capitolul iv: derivate si diferent¸iale lect. dr. lucian ...maticiuc/didactic/msi_curs vii, viii,...

Capitolul IV: Derivate si diferentiale Lect. dr. Lucian Maticiuc

Facultatea de Hidrotehnica, Geodeziesi Ingineria MediuluiMatematici Superioare, Semestrul I,Lector dr. Lucian MATICIUC

CURS VII-IX

Capitolul IV: Functii derivabile. Derivate si diferentiale

1 Derivata unei functii. Interpretarea geometrica

Fie f : I → R, unde I este un interval si fie a ∈ I . Definim functia R : I r {a} → R prin

R (x) :=f (x)− f (a)

x− a.

Ne intereseaza problema existentei limitei acestei functii ın punctul a (avand ın vedere ca a este,evident, punct de acumulare pentru multimea I r {a}).

Definitia 1 Spunem ca functia f : I → R este derivabila ın punctul a ∈ I daca raportul R (x) are limitafinita ın punctul a (adica daca ∃ limx→a

f(x)−f(a)x−a ∈ R). Limita se va numi derivata functiei f ın punctul

a si se va nota cu f ′ (a). Deci

f ′ (a) = limx→a

f (x)− f (a)

x− aDerivata se mai noteaza si cu df

dx (a) .

Remarca 2 Se vede imediat ca daca notam cu h := x− a obtinem ca x → a ⇔ h → 0 (si evident a+ heste tot din I). Deci

f ′ (a) = limh→0

f (h+ a)− f (a)

h.

Remarca 3 Putem nota si ın modul urmator:

∆x : = x− a,∆f : = f (x)− f (a) ,

deci obtinem egalitatilex = a+ ∆x, f (x) = f (a) + ∆f

Ne intereseaza limita cantitatii

∆f

∆x=f (x)− f (a)

x− a=f (a+ ∆x)− f (a)

∆x.

Decif ′ (a) = lim

∆x→0

f (a+ ∆x)− f (a)

∆x

Remarca 4 Daca functia f admite derivata ın punctul a, atunci graficul sau admite tangenta ın punctulM (a, f (a)) de pe grafic. Daca derivata f ′ (a) este finita atunci panta acestei drepte este egala cu f ′ (a);daca derivata este inifinta, tangenta este paralela cu axa Oy (tangenta este verticala, adica panta esteinfinita).

1

Lucia

n Mati

ciuc


Remarca 5 Vezi si desenul cu cele doua puncte M (a, f (a)), P (a+ ∆x, f (a+ ∆x)) si cu graficul(curba) y = f (x), secanta (dreapta) y = s (x) si tangenta y = t (x). Secanta este data de ecuatia

y = s (x) = f (a) +∆f

∆x(x− a) ,

y = t (x) = f (a) + f ′ (a) (x− a) .

Remarca 6 Daca s (t) reprezinta legea de miscare rectilinie neuniforma a unui mobil, atunci derivatas′ (t0) reprezinta viteza v (t0) a mobilului la momentul t0.

Definitia 7 Daca limita raportului f(x)−f(a)x−a exista dar este infinita (adica±∞) atunci spunem ca functia

are derivata (care este limita obtinuta ±∞) dar nu este derivabila.

Remarca 8 Derivata f ′ (a) poate fi definita echivalent ın urmatoarele forme (vezi definirile echivalente alelimitei unei functii):1. ∀ (xn)n ⊂ I cu xn → a si xn 6= a,

f ′ (a) = limn→∞

f (xn)− f (a)

xn − a.

2. ∀V ∈ V (f ′ (a)), ∃U ∈ V (a) astfel ıncat ∀x ∈ U ∩ I cu x 6= a, f(x)−f(a)x−a ∈ V .

3. (cazul f ′ (a) finita) ∀ε > 0, ∃δ = δ (ε) > 0 astfel ıncat ∀x ∈ I cu x 6= a si |x− a| < δ,∣∣∣ f(x)−f(a)x−a − f ′ (a)

∣∣∣ < ε.

Teorema 9 Daca functia f : I → R este derivabila ın punctul a ∈ I atunci f este continua ın a.

Demonstratie. Evident f (x) = f (a) + f(x)−f(a)x−a · (x− a) , ∀x ∈ I r {a}. Deci, avand ın vedere ca

exista finita limita f ′ (a), deducem

∃ limx→a

f (x) = limx→a

[f (a) +

f (x)− f (a)

x− a· (x− a)

]= f (a) + f ′ (a) · 0 = f (a) .

Remarca 10 Nu toate functiile continue ıntr-un punct sunt derivabile ın acel punct. De exemplu, f (x) =|x|, ∀x ∈ R. Avem, pentru a = 0,

∆f

∆x=f (x)− f (0)

x− 0=|x|x

=

{+1, daca x > 0,−1, daca x < 0,

deci nu exista limita limx→0∆f∆x adica nu exista derivata functiei |x| ın origine (dar exista derivatele

laterale).Derivabilitatea este deci o proprietate mai tare dacat continuitatea.

Definitia 11 Spunem ca f admite derivata la stanga ın punctul a daca ∃ limx→ax<a

f(x)−f(a)x−a =: f ′s (a) .

Definitia 12 Spunem ca f admite derivata la dreapta ın punctul a daca ∃ limx→ax>a

f(x)−f(a)x−a =: f ′d (a) .

Teorema 13 O functie are derivata ıntr-un punct interior a ∈ I daca si numai daca are derivate lateraleegale ın punctul a. In acest caz f ′s (a) = f ′d (a) = f ′ (a) .

Definitia 14 Daca functia f admite ın punctul a derivate laterale care sunt diferite si cel putin una dintreele este finita atunci punctul M (a, f (a)) de pe grafic se numeste punct unghiular al graficului (vezidesenul).

Definitia 15 Daca una dintre derivatele laterale este +∞ si cealalta este−∞ atunci punctulM (a, f (a))de pe grafic se numeste punct de ıntoarcere al graficului (vezi desenul).

2

Lucia

n Mati

ciuc


2 Operatii cu functii derivabile

Teorema 16 Presupunem ca functiile f, g : I → R admit derivatele f ′ (a) si g′ (a) ın punctul a ∈ I si caoperatia f ′ (a) + g′ (a) are sens. Atunci f + g are derivata ın a si are loc

(f + g)′(a) = f ′ (a) + g′ (a) .

Demonstratie. Se trece la limita ın f(x)−f(a)x−a + g(x)−g(a)

x−a .

Remarca 17 In teorema precedenta nu s-a cerut ca functiile sa fie derivabile, deci cantitatile f ′ (a) si g′ (a)sunt din R := R∪{±∞} .

Teorema 18 Presupunem ca functia f : I → R admite derivata f ′ (a) ın punctul a ∈ I . Atunci ∀C ∈ R∗,functia C · f are derivata ın a si are loc

(C · f)′(a) = C · f ′ (a) .

Demonstratie. Se trece la limita ın C · f(x)−f(a)x−a .

Propositia 19 Avand ın vedere cele doua teoreme de mai sus deducem ca operatorul de derivare esteoperator liniar (definit pe multimea functiilor derivabile). Adica pentru orice α, β ∈ R are loc egalitatea

(αf + βg)′(a) = αf ′ (a) + βg′ (a) .

Teorema 20 Presupunem ca functiile f, g : I → R sunt derivabile (admite derivate care sunt finite) ınpunctul a ∈ I . Atunci f · g este derivabila ın a si are loc

(f · g)′(a) = f ′ (a) g (a) + f (a) g′ (a) .

Demonstratie. Se trece la limita ın egalitatea

f (x) g (x)− f (a) g (x) + f (a) g (x)− f (a) g (a)

x− a=f (x)− f (a)

x− ag (x) + f (a)

g (x)− g (a)

x− a.

Teorema 21 Presupunem ca functiile f, g : I → R sunt derivabile (admite derivate care sunt finite) ınpunctul a ∈ I si ca g′ (a) 6= 0. Atunci fg este derivabila ın a si are loc(

f

g

)′(a) =

f ′ (a) g (a)− f (a) g′ (a)

g2 (a).

Demonstratie. Se trece la limita ın

fg (x)− f

g (a)

x− a=

1

g (x) g (a)

f (x) g (a)− f (a) g (a) + f (a) g (a)− f (a) g (x)

x− a

=1

g (x) g (a)

[f (x)− f (a)

x− ag (a)− f (a)

g (x)− g (a)

x− a

].

Teorema 22 Presupunem ca functia g : I → R este derivabila (admite derivata care este finita) ın punctula ∈ I si ca f : J → R este derivabila ın punctul g (a) ∈ J . Atunci functia compusa (f ◦ g) (x) :=f (g (x)) este derivabila ın a si are loc

(f ◦ g)′(a) = f ′ (g (a)) · g′ (a)

(fara demonstratie).

3

Lucia

n Mati

ciuc


Teorema 23 Fie f : I → J o functie strict monotona astfel ıncat J = f (I) (atunci f este bijectie). Dacaf este derivabila ın punctul x0 ∈ I astfel ıncat f ′ (x0) 6= 0, atunci functia sa inversa f−1 : J → I estederivabila ın y0 = f (x0) ∈ J si (

f−1)′

(y0) =1

f ′ (x0)


Remarca 24 Avem evident relatia(f−1 ◦ f

)(x) = x ( =

(f ◦ f−1

)(x)). Derivam acum aceasta compu-

nere ın raport cu x (folosind Teorema 22) si obtinem identitatea(f−1 ◦ f

)′(x0) =

(f−1

)′(f (x0)) · f ′ (x0) = 1

3 Derivatele functiilor elementare

Vom da mai ıntai demonstratii ale derivatelor catorva functii elementare.

• Fie functiile afine f (x) = ax+ b, ∀x ∈ R si fie x0 ∈ R arbitrar ales. Atunci

f ′ (x0) = lim∆x→0

[a (x0 + ∆x) + b]− [ax0 + b]

∆x= lim

∆x→0

a∆x

∆x= lim

∆x→0a = a

• Fie f (x) = x2, ∀x ∈ R si fie x0 ∈ R arbitrar ales. Atunci

f ′ (x0) = lim∆x→0

(x0 + ∆x)2 − x2

0

∆x= lim

∆x→0

2x0 ·∆x+ (∆x)2

∆x= lim

∆x→0(2x0 + ∆x) = 2x0.

Deci obtinem derivata(x2)′

= 2x.

• Fie f (x) = xn, ∀x ∈ R cu n ∈ N∗, si fie x0 ∈ R arbitrar ales. Atunci

f ′ (x0) = lim∆x→0

(x0 + ∆x)n − xn0

∆x

= lim∆x→0

xn0 + C1nx

n−10 ∆x+ C2

nxn−20 (∆x)

2+ · · ·+ Cn−1

n x0 (∆x)n−1

+ (∆x)n − xn0

∆x

= lim∆x→0

(C1nx

n−10 + C2

nxn−20 ∆x+ · · ·+ Cn−1

n x0 (∆x)n−2

+ (∆x)n−1)

= C1nx

n−10 = nxn−1

0 .

Deci obtinem derivata (xn)′

= nxn−1.

• Mai general, fie f (x) = xα, ∀x ∈ R+ cu α ∈ R si fie x0 ∈ R∗+ arbitrar ales. Atunci

f ′ (x0) = lim∆x→0

(x0 + ∆x)α − xα0

∆x= lim

∆x→0

xα0

[(1 + ∆x

x0

)α− 1]

∆x= xα−1

0 lim∆x→0

(1 + ∆x

x0

)α− 1

∆xx0

= (notez y :=∆x

x0) = xα−1

0 limy→0

(1 + y)α − 1

y= (folosesc limita fundamentala)

= xα−10 · α

Deci obtinem derivata (xα)′

= αxα−1.

Deducem astfel ca (√x)′

= 12√x

, valabila pentru orice x ∈ R∗+ = (0,+∞) dar de asemenea,

se poate demonstra ca egalitatea(

3√x5)′

=(x5/3

)′= 5

3x2/3 este valabila pentru orice x ∈

R = (−∞,+∞) .

4

Lucia

n Mati

ciuc


• (Tema) demonstrati formula(ax)

′= ax ln a

Putem astfel demonstra/deduce derivatele tuturor functiilor elementare:

1. fie f : R→ R, f (x) = C. Atunci, pentru orice x, exista f ′ (x) = 0.

2. fie f : R→ R, f (x) = x. Atunci, pentru orice x, exista f ′ (x) = 1.

3. fie f : R→ R, f (x) = xn, cu n ∈ N∗. Atunci, pentru orice x, exista f ′ (x) = nxn−1.

4. fie f : R+ → R, f (x) =√x. Atunci, pentru orice x ∈ R∗+, exista f ′ (x) = 1

2√x.

5. fie f : R+ → R, f (x) = n√x, cu n ∈ N∗. Atunci, pentru orice x ∈ R∗+, exista f ′ (x) = 1

nn√xn−1

.

6. fie f : R∗+ → R, f (x) = 1x . Atunci, pentru orice x ∈ R∗+, exista f ′ (x) = −1

x2 .

7. fie f : R∗+ → R, f (x) = xp, cu p ∈ R. Atunci, pentru orice x ∈ R∗+, exista f ′ (x) = pxp−1.

8. fie f : R→ R∗+, f (x) = ex. Atunci, pentru orice x ∈ R, exista f ′ (x) = ex.

9. fie f : R→ R∗+, f (x) = ax, cu a > 0. Atunci, pentru orice x ∈ R, exista f ′ (x) = ax ln a.

10. fie f : R∗+ → R, f (x) = lnx. Atunci, pentru orice x ∈ R∗+, exista f ′ (x) = 1x .

11. fie f : R∗+ → R, f (x) = loga x. Atunci, pentru orice x ∈ R∗+, exista f ′ (x) = 1x ln a .

12. fie f : R→ R, f (x) = sinx. Atunci, pentru orice x ∈ R, exista f ′ (x) = cosx.

13. fie f : R→ R, f (x) = cosx. Atunci, pentru orice x ∈ R, exista f ′ (x) = − sinx.

14. fie f : Rr{

(2k + 1) π2}→ R, f (x) = tgx. Atunci, pentru orice x ∈ Rr

{(2k + 1) π2

}, exista

f ′ (x) = 1cos2 x .

15. fie f : Rr {kπ} → R, f (x) = ctgx. Atunci, pentru orice x ∈ Rr {kπ}, exista f ′ (x) = −1sin2 x

.

16. fie f : [−1, 1] →[−π2 ,

π2

], f (x) = arcsinx. Atunci, pentru orice x ∈ (−1, 1), exista f ′ (x) =

1√1−x2

.

17. fie f : [−1, 1]→ [0, π], f (x) = arccosx. Atunci, pentru orice x ∈ (−1, 1), exista f ′ (x) = −1√1−x2

.

18. fie f : R→(−π2 ,

π2

), f (x) = arctgx. Atunci, pentru orice x, exista f ′ (x) = 1

1+x2 .

19. fie f : R→ (0, π), f (x) = arcctgx. Atunci, pentru orice x, exista f ′ (x) = −11+x2 .

Remarca 25 Toate formulele de mai sus se rescriu imediat (adaugand u′ ın dreapta) ın cazul compuneriifunctiilor elementare cu o functie u (x) . De exemplu, (arctg u)

′(x) = 1

1+u2(x) · u′ (x) .

Exemplul 26 Derivata functiei polinomiale f (x) = 3x5 − 2x4 − x3 + 3x2 − 5x+ 2 utilizeaza derivatalui xn precum si liniaritatea operatorului de derivare. Astfel:

f ′ (x) =(3x5 − 2x4 − x3 + 3x2 − 5x+ 2

)′= 15x4 − 8x3 − 3x2 + 6x− 5 + 0.

Exemplul 27 Derivata functiei rationale f (x) = x2−3x+12x−1 utilizeaza derivata lui xn precum si regula de

derivare a catului. Astfel:

f ′ (x) =

(x2 − 3x+ 1

2x− 1

)′=

(x2 − 3x+ 1

)′(2x− 1)−

(x2 − 3x+ 1

)(2x− 1)

′

(2x− 1)2

=(2x− 3) (2x− 1)−

(x2 − 3x+ 1

)2

(2x− 1)2 =

2x2 − 2x+ 1

(2x− 1)2 .

5

Lucia

n Mati

ciuc


Exemplul 28 Derivata functiei f (x) = x3 sinx utilizeaza derivata lui xn si sinx precum si regula dederivare a produsului. Astfel:

f ′ (x) =(x3 sinx

)′=(x3)′

sinx+ x3 (sinx)′

= 3x2 sinx+ x3 cosx

Exemplul 29 Derivata functiei f (x) = tgx = sin xcos x utilizeaza derivata lui sinx si cosx precum si regula

de derivare a catului. Astfel:

f ′ (x) =

(sinx

cosx

)′=

(sinx)′cosx− sinx (cosx)

′

(cosx)2 =

cos2 x+ sin2 x

(cosx)2 =

1

(cosx)2 = (sau) = 1 + tg2x

Exemplul 30 Derivata functiei f (x) =√

1− x2 utilizeaza derivata lui 1 − x2 precum si regula dederivare a compunerii de functii. Astfel f (x) =

√u (x) unde u (x) = 1− x2.

f ′ (x) =(√

u (x))′

=1

2√u (x)

u′ (x) =1

2√

1− x2

(1− x2

)′=

−x√1− x2

Exemplul 31 Derivata functiei f (x) = ecos(3x) utilizeaza regula de derivare a compunerii de functii.Astfel f (x) = eu(x) unde u (x) = cos (3x) iar u (x) = cos v (x), unde v (x) = 3x. Deci

f ′ (x) =(eu(x)

)′= eu(x) · u′ (x)

iaru′ (x) = (cos v (x))

′= − sin v (x) · v′ (x) .

Prin urmaref ′ (x) = ecos(3x) · (− sin (3x)) · 3 = −3 sin (3x) ecos(3x).

Exemplul 32 Derivata functiei g (x) = ln f (x) este imediata:

(ln f)′

=f ′

f

4 Proprietati ale functiilor derivabile

Fie f : I → R, unde I este un interval si fie a ∈ I .

Definitia 33 Spunem a este un punct de minim local al functiei f daca ∃U ∈ V (a) astfel ıncat

f (x) ≥ f (a) , ∀x ∈ U ∩ I.

Definitia 34 Spunem a este un punct de maxim local al functiei f daca ∃U ∈ V (a) astfel ıncat

f (x) ≤ f (a) , ∀x ∈ U ∩ I.

Definitia 35 Punctele de minim sau maxim (local) se numesc puncte de extrem (local).

Teorema 36 (lui Fermat) Daca f are derivata ıntr-un punct a din interiorul intervalului I care estepunct de extrem local atunci derivata sa este nula ın acest punct.

6

Lucia

n Mati

ciuc


Demonstratie. Presupunem ca a este punct de maxim local. Atunci, exista o vecinatate U a lui a(U ∈ V (a)) astfel ıncat

f (x) ≤ f (a) , ∀x ∈ U ∩ I.

Pentru x < a avem ca∆f

∆x=f (x)− f (a)

x− a≥ 0

deci trecand la limita avem ca

f ′s (a) = limx→ax<a

f (x)− f (a)

x− a≥ 0.

Pentru x > a avem ca∆f

∆x=f (x)− f (a)

x− a≤ 0

deci trecand la limita avem ca

f ′d (a) = limx→ax<a

f (x)− f (a)

x− a≤ 0.

Dar derivata f ′ (a) exista deci

f ′ (a) = f ′s (a) = f ′d (a) (poz. si neg. ın acelasi timp)

ceea ce ınseamna ca derivata f ′ (a) = 0.

Definitia 37 Punctele ın care functia este derivabila si pentru care derivata se anuleaza se numesc punctecritice; deci Th. lui Fermat spune ca punctele de extrem (ın care functia este derivabila) sunt printrepunctele critice.

Remarca 38 1. daca punctul de extrem nu se afla ın interiorul intervalului ci la o extremitate a sa atuncieste posibil ca derivata sa nu se anuleze ın acel punct.2. functia f poate avea extrem ıntr-un punct fara ca ea sa admita derivata ın acel punct (de exemplu functiaf (x) = |x|).3. recoproca teoremei lui Fermat nu este adevarata; exista deci punte ın care derivata este nula dar punctulnu este de extrem (de exemplu functia f (x) = x3 care este strict crescatoare pe R iar 0 este punct critic).

Teorema 39 (lui Rolle) Fie a, b ∈ I cu a < b. Presupunem ca:1. f este continua pe [a, b],2. f este derivabila pe (a, b),3. f (a) = f (b).Atunci exista cel putin un punct c ∈ (a, b) astfel ıncat f ′ (c) = 0.

Demonstratie. Conform teoremei lui Weierstrass avem ca f ([a, b]) este intervalul [m.M ] astfelıncat valorile maxime sunt atinse de puncte din [a, b]; mai precis, exista punctele de extrem (glo-bal) xm, xM ∈ [a, b] astfel ıncat

f (xm) = minx∈[a,b]

f (x) := m,

f (xM ) = maxx∈[a,b]

f (x) := M

Acum daca m = M atunci f este constanta pe [a, b] deci f ′ = 0 pe [a, b]. Deci prespunem cam < M . Deoarece f (a) = f (b) avem fie

f (a) = f (b) < M

7

Lucia

n Mati

ciuc


fief (a) = f (b) > m.

Daca f (a) = f (b) < M atunci xM nu poate fi a sau b deci xM ∈ (a, b) si, avand ın vedere caf este derivabila ın punctul de maxim xM deducem (din teorema lui Fermat) ca xM este punctcritic, adica f ′ (xM ) = 0.

Daca f (a) = f (b) > m atunci xm nu poate fi a sau b deci xm ∈ (a, b) si, avand ın vedere caf este derivabila ın punctul de minim xm deducem (din teorema lui Fermat) ca xm este punctcritic, adica f ′ (xm) = 0.

Remarca 40 1. conditia ca domeniul sa fie interval este esentiala pentru valabilitatea teoremei lui Rolle.2. se deduce imediat ca ıntre doua radacini ale functiei f se afla cel putin o radacina a derivatei.3. deci, ıntre doua radacini consecutive ale derivatei se afla cel mult o radacina a functiei.4. (semnificatia geometrica a teoremei lui Rolle) exista cel putin un punct c ∈ (a, b) astfel ıncat tangentala graficul lui f ın punctul M (c, f (c)) este paralela cu axa Ox (vezi desenul).

Exemplul 41 Fie f (x) = x2, x ∈ [−1, 1]. Atunci f este evident derivabila si continua pe [−1, 1].Ecuatia f ′ (x) = 0 are exact o solutie ın intervalul [−1, 1] (punctul c = 0).

Exemplul 42 Fie f (x) = x sin πx , x ∈ (0, 1]. Avem ca f

(1

n+1

)= f

(1n

), ∀n ∈ N∗ iar f este evident

derivabila si continua pe[

1n+1 ,

1n

]. Deci f ′ = 0 are cel putin o solutie xn ın intervalul

(1

n+1 ,1n

). Deci

ecuatia f ′ (x) = 0 are o infinitate numarabila de solutii ın intervalul (0, 1).

Teorema 43 (cresterilor finite a lui Lagrange) Fie a, b ∈ I cu a < b. Presupunem ca:1. f este continua pe [a, b],2. f este derivabila pe (a, b),Atunci exista cel putin un punct c ∈ (a, b) astfel ıncat sa avem

f (b)− f (a)

b− a= f ′ (c)

Demonstratie. Definim functia g : I → R, g (x) := f(b)−f(a)b−a · (x− a) − f (x). Evident g este

contiunua pe [a, b] si derivabila pe (a, b) (datorita lui f ). In plus, g (a) = g (b) = −f (a). Aplicandacum Teorema lui Rolle obtinem ca ∃c ∈ (a, b) astfel ıncat

g′ (c) = 0⇔ f (b)− f (a)

b− a· 1− f ′ (c) = 0⇔ f (b)− f (a)

b− a= f ′ (c)

Remarca 44 1. formula de mai sus se numeste formula cresterilor finite.2. daca graficul functiei f admite tangenta ın fiecare punct (cu exceptia eventuala a extremitatilor) atunciexista cel putin un punct de pe grafic (care nu coincide cu extremitatile) ın care tangenta este paralela cucoarda care uneste extremitatile (vezi desenul).3. (semnificatia geometrica a teoremei lui Lagrange) exista cel putin un punct c ∈ (a, b) astfel ıncattangenta la graficul lui f ın punctul M (c, f (c)) este paralela cu dreapta care uneste punctele A (a, f (a))si B (b, f (b)) (vezi desenul).

Exemplul 45 Fie f : R∗+ → R, f (x) = lnx. Evidedent ∃f ′ (x) = 1x , ∀x ∈ R∗+. Fie acum 0 < a < b <

+∞. Aplicand Teorema lui Lagrange obtinem ca ∃c ∈ (a, b) astfel ıncat

f (b)− f (a)

b− a= f ′ (c)⇔ ln b− ln a

b− a=

1

c⇔ ln b− ln a =

b− ac

.

8

Lucia

n Mati

ciuc


Deoarece 1b <

1c <

1a rezulta inegalitatea

b− ab

< ln b− ln a <b− aa

, ∀0 < a < b < +∞.

In particular pentru a = 1 si b = x+ 1 > 0 rezulta inegalitatea

x

1 + x< ln (1 + x) < x, ∀x ∈ (−1,+∞) .

In particular pentru a = x > 0 si b = x+ 1 > 0 rezulta inegalitatea

1

1 + x< ln (1 + x)− lnx <

1

x, ∀x ∈ (0,+∞) .

Teorema 46 (prima consecinta a Teoremei lui Lagrange) Fie f derivabila pe un interval I . Atuncif constanta pe I ⇔ f ′ = 0 pe I .

Demonstratie. Fie a ∈ I fixat si x ∈ I oarecare x 6= a. Atunci, aplicand Teorema lui Lagrange,obtin ca ∃ξ ∈ (a, x) (sau ın (x, a)) astfel ıncat f(x)−f(a)

x−a = f ′ (ξ) ≡ 0, deci f (x) = f (a) .

Remarca 47 Daca f are derivata nula nu pe un interval (ci, spre exemplu, pe o reuniune de intervale)atunci f nu este constanta pe acea multime.

Teorema 48 (a doua consecinta a Teoremei lui Lagrange) Fie f derivabila pe un interval I . Atunci1. f (strict) crescatoare pe I ⇔ f ′ este (strict) pozitiva pe I ,2. f (strict) descrescatoare pe I ⇔ f ′ este (strict) negativa pe I .

Demonstratie. 1.

“⇒” Fie x0 ∈ I din interiorul intervalului I . Atunci f(x)−f(x0)x−x0

≥ 0, ∀x ∈ I cu x > x0. Deci

f ′ (x0) = f ′d (x0) = limx→x0x>x0

f (x)− f (x0)

x− x0≥ 0.

“⇐” Presupunem ca f ′ ≥ 0 pe I si fie x1 < x2 din I arbitrari alesi. Atunci, aplicand Teorema luiLagrange pe [x1, x2] deducem ca ∃c ∈ (x1, x2) astfel ıncat

f (x2)− f (x1) = (x2 − x1) f ′ (c) .

Deoarece f ′ (c) ≥ 0 obtinem f (x2)− f (x1) ≥ 0.

Corolarul 49 Daca derivata f ′ nu se anuleaza pe I atunci f este strict monotona pe I.

Exemplul 50 Vom arata inegalitatea

ex > 1 + x, ∀x ∈ R∗

Sa notam cu f (x) = ex − x− 1, ∀x ∈ R. Calculam f ′ (x) = ex − 1 care are semnul

f ′ (x) =

> 0, daca x > 0,

< 0, daca x < 0,

= 0, daca x = 0,

deci, aplicand consecinta teoremei lui Lagrange, obtinem ca

f =

{strict cresc. pe (0,+∞) ,

strict descresc. pe (−∞, 0) .

9

Lucia

n Mati

ciuc


Atunci f (x) > f (0) = 0, ∀x > 0 si f (x) > f (0) = 0, ∀x < 0, adica f (x) > 0, ∀x ∈ R∗ si atingevaloarea 0 doar ın x = 0.

Deciex − x− 1 > 0, ∀x ∈ R∗.

Exemplul 51 Vom arata inegalitateaex ≥ xe, ∀x ∈ R∗+

si faptul ca e este singurul numar care verifica egalitatea.Sa notam cu f (x) = ln x

x , ∀x ∈ R∗+. Calculam f ′ (x) = 1−ln xx2 care are semnul

f ′ (x) =

> 0, daca x ∈ (0, e) ,

< 0, daca x ∈ (e,+∞) ,

= 0, daca x = 1,

deci, aplicand consecinta teoremei lui Lagrange, obtinem ca

f =

{strict cresc. pe (0, e) ,

strict descresc. pe (e,+∞) .

Atunci f (x) < f (e) = 1/e, ∀x ∈ (0, e) si f (x) < f (e) = 1/e, ∀x ∈ (e,+∞), adica f (x) < 1/e,∀x ∈ R∗+ r {e} si atinge valoarea 1/e doar ın x = e.

Deci ∀x ∈ R∗+ r {e}

lnx

x<

1

e⇔ e lnx < x⇔ lnxe < x⇔ xe < ex.

Teorema 52 (a treia consecinta a Teoremei lui Lagrange) Fie f continua pe un interval I si deriva-bila pe I r {x0}. Daca exista limx→x0

f ′ (x) atunci exista si f ′ (x0) si

f ′ (x0) = limx→x0

f ′ (x) .


Exemplul 53 Fie

f (x) =

{a sin (2x)− 4, daca x < 0,

b (x− 1) + ex, daca x ≥ 0.

Daca dorim ca f sa fie derivabila ın origine atunci trebuie mai ıntai ca f sa fie continua ın origine; calculez

f (0− 0) : = limx→0x<0

f (x) = −4

f (0 + 0) : = limx→0x>0

f (x) = −b+ 1

deci impun ca−4 = −b+ 1⇔ b = 5.

Acum calculez

f ′ (x) =

{2a cos (2x) , daca x < 0,

5 + ex, daca x > 0.

si limitele

f ′s (x) = limx→0x<0

f ′ (x) = 2a,

f ′d (x) = limx→0x>0

f ′ (x) = 6.

10

Lucia

n Mati

ciuc


Impun acum ca sa existe limx→0

f ′ (x) = limx→0x<0

f ′s (x) = limx→0x>0

f ′d (x) adica a = 3 si deci limx→0

f ′ (x) = 6. In

concluzie, pentru a = 3, b = 5 functia f este continua si derivabila ın 0 si derivata este data de

f ′ (x) =

{6 cos (2x) , daca x < 0,

5 + ex, daca x ≥ 0.

Teorema 54 (lui Cauchy) Fie f, g : I → R si a, b ∈ I cu a < b. Presupunem ca:1. f, g sunt continue pe [a, b],2. f, g sunt derivabile pe (a, b),3. g′ (x) 6= 0, ∀x ∈ (a, b).Atunci exista cel putin un punct c ∈ (a, b) astfel ıncat sa avem

f (b)− f (a)

g (b)− g (a)=f ′ (c)

g′ (c).

Demonstratie. Evident, din Teorema lui Rolle, g (a) 6= g (b) (altfel ar exista un punct ın carederivata g′ se anuleaza). Definim functia h : I → R,

h (x) := [f (b)− f (a)] · [g (x)− g (a)]− [g (b)− g (a)] · [f (x)− f (a)] .

Evident h este contiunua pe [a, b] si derivabila pe (a, b) (datorita lui f si g). Aplicand acum Teo-rema lui Rolle obtinem ca ∃c ∈ (a, b) astfel ıncat

h′ (c) = 0⇔ [f (b)− f (a)] · g′ (c)− [g (b)− g (a)] · f ′ (c) = 0⇔ f (b)− f (a)

g (b)− g (a)=f ′ (c)

g′ (c)

5 Teorema lui l’Hopital

Teorema 55 Fie f, g doua functii definite pe o vecinatate a lui a (exceptand eventual a) astfel ıncat

limx→a

f (x) = limx→a

g (x) = `

unde ` este 0, −∞ sau +∞. Daca sunt derivabile ın vecinatatea lui a (exceptand eventual a) astfel ıncatg′ (x) 6= 0, ∀x 6= a, si daca

exista limita limx→a

f ′ (x)

g′ (x)= L , finita sau infinita,

atunci exista si limita limx→af(x)g(x) si este egala tot cu L, adica

limx→a

f (x)

g (x)= limx→a

f ′ (x)

g′ (x)= L


Remarca 56 1. Teorema lui l’Hopital se poate aplica de mai multe ori, de exemplu,

limx→a

f (x)

g (x)= limx→a

f ′ (x)

g′ (x)= limx→a

f ′′ (x)

g′′ (x)= L

2. Teorema lui l’Hopital se poate aplica si ın celelalte cazuri de nedeterminari.Astfel, ın cazul 0 · ∞ se poate utiliza identitatea f · g = f

1g

In cazul 00,∞0, 1∞ se poate utiliza identitatea fg = eln fg

= eg ln f

11

Lucia

n Mati

ciuc


Exemplul 57 Pentru fractia e2x−e−2x

sin(5x) observam ca suntem ın conditiile teoremei lui l’Hopital deci

limx→0

e2x − e−2x

sin (5x)

00= limx→0

2e2x + 2e−2x

5 cos (5x)=

2e0 + 2e0

5 cos 0=

4

5.

Exemplul 58 Pentru fractia 1+3x−√

(1+2x)3

x sin x observam ca suntem ın conditiile teoremei lui l’Hopital deci

limx→0

1 + 3x−√

(1 + 2x)3

x sinx

00= limx→0

3− 32 (1 + 2x)

32−1

(1 + 2x)′

sinx+ x cosx= limx→0

3− 3 (1 + 2x)1/2

sinx+ x cosx.

Acum aplicam ınca o data teorema lui l’Hopital si obtin

limx→0

3− 3 (1 + 2x)1/2

sinx+ x cosx

00= limx→0

−3 12 (1 + 2x)

12−1

(1 + 2x)′

cosx+ cosx+ x (− sinx)= limx→0

−3 (1 + 2x)−12

2 cosx− x sinx=−3 (1 + 0)

−12

2 cos 0− 0 sin 0=−3

2

deci

limx→0

1 + 3x−√

(1 + 2x)3

x sinx= limx→0

f (x)

g (x)= limx→0

f ′ (x)

g′ (x)= limx→0

f ′′ (x)

g′′ (x)=−3

2.

Exemplul 59 Pentru a demonstra ca

limx→0

sinx

x

00= 1

suntem ın conditiile teoremei lui l’Hopital. Daca o aplicam obtinem

limx→0

sinx

x= limx→0

(sinx)′

x′= limx→0

cosx

1= cos 0 = 1.

Remarcam ca rationamentul este gresit (este un “cerc vicios”) deoarece pentru a demonstra ca derivata luisin este cos se foloseste aceasta limita fundamentala (limx→0

sin xx ).

Exemplul 60 Pentru a calcula limita

limx→+∞

x+ sinx

2x+ cosx

nu putem aplica l’Hopital deoarece nu exista limx→+∞ sinx (vezi capitolele precedente). Limita se varezolva astfel

limx→+∞

x+ sinx

2x+ cosx= limx→+∞

1 + sin xx

2 + cos xx

=1 + 0

2 + 0=

1

2,

deoarece avem

0 ≤ limx→+∞

∣∣∣∣ sinxx∣∣∣∣ ≤ lim

x→+∞

1

|x|= 0⇒ lim

x→+∞

sinx

x= 0.

Exemplul 61 (Tema) Calculati

limx→+∞

x+ sinx

x− sinx.

Exemplul 62 (Tema) Aplicati l’Hopital pentru a demonstra

limx→+∞

ex

xα= +∞, lim

x→+∞

lnx

xα= 0,

12

Lucia

n Mati

ciuc


6 Derivate de ordin superior. Formula lui Taylor

Definitia 63 Fie f o functie derivabila ıntr-o vecinatate a lui a astfel ıncat derivata f ′ sa fie definita pe ovecinatate a lui a. Daca f ′ este derivabila ın a atunci spunem ca f este de doua ori derivabila ın a. Vomnota cu

f ′′ (a) = (f ′)′(a)

derivata secunda a lui f ın a.

Remarca 64 Vom nota derivata secunda si cu

f (2) (a) sau cud2f

dx2(a) .

Derivata de ordin trei va fi definita ca

f (3) (a) = f ′′′ (a) := (f ′′)′(a) .

Definitia 65 In general, fie f o functie derivabila de (k − 1) ori ıntr-o vecinatate a lui a astfel ıncatderivata f (k−1) sa fie definita pe o vecinatate a lui a. Daca f (k−1) este derivabila ın a atunci spunem ca feste de k ori derivabila ın a. Vom nota cu

f (k) (a) =(f (k−1)

)′(a)

derivata de ordin k a lui f ın a.

Remarca 66 Vom nota derivata de ordin k si cu

dkf

dxk(a) .

Exemplul 67 Fie f : R→ R, f (x) = xn cu n ∈ N∗ fixat. Atunci, pentru k ≤ n,

f ′ (x) = nxn−1

f ′′ (x) = n (n− 1)xn−2

f (3) (x) = n (n− 1) (n− 2)xn−3

...f (k) (x) = n (n− 1) (n− 2) · · · (n− k + 1)xn−k.

Pentru k ≥ n+ 1 obtinem caf (k) (x) = 0.

Exemplul 68 Fie f : R→ R, f (x) = sinx. Atunci

f ′ (x) = cosx = sin(x+

π

2

)f ′′ (x) = − sinx = sin

(x+ 2

π

2

)f (3) (x) = − cosx = sin

(x+ 3

π

2

)f (4) (x) = sinx = sin

(x+ 4

π

2

)...

f (k) (x) = sin(x+ k

π

2

).

13

Lucia

n Mati

ciuc


Exemplul 69 (Tema) Fie f : R→ R, f (x) = cosx. Demonstrati ca

f (k) (x) = cos(x+ k

π

2

).

Exemplul 70 Fie f : R→ R, f (x) = ex. Atunci

f ′ (x) = ex

f ′′ (x) = ex

...f (k) (x) = ex.

Definitia 71 Fie f : I → R derivabila de n ori si cu derivatele continue pe I . Presupunem ca derivata deordin (n+ 1) exista ın fiecare punct din I . Polinomul

Tn (x) = f (a) +f ′ (a)

1!(x− a) +

f ′′ (a)

2!(x− a)

2+f ′′′ (a)

3!(x− a)

3+ + · · ·+ f (n) (a)

n!(x− a)

n

se numeste polinomul Taylor de grad n, atasat functiei f ın punctul a.

Definitia 72 (Formula lui Taylor) Daca f : I → R este o functie de (n+ 1) ori derivabila pe I atuncipentru oricare doua puncte x, a ∈ I formula

f (x) = f (a) +f ′ (a)

1!(x− a) +

f ′′ (a)

2!(x− a)

2+f ′′′ (a)

3!(x− a)

3+ · · ·

+f (n) (a)

n!(x− a)

n+Rn (x)

se numeste formula lui Taylor de ordin n corespunzatoare functiei f ın punctul a. Cantitatea Rn (x) senumeste restul de ordin n din formula Taylor si are diverse forme de exprimare

Teorema 73 Restul de ordin n din formula lui Taylor este dat de urmatoarele formule:

(a) Rn (x) =(x− a) (x− ξ)n

n!f (n+1) (ξ) (restul lui Cauchy)

(b) Rn (x) =(x− a)

n+1

(n+ 1)!f (n+1) (ξ) (restul lui Lagrange),

unde ξ este un punct ıntre a si x.

7 Diferentiale

Fie f : I → R cu I interval si a ∈ I .

Definitia 74 Spunem ca f este diferentiabila ın punctul a ∈ I daca exista numarul finit A ∈ R si functiaα : I → R continua ın a astfel ıncat α (a) = 0 si, ∀x ∈ I,

f (x) = f (a) +A (x− a) + α (x) (x− a) .

Teorema 75 Functia f este diferentiabila ın a ∈ I daca si numai daca f este derivabila ın a.

14

Lucia

n Mati

ciuc


Demonstratie. “⇒” Presupunem ca f este diferentiabila ın a. Pentru x 6= a, avem ca

f (x)− f (a)

x− a= A+ α (x)

deci, α fiind continua ın a, obtinem ca

limx→a

f (x)− f (a)

x− a= limx→a

(A+ α (x)) = A+ limx→a

α (x) = A+ α (a) = A.

“⇐” Presupunem ca f este derivabila ın a. Atunci

f ′ (a) = limx→a

f (x)− f (a)

x− a

si definim functia α : I → R astfel

α (x) =

{f(x)−f(a)

x−a − f ′ (a) , daca x 6= a

0, daca x = a.(1)

Deci

limx→a

α (x) = limx→a

(f (x)− f (a)

x− a− f ′ (a)

)= 0 =: α (a) ,

adica functia α satisface conitia de continuitate ın a si de anulare ın a.Conform definitiei (1) a lui α avem egalitatea (valabila ∀x 6= a si evidenta pentru x = a)

f (x) = f (a) +A (x− a) + α (x) (x− a) .

Remarca 76 Functia f este deci diferentiabila ın a daca si numai daca

f (x) = f (a) + f ′ (a) (x− a) + α (x) (x− a) ,

undelimx→a

α (x) = α (a) = 0.

Remarca 77 Deoarecef (x)− f (a) = [f ′ (a) + α (x)] (x− a)

deducem ca pentru valori ale lui x suficient de aproape de a,

f (x)− f (a) ' f ′ (a) (x− a)

(tinem cont de continuitatea lui α si de α (a) = 0).Notand h : x− a, obtinem aproximarea

f (a+ h)− f (a) ' f ′ (a) · h.

Definitia 78 Functia liniara h 7−→ f ′ (a) · h definita pentru ∀h ∈ R, se numeste diferentiala functiei fın punctul a si se va nota cu

df (a) .

Decidf (a) (h) := f ′ (a) · h

15

Lucia

n Mati

ciuc


Definitia 79 Pentru un punct oarecare x ∈ I ,

df (x) (h) = f ′ (x) h.

Pe de alta parte, luand g (x) = x (identitatea) obtinem

dg (x) (h) = dx (h) = h

deci are locdf (x) (h) = f ′ (x) dx (h) .

Definitia 80 (Formula de calcul a diferentialei unei functii ıntr-un punct) Acum daca nu ıl maiscriem pe h, obtinem scrierea

df (x) = f ′ (x) dx.

Definitia 81 In conditiile ın care exista derivata secunda a lui f ın a putem scrie dieferentiala de ordinuldoi notata

d2f (a) := f ′ (a) dx2.

In generaldkf (a) := f (k) (a) dxk.

Exemplul 82 Sa calculam diferentiala

d(

arctg(√

1 + x2))

=(

arctg(√

1 + x2))′

dx =1

1 +(√

1 + x2)2 (√1 + x2

)′dx

=1

1 + 1 + x2

1

2√

1 + x22x dx =

1

2 + x2

x√1 + x2

dx.

16

Lucia

n Mati

ciuc

capitolul iv: derivate si diferent¸iale lect. dr. lucian ...maticiuc/didactic/msi_curs vii, viii,...

Documents