat.

Baretele sunt elemente de construcţie din beton armat, care au o rezistenţă mare şi care se folosesc ca şi fundaţii de adâncime, sau ca elemente structurale pentru lucrări de consolidare în cazul alunecărilor de

127

Fig.5.1 Elementele constructive ale unui ranfort:1-infrastuctură drum; 2-pat drenant ; 3-fâşii din beton armat prefabricat; 4-fundaţia ranfort; 5-elevaţia ranfort

teren de profunzime, atunci când suprafaţa de alunecare probabilă se găseşte la adâncime de 4-10m.

5.1.2 Consolidarea cu barete din beton armat

Din punct de vedere constructiv baretele se pot realiza în următoarele tipuri constructive :Tabel 5.1.

Costurile pe tipuri de consoloidareNr.crt. Indicator Zid de sprijin din casete

prefabricateSusţinere – consolidare

cu ranforţiDiferenţă

[%]1. Ciment [kg] 3160 2460 222. Oţel [kg] 85,2 40 553. Prefabricate

[m3]2 0,3 85

4. Preţ cost (an1989)[lei]

13250 8690 34

barete cu capitel izolat, (fig 5.2), barete cu capitel cu elemente de legătură: bolţi sau grinzi (fig 5.3); barete grupate într-un modul, prin solidarizare cu o grindă (fig 5.4 ); barete grupate într-un modul prin solidarizare cu un cadru spaţial (fig 5.5).

128

Fig.5.2 Barete cu capitel izolat

Fig. 5.3 Barete cu capitel cu elemente de legătură

Fiecare soluţie are un domeniu de aplicare bine precizat în funcţie de adâncimea posibilă a planului de alunecare, caracteristicile geotehnice ale terenului de fundare şi împingerea pământului.

Cele mai alese tipuri de barete folosite în România sunt cele cu dimensiunile 2,60 x 0,8 şi cu o adâncime de fundare cuprinsă între 10 şi 12 m.

5.1.3 Consolidarea cu ajutorul coloanelor din beton armat

Ca şi baretele, coloanele din beton armat sunt elemente de fundare şi reprezintă elementele structurii de rezistenţă ale lucrărilor de consolidare.

Ele se realizează printr-o forare tubată cu diametrul cuprins între 0,8 şi 2 m. În interiorul tubului se montează armătura şi apoi este turnat betonul.

Terenurile în care se utilizează coloanele pot avea o alcătuire litologică diversă, cu infiltraţii de apă şi alternanţă de roci slabe.

Fundarea coloanelor se face la 7-9 m sub nivelul planului de alunecare, ele având marele avantaj al posibilităţii de realizare a unor adâncimi de fundare mai mare decât la barete, fig. 12.6.

Din punct de vedere constructiv, lucrările de susţinere cu coloane se pot realiza în următoarele variante:

129

Fig. 5.4 Barete grupate într-un modul prin solidarizare cu o grindă

Fig. 5.5. Barete grupate într-un modul prin solidarizarea cu un cadru spaţial

a.) coloane distanţate, solidarizate prin grindă de continuitate;b.) coloane tangente (joantive), solidarizate prin grindă de continuitate;c.) coloane dispuse într-un cadru plan, realizând un ranfort;d.) coloane dispuse tangent, într-un perete descărcat prin coloane de ancoraj.

5.1.4 Stabilirea elementelor de calcul a baretelor şi coloanelor

Calculul unui element fişat (baretă sau coloană ) se face luând în considerare interacţiunea acestor elemente cu terenul de fundare.

Determinarea coeficientului de proporţionalitate al terenuluiTerenul de fundare este asimilat cu un mediu elastic fiind caracterizat printr-un coeficient de pat Cz,

care variază proporţional cu adâncimea z.

Cz = m . z ; [N / m3 ]; (5.1 )

unde : m – este coeficientul de proporţionalitate al terenului de fundare, ( N / m4 ).Coeficientul de pat Cz se determină pentru straturile de pământ până la o adâncime convenţională “hm“

care nu trebuie să depăşească înălţimea h a elementului fişat:hm = 3,5 d1 + 1,5 h ; ( 5.2)

unde d1 – diametrul coloanei, sau latura secţiunii baretei

Dacă pe adâncimea hm se întâlneşte un singur tip de rocă se va utiliza valoarea coeficientului de proporţionalitate al rocii stabilită în funcţie de natura rocilor şi dependenţa acestuia de idicele de consistenţă respectiv cifra porilor.

Aceste corelaţii sunt redate în tabelele 5.2 şi 5.3

Tabel 5.2.Valoarea coeficientului de proporţionalitate pentru roci argiloase

Tip de rocă Indicele de consistenţă Domeniul de consistenţă Coeficientul de proporţionalitatem x.103 [N/ m4]

Argile 1,5 Foarte tare 10.0001,25 Tare 8.000

Argile prăfoase 1 Plastic vârtos 6.0000,75 Plastic consistent 5.000

Argile nisipoase 0,5 Plastic moale 4.0000,25 Plastic curgător 5002000

130

Tabel 5.3.Valoarea coeficientului de proporţionalitate pentru nisipuri

Tip de nisip Starea de îndesare Indicele porilor“e”

mx103

[N/m4]

Nisip prăfosAfânatMediu îndesatîndesat

0,8 15000,6 – 0,8 2000 – 4000

0,6 5000

Nisip finAfânatMediu îndesatîndesat

0,75 30000,6 – 0,75 4000 – 6000

0,6 7500

Nisip mijlociuAfânatMediu îndesatîndesat

0,7 30000,55 – 0,7 4000 – 6000

0,55 7500

Nisip mareAfânatMediu îndesatîndesat

0,7 50000,55 – 0,7 6000 – 10000

0,55 13000

131

Fig. 5.6. Variante de susţinere cu ajutorul coloanelor

Nisip cu pietrişAfânatMediu îndesatîndesat

0,7 70000,55 – 0,7 10000 – 20000

0,55 25000

Dacă terenul de fundare este neomogen, alcătuit din două sau mai multe tipuri de roci atunci se stabileşte un coeficient de proporţionalitate echivalent, astfel:

- pentru două tipuri de roci :

; (5.3.)

- pentru trei tipuri de roci

; (5.4.)

unde, h3 = hm –(h1 + h2 )Calculul baretelor şi coloanelor în cazul rocilor neomogene efectuat cu ajutorul coeficientului de

proporţionalitate echivalent este acoperitor şi nu este posibil să apară probleme de instabilitate datorită subdimensionării.

Determinarea lăţimii elementelor fişate (barete sau coloane)La baretele şi coloanele dispuse pe un singur rând lăţimea “bc“ a baretelor şi a coloanelor cu diametru

egal sau mai mare de 0,8 m se determină cu relaţia:bc = d + 1 [m]; (5.5 )

în care: d – diametrul coloanei sau lăţimea baretei.Pentru celelalte cazuri relaţia de calcul devine:

bc = 1,5d + 0,5 [m]; (5.6)Pentru a asigura o interacţiune optimă între elementele fişate şi terenul de fundare, (fig.5.7), este

necesar să se asigure o distanţă minimă între axele elmentelor dată de relaţia:a d + 1,0 ; [m]; (5.7)

La elementele fişate dispuse pe mai multe rânduri trebuie să se ţină seama şi de conlucrarea de ansamblu, prin luarea în considerare atât a distanţei dintre elementele unui rând cât şi a distanţei dintre rânduri prin introducerea unui coeficient de conlucrare K, ( fig 5.8 ).

În acest caz lăţimea devine:bc = (d+1) . K; (5.8)

în care:

K= x (5.9)

Unde: = 1, pentru elementele fişate dispuse pe un singur rând; = 0,6, pentru elementele fişate dispuse pe două rânduri;

132

Fig.5.7. Lăţimea de calcul a elementelor fişate

= 0,5 , pentru elementele fişate dispuse pe trei rânduri;L – distanţa dintre elemente;hp – adâncimea de fundare şi care este: hp 6 m pentru d = 1 m şi hp 18 m pentru d = 5 m.

Pentru valori intermediare ale lui d, adîncimea de fundare se determină cu relaţia :hp = 3 (d + 1); (5.10)

În cazul în care baretele sunt dispuse pe două rânduri şi acestea se întrepătrund pe o lungime egală cu jumătate din latura lungă a baretei, (fig 5.9) distanţa minimă dintre aceste barete trebuie să fie:

a d + 2 [m]; (5.11)

Distanţele diferenţiate dintre barete, în funcţie de poziţia lor, se stabilesc din condiţia ca forţele ce se transmit prin frecare de pereţii laterali ai baretelor masivului de pământ să nu depăşească rezistenţa la forfecare a acestuia.

Determinarea rigidităţii baretelor şi coloanelorModul de calcul a elementului fişat depinde de valoarea adâncimii reduse, de introducere în terenul de

fundare a acestuia, care se notează cu şi care se calculează cu relaţia:= . h ; (5.12.)

în care:

(5.13)

unde: - coeficient de interacţiune, element fişat – teren de fundare;

133

Fig.5.8. Lăţimea de calcul pentru elementele fişate dispuse pe mai multe rânduri

Fig.5.9. Dispunerea intermediară a baretelor şi sarcinile ce revin rocilor dintre barete

h – adâncimea efectivă de fundare a elementului fişat ;Eb – modulul de elasticitate al betonului armat;I – momentul de inerţie al secţiunii transversale;bc – lăţimea de calcul a elementului fişat.Dacă h 2,5 elementul se consideră infinit rigid şi se aplică relaţiile de calcul de la fundaţiile

incastrate.Dacă h 2,5 elementul se consideră elastic, caz în care se aplică relaţiile de calcul ale unui element

incovoiat.În tabelul 12.4 sunt redate valorile corespunzătoare condiţiei de element infinit rigid: 2,5.

Modul de calcul al elmentelor fişate rigideStabilitatea elementelor încastrate în teren sub acţiunea sarcinilor exterioare este asigurată de

rezistenţa la compresiune a rocilor care vin în contact cu elmentul fişat.Dacă asupra elementului fişat acţionează forţe orizontale (H), forţe verticale (N), precum şi un

moment incovoietor (M), (figura 5.10), atunci elementul tinde să se rotească în jurul unui punct care se află la o adâncime zo de la suprafaţa terenului şi care este acţionat de următoarele tipuri de forţe orizontale şi verticale:

Tabel 5.4.Valorile fişei pentru 2,5

Coeficient de proporţionalitate h (barete 2,6 x 0,8) h (coloane d= 1,08 m)2000 15,8 8,63000 14,6 7,94000 13,7 7,66000 12,7 78000 12 6,6

V1 – reacţiunea pe verticală creată de sol pe talpa elementului fişat;P1 – reacţiunea laterală a solului pe partea anterioară a elementului, în partea superioară a acestuia ;P2 – reacţiunea laterală pe partea posterioară a elementului, în partea inferioară a acestuia ;T1 şi T2 - forţe de frecare pe feţele laterale ale elementului ;T3 – forţa de frecare pe talpa elementului.

Caracterul general al deplasărilor elementelor încastrate şi starea de tensiune din elemente, depind în mod esenţial, de mărimea forţelor exterioare la care acestea sunt supuse. În funcţie de valoarea forţelor exterioare putem întâlni trei cazuri:

a.) Când forţele exterioare sunt mici, (fig. 5.11) şi reacţiunea solului pe feţele laterale şi pe talpă se situează în domeniul elastic, diagramele presiunii pe feţele laterale au formă curbilinie, iar diagrama de presiune pe talpa elementului este trapezoidală.

b.) Forţele exterioare cresc şi se produc deformaţii plastice în terenul de fundare. Presiunea creată atinge valoarea limită a rezistenţei pământului, iar diagrama presiunii pe talpă are formă triunghiulară, fig. 5.12.

c.) În cazul când forţele exterioare cresc în continuare, deformaţiile plastice cresc, iar reacţiunea terenului de fundare pe feţele laterale atinge valoarea limită a acestuia, fig 5.13.

În cele trei cazuri s-a examinat situaţia particulară când centrul de rotaţie al elementului, punctul D, se află deasupra tălpii elementului fişat.

134

Fig.5.10. Modul de solicitare a unui element fişat

Poziţia acestui centru determină schema de calcul şi caracterul diagramelor de presiune ale terenului de fundare pe feţele elementului fişat.

Ţinând seama de distribuţia stării de tensiune în terenul de fundare, calculele de stabilitate şi determinarea stării de tensiune în elementele fişate încastrate în teren se poate realiza prin două procedee:

- cu luarea în considerare a comportamentului elastic al terenului de fundare;- pe baza solicitărilor limită, corespunzătoare stării limită de echilibru a terenului de fundare.

135

Fig.5.11. Diagramele de eforturi în cazul când forţele exterioare au valori mici

Fig.5.12. Diagrama de eforturi în cazul apariţiei deformaţiilor plastice mici

Întucât cea de-a doua metodă este foarte laborioasă, în practică s-au generalizat relaţiile de calcul considerând că terenul de fundare se comportă elastic. Se consideră un mediu elastic de tip Winkler, cu neglijarea forţelor de frecare între elementul fişat şi terenul de fundare, fig.5.14.

Considerăm că sub acţiunea unei forţe orizontale H, la o adâncime Z, deplasarea orizontală a elementului se determină cu relaţia:

Y =( Z0 – Z ) tg .; (5.14)Tensiunea verticală a terenului z este, conform ipotezei lui Winkler, direct proporţională cu această

deplasare :z = Cz ; y = C z ( z0 - z )tg / h; (5.15)

unde Cz = m . z şi C = m . h sunt coeficienţii de pat ai terenului de fundare la adâncimile z şi h.Tensiunea maximă pe suprafaţa tălpii se determină cu relaţia:

max = C max = tg.; (5.16.)

în care: C – coeficientul de pat la adâncimea h; a - latura elementului paralelă cu direcţia forţei orizontale H; max - tasarea maximă la extremitatea elementului fişat.

Necunoscutele Z0 şi se determină din condiţile de echilibru: y = 0 şi M =0 ; (5.17)

136

Fig.5.13. Diagrama de eforturi în cazul apariţiei deformaţiilor plastice mari

Fig.5.14. Comportarea terenului de fundare cu comportament elastic de tip Winkler

(5.18)

Din rezolvarea sistemului se obţin cele două necunoscute :

unde:

Wt – modulul de rezistenţă al tălpii elementului fişat;H – rezultanta forţelor orizontale exterioare;

= - distanţa de la rezultanta forţelor exterioare orizontale până la talpa fundaţiei;

M – momentul total al forţelor orizontale exterioare în raport cu talpa; - raportul coeficienţilor de pat şi reprezintă raportul de deformabilitate al terenului situat deasupra

tălpii fundaţiei şi cel situat sub talpa fundaţiei;

C - coeficientul de pat al terenului aflat sub talpa fundaţiei:C = 3 x 105 KN/m3 pentru rc = 1 MPaC = 15 x 106 KN/m3 pentru rc 25 MPa.

Pentru valori intermediare ale rezistenţei la compresiune, coeficientul de pat se determină prin interpolare.

Calculul elementului fişat rigidCalculul elementului fişat rigid urmăreşte determinarea eforturilor unitare şi a deplasărilor suportate şi

începe cu determinarea presiunilor orizontale pe cele două feţe verticale ale acestuia.La adâncimea z de la suprafaţă, perpendicular pe planul de acţiune al forţelor orizontale, se dezvoltă

tensiuni orizontale a căror valoare se determină cu relaţia :

z = ; ( 5.21 )

În cazul elementelor fişate rigide pentru care = h 2,5, verificarea acestor eforturi unitare transmise de element asupra terenului de fundare se efectuează pentru adâncimile: z = h/3 şi z = h. La aceste adâncimi presiunile orizontale nu trebuie să depăşească presiunile orizontale admisibile ale terenului de fundare, presiuni date de expresia:

Padm = ( a .z. . tg + C) ; (5.22)

În care: - unghiul de frecare interioară; C – coeziunea, care se consideră 50 % - 60 % din valoarea indicată de STAS; - coeficient al condiţiilor de lucru.În cazul în care solul este neomogen, fiind alcătuit din mai multe straturi, valorile lui a; şi C se

consideră ca o medie ponderată pentru adâncimea considerată.Valoarea coeficienţilor condiţiilor de lucru este dată de relaţia 5.23.

137

(5.23)

unde: Hp – forţe orizontale rezultate din încărcări permanente;Ht – forţe orizontale din încărcări temporare (Ht= 20 – 30 % Hp).

În aceste condiţii pentru se acceptă o valoare = 0,4-0,47.De asemeni, variază între 100-250, iar cos între 0,9-0,98 ; iar cu aceste valori medii rezultă că

valoarea raportului /cos este de 0,5.Introducând aceste valori în relaţia presiunii admisibile se obţine:

Padm = 2(a z tg +C)Verificarea stabilităţii elementului fişat se determină din satisfacerea condiţiei:z Padm, respectiv :

z(z0 – z )2 (az tg + C ).

Determinarea presiunilor verticale pe talpa elementului.Pe talpa elementului fişat acţionează tensiunile:

max/min = (5.24)

unde: a – latura elmentului fişat paralelă cu forţa orizontală HA – secţiunea tălpii elementului fişatN – încărcarea axială la nivelul tălpii şi care este dată de expresia:

N=N0 + G – Ff. (5.25)

unde : N0 – încărcarea axială la capul elementului fişatG – greutatea proprie a elementului fişatFf – forţa de frecare pe surafaţa laterală care se determină cu expresia:

Ff = K .P f . l. (5.26)

în care : K – 0,5 pentru pământuri necoezive K – 0,6 pentru pământurile coezive P – perimetrul elementului fişat f – rezistenţa de calcul pe suprafaţa laterală a elementului. Valoarea coeficientului f funcţie de

natura rocilor este dată în tabelul 5.5, exprimată în kN/m2. l – lungimea elementului în contact cu roca.

La utilizarea baretelor şi coloanelor ca şi lucrări de consolidare a solurilor instabile, încărcarea axială este redusă şi verificarea presiunilor pe talpă nu este necesară.

Tabel 5.5Rezistenţa la frecare f funcţie de natura rocilor

Adâncimea medie a

stratului [m]

Pământuri necoezive Pîmânturi coeziveMari Fine Prăfoase 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3

1 35 23 10 35 23 15 12 5 22 42 30 15 42 30 20 17 7 33 48 35 25 48 35 25 20 8 44 53 38 27 53 38 27 22 9 55 56 40 29 56 40 29 24 10 67 60 43 32 60 43 32 25 11 710 65 46 34 65 46 34 26 12 815 72 51 38 72 51 38 28 14 1020 79 56 41 79 56 41 30 16 12

138

5.2. Determinarea momentelor încovoietoare în elementul fişat

În elementul fişat la adâncimea z momentele încovoietoare se determină cu o relaţie de tipul:

Mz =H

(5.27)

5.3. Determinarea deplasării orizontale la capătul elementului

Deplasarea orizontală la capătul elementului se poate determina cu relaţia: = (z0 . K1 + l . K2 ) + 0 ; ( 5.28)

în care: l – lungimea liberă a elementului deasupra suprafeţei de încastrare;0 – deplasarea orizontală a elementului pe lungimea neîncastrată;K1 şi K2 – coeficienţi ce ţin seama de rigiditatea elementului. Aceşti coeficienţi sunt redaţi în tabelul

5.6. - unghiul de rotire al elementului şi care se poate determina cu relaţiile: = 6H/S.m.h,

în cazul acţiunii forţei orizontale H, cu braţul , şi =2M / B.m.h

în cazul în care acţionează numai momentul M; (H = 0).

Tabel 5.6.Valorile coeficienţilor de rigiditate K1 şi K2

A x h Coeficientul /h =1 /h = 2 /h =3 /h =

1,6K1 1,0 1,0 1,0 1,0K2 1,0 1,1 1,1 1,1

1,8 K1 1,0 1,1 1,1 1,1K2 1,1 1,2 1,2 1,2

2,0 K1 1,1 1,1 1,1 1,2K2 1,2 1,3 1,4 1,4

2,2 K1 1,1 1,2 1,2 1,2K2 1,2 45 1,6 1,7

2,4 K1 1,1 1,2 1,3 1,3K2 1,3 1,8 1,9 2,0

2,5 K1 1,2 1,3 1,4 1,4K2 1,4 1,9 2,1 2,3

5.4 Calculul adâncimii de exploatare a baretelor în teren stabil

Calculul elementelor fişate, încastrate în teren stabil se va face luând în considerare presiunile laterale efective care trebuie să fie mai mici decât presiunea admisibilă Padm , a terenului. Calculul se face pentru adâncimea: z = h/3; Padm

Padm = (5.29)

= . z( zo-z) ; S= ; (5.30)

în care : - raportul coeficienţilor de proporţionalitate m pe feţele laterale şi talpa baretei ; pentru teren

omogen =1;bc – lăţimea de calcul a baretei bc = d + 1;d – grosimea baretei;Wt – modulul de rezistenţă al secţiunii transversale a baretei; = h1 + h adâncimea baretei de sub radier şi până la talpă;h1 – adâncimea baretei deasupra planului de alunecare probabilă;

139

h – adâncimea de încastrare a baretei în teren stabil; - coeficientul condiţiilor de lucru;zo – adâncimea punctului de rotaţie. Se poate considera zo =0,7h.Făcând înlocuirile şi punând condiţiile la limită în relaţia : Padm se obţine ecuaţia:

h= (5.31)

unde: n coeficient de conlucrare baretă – teren şi care ţine seama de poziţia în plan a baretelor (fig 5.15).

Dacă în relaţia 12.31 se fac notaţiile:

b = şi c = , atunci relaţia 12.31 se poate scrie:

h2 - bh - c = 0 (5.32)iar adâncimea de încastrare se va considera soluţia pozitivă a ecuaţiei de gradul doi, dată de relaţia 12.33:

h= ; (5.33)

5.5 Calculul elementului fişat flexibil

Un element fişat este flexibil, dacă adâncimea redusă de penetrare în pământ este:h2 = ah 2,5 (5.34)

în care : h – adâncimea efectivă de introducere în teren;a – caracteristica de interacţiune sol-element fişat.

a= (5.35)

140

Fig.5.15. Determinarea lui n în funcţie de poziţia în plan a baretelor

Schemele de calcul ale soluţiilor constructive sunt prezentate în figura 5.16.

5.5.1. Parametrii iniţiali de calcul a elementelor fişate flexibile

Calculul elementelor fişate urmăreşte determinarea eforturilor unitare şi a deformaţiilor suferite de acestea.

Deplasarea orizontală şi rotirea secţiunii la nivelul solului se pot determina cu relaţiile:yo =H0 . HH + M0 . HM

fo = H0 . MH + M0 . MM (5.36)în care : H0 şi M0 sunt valorile forţei orizontale şi a momentului încovoietor la nivelul suprafeţei solului.

HH – deplasarea orizontală a capului elementului sub acţiunea unei forţe orizontale unitare, H = 1 KN;HM – deplasarea orizontală a capului elementului sub acţiunea unui moment încovoietor unitar M = 1

KN . m;MH – rotirea capului elementului sub acţiunea unei forţe unitare;MM – rotirea capului elementului sub acţiunea unui moment unitar.Deplasările şi rotirile elementului corespunzătoare solicitărilor unitare sunt redate în figura 5.17.

Aceste deformaţii se calculează cu expresiile:

HH = (5.37)

141

Fig.5.16. Schema de calcul a elementelor fişate flexibile

Fig.5.17. Deplasările şi rotirile produse de solicitările unitare

(5.38)

(5.39)

în care: Eb – modulul de elasticitate al betonuluiI – momentul de inerţie al elementului fişat - coeficientul de interacţiune element fişat – sol;A0, B0, C0 – coeficienţi adimensionali funcţie de natura terenului de fundare. Aceşti coeficienţi sunt

redaţi în tabelul 5.7.

Tabel 5.7.Valoarea coeficienţilor A0, B0, C0

Adâncime[m]

Încastrare în roci necoezive Încastrare în roci stâncoaseA0 B0 C0 A0 B0 C0

2,0 4,737 3,418 3,213 3,381 2,081 1,8942,2 4,032 2,756 2,59 2,977 1,819 1,7582,4 3,526 2,327 2,227 2,713 1,673 1,7012,6 3,163 2,048 2,012 2,548 1,6 1,6872,8 2,905 1,869 1,889 2,453 1,572 1,6933,0 2,727 1,758 1,818 2,406 1,560 1,7073,5 2,502 1,641 1,757 2,384 1,537 1,7394,0 2,441 1,621 1,751 2,419 1,518 1,75

5.5.2. Determinarea presiunilor orizontale pe feţele verticale ale elementului fişat flexibil

La adâncimea z, pe feţele laterale se dezvoltă presiuni orizontale, a căror mărime este direct proporţională cu deplasarea orizontală şi cu coeficientul de pat al terenului (Cz).

z =Cz . yz = m . z . yz (5.40)Verificarea presiunii se va face pentru adâncimea redusă = z şi se va obţine următoarea presiune

laterală:

= m (5.41)

în care: A1, B1, C1, D1 – coeficienţi funcţie de adâncimea redusă. Aceşti coeficienţi sunt redaţi în tabelul 5.8.

12.5.3. Verificarea stării limită de capacitate portantă a terenului din jurul elementului fişat flexibil

Verificarea constă în îndeplinirea condiţiei:z Padm (5.42)Padm =2 (5.43)

Pentru elementele fişate încastrate în roci necoezive, trebuie să se realizeze verificarea pentru adâncimea z =0,85/.

5.5.4. Determinarea momentelor încovoietoare în elementul fişat flexibil

În diferite secţiuni ale elementului fişat flexibil, la adâncimea z, acţionează momente încovoietoare, care se pot determina cu expresia:

142

Mz=2EbIyoA3 - EbI0B3 + M0C3 + (5.44)

A3, B3, C3, D3 coeficienţi adimensionali funcţie de adâncimea redusă z. Aceşti coeficienţi sunt redaţi în tabelul 5.8.

5.6. Calculul aproximativ al momentului încovoietor

În cazul elementelor fişate cu adâncimea redusă 2,5 care se reazemă pe roci neconsolidate, sau a celor cu adâncimea redusă 4 care se reazămă pe roci stâncoase, momentul maxim încovoietor care acţionează în elementul fişat se poate determina aproximativ cu relaţia:

Mmax = M + H ; (5.45)

K2 – coeficient funcţie de mărimile şi h (tabel 5.9.) şi coeficientul dat de relaţia 5.46,:

; (5.46)

Cz – coeficientul de pat al terenului de sub elementul fişat:Cz = m . zo/0,2 hm

Io – momentul de inerţie la baza elementului fişat ;zo – parametru : zo = 10 m pentru h 10 m şi zo = h când h 10 m.hm – adâncimea convenţională medie : hm = (3,5 di + 1,5)di – diametrul coloanei sau elementului fişat

Tabel 5.8.Valorile coeficienţilor A1, B1, C1, D1 şi A3, B3, C3, D3

Adâncimeredusă [m]

CoeficienţiA1 B1 C1 D1 A3 B3 C3 D3

0,1 1 0,1 0,005 0 0 0 1 0,10,2 1 0,2 0,02 0,001 -0,001 0 1 0,20,3 1 0,3 0,045 0,005 -0,005 -0,001 1 0,30,4 1 0,4 0,08 0,011 -0,011 -0,002 1 0,40,5 1 0,5 0,125 0,021 -0,021 -0,005 0,999 0,50,6 0,999 0,6 0,18 0,036 -0,036 -0,011 0,998 0,60,7 0,999 0,7 0,245 0,057 -0,057 -0,02 0,996 0,6990,8 0,997 0,799 0,32 0,085 -0,085 -0,034 0,992 0,7990,9 0,995 0,899 0,405 0,121 -0,121 -0,055 0,985 0,8971,0 0,992 0,997 0,499 0,167 -0,167 -0,083 0,975 0,9941,1 0,987 1,095 0,604 0,222 -0,222 -0,122 0,96 1,091,2 0,979 1,192 0,718 0,288 -0,287 -0,173 0,938 1,1831,3 0,969 1,287 0,814 0,365 -0,365 -0,238 0,907 1,2731,4 0,955 1,379 0,974 0,456 -0,455 -0,319 0,866 1,3581,5 0,937 1,468 1,115 0,56 -0,559 -0,42 0,811 1,4371,6 0,913 1,553 1,264 0,678 -0,676 -0,543 0,739 1,5071,7 0,882 1,663 1,421 0,812 -0,808 -0,691 0,646 1,5661,8 0,843 1,706 1,584 0,961 -0,956 -0,867 0,53 1,6121,9 0,795 1,37 1,752 1,126 -1,118 -1,074 0,385 1,642,0 0,735 1,823 1,924 1,308 -1,295 -1,814 0,207 1,6462,2 0,575 1,887 2,272 1,72 -1,693 -1,906 -0,271 1,5752,4 0,347 1,874 2,609 2,195 -2,141 -2,663 -0,949 1,3922,8 -0,385 1,49 3,128 3,288 -3,103 -4,718 -3,108 -0,1973,0 -0,928 1,037 3,225 3,858 -3,541 -6 -4,688 -0,8943,5 -2,928 -1,272 2,463 4,98 -3,919 -9,544 -10,34 -5,8544 -5,853 -5,941 -0,927 4,548 -1,614 -11,731 -17,731 -15,076

Tabel 5.9.

143

Valoarea coeficientului K2

Coeficient de interacţiunesol-element,

Adâncimea redusă h [m]h 3,5 h = 3 2,5 h 3

0,100 0,75 0,7 0,670,125 0,75 0,7 0,670,15 0,75 0,7 0,660,175 0,75 0,7 0,650,200 0,75 0,7 0,65

5.7. Calculul adâncimii de încastrare a coloanelor în roca stabilă

Calculul adâncimii de încastrare a elementelor flexibile diferă de cel pentru elementele fişate rigide, deoarece datele experimentale au scos în evidenţă faptul că neluarea în considerare a elasticităţii duce la o supradimensionare a adâncimii de încastrare.

Pornind de la distribuţia presiunilor se poate scrie ecuaţia de echilibru a forţelor ce acţionează pe coloană, luând momentul acestora în raport cu punctul în care diagrama presiunilor îşi schimbă semnul (fig.5.18) distanţa zo faţă de suprafaţă.

Partea superioară a diagramei presiunilor se consideră de formă parabolică, iar partea inferioară de formă triunghiulară.

În acest caz, ecuaţia de momente devine:

; (5.47)

Pentru o coloană cu d = 1,08 m vom avea;Ps = Pi = Padm ; zo = 0,7 h ; bc = 2,08 m Şi ecuaţia presiunii admisibile va fi:

Padm . h2 – 1,7 H . h – 2,35 H . h1 = 0 (5.48)Necunoscuta din această ecuaţie este h – adâncimea de încastrare. Dacă h1 0, adâncimea de

încastrare va fi dată de relaţia:

; (5.49)

Dacă h1 = 0, adâncimea de încastrare se determină cu expresia :

; (5.50)

144

Fig.5.18. Schema de calcul a adâncimii de încastrare

12.8. Armarea elementelor fişate

Armarea elementelor fişate se efectuează pe întreaga adâncime a acestora, cu ajutorul unor carcase formate din bare longitudinale, etrieri, bare sau inele rigidizate, cârlige de manipulare.

Armăturile trebuie să aibă următoarele dimensiuni minime :- armătură longitudinală 14 OB 37 sau 12 PC 52- etrieri 10 OB 37 ;- cârlige de manipulare 18 OB 37.

Modul de armare al elementelor fişate este redat în figura 5.19.

Distanţa minimă dintre armăturile longitudinale se adoptă 15 cm la bare şi 5 cm la odgoane, iar grosimea de acoperire cu beton se adoptă de minim 7 cm, iar la terenuri de fundare agresive 10 cm.

Betonul utilizat va fi B200 pentru barete şi B300 pentru coloane.Aria armăturilor se determină conform relaţiei:

; (5.51)

Ra, Rc – rezistenţa de calcul a armăturii, respectiv a betonului;Ab – aria betonului; - coeficient fizic de armare.

La armarea baretelor, care au un moment de inerţie de circa 17 ori mai mare decât al coloanelor, la acestea se va utiliza un procent minim de armare. Acesta va fi de 25 kg armătură pe metru cub de beton.

Capetele superioare ale elementelor fişate se încastrează într-un radier sau riglă, iar dimensionarea acestora se face ţinând cont de următoarele elemente:

- corpul elementului fişat va pătrunde în radier pe o lungime minimă de 15 cm, fără betonul de egalizare;

- distanţa dintre faţa elementului fişat şi marginea radierului va fi de aproximativ 25 cm;- acoperirea cu beton a armăturii inferioare a radierului va fi de 15 cm, iar marca minimă a

betonului B-150.În cazul în care elementele fişate sunt amplasate pe un singur rând, este indicată unirea capetelor

acestora cu o grindă de continuizare care asigură o mai bună transmitere a împingerii pământurilor asupra elementelor şi o redistribuire a încărcărilor între elemente, atât în cazul neuniformităţii împingerii pământului, cât şi în cazul neuniformităţii conlucrării elementului fişat cu terenul de fundare.

Calculul elementelor fişate se realizează ca pentru o grindă continuă pe mai multe reazeme, făcându-se chiar ipoteza că unul dintre reazeme lipseşte, fig.5.20.

145

Fig.5.19. Modul de armare a elementelor fişate

Fig5.20.Calculul elementelor fişate armate

Momentele încovoietoare se pot calcula cu relaţii cunoscute de forma relaţiilor de mai jos, grindă rezemată pe reazeme (12.52) şi grindă în câmp (12.53):

; (5.52)

; (5.53)

5.9. STABILITATEA TALUZURILOR, VERSANŢILOR ŞI TERASAMENTELOR-APLICAŢII

Studiul stabilităţii taluzurilor realizate din pământuri coezive se bazează, în general, pe ipoteza unei suprafeţe cilindrice de rupere. Aria unei astfel de suprafeţe într-un plan perpendicular este un arc de cerc. După ce s-a găsit condiţia cea mai defavorabilă, adică suprafaţa care prezintă cea mai mică rezistenţă la alunecare, este necesar să se realizeze mai multe încercări.

Pentru toată suprafaţa de alunecare, de regulă presupusă, stabilitatea se examinează prin metoda fâşiilor. Dacă există posibilitatea să se facă presupunerea că = 00 (argilă saturată şi în condiţii de absenţă a drenării), atunci se poate realiza un calcul mai simplu. Metoda cercului lui Mohr este o altă metodă care poate fi utilizată în condiţii simplificate.

Coeficienţii de stabilitate au fost calculaţi pentru taluzuri simple realizate în pământuri omogene; plecând de la aceşti coeficienţi, se pot găsi rezultatele necesare fără a recurge la studii prin încercare a suprafeţelor de alunecare. Chiar în problemele complexe, coeficienţii de stabilitate sunt utilizaţi ca o primă aproximare. Aceşti coeficienţi de stabilitate sunt prezentaţi în tabelul 5.2 şi fig.5.9. Trebuie menţionat şi amintit totodată, că termenul care apare în expresia coeficientului de stabilitate reprezintă greutatea pe unitatea de volum (greutatea volumetrică), adică masa volumetrică înmulţită cu 9,81.

Uneori, problemele de stabilitate a taluzurilor impun determinarea ariei secţiunii şi a poziţiei centrului de greutate al unei secţiuni deplasate a pământului. În cazurile simple, această arie se poate măsura; în majoritatea situaţiilor însă, este necesar să se dispună de un planimetru. Pentru a găsi centrul de greutate al unei suprafeţe, trebuie decupată o placă de carton având forma corespunzătoare, care se suspendă în mod succesiv în două sau mai multe puncte. În fiecare poziţie suspendată se trasează o dreaptă verticală, utilizându-se firul cu plumb. Centrul de greutate va fi dat de punctul de intersecţie al acestor drepte.

În studiul stabilităţii taluzurilor se obişnuieşte să se considere unitatea de lungime a masivului. Aria secţiunii transversale a pământului deplasat, în m2, devine astfel volum, în m3.

Metodele utilizate în acest capitol sunt deseori utilizate în studiul stabilităţii taluzurilor existente sau în analiza cauzelor care produc alunecările, pentru a putea adopta măsurile preventive convenabile. Dacă aceste metode sunt aplicate în calculul lucrărilor miniere, este necesar totodată, ca înainte, să se aleagă un factor minim de siguranţă. Deseori, acesta este presupus ca fiind egal cu 1,5 sau chiar mai mic, dar se alege astfel încât să nu crească costul lucrărilor de terasament. Un factor de securitate scăzut nu poate fi însă acceptat, decât atunci când caracteristicile pământului pot fi cunoscute în mod precis şi dacă determinarea acestora s-a făcut foarte corect.

146

5.1. Figura 5.21 reprezintă o secţiune transversală iniţială a debleului unei căi ferate, în care s-a produs o

alunecare. Pământul este constituit din argilă, cu densitatea medie de 1,73 t/m3. Un studiu realizat prin foraje arată că suprafaţa de alunecare se apropie mult de un arc de cerc AE de rază 20 m. Să se estimeze rezistenţa medie la forfecare a argilei de-a lungul suprafeţei AE, dacă pământul este pe punctul de a aluneca. Se ia = 00 şi se presupune o rupere prin tracţiune DE pe o adâncime de 2 m.

Rezolvare:

Aria suprafeţei pământului care s-a deplasat ABCDE, măsurată prin planimetrie, s-a stabilit ca fiind egală cu 104,6 m2. Centrul G de greutate al acestei suprafeţe, găsit prin metoda plăcii de carton, se află la distanţa pe orizontală d = 4,25 m faţă de verticala ce trece prin O.

Masa unui volum cu secţiunea transversală ABCDE şi grosimea egală cu unitatea, este:

şi greutatea sa este:

La echilibru, momentul aplicat = momentul rezistent (momente în raport cu centrul de rotaţie O). Prin urmare:

1775 4,25 = coeziunea medie (c) x lungimea arcului AE x raza OE (5.54)

Măsura unghiului aoe = 810 şi prin urmare, lungimea arcului ae este:

Înlocuind valorile cunoscute în relaţia (5.1) se obţine că:

de unde rezultă coeziunea medie: c = 13,4 kN/m2.

147

Fig.5.21. Alunecare produsă într-un debleu

5.2. Taluzul unui debleu de 12 m adâncime, are o pantă dată de raportul 2 m orizontal : 1 m vertical. Pământul este format dintr-o argilă saturată cu densitatea de 1,92 t/m3 şi coeziunea 50 kN/m2. Să se găsească factorul de siguranţă cu privire la alunecarea circulară, luând = 0 şi presupunându-se că suprafaţa de alunecare trece prin talpa taluzului.

Rezolvare:

Pentru a găsi cercul cel mai periculos, factorul de siguranţă trebuie calculat pentru diferite suprafeţe de alunecare încercate succesiv, după care se va lua valoarea cea mai mică.

În acest caz, cu un pământ omogen, centrul cercului cel mai periculos poate fi obţinut utilizându-se datele din tabelul 12.10.

Tabelul 5.10.Valorile centrului cercului periculos

Pantai

Unghi de frecare interioară

Unghi de determinare a centrului cercului critic

Factorul de adâncime

D

Coeficient de stabilitate

90

75

60

45

30

15

0510152025051015201505101520250510152025055101520250551010

47,650,053,056,058,060,041,845,047,550,053,056,035,338,541,044,046,550,0

(28,2)31,234,036,138,040,0

(20,0)(23,0)20,025,027,028,029,0

(10,6)(12,5)11,0

(14,0)14,0

30,228,027,026,024,022,051,850,047,046,044,044,070,869,066,063,060,460,0

(89,4)84,279,474,469,062,0

(106,8)(96,0)106,088,078,062,050,0

(121,4)(94,0)95,0

(68,0)68,0

------------------

(1,062)1,0261,0061,001

--

(1,301)(1,161)1,3321,0921,0381,003

-(2,117)(1,549)1,697

(1,222)1,222

0,2610,2390,2180,1990,1820,1660,2190,1950,1730,1520,1340,1170,1910,1620,1380,1160,0970,079

(0,170)0,1360,1080,0830,0620,044

(0,156)(0,110)0,110

0,0460,0250,009

(0,145)(0,068)0,070

(0,023)0,023

Observaţie: Cifrele din paranteze corespund cercului cel mai periculos care trece prin talpa taluzului, dacă există un cerc mai periculos care trece pe sub talpa acestuia.

Înclinarea taluzului este:

148

Din tabelul 5.10, prin interpolare între 150 şi 300, unghiurile cu ajutorul cărora se poziţionează centrul cercului critic sunt: = 180 şi = 1100. Suprafaţa de alunecare orizontală rezultantă este reprezentată în fig.12.22. Raza R a curbei, obţinută prin măsurare, este de 23,7 m.

Trebuie însă, să se ţină seama şi de fisurarea prin tracţiune DE, de adâncime:

Volumul rezultant al pământului deplasat este reprezentat prin BCDE şi suprafaţa sa măsurată A = 346 m2. Distanţa de la centrul de greutate la verticala ce trece prin O este d = 5,2 m.

Măsura unghiului BOD este de 960 şi prin urmare, lungimea arcului BE este:

Factorul de siguranţă:

(5.55)

5.3. Debleul de 12 m din problema 12.2, trebuie construit aşa cum este reprezentat în fig.5.23. Să se găsească factorul de siguranţă, luând = 00 şi presupunând că suprafaţa de alunecare trece prin talpa taluzului.

149

Fig.5.22. Reprezentarea grafică a suprafeţei de

alunecare

Rezolvare:

În acest caz, în încercarea de a găsi poziţia suprafeţelor de alunecare ne poate ajuta experienţa. Ca punct de plecare, vom considera punctul O1 situat la 30 m deasupra centrului banchetei, obţinându-se suprafaţa de alunecare reprezentată în fig.5.23. Vom măsura raza R, unghiul subîntins de arc, suprafaţa A şi distanţa d de la centrul de greutate la verticala ce trece prin O 1. Vom repeta acest procedeu pentru mai multe suprafeţe de alunecare.

Pentru fiecare arc, factorul de siguranţă este:

(5.56)

Lungimea arcului este R.W - este greutatea materialului cu tendinţă de alunecare:

Înlocuind în relaţia (5.56) a factorului de rezistenţă, se obţine:

Dacă este măsurat în grade şi nu în radiani, atunci:

Pentru cele 5 suprafeţe de alunecare, rezultatele sunt date în tabelul 5.11.

Tabelul 5.11.Valoarea factorului de siguranţă

150

Fig.5.23. Modul de realizare al debleului

Fig.5.25. Poligonul forţelor ce acţioneză pe feţele fâşiilor

Numărul suprafeţei de

alunecare

AriaA

[m2]

RazaR

[m]

Unghiul subîntins

[ 0 ]

Distanţa de la centrul de greutate

d[m]

Factorul de siguranţă

F

12345

357257233524522

39,441,834,237,844,8

75,564,5759078

8,410,58,36,57,9

1,821,942,101,751,75

Din tabel se observă că factorul de siguranţă cel mai scăzut este de 1,75 pentru suprafaţa de alunecare nr. 4. Este însă posibil să mai existe o suprafaţă de alunecare mai critică şi prin urmare, se impune să se facă alte încercări pentru alte suprafeţe cu centrele situate în dreapta lui O4.

Se presupune că suprafaţa de alunecare cea mai periculoasă trece prin talpa taluzului. Pentru condiţia = 00 această presupunere nu poate fi corectă, pentru că nu există un pământ rezistent chiar sub talpa debleului care ar evita ca alunecarea să nu se producă mai jos de acest nivel.

5.4. Un masiv cu înălţimea de 8 m are o pantă de 300. Pământul are o densitate de 1,9 t/m3, o coeziune de 14,5 kN/m2 şi un unghi de frecare interioară de 150. Să se găsească factorul de siguranţă pentru suprafaţa de alunecare reprezentată în fig.5.24.

Rezolvare:

Poligonul forţelor pentru o fâşie este reprezentat în fig.12.25.

În acest caz, cel mai bine în rezolvarea problemei se pretează metoda fâşiilor. Considerăm o unitate de lungime de taluz. Zona de alunecare se împarte în 8 fâşii cu lăţimi egale. Lăţimea totală a suprafeţei de alunecare este de 16,6 m, de unde rezultă că lăţimea unei

fâşii este:

Forţele care acţionează pe feţele fâşiilor sunt necunoscute, dar pentru simplificare, în general, se presupune că ele acţionează orizontal.

Rezolvând pe verticală poligonul forţelor, avem:

151

Fig.5.24. Reprezentarea grafică a suprafeţei de

alunecare

(5.57)

Dar:

(5.58)

Tensiunea normală care acţionează la bază este:

(5.59)

(5.60)

de unde se obţine:

(5.61)

Calculăm momentele în raport cu centrul de rotaţie O, precizând însă că una din condiţiile de echilibru este ca suma momentelor forţelor E în raport cu O să fie nulă.

(5.62)

din care rezultă:

(5.63)

Înlocuind:

şi ţinând seama de relaţia (5.61) se obţine:

(5.64)

Ecuaţia (5.64) se rezolvă prin aproximări succesive. Pentru fiecare fâşie, vom calcula greutatea W şi vom măsura , adică înclinarea suprafeţei de alunecare în raport cu orizontala. Volumul unei fâşii: 1 m grosime este aproximativ egal cu înălţimea ordonatei mediane înmulţită cu lungimea. Înmulţind volumul

152

cu densitatea şi cu 9,81 se obţine valoarea W. Spre exemplu, pentru fâşia 5, ordonata medie măsurată este 4,29 m şi în consecinţă, greutatea va fi:

Unghiul pentru această fâşie este de 250. Se presupune că greutăţile acţionează în centrul fiecărei fâşii, excepţie făcând fâşiile extreme care au o formă aproape triunghiulară.

Rezultatele obţinute din calcul se regăsesc în tabelul 5.12.

Tabelul 5.12.

Elementele geometrice ale fâşiilor

Nr.

fâş

ie

sin

Înăl

ţim

ea f

âşie

iy,

[m

]

Gre

utat

eaW

, [kN

]

W s

in

c b

+ W

tg

(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)

12345678

-0,1050

0,1480,2790,4230,5530,6950,819

0,752,103,213,934,294,413,931,74

27,881,1123,9151,7166,0170,0151,667,2

-2,90

18,342,270,194,0105,255,0

37,551,763,272,574,475,670,648,0

1,0641,0001,0161,0200,9860,9400,8520,731

37,051,762,171,075,680,582,865,6

Presupunându-se o valoare probabilă a lui F din termenul (tg tg ) / F, vom calcula F plecând de la ecuaţia (5.63). Dacă această valoare diferă de valoarea presupusă (aleasă), se poate face o aproximare mai apropiată de valoarea obţinută prin calcul. În coloana (7) din tabelul 5.12 s-a presupus că F = 1,4. Adunând valorile din coloanele (5) şi (8) şi făcând împărţirea, obţinem:

care este suficient de aproape de valoarea 1,4 care a fost presupusă.

Prin metoda suedeză, acest procedeu este simplificat, în sensul că se presupune că forţele ce acţionează pe feţele fâşiilor se anulează şi în consecinţă, ele pot fi neglijate. Prin această metodă însă, există o eroare certă în valoarea lui F. Calculele sunt prezentate tot sub formă tabelară. Ca şi la procedeul anterior, se determină întâi greutăţile fâşiilor. Pentru fiecare fâşie, vom trasa triunghiul forţelor, aşa cum este reprezentat în fig.5.25, după care se determină componentele tangenţiale T şi normale N. Valorile acestor componente sunt trecute în tabelul 5.13, fără a omite însă semnul lui T. Aceste componente pot fi calculate şi utilizând relaţiile:

(5.65)

153

Tabelul 5.13.

Valorile componentelor normale şi tangenţiale

Nr. fâşieForţele, [kN]

Greutatea W Componenta tangenţială, T Componenta normală, N

12345678

27,881,1123,9151,7166,0170,0151,667,2

01740499410463

278112214615215311045

Forţa perturbatoare totală de-a lungul unei suprafeţe oarecare de alunecare este:

T = 383 kN

Forţa rezistentă maximă = rezistenţa prin coeziune + rezistenţa prin frecare =

= c L + N tg

unde: L este lungimea arcului:

L = raza x unghiul subîntins de arc

Prin urmare, forţa rezistentă va fi:

Forţa rezistentă = 14,5 19,9 + 836 0,268 = 288 + 224 = 512 kN

Cum aceste forţe acţionează la aceeaşi distanţă faţă de O, raportul dintre momentul rezistent şi momentul perturbator este acelaşi cu raportul forţelor corespunzătoare.

Factorul de siguranţă va fi:

Această valoare reprezintă factorul de siguranţă unic pentru o suprafaţă particulară de alunecare. Pentru a găsi factorul de siguranţă minim, se vor face astfel de calcule pentru mai multe suprafeţe.

5.5. În fig.5.26. este reprezentată secţiunea transversală a unui debleu cu adâncimea de 14 m şi panta 1,5 m orizontal : 1 m vertical. Pentru o adâncime de 5 m sub această suprafaţă, pământul posedă următoarele caracteristici: densitatea 1,80 t/m3; c = 2,5 kN/m2; = 100. Sub acest nivel, caracteristicile pământului sunt: densitatea 1,95 t/m3; c = 34 kN/m2; = 240. Pământul este saturat. Presiunea interstiţială pe suprafaţa de alunecare, stabilită pornind de la studiul reţelei de curgere, este reprezentată prin distanţa verticală între suprafaţa de alunecare şi curba întreruptă. Pentru suprafaţa de alunecare dată, să se găsească factorul de siguranţă a taluzului în condiţiile percolării staţionare.

154

Rezolvare:

Procedeul este similar celui din problema precedentă, dar în acest caz există două strate cu caracteristici diferite. În această situaţie, presiunea interstiţială, acţionând perpendicular pe suprafaţa de alunecare, reduce forţele normale, provocând apariţia frecării. Metoda de analiză a lui Bishop conduce la ecuaţia:

(5.66)

şi deci, procedeul este asemănător celui din problema anterioară.

În continuare, vom prezenta metoda simplificată, adică forţele care acţionează pe feţele fâşiilor sunt neglijabile.

Secţiunea este împărţită în 8 fâşii; lungimea totală măsurată fiind 34,5 m; lăţimea fiecărei fâşii este de 34,5 / 8 = 4,31 m.

Vom considera spre exemplu fâşia 6.

Ordonata mediană măsurată a fâşiei este de 5,0 m în stratul superior şi de 7,4 m în stratul inferior.

W = 5 4,31 1,80 9,81 + 7,4 4,31 1,95 9,81

W = 989 kN

Din triunghiul forţelor se obţine că N = 855 kN şi T = 515 kN.

155

Fig.5.26. Secţiune transversală printr-un debleu

Ordonata curbei trasată întrerupt, reprezentând presiunea interstiţială măsurată pe înălţimea apei în centrul fâşiei, este de 7,65 m.

Prin urmare, presiunea este:

7,65 1,0 9,81 = 75,0 kN/m2

Lungimea coardei fâşiei este de 5,2 m.

Forţa de împingere a apei interstiţiale:

U = 75,0 5,2 = 390 kN

Forţa normală efectivă:

N = N – U = 855 – 390 = 465 kN

În continuare se utilizează aceeaşi metodologie şi pentru celelalte fâşi; rezultatele obţinute sunt date în tabelul 5.14.

Tabelul 5.14.

Valorile forţelor ce acţionează pe fâşii

Nr. fâşie

Forţele, [kN]

Greutatea

W

Componentele Forţa de împingere U datorată apei interstiţiale

Forţa normală efectivă

N = N – UTangenţială T Normală

N

1

2

3

4

5

6

7

8

196

519

781

965

1084

989

721

302

-55

-90

15

180

370

515

511

250

1685

180

510

780

945

1020

855

535

175

90

225

310

365

385

390

305

75

90

285

470

580

635

465

230

2755

100

Forţa perturbatoare totală de-a lungul suprafeţei de alunecare este:

156

Forţa rezistentă maximă = C + N tg .

Măsurând unghiurile subîntinse de arce se găseşte că măsura arcului DE este de 5,43 m şi a arcului BE este de 35,6 m. Prin urmare:

C = 25 5,43 + 34 35,6 = 1346 kN

Numai pentru fâşia 8 = 100, pentru celelalte = 240.

Factorul de siguranţă:

(5.67)

La fel se poate menţiona şi aici, că această valoare reprezintă factorul de siguranţă pentru un cerc particular ales dinainte. Pentru a găsi factorul de siguranţă minim, trebuie studiate în acelaşi mod mai multe cercuri.

5.6. Trebuie să se realizeze o excavaţie verticală într-un pământ format din argilă, pentru care din încercări s-au obţinut următoarele caracteristici: = 1,76 t/m3; c = 36 kN/m2 şi = 00. Să se găsească înălţimea maximă pentru care excavaţia poate rămâne temporar nesusţinută.

Rezolvare:

Referindu-ne la tabelul 12.10, pentru = 00 şi i = 900, coeficientul de stabilitate este:

(5.68)

În această expresie:

= 1,76 9,81 = 17,27 kN/m2

şi pentru înălţimea maximă nesusţinută F = 1.

Înlocuind aceste valori în relaţia (12.68) se obţine:

Spre exemplu, cu un factor de siguranţă de 1,5 înălţimea maximă nesusţinută ar fi:

157

5.7. Un studiu efectuat pe şantier asupra unui pământ a arătat că acesta prezintă următoarele caracteristici: c = 24 kN/m2, = 150, = 1,95 t/m3. În acest pământ trebuie să se realizeze o excavaţie cu un taluz de pantă 300 în raport cu orizontala şi o adâncime de 16 m. Se cere să se găsească factorul de siguranţă al taluzului în raport cu alunecarea. Se poate presupune că frecarea şi coeziunea sunt mobilizate până la un raport identic celui dat de valorile lor limită.

Rezolvare:

Dacă frecarea a fost total mobilizată, rezultanta sa în orice punct al cercului de alunecare va fi orientată cu 150 în raport cu normala. În aceste condiţii (i = 300, = 150), coeficientul de stabilitate N extras din tabelul 5.2 este 0,046. Acesta va da un factor de siguranţă F exprimat în funcţie de coeziune, ca fiind:

Valoarea reală a lui F este mai mică decât cea pe care am obţinut-o astfel, datorită faptului că frecarea nu este total mobilizată. Ea trebuie stabilită şi găsită prin încercări succesive, deoarece mărimea rezistenţei mobilizată este necunoscută.

Presupunem că F = 1,4 atât pentru coeziune, cât şi pentru frecare. Unghiul de frecare mobilizat 1

este dat de relaţia:

de unde, datorită faptului că unghiul este mic, se poate scrie:

Interpolând valorile indicate în tabelul 5.10 pentru 1 = 10,70 se obţine N = 0,07 şi prin urmare, factorul de siguranţă va fi:

Cum această valoare nu este apropiată de cea presupusă (adică 1,4), va trebui să se facă o nouă încercare pentru o altă valoare, spre exemplu 1,25. Parcurgând aceleaşi etape de calcul, se va ajunge la un factor de siguranţă F = 1,24 care este suficient de apropiat de valoarea presupusă şi în consecinţă, poate fi considerat ca şi corect.

158

5.8. Un baraj de 25 m înălţime este realizat într-un pământ a cărui proprietăţi sunt: = 2,05 t/m3; c = 44 kN/m2 şi = 200. Taluzurile barajului fac un unghi de 300 cu orizontala. Apa din rezervor este evacuată foarte repede, deoarece nu are timp să se producă nici un drenaj apreciabil al apei provenind din baraj. Să se găsească factorul de siguranţă imediat după evacuare.

Rezolvare:

Se utilizează metoda aproximărilor elaborată de Taylor, condiţie care mai este cunoscută şi sub denumirea de evacuare rapidă .

Forţa perturbatoare depinde de densitatea aparentă totală, dar forţele normale care determină frecarea sunt reduse în raport de ( - w) / , care este identic cu raportul ( - w) / . În acelaşi raport se reduce şi (tg ) sau chiar unghiul (datorită faptului că este foarte mic). În continuare, se poate utiliza ecuaţia de stabilitate, dacă valoarea lui este redusă la:

Pentru = 100 şi i = 300, din tabelul 12.10 rezultă că N = 0,075. Factorul de siguranţă este:

Acest factor de siguranţă de 1,17 ţine seama de coeziune. Adevăratul factor de siguranţă, presupus identic atât pentru frecare, cât şi pentru coeziune va fi lejer inferior acestei valori, probabil situat în jurul valorii de 1,1.

Dacă F = 1,1 unghiul de frecare mobilizat va fi egal cu:

Datele din tabelul 5.14 nu permit cea mai precisă determinare a lui F. Un factor de siguranţă de 1,1 este foarte scăzut şi prin urmare, vor fi impuse acestei lucrări o serie de modificări.

5.9. Trebuie să se realizeze o excavaţie de 11 m adâncime într-un pământ a cărui densitate este de 1,84 t/m3

şi coeziunea 40 kN/m2. La 13 m sub argilă, sub nivelul suprafeţei iniţiale a pământului, se află un strat rezistent de rocă. Presupunând = 00 şi considerând că este posibil ca factorul de siguranţă să fie F = 1,5 să se găsească panta taluzului excavaţiei.

Rezolvare:

Adâncimea cercului critic este limitată de stratul rezistent de rocă situat sub stratul de argilă.

Factorul de adâncime D este:

159

Coeficientul de stabilitate este:

Utilizând curbele stabilite de Taylor, fig.5.27, pentru D = 1,2 şi = 00 se stabileşte că panta cerută de problemă este de aproximativ i 220

5.10. În fig.5.28 este reprezentată secţiunea transversală a unui rambleu. Pentru suprafaţa de alunecare luată ca ipoteză, să se determine factorul de siguranţă relativ la coeziune, cât şi adevăratul factor de siguranţă, presupunând că acesta din urmă este acelaşi atât pentru rezistenţa corespunzătoare coeziunii, cât şi pentru rezistenţa corespunzătoare frecării. Proprietăţile pământului sunt următoarele: = 1,84 t/m3, = 170 şi c = 15,4 kN/m2. Se neglijează efectul fisurării prin tracţiune.

Rezolvare:

Pentru această problemă, cea mai bună este metoda cercului frecării interioare, deoarece condiţiile sunt relativ simple.

Măsura unghiului AOD = 750 = 1,31 radiani. Rezultă că arcul AD va fi:

AD = 14,6 1,31 = 19,1 m

Aria lui ABD (obţinută prin planimetrare sau prin măsurare directă) este de 57,6 m2, iar greutatea sa W pe unitatea de lungime este:

W = 57,6 1,84 9,81 = 1040 kN

160

Fig.5.27. Curbele de stabilitate a lui Taylor.

Înlocuim forţa de coeziune ce acţionează de-a lungul arcului AD printr-o forţă C acţionând paralel cu coarda AD situată la distanţa “a” de centrul O, egală cu:

Poziţia centrului de greutate G al suprafeţei ABD se stabileşte prin metoda plăcii de carton.

Se trasează cercul frecării interioare de centru O şi rază egală cu: 14,6 sin 170 = 4,27 m.

Plecând de la punctul de intersecţie al forţelor W şi C, trasăm o dreaptă tangentă la cercul frecării interioare, care reprezintă reacţiunea P şi care este de fapt rezultanta dintre forţa normală şi forţa de frecare ce acţionează pe suprafaţa AD.

Se trasează triunghiul forţelor, fig.5.29, din care se poate citi direct că C = 196 kN.

Coeziunea mobilizată pe unitatea de lungime de coardă este:

Prin urmare, factorul de siguranţă relativ la coeziune, este:

161

Fig.5.28. Secţiune transversală printr-un rambleu

Fig.5.29. Triunghiul forţelor.

Pentru a găsi adevăratul factor de siguranţă, presupunând că el este identic şi pentru frecare şi pentru coeziune, repetăm procedeul arătat mai sus, dar pentru unghiurile = 150 şi = 130. Dreptele corespunzătoare sunt reprezentate în fig.5.28 (cu linie întreruptă). Rezultatele obţinute sunt date în tabelul 5.15.

Tabelul 5.15.

Valorile parametrilor de stabilitate

Unghi de frecare

mobilizat1

R sin 1C

[kN][kN/m2]

171513

4,273,783,28

1,001,141,33

196228260

11,012,814,6

1,401,201,06

În final, se trasează grafic F şi Fc în funcţie de 1, fig.5.30.

Cele două curbe se intersectează în punctul F = Fc = 1,17 şi în concluzie, factorul de siguranţă cerut de problemă este F = 1,17.

5.11. Un rambleu cu înălţimea de 9 m va fi construit cu o pantă a taluzului de 250 faţă de orizontală. Asupra taluzului nu se exercită nici o presiune hidraulică exterioară. Să se găsească factorul de siguranţă pentru cercul de alunecare de rază 21 m, aşa cum este reprezentat în fig.12.31, a cărui centru se află pe verticala dusă din centrul taluzului. Proprietăţile materialului rambleului sunt: c = 26,4 kN/m2, = 150, densitatea în stare uscată 1,76 t/m3, masa volumetrică a particolelor 2,65 şi umiditatea medie 15%. Se presupune că valoarea medie a parametrului

al presiunii interstiţiale este 0,5.

Rezolvare:

162

Fig.5.30. Diagrama de variaţie F şi Fc

Fig.5.31. Schema de calcul pentru factorul

de siguranţă

Dacă se utilizează metoda de analiză a lui Bishop, atunci termenul (W – u b) tg din expresia lui F,

devine W (1 - ) tg .

Utilizând metoda suedeză, ecuaţia lui F devine:

(5.69)

şi aceasta este de fapt metoda de rezolvare utilizată în continuare.

Suprafaţa de alunecare este împărţită în 10 fâşii cu lăţimea de 3 m şi datele calculate, corespunzătoare fiecărei fâşii sunt trecute în tabelul 5.16.

Tabelul 5.16.

Valorile forţelor ce acţionează pe fâşii

Nr. fâşie

[ 0 ]

GreutateaW, [kN] W sin

sec cos - sec W(cos - sec )

12345678910

-25-18-9-271524334454

68206331430510556572510375161

-29-64-52-1562144232278260130

550525505500505520545595695850

356426483499488446369244224-262

24881602152492482121249

-42

Pentru a calcula greutăţile fâşiilor avem nevoie de densitatea aparentă. Densitatea în stare uscată este de 1,76 t/m3. Dacă pământul este saturat pentru o umiditate de 15 %, densitatea aparentă este:

1,76 (1 + 0,15) = 2,02 t/m3

Spre exemplu, considerăm fâşia nr.4. Suprafaţa acesteia este de 21,66 m2 şi prin urmare, greutatea sa va fi:

21,66 2,02 9,81 = 430 kN

Unghiul subîntins de arc în centrul de rotaţie este de 960. Rezistenţa la alunecare este egală cu:

163

Suma termenilor din coloana (W sin ) din tabelul 5.16 este de 946, respectiv suma în cazul ultimei coloane din acelaşi tabel este de 1287. Prin urmare, factorul de siguranţă va fi:

Rezultă că cercul presupus nu este în mod sigur cercul critic şi se impune astfel încercarea mai multor cercuri pentru a găsi valoarea minimă a lui F.

Dacă se utilizează metoda lui Bishop, factorul de siguranţă pentru acest cerc este de aproximativ 1,45. Diferenţa dintre cele două valori creşte în acelaşi timp cu unghiul la centru al arcului şi este totodată mai mare pentru valori superioare ale suprapresiunii interstiţiale.

6. STABILITATEA IAZURILOR DE DECANTARE

Stabilitatea iazurilor de decantare scade în timpul exploatării datorită caracterului recent al depunerilor cât şi a cantităţilor mari de apă care transportă sterilul.

Sedimentele dintr-un iaz de decantare pot fi comparate cu sedimentele dintr-o deltă, şi ca şi orice sediment recent depus are o porozitate mare şi o indesare redusă.

164

6.1. Protecţia iazurilor de decantare prin compactare

Protecţia prin compactare a sedimentelor din iaz urmăreşte ceşterea gradului de îndesare.Stabilitatea unui iaz este bună atunci când gradul de îndesare ID 0,6-0,7.Efectul pozitiv asupra stabilităţii este dat de creşterea numărului de contacte dintre particulele de

solid, ceea ce duce la creşterea unghiului de frecare interioară, unul din parametrii importanţi ai rezistenţei la forfecare a sedimentelor din iaz.

De asemenea, creşterea gradului de indesare al sedimentelor reduce apariţia fenomenului de sufoziune, precum şi posibilitatea de pierdere a stabilităţii prin lichefiere-tixotropie.

Compactarea plajei iazurilor de decantare este eficientă numai în zona din apropierea taluzurilor, unde predomină fracţiunea solidă.

Iazurile de decantare la care digurile se ridică mecanizat, beneficiază de efectul compactării realizate prin greutatea utilajelor.

6.2. Protecţia prin filtre inverse

Apariţia exfiltraţiilor pe taluzuri duce în unele cazuri la antrenarea fazei solide din corpul iazului, fie sub formă selectivă a celor mai fine particule (sufoziune), fie ca antrenare totală a fazei solide.

Forma de antrenare selectivă poate duce la afânarea taluzului, sau chiar la formarea unui gol care avansează în corpul iazului, pe direcţia liniilor de curent.

Antrenarea totală reduce panta taluzului în aşa măsură încât partea superioară rămâne în consolă provocând surpări repetate ale taluzului.

În ambele cazuri, antrenarea sedimentelor poate fi atenuată sau chiar eliminată prin proiectarea unui filtru invers format din două strate filtrante.

În figura 6.1. este prezentat un filtru invers format din două strate filtrante, plasat la baza unui dig de înălţare afectat de un gol sufozionar.

6.3. Protecţia iazurilor de decantare prin crearea de berme

Asigurarea stabilităţii prin crearea de berme este unul din cele mai frecvente procedee folosite în exploatarea iazurilor de decantare.

Pentru a se pune în evidenţă efectul pozitiv al bermelor se poate examina, comparativ, efectul unei berme cu efectul taluzării, deşi acest ultim procedeu se foloseşte în cazul versanţilor susceptibili sau afectaţi de alunecări de teren.

Taluzarea reprezintă micşorarea pantei unui versant, realizată prin excavaţii, cantitatea de rocă excavată fiind din ce în ce mai mare spre partea superioară a versantului.

În figura 13.2 se prezintă taluzul AB al unui iaz de decantare care face unghiul cu patul iazului. Aplicând taluzarea, noul taluz AC va avea panta 1 < . Volumul excavat va fi deci ABC x 1. Prin îndepărtarea acestui volum de sedimente de pe taluz se obţine un coeficient de siguranţă FS, care asigură stabilitatea taluzului.

Înlocuirea taluzării cu berma DE, va conduce la excavarea unui volum de rocă BDEFG, şi se va obţine

165

Fig 6.1. Reducerea efectului sufoziunii, prin filtre inverse formate din două strate filtrante f1 şi f2.

acelaşi coeficient de siguranţă ca şi în cazul taluzării. Analizând cele două procedee folosite se constată că volumul ABC excavat în cazul taluzării este mult mai mare decât cel rezultat prin crearea bermei BDEFG.

Primul volum este de aproape 2,5 ori mai mare decât al doilea, de unde rezultă că folosirea bermelor este mai economică decât taluzarea.

La construcţia iazurilor de decantare nu se excavează volumul BDEFG, ci se evită încărcarea taluzului cu acest volum prin retragerea următorului dig de înălţare cu lăţimea bermei DF.

Realizarea de berme pentru creşterea coeficientului de stabilitate, şi posibilitatea exploatării în condiţii de siguranţă, s-a realizat la următoarele iazuri de decantare: Plopiş Cavnic, Valea Podului-Teliuc, Valea Tărnicioara şi Dealu Negru.

6.4. Protecţia iazurilor prin coborârea nivelului hidrostatic

Coborârea nivelului hidrostatic în corpul iazului reprezintă un mijloc foarte eficient de creştere a stabilităţii.

Creşterea nivelului apei subterane pe măsura înălţării iazului de decantare este proces normal. Această creştere însă poate şi trebuie să fie atenuată în procesul de exploatare. O primă cale de atenuare ar fi menţinerea plajei pe suprafeţe cât mai mari. Aceste plaje este recomandat să ocupe 60-80% din întreaga suprafaţă de depozitare.

În figura 6.3 este ilustrată menţinerea plajelor, zona apelor limpezite fiind ţinută cât mai departe de coronamentul iazului.

Grosimea ecranului de apă trebuie să fie menţinută la minimum prin evacuarea periodică a apei limpezite.

Creşterea nivelului apei este defavorabilă atât prin ridicarea nivelului hidrostatic, cât şi prin reducerea rezistenţei la forfecare a sedimentelor, determinată de creştera presiunii apei din pori.

166

Fig.6.2. Efectul bermei şi al taluzării asupra stabilităţii iazurilor de decantare

Fig. 6.3 Protecţia iazului prin coborârea nivelului hidrostatic

Coborârea nivelului apei prin drenuri situate pe patul iazului, sau la diferite nivele din corpul acestuia, poate duce la creşterea stabilităţii iazului.

În figura 6.4 este ilustrată creşterea stabilităţii o dată cu scăderea nivelului hidrostatic.De remarcat că odată cu creşterea coeficientului de siguranţă, scăderea nivelului hidrostatic trebuie

estimată pentru fiecare caz în parte.

6.5. Creşterea stabilităţii iazurilor prin realizare de contraforturi

Pentru protecţia iazurilor şi creşterea stabilităţii acestora se pot construi contraforturi situate la baza iazului, rezemate de digul de amorsare.

Greutatea contrafortului se adaugă la forţele de rezistenţă ale iazului şi contribuie la creşterea coeficientului de siguranţă.

În funcţie de greutatea contrafortului, se proiectează dimensiunile lui constructive începând cu înălţarea h0 (figura6.5 ) care se ia în funcţie de înălţimea fianlă a iazului h.

Se recomandă ca h0 ( 0,3-0,5 ) h. Cunoscând înălţimea şi greutatea totală se determină apoi grosimea la bază a contrafortului (B) şi la partea superioară (b) a acestuia.

Baza contrafortului fiind mai mare decât lăţimea de la coronament rezultă că panta contrafortului 1

este mai mică decât panta generală a iazului, .

Contraforturile trebuie executate din anrocamente, pietriş sau steril rezultat din industria miniră şi trebuie să aibă o permeabilitate ridicată.

În România s-au construit contraforturi la multe iazuri de decantare, dintre care menţionăm pe cel de la iazul Valea Devei. Acest contrafort a fost realizat pe înălţimea de 30 m având la bază B=60 m, iar la partea superioară b=10m. Înălţimea iazului Valea Devei fiind de 90m.

167

Fig 6.4. Variaţia coeficientului de siguranţă funcţie de nivelul hidrostatic

Fig. 6.5. Creşterea stabilităţii iazului prin construcţia unui contrafort

BIBLIOGRAFIEARAD V. – Geotehinică minieră, Ed. Tehnică, Bucureşti 1995;ARAD V., TODORESCU A. – Ingineria rocilor şi structurilor de suprafaţă, Ed. Risoprint, Cluj Napoca 2006;ARAD V., GOLDAN T.– Geomecanică şi tehnologii miniere subterane, Ed. Focus, Petroşani 2009;ARAD V., STROG I., POLCANOV V. – Geomecanică, Ed. Tehnica-info, Chişinău, 2009;

168