Analiza 1Notit,e de seminar

Adrian ManeaCurs: R. Purnichescu-Purtan

15 noiembrie 2018

Cuprins

1 Serii de numere reale 31.1 Generalitat, i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Serii cu termeni pozitivi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 Seria geometrica s, i seria armonica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.4 Convergent, a absoluta s, i semiconvergent, a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.5 Exercit, ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 S, iruri s, i serii de funct, ii 92.1 Convergent, a punctuala s, i convergent, a uniforma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2 Transferul proprietat, ilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.3 Serii de funct, ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.4 Polinomul Taylor s, i seria Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.5 Serii de puteri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.6 Exercit, ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3 Serii Taylor 173.1 Exercit, ii suplimentare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4 Funct, ii de mai multe variabile 214.1 Probleme de extrem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214.2 Exercit, ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

Index 25

Bibliogra�e 25

1

2

SEMINAR 1

SERII DE NUMERE REALE

1.1 Generalitat, iO serie, ınt, eleasa informal ca o suma in�nita, este de�nita formal de doua elemente:

• s, irul termenilor generali;

• s, irul sumelor part, iale.

Astfel, de exemplu, daca luam seria ∑n≥0

2n

n!, avem:

• s, irul termenilor generali este xn =2n

n!;

• s, irul sumelor part, iale este sp =p

∑k=0

2k

k!.

Seria se numes, te convergenta daca s, irul sumelor part, iale este convergent, iar limita acestui s, irse numes, te suma seriei. In caz contrar, seria se numes, te divergenta, adica s, irul sumelor part, ialenu are limita sau aceasta este in�nita. Cınd vorbim despre natura seriei, ne referim daca aceastaeste convergenta sau divergenta.

Spre deosebire de cazul s, irurilor din liceu, ın cazul seriilor trebuie mai multa atent, ie cınd dis-cutam convergent, a. Aceasta deoarece seriile au o natura cumulativa, adica tot, i termenii anterioridin s, irul sumelor part, iale ıs, i aduc contribut, ia. Mai precis, avem o recurent, a de forma:

sp+1 = sp + xp+1.

De aceea, urmatoarele proprietat, i sınt speci�ce seriilor:

3

(a) Daca ıntr-o serie schimbam ordinea unui numar �nit de termeni, obt, inem o serie noua, careare aceeas, i natura cu cea init, iala. Daca exista, suma seriei nu se schimba.

(b) Daca eliminam un numar �nit de termeni dintr-o serie, se obt, ine o serie noua, cu aceeas, inatura. Daca exista, suma seriei poate sa se schimbe.

(c) Daca o serie este convergenta, atunci ea are s, irul sumelor part, iale marginit.

(d) Daca o serie este convergenta, atunci s, irul termenilor sai generali tinde catre zero. Reciprocaeste, ın general, falsa (contraexemplu ∑ 1

n ).Aceasta proprietate ne permite sa formulam o condit, ie necesara de convergent, a:

(e) Daca s, irul termenilor generali ai unei serii nu este convergent catre zero, atunci seria estedivergenta.

1.2 Serii cu termeni pozitiviIn cazul seriilor care au s, irul termenilor generali alcatuit numai din numere pozitive, avem urmatoareleproprietat, i, dintre care unele rezulta prin particularizarea celor de mai sus:

(a) S, irul sumelor part, iale al unei serii cu termeni pozitivi este strict crescator.

(b) O serie cu termeni pozitivi are ıntotdeauna suma (�nita sau nu).

(c) O serie cu termeni pozitivi este convergenta daca s, i numai daca s, irul sumelor part, iale estemarginit.

(d) Criteriul de comparat, ie termen cu termen: O serie care are termeni mai mari (doi cıtedoi) decıt o serie divergenta este divergenta. O serie care are termeni mai mici (doi cıte doi)decıt o serie convergenta este convergenta.

(e) Criteriul de comparat, ie la limita, termen cu termen: Fie ∑n xn s, i ∑n yn doua serii cutermeni pozitivi. Presupunem ca xn+1

xn≤yn+1yn

. Atunci:

• Daca seria ∑n yn este convergenta, atunci s, i seria ∑ xn este convergenta;• Daca seria ∑n xn este divergenta, atunci s, i seria ∑n yn este divergenta.

(f) Criteriul de comparat, ie la limita: Fie ∑n xn s, i ∑n yn doua serii cu termeni pozitivi, astfelıncıt lim

n→∞

xnyn

= � .

• Daca 0 < � < ∞, atunci cele doua serii au aceeas, i natura;

4

• Daca � = 0, iar seria ∑n yn este convergenta, atunci s, i seria ∑n xn este convergenta;• Daca � = ∞, iar seria ∑n yn este divergenta, atunci s, i seria ∑n xn este divergenta.

(g) Criteriul radical: Fie ∑n xn o serie cu termeni pozitiv, astfel ıncıt limn→∞

n√xn = � . Atunci:

• Daca � < 1, seria este convergenta;• Daca � > 1, seria este divergenta;• Daca � = 1, criteriul nu decide.

(h) Criteriul raportului: Fie ∑n xn o serie cu termeni pozitivi s, i �e � = limn→∞

xn+1xn

. Atunci:

• Daca � < 1, seria este convergenta;• Daca � > 1, seria este divergenta;• Daca � = 1, criteriul nu decide.

(i) Criteriul lui Raabe-Duhamel: Fie ∑n xn o serie cu termeni pozitivi s, i �e:

� = limn→∞

n ⋅ (xnxn+1

− 1).

Atunci:

• Daca � < 1, seria este divergenta;• Daca � > 1, seria este convergenta;• Daca � = 1, criteriul nu decide.

(j) Criteriul logaritmic: Fie ∑n xn o serie cu termeni pozitivi s, i presupunem ca exista limita:

� = limn→∞

ln 1n

ln n.

Atunci:

• Daca � < 1, seria este divergenta;• Daca � > 1, seria este convergenta;• Daca � = 1, criteriul nu decide.

(k) Criteriul integral: Fie f ∶ (0,∞) → [0,∞) o funct, ie crescatoare s, i s, irul an = ∫n

1f (t)dt .

Atunci seria ∑n f (n) este convergenta daca s, i numai daca s, irul (an) este convergent.

(l) Criteriul condensarii: Fie (xn) un s, ir astfel ıncıt xn ≥ xn+1 ≥ 0, ∀n. Atunci seriile ∑n xn s, i∑n 2nx2n au aceeas, i natura.

5

1.3 Seria geometrica s, i seria armonicaDoua serii foarte importante pe care le putem folosi ın comparat, ii sınt urmatoarele.

Seria geometrica: Fie a ∈ ℝ s, i q ∈ ℝ. Consideram progresia geometrica de prim termen a s, irat, ie q, care de�nes, te seria ∑n aqn, pe care o numim seria geometrica de rat, ie q.

Suma part, iala de rang n se poate calcula cu formula cunoscuta din liceu:

Sn = a + aq +⋯ + aqn−1 =⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

a ⋅1 − qn

1 − q, q ≠ 1

na, q = 1

Pentru convergent, a, sa remarcam ca daca |q| < 1, atunci:

limn→∞

sn =a

1 − q,

deci seria este convergenta s, i are suma a1 − q

.Daca |q| ≥ 1, se poate veri�ca us, or, folosind criteriul necesar, ca seria geometrica este diver-

genta.Un alt exemplu important este seria armonica generalizata (Riemann), de�nita prin∑

n

1n�

,

pentru � inℝ. Se poate observa ca:• Daca � ≤ 0, termenul general al seriei nu converge catre zero, deci seria este divergenta,

conform criteriului necesar;

• Daca � > 0, termenii seriei formeaza un s, ir descrescator de numere pozitive. Seria esteconvergenta pentru � > 1 s, i divergenta pentru � ≤ 1.

In cazul particular � = 1, seria se numes, te simplu seria armonica.

1.4 Convergent, a absoluta s, i semiconvergent, aIn cazul seriilor care pot avea s, i termeni negativi, convergent, a se studiaza folosind o clasi�caremai �na. Astfel, avem:De�nitie 1.1: Fie seria ∑n xn, cu termeni oarecare.

Seria se numes, te absolut convergenta daca seria ∑n |xn| este convergenta s, i semiconvergentadaca seria modulelor este divergenta, dar seria init, iala este convergenta.

Sa remarcam ca, deoarece, ın general |x | ≥ x, ∀x ∈ ℝ, orice serie absolut convergenta esteconvergenta. Reciproc, este fals: seria ∑n

(−1)n

nvom vedea ca este convergenta, fara a � absolut

convergenta.Evident, daca seria init, iala este divergenta (suma ei �ind ±∞), problema convergent, ei absolute

nu se mai pune, deoarece seria modulelor va � tot divergenta, cu suma +∞.

6

1.5 Exercit, ii1. Studiat, i natura urmatoarelor serii, de�nite de s, irul termenilor generali (xn), cu:

(1) xn = (3n

3n + 1)n

(D, necesar);

(2) xn =1n!

(C, comparat, ie);

(3) xn =1

n√n + 1

(C, comparat, ie);

(4) xn = arcsinn + 12n + 3

(D, necesar);

(5) xn = (1 −1n)

n(D, necesar);

(6) xn =n!n2n

(C, raport);

(7) xn = n!(an)

n, a ∈ ℝ (discut, ie, raport);

(8) xn =(n!)2

(2n)!(C, raport);

(9) xn =n!

(a + 1)(a + 2)⋯ (a + n), a > −1 (discu-

t, ie, Raabe);

(10) xn =1 ⋅ 3 ⋅ 5⋯ (2n − 1)

2 ⋅ 4 ⋅ 6⋯ 2n(D, Raabe);

(11) xn = (1 −3 ln n2n )

n(C, logaritmic);

(12) xn = (n + 13n + 1)

n(C, radical);

(13) xn = (1 −1n)

n2

(C, radical);

(14) xn = (√n2 + a ⋅ n + 1 − n)

n, a ≥ 0 (discut, ie,

radical);

(15) xn =√7n

n2 + 3n + 5(C, comparat, ie);

(16) xn = (1

ln n)ln(ln n)

(D, logaritmic);

(17) xn =1

n ln n(D, integral);

(18) xn =1

n ln2 n(C, integral);

(19) xn =n√(n + 1)(n + 2)⋯ (n + n)

n(D, necesar +

Cauchy);

(20) xn =1

7n + 3n(C, comparat, ie termen cu ter-

men);

(21) xn =2 + sin n

n2(C, comparat, ie termen cu ter-

men);

(22) xn =cos2 n3n

(C, comparat, ie termen cu ter-men);

(23) xn =sin2 nn2 + 1

(C, comparat, ie termen cu ter-men);

(24) xn =√n

ln(n + 1)(D, necesar);

(25) xn = [3 + (1 +1n)

n

] (D, necesar);

(26) xn =1

n n√n

(D, comparat, ie);

(27) xn =√n4 + 2n + 1 − n2 (D, comparat, ie);

(28) xn = n2e−√n (C, logaritmic);

(29) xn =ln nn2

(C, comparat, ie)

7

2. Studiat, i convergent, a absoluta a seriilor cu termenul general dat de:

(a) xn =1

n + i(rat, ionalizeaza, distribuie numaratorul, aplica un criteriu de comparat, ie ⇒ D);

(b) xn =1

(n + i)√n

(AC [comparat, ie la limita] ⇒ C);

(c) xn =n(2 + i)n

3n(AC [raport] ⇒ C).

8

SEMINAR 2

S, IRURI S, I SERII DE FUNCT, II

2.1 Convergent, a punctuala s, i convergent, a uniformaDe�nitie 2.1: Fie (X, d) un spat, iu metric s, i fn ∶ X → ℝ termenul general al unui s, ir de funct, ii.

Fie f ∶ X → ℝ o funct, ie arbitrara.Spunem ca s, irul (fn) converge punctual (simplu) la f daca are loc:

limn→∞

fn(x) = f (x), ∀x ∈ X.

Notam acest lucru cu fnPC←←←←←←←←←←←←←←←→ f s, i numim f limita punctuala a s, irului (fn).

Celalalt tip de convergent, a care ne va interesa este de�nit mai jos:

De�nitie 2.2: In condit, iile s, i cu notat, iile de mai sus, spunem ca s, irul (fn) este uniform convergentla f daca:

∀" > 0, ∃N" > 0 a.ı. |fn(x) − f (x)| < ", ∀n ≥ N" , ∀x ∈ X.

Vom nota aceasta situat, ie cu fnUC←←←←←←←←←←←←←←←←←←→ f .

In exercit, ii se va folosi mai mult caracterizarea:

Propozitie 2.1: In condit, iile s, i cu notat, iile de mai sus, s, irul (fn) converge uniform la f daca s, i numaidaca:

limn→∞

supx∈X

|fn(x) − f (x)| = 0.

Legatura ıntre cele doua tipuri de convergent, a este data de:

Teorema 2.1: Orice s, ir de funct, ii uniform convergent pe un interval este punctual convergent peacelas, i interval.

9

Reciproca este falsa, dupa cum arata contraexemplul: �e [a, b] = [0, 1] s, i de�nim s, irul defunct, ii fn(x) = xn, n ≥ 1.

Pentru orice x ∈ [a, b], avem:

limn→∞

fn(x) =

{0, x ∈ [0, 1)1, x = 1

Rezulta ca fnPC←←←←←←←←←←←←←←←→ f , unde f este funct, ia de�nita pe cazuri de limita de mai sus. Dar se poate

vedea imediat calimn→∞

supx∈X

|fn(x) − f (x)| = 1 ≠ 0,

deci s, irul este doar punctual convergent, nu uniform convergent.

2.2 Transferul proprietat, ilorUnele dintre proprietat, ile funct, iilor sınt transferate de la termenii s, irurilor la funct, ia-limita, iaraltele nu, aceasta oferindu-ne uneori metode de calcul, iar alteori, metode de demonstrat, ie.

Teorema 2.2 (Transfer de continuitate): Daca fn sınt funct, ii continue, iar s, irul fn converge uniformla f , atunci funct, ia f este continua.

Rezulta de aici ca avem o metoda de a demonstra ca nu are loc continuitatea uniforma: dacafn sınt funct, ii continue, iar f , obt, inuta din convergent, a punctuala, nu este continua, rezulta ca fnnu tinde uniform la f .

Teorema 2.3 (Integrare termen cu termen): Fie fn, f ∶ [a, b] → ℝ funct, ii continue. Daca fnconverge uniform la f , atunci are loc proprietatea de integrare termen cu termen, adica:

limn→∞ ∫

b

afn(x)dx = ∫

b

af (x)dx.

Teorema 2.4 (Derivare termen cu termen): Presupunem ca funct, iile fn sınt derivabile, pentru oricen ∈ ℕ. Daca s, irul fn converge punctual la f s, i daca exista funct, ia g ∶ [a, b] → ℝ astfel ıncıt f ′nconverge uniform la g, atunci f este derivabila s, i f ′ = g.

2.3 Serii de funct, iiPentru convergent, a seriilor de funct, ii, avem un singur criteriu de utilizat:

Teorema 2.5 (Weierstrass): Daca exista un s, ir cu termeni pozitivi an astfel ıncıt |un(x)| ≤ an pentruorice x ∈ X , iar seria ∑ an converge, atunci seria ∑ un converge uniform.

10

Pentru proprietat, ile de transfer, avem:

Teorema 2.6: • Transfer de continuitate: Daca un sınt funct, ii continue, iar seria ∑ un convergeuniform la f , atunci funct, ia f este continua.

• Integrare termen cu termen: Daca seria ∑ un converge uniform la f , atunci f este integrabilas, i avem:

∫b

a∑nun(x)dx = ∑

n∫

b

aun(x)dx.

• Derivare termen cu termen: Presupunem ca toate funct, iile un sınt derivabile. Daca seria ∑ unconverge punctual la f s, i daca exista g ∶ [a, b] → ℝ astfel ıncıt ∑n u′n converge uniform la g,atunci f este derivabila s, i f ′ = g.

2.4 Polinomul Taylor s, i seria TaylorOrice funct, ie cu anumite proprietat, i poate � aproximata cu un polinom:

De�nitie 2.3: Fie I ⊆ ℝ un interval deschis s, i f ∶ I → ℝ o funct, ie de clasa Cm(I ). Pentru oricea ∈ I , de�nim polinomul Taylor de gradul n ≤ m asociat funct, iei f ın punctual a prin:

Tn,f ,a(x) =n

∑k=0

f (k)(a)k!

(x − a)k .

Restul (eroarea de aproximare) este de�nit prin:

Rn,f ,a = f (x) − Tn,f ,a(x).

Acest polinom poate � mai departe utilizat pentru a studia seria Taylor asociata unei funct, ii.

Teorema 2.7: Fie a < b s, i f ∈ C∞([a, b]) astfel ıncıt sa existe M > 0 cu proprietatea ca ∀n ∈ ℕ s, ix ∈ [a, b], avem |f (n)(x)| ≤ M .

Atunci pentru orice x0 ∈ (a, b), seria Taylor a lui f ın jurul punctului x0 este uniform convergentape [a, b] s, i suma ei este funct, ia f , adica avem:

f (x) = ∑n≥0

f (n)(x0)n!

(x − x0)n, ∀x ∈ [a, b].

Pentru cazul particular x0 = 0, seria se numes, te Maclaurin.

11

2.5 Serii de puteriSeriile de puteri sınt un caz particular al seriilor de funct, ii, luınd doar funct, ii de tip polinomial.

De�nitie 2.4: Fie (an) un s, ir de numere reale s, i �e a ∈ ℝ.Seria ∑n≥0 an(x − a)n se numes, te seria de puteri centrata ın a, de�nita de s, irul an.

Toate rezultatele privitoare la serii de funct, ii sınt valabile s, i pentru serii de puteri. Rezultatelespeci�ce urmeaza.

Teorema 2.8 (Abel): Pentru orice serie de puteri ∑ anxn exista un numar 0 ≤ R ≤ ∞ astfel ıncıt:

• Seria este absolut convergenta pe intervalul (−R, R);

• Seria este divergenta pentru orice |x | > R;

• Seria este uniform convergenta pe [−r , r], unde 0 < r < R.

Numarul R se numes, te raza de convergent, a a seriei, iar intervalul (−R, R) se numes, te intervalulde convergent, a.

Calculul razei de convergent, a se poate face cu unul dintre urmatoarele criterii:

Teorema 2.9 (Cauchy-Hadamard): Fie ∑ anxn o serie de puteri, R raza sa de convergent, a s, i de�nim:

! = lim sup n√|an|.

Atunci:

• R = !−1 daca 0 < ! < ∞;

• R = 0 daca ! = ∞;

• R = ∞ daca ! = 0.

Teorema 2.10: Raza de convergent, a se poate calcula cu formula:

R = limn→∞

|an||an+1|

.

Observatie 2.1: Din natura seriilor de puteri, teoremele de derivare s, i integrare termen cu termensınt automate. As, adar, daca ∑ an(x − a)n este o serie de puteri iar S(x) este suma sa, atunci:

• Seria derivatelor, ∑ nan(x −a)n−1, are aceeas, i raza de convergent, a cu seria init, iala, iar sumasa este S′(x);

• Seria primitivelor, ∑ an(x − a)n+1

n + 1, are aceeas, i raza de convergent, a cu seria init, iala, iar suma

sa este o primitiva a lui S.

12

2.6 Exercit, ii1. Sa se studieze convergent, a punctuala s, i uniforma a s, irurilor de funct, ii:

(a) fn ∶ (0, 1) → ℝ, fn(x) =1

nx + 1, n ≥ 0;

(b) fn ∶ [0, 1] → ℝ, fn(x) = xn − x2n, n ≥ 0;

(c) fn ∶ ℝ → ℝ, fn(x) =√x2 +

1n2, n > 0;

(d) fn ∶ [−1, 1] → ℝ, fn(x) =x

1 + nx2;

(e) fn ∶ (−1, 1) → ℝ, fn(x) =1 − xn

1 − x;

(f) fn ∶ [0, 1] → ℝ, fn(x) =2nx

1 + n2x2;

(g) fn ∶ ℝ+ → ℝ, fn(x) =x + n

x + n + 1;

(h) fn ∶ ℝ+ → ℝ, fn(x) =x

1 + nx2.

2. Sa se arate ca s, irul de funct, ii dat de:

fn ∶ ℝ → ℝ, fn(x) =1narctan xn

converge uniform pe ℝ, dar:

( limn→∞

fn(x))′

x=1≠ lim

n→∞f ′n (1).

Rezultatele difera deoarece s, irul derivatelor nu converge uniform pe ℝ.

3. Sa se arate ca s, irul de funct, ii dat de:

fn ∶ [0, 1] → ℝ, fn(x) = nxe−nx2

este convergent, dar:

limn→∞ ∫

1

0fn(x)dx ≠ ∫

1

0limn→∞

fn(x)dx.

13

Rezultatul se explica prin faptul ca s, irul nu este uniform convergent. De exemplu, pentru xn =1n

,avem fn(xn) → 1, dar, ın general, fn(x) → 0.

4. Sa se dezvolte urmatoarele funct, ii ın serie Maclaurin, precizınd s, i domeniul de convergent, a:

(a) f (x) = ex ;

(b) f (x) = sin x ;

(c) f (x) = cos x ;

(d) f (x) = (1 + x)� , � ∈ ℝ;

(e) f (x) = 11 + x

;

(f) f (x) = ln(1 + x);

(g) f (x) = arctan x ;

(h) f (x) = ln(1 + 5x);

(i) f (x) = 3 ln(2 + 3x).

5. Sa se calculeze raza de convergent, a s, i mult, imea de convergent, a pentru urmatoarele seriide puteri:

(a) ∑n≥0 xn;

(b) ∑n≥1 nnxn;

(c) ∑n≥1(−1)n+1xn

n;

(d) ∑n≥1nnxn

n!;

(e) ∑(x − 1)2n

n ⋅ 9n;

(f) ∑(x + 3)n

n2.

14

6. Gasit, i mult, imea de convergent, a s, i suma seriei:

∑n≥0

(−1)nx2n+1

2n + 1.

Indicat, ie: Se deriveaza termen cu termen s, i rezulta seria geometrica de raza −x2, careia i se poatecalcula suma, care apoi se integreaza.

7. Sa se calculeze cu o eroare mai mica decıt 10−3 integralele:

(a) ∫

12

0

sin xx

dx ;

(b) ∫

12

0

ln(1 + x)x

dx ;

(c) ∫1

0e−x

2dx .

8. Sa se calculeze polinomul Taylor de grad 3 ın jurul originii pentru funct, iile:

(a) f (x) = 3 ln(2 + x);

(b) f (x) = arctan x ;

(c) f (x) =√1 + 2x .

15

16

SEMINAR 3

SERII TAYLOR

3.1 Exercit, ii suplimentare1. Gasit, i aproximarea liniara s, i patratica a funct, iilor:

(a) f (x) = 3√x ;

(b) f (x) = sin(cos x);

(c) f (x) = esin x ;

(d) f (x) = arcsin x .

2. Folosind seria Taylor, aproximat, i cu o eroare mai mica decıt 10−3 numerele:

(a) 3√65;

(b) sin 32;

(c) arctan12

;

(d) e−0,2;

(e) ln 1, 1;

(f) ln 4;

(g) ln 5.

17

Indicat, ie: Atent, ie la domeniile de convergent, a!

3. Sa se calculeze cu o eroare mai mica decıt 10−3 integralele:

(a) ∫

12

0

sin xx

dx ;

(b) ∫

12

0

ln(1 + x)x

dx ;

(c) ∫

13

0

arctan xx

dx ;

(d) ∫1

0e−x

2dx .

4. Gasit, i mult, imea de convergent, a s, i suma seriei:

sumn≥0(−1)nx2n+1

2n + 1.

Indicat, ie: R = 1 (raport), iar suma se poate a�a derivınd termen cu termen. Rezulta (prinderivare) seria geometrica de raza −x2, cu suma 1

x2 + 1, valabila pentru x ∈ (−1, 1).

Rezulta f (x) = arctan x + c.

5. Aratat, i ca seriile numerice de mai jos sınt convergente s, i calculat, i sumele lor, folosind seriide puteri:

(a) ∑n≥0

(−1)n

3n + 1;

(b) ∑n≥0

(n + 1)2

n!;

(c) ∑n≥1

n2(3n − 2n)6n

.

Indicat, ii:

18

(a) Seria satisface criteriul lui Leibniz, deci este convergenta.

Pentru a gasi suma, pornim cu seria de puteri ∑(−1)nx3n+1

3n + 1.

Intervalul de convergent, a este (−1, 1), iar pentru x = 1, avem seria data.Fie f suma acestei serii de puteri ın intervalul (−1, 1). Derivam termen cu termen s, i obt, inem:

f ′(x) = ∑(−1)nx3n =1

1 + x3,

pentru |x | < 1, ca suma unei serii geometrice alternate.Rezulta:

f (x) = ∫dx

1 + x3=16ln

(x + 1)2

x2 − x + 1+

1√3arctan 2x − 1

√3 + c,

pentru |x | < 1. Calculınd f (0), gasim c =�

6√3

.

(b) Se foloses, te seria pentru ex , din care obt, inem seria pentru (x+x2)ex , pe care o derivam termencu termen.Pentru x = 1, se obt, ine seria ceruta, cu suma 5e.

(c) Descompunem seria ın doua, apoi folosim seria de puteri ∑ n2xn, pe care o derivam termencu termen, pentru a obt, ine seria pentru nxn−1, apoi seria pentru nxn.

19

20

SEMINAR 4

FUNCT, II DE MAI MULTE VARIABILE

4.1 Probleme de extremStudiul problemelor de extrem pentru funct, ii de mai multe variabile se face prin urmatorii pas, i.Presupunem ca pornim cu o funct, ie f = f (x, y) ∶ D ⊆ ℝ2 → ℝ.

(1) Se determina punctele care anuleaza simultan derivatele part, iale. Adica, rezolvam sistemulde ecuat, ii: {

)f)x = 0)f)y = 0

(2) Pentru �ecare dintre punctele determinate anterior, se alcatuies, te matricea hessiana asociata,alcatuita din derivatele part, iale de ordinul al doilea:

Hf = (

)2f)x2

)2f)x)y

)2f)y)x

)2f)y2 )

(3) Se determina valorile proprii ale matricei hessiene (pentru �ecare dintre punctele gasite laprimul pas).

(4) Fie �1, �2 valorile proprii.

• Daca ambele valori proprii sınt pozitive, punctul gasit este de minim local;• Daca ambele valori proprii sınt negative, punctul gasit este de maxim local;• Daca valorile proprii au semne opuse, punctul gasit nu este de extrem.

21

Alternativ, se poate proceda astfel. Fie elementele matricei hessiene:

r0 =)2f)x2

, s0 =)2f)x)y

, t0 =)2f)y2 .

Se calculeaza r0, s0, t0 s, i expresia p = r0t0 − s20 (pentru �ecare dintre punctele critice gasite).

(a) Daca p > 0 s, i r0 > 0, punctul gasit este de minim local;

(b) Daca p > 0 s, i r0 < 0, punctul gasit este de maxim local;

(c) Daca p < 0, punctul gasit nu este de extrem.

Indiferent de metoda, daca p = 0 sau una dintre valorile proprii aleHf este nula corespunzatorpunctului A(x0, y0), se evalueaza semnul diferent, ei f (x, y) − f (x0, y0) ıntr-o vecinatate a lui A:

(i) Daca f (x, y) − f (x0, y0) nu are semn constant ın orice vecinatate a lui (x0, y0), punctul A nueste de extrem;

(ii) Daca f (x, y) − f (x0, y0) este pozitiv ın orice vecinatate a lui (x0, y0), punctul A este de minimlocal;

(iii) Daca f (x, y) − f (x0, y0) este negativ ın orice vecinatate a lui (x0, y0), punctul A este de maximlocal.

Diferent, a f (x, y) − f (x0, y0) se studiaza cu ajutorul formulei lui Taylor pentru 2 variabile reale.Fie A(x0, y0) ∈ D, pentru f ∶ D → ℝ2 s, i presupunem ca f ∈ C2(D). Atunci avem dezvoltarea:

f (x, y) = f (a) +11![

(x − x0))f)x A

+ (y − y0))f)y A

]+

+12![

(x − x0)2)2f)x2 A

+ 2(x − x0)(y − y0))2f)x)y A

+ (y − y0)2)2f)y2

A]+

+13![

(x − x0)3)3f)x3 A

+ 3(x − x0)2(y − y0))3f)2x)y A

+ 3(x − x0)(y − y0)2)3f)x)2y A

+ (y − y0)3)3f)y3

A]

+ …

Observatie 4.1: In general, daca domeniul de de�nit, ie al funct, iei este o mult, ime compacta (deexemplu, interval ınchis), problema de extrem se studiaza ın doua etape:

(1) Pentru interiorul lui D, unde se procedeaza ca mai sus;

(2) Pentru frontiera lui D, care devine o problema pentru o funct, ie de o singura variabila sau oproblema de extreme cu legaturi.

22

4.2 Exercit, ii1. Sa se calculeze derivatele part, iale de ordinul ıntıi pentru funct, iile:

(a) f (x, y) = ex−y2 ;

(b) f (x, y) = arctanxy+ arctan

yx

;

(c) f (x, y) = ex2+y2 ;

(d) f (x, y, z) =√x2 + y2 + z2.

2. Sa se calculeze derivatele part, iale de ordinul ıntıi s, i al doilea pentru funct, iile:

(a) f (x, y) = ex cos y;

(b) f (x, y) = x − yx + y

, (x, y) ≠ (0, 0);

(c) f (x, y) = ln(x2 + y2), (x, y) ≠ (0, 0);

(d) f (x, y) = x3 + xy;

(e) f (x, y, z) = y sin(x + z);

(f) f (x, y, z) = ln(x2 + y2 + z2), (x, y, z) ≠ (0, 0, 0).

3. Sa se calculeze derivatele part, iale ın punctele indicate:

(a) f (x, y) = 2x2 + xy,)f)x

(1, 1),)f)y

(3, 2);

(b) f (x, y) =√sin2 x + sin2 y,

)f)x(

�4, 0),

)f)y(

�4,�4)

;

(c) f (x, y) = ln(1 + x2 + y2),)f)x

(1, 1),)f)y

(1, 1);

(d) f (x, y) = 3√x2y,

)f)x

(−2, 2), )f)y

(−2, 2), )2f)x)y

(−2, 2);

(e) f (x, y) = xy ln x, x ≠ 0,)2f)x)y

(1, 1), )2f)y

)x(1, 1).

4. Calculat, i derivatele part, iale de ordinul I pentru funct, iile compuse:

(a) f (x, y) = ln(u2 + v), unde u(x, y) = ex+y2 s, i v(x, y) = x2 + y;

23

(b) f (x, y) = arctan2uv

, unde u(x, y) = x sin y s, i v(x, y) = x cos y;

(c) f (x, y) = '(2xey + 3y sin 2x).

5. Aratat, i ca funct, iile urmatoare veri�ca ecuat, iile indicate:

(a) f (x, y) = '(yx )

,

x)f)x

+ y)f)y

= 0.

(b) f (x, y, z) = '(xy, x2 + y2 + z2),

xz)f)x

− yz)f)y

+ (y2 − x2))f)z

= 0.

(c) f (x, y) = y'(x2 − y2),1x)f)x

+1y)f)y

=1y2 f (x, y).

6. Fie funct, ia f ∶ D ⊆ ℝ2 → ℝ, f (x, y) = x3 + y3 − 6xy .

(a) Pentru D = ℝ2, determinat, i punctele de extrem s, i calculat, i valorile funct, iei ın aceste puncte;

(b) Pentru D = {(x, y) ∈ ℝ2 ∣ x, y ≥ 0, x +y ≤ 5} determinat, i valoarea minima s, i valoarea maximaa funct, iei.

7. Fie f ∶ D ⊆ ℝ2 → ℝ, f (x, y) = 4xy − x4 − y4.

(a) Pentru D = ℝ2, determinat, i punctele de extrem s, i calculat, i valorile funct, iei ın aceste puncte;

(b) Pentru D = [−1, 2] × [0, 2], determinat, i valoarea minima s, i valoarea maxima a funct, iei.

8. Fie f ∶ D ⊆ ℝ2 → ℝ, f (x, y) = x4 + y3 − 4x3 + 3y2 + 3y . Pentru domeniul de de�nit, ie:

D = {(x, y) ∈ ℝ2 ∣ x2 + y2 < 4},

determinat, i punctele de extrem ale funct, iei.

24

INDEX

Symbolss, iruri funct, ii

convergent, apunctuala, 9uniforma, 9

derivare termen cu termen, 10integrare termen cu termen, 10transfer de continuitate, 10

Mmatrice

hessiana, 21

Sserii

s, irul sumelor part, iale, 3s, irul termenilor generali, 3absolut convergente, 6convergente, 3criteriu

comparat, ie la limita, 5comparat, ie la limita termen cu

termen, 4

comparat, ie termen cu termen, 4integral, 5logaritmic, 5necesar, 4Raabe-Duhamel, 5radical, 5raport, 5

divergente, 3funct, ii

Weierstrass, 10Maclaurin, 11polinom Taylor, 11puteri, 12

Abel, 12Cauchy-Hadamard, 12raport, 12

semiconvergente, 6seria armonica, 6seria geometrica, 6suma seriei, 3Taylor, 11

25