lucian - facultatea de matematica iasimaticiuc/didactic/msi_curs xi...capitolul vi: funct¸ii de mai...
TRANSCRIPT
-
Capitolul VI: Funcţii de mai multe variabilei Lect. dr. Lucian Maticiuc
Facultatea de Hidrotehnică, Geodezieşi Ingineria MediuluiMatematici Superioare, Semestrul I,Lector dr. Lucian MATICIUC
CURS XI-XIII
Capitolul VI: Funcţii de mai multe variabile
1 Spaţiul Rn
Definiţia 1 Definim mulţimea Rn := R× R× · · · × R︸ ︷︷ ︸de n ori
. Elementele sale se numesc puncte. Vom nota cu
x ∈ Rn, n-uplu x = (x1, x2, . . . , xn), unde xi ∈ R, cu i = 1, n, se numesc coordonatele lui xi.
Remarca 2 Mulţimea Rn este spaţiu vectorial ı̂n raport cu operaţia internă de adunare
a+ b = (a1, a2, . . . , an) + (b1, b2, . . . , bn) := (a1 + b1, a2 + b2, . . . , an + bn) .
şi cu operaţia externă de ı̂nmulţire cu scalari
λ · a = λ · (a1, a2, . . . , an) := (λa1, λa2, . . . , λan) .
Remarca 3 Punctele a ∈ Rn se mai numesc vectori; pentru i = 1, n, valorile ai se numesc coordonatelevectorului a.
Remarca 4 Spaţiul vectorial Rn este de dimensiune n. Într-adevăr, se poate arăta că următorii nvectori
e1 := (1, 0, 0, . . . , 0, 0)
e2 := (0, 1, 0, . . . , 0, 0)
...en−1 := (0, 0, 0, . . . , 1, 0)
en := (0, 0, 0, . . . , 0, 1)
formează o bază (numită şi baza canonică) ı̂n spaţiul Rn. Deci dacă a = (a1, a2, . . . , an) atunci, de fapt,
a = (a1, 0, 0, . . . , 0, 0) + (0, a2, 0, . . . , 0, 0) + · · ·+ (0, 0, 0 . . . , an−1, 0) + (0, 0, 0 . . . , 0, an)= a1 (1, 0, 0, . . . , 0, 0) + a2 (0, 1, 0, . . . , 0, 0) + · · ·+ an−1 (0, 0, 0 . . . , 1, 0) + an (0, 0, 0 . . . , 0, 1)= a1e1 + a2e2 + · · ·+ an−1en−1 + anen
=n∑i=1
aiei .
Remarca 5 În spaţiul R3 vectorii bazei canonice se mai notează şi cu ~i := (1, 0, 0), ~j := (0, 1, 0) şi~k := (0, 0, 1).
În general punctele a ∈ Rn se mai notează şi cu ~a.
1
Lucia
n Mati
ciuc
-
Capitolul VI: Funcţii de mai multe variabilei Lect. dr. Lucian Maticiuc
Definiţia 6 Fie vectorii a, b ∈ Rn. Produsul scalar al vectorilor este definit de
〈a, b〉 := a1b1 + a2b2 + a3b3 + · · ·+an−1bn−1 + anbn .
Produsul scalar se mai notează şi cu (a, b) sau cu a · b.
Exerciţiul 7 Fie baza canonică {e1, e2, er} din R3. Calculaţi produsele scalare
〈e1, e1〉 , 〈e1, e2〉 , 〈e1, e3〉 ,〈e2, e1〉 , 〈e2, e2〉 , 〈e2, e3〉 ,〈e3, e1〉 , 〈e3, e2〉 , 〈e3, e3〉 ,
Exerciţiul 8 (mai general) Calculaţi produsul scalar 〈ei, ej〉 unde {ei}i=1,n este baza canonică din Rn.
Definiţia 9 Fie a ∈ Rn. Norma (euclidiană a) vectorului a este numărul definit de
‖a‖ :=√〈a, a〉
adică‖a‖ =
√a21 + a
22 + a
23 + · · ·+a2n−1 + a2n .
Exerciţiul 10 Calculaţi norma vectorilor bazei canonice din R3. Calculaţi norma vectorilor bazei canonicedin Rn.
Exerciţiul 11 Calculaţi norma vectorilor a = (1, 2, 3) şi b = (2, 3, 1).
Definiţia 12 Distanţa dintre două puncte a, b ∈ Rn este numărul
d (a, b) := ‖a− b‖
adicăd (a, b) =
√(a1 − b1)2 + (a2 − b2)2 + · · ·+ (an−1 − bn−1)2 + (an − bn)2
Exerciţiul 13 Calculaţi distanţa dintre punctele a = (1, 0, 0) şi b = (0, 1, 0).
Definiţia 14 Se numeşte bilă deschisă de centru a ∈ Rn şi rază r > 0, mulţimea
B (a, r) := {x ∈ Rn : ‖x− a‖ < r} .
Definiţia 15 Se numeşte bilă ı̂nchisă de centru a ∈ Rn şi rază r > 0, mulţimea
B̄ (a, r) := {x ∈ Rn : ‖x− a‖ ≤ r} .
Exerciţiul 16 Desenaţi B (a, r) şi B̄ (a, r) unde a ∈ R şi r = 1; a ∈ R şi r = 0.1; a ∈ R2 şi r = 1;a ∈ R3 şi r = 1.
Definiţia 17 Se numeşte vecinătate a punctului a ∈ Rn orice submulţime din Rn care conţine o bilădeschisă B (a, r) (adică V este o vecinătate a lui a dacă ∃r > 0 astfel ı̂ncât B (a, r) ⊂ V ).
Definiţia 18 Spunem că a este punct interior al mulţimii A ⊂ Rn dacă există o vecintătate V ∈ V (a)a lui a astfel ı̂ncât V ⊂ A. Mulţimea punctelor interioare se numeşte interiorul mulţimii A şi se noteazăcu Int (A).
2
Lucia
n Mati
ciuc
-
Capitolul VI: Funcţii de mai multe variabilei Lect. dr. Lucian Maticiuc
Definiţia 19 Spunem că a este punct aderent al mulţimii A ⊂ Rn dacă oricare ar fi o vecintătateV ∈ V (a) a lui a are loc că V ∩ A 6= ∅. Mulţimea punctelor aderente se numeşte aderenţa mulţimii A şise notează cu Ā.
Definiţia 20 Mulţimea A ⊂ Rn se numeşte mulţime deschisă dacă
A = Int (A) .
Definiţia 21 Mulţimea A ⊂ Rn se numeşte mulţime ı̂nchisă dacă
A = Ā .
Definiţia 22 Frontiera mulţimii A este mulţimea
Bd (A) := Ā \A.
Definiţia 23 Spunem că a este punct de acumulare al mulţimii A ⊂ Rn dacă oricare ar fi o vecintătateV ∈ V (a) a lui a, aceasta conţine cel puţin un punct x 6= a din A (adică ∀V ∈ V (a), are loc că(V \ {a}) ∩A 6= ∅).
Definiţia 24 Spunem că a este punct izolat al mulţimii A ⊂ Rn dacă a ∈ A şi a nu este punct deacumulare.
Definiţia 25 Spunem că mulţimea A ⊂ Rn este mărginită dacă există o bilă cu centrul ı̂n 0 şi de razăr > 0 care să fie inclusă ı̂n mulţimea A (adică dacă ∃r > 0 astfel ı̂ncât B (a, r) ⊂ A).
2 Şiruri de puncte din Rn
Definiţia 26 Se numeşte şir de puncte din Rn o funcţie f : N → Rn. Vom nota şirul cu (ak)k∈N (adicăak := f (k), ∀k ∈ Rn).
Remarca 27 Şirul (ak)k∈N este de forma
ak =(a1k, a
2k, a
3k, . . . , a
n−1k , a
nk
), k ∈ N
unde componentele (sau coordonatele) sunt şirurile 1-dimensionale(aik)k∈N ⊂ R, cu i = 1, n.
Definiţia 28 Punctul a ∈ Rn este limita unui şir (ak)k∈N din Rn dacă oricare ar fi ε > 0, există rangul(pragul) N (ε) ∈ N astfel ı̂ncât pentru orice k > N (ε) să avem că
‖ak − a‖ < ε.
Definiţia 29 (sau echivalent) Punctul a ∈ Rn este limita unui şir (ak)p∈N din Rn dacă ı̂n afara oricăreivecinătăţi a lui a se află cel mult un număr finit de termeni ai şirului.
Remarca 30 Problema (existenţei) limitei unui şir multidimensional se reduce la problema (existenţei)limitei şirurilor 1-dimensionale componente.
Exemplul 31 Studiaţi limita şirului definit de ak =(√k2 − 3k + 1− k, k sin 1k
)∈ R2.
3
Lucia
n Mati
ciuc
-
Capitolul VI: Funcţii de mai multe variabilei Lect. dr. Lucian Maticiuc
3 Limite de funcţii şi continuitate
Definiţia 32 O funcţie f : A ⊂ Rn → Rm se numeşte funcţie vectorială de variabilă vectorială(sau de n variabile reale). Pentru x ∈ A ⊂ Rn, vom nota cu f (x) ∈ Rm valorile funcţiei; de asemenea,f (x) = f (x1, x2, . . . , xm) = (f1 (x) , f2 (x) , . . . , fm (x)). Funcţiile fi (x) se numesc componente realeale funcţiei vectoriale f .
Definiţia 33 În cazul ı̂n care m = 1 funcţia f : A ⊂ Rn → R se numeşte funcţie reală de variabilăvectorială.
Definiţia 34 Fie f : A ⊂ Rn → Rm şi a un punct de acumulare pentru A.1. Spunem că ` ∈ Rm este limita funcţiei f ı̂n punctul a dacă pentru orice vecinătate U ∈ V (`) a lui `,există o vecinătate V ∈ V (a) a lui a astfel ı̂ncât oricare ar fi x ∈ A∩V cu x 6= a să avem f (x) ∈ U . Vomscrie
` = limx→a
f (x) .
2. Are loc că ` = limx→a f (x) dacă şi numai dacă oricare ar fi şirul (xk)k ⊂ Rn astfel ı̂ncât xk → a,xk 6= a şi xk ∈ A să avem f (xk)→ `.3. Are loc că ` = limx→a f (x) dacă şi numai dacă oricare ar fi ε > 0, există δ = δ (ε) > 0 astfel ı̂ncâtoricare ar fi x 6= a astfel ı̂ncât x ∈ A şi ‖x− a‖ < δ să avem ‖f (x)− `‖ < ε.
Remarca 35 Fie şirul notat xk =(x1k, x
2k, x
3k, . . . , x
n−1k , x
nk
), k ∈ N şi punctul a =
(a1, a2, a3, . . . , an−1, an
).
Atunci xk → a, k →∞ este echivalent cu
x1k → a1 , x2k → a2 , . . . , xnk → an , pentru k →∞.
De aceea ı̂n cazul n = 2, de exemplu, se poate scrie
limx1→ax2→a
f(x1, x2
)= `.
Toate proprietăţile limitelor de funcţii reale (care nu conţin relaţia de ordine) se păstrează şipentru funcţii vectoriale.
Teorema 36 Fie f : A ⊂ Rn → Rm şi a un punct de acumulare pentru A şi ` = (`1, `2, . . . , `m, ) ∈ Rm.Să notăm componentele vectorului f cu fi : A→ R, i = 1,m, deci
f (x) = (f1 (x) , f2 (x) , . . . , fm (x)) .
Atunci ` = limx→a f (x) dacă şi numai dacă `i = limx→a f (xi), cu i = 1,m.
Definiţia 37 Fie f : A ⊂ Rn → Rm şi a un punct de acumulare pentru D.1. Spunem că f este continuă punctul a dacă pentru orice vecinătate U ∈ V (f (a)) a lui `, există ovecinătate V ∈ V (a) a lui a astfel ı̂ncât oricare ar fi x ∈ D ∩ V cu x 6= a să avem f (x) ∈ U . Vom scrie
f (a) = limx→a
f (x) .
2. Are loc că f (a) = limx→a f (x) dacă şi numai dacă oricare ar fi şirul (xk)k ⊂ Rn astfel ı̂ncât xk → a,xk 6= a şi xk ∈ D să avem f (xk)→ f (a).3. Are loc că f (a) = limx→a f (x) dacă şi numai dacă oricare ar fi ε > 0, există δ = δ (ε) > 0 astfel ı̂ncâtoricare ar fi x 6= a astfel ı̂ncât x ∈ D şi ‖x− a‖ < δ să avem ‖f (x)− f (a)‖ < ε.
Teorema 38 Fie funcţia vectorială f : D ⊂ Rn → Rm şi a un punct de acumulare pentru D. Funcţia feste continuă ı̂n x = a dacă şi numai dacă fiecare din componentele sale reale f1, f2, . . . , fm : D → R estecontinuă ı̂n a.
4
Lucia
n Mati
ciuc
-
Capitolul VI: Funcţii de mai multe variabilei Lect. dr. Lucian Maticiuc
4 Derivate parţiale de ordinul 1 şi 2
Vom prezenta ı̂n continuare definiţii şi rezultate legate de noţiunea de derivată parţială a uneifuncţii ı̂n raport cu o variabilă. Prezentăm mai ı̂ntâi cazul n = 2.
Definiţia 39 Spunem că funcţia f : D ⊂ R2 → R este derivabilă parţial ı̂n punctul (a, b) ı̂n raport cuvariabila x dacă există şi este finită limita
limx→a
f (x, b)− f (a, b)x− a
.
Valoarea limitei se numeşte derivata parţială ı̂n raport cu x a funcţiei f (x, y) ı̂n punctul (a, b) şi se vanota cu
∂f
∂x(a, b) sau f ′x (a, b) .
Analog se va defini derivata parţială ı̂n raport cu variabila y.
Deci pentru a calcula derivata parţială∂f
∂xi(a, b) a unei funcţii, ı̂n raport cu prima variabilă
x, derivăm funcţia ca şi cum variabilă ar fi doar x (privim variabila y ca o constantă).
Exemplul 40 Fie f : R2 → R,
f (x, y) =
y2 ln
(1 + x
2
y2
), y 6= 0
0, y = 0
Derivatele parţiale ale funcţiei f ı̂ntr-un punct arbitrar (x, y) 6= (a, 0) sunt
∂f
∂x(x, y) = y2
(ln(
1 + x2
y2
))′x
= y2 11+ x
2
y2
(1 + x
2
y2
)′x
= y2
1+ x2
y2
(0 +
(x2
y2
)′x
)=
= y4
x2+y2 · 2x ·1y2 =
2xy2
x2+y2 ,
∂f
∂y(x, y) =
(y2 ln
(1 + x
2
y2
))′y
=(y2)′y
ln(
1 + x2
y2
)+ y2
(ln(
1 + x2
y2
))′y
=
= 2y ln(
1 + x2
y2
)+ y2 1
1+ x2
y2
(1 + x
2
y2
)′y
= 2y ln(
1 + x2
y2
)+ y
4
x2+y2
(0 +
(x2
y2
)′y
)=
= 2y ln(
1 + x2
y2
)+ y
4
x2+y2 · x2 ·(y−2
)′y
= 2y ln(
1 + x2
y2
)+ y
4
x2+y2 · x2 ·(−2y−3
)=
= 2y ln(
1 + x2
y2
)− 2x
2yx2+y2
Definiţia 41 Spunem că funcţia f : D ⊂ Rn → R este derivabilă parţial ı̂n punctul (a1, a2, ..., an) ∈Int (D), ı̂n raport cu variabila xi (unde i = 1, n) dacă există şi este finită limita
limx→a
f (a1, a2, ..., ai−1, x, ai+1, ..., an)− f (a1, a2, ..., ai−1, ai, ai+1, ..., an)x− a
Valoarea limitei se numeşte derivata parţială ı̂n raport cu variabila xi a funcţiei f (x1, x2, ..., xn) ı̂n punc-tul (a1, a2, ..., an) şi se va nota cu
∂f
∂xi(a1, a2, ..., an) sau f ′xi (a1, a2, ..., an) .
5
Lucia
n Mati
ciuc
-
Capitolul VI: Funcţii de mai multe variabilei Lect. dr. Lucian Maticiuc
Definiţia 42 Fie f : D ⊂ Rn → Rm cu f = (f1, f2, . . . , fm). Spunem că f este derivabilă parţial ı̂nraport cu xi (unde i = 1, n) ı̂n punctul (a1, a2, ..., an) ∈ Int (D), dacă toate componentele fj : D → R,cu j = 1,m sunt derivabile parţial ı̂n raport cu variabila xi. Deci
∂f
∂xi(a1, a2, ..., an) =
(∂f1∂xi
,∂f2∂xi
, ...,∂fm∂xi
)(a1, a2, ..., an)
Următoarea observaţie ne va regula practică de calcul pentru derivata parţială ı̂n raport cu ovariabilă.
Pentru a calcula derivata parţială∂f
∂xi(a1, a2, ..., an) a unei funcţii, ı̂n raport cu variabil xi,
derivăm funcţia ca şi cum variabilă ar fi doar xi (celelate variabile x1, x2, ..., xi−1, xi+1, ..., xn, levom considera drept constante).
Exemplul 43 Fie f : R3 → R, f (x, y, z) = x4y3 + yz5 − x2z. Derivatele parţiale ale funcţiei f ı̂ntr-unpunct arbitrar (x, y, z) sunt
∂f
∂x(x, y, z) = 4x3 · y3 + 0− 2x · z = 4x3y3 − 2xz,
∂f
∂y(x, y, z) = x4 · 3y2 + 1 · z5 − 0 = 3x4y2 + z5,
∂f
∂x(x, y, z) = 0 + y · 5z4 − x2 · 1 = 5yz4 − x2
Definiţia 44 Dacă funcţia∂f
∂xi: D ⊂ Rn → Rm este derivabilă parţial ı̂n raport cu xj ı̂n punctul
a ∈ D, atunci această derivată se numeşte derivata parţială de ordinul al doilea ı̂n raport cu xi şi xjı̂n punctul a, şi o vom nota cu
∂2f
∂xj∂xi(a)
def=
∂
∂xj
(∂f
∂xi
)(a)
În cazul i = j vom nota derivata de ordinul al doilea prin
∂2f
∂xi∂xi(a)
not=
∂2f
∂x2i(a)
De asemenea vom nota derivata parţială şi prin
∂2f
∂xj∂xi(a)
not= f ′′xixj
Derivata parţială∂2f
∂xj∂xicu i 6= j se va numi derivata parţială mixtă de ordinul al doilea.
Analog se vor defini / nota derivatele parţiale de ordin superior 3, 4, ...
Exemplul 45 Fie f : R3 → R dată de f (x, y) = cos (x+ 2y + 3z). Calculăm derivatele parţiale deordinul ı̂ntâi
∂f
∂x(x, y, z) = (cos (x+ 2y + 3z))
′x = − sin (x+ 2y + 3z) · (x+ 2y + 3z)
′x
= − sin (x+ 2y + 3z) · (1 + 0 + 0)∂f
∂y(x, y, z) = (cos (x+ 2y + 3z))
′y = − sin (x+ 2y + 3z) · (x+ 2y + 3z)
′y
= − sin (x+ 2y + 3z) · (0 + 2 + 0)∂f
∂z(x, y, z) = (cos (x+ 2y + 3z))
′z = − sin (x+ 2y + 3z) · (x+ 2y + 3z)
′z
= − sin (x+ 2y + 3z) · (0 + 0 + 3)
6
Lucia
n Mati
ciuc
-
Capitolul VI: Funcţii de mai multe variabilei Lect. dr. Lucian Maticiuc
derivatele parţiale de ordinul al doilea
∂2f
∂x2(x, y, z)
def=
∂
∂x
(∂f
∂x
)(x, y) = (− sin (x+ 2y + 3z))′x =
= − cos (x+ 2y + 3z) (x+ 2y + 3z)′x = − cos (x+ 2y + 3z) · 1,
∂2f
∂y2(x, y, z)
def=
∂
∂y
(∂f
∂y
)(x, y) = (−2 sin (x+ 2y + 3z))′x =
= −2 cos (x+ 2y + 3z) (x+ 2y + 3z)′y = −2 cos (x+ 2y + 3z) · 2,
∂2f
∂z2(x, y, z)
def=
∂
∂z
(∂f
∂z
)(x, y) = (−3 sin (x+ 2y + 3z))′z =
= −3 cos (x+ 2y + 3z) (x+ 2y + 3z)′z = −3 cos (x+ 2y + 3z) · 3,
şi derivatele parţiale mixte
∂2f
∂x∂y(x, y, z)
def=
∂
∂x
(∂f
∂y
)(x, y) = (−2 sin (x+ 2y + 3z))′x = −2 cos (x+ 2y + 3z) ,
∂2f
∂x∂z(x, y, z)
def=
∂
∂x
(∂f
∂z
)(x, y) = (−3 sin (x+ 2y + 3z))′x = −3 cos (x+ 2y + 3z) ,
∂2f
∂y∂z(x, y, z)
def=
∂
∂y
(∂f
∂z
)(x, y) = (−3 sin (x+ 2y + 3z))′y = −6 cos (x+ 2y + 3z) .
Putem calcula şi derivate parţiale ı̂ntr-un punct particular. De exemplu
∂f
∂z(π/4,−π/8, 3π/4) = −3 sin (π/4 + 2 (−π/8) + 9π/4) = −3 sin (9π/4) =
= −3 sin (2π + π/4) = −3 sin (π/4) = −3√
2/2
∂2f
∂y∂z(x, y) = −6 cos (x+ 2y + 3z) .
Teorema următoare prezintă condiţiile suficiente care asigură egalitatea derivatelor parţialemixte de ordinul al doilea ı̂ntr-un punct.
Teorema 46 (Schwarz) Dacă funcţia f : D ⊂ Rn → Rm admite derivatele parţiale mixte ∂2f
∂xj∂xişi
∂2f
∂xi∂xj, i 6= j ∈ {1, 2, ..., n}, finite pe o vecinătate V ⊂ D a punctului a şi acestea sunt continue ı̂n a,
atunci∂2f
∂xj∂xi(a) =
∂2f
∂xi∂xj(a)
5 Diferenţiale de ordinul 1 şi 2
Aşa cum am văzut ı̂n cazul 1-dimensional, fie D ⊂ R un interval şi f : D ⊂ R → R o funcţiederivabilă ı̂n punctul a ∈ D. Conform definiţiei derivatei avem
f ′ (a)def= lim
x→a
f (x)− f (a)x− a
∈ R (1)
Dacă notăm cu α (x)def= f(x)−f(a)x−a − f
′ (a), ∀x ∈ D r {a}, atunci din (1) avem că
limx→a
α (x) = 0
7
Lucia
n Mati
ciuc
-
Capitolul VI: Funcţii de mai multe variabilei Lect. dr. Lucian Maticiuc
şi căf (x)− f (a) = f ′ (a) · (x− a) + α (x) · (x− a) , ∀x ∈ D
(am luat prin definiţie α (a)def= 0).
Din ultima egalitate se vede că dacă x se apropie de a, atunci diferenţa f (x) − f (a) se poateaproxima prin f ′ (a) · (x− a)
f (x)− f (a) ' f ′ (a) · (x− a) ,
sau echivalent, notând h = x−a, pentru valori ale lui h suficient de mici, diferenţa f (a+ h)−f (a)se poate aproxima prin f ′ (a) · h
f (a+ h)− f (a) ' f ′ (a) · h.
Aceasta arată că ı̂ntr-o vecinătate a unui punct de derivabilitate a unei funcţii, aceasta are o com-portare liniară. Această observaţie conduce la introducerea noţiunii de diferenţiabilitate.
În general, fie domeniul D ⊂ Rn.
Definiţia 47 O funcţie f : D ⊂ Rn → Rm se numeşte diferenţiabilă ı̂n punctul a ∈ Int (D) dacăexistă o aplicaţie liniară T : Rn → Rm astfel ı̂ncât
limx→ax6=a
f (x)− f (a)− T (x− a)‖x− a‖
= 0. (2)
Aplicaţia T se numeşte diferenţiala funcţiei f ı̂n punctul a şi se notează cu df (a).Spunem că f este diferenţiabilă pe o mulţime deschisă dacă este diferenţiabilă ı̂n fiecare
punct al acestei mulţimi deschise.
Remarca 48 Dacă notăm h def= x− a, atunci (2) devine
limx→ax6=a
f (a+ h)− f (a)− T (h)‖h‖
= 0. (3)
Definim aplicaţia α : D ⊂ Rn → Rm prin
α (x) =
{ f(x)−f(a)−T (x−a)‖x−a‖ , x ∈ D r {a} ,
0, x = a.
Deci, dacă funcţia f este diferenţiabilă ı̂n punctul a, atunci funcţia α este continuă ı̂n punctul adeoarece
limx→a
α (x) = limx→ax6=a
f (x)− f (a)− T (x− a)‖x− a‖
= 0 = α (a)
Deci Definiţia de mai sus este echivalentă cu
Definiţia 49 O funcţie f : D ⊂ Rn → Rm se numeşte diferenţiabilă ı̂n punctul a ∈ Int (D) dacăexistă o aplicaţie liniară T : Rn → Rm şi aplicaţia α : D ⊂ Rn → Rm, continuă ı̂n a, astfel ı̂ncât
f (x) = f (a) + T (x− a) + α (x) · ‖x− a‖ , ∀x ∈ D
Exerciţiul 50 Fie f : D ⊂ Rn → R, f (x) def= c, ∀x ∈ D. Diferenţiala funcţiei f ı̂n punctul a ∈ Int (D)este ı̂n acest caz df (a) : Rn → R, df (a) (x) = 0, ∀x ∈ Rn.
8
Lucia
n Mati
ciuc
-
Capitolul VI: Funcţii de mai multe variabilei Lect. dr. Lucian Maticiuc
Remarca 51 Dacă funcţia f : D ⊂ Rn → Rm este diferenţiabilă ı̂n punctul a ∈ Int (D), atuncidiferenţiala ei, df (a), este unică.
Teorema 52 Fie D ⊂ R un interval şi a ∈ Int (D). Următoarele afirmaţii sunt echivalente
(i) Funcţia f : D ⊂ R→ R este diferenţiabilă ı̂n punctul a
(ii) Funcţia f este derivabilă ı̂n a.
În cazul 1-dimensional diferenţiala unei funcţiei este dată de
df (a) (h) = f ′ (a) · h, ∀h ∈ R
Remarca 53 În timp ce derivata funcţiei f ı̂ntr-un punct a este un număr, diferenţiala lui f ı̂n a este oaplicaţie liniară.
Teorema 54 Următoarele afirmaţii sunt echivalente
(i) Funcţia f : D ⊂ Rn → Rm este diferenţiabilă ı̂n punctul a ∈ Int (D) .
(ii) Funcţiile componente fj : D ⊂ Rn → R, ∀ j = 1,m sunt diferenţiabile ı̂n punctul a ∈ Int (D) şiare loc
df (a) = (df1 (a) , df2 (a) , ..., dfm (a))
(fără demonstraţie)
Teorema 55 Fie funcţiile f, g : D ⊂ Rn → Rm diferenţiabile ı̂n punctul a ∈ Int (D). Atunci (α · f + β · g) :D ⊂ Rn → Rm este diferenţiabilă ı̂n punctul a ∈ Int (D) şi are loc
d (α · f + β · g) (a) = α · df (a) + β · dg (a)
Teorema 56 Fie funcţiile f : D ⊂ Rn → R, g : D ⊂ Rn → Rm diferenţiabile ı̂n punctul a ∈ Int (D).Atunci f · g : D ⊂ Rn → Rm este diferenţiabilă ı̂n punctul a ∈ Int (D) şi are loc
d (f · g) (a) = df (a) · g (a) + f (a) · dg (a)
Teorema 57 Fie funcţiile f : D ⊂ Rn → R, g : D ⊂ Rn → Rm diferenţiabile ı̂n punctul a ∈ Int (D).Presupunem că există V , vecinătate a punctului a, astfel ı̂ncât V ⊂ D şi f (x) 6= 0, ∀x ∈ V . Atuncig
f: V ⊂ Rn → Rm este diferenţiabilă ı̂n punctul a ∈ Int (D) şi are loc
d
(g
f
)(a) =
dg (a) · f (a)− g (a) · df (a)f2 (a)
Vom da ı̂n continuare câteva cazuri particulare de calcul a diferenţialei unei funcţii.Dacă f : D ⊂ R→ R şi a ∈ D, atunci
df (a) =df
dx(a) · dx
Dacă f : D ⊂ R2 → R şi a ∈ D, atunci
df (a, b) =∂f
∂x(a, b) · dx+ ∂f
∂y(a, b) · dy
Dacă f : D ⊂ R3 → R şi a ∈ D, atunci
df (a, b, c) =∂f
∂x(a, b, c) · dx+ ∂f
∂y(a, b, c) · dy + ∂f
∂z(a, b, c) · dz
9
Lucia
n Mati
ciuc
-
Capitolul VI: Funcţii de mai multe variabilei Lect. dr. Lucian Maticiuc
Definiţia 58 Fie f : D ⊂ Rn → R, a ∈ D şi presupunem că există derivatele parţiale de ordinul ı̂ntâi şial doilea şi că ele sunt continue. Forma pătratică
d2f (a) : Rn → R,
definită de
d2f (a) (h)def=
n∑i,j=1
∂2f
∂xi∂xj(a) · dxi (h) · dxj (h) ,
unde h = (h1, ..., hn) ∈ Rn, se numeşte diferenţiala de ordinul al doilea a funcţiei f ı̂n punctul a.
Definiţia 59 Matricea acestei forme pătratice se numeşte matricea hessiană lui f ı̂n a şi este dată de
H =
∂2f
∂x21(a)
∂2f
∂x1∂x2(a) ...
∂2f
∂x1∂xn(a)
∂2f
∂x2∂x1(a)
∂2f
∂x22(a) ...
∂2f
∂x2∂xn(a)
...... ...
...∂2f
∂xn∂x1(a)
∂2f
∂xn∂x2(a)
∂2f
∂xnn(a)
Observăm că ı̂n condiţiile Teoremei lui Schwarz matricea hessiană este o matrice simetrică (deoarece ele-
mentele aij =∂2f
∂xi∂xj(a) =
∂2f
∂xj∂xi(a) = aji).
Remarca 60 Diferenţiala de ordinul al doilea se poate scrie formal:
d2f (a) =
(n∑i=1
∂
∂xi· dxi
)2(f (a)) =
n∑i,j=1
∂2f
∂xi∂xj(a) · dxi · dxj ,
Exemplul 61 Diferenţiala de ordinul al doilea a funcţiei f : D ⊂ R2 → R, ı̂n punctul a, este dată de
d2f (a) =∂2f
∂x2(a) · dx2 + 2 ∂
2f
∂x∂y(a) · dxdy + ∂
2f
∂y2(a) · dy2
Diferenţiala de ordinul al doilea a funcţiei f : D ⊂ R3 → R, ı̂n punctul a, este dată de
d2f (a) =∂2f
∂x2(a) · dx2 + ∂
2f
∂y2(a) · dy2 + ∂
2f
∂z2(a) · dz2+
+2∂2f
∂x∂y(a) · dxdy + 2 ∂
2f
∂x∂z(a) · dxdz + 2 ∂
2f
∂y∂z(a) · dydz
Exerciţiul 62 Să se scrie diferenţiala de ordinul al doilea a funcţiei f : R2 → R, f (x, y) = xexy ı̂npunctul (2, 3). Calculăm mai ı̂ntâi derivatele parţiale de ordinul ı̂ntâi
∂f
∂x(x, y) = (xexy)
′x = 1 · exy + x (exy)
′x = e
xy + xexy (xy)′x = e
xy + xexy · y
∂f
∂y(x, y) = (xexy)
′y = x · (exy)
′y = xe
xy (xy)′y = xe
xy · x
Deci diferenţiala de ordinul 1 este
df (x, y) = (exy + xyexy) dx+ x2exydy
10
Lucia
n Mati
ciuc
-
Capitolul VI: Funcţii de mai multe variabilei Lect. dr. Lucian Maticiuc
Derivatele parţiale de ordinul al doilea sunt date de
∂2f
∂x2(x, y)
def=
∂
∂x
(∂f
∂x
)(x, y) = (exy + xyexy)
′x = (e
xy)′x + (xye
xy)′x =
= exy (xy)′x + y (xe
xy)′x = e
xy · y + y (exy + xyexy)
∂2f
∂y2(x, y)
def=
∂
∂y
(∂f
∂y
)(x, y) =
(x2exy
)′y
= x2 (exy)′y = x
2exy (xy)′y = x
2exy · x
∂2f
∂x∂y(x, y)
def=
∂
∂x
(∂f
∂y
)(x, y) =
(x2exy
)′x
=(x2)′x· exy + x2 · (exy)′x = 2x · exy + x2 · exy · y
Deci diferenţiala de ordinul al doilea ı̂ntr-un punct arbitrar (x, y) este dată de
d2f (x, y) = y (2 + xy) exy · dx2 + 2x (2 + xy) exy · dxdy + x3exy · dy2
şi diferenţiala de ordinul al doilea ı̂n punctul (2, 3) este dată de
d2f (2, 3) = 3 (2 + 6) e6dx2 + 4 (2 + 6) e6dxdy + 8e6dy2
Definiţia 63 Fie f : D ⊂ R3 → R o funcţie scalară de clasă C1. Gradientul lui f ı̂n punctul a estevectorul
gradf (a)def=
∂f
∂x(a) ·~i+ ∂f
∂y(a) ·~j + ∂f
∂z(a) · ~k
Exemplul 64 Fie f (x, y, z) = x2yz + xyz3 un câmp scalar şi a = (1,−1, 2). Atunci
∂f
∂x(x, y, z) =
(x2yz + xyz3
)′x
=(x2yz
)′x
+(xyz3
)′x
= yz(x2)′x
+ yz3 (x)′x = 2xyz + yz
3
∂f
∂y(x, y, z) =
(x2yz + xyz3
)′y
=(x2yz
)′y
+(xyz3
)′y
= x2z (y)′y + xz
3 (y)′y = x
2z + xz3
∂f
∂z(x, y, z) =
(x2yz + xyz3
)′z
=(x2yz
)′z
+(xyz3
)′z
= x2y (z)′z + xy
(z3)′z
= x2y + 3xyz2
şi respectiv
gradf (x, y, z) =(2xyz + yz3
)·~i+
(x2z + xz3
)·~j +
(x2y + 3xyz2
)· ~k
În particular
gradf (1,−1, 2) = (−4− 8) ·~i+ (2 + 8) ·~j + (−1− 12) · ~k = −12~i+ 10~j − 13~k
6 Extreme pentru funcţii de două variabile
Definiţia 65 Un punct a ∈ Int (D) se numeşte punct critic (sau punct staţionar) al funcţiei f : D ⊂Rn → R, diferenţiabilă ı̂n punctul a, dacă
∂f
∂xi(a) = 0, ∀i = 1, n,
sau echivalentdf (a) = 0,
sau echivalent (vezi definiţia gradientului)
∇f (a) = 0.
11
Lucia
n Mati
ciuc
-
Capitolul VI: Funcţii de mai multe variabilei Lect. dr. Lucian Maticiuc
Definiţia 66 1. Un punct a ∈ Int (D) se numeşte punct de minim local al funcţiei f : D ⊂ Rn → R,dacă există V ∈ V (a) (vecinătate a lui a), astfel ı̂ncât
f (x) ≥ f (a) , x ∈ V ∩D.
2. Un punct a ∈ Int (D) se numeşte punct de maxim local al funcţiei f : D ⊂ Rn → R, dacă existăV ∈ V (a), astfel ı̂ncât
f (x) ≤ f (a) , x ∈ V ∩D.
Punctele de minim şi maxim local se numesc puncte de extrem local.
Teorema 67 Dacă punctul a ∈ Int (D) este punct de extrem local al funcţiei f : D ⊂ Rn → R şi f estediferenţiabilă ı̂n punctul a, atunci a este punct critic (sau punct staţionar) al lui f .
Demonstraţie. Deoarece a aparţine interiorului lui D avem că există (bila de centru a şi razăr) B (a, r) ⊂ D astfel ı̂ncât f (x) − f (a) păstrează semn constant pentru ∀x ∈ B (a, r). Definimaplicaţia
h : (−r, r)→ Rn, h (t) def= a+ tv, t ∈ (−r, r)
unde v este un versor arbitrar (adică norma vectorului v ∈ Rn este unitară, ‖v‖ = 1). Avem că
{a+ tv : t ∈ (−r, r) , v ∈ Rn, ‖v‖ = 1} ⊂ B (a, r) ,
deci are loc f (a+ tv)− f (a) păstrează semn constant pentru ∀t ∈ (−r, r). Dacă notăm cu
ϕ : (−r, r)→ R, ϕ (t) def= f (h (t)) = f (a+ tv)
atunci obţinem că f (a+ tv) − f (a) = ϕ (t) − ϕ (0) păstrează semn constant pentru ∀t ∈ (−r, r),deci t = 0 este punct de extrem local pentru ϕ. Aplicând Teorema lui Fermat pentru funcţii de ovariabilă obţinem că
ϕ′ (0) = 0,
adică, conform definiţiei derivatei,
ϕ′ (0)def= lim
t→0
ϕ (t)− ϕ (0)t− 0
= 0
Folosind definiţia lui ϕ obţinem
limt→0
f (a+ tv)− f (a)t
= 0
Luând acum v = ei, i = 1, n (vectorii bazei canonice uzuale a lui Rn), obţinem din relaţia de maisus că derivatele parţiale ı̂n raport cu variabila xi,
∂f
∂xi(a) = 0, i = 1, n
Deci
df (a) =n∑i=1
∂f
∂xi(a) dxi = 0,
adică a este punct staţionar.
Remarca 68 Teorema lui Fermat afirmă că punctele de extrem local ale unei funcţii ce admite deri-vate parţiale (sau care este diferenţiabilă) se găsesc printre punctele sale critice. Deci condiţia cadiferenţiala să se anuleze este ı̂ntr-un punct este necesară dar nu este şi suficientă pentru ca punctul să fiede extrem local.
12
Lucia
n Mati
ciuc
-
Capitolul VI: Funcţii de mai multe variabilei Lect. dr. Lucian Maticiuc
În acest sens să analizăm următorul
Exemplul 69 Fie f : R2 → R, f (x, y) = xy. Pentru a determina punctele critice rezolvăm sistemul∂f
∂x(x, y) = 0,
∂f
∂y(x, y) = 0
⇒
{y = 0,
x = 0
adică obţinem punctul staţionar a = (0, 0). Pe de altă parte observăm că funcţia f (x, y) = xy nupăstrează semn constant ı̂n nici o vecinătate a lui a = (0, 0) deci a nu este punct de extrem.
În acelaşi sens considerăm şi
Exemplul 70 Fie f : R2 → R, f (x, y) = x2−y2. Pentru a determina punctele critice rezolvăm sistemul∂f
∂x(x, y) = 0,
∂f
∂y(x, y) = 0
⇒
{2x = 0,
2y = 0
adică obţinem punctul staţionar a = (0, 0). Pe de altă parte observăm că funcţia f (x, y) = x2 − y2 nupăstrează semn constant ı̂n nici o vecinătate a lui a = (0, 0) deci a nu este punct de extrem.
Definiţia 71 Un punct critic care nu este de extrem se numeşte punct şa.
Aplicând formula lui Taylor pentru funcţii de două variabile se poate demonstra următorulrezultat:
Teorema 72 Fie f : D ⊂ Rn → R de clasă C2 (vezi Definiţia 2, Curs III) pe deschisul Int (D), şia ∈ Int (D) un punct critic al lui f . Atunci,
1) dacă forma pătratică d2f (a) este pozitiv definită atunci a este punct de minim local;2) dacă forma pătratică d2f (a) este negativ definită (adică forma pătratică −d2f (a) este pozitiv defi-
nită ) atunci a este punct de maxim local;3) dacă forma pătratică d2f (a) este nedefinită (adică d2f (a) nu păstrează semn constant) atunci a nu
este punct de extrem (este punct şa).
O consecinţă practică, ı̂n cazul n = 2, a teoremei anterioare este următoarea
Teorema 73 Fie f : D ⊂ R2 → R de clasă C2 pe deschisul Int (D), şi a ∈ Int (D) un punct critic al luif . Să notăm prin
A =∂2f
∂x2(a) , B =
∂2f
∂x∂y(a) , C =
∂2f
∂y2(a) .
Atunci,1) dacă B
2 −AC < 0 şi A > 0, punctul a este punct de minim local (forma pătratică d2f (a) este po-zitiv definită);
2) dacă B2 −AC < 0 şi A < 0, punctul a este punct de maxim local (forma pătratică d2f (a) este ne-
gativ definită);3) dacă B
2 −AC > 0, punctul a nu este punct de extrem local (forma pătratică d2f (a) este nedefi-nită).
13
Lucia
n Mati
ciuc
-
Capitolul VI: Funcţii de mai multe variabilei Lect. dr. Lucian Maticiuc
Demonstraţie. Fie a = (a1, a2) şi (x, y) un punct dinD. Aplicând definiţia diferenţialei de ordinulal doilea obţinem
d2f (a) (h)def=
2∑i,j=1
∂2f
∂xi∂xj(a) · hi · hj = (scris dezvoltat) =
=∂2f
∂x2(a) · h21 +
∂2f
∂x∂y(a) · h1h2 +
∂2f
∂y∂x(a) · h2h1 +
∂2f
∂y2(a) · h22 =
=∂2f
∂x2(a) · h21 + 2
∂2f
∂x∂y(a) · h1h2 +
∂2f
∂y2(a) · h22
unde h = (h1, h2). Deci putem calcula diferenţiala de ordinul al doilea ı̂n punctul a = (a1, a2),calculată ı̂ntr-un punct h = (x− a1, y − a2)
d2f (a1, a2) (x− a1, y − a2) =
=∂2f
∂x2(a1, a2) · (x− a1)2 + 2
∂2f
∂x∂y(a1, a2) · (x− a1) (y − a2) +
∂2f
∂y2(a1, a2) · (y − a2)2
= A · (x− a1)2 + 2B · (x− a1) (y − a2) + C · (y − a2)2
şi, pentru y 6= a2,
d2f (a1, a2) (x− a1, y − a2) =1
(y − a2)2
[A
(x− a1y − a2
)2+ 2B
x− a1y − a2
+ C
],
adică, notând cu u =x− a1y − a2
, obţinem că semnul formei pătratice d2f (a1, a2) (x− a1, y − a2)
este dat de semnul formei pătratice A u2 + 2B u + C. Astfel un trinom de gradul al doileaare semn constant dacă şi numai dacă nu are rădăcini reale (ci doar complexe), echivalent ∆ =4(B2 −AC
)< 0.
Deci dacă B2 −AC < 0 şi A > 0 atunci forma pătratică A u2 + 2B u+C este pozitiv definită,deci d2f (a1, a2) este formă pătratică pozitiv definită, deci, conform Teoremei de mai sus, a estepunct de minim local.
Dacă B2 −AC < 0 şi A < 0 atunci forma pătratică A u2 + 2B u+C este negativ definită, decid2f (a1, a2) este formă pătratică negativ definită, deci, conform Teoremei de mai sus, a este punctde maxim local.
Dacă B2−AC > 0 atunci forma pătratică A u2 + 2B u+C nu păstrează semn constant şi decieste negativ definită, deci d2f (a1, a2) este formă pătratică nedefinită, deci, conform Teoremei demai sus, a nu este punct de maxim local (este punct şa).
Exemplul 74 Să se determine puntele de extrem ale funcţiei f : R2 → R, definită de
f (x, y) = x4 + y4 + 2x2y2 − 8x+ 8y
Determinăm mai ı̂ntâi punctele critice (deoarece punctele de extrem se găsesc printre puntele critice).Pentru a determina punctele critice rezolvăm sistemul (vezi Definiţia 1)
∂f
∂x(x, y) = 0,
∂f
∂y(x, y) = 0
Obţinem(x4 + y4 + 2x2y2 − 8x+ 8y
)′x
= 0,(x4 + y4 + 2x2y2 − 8x+ 8y
)′y
= 0⇔
{4x3 + 0 + 4xy2 − 8 + 0 = 0,
0 + 4y3 + 4x2y − 0 + 8 = 0⇔
{x(x2 + y2
)= 2,
y(x2 + y2
)= −2
14
Lucia
n Mati
ciuc
-
Capitolul VI: Funcţii de mai multe variabilei Lect. dr. Lucian Maticiuc
Deci(x2 + y2
)6= 0 şi (
x2 + y2)
=2
x=
2
−y⇒ x = −y
adică sistemul devinex(x2 + x2
)= 2⇔ 2x3 = 2⇔ x3 = 1⇔ x = 1
Deci singurul punct staţionar este P (1,−1). Studiem ı̂n continuare dacă acest punct critic este punt deextrem sau este punct şa. Pentru aceasta calculăm mai ı̂ntâi
∂2f
∂x2=(12x2 + 4y2
),
∂2f
∂x∂y= 8xy,
∂2f
∂y2= 12y2 + 4x2
şi apoi
A =∂2f
∂x2(1,−1) = 16, B = ∂
2f
∂x∂y(1,−1) = −8, C = ∂
2f
∂y2(1,−1) = 16.
ObţinemB2 −AC = 64− 162 < 0, A > 0
adică punctul staţionar P (1,−1) este punct de minim.
Exemplul 75 Să se determine punctele de extrem ale funcţiei
f : R2 → R, f (x) = x4 + y4 − x2 − y2.
Punctele critice (staţionare) sunt soluţiile sistemului∂f
∂x(x, y) = 0
∂f
∂y(x, y) = 0
deci {4x3 + 0− 2x− 0 = 0
0 + 4y3 − 0− 2y = 0⇔
{2x(2x2 − 1
)= 0
2y(2y2 − 1
)= 0
Deci punctele staţionare suntP1 (0, 0), P2(0, 1√2 ), P3(0,−1√2), P4( 1√2 , 0), P5(
1√2, 0), P6( 1√2 ,
1√2), P7(−1√2 ,
1√2),
P8(1√2, −1√
2), P9(−1√2 ,
−1√2). Acum vom verifica fiecare punct ı̂n parte dacă este de extrem sau nu. Vom face
calculul doar pentru câteva puncte. Să calculăm mai ı̂ntâi derivatele parţiale de ordinul al doilea
∂2f
∂x2=(4x3 − 2x
)′x
= 12x2 − 2, ∂2f
∂y2=(4y3 − 2y
)′y
= 12y2 − 2, ∂2f
∂x∂y=(4x3 − 2x
)′y
= 0
Pentru punctul P1 (0, 0) avem deciA =∂2f
∂x2(0, 0) = −2 ,B = ∂
2f
∂x∂y(0, 0) = 0 , C =
∂2f
∂y2(0, 0) = −2
deci B2 −AC = 0− 4 = −4 < 0 şi A < 0 deci P1 (0, 0) este punct de maxim local.
Pentru punctul P3(0, −1√2 ) avem A =∂2f
∂x2(0, −1√
2) = 0 − 2 = −2 , B = ∂
2f
∂x∂y(0, −1√
2) = 0 ,
C =∂2f
∂y2(0, −1√
2) = 12
1
2− 2 = 4 deci B2 − AC = 0 − (−8) = 8 > 0 deci P3(0, −1√2 ) nu este punct de
extrem.
Pentru punctul P9(−1√2 ,−1√2) avem A =
∂2f
∂x2(−1√
2, −1√
2) = 12
1
2− 2 = 4 , B = ∂
2f
∂x∂y(−1√
2, −1√
2) = 0 ,
C =∂2f
∂y2(−1√
2, −1√
2) = 12
1
2− 2 = 4 deci B2 − AC = 0− 16 = −16 < 0 şi A > 0 deci P9(−1√2 ,
−1√2) este
punct de minim local.Celelate puncte se studiază ı̂n mod similar.
15
Lucia
n Mati
ciuc
-
Capitolul VI: Funcţii de mai multe variabilei Lect. dr. Lucian Maticiuc
Exemplul 76 (Temă) Să se determine punctele de extrem ale funcţiilor f : R2 → R definite de:(a) f (x, y) = 2
(x3 + y3
)+24xy+13
(x2 + y2
)+27 (punctele staţionare sunt (0, 0) , (−25/3,−25/3) , (1,−4/3)).
(b) f (x, y) = 3x2y + y3 − 12x− 15y.
(c) f (x, y) = x4 + y4 − 2x2 + 4xy − 2y2.
(d) f (x, y) =(x2 + y2
)e3x+2y.
(e) f (x, y) = (x− 1)2 + 2y2.
(f) f (x, y) = (x− 1)2 − 2y2.
(g) f (x, y) = x2 + xy + y2 − 2x− y.
(h) f (x, y) = 2xy − 5x2 − 2y2 + 6x+ 6y.
(i) f (x, y) = 3x2y + 36x− y3 − 15y + 9.
(j) f (x, y) = x3 − 3xy + y3.
7 Funcţii implicite
Definiţia 77 Fie ecuaţia F (x, y) = 0, unde F este o funcţie reală de două variabile F : A × B ⊂ R2 =R× R → R.O funcţie y = y (x) definită pe mulţimea D ⊂ A ⊂ R astfel ı̂ncât pentru orice x ∈ D,(x, y (x)) ∈ A×B se numeşte soluţie ı̂n raport cu variabila y a ecuaţiei F (x, y) = 0 pe mulţimea D dacă
F (x, y (x)) = 0, ∀x ∈ D.
O asemenea funcţie y = y (x) se numeşte funcţie definită implicit de ecuaţia F (x, y) = 0.
Teorema 78 (de existenţă a funcţiilor implicite ı̂n cazul n = 2) Fie F este o funcţie reală de douăvariabile definită pe A×B ⊂ R2 şi (a, b) ∈ Int (A)× Int (B).Dacă:1. F (a, b) = 0.
2. Funţiile F , F ′x şi F ′y sunt continue pe o vecinătate U × V a lui (a, b).3. F ′y (a, b) = 0.Atunci:(i) Există o vecinătate U0 × V0 ⊂ U × V a lui (a, b) şi o funcţie unică y = y (x) : U0 → V0 astfel ı̂ncâty (a) = b şi
F (x, y (x)) = 0, ∀x ∈ U0.
(ii) Funţia y definită mai sus are derivată continuă pe U0, dată de
y′ (x) = −F′x (x, y (x))
F ′y (x, y (x)).
(fără demonstraţie)
Exemplul 79 Să se calculeze y′(x0) şi y
′′(x0) pentru funcţia y (x) ce satisface condiţia y (x0) = y0 şi
este definită implicit de ecuaţia:a) x3 + y3 + xy − y2 = 0 , y (0) = 1.
b) ln√x2 + y2 = arctg
y
x.
c) x2y2 − x4 − y4 + 24 = 0, y (2) = 2.
d) x3 + y3 + xy − y2 = 0, y (0) = 1.
16
Lucia
n Mati
ciuc
-
Capitolul VI: Funcţii de mai multe variabilei Lect. dr. Lucian Maticiuc
e) x3 + y3 + xy − y2 = 0, y (0) = 1.
f) x+ y + z = ez, y (...) = ....
g) arcsin yx +√x2 − y2 =
√3− π6 , y (−2) = 1.
Ecuaţia dată este de tipul F (x, y) = 0 şi defineşte implicit funcţia y = y (x). Mai ı̂ntâi vom rescrieecuaţia dată cu y (x) in loc de y şi apoi vom deriva ı̂n raport cu x.
a) ecuaţia rescrisă este x3 + y3 (x) + xy (x)− y2 (x) = 0. Singura variabilă ı̂n această ecuaţie este x.Să derivăm ı̂n raport cu această variabilă. Avem[x3 + y3 (x) + xy (x)− y2 (x)
]′= 0⇔ 3x2 + 3y2 (x) y′ (x) + x′y (x) + xy′ (x)− 2y (x) y′ (x) = 0
⇔ 3x2 + y (x) +[3y2 (x) + x− 2y (x)
]y
′(x) = 0⇔ y′ (x) = − 3x
2 + y (x)
3y2 (x) + x− 2y (x)
deci are loc
y′ (x0) = −3x20 + y (x0)
3y2 (x0) + x0 − 2y (x0)şi acum vom ı̂nlocui x0 = 0 şi y (x0) = y (0) = 1 deci obţinem
y′ (0) = − 0 + 13 + 0− 2
= −1
Pentru calculul lui y′′ (x) derivăm relaţia de mai sus
y′′ (x)def=(y
′(x))′
=
(− 3x
2 + y (x)
3y2 (x) + x− 2y (x)
)′= −
(3x2 + y (x)
3y2 (x) + x− 2y (x)
)′=
= −[3x2 + y (x)
]′ [3y2 (x) + x− 2y (x)
]−[3x2 + y (x)
] [3y2 (x) + x− 2y (x)
]′[3y2 (x) + x− 2y (x)]2
=
= −
[6x+ y
′(x)] [
3y2 (x) + x− 2y (x)]−[3x2 + y (x)
] [6y (x) y
′(x) + 1− 2y′ (x)
][3y2 (x) + x− 2y (x)]2
iar acum y′ (x) se ı̂nlocuieşte şi vom obţine y′′ (x) apoi imediat y′′ (0) = · · ·Observaţie: cu ajutorul cantităţii y′′ (x) de poate preciza ceva despre concavitatea funcţiei. Ast-fel dacă y′′ (x) ≥ 0 ı̂n vecinătatea lui x0 atunci y este convexă ı̂n vecinătatea lui x0. Dacăy′′ (x) ≤ 0 in vecinătatea lui x0 atunci y este concavă ı̂n vecinătatea lui x0.
Observaţie: Cu ajutorul derivatelor de mai sus putem scrie şi diferenţialele ı̂nlocuind y′ (x) şiy′′ (x) ı̂n
dy (x)def= y′ (x) dx
d2y (x)def= y′′ (x) dx2
Remarca 80 Fie curba de ecuaţie y = f (x). Se ştie că ı̂n punctul (a, f (a)) = (a, b) de pe curbă ecuaţiadreptei tangente este dată de
y − b = f ′ (a) (x− a) .
În cazul ı̂n care y = f (x) este o funcţie implicită dată de ecuaţia F (x, y) = 0 (adică F (x, f (x)) = 0)atunci
f ′ (a) = −F′x (x, f (x))
F ′y (x, f (x))
17
Lucia
n Mati
ciuc
-
Capitolul VI: Funcţii de mai multe variabilei Lect. dr. Lucian Maticiuc
şi deci ecuaţia tangentei se va scrie astfel
y − b = −F′x (a, b)
F ′y (a, b)(x− a)
sau echivalentF ′x (a, b) (x− a) + F ′y (a, b) (y − b) = 0.
Ecuaţia de mai sus reprezintă ecuaţia tangentei ı̂n cazul ı̂n care curba y este dată implicit de ecuaţiaF (x, y) = 0.
Definiţia 81 Fie ecuaţia F (x, y, z) = 0, unde F este o funcţie reală de trei variabile definită pe A×B ×C ⊂ R× R× R = R3.O funcţie z = z (x, y) definită pe mulţimea D × E ⊂ A × B ⊂ R2 astfel ı̂ncâtpentru orice (x, y) ∈ D × E, (x, y, z (x, y)) ∈ A × B × C se numeşte soluţie ı̂n raport cu variabila z aecuaţiei F (x, y, z) = 0 pe mulţimea D × E dacă
F (x, y, z (x, y)) = 0, ∀x ∈ D × E.
O asemenea funcţie z = z (x, y) se numeşte funcţie definită implicit de ecuaţia F (x, y, z) = 0.
Teorema 82 (de existenţă a funcţiilor implicite ı̂n cazul n = 3) Fie F este o funcţie reală de trei va-riabile definită pe A×B × C ⊂ R3 şi (a, b, c) ∈ Int (A)× Int (B)× Int (C).Dacă:1. F (a, b, c) = 0.
2. Funţiile F , F ′x, F ′y şi F ′z sunt continue pe o vecinătate U × V ×W a lui (a, b, c).3. F ′z (a, b, c) = 0.Atunci:(i) Există o vecinătate U0 × V0 × W0 ⊂ U × V × W a lui (a, b, c) şi o funcţie unică z = z (x, y) :U0 × V0 →W0 astfel ı̂ncât z (a, b) = c şi
F (x, y, z (x, y)) = 0, ∀x ∈ U0 × V0.
(ii) Funţia z definită mai sus are derivatele continue pe U0 × V0, date de
z′x (x, y) = −F ′x (x, y, z (x, y))
F ′z (x, y, z (x, y))
şi de
z′y (x, y) = −F ′y (x, y, z (x, y))
F ′z (x, y, z (x, y)).
(fără demonstraţie)
Exemplul 83 Să se calculeze z′
x, z′
y, dz, d2z , pentru funcţia z (x, y) dată implicit de ecuaţiile:a) (x+ y) ez − xy − z = 0 ,ı̂n punctul (2, 2, 0).
b) z = arctgx
z + y− y.
Ecuaţia dată este de tipul F (x, y, z) = 0 şi defineşte implicit funcţia z = z (x, y). Mai ı̂ntâi vomrescrie ecuaţia dată cu z (x, y) in loc de z şi apoi vom deriva parţial ı̂n raport cu şi x şi cu y.
18
Lucia
n Mati
ciuc
-
Capitolul VI: Funcţii de mai multe variabilei Lect. dr. Lucian Maticiuc
a) ecuaţia rescrisă este (x+ y) ez(x,y) − xy − z (x, y) = 0. Variabilele ı̂n această ecuaţie sunt x şi y.Să derivăm parţial această ecuaţie. Avem
((x+ y) ez(x,y) − xy − z (x, y)
)′x
= 0,((x+ y) ez(x,y) − xy − z (x, y)
)′y
= 0⇔
⇔
(x+ y)′
x ez(x,y) + (x+ y)
(ez(x,y)
)′x− y − z′x (x, y) = 0,
(x+ y)′
y ez(x,y) + (x+ y)
(ez(x,y)
)′y− x− z′y (x, y) = 0
⇔
⇔
{ez(x,y) + (x+ y) ez(x,y)z
′
x (x, y)− y − z′
x (x, y) = 0,
ez(x,y) + (x+ y) ez(x,y)z′
y (x, y)− x− z′
y (x, y) = 0⇔
⇔
z
′
x (x, y) =y − ez(x,y)
(x+ y) ez(x,y) − 1,
z′
y (x, y) =x− ez(x,y)
(x+ y) ez(x,y) − 1
Acum vom ı̂nlocui derivatele de mai sus ı̂n expresia diferenţialei
dz (x, y) = z′
x (x, y) dx+ z′
y (x, y) dy
şi respectivdz (2, 2) = z
′
x (2, 2) dx+ z′
y (2, 2) dy
Se poate calcula similar
z′′xx (x, y) =(z
′
x (x, y))′x
=
(y − ez(x,y)
(x+ y) ez(x,y) − 1
)′x
= · · ·
z′′yy (x, y) =(z
′
y (x, y))′y
=
(x− ez(x,y)
(x+ y) ez(x,y) − 1
)′y
= · · ·
z′′xy (x, y) =(z
′
x (x, y))′y
=
(y − ez(x,y)
(x+ y) ez(x,y) − 1
)′y
= · · ·
şi apoi folosim formula
d2z (x, y) = z′′xx (x, y) dx2 + z′′yy (x, y) dy
2 + 2z′′xy (x, y) dxdy
şi respectivd2z (2, 2) = z′′xx (2, 2) dx
2 + z′′yy (2, 2) dy2 + 2z′′xy (2, 2) dxdy.
Remarca 84 Fie suprafaţa de ecuaţie z = f (x, y). Se ştie că ı̂n punctul (a, b, f (a, b)) = (a, b, c) de pesuprafaţă ecuaţia planului tangent este dat de
z − c = z′x (a, b) (x− a) + z′y (a, b) (y − b) .
În cazul ı̂n care z = f (x, y) este o funcţie implicită dată de ecuaţiaF (x, y, z) = 0 (adicăF (x, y, f (x, y)) =0) atunci
z′x (x, y) = −F ′x (a, b, c)
F ′z (a, b, c)şi z′x (x, y) = −
F ′y (a, b, c)
F ′z (a, b, c)
şi deci planului tangent se va scrie astfel
z − c = −F′x (a, b, c)
F ′z (a, b, c)(x− a)−
F ′y (a, b, c)
F ′z (a, b, c)(y − b)
19
Lucia
n Mati
ciuc
-
Capitolul VI: Funcţii de mai multe variabilei Lect. dr. Lucian Maticiuc
sau echivalent
F ′x (a, b, c) (x− a) + F ′y (a, b, c) (y − b) + F ′z (a, b, c) (z − c) = 0.
Ecuaţia de mai sus reprezintă ecuaţia planului tangent ı̂n cazul ı̂n care suprafaţa z este dată implicit deecuaţia F (x, y, z) = 0.
Definiţia unei funcţii implicite precum şi Teorema de existenţă a funcţiilor implicite de maisus se pot prezenta şi ı̂n cazul general al unei funcţii vectoriale f : Rn → Rm. Vom prezenta ı̂ncontinuare, printr-un exemplu, doar cazul n = 3 şi m = 2.
Exemplul 85 Să se calculeze derivatele y′, z′ şi diferenţialele dy, dz ale funcţiilor definite implicit desistemul {
x3 + 3y2 − z2 + x− y − 8 = 02x2 − 4y − 6z − 6 = 0
ı̂n punctul A (1, 2,−2).
Avem un sistem de tipul{F (x, y, z) = 0G (x, y, z) = 0
care defineşte implicit funcţiile y = y (x) şi z =
z (x).Mai ı̂ntâi vom rescrie ecuaţia dată cu y (x) in loc de y şi z (x) ı̂n loc de z apoi vom deriva ı̂n
raport cu şi x ambele ecuaţii.
Să rescriem sistemul
{x3 + 3y2 (x)− z2 (x) + x− y (x)− 8 = 0
2x2 − 4y (x)− 6z (x)− 6 = 0şi vom obţine derivând ı̂n
raport cu x: {3x2 + 6y (x) y
′(x)− 2z (x) z′ (x) + 1− y′ (x)− 0 = 0
4x− 4y′ (x)− 6z′ (x)− 0 = 0⇔
⇔
{3x2 + 6y (x) y
′(x)− 2z (x) z′ (x) + 1− y′ (x)− 0 = 0
4x− 4y′ (x)− 6z′ (x)− 0 = 0⇔
⇔
{(6y (x)− 1) y′ (x)− 2z (x) z′ (x) = −3x2 − 1
4y′(x) + 6z
′(x) = 4x
care este un sistem liniar ı̂n necunoscutele y′(x) şi z
′(x) .
20
Lucia
n Mati
ciuc
Spatiul RnSiruri de puncte din RnLimite de functii si continuitateDerivate partiale de ordinul 1 si 2Diferentiale de ordinul 1 si 2Extreme pentru functii de doua variabileFunctii implicite