Capitolul I: Siruri de numere reale Lect. dr. Lucian Maticiuc

Facultatea de Hidrotehnica, Geodeziesi Ingineria MediuluiMatematici Superioare, Semestrul I,Lector dr. Lucian MATICIUC

CURS I, II

Capitolul I: Siruri de numere reale

1 Definitia unui sir. Siruri marginite. Siruri monotone

Definitia 1 Se numeste sir de numere reale o functie

f : N→ R,

definita pe multimea N a numerelor naturale si cu valori ın R.Se va nota

an := f (n)

iar an se va numi termenul de ordin n al sirului.Sirul ıntreg se va nota cu (an)n∈N.Valorile f (n) , n ∈ N, ale functiei f se numesc termenii sirului, adica a1, a2, . . . , an, . . . sunt terme-

nii sirului.

Remarca 2 Sirul (an)n∈N se poate scrie si sub forma

(an)n∈N = {a1, a2, . . . , an, . . .} .

Definitia 3 Spunem ca sirul (an)n∈N este minorat (sau marginit inferior) daca exista α ∈ R astfelıncat

an ≥ α, ∀n ∈ N.

Spunem ca sirul (an)n∈N este majorat (sau marginit superior) daca exista β ∈ R astfel ıncat

an ≤ β, ∀n ∈ N.

Spunem ca sirul (an)n∈N este marginit daca exista α, β ∈ R astfel ıncat

α ≤ an ≤ β, ∀n ∈ N.

Daca sirul (an)n∈N nu este marginit atunci spunem ca sirul dat este nemarginit.

Exemplul 4 1. Sirul ((−1)n)n este marginit.

2. Sirul(

(−1)nn

)n

este marginit.

3. Sirul(

nn+1

)n

este marginit.

4. Sirul(n2)n

este nemarginit superior.

Remarca 5 Se poate demonstra usor ca un sir (an)n∈N este marginit daca si numai daca exista un numarreal M > 0 astfel ıncat

|an| ≤M, ∀n ∈ N.

1

Lucia

n Mati

ciuc

Capitolul I: Siruri de numere reale Lect. dr. Lucian Maticiuc

Remarca 6 Este evident ca daca exista un numar real M > 0 si un prag N ∈ N astfel ıncat

|an| ≤M, ∀n ≥ N

atunci sirul (an)n∈N este tot marginit.

Definitia 7 Spunem ca sirul (an)n∈N este crescator daca are loc

a1 ≤ a2 ≤ · · · ≤ an−1 ≤ an ≤ an+1 ≤ · · · , ∀n ∈ N. (1)

Spunem ca sirul (an)n∈N este descrescator daca are loc

a1 ≥ a2 ≥ · · · ≥ an−1 ≥ an ≥ an+1 ≥ · · · , ∀n ∈ N. (2)

Definitia 8 Spunem ca sirul (an)n∈N este monoton daca este crescator sau descrescator.

Remarca 9 Spunem ca un sir este strict crescator daca are loc (1) cu “≤” ınlocuit cu “<”. Analog sedefinesc notiunile de strict descrescator si strict monoton.

Remarca 10 Daca sirul (an)n∈N este astfel ıncat an > 0, ∀n ∈ N, atunci (an)n∈N este crescator daca sinumai daca

an+1

an≥ 1, ∀n ∈ N.

Remarca 11 Daca sirul (an)n∈N este astfel ıncat an > 0, ∀n ∈ N, atunci (an)n∈N este descrescator dacasi numai daca

an+1

an≤ 1, ∀n ∈ N.

Exemplul 12 1. Sirul(1n

)n

este monoton descrescator.

2. Sirul(

(−1)nn

)n

nu este monoton.

3. Sirul(

nn+1

)n

este strict monoton (strict crescator).

Definitia 13 Fie (nk)k∈N un sir astfel ıncat

n1 < n2 < · · · < nk < nk+1 < · · · , k ∈ N.

Atunci sirul definit de(ank

)k∈N ={an1 , an2 , . . . , ank

, ank+1, . . .

}se numeste subsir al sirului initial (an)n∈N.

Exemplul 14 Fie sirul (an)n∈N. Atunci subsirurile (a2n)n∈N si (a2n+1)n∈N sunt date de

(a2n)n∈N = {a0, a2, a4, . . . , a2n−2, a2n, a2n+2, . . .}(a2n+1)n∈N = {a1, a3, . . . , a2n−1, a2n+1, a2n+3, . . .} .

Exemplul 15 Fie sirul (bn)n∈N. Atunci subsirurile (b3n)n∈N, (b3n+1)n∈N si (b3n+2)n∈N sunt date de

(b3n)n∈N = {b0, b3, b6, . . . , b3n−3, b3n, b3n+3, . . .}(b3n+1)n∈N = {b1, b4, b7, . . . , b3n−2, b3n+1, b3n+4, . . .}(b3n+2)n∈N = {b2, b5, b8, . . . , b3n−1, b3n+2, b3n+5, . . .} .

2

Lucia

n Mati

ciuc

Capitolul I: Siruri de numere reale Lect. dr. Lucian Maticiuc

Exemplul 16 Fie sirurile cu termenii generali an = sin nπ2 , bn = cos nπ2 , cn = (−1)

n si dn = (−1)nn .

Scrieti subsirurile

(a4k) , (a4k+1) , (a4k+2) , (a4k+3) ,

(b4k) , (b4k+1) , (b4k+2) , (b4k+3) ,

(c2k) , (c2k+1) , (c3k) , (c3k+1) , (c3k+2) ,

(d2k) , (d2k+1) .

Folosim sin (0) = 0 = sin (π), sin (π/2) = 1, sin (3π/2) = −1 si cos (0) = 1, cos (π/2) = 1 =cos (3π/2), cos (π) = −1 precum si periodicitatea

sin (x+ 2nπ) = sinx si cos (x+ 2nπ) = cosx, ∀n ∈ Z.

2 Siruri convergente

Definitia 17 Se numeste vecinatate a lui a ∈ R, orice multime V ⊂ R pentru care exista α, β ∈ R astfelıncat intervalul (α, β) contine pe a si intervalul (α, β) este inclus ın V , adica

a ∈ (α, β) ⊂ V

(vezi si desenul).

Definitia 18 Spunem ca numarul a este limita sirului (an)n∈N daca orice vecinatate a lui a contine totitermenii sirului, cu exceptia eventuala a unui numar finit de termeni. Spunem ın acest caz ca sirul dateste convergent la a si scriem astfel

limn→∞

an = a sau an −−−−→n→∞

a.

Definitia 19 Spunem ca sirul (an)n∈N este divergent daca nu este convergent.

Remarca 20 Deci un sir este convergent daca exista limita lui si aceasta este finita.Iar un sir este divergent daca acesta fie nu are limita fie are dar aceasta limita este infinita.

Exemplul 21 Sirurile date de an = nn+1 si bn =

(1 + 1

n

)n au urmatoarele valori estimate:

n an n bn0 0.0000 1 2.00001 0.5000 2 2.25002 0.6666 3 2.37033 0.7500 4 2.44144 0.8000 5 2.48835 0.8333 6 2.52166 0.8571 7 2.54647 0.8750 8 2.56578 0.8888 9 2.58119 0.9000 10 2.593710 0.9090 100 2.7048100 0.9900 1000 2.71691000 0.9990 10000 2.718110000 0.9999 100000 2.7182

Teorema 22 (Caracterizarea cu ε a convergentei) Numarul a este limita sirului (an)n∈N daca si nu-mai daca pentru orice ε > 0, exista pragul (numar natural) N (ε) ∈ N astfel ıncat oricare ar fi n ≥ N (ε),are loc

|an − a| < ε.

3

Lucia

n Mati

ciuc

Capitolul I: Siruri de numere reale Lect. dr. Lucian Maticiuc

Demonstratie. “⇒”Fie a = lim

n→∞an si fie ε > 0 arbitrar ales. Are loc |an − a| < ε ⇔ an ∈ (a− ε, a+ ε). Conform

definitiei avem ca ın vecinatatea (a− ε, a+ ε) avem toti termenii sirului, cu exceptia eventuala aunui numar finit de termeni. Vom nota cu N indicele cel mai mare dintre termenii sirului care nuse afla ın vecinatatea (a− ε, a+ ε) . Atunci, luand N (ε) := N + 1 obtinem ca are loc

∀n ≥ N (ε) , an ∈ (a− ε, a+ ε) .

“⇐”Fie o vecinatate a lui a de tipul (a− ε, a+ ε) cu ε > 0. Conform presupunerii avem ca exista

N (ε) ∈ N astfel ıncat∀n ≥ N (ε) , an ∈ (a− ε, a+ ε) .

Deci are loc afirmatia a = limn→∞

an, avand ın vedere ca ın afara vecinatii se afla primii N (ε) − 1

termeni, adica un numar finit de termeni.

Exemplul 23 Are loc

limn→∞

1

n= 0.

Intr-adevar, fie ε > 0 arbitrar ales. Vom lua N (ε) :=[1ε

](partea ıntreaga1 a lui 1/ε). Atunci are loc

evident ∣∣∣∣ 1n − 0

∣∣∣∣ =1

n< ε, ∀n ≥ N (ε) + 1

Avem urmatorul tabel de valori

ε Pragul N (ε)0.3 N (ε) = [3.33] = 30.2 N (ε) = [5.00] = 50.1 N (ε) = [10.00] = 10

0.09 N (ε) = [11.11] = 110.08 N (ε) = [12.50] = 120.07 N (ε) = [14.28] = 140.01 N (ε) = [100.00] = 100

0.001 N (ε) = [1000.00] = 1000

Exemplul 24 Are loclimn→∞

n

n+ 1= 1.

Intr-adevar, fie ε > 0 arbitrar ales. Vom lua N (ε) :=[1ε

]. Atunci are loc evident∣∣∣∣ n

n+ 1− 1

∣∣∣∣ =1

n+ 1< ε, ∀n ≥ N (ε) .

Exemplul 25 Are loc

limn→∞

(1 +

(−1)n

n

)= 1.

Intr-adevar, fie ε > 0 arbitrar ales. Vom lua N (ε) :=[1ε

]. Atunci are loc evident∣∣∣∣1 +

(−1)n

n− 1

∣∣∣∣ =1

n< ε, ∀n ≥ N (ε) + 1

1Partea ıntreaga a numarului real x este notat cu [x] si este cel mai mare numar ıntreg din stanga lui x, adica este acelunic numar ıntreg care verifica inegalitatea [x] ≤ x < [x] + 1.

4

Lucia

n Mati

ciuc

Capitolul I: Siruri de numere reale Lect. dr. Lucian Maticiuc

Exemplul 26 Are loc

limn→∞

sinn

n= 0.

Intr-adevar, fie ε > 0 arbitrar ales. Vom lua N (ε) :=[1ε

]. Atunci are loc evident∣∣∣∣ sinnn − 0

∣∣∣∣ =|sinn|n≤ 1

n< ε, ∀n ≥ N (ε) + 1

Exemplul 27 Are loc

limn→∞

1

qn= 0, ∀ |q| > 1.

Intr-adevar, fie ε > 0 arbitrar ales. Vom lua N (ε) :=[− ln εln|q|

]. Atunci are loc evident∣∣∣∣ 1

qn− 0

∣∣∣∣ =1

|q|n< ε, ∀n ≥ N (ε) + 1

Remarca 28 Vom scrie pe scurt

limn→∞

an = a⇔ ∀ε > 0, ∃N (ε) ∈ N : ∀n ≥ N (ε) , |an − a| < ε.

Teorema 29 (Criteriul majorarii) Fie sirul (an)n∈N. Daca exista a ∈ R si sirul (αn)n∈N convergent la0, astfel ıncat

|an − a| ≤ αn, ∀n ∈ N,

atuncian −−−−→

n→∞a.

Exemplul 30 Are loc

limn→∞

sinn

n= 0.

Intr-adevar, ∣∣∣∣ sinnn − 0

∣∣∣∣ =|sinn|n≤ 1

n−−−−→n→∞

0.

Exemplul 31 Are locn√n→ 1 , n→∞.

Intr-adevar, sa notam cu an = n√n− 1, si vom arata ca an → 0. Avem ca

n√n = 1 + an ⇔ n = (1 + an)

n= 1 + C1

nan + C2na

2n + C3

na3n + · · · · · ·

≥ (imediat deoarece an ≥ 0 ) ≥ C2na

2n = n(n−1)

2 a2n.

Deci a2n ≤ 2n−1 ⇔ |an| ≤

√2

n−1 = αn iar αn converge la 0 deci an → 0.

Remarca 32 Se poate demonstra usor ca daca un sir este convergent atunci limita sa este unica.

Teorema 33 Orice sir convergent este si marginit

Demonstratie. Fie sirul (an)n∈N convergent la a ∈ R. Fie numarul real M > 0 ales astfel ıncat(−M,M) sa fie o vecinatate a lui a (de exemplu se poate lua M := |a|+ 1). Atunci ın vecinatatea(−M,M) se afla un numar finit de termeni, cu exceptia eventuala a unui numar finit de ter-meni. Vom nota cu N indicele cel mai mare dintre termenii sirului care nu se afla ın vecinatatea(−M,M) , deci are loc ca

an ∈ (−M,M) , ∀n ≥ N + 1⇔ |an| < M, ∀n ≥ N + 1,

adica sirul dat este marginit.

5

Lucia

n Mati

ciuc

Capitolul I: Siruri de numere reale Lect. dr. Lucian Maticiuc

Remarca 34 Orice sir nemarginit este deci divergent.

Teorema 35 Orice subsir al unui sir convergent este tot convergent.

Demonstratie. Imediata (se bazeaza pe Definitia 18).

Corolarul 36 Daca un subsir al unui sir este divergent atunci sirul ıntreg este divergent.

Corolarul 37 Daca doua subsiruri ale unui sir sunt convergente dar la limite diferite, atunci sirul ıntregeste divergent.

Exemplul 38 Sirul dat de termenul general an = (−1)n, n ∈ N, este divergent.

Intr-adevar, subsirul a2n = +1 −−−−→n→∞

+1 iar a2n = −1 −−−−→n→∞

−1 si +1 6= −1.

Teorema 39 (Teorema lui Weierstrass de convergenta a sirurilor monotone)Orice sir monoton si marginit este convergent.(Fara demonstratie).

Exemplul 40 Are loclimn→∞

n

qn= 0, ∀q > 1.

Intr-adevar: sa notam cu an := nqn . Avem ca

an+1

an=

n+1qn+1

nqn

=n+ 1

n

1

q=

(1 +

1

n

)1

q−−−−→n→∞

(1 + 0)1

q=

1

q< 1. (3)

Deci exista un rang N ∈ N astfel ıncat an+1

an< 1, ∀n ≥ N . Pe de alta parte sirul este cu termeni pozitivi

deci este marginit inferior.Deci sirul dat este convergent, adica

∃ limn→∞

an = `.

Daca ` 6= 0 atunci putem trece la limita ın raport

limn→∞

an+1

an=

limn→∞

an+1

limn→∞

an=`

`= 1.

Pe de alta parte putem trece la limita ın relatia (3) si obtinem

limn→∞

an+1

an=

1

q< 1,

adica1 = lim

n→∞

an+1

an= limn→∞

n+ 1

n

1

q=

1

q< 1

ceea ce reprezinta o contradictie. Deci ` trebuie sa fie 0.

Exemplul 41 (Consecinta) (vezi si Exemplul 31) Are loc

limn→∞

n√n = 1.

Intr-adevar, s-a aratat ın exemplul precedent ca, dat un ε > 0 arbitrar ales, exista un prag N ∈ N astfelıncat pentru orice n ≥ N ,

n

(1 + ε)n < 1, pentru q := 1 + ε.

6

Lucia

n Mati

ciuc

Capitolul I: Siruri de numere reale Lect. dr. Lucian Maticiuc

Deci1 ≤ n ≤ (1 + ε)

n, ∀n ≥ N ⇔ 1 ≤ n

√n ≤ 1 + ε , ∀n ≥ N.

Trecand la limita obtinem ca ∀ε > 01 ≤ lim

n→∞n√n ≤ 1 + ε.

Avand ın vedere ca ε > 0 este arbitrar ales (oricat de mic), deducem ca limn→∞n√n = 1.

Exemplul 42 Are loc

limn→∞

qn

n!= 0, ∀q ≥ 0 .

Intr-adevar: sa consideram mai ıntai q = 0. Atunci afirmatia este imediata.Sa consideram acum cazul q > 0. Vom nota cu an := qn

n! . Avem ca

an+1

an=

qn+1

(n+1)!qn

n!

=1

n+ 1q −−−−→

n→∞

q

∞= 0.

Deci exista un rang N ∈ N astfel ıncat an+1

an< 1, ∀n ≥ N . Pe de alta parte sirul este cu termeni pozitivi

deci marginit inferior.Deci sirul dat este convergent, adica

∃ limn→∞

an = `.

Daca ` 6= 0 atunci putem trece la limita ın relatia de mai sus si obtinem

limn→∞

an+1

an= limn→∞

1

n+ 1q = 0

care este o contradictie cu faptul ca

limn→∞

an+1

an=

limn→∞

an+1

limn→∞

an=`

`= 1.

Deci ` trebuie sa fie 0.

Teorema 43 (Lema lui Stolz–Cesaro) Fie doua siruri (an)n∈N si (bn)n∈N astfel ıncat (bn)n este strictmonoton si nemarginit. Daca exista limita

limn→∞

an+1 − anbn+1 − bn

= A,

cu A finit sau infinit, atunci exista si limita limn→∞

anbn

si ea este egala tot cu A, adica

limn→∞

anbn

= A.

(Fara demonstratie).

Exemplul 44 Are loc

limn→∞

lnn

n= 0.

Intr-adevar, vom lua an := lnn si bn := n care evident este strict monoton si nemarginit (n → ∞).Calculam mai ıntai

limn→∞

an+1 − anbn+1 − bn

= limn→∞

ln (n+ 1)− lnn

(n+ 1)− n= limn→∞

ln

(n+ 1

n

)= ln

(limn→∞

n+ 1

n

)= ln 1 = 0.

Deci∃ limn→∞

lnn

n= limn→∞

anbn

= 0.

7

Lucia

n Mati

ciuc

Capitolul I: Siruri de numere reale Lect. dr. Lucian Maticiuc

Exemplul 45 Fie sirul (xn)n pentru care exista limita sa notata cu a. Atunci

limn→∞

x1 + x2 + · · ·+ xnn

= a.

Intr-adevar, vom lua an := x1 + x2 + · · ·+ xn si bn := n care evident este strict monoton si nemarginit(n→∞). Calculam mai ıntai

limn→∞

an+1 − anbn+1 − bn

= limn→∞

xn+1

(n+ 1)− n= limn→∞

xn+1 = (evident) = limn→∞

xn = a .

Deci obtinem conlcuzia.

Exemplul 46 Fie sirul cu termeni pozitivi (xn)n pentru care exista limita sa notata cu a. Atunci

limn→∞

n√x1x2 · · ·xn = a.

Intr-adevar, sa logaritmam n√x1x2 · · ·xn si sa aplicam exemplul precedent:

limn→∞

ln n√x1x2 · · ·xn = lim

n→∞ln (x1x2 · · ·xn)

1/n= limn→∞

ln (x1x2 · · ·xn)

n

= limn→∞

ln (x1) + ln (x2) + · · ·+ ln (xn)

n= limn→∞

ln (xn) = ln a.

3 Operatii cu siruri convergente

Propositia 47 (Operatii cu siruri convergente) Fie doua siruri convergente (an)n∈N si (bn)n∈N. Atuncisirurile

(an + bn)n∈N , (αan)n∈N , (anbn)n∈N

sunt de asemenea convergente si au loc relatiile

limn→∞

(an + bn) = limn→∞

an + limn→∞

bn

limn→∞

(αan) = α limn→∞

an

limn→∞

(an · bn) = limn→∞

an · limn→∞

bn.

Propositia 48 Fie doua siruri (an)n∈N si (bn)n∈N astfel ıncat an −−−−→n→∞

0 si (bn)n∈N este marginit.Atunci

anbn −−−−→n→∞

0.

Exemplul 49 Este usor de aratat ca

limn→∞

qn = 0, ∀q ∈ (0, 1) ,

deci rezulta (luand r = −q) ca are loc si

limn→∞

rn = limn→∞

(−q)n = limn→∞

(−1)nqn = 0, ∀r ∈ (−1, 0) ,

Obtinem atunci calimn→∞

qn = 0, ∀ |q| < 1⇔ q ∈ (−1, 1) ,

8

Lucia

n Mati

ciuc

Capitolul I: Siruri de numere reale Lect. dr. Lucian Maticiuc

Exemplul 50 (vezi Exemplul 42) Deoarece

limn→∞

qn

n!= 0, ∀q ≥ 0

rezulta (luand r = −q) ca are loc si

limn→∞

rn

n!= 0, ∀r < 0

Exemplul 51 Are loc

limn→∞

sinn

n= 0.

Propositia 52 Fie doua siruri convergente (an)n∈N si (bn)n∈N astfel ıncat limn→∞

bn 6= 0. Atunci sirul anbneste tot convergent si

limn→∞

anbn

=limn→∞

an

limn→∞

bn.

Remarca 53 Daca sirul (bn)n∈N este astfel ıncat limn→∞

bn = 0 si bn 6= 0, ∀n ∈ N, atunci sirul(

1bn

)n∈N

este nemarginit.

Propositia 54 Fie doua siruri convergente (an)n∈N si (bn)n∈N astfel ıncat

an ≤ bn, ∀n ∈ N.

Atunci putem trece la limita ın inegalitatea de mai sus, adica are loc

limn→∞

an ≤ limn→∞

bn .

Propositia 55 (Criteriul clestelui) Fie trei siruri (an)n∈N, (bn)n∈N si (xn)n∈N astfel ıncat

an ≤ xn ≤ bn, ∀n ∈ N.

Daca sirurile (an)n∈N, (bn)n∈N sunt convergente la aceasi limita, atunci sirul (xn)n∈N este convergent siare aceesi limita ca celelalte doua siruri.

Exemplul 56 Aplicam criteriul pentru sirul dat de

xn =1

n2 + 1+

2

n2 + 2+

3

n2 + 3+ · · ·+ n

n2 + n.

Avem inegalitatile imediaten2 + 1 ≤ n2 + 1 ≤ n2 + n ,

n2 + 1 ≤ n2 + 2 ≤ n2 + n ,

n2 + 1 ≤ n2 + 3 ≤ n2 + n ,

. . . . . .n2 + 1 ≤ n2 + n ≤ n2 + n.

Deci1

n2 + n≤ 1

n2 + 1≤ 1

n2 + 1,

2

n2 + n≤ 2

n2 + 2≤ 2

n2 + 1,

3

n2 + n≤ 3

n2 + 3≤ 3

n2 + 1, . . . . . . ,

n

n2 + n≤ n

n2 + n≤ n

n2 + 1,

9

Lucia

n Mati

ciuc

Capitolul I: Siruri de numere reale Lect. dr. Lucian Maticiuc

adica avem ıncadrarea

1

n2 + n+

2

n2 + n+ · · ·+ n

n2 + n≤ xn ≤

1

n2 + 1+

2

n2 + 1+ · · ·+ n

n2 + 1

deci1

n2 + n(1 + 2 + 3 + · · ·+ n) ≤ xn ≤

1

n2 + 1(1 + 2 + 3 + · · ·+ n)

sau1

n2 + n

n (n+ 1)

2≤ xn ≤

1

n2 + 1

n (n+ 1)

2⇔

n2 + 1

2n2 + 2n≤ xn ≤

n2 + 1

2n2 + 2

Avem ca an =n2 + 1

2n2 + 2n→ 1

2, bn =

n2 + 1

2n2 + 2→ 1

2deci xn →

1

2.

4 Siruri cu limita infinita si operatii cu siruri cu limita (finita saunu)

Definitia 57 Se numeste vecinatate a lui +∞ orice multime V ⊂ R pentru care exista α ∈ R astfelıncat

(α,∞) ⊂ V.

Se numeste vecinatate a lui −∞ orice multime V ⊂ R pentru care exista α ∈ R astfel ıncat

(−∞, α) ⊂ V

(vezi si desenul).

Definitia 58 Spunem ca +∞ este limita sirului (an)n∈N daca orice vecinatate a lui +∞ contine totitermenii sirului, cu exceptia eventuala a unui numar finit de termeni. Scriem ın acest caz ca

limn→∞

an = +∞ sau an −−−−→n→∞

+∞.

Exemplul 59 Sirul dat de an = n2 are urmatoarele valori:

n an0 01 12 43 94 165 2510 100100 100001000 1000000

Teorema 60 (Caracterizarea cu ε a limitei infinite) Sirul (an)n∈N are limita +∞ daca si numai dacapentru orice α > 0, exista numarul natural N (α) ∈ N astfel ıncat oricare ar fi n ≥ N (α), are loc

an > α .

Remarca 61 Similar se poate defini ca limn→∞

an = −∞.

10

Lucia

n Mati

ciuc

Capitolul I: Siruri de numere reale Lect. dr. Lucian Maticiuc

Remarca 62 Sirurile care au limita infinita (±∞) sunt nemarginite deci divergente.

Propositia 63 Daca limn→∞

an = +∞ si an ≤ bn, ∀n ∈ N, atunci

limn→∞

bn = +∞.

Daca limn→∞

an = −∞ si bn ≤ an, ∀n ∈ N, atunci

limn→∞

bn = −∞.

Exemplul 64 1. Sirul dat de an = 1 + 2 + · · ·+ n este divergent. Se va calcula an = n(n+1)2 > n2

2 si seva gasi N (α).

Propositia 65 Orice sir crescator si nemarginit (superior) are limita +∞.Orice sir descrescator si nemarginit (inferior) are limita −∞.Orice sir monoton are limita. Aceasta este finita daca sirul este nemarginit si infinita daca sirul este

nemarginit.

Propositia 66 Daca un sir are limita +∞ atunci orice subsir al sau are tot limita +∞.

Utilizand acum Teorema 35 se poate deci arata ca

Propositia 67 Daca un sir are limita atunci orice subsir al sau are aceeasi limita.

Corolarul 68 Daca un subsir al unui sir nu are limita atunci sirul ıntreg nu are limita.

Corolarul 69 Daca doua subsiruri ale unui sir au limita dar ele sunt diferite ıntre ele atunci sirul ıntregnu are limita.

Exemplul 70 Sirul dat de termenul general an = n(−1)n

, n ∈ N nu are limita.Intr-adevar, subsirul

a2k = (2k)(−1)2k

= 2k −−−−→k→∞

+∞

iara2k+1 = (2k + 1)

(−1)2k+1

= (2k + 1)−1 −−−−→

k→∞0

si +∞ 6= 0.

Propositia 71 (Operatii cu siruri cu limita) Fie doua siruri (an)n∈N si (bn)n∈N astfel ıncat

limn→∞

an = a si limn→∞

bn = b,

cu a si b finite sau nu. Fie si α ∈ R.1. Daca suma a+ b are sens atunci sirul suma are limita si

limn→∞

(an + bn) = limn→∞

an + limn→∞

bn .

2. Daca produsul α a are sens atunci

limn→∞

(αan) = α limn→∞

an .

3. Daca produsul a · b are sens atunci sirul produs are limita si

limn→∞

(an · bn) = limn→∞

an · limn→∞

bn .

11

Lucia

n Mati

ciuc

Capitolul I: Siruri de numere reale Lect. dr. Lucian Maticiuc

4. Daca raportul ab are sens atunci sirul cat are limita si

limn→∞

anbn

=limn→∞

an

limn→∞

bn.

5. Daca puterea ab are sens atunci

limn→∞

(an)bn =

(limn→∞

an

) limn→∞

bn.

Remarca 72 Suma limitelor nu are sens ın cazul∞−∞.

Produsul limitelor nu are sens ın cazul 0 · ∞.

Raportul limitelor nu are sens ın cazul ∞∞ si 00 .

Puterea limitelor nu are sens ın cazul 1∞,∞0 si 00.

Expresiile de mai sus sunt nedeterminari; Aceasta ınseamna, de exemplu ın cazul 00 , ca exista doua

siruri (xn)n si (yn)n astfel ıncat xn → 0, yn → 0 si sirul(xn

yn

)n

fie nu are limita fie limita sa exista dar

poate fi orice element ` ∈ R.

5 Limite fundamentale

1.

limn→∞

qn =

0, daca |q| < 1⇔ q ∈ (−1, 1) ,

1, daca q = 1,

∞, daca q > 1,

nu exista, daca q ≤ −1.

2.

limn→∞

(1 + q + q2 + · · ·+ qn−1 + qn

)=

(limn→∞

1− qn+1

1− q

)=

1

1− q, ∀ |q| < 1.

3.

limn→∞

(a1n

p + a2np−1 + a3n

p−2 + · · · apn+ ap+1

)= a1·∞ =

{∞ , daca a1 > 0,

−∞ , daca a1 < 0, p ∈ N∗.

(limita dintr-un polinom de grad p ın variabila n).

4.

limn→∞

a1np + a2n

p−1 + a3np−2 + · · · apn+ ap+1

b1nq + b2nq−1 + b3nq−2 + · · · bqn+ bq+1=

∞ a1

b1, daca p > q,

a1b1

, daca p = q,

0 , daca p < q

, p, q ∈ N

(limita dintr-o fractie de polinoame ın variabila n).

5.

limn→∞

(1 +

1

n

)n= e,

unde e este un numarul irational, e ∈ R r Q, numit constanta lui Euler iar e ' 2.71828182845905.

12

Lucia

n Mati

ciuc

Capitolul I: Siruri de numere reale Lect. dr. Lucian Maticiuc

Propositia 73 Sirul (an)n∈N definit de an :=

(1 +

1

n

)neste un sir strict crescator si marginit,

cu an ∈ (2, 3).

6.

limn→∞

(1 +

1

xn

)xn

= e, unde xn →∞

si

limn→∞

(1 + xn)

1

xn = e, unde xn → 0.

7.limn→∞

sinxnxn

= 1, unde xn → 0

si

limn→∞

tgxnxn

= 1, unde xn → 0.

8.limn→∞

axn − 1

xn= ln a, unde xn → 0

si

limn→∞

ln (1 + xn)

xn= 1, unde xn → 0.

9.limn→∞

en

np=∞ , p ∈ N

si

limn→∞

lnn

np= 0 , p ∈ N∗.

10.limn→∞

n√n = 1.

Propositia 74 Sirul (an)n∈N definit de an := n√n este un sir descrescator si marginit.

Teorema 75 (Criteriul lui Cauchy-D’Alembert pentru siruri) Fie sirul (an)n∈N cu termenii an >0, ∀n ∈ N. Presupunem ca exista limita

limn→∞

an+1

an= ` .

Atunci exista si limita limn7→∞

n√an si este egala tot cu `.

Exemplul 76 Are loclimn→∞

n√n = 1.

13

Lucia

n Mati

ciuc

Capitolul I: Siruri de numere reale Lect. dr. Lucian Maticiuc

6 Puncte limita ale unui sir

Definitia 77 Fie a ∈ R∪{−∞,+∞}. Spunem ca a este punct limita al unui sir daca orice vecinatate alui a contine o infinitate de termeni ai sirului.

Teorema 78 (Teorema de caracterizare a unui punct limita) Valoarea a este punct limita a unui sirdaca si numai daca exista un subsir al acestuia care tinde catre a.

Demonstratie. Vom demonstra doar reciproca: presupunem ca exista subsirul (ank)k∈N astfel

ıncat limk→∞

ank= a. Evident (ank

)k∈N ⊂ (an)n∈N, adica subsirul dat reprezinta o infinitate de

termeni ai sirului initial. Prin definitie, ın orice vecinatate a lui a exista o infinitate de valori alesubsirului (cu exceptia eventuala a unui numar finit de termeni), adica o infinitate de termeni aisirului. Deci a este un punct limita.

Definitia 79 Fie (an)n∈N un sir. Cel mai mic punct limita al sirului se numeste limita inferioara asirului si se noteaza cu lim inf

n→∞an . Cel mai mare punct limita al sirului se numeste limita superioara a

sirului si se noteaza cu lim supn→∞

an .

Teorema 80 Un sir are limita daca si numai daca limita inferioara este egala cu limita superioara, adica

∃ limn→∞

an = a⇔ lim infn→∞

an = lim supn→∞

an = a.

Exemplul 81 a) Fie an = (−1)n. Atunci

lim infn→∞

an = −1, lim supn→∞

an = +1.

b) Fie an = n(−1)n

. Atunci

lim infn→∞

an = 0, lim supn→∞

an = +∞.

c) Fie an = n. Atuncilim infn→∞

an = lim supn→∞

an = +∞.

d) Fie an = −n2. Atuncilim infn→∞

an = lim supn→∞

an = −∞.

e) Fie an = (−1)nn . Atunci

lim infn→∞

an = 0 = lim supn→∞

a .

Exemplul 82 (vezi si Exemplul 16) Calculati limita inferioara si limita superioara pentru sirurile datede an = sin nπ

2 si bn = cos nπ2 .Avem ca

a4k = sin4kπ

2= sin 2kπ = sin 0, ∀k ∈ Z,

a4k+1 = sin(4k + 1)π

2= sin (2kπ + π/2) = sin (π/2) = 1, ∀k ∈ Z,

a4k+2 = sin(4k + 2)π

2= sin (2kπ + π) = sin (π) = 0, ∀k ∈ Z,

a4k+3 = sin(4k + 3)π

2= sin (2kπ + 3π/2) = sin (3π/2) = −1, ∀k ∈ Z.

Deci multimea punctelor limita ale sirului este {−1, 0,+1} si, conform definitiei, lim infn→∞

an = −1 silim supn→∞

an = +1.

14

Lucia

n Mati

ciuc

Capitolul I: Siruri de numere reale Lect. dr. Lucian Maticiuc

Remarca 83 Se poate demonstra ca

lim infn→∞

an = limn→∞

infk≥n

ak,

lim supn→∞

an = limn→∞

supk≥n

ak.

Are loc si

lim infn→∞

an = supn∈N

infk≥n

ak,

lim supn→∞

an = infn∈N

supk≥n

ak.

Exemplul 84 Fie sirurile date ın Exemplul 81. Calculati lim infn→∞

an si lim supn→∞

an folosind observatia de

mai sus.

15

Lucia

n Mati

ciuc