MATEMATICA 1FUNCTII DE MAI MULTE VARIABILE

Continuitate

Problema 1. Studiati existenta urmatoarelor limite:

a) lim(x,y)→(0,0)

x3

x2 + y2;

b) lim(x,y)→(0,0)

x2

x2 + y2;

c) lim(x,y)→(0,0)

4xy

3y2 − x2;

d) lim(x,y)→(0,0)

2xy

2x2 + y2;

e) lim(x,y)→(0,0)

3√xy2

x+ y3;

f) lim(x,y)→(0,0)

xy√

x2 + y2;

g) lim(x,y)→(0,0)

x2 + y2

1 + y2;

h) lim(x,y)→(0,0)

x3y + x2y3

x2 + y2;

i) lim(x,y)→(0,0)

x2y − x2 − y2

x2 + y2;

j) lim(x,y)→(0,0)

|x||x|+ |y| ;

k) lim(x,y)→(0,0)

x(cos y − 1)

x3 + y3;

l) lim(x,y)→(4,0)

(x2−16) cos1

(x− 4)2 + y2;

m) lim(x,y)→(0,0)

(x+ y + 2) · e−1

x2+y2 ;

n) lim(x,y)→(0,0)

x2 + y2√

x2 + y2 + 1− 1;

o) lim(x,y)→(1,1)

x2 + y2 − 2

|x− 1|+ |y − 1| ;

p) lim(x,y)→(0,0)

xayb

x2 + y2, a, b ≥ 0;

q) lim(x,y)→(1,0)

(x− 1)2 ln x

(x− 1)2 + y2;

r) lim(x,y,z)→(0,0,0)

3x2

x2 + y2 + z2;

s) lim(x,y,z)→(0,0,0)

x2 + y2 − z2

x2 + y2 + z2;

t) lim(x,y,z)→(0,0,0)

x2y2z2

x2 + y2 + z2;

u) lim(x,y)→(0,0)

x+ y√

x2 + y2 + 4− 2;

v) lim(x,y)→(0,0)

x2 − xy3√x− 3

√y;

w) lim(x,y)→(0,0)

x(

ex

y − 1)

x+ y;

x) lim(x,y)→(0,0)

3 sin xy

x2y2 + xy2.

Problema 2. Studiati continuitatea urmatoarelor functii:

a) f(x, y) =

x4

x2 + y2, (x, y) 6= (0, 0)

0, (x, y) = (0, 0);

1

b) f(x, y) =

cos1

x2 + y2, (x, y) 6= (0, 0)

0, (x, y) = (0, 0);

c) f(x, y) =

√

x2 + y2

sin√

x2 + y2, (x, y) 6= (0, 0)

1, (x, y) = (0, 0)

;

d) f(x, y) =

ex2+y2 − 1

x2 + y2, (x, y) 6= (0, 0)

1, (x, y) = (0, 0)

;

e) f(x, y) =

4− 4 cos√

|xy||xy| , (x, y) 6= (0, 0)

2, (x, y) = (0, 0)

;

f) f(x, y) =

x2 sin2 y

x2 + y2, (x, y) 6= (0, 0)

0, (x, y) = (0, 0);

g) f(x, y) =

xy cos y

3x2 + y2, (x, y) 6= (0, 0)

0, (x, y) = (0, 0).

Derivate partiale. Diferentiabilitate

Problema 3. Calculati:

a)∂

∂xsin(x2y5);

b)∂f

∂z(0, 0, 1, 1), pentru f(x, y, z) =

exz+y

z2 + w;

c)∂3f

∂y2∂x, pentru f(x, y) = x3 + y2ex;

d)∂4g

∂x∂w∂z2, pentru g(x, y, z, w) = x3w2z2 + sin

(xy

z2

)

.

Problema 4. Aratati ca functia u(x, t) =1√2πt

e−x2

4t , t > 0, satisface ecuatia

caldurii:∂u

∂t=

∂2u

∂x2.

Pauza de fortificare intelectuala. Ecuatia generala caldurii, pentru care ecuatiade mai sus este un caz special, a fost introdusa pentru prima data ın 1807 de

2

matematicianul francez Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830). Tanarfiind , Fourier nu era sigur daca trebuie sa intre ın randul preotilor sau sa studiezematematica, ınsa era un om ambitios. El a scris ıntr-o scrisoare: ieri am ımplinit

21 de ani. La aceasta varsta, Newton si Pascal au facut deja multe pentru a fi ne-

muritori. La cei douazeci de ani ai sai, Fourier s-a implicat ın Revolutia francezasi a fost ınchis pentru scurt timp ın 1794. In 1798, el a fost chemat, ımpreuna cumai mult de 150 de oameni de stiinta, sa se alature lui Napoleon la campania luidin Egipt.

Impactul lui Fourier sta ın contributiile sale matematice.Ecuatia caldurii se aplica ın stiintele fizice si ın inginerie, de lastudiul fluxului de caldura prin oceanele Pamantului si atmosferapana la utilizarea de sonde de caldura pentru a distruge tumori sipentru tratarea bolilor de inima. Fourier a introdus, de asemenea,o uimitoare tehnica noua, cunoscuta sub numele de transformata

Fourier, pentru rezolvarea ecuatiei lui, bazata pe ideea ca o functie

periodica poate fi exprimata ca o suma (posibil infinita) de sinusuri si cosinusuri.Principalii matematicieni ai acelor vremuri, inclusiv Lagrange si Laplace, auridicat initial obiectii, deoarece aceasta tehnica nu oferea justificari riguroase. Cutoate acestea, transformata Fourier s-a dovedit a fi una dintre cele mai importantedescoperiri matematice ale secolului al XIX-lea.

In 1855, fiziologul german Adolf Fick (1829-1901) a aratatca ecuatia caldurii descrie nu numai conducerea caldurii, ci, deasemenea, o gama larga de procese de difuzie, cum ar fi: osmoza,transportul de ioni la nivel celular si miscarea de poluanti prinaer sau apa. Ecuatia caldurii a devenit, astfel, un instrument debaza ın chimie, biologie moleculara, si ın stiinta mediului, undemai este adesea numita legea a doua a lui Fick.

Problema 5. Studiati continuitatea, existenta derivatelor partiale ın origi-ne, precum si diferentiabilitatea ın origine pentru fiecare dintre urmatoarelefunctii:

a) f(x, y) = x1

3y1

3 ;

b) f(x, y) =

2xy

(x2 + y2)2, (x, y) 6= (0, 0)

0, (x, y) = (0, 0);

c) f(x, y) =

xy2

x2 + y2, (x, y) 6= (0, 0)

0, (x, y) = (0, 0);

3

d) f(x, y) =

xy(x2 − y2)

x2 + y2, (x, y) 6= (0, 0)

0, (x, y) = (0, 0).

Problema 6. Daca f(u, v) = u + 3v + 5, u = x2 + y2, v = x2 − xy − y2,

calculati∂f

∂xsi

∂f

∂y.

Problema 7. Daca f(u, v, w) = uv − w2, u = x2 − y2, v = 2xy, w = x2 −xy + y2, calculati

∂f

∂x.

Problema 8. Calculatidy

dx, daca x3 − 3xy3 + x2y2 + 7 = 0.

Problema 9. Calculati∂z

∂xsi

∂z

∂y, daca:

a) ln(xyz) + x2y2z2 = 0;b) x2yz + yz2 + x2z2 − 3 = 0;c)

√x+ y +

√y + z +

√z + x+ 3 = 0;

d) sin(xy) + cos(xy) + tg(xy) + xyz = 0.

Puncte de extrem

Problema 10. Studiati existenta punctelor de extrem pentru urmatoarelefunctii:

a) f(x, y) = 11x2 − 2xy + 2y2 + 3y;b) f(x, y) = x2 + 2y2 − 4y + 6x;c) f(x, y) = 8y4 + x2 + xy − 3y2 − y3;d) f(x, y) = (x2 + y2)e−x;e) f(x, y) = xye−x2

−y2 ;f) f(x, y) = (x− y)e−x2

−y2 ;g) f(x, y) = ex − xey;h) f(x, y) = x ln(x+ y);i) f(x, y, z) = x4 + x2y + y2 + z2 + xz + 1;

j) f(x, y, z) =1

x+

x

y+

y

z+ z, unde x, y, z 6= 0.

Problema 11. Gasiti valorile extreme ale functiilor:a) f(x, y) = 2x+ 3y, cu x2 + y2 = 4;b) f(x, y) = x2 + y2, cu 2x+ 3y = 6;

4

c) f(x, y) = xy, cu 4x2 + 9y2 = 32;d) f(x, y) = x2y4, cu x2 + 2y2 = 6;

e) f(x, y) = 2x+ 5y, pe elipsa(x

4

)2

+(y

3

)2

= 1;

f) f(x, y, z) = x2 − y − z, cu x2 − y2 + z = 0;g) f(x, y, z) = xy + 2yz + 3zx, cu 5x+ 9y + z = 10;

Problema 12. Gasiti aria maxima a unui dreptunghi ınscris ın elipsa de

ecuatie(x

2

)2

+(y

3

)2

= 1.

Problema 13. Gasiti volumul maxim al unui paralelipiped dreptunghicınscris ın tetraedrul ce are varfurile de coordonate A(0, 0, 0), B(3, 0, 0),C(0, 1, 0), D(0, 0, 1).

Problema 14. Gasiti distanta de la punctul P (1, 0, 0) la planul z = x+y+1.

Problema 15. Gasiti cel mai apropiat punct al conului z2 = x2+ y2 fata depunctul P (4, 2, 0).

Problema 16. Trei alele A, B, si O, determina cele patru tipuri de sange A(AA sau AO), B (BB sau BO), O (OO), si AB. Legea Hardy-Weinbergspune ca proportia de indivizi, dintr-o populatie, care transporta doua alelediferite, este P = 2pq + 2qr + 2rp, unde p, q, r sunt proportiile genelor ınpopulatie. Gasiti valoarea maxima a lui P .Pauza de fortificare intelectuala. ALELA, s. f. (genetica), Nume dat oricarei

gene dintr-o pereche sau dintr-o serie de gene alternative care pot ocupa acelasi

locus si care controleaza expresiile diferite.

Problema 17. Prin investitia a x unitati de munca si y unitati de capital,la sfarsitul unei saptamani, o fabrica produce P (x, y) = 50x0,4y0,6 ceasuri.Gasiti numarul maxim de ceasuri pe care ıl poate produce cu un buget de20000 de lei, daca pentru munca se cheltuiesc 100 de lei pe unitate iar pentrucapital se cheltuiesc 200 de lei pe unitate.Pauza de fortificare intelectuala. Functia de productie esteo expresie matematica ce subliniaza legaturile existente ıntrecantitatile consumate din factorii de productie si cantitatilede bunuri care pot fi obtinute ın anumite conditii naturale,tehnice, organizatorice si de calificare, cu respectarea unuisistem de restrictii. Economistul Paul Douglas (foto) a gasitımpreuna cu matematicianul Charles Cobb functia de pro-ductie P (x, y) = Cxayb, ce exprima relatia dintre munca, capital si pro-

5

ductivitate ın economia industriala. Functia Cobb-Douglas este folosita ınmicroeconomie, macroeconomie, dar si ın managementul productiei.

Problema 18. Gasiti extremele globale ale functiei f(x, y) = xy + 14, pemultimea M = {(x, y) ∈ R

2 | x2 + y2 ≤ 18}.Problema 19. Consideram un triunghi ABC, cu lungimile laturilor BC =a, CA = b, AB = c, si care are aria S. Demonstrati ca, daca valoarea rapor-

tuluiS

a2 + b2 + c2este maxima, atunci triunghiul ABC este echilateral.

Problema 20 (Radu Gologan, Test de selectie pentru OBMJ). Douapatrate, de laturi egale cu 1, se intersecteaza sub forma unui dreptunghi dearie 1/8. Aflati valorile minima si maxima a distantei dintre centrele celordoua patrate.

Problema 21 (Inegalitatea mediilor). Daca a1, a2, ..., an sunt numerereale pozitive, cu a1 + a2 + ... + an = n, aratati ca a1 · a2 · ... · an ≤ 1.

Problema 22 (Inegalitatea lui Young). Daca x, y, p si q sunt numere

reale pozitive, astfel ıncat1

p+

1

q= 1, aratati ca x

1

p · y 1

q ≤ x

p+

y

q.

Recomandari pentru o buna dispozitie

W. A. Mozart - Clarinet concerto, K 622:https://www.youtube.com/watch?v=2oNnugi3yLU

W. A. Mozart - Clarinet quintet, K 581:https://www.youtube.com/watch?v= mKUYMQsFwM

W. A. Mozart - Concerto for flute and harp, K 299:https://www.youtube.com/watch?v=E0vnxGEF9kM

Bibliografie selectiva

[1] James Stewart Calculus, Brooks/Cole Cengage Learning, Belmont, 2012.

[2] Jon Rogawski, Calculus, W. H. Freeman and Company, New York, 2011.

[3] Robert Smith, Roland Minton, Calculus, McGraw-Hill, New York, 2011.

6