f lucian - facultatea de matematica iasimaticiuc/didactic/msi_curs x_serii de puteri.pdf · precum...

Capitolul V: Serii de puteri Lect. dr. Lucian Maticiuc

Facultatea de Hidrotehnica, Geodeziesi Ingineria MediuluiMatematici Superioare, Semestrul I,Lector dr. Lucian MATICIUC

CURS X

Capitolul V: Serii de functii; serii de puteri

1 Siruri de functii

Fie A ⊂ R o submultime a lui R. Fie fn : A→ R o functie definita pentru orice n ∈ N. Sirul (fn)nse va numi sir de functii. De exemplu fn : R → R definite de fn (x) = sin

(x+ 1

n

), n ≥ 1 sau

fn : R→ R definite de fn (x) = xn, n ≥ 0.Ca si ın cazul seriilor numerice, suntem interesati sa studiem comportamentul aplicatiilor fn

cand n → ∞. Primul pas este acela de a analiza sirul numeric dat de valorile functiilor fn ınfiecare punct al domeniului A.

Definitia 1 Sirul de functii (fn)n converge punctual ın x ∈ A daca sirul numeric (fn (x))n convergepentru n → ∞. Submultimea C ⊂ A unor asemenea puncte de convergenta x se numeste multimea deconvergenta punctuala a sirului de functii (fn)n. Astfel putem defini functia f : C → R prin

f (x) = limn→∞

fn (x) , ∀x ∈ C.

Vom scrie fn → f punctual pe C.

Remarca 2 Din definitie deducem ca f este limita sirului de functii (fn)n daca si numai daca

limn→∞

|fn (x)− f (x)| = 0, ∀x ∈ C.

Exemplul 3 Fie fn : R→ R definita de fn (x) = sin(x+ 1

n

), n ≥ 1. Utilizand faptul ca

(x+ 1

n

)→ x

precum si continuitatea functiei sin deducem ca

f (x) = limn→∞

sin

(x+

1

n

)= sinx , ∀x ∈ R = C.

Exemplul 4 Fie fn : R→ R definita de fn (x) = xn, n ≥ 0. Utilizand limite cunoscute deducem ca

limn→∞

xn =

0, daca |x| < 1,

1, daca x = 1,

+∞, daca x > 1,

@ daca x ≤ −1.

Deci functia limita f este definita pe C = (−1, 1] prin

f (x) = limn→∞

xn =

{0, daca |x| < 1,

1, daca x = 1.

1

Lucia

n Mati

ciuc


Remarca 5 Mentionam ca notiunea de convergenta punctuala nu este suficienta, ın multe cazuri, pentrua transfera propritetati ale functiilor fn la functia limita f . Continuitatea, diferentiabilitatea sau integra-bilitatea sunt asemenea situatii. In exemplul de mai sus se vede ca fn (x) = xn sunt continue dar functialimita nu este continua (ın punctul x = 1).

Introducem ın continuare notiunea de uniforma convergenta. Pentru aceasta vom relua definitiaconvergentei punctuale. Astfel: ∀x ∈ C, ∀ε > 0, ∃ n0 ∈ N astfel ıncat

∀n ≥ n0 ⇒ |fn (x)− f (x)| < ε.

Deci acest n0 depinde de ε si de x (adica n0 = n0 (ε, x)). In alti termeni spunem ca rangul (pragul)n0 pentru care fn (x) se apropie de f (x), variaza de la un punct la altul. De exemplu pentrufn (x) = xn cu x ∈ (0, 1), conditia |fn (x)− f (x)| < ε devine

|xn − 0| < ε⇔ xn < ε⇔ n lnx < ln ε⇔ n >ln ε

lnx

(am folosit faptul ca x ∈ (0, 1)⇔ lnx ∈ (−∞, 0)).Deci rangul n0 =

[ln εln x

](partea ıntreaga a lui ln ε/ lnx), deci depinde de punctul x ın care

studiem limita. Observam ca daca x→ 1 atunci lnx→ 0− deci ln εln x →

ln ε0−

= +∞.Convergenta se va numi uniforma daca rangul n0 se va putea alege independent de x. Astfel

definitia trebuie reformulata: ∀ε > 0, ∃ n0 = n0 (ε) ∈ N astfel ıncat

∀n ≥ n0 ⇒ |fn (x)− f (x)| < ε, ∀x ∈ C.

Utilizand notiunea de supremum putem reformula astfel:

∀n ≥ n0 ⇒ supx∈C|fn (x)− f (x)| < ε .

Definitia 6 Sirul (fn)n converge uniform pe C la functia f daca

limn→∞

supx∈C|fn (x)− f (x)| = 0.

In alte cuvinte, pentru orice ε > 0, exista rangul n0 = n0 (ε) ∈ N astfel ıncat

∀n ≥ n0 ⇒ |fn (x)− f (x)| < ε, ∀x ∈ C.

Vom scrie fn −−→u

f.

Exemplul 7 Fie fn : R→ R, fn (x) := sin(x+ 1

n

), n ≥ 1. Vom utiliza formula trigonometrica

sin a− sin b = 2 sina− b

2cos

a+ b

2

(ıntr-adevar, sin a− sin b = sin(a+b2 + a−b

2

)− sin

(a+b2 −

a−b2

)= sin a+b

2 cos a−b2 + sin a−b2 cos a+b2 −

sin a+b2 cos a−b2 − sin a−b

2 cos a+b2 ).Deci pentru orice x ∈ R

|fn (x)− f (x)| =∣∣∣∣sin(x+

1

n

)− sinx

∣∣∣∣ = 2

∣∣∣∣sin 1

2n

∣∣∣∣ ∣∣∣∣cos

(2x+

1

2n

)∣∣∣∣ ≤ 2

∣∣∣∣sin 1

2n

∣∣∣∣ = 2 sin1

2n.

Daca trecem la limita pentru n→∞ deducem ca

limn→∞

supx∈R|fn (x)− f (x)| = 2 lim

n→∞supx∈R

sin1

2n= 2 lim

n→∞sin

1

2n= 2 sin 0 = 0.

2

Lucia

n Mati

ciuc


Exemplul 8 Fie fn : R→ R, fn (x) := xn, n ≥ 0. Vom considera x ∈ [0, 1). Atunci

limn→∞

supx∈[0,1)

|fn (x)− f (x)| = limn→∞

supx∈[0,1)

|xn − 0| = limn→∞

supx∈[0,1)

xn = limn→∞

1 = 1 6= 0.

Daca vom considera intervalul [0, a] cu 0 < a < 1, deducem ca

limn→∞

supx∈[0,a]

|fn (x)− f (x)| = limn→∞

supx∈[0,a]

xn = limn→∞

an = 0,

adica fn (x) := xn converge uniform pe orice subinterval compact [0, a] ⊂ [0, 1). Se poate arata chiar ca

xn −−→u

0, pe orice [−a, a] ⊂ (−1, 1) .

2 Proprietati ale sirurilor de functii uniform convergente

Convergenta punctuala nu este suficienta pentru a putea transfera proprietatea de continuitate(vezi si exemplul din Observatia 5).

Teorema 9 Fie sirul de functii continue (fn)n astfel ıncat fn −−→u

f pe intervalul I. Atunci limita f esteo functie continua.

De asemenea, convergenta punctuala nu este suficienta pentru a putea transfera integrabili-tatea. Astfel:

Exemplul 10 Fie fn (x) := xn2e−nx cu x ∈ [0, 1]. Atunci are loc convergenta punctuala (pentru oricex ∈ [0, 1])

fn (x) = xn2e−nx → 0 =: f (x) , cand n→∞.

Pe de alta parte ∫ 1

0

f (x) dx =

∫ 1

0

0dx = 0,

iar∫ 1

0

fn (x) dx =

∫ 1

0

xn2e−nxdx = (cu schimbarea de variabila nx = y) =

∫ n

0

ye−ydy

= (metoda de integrare prin parti) =(−ye−y − e−y

)∣∣y=ny=0

= 1→ 1, cand n→∞.

Teorema 11 Fie I = [a, b] si sirul (fn)n de functii integrabile pe I astfel ıncat fn −−→u

f pe I. Atuncilimita f este o functie integrabila si∫ b

a

fn (x) dx→∫ b

a

f (x) dx, cand n→∞.

Remarca 12 In conditiile teoremei de mai sus putem scrie

limn→∞

∫ b

a

fn (x) dx =

∫ b

a

limn→∞

fn (x) dx .

Teorema 13 Fie sirul (fn)n de functii derivabile pe I = [a, b] cu derivatele continue pe I . Presupunemca exista doua functii f, g : I → R astfel ıncat fn −−→ f punctual pe I si f ′n −−→

ug pe I . Atunci limita f

este o functie derivabila pe I cu derivata continua pe I si f ′ = g.

3

Lucia

n Mati

ciuc


Remarca 14 In conditiile teoremei de mai sus putem scrie

limn→∞

f ′n (x) =(

limn→∞

fn (x))′, ∀x ∈ I.

Exemplul 15 Fie f, fn : [0, 1]→ R, f (x) := x si fn (x) := x− xn

n . Atunci fn −−→u

f deoarece

limn→∞

supx∈[0,1]

|fn (x)− f (x)| = limn→∞

supx∈[0,1]

xn

n≤ limn→∞

supx∈[0,1]

1

n= limn→∞

1

n= 0.

Pe de alta parte functiilef ′n (x) = 1− xn−1

converg la functia discontinua

g (x) =

{1, daca x ∈ [0, 1),

0, daca x = 1.

Deci sirul (f ′n)n converge doar punctual la functia g, pe [0, 1] (nu si uniform) si se vede ca g nu coincidecu derivata lui f (care este limita uniforma a lui fn).

3 Serii de functii

Fie (fn)n≥0 un sir de functii fn : A ⊂ R → R. Putem construi acum (ın acelasi mod ca si seriilenumerice) seria de functii

∞∑n=0

fn = f1 + f2 + · · ·+ fn + · · ·

Mai precis, consideram sirul sumelor partiale (sn)n dat de

sn (x) :=n∑k=0

fk = f1 + f2 + · · ·+ fn .

Putem acum considera diverse tipuri de convergente.

Definitia 16 Seria de functii∑∞n=0 fn spunem ca converge punctual ın x ∈ A daca sirul sumelor partiale

(sn)n converge punctual ın x. Echivalent, seria numerica∑∞n=0 fn (x) converge.

Definitia 17 Submultimea C ⊂ A unor asemenea puncte de convergenta x se numeste multimea deconvergenta punctuala a seriei

∑∞n=0 fn . Astfel putem defini functia s : C → R prin

s (x) = limn→∞

sn (x) =n∑k=0

fn (x) , ∀x ∈ C.

Prin urmare multimea de convergenta punctuala a unei serii poate fi studiata utilizand ınfiecare punct x ∈ A ceea ce stim deja de la serii numerice.

Definitia 18 Seria de functii∑∞n=0 fn spunem ca converge uniform la functia s pe multimea C daca sirul

sumelor partiale (sn)n converge uniform pe C.

Exemplul 19 Seria∑∞n=0 x

n este exact seria geometrica (cu q luat ca variabila independenta, renotatacu x). Aceasta serie se stie ca converge (punctual) ın orice x ∈ (−1, 1). Intr-adevar, pentru orice x ∈(−1, 1)⇒ xn → 0, cand n→∞ si

sn (x) = 1 + x+ x2 + · · ·xn =1− xn+1

1− x→ 1

1− x, n→∞.

4

Lucia

n Mati

ciuc


Deci∞∑n=0

xn =1

1− x, ∀x ∈ (−1, 1) .

In ceea ce priveste uniforma convergenta, aceasta are loc pe orice interval compact [−a, a] (cu a ∈ (0, 1)arbitrar).

Are loc

|sn (x)− s (x)| ≤∣∣∣∣1− xn+1

1− x− 1

1− x

∣∣∣∣ =|x|n+1

1− x≤ an+1

1− x→ 0

1− x= 0.

Avand ın vedere Teoremele 11 si 13 enuntam:

Teorema 20 (de integrare a seriei termen cu termen) Fie I = [a, b] un interval ınchis si (fn)n un sirde functii integrabile pe I astfel ıncat seria

∑∞n=0 fn converge uniform la functia s pe I . Atunci I este

integrabila pe I si ∫ b

a

s (x) dx =

∫ b

a

∞∑n=0

fn (x) dx =∞∑n=0

∫ b

a

fn (x) dx .

Teorema 21 (de derivare a seriei termen cu termen) Fie I = [a, b] un interval ınchis si (fn)n un sirde functii derivabile pe I cu derivatele continue pe I. Presupunem ca exista s, t : I → R astfel ıncat:

(i)∑∞n=0 fn (x) = s (x) , ∀x ∈ I,

(ii)∑∞n=0 f

′n (x) = t (x) , ∀x ∈ I, si convergenta este uniforma pe I .

Atunci s este derivabila pe I cu derivata continua pe I si s′ = t.

Remarca 22 Teorema de mai sus afirma ca

∞∑n=0

f ′n (x) =

( ∞∑n=0

fn (x)

)′, ∀x ∈ I.

Teorema 23 (testul lui Weierstrass) Fie (fn)n un sir de functii definite pe A si (Mn)n un sir numericastfel ıncat

|fn (x)| ≤Mn , ∀x ∈ A

si seria numerica∑∞n=0Mn converge. Atunci seria

∑∞n=0 fn converge uniform pe multimea A.

(fara demonstratie)

Exemplul 24 Fie seria∞∑n=1

sin(xn4

)n√n

, x ∈ R.

Avem ca ∣∣∣∣∣ sin(xn4

)n√n

∣∣∣∣∣ ≤ 1

n√n

=1

n3/2

iar∞∑n=1

1

n√n

=∞∑n=1

1

n3/2

care este convergenta (seria armonica generalizata scrisa pentru α = 3/2). Deci Mn = 1n3/2 iar seria data∑∞

n=1

sin(xn4)n√n

converge uniform pe R.

5

Lucia

n Mati

ciuc


4 Serii de puteri

Seriile de puteri sunt un caz particular de serii de functii obtinut atunci cand fn (x) = anxn.

Definitia 25 Fie (an)n un sir numeric. Numim serie de puteri, o serie de forma

∞∑n=0

anxn = a0 + a1x+ a2x

2 + a3x3 + · · · anxn + · · ·

Numerele an cu n ∈ N, se vor numi coeficientii seriei.

Exemplul 26 Seria∑∞n=1 n

nxn nu este convergenta, pentru orice x 6= 0, deoarece (privita ca serie nu-merica) termenul general al seriei nnxn nu tinde la zero (Exercitiu !, x se va privi ca un parametru), candn→∞.

Exemplul 27 Seria∞∑n=0

xn

n!= 1 +

x

1!+x2

2!+x3

3!+ · · ·+ xn

n!+ · · ·

este convergenta, pentru orice x ∈ R.Intr-adevar, privita ca serie numerica, aplicam criteriul raportului al lui D’Alembert pentru seria module-lor (ca sa fie serie cu termeni pozitivi) si obtinem∣∣∣ xn+1

(n+1)!

∣∣∣∣∣xn

n!

∣∣ =|x|n+1

|x|nn!

(n+ 1)!=|x|n+ 1

→ 0 < 1, cand n→∞, ∀x ∈ R∗.

Evident, pentru x = 0 serie este convergenta.Se va arata ulterior ca aceasta serie de puteri are suma ex adica

ex = 1 +x

1!+x2

2!+x3

3!+ · · ·+ xn

n!+ · · ·

=∞∑n=0

xn

n!,∀x ∈ R.

Exemplul 28 Seria geometrica

∞∑n=0

xn = 1 + x+ x2 + x3 + · · ·+ xn + · · ·

este convergenta, pentru orice x ∈ (−1, 1).Intr-adevar, privita ca serie numerica, aplicam criteriul raportului al lui D’Alembert pentru seria module-lor (ca sa fie serie cu termeni pozitivi) si obtinem∣∣xn+1

∣∣|xn|

= |x| → |x| , cand n→∞.

Deci pentru orice |x| < 1 seria modulelor este convergenta.Se arata usor ca aceasta serie de puteri are suma 1

1−x adica

1

1− x= 1 + x+ x2 + x3 + · · ·+ xn + · · ·

=∞∑n=0

xn ,∀x ∈ (−1, 1) .

6

Lucia

n Mati

ciuc


In exemplele de mai sus seria converge (absolut) pe un interval simetric (ın raport cu origi-nea). Vom arata ca multimea de convergenta C a oricarei serii de puteri este ori R ori un intervalmarginit (deschis, ınchis sau semi-deschis) centrat ın 0.

Astfel se poate demonstra urmatorul rezultat foarte important:

Propositia 29 Daca seria de puteri∑∞n=0 anx

n converge ın punctul x1 6= 0, atunci converge absolut peintervalul deschis (− |x1| , |x1|). Daca seria de puteri

∑∞n=0 anx

n nu converge ın punctul x2 6= 0, atuncinu converge ın nici un punct din multimea (−∞, |x2|)∪(|x2| ,+∞) (vezi si desenul ın cazul x1, x2 > 0).

Demonstratie. Daca seria converge ın punctul x1 6= 0 atunci, conform definitiei, seria numerica∑∞n=0 anx

n1 este convergenta deci termenul general al seriei anxn1 → 0 cand n → ∞. Deci sirul

(anxn1 )n este sir marginit (fiind convergent). Sa notam cu M > 0 cantitatea pentru care

|anxn1 | ≤M , ∀n ∈ N.

Deci, pentru orice x astfel ıncat |x| < |x1| ⇔ x ∈ (− |x1| , |x1|), avem

|anxn| =∣∣∣∣anxn1 ( x

x1

)n∣∣∣∣ ≤M (|x||x1|

)n, ∀n ∈ N.

Seria obtinuta∞∑n=0

M

(|x||x1|

)neste o serie geometrica cu q = |x|

|x1| ∈ (0, 1) (deoarece |x| < |x1|) deci este o serie convergenta.Conform criteriului comparatiei (de la serii numerice) deducem ca seria

∑∞n=0 |anxn| este con-

vergenta deci∑∞n=0 anx

n este absolut convergenta pentru orice x ∈ (− |x1| , |x1|).Rezultatul principal este urmatorul:

Teorema 30 Fie seria de puteri∑∞n=0 anx

n. Atunci exista R ∈ [0,+∞] astfel ıncat:(i) seria este absolut convergenta ın orice punct din intervalul deschis (−R,R);(ii) seria este divergenta ın orice punct x ∈ (−∞, R) ∪ (R,+∞);Pentru orice r ∈ (0, R), seria este uniform convergenta ın orice punct x ∈ [−r, r].Termenul R se numeste raza de convergenta a seriei de puteri iar intervalul pe care este convergenta senumeste multimea de convergenta.

Demonstratie. Sa notam cu C multimea de convergenta.Daca seria de puteri este convergenta doar ın x = 0 atunci R = 0.Sa presupunem ca exista un punct x0 6= 0 ın care seria este convergenta. Atunci conform

Propozitiei 29 seria∑∞n=0 anx

n este absolut convergenta ın orice punct x ∈ (− |x0| , |x0|). DeciC contine intervalul (− |x0| , |x0|). Prin urmare, notand cu R := sup C, deducem ca R > 0. Sapresupunem ca R < +∞. Atunci se poate arata imediat concluzia. Intr-adevar, daca luam xarbitrar fixat astfel ıncat |x| < R⇔ x ∈ (−R,R) atunci (avand ın vedere ca R este un supremum)exista x1 ∈ C cu x1 ∈ (|x| , R) si deci seria initiala este absolut convergenta ın x (deoarece |x| < x1).

Imediat se poate dovedi si divergenta ın punctul x astfel ıncat |x| > R.De asemenea, pentru x fixat astfel ıncat |x| < r cu r arbitrar ın (0, R) avem ca

|anxn| = |an| rn , ∀n ∈ N.

Dar seria∑∞n=0 |an| rn este convergenta (deoarece r < R) deci si seria

∑∞n=0 |anxn| este conver-

genta adica seria∑∞n=0 anx

n este absolut convergenta.

Remarca 31 Raza de convergenta este definita de

R := sup

{x ∈ R :

∞∑n=0

anxn converge

}.

7

Lucia

n Mati

ciuc


Remarca 32 In punctele x = ±R convergenta se va studia separat (pentru x = ±R seria devine unanumerica).Deci multimea de convergenta poate fi (−R,R) sau (−R,R] sau [−R,R).

Exemplul 33 Se vede acum ca raza de convergenta este R = 0 ın cazul Exemplului 26, R = +∞ ıncazul Exemplului 27 si R = 1 ın cazul Exemplului 28.


n si R raza sa de convergenta. Sa presupunem ca an 6= 0,∀n ∈ N.(i) Daca exista lim

n→∞

∣∣∣an+1

an

∣∣∣ = ` atunci

R =1

limn→∞

∣∣∣an+1

an

∣∣∣ ;

(i) Daca exista limn→∞

n√|an| = ` atunci

R =1

limn→∞

n√|an|

.

Demonstratie. (i) Fie x un punct oarecare. Aplicam criteriul raportului seriei numerice∑∞n=0 |anxn|

limn→∞

∣∣an+1xn+1∣∣

|anxn|= limn→∞

∣∣∣∣an+1

an

∣∣∣∣ |x| = ` |x| .

Daca ` = 0 atunci limn→∞|an+1x

n+1||anxn| = 0 < 1 deci conform criteriului raportului avem ca seria∑∞

n=0 |anxn| este convergenta deci seria initiala∑∞n=0 anx

n este absolut convergenta oricare ar fix ∈ R. Deci R = 1

0+= +∞.

Daca ` = +∞ atunci limn→∞|an+1x

n+1||anxn| = +∞ > 1 deci conform criteriului raportului avem ca

seria∑∞n=0 |anxn| este divergenta R = 1

+∞ = 0.

Fie acum ` ∈ (0,+∞). Daca |x| < 1/` atunci limn→∞|an+1x

n+1||anxn| = ` |x| < 1 deci conform criteriu-

lui raportului avem ca seria∑∞n=0 |anxn| este convergenta deci seria initiala

∑∞n=0 anx

n este ab-

solut convergenta oricare ar fi |x| < 1/`. Daca |x| > 1/` atunci limn→∞|an+1x

n+1||anxn| = ` |x| > 1 deci

conform criteriului raportului avem ca seria∑∞n=0 |anxn| este divergenta oricare ar fi |x| > 1/`.

Prin urmare raza de convergenta este exact R = 1/`.(ii) Trebuie urmat acelasi rationament aplicand criteriul radacinii de la serii numerice.

Exemplul 35 (vezi si Exemplele 26-28) Seria∑∞n=1 n

nxn =∑∞n=0 anx

n are sirul an = nn. Raza deconvergenta este data de

R =1

limn→∞

n√|an|

=1

limn→∞

n√nn

=1

limn→∞

n= 0

deci multimea de convergenta este (−0, 0), adica este formata dintr-un singur punct x = 0.

Exemplul 36 Seria∑∞n=0

xn

n! =∑∞n=0 anx

n are sirul an = 1n! . Raza de convergenta este data de

R =1

limn→∞

|an+1||an|

=1

limn→∞

| 1(n+1)! || 1n! |

=1

limn→∞

1n+1

=1

0+= +∞

deci multimea de convergenta este (−∞,∞), adica seria este convergenta ın orice punct x ∈ R.

8

Lucia

n Mati

ciuc


Exemplul 37 Seria∑∞n=0 x

n =∑∞n=0 anx

n are sirul an = 1. Raza de convergenta este data de

R =1

limn→∞

|an+1||an|

=1

limn→∞

11

=1

1= 1.

deci multimea de convergenta este (−1, 1), adica seria este convergenta ın orice punct x ∈ (−1, 1).In capete trebuie studiat separat.Pentru x = −1 seria devine seria numerica

∑∞n=0 (−1)

n care este divergenta deoarece termenul gene-ral (−1)

n nu tinde la zero (@ limn→∞

(−1)n).

Pentru x = 1 seria devine seria numerica∑∞n=0 1n =

∑∞n=0 1 care este divergenta deoarece termenul

general 1 nu tinde la zero ( limn→∞

1 = 1 6= 0).Deci multimea de convergenta ramane (−1, 1) .

Exercitiul 38 Determinati raza de convergenta a seriei∑∞n=0

xn

n2 . In punctele ±R (= ±1) convergentatrebuie studiata separat. Se va obtine C = [−1, 1].


xn

n . In punctele ±R (= ±1) convergentatrebuie studiata separat. Se va obtine C =[−1, 1).

Exercitiul 40 Determinati raza de convergenta a seriei∑∞n=0 nx

n. In punctele ±R (= ±1) convergentatrebuie studiata separat. Se va obtine C = (−1, 1).


n!nnx

n. Se va obtine ±R (= ±e).

5 Operatii cu serii de puteri

Teorema 42 Fie doua serii de puteri∑∞n=0 anx

n si∑∞n=0 bnx

n cu razele de convergenta R1 respectivR2. Atunci seria de puteri

∑∞n=0 (an ± bn)xn are raza de convergenta R = min (R1, R2) . Are loc si

∞∑n=0

(an ± bn)xn =∞∑n=0

anxn ±

∞∑n=0

bnxn .

(fara demonstratie)


n cu raza de convergenta R si suma s (x). Atunci(i) seria derivatelor

∑∞n=1 nanx

n−1 are aceeasi raza de convergenta R si are loc

s′ (x) =

( ∞∑n=0

anxn

)′=∞∑n=0

(n+ 1) an+1xn , ∀x ∈ (−R,R) .

(ii) seria integralelor∑∞n=0

ann+1x

n+1 are aceeasi raza de convergenta R si are loc

∫ x

0

s (t) dt =

∫ x

0

( ∞∑n=0

antn

)dt =

∞∑n=0

ann+ 1

xn+1 , ∀x ∈ (−R,R) .

(fara demonstratie)

Exemplul 44 Stim ca1

1− x=∞∑n=0

xn , ∀x ∈ (−1, 1) .

9

Lucia

n Mati

ciuc


Inlocuind x cu −x obtinem si seria

1

1 + x=∞∑n=0

(−1)nxn , ∀x ∈ (−1, 1) .

Inlocuind x cu x2 obtinem si seria

1

1 + x2=∞∑n=0

(−1)nx2n , ∀x ∈ (−1, 1) .

Derivand termen cu termen obtinem(

11−x

)′=∑∞n=0 (xn)

′, ∀x ∈ (−1, 1), deci

1

(1− x)2 =

∞∑n=1

nxn−1 =∞∑n=0

(n+ 1)xn , ∀x ∈ (−1, 1)

precum six

(1− x)2 =

∞∑n=1

nxn , ∀x ∈ (−1, 1) .

Integrand termen cu termen cea de a doua serie obtinem∫ x0

11+tdt =

∑∞n=0

∫ x0

(−1)ntndt , ∀x ∈ (−1, 1),

deci

ln (1 + x) =∞∑n=0

(−1)n

n+ 1xn+1 =

∞∑n=1

(−1)n−1

nxn , ∀x ∈ (−1, 1) .

Integrand termen cu termen cea de a treia serie obtinem∫ x0

11+t2 dt =

∑∞n=0

∫ x0

(−1)nt2ndt , ∀x ∈

(−1, 1), deci

arctg (x) =

∞∑n=0

(−1)n

2n+ 1x2n+1 , ∀x ∈ (−1, 1) .

6 Serii Taylor

Definitia 45 Se numeste serie Taylor o serie de puteri de forma

∞∑n=0

an (x− a)n

= a0 + a1 (x− a) + a2 (x− a)2

+ · · ·+ an (x− a)n

+ · · ·

unde a ∈ R.

Remarca 46 Seria de puteri de mai sus este convergenta ın intervalul (a−R, a+R) unde R este razade convergenta a seriei

∑∞n=0 any

n.

Definitia 47 Se numeste serie Taylor asociata functiei f ın punctul a, seria de puteri

f (a) +f ′ (a)

1!(x− a) +

f ′′ (a)

2!(x− a)

2+ · · ·+ f (n) (a)

n!(x− a)

n+ · · ·

Definitia 48 Se numeste serie Mac-Laurin asociata functiei f , seria Taylor ın punctul a = 0, adica

f (0) +f ′ (0)

1!x+

f ′′ (0)

2!x2 + · · ·+ f (n) (0)

n!xn + · · ·

10

Lucia

n Mati

ciuc


Remarca 49 Observam ca sumele partiale ale acestei serii de puteri sunt exact polinoamele Taylor de gradn, atasate functiei f ın punctul a, adica

Tn (x) = f (a) +f ′ (a)

1!(x− a) +

f ′′ (a)

2!(x− a)

2+f ′′′ (a)

3!(x− a)

3+ + · · ·+ f (n) (a)

n!(x− a)

n.

Reamintim fomula lui Taylor

Definitia 50 (Formula lui Taylor) Daca f : I → R este o functie de (n+ 1) ori derivabila pe I atuncipentru oricare doua puncte x, a ∈ I formula

f (x) = f (a) +f ′ (a)

1!(x− a) +

f ′′ (a)

2!(x− a)

2+f ′′′ (a)

3!(x− a)

3+ · · ·

+f (n) (a)

n!(x− a)

n+Rn (x)

se numeste formula lui Taylor de ordin n corespunzatoare functiei f ın punctul a. Cantitatea Rn (x) senumeste restul de ordin n din formula Taylor si are diverse forme de exprimare.

Teorema 51 Seria Taylor asociata functiei f ın punctul a are drept suma ın punctul x ∈ C ∩ I (multimeade convergenta a seriei de puteri intersectata cu domeniul functiei) valoarea f (x) daca si numai dacaresturile Rn (x) formeaza un sir convergent la zero.(fara demonstratie)

Remarca 52 Deci Rn (x)→ 0, n→∞ daca si numai daca

f (x) = f (a) +f ′ (a)

1!(x− a) +

f ′′ (a)

2!(x− a)

2+ · · ·+ f (n)

n!(x− a)

n+ · · ·

Teorema 53 Seria Mac-Laurin asociata functiei f are drept suma ın punctul x ∈ C ∩ I (multimea deconvergenta a seriei de puteri intersectata cu domeniul functiei) valoarea f (x) daca si numai daca resturileRn (x) formeaza un sir convergent la zero.

Adica Rn (x)→ 0, n→∞ daca si numai daca

f (x) = f (0) +f ′ (0)

1!x+

f ′′ (0)

2!x2 + · · ·+ f (n) (0)

n!xn + · · ·

Exemplul 54 Sa se dezvolte ın serie de puteri functia f (x) = (1 + x)α cu α ∈ R \ N.

Avem f ′ (x) = α (1 + x)α−1, f ′′ (x) = α (α− 1) (1 + x)

α−2, deci prin inductie

f (n) (x) = α (α− 1) (α− 2) · · · (α− n+ 1) (1 + x)α−n

deci f (0) = 1 , f ′ (0) = α , f ′′ (0) = α (α− 1) adica

f (n) (0) = α (α− 1) (α− 2) · · · (α− n+ 1)

Seria Taylor asociata functiei f ın punctul a = 0 este

1 +α

1!x+

α (α− 1)

2!x2 + · · ·+ α (α− 1) (α− 2) · · · (α− n+ 1)

n!xn + · · ·

Pentru a calcula raza de convergenta a acestei serii sa notam cu an =α (α− 1) (α− 2) · · · (α− n+ 1)

n!si sa calculam

limn→∞

∣∣∣∣an+1

an

∣∣∣∣ = limn→∞

∣∣∣∣∣∣∣∣α (α− 1) (α− 2) · · · (α− n+ 1) (α− n)

(n+ 1)!

α (α− 1) (α− 2) · · · (α− n+ 1)

n!

∣∣∣∣∣∣∣∣ = limn→∞

∣∣∣∣α− nn+ 1

∣∣∣∣ = 1

11

Lucia

n Mati

ciuc


deci raza este R = 1 adica seria este convergenta pentru orice x ∈ (−1, 1).Observatie: ın capetele x = −1, x = 1 convergenta trebuie studiata separat !Pe de alta parte formula lui Taylor asociata acestei functii ın punctul a = 0 este

(1 + x)α

= 1 +α

1!x+

α (α− 1)

2!x2 + · · ·+ α (α− 1) (α− 2) · · · (α− n+ 1)

n!xn +Rn (x)

Se poate arata (!) ca Rn (x) → 0, n → ∞, deci deducem ca seria de mai sus, asociata functiei f (x) =(1 + x)

α, are suma data de chiar f (x) = (1 + x)α, adica are loc urmatoarea dezvoltare importanta numita

dezvoltarea binomiala

(1 + x)α

= 1 +α

1!x+

α (α− 1)

2!x2 + · · ·+ α (α− 1) (α− 2) · · · (α− n+ 1)

n!xn + · · · , ∀ |x| < 1.

Exemplul 55 Sa se dezvolte ın serie Taylor ın jurul lui a = 6 functia f (x) = 3√x+ 2.

Vom folosi dezvoltarea binomiala

(1 + y)α

= 1 +α

1!y +

α (α− 1)

2!y2 + · · ·+ α (α− 1) (α− 2) · · · (α− n+ 1)

n!yn + · · · , ∀ y cu |y| < 1

pentru α = 1/3 deoarece avem f (x) = 3√x+ 2 = (x+ 2)

1/3. Se cere dezvoltarea ın jurul lui a = 6,adica trebuie sa apara termenii (x− 6)

n. Pentru a putea aplica exact dezvoltarea de mai sus scriem

(x+ 2)1/3

= ((x− 6) + 6 + 2)1/3

= (8 + (x− 6))1/3

= 81/3(

1 +x− 6

8

)1/3

deci are loc3√x+ 2 = 2

(1 +

x− 6

8

)1/3

Acum trebuie scrisa dezvoltarea binomiala pentru α = 1/3 si de ınlocuit y =x− 6

8.

12

Lucia

n Mati

ciuc

f lucian - facultatea de matematica iasimaticiuc/didactic/msi_curs x_serii de puteri.pdf · precum...

Documents