Matematici speciale

Variabile aleatoare discrete

Aprilie 2018

ii

” Expose yourself to as much randomness as possible. ”

Ben Casnocha

9Variabile aleatoare discrete

Texas Holdem Poker:

In Texas Hold’em Poker jucatorii incearca sa gaseasca cea mai buna combi-natie de 5 carti folosind celelalte doua carti din mana si cele cinci care se vorafisa pe masa. Pachetul are 52 de carti si sunt cate 13 de patru feluri diferite:♣ ♦ ♥ ♠

All-in= inseamna ca jucatorul si-a pus toate chips-urile in pariu

1

Fold= e actul prin care renunti la a juca mana; jucatorii pot da fold atuncicand e randul lor si nu doresc sa mai continue.

Raise=maresti miza pariuluiCall= dupa ce jucatorii primesc cartile fiecare pe rand are optiunea sa decida

daca aleg fold, call sau raise; spunand call accepti sa pariezi suma care se ceredeja in tura respectiva

Joci masa= daca cea mai buna combinatie de 5 carti este cea afisata pe masasi jucatorul termina mana fara sa dea fold, spunem ca a jucat masa; sa joci masanu e considerat un lucru bun in poker pentru ca nu ai reusit sa imbunatatesticombinatia de 5 carti deja existenta pe masa cu niciuna din cele doua carti aletale; cand joci masa tot ce poti spera este sa-i egalezi pe oponentii tai; dacaacestia reusesc sa foloseasca o carte din mana pentru a imbunatati combinatiaai peirdut.

Problema deschisa: Pana cand a castigat un turneu WSOP in 2008, ErickLindgren era deseori supranumit ca fiind cel mai mare jucator care nu a castigatvreodata un turneu WSOP. Inaintea victoriei sale el a participat la multe turneeWSOP si a terminat in top 10 de opt ori. Sa presupunem ca joci intr-un turneupe saptamana. Sa presupunem ca rezultatele inregistrate la un turneu suntindependente de cele de la oricare altul si ca ai aceeasi probabilitate 𝑝 de acastiga oricare dintre aceste turnee. Daca 𝑝 = 0.01, cat este cel mai probabilsa trebuiasca sa astepti inainte de castiga primul turneu?

Problema deschisa: In timpul episodului 2 din sezonul 5 al High StakesPoker, Doyle Brunson a primit 𝐾 −𝐾 de doua ori si 𝐽 − 𝐽 o data, in aceeasijumatate de ora. Presupunem ca pereche mare inseamna 10-10, J-J, Q-Q,K-K, sau A-A. Fie 𝑋 numarul de maini pe care le joci pana cand primesti opereche mare, pentru a treia oara. Care este acest numar preconizat de maini ?

Problema deschisa: Multe cazinouri ofera premii pentru evenimente rarenumite jackpot hands. Aceste jackpot hands These jackpot hands sunt definitediferit de fiecare dintre cazinouri in parte. Sa presupunem ca intr-un astfel decazinou sunt definite in asa fel incat ele apar o data la 50, 000 de maini, in medie.Daca in cazinou se joaca aproximativ 10, 000 de maini pe zi, care este valoareaasteptata si deviatia standard a numarului de jackpot hands care apar intr-operioada de a 7 zile?

Problema deschisa: La ultima mana din turneul 1998 WSOP Main Event,cu o masa de 8 ♣ 9 ♦ 9 ♥ 8 ♥ 8 ♠, Scotty Nguyen a mers all-in. In timpce oponentul sau, Kevin McBride, gandea, Scotty a spus, “Daca dai call, s-aterminat, baby !” McBride a spus, “ Dau call. joc masa !” S-a intamplat caScotty sa aibe J ♦ 9 ♣ si a castigat mana. Presupunand ca nu dai niciodatafold in urmatoarele 100 de maini, care este valoarea asteptata a X = numarulde ori, in aceste 100 de maini, in care ai jucat masa, dupa ce toate cele cincicarti sunt afisate?

2

Variabile aleatoare discrete

Distributia Bernoulli 𝑋 ∼ 𝐵𝑒𝑟(𝑝)

∙ cel mai simplu tip de variabila aleatoare discreta, variabila aleatoare Bernoullimodeleaza efectuarea unui experiment ın care poate apare unul dintre cele douarezultate posibile, numite succes, respectiv insucces.

Aruncarea unei monede poate fi modelata printr-o variabila aleatoareBernoulli (convenim spre exemplu ca obtinerea stemei este succes). Atribuindsuccesului valoarea 1 cu probabilitatea 𝑝 ∈ (0, 1) si insuccesului valoarea0 cu probabilitatea 𝑞 = 1− 𝑝 reprezentam variabila aleatoare Bernoulli cuparametrul 𝑝 (probabilitatea obtinerii succesului) sub forma:

𝑋 :

⎛⎝ 0 1

1 − 𝑝 𝑝

⎞⎠�

Exemplu:

Distributia uniforma 𝑋 ∼ 𝒰(𝑛)

Variabila aleatoare uniforma reprezinta modelul matematic ce generalizeazaexperimentul aruncarii unui zar (cazul 𝑛 = 6)

∙ daca un experiment are 𝑛 rezultate egal posibile notate {1, 2, . . . , 𝑛},atunci experimentul poate fi modelat printr-o variabila aleatoare uniforma pemultimea {1, 2, . . . , 𝑛} si va fi de forma:

𝑋 :

⎛⎝1 2 . . . 𝑛

1𝑛

1𝑛 . . . 1

𝑛

⎞⎠Distributia binomiala 𝑋 ∼ 𝐵𝑖𝑛(𝑛, 𝑝)

O variabila aleatoare cu distributie binomiala este modelul adecvat dacaurmatoarele presupuneri sunt adevarate (avem un experiment binomial):

∙ fenomenul modelat este un sir de 𝑛 repetari independente ale aceluiasiexperiment

∙ exista doar doua posibile rezultate la fiecare repetare ( succes - insucces)∙ probabilitatea 𝑝 a unui succes success este aceeasi la fiecare repetareDaca aceste conditii sunt indeplinite atunci variabila aleatoare care contor-

izeaza numarul de succese in 𝑛 incercari ale experimentului binomial se numestevariabila aleatoare binomiala:

𝑋 :

⎛⎝ 0 1 . . . 𝑘 . . . 𝑛

𝑞𝑛 𝐶1𝑛𝑝𝑞

𝑛−1 . . . 𝐶𝑘𝑛𝑝

𝑘𝑞𝑛−𝑘 . . . 𝑝𝑛

⎞⎠3

unde 𝑝 and 𝑞 = 1 − 𝑝 sunt probabilitatile succesului, respectiv esecului la fiecarerepetare.

Distributia geometrica 𝑋 ∼ 𝐺𝑒𝑜(𝑝)

∙ o variabila aleatoare geometrica este modelul adecvat daca intr-un exper-iment binomial contorizam numarul de insuccese pana la primul succes .

𝑋 :

⎛⎝0 1 . . . 𝑘 . . .

𝑝 𝑝(1 − 𝑝) . . . 𝑝(1 − 𝑝)𝑘 . . .

⎞⎠Distributia hipergeometrica 𝑋 ∼ 𝐻𝑖𝑝(𝑁,𝑀,𝑛)

∙ consideram problema extragerii repetate dintr-o cutie ce contine 𝑁 obiecte,din care 𝑀 sunt defecte.

∙ daca extragerile se fac cu ınlocuire (obiectul extras este pus ınapoi ın cutieinainte de extragerea urmatoare), atunci numarul de obiecte defecte extraseın 𝑛 extrageri este o variabila aleatoare binomiala cu parametrii 𝑛 si 𝑝 = 𝑀

𝑁(probabilitatea extragerii unui obiect defect)

∙ daca extragerile se fac fara ınlocuire, atunci probabilitatea extragerii unuiobiect defect nu mai este aceeasi in cele 𝑛 extrageri si deci ın acest caz numarulde obiecte defecte extrase nu mai este o variabila aleatoare binomiala.

=⇒ obtinem o variabila aleatoare avand functia de probabilitate

𝑃 (𝑋 = 𝑘) =

{𝐶𝑘

𝑀𝐶𝑛−𝑘𝑁−𝑀

𝐶𝑛𝑁

, daca 𝑘 ∈ {0, 1, 2, . . . , 𝑛}0, in rest

se numeste distributie hipergeometrica cu parametrii 𝑀,𝑁 si 𝑛.

∙ Legea lui Poisson:

𝑃 (𝑋 = 𝑘) = 𝐶𝑘𝑛𝑝

𝑘𝑞𝑛−𝑘 ≈ 𝜆𝑘

𝑘!𝑒−𝜆, for 𝜆 = 𝑛𝑝

poate aproxima distributia binomiala in cazul in care probabilitatea 𝑝 a succesu-lui in fiecare repetare este mica si numarul de repetari 𝑛 este mare. In practicade obicei 𝑝 < 0, 05 si 𝑛 ≥ 100

Distributia Poisson 𝑋 ∼ 𝑃𝑜(𝜆)

∙ este utilizata pentru a exprima probabilitatea unui numar dat de eveni-mente care apar intr-un interval fix de timp/spatiu, daca evenimentele aparcu o rata medie 𝜆 si sunt independente de timp. Distributia Poisson poate fifolosita si pentru evenimente din alte tipuri intervale: distanta, arie, volum.

4

∙ deoarece repartitia Poisson se intalneste in cazul evenimentelor care seintampla rar (𝑛 mare, 𝑛𝑝 = 𝜆= constant, 𝑝 mic), ea mai poarta denumirea delegea evenimentelor rare.

𝑋 :

⎛⎝ 0 1 . . . 𝑘 . . .

𝑒−𝜆 𝜆1!𝑒

−𝜆 . . . 𝜆𝑘

𝑘! 𝑒−𝜆 . . .

⎞⎠Distributia negativ binomiala 𝑋 ∼ 𝑁𝐵(𝑟, 𝑝)

∙ este adecvata atunci cand avem un experiment binomial in care obervamsirul repetarilor pana cand un numar fixat anterior de esecuri/sau succese 𝑟apar.

∙ atunci numarul de succese 𝑋 (𝑝 este probabilitatea unui succes ) va aveadistributia negativ binomiala (sau Pascal):

𝑋 :

⎛⎝ 0 1 . . . 𝑘 . . .

(1 − 𝑝)𝑟 𝐶11+𝑟−1𝑝(1 − 𝑝)𝑟 . . . 𝐶𝑘

𝑘+𝑟−1𝑝𝑘(1 − 𝑝)𝑟 . . .

⎞⎠∙ in unele cazuri dorim sa contorizam numarul de incercari necesare pentru

a produce al 𝑟-lea succes. Notam acest numar cu 𝑋.

𝑃 (𝑋 = 𝑘) = 𝐶𝑟−1𝑘−1𝑝

𝑟(1 − 𝑝)𝑘−𝑟, 𝑘 = 𝑟, 𝑟 + 1, 𝑟 = 2, . . .

Relatia de mai sus se citeste: ”probabilitatea ca la a 𝑘-a incercare sa obtinemal 𝑟-lea succes este...”

Caracteristici numerice ale variabilelor aleatoare

∙ pentru o variabila aleatoare discreta:

𝑋 :

⎛⎝𝑥𝑖

𝑝𝑖

⎞⎠𝑖∈𝐼

valoarea asteptata sau valoarea medie, 𝐸(𝑋) sau 𝑀(𝑋) e definita ca:

�� = 𝐸(𝑋) = 𝑀(𝑋) =∑𝑖∈𝐼

𝑝𝑖𝑥𝑖

∙ momeneles 𝑀𝑘 si momentele centrate 𝑚𝑘 de ordin 𝑘 sunt definite ca:

𝑀𝑘(𝑋) = 𝑀(𝑋𝑘) =∑𝑖∈𝐼

𝑝𝑖𝑥𝑘𝑖 ,

𝑚𝑘(𝑋) = 𝑀((𝑋 − ��)𝑘) =∑𝑖∈𝐼

𝑝𝑖(𝑥𝑖 − ��)𝑘

∙ varianta sau dispersia e definita ca fiind:

𝑣𝑎𝑟(𝑋) = 𝐷2(𝑋) =∑𝑖∈𝐼

𝑝𝑖(𝑥𝑖 − ��)2

5

iar deviatia standard este:

𝜎(𝑋) =√𝐷2(𝑋)

∙ pentru 𝑋 ∼ 𝐵𝑖𝑛(𝑛, 𝑝) =⇒ 𝑀(𝑋) = 𝑛𝑝 and 𝐷2(𝑋) = 𝑛𝑝(1 − 𝑝)∙ pentru 𝑋 ∈ 𝐵𝑒𝑟(𝑝) =⇒ 𝑀(𝑋) = 𝑝 and 𝐷2(𝑋) = 𝑝(1 − 𝑝)∙ pentru 𝑋 ∈ 𝐺𝑒𝑜(𝑝) =⇒ 𝑀(𝑋) = 1

𝑝 and 𝐷62(𝑋) = 1−𝑝𝑝2

∙ pentru 𝑋 ∈ 𝑃𝑜(𝜆) =⇒ 𝑀(𝑋) = 𝜆 and 𝐷2(𝑋) = 𝜆

∙ pentru 𝑋 ∈ 𝑁𝐵(𝑟, 𝑝) =⇒ 𝑀(𝑋) = 𝑟𝑝 and 𝐷2(𝑋) = 𝑟(1−𝑝)

𝑝2

∙ au loc proprietatile:

𝑀(𝑋 + 𝑎𝑌 ) = 𝑀(𝑋) + 𝑎𝑀(𝑌 )

𝐷2(𝑎𝑋 + 𝑐) = 𝑎2𝐷2(𝑋)

unde 𝑐 este o variabila aleatoare constanta.∙ daca 𝑋 si 𝑌 sunt independente:

𝑀(𝑋𝑌 ) = 𝑀(𝑋)𝑀(𝑌 )

𝐷2(𝑋 + 𝑎𝑌 ) = 𝐷2(𝑋) + 𝑎2𝐷2(𝑌 ).

Functii de variabile aleatoare

∙ densitatea de probabilitate a variabilei aleatoare 𝑌 = 𝑔(𝑋) este:

𝑃𝑌 (𝑦) =∑

𝑥:𝑔(𝑥)=𝑦

𝑃𝑋(𝑥)

∙ valoarea medie este:

𝑀 [𝑌 ] =∑𝑥∈𝑆𝑋

𝑔(𝑥)𝑃𝑋(𝑥)

unde 𝑆𝑋 este multimea valorilor (starilor) variabilei aleatoare 𝑋.

Variabile aleatoare conditionate de un eveniment

∙ pentru un eveniment 𝐵, cu 𝑃 (𝐵) > 0, densitatea de probabilitate condi-tionata de 𝐵 a lui 𝑋 este:

𝑃𝑋|𝐵(𝑥) =

{𝑃𝑋(𝑥)𝑃 (𝐵) ,daca 𝑥 ∈ 𝐵

0 , altfel

aici prin 𝑥 ∈ 𝐵 se intelege: 𝑥 este o valoare a variabilei aleatoare 𝑋 pentru careevenimentul 𝐵 are loc.

∙ valoarea medie conditionata de 𝐵 este:

𝑀 [𝑋|𝐵] =∑𝑥∈𝐵

𝑥𝑃𝑋|𝐵(𝑥)

6

Probleme rezolvate

Problema 1. La ultima mana din turneul 1998 WSOP Main Event, cuo masa de 8 ♣ 9 ♦ 9 ♥ 8 ♥ 8 ♠, Scotty Nguyen a mers all-in. In timp ceoponentul sau, Kevin McBride, gandea, Scotty a spus, “Daca dai call, s-aterminat, baby !” McBride a spus, “ Dau call. joc masa !” S-a intamplatca Scotty sa aibe J ♦ 9 ♣ si a castigat mana. Presupunand ca nu dainiciodata fold in urmatoarele 100 de maini, care este valoarea asteptataa X = numarul de ori, in aceste 100 de maini, in care ai jucat masa,dupa ce toate cele cinci carti sunt afisate?

Solutie:

Problema 2. Trei tragatori trag la o tinta. Variabila aleatoare 𝑋 carenumara de cate ori este atinsa tinta are tabloul de distributie:

𝑋 =

⎛⎝ 0 1 2 3

𝑝2

411𝑝24

14

124

⎞⎠ .

a) Dupa ce aflati valoare lui 𝑝, calculati probabilitatea ca 𝑋 sa ia o valoaremai mica sau egala cu 2.b) Aflati probabilitatea cu care fiecare tragator loveste tinta.

Solutie: a) Suma tuturor probabilitatilor din tabloul de distributie trebuiesa fie 1, deci:

𝑝2

4+

11𝑝

24+

1

4+

1

24= 1 ⇔ 6𝑝2 + 11𝑝− 17 = 0 ⇒ 𝑝 = 1

si apoi avem de calculat probabilitatea:

𝑃 (𝑋 ≤ 2) = 1 − 𝑃 (𝑋 > 2) = 1 − 𝑃 (𝑋 = 3) = 1 − 1

24=

23

24

b) Fie 𝑝1, 𝑝2, 𝑝3 probabilitatea cu care fiecare atinge tinta. Astfel, pentru𝑝 = 1:

𝑋 =

⎛⎝ 0 1 2 3

14

1124

14

124

⎞⎠Dar:

1

4= 𝑃 (𝑋 = 0) = (1 − 𝑝1) (1 − 𝑝2) (1 − 𝑝3)

(deoarece 𝑋 = 0 inseamna: toti tragatorii au ratat tinta)

= 1 − (𝑝1 + 𝑝2 + 𝑝3) + 𝑝1𝑝2 + 𝑝1𝑝3 + 𝑝2𝑝3 − 𝑝1𝑝2𝑝3

11

24= 𝑃 (𝑋 = 1) = 𝑝1 (1 − 𝑝2) (1 − 𝑝3) + 𝑝2 (1 − 𝑝1) (1 − 𝑝3) + 𝑝3 (1 − 𝑝1) (1 − 𝑝2)

(deoarece 𝑋 = 1 inseamna: un tragator a atins tinta si ceilalti au ratat)

= 𝑝1 + 𝑝2 + 𝑝3 − 2 (𝑝1𝑝2 + 𝑝1𝑝3 + 𝑝2𝑝3) + 3𝑝1𝑝2𝑝3

7

1

4= 𝑃 (𝑋 = 2) = 𝑝1𝑝2 (1 − 𝑝3) + 𝑝1𝑝3 (1 − 𝑝2) + 𝑝2𝑝3 (1 − 𝑝1)

= 𝑝1𝑝2 + 𝑝1𝑝3 + 𝑝2𝑝3 − 3𝑝1𝑝2𝑝3

1

24= 𝑃 (𝑋 = 3) = 𝑝1𝑝2𝑝3.

Se obtine astfel sistemul liniar⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩𝑝1 + 𝑝2 + 𝑝3 = 13

12

𝑝1𝑝2 + 𝑝1𝑝3 + 𝑝2𝑝3 = 38

𝑝1𝑝2𝑝3 = 124

care duce la ecuatia:24𝑥3 − 26𝑥2 + 9𝑥− 1 = 0

cu radacinile

𝑝1 =1

2; 𝑝2 =

1

3; 𝑝3 =

1

4.

Problema 3. Variabilele aleatoare independente 𝑋 si 𝑌 au tabloul dedistributie:

𝑋 =

⎛⎝ 1 2 3

0, 1 0, 2 0, 7

⎞⎠ , 𝑌 =

⎛⎝ 4 5 6

0, 4 0, 5 0, 1

⎞⎠ .

Calculati:a) Tabloul de distributie a variabilei 𝑋 + 𝑌,b) Tabloul de distributie a variabilei 𝑋 · 𝑌,c) Tabloul de distributie a variabilei 𝑋2.

Solutie: a) Tabloul de repartitie a lui 𝑋 + 𝑌 este:

𝑋 + 𝑌 :

⎛⎝ 5 6 7 8 9

0, 04 0, 13 0, 39 0, 37 0, 07

⎞⎠ ,

Spre exemplu, cand 𝑋 + 𝑌 = 6 gandim in felul urmator:

𝑃 (𝑋 + 𝑌 = 6) = 𝑃 (𝑋 = 1 si 𝑌 = 5) + 𝑃 (𝑋 = 2 si 𝑌 = 4)

= 𝑃 (𝑋 = 1) · 𝑃 (𝑌 = 5) + 𝑃 (𝑋 = 2) · 𝑃 (𝑌 = 4)

(caci variabilele aleatoare sunt independente)

= 0, 1 · 0, 5 + 0, 2 · 0, 4 = 0, 05 + 0, 08 = 0, 13

b) Tabloul de repartitie a lui 𝑋 · 𝑌 este:

𝑋 · 𝑌 :

⎛⎝ 4 5 6 8 10 12 15 18

0, 04 0, 05 0, 01 0, 08 0, 1 0, 3 0, 35 0, 07

⎞⎠ ,

8

Spre exemplu cand 𝑋 · 𝑌 = 4:

𝑃 (𝑋 · 𝑌 = 4) = 𝑃 (𝑋 = 1 si 𝑌 = 4)

= 𝑃 (𝑋 = 1) · 𝑃 (𝑌 = 4)

= 0, 1 · 0, 4 = 0, 04

din nou folosind independenta 𝑋 si 𝑌 am putut calcula direct 𝑃 (𝑋 = 1 si 𝑌 = 4) = 𝑃 (𝑋 = 1) · 𝑃 (𝑌 = 4).c) Pentru variabila aleatoare 𝑋2 tabloul de repartitie este:

𝑋2 =

⎛⎝ 1 4 9

0, 1 0, 2 0, 7

⎞⎠ .

In general pentru o functie 𝑔 tabloul de repartitie a lui 𝑌 := 𝑔(𝑋) poate fialcatuit folosind formula:

𝑃 (𝑌 = 𝑦) =∑

𝑥: 𝑔(𝑥)=𝑦

𝑃 (𝑋 = 𝑥)

adunand asadar toate probabilitatile 𝑃 (𝑋 = 𝑥) pentru acele valori 𝑥 cu propri-etatea 𝑔(𝑥) = 𝑦. In exemplul de mai sus functia 𝑔(𝑥) = 𝑥2 este injectiva pentruargumente pozitive si astfel suma din formula va contine exact un termen defiecare data. De exemplu:

𝑃 (𝑌 = 4) =∑

𝑥: 𝑥2=4

𝑃 (𝑋 = 𝑥) = 𝑃 (𝑋 = 2) = 0, 2

Problema 4. There are 3 traffic barriers along a street. The proba-bility that a car which drives along that street finds any of these threebarriers open is 𝑝 = 0, 8. We suppose that any of these barriers workindependently. Compute:a) The distribution series of the random variable which counts the numberof barriers passed until the first closed barrier met.b) Find its cummulative distributionn function.c) Which is the expected number of barriers found open before the car hasto stop in front of a closed one?

Solution: a) Notam cu 𝑋 variabila aleatoare cautat, care va avea tabloul derepartitie:

𝑋 =

⎛⎝ 0 1 2 3

𝑝0 𝑝1 𝑝2 𝑝3

⎞⎠ ,

unde 𝑝𝑘 = 𝑃 (𝑋 = 𝑘), 𝑘 = 0, 1, 2, 3. Prin modul in care am definit variabilaaleatoare se obtine:

𝑝0 = 𝑃 (𝑋 = 0) = 0, 2

𝑝1 = 𝑃 (𝑋 = 1) = 0, 8 · 0, 2 = 0, 16

9

𝑝2 = 𝑃 (𝑋 = 2) = 0, 8 · 0, 8 · 0, 2 = 0, 128

𝑝3 = 𝑃 (𝑋 = 3) = 0, 8 · 0, 8 · 0, 8 = 0, 512

Prin urmare:

𝑋 =

⎛⎝ 0 1 2 3

0, 2 0, 16 0, 128 0, 512

⎞⎠ .

b) Pentru 𝑥 < 0 obtinem 𝐹 (𝑥) := 𝑃 (𝑋 ≤ 𝑥) = 0 pentru ca in intervalul(−∞, 0) nu exista valori ale lui 𝑋.

Cand 0 ≤ 𝑥 < 1 se obtine:

𝐹 (𝑥) = 𝑃 (𝑋 ≤ 𝑥) = 𝑃 (𝑋 = 0) = 0, 2.

Cand 1 < 𝑥 ≤ 2 se obtine:

𝐹 (𝑥) = 𝑃 (𝑋 ≤ 𝑥) = 𝑃 (𝑋 = 0) + 𝑃 (𝑋 = 1)

= 0, 2 + 0, 16 = 0, 36.

Cand 2 < 𝑥 ≤ 3 se obtine:

𝐹 (𝑥) = 𝑃 (𝑋 ≤ 𝑥) = 𝑃 (𝑋 = 0) + 𝑃 (𝑋 = 1) + 𝑃 (𝑋 = 2) = 0, 2 + 0, 16 + 0, 128 = 0, 488.

In final, pentru 𝑥 > 3 avem 𝐹 (𝑥) = 1.Functia de distributie a lui 𝑋 este:

𝐹 (𝑥) =

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

0 , 𝑥 < 0

0, 2 , 0 ≤ 𝑥 < 1

0, 36 , 1 ≤ 𝑥 < 2

0, 488 , 2 ≤ 𝑥 < 3

1 , 3 ≤ 𝑥

.

Remarca: Uneori functia de distributie este definita ca 𝐹 (𝑥) := 𝑃 (𝑋 < 𝑥),atunci rezultatul de mai sus arata putin diferit pentru ca va trebui sa analizamcazurile: 𝑘 < 𝑥 ≤ 𝑘 + 1.

c) Soferul se asteapta sa gaseasca 2 bariere deschise deoarece valoare astep-tata (media) lui 𝑋 este 𝑀(𝑋) = 0 · 0, 2 + 1 · 0, 16 + 2 · 0, 128 + 3 · 0, 512 ≈ 1.95

Problema 5. Pe internet datele sunt transmise in pachete. Intr-unmodel simplist pentru traficul World Wide Web, numarul de pachete 𝑁necesare pentru a transmite o pagina web depinde de faptul ca paginapoate sa contina sau nu imagini. Daca pagina contine imagini (eveni-mentul 𝐼), atunci 𝑁 este uniform distribuit intre 1 si 50 pachete. Dacapagina nu are decat text (evenimentul 𝑇 ), atunci N este uniform distribuitintre 1 si 5 pachete.Presupunand ca o pagina are imagini cu o probabilitate 1

4 , aflati:a) densitatea de probabilitate conditionata 𝑃𝑁 |𝐼(𝑛)b) densitatea de probabilitate conditionata 𝑃𝑁 |𝑇 (𝑛)c) densitatea de probabilitate 𝑃𝑁 (𝑛)d) densitatea de probabilitate conditionata 𝑃𝑁 |𝑁≤10(𝑛)e) valoarea medie conditionata 𝑀 [𝑁 |𝑁 ≤ 10]

10

Solutie: a) Evenimentul I are o probabilitate de aparitie de 14 iar variabila

aleatoare 𝑁 este in acest caz uniform distribuita intre 1 si 5 =⇒

𝑃𝑁 |𝐼 :

⎛⎝ 1 2 3 . . . 50

150

150

150 . . . 1

50

⎞⎠b) Analog cazului anterior acum 𝑃𝑁 |𝑇 este uniform distribuita intre 1 si 50

deci:

𝑃𝑁 |𝑇 :

⎛⎝1 2 3 4 5

15

15

15

15

15

⎞⎠c) pentru a determina densitatea de probabilitate a lui 𝑁 folosim formula

probabilitatilor totale caci daca vom considera evenimentul 𝑁 = 𝑛 (adica sunttransmise 𝑛 pachete pentru a transmite intreaga pagina) atunci acesta se poaterealiza cand ambele ipoteze 𝐼, 𝑇 au loc, deci

𝑃 (𝑁 = 𝑛) = 𝑃𝑁 (𝑛) = 𝑃 (𝐼) · 𝑃𝑁 |𝐼(𝑛) + 𝑃 (𝑇 ) · 𝑃𝑁 |𝑇 (𝑛)

obtinem astfel:

𝑃𝑁 (𝑛) =

⎧⎪⎨⎪⎩31200 daca 1 ≤ 𝑛 ≤ 51

200 daca 6 ≤ 𝑛 ≤ 50

0, in rest

caci 𝑃 (𝐼) = 14 , 𝑃 (𝑇 ) = 3

4 si 𝑃𝑁 |𝑇 (𝑛) = 0 pentru 𝑛 ≥ 6.

d) Intai determinam probabilitatea evenimentului 𝑁 ≤ 10 (adica e nevoiede mai putin de 10 pachete pentru a transmite pagina):

𝑃 (𝑁 ≤ 10) = 𝑃 (𝑁 = 1) + 𝑃 (𝑁 = 2) + . . . 𝑃 (𝑁 = 10) = 5 · 31

200+ 5 · 1

200=

4

5

Acum putem sa determinam tabloul de repartitie al variabilei aleatoare𝑁 |𝑁 ≤ 10 (adica acea variabila care numara cate pachete sunt necesare pentrua transmite pagina daca e nevoie de cel mult 10 pachete). Pentru a determinaacest tablou putem folosi formula:

𝑃𝑋|𝐸(𝑥) =

{𝑃𝑋(𝑥)𝑃 (𝐸) , daca 𝑥 ∈ 𝐸

0 , altfel

In aceasta formula prin 𝑥 ∈ 𝐸 intelegem valoarea 𝑥 a variabilei aleatoare𝑋 este o valoare pentru care evenimentul are loc ! Asadar in cazul nostru𝑥 ∈ {1, 2, . . . 10}

𝑃𝑁 |𝑁≤10(𝑛) =

{𝑃𝑁 (𝑛)

𝑃 (𝑁≤10) , cand 1 ≤ 𝑛 ≤ 10

0, altfel

caci daca stim ca e nevoie de cel mult 10 pachete variabila 𝑁 |𝑁 ≤ 10 va aveadoar valorile 1, 2, . . . , 10.

11

Prin urmare:

𝑃𝑁 |𝑁≤10(𝑛) =

⎧⎪⎨⎪⎩31160 , cand 1 ≤ 𝑛 ≤ 51

160 , cand 6 ≤ 𝑛 ≤ 10

0, altfel

e) Valoarea medie ceruta este:𝑀 [𝑁 |𝑁 ≤ 10] = 1 · 31

160 + 2 31160 + . . . + 5 31

160 + 6 · 1160 + 7 1

160 + . . . + 10 1160

12

Probleme propuse

Problema 1. Dintr-un lot de 100 de piese, dintre care o 10 sunt defecte, se alegela intamplare un esantion de 5 piese pentru un control de calitate. Construititabloul de repartitie a variabilei aleatoare 𝑋 care contorizeaza piesele defectecontinute in esantion.

Problema 2. O masina intalneste 4 semafoare inteligente in calea sa. Fiecareva avea culoarea rosie sau verde cu probabilitatea 0.5. Afisati tabloul de reparti-tie a variabilei aleatoare care numara semafoarele depasite de aceasta masina in-ainte de prima sa oprire. Aflati functia de repartitie a acestei variabile aleatoare.

Problema 3. Intr-un spital nasterile apar aleator cu o rata medie de 1.8 nasteripe ora. Care este probabilitatea de a observa 4 nasteri intr-o anumita ora la acelspital ? Care este probabilitatea de a observa intre 4 si 7 nasteri intr-o anumitaora? Care este probabilitatea de a observa cel putin o nastere intr-un intervalde o ora fixat ?

Problema 4. It is known that 3% of the circuit boards from a production line aredefective. If a random sample of 120 circuit boards is taken from this productionline estimate the probability that the sample contains:

i) Exactly 2 defective boards.

ii) At least 2 defective boards.

Problema 5. The Sixers and the Celtics play a best out of five playoff series.The series ends as soon as one of the teams has won three games. Assume thateither team is equally likely to win any game independently of any other gameplayed. Find

(a) ThePMF PN (n) for the total number N of games played in the series;(b) The PMF PW(w) for the number W of Celtic wins in the series;(c) ThePMF PL (l) for the number L of Celtic losses in the series.

Problema 6. An automatic line in a state of normal adjustment can producea defective item with probability 𝑝. The readjustment of the line is made imme-diately after the first defective item has been produced. Find the average numberof items produced between two readjustments of the line.

Problema 7. Pentru doua variabile independente:

𝑋 :

⎛⎝0 1 2 3

18

38

28

28

⎞⎠si:

13

𝑌 :

⎛⎝0 1 2

12

14

14

⎞⎠calculati 𝑋 +𝑌, 2𝑋, 𝑀(𝑋) si apoi aratati ca 𝑀(𝑋𝑌 ) = 𝑀(𝑋)𝑀(𝑌 ). Calculati𝐷2(𝑋 + 2𝑌 ) si 𝑃 (2 < 𝑋 + 2𝑌 ≤ 5).

Problema 8. Un student trebuie sa completeze un test grila consistand din douaprobleme, cu raspunsuri unice. Prima problema are 3 raspunsuri posibile si adoua are 5. Studentul alege la intamplare cate un raspuns pentru fiecare prob-lema. Gasiti numarul asteptat 𝑀(𝑋) de raspunsuri corecte 𝑋 ale studentului.Evaluati dispersia 𝐷2(𝑋). Generalizati problema.

Problema 9. Numarul de apeluri care sosesc intr-un interval de un minut lareceptia unui hotel este o variabila Poisson de parametru 𝜆 = 3.

(a) Aflati probabilitatea ca niciun apel sa soseasca intr-o anumita perioadade 1 minut.

(b) Gasiti probabilitatea ca receptia sa primeasca cel putin 3 apeluri intr-uninterval anume de doua minute.

(c) Care este numarul asteptat de apeluri intr-o perioada de 1 minut ?

Problema 10. In urma testarii a doua dispozitive, 𝐴 si 𝐵, se estimeaza proba-bilitatea ca acestea sa emita un zgomot nedorit, a carui intensitate este evaluatape trei nivele:

Nivel zgomot 1 2 3

Dispozitiv A 0.20 0.06 0.04

Dispozitiv B 0.06 0.04 0.10

Folosind acest tabel selectati dispozitivul mai bun. Justificati!

Problema 11. Notam prin 𝑋, timpul exprimat in minute intregi, pe care tre-buie sa-l astepti dupa un autobuz care sosesete din 20 in 20 de minute. Pre-supunem ca autobuzul nu a sosit in primele 10 minute. Care este acum densi-tatea de probabilitate a timpului tau de asteptare ? In cat timp este de asteptatca autobuzul sa soseasca ?

Indicatie: pentru v.a 𝑋 avem:

𝑃𝑋(𝑥) =

{120 , 𝑥 = 1, 2 . . . , 20,

0 , altfel

si cautam o variabila aleatoare conditionata de evenimentul specificat in prob-lema.

Problema 12. Variabila aleatoare 𝑋 reprezinta numarul de pagini transmiseprin fax. Din experienta avem un model de probabilitate 𝑃𝑋(𝑥) pentru numarulde pagini transmise in fiecare fax. Compania de telefonie mobila iti ofera un nouplan tarifar pentru faxuri: 0.10 $ pentru prima pagina, 0.09 $ pentru a doua,etc., pana la 0.06 $ pentru a cincea. Pentru faxuri cu lungime cuprinsa intre6 si 10 pagini, compania taxeaza cu 0.50 $ per fax. (Nu accepta faxuri mailungi zece pagini.) Gasiti o functie 𝑌 = 𝑔(𝑋) pentru tariful, exprimat in centi,perceput pentru transmiterea unui fax.

14

Problema 13. In the previous problem you would like a probability model 𝑃𝑌 (𝑦)for your phone bill under the new charging plan. Suppose the probability modelfor the number of pages X of a fax is:

𝑃𝑋(𝑥) =

⎧⎪⎨⎪⎩0.15 , if 𝑥 = 1, 2, 3, 4

0.10 , if 𝑥 = 5, 6, 7, 8

0 , otherwise

For the pricing plan given in problema 12, what is 𝑃𝑌 (𝑦) and expected value of𝑌 , the cost of a fax?

Problema 14. Select integrated circuits, test them in sequence until you findthe first failure, and then stop. Let N be the number of tests. All tests areindependent with probability of failure 𝑝 = 0.1. Consider the condition 𝐵 =𝑁 ≥ 20.

(a) Find the PMF 𝑃𝑁 (𝑛).(b) Find 𝑃𝑁 |𝐵(𝑛), the conditional PMF of N given that there have been 20

consecutive tests without a failure.(c) What is 𝐸[𝑁 |𝐵], the expected number of tests given that there have been

20 consecutive tests without a failure?

Problema 15. Every day you consider going jogging. Before each mile, includ-ing the first, you will quit with probability 𝑞, independent of the number of milesyou have already run. However, you are sufficiently decisive that you never runa fraction of a mile. Also, we say you have run a marathon whenever you runat least 26 miles.

(a) Let M equal the number of miles that you run on an arbitrary day. Whatis 𝑃 [𝑀 > 0]? Find the PMF 𝑃𝑀 (𝑚).

(b) Let r be the probability that you run a marathon on an arbitrary day.Find r .

(c) Let J be the number of days in one year (not a leap year) in which yourun a marathon. Find the PMF 𝑃𝐽(𝑗). This answer may be expressed in termsof r found in part (b).

(d) Define 𝐾 = 𝑀 − 26. Let A be the event that you have run a marathon.Find 𝑃𝐾|𝐴(𝑘).

15