m2015s5
DESCRIPTION
.TRANSCRIPT
Modelarea deciziilor monetare seminar
6.2 Portofolii eficiente formate din mai mult de dou active cu risc Frontiera Markowitz i Capital Market Line (CML)1. Presupunem o pia de capital pe care sunt tranzacionate trei active cu risc ( ). Matricea de varian-covarian a activelor,respectiv inversa acestei matrice se prezint astfel :
EMBED Equation.3 ,
Vectorul rentabilitailor ateptate n cazul celor trei active este urmtorul : .Presupunem un investitor raional care urmrete obinerea unei rentabiliti cu risc minim. Pornind de la aceast ipotez s se determine :
a. structura i riscul portofoliului eficient (optim Pareto) P, care asigur o rentabilitate cu risc minim. b. S se calculeze riscul portofoliilor pentru care investitorul raional fixeaz rentabilitile astfel : ,,,. S se reprezinte grafic punctele n planul financiar i s se comenteze rezultatele obinute.c. S se calculeze structura portofoliului cu risc minim global V.
d. s se determine riscul i rentabilitatea portofoliului pentru care tangenta dus la frontiera Markowitz trece prin originea axelor.
e. Presupunem c pe pia de capital exist un portofoliu Z, numit conjugat al unui portofoliului P situat pe frontiera Markowitz cu rentabilitatea 20%. S se determine rentabilitatea, riscul i structura acestui portofoliu (Z). 2. Un investitor raional poate s formeze un portofoliu eficient P, utiliznd fondurile mutuale V i W caracterizate prin : V : W :
a. S se determine ponderea investiiei n V i W astfel nct investitorul s obin o rentabilitate egal cu 20%.
b. S se calculeze covariana ntre V i W, respectiv ntre V i P, portofoliul de la punctul a).3. Pe o pia coteaz un numr de patru active financiare. Se cunosc urmtoarele informaii: a. ,
b. , , ,
c. V : W :
Se cere:
a. Riscurile: , i rentabilitile , .
b. Riscul i rentabilitatea portofoliului P situat pe frontiera Markowitz tiind c rentabilitatea ateptat este .
c. Riscul i rentabilitatea portofoliului Q situat pe frontiera Markowitz tiind c riscul asumat de investitor este .
d. tiind c s se calculeze rentabilitatea, riscul i structura portofoliului pieei M.
e. S se calculeze rentabilitatea, riscul i structura portofoliului S, situat pe CML tiind c
f. S se calculeze coeficienii de volatilitate,, precum i , .g. S se calculeze indicatorul de senzitivitate :
.4. Pe o pia coteaz trei active. Se cunosc:
,
EMBED Equation.DSMT4 S se determine:
a) ecuaia frontierei Markowitz;
b) rentabilitatea, riscul i structura portofoliilor V i W;
c) riscul i structura unui portofoliu P de pe frontiera Markowitz care are rentabilitatea ;
d) rentabilitatea i structura unui portofoliu Q care are riscul ;
e) covariana dintre V i W i dintre V i P;
f) covariana dintre W i P;
g) s se calculeze indicatorii de volatilitate, precum i ponderea din riscul al fiecrui activ care este recunoscut de pia (risc nediversificabil).
h) un investitor i asum un risc de investind n trei fonduri mutuale: V, W, . Portofoliul P este situat pe CML. S se precizeze ponderile investite n cele trei fonduri mutuale.
5. Pe o pia coteaz 2007 de active financiare cu risc i un activ fr risc. Se estimeaz c ecuaia frontierei Markowitz este . Rentabilitatea activului fr risc este .a) s se deteremine rentabilitatea ateptat i riscul portofoliului V;
b) s se determine riscul i structura pe cele dou fonduri mutuale V i W pentru un portofoliu de pe frontiera Markowitz care are rentabilitatea ateptat .
c) cum se modific structura (pe cele 2007 active cu risc) portofoliului de la punctul b) dac riscurile tuturor activelor cresc cu 10%.
d) s se determine riscul i structura pe cele dou fonduri mutuale Rf i M pentru un portofoliu de pe CML care are renbtabilitatea ateptat .
e) un investitor are funcia de utilitate , unde parametrul cuantific aversiunea la risc a investitorului. S se determine rentabilitatea ateptat a portofoliului de pe frontiera Markowitz care va fi ales de ctre investitor. Ce se ntampl dac ? Explicaie.6. Pe o pia coteaz 3 active. Se tie:
a) s se calculeze A, B, C, D
b) s se calculeze i a unui portofoliu situat pe frontiera Markowitz tiind c . tiind c , s se calculeze i s se fac un scurt comentariu financiar.
c) tiind c , s se calculeze
d) s se calculeze i a unui portofoliu situat pe CML tiind c . S se compare . Scurt comentariu.
7. Pe o pia coteaz trei active. Se cunoate:
a) S se calculeze:
b) S se calculeze indicatorii de la punctul a) pentru cazul n care cresc cu 20%
c) S se calculeze indicatorii de la punctul a) pentru cazul n care cresc cu 20%d) pe baza datelor iniiale, s se calculeze tiind c , iar P este situat pe d.1. frontiera Markowitz, d.2. CML
8. Pe o pia coteaz 2007 de active financiare cu risc i un activ fr risc. Se estimeaz c ecuaia frontierei Markowitz este . Rentabilitatea activului fr risc este .
a) s se determine rentabilitatea ateptat i riscul portofoliului V;
b) s se determine riscul i structura pe cele dou fonduri mutuale V i W pentru un portofoliu de pe frontiera Markowitz care are rentabilitatea ateptat .
c) cum se modific structura (pe cele 2007 active cu risc) portofoliului de la punctul b) dac riscurile tuturor activelor cresc cu 10%.
d) s se determine riscul i structura pe cele dou fonduri mutuale Rf i M pentru un portofoliu de pe CML care are rentabilitatea ateptat .
e) un investitor are funcia de utilitate , unde parametrul cuantific aversiunea la risc a investitorului. Investitorul are acces pe piaa internaional unde portofoliul pieei are rentabilitatea ateptat i riscul . Piaa internaional i cea naional nu sunt corelate. S se determine rentabilitatea ateptat a portofoliului ales de investitor. Explicaie. 9. Pe o pia coteaz un numr de trei active. Se cunoate:
Se cere:
a) structura i rentabilitatea a portofoliului pieei
b) tiind c s se calculeze structura portofoliului P situat pe CML cu .
10. Se consider o pia pe care coteaz 3 active. Matricea de varian covarian este:
,
a) s se calculeze portofoliul de frontiera Markowitz care asigur o rentabilitate de 18,5%
b) s se determine structura, rentabilitatea i volatilitatea unui portofoliu de CML cu riscul
c) ca urmare a creterii pieei, toate rentabilitile activelor cresc cu 10%. S se determine modul n care se modific rentabilitatea, riscul i structura portofoliilor V i M.
11. Pe o pia coteaz 4 active cu risc. Pentru frontiera Markowitz se cunosc urmtoarele elemente:
a) s se determine structura i riscul portofoliului P cu rentabilitatea 15%
b) s se determine senzitivitatea riscului portofoliului P n raport cu rentabilitatea sa
c) s se determine n ce interval trebuie s se situeze rentabilitatea lui P astfel nct portofoliul s aib o component, respectiv 2 negative. Exist valori pentru care P are 3 componente negative?
d) s se determine riscul, rentabilitatea i structura lui M dac Rf=7%
e) s se precizeze n ce interval trebuie s se situeze Rf astfel nct M s aib o component sau 2 negative.
12. Se consider pieele de capital din rile Home i Foreign. Pe piaa Home ecuaia frontierei Markowitz este , iar pe piaa din ara Foreign ecuaia frontierei Markowitz este . Rentabilitatea activului fr risc este aceeai n cele dou ri . Se noteaz cu V i V* portofoliul din din vrful frontierei Markowitz din ara Home, respectiv Foreign. Coeficientul de corelaie dintre cele 2 piee de capital este 0. a) S se determine rentabilitatea ateptat i riscul celor dou portofolii V i V*;b) S se determine rentabilitatea ateptat i structura pe cele dou fonduri mutuale V i W pentru un portofoliu de pe frontiera Markowitz din ara Home care are riscul ;
c) S se determine rentabilitatea ateptat i structura pe cele dou fonduri mutuale i M pentru un portofoliu de pe CML din ara Home care are riscul ;
d) Fie U portofoliul de risc minim care se poate construi folosind V i V*. S se determine structura, rentabilitatea i riscul lui U.
e) Rentabilitile ateptate ale tuturor activelor de pe ambele piee de capital cresc cu 10%. Cum se modific structura, riscul i rentabilitatea lui U?
f) S se construieasc un portofoliu eficient format din , V i V* i care are riscul .
Rezolvri1.a) Reamintim faptul c relaia risc-rentabilitate pentru portofoliile eficiente de pe frontiera Markowitz, rezult din rezolvarea unei probleme de minim al investitorului raional, respectiv :
unde : , , ,
Utiliznd rezultatele de mai sus putem scrie structura portofoliului eficient P , cel care asigur investitorului o rentabilitate la riscul minim.
, iar riscul va fi :
b. Pe baza relaiei dintre riscul i rentabilitatea portofoliului P prezentat mai sus putem calcula riscul portofoliilor P1 , P2, P3, P4, nlocuind rentabilitile fixate de investitor n aceast relaie:
EMBED Equation.3 PortofoliuPiPi
P10.100.2754
P20.150.1542
P30.200.1520
P40.250.2715
Prezentm punctele (Pi ,Pi ) de mai sus n planul financiar :
Comentarii : 1) Portofoliile formeaz o hiperbol n planul financiar, frontiera Markowitz a portofoliilor eficiente
2) P3, P4 situate pe parte superioar a hiperbolei sunt portofolii eficiente, iar P1 i P2 sunt portofolii ineficiente ( exist portofolii care la acelai risc aduc o rentabilitate mai mare investitorului ).
c. Folosim formulele pentru V, portofoliul cu cel mai mic risc posibil:
Structura V : Variana: Rentabilitate:
, respectiv riscul
Atenie !!! : portofoliul care asigur riscul minim global (V), va aduce o rentabilitate de 17.57% , investitorul asumndu-i un risc de 13.05% .
d. Notm cu W portofoliul pentru care tangenta dus la frontiera Markowitz trece prin originea axelor.
Riscul portofoliului W rezult din formula :
Rentabilitatea portofoliului W :
Structura portofoliului W:
e. Reamintim faptul c portofoliul Z, numit conjugat al lui P, este acel portofoliu pentru care :
Utiliznd aceast relaie putem calcula rentabilitate portofoliului Z :
2. a. tim c structura oricrui portofoliu eficient se poate scrie ca o combinaie convex a portofoliilor V i W :
, unde : ,
nlocuim valoarea indicatorilor i obinem ca rezultat ponderea pe care investitorul trebuie s o investeasc n fondurile mutuale V i W :
, iar
Observaie : 1. Investitorul face short-selling pe fondul mutual V (vinde 1,5851 uniti V) i cumpr 2,5851 uniti din fondul mutual W.
2. Portofoliul W este acel portofoliu eficient care asigur cea mai mare rentabilitate dac pe pia nu exist posibilitatea de a efectua operaiuni de short-selling.
(acest lucru se realizeaz atunci cnd este subunitar ).
Structura portofoliului P este egal cu:
b. Covariana ntre cele dou fonduri mutuale V i W se determin astfel :
Covariana ntre fondul mutual V i portofoliul eficient P se determin astfel:
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 !Atenie! Fondul mutual V, care are riscul minim global, va avea aceai covarian cu orice portofoliu eficient.
3. a. V: Structura V : Variana: Rentabilitate:
, respectiv riscul
W: Riscul portofoliului W :
Rentabilitatea portofoliului W :
b. Riscul un portofoliu eficient de pe Frontiera Markowitz are coordonatele:
(*)
tim c pentru portofoliul P rentabilitatea este i nlocuind n formula (*) obinem .
Structura portofoliului eficient P se scrie ca o combinaie de V i W:
,
unde :
, iar
Observaie 1. investitorul face short-selling pe fondul mutual V (vinde 16.1303 uniti V) i cumpr 17.1303 uniti din fondul mutual W.
Structura portofoliului P este :
c. Se tie c portofoliul Q de pe frontiera Markowitz are riscul egal cu . Folosind relaia (*) obinem: . Rezolvnd ecuaia de gradul 2 obinem:
EMBED Equation.3
,
, iar
d. M: Rentabilitatea portofoliului pieei (M) este egal cu:
Riscul portofoliului pieei este:
Deoarece portofoliul M se afl pe frontiera Markowitz, acesta poate fi format utiliznd portofoliile V i W:
, iar
, iar .
e. S:
Structura portofoliului S situat pe CML:
active cu risc: active fr risc:
EMBED Equation.3
Rentabilitatea portofoliului S:
tiind c ecuaia dreptei CML este:
f. Modelul CAPM presupune c:
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 Cunoatem rentabilitatea ateptat pentru fiecare activ n parte i de aici putem s determinm ct este coeficientul de volatilitate:
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 ,
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 ,
g. tiim c rentabilitatea ateptat a lui M este:
Astfel
4. a) ecuaia frontierei Markowitz se scrie:
Calculm A, B, C, D:
Frontiera Markowitz
b)
c) se folosete ecuaia frontierei Markowitz n care se nlocuiete
Structura lui P se scrie ca o combinaie de V i W; , iar ponderea n V este dat de:
d) se folosete tot frontiera Markowitz i se rezolv ecuaia de gradul II:
Se alege evident rentabilitatea mai mare adic . Structura se determin tot ca o combinaie de V i W:
e)
n cele de mai sus am folosit faptul c este simetric deci i relaia de transpunere a produsului dou matrici oarecare X i Y .
f)
g) coeficienii de volatilitate se determin folosind formula:
(*)
n acest scop vom calcula structura i variana portofoliului pieei. Pentru a afla structura lui M trebuie s calculm rentabilitatea sa folosind formula:
Determinm variana folosind formula frontierei Markowitz, iar structura folosind descompunerea lui M n V i W.
, iar
Revenim la formula (*), n care cunoatem acum toate elementele. Efectund calculele obinem:
Ponderea din riscul individual recunoscut de pia este egal cu , adic nmulim vectorul BETA cu .
h) portofoliul P care se afl pe CML poate fi descompus n M i activ fr risc astfel:
Pe de alt parte, i portofoliul M se scrie ca o combinaie de V i W cu ponderile pe care le-am determinat mai sus:
5. Formula frontierei Markowitz se scrie astfel:
n problem frontiera Markowitz arat astfel:
Comparnd relaiile obinem:
a.
b.
c. nu se modific! d.
Se scrie ecuaia CML:
Astfel investitorul va investii 80,86% din capitalul initial in active cu risc i 19,13% in active fr risc. n aceste condiii va obine portofoliul P care i asigur o rentabilitate de 12,6%.
e.
Se scrie utilitatea nlocuind inlocuind variana cu ecuaia frontierei Markowitz.
Dac , deci portofoliul ales este chiar V.6. a) A=144,9275; B=18,51; C=2,442; D=11,01;
b)
c)
d)
7. a) A=49,2319 B=8,80129 C=1,6104 D=1,8183
b) Creterea tuturor rentabilitilor cu 10% presupune modificarea vectorului de rentabiliti astfel:
n continuare vom determina felul n care se modific A, B, C odat cu modificarea vectorului de rentabliti.
- evident matricea de varian covarian nu se modific n momentul n care se modific rentabilitile activelor.
Utiliznd aceste informaii, plus faptul c putem determina toate modificrile astfel:
n mod similar se obin toate celelalte modificri.
c) se trateaz n mod similar cu punctul b). de data aceasta, modificarea riscurilor activelor are un impact asupra matricei de varian covarian i nici un impact asupra vectorului de rentabiliti, deci .
Ce impact are ns asupra matricei de varian-covarian? Se tie faptul c matricea de varian covarian poate fi descompus astfel:
Fiecare se modific cu 1,1 , deci S se modific cu 1,1, ceea ce nseamn c se modific cu , avnd n vedere c M rmne constant. n concluzie:
EMBED Equation.DSMT4 De aici problema decurge exact ca mai sus:
.a.m.d.
d)
d.1.
d.2.
8. a) A=55,9125 B=7,2093 C=0,9478
b)
c) nu se modific
d)
e) se determin
se investete pe piaa naional n portofoliul pieei i pe piaa internaional n portofoliul pieei
9.10. a)
b)
12. a) pe piaa Home:
pe piaa Foreign:
b)
c)
d)
e) structura si riscul nu se modifica, iar rentabilitatea crete cu 10%.
f)
PAGE 1
_1293741783.unknown
_1295031324.unknown
_1323974468.unknown
_1323975141.unknown
_1323975234.unknown
_1323975275.unknown
_1323976399.unknown
_1323976466.unknown
_1323976481.unknown
_1323976438.unknown
_1323975286.unknown
_1323975256.unknown
_1323975266.unknown
_1323975246.unknown
_1323975193.unknown
_1323975211.unknown
_1323975223.unknown
_1323975202.unknown
_1323975173.unknown
_1323975183.unknown
_1323975158.unknown
_1323974725.unknown
_1323974887.unknown
_1323974909.unknown
_1323975111.unknown
_1323974898.unknown
_1323974782.unknown
_1323974857.unknown
_1323974867.unknown
_1323974814.unknown
_1323974856.unknown
_1323974830.unknown
_1323974793.unknown
_1323974749.unknown
_1323974768.unknown
_1323974738.unknown
_1323974637.unknown
_1323974692.unknown
_1323974708.unknown
_1323974649.unknown
_1323974520.unknown
_1323974556.unknown
_1323974558.unknown
_1323974589.unknown
_1323974542.unknown
_1323974480.unknown
_1295032090.unknown
_1295458867.unknown
_1295460774.unknown
_1323974443.unknown
_1323974457.unknown
_1295461231.unknown
_1295462180.unknown
_1295463086.unknown
_1295461754.unknown
_1295460786.unknown
_1295459143.unknown
_1295459166.unknown
_1295459101.unknown
_1295032368.unknown
_1295032957.unknown
_1295458690.unknown
_1295458797.unknown
_1295033036.unknown
_1295033243.unknown
_1295032477.unknown
_1295032486.unknown
_1295032437.unknown
_1295032232.unknown
_1295032352.unknown
_1295032204.unknown
_1295031913.unknown
_1295031951.unknown
_1295031979.unknown
_1295032018.unknown
_1295031961.unknown
_1295031933.unknown
_1295031942.unknown
_1295031924.unknown
_1295031545.unknown
_1295031699.unknown
_1295031897.unknown
_1295031559.unknown
_1295031352.unknown
_1295031392.unknown
_1295031336.unknown
_1293780807.unknown
_1293817688.unknown
_1293822930.unknown
_1295031007.unknown
_1295031166.unknown
_1295031303.unknown
_1295031024.unknown
_1295030669.unknown
_1295030991.unknown
_1295030966.unknown
_1293823151.unknown
_1293818659.unknown
_1293821399.unknown
_1293822201.unknown
_1293822358.unknown
_1293822586.unknown
_1293822663.unknown
_1293822228.unknown
_1293821837.unknown
_1293821886.unknown
_1293821631.unknown
_1293819401.unknown
_1293819652.unknown
_1293819674.unknown
_1293819524.unknown
_1293818880.unknown
_1293819301.unknown
_1293819383.unknown
_1293819246.unknown
_1293818777.unknown
_1293817893.unknown
_1293817975.unknown
_1293818582.unknown
_1293817924.unknown
_1293817808.unknown
_1293817838.unknown
_1293817717.unknown
_1293817776.unknown
_1293816293.unknown
_1293816742.unknown
_1293817387.unknown
_1293817561.unknown
_1293817637.unknown
_1293817648.unknown
_1293817554.unknown
_1293817289.unknown
_1293817328.unknown
_1293817264.unknown
_1293816623.unknown
_1293816692.unknown
_1293816558.unknown
_1293791460.unknown
_1293791727.unknown
_1293791828.unknown
_1293792494.unknown
_1293815932.unknown
_1293792396.unknown
_1293791773.unknown
_1293791483.unknown
_1293791552.unknown
_1293791472.unknown
_1293780850.unknown
_1293780889.unknown
_1293791330.unknown
_1293780823.unknown
_1293779782.unknown
_1293780152.unknown
_1293780229.unknown
_1293780642.unknown
_1293780205.unknown
_1293780096.unknown
_1293780124.unknown
_1293779810.unknown
_1293779429.unknown
_1293779668.unknown
_1293779729.unknown
_1293779538.unknown
_1293741835.unknown
_1293778297.unknown
_1293779268.unknown
_1293779015.unknown
_1293742805.unknown
_1293741807.unknown
_1293308811.unknown
_1293392770.unknown
_1293741558.unknown
_1293741660.unknown
_1293741736.unknown
_1293741775.unknown
_1293741707.unknown
_1293741613.unknown
_1293741636.unknown
_1293741572.unknown
_1293393496.unknown
_1293697804.unknown
_1293741298.unknown
_1293741470.unknown
_1293698145.unknown
_1293698536.unknown
_1293697880.unknown
_1293697094.unknown
_1293697205.unknown
_1293696893.unknown
_1293393289.unknown
_1293393428.unknown
_1293393471.unknown
_1293393339.unknown
_1293393206.unknown
_1293393232.unknown
_1293392828.unknown
_1293310049.unknown
_1293391704.unknown
_1293392243.unknown
_1293392665.unknown
_1293392760.unknown
_1293392275.unknown
_1293391845.unknown
_1293390893.unknown
_1293391032.unknown
_1293390564.unknown
_1293309464.unknown
_1293309835.unknown
_1293309865.unknown
_1293309537.unknown
_1293309762.unknown
_1293309059.unknown
_1293309182.unknown
_1293309218.unknown
_1293309249.unknown
_1293309088.unknown
_1293308937.unknown
_1293309014.unknown
_1293308853.unknown
_1272128148.unknown
_1293306556.unknown
_1293307059.unknown
_1293307207.unknown
_1293307328.unknown
_1293308119.unknown
_1293308389.unknown
_1293308747.unknown
_1293308346.unknown
_1293307557.unknown
_1293308059.unknown
_1293307429.unknown
_1293307436.unknown
_1293307383.unknown
_1293307259.unknown
_1293307176.unknown
_1293306788.unknown
_1293306944.unknown
_1293306587.unknown
_1272130085.unknown
_1272133821.unknown
_1272134479.unknown
_1272174379.unknown
_1272174704.unknown
_1272175198.unknown
_1293306525.unknown
_1272174865.unknown
_1272174559.unknown
_1272174094.unknown
_1272174266.unknown
_1272174299.unknown
_1272173921.unknown
_1272134882.unknown
_1272134898.unknown
_1272134466.unknown
_1272130998.unknown
_1272131057.unknown
_1272130181.unknown
_1272129012.unknown
_1272129959.unknown
_1272128165.unknown
_1272128622.unknown
_1229939818.unknown
_1242822410.unknown
_1242822979.unknown
_1272127706.unknown
_1272128119.unknown
_1242823285.unknown
_1242823367.unknown
_1242823548.unknown
_1242822995.unknown
_1242822794.unknown
_1242822852.unknown
_1242822438.unknown
_1229956422.unknown
_1229975052.unknown
_1229975223.unknown
_1229956523.unknown
_1229951807.unknown
_1229955905.unknown
_1229941591.unknown
_1229940167.unknown
_1229928043.unknown
_1229938859.unknown
_1229939377.unknown
_1229928290.unknown
_1229927814.unknown
_1229927892.unknown
_1167645406.unknown
_1229927667.unknown
_1167608112.unknown