matematica_2015

Universitatea de Ştiințe Agricole şi Medicină Veterinară „Ion Ionescu de la Brad” ‐ Iaşi

Suport de curs

MATEMATICĂ Programare liniară, Teoria Probabilităților şi Statistică Matematică DR. CIPRIAN CHIRUȚĂ

2014

Dr. Ciprian Chiruţă Suport de curs

2


3

Introducere

Acest suport de curs „Matematică - Programare liniară, teoria

probabilităţilor şi statistică” se adresează studenţilor din anul I de la facultăţile de

Agricultură, Horticultură şi Zootehnie ale Universităţii de Ştiinţe Agricole şi

Medicină Veterinară precum şi tuturor studenţilor ce doresc să se iniţieze în

noţiunile şi conceptele matematice ce apar în primul an de facultate de la

Universitatea de Ştiinţe Agricole şi Medicină Veterinară "Ion Ionescu de la Brad"

din Iaşi.

Cuvântul „matematică” îşi are originea în cuvântul grecesc „mathema”

care înseamnă „învăţare”, „studii”.

Dezvoltarea conceptelor matematice a pornit din necesitatea de a face

calcule comerciale, de a măsura suprafeţe de teren sau de a prevedea evenimentele

astronomice în scopuri agricole şi culturale.

Matematica este o stiinţă care trebuie învăţată de către studenţi prin lucru

individual, prin repetarea exemplelor ce apar în curs precum şi prin participarea

consecventă a studenţilor la cursuri şi seminarii. Numai asistarea la seminarii şi

citirea precum o poveste a cursului nu este suficientă pentru o bună învăţare a

disciplinei Matematică.

Acest material de curs oferă studenţilor la fiecare capitol de teorie

explicaţii teoretice ale noţiunilor noi introduse precum şi exemple practice

rezolvate în detaliu.

Studenţii trebuie să ştie faptul că noţiunile matematice ce vor fi prezentate

în acest curs se vor strecura în foarte multe cursuri ce vor urma anului I.

Primul capitol este o prezentare a algebrei liniare, utilizată apoi în capitolul

II de algebră abstractă.

Capitolul III urmăreşte noţiunile şi teoremele importante din Programarea

liniară noţiuni ce se vor relua în cursuri de management şi optimizări din anii

superiori.

Capitolul IV de probabilităţi şi statistică este o introducere într-un domeniu

vast şi actual, într-o ramură împortantă a matematicii aplicate şi anume statistica.


4

Aceasta utilizează teoria probabilităţilor care facilitează definirea, analiza şi

predicţia a diverse fenomene, având aplicaţii importante în economie.

Materia este împărţită în două zone distincte.

Prima se va finaliza prin rezolvarea problemelor de programare liniară

folosind algoritmul simplex sau metoda celor două faze.

A doua parte se finalizează prin determinarea intervalelor de încredere

pentru indicatorii statistici ceea va conduce la analiza ipotezelor statistice folosind

testul Student.

Celelalte capitole adună suportul matematic teoretic necesar pentru

înţelegerea conceptelor definite şi analizate în partea finală: elemente de algebră

vectorială şi respectiv probabilităţi.

Pentru studenţii de la Învăţământ la Distanţă este obligatoriu ca

la prezentarea la examenul scris să depună un REFERAT care să

cuprindă rezolvarea de către student a tuturor problemelor propuse în

acest suport de curs de la fiecare capitol.

Autorul.


5

Unitate de învăţare I

Elemente de matematică liniară

Cuprins U.I. I

1.1. Matrice şi determinanţi

1.2. Sisteme de ecuaţii liniare

----------------------------------------------------------------------------------- Obiectivele U.I. I. 1. Să identifice diferite tipuri de matrice; 2. Să calculeze prin diferite metode determinanți, rangul unei matrice,

inversa unei matrice; 3. Să rezolve prin metodele: Cramer, Gauss şi Gauss‐Jordan sisteme de

ecuații liniare; 4. Să determine inversa unei matrice utilizând metoda eliminării totale; 5. Să rezolve inecuații liniare şi sisteme de inecuații liniare în două

variabile. -----------------------------------------------------------------------------------

1.1. Matrice şi determinanţi

În această secţiune vor apărea definiţii şi proprietăţi din algebra matriceală

cum ar fi noţiunea de matrice, determinant, rang al matricei, sisteme de ecuaţii

liniare.

Definiţia 1. Se numeşte matrice ( ),m nM o mulţime de nm ⋅ numere aranjate

într-un tablou dreptunghiular având m linii şi n coloane.

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

mnmm

n

n

aaa

aaaaaa

A

21

22221

11211

,

unde njmiaij …… ,1,,1, == se numesc elementele matricei A.

O matrice cu m linii şi n coloane se numeşte matrice de tip ( )nm, sau

matrice de ordinul nm× . ( ),m nM reprezintă mulţimea matricelor de tip ( )nm, ,

având toate elementele din .


6

1.1.1. Cazuri particulare:

1. O matrice de tip ( )1,m se numeşte matrice coloană (vector coloană).

.

1

21

11

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

ma

aa

A

2. O matrice de tip ( )n,1 se numeşte matrice linie.

( ).aaa 1n1211=A

3. O matrice de tip ( )nn, se numeşte matrice pătratică de ordin n.

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

nnnn

n

n

aaa

aaaaaa

A

21

22221

11211

.

Elementele nnaaaa …,,, 332211 formează diagonala principală a matricei.

4. O matrice de tip ( )nm, având toate elementele egale cu zero se numeşte

matrice nulă. Se notează cu O .

5. O matrice patratică ale cărei elemente care nu se află pe diagonala

principală sunt toate nule se numeşte matrice diagonală.

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

nna

aa

A

00

0000

22

11

.

6. O matrice diagonală pentru care 1332211 ===== nnaaaa … se numeşte

matrice unitate de ordin n. Matricea unitate se notează cu nI sau nE .

.

100

010001

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=nI


7

Definitia 2. Două matrice de acelaşi tip nmA , şi nmB , sunt egale dacă elementele

lor sunt respectiv egale: .,1,,1, njmiba ijij …… === Notăm BA = .

1.1.2. Operaţii cu matrice

1. Adunarea matricelor

Definiţia 3. Fie ( ),, m nA B M∈ având ( )ija elementele matricei A şi ( )ijb

elementele matricei B . Definim adunarea matricelor A şi B ca fiind matricea

( ),m nC M∈ cu elementele ( ) njmicij …… ,1,,1 == unde ijijij bac += .

Proprietăţile adunării matricelor:

1. Asociativitate

Oricare ar fi matricele ( ),, , m nA B C M∈ implică ( ) ( )CBACBA ++=++ .

2. Comutativitate

Oricare ar fi matricele ( ),, m nA B M∈ implică ABBA +=+ .

3. Element neutru

Există matricea nulă ( ),m nO M∈ astfel încât ( ),m nA M∀ ∈ are loc

AAOOA =+=+ .

4. Opusa matricei

Oricare ar fi matricea ( ),m nA M∈ există matricea ( ) ( ),ij m nA a M− = − ∈

astfel încât are loc relaţia ( ) ( ) OAAAA =+−=−+ .

EXEMPLU:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=+

209171

826132

623041

BA .

2. Înmulţirea matricelor

Definiţia 4. ( ),m nA M∈ şi ( ),n pB M∈ , cu elemenentele ( )ijaA = şi ( )jkbB = .

Definim produsul matricelor BA ⋅ (în această ordine) ca fiind matricea


8

( ),m pC A B M= ⋅ ∈ cu elementele ( )ikcC = unde

nkinkiki

n

jjkijik babababac +++==∑

=

...22111

.

Observaţie. Produsul BA ⋅ a două matrice se poate efectua doar dacă numărul de

coloane a matricei A este egal cu numărul de linii a matricei B.

EXEMPLU:

( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

2, 3 3, 2 2, 2; , ;

1 21 0 3

3 12 4 1

0 2

1 1 0 3 3 0 1 2 0 1 3 2 1 8.

2 1 4 3 1 0 2 2 4 1 1 2 10 6

A M B M A B C C M

A B

∈ ∈ ⇒ ⋅ = ∈

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟⋅ = ⋅ − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎛ ⎞⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ − + ⋅ ⎛ ⎞

= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟− ⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ − + ⋅ −⎝ ⎠⎝ ⎠

Proprietăţile înmulţirii matricelor:

1. Asociativitate

Oricare ar fi matricele ( ),m nA M∈ , ( ),n pB M∈ , ( ),m pC M∈ are loc

relaţia ( ) ( )CBACBA ⋅⋅=⋅⋅ .

2. Element neutru la înmulţire

Există matricea unitate nI astfel încât oricare ar fi matricea pătratică de

ordin n ( )nA M∈ are loc relaţia AAIIA nn =⋅=⋅ .

3. Distributivitatea la stânga a înmulţirii faţă de adunare

Fie matricele ( ), , nA B C M∈ atunci are loc relaţia

( ) CABACBA ⋅+⋅=+⋅ .

4. Distributivitatea la dreapta a înmulţirii faţă de adunare

Fie matricele ( ), , nA B C M∈ atunci are loc relaţia

( ) CBCACBA ⋅+⋅=⋅+ .

1.1.3. Înmulţirea cu un scalar

Definiţia 5. Definim produsul matricei ( ),m nA M∈ cu scalarul α ∈ ca fiind

matricea ( ),m nB M∈ cu elemenetele ijij ab ⋅= α . Putem scrie αα ⋅=⋅= AAB .

EXEMPLU:


9

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−⋅=⋅

0230

42

012130

421

aaaaaaa

aAa .

Proprietăţi ale înmulţirii cu scalari:

1. ,1 AA =⋅

2. ( ) ,AAA ⋅+⋅=⋅+ βαβα

3. ( ) ,BABA ⋅+⋅=+⋅ ααα

4. ( ) ( ),AA ⋅⋅=⋅⋅ βαβα

5. ( ) ( ) ,BABA ⋅⋅=⋅⋅ αα unde ( ),, m nA B M∈ şi R∈βα , .

1.1.4. Transpusa unei matrice

Definiţia 6. Numim transpusă a matricei ( ),m nA M∈ cu elementele ( )ija

matricea notată ( )jiT aA = care are drept linii, respectiv coloanele matricei A şi

drept coloane respectiv liniile matricei A .

Exemplu:

Transpusa matricei ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

987654321

A este matricea ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

963852741

TA .

Definiţia 7. Spunem că matricea pătratică ( )nA M∈ este simetrică dacă

matricea transpusă este egală cu matricea iniţială AAT = adică jiij aa = oricare ar

fi nji ,1, = şi antisimetrică dacă AAT −= adică jiij aa −= oricare ar fi

nji ,1, = .

Exemplu:

Transpusa matricei ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

395928581

A este matricea ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

395928581

TA .

1.1.5. Determinanţi

Definiţia 8. Fie ( ) ( )ij nA a M= ∈ o matrice pătratică. Se numeşte determinantul

lui A numărul det A definit prin relaţia:


10

( )( )∑ −=

n

nnaaaAαααα

αααω

,,21

321

211det unde nααα …,, 21 sunt elementele { }n…,3,2,1 ,

iar suma cuprinde toate permutările posibile ale acestora şi 0=ω dacă

permutarea este pară şi 1=ω dacă permutarea este impară.

Exemplu:

122122112221

12111det aaaa

aaaa

A ⋅−⋅== ,

==

333231

232221

131211

2detaaaaaaaaa

A .

331221233211132231312312133221332211 aaaaaaaaaaaaaaaaaa ⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=

În practică, dacă determinantul este de ordin n (n > 3) se foloseşte o tehnică prin

care este adus la o sumă de determinanţi de ordin mai mic n-1 până când poate fi

calculat cu ajutorul formuleleor de mai sus. Tehnica constă în descompunerea

determinantului după o linie sau coloană.

EXEMPLU:

Să se calculeze determinantul următor:

2121212043221111

det =A ,

Determinantul propus este de 4 linii şi 4 coloane. Facem descompunerea după

prima linie astfel:

( ) ( ) +⋅⋅−+⋅⋅−== ++

211210432

11212212432

11

2121212043221111

det 2111A

( ) ( )121120322

11221220422

11 4131 ⋅⋅−+⋅⋅−+ ++ .

În acest mod determinatul a fost transformat într-o sumă de determinanţi ce pot fi


11

calculaţi.

Pentru a ne simplifica calculele se poate observa că prima linie conţine numai

valori de 1. Înainte de a face descompunerea după prima linie se pot aplica o serie

de transformări liniare care să aibă ca rezultat apariţia pe prima linia a mai multor

valori de zero.

1011212021020001

2011212041021001

2111212043021101

2121212043221111

det 141312 CCCCCCA −−−=

( ) ( ) +⋅⋅−+⋅⋅−== ++

101210212

01101212210

11

1011212021020001

det 2111A

( ) ( )011120102

01111220202

01 4131 ⋅⋅−+⋅⋅−+ ++ .

În urma acestor calcule observăm că determinantul iniţial de ordin 4 s-a

descompus ca sumă a 4 determinanţi de ordin 3 din care doar unul singur (primul)

este înmulţit cu un scalarul diferit de zero.

( ) .2202200101212210

11

1011212021020001

det 11 −=−−−++=⋅⋅−== +A

1.1.6. Rangul unei matrice

Definiţia 9. Fie ( ),m nA M∈ o matrice de tipul ( )nm, . Dacă în matricea A

alegem la întâmplare k linii şi k coloane (unde { }nmk ,min≤ ) atunci elementele

care se găsesc la intersecţia acestor linii şi coloane formează o matrice pătratică de

ordinul k. Determinantul acestei matrice se numeşte minor de ordin k al matricei

A.


12

Definiţia 10. Fie ( ),m nA M∈ o matrice nenulă. Spunem că matricea A are

rangul r dacă matricea A are un minor de ordin r nenul şi toţi minorii de ordin

superior, dacă există, sunt nuli. Notaţia rang A = r.

1.1.7. Matrice inversabile

Definiţia 11. O matrice pătratică se numeşte singulară dacă determinantul său

este nul şi se numeşte nesingulară dacă determinantul său este nenul.

Definiţia 12. Fie A o matrice pătratică de ordin n. Spunem că matricea A este

inversabilă dacă există o matrice pătratică de ordin n, notată 1−A , astfel încât are

loc relaţia:

nIAAAA =⋅=⋅ −− 11 .

Teoremă 1. Fie o matrice A pătratică de ordin n. Matricea este inversabilă dacă

şi numai dacă ea este nesingulară, adică 0det ≠A .

Definiţia 13. Numim transformări elementare liniare asupra matricei A aplicarea

uneia din următoarela operaţii:

T1: Înmulţirea unei linii cu un număr diferit de zero;

T2: Adunarea unei linii la altă linie element cu element;

T3: Schimbarea a două linii între ele.

Observaţie. Dacă asupra unei matrice A aplicăm transformări elementare rangul

acesteia nu se schimbă.

EXEMPLU:

Fie matricea ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−=

113112

102A . Verificaţi dacă matricea este inversabilă şi calculaţi

rangul matricei A .

Rezolvare:

Verificăm dacă matricea este inversabilă, utilizând Teorema 1:


13

( ) ( ) ( ) ( ) =−⋅⋅−⋅⋅−−⋅⋅−⋅−⋅+⋅⋅+−⋅⋅=−−= 102211113310112112

113112

102det A

01023022 ≠−=++−++−= deci matricea este nesingulară şi

conform teoremei 1 este inversabilă.

Având în vedere că determinatul de ordin 3 este diferit de zero şi alt minor

cu grad mai mare nu avem rezultă ca rangul matricei este egal cu 3.

Exerciţii:

1. Să se calculeze următorii determinanţi, aplicând proprietăţile

determinanţilor:

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

1003414303

A , ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ +−+=

abab

bababaB

202111 .

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

111111

111111

xx

xx

C ,

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

1113113113113111

D .

2. Să se verifice dacă următoarele matrice verifică relaţia:

02 23 =+−+ nIAAA

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

1221

A , ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

101414101

A .

3. Ridicaţi la puterea n , n∈ matricele:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

1011

A , ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

100110101

A .

4. Determinaţi rangul matricei:

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−−−

−=

24224242

6224A ;

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−−=26214262

6621B


14

1.2. Sisteme de ecuaţii liniare

Multe fenomene din viaţa reală se pot modela cu ajutorul sistemelor de

ecuaţii liniare. Acest curs este dedicat studiului sistemelor de ecuaţii algebrice de

gradul întâi cu mai multe necunoscute şi a metodelor de rezolvare a acestor

sisteme.

Definiţia 14. Se numeşte sistem liniar de m ecuaţii cu n necunoscute ansamblul

de ecuaţii liniare:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+++

=+++=+++

.

,,

2211

22222121

11212111

mnmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxabxaxaxa

(1)

unde ija ∈ , ib ∈ , unde njmi ≤≤≤≤ 1,1 , variabilele Rxxx n ∈,,, 21 … se

numesc necunoscutele sistemului, constantele ija ∈ se numesc coeficienţii

sistemului, iar ib ∈ se numesc termenii liberi.

Observaţie: a) Coeficienţii sistemului formează o matrice de tip ( )nm, denumită

matricea sistemului.

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

mnmm

n

n

aaa

aaaaaa

A

21

22221

11211

.

Dacă adăugăm coloana termenilor liberi obţinem matricea extinsă a

sistemului, notată A .

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

mmnmm

n

n

baaa

baaabaaa

A

21

222221

111211

.

b) Sistemul (1) se poate scrie sub forma:

∑=

=n

jijij bxa

1

unde mi …,1= . (2)

Dacă pentru necunoscute şi termeni liberi se folosesc vectorii coloană:


15

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

nx

xx

X 2

1

şi

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

nb

bb

B 2

1

,

atunci sistemul (1) se poate scrie sub forma matriceală:

BXA =⋅ . (3)

Un sistem liniar se numeşte omogen dacă coloana termenilor liberi este

formată numai din valori nule, iar în caz contrar se numeşte neomogen.

Definiţie 15. Se numeşte soluţie a unui sistem liniar de forma (1) un n-uplu

( )nxxx ,,, 21 … care verifică simultan toate cele m ecuaţii ale acestuia.

Sistemul (1) se numeşte compatibil dacă are cel puţin o soluţie şi se numeşte

incompatibil în caz contrar.

Un sistem compatibil se numeşte compatibil determinat dacă are o singură

soluţie şi compatibil nedeterminat dacă admite mai multe soluţii.

Observaţie: problema fundamentală în legătură cu un sistem liniar este

determinarea mulţimii S a soluţiilor sale, adică a tuturor n-uplurilor care verifică

simultan toate ecuaţiile.

Teoremă (Kronecker1 - Capelli2)

Un sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute este compatibil determinat

dacă şi numai dacă rangul matricei sistemului este egal cu rangul matricei extinse

a sistemului.

Dacă nkArangArang === (n - numărul necunoscutelor) atunci sistemul

este unic determinat.

Dacă nkArangArang <== atunci sistemul este compatibil

nedeterminat.

Dacă ArangArang ≠ atunci sistemul este incompatibil.

1 Leopold Kroneker (1823‐1891) ‐ matematician german;

2 Alfredo Capelli (1855‐1910) ‐ matematician Italian;


16

1.2.1. Rezolvarea sistemelor de ecuaţii:

1. Sistem CRAMER3

Un sistem algebric liniar pentru care nmr == (rangul matricei este egal cu

numărul de linii şi de coloane) se numşte sistem Cramer.

Formula generală este

∑=

=n

jijij bxa

1

, unde ni …,1= şi 0det ≠A . (4)

Acest sistem este compatibil unic determinat şi soluţia sa se obţine cu

formula lui Cramer:

AA

x jj det

det= , unde nj …,1= , (5)

iar jA se obţine din matricea A prin înlocuirea coloanei j cu coloana termenilor

liberi.

EXEMPLU:

Fie sistemul:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++=+−=−−

.2,723,924

321

321

321

xxxxxxxxx

Pentru a verifica dacă acest sistem poate fi rezolvat cu metoda Cramer

trebuie să calculăm determinantul lui şi să observăm dacă este diferit de zero.

( ) 0262834134111231124

≠−=+−−−−−⋅=−−−

=Δ .

În acest caz rangul matricei este 3 egal cu numărul necunoscutelor şi cu

numărul ecuaţiilor deci este sistem Cramer:

Pentru determinarea necunoscutelor 321 ,, xxx vom calcula determinanţii

3 Gabriel Cramer (1704‐1752) ‐ matematician elveţian, doctorat la 18 ani in matematică, contribuţii: regula lui Cramer, paradoxul lui Cramer;


17

corespunzători acestor soluţii 321 ,, xxx ΔΔΔ astfel: pentru 1xΔ vom înlocui prima

coloană din determinant cu coloana termenilor liberi. În mod analog şi pentru

ceilalţi determinanţi. Necunoscutele se vor găsi prin fomula:

ΔΔ

=ΔΔ

=ΔΔ

= 33

22

11 ,, xxxxxx .

52141868727112237129

1 −=+−−−−−=−−−

=Δx ,

26916718228121271194

2 =−−++−=−

=Δx ,

264282714924211731924

3 −=+−+−+−=−−

=Δx ,

12626,1

2626,2

2652 3

32

21

1 =−−

=ΔΔ

=−=−

=ΔΔ

==−−

=ΔΔ

=xxxxxx .

Rezolvând sistemul folosind regula lui Cramer se obţine soluţia

1,1,2 321 =−== xxx .

2. Metoda eliminării parţiale GAUSS4 (metoda eliminărilor succesive)

Metoda eliminării parţiale GAUSS constă în utilizarea unor transformări

elementare succesive ale sistemului iniţial pentru a transforma sistemul iniţial într-

un sistem de ecuaţii echivalent, eliminând pe rând câte o variabilă din toate

ecuaţiile sistemului cu excepţia unei singure ecuaţii în care coeficientul variabilei

să fie egală cu unitatea.

Procesul de calcul prezentat în această secţiune se numeşte PIVOTAJ şi se

realizează efectuând transformări elementare asupra liniilor din sistem.

4 Carl Friedrich Gauss (1777‐1855) ‐ mathematician, fizician, astronom german, directorul observatorului astronomic din Gottingen;


18

Fie sistemul:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+++

=+++=+++

.

,,

2211

22222121

11212111

mnmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxabxaxaxa

Dacă 011 ≠a atunci pentru variabila 1x putem să avem coeficientul egal cu

1 dacă se împarte prima linie la 11a . Dacă 011 =a atunci putem facem o

transformare elementară şi anume să schimbăm linia 1 cu oricare altă linie în care

coeficientul lui 1x este diferit de zero.

Elementul 11a se numeşte pivot. Prin această operaţie elementară prima

ecuaţie devine:

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=+++

=+++

=+++

.

,

,

2211

22222121

11

1

11

12

11

121

mnmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxaabx

aax

aax

Pentru a elimina necunoscuta 1x din celelalte ecuaţii rămase 2, 3, 4, ..., m

vom înmulţi prima ecuaţie pe rând cu 13121 ,,, maaa … şi se scade din ecuaţia 2,

apoi din ecuaţia 3 până la ecuaţia m. În final vom obţine următoarele ecuaţii

echivalente unde necunoscuta 1x se găseşte doar în prima ecuaţie.

,11

1

11

13

11

132

11

121 a

bxaax

aax

aax n

n =++++

,0 2111

1221

11

12321

11

1323221

11

1222 a

abbxa

aaaxa

aaaxa

aaa n

nn −=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

.0 111

11

11

131

11

13321

11

122 mmnm

nmnmmmm a

abbxa

aaaxa

aaaxa

aaa −=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

La pasul următor dacă 2x are coeficientul nenul în ecuaţia a doua se va alege

acesta drept pivot şi se foloseşte aceaşi schemă de eliminare a necunoscutei 2x

din toate ecuaţiile cu excepţia ecuaţiei 2 în care va avea coeficientul egal cu 1.

Dacă coeficientul lui 2x este zero atunci putem facem o transformare

elementară şi anume să schimbăm linia 2 cu oricare altă linie în care coeficientul

lui 2x este diferit de zero.


19

Algoritmul continuă până când nu vom mai putea elimina nici o variabilă

prin această schemă de calcul.

Prin aceste transformări elementare efectuate numai asupra liniilor matricei

extinse A se va obţine forma (6).

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

+

m

r

r

n

n

n

q

qq

qpqppqppp

P

0000

00001000

10010

1

1

33

2223

111312

cu ripij ,,1,0 =≠ . (6)

Sistemul (1) este echivalent cu sistemul care are drept matrice extinsă

matricea P.

Observaţie:

a) Dacă nmr == sistemul (1) este compatibil unic determinat;

b) Dacă mr < sistemul (1) este compatibil dacă şi numai dacă

021 ==== ++ mrr qqq ;

c) Dacă nr < atunci sistemul este compatibil nedeterminat şi admite o

infinitate de soluţii.

Soluţia sistemului se citeşte începând cu necunoscuta r.

.,

,

131321211

111

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−−−−=

−==

−−−

nn

nnrrn

rn

xpxpxpqx

xpqxqx

(7)

EXEMPLU:

Să se rezolve următorul sistem, folosind metoda eliminării parţiale:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++=+−=−−

.2,723,924

321

321

321

xxxxxxxxx


20

Pas 1. Scriem matricea extinsă a sistemului. Stabilim pivotul în acest caz 4:

( )

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−

−−=

211172319124

A .

Pas 2. Facem ca valoarea pivotului să fie 1. Împărţim linia 1 cu 4:

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−−

2111723149

41

211

.

Pas. 3. Contruim zerouri pe restul coloanei în afară de pivot. Adunăm la linia 2

linia 1 înmulţită cu (-1) şi adunăm la linia 3 linia 1 înmulţită cu (-1). Notăm

( )112 −+ LL şi ( )113 −+ LL . Obţinem:

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

−−

41

45

230

419

49

250

49

41

211

.

Pas 4. Se repetă procedeul pentru o coloana a doua. Alegem pivotul pentru

coloana a doua pe 25

− . Facem ca valoarea pivotului să devină 1. Înmulţim linia

2 cu 52

− :

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−−

−−

41

45

230

1019

10910

49

41

211

.

Pas. 5. Folosind metoda eliminării parţiale trebuie să facem numai elementul de

sub pivot pe coloana 2 să fie zero. ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−+

2323 LL :


21

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−−

−−

513

51300

1019

10910

49

41

211

.

Matricea anterioară este corespunzătoare următorului sistem de ecuaţii:

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

−=−

−=−−

.5

135

13

,1019

109

,49

41

21

3

32

321

x

xx

xxx

Se poate calcula imediat valoarea lui x3 =1.

Apoi înlocuim valoarea aflată în ecuaţia 2 a sistemului pentru a afla x2:

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

−=+−=

−=−−

.1

,1109

1019

,49

41

21

3

2

321

x

x

xxx

Apoi înlocuim valoarea aflată în ecuaţia 1 a sistemului pentru a afla x1:

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=−=

=−−

+−=

,1;1

241

42

49

3

2

1

xx

x

deci soluţia sistemului va fi: 1,1,2 321 =−== xxx .


22

3. Metoda eliminării totale (GAUSS - JORDAN5)

Metoda de lucru propusă în acest paragraf va fi folosită la rezolvarea

sistemelor de ecuaţii cu m ecuaţii şi n necunoscute, la calcularea inversei unei

matrice, în tot capitolul de spaţii vectoriale şi în cadrul algoritmului simplex sau

problema celor două faze.

Generalizarea pentru sisteme de tip ( )nm, este simplă: ideea centrală a

metodei eliminării complete este de a aduce matricea extinsă a sistemului la o

formă care să conţină numărul maxim posibil de coloane ale matricei unitate.

Metoda se aplică începând cu prima coloană şi la fiecare pas se obţine o nouă

coloană a matricei unitate.

Model intuitiv:

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

3333231

2232221

1131211

baaabaaabaaa

⇔⇔ ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

3

2

1

100010001

xxx

(10)

FORMĂ INIŢIALĂ TRANSFORMĂRI ELEMENTARE SOLUŢIE

Se porneşte de la sistemul de ecuaţii cu m ecuaţii şi n necunoscute:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+++

=+++=+++

.

,,

2211

22222121

11212111

mnmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxabxaxaxa

(*)

Matricea extinsă ataşată acestui sistem este:

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

mmnmm

n

n

baaa

baaabaaa

21

222221

111211

Metoda de lucru în acest scop va fi denumită regula dreptunghiului şi o

prezentăm pe scurt în 4 paşi:

5 Wilhelm Jordan (1842‐1899) ‐ geodesist german;


23

Pas 1. Se alege un pivot diferit de zero.

Pas 2. Linia pivotului se împarte la valoarea pivotului pentru a obţine

valoarea 1.

Pas 3. Coloana pivotului se completează cu zerouri.

Pas 4. Celelalte elemente se calculează cu regula dreptunghiului de mai

jos:

locatiea

bpivot rezultatul va fi

pivotbalocatie

pivotb

⋅−0

1.

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+

+

+

+

+

m

r

rrnrr

nr

nr

nr

q

qqpp

qppqppqpp

000000

0000001000

010000100001

1

1

3313

2212

1111

Observaţie: Se presupune că am identificat numărul maxim de linii şi

coloane din matricea unitate. În urma acestor calcule vom ajunge în cazul general

la matricea anterioară.

Pentru o justificare matematică a metodei vezi Lema substituţiei din cap.

III.

Teoremă 2.

Sistemul (*) este compatibil dacă şi numai dacă 021 ==== ++ mrr qqq .

Observaţii:

1. Dacă o singură valoare din şirul mrr qqq ,,, 21 ++ este diferită de zero

atunci sistemul este incompatibil. În acest moment algoritmul se opreşte.

2. Dacă toate valorile din şirul mrr qqq ,,, 21 ++ sunt zero atunci sistemul

este compatibil iar liniile completate doar cu valoarea zero pot fi eliminate

deoarece ele reprezintă combinaţii liniare ale celorlalte linii din sistem.

3. După eliminarea liniilor cu valoarea zero va rămâne un sistem de forma


24

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+

+

+

+

rrnrr

nr

nr

nr

qpp

qppqppqpp

1

3313

2212

1111

1000

010000100001

unde matricea unitate are r linii şi coloane.

Distingem următoarele cazuri:

Primul caz este sistem compatibil determinat cu soluţie unică care apare

atunci când matricea unitate are n coloane. (r = n).

În acest caz soluţia sistemului se citeşte pe coloana termenilor liberi:

.,,,, 332211 nn qxqxqxqx ====

Al doilea caz este sistem compatibil nedeterminat. În acest caz

variabilele ce corespund coloanelor matricii unitate se vor numi principale şi vor

fi determinate în funcţie de celelalte variabile numite secundare.

Sistemul va deveni în acest caz:

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=+++

=+++=+++=+++

++

++

++

++

rnrnrrrr

nnrr

nnrr

nnrr

qxpxpx

qxpxpxqxpxpx

qxpxpx

11

331133

221122

111111

Soluţia acestui sistem o obţinem trecând în membrul drept toţi termenii în

afară de variabilele principale.

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

−−−=

−−−=−−−=−−−=

++

++

++

++

nrnrrrrr

nnrr

nrr

nnrr

ppqx

ppqxppqx

ppqx

αα

αααααα

11

311333

211222

111111

şi

.

,,,

33

22

11

mm

rr

rr

rr

x

xxx

α

ααα

=

===

++

++

++


25

EXEMPLU:

Să se rezolve următorul sistem, folosind metoda eliminării totale (GAUSS-

JORDAN):

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++=+−=−−

.2,723,924

321

321

321

xxxxxxxxx

Se porneşte de la matricea extinsă a coeficineţilor sistemului:

( )

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−

−−=

211172319124

A .

Iteraţia 1. Se alege pivotul 4, se împarte linia pivotului la valoarea 4, coloana

pivotului se completează cu zero şi restul elementelor se calculează cu regula

dreptunghiului. Obţinem:

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

−−

41

45

230

419

49

250

49

41

211

.

Iteraţia 2. Se alege pivotul 25

− , se împarte linia pivotului la valoarea 25

− ,

coloana pivotului se completează cu zero şi restul elementelor se calculează cu

regula dreptunghiului. Obţinem:

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−−

−

513

51300

1019

10910

1013

10701

.

Iteraţia 3. Se alege pivotul 5

13 , se împarte linia pivotului la valoarea 5

13 , coloana

pivotului se completează cu zero şi restul elementelor se calculează cu regula

dreptunghiului. Obţinem:


26

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−11001010

2001.

Observăm în partea stângă a matricei extinse apariţia matricii unitate şi în

partea dreaptă cele trei soluţii 1,1,2 321 =−== xxx .

Exerciţii:

1. Să se rezolve următoarele sisteme folosind metoda Cramer:

a) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++−=+−=−+

.432,232,032

321

321

321

xxxxxxxxx

S: 1,1,1 321 === xxx .

b) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++=++=++

.92,72,82

321

321

321

xxxxxxxxx

S: 3,2,1 321 === xxx .

2. Să se rezolve următorul sistem folosind metoda eliminării parţiale

(Gauss):

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+++=+++=+++=+++

.104,74,44,74

4321

4321

4321

4321

xxxxxxxxxxxxxxxx

S: 2,1,0,1 4321 ==== xxxx .

3). Să se rezolve următoarele sisteme folosind metoda eliminării totale

(Gauss Jordan):

a).

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−=+++=+++=+++−=+++

.23,23,23

,23

4321

4321

4321

4321

xxxxxxxxxxxxxxxx

S: 1,1,1,1 4321 −===−= xxxx .

b). ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+−−=+−

=++

.30446,532

,20

321

321

321

xxxxxx

xxx S: Rxxx ∈=−=−= αααα ,,

519,

5411 321 .


27

Explicitarea unui sistem de ecuaţii

Acest paragraf va fi necesar în cadrul explicaţiilor şi aplicaţiilor din capitolul III.

Definiţie 16. Un sistem de ecuaţii liniare este explicitat dacă matricea sistemului

conţine toate coloanele matricei unitate de ordin egal cu numărul ecuaţiilor

sistemului.

Definiţie 17. Fie un sistem de ecuaţii liniare adus la o formă explicită. Variabilele

care corespund coloanelor matricei unitate se numesc variabile principale sau

variabile de bază, iar celelalte variabile se numesc variabile secundare sau

nebazice.

Un sistem compatibil determinat nu are decât variabile principale. În

această formă soluţia sistemului poate fi citită direct de pe ultima coloană, cea

corespunzătoare termenilor liberi. Deci poate fi compatibil determinat doar un

sistem cu numărul de linii egal cu numărul de coloane.

De un interes deosebit pentru elementele de programare liniară care vor fi

abordate în capitolele următoare sunt sistemele compatibile nedeterminate.

Un astfel de sistem are rangul egal cu numărul ecuaţiilor, iar numărul

ecuaţiilor este mai mic decât numărul necunoscutelor (m < n). El va avea m

necunoscute principale şi n – m necunoscute secundare.

Variabilele principale se exprimă în funcţie de variabilele secundare care

pot primi orice valori reale şi astfel se obţine înfinitatea de soluţii.

Definiţie 18. Se numeşte soluţie de bază a sistemului liniar de m ecuaţii cu n

necunoscute orice soluţie a sistemului obţinută în cadrul unei forme explicite prin

egalarea cu zero a variabilelor secundare.

Observaţie: Este posibil ca în urma egalării cu zero a variabilelor secundare să

rezulte şi printre variabilele principale unele soluţii egale cu zero. Se poate face o

nouă clasificare dată de definiţia următoare.

Definiţie 19. Dacă o soluţie de bază are exact m componente nenule ea se numeşte

nedegenerată, iar dacă ea are mai puţin de m componente nenule se numeşte

degenerată.


28

Fiind dat un sistem liniar de m ecuaţii cu n necunoscute, având m < n, cu cele n

variabile ale sistemului se pot forma mnC grupuri diferite de m variabile.

Teorema 3. Dacă un sistem liniar de m ecuaţii cu n necunoscute admite cel puţin

o formă explicită atunci el admite cel mult mnC forme explicite.

Definiţie 20. Dacă pentru o soluţie de bază toate variabilele au valoare nenegativă

atunci soluţia se numeşte admisibilă sau fezabilă.

Orice formă explicită a sistemului are m variabile principale şi n - m

variabile secundare. Formele explicite diferă între ele tocmai prin grupul de

variabile principale. Atunci când se face trecerea de la o formă explicită la alta

prin pivotaj una din variabilele secundare devine principală sau de bază, iar una

din variabilele principale devine secundară (sau nebazică), pentru că numărul de

m variabile principale rămâne constant.

O justificare riguroasă a acestor expresii va apare în capitolul următor prin

prisma structurilor algebrice care se numesc spaţii liniare (spaţii vectoriale).

Exemplu:

Să se rezolve şi să se discute soluţiile sistemului:

⎩⎨⎧

=+−+=+−+

632232

4321

4321

xxxxxxxx

.

Scriem matricea extinsă a sistemului :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

6311221321

.

Pentru a construi o matrice unitate vom folosi regula dreptunghiului. Aleg

pivotul 1 de pe prima linie şi prima coloană:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−2153021321

.

Pentru a uşura exemplul vom alege următorul pivot valoarea 1 din locaţia linia 2

coloana 4.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−2153000851

.


29

În acest moment am determinat o formă explicită a sistemului: matricea unitate

este pe coloana 1 şi coloana 4. Acest lucru conduce la variabile principale 1x şi

4x , iar variabile secundare 2x şi 3x . Sistemul va avea 624 == CC m

n forme

explicite.

Sistemul este compatibil (are soluţie) nedeterminat (are o infinitate de soluţii):

Sistemul corespunzător matricei obţinute este:

⎩⎨⎧

=++−=−+

253085

432

321

xxxxxx

.

Dacă 2x şi 3x sunt variabile secundare atunci le vom nota α şi β parametrii reali

şi vom obţine forma sistemului:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

==

=++−=−+

βα

βαβα

3

2

4

1

253085

xx

xx

.

De unde obţinem soluţia generală:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

==

−+=+−=

βα

βαβα

3

2

4

1

53285

xxxx

.

1.2.2. Calcularea inversei unei matrice folosind metoda eliminării complete

Metoda eliminării complete oferă o modalitate comodă de calculare a

inversei unei matrice. Amintim din definiţia 12 (paragraf 1.1.7.) că o matrice

pătratică de ordinul n este inversabilă dacă există 1−A astfel încât

nIAAAA =⋅=⋅ −− 11 , unde nI este matricea unitate de ordinul n.

Vom exemplifica metoda pe o matrice pătratică de ordinul 2, generalizarea

la o matrice de ordin n fiind imediată.

Fie ( )RMA 2∈ pe care o presupunem inversabilă.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

2221

1211

aaaa

A .


30

Calcularea inversei înseamnă determinarea elementelor necunoscute ale

matricei

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=−

2221

12111

xxxx

A astfel încât 211 IAAAA =⋅=⋅ −− ,

adică

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛1001

2221

1211

2221

1211

xxxx

aaaa

.

Dezvoltăm expresiile şi obţinem:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++++

1001

2222122121221121

2212121121121111

xaxaxaxaxaxaxaxa

,

din care obţinem sistemele:

⎩⎨⎧

=+=+

⎩⎨⎧

=+=+

10

01

22221221

22121211

21221121

21121111

xaxaxaxa

xaxaxaxa

. (11)

Matricele extinse ale sistemelor (11) sunt:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛10

01

2221

1211

2221

1211

aaaa

aaaa

.

Ambele sisteme se pot rezolva prin metoda eliminării complete

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

22

12

21

11

1001

1001

bb

bb

,

adică:

⎩⎨⎧

==

⎩⎨⎧

==

2222

1212

2121

1111

bxbx

bxbx

,

de unde rezultă:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=−

2221

1211

2221

12111

bbbb

xxxx

A .

Sistemele (11) au ambele aceaşi matrice a coeficienţilor de aceea ele pot fi

rezolvate simultan, scriind împreună cele două matrice extinse:


31

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛1001

2221

1211

aaaa

.

În acest fel se poate calcula 1−A , plecând de la tabloul în care matricea A

ocupă partea stângă şi matricea unitate partea dreaptă. Se aplică metoda eliminării

complete până când se ajunge la tabloul care are în stânga matricea unitate

moment în care în partea dreaptă apare matricea 1−A :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

2221

1211

1001

xxxx

.

Dacă în urma calculelor în membrul drept se obţine o linie compusă numai

cu valori zero atunci se trage concluzia că matricea nu este inversabilă.

EXEMPLU:

Să se calculeze inversa matricei A:

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−=

113112

102A .

Se construieşte tabloul următor:

( )

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−=

100113010112001102

A .

Pas. 1. se alege pivotul şi se aduce la valoarea 1 prin regula dreptunghiului

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

−−

1023

2510

011210

0021

2101

.

Pas. 2. Alegem al doilea pivot care are valoare 1 şi repetăm raţionamentul:

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

−−

1121

2100

011210

0021

2101

.


32

Pas. 5. Construim zerouri deasupra pivotului şi obţinem:

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

−

221100451010

110001.

de unde aflăm forma matricei inverse:

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

−=−

221451

1101A .

Exerciţii:

1. Să se calculeze inversa matricelor folosind metoda eliminării totale:

a) ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−=

221211

321A , b)

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−=

121121

321A

2. Să se rezolve ecuaţiile matriceale:

a) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−2132

*2111

A , b) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−2241

*2101

A .

c) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− 51

412201

**2121

A , d) ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

314121112

*311121111

A .

3. Să se rezolve sistemele:

a). ⎩⎨⎧

=+−+=+−+

1234324

4321

4321

xxxxxxxx

b). ⎩⎨⎧

=+−+=+−+

12642822

4321

4321

xxxxxxxx


33

Unitate de învăţare II

Elemente de algebră abstractă

Cuprins U.I. II

2.1. Lege de compoziţie

2.2. Structuri algebrice

2.3. Spaţii vectoriale

2.4. Transformări liniare

-------------------------------------------------------------------------------- Obiectivele U.I. II 1. Să definească următoarele structuri algebrice: grup, inel, corp; 2. Să lucreze cu operații şi cu proprietățile lor pe diferite mulțimi de elemente; 3. Să definească spațiul vectorial, să construiască o bază de vectori şi un sistem

de generatori, să lucreze cu combinații liniare de vectori; 4. Să utilizeze în probleme teorema de caracterizare a bazei, lema substituției şi

regula dreptunghiului; 5. Să identifice transformările liniare, să determine vectorii proprii şi valorile

proprii. ---------------------------------------------------------------------------------------

2.1. Lege de compoziţie

Definiţie 1. Fie M o mulţime nevidă, se numeşte lege de compoziţie (sau operaţie

binară) pe M orice aplicaţie MMM →×:ϕ . Pentru orice ( ) MMyx ×∈,

elementul ( )yx,ϕ se numeşte compusul lui x cu y prin legea de compoziţie.

Notaţii: Putem folosi următoarele notaţii ,,,, yxyxyxyx ∨∗⋅+

yxyxyx ,, ⊥∧ .

EXEMPLE:

1. Adunarea şi înmulţirea sunt operaţii binare pe mulţimile: , , , , .

Scăderea (-) nu este operaţie pe , dar este pe .

2. Reuniunea (∪ ) şi intersecţia (∩ ) sunt operaţii pe mulţimea tuturor părţilor

mulţimii nevide X.


34

Definiţia 2. Operaţia binară MMM →×:ϕ se numeşte

1. Asociativă dacă ( )( ) ( )( )zyxzyx ,,,, ϕϕϕϕ = , Mzyx ∈∀ ,, ;

2. Comutativă dacă ( ) ( )xyyx ,, ϕϕ = , Myx ∈∀ , .

EXEMPLU: Adunarea şi înmulţirea sunt operaţii asociative şi comutative pe

mulţimile , , , , .

În continuare vom nota operaţia binară ( )yx,ϕ cu yx ∗ .

Definiţie 3. Elementul Me∈ se numeşte element neutru pentru o operaţie binară

""∗ pe mulţimea M dacă are loc:

xexxe =∗=∗ pentru orice Mx∈ .

Observaţie: a) Elementul neutru, dacă există, este unic. Presupunem prin absurd

că există e şi e M′∈ elemente neutre e e e e′ ′= ∗ = .

b) Numărul 0 este element neutru la adunare, numărul 1 este element neutru la

înmulţire pe mulţimile , , , , .

Definiţia 4. Fie ""∗ o operaţie binară definită pe M, având elementul neutru e.

Elementul x se numeşte simetrizabil dacă există elementul x′ din mulţimea M

astfel încât

x x x x e′ ′∗ = ∗ = .

În acest caz x′ se numeşte element simetric al lui x .

Definiţia 5. Se spune că operaţia ""∗ pe M este:

1. Distributivă la stânga în raport cu „ ” dacă:

( ) ( ) ( )zxyxzyx ∗∗=∗ Mzyx ∈∀ ,, .

2. Distributivă la dreapta în raport cu „ ” dacă:

( ) ( ) ( )xzxyxzy ∗∗=∗ Mzyx ∈∀ ,, .

3. Distributivă în raport cu „ ” dacă este distributivă la stânga şi la dreapta.

Definiţie 6. Fie ( )∗,M şi H o parte nevidă a lui M. Se spune că H este parte

stabilă a lui M în raport cu operaţia ""∗ dacă


35

HyxHyx ∈∗⇒∈∀ , .

În acest caz restricţia operaţiei ""∗ la HH × este lege de compoziţie pe H şi se

numeşte legea de compoziţie indusă de ""∗ pe H.

EXEMPLU: ( ), ,+ ⋅ este parte stabilă în ( ), ,+ ⋅ .

2.2. Structuri algebrice

Definiţie 7. ( )∗,M se numeşte semigrup dacă operaţia ""∗ este operaţie asociativă

pe M.

Dacă în plus operaţia ""∗ este comutativă ( )∗,M se numeşte semigrup comutativ.

Definiţie 8. ( )∗,M se numeşte monoid dacă este semigrup cu element neutru.

Dacă în plus operaţia ""∗ este comutativă atunci ( )∗,M se numeşte monoid

comutativ.

Exemplu: ( ), + şi ( ), + sunt monoizi comutativi.

Proprietăţi

1. Orice element simetrizabil are simetric unic.

Demonstraţie:

Presupunem că există un element x cu două elemente simetrizabile x′ şi

x ′′ astfel încât:

x x x x e′ ′∗ = ∗ = .

exxxx =∗′′=′′∗ .

De unde: x x e x x x e x x′ ′ ′ ′′ ′′ ′′= ∗ = ∗ ∗ = ∗ = ; adică simetricul unui element dacă

există el este unic.

2. Dacă x şi y sunt elemente simetrizabile, având simetricele x′ şi y′

atunci yx ∗ este simetrizabil şi are loc: ( )x y y x′ ′ ′∗ = ∗ .

3. În monoidul ( )∗,M cu element neutru e se pot defini puterile naturale ale

oricărui element


36

⎪⎩

⎪⎨

⎧

>∗

==

=− .1;

,1;,0;

1 naa

nane

an

n

Au loc formulele:

Maaaa nmnm ∈∀=∗ + ,

( ) Nnmaa nmnm ∈∀= ⋅ , .

4. Dacă operaţia de monoid este comutativă se obişnuieşte să fie

notată aditiv ""+ , având element neutru pe 0.

Au loc formulele

( )0 ; 0,

1 ; 1,n

a M n n an a a n

=⎧⎪∀ ∈ ∀ ∈ ⋅ = ⎨ − ⋅ + >⎪⎩

unde an ⋅ se numesc multiplii lui a; "- a" se numeşte opusul lui a.

( ) ( )anan −⋅−=⋅ ,

( ) anamanm ⋅+⋅=⋅+ .

Definiţie 9. ( )∗,G se numeşte grup dacă operaţia ""∗ are proprietăţile:

1. Este asociativă;

2. Are element neutru;

3. Orice element diferit de zero din G este simetrizabil.

Dacă în plus operaţia ""∗ este comutativă se numeşte grup comutativ sau grup

abelian.

În orice grup comutativ ( )+,G se poate defini operaţia de scădere

( ) Gyxyxyx ∈∀−+=− ,, .

EXEMPLE:

( ), + , ( ), + , ( ), + , ( ), + sunt grupuri comutative.


37

Reguli de calcul în grup

Proprietate 1. În orice grup ( )∗,G funcţionează legile de simplificare la stânga şi

la dreapta:

Simplificare la stânga cbcaba =⇒∗=∗ .

Simplificare la dreapta cbacab =⇒∗=∗ .

Proprietate 2. În orice grup ( )∗,G ecuaţiile bxa =∗ şi bax =∗ au soluţii unice şi

anume 'abx ∗= unde a′ este simetricul lui a.

Definiţie 10. Fie ( )∗,G un grup, Ga∈ şi 0>n un număr natural. Se spune că

elementul a are ordinul n dacă ean = dar ea k ≠ pentru orice { }1..,,2,1 −∈ nk .

Dacă G este o mulţime de cardinal n se spune că grupul ( )∗,G are ordinul n.

Orice grup cu un număr finit de elemente se numeşte grup finit.

Definiţie 11. Submulţimea nevidă H a grupului ( )∗,G se numeşte subgrup dacă

este parte stabilă în raport cu operaţia ""∗ .

Teoremă 1. Submulţimea nevidă H a grupului ( )∗,G este subgrup dacă şi numai

dacă

1. ,, HyxHyx ∈∗⇒∈∀

2. .x H x H′∀ ∈ ⇒ ∈

Definiţie 12. Fie ( )∗,G şi ( ),Γ două grupuri. O aplicaţie Γ→Gf : se numeşte

morfism de grupuri dacă satisface condiţia

( ) ( ) ( ) Gyxyfxfyxf ∈∀=∗ ,,

Un morfism bijectiv se numeşte izomorfism.

Teoremă 2. Fie ( )∗,G şi ( ),Γ două grupuri având elementele neutre e şi

respectiv ε . Dacă Γ→Gf : este morfism de grupuri atunci:

1. ( ) ε=ef ,

2. ( ) ( )( ) Gxxfxf ∈∀= ,'' .


38

Demonstraţie: 1. ( ) ( ) ( ) ( )efefeefefeeedefinitie=∗=⇒=∗ . Înmulţim la dreapta cu

( )( )f e ′ de unde rezultă ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )f e f e f e f e f e′ ′= ceea ce conduce la

relaţia ( ) εε ef= adică ( ) ε=ef .

2. ( ) ( ) ( ) ( )f e f x x f x f xε ′ ′= = ∗ = . Înmulţim la dreapta cu ( )( )f x ′ de unde

( )( ) ( ) ( ) ( )( )'f x f x f x f xε ′ ′= , rezultă ( ) ( )( ) Gxxfxf ∈∀= ,'' .

Definiţie 13. O mulţime nevidă I dotată cu două legi de compoziţie, una notată

aditiv ""+ şi numită adunare, iar cealaltă notată multiplicativ ""⋅ numită înmulţire

se numeşte inel dacă

I1. ( )+,I este grup comutativ;

I2. ( )⋅,I este monoid;

I3. Înmulţirea este distributivă faţă de adunare.

Dacă, în plus, înmulţirea este comutativă inelul se numeşte inel comutativ.

EXEMPLU:

1. ( ), ,+ ⋅ este inel comutativ.

2. ( ), ,n ⊕ ⊗ cu operaţiile ⊕ adunarea modulo n şi ⊗ înmulţirea modulo n

este inel comutativ.

3. [ ]( ), ,X + • mulţimea polinoamelor cu coeficienţi reali este un inel

comutativ.

4. [ ]( ), ,nM + • mulţimea matricelor pătratice de ordin n cu elemente

numere reale este inel necomutativ.

Elementele lui I simetrizabile în raport cu înmulţirea se numesc elemente

inversabile.

Definţie 14. Spunem că inelul ( )⋅+,,I este inel fără divizori ai lui 0 dacă

000 ≠⋅⇒≠≠ yxysix .

Dacă există 0≠x şi 0≠y astfel încât 0=⋅ yx se spune că x şi y sunt

divizori ai lui 0.

Un inel care are cel puţin două elemente, care este comutativ şi este fără

divizori ai lui 0 se numeşte domeniu de integritate.


39

EXEMPLU:

[ ]( ), ,nM + • este inel necomutativ cu divizori ai lui 0. Pentru exemplificare

alegem matricele: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

2211

A şi ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

=43

43B ambele diferite de 0, dar 0=⋅ BA .

Reguli de calcul într-un inel

Orice inel ( )⋅+,,I are proprietăţile:

P1. Ixxx ∈∀=⋅=⋅ ,000 ;

P2. Dacă I are cel puţin două elemente rezultă că 01≠ ;

P3. ( ) ( ) ( )yxyxyx ⋅−=−⋅=⋅− ;

( ) ( ) Iyxyxyx ∈∀⋅=−⋅− ,, (regula semnelor):

P4. ( ) zxyxzyx ⋅−⋅=−⋅ ;

( ) Izyxxzxyxzy ∈∀⋅−⋅=⋅− ,,, ;

P5. Într-un inel fără divizori ai lui 0 se pot face simplificări la stânga şi la

dreapta prin elemente diferite de zero.

Definiţie 15. Un inel ( )⋅+,,K pentru care 10 ≠ având proprietatea că orice

element diferit de zero este inversabil se numeşte corp. Orice corp comutativ se

numeşte câmp.

1. Corpurile nu conţin divizori ai lui zero.

2. Elementele diferite de zero dintr-un corp formează un grup – grupul

multiplicativ al corpului.

Exerciţii:

1. Să se arate că yxyxyx

++

=∗1

determină pe mulţimea G=(-1, 1) o structură de

grup abelian.

2. Să se arate că ( ) 62 ++−=∗ yxxyyx determină pe mulţimea G=(2, ∞) o

structură de grup.


40

2.3. Spaţii vectoriale6

Definiţie 16. Fie K un câmp de scalari (de regulă K este corpul numerelor reale R

sau corpul numerelor complexe C). Se numeşte spaţiu vectorial sau spaţiu liniar

peste corpul K orice mulţime nevidă V dotată cu o operaţie liniară de la

VVV →× :

( ) vuvu +→,

notată aditiv ""+ numită adunare şi o aplicaţie de la VVK →× :

( ) vv ⋅→αα ,

notată multiplicativ ""⋅ numită operaţie externă sau lege de compoziţie

externă care satisfac axiomele:

1. Asociativitatea adunării: ( ) ( )wvuwvu ++=++ Vwvu ∈∀ ,, ;

2. Element neutru: V∈∃ 0 astfel încât vvv =+=+ 00 , Vv∈∀ ;

3. Element simetrizabil: Vv∈∀ , Vv ∈∃ ' astfel încât 0'' =+=+ vvvv ,

Vv∈∀ ;

4. Comutativitate: vuvu +=+ , Vvu ∈∀ , ;

5. Elementul 1 este element neutru la înmulţirea din K: vv =⋅1 Vv∈∀ ;

6. ( ) vuvu ⋅+⋅=+⋅ ααα , KVvu ∈∈∀ α,, ;

7. ( ) uuu ⋅+⋅=⋅+ βαβα , KVu ∈∈∀ βα ,, ;

8. ( ) vv ⋅⋅=⋅⋅ βαβα , KVv ∈∈∀ βα ,, .

Notaţii:

1. Elementele lui V se numesc vectori, operaţia de adunare este adunarea

vectorilor.

2. Elementele lui K se numesc scalari, iar operaţia externă se numeşte

înmulţire cu scalari.

6 Istoria algebrei liniare moderne începe în anii 1843 și 1844. În 1843, W. R. Hamilton este cel care a introdus termenul de vector şi a descoperit cuaternionii


41

3. Când K = atunci mulţimea V se numeşte spaţiu vectorial real.

4. Când K = atunci mulţimea V se numeşte spaţiu vectorial complex.

5. Elementul neutru pentru adunare se numeşte vectorul zero 0 .

Din primele 4 axiome rezultă ca ( )+,V este grup comutativ, având element

neutru vectorul zero 0 şi opusul elementului v este vectorul vv −=' .

Exemplu:

( ), ,n + ⋅ spaţiul vectorial real în n dimensiuni unde operaţia de adunare a

vectorilor este definită astfel:

( ) ( ) ( )nnnn yxyxyxyyyxxx +++=+ ,,,,,,,,, 22112121 .

şi înmulţirea cu scalar:

( ) ( )nn xxxxxx ⋅⋅⋅=⋅ αααα ,,,,,, 2121 .

Pentru n = 2 obţinem: ( )2 , ,+ ⋅ unde ( ){ }21 2 1 2, / ,x x x x= × = ∈ ∈

( ) ( ) ( )22112121 ,,, yxyxyyxx ++=+ şi înmulţirea cu scalar

( ) ( )2121 ,, xxxx ⋅⋅=⋅ ααα .

Reguli de calcul în spaţiu vectorial

Proprietate. Orice spaţiu vectorial V peste corpul K are proprietăţile:

P1. 00 =⋅u şi 00 =⋅α KVu ∈∈∀ α, ;

P2. 000 ==⇔=⋅ usauu αα ;

P3. ( ) ( ) ( )uuu ⋅−=−⋅=⋅− ααα ;

( ) ( ) VuKuu ∈∀∈∀⋅=−⋅− ,, ααα ;

P4 ( ) uuu ⋅−⋅=⋅− βαβα ;

( ) VvuKvuvu ∈∀∈∀⋅−⋅=−⋅ ,,,, βαααα ;

P5. ( ) uu −=⋅−1 , Vu∈∀ .

Definiţie 17. Dacă { }mvvvS …,,, 21= este un sistem de vectori din spaţiul vectorial

V orice expresie de forma mmvvv … μμμ +++ 2211 cu Km ∈μμμ ,,, 21 … se


42

numeşte combinaţie liniară a vectorilor mvvv …,,, 21 ; scalarii mμμμ ,,, 21 …

numindu-se coeficienţii combinaţiei liniare.

Exemplu: Fie vectorii 321 ,, vvv atunci vectorul 321 23 vvvv +−= este o combinaţie

liniară a vectorilor 321 ,, vvv .

Definiţie 18. Vectorul Vv ∈ este o combinaţie liniară a vectorilor mvvv …,,, 21

dacă există scalarii Km ∈μμμ ,,, 21 … astfel încât:

mmvvvv … μμμ +++= 2211 .

Definiţie 19. Un sistem de vectori { }mvvvS …,,, 21= este un sistem de generatori

pentru spaţiul vectorial V , dacă orice vector din V este combinaţie liniară a

vectorilor sistemului S.

Definiţie 20. Un sistem de vectori { }mvvvS …,,, 21= este un sistem liniar

independent dacă orice relaţie de forma 02211 =+++ mmvvv … μμμ implică

021 ==== mμμμ … .

Definiţia 21. Un sistem de vectori { }mvvvS …,,, 21= este un sistem liniar

dependent dacă există un sistem de m scalari, Km ∈μμμ ,,, 21 … , nu toţi nuli, astfel

încât 02211 =+++ mmvvv … μμμ .

Proprietate 1. Un sistem de vectori { }mvvvS …,,, 21= din spaţiul vectorial V este

liniar dependent dacă şi numai dacă cel puţin un vector din sistem este o

combinaţie liniară a celorlalţi vectori.

Demonstraţie:

Direct: Fie { }mvvvS …,,, 21= liniari dependeţi rezultă că există

Km ∈ααα ,,, 21 … nu toţi nuli astfel încât

02211 =+++ mmvvv … ααα .

Presupunem că elementul 01 ≠α de unde avem prin împărţire la 1α :

mm vvvv …1

31

32

1

21 α

ααα

αα

−−−−= .


43

Ceea ce este o combinaţie liniară de ceilalţi vectori.

Reciproc: Dacă un vector 1v . este combinaţie liniară a sistemului de

vectori { }mvv …,,2 atunci

mmvvvv … ααα +++= 33221 ,

de unde 01 221 =−−−⋅ mmvvv … αα , cum 1 este diferit de 0 rezultă că sistemul de

vectori { }mvvvS …,,, 21= este liniar dependent.

EXEMPLU:

În spaţiu vectorial real 3 se consideră sistemul de vectori { }321 ,, vvvS =

unde ( )1,1,21 =v , ( )1,2,32 =v , ( )2,1,13 −−−=v . Se cere

1. Să se arate că pentru vectorul ( ) 31, 1, 2v = − − ∈ există scalarii

1 2 3, ,λ λ λ ∈ astfel încât 332211 vvvv λλλ ++= ;

2. Să se arate că pentru oricare vector ( ) 31 2 3, ,w a a a= ∈ există scalarii

1 2 3, ,μ μ μ ∈ a. î.

332211 vvvw μμμ ++= .

3. Să se arate că orice combinaţie cu proprietatea 0332211 =++ vvv μμμ

implică 0321 === μμμ .

Rezolvare: 1. Putem scrie 332211 vvvv λλλ ++= dacă şi numai dacă

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⋅−⋅+⋅=−⋅−⋅+⋅=−

⋅−⋅+⋅=

.2112,1211

,1321

321

321

321

λλλλλλ

λλλ.

Rezolvăm sistemul folosind metoda Cramer ( ,2det −=A ,6det 1 −=A

,2det 2 −=A 4det 3 −=A ) şi obţinem soluţiile: 2,1,3 321 =−== λλλ de unde

rezultă că vectorul v se poate scrie

321 213 vvvv ⋅+⋅−⋅= .

2. Putem scrie 332211 vvvw μμμ ++= unde ( ) 3321 ,, Raaaw ∈= dacă


44

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⋅−⋅+⋅=⋅−⋅+⋅=⋅−⋅+⋅=

.211,121,132

3213

3212

3211

μμμμμμμμμ

aaa

Sistem ce are soluţie unică deoarece determinatul este egal cu 2 diferit de

zero.

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

−−=

−+−=

+−=

,2

,23

,2

53

3213

3212

3211

aaa

aaa

aaa

μ

μ

μ

de unde rezultă că sistemul { }321 ,, vvvS = este un sistem de generatori.

3. Pentru ca S să fie un sistem de vectori liniar independenţi trebuie,

conform definiţiei, ca 0332211 =++ vvv μμμ . Această relaţie se poate scrie:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=⋅−⋅+⋅=⋅−⋅+⋅=⋅−⋅+⋅

.0211,0121,0132

321

321

321

μμμμμμμμμ

Sistemul are un determinant diferit de zero rezultă că are soluţia banală

0321 === μμμ . Deci sistemul { }321 ,, vvvS = este sistem de vectori liniar

independenţi.

Definiţie 22. Sistemul de vectori S se numeşte bază a spaţiului vectorial V dacă:

1. S este un sistem liniar independent;

2. S este un sistem de generatori pentru V .

Definiţia 23. Dacă { }neeeB …,,, 21= este bază în V şi orice vector

nneeev … μμμ +++= 2211 rezultă că elementele Km ∈μμμ ,,, 21 … se numesc

coordonatele vectorului v în baza B.

EXEMPLU:

Alegem baza { }321 ,, eeeB = şi vectorul ( ) 332211321 ,, exexexxxxv ++== adică

componentele vectorului sunt chiar coordonatele vectorului în baza canonică în 3 unde


45

( )0,0,11 =e , ( )0,1,02 =e ( )1,0,03 =e .

Observaţie: Unicitatea coordonatelor unui vector într-o bază nu exclude faptul că

în baze diferite acest vector are coordonate diferite. Exemplu vectorul

( )2,1,13 −−=v are coordonatele ( )2,1,1 −− în baza canonică, dar are

coordonatele ( )2,1,3 − în baza din exemplu.

Teorema (de caracterizare a bazei)

Sistemul de vectori { }neeeB …,,, 21= este bază a spaţiului vectorial V dacă şi

numai dacă orice vector Vv ∈ se scrie în mod unic sub forma

nneeev … μμμ +++= 2211 . unde Km ∈μμμ ,,, 21 … .

Demonstraţie:

Direct: presupunem că B este bază, rezultă din definiţie că B este sistem de

generatori pentru V , de unde rezultă că pentru orice vector Vv ∈ se poate scrie

nneeev … μμμ +++= 2211 . Să demonstrăm că scrierea este unică.

Presupunem că există pentru vectorul Vv ∈ o a doua scriere:

nn eeev … ''' 2211 μμμ +++= . Scădem cele două forme şi obţinem relaţia:

( ) ( ) ( ) nnn eee … ⋅−++⋅−+⋅−= '''0 222111 μμμμμμ . Având în vedere că este

sistem liniar independent (definiţia bazei) rezultă că

nn ',,',' 2211 μμμμμμ === … ceea ce implică scrierea unică.

Reciproc: Dacă orice vector Vv ∈ are o scriere de forma

nneeev … μμμ +++= 2211 rezultă că B este sistem de generatori.

Dacă alegem vectorul V∈0 rezultă nneee … μμμ +++= 22110

reprezentare unică. Dar neee … ⋅++⋅+⋅= 0000 21 de unde obţinem imediat că

021 ==== nμμμ … de unde B sistem de vectori liniari independent (q.e.d.).


46

2.4 Lema substituţiei

Fie { }neeeB …,,, 21= o bază a spaţiului vectorial V , Vu ∈ un vector fix cu

reprezentarea

nneeeu … ααα +++= 2211

şi sistemul de vectori { },,,,,,,, 1121 nii eeueeeB …… +−∗ = obţinut din baza B

înlocuind vectorul ie cu vectorul u atunci au loc afirmaţiile:

1. ∗B este bază dacă şi numai dacă 0≠iα .

2. dacă ∗B este bază a lui V atunci coordonatele Kn ∈*,*,*, 21 λλλ … în baza ∗B

ale unui vector Vv ∈ se exprimă în funcţie de coordonatele Kn ∈λλλ ,,, 21 … în

baza B ale lui v prin egalităţile:

ijji

ijj

i

ii ≠−== ;*;* α

αλλλ

αλλ .

Trecerea de la iλ la *iλ se face pe baza regulii dreptunghiului.

Regula dreptunghiului

ji

ij

i

i

jj

ii

ααλ

λ

αλ

λα

λα

−

⇔

0

1

.


47

nnn

jjj

iii

e

e

e

ee

vuB

λα

λα

λα

λαλα

222

111

⇒

ni

inn

ji

ijj

i

i

i

i

i

i

e

e

u

e

evuB

ααλ

λ

ααλ

λ

αλ

ααλ

λ

ααλ

λ

−

−

−

−

∗

0

0

1

0

0

222

111

Trecerea de la B la B* se face în felul următor:

1. elementele corespunzătoare liniei pivotului din B* se obţin împărţind la

valoarea pivotului toate elementele liniei pivotului. ;*i

ii α

λλ =

2. se completează coloana corespunzătoare pivotului cu zerouri.

3. toate celelalte elemente corespunzătoare vectorului se calculează după

regula ji

ijj α

αλ

λλ −=* .

EXEMPLU:

Fie baza { }321 ,, vvvS = având coordonatele în baza canonică: ( )1,1,21 =v ,

( )1,2,32 =v , ( )2,1,13 −−−=v şi vectorul v cu coordonatele în baza canonică

( )2,1,1 −−=v .

a) să se arate că S este bază în spaţiul 3 .

b) să se determine coordonatele lui v în baza S.

( )

22111121

1132

3

2

1

321

−−−−

−

eee

vvvvBC


48

25

23

210

23

21

210

21

21

231

3

2

1

3211

−−−

−−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−

e

e

v

vvvvB

( ) 42003110

5101

3

2

1

3212

−−−−

evv

vvvvB

21001010

3001

3

2

1

321

vvv

vvvvS

−

În ultimul tabel observăm că:

1. Conform lemei substituţiei sistemul de vectori S este bază în spaţiul vectorial

V de unde rezultă că primul punct al problemei este rezolvat.

2. Vectorii 321 ,, vvv depind doar de ei înşişi adică sunt liniari independenţi.

3. Pe ultima coloană am obţinut coordonatele vectorului v in noua bază de date S.

Coordonatele vectorului v în baza S sunt: ( )2,1,3 − .

Teoremă 4. Dacă V are o bază { }neeeB …,,, 21= atunci au loc relaţiile:

1. orice sistem liniar independent din V are cel mult n vectori;

2. orice bază a lui V are n vectori.

Teoremă 5. Fie V un spaţiu vectorial de dimensiune n peste câmpul K . Pentru

orice sistem de n vectori { }nvvvS …,,, 21= următoarele afirmaţii sunt

echivalente:

1. S este bază pentru V ;

2. S este un sistem de generatori pentru V ;


49

3. S este un sistem liniar independent.

Definiţia 24. Spunem că spaţiul vectorial V peste corpul K are dimensiunea n şi

scriem Vn Kdim= dacă în V există o bază formată din n vectori.

Definiţia 25. Fie nV un spaţiu vectorial real de dimensiune n, iar { }neeeB …,,, 21=

şi { }nfffB …,,,* 21= două baze ale spaţiului. Fiecare element al bazei B' se

reprezintă în baza B sub forma :

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

+++=

+++=

+++=

,

,

,

2211

22221122

12211111

nnnnnn

nn

nn

eaeaeaf

eaeaeaf

eaeaeaf

unde elementele Raij ∈ .

Matricea ( )nnijaS

×= se numeşte matricea de trecere de la baza B la baza

B*.

Observaţie: Matricea S este inversabilă.

Un vector nVv ∈ se exprimă unic în fiecare din cele două baze prin:

nnexexexv +++= 2211 şi

nn fyfyfyv +++= 2211 .

Atunci vectorii ( )TnxxxX 21,= , ( )TnyyyY 21,= se leagă prin formulele

echivalente (legea matriceală):

XSYYSX ⋅=⇔⋅= −1 .

Exerciţii

1. Fie sistemul de vectori { }321 ,, vvvS = având coordonatele în baza

canonică: ( )1,1,11 =v , ( )1,2,12 =v , ( )4,1,13 =v şi vectorul w cu coordonatele în

baza canonică ( )4,1,2=w .

a) să se arate că S este bază în spaţiul 3 .

b) să se determine coordonatele lui w în baza S.


50

2. Să se arate că vectorii ( )1,0,11 =v , ( )1,2,02 =v , ( )1,1,13 =v formează

o bază în 3 şi să determine coordonatele lui ( )2,1,1=w în această bază.

3. În spaţiu vectorial real 3 se consideră sistemul de vectori

{ }321 ,, vvvS = unde ( )1,1,11 =v , ( )2,1,22 −=v , ( )1,2,13 =v . Fie vectorul ce are

coordonatele ( ) 31, 0,1v = ∈ în baza S. Să se exprime coordonatele vectorului v

în raport cu baza { }321 ,, wwwB = alcătuită din vectorii ( )0,2,11 −=w ,

( )1,1,12 =w , ( )3,0,13 =w .

2.4 Transformări liniare

Definiţie 26. Fie V şi V ' două spaţii liniare vectoriale reale. Se numeşte

transformare liniară (sau operator liniar) a spaţiului vectorial V în spaţiul

vectorial V ' orice aplicaţie ': VVT → care satisface condiţiile:

1. ( ) ( ) ( ) VvvvTvTvvT ∈∀+=+ 212121 ,, .

2. ( ) ( ) RVvvTvT ∈∈∀= λλλ , .

Observatie: Prima proprietate se numeşte aditivitate şi a doua se numeşte

omogenitate.

Teoremă 6. (de caracterizare a transformărilor liniare)

Aplicaţia ': VVT → este transformare liniară dacă şi numai dacă

( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2, , , ,T v v T v T v v v Vα β α β α β+ = + ∀ ∈ ∈ .

Demonstraţie.

Direct: T aplicaţie liniară rezultă conform definiţiei:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )212121 vTvTvTvTvvT βαβαβα +=+=+ .

Reciproc: Presupunem că relaţia

( ) ( ) ( ) RVvvvTvTvvT ∈∈∀+=+ βαβαβα ,,,, 212121 este verificată atunci

particularizăm.

Alegem 1,1 == βα de unde obţinem:

( ) ( ) ( ) VvvvTvTvvT ∈∀+=+ 212121 ,, .


51

Alegem 0=β de unde obţinem:

( ) ( )1 1 1 ,T v T v v Vλ λ λ= ∀ ∈ ∈ .

EXEMPLU:

Aratăm că aplicaţia 3 3:T → definită prin relaţia

( ) ( )323121 ,, xxxxxxvT +++= unde ( )321 ,, xxxv = este o transformare liniară.

Aplicăm teorema de caracterizarea transformărilor liniare. Alegem doi

vectori ( ) ( )321321 ,,,,, bbbvaaau == .

( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) =+=

=+=⋅+⋅

321321

321321

,,,,,,,,

bbbaaaTbbbaaaTvuT

βββαααβαβα

( )( ) =+++= 332211 ,, bababaT βαβαβα conform definiţiei aplicaţiei T=

( ) =+++++++++= 332233112211 ,, babababababa βαβαβαβαβαβα

continuăm calculele prin scoaterea in factor a scalarilor α şi β :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) =+++++++++= 323231312121 ,, bbaabbaabbaa βαβαβα

Desfacem vectorul obţinut în suma a doi vectori:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) =+++++++= 323121323121 ,,,, bbbbbbaaaaaa βββααα

Conform proprietăţii 2 din definiţie scalarii α şi β ies de sub vector:

( ) ( ) =+++++++= 323121323121 ,,,, bbbbbbaaaaaa βα ( ) ( )vTuT βα + .

Dacă are loc relaţia atunci conform reciprocei teoremei de caracterizare a

transformărilor liniare aplicaţia T este un operator liniar.

Teoremă 7. Dacă ': VVT → este transformare liniară atunci au loc:

( ) 'VV OOT = şi ( ) ( ) VvvTvT ∈−=− , ,

unde ', VV OO sunt vectorii nuli din spaţiul V şi V '.

Definiţie 27. Se numeşte nucleu al transformării liniare T mulţimea

( ){ }0/ =∈= vTVvTKer .

Numărul TKerd = se numeşte defectul transformării.

Definiţie 28. Se numeşte imagine a transformării liniare T mulţimea


52

( ){ }2112 ../'Im vvTiaVvVvT =∈∃∈= .

Numărul Tr Im= se numeşte rangul operatorului T.

Dacă { }neeeB …,,, 21= este bază în nV şi { }mfffB …,,,' 21= este bază în

mV ' atunci fiecare element ( ) mmjjjj fafafaeT +++= 2211 , j= 1, 2, ..., n.

Atunci matricea ( )nmijaA

×= se numeşte matricea transformării liniare T în

bazele B şi B'.

( )( )

( )⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

+++=

+++=

+++=

,

,

,

2211

22221122

12211111

mmnnnn

mm

mm

fafafaeT

fafafaeT

fafafaeT

Exemplu:

Fie operatorul liniar 22: RRT → definit prin relaţia ( ) ( )yxyxyxT 24,52, −+= . Să

se calculeze ( )2,2T , ( )10,5T . Să se determine matricea operatorului T în baza

canonică { }21,eeBc = din 2 .

Rezolvare:

( ) ( ) ( )2,193224,35223,2 =⋅−⋅⋅+⋅=T ,

( ) ( ) ( )0,6010254,1055210,5 =⋅−⋅⋅+⋅=T .

Pentru a calcula matricea operatorului în baza { }21,eeBc = calculăm:

( ) ( ) ( ) ( )4,20214,05120,11 =⋅−⋅⋅+⋅== TeT ;

( ) ( ) ( ) ( )2,5204,15021,02 −=⋅−⋅⋅+⋅== TeT .

Matricea operatorului T în baza canonică este

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=24

52A .

Definiţie 29. Fie nn VVT →: , orice vector 0≠v , nVv ∈ pentru care există λ∈

astfel încât ( ) vvT λ= se numeşte vector propriu al transformării T.


53

Folosind matricea operatorului T în baza B rezultă că matricea X a

vectorului propriu nVv ∈ satisface sistemul de ecuaţii liniare omogene XXA λ=

( ) 0=−⇔ XIA nλ .

Acest sistem va avea soluţii nenule dacă şi numai dacă λ este soluţia

ecuaţiei

0=− nIA λ

numită ecuaţia caracteristică a transformării T.

Observaţie. Ecuaţia caracteristică nu depinde de baza aleasă.

Din ecuaţia caracteristică deducem valorile proprii λ . În continuare vom

înlocui valorile proprii în sistemul ( ) 0=− XIA nλ şi vom obţine vectorii proprii.

Acestui sistem îi corespund o infinitate de vectori proprii deoarece sistemul

este compatibil nedeterminat. Mulţimea soluţiilor formează un subspaţiu numit

subspaţiul propriu ataşat valorii proprii:

{ } ( ){ }vvTVvvE λλ =−∈= ,0/

EXEMPLU:

Să se determine valorile proprii şi vectorii proprii asociaţi matricei A:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

1221

A .

Ecuaţia caracteristică este ( ) 0=−= nIAP λλ deci

λ

λλ

λλ

−−

=−=−12

210

01221

1001

1221

.

Ecuaţia caracteristică: 012

21=

−−

λλ

,

( ) 041 2 =−− λ ,

( )( ) 031 =−+ λλ .

Valorile proprii sunt 3;1 21 =−= λλ .


54

Vectorii proprii asociaţi valorii proprii 11 −=λ au coordonatele în raport

cu baza canonică:

( )

( )⎩⎨⎧

=−+=+−

.012,021

211

211

aaaa

λλ

Înlocuim pe 11 −=λ şi obţinem sistemul:

⎩⎨⎧

=+=+

.022,022

21

21

aaaa

De unde obţinem 1 2

2

a aa α= −⎧

⎨ = ∈⎩.

Vectorul propriu ( )1,11 −=v iar subspaţiul vectorilor proprii valorii

11 −=λ este ( ){ }1

/ , ,E v vλ α α α= = − ∈

Vectorii proprii asociaţi valorii proprii 32 =λ au coordonatele în raport cu

baza canonică:

( )

( )⎩⎨⎧

=−+=+−

.012,021

221

212

aaaa

λλ

Înlocuim pe 32 =λ şi obţinem sistemul:

⎩⎨⎧

=−=+−.022

,022

21

21

aaaa

De unde obţinem 1 2

2

a aa α=⎧

⎨ = ∈⎩.

Vectorul propriu ( )1,12 =v iar subspaţiul vectorilor proprii valorii 32 =λ

este ( ){ }2

/ , ,E v vλ α α α= = ∈ .

Exerciţii

1. Să se arate folosind teorema de caracterizare a operatorilor liniari că

aplicaţia 3 2:T → definită prin relaţia ( ) ( )zyxzyxzyxT −−++= ,,, este

operator liniar.

2. Să se arate folosind teorema de caracterizare a operatorilor liniari că

aplicaţia 2 2:T → definită prin relaţia ( ) ( )yxyxyxT −+= 3,54, este operator


55

liniar. Să se calculeze ( )2,1T , ( )10,12T şi matricea operatorului T în baza

canonică a 2 .

3. Să se arate că aplicaţia 3 3:T → definită prin relaţia

( ) ( )zyxzyxzyxzyxT −++−++= 22,3,2,, este operator liniar. Să se calculeze

( )3,2,1T , ( )6,1,3−T , ( )3,20,10 −T şi matricea operatorului T în baza canonică

a 3 .

4. Fie aplicaţia 3 3:T → definită prin relaţia

( ) ( )zyxzyxzyxzyxT 424,,4,, −++++−= . Să se arate că T este

operator liniar. Să se determine matricea operatorului T în baza canonică a

spaţiului.

5. Să se scrie ecuaţia caracteristică, să se determine valorile proprii şi

vectorii proprii ale transformărilor liniare ce au matricele asociate:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

2332

A , ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−=

113112

102B , ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

1224

C .


56

Unitate de învăţare III

Elemente de programare liniară

Cuprins U.I. III

3.1. Introducere în programare liniară

3.2. Structura unei probleme de programare liniară

3.3. Rezolvarea grafică a problemelor de programare liniară în

două variabile

3.4. Metoda simplex de rezolvare a problemelor de programare

liniară

3.5. Descrierea algoritmului simplex primal

3.6. Metoda celor două faze

---------------------------------------------------------------------------- Obiective U.I. III 1. Să transforme problemele de tip economic în probleme standard de

programare liniară; 2. Să determine utilizând metoda grafică, algoritmul simplex şi metoda celor

două faze soluția optimă în cadrul problemelor de programare liniară. -----------------------------------------------------------------------------------------

3.1. Introducere în programare liniară

Prima parte a acestui capitol este dedicată introducerii noţiunilor de bază

legate de programare liniară.

Tehnica programării liniare are o largă arie de aplicativitate în cele mai

diverse domenii de inginerii: economică, agricolă, industrială.

Vom începe cu rezolvarea grafică a problemelor de programare liniară

care, deşi se poate aplica doar problemelor în două variabile, are avantajul de a

oferi o imagine intuitivă a conceptelor implicate într-un program liniar.


57

Problema rezolvării sistemelor liniare de inegalităţi datează de la Fourier7,

dar a fost dezvoltată de matematicianul L. Kantarovici8 in anul 1939.

În condiţiile actuale ale evoluţiei economice dificile este important ca

deciziile să nu fie adoptate doar în baza intuiţiei şi a judecăţii obişnuite, ci e bine

să se cunoască mai multe variante din care să se aleagă cea care va conduce la un

rezultat aşteptat mai bun.

Pentru aceasta vom apela la metode matematice şi anume la cercetarea

operaţională.

3.2. Structura unei probleme de programare liniară

Programarea liniară este o metodă de optimizare matematică.

Definiţie 1. Prin metodă de optimizare se înţelege o tehnică al cărei scop este să

se determine cea mai bună soluţie pentru atingerea unui anumit obiectiv.

Obiectivul este exprimat printr-o valoare numerică; de aceea optimizarea

poate însemna maximizarea sau minimizarea sa.

În orice problemă de programare liniară trebuie luate anumite decizii prin

aplicarea cărora să se atingă valoarea optimă a obiectivului.

Aceste decizii sunt reprezentate printr-un set de variabile de decizie notate

jx .

Variabilele de decizie sunt folosite pentru formularea modelului de

programare liniară. Folosind variabile de decizie se descriu atât obiectivul care

trebuie atins cât şi o serie de condiţii restrictive care trebuie respectate de către

soluţia finală căutată.

O problemă de programare liniară îşi propune să maximizeze sau să

minimizeze o funcţie obiectiv în condiţiile respectării unui set de restricţii.

Funcţia obiectiv este o funcţie liniară de variabile jx . Ea este reprezentarea

matematică a scopului avut în vedere: nivelul profitului, costuri totale etc.

7 Jean Baptiste Joseph Fourier (1768 ‐ 1830) ‐ matematician şi fizician francez; cunoscut pentru: serii Fourier, transformata Fourier, legea Fourier.

8 Leonid Vitaliyevich Kantorovich (1912 ‐ 1986) ‐ matematican rus; care a încercat să reducă costurile armatei şi să crească pierderile inamicului. Problema a fost ținută secret până în anul 1947 când George B. Dantzig a publicat metoda simplex


58

Setul de restricţii este un sistem liniar de ecuaţii şi inecuaţii în variabilele

jx . El descrie condiţiile pe care trebuie să le satisfacă variabilele de decizie

pentru a fi în conformitate cu realitatea: capacităţi de producţie limitate, nivel

minim obligatoriu al vânzărilor etc.

Atât funcţia obiectiv cât şi restricţiile prezentate sunt liniare, din această

cauză problemele de acest gen se numesc de programare liniară.

EXEMPLU:

21 35max xxz += , (1)

⎩⎨⎧

≥+≤+

.2543,2032

21

21

xxxx

(2)

0, 21 ≥xx . (3)

Această problemă cere să se maximizeze funcţia (1) care este o funcţie

liniară în două variabile 1x şi 2x . Nu putem alege valori pentru 1x şi 2x fără să

ţinem seama de cele patru restricţii exprimate de inegalităţile liniare (2) şi (3).

Sistemul (2) descrie restricţiile care reflectă condiţiile impuse de structura

situaţiei analizate: resurse limitate, niveluri minime respectate. Aceste condiţii se

numesc restricţii structurale.

Condiţiile (3) exprimă ideea că nici o variabilă de decizie nu are voie să ia

valori negative. Acest lucru se întâmplă în problemele de programare liniară

deoarece variabilele de decizie reprezintă mărimi care nu pot avea valori negative:

sume de bani, cantităţi de produse, consumuri etc. Aceste restricţii (3) se numesc

restricţii de nenegativitate.

O problemă de programare liniară cu n variabile de decizie nxxx …,, 21 şi

având m restricţii structural are următoarea formă generală:

( ) nn xcxcxcz +++= …2211minmax , (4)

( )( )

( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

≥=≤+++

≥=≤+++≥=≤+++

mnmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxabxaxaxa

,,

,,,,

2211

22222121

11212111

…

……

. (5)


59

0,,, 21 ≥nxxx … . (6)

Parantezele semnifică faptul că pe locul respectiv se foloseşte în funcţie de

problemă elementul dorit.

EXEMPLU:

O firmă fabrică două produse: A şi B. Fiecare produs este prelucrat în două

secţii. Se dau numărul de ore de lucru necesare, pe unitatea de produs în fiecare

secţie şi capacităţile de lucru, în ore, ale fiecărei secţii pe săptămână.

De asemenea, este indicat preţul care se obţine de pe urma vânzării unei

unităţi din fiecare produs.

Se ştie că întreaga producţie are vânzare. Trebuie să se decidă câte unităţi

din fiecare produs trebuie fabricate săptămânal pentru ca profitul să fie maxim.

PRODUS A PRODUS B CAPACITATE

SECŢIA 1 3 ore / unitate 2 ore / unitate 120 ore

SECŢIA 2 4 ore / unitate 6 ore / unitate 260 ore

PROFIT /

UNITATE

5 euro / unitate 6 euro / unitate z funcţia obiectiv

Se notează cu 1x şi 2x numărul de unităţi care trebuie fabricate respectiv

din produsele A şi B. Trebuie determinate valorile acestor variabile de decizie

pentru ca să se obţină un profit maxim.

Profitul total il notăm cu z şi exprimă adunarea contribuţiilor pe care le are

fiecare produs. Trebuie maximizată funcţia obiectiv.

21 65max xxz += .

Singurele restricţii în stabilirea numărului de unităţi care trebuie fabricate

sunt date de capacităţile de producţie ale celor două secţii. Ele impun restricţiile

structurale ale problemei.

⎩⎨⎧

≤+≤+

.26064,12023

21

21

xxxx

Varibilele de decizie 1x şi 2x trebuie să respecte restricţiile de

nenegativitate.


60

Dacă combinăm funcţia obiectiv cu restricţiile anterioare se obţine

următoarea problemă de programare liniară (PL).

21 65max xxz += , (7)

⎩⎨⎧

≤+≤+

,26064,12023

21

21

xxxx

(8)

0, 21 ≥xx . (9)

Observaţie. Rezolvarea prin simpla încercare a diferitelor seturi de valori

(variante) pentru variabilele de decizie nu poate duce decât întâmplător la soluţia

optimă. Soluţia optimă trebuie căutată folosind o metodă riguroasă de investigare.

3.3. Metoda grafică de rezolvare a problemelor de programare liniară

Metoda grafică se poate aplica acelor probleme de programare liniară cu

două variabile de decizie.

Primul pas în investigarea mulţimii soluţiilor pentru a o determina pe cea

optimă este stabilirea acestei mulţimi. Pentru aceasta se foloseşte setul de restricţii

al problemei pentru că soluţiile examinate trebuie să respecte aceste restricţii.

Definiţie 2. Mulţimea soluţiilor care respectă toate restricţiile avute în vedere se

numeşte mulţimea soluţiilor admisibile sau mulţimea soluţiilor fezabile.

Definiţie 3: O mulţime de puncte din plan se numeşte convexă dacă are

proprietatea că pentru orice două puncte M şi N aparţinând mulţimii, întreg

segmentul MN este inclus în mulţime.

Teoremă 1. Intersecţia unei familii arbitrare de mulţimi convexe este tot o

mulţime convexă.

Proprietăţi.

1. Într-o problemă de programare liniară rezolvată prin metodă grafică

mulţimea soluţiilor admisibile este o suprafaţă poligonală convexă.

2. Soluţia optimă a unei probleme de programare liniară determinată prin

metodă grafică va include întotdeauna un vârf al poligonului soluţiilor

admisibile.


61

Figura 1 - Rezolvarea grafică a problemelor de programare liniară

Restricţiile (8) şi (9) formează un sistem de inegalităţi liniare. Rezolvarea

grafică a sistemului de inecuaţii (8) este dată în figura 2 unde punctele cu ajutorul

cărora am construit dreapta 1d sunt ( )0,40A şi ( )60,0B ; punctele folosite pentru

trasarea dreptei 2d sunt ( )0,65C şi ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

3130,0D .

Datorită restricţiilor de nenegativitate ne încadrăm în cadranul I din reperul

cartezian 21Oxx .

Soluţia este dată de suprafaţa poligonului OAMC inclusiv laturile care se

numeşte poligonul soluţiilor admisibile. Vârfurile acestuia au coordonatele

( )0,0O , ( )0,40A , ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

3130,0D şi ( )30,20M .

Numai coordonatele punctelor ce formează poligonul soluţiilor admisibile

pot da soluţia optimă a funcţiei obiectiv. În acest caz trebuie ca funcţia obiectiv să

fie maximă. Vom urmări combinaţiile ( )21, xx pentru care se obţine o anumită

valoare a funcţiei obiectiv:

Dreapta de ecuaţie 065 21 =+ xx intersectează poligonul soluţiilor

admisibile şi trece prin punctul ( )0,0O ;.

Dreapta de ecuaţie 20065 21 =+ xx este o dreaptă ce trece prin punctul

( )0,40A ;

Dreapta de ecuaţie 26065 21 =+ xx este o dreaptă ce trece prin punctul

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

3130,0D ;

Dreapta de ecuaţie 28065 21 =+ xx este o dreaptă ce trece doar prin

punctul ( )30,20M .


62

Dreptele sunt paralele şi formează un fascicol de drepte. Cea mai depărtată

de origine conduce la valoarea cea mai mare pentru funcţia obiectiv.

Funcţia obiectiv este maximizată pentru valorile 201 =x şi 302 =x ale

variabilelor de decizie şi are valoarea 280=z .

Se pune problema de a se determina o metodă de calcul pentru cea mai

îndepărtată dreaptă.

Algoritmul pentru a determina soluţia optimă.

1. Se trasează grafic poligonul soluţiilor admisibile;

2. Se determină coordonatele vârfurilor poligonului soluţiilor admisibile;

3. Se calculează valoarea funcţiei obiectiv pentru fiecare vârf; pentru

aceasta se înlocuiesc coordonatele punctelor în funcţia obiectiv;

4. Pentru o problemă de maximizare soluţia optimă este în vârful

poligonului pentru care se obţine cea mai mare valoare a funcţiei obiectiv; iar

pentru o problemă de minimizare se va căuta valoarea minimă a funcţiei obiectiv.

Există posibilitatea ca o problemă de programare liniară să aibă mai mult

de o soluţie optimă. Acest lucru se întâmplă atunci când dreapta corespunzătoare

funcţiei obiectiv ce intersectează poligonul soluţiilor admisibile coincide cu o

latură a acestuia. Atunci se trage concluzia că valoarea maximă (optimă) va apare

pentru orice punct de pe latura poligonului şi deci vor fi soluţii multiple.

Al doilea caz posibil este ca sistemul de restricţii al unei probleme de

programare liniară să nu aibă soluţie (să fie incompatibil). Deci nu va exista nici o

pereche ( )21, xx care satisface toate restricţiile.

Al treilea caz ce poate să apară rezolvând sistemul restricţiilor este acela al

soluţiei nemărginite. În acest caz suprafaţa poligonului soluţiilor admisibile este

nemărginită.

EXEMPLU:

Fie următoare problemă de programare liniară:

21 39max xxz += ,

⎩⎨⎧

≤+≤+

,322,20

21

21

xxxx


63

0, 21 ≥xx .

Pasul 1. Se trasează dreptele ataşate restricţiilor structurale.

20: 211 =+ xxd de unde ( )20,0200 21 Axx →=→= ;

( )0,20200 12 Bxx →=→= ;

322: 212 =+ xxd de unde ( )32,0320 21 Cxx →=→= ;

( )0,16160 12 Dxx →=→= .

Pasul 2. Se determină coordonatele punctului de intersecţie al dreptelor;

⎩⎨⎧

=+=+

32220

21

21

xxxx

se scad relaţiile şi obţinem

( )8,12812 21 Mxx →=→= .

Pasul 3. Se trasează graficul.

Figura 2 - Reprezentarea grafică a poligonului soluţiilor admisibile

Pasul 4. Se determină poligonul soluţiilor admisibile. În acest caz el este

determinat de vârfurile ( )0,0O , ( )20,0A , ( )0,16D şi ( )8,12M .

Pasul 5. Se calculează valorile funcţiei obiectiv z corespunzătoare punctelor

( )0,0O , ( )20,0A , ( )0,16D şi ( )8,12M :

( ) 003090,0 =⋅+⋅=→ zO ,

( ) 602030920,0 =⋅+⋅=→ zA ,

( ) 144031690,16 =⋅+⋅=→ zD ,

( ) 13224108831298,12 =+=⋅+⋅=→ zM .


64

Concluzia este că valoarea maximă a funcţiei obiectiv se obţine în punctul

( )0,16D 144max ==z şi 0,16 21 == xx .

Exerciţii

1. Să se rezolve prin metoda grafică urmatoarele probleme de programare liniară:

1)

.0,,9054,362363max

21

21

21

21

≥⎩⎨⎧

≤+≥+

+=

xxxxxx

xxz

2)

.0,,242,302

816max

21

21

21

21

≥⎩⎨⎧

≤+≤+

+=

xxxxxx

xxz

3).

.0,,2

,12,183

2030max

21

1

21

21

21

≥

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≤≤+≤+

+=

xxx

xxxx

xxz

4)

.0,

,,632824

,9126max

21

21

21

21

21

≥

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≥+−≤+−

≤+

+=

xxxx

xxxx

xxz

5).

.0,,62,3626

42min/max

21

21

21

21

21

≥

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≤+−≤−

≤+

+=

xxxx

xxxx

xxz

6)

.0,,53,32

4min/max

21

21

21

21

21

≥

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≤−≤−−

≤+

+−=

xxxx

xxxx

xxz

7)

.0,,1

,221442

32min/max

21

21

21

21

21

≥

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≤−≥+

−≤+

+=

xxxx

xxxx

xxz

8).

.0,02,02

,33

96min/max

21

21

21

21

21

21

≥

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

<−≥−≥−−≤+

−=

xxxxxx

xxxx

xxz

9)

.0,.3

,4,123

879max

21

2

1

21

21

21

≥

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

≤≤≤+≤−

+=

xxx

xxx

xxxxz


65

3.4. Metoda simplex de rezolvare a problemelor de programare liniară

Metoda grafică de rezolvare a problemelor de programare liniară este

limitată la probleme în două variabile. Algoritmul simplex este metoda algebrică

cea mai utilizată pentru rezolvarea unei probleme de programare liniară indiferent

de numărul de variabile.

În anul 1947 G. Dantzig9 a construit prima variantă a metodei simplex, iar

în anul 1953 C. E. Lemke a dat a doua metodă generală numită algoritmul simplex

dual.

Modelul matematic al unei probleme de programare liniară îl vom numi

program liniar (P.L.). Vom prezenta mai întâi trei exemple ce ne vor conduce la

problema generală de programare linară.

a) Problema utilizării eficiente a resurselor limitate.

Presupunem că o fabrică utilizează în procesul de producţie m feluri de

resurse mRRR ,,, 21 şi produce n tipuri de produse nPPP ,,, 21 .

Notăm cu:

- ( ) njmiaij ,,2,1;,,2,1 …… == cantitatea i de resursă folosită pentru

producerea unităţii j de produs;

P1 P2 ... Pj ... Pn Resurse

R1 a11 a12 ... a1j ... a1n b1

R2 a21 a22 ... a2j ... a2n b2

... ... ... ... ... ... ... ...

Ri ai1 ai2 ... aij ... ain bi

... ... ... ... ... ... ... ...

Rm am1 am2 ... amj ... amn bm

Profit c1 c2 ... cj ... cn ∑=

=n

jjj xcz

1

- ib - cantitatea totală de resursă i (pe care îl deţine producătorul)

( mi ,,2,1 …= );

- jc - profitul realizat prin vânzarea unităţii j de produs ( nj ,,2,1 …= );

9 George Bernard Dantzig (1914 ‐ 2005) ‐ matematician american


66

- jx - necunoscut - cantitatea de produs ce se va produce nj ,,2,1 …= .

Ne propunem să determinăm, folosind doar resursele existente, valorile

nxxx ,,, 21 … pentru care profitul fabricii să fie maxim.

Funcţia z care reprezintă profitul trebuie maximizată şi se numeşte funcţia

obiectiv.

Modelul matematic va fi următorul:

∑=

=n

jjj xcz

1

max (1)

mibxan

jijij ,,2,1,

1

…=≤∑=

, (2)

0,,, 21 ≥nxxx . (3)

unde (1) funcţie obiectiv, (2) restricţii structurale, (3) condiţii de

nenegativitate.

b) Problema dietei

Pentru a se păstra sănătos un individ are nevoie ca alimentaţia sa să conţină

minim valorile mbbb ,,, 21 … din nutrienţii mNNN ,,, 21 … (glucide, lipide etc.). Se

ştie că aceste elemente nutritive se găsesc în alimentele nAAA ,,, 21 … . Mai exact

într-o unitate din alimentul jA se găsesc ija unităţi din elementul nutritiv iN .

A1 A2 ... Aj ... An Necesar

biologic

N1 a11 a12 ... a1j ... a1n b1

N2 a21 a22 ... a2j ... a2n b2

... ... ... ... ... ... ... ...

Ni ai1 ai2 ... aij ... ain bi

... ... ... ... ... ... ... ...

Nm am1 am2 ... amj ... amn bm

Cost c1 c2 ... cj ... cn ∑=

=n

jjj xcz

1


67

O unitate din elementul jA costă jc unităţi monetare. Se pune problema să

se determine un meniu care să asigure necesarul biologic la un preţ minim.

Modelul matematic:

∑=

=n

jjj xcz

1

min , (4)

mibxan

jijij ,,2,1,

1

…=≥∑=

, (5)

0,,, 21 ≥nxxx . (6)

c) Problema amestecului

Un amestec are în compoziţie m substanţe mSSS ,,, 21 … care se găsesc în

materiile prime nMMM ,,, 21 … . Se ştie că în compoziţia amestecului trebuie să fie

exact ib unităţi din substanţa iS , că într-o unitate din materia jM se găsesc ija

unităţi dintr-o substanţă iS şi că o unitate din materia primă jM costă jc unităţi

monetare.

Se cere să se determine cantităţile jx din materia primă jM care sunt

necesare realizării amestecului cu compoziţia prescrisă la un cost minim.

M1 M2 ... Mj ... Mn Necesar

S1 a11 a12 ... a1j ... a1n b1

S2 a21 a22 ... a2j ... a2n b2

... ... ... ... ... ... ... ...

Si ai1 ai2 ... aij ... ain bi

... ... ... ... ... ... ... ...

Sm am1 am2 ... amj ... amn bm

Cost c1 c2 ... cj ... cn ∑=

=n

jjj xcz

1


68

Modelul matematic:

∑=

=n

jjj xcz

1

min , (7)

mibxan

jijij ,,2,1,

1

…==∑=

, (8)

0,,, 21 ≥nxxx . (9)

La toate cele trei probleme prezentate pentru a putea aplica algoritmul

simplex trebuie transformate într-o problema de programare liniară standard:

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

≥

==

=

∑

∑

=

=

.0,,,

,,,2,1,

,max

21

1

1

n

n

jijij

n

jjj

xxx

mibxa

xcz

… (10)

1. Termenul liber al fiecărei restricţii să fie nenegativ.

Acest inconvenient se rezolvă înmulţind restricţiile structurale care au

termen liber negativ cu (-1). Atenţie prin această înmulţire inegalitatea respectivă

îşi va schimba semnul. Exemplu:

10352 4321 −≤−+− xxxx / ( )1−

10352 4321 ≥+−+− xxxx .

2. Toate restricţiile structurale trebuie exprimate ca ecuaţii.

Pentru a transforma inegalităţile în egalităţi se introduc o serie de variabile

suplimentare. Astfel: pentru fiecare restricţie de tip „≤ ” se adună o variabilă ecart

nenegativă în partea stângă a restricţiei.

Pentru fiecare restricţie de tip „≥ ” se scade o variabilă ecart nenegativă din

partea stângă a restricţiei.

Variabilele ecart echilibrează inegalităţile transformându-le în egalităţi.

Aceste variabile trebuie să respecte condiţia de nenegativitate şi vor apărea

în funcţia obiectiv cu coeficient egal cu zero.


69

EXEMPLU:

Fie programul liniar

4321 2710max xxxxz −++=

⎩⎨⎧

≤+−+−≥−+−−.2552

,10352

4321

4321

xxxxxxxx

0,,, 4321 ≥xxxx .

Pentru a aduce sistemul la forma standard trebuie să facem următoarele

modificări:

654321 002710max xxxxxxz ++−++=

⎩⎨⎧

=++−+=++−+

.2552,10352

64321

54321

xxxxxxxxxx

0,,,,, 654321 ≥xxxxxx .

Am înmulţit cu -1 prima restricţie structurală. Această operaţie a modificat

toate semnele relaţiei inclusiv inegalitatea şi apoi am adăugat variabile ecart 5x şi

6x pentru a echilibra relaţiile. În cadrul funcţiei obiectiv am adăugat variabilele

ecart au coeficientul egal cu zero. Variabilele ecart trebuie să respecte condiţiile

de nenegativitate.

Definiţie 3. Pentru o problemă de programare liniară de maximizare restricţiile

structurale de tip „≤ ” se numesc concordante. Pentru o problemă de programare

liniară de maximizare restricţiile de tip „≥ ” se numesc neconcordante.

Definiţie 4. O problemă de programare liniară are formă canonică dacă toate

restricţiile sale sunt concordante.

Metoda simplex este o metodă de rezolvare a problemei de programare liniară

aranjată sub formă standard.

Definiţie 5. Soluţiile sistemului bAX = care satisfac condiţiile de nenegativitate

se numesc soluţii admisibile.


70

Notăm cu M – mulţimea tuturor soluţiilor admisibile:

{ }0,/ ≥=∈= XbAXRXM n .

Definiţie 6. O bază { }maaaB ...,,, 21= a subspaţiului V generat de coloanele

matricei A este numită bază admisibilă dacă există o soluţia admisibilă

MxxxX n ∈= )...,,,( 21 cu nmjx j …,1,0 +== . În acest caz se spune că X este

soluţia admisibilă de bază corespunzătoare bazei B; iar mxxxx …,,, 321 se numesc

componentele bazice ale soluţiei.

Teoremă Dacă un sistem liniar de m ecuaţii cu n necunoscute are cel puţin o

soluţie de bază atunci el va admite cel mult mnC soluţii de bază.

Definiţie 7. Baza admisibilă B este numită degenerată dacă cel puţin o

componentă bazică a soluţiei este zero. În caz contrar se numeşte nedegenerată.

EXEMPLE:

1. În cazul general o soluţie de bază corespunzătoare bazei { }maaaB ...,,, 21= are

formula )0...,,0,...,,,( 21 mxxxX = . Baza B este degenerată dacă măcar unul

dintre locurile maaa ...,,, 21 este ocupat de elementul zero.

Dacă { }maaaB ...,,, 21= este bază admisibilă atunci b coloana vectorilor

liberi se scrie în mod unic ca o combinaţie liniară de vectori din baza B. Deci o

bază admisibilă determină soluţia admisibilă de bază în mod unic.

După ce am determinat o soluţie pentru a determina soluţia de bază

necunoscutele secundare se vor egala cu valoarea 0 şi se determină imediat

valorile pentru necunoscutele principale.

Dacă necunoscutele principale sunt diferite de zero atunci avem soluţie de

bază nedegenerată. Dacă măcar o valoare a necunoscutelor principale este 0

atunci vom avea soluţie de bază degenerată.

2. Să se determine toate soluţiile admisibile de bază pentru sistemul ecuaţii:


71

⎩⎨⎧

=+−−=++

242

4321

321

xxxxxxx

unde 0≥ix .

Rezolvare:

Scriem matricea extinsă ataşată sistemului:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

=2111140121

A .

Pentru a determina soluţiile admisibile de bază trebuie mai întâi să

determinăm o bază.

a) Construim o bază în matricea sistemului folosind regula dreptunghiului

aplicată la capitolul anterior:

( )⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−− 2111140121

4321 bxxxx.

( ) ⎟

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−− 2123040121

4321 bxxxx.

Baza în acest caz este formată de vectorii ( )41, xx acest lucru conducând la

o formă explicită în raport cu necunoscutele ( )41, xx . Egalăm variabilele secundare

cu zero şi obţinem soluţia de bază 2,4 41 −== xx şi 0,0 32 == xx soluţie

nedegenerată. Ea nu este soluţie admisibilă deoarece conţine o variabilă negativă.

b) În mod analog vom constui o nouă bază în matricea sistemului

( )

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−− 21111

40121.

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡6101240121

.


72

Baza în acest caz este formată de vectorii ( )43 , xx acest lucru conducând la

o formă explicită în raport cu necunoscutele ( )43 , xx .

Soluţia de bază va fi 6,4 43 == xx , 0,0 21 == xx nedegenerată şi

admisibilă;

c) În mod analog vom constui o nouă bază în matricea sistemului

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−− 21111

40121.

( )

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

−2111121230

.

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

34

32

3101

32

31

3210

.


o formă explicită în raport cu necunoscutele ( )21, xx .

Soluţia de bază va fi 34,

32

21 == xx şi 0,0 43 == xx soluţie nedegenerată

admisibilă;

d) În mod analog vom constui o nouă bază în matricea sistemului

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−− 21111

40121.

( )

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

−2111121230

.

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −

3210

211

1211

230

.


o formă explicită în raport cu necunoscutele ( )31, xx .


73

Soluţia de bază va fi 3,1 31 == xx şi 0,0 42 == xx soluţie nedegenerată

admisibilă.

În mod asemănător au mai rămas de aflat formele explicite în raport cu

necunoscutele: ( )32 , xx , ( )42 , xx .

Exerciţii

Să se determine toate soluţiile admisibile de bază pentru sistemele:

1. ⎩⎨⎧

−=−−−=+++−

526324432

4321

4321

xxxxxxxx

.

2. ⎩⎨⎧

=+++=+++

121322

4321

4321

xxxxxxxx

.

Definiţie 8. O bază admisibilă B şi V soluţia admisibilă de bază corespunzătoare

ei sunt numite optimale dacă funcţia obiectiv ia valoare maximă în soluţia

admisibilă găsită:

XCVC T

MX

T

∈= max .

În continuare presupunem că sistemul de condiţii (10) are cel puţin o

soluţie, adică Φ≠M . Vom prezenta un algoritm care conduce la o soluţie optimă

acceptând că există o soluţie admisibilă şi că sunt indeplite condiţiile.

Teorema 1.

Dacă sistemul de restricţii (10) are o soluţie (admisibilă) atunci el are cel puţin o

soluţie admisibilă de bază.

Observaţie: A doua teoremă ne va ajuta să trecem de la o bază admisibilă la altă

bază admisibilă:

Teorema 2. (Criteriul de ieşire din bază)

Fie { }maaaB ...,,, 21= o bază admisibilă, )0...,,0,...,,,( 21 mxxxX = soluţia

admisibilă de bază corespunzătoare şi expresia:


74

nkaaaaam

irrkkkiikk ...,,2,1,

12211 =+++==∑

=

λλλλ ,

expresiile coloanelor matricei A în baza B. Dacă pentru un anumit k > m, fixat,

există numere pozitive ikλ şi

ik

i

ik

i xxik λλ λ 0

min>

= .

Atunci { }mki aaaaaaB ,...,,,...,,,' 11121 +−= este o bază admisibilă.

Observaţie: Vom da în continuare un criteriu care să ne asigure că funcţia obiectiv

creşte când se trece de la o bază admisibilă la o altă bază admisibilă folosind

teorema 2.

Teorema 3. (Criteriul de intrare în bază)

În ipotezele şi notaţiile din teorema 2 se va schimba baza admisibilă B cu baza

admisibilă B’. Dacă

01

<−=∑=

k

m

iiikk ccd λ ,

atunci

XCXC TT ≥' .

Teorema 4.(Criteriul de verificare a optimalităţii soluţiei)

Fie { }maaaB ...,,, 21= o bază admisibilă şi

nkaam

iiikk ,...,2,1,

1

==∑=

λ ,

expresiile coloanelor matricii A în baza B. Dacă pentru toţi k avem:

01

≥−=∑=

k

m

iiikk ccd λ ,


75

atunci baza B este optimală.

Observaţie: valorile dk care corespund elementelor unei baze admisibile sunt

întotdeauna egale cu zero.

Teorema 5.

Fie { }maaaB ...,,, 21= o bază admisibilă presupunem că pentru un anumit k fixat, k

> m, kd este negativ şi 0≤ikλ , i = 1, 2, ..., m. Atunci funcţia obiectiv nu este

mărginită pe mulţimea M a soluţiilor admisibile.

Rezultatele teoremelor precedente arată că avem o metodă care conduce la

soluţia problemei de maximizare. Mai întâi se rezolvă sistemul (10) şi se găseşte o

soluţie admisibilă. Se trece apoi, prin teorema 1 de la o soluţie admisibilă la o

soluţie admisibilă de bază.

Se verifică dacă soluţia obţinută în acest mod este optimă sau nu cu

ajutorul teoremei 4. Dacă soluţia este optimă algoritmul se opreşte.

Dacă soluţia nu este optimă trebuie găsită o nouă soluţie pentru a fi

verificată optimalitatea ei. O altă soluţie este determinată prin schimbarea bazei

admisibile.

Trecerea de la o bază admisibilă la alta se face prin înlocuirea câte unui

vector coloană, ales cu ajutorul teoremei 3, din baza admisibilă cu un vector nou,

ales cu ajutorul teoremei 2 din matricea A. Se ajunge la un şir crescător de valori

ale funcţiei obiectiv.

La fiecare pas se verifică teoremele 4 şi 5, dacă soluţia este optimală sau

dacă problema are sau nu optim finit.

3.5. Descrierea algoritmului simplex primal

Pas.1 Înainte de a începe algoritmul simplex trebuie ca problema de

programare liniară să fie adusă la forma standard:

∑=

=n

jjj xcz

1

max , (1)

mibxan

jijij ,,2,1,

1

…==∑=

, (2)


76

0,,, 21 ≥nxxx , (3)

[ ] [ ] XCzcccCaA TTnnmij ===

× 21 . (4)

Pas 2.

Se scrie matricea coeficienţilor A pentru a observa existenţa matricei

unitate, adică o bază admisibilă { }maaaB ...,,, 21= şi soluţia admisibilă de bază

[ ]0,,0,...,,, 020100 …mxxxX = .

Pas. 3

Se introduce soluţia de bază şi toate datele problemei de programare

liniară în tabelul simplex pentru a verifica dacă soluţia obţinută la pasul 2 este

optimă.

CB - coeficienţii funcţiei obiectiv corespunzători coloanelor ce formează

baza B;

CJ - coeficienţii funcţiei obiectiv;

B - vectorii bazei admisibile B;

X0 - componentele bazice ale soluţiei X0;

Coloanele ai - numerotarea coloanelor matricei A;

CB CJ → 1c 2c … ic … mc 1+mc … kc … nc

↓ B X0 1a 2a … ia … ma 1+ma … ka … na

1c 1a 10x 1 0 … 0 … 0 11 +mλ … k1λ … n1λ

2c 2a 20x 0 1 … 0 … 0 12 +mλ … k2λ … n2λ

ic ia 0ix 0 0 … 1 … 0 1+imλ … ikλ … inλ

mc ma 0mx 0 0 … 0 … 1 1+mmλ … mkλ … mnλ

CTX0 0 0 … 0 … 0 1+md … kd … nd

În ultima linie CTX0 este valoarea funcţiei obiectiv şi dk valorile calculate

după formula:


77

k

m

iiikk ccd −=∑

=1

λ .

Pas 4.

După completarea tabelului se testează optimalitatea soluţiei cu ajutorul

teoremei 4. Dacă toţi 0≥kd problema este rezolvată - s-a determinat o soluţie

optimă, se trece la Pas 4 şi algoritmul se opreşte.

Dacă există 0<kd şi toţi termenii ce alcătuiesc coloana k sunt negativi

( 0<ikλ ) atunci programul liniar are optim infinit (teorema 5) şi determinarea ei

nu mai prezintă interes, algoritmul se opreşte.

Dacă există 0<kd şi există 0>ikλ soluţia nu este optimă, dar soluţia se

poate îmbunătăţi şi se trece la Pas 3. Se iniţiază prima iteraţie a algoritmului

simplex primal.

Pas 5.

Vom căuta o altă soluţie admisibilă de bază. Pentru aceasta vom schimba

baza şi acest lucru se face schimbând un vector din baza existentă şi introducem

un vector nou în bază.

Vectorul ce intră în bază (teorema 3) se determină după cantitatea dj

corespunzătoare lui care trebuie să fie negativă minimă.

{ }0/min <= kkj ddd .

Observaţie: Alegerea lui dj cel mai negativ nu este obligatorie, ea are ca efect

micşorarea numărului de iteraţii necesare rezolvării problemei de programare

liniară.

Vectorul ce iese din bază (teorema 2) corespunde indicelui pentru care

ik

i

ik

i xxik λλ λ

00

0 min>

= .

Se reia pas 4.

La intersecţia vectorului ce intră în bază cu vectorul ce iese din bază se

obţine pivotul ce va fi obligatoriu pozitiv. În continuare se recalculează

elementele tabelului utilizând regula dreptunghiului şi vom construi un tabel de

acelaşi tip corespunzător noii baze. După completarea noului tabel cu cantităţile dk


78

se testează optimalitatea noii soluţii. Dacă noua soluţie este optimă algoritmul se

opreşte, dacă nu se începe o nouă iteraţie.

Pas 6.

În cazul în care verificarea optimalităţii dă un răspuns afirmativ ultimul

tabel simplex conţine soluţia programului liniar: componentele din coloana X0

sunt chiar componentele bazice ale soluţiei optime (componentele ce nu apar în

coloană au valoare egală cu zero), iar CTX0 reprezintă valoarea optimă a funcţiei

obiectiv.

Observaţie.

1. Se poate formula un algoritm analog pentru minimizarea funcţiei obiectiv, dar

nu este necesar deoarece problema de minimizare se poate rezolva pe baza

aceluiaşi algoritm ţinând cont de egalitatea:

( ) ( )[ ]XzXz −−= maxmin .

2. Până în acest moment am rezolvat probleme de maximizare şi minimizare cu un

anumit tip de restricţie "≤ " . Pentru o problemă de programare liniară ce are toate

tipurile de restricţii metoda de lucru nu se schimbă. Diferenţele apar în momentul

în care aducem problema liniară la o formă standard.

EXEMPLU:

Să se rezolve folosind algoritmul simplex următoarea problemă de programare

liniară:

21 65max xxz += ,

⎩⎨⎧

≤+≤+

,26064,12023

21

21

xxxx

0, 21 ≥xx .

Rezolvare: Problema trebuie adusă la forma standard. Având în vedere că

restricţiile erau mai mic sau egal atunci trebuie să adunăm un termen pentru a face

egalitate în prima ecuaţie adunăm x3 şi în a doua x4. Aceste necunoscute vor primi

în funcţia obiectiv coeficientul zero.


79

4321 0065max xxxxz +++= ,

⎩⎨⎧

=++=++

,26064,12023

421

321

xxxxxx

Matricea acestui sistem este:

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

26010641200123

4321 baaaaA .

Baza este formată din vectorii { }43 , aaB = şi soluţia admisibilă de bază

este ( )260,120,0,00 =X . Construim tabelul simplex:

CB CJ → 5 6 0 0

↓ B X0 1a 2a 3a 4a

0 3a 120 3 2 1 0

0 4a 260 4 (6) 0 1

0 -5 -6 0 0

Acestă soluţie ( )260,120,0,0=X nu este una optimă deoarece în ultima

linie există termeni negativi. Alegem pe "cel mai negativ" şi coloana

corespunzătoare acestui termen intră în bază conform criteriului de intrare în bază.

Vectorul 2a intră în bază. Coloana 2a devine coloana cheie.

Urmează să determinăm ce vector iese din bază folosind criteriul de ieşire

din bază.

Vectorul ce iese din bază corespunde indicelui pentru care

kj

k

ij

i xxkj λλ λ

00

0 min>

= .

În acest caz 3.433

130,60min6

260,2

120min0

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

>kjλ Intră în bază vectorul 2a

şi iese din bază vectorul 4a . La intersectia dintre cei doi vectori gasim noul pivot


80

pe care il transformăm în valoarea 1 prin împarţire la 6. Facem modificările în

tabel

CB CJ → 5 6 0 0

↓ B X0 1a 2a 3a 4a

0 3a 3

100⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

35

0 1 31

−

6 2a 3

13064 1 0

61

260 -1 0 0 1

Baza este formată din vectorii { }23 , aaB = şi soluţia admisibilă de bază

este ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= 0,

3100,

3130,0X .

Această soluţie nu este soluţia optimă deoarece nu toti termenii kd sunt

pozitivi. Trecem la pasul următor. Căutăm o nouă soluţie admisibilă. Vectorul ce

intră în bază este a1 deoarece "cea mai negativă" valoare pentru dk este -1.

În acest caz { } 2065,20min

643

130

,

353

100

min0

==

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

>kjλ. Vectorul care iese din bază

este 3a . La intersectia dintre cei doi vectori gasim noul pivot pe care îl

transformăm în valoarea 1 prin împarţire la pivot. Facem modificările în tabel

CB CJ → 5 6 0 0

↓ B X0 1a 2a 3a 4a

5 1a 20 1 0 53

51

−

6 2a 30 0 1 52

−103

280 0 0 53

51

Baza este formată din vectorii { }21, aaB = şi soluţia admisibilă de bază este

( )0,0,30,20=X . În linia coeficenţilor kd avem numai termeni pozitivi. Concluzia


81

este că am găsit soluţia optimă a problemei de programare liniară. Valoarea

maximă pentru funcţia obiectiv este z = 280 şi se obţine dacă 30,20 21 == xx .

3.6. Metoda celor două faze

Există probleme de programare liniară în care în matricea A a restricţiilor

nu conţine o matrice unitate. Vom încerca construirea unei matrice unitate,

utilizând variabile artificiale.

Vom arăta cum se poate determina, utilizând algoritmul simplex primal, o

soluţie admisibilă de bază pentru programul liniar standard

( )nnT xcxcxcxcXC ++++= 332211maxmax , (5)

0; ≥=⋅ XbXA , (6)

folosind metoda celor două faze.

Faza 1. Considerăm programul liniar

( )nyyyy ++++ 321min , (7)

0,0; ≥≥=⋅+⋅ YXbYIXA m , (8)

unde [ ]myyyY ...,,, 21= şi variabilele myyy ...,,, 21 se numesc variabile

artificiale.

Teoremă. Dacă X0 este o soluţie admisibilă a programului (5) - (6) atunci

[ ] mnRXX +∈= 0...,,0,~00 este soluţie a programului (7) - (8).

Reciproc, orice soluţie optimă a programului (7) - (8) care are

componentele artificiale egale cu 0 conduce la soluţia admisibilă X0 a programului

iniţial.

La sfârşitul fazei 1 vom avea una din următoarele 3 situaţii:

În cazul 1. Valoarea optimă este strict pozitivă;

Programul iniţial nu are nici o soluţie admisibilă pentru că dacă ar exista

X0 o soluţie admisibilă atunci [ ]0...,,0,~00 XX = ar fi soluţie problemei asociate de

unde ( )nyyyy ++++ 321min = 0 contrar ipotezei.

În cazul 2. Valoarea optimă este zero şi nici o componentă artificială nu

este bazică;


82

Renunţând la componentele artificiale obţinem o soluţie admisibilă de

bază a problemei (4) - (5) şi continuăm cu faza 2.

În cazul 3. Valoarea optimă este zero şi cel puţin o componentă artificială

este bazică.

Soluţia de bază conţine şi componente artificiale, dar care vor fi egalate cu

zero. În acest caz obţinem o soluţie de bază degenerată a problemei iniţiale.

În situaţiile 2 şi 3 se trece la realizarea fazei a doua.

Faza 2.

Se trece la rezolvarea problemei de optimizare iniţială, luând ca soluţie de

bază de plecare soluţia determinată la sfârşitul primei faze şi folosim algoritmul

simplex.

Dacă suntem în situaţia 2 primul tabel al fazei a doua se obţine din ultimul

tabel al fazei întâi, renunţând la coloanele corespunzătoare variabilelor artificiale.

Dacă suntem în situaţia 3 primul tabel al fazei a doua se obţine din ultimul

tabel al primei faze, renunţând la coloanele tabelului corespunzătoare variabilelor

artificiale nebazice.

Funcţia obiectiv devine:

mnnT yyyyxcxcxcxcXC 0000 321332211 +++++++++= .

şi se continuă rezolvarea problemei de programare liniară folosind algoritmul

simplex.

EXEMPLU:

Să se rezolve programul liniar

5421 52max xxxxz +−−−= ,

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+++−

=+−−

=+−+−

,2423

,3312

,4226

54321

4321

54321

xxxxx

xxxx

xxxxx

0,,, 54321 ≥xxxxx .


83

Sistemul este adus la forma standard şi scriem matricea coeficienţilor

pentru a cerceta existenţa matricei unitate.

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−

−−

=

14213

011312

21126A .

Observăm că nu apare explicit o matrice unitate. Vom aplica metoda celor

două faze.

Faza 1. Considerăm programul liniar

( ) ( )321321 maxmin yyyyyy −−−−=++ ,

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=++++−

=++−−

=++−+−

,2423

,3312

,4226

354321

24321

154321

yxxxxx

yxxxx

yxxxxx

0,,,,,,, 32154321 ≥yyyxxxxx .

Matricea coeficienţilor este în acest caz:

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−−

−−=

10014213

010011312

00121126~87654321 aaaaaaaa

A ,

unde baza este formată din { }876 ,, aaaB = şi [ ]TX 2,3,4,0,0,0,0,0~0 = soluţie

admisibilă de bază.

CB CJ → 0 0 0 0 0 -1 -1 -1

↓ B X0 1a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a

-1 6a 4 6 -2 1 -1 2 1 0 0

-1 7a 3 2 31

− -1 1 0 0 1 0

-1 8a 2 (3) -1 2 4 1 0 0 1

-9 -11 3

10 -2 -4 -3 0 0 0

-1 6a 0 0 0 -3 -9 0 1 0 -2


84

-1 7a 35 0 (

31 )

37

−35

−32

− 0 1 32

−

0 1a 32 1

31

−32

34

31 0 0

31

35

− 0 31

−3

16 3

32 32 0 0

311

-1 6a 0 0 0 -3 -9 0 1 0 -2

0 2a 5 0 1 -7 -5 -2 0 3 -2

0 1a 37 1 0

35

−31

−31

− 0 1 31

−

0 0 0 3 9 0 0 1 3

S-a obţinut soluţia optimă ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡= 0,0,0,0,0,0,5,

37~

0X a programului ajutător.

Ne aflăm în cazul 3 adică o componentă artificială este în bază. Trecem la

faza 2.

Alegem soluţia ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡= 0,0,0,5,

37

0X a programului de iniţiere faza 2.

Ultimul tabel de la programul ajutător este primul tabel de la faza 2.

CB CJ → -1 -2 0 -1 5 0

↓ B X0 1a 2a 3a 4a 5a 6a

0 6a 0 0 0 -3 -9 0 1

-2 2a 5 0 1 -7 -5 -2 0

-1 1a 37 1 0

35

−31

−31

− 0

3

37− 0 0

347

334

32

− 0

Programul nu are optim finit deoarece variabila d5 este negativă şi toate

componentele coloanei corespunzătoare ei din tabel sunt negative sau zero. Pe

coloana a5 termenul d5=-2/3 < 0 şi 31;2;0 352515 −=−== λλλ de unde rezulta ca

problema de programare liniară are optim infinit iar iteraţiile se opresc.


85

Exerciţii

1. Să se rezolve PPL folosind algoritmul simplex:

a)

.0,,,2600432

,12003,1086max

321

321

21

321

≥⎩⎨⎧

≤++≤−

++=

xxxxxx

xxxxxz

b)

.0,,,80222,40422,240226

,235max

321

321

321

321

321

≥

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≤−+≤+−≤++

+−=

xxxxxxxxxxxx

xxxz

c)

.0,,,,1843,63

,24422,30223

234max

4321

4321

421

4321

432

4321

≥

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

≤+++≤++≤+++≤++

+++=

xxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxz

d)

.0,,,,4322

,22222max

4321

4321

321

321

≥⎩⎨⎧

≤++−≤++

++=

xxxxxxxx

xxxxxxz

2. Să se rezolve P.P.L. folosind metoda celor doua faze.

5421 52max xxxxz +−−−=

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+++−

=+−−

=+−+−

,2423

,3312

,4226

54321

4321

54321

xxxxx

xxxx

xxxxx

0,,, 54321 ≥xxxxx .


86

Unitate de învăţare IV

Elemente de teoria probabilităţilor şi statistică matematică

Cuprins U.I. IV

4.1. Noţiuni fundamentale

4.2. Operaţii cu evenimente

4.3. Noţiunea de probabilitate

4.4. Scheme probabilistice clasice

4.5. Variabile aleatoare.

4.6. Repartiţii clasice

4.7. Organizarea şi descrierea datelor

4.8. Reprezentarea grafică a datelor statistice

4.9. Caracteristici numerice ale seriilor statistice

4.10. Frecvenţa absolută, frecvenţa relativă şi frecvenţe

cumulate

4.11. Ajustarea datelor unei serii statistice

4.12. Intervale de încredere

----------------------------------------------------------------------------- Obiective: 1. Să identifice diferite tipuri de evenimente; 2. Să definească probabilitatea unui eveniment folosind cele 3 definiţii: clasică,

statistică, axiomatică; 3. Să utilizeze în probleme schemele probabilistice clasice şi formulele de calcul

ale probabilităţilor; 4. Să calculeze valorile tipice ale variabilelor aleatoare; 5. Să identifice şi să utilizeze repartiţiile clasice: discrete şi continue; 6. Să grupeze corect şi să descrie datele statistice; 7. Să reprezinte grafic datele statistice; 8. Să ajusteze liniar şi parabolic date statistice.

------------------------------------------------------------------------------------------


87

Multe fenomene din viaţa reală sunt caracterizate de incertitudine sau de

evoluţie întâmplătoare. Teoria probabilităţilor este un instrument matematic care

permite modelarea unor astfel de situaţii.

4.1. Evenimente

Teoria probabilităţilor se ocupă cu studiul modelelor matematice ce

descriu experienţe aleatoare. Exemple: controlul tehnic al calităţii produselor

alimentare, jocuri de noroc, asigurări, prognoza vremii etc.

Pentru a construi un model matematic se pleacă de la un experiment.

Definţie 1. Prin experiment aleator se înţelege o acţiune a cărui rezultat este

supus întâmplării, nu poate fi anticipat cu exactitate dar mulţimea rezultatelor

posibile este cunoscută.

EXEMPLE: aruncarea unui zar, aruncarea unei monede, extragerea unei bile dintr-o

urnă ce conţine bile de mai multe culori, observarea duratei de viaţă a unei maşini,

cercetarea duratei de viaţă a unui individ dintr-o populaţie umană sau biologică şi

altele.

Definiţie 2. Aplicarea experimentului asupra unei populaţii date se numeşte

probă iar rezultatul ei se numeşte eveniment.

Definiţie 3. Evenimentul reprezintă orice rezultat al unei experiment. Poate fi

elementar sau compus.

EXEMPLU: Se consideră aruncarea unui zar. Experimentul constă în acţiunea de

aruncare a unui zar care poate fi repetată în condiţii similare. Proba constă în

rezultatul obţinut. Evenimentele sunt asociate feţelor 1, 2, 3, 4, 5, 6. Un exemplu

de eveniment elementar sa apara fata cu numarul {6}. Un exemplu de eveniment

compus evenimentul sa apara fete cu numar par {2, 4, 6}.

Definiţie 4. Se numeşte spaţiu de selecţie al unui experiment aleator mulţimea

tuturor evenimentelor elementare (mulţimea tuturor rezultatelor posibile ale

experimentului).

EXEMPLU: a) Spaţiul de selecţie la aruncarea unui zar este format din

{ }6,5,4,3,2,1=Ω .


88

b). La verificarea unui fruct spaţiul de selecţie este alcătuit din

{ }stricatbun,=Ω .

Definiţie 5. Definim un eveniment ca fiind un element a mulţimii ( )ΩP . Vom

considera o submultime de evenimente relevante pentru experiment. ( )Ω⊂ PF

Notaţie: ( )ΩP este mulţimea formată din toate submulţimile mulţimii Ω .

Definiţie 6. Se numeşte eveniment sigur, evenimentul care se realizează

întotdeauna ca rezultat al efectuării unui experiment.

Definiţie 7. Se numeşte eveniment imposibil evenimentul care nu se poate

realiza niciodată.

Notaţii: Ω – eveniment sigur şi ∅ - eveniment imposibil.

EXEMPLE: Se aruncă un zar, spaţiul de selecţie este { }6,5,4,3,2,1=Ω .

Evenimentul A să apară o faţă cu număr par: { }6,4,2=A , evenimentul B să apară

o faţă cu număr impar { }5,3,1=B sau evenimentul C să apară o faţă cu un număr

mai mare sau egal cu 4: { }6,5,4=C . Un eveniment imposibil este să apară o faţă

cu numarul 7. Evenimentul sigur este să apară o faţă cu unul dintre numerele

{ }6,5,4,3,2,1 .

Definiţie 8. Fie evenimentul A. Se numeşte evenimentul contrar lui A

evenimentul care se realizează ori de câte ori nu se realizează A. Notaţie A sau

cA .

Definiţie 9. Se spune că evenimentul A implică evenimentul B dacă B se

realizează ori de câte ori se realizează A. Notaţie BA⊂ .

Definiţie 10. Se spune că evenimentul A este echivalent cu evenimentul B dacă

A implică B şi B implică A. Adică BA⊂ şi AB ⊂ ⇔ A = B.


89

4.2. Operaţii cu evenimente

Definiţie 11. Fie date două evenimente A şi B. Se numeşte reuniunea lui A cu B

evenimentul care se realizează atunci când are loc cel puţin unul dintre cele două

evenimente. Notaţie: BA∪ .

Proprietăţi: Reuniunea evenimentelor are următoarele proprietăţi:

1. ABBA ∪∪ = comutativitate;

2. ( ) ( )CBACBA ∪∪∪∪ = asociativitate;

3. BAA ∪⊂ şi BAB ∪⊂ legile absorbţiei;

4. AAA =∪ ;

5. Ω=Ω∪A ;

6. AA =∅∪ .

Definiţie 12. Fie date două evenimente A şi B. Se numeşte intersecţia lui A cu B

evenimentul care se realizează atunci când au loc simultan cele două evenimente.

Notaţie: BA∩ .

Proprietăţi: Intersecţia evenimentelor are următoarele proprietăţi:

1. ABBA ∩∩ = comutativitate;

2. ( ) ( )CBACBA ∩∩∩∩ = asociativiitate;

3. ( ) ( ) ( )CABACBA ∩∪∩∪∩ = distributivitatea intersecţiei faţă de

reuniune;

4. ( ) ( ) ( )CABACBA ∪∩∪∩∪ = distributivitatea reuniunii faţă de

intersecţiei;

5. ABABA =⇒⊂ ∩ ; ∅=∅=Ω= ∩∩∩ AAAAAA ,, ;

6. ,ABA ⊂∩ BBA ⊂∩ .

Definiţie 13. Două evenimente A şi B se numesc compatibile dacă ele se pot

realiza simultan, adică există probe comune care realizează atât pe A cât şi pe B.

Dacă evenimentele nu se pot realiza simultan se numesc incompatibile.

∅≠BA∩ - compatibile; ∅=BA∩ - incompatibile.


90

Definiţie 14. Fie date două evenimente A şi B se numeşte diferenţa dintre A şi B

evenimentul care se realizează atunci când se realizează A, dar nu se produce B.

Notaţie: BA \ .

Proprietăţi:

1. ( ) AA =∅=ΩΩ=∅ ,, ;

2. ,Ω=AA ∪

3. ,∅=AA∩

2. ABBA ⊂⇒⊂ ;

3. Legile lui De Morgan

a). BABA ∩∪ = ;

b). BABA ∪∩ = .

Definiţie 15. Fie date două evenimente A şi B se numeşte diferenţa simetrică

dintre A şi B evenimentul notat ( ) ( )ABBABA \\ ∪=Δ .

Definiţie 16. Spunem că F ( )Ω⊂ P este un spaţiu de evenimente dacă

a) ∈A F atunci ∈A F,

b) ∈A F şi ∈B F atunci ∈BA∪ F şi ∈BA∩ F.

Proprietate: Un spaţiu de evenimente are următoarele proprietăţi:

1. ∈∅ F;

2. Dacă ∈A F, ∈B F şi BA⊂ atunci ∈− AB F;

3. Dacă ∈iA F, Ni∈ atunci:

∪n

iiA

1=

∈ F şi ∩n

iiA

1=

∈ F.

Definiţie 17. Fie spaţiul de evenimente F, o mulţime de evenimente NiAi ∈Ω∈ ,

formează un sistem complet de evenimente dacă sunt îndeplinite următoarele

condiţii:

(i). ∪n

iiA

1=

Ω= reuniunea tuturor evenimentelor dă evenimentul sigur;


91

(ii). njijiAA ji ,...,2,1,,, =≠∅=∩ - evenimentele sunt incompatibile două câte

două.

4.3. Probabilităţi

Fiind dat un spaţiu de evenimente F se pune problema de a caracteriza

printr-un număr cuprins între 0 şi 1 şansa de apariţie a fiecărui eveniment. Se

poate spune că probabilitatea de apariţie a fiecărui eveniment este o expresie

cuantificată a previziunii de a se produce acel eveniment.

Definiţia statistică a probabilităţii

Fie A un eveniment asociat unui experiment E. Presupunem că

experimentul E a fost repetat de n ori şi că evenimentul A s-a realizat de An ori.

Numărul An se numeşte frecvenţa absolută de apariţie a evenimentului A.

Numărul

( )n

nAf An =

se numeşte frecvenţa relativă a evenimentului A în seria de repetări a

experimentului.

Observaţie: S-a constatat că dacă numărul de repetări a experimentului

creşte, numărul de apariţii a evenimentului A se grupează în jurul valorii ( )Afn

care dă probabilitatea de producere a evenimentului A.

EXEMPLU:

Se aruncă o monedă de 200 de ori şi se urmăreşte evenimentul apariţiei

feţei cu stemă. Presupunem că evenimentul a apărut de 75 de ori. Numărul

( )83

4015

20075

200 ===Af reprezintă frecvenţa relativă a evenimentului A.

Definiţie 18. Se numeşte probabilitatea evenimentului A numărul

( ) ( ) ( ) 1,lim >>≈=∞→

nAfAfAP nnn


92

care indică frecvenţa relativă de apariţie a evenimentului A într-o serie de n

repetiţii ale experimentului.

Definiţia clasică a probabilităţii

Această definiţie a probabilităţii este utilă pentru că este intuitivă şi poate

fi aplicată într-o clasă destul de largă de evenimente.

Presupunem ca numarul de cazuri posibile este finit si evenimentele

elementare sunt echiprobabile (au aceeasi probabilitate). In acest caz putem da

urmatoarea definitie.

Definiţie 19. Se numeşte probabilitatea evenimentului A, numărul P(A) care se

calculează ca raportul între numărul de cazuri favorabile producerii evenimentului

şi numărul de cazuri posibile a apărea în urma efectuării experimentului.

( )posibilecazuridenr

favorabilecazuridenrNnAP

..

==

EXEMPLU: Fie o urnă U ce conţine 10 bile roşii şi 20 bile albastre. Din urnă se

extrage o bilă. Care este probabilitatea să obţinem o bilă albastră?

Notăm cu A evenimentul să obţinem o bilă albastră din extragere.

Numărul de cazuri favorabile evenimentului A este n = 20; numărul de cazuri

posibile N = 30.

Probabilitatea să obţinem o bilă albastră se calculează:

( ) %6666.032

3020

≈====NnAP

Definiţia axiomatică a probabilităţii

Funcţia de probabilitate cuantifică şansa de realizare a fiecărui eveniment

dintr-un experiment efectuat. În anul 1931 Kolmogorov10 a pus bazele axiomatice

ale teoriei probabilităţilor.

Definiţie 20. Se numeşte probabilitate pe spaţiul de evenimente F ( )Ω⊆ P o

funcţie [ ]1,0: →FP ce asociază fiecărui eveniment ( )Ω∈PA un număr real P(A)

cu proprietăţile: 10 Andrei Nikolaevici Kolmogorov (1903 ‐ 1987) ‐ matematician rus.


93

1. ( ) 1=ΩP ;

2. ( ) ( )APcAP −=1 ; oricare ∈A F;

3. În cazul în care spaţiul de evenimente Ω este infinit

( ) ( ) ( ) ( )nn APAPAPAAAP +++=∪∪∪ 2121 ,

oricare nAAA ,,, 21 evenimente incompatibile.

Observaţie;

1). Din prima relaţie probabilitatea evenimentului sigur este egală cu 1;

2). Din a doua relaţie probabilitatea reuniunii a mai multor evenimente

incompatibile este egal cu suma probabilitaţilor acelor evenimente.

Proprietăţi: Dacă P este o probabilitate ( ) [ ]1,0: →ΩPP atunci are loc

1). ( ) 0=∅P ;

2). Oricare ∅=∩∈ BAFBA ,, , are loc :

( ) ( ) ( )BPAPBAP +=∪ ;

3). ( ) ( ) ( ) ∈∀−= BABAPBPABP ,,\ ∩ F;

4). ( ) ( ) ( ) BAAPBPABP ⊂−= ,\ ;

5). ( ) ( )BPAP ≤ dacă ∈⊆ BABA ,, F regulă de monotonie

6). ( ) ( ) ( ) ( ) ∈∀−+= BABAPBPAPBAP ,,∩∪ F regulă de adunare pentru

evenimente nu neaparat incompatibile;

7). ( ) ( ) ( ) ( )

( ) niPA

AAAPAAPAPAP

i

jin

nji

n

ii

n

ii

,,1,

,1 211

11

∩∩∩∩∪=Ω∈∀

−++−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∑∑<

+

==

Probabilităţi condiţionate

Există multe probleme în care evenimentul A urmărit este condiţionat de

realizarea unui alt eveniment B. Datorită acestui fapt probabilitatea evenimentului

A se va calcula în ipoteza că evenimentul B s-a realizat. Această probabilitate se

numeşte probabilitatea lui A condiţionată de evenimentul B şi se notează ( )APB .

Definiţie 21. Fie spaţiul F cu n evenimente elementare şi evenimentele BA∩ şi B

venimente elementare. În ipoteza că evenimentul B are loc si respecta ( ) 0>BP ,


94

se numeşte probabilitatea evenimentului A condiţionată de evenimentul B

expresia:

( ) ( )( )BP

BAPAPB∩

= .

Observaţie: Formula a fost propusă de Moivre11 (1718). Se poate defini analog

daca A respecta ( ) 0>AP

( ) ( )( )AP

BAPBPA∩

= .

Vom obţinem din cele două relaţii formula care leagă probabilităţile

condiţionate reciproc de două evenimente:

( ) ( ) ( )APBPBAP B⋅=∩

şi

( ) ( ) ( )BPAPBAP A⋅=∩ .

Adică:

( ) ( ) ( ) ( )APBPBPAP BA ⋅=⋅ .

EXEMPLU: Analizăm defectele unor mere dintr-un lot cules de studenţi. A este

evenimentul ca un măr este mic, B este evenimentul ca mărul analizat este stricat.

Probabilitatea ca un măr ales să fie mic este ( )AP = 0,2 şi probabilitatea ca un

măr ales sa fie stricat stiind ca este mict este ( )BPA =0,3. Care este probabilitatea

ca mărul ales să fie şi mic şi stricat.

( ) ( ) ( ) 06,03,02,0 =⋅=⋅= BPAPBAP A∩ .

Evenimente independente

Definiţie 22. Se spune că A şi B sunt evenimente independente dacă

( ) ( ) ( )BPAPBAP ⋅=∩ .

11 Abraham de Moivre (1667 ‐ 1754) ‐ matematician francez.


95

Dacă ∅≠BA∩ atunci ( ) ( )BPBPA = (şansa de realizare a lui B nu este influenţată

de şansa de realizare a lui A) şi ( ) ( )APAPB = (şansa de realizare a lui A nu este

influenţată de şansa de realizare a lui B).

Definiţie 23. Se spune că evenimentele A1, A2, … An sunt independente dacă

probabilitatea intersecţiei oricărora dintre ele este egală cu produsul

probabilităţilor evenimentelor respective.

( ) ( ) ( ) ( )imiiimii APAPAPAAAP ⋅⋅⋅=∩∩∩ 2121 .

Formule pentru calcularea unor probabilităţi

Definiţie 24. Fie spaţiu de evenimente F şi A1, A2, … An un sistem complet de

evenimente, ( ) 0≠iAP . Atunci probabilitatea oricărui eveniment A din F se

determină cu formula:

( ) ( ) ( ) ⋅⋅=∑=

n

iAi APAPAP

i1

Adică ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )APAPAPAPAPAPAPnAnAA ⋅++⋅+⋅=

21 21 se numeşte fomula

probabilităţii totale.

Definiţie 25. Fie A1, A2, … An un sistem complet de evenimente, ( ) 0≠iAP şi B un

eveniment oarecare. Presupunem că evenimentul B s-a realizat în acest caz care

este probabilitatea ca realizarea lui B să se datoreze cauzei Ai:

Formula lui Bayes12:

( ) ( ) ( )

( ) ( )∑=

⋅

⋅= n

iAi

AiiB

BPAP

BPAPAP

i

i

1

.

Definiţie 26. Fie A1, A2, … An un sistem de evenimente care nu sunt independente.

Are loc inegalitatea

( ) ( )∑=

−≥n

iin APAAAP

121 1∩∩∩ .

12 Thomas Bayes (1701 ‐ 1761) ‐ matematician englez, a fost preot presbiterian.


96

sau ( ) ( )∑=

+−≥n

iin nAPAAAP

121 1∩∩∩ (Inegalitatea lui Boole13).

EXEMPLU:

Doi sportivi aruncă independent aceeaşi greutate şi doresc să depăşească distanţa

de 10 metri. Probabilitatea ca primul să depăşească distanţa este 1/3, iar

probabilitatea ca al doilea să depăşească distanţa este 3/5. Cei doi sportivi au câte

o încercare. Să se calculeze probabilitatea ca limita să fie depăşită de:

1. cel puţin unul din sportivi;

2. ambii sportivi;

3. doar primul sportiv.

Care este probabilitatea ca nici un sportiv să nu depăşească distanţa propusă?

Rezolvare:

Vom considera evenimentele următoare:

A - evenimentul ca primul sportiv să depăşească distanţa;

B - evenimentul ca al doilea sportiv să depăşească distanţa;

( ) ( ) ( ) ( )52,

53,

32,

31

==== BPBPAPAP .

1. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1511

52

31

53

31

53

31

=+=⋅−+=⋅−+=∪ BPAPBPAPBAP .

2. ( ) ( ) ( )51

53

31

=⋅=⋅=∩ BPAPBAP .

3. ( ) ( ) ( )152

52

31


( ) ( ) ( )154

52

32


Exerciţii

1. Un elev face parte dintr-o clasă de 25 elevi. El este elev în clasa I unde

sunt 82 elevi. Şcoala are în total 567 elevi. Elevul se întâlneşte în curtea şcolii cu

un coleg. Care este probabilitatea a) să fie coleg de clasă, b) să fie tot în clasa I.

2. O urnă conţine bile de trei culori. 3 albe, 4 negre şi 5 albastre. Din urnă

13 George Boole (1815 ‐ 1864) ‐ matematician, logician şi filozof englez, creatorul logicii matematicii moderne şi a algebrelor booleene.


97

se extrage o bilă. Care este probabilitatea ca bila să fie albastră? Dar să fie neagră?

3. Doi arcaşi trag în aceeaşi ţintă. Probabilitatea ca primul să lovească ţinta

este 1/4, iar probabilitatea ca al doilea să lovească ţinta este 1/2. Cei doi sportivi

au câte o încercare. Să se calculeze probabilitatea ca ţinta să fie lovită de:

1. cel puţin unul dintre arcaşi;

2. ambii arcaşi;

3. numai primul arcaş.

Care este probabilitatea ca nici un arcaş să nu atingă ţinta?

4.4. Scheme probabilistice clasice

Extragerea aleatoare dintr-o populaţie este un procedeu de a alege la

întâmplare un element şi se poate face în mod repetat.

Există două moduri prin care se poate face extragerea respectivă şi anume:

cu revenire - elementul extras este repus în populaţie înainte de următoarea

extragere şi fără revenire - elementul extras este eliminat din mulţime după

extragere.

SCHEMA POISSON14

Se consideră un experiment E si n efectuari independente a experimentului

E1, E2, … En.

Fie A1, A2, … An evenimente asociate experimentelor E1, E2, … En , având

probabilităţi de realizare:

,)(,,)(,)( 2211 nn pAPpAPpAP === …

nnn qpAPqpAPqpAP =−==−==−= 1)(,,1)(,1)( 222111 … .

Să se determine probabilitatea ca la o efectuare a experimentului E să se

realizeze evenimentul A care constă în realizarea exact a k ( nk ≤≤0 ) din

evenimentele A1, A2, … An .

Probabilitatea căutată este:

14 Simeon Denis Poisson (1781 ‐ 1840) ‐ matematician, fizician, astronom francez; în memoria sa numele i‐a fost scris pe Turnul Eiffel.


98

( ) ( ) ( )nnk qxpqxpqxpadezvoltaredinxluiulcoeficientAP +++= 2211)( .

EXEMPLU:

Se dau 3 urne U1 ce conţine 2 bile albe si 3 bile negre, U2 ce conţine 4 bile

albe si 1 bilă neagră, U3 ce conţine 3 bile albe si 2 bile negre. Din fiecare urnă se

extrage câte o bilă.

Care este probabilitatea ca 2 bile să fie albe şi una neagră?

Rezolvare:

Evenimentul A1 - bila extrasă din prima urnă să fie albă,

Evenimentul A2 - bila extrasă din a doua urnă să fie albă,

Evenimentul A3 - bila extrasă din a treia urnă să fie albă,

n = 3, k = 2,

Conform definiţiei probabilitatea căutată este coeficientul lui x2 din

polinomul ( ) ( ) ( )332211 qxpqxpqxp +++ ,

,52

531,

53)(

,51

541,

54)(

,53

521,

52)(

333

222

111

=−===

=−===

=−===

qAPp

qAPp

qAPp

de unde rezultă că

( ) ( ) ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=+++

52

53

51

54

53

52

332211 xxxqxpqxpqxp =

( ) ( ) ( ) ( )6375824125

1231432125

1 23 +++=+++= xxxxxx .

Deci probabilitatea cătată este .464.012558)( ==AP

SCHEMA BINOMIALĂ

Această schemă este un caz particular al schemei Poisson.

Se consideră o urnă U care conţine a bile albe şi b bile negre. Din această urnă se

fac n extrageri cu repunerea bilei extrase in urna dupa extragere. Care este

probabilitatea sa obtinem k bile albe?

Alegem A evenimentul sa obtinem k bile albe. Probabilitatea evenimentului A se


99

calculeaza dupa formula:

( ) knkkn qpCAP −⋅⋅= .

unde p este probabilitatea evenimentului sa extragem o bila alba la prima

incercare iar q este probabilitatea evenimentului sa extragem o bila neagra.

Exemple: extragerea dintr-o urnă a unei bile cu repunere, aruncarea repetată a

unui zar sau aruncarea repetată a unei monede (toate aruncările se produc în

aceleaşi condiţii).

EXEMPLU:

Se consideră o urnă care conţine 15 bile albe şi 10 bile negre. Din această

urnă se fac 5 extrageri punându-se de fiecare dată bila extrasă înapoi.

Care este probabilitatea ca din 5 extrageri să obţinem 2 bile albe?

Rezolvare:

Evenimentul A – evenimentul ca din 5 extrageri să obţinem 2 bile albe, knkk

n qpCAP −⋅⋅=)( . Scriem n = 5, k = 2,

Numărul de bile albe a = 15, bile negre b = 10,

52

2510,

53

2515

==+

===+

=ba

bqba

ap .

Deci:

( ) %04.232304.0625144

258

259

!25!2!5

52

53)(

3225 ≈==⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅

−⋅=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅= CAP .

SCHEMA HIPERGEOMETRICĂ

Se consideră o urnă U care conţine a bile albe şi b bile negre. Din această

urnă se fac n extrageri fără a pune bila extrasă înapoi în urnă.

Să se determine probabilitatea evenimentului A care constă în extragerea a

k ( nk ≤≤0 ) bile albe.

nba

knb

ka

CCCAP+

−⋅=)( .


100

EXEMPLU:

Se consideră o urnă care conţine 5 bile albe si 5 bile negre. Din această

urnă se extrag 3 bile fără a le pune înapoi.

a). Care este probabilitatea extrageri a 3 bile albe?

b). Dar probabilitatea obţinerii a 2 bile albe şi o bilă neagră?

Rezolvare:

a) Evenimentul E1 – evenimentul ca din 3 extrageri să obţinem 3 bile albe,

nba

knb

ka

CCCEP+

−⋅=)( 1

a = 5, b = 5, a + b = 10,

n = 3, k = 3,

%3,8083,0121)( 3

10

05

35

1 ≈==⋅

=⋅

=+

−

CCC

CCCEP n

ba

knb

ka

b) Evenimentul E2 – evenimentul ca din 3 extrageri să obţinem 2 bile albe si o bilă

neagră,

nba

knb

ka

CCCEP+

−⋅=)( 2

a = 5, b = 5, a + b = 10

n = 3, k = 2,

%.6,41416,0125)( 3

10

15

35

2 ≈==⋅

=⋅

=+

−

CCC

CCCEP n

ba

knb

ka

SCHEMA HIPERGEOMETRICĂ GENERALIZATĂ

O urnă U conţine mi bile de culori ci, i=1, 2, ...p. Din această urnă se

extrag fără repunere n bile.

Probabilitatea ca dintre cele n bile extrase ki să fie de culoarea ci este dată

de formula:

kpkkmpmm

kpmp

km

kmkpk

mpm CCCC

AP +++++

⋅⋅⋅= 21

21

22

11....1

...1 )(

unde k1+k2+ ... +kp = n.


101

EXEMPLU:

Se consideră o urnă care conţine 3 bile roşii, 2 bile albastre, 4 bile verzi şi

2 bile albe. Din această urnă se extrag 3 bile fără repunere. Care este

probabilitatea ca să obţinem o bilă roşie şi două verzi.

Rezolvare:

Evenimentul A – evenimentul ca din 3 extrageri să obţinem o bilă roşie şi două

verzi.

109.0556)( 3

11

24

13

02012423

02

24

02

130201

2423 ==⋅

=⋅⋅⋅

= ++++++ C

CCC

CCCCAP .

Tehnicile de numărare (permutări, aranjamente şi combinări) se vor

aminti la seminar, dar ele trebuie pregătite individual de fiecare student deoarece

au fost în progama analitică a clasei a X-a.

Amintim următoarele formule importante:

( ) ( ) ,!!

!!

,!

!,!321knk

nkAC

knnAnnP

knk

nknn −⋅

==−

==⋅⋅⋅⋅= … unde kn ≥ .

Exerciţii

1. Se aruncă o monedă de 15 ori. Se cere probabilitatea de a obţine de 3 ori

stema. (Indicaţie: se foloseşte schema binomială)

2. Într-o fabrică sunt 3 strunguri. Primul dă 1,3% rebuturi, al doilea 0,8%

şi al treilea 1%. Dacă luăm la întâmplare o piesă de la fiecare strung care este

probabilitatea ca două din piesele alese să fie bune şi una să fie rebut? (Indicaţie:

schema Poisson)

3. O urnă conţine 40 bile numerotate cu 1, 2, 3, … 40. Se extrag simultan

12 bile. Care este probabilitatea să obţinem 5 dintre numele 5, 13, 18, 24, 29, 30?

(Indicaţie: schema bilei neîntoarse).


102

4.5. Variabile aleatoare

Fie F mulţimea a Ai evenimente elementare ale unei experienţe (fiecare

eveniment iA se realizează printr-o probă şi numai una i = 1, 2, ... n). Fiecărui

eveniment elementar iA i se ataşează un număr real ix , deci experienţei i se

ataşează o mulţime de numere reale, fiecare număr având o anumită probabilitate

pi şi anume probabilitatea evenimentului elementar căruia îi corespunde.

Definiţie 26. O functie care ia valori dintr-o multime data si fiecarei valori fiindu-

i atasata probabilitatea cu care ia valoarea respectiva se numeşte variabilă

aleatoare.

Notaţie: RX →F:

Definiţie 27. Numim variabilă aleatoare discretă variabila aleatoare pentru care

mulţimea valorilor este un număr finit (experiment în care "numărăm": Numărul

fructelor stricate dintr-un lot; numărul studenţilor ce au trecut un examen).

Definiţie 28. Numim variabilă aleatoare continuă variabila aleatoare pentru care

mulţimea valorilor este un interval finit sau infinit (experiment în care "măsurăm":

timpul de aşteptare a unui student să intre la un examen etc).

Fie X o variabilă aleatoare şi valorile nxxx ,,, 21 ce apar cu probabilitatile

ip , i=1, 2, .., n. Spunem că ip este probabilitatea cu care variabila aleatoare X

ia valoarea ix .

Notaţie: ( ) ( ) ( );,;; 2211 nn xXPpxXPpxXPp ====== .

Schematic variabila aleatoare X se notează astfel:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

n

n

ppxx

X……

1

1: sau nipx

Xi

i ,1,: =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ .

Observaţii

1. Valorile xi se scriu în ordine crescătoare;

2. Scrierea de mai sus poartă denumirea de tablou de repartitie a variabilei

aleatoare X.

Putem să notăm variabila aleatoare şi în forma: ( )ii pxX , .

3. Suma tuturor probabilităţilor corespunzătoare X este egală cu 1.


103

( ) { }( ) ( ) 1,,,1

211

=Ω=∈===∑∑==

PxxxXPxXPpn

ini

n

ii .

EXEMPLU 1:

Considerăm următorul experiment: se aruncă un zar. Să se găsească variabila

aleatoare X atasata experimentului.

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

61

61

61

61

61

61

654321:X .

Se verifică uşor că ∑=

=n

iip

1

1 adică

161

61

61

61

61

61

654321 =+++++=+++++ pppppp .

EXEMPLU 2:

Un tratament împotriva obezităţii urmat timp de o săptămână, conduce cu

probabilitatea p = 0,75 la scăderea cu un kilogram a greutăţii corporale, ceea ce

înseamnă că tratamentul a avut succes. In celelalte cazuri nu se observa

modificari. Presupunem ca 4 pacienţi urmează acest tratament. Variabila

aleatoareatasata experimentului pentru care tratamentul a avut succes este de tip

binomial. Să se scrie tabloul de repartiţie al lui X.

Pornim de la faptul că variabila aleatoare este de tip binomial. De aici

rezultă că

43

1007575,0 ===p de unde

41

4311 =−=−= pq .

Variabila aleatoare notată X are următoarea formă:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

43210

43210:

pppppX

unde ( ) knkkn qpCkXP −⋅⋅== .

Pentru a completa variabila aleatoare prezentăm ce rezultate pot sa apară la

cei 4 pacienţi:

Probabilitatea ca pentru nici un pacient tratamentul să nu aibă rezultate:

( )2561

41

430

04004

0000 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅=⋅⋅===

−− CqpCXPp n

n = 0.0039;

Probabilitatea ca numai pentru un singur pacient să aibă rezultat:


104

( )643

41

431

3114

1111 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅=⋅⋅=== − CqpCXPp n

n = 0.0468;

Probabilitatea ca tratamentul să aibă rezultat pentru 2 pacienţi:

( )12827

41

432

2224

2222 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅=⋅⋅=== − CqpCXPp n

n = 0.2109;

Probabilitatea ca tratamentul să aibă rezultat pentru 3 pacienţi:

( )6427

41

433

1334

3333 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅=⋅⋅=== − CqpCXPp n

n = 0.42187;

Probabilitatea ca toţi cei 4 pacienţi să răspundă pozitiv la tratament.

( )25681

41

434

0444

4444 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅=⋅⋅=== − CqpCXPp n

n = 0.3164.

De unde obţinem variabila aleatoare cerută în problemă:

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

25681

6427

12827

643

2561

43210:X .

Verificare: 125681

6427

12827

643

2561

=++++ .

4.5.1. Operaţii cu variabile aleatoare

În cele ce urmează vom presupune că variabilele aleatoare X şi Y au

următoarele tablouri de distribuţie:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ni

ni

pppxxx

X1

1: şi ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

mj

mi

qqqyyy

Y1

1: .

a) Adunarea variabilelor aleatoare

Variabila aleatoare X + Y are tabloul de distribuţie

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +++++

nmij

mnji

ppppyxyxyxyx

YX…………

1211

2111: .

unde ( ) ( ) ( )[ ]jijiij yYxXPyxYXPp ===+=+= ∩ şi ∑∑= =

=n

i

m

jijp

1 1

1 .

In urma calculelor valorile se aseaza in ordine crescatoare iar daca exista

valori ce se repeta atunci valoarea va fi scrisa o singură dată iar probabilităţile

valorilor identice se vor aduna.


105

Dacă variabilele aleatoare X şi Y sunt independente atunci

( ) ( ) ( ) jijijiij qpyYPxXPyxYXPp ⋅==⋅==+=+= , Ceea ce conduce la scrierea:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅+

+ji

ji

qpyx

YX : .

Variabila aleatoare X + Y se numeşte suma variabilelor aleatoare X şi Y.

În cazul în care Y = a constantă se obţine suma dintre o constanta şi o

variabilă aleatoare şi avem:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +++++

ni

ni

ppppaxaxaxax

aX…………

21

21: .

b) Înmulţirea variabilelor aleatoare

Variabila aleatoare X Y are tabloul de distribuţie

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

nmij

mnji

ppppyxyxyxyx

YX…………

1211

2111:

unde ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) jijijijiij qpyYPxXPyYxXPyxYXPp ⋅==⋅=====⋅=⋅= ∩ şi

∑∑= =

=n

i

m

jijp

1 1

1 .

Variabila aleatoare X Y se numeşte produsul variabilelor aleatoare X şi Y.

În cazul în care Y = a constanta iar 0≠a se obţine produsul dintre o

constanta şi o variabilă aleatoare şi avem:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ni

ni

ppppxaxaxaax

Xa…………

21

21: .

In urma calculelor valorile se aseaza in ordine crescatoare iar daca exista

valori ce se repeta atunci valoarea va fi scrisa o singura data iar probabilitatile

celor doua valori identice se vor aduna.

c). Ridicare la putere a unei variabile aleatoare:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ni

nn

ni

nnn

ppppxxxxX

…………

21

21: .

( ) ( ) 111 pxXPxXP nn ==== ,

( ) ( ) 222 pxXPxXP nn ==== ,


106

( ) ( ) iin

in pxXPxXP ==== ,

( ) ( ) nnn

nn pxXPxXP ==== .

EXEMPLU:

Fie următoarele două variabile aleatoare:

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

105

103

102

420:X şi

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

107

103

21:Y .

Să se calculeze: ( ) XX ⋅−+ 4,2 , X3, X+Y, X Y.

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛=⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ ++++

105

103

102

642

105

103

102

422202:2 X ,

( ) ( )102022 ====+ XPXP ,

( ) ( )103242 ====+ XPXP ,

( ) ( )105462 ====+ XPXP .

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −−=⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ ⋅−⋅−⋅−⋅−

105

103

102

1680

105

103

102

442404:4 X ,

( ) ( )102004 ====⋅− XPXP ,

( ) ( )103284 ===−=⋅− XPXP ,

( ) ( )1054164 ===−=⋅− XPXP .

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛=+

107

103

21

105

103

102

420YX =

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅

++++++

107

105

103

105

107

103

103

103

107

102

103

102

241422122010=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

10035

10015

10021

1009

10014

1006

654321.

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⋅⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛=⋅

107

103

21

105

103

102

420YX =


107

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅⋅⋅

107

105

103

105

107

103

103

103

107

102

103

102

241422122010=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

10035

10036

1009

10020

8420.

4.5.2. Funcţia de repartiţie a unei variabile aleatoare

În practică apare nevoia de a determina probabiliatea ca o variabilă

aleatoare să ia o valoare mai mică decât o valoare reală. Pentru a descrie acest

lucru vom defini în continuare funcţia de repartiţie a variabilei aleatoare.

Definiţie 29. Fie RX →Ω: o variabilă aleatoare. Se numeşte funcţie de

repartiţie a variabilei aleatoare X, notată XF , o funcţie RRFX →: cu

proprietatea că:

( ) ( )xXPxFX <= .

Observaţie: 1. Dacă variabila aleatoare este o constantă ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛1

:a

X atunci funcţia de

repartiţie este definită în modul următor:

( )⎩⎨⎧

>≤

=axax

xFX ,1,0

.

Fig. 3. - Reprezentare grafică a funcţiei de repartiţie

Dacă variabila aleatoare are tabloul de distribuţie: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛pq

X A10

: , unde

( ){ }pAPXA === /1 . Funcţia de repartiţie este definită astfel:


108

( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

>≤<

≤=

.1,1,10,

,0,0

xxq

xxFX

3. După cum am definit funcţia de repartiţie putem deduce în continuare

probabilitatea ca variabila X să ia valori într-un anumit interval (a, b].

( ) ( ) ( )aFbFbXaP −=<≤ .

Pentru aceasta pornim de la faptul că intervalele ( ) ( )bXaaX <≤< ; sunt disjuncte,

iar reuniunea lor dau intervalul ( )bX < :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )bXaPaFbXaPaXPbXPbFdefinitie

<≤+=<≤+<=<= de unde rezultă

imediat

( ) ( ) ( )aFbFbXaP −=<≤ .

EXEMPLU 1:

Fie variabila aleatoare X:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ni

ni

ppppxxxx

X21

21: .

Funcţia de repartiţie pentru această variabilă aleatoare se determină astfel:

( )

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

<++++≤<+++

≤<+≤<

≤

=

−

−−

.,,,

,,,,

,,0

121

1121

3221

211

1

xxppppxxxppp

xxxppxxxp

xx

xF

nnn

nnn

X

EXEMPLU 2:

Se consideră variabila aleatoare X reprezentând rezultatul aruncării unui zar.

Tabloul de repartiţie va fi:

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

61

61

61

61

61

61

654321:X .

Această variabilă aleatoare are funţia de repartiţie


109

Fig. 4. - Reprezentare grafică a funcţiei de repartiţie

( )

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

>

≤<

≤<

≤<

≤<

≤<

≤

=

.6,1

,65,65

,54,64

,43,63

,32,62

,21,61

,1,0

x

x

x

x

x

x

x

xFX

Proprietăţi:

P1. Funcţia de repartiţie F este crescătoare;

P2. ( ) ( ) 0lim ==∞−−∞→

xFFx

;

( ) ( ) 1lim ==∞+∞→

xFFx

;

P3. Funcţia de repartiţie F este continuă la stânga, adică

( ) ( ) RxxFxF ∈∀=− ,0 ;

P4. Fie X o variabilă aleatoare şi ( )xF funcţia de repartiţie. Atunci au loc:

( ) ( ) ( ) ( )bXPaFbFbXaP =+−=≤≤ .

( ) ( ) ( ) ( ) ( )bXPaXPaFbFbXaP =+=−−=≤< .

( ) ( ) ( ) ( )aXPaFbFbXaP =−−=<< .

Demonstraţie:

2. ( ) ( ) ( ) ( ) 0lim =∅=−∞<==∞−−∞→

PXPxFFx

,

( ) ( ) ( ) ( ) 1lim =Ω=+∞<==∞+∞→

PXPxFFx

.

Observaţie:


110

1. Pentru o variabilă aleatoare discretă X ce ia valorile ,...,, 321 xxx cu

probabilităţile ,...,, 321 ppp se defineşte funcţia de densitate de repartiţie prin:

( )⎩⎨⎧ =

=.,0

,,restin

xxdacapxf ii

Astfel funcţia de distribuţie poate fi determinată în modul următor:

( ) ( ) ∑∑≤≤

==xx

ixx

iii

pxfxF .

Definiţie 30. Fie F funcţia de repartiţie a unei variabile aleatoare X. Se numeşte

densitate de repartiţie (densitate de probabilitate) a variabilei aleatoare X orice

funcţie +→ RRf : integrabilă pe R cu probabilitatea ( ) ( )∫∞−

=x

dttfxF .

Deoarece funcţia de densitate este continuă cu excepţia eventual a unui

număr finit de puncte de discontinuitate de specia întâi vom spune că variabila

aleatoare este de tip continuu. Mai mult ea este şi derivabilă şi conform definiţiei

30 obţinem prin derivare în raport cu x:

( ) ( )xfxF =' . Rx∈∀

Această relaţie ne permite să cunoaştem funcţia densitate de repartiţie f

când cunoaştem funcţia de repartiţie F.

Proprietăţi: Dacă X este variabilă aleatoare continuă cu funcţia densitate de

reparţie f şi funcţia de repartiţie F atunci au loc proprietăţile:

1. Dacă RI ⊆ :

( ) ( )∫=∈I

dttfIXP ;

2. Dacă ( ]baI ,= :

( ) ( ) ( ) ( )∫=−=<≤b

a

dttfaFbFbXaP ;

3. Dacă I este R:


111

( ) ( ) ( ) 1=Ω=+∞<<∞−=∫+∞

∞−

PXPdttf .

4. Pentru variabile aleatoare continue are loc:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )∫ ∈−==<<=

=<≤=≤<=≤≤b

a

RbaoricareaFbFdttfbXaP

bXaPbXaPbXaP

.,,

EXEMPLU:

Se consideră variabila aleatoare continuă X având funcţia densitate de repartiţie:

( )

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

>

≤<

≤

=

.3,1

,31,4

,1,0

x

xxx

xf

Să se determine funcţia de distribuţie F şi să se calculeze ( )31 <≤ XP .

Rezolvare: Folosind definiţia calculăm:

Pentru intervalul 1≤x , ( ) ( ) 00 === ∫∫∞−∞−

xx

dtdttfxF ,

Pentru intervalul 31 ≤< x ( ) ( ) ( ) ( ) ( )181

41 2

11

1

−==+== ∫∫∫∫∞−∞−

xdttdttfdttfdttfxFxxx

.

Pentru intervalul 3>x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 11981

41 3

1

3

1

1

=−==+== ∫∫∫∫∞−∞−

dttdttfdttfdttfxFx

.

Am obţinut ( ) ( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

>

≤<−

≤

=

.3,1

,31,181

,1,0

2

x

xx

x

xF

Vom calcula ( ) ( ) 14131

3

1

3

1

===<≤ ∫∫ dttdttfXP

sau folosim definiţia funcţiei F

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 108811

8119

811331 =+=−−−=−=<≤ FFXP .


112

4.5.3 Valori tipice ale unei variabile aleatoare

Analiza unui fenomen sau experiment se realizează cu dificultate pe baza

analizei valorilor sau a probabilităţilor de apariţie. De aici apare necesitatea

utilizării a unor valori standard ale unei variabile aleatoare numite în continuare

valori tipice.

I. Caracteristici numerice ce exprimă tendinţa centrală a valorilor unei

variabile aleatoare.

a) Media

Definiţie 31. Fie X o variabilă aleatoare discretă având tabelul de repartiţie:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

i

i

px

X : , i= 1,n. Se numeşte media variabilei aleatoare discrete numărul

( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑=

⋅=⋅++⋅+⋅=n

iiinn xfxxfxxfxxfxXM

12211 .

Dacă se ţine seama de definiţia funcţiei densitate de probabilitate f atunci

media variabile se poate calcula după formula:

( ) ∑=

⋅=⋅++⋅+⋅=n

iiinn pxpxpxpxXM

12211 .

Observaţie: Media se notează ( )Xμμ şi caracterizează tendinţa centrală a

valorilor variabilei aleatoare.

Definiţie 32. Fie X o variabilă aleatoare continuă. Se numeşte media variabilei

aleatoare continue (dacă există):

( ) ( )∫ ⋅=R

dxxfxXM .

Proprietăţi: Fie Ra∈ , X şi Y două variabile aleatoare:

1. ( ) ,aaM =

2. ( ) ( ),XMaXaM =

3. ( ) ( ) ( ),YMXMYXM +=+

4. ( ) ( ) ,aXMaXM +=+


113

5. ( ) ( ) ( ),YMXMYXM = X şi Y variabile aleatoare independente.

Demonstraţie:

1. a constantă ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛1

:a

a conform definiţiei ( ) aaaM =⋅= 1 ;

2. ( ) ( )XMapxapxaaXMn

iii

n

iii ⋅=⋅⋅=⋅⋅= ∑∑

== 11

;

3. ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

i

i

px

X : şi ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

j

j

qy

Y : şi conform definiţiei ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅+

+ji

ji

qpyx

YX :

( ) ( ) =⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅+=+ ∑∑∑∑∑∑= == == =

n

i

m

jjij

n

i

m

jjii

n

ij

m

jiji qpyqpxqpyxYXM

1 11 11 1

( ) ( ) ( ) ( )YMXMqypqpxm

jjj

n

ii

m

jj

n

iii +=⋅+⋅⋅= ∑∑∑∑

==== 1111

, deoarece

∑=

=n

iip

1

1 şi ∑=

=m

jjq

1

1.

4. demonstraţie este imediată deoarece alegem la relaţia anterioară

variabila aleatoare Y constantă.

5. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )YMXMqypxqpyxYXMm

jjj

n

iii

n

ij

m

jiji ⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅ ∑∑∑∑

=== = 111 1

.

Exemple:

Observaţii: Media unei variabile aleatoare discrete X are următoarea

interpretare: ( )XM este valoarea în jurul căreia se grupează valorile variabilei

aleatoare X.

b) Mediana

Definiţie 33. Mediana unei variabile aleatoare discrete este o valoare

numerică, notată ( )XM e , care împarte valorile variabilei X în două grupe de

probabilităţi egale:

( )( ) ( )( )21

=≥=< XMXPXMXP ee .

Pentru a determina mediana unei variabile aleatoare continue folosim funcţia

de repartiţie ( ) ( )xXPxF <= . Proprietatea din definiţia anterioară se scrie

( )( ) ( )( )XMXPXMXP ee ≥=<


114

Dar ( )( ) ( )( )XMFXMXP e

definitie

e =<

( )( ) ( )( )XMFXMXP e

definitie

e −=≥ 1 de unde obţinem:

( )( ) ( )( )XMFXMF ee −=1 şi de aici ( )( )21

=XMF e .

Pentru variabilă aleatoare continua X relaţia ( )21

=xF conduce la

( )21

=∫Me

a

dxxf .

Având în vedere că funcţia F este continuă şi crescătoare rezultă o soluţie unică.

EXEMPLU: Fie variabila aleatoare continua X cu ( ) [ ]2,1,8

12∈

+= xxxf . relaţia

( )21

=xF conduce la

( ) ( )2112

81

812

11

=+=+

= ∫∫xx

dttdttxF

de unde:

( ) [ ] [ ] ( ) 22,12;2,1306212

81

2122 =⇒∈=∉−=⇒=−+⇒=−+ XMxxxxxx e .

c. Cuantile (de ordin n)

Alte valori ce analizează gruparea valorilor sunt cuantilele de ordin n. Ele sunt

valori ale unei variabile aleatoare care împart repartiţia în n părţi egale. Trebuie

iniţial ca valorile să fie ordonate crescător. În funcţie de valorile lui n identificăm

mai multe cazuri:

n = 4, atunci vorbim despre cuartile, în număr de 3: prima 0.25x sau Q1 -

cuartila inferioară, 0.50x sau Q2 este chiar mediana, 0.75x sau Q3 cuartila

superioară iar diferenţa Q3 - Q1 reprezintă intervalul intercuartilic.

n = 10, atunci vorbim despre decile (în număr de 9);

n = 100, atunci vorbim despre percentile (în număr de 99).


115

d) Valoarea modală

Valoarea modală sau dominantă este valoarea variabilei X cu funcţie

densitate de repartiţie ( )ixf care are probabilitatea cea mai mare de apariţie.

Notaţia este ( )XM 0 .

( ) ( )iikk xfppundexXM maxmax0 === i =1, 2, …n.

Dacă variabila aleatoare are două valori cu probabilitaţi egale maxime

spunem că variabila este bimodală. Dacă are trei valori cu probabilitaţi egale

maxime trimodală, dacă toate valorile au aceeaşi probabilitate de apariţie atunci

variabila nu are valoare modală.

e) Momentul simplu şi centrat

În momentul în care am definit valoarea medie a unei variabile aleatoare

se poate defini cu uşurinţă o altă valoare importantă şi anume momentul simplu.

Definiţie 28. Se numeşte momentul iniţial de ordin r ( *Nr∈ ) al variabilei

aleatoare discrete X, numărul:

( ) ( ) ∑=

==n

ii

ri

rr pxXMXM

1

.

În particular

( ) ( )XMXM =1 .

Pentru varibile aleatoare continue se defineşte în mod analog (daca integrala

există):

( ) ( )∫∞

∞−

⋅= dxxfxXM rr .

Definiţie 29. Se numeşte momentul centrat de ordin r al variabilei aleatoare X

numărul:

( )( ) ( )( )[ ] ( )( )∑=

−=−=−=n

ii

ri

rrr pXMxXMXMXMXMm

1

.


116

II. Caracteristici numerice ce caracterizează gradul de împrăştiere a

valorilor unei variabile aleatoare.

f) Amplitudinea

Amplitudinea este valoarea egală cu diferenţa dintre cea mai mare şi cea

mai mică dintre valorile variabilei X.

( ) { } { }nn xxxxxxXA ,...,,min,...,,max 2121 −= .

Media unei variabile aleatoare poate da o idee greşită asupra mărimii

majorităţii valorilor dacă în seria de valori apar valori extreme (foarte mici sau

foarte mari). Astfel introducem următoare definiţie.

g). Abaterea individuală

Definiţie 30. Abaterea individuală se calculează ca diferenţa dintre

valoarea variabilei aleatoare minus media valorilor:

( )XMxd ii −=

sau, în mărime relativă:

( )( ) 100% ⋅

−=

XMXMxd i

i .

h) Abaterea medie liniară

Definiţie 31. Abaterea medie liniară reprezintă valoarea obţinută ca o

medie aritmetică a abaterilor individuale faţă de medie:

( )

n

XMxd

n

ii∑

=

−= 1

g). Dispersia

Definiţie 32. Se numeşte dispersia (varianţa) lui X momentul centrat de ordin

doi al variabilei aleatoare discrete X.

Dispersia unei variabile aleatoare X se notează cu ( )XD 2 sau 2Xσ .


117

( ) ( ) ( )( )[ ] ( )( )∑=

⋅−=−==n

iii pXMxXMXMXmXD

1

222

2 .

Observaţie: 1. Dacă urmărim raţionamentul de mai jos observăm că

nipx

Xi

i ...1,: =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ , ( ) ( )ni

pXMx

XMXi

i ...1,: =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−

de unde ( )( ) ( ) ( )( ) 0=−=− XMMXMXMXM . Astfel dispersia se defineşte ca

fiind media pătratelor abaterii de la medie.

2. În calcule este mai uşor de utilizat expresia:

( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )=+⋅⋅−=−= XMXMXXMXMXMXD 2222 2 .

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )XMXMXMXMXMXM 2222 2 −=+⋅⋅−= .

( ) ( ) ( )XMXMXD 222 −= .

Proprietăţi: Dispersia unei variabile aleatoare are proprietăţile Ra∈ :

1. ( ) ;02 =aD

2. ( ) ( );222 XDaXaD =

3. ( ) ( );22 XDXaD =+

4. ( ) ( ) ( );222 YDXDYXD +=+ dacă X şi Y sunt independente.

5. Inegalitatea lui Cebîşev15: Fie X o variabilă aleatoare, iar a un număr

pozitiv oarecare atunci

( )( ) ( )2

2

1a

XDaXMXP −≥<−

Adică probabilitatea ca X să se abată de la medie trebuie să fie mai mică

decât ( )2

2

aXD .

15 Pafnuti Lvovici Cebîşev (1821 ‐ 1894 ) ‐ matematician rus; este cunoscut pentru teorema limită centrală şi legea numerelor mari.


118

Demonstraţie:

1. ( ) ( ) ( ) ;0222 =−= aMaMaD

2. ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ;222222

2222

XDaXMaXMa

XaMXaMXaD

⋅=−⋅=

=⋅−⋅=⋅

3. ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) =+−+⋅⋅+=+−+=+ YXMYYXXMYXMYXMYXD 222222 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) =+−+⋅⋅−= 222 2 YMXMYMYMXMXM

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )=+⋅+−+⋅⋅−= YMYMXMXMYMYMXMXM 2222 22( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )YDXDYMXMYMXM 222222 +=+−+=

4. ( ) ( ) ( ) ( ) ( );0 22222 XDXDXDaDXaD =+=+=+

Dacă X este o variabilă aleatoare continuă cu funtia densitate de

repartitie ( )xf spunem că dispersia se calculează în modul următor (dacă integrala

există):

( ) ( ) ( )2

22⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅−= ∫∫

b

a

b

a

dxxfxdxxfxXD .

h) Abaterea medie pătratică (deviaţia standard)

Definiţie 31. Abaterea medie pătratică este definită ca fiind rădăcina pătrată a

dispersiei. Se notează cu D(X) sau Xσ .

( ) ( )XDXD X2==σ .

adică:

( ) ( )( )∑=

⋅−==n

iiiX pXMxXD

1

2σ .

Observaţie: 1. Cantităţile precum media şi dispersia care indică anumite

proprietăţi ale distribuţiei se numesc parametrii distribuţiei.

2. Abaterea medie pătratică reflectă într-o măsură mai mare influenţa factorilor

aleatori comparativ cu abaterea medie liniară. Deoarecel abaterile extreme prin

ridicare la pătrat au o influenţă mai mare decât abaterile intermediare, mai

apropiate de medie.


119

i). Coeficientul de variaţie

Acest coeficient este utilizat în scopul stabilirii gradului de omogenitate a unui

eşantion şi se obţine din raportul dintre abaterea medie pătratică şi media

variabilei.

( ) ( )( ) 100.. ⋅=XMXDXVC

Observaţie: Interpretarea rezultatelor se face în felul următor (Jaba, 2005):

1. pentru variabila aleatoare X variabilitatea caracteristică se consideră mică

atunci când ( ) %17%.. <XVC . În acest caz împrăştierea valorilor este mică de

unde rezultă că media este strict reprezentativă.

2. variabilitatea caracteristică se consideră medie atunci când ( ) %35%.. <XVC .

În acest caz împrăştierea datelor este medie de unde rezultă că media este suficient

de reprezentativă.

3. variabilitatea caracteristică se consideră mare atunci când ( ) %50%.. <XVC . În

acest caz media este reprezentativă în sens larg.

4. variabilitatea caracteristică se consideră foarte mare atunci când

( ) %50%.. >XVC . Împrăştierea valorilor este foarte mare şi media nu mai este

reprezentativă pentru reprezentarea tendinţei centrale a datelor. În acest caz se

recomandă utilizarea medianei în analiza statistică.

j). Coeficientul de asimetrie – skewness (Fisher)

( ) ( )( )3

31

X

XmXσ

β = ,

unde ( )Xm3 reprezintă momentul centrat de ordin 3, iar 2Xσ varianţa.

Dacă valoarea mărimii ( )X1β este zero atunci variabila are distribuţia simetrică,

iar dacă valoarea coeficientului de asimetrie este pozitivă atunci distribuţia este

asimetrică.


120

k). Coeficientul de boltire – kurtosis (Pearson)

( ) ( )( )22

42

X

XmXσ

β = ,

unde ( )Xm4 reprezintă momentul centrat de ordin 4, iar 2Xσ varianţa variabilei

aleatoare X.

Observaţie: pentru o distribuţie normală acest coeficient va avea valoarea 3.

Pentru valori mai mari distribuţia poartă denumirea de distribuţie leptocurtică

("leptos" = subţire), iar pentru valori mai mici poartă denumirea de distribuţie

platicuritcă ("platus" = lat).

Covarianţa (corelaţia)

Definiţie 32. Fie X şi Y două variabile aleatoare ce admit medie. Se numeşte

covarianţă (corelaţie) a celor două variabile valoarea:

( ) ( )( ) ( )( )[ ]YMYXMXMYX −⋅−=,cov .

Observaţii:

1. Covarianţa este o măsură a variaţiei simultane a celor două variabile.

2. Dacă variabilele aleatoare X, Y sunt independente atunci ( ) 0,cov =YX .

Reciproca nu este adevărată adică dacă două variabile aleatoare au

corelaţia 0 nu rezultă că sunt independente.

3. Daca covarianta este pozitiva variabilele X si Y cresc sau descresc

impreună (datele sunt corelate).

În practică coeficientul de corelaţie a două variabile este calculat astfel:

( ) ( )YX

YXYXσσ

ρ⋅

=,cov, .

Coeficientul ( )YX ,ρ este adimensional si ( ) 1,1 ≤≤− YXρ .

EXEMPLU 1:

Să se calculeze caracteristicile numerice ale variabilei aleatoare X

determinată de suma punctelor obţinute la aruncarea a două zaruri.


121

Rezolvare: Se cer media, mediana, dominanta, dispersia, abaterea medie

pătratică, amplitudinea. Vom folosi definiţiile anterioare. Trebuie să determinăm

iniţial valorile variabilei aleatoare.

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

361

362

363

364

365

366

365

364

363

362

361

12111098765432:X .

Modul de calcul a fost următorul: valoarea 2 o obţinem când pe ambele

zaruri apare faţa cu numărul 1. Probabilitatea de apariţie a acestui caz se

determină folosind definiţia probabilităţilor: există un singur caz favorabil şi 36

cazuri posibile (6 feţe are un zar şi 6 feţe al doilea zar).

Media: formula este ( ) ∑=

⋅=11

1iii pxXM :

( )

736112

36211

36310

3649

3658

3667

3656

3645

3634

3623

3612

=⋅+⋅+⋅+

+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=XM.

Mediana: ( ) 7=XM e verificăm dacă îndeplineşte condiţiile din definiţie:

( )21

3615

365

364

363

362

3617 ≤=++++=<XP ,

( )21

366

36157 >+=≤XP (adevărat).

Dominanta: ( ) 70 =XM valoarea are probabilitatea cea mai mare.

Dispersia: Folosim formula ( ) ( ) ( )( )222 XMXMXD −= .

Trebuie să mai calculăm media lui X2:

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

361

362

363

364

365

366

365

364

363

362

361

14412110081644936251694:2X .

( )

.36

1974361144

362121

363100

36481

36564

36649

36536

36425

36316

3629

36142

=⋅+⋅+⋅+⋅+

+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=XM


122

( ) ( ) ( )( ) 83.5736

1974 2222 =−=−= XMXMXD .

Abaterea pătratică medie:

( ) 41.283.52 === XDXσ .

EXEMPLU 2:

Se consideră variabila aleatoare X cu următorul tablou de repartiţie:

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−

31

31

101: αX .

a) Să se determine tabloul de repartiţie al variabilei aleatoare 22 XXY += ;

b) Să se calculeze ( )YM 3 şi ( )YD 220112 − .

Rezolvare:

a) Folosim proprietatea ∑=

=n

kkp

1

1 pentru a găsi valoarea α :

.31

31

3111

31

31

=−−=⇒=++ αα .

De unde obţinem ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−

31

31

31

101:X . Calculăm valoarea ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−

31

31

31

202:2X

unde am folosit realaţiile:

( ) ( )31122 =−==−= XPXP ,

( ) ( )31002 ==== XPXP ,

( ) ( )31122 ==== XPXP .

Calculăm variabila aleatoare ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

32

31

10:2X ; ( ) ( )

31002 ==== XPXP şi

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )32

31

31101012 =+=−=+==−==== XPXPXXPXP ∪ .

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −−+=

92

91

92

91

92

91

321012:2 2XXY .


123

Modul de calcul pentru probabilităţile ce apar în variabila aleatoare Y este

următorul:

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )91

31

310220222 22 =⋅==−===−==−= XPXPXXPYP ∩ ,

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )92

32

311221221 22 =⋅==−===−==−= XPXPXXPYP ∩ ,

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )91

31

310020020 22 =⋅======== XPXPXXPYP ∩ ,

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )92

32

311021021 22 =⋅======== XPXPXXPYP ∩ ,

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )91

31

310220222 22 =⋅======== XPXPXXPYP ∩ ,

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )92

32

311221223 22 =⋅======== XPXPXXPYP ∩ .

b) Pentru a calcula media folosim proprietăţile mediei ( ) ( )YMYM ⋅= 33 unde

( ) ( ) ( ) ( )32

962222

923

912

921

910

921

912 =

+++−−=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅−+⋅−=YM .

Deci media ce trebuia calculată este ( ) 23233 =⋅=YM .

Pentru a calcula dispersia variabilei aleatoare folosim proprietăţile

dispersiei ( ) ( ) ( ) ( ) ( )YDYDYDYD 22222 42222011 ⋅=⋅−=−=− unde

( ) ( ) ( )[ ]222 YMYMYD −= .

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

92

92

94

91

9410:2Y .

Modul de calcul pentru probabilităţile ce apar în variabila aleatoare Y2 este

următorul:

( ) ( )91002 ==== YPYP ,

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )94

32

32111112 =+==+−===−=== YPYPYYPYP ∪ ,

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )92

31

31222242 =+==+−===−=== YPYPYYPYP ∪ ,

( ) ( )92392 ==== YPYP ,

( )3

10930

91884

929

924

941

9102 ==

++=⋅+⋅+⋅+⋅=YM ,


124

( )[ ]94

32 2

2 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=YM . Înlocuim valorile găsite în definiţia dispersiei:

( ) ( ) ( )[ ]926

9430

94

310222 =

−=−=−= YMYMYD .

De unde obţinem în final: ( ) ( )9

1049264422011 22 =⋅=⋅=− YDYD .

EXEMPLUL 3:

Un partid a estimat că un anumit candidat are 35% şanse să câştige alegerile

locale. Câţi alegători trebuie să chestionăm dacă vrem să verificăm poziţia

partidului cu o probabilitate de cel puţin 0.97, ştiind că procentul de alegători ce

intenţionează să-l voteze pe candidat se încadrează între 30% şi 40%?

Rezolvare: Considerăm o variabilă aleatoare Xn este numărul celor care

votează candidatul din n participanţi aleşi aleator. Vom calcula numărul cel mai

mic n pentru care

97,04,03.0 ≥⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ≤≤

nXP n .

Variabila aleatoare X are repartiţia de tip binomial ( )25.0,nB unde n este

numărul de oameni pe care vrem să-l determinăm.

Frecvenţa relativă cu care este votat candidatul se calculează uşor n

X n .

Media este dată ( ) pnXM n ⋅= , dar 35.0===⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ p

nnp

nXM n , iar pentru a calcula

dispersia folosim proprităţile ( )nn XD

nnXD 2

22 1

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ de unde rezultă

nnpq

n 4009165.035.01

2 =⋅= . Aplicăm inegalitatea lui Cebîşev pentru a = 0.05.

97,005.0

105.035,0 2

2

≥⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−≥⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛≤−

nXD

nXP

n

n , de aici putem determina numărul

n:


125

97,005.0

40091

1 2 ≥− n adică 97,025400

10000911 ≥⋅

⋅−

nde unde 03,091

≤n

30333

9100≅≥⇒ n .

Concluzia: chestionarul trebuie făcut pe un minim de 3033 de alegători.

Exerciţii

1. Fie X şi Y două variabile aleatoare cu repartiţiile:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−6.04.0

32:X ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛2.05.03.0

640:Y .

a) Să se determine tabloul de repartiţie pentru următoarelor variabile

aleatoare: 22,412 YXYX ++ , 22, YXYX ⋅+ ;

b) Să se calculeze

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )XYDXDYDXDYMXMYMXM 222222 ,4,,,,,, .


⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−

31

35

202: ppX , ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−

51

53

101: qqY .

a) Să se determine valorile p şi q;

b) Să se calculeze ( )YXD 232 + .


⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

31

31

31

21:

aX , ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −

21

41

41

211:

aY .

Să se determine valoarea lui a dacă ( )322 =+ YXD .

4. Se aruncă o monedă de 9 ori. Să se calculeze caracteristicile numerice

ale variabilei aleatoare X ce reprezinta numărul de apariţii ale stemei.


126

4.6 Repartiţii clasice

A. Repartiţii de tip discret

Vom defini câteva variabile aleatoare cu un număr finit de valori mai des

întâlnite în aplicaţii.

1) Repartiţia uniformă discretă U(n)

Definiţie 33. Spunem că variabila aleatoare X are repartiţie uniformă U(n)

dacă valorile lui X au aceeaşi probabilitate de apariţie:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

npppn

X……

21

21: ,

unde ( ) .,,1,1 nkn

kXPpk …====

În acest caz media este

( )2

12

12111211)( +=

+⋅=

+++=⋅+⋅+⋅==

nn

nnn

nn

nnn

XMXμ .

Calculăm ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

npppn

X……

21

2222 21

: de unde

( )( ) ( )( )6

1216

121

2111211)(222

2222

++=

++⋅=

=+++

=⋅+⋅+⋅=

nnn

nnnn

nn

nnn

XM

Dispersia este

( ) ( ) ( )( ) ( )12

141

6121)(

222222 −

=+

−++

=−==nnnnXMXMXDXσ .

2) Repartiţia Bernoulli de parametru p

Definiţie 34. Variabila aleatoare X are repartiţie Bernoulli de parametru p

dacă ia valorile 0 şi 1 cu probabilităţile: ( )1== XPp şi ( )0== XPq :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛pq

X10

: unde p + q = 1, şi X2 este identic cu X.

( ) ( ) ppqXMXMX =⋅+⋅=== 102μ ;


127

( ) ( ) ( ) ( ) qpppppXMXMXDX ⋅=−=−=−== 122222σ .

Notaţie: ( )pB ,1 .

3) Repartiţia binomială de parametrii n şi p ( ( )pnB , )

Definiţie 35. Variabila aleatoare X are repartiţie Bernoulli de parametrii n

şi p dacă ia ca valori numărul de realizări ale unui eveniment A în n încercări cu

probabilitatea: ( ) knkkn qpCkXP −⋅⋅==

Variabila X are următorul tablou de distribuţie:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−− nknkk

nn

nn

nn pqpCqpCpqCq

nkX

………

22211

210:

unde ( )∑=

− =+=n

k

nknkkn qpqpC

1

1 .

Notaţie: ( )pnB , .

În acest caz media este pnXMX ⋅== )(μ şi dispersia este

qpnXDX ⋅⋅== )(22σ .

Observaţie: 1. Variabila aleatoare X poate fi considerată ca suma a n

variabile Bernoulli de parametru p.

2. În practică este folosită la experimentele în care extragerile se

efectuează cu repunere.

4). Repartiţia hipergeometrică de parametrii n, a, b

Definiţie 35. Variabila aleatoare X are repartiţie hipergeometrică cu

parametrii n, a, b (n – numarul de extrageri, a numarul de bile albe, b numarul de

bile negre) dacă poate lua orice valoare întreagă cuprinsă între ( )bn −,0max şi

( )an,min cu probabilitatea ( ) nba

knb

ka

CCCkXP+

−⋅== , ban +≤ .

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛⋅⋅⋅⋅⋅

++

−

+

−

+

−

+n

ba

bna

nba

knb

ka

nba

nba

nba

nba

nba

nba

CCC

CCC

CCC

CCC

CCC

nkX 022110

210: …

……


128

şi ∑= +

−

=⋅n

kn

ba

knb

ka

CCC

0

1 .


1)(22

−+−+

⋅⋅⋅==ba

nbaqpnXDXσ , unde ba

ap+

= , ba

bq+

= , n reprezintă numărul

de extrageri şi N = a+ b.

Observaţie 1. Această repartiţie se utilizează în practică la experimentele

în care extragerile se efectuează fără revenire.

Notaţie ( )pnNH ,, .

2. În practică se aproximează repartiţia hipergeometrică cu o repartiţie

binomială dacă are loc relaţia: 101

<Nn .

X are următorul tablou de distribuţie:


11)(2

−−

=−+−+

=N

nNnpqba

nbanpqXD , N >> n.

EXEMPLU: Se ştie că 150 din cei 1500 de studenţi, din anul I, ai unei

universităţi sunt cetăţeni străini. Dacă se aleg la întâmplare 9 studenţi, care este

probabilitatea ca ei sa nu fie studenţi străini?

Demonstraţie:

Variabila aleatoare ce rezultă din problemă este ( )pHX ,9,1500∈ .

a = 150, b = 1500-150=1350, n = 9, N = 1500.

În acest caz se respectă regula 101

15009

< de aici rezultă că repartiţia

hipergometrică se aproximeaxă cu o repartiţie binomială ( )pnBX ,∈ .

Probabilitatea ca să alegem un student străin 1,01500150

==p şi

9,01,011 =−=−= pq de unde ( )1,0,9BX ∈ .

Alegem A evenimentul ca cei 9 studenţi aleşi să nu fie străini.

( ) ( ) 3467,09,0 99009 ==⋅⋅= qpCAP

Dacă folosim formulele de la repartiţia hipergeometrică obţinem:

( ) 347.010034.110996.31

23

22

91500

91350

0150 =

⋅⋅⋅

=⋅

=C

CCAP .


129

5) Repartiţia Poisson de parametru λ (repartiţia evenimentelor rare)

Definiţie 36. Variabila aleatoare X are repartiţie Poisson de parametru λ, λ

> 0, dacă

( ) Nkk

ekXPk

∈∀== − ,!

λλ .

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⋅⋅⋅⋅ −−−−−

!!!2!1

210: 2

ne

keeee

nkX nk λλλλ λλλλλ …

…….

În acest caz media este λμ == )(XMX şi dispersia este λσ == )(22 XDX .

Notaţie: ( )λPX ∈ .

Observaţii: 1. Această repartiţie este utilizată în practică în situaţii diferite:

numărul de studenţi ce intră la un examen într-un interval dat, numărul de animale

cu efecte negative la acelaşi tratament etc.

2. Repartiţia Poisson de parametru λ poate fi o bună aproximare a

repartiţiei binomiale atunci când n > 40.


130

B. Repartiţii continue

1. Repartiţia uniformă U(a,b)

Definiţie 36. Variabila aleatoare X are repartiţie uniformă U(a, b) dacă

funcţia sa de densitate este definită:

( ) ( )

( )⎪⎩

⎪⎨⎧

∉

∈−=

baxdaca

baxdacaabbaxf

,,0

,,1,, .

În acest caz media este 2

)( baXMX+

==μ şi dispersia este

( )12

)(2

22 abXDX−

==σ .

Fig. 5. - Reprezentare grafică a repartiţiei

2. Repatiţia normală ( )σμ,N

Definiţie 37. Variabila aleatoare X are repartiţie normala ( )σμ,N dacă

funcţia sa densitate de probabilitate este defintă astfel:

( )( )

Rxdacaexfx

∈=−

−,

21,, 2

2

2σμ

πσσμ .

În acest caz media este μμ == )(XMX şi dispersia este 222 )( σσ == XDX .


131

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Fig. 6. Reprezentare grafică a funţiei densitate de probabilitate

pentru diferite valori ale dispersiei şi media 0

Această repartiţie poartă denumirea de repartiţia gaussiană deoarece

graficul funcţiei de densitate este clopotul lui Gauss.

Dacă pentru medie şi dispersie alegem valorile 0 şi 1 atunci funcţia de

densitatea de repartiţie devine:

( ) Rxdacaexfx

∈=−

,211,0, 2

2

π.

Aceasta poartă denumirea de repartiţie normală standard notată ( )1,0N .

Observaţie: Deoarece în analiza statistică este asociată diverselor

caracteristici ale unei populaţii, repartiţia normală este considerată o repartiţie

importantă.

Considerăm o variabilă aleatoare ( )1,0NX ∈ . Atunci funcţia de repartiţie

RRF →: se defineşte astfel:

( ) ( ) ∫∞−

−=<=

x t

dtexXPxF 2

2

21π

de unde prin calcule obţinem:

( ) ( )xdtedtedtexFx tx tt

Φ+=+=+= ∫∫∫−−

∞−

−

21

21

21

21

21

0

2

0

20

2

222

πππ.


132

În continuare funcţia notată ( ) ∫−

=Φx t

dtex0

2

2

21π

se numeşte funcţia

Laplace.

Observaţie: 1. Funcţia Laplace este o funcţie impară:

( ) ( )xx Φ−=−Φ .

2. În urma notaţiei obţinem:

( ) ( )xxF Φ+=21 .

La finalul materialului de curs în anexa 2 se găsesc valorile pentru funcţia

Laplace.

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Fig. 7. Curba lui Gauss pentru diferite valori ale dispersiei şi media 0, -3, +3

Proprietăţi:

Fie o variabilă aleatoare X cu repartiţie ( )1,0NX ≈ atunci:

1. ( ) ( ) ( )abbXaP Φ−Φ=<≤ .

2. Dacă ( )σμ,NX ≈ atunci are loc relaţia:

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

Φ−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

Φ=<≤σμ

σμ abbXaP .

3. ( ) ( )kkXP Φ⋅=≤ 2 sau ( ) ( )kkXkP Φ⋅=≤≤− 2 .


133

Demonstraţie:

1. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ababaFbFbXaP Φ−Φ=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Φ+−Φ+=−=<≤

21

21

2. Dacă variabila aleatoare X are repartiţie normală ( )XXNX σμ ,≈ atunci

prin procedeul de normalizare noua variabilă aleatoare ( )1,0NXYX

X ≈−

=σμ .

Astfel obţinem:

( )

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −Φ−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −Φ=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −<

−≤

−=<≤

X

X

X

X

prop

X

X

X

X

X

X

ab

bXaPbXaP

σμ

σμ

σμ

σμ

σμ 1

.

3. dacă ( )1,0NX ≈ şi kbka =−= , atunci ( ) ( ) ( )kkkXkP −Φ−Φ=≤≤− .

Funcţia Laplace fiind impară atunci:

( ) ( ) ( ) ( )kkkkXkP Φ⋅=Φ+Φ=≤≤− 2

EXEMPLU 1:

Să determinăm prin calcul câteva din valorile importante pentru o

repartiţie normală

În intervalul [ ]XXXX σμσμ +− , se găsesc aproximativ 68% din valorile

variabilei.

În acest caz XXXX ba σμσμ +=−= , . Aplicăm proprietatea de mai sus:

( ) ( ) =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −Φ−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −Φ=+<≤−=<≤

X

X

X

XXXXX

abXPbXaPσμ

σμσμσμ

( ) ( )

( ) %686826.03413.0212

11

2≈=⋅=Φ⋅=

=−Φ−Φ=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−Φ−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+Φ

anexa

X

XXX

X

XXX

σμσμ

σμσμ

În mod analog pentru intervalul [ ]XXXX σμσμ ⋅+⋅− 2,2 se găsesc aproximativ

95% din valorile variabilei:

( ) ( ) ( )

%95954.04772.02

222222

2≈=⋅=

=Φ⋅=−Φ−Φ==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −⋅−Φ−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −⋅+Φ

anexa

X

XXX

X

XXX

σμσμ

σμσμ

În mod analog pentru intervalul [ ]XXXX σμσμ ⋅+⋅− 3,3 se găsesc aproximativ

99% din valorile variabilei:


134

( ) ( ) ( )

%73,99997.04985.02

323333

2≈=⋅=

=Φ⋅=−Φ−Φ==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −⋅−Φ−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −⋅+Φ

anexa

X

XXX

X

XXX

σμσμ

σμσμ

EXEMPLU 2:

Se presupune că greutatea la naştere a unui copil urmează o distribuţie

normală de medie 3.3=μ kg şi o dispersie 0324.02 =σ . Se cere:

a) să se determine probabilitatea de a se naşte un copil cu greutatea mai

mică decât 3.4 kg.

b) să se determine probabilitatea de a se naşte un copil cu greutatea

cuprinsă între 3.1 şi 3.4 kg.

Rezolvare:

Notăm cu X variabila aleatoare care reprezinta greutatea la naştere a unui

copil.

Variabila X are distribuţie normală de medie 3.3 şi dispersie 0.0324 adică

( )0324.0,3.3NX ≈

Abaterea medie standard este 18.00324.02 === σσ

a) ( ) ( )5556.021

18.03.34.3

21

18.03.34.3

18.03.34.3 Φ+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

Φ+=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

<−

=<Φdefnormalizam XPXP

din tabelul Anexă 1 obţinem valoarea funcţiei ( )5556.0Φ de unde obţinem:

( ) +=<214.3XP 0.2088 = 0.7088.

Probabilitatea de a se naşte un copil cu greutatea mai mică decât 3.4 kg este de

70,88%.

b) ( )

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ <

−<−=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

<−

<−

=<<Φ

5556.018.0

3.31111.1

18.03.34.3

18.03.3

18.03.31.34.31.3

XP

XPXPdefnormalizam

( ) ( ) ( ) ( )5753.03665.02088.0

1111.15556.01111.15556.0=+=

=Φ+Φ=−Φ−Φ=imparafct

.


135

Probabilitatea de a se naşte un copil cu greutatea cuprinsă între 3.1 şi 3.4

kg este 57,53%.

3. Repartiţia exponenţială ( )λexp

Variabila aleatoare X are repartiţie ( )λexp dacă funcţia sa de densitate

este defintă astfel:

( )⎩⎨⎧

≤>

=−

.0,0,0,,

xdacaxdacaexf

xλλλ

În acest caz media este λ1)( =XM şi dispersia este 2

2 1)(λ

=XD .

4. Repartiţia Hi pătrat ( )n2ℵ

Fie n variabilele aleatoare independente nXXXX ,,,, 321 cu distribuţie

normală standard. Variabila aleatoare obţinută prin însumarea pătratelor lor 22

322

21 nXXXXX ++++= are o repartiţie ( )n2ℵ (hi pătrat cu n grade de

libertate).

Funcţia densitate de probabilitate se defineşte astfel:

( )

⎪⎪⎩

⎪⎪

⎨

⎧

≤

>

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Γ=

−−

.0,0

,0,2

2

1

,

21

2

2

xdaca

xdacaexnnxf

xn

n

unde Γ este funcţia lui Euler16 dată de relaţia:

( ) R→∞−Γ ,1: şi ( ) ∫∞

−− ⋅=Γ0

1 dtetx tx

În acest caz media este nXM =)( şi dispersia este nXD 2)(2 = .

Dacă ( )XnX σ2ℵ∈ atunci ( )122 nX

XY ℵ∈=σ

16 Leonhard Euler (1707 ‐ 1783) ‐ matematician şi fizician elveţian. Secolul al XVIII a fost dominat de Euler în mai multe domeniii cum ar fi: analiza matematică, teoria numerelor, mecanică, astronomie, logică şi principii filozofice.


136

5. Repatiţia Student ( )nt

Fie două variabile aleatoare ( )nX n2ℵ∈ şi ( )1,0NY ∈ atunci variabila

aleatoare Z are repartiţie ( )nt (repartiţie Student cu n grade de libertate):

( )nt

nX

YZ ∈= .

Funcţia densitate de probabilitate este defintă astfel:

( ) Rxdacanx

nn

n

nxf

n

∈⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Γ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

Γ=

+−

,1

2

21

,2

12

π.

În acest caz media este 0)( =XM şi dispersia este 2

)(2

−=

nnXD ,

n > 2.

Observaţii 1. distribuţia Student cunoscută ca "distribuţia t" fost publicată

de W.S. Gosset17 sub pseudonimul Student. Această lege este folosită în

descrierea distribuţiilor în cazul unor eşantioane cu volum mai mic de 30

elemente.

2. pentru distribuţia student cu numărul gradelor de libertate mai mare de

30 se poate aproxima cu o distribuţie normală.

EXEMPLU:

În urma unui sondaj s-a obţinut că 52% din absolvenţii unei şcoli de şoferi

sunt bărbaţi şi 48% sunt femei. Să se determine cu o probabilitate de 0.99

intervalul în care variază numărul de bărbaţi la 1000 de absolvenţi.

Rezolvare:

Xn variabila aleatoare care ia drept valori numărul de bărbaţi din n

absolvenţi.

Xn are o repartiţie binomială ( )pnB , cu n=1000 şi p = 0,52 şi q = 1 - p =

0.48.

Aducem variabila aleatoare la o variabilă normală:

( ) ( )1,0, NqpnpnXYpnBX n

nn ≈⋅⋅⋅−

=→≈ .

17 William Sealy Gosset (1876 ‐ 1937) ‐ statistician britanic.


137

Ştim din ipoteză că ( ) 99.02 =Φ⋅=⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛≤

⋅⋅⋅− kkqpnpnXP n .

Din tabelul Anexa 1 (de la sfârşitul cărţii) calculăm valoarea lui k.

( ) 99.02 =Φ⋅ k de unde ( ) 4955.0=Φ k , k = 2.58.

58.248.052.0100052.0100058.2

58.248.052.0100052.01000

1000

1000

≤⋅⋅⋅−

≤−

⇔≤⋅⋅⋅−

⇔≤⋅⋅⋅−

X

XkqpnpnX n

.

Continuăm calculele:

⇔≤−≤−⇔

≤−

≤−⇔≤−

≤−

76.4052076.40

58.2798.15

52058.258.26.24952058.2

1000

10001000

X

XX

76.56076.47976.4076.40 10001000 ≤≤⇔≤≤− XX .

Deci intervalul în care variază numărul de bărbaţi din 1000 de absolvenţi

este ( )76.560,76.479=I .


138

4.7 Organizarea şi descrierea datelor

Statistica matematică este acea ramură a matematicii care isi propune sa

răspunda la întrebările următoare:

- proprietăţile unei părţi a unei mulţimi de indivizi sunt sau nu şi

proprietăţi ale populaţiei?

- se poate prevedea desfăşurarea viitoare a unei fenomen pe baza unor

observaţii făcute în trecut şi prezent?

EXEMPLE:

Fenomenul de apariţie a unei epidemii într-o populaţie de animale,

fenomenul de apariţie a unor piese rebut într-o mulţime de piese fabricate de

aceeaşi maşină, evoluţia precipitaţiilor atmosferice în ultimii zeci de ani.

Analiza statistica presupune a studia o mulţime de obiecte care au una sau

mai multe proprietăţi comune.

Noţiunea fundamentală în statistică este cea de grup sau mulţime de

obiecte echivalente care se numeşte populaţie sau colectivitate.

Elementele unei populaţii statistice se vor numi indivizi sau unităţi

statistice.

Statistica studiază proprietăţile populaţiilor, nu cele ale indivizilor

particulari.

Analiza statistică poate avea în vedere una sau mai multe caracteristici.

EXEMPLE: a) o populaţie de brazi dintr-o plantaţie se poate cerceta după înălţimea

brazilor şi vârsta lor; b) la o populaţie de 10000 de pui nou născuţi se pot cerceta

sexul şi greutatea lor.

Caracteristicile care se pot măsura se numesc cantitative. Exemplu:

înălţimea, talia, vârsta.

Aceste caracteristici apar ca funcţii definite pe populaţia statistică cu valori

numerice. Aceste caracteristici le vom numi variabile.

Spre deosebire de caracteristicile cantitative există caracteristici care nu se

pot măsura: starea civilă, culoarea feţei care se numesc calitative.


139

Caracteristicile cantitative care pot lua numai valori întregi se numesc

discrete sau discontinue.

Caracteristicile cantitative care pot lua orice valoare dintr-un interval finit

de numere reale se numesc continue.

Modul de lucru al analizei statistice este următorul: mai întâi acţionează

statistica descriptivă, care culege datele asupra unui fenomen analizat apoi

intervine statistica matematică, care grupează datele, le analizează şi le

interpretează.

Dorim să analizăm ce buget să alocăm pentru bursele viitorilor studenţi din

anul II dar problema pe care o întâmpinăm este că nu putem şti ce note vor lua în

anul I. Putem însă să analizăm rezultatele obţinute de studenţii actuali din anul I şi

să prognozăm că următorii studenţi vor lua note asemănătoare.

În această problemă trebuie să colectăm notele de la toţi studenţii din anul

I. Binenţeles, că pot să apară erori de aproximare deoarece noii studenţi pot fi mai

buni sau mai slabi decât colegii lor pe care i-am evaluat.

Statistica ne poate ajuta să introducem metode de predicţie şi analiză

pornind de la datele pe care le avem colectate.

Din punct de vedere etimologic Statistica este o "ştiinţă care culege,

sintetizează, descrie şi interpretează date referitoare la fenomene generale"

(http://dexonline.ro/definitie/statistica).

În agricultură folosim statistica pentru a analiza ce soiuri, specii de culturi

sunt cele mai bune pentru a fi cultivate în funcţie de solul pe care îl avem.

Statistica descriptivă este ramura statisticii ce se ocupă cu descrierea

trăsăturilor unei populaţii (colectivităţi). Elementele care alcătuiesc o populaţie

statistică le vom numi unităţi statistice sau indivizi.

O caracteristică a unei colectivităţi poate fi cantitativă (poate fi măsurată

sau apreciată prin numere) şi calitativă (nu poate fi măsurată de exemplu: blond,

brunet, roşcat).

Caracteristicile cantitative pot fi împărţite în variabile discrete (numărul de

elevi ce se înscriu la facultate) sau continue (timpul de aşteptare a unui student la

înscriere să depună dosarul). Deoarece numărul de elevi ce se înscriu la


140

universitate este suficient de mare nu putem să-i chestionăm pe toţi (ar trebui să

organizăm un referendum). De aceea vom extrage dintre ei doar un eşantion (să

facem o selecţie) ales la întâmplare.

Selecţiile eşantionului de studenţi se pot face prin diferite metode de

selecţie (Stoleriu, 2010):

- selecţie simplă - de un volum dat prin care toţi indivizii ce compun

populaţia au aceeaşi şansă;

- selecţie sistematică - presupune aranjarea populaţiei studiate după o

anumită schemă (aleg primul student aleatori apoi pe ceilalti dupa schema din 5 în

5 candidaţi înscrişi);

- selecţie stratificată - în care populaţia este separată pe categorii şi

alegerea se face la întâmplare din fiecare categorie (aleg un număr de studenţi din

fiecare judeţ în funcţie de cât de mare ese populaţia judeţului);

- selecţie ciorchine - populaţia este împărţită pe categorii şi selectăm

indivizi din fiecare categorie (alegem studentii dupa anumite categorii – alegem

studenţii din anumite judeţe);

- selecţia de tip experienţă - care ţine cont de elementul temporar în

selecţie (encefalogramă);

- selecţie de convenienţă - alegem dintre studenţii care se înscriu la

facultatea de Agricultură;

- selecţie de judecată - profesorul decide ce student intră în selecţie şi cine

nu;

- selecţie de cotă - se selecţionează de către profesor după un anumit

criteriu (alegerea in urma unui vot cine a primit mai multe voturi primeste mai

mult locuri).

Gruparea datelor statistice

Pentru caracteristici discrete

Să presupunem că am analizat anul I de la cursul de matematică după

înălţime. Rezultatele obţinute le vom aduna într-un şir în ordinea în care au

apărut: 176, 178, 179, 180, 150, 155, 159, 165, 168, 170, 176, 178, 165, 168, 176,

180, 150, 155, 165, 168, 170, 176, 178, 179, 180, 150, 155, 159, 165, 176, 178,

179, 180, 150, 165, 168.


141

Se observă uşor că în acest mod de prezentare nu putem obţine informaţii

utile pentru analiza statistică. Vom face o nouă grupare a acestor date într-un

tabel.

Tabel 1 xi = Cm ni = Nr. de

studenţi 176 5 178 4 179 3 180 4 150 4 155 3 159 2 165 4 168 4 170 2

În prima coloană am trecut înălţimea studenţilor în centimetri şi în a doua

coloană numărul de studenţi ce au această înălţime. Observăm că înălţimea de 176

cm este cea mai des întâlnită, iar înălţimile de 159 şi 170 sunt cele ce apar de cele

mai puţine ori.

În tabelul 2 sunt prezentate rezultatele obţinute de studenţi la prima

sesiune din iarnă la disciplina Matematică şi Statistică. Observăm că analiza unui

fenomen în raport cu o singură caracteristică ne conduce la o serie de perechi de

valori pe care o vom numi serie statistică.

Tabel 2. Nota Nr. de studenţi

2 1 3 1 4 5 5 12 6 16 7 12 8 21 9 15 10 10

Putem nota această serie statistică ( )ii nx , unde 1 < i < p asociată acestui

studiu statistic.

Pentru caracteristici continue

La un strung se fac piese rotunde cu diametrele cuprinse în diferite

intervale de măsură în cm. Vom face gruparea acestor date într-un tabel.


142

Tabel 3 xi = Cm ni = Nr. de piese

[2, 5) 5 [5, 10) 4 [10, 15) 3 [15, 20) 4 [20, 25) 4 [25, ∞) 3

În continuare vom prezenta tot o serie cu caracteristici cantitative, dar cu

două caracteristici ale studenţilor: culoarea ochilor şi culoarea părului. În acest caz

citirea tabelelor devine greoaie şi este necesară o nouă grupare a datelor.

Tabel 4 Culoarea ochilor negri căprui verzi albaştri Total Culoarea părului Negru 145 285 30 11 471 Castaniu 62 431 87 67 647 Blond 33 36 185 128 382 Total 240 752 302 206 1500

4.8. Reprezentarea grafică a datelor statistice

Reprezentarea grafică a unei serii statistice este importantă deoarece ea

contribuie la o interpretare intuitivă a datelor precum şi sugerează însăşi legea pe

care o urmează fenomenul studiat.

Reprezentarea grafică prin puncte

Diferitele reprezentări grafice ce apar aici sunt ale datelor din paragraful

anterior. De exmplu la reprezentarea grafică prin puncte am ales să reprezentăm

numărul de studenţi în funcţie de notele pe care le-au obţinut.

Fig. 8. -Grafic prin puncte


143

Reprezentarea grafică cu bare

Fig. 9 - Grafic prin bare

Reprezentarea grafică cu histograme

Exemplu: Reprezentarea grafică cu ajutorul histogramelor se face luând pe

axa orizontală o succesiune de segmente egale, reprezentând aplitudinea claselor

şi ridicând, pe fiecare segment, dreptunghiuri de înălţimi proporţionale cu

frecvenţele claselor respective.

Fig. 10 - Histograma


144

Reprezentarea grafică cu diagrame de tip structură radială

Fig. 11 - Grafic de tip structură radială

Reprezentarea grafică a două caracteristici

Fig. 12 - Grafic pentru două caracteristici-

Exemplu:

La o bancă s-au înregistrat depunerile efectuate într-o lună şi s-a obţinut tabelul:

Sume depuse mil. lei [1, 7) [7, 11) [11, 20) [20, 27) [27,30)

Număr deponenţi 34 19 18 28 12

Să se reprezinte grafic datele numerice folosind diferite modele.

Valoarea medie a clasei apoi calcule ……………


145

Exerciţii

1. Să se reprezinte grafic următorele date numerice ce reprezintă viteza

maximă a masinilor de serie:

Nr. de maşini Viteze maxime24 180 36 190 30 200 23 210 10 250 2 300

2. La o bancă s-au înregistrat depunerile efectuate într-o lună şi s-a obţinut tabelul:

Sume depuse mil. lei [1, 7) [7, 11) [11, 20) [20, 27) [27,30)

Număr deponenţi 34 19 18 28 12

Să se reprezinte grafic datele numerice folosind diferite modele.

4.9 Caracteristici numerice ale seriilor statistice;

În cele de urmează considerăm o serie statistică formată din valorile măsurate în

urma unui experiment, nxxxx ,,,, 321 . Vom învăţa să determinăm cei mai

cunoscuţi şi utlizaţi parametrii necesari în analiza statistică: media, abaterile

individuale, abaterea medie liniară, dispersia, abaterea medie pătratică (deviaţia

standard) şi coeficientul de variaţie.

Definiţie 1. Numim media valorilor unei serii statistice valoarea x calculată după

formulele:

Media simplă

n

x

nxxxx

n

ii

n∑==

+++= 121 ... .

Media ponderată (unde kn – reprezintă ponderea fiecărui element xn)


146

∑

∑

=

=

⋅=

++++++

= n

ii

n

iii

n

nn

k

kx

kkkkxkxkxx

1

1

21

2211

...... .

Media pătratică

n

x

nxxx

x

n

ip

in

∑==

+++= 1

2222 ...

21 .

Definiţie 2. Abaterea individuală se poate calcula după următoarele formule:

xxd ii −= respectiv 100% ⋅−

=x

xxd ii , i=1, ... n.

Definiţie 3. Abaterea medie liniară reprezintă variaţia valorilor individuale faţă de

valoarea medie pe ansamblul datelor.

n

xxd

n

ii∑

=

−= 1

Respectiv abaterea medie liniară ponderată

∑

∑

=

=

⋅−= n

ii

n

iii

k

kxxd

1

1

Definţie 4. Dispersia este media aritmetică a pătratelor abaterilor faţă de medie

ale valorilor seriei statistice.

( ) ( ) ( ) ( )

n

xx

nxxxxxx

n

ii

n∑=

−=

−++−+−= 1

222

22

12 ...σ

Respectiv

( ) ( ) ( ) ( )

∑

∑

=

=

⋅−=

+++−++−+−

= n

ii

n

iii

n

nn

k

kxx

kkkkxxkxxkxx

1

1

2

21

22

221

212

......σ

Definiţie 5. Abaterea medie pătratică (deviaţia standard) a valorilor este numărul

σ ce se calculează:


147

( )

n

xxn

ii∑

=

−= 1

2

2σ

Respectiv

( )

∑

∑

=

=

⋅−= n

ii

n

ii

k

kxx

1

1

2

σ

Pe baza abaterii medii liniare şi pătratice se pot determina intervalele medii de

variaţie:

[ ]dxdxId +−= , , respectiv [ ]σσσ +−= xxI ,

Definiţie 6. Raportul dintre abaterea medie pătratică şi valoarea medie a unei serii

statistice se numeşte coeficient de variabilitate (variaţie) notat C.V.

100)%.(. ⋅=x

XVC σ

Acest indicator dă posibilitatea aprecierii gradului de omogenitate a unei

serii statistice. Un coeficient sub 15% (Burtea, 2005) indică o omogenitate

semnificativă a repartiţiei unui fenomen.

Exemplu:

Un sac de porumb, hibrid AMADEUS se vinde în 5 magazine. Preţul de

vânzare (lei/sac) diferă în funcţie de zona de vânzare astfel: 350, 360, 370, 380,

390. Să se determine toţi parametrii statistici definiţi.

Rezolvare: Pentru rezolvarea acestui exemplu vom construi un tabel

ajutator:

ix xxi − 100⋅−x

xxi xxi − ( )2xxi −

350 -20 -5.405 20 400 360 -10 -2.702 10 100 370 0 0 0 0 380 10 2.702 10 100 390 20 5.405 20 400 1850 0 - 60 1000

370=x ...=d ...2 =σ


148

Media 3705

18501 ===∑=

n

xx

n

ii

lei /sac

Abaterile individuale sunt calculate în tabel coloanele a doua şi a treia.

Abaterea medie liniară 125601 ==

−=∑=

n

xxd

n

ii

lei /sac

Folosind această valoare determinăm primul interval mediu de variaţie:

[ ] [ ] [ ]382,35812370,12370, =+−=+−= dxdxId lei /sac

Varianţa ( )

2005

10001

2

2 ==−

=∑=

n

xxn

ii

σ lei/sac

Deviaţia standard ( )

142,142001

2

2 ==−

=∑=

n

xxn

ii

σ lei/sac

Folosind această valoare determinăm al doilea interval mediu de variaţie:

[ ] [ ] [ ]142.384,855.355142.14370,142.14370, =+−=+−= σσσ xxI lei /sac

Coeficientul de variaţie

%82.31000382.0100370

142.14100)%.(. =⋅=⋅=⋅=x

XVC σ .

Interpretare:

Preţul mediu de vânzare a unui sac de porumb în cele 5 magazine este de

370 lei/sac şi se abate în medie de la preţul mediu cu 12 lei /sac. Din al doilea

interval mediu de variaţie constatăm că 68% din vânzători au un preţ cuprins între

355,855 lei/sac şi 384.142lei/sac. Coeficientul de variaţie arată o dispersie mică

(<17%) ceea ce reprezintă un set de date cu distribuţie omogenă şi media este

reprezentativă pentru datele analizate.

În cazul în care datele adunate în urma experimentului sunt grupate în

intervale atunci se va folosi pentru calculele anterioare valoarea din mijlocul

fiecarui interval ( *ix ). În continuare prezentăm un asemenea exemplu.

EXEMPLU:

Se efectuează un sondaj asupra unui eşantion de 60 de unităţi de cazare din

zona oraşului Iaşi, obţinându-se următoarele date:


149

Capacitate de cazare (locuri de cazare)

[20,40) [40,60) [60,80) [80,100) [100,120)

Număr de unităţi turistice

8 10 32 7 3

Să se caracterizeze datele din tabel folosind dispersia, abateria medie pătratică şi

coeficientul de variabilitate.

Rezolvare: Construim tabelul următor pornind de la datele din ipoteză:

ix ik ∗ix ii kx ∗ xxi −∗ ( )2xxi −∗ ( ) ii kxx ⋅−∗ 2

[20,40) 8 30 240 -35.67 1272.11 10176.89 [40,60) 10 50 500 -15.67 245.44 2454.44 [60,80) 32 70 2240 4.33 18.78 600.89 [80,100) 7 90 630 24.33 592.11 4144.78 [100,120) 3 110 330 44.33 1965.44 5896.33

suma 60 3940 23273.33

601

==∑=

n

iikN , media: 66.65

6039401

*

===∑=

N

kxx

n

iii

locuri de cazare,

Varianţa: ( )

89.38760

33.232731

2

2 ==⋅−

=∑=

N

kxxn

ii

σ ,

Deviaţia standard: ( )

69.1960

33.232731

2

==⋅−

=∑=

N

kxxn

ii

σ locuri de

cazare. Coeficientul de variaţie

%3098.291002998.010066.6569.19100.%. ≈=⋅=⋅=⋅=

xVC σ .

Interpretare: În cazul acestui sondaj numărul de locuri de cazare mediu la

unităţile verificate este de 65,66 locuri. Abaterea media pătratică este de 19,69

locuri de cazare faţă de media de 65,66 locuri de cazare. Coeficientul de variaţie

este de aprovimativ 30% ceea ce înseamnă că fenomenul are o repartiţie slab

omogenă şi că valoarea medie este slab reprezentativă.

Exerciţiu

1. Se efectuează un sondaj aspra unui eşantion de 60 de şcoli din zona

oraşului Vaslui, obţinându-se următoarele date:


150

Nr. de elevei în clasă [15, 18) [18, 20) [20, 23) [23, 25) [25, 30) Nr. de şcoli 3 9 29 11 8

Să se caracterizeze datele din tabel folosind dispersia, abateria medie

pătratică şi coeficientul de variaţie.

4.10 Frecvenţa absolută. Frecvenţa relativă. Frecvenţe cumulate

Numărul total de indivizi al unei populaţii se numeşte efectivul total al

acelei populaţii.

Definiţie 5. Se numeşte frecvenţa absolută a unei valori x numărul de apariţii ale

acelei valori.

EXEMPLU:

În tabelul 2 valoarea pentru nota 6 a caracteristicii are frecvenţa absolută egală cu

16. De aici rezultă că suma frecvenţelor absolute ale tuturor valorilor

caracteristice este egală cu efectivul total al populaţiei.

Tabel 5.

Nota Nr. de studenţi= Frecvenţa absolută

Frecvenţa relativă

2 1 01,0100

1==

3 1 01,0 4 5 05,0 5 14 14,0 6 16 16,0 7 17 17,0 8 21 21,0 9 15 15,0 10 10 10,0

Total 100

Definiţie 6. Se numeşte frecvenţă relativă a unei valori x raportul dintre

frecvenţa absolută a valorii x şi efectivul total al selecţiei.

Notăm:

( )nnxf x= .


151

unde f(x) este frecvenţa relativă a valorii x, nx este frecvenţa absolută a acestei

valori, iar n este efectivul total.

În cazul caracteristicilor cantitative aceste tabele scot în evidenţă o

corespondenţă între două mulţimi de numere: mulţimea valorilor caracteristicii şi

mulţimea frecvenţelor corespunzătoare, asemănător cu corespondenţa de la

variabilele aleatoare:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

n

n

pppxxx

X……

21

21: ,

unde pe prima linie sunt trecute valorile variabilei, iar în cea de-a doua linie

probabilităţile corespunzătoare acelei valori.

Tabel 6

Valori Frecvenţa x1 p1 x2 p2 x3 p3 ... ... xn pn

Observaţie: Suma frecvenţelor relative ale tuturor valorilor variabilei este 1.

Tabel 7 Nota Frecvenţa

absolută Frecvenţa relativă

Frecvenţa absolută cumulată

crescătoare

Frecvenţa absolută cumulată

descrescătoare


cumulată crescătoare


cumulată descrescătoare

2 1 01,0 1 100 0,01 1 3 1 01,0 2 99 0,02 0,99 4 5 05,0 7 98 0,07 0,98 5 14 14,0 21 93 0,21 0,93 6 16 16,0 37 79 0,37 0,79 7 17 17,0 54 63 0,54 0,63 8 21 21,0 75 46 0,75 0,46 9 15 15,0 90 25 0,90 0,25 10 10 10,0 100 10 1 0,10

Definiţie 7. Se numeşte frecvenţa absolută cumulată crescătoare a unei valori x

suma frecvenţelor absolute ale tuturor valorilor variabilei care apar până la x

inclusiv.


152

Definiţie 8. Se numeşte frecvenţa absolută cumulată descrescătoare a unei

valori x suma frecvenţelor absolute ale tuturor valorilor variabilei care apar de la x

inclusiv.

Definiţie 9. Se numeşte frecvenţă relativă cumulată crescătoare a unei valori x

suma tuturor frecvenţelor relative ale valorilor care apar până la x inclusiv.

Definiţie 10. Se numeşte frecvenţă relativă cumulată descrescătoare a unei

valori x suma tuturor frecvenţelor relative ale valorilor care apar de la x inclusiv.

Putem interpreta acest tabel în felul următor: pe linia 5 şi coloana 4 ne

spune că există 21 de studenţi cu note mai mici sau egale cu 5. Putem interpreta,

de asemenea, datele din coloana 7 că există 0,10 = 10% studenţi cu note de 10.

Exemplu:

Intr-un cartier al unui oras distribuţia familiilor dupa numărul de copii este

dată de tabelul:

xi 0 1 2 3 4 5 6 7

ni 18 30 32 28 22 10 12 11

Pentru analiza datelor utilizăm informaţiile din tabelul următor:

1 2 3 4 5 6 7 8

xi ki frecventa relativa

frecventa absoluta crescator

frecventa absoluta

descrescator

frecventa relativa

crescator

frecventa relativa

descrescator

xi . ki

0 18 0.110 18.000 163.000 0.110 1.000 0 1 30 0.184 48.000 145.000 0.294 0.890 30 2 32 0.196 80.000 115.000 0.491 0.706 64 3 28 0.172 108.000 83.000 0.663 0.509 84 4 22 0.135 130.000 55.000 0.798 0.337 88 5 10 0.061 140.000 33.000 0.859 0.202 50 6 12 0.074 152.000 23.000 0.933 0.141 72 7 11 0.067 163.000 11.000 1.000 0.067 77

total 163 Total 465

a. Să se calculeze numărul de familii care au cel puţin 4 copii şi cel mult 3 copii,

b. Să se calculeze ponderea familiilor cu 5 copii, ponderea familiilor cu cel mult 4

copii şi ponderea familiilor cu cel puţin 3 copii.

c. Să se calculeze numărul mediu de copii pe familie în acest cartier.


153

Rezolvare:

a. numărul de familii care au cel puţin 4 copii = 55 familii (coloana 5);

numărul de familii care au cel mult 3 copii = 108 familii (coloana 4);

b. ponderea familiilor cu 5 copii = 0.061 * 100 = 6,1% (coloana 3);

ponderea familiilor cu cel mult 4 copii = 0.798 * 100 = 79.8 % (coloana 6);

ponderea familiilor cu cel puţin 3 copii = 0.509 * 100 = 50.9 % (coloana 7);

c. numărul mediu de copii pe familie = 852.2163465

7

1

7

1 ==⋅

∑

∑

=

=

ii

iii

k

kxcopii pe familie.

Exerciţiu

Repartiţia frecvenţelor absolute ale elevilor olimpici dintr-un total de 100

de scoli este dată de tabelul:

x (nr. de olimpici) 2 3 4 5 6 7 8 y (frecvenţa

absolută) 5 6 7 10 23 24 25

Se cere să se determine frecvenţele absolute şi relative simple şi cumulate;

4.11 Ajustarea datelor unei serii statistice

În cadrul unor sondaje apar serii numerice ce trebuie analizate din punct de

vedere al evoluţiei în timp a sistemului.

La momentul t0 am obţinut prin măsurare o valoare n0. La fel şi pentru

celelalte valori măsurate adică: la momentul ti obţinem valori măsurate ni. Rezultă

că putem să scriem matematic că am obţinut punctele ( )iii ntP , . Problema este să

determinăm o funcţie al cărui grafic să treacă foarte "aproape" de valorile

determinate prin măsurare.

Acest procedeu a fost introdus de C. F. Gauss şi este cunoscut sub numele

de "metoda celor mai mici pătrate".

Pentru a înţelege mai uşor aceste noţiuni alegem un exemplu: să notăm

punctele ( )iii yxP , , i=1... n.


154

Primul procedeu este să căutăm o funcţie liniară al cărei grafic este o

drepată:

( ) ybaxxfRRf =+=→ ,: .

astfel încât funcţia ( ) ( )∑=

−−=n

iii baxybah

1

2, să fie minimă.

Utilizăm notaţiile (Burdujan, 2006):

( ) ( ) ( ) ∑∑∑===

===n

ii

n

ii

n

ii x

nxMy

nyMx

nxM

1

22

11

1;1;1 .

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ∑=

⋅=⋅−=n

iii yx

nyxMxMxMxD

1

222 1; .

( ) ( ) ( ) ( ) ., yMxMyxMyxS ⋅−⋅=

Le putem utiliza în formula:

( )( )

( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=

=

).(

,,

00

20

xMayMbxDyxSa

unde a0 şi b0 sunt valorile pentru care h (a, b) devine minimă.

Funcţia obţinută folosind cele două valori ( ) 00,: bxaxfRRf +=→ se

numeşte funcţia liniară de ajustare a datelor.

Al doilea procedeu este să căutăm o funcţie polinomială de forma

(Burdujan, 2006):

( ) 00

11

22

11 ...,: xaxaxaxaxaxfRRf n

nn

nn

n +++++=→ −−

−− .

ai cărei coeficienţi minimizează expresia:

( ) ( )∑=

−−

−− −−−−−−=

n

i

nn

nn

nnin xaxaxaxaxayaaah

0

200

11

22

1110 ...,...,, .

Astfel de ajustări se numesc ajustări polinomiale ale seriilor statistice.

În caz particular alegem puterea a doua pentru polinom şi obţinem o

ajustare parabolică: ( ) 012

2,: axaxaxfRRf ++=→ cu graficul o parabolă.


155

Coeficienţii se vor determina după rezolvarea următorului sistem de

ecuaţii:

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=++

=++

=++

∑∑∑∑

∑∑∑∑

∑∑∑

====

====

===

.

,

,

1

2

1

42

1

31

1

20

11

32

1

21

10

11

22

110

n

iii

n

ii

n

ii

n

ii

n

iii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

yxxaxaxa

yxxaxaxa

yxaxana

unde coeficienţii minimizează expresia: ( ) ( )∑=

−−−=m

ii axaxanaaah

0

20

11

22210 ,, .

EXEMPLU:

Într-o cercetare s-au numărat păstăile de pe o plantă şi s-a măsurat

înălţimea plantei respective. S-au obţinut următoarele rezultate:

Înălţimea plantei 25 30 40 50 55 Număr de păstăi pe plantă 5 9 8 10 11

Să se determine funcţia de ajustare liniară ( ) 00,: bxaxfRRf +⋅=→ .

Se construieşte tabelul următor:

ix iy ii yx 2ix 45.215.0~ +⋅= ii xy ii yy ~− ( )2~

ii yy −

25 5 125 625 6.2923 -1.2923 1.6701 30 9 270 900 7.0615 1.9385 3.7576 40 8 320 1600 8.6000 -0.6000 0.3600 50 10 500 2500 10.1385 -0.1385 0.0192 55 11 605 3025 10.9077 0.0923 0.0085

∑=

5

1iix

200

∑=

5

1iiy

43

∑=

5

1iii yx

1820

∑=

5

1

2

iix

8650

( )∑=

−5

1

2~i

ii yy

( )xM 40

( )yM 8.6

( )xyM 364

( )2xM 1730

= 5.8154

Obţinem ( ) ( ) ( )[ ] 13016001730401730 2222 =−=−=−= xMxMxD ,

( ) ( ) ( ) ( ) 203443646.840364., =−=⋅−=⋅−⋅= yMxMyxMyxS .


156

Deci ( )( )

( ) 4461.21520.66.8401538.06.8)(

,1538.013020,

00

20

=−=⋅−=−=

===

xMayMbxDyxSa

.

Funcţia de ajustare liniară este ( ) 45.215.0,: +⋅=→ xxfRRf .

Deci ( ) ( ) 8154.545.215.0,1

200 =−⋅−=∑

=

n

iii xybah .

Exerciţii

1. Să se ajusteze liniar următoarele date:

x 0.25 0.35 0.46 0.54 0.57

y 5 9 8 10 11

2. Să se ajusteze liniar următoarele date:

x 33 29 22 12 9

y 144 81 49 36 9


157

4.12 Intervale de încredere

Estimarea prin interval de încredere constă în determinarea unui interval în

care, cu o probabilitate dată, se situează valoarea unui parametru necunoscut

pentru întreaga populaţie.

Cei mai importanţi parametrii ce pot fi estimaţi prin intervale de încredere

sunt media ( μ ), varianţa ( 2σ ) şi proporţia (p).

Modul de lucru pentru determinarea intervalului de încredere este

următorul: se pleacă de la o estimaţie a valorii parametrului pentru un eşantion al

populaţiei şi se determină extremităţile intervalului de încredere.

Intervalul de încredere va acoperii valorile parametrului cu o probabilitate

dată (cu un coeficient de risc α având cel mai des valorile 01.0,02.0;05.0 ).

Dacă θ este parametrul pe care dorim să-l analizăm atunci prin interval de

încredere înţelegem un interval ( )21,tt :

( ) αθ −=<< 121 ttP .

unde α se numeşte nivel de semnificaţie sau nivel de risc.

Acest nivel de semnificaţie, arată care este şansa ( ( ) %1001 ⋅−α ) ca

parametrul θ să se găsească în intervalul de încredere. Cu cât valoarea lui α este

mai mică cu atât şansa este mai mare.

Procedeu de determinare a intervalului de încredere pentru media variabilei

aleatoare cu repartiţie normală cu dispersia cunoscută ( 2σ ), având nivelul de

semnificaţie α :

n>=30

Pas. 1. Calculez x ;

Pas.2 Calculez z :

( ) α−=Θ⋅ 22 0t .

Pas. 3.

( )1,0N

n

x≈

−σμ . (*)

Pas. 4. Scriem intervalul de încredere:


158

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−=

nzx

nzxI σσ , .

Interpretare: Cu o probabilitate de ( ) %1001 ⋅−α se poate considera că

valorile parametrului θ sunt acoperite de intervalul de încredere determinat.

Există un risc de 100⋅α % ca valorile parametrului θ să nu aparţină acestui

interval.

EXEMPLU:

Să se estimeze printr-un interval de încredere, cu nivel de încredere

05.0=α , producţia medie a unui soi de plante medicinale ştiind că variabila

aleatoare X (producţie medie pe parcele de 10 m2) are repartiţie normală cu

abaterea standard de 84.1=σ . Se mai ştie că producţiile medii de pe 8 parcele (de

10 m2) sunt: 8kg, 10kg, 12kg, 8kg, 11kg, 14kg, 10kg, 12kg.

Rezolvare:

Pas. 1. Calculăm ( ) 95.05.0222 0 =−=−=Θ⋅ αt rezultă că ( ) 475.00 =Θ t .

Mergem la tabelul din anexa doi şi căutăm valoarea funcţiei 0.475. O găsim pe

linia 1.9 şi coloana 6 deci 96.1=z .

Pas. 2. Calculăm media estimată a eşantionului ales:

( ) 625.101210141181210881

=+++++++=x .

Pas. 3. Intervalul de încredere este:

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−

nzx

nzx σσ , =⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅+⋅−

884.196.1625.10,

884.196.1625.10

[ ]65.096.1625.10,65.096.1625.10 ⋅+⋅−=

[ ] [ ]899.11,351.9274.1625.10,274.1625.10 =+−= .

Deci [ ]899.11,351.9=I kg.

Interpretare: Cu o probabilitate de 95% se poate considera că media

producţiei de plante medicinale pe parcele de 10 m2 este acoperită de intervalul

[ ]899.11,351.9=I .

Există un risc de 5% ca media producţiei să nu aparţină acestui interval.

Procedeu de determinare a intervalului de încredere pentru medie când

dispersia 2σ este necunoscută, având nivelul de semnificaţie α :


159

n<30

În acest caz dispersia 2σ este necunoscută şi din această cauză ea trebuie

estimată.

( ) ( )[ ]221

2 ...1

1 xxxxn

s n −++−−

=

Pentru a estima media μ necunoscută se normalizează variabila aleatoare

X:

( )1*

−≈− nt

n

xσμ , (*)

repartiţie de tip student cu n-1 grade de libertate.

Intervalul de încredere se determină în mod asemănător cu problema

anterioară:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+−=

−− ntx

ntxI

nn*

1;2

*

1;2

* , σσαα .

Exemplu:

Fie un eşantion de volum n=5 firme dintr-un oras T cu cheltuieli în luna

august X: 10, 8, 12, 6, 4. (mii lei). Să se estimeze prin interval de încredere

cheltuielile firmelor din oraşul T considerând un nivel de risc 05,0=α .

Trebuie să observăm că volumul este mai mic decât 30 şi că varianţa este

necunoscută.

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+−=

−− ntx

ntxI

nn

*

1;2

*

1;2

* , σσαα .

8540

546128101 ==

++++==

∑=

n

xx

n

ii

.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 83.284

8486812888101

222221

2

* ==−+−+−+−+−

=−

−=∑=

n

xxn

ii

σ

.


160

Pentru a calcula valorea 4;025.01;2

ttn

=−

α se utilizeaza tabelul din Anexa 2.

776.24;025.0 =t , de unde obţinem pentru intervalul de încredere următoarele valori:

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⋅+⋅−=

23.283.2776.28,

23.283.2776.28*I .

Adică

[ ]26.1776.28,26.1776.28* ⋅+⋅−=I .

[ ]497.38,497.38* +−=I .

[ ]497.11,503.4* =I .

Interpretare:

Cu o probabilitate de 95% se poate considera că firmele din oraşul T vor cheltui în

luna august o sumă ce se va situa în intervalul [ ]497.11,503.4* =I mii lei. Există un

risc de 5% ca media cheltuielilor să nu aparţină intervalului determinat.

Procedeu de determinare a intervalului de încredere pentru dispersie 2σ

când media μ este cunoscută

Pas. 1. Se alege selecţia { } nixi ,1, = .

Pas. 2. Se determină numerele 21,tt din Anexa 3 astfel încât:

( ) ασ −=<< 122

1 ttP .

Pas. 3. Pentru estimarea lui 2σ se determină estimaţia:

( ) ( ) ( )[ ]222

21

2* ...1 μμμ −++−+−= nxxx

ns ,

( )nsn 22*2 ℵ≈

σ reprezintă o repartiţie Χ2 cu n grade de libertate

Pas. 4. Intervalul de încredere este:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

1

2*

2

2* ,

tsn

tsnI

Procedeu de determinare a intervalului de încredere pentru dispersie 2σ

când media μ este necunoscută

Nu se cunoaşte dispersia şi trebuie estimată punctual ceea ce conduce la

pierderea unui grad de libertate:


161

( ) ( ) ( )[ ]222

21

2 ...1

1 xxxxxxn

s n −++−+−−

= ,

( )1222 −Χ≈ nsn

σ.

Intervalul de încredere este:

( ) ( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−=

1

2

2

2 1,1t

snt

snI .

Intervalele de încredere sunt folosite la testarea ipotezelor statistice.

Aceste teste ne permit ca să putem valida anumite estimări de parameterii cum ar

fi media sau dispersia.

Exerciţii

1. În scopul estimării producţie unei cereale se cultivă 8 parcele a 10 m2 şi

se obţine media aritmetică a producţiei de 10=x kg şi o abatere standard de

g500=σ . Să se determine intervalul de încredere pentru producţia medie cu

nivel de încredere de 05.0=α .

2. Să se determine greutatea medie a unei pâini cu nivel de încredere de

02.0=α ştiind că pe un eşantion de 500 de pâini s-a obţinut gx 500= şi

g25.15=σ .

3. Studiind proporţia de bărbaţi si de femei ce devin absolvenţi la o

universitate s-au cercetat 150 de absolvenţi şi am găsim 69 sunt femei. Se cere să

se determine intervalul de încredere al proporţiei de bărbaţi cu un nivel de

semnificaţie de 05.0=α .


162

Anexa 1

Funcţia Laplace ( ) ∫−

=Θu t

dteu0

2

2

21π

.

Exemplu: ( ) 4131.036.1 =Θ , se verifică intersecţia dintre linia u = 1.3 şi coloana cu valoarea ultima zecimală a lui u adică 6. Invers: Dacă ( ) 4808.0=Θ u care se găseste la intersecţia dintre linia 2.0 şi coloana 7 atunci u = 2.0.

u 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0.0 0.0000 0.0040 0.0080 0.0120 0.0160 0.0199 0.0239 0.02790.0319 0.03590.1 0.0398 0.0438 0.0478 0.0517 0.0557 0.0596 0.0636 0.06750.0714 0.07530.2 0.0793 0.0832 0.0871 0.0910 0.0948 0.0987 0.1026 0.10640.1103 0.11410.3 0.1179 0.1217 0.1255 0.1293 0.1331 0.1368 0.1406 0.14430.1480 0.15170.4 0.1554 0.1591 0.1628 0.1664 0.1700 0.1736 0.1772 0.18080.1844 0.18790.5 0.1915 0.1950 0.1985 0.2019 0.2054 0.2088 0.2123 0.21570.2190 0.22240.6 0.2257 0.2291 0.2324 0.2357 0.2389 0.2422 0.2454 0.24860.2517 0.25490.7 0.2580 0.2611 0.2642 0.2673 0.2704 0.2734 0.2764 0.27940.2823 0.28520.8 0.2881 0.2910 0.2939 0.2967 0.2995 0.3023 0.3051 0.30780.3106 0.31330.9 0.3159 0.3186 0.3212 0.3238 0.3264 0.3289 0.3315 0.33400.3365 0.33891.0 0.3413 0.3438 0.3461 0.3485 0.3508 0.3531 0.3554 0.35770.3599 0.36211.1 0.3643 0.3665 0.3686 0.3708 0.3729 0.3749 0.3770 0.37900.3810 0.38301.2 0.3549 0.3869 0.3888 0.3907 0.3925 0.3944 0.3962 0.39800.3997 0.40151.3 0.4032 0.4049 0.4066 0.4082 0.4099 0.4115 0.4131 0.41470.4162 0.41771.4 0.4192 0.4207 0.4222 0.4236 0.4251 0.4265 0.4279 0.42920.4306 0.43191.5 0.4332 0.4345 0.4357 0.4370 0.4382 0.4394 0.4406 0.44180.4429 0.44411.6 0.4452 0.4463 0.4474 0.4484 0.4495 0.4505 0.4515 0.45250.4535 0.45451.7 0.4554 0.4564 0.4573 0.4582 0.4591 0.4599 0.4608 0.46160.4625 0.46331.8 0.4641 0.4649 0.4656 0.4664 0.4671 0.4678 0.4686 0.46930.4699 0.47061.9 0.4713 0.4719 0.4726 0.4732 0.4738 0.4744 0.4750 0.47560.4761 0.47672.0 0.4772 0.4778 0.4783 0.4788 0.4793 0.4798 0.4803 0.48080.4812 0.48172.1 0.4821 0.4826 0.4830 0.4834 0.4838 0.4842 0.4846 0.48500.4854 0.48572.2 0.4861 0.4864 0.4868 0.4571 0.4875 0.4872 0.4881 0.48840.4887 0.48902.3 0.4893 0.4896 0.4898 0.4901 0.4904 0.4906 0.4909 0.49110.4913 0.49162.4 0.4918 0.4920 0.4922 0.4925 0.4927 0.4929 0.4931 0.49320.4934 0.49362.5 0.4938 0.4940 0.4941 0.4943 0.4945 0.4946 0.4948 0.49490.4951 0.49522.6 0.4953 0.4955 0.4956 0.4957 0.4959 0.4960 0.4961 0.49620.4963 0.49642.7 0.4965 0.4966 0.4967 0.4968 0.4969 0.4970 0.4971 0.49720.4973 0.49742.8 0.4974 0.4975 0.4976 0.4977 0.4977 0.4978 0.4979 0.49790.4980 0.49812.9 0.4981 0.4982 0.4982 0.4983 0.4984 0.4984 0.4985 0.49850.4986 0.49863.0 0.4987 0.4987 0.4987 0.4988 0.4988 0.4989 0.4989 0.49890.4990 0.49903.1 0.4990 0.4991 0.4991 0.4992 0.4992 0.4992 0.4992 0.49930.4993 0.49933.2 0.4993 0.4993 0.4994 0.4994 0.4994 0.4994 0.4994 0.49950.4995 0.49953.3 0.4995 0.4991 0.4995 0.4996 0.4996 0.4996 0.4996 0.49960.4996 0.49973.4 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.49970.4997 0.49983.5 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.49980.4998 0.49983.6 0.4998 0.4998 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.49990.4999 0.49993.7 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.49990.4999 0.49993.8 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.49990.4999 0.49993.9 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.50000.5000 0.5000


163

Anexa 2 Tabel Student T este o variabilă cu repartitie student cu v grade de libertate, Acest tabel dă valorile indicate de t care verifică relaţia ( ) PtTP =≥ . (Jaba, 2000).

Grade de libertate 1.0t 05.0t 025.0t 01.0t 005.0t

1 3.078 6.314 12.706 31.821 63.657 2 1.886 2.920 4.303 6.965 9.925 3 1.638 2.353 3.182 4.541 5.841 4 1.533 2.132 2.776 3.747 4.604 5 1.476 2.015 2.571 3.365 4.032 6 1.440 1.943 2.447 3.143 3.707 7 1.415 1.895 2.365 2.998 3.499 8 1.397 1.860 2.306 2.896 3.355 9 1.383 1.833 2.262 2.821 3.250 10 1.372 1.812 2.228 2.764 3.169

11 1.363 1.796 2.201 2.718 3.106 12 1.356 1.782 2.179 2.681 3.055 13 1.350 1.771 2.160 2.650 3.012 14 1.345 1.761 2.145 2.624 2.977 15 1.341 1.753 2.131 2.602 2.947 16 1.337 1.746 2.120 2.583 2.921 17 1.333 1.740 2.110 2.567 2.898 18 1.330 1.734 2.101 2.552 2.878 19 1.328 1.729 2.093 2.539 2.861 20 1.325 1.725 2.086 2.528 2.845

21 1.323 1.721 2.080 2.518 2.831 22 1.321 1.717 2.074 2.508 2.819 23 1.319 1.714 2.069 2.500 2.807 24 1.318 1.711 2.064 2.492 2.797 25 1.316 1.708 2.060 2.485 2.787 26 1.315 1.706 2.056 2.479 2.779 27 1.314 1.703 2.052 2.473 2.771 28 1.313 1.701 2.048 2.467 2.763 29 1.311 1.699 2.045 2.462 2.756 ∞ 1.282 1.645 1.960 2.326 2.576


164

BIBLIOGRAFIE

1. Aldea Florica, Matematici aplicate în ştiinţele agricole şi silvice, Editura

Risoprint, Cluj Napoca, 2006. 2. Bunu I. coord. colectiv de autori, Matematici economice, Departamentul

Editorial Poligrafic al Academiei de Studii Economice a Moldovei, Chişinău, 2012.

3. Burdujan I., Elemente de algebră cu aplicaţii în biologie, Ed. Pim, Iaşi, 2006. 4. Burtea M., Burtea Georgeta, Matematică, clasa a X-a, Ed. Carminis, Piteşti,

2005. 5. Diaconiţa V., Spînu M., Rusu Ghe., Matematici aplicate în economie, Ed.

Sedcom Libris, Iaşi, 2004. 6. Diaconiţa V., Spînu M., Rusu Ghe., Amariei M., Matematici aplicate în

economie - Teste grilă, Ed. Sedcom Libris, Iaşi, 2004 7. Donciu N., Flondor D., Simionescu, Gh., Algebră şi analiză matematică -

culegere de probleme, vol. 1, Ed. Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1967.

8. Donciu N., Flondor D., Simionescu, Gh., Algebră şi analiză matematică - culegere de probleme, vol. 2, Ed. Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1965.

9. Jaba Elisabeta, Statistică - ediţia a doua - Editura Economică, Bucureşti, 2000. 10. Jaba Elisabeta, Statistică descriptivă - manual pentru învăţământ deschis la

distanţă, Ed. Univ. Al. I. Cuza, Iaşi, 2005. 11. Jaba Elisabeta, Pintilescu Carmen, Statistică - teste grilă şi probleme, ediţia a

doua, Ed. SedcomLibris, Iaşi, 2007. 12. Mihoc Gh., Micu, N., Elemente de teoria probabilităţilor şi statistică

matematică, Ed. Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1988. 13. Ott Lyman R., Longnecker M., An Introduction to Statistical Methods and

Data Analysis - fifth edition - Thomson learning Academic Resourse Centre, Duxbury, USA, 2001.

14. Reischer C., Sâmboan A., Culegere de probleme de teoria probabilităţilor şi statistică matematică, Ed. Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1972.

15. Schneider Gheorghe-Adalbert, Culegere de probleme de algebră, Editura Hyperion, Craiova, 1994.

16. Stoleriu I., Statistică prin Matlab, Ed. Matrixrom, Iaşi, 2010. 17. Tamaş V., Matematică pentru studenţi economişti, Ed. Junimea, Iaşi, 2001


165

Cuprins

Pag. Unitate de învăţare I. Elemente de algebră liniară

1.1. Matrice şi determinanţi .......................................................... 51.1.1. Cazuri particulare ........................................................... 61.1.2. Operaţii cu matrice ........................................................ 71.1.3. Înmulţirea cu scalar ........................................................ 81.1.4. Transpusa unei matrice .................................................. 91.1.5. Determinanţi .................................................................. 91.1.6. Rangul unei matrice ....................................................... 111.1.7. Matrice inversabilă ......................................................... 12

1.2. Sisteme de ecuaţii liniare ....................................................... 141.2.1. Rezolvarea sistemelor de ecuaţii ................................... 16

1.2.1.1. Sistem Cramer ....................................................... 161.2.1.2. Metoda eliminării parţiale Gauss .......................... 171.2.1.3. Metoda eliminării totale Gauss Jordan ................. 221.2.1.4. Explicitarea unui sistem de ecuaţii ........................ 27

1.2.2. Calcularea inversei unei matrice folosind metoda eliminării totale ............................................................................. 29

Unitate de învăţare II. Elemente de algebră abstractă 2.1. Lege de compoziţie ................................................................ 332.2. Structuri algebrice .................................................................. 352.3. Spaţii vectoriale ...................................................................... 402.4. Tranformări liniare ................................................................. 50

Unitate de învăţare III. Elemente de programare liniară 3.1. Introducere în programare liniară ......................................... 563.2. Structura unei probleme de programare liniară (P.P.L.) ........ 573.3. Metoda grafică de rezolvare a P.P.L. ...................................... 603.4. Metoda simplex de rezolvare a P.P.L. .................................... 653.5. Descrierea algoritmului simplex primal ................................. 753.6. Metoda celor două faze ......................................................... 81

Unitate de învăţare IV. Elemente de probabilităţi şi statistică 4.1. Evenimente ............................................................................ 874.2. Operaţii cu evenimente ......................................................... 894.3. Probabilităţi ........................................................................... 914.4. Scheme probabilistice clasice ................................................ 974.5. Variabile aleatoare ................................................................. 102

4.5.1. Operaţii cu variabile aleatoare ..................................... 1044.5.2. Funcţia de repartiţie a unei variabile aleatoare ........... 1074.5.3. Valori tipice ale unei variabile aleatoare ..................... 112

4.6. Repartiţii clasice ..................................................................... 1264.7. Organizarea şi descrierea datelor ........................................... 1384.8. Reprezentarea grafică a seriilor statistice .............................. 1424.9. Caracteristici numerice ale seriilor statistice ......................... 1454.10. Frecvenţa absolută, frecvenţa relativă şi frecvenţa cumulată ... 1504.11. Ajustarea datelor unei serii statistice ................................... 1534.12. Intervale de incredere .......................................................... 157


166

Anexa 1 ..................................................................................................... 162Anexa 2 ...................................................................................................... 163 Bibliografie ................................................................................................. 164Cuprins ....................................................................................................... 165

matematica_2015

Documents