PROBLEME DE ANTRENAMENT 2.A.1.Fie A e M2(C) si multimea C(A)={X e M_{2 }(C)|AX=XA} Aratati ca: a) Daca A=k/2,k e C,atunci C(A)=M2(C) b) Daca A?k/2 ,k e C ,atunci C={aA+/2, | a, e C} Solutie: a) Evidenta. b)Fie A=

a bc d si X=

x yz t Atunci din AX=XA,rezulta

ax+bz=xa+ycay+bt=xb+ydcx+dz=za+tccy+dt=zb+td sau

bz=cyy(a-d)=b(x-t)z(a-d)=c(x-t) Daca b=0,se ajunge la o contradictie cu ipoteza.Rezulta (y/b)=(z/c)=((t-x)/(d-a))=a,a e C, de unde obtinem y=ba,z=ca ,t=ad+(x-aa). Fie x-aa=.Atunci

x=aa+y=baz=cat=ad+ si X=

aa+ aca ad+=a

a bc d+

1 00 1=aA+/2 2.A.2.determinati toate matricele Ae M2(C) pentru care A=O2. Solutie: Fie A=

a bc d. Din eglitatea A=O2,obtinem sistemul:

a+bc=0b(a+d)=0c(a+d)=0bc+d=0

Daca a+d?0,atunci b=c=0 si a=d=0,de unde rezulta ca a=d=0,fals,dar a+d?0.Deci a+d=0 si atunci d=-a,iar din egalitatea a+bc=0, daca b=0,rezulta a=0 si deci A=

0 0c 0,c e C,arbitrar. 50| Matematica de excelenta

daca b?0,putem scrie c=-((a)/b) si atunci A=

a b-((a)/b) -a,a,b e C,b?0. Observatie.O matrice A e M2(C) cu proprietatea ca exista n e N? astfel nct An=O2 se numeste matrice nilpotenta. 2.A.3.Determinati toate matricele Ae M2(C) pentru care A=/2. Solutie:Fie A=

a bc d.Din egalitatea A=/2,obtinem sistemul:

a+bc=1b(a+d)=0c(a+d)=0bc+d=1 Daca a+d?0,atunci b=c=0 si a=d=1,de unde rezulta ca a=1,d=1.Cum a=1,d=1 sau a=-1,d=-1 se obtine A=

1 00 -1=/2 , A=

-1 00 -1=-/2. Daca a+d=0,atunci d=-a.Daca b=0,obtinem a=d=1 si atunci A are forma A=

-1 0c 1 sau A=

1 0c -1,cu c e C arbitrar. Daca b?0,avem c=((1-a)/b) si atunci matricea A are foma A=

a b((1-a)/b) -a,a,b e C. Observatie.O matrice A cu proprietatea A=/2 se numeste matrice involutiva,ce corespunde unei simetrii in plan. 2.A.4.Determinati toate matricele A e M2(C) cu proprietatea A=A. Soltie.Fie A=

a bc d .Din egalitatea A=A,rezulta sistemul:

a+bc=ab(a+d)=bc(a+d)=vbc+d=d sau

a+bc=ab(a+d-1)=0c(a+d-1)=0(a-b)(a+d-1)=0 Daca a+d-1?0,atunci b=c=0,a=d e {0,1}.Deci,A=O2 sau A=/2. Daca a+d-1=0,rezulta a+bc=a.Daca b?0,atunci

Algebra.Clasa a XI-a| 51

c=((a-a)/b) si A=

a b((a-a)/b) 1-a cu aeR,b e R^{*}.Daca b=0 atunci a=0 sau a=1 si obtinem A=

0 0c 1 ,c e R sau A=

1 0c 0 ,c e R. Observatie.O matrice A cu proprietatea ca A=A se numeste matrice idempotenta.O astfel de matrice corespunde aplicatiilor de proiectie n plan. 2.A.5.Fie sirurile (x_{n})_{n+1},(y_{n})_{n+1} date prin sistemul de recurenta

x_{n+1}=x_{n}+2y_{n}y_{n+1}=-2x_{n}+5y_{n} ,? n=0 cu X0=1,y0=2. Determinati,n functie de n,termenii generali ai sirurilor (x_{n})_{n+1},(y_{n})_{n+1}

Vasile Pop Solutie:Observam ca ?=(TrA)-4 det A=6-49=0,deci putem aplica metoda expusa,iar sistemul de relatii de recurenta se poate scrie sub forma:

x_{n}y_{n}=A

x_{n-1}y_{n-1}

,?n=1 sau

x_{n}y_{n}=An

x0y0 , ? n=0 sau nca

x_{n}y_{n}=An

12 ,unde A=

1 2-2 5. Deci totul revinde la a afla An. Cum TrA=6 si det A=9 ecultia caracteristica este ?-6?+9=0,de unde rezulta ?1=?2=3,adica An=3nB+n3n?C,de unde B si C se obtin dnd valorile n=1 si n=2.Avem

A=3B+CA=3B+23C'

de unde obtinem: B=/2=

1 00 1 si C=

-2 2-2 2 Rezulta: An=

3n 00 3n+

-2n3n? 2n3n?-2n3n? 2n3n?=

3n?(3-2n) n23n?-n23n? 3n?(3+2n). Asadar,

x_{n}y_{n}=

3n?(3-2n) n23n?-n23n? 3n?(3+2n)

12 , de unde obtinem x_{n}=3n?(2n+3) si y_{n}=23n?(n+3),? n=0.

52 | Matematica de excelenta

2.A.6.Fie functia f(x)=((4x+1)/(2x+3)),unde x este astfel nct sa aiba sens compunerea: (f f ....f)(x)=f_{n}(x),? n e N^{*} Determinati functia f_{n}= (f f....f) de n ori Solutie:Asa cum am vazut,prin compunerea unei functii omografice cu ea insasi de n ori,se obtine tot o functie omografica,daca: f(x)=((ax+b)/(cx+d)),a,b,c,d e R, f_{n}(x)= (f f ....f)(x)=((a_{n}x+b_{n})/(c_{n}x+d_{n})), unde a_{n}, b_{n},c_{n}

,d_{n} sunt elementele matricei An=

a_{n} b_{n}c_{n} d_{n}=

a bc d' Conform celor expuse,problema revine la a calcula An,unde A=

4 12 3. Folosim ecuatia caracteristica a matricei A.Avem ?-TrA?+det A=0,adica ?-7?+10=0,cu radacinile ?1=2 si ?2=5. Daca An=2nB+5nC,unde B,C e M2(C) se determina pentru n=1 si n=2. Obtinem sistemul

2B+5C=4B+25C=

4 12 3

18 714 11

Deci, An=2n

(1/3) -(1/3)

-(2/3) (2/3)+5n

(2/3) (1/3)(2/3) (1/3)=(1/3)

2n+25n -2n+5n-2n?+25n 2n?+5n , adica f_{n}(x)= (f f ....f)(x)=(((2n+25n)x+(5n-2n))/((25n-2n?)x+(2n?+5n))),? n N^{*}

Algebra.Clasa a XI-a | 53

2.A.7.Fie sirul (x_{n})_{n+1} definit prin x_{n}=a>0 si x_{n+1}=((2x_{n}+1)/(2x_{n}+3)),? n e N.Gasiti expresia termenului general x_{n} si calculati lim x_{n} Vasile Pop Solutie:Conform celor expuse,avem x_{n}=((a_{n}x0+b_{n})/(c_{n}x0+d_{n})) unde a_{n},b_{n},c_{n},d_{n} sunt elementele matricei An=

a_{n} b_{n}c_{n} d_{n}=

2 12 3' Calculam An folosind ecuatia caracteristica a matricei A.Avem ?-TrA?+det A=0,adica ?-5?+4=0,de unde ?1=1 si ?2=4.Deci An=1nB+4nC,unde B,C e M2(C) si se determina pentru n=1 si n=2. Obtinem sistemul

B+4C=AB+16C=A' ,de unde B=(1/3)

2 -1-2 1 si C=(1/3)

1 12 2 Prin urmare,An=(1/3)

2 -1-2 1+4n+(1/3)

1 12 2=(1/3)

2+4n -1+4n-2+24n 1+24n,

de unde rezulta x_{n}=(((2+4n)x0+(4n-1))/(2(4n-1)x0+(24n+1))),iar de aici obtinem lim x_{n}=((x0+1)/(2x0+2))=(1/2) 2.A.8.Fie A_{k}e M2(C),k=1,n.Aratati ca: ?det(A1A2...A_{n})=2n?det A1 unde suma se face dupa toate combinatiile de semne. Solutie:Vom demonstra prin inductie matematica dupa n ? N^{* } Pentru n=1 avem det A1+det (-A1)=det A1+(-1)det A1=2 det A1 Presupunem relatia adevarata pentru n=1,p si demonstram pentru n=p+1. ?det(A1A2...A_{n})= =?det[(A1A2...A_{n})+A_{p+1}]+ ?det[(A1A2...A_{n})-A_{p+1}]= =2?[det((A1A2...A_{p})+detA_{p+1}]= =2(2^{p}?detA_{k}+2^{p}det A_{p+1})=2^{p+1}?det A_{k}. Observatie.Am folosit faptul ca daca A,B e M2(C) atunci : det(A+B)+det(A-B)=2[detA+detB]

54 | Matematica de excelenta