lit

19 Transmisii Melc-Roată Melcată cu Melc Cilindric

19.1 INTRODUCERE

Există două tipuri de angrenaje melcate: (i) cele cu melci cilindrici (Fig.19.1.1.) (angrenaje

melcate simplu înfăşurate) şi (ii) cele care sunt cu melci globoidali (a se vedea capitolul 20) (angrenaje

melcate dublu înfăşurate). Termenii de “simplu înfăşurat” şi “dublu înfăşurat” sunt confuzi, deoarece, în

ambele cazuri, suprafaţa flancului dintelui roţii melcate este înfăşurătoarea unei familii monoparametrice a

suprafeţei spirelor melcului, care sunt generate în sistemul de coordonate legat rigid de roata melcată.

Suprafaţa spirelor melcului cilindric este un elicoid (se reaminteşte că un elicoid este suprafaţa generată de

către o curbă dată în timp ce execută o mişcare de şurub).

Acest capitol cuprinde (i) generarea şi geometria melcilor şi (ii) problemele constructive de bază

(relaţii dintre parametrii constructivi). Depinzând de metoda de generare, în continuare se vor deosebi

următoarele tipuri ale melcilor cilindrici (a se vedea standardele germane DIN 3975):

(i) Melci ZA, cu suprafaţă A. Suprafaţa melcului este o suprafaţă riglată, care este generată de

către o linie dreaptă, în timp ce, aceasta efectuează o mişcare de şurub în raport cu axa

melcului. Linia generatoare intersectează axa melcului şi, de aceea, secţiunea axială a

melcului este o linie dreaptă, care este chiar linia generatoare. Secţiunea transversală a

melcului ZA este o spirală Arhimede (a se vedea Secţiunea 19.4).

(ii) Melci ZN, cu suprafaţă N. Suprafaţa melcului este de asemenea o suprafaţă riglată. Cu toate

acestea, linia generatoare este situată într-un plan, care trece prin perpendiculara la axa

melcului şi formează unghiul cu axa melcului (a se vedea Secţiunea 19.5). Aici este

unghiul elicei pe cilindrul de divizare al melcului. Secţiunea transversală a melcului este o

evolventă alungită (a se vedea Secţiunea 19.5).

(iii) Melci ZI (ZE), cu suprafaţă I (E). Suprafaţa melcului este un elicoid evolventic, care poate fi

considerat un caz particular al unei suprafeţe riglate. O astfel de suprafaţă poate fi generată

de către o linie dreaptă care efectuează o mişcare de şurub, în jurul axei melcului şi este

tangentă la elicea de pe cilindrul de bază al melcului. Secţiunea transversală a suprafeţei

melcului este o curbă evolventă. Melcul ZI (ZE) este identic cu un pinion cu dinţi înclinaţi,

al cărui număr de dinţi este numărul de începuturi al melcului.

(iv) Melci ZK, cu suprafaţă K. Suprafaţa melcului nu este o suprafaţă riglată, ci o înfăşurătoare a

familiei de suprafeţe conice. O astfel de familie de suprafeţe este generată de către un con

652

(suprafaţa sculei) care efectuează o mişcare de şurub în jurul axei melcului (a se vedea

Secţiunea 19.7).

(v) Melci Flender, cu suprafaţă convex-concavă (CC). Din nou, suprafaţa melcului nu este o

suprafaţă riglată, ci înfăşurătoarea familiei suprafeţelor generatoare. Suprafaţa generatoare

este o suprafaţă de revoluţie şi secţiunea ei axială este un arc de cerc. Familia suprafeţelor

generatoare este formată de către mişcarea de şurub, a sculei, în jurul axei melcului.

Fig.19.1.1. Roată melcată cu melc cilindric.

Angrenajele melcate sunt sensibile faţă de erorile de montaj (la schimbarea distanţei dintre axe, a

unghiului dintre arborii transmisiei, şi la deplasarea axială a roţii melcate), care are ca rezultat deplasarea

contactului de portanţă, până la contactul de muchie şi cauzează o funcţie pseudoliniară, pe porţiuni a

erorilor de transmitere. Frecvenţa erorilor de transmitere este aceeaşi cu ciclul de angrenare a unei perechi

de dinţi. Un contact de portanţă mai stabil al angrenajului melc roată melcată şi o funcţie a erorilor de

transmitere mai favorabilă, poate fi obţinută printr-o diferenţă corespunzătoare a suprafeţelor melcului şi

frezei melc pentru danturarea roţii melcate.

19.2 SUPRAFEŢELE DE DIVIZARE ŞI RAPORTUL DE TRANSMITERE

Se reaminteşte că, în cazul transformării mişcării între axe încrucişate, mişcarea relativă este una

elicoidală şi axoidele sunt hiperboloizi de revoluţie. Aceasta nu este comun suprafeţelor de divizare ale

angrenajului melc-roată melcată şi axoidelor. Scopul aplicării acestor suprafeţe de divizare este pentru a

da prin sinteză un punct mediu de contact al suprafeţelor melcului şi roţii melcate. În continuare, se va

face deosebire între suprafeţe de divizare ordinare şi suprafeţe de divizare de funcţionare. În cazul

suprafeţelor de divizare ordinare cilindrii încrucişaţi sunt cilindrii de divizare, ai melcului şi roţii melcate.

Figura 19.2.1(a) arată cilindri de divizare de funcţionare ai melcului şi roţii melcate. Axele şi ,

ale acestor cilindrii formează unghiul de încrucişare iar distanţa dintre ele este [Fig.19.2.1(a) şi

Fig.19.2.1(b)]. Unghiul este măsurat în sens orar, de la la Cilindrii de divizare de funcţionare

653

sunt tangenţi în punctul . Se presupune că, melcul este localizat deasupra roţii melcate. Intersecţia

cilindrilor respectivi cu suprafaţa spirelor melcului şi cu suprafaţa flancurilor dinţilor roţii melcate,

reprezintă o elice pe cilindru; tangenta comună a ambilor cilindri este ; versorul tangentei este iar

este unghiul de pantǎ pe cilindrul de divizare de funcţionare. Figura 19.2.1.(a) corespunde cazului

Fig.19.2.1: Ilustrarea (a) cilindrilor de divizare de funcţionare ai melcului roţii melcate şi (b) elicea melcului.

când melcul şi roata melcată sunt de sens dreapta. Direcţia elicei melcului este ilustrată în figura 19.2.1.

(b); tangenta este trasată în punctul al elicei, localizată pe partea interioară a cilindrului melcului.

Scopul constă în reprezentarea raportului de transmitere al angrenajului melcat, considerând că,

cilindrii de divizare de funcţionare sunt tangenţi în punctul , iar datele de intrare sunt: şi Se

poate considera că, direcţia şi mărimea lui sunt alese şi se va determina mărimea şi direcţia lui

considerând că, linia de acţiune a lui este axa de rotaţie a roţii melcate.

Se consideră un sistem de coordonate fix, , unde este axa de rotaţie a melcului.

Punctele şi ale cilindrilor de divizare de funcţionare, respectivi, coincid, fiecare, cu punctul .

Vitezele punctelor, şi sunt reprezentate de către ecuaţiile:

654

(19.2.1)

unde, şi

Vitezele şi sunt situate în planul care este perpendicular pe ax acest plan este

tangent la cilindri de divizare de funcţionare în punctul . Astfel există:

(19.2.2)

unde, este versorul axei

Pentru a determina raportul de transmitere, se poate folosi una din următoarele două ecuaţii:

(19.2.3)

sau,

(19.2.4)

unde,

(19.2.5)

Vectorul situat în planul este perpendicular pe [Fig.19.2.1(a)]. Indicele inferior, , arată

că, vectorii introduşi sunt reprezentaţi în Ecuaţia (19.2.3) rezultă din faptul că, viteza relativă (de

alunecare), în punctul , este coliniară cu Ecuaţia (19.2.4) arată că:

(19.2.6)

deoarece este perpendicular pe

Pentru celelalte deduceri se vor utiliza ecuaţiile: (19.2.1); (19.2.4) şi (19.2.5), din care rezultă:

(19.2.7)

Pentru cazul când este pozitiv şi are aceeaşi direcţie cu [Fig.19.2.1(b)]. Semnul

negativ pentru când , arată că, în acest caz, este opus faţă de Ecuaţia (19.2.7) nu poate fi

satisfăcută pentru cazul când deoarece, elicea de pe cilindrul de divizare de funcţionare a roţii

melcate devine un cerc, iar

Ecuaţia (19.2.7) permite reprezentarea raportului de transmitere în modul următor:

(cu condiţia ca, ). (19.2.8)

Aici, semnul superior corespunde cazului când iar cel inferior corespunde cazului când

655

Ecuaţiile: (19.2.3) şi (19.2.4), pot fi interpretate geometric, cu poligonul vitezelor, care este arătat

în figura 19.2.2. Desenul confirmă că, viteza de alunecare este coliniară cu iar proiecţiile lui şi

pe au aceeaşi mărime şi direcţie.

Figura 19.2.3 arată cilindrii de divizare de funcţionare, pentru un melc şi o roată melcată de sens

stânga. Deduceri similare, ca acelea discutate mai sus, oferă următorul raport de transmitere:

(19.2.9)

Mărimea lui este considerată ca o valoare pozitivă. Deducerile oferă că, pentru direcţia aleasă a

lui (Fig.19.2.3), vectorul este opus lui

Poligonul vitezelor este ilustrat în figura 19.2.4. În cel mai comun caz, unghiul de încrucişare este

iar

(19.2.10)

Fig.19.2.2: Poligonul vitezelor pentru angrenajul melc-roată melcată de sens dreapta.

656

Fig.19.2.3: Cilindrii de divizare de funcţionare pentru angrenajul melc-roată melcată de sens stânga.

Fig.19.2.4: Poligonul vitezelor pentru angrenajul melc-roată melcată de sens stânga.

657

Este, de asemenea, posibil, de a exprima raportul de transmitere, care este definit de către ecuaţiile:

(19.2.8); (19.2.9) şi (19.2.10), în termenii care reprezintă numărul de începuturi ale melcului şi numărul

de dinţi ai roţii melcate [a se vedea ecuaţia (19.3.11)].

19.3 PARAMETRII CONSTRUCTIVI ŞI RELAŢIILE LOR

Diametrul de divizare al melcului, unghiul elicei şi pasul axial

Figura 19.3.1(a) ilustrează diametrul de divizare al cilindrului de divizare ordinar; este distanţa

axială între două spire vecine ale melcului, care este măsurată de-a lungul generatoarei cilindrului de

divizare. Se va simboliza cu raportul .

Fig.19.3.1. Cilindrul de divizare (a) în spaţiul 3D şi (b) desfăşurat într-un plan.

Diametrul de divizare al melcului poate fi ales astfel:

(19.3.1)

Valoarea q depinde de numărul , al începuturilor melcului şi numărul al dinţilor roţii melcate

şi poate fi ales după urătoarea recomandare. .

Se desfăşoară cilidrul de divizare pe un plan. [Fig.19.3.1(b)]. Elicea, pentru fiecare spiră a

melcului este reprezentată de către o linie dreaptă. Distanţa dintre liniile drepte învecinate este

658

(19.3.2)

unde, este numărul de începuturi ale melcului, iar H este pasul elicei. Considerând cunoscute şi ,

se poate determina unghiul elicei pe cilindrul de divizare după următoarea ecuaţie [Fig.19.3.1(b)]:

(19.3.3)

Unghiul elicei pe cilindrul de divizare de funcţionare

Unghiurile elicelor, pe cilindrul de divizare de funcţionare şi pe cilindrul de divizare ordinar se află

în următoarea relaţie:

(19.3.4)

unde, este parametrul elicoidal.

Ecuaţiile: (19.3.3) şi (19.3.4), oferă:

(19.3.5)

unde, este raza aleasă a cilindrului de divizare de funcţionare.

Diferenţa dintre şi afectează forma liniilor de contact dintre suprafeţele spirelor melcului şi

suprafeţele flancurilor dinţilor roţii melcate.

Relaţia dintre paşii melcului şi roţii melcate

Se menţionează că, se consideră, acum, paşii melcului şi roţii melcate pe cilindrul de divizare de

funcţionare (Fig.19.3.2). Secţiunea axială a doi dinţi învecinaţi reprezintă două curbe paralele. De aceea,

pasul axial al melcului, , este acelaşi, pentru cilindrul de divizare al melcului şi cilindrul de divizare de

funcţionare. Pasul normal, , este acelaşi, pentru melc şi roata melcată şi este reprezentat de către

ecuaţia:

Pasul transversal al roţii melcate, este reprezentat de către ecuaţia (Fig.19.3.2):

(cu condiţia ca ), (19.3.6)

unde, este unghiul elicei roţii melcate pe cilindrul de divizare de funcţionare al roţii melcate; semnul

659

superior corespunde cazului când iar cel inferior, corespunde pentru

Ecuaţia (19.3.6) furnizează semnul pozitiv pentru Similar, deducerea pentru melcul şi roata

melcată de sens stânga, oferă:

(19.3.7)

Fig.19.3.2: Cilindrii de divizare de funcţionare ai melcului şi roţii melcate.

Este evident, că pentru cazul unui angrenaj melc-roată melcată, ortogonal se obţine

Raza cilindrului de divizare de funcţionare a roţii melcate

Se are în vedere că,

(19.3.8)

Ecuaţiile: (19.3.6); (19.3.7) şi (19.3.8), oferă următoarele:

(i) este reprezentată pentru melcul şi roata melcată de sens dreapta, astfel:

(cu condiţia ). (19.3.9)

Semnul superior corespunde cazului când iar semnul inferior, corespunde pentru

cazul când

660

(ii) Pentru melcul şi roata melcată de sens stânga, rezultă:

(19.3.10)

Reprezentarea lui în termenii şi

Raportul de transmitere al angrenajului a fost reprezentat, pentru melcul şi roata melcată de sens

dreapta şi stânga, prin ecuaţiile; (19.2.8) şi, respectiv, (19.2.9). Ecuaţiile: (19.2.8); (19.2.9); (19.3.9) şi

(19.3.10), oferă:

(19.3.11)

Distanţa dintre axe

Distanţa , dintre axele, melcului şi roţii melcate este:

(19.3.12)

unde

(19.3.13)

Iar, este reprezentat prin ecuaţiile (19.3.9), sau (19.3.10).

Pentru cazul când iar cilindrii de divizare de funcţionare coincid cu cilindrii de divizare

ordinari, se obţine:

(19.3.14)

Relaţiile dintre unghiurile de profil în secţiunile axiale, normale şi transversale

Se consideră secţiunile, transversală, normală şi axială ale suprafeţei melcului. Secţiunea

transversală este obţinută prin tăierea suprafeţei de către un plan [Fig.19.3.3(a)]. Secţiunea axială este

obţinută prin tăierea suprafeţei de către un plan [Fig.19.3.3(d)]. Figura 19.3.3(b) arată versorul

tangentei la o elice de pe cilindrul de divizare, în punctul al elicei. Secţiunea normală [Fig.19.3.3(c)]

este obţinută prin tăierea suprafeţei de către un plan , care trece prin axa şi este perpendicular pe

vectorul [Fig.19.3.3(b)]. Secţiunea normală este arătată în figura 19.3.3(c) şi versorul tangentei la profil

în punctul este

Versorul normalei la suprafaţă, în , este reprezentat astfel:

661

(19.3.15)

unde,

(19.3.16)

iar este unghiul elicei pe cilindrul de divizare.

Ecuaţiile: (19.3.15) şi (19.3.16) oferă:

(19.3.17)

Proiecţiile versorului normalei sunt arătate în figura 19.3.3. Orientarea tangentelor la profiluri, în

secţiunile, transversale, normale şi axiale, sunt reprezentate de către unghiurile: şi, respectiv,

Fig.19.3.3: Secţiunile suprafeţei melcului: (a) secţiunea transversală a dintelui; (b) cilindrul de divizare al melcului în spaţiul 3D; (c) secţiunea cilindrului de divizare printr-un plan ; (d) secţiunea axială a dintelui melcului.

Este evident, după figura 19.3.3, că,

662

Astfel,

(19.3.18)

Ecuaţia (19.3.18) exprimă relaţia dintre unghiurile în secţiunile, normală, transversală şi axială.

Se consideră, acum, cazul particular al unui melc evolventic. Se poate exprima raza a

cilindrului de bază, al unui melc evolventic, în funcţie de parametrul elicoidal , unghiul elicei pe

cilindrul de divizare şi unghiul profilului axial Deducerile sunt bazate pe următoarele consideraţii:

(19.3.19)

Ecuaţia (19.3.18) oferă:

(19.3.20)

Raza cilindrului de bază este reprezentată astfel:

(19.3.21)

Ecuaţiile: (19.3.20) şi (19.3.21), oferă următoarea expresie finală pentru

(19.3.22)

19.4 GENERAREA ŞI GEOMETRIA MELCILOR ZA

Melcul este generat de către un cuţit, care are profilul o linie dreaptă (Fig.19.4.1). Muchia

aşchietoare a cuţitului este reglată în secţiunea axială a melcului. În continuare, se consideră două linii

generatoare şi , care generează suprafeţele flancurilor şi, respectiv , în spaţiul melcului

(Fig.19.4.2). Liniile generatoare sunt reprezentate în sistemul de coordonate care este conectat rigid la

cuţit. Respectivele surafeţe, ale ambelor flancuri ale spirei melcului, sunt generate în timp ce, sistemul

execută mişcarea elicoidală în jurul axei melcului (Fig.19.4.3). Suprafaţa generată este reprezentată în

sistemul de coordonate de către ecuaţia matriceală:

. (19.4.1)

Aici, sistemul de coordonate este conectat rigid la melc; este unghiul de rotaţie în mişcarea

elicoidală; determină locaţia unui punct curent, pe linia generatoare şi este măsurat de la punctul de

663

intersecţie a liniei generatoare cu axa Astfel, pentru punctul curent , al liniei generatoare

stânga . Similar, , pentru punctul curent , al liniei generatoare dreapta . .

Versorul normalei la suprafaţă, este reprezentat în sistemul de coordonate , de către ecuaţia:

(19.4.2)

unde

Fig.19.4.1. Reglarea cuţitului pentru generarea unui melc Arhimede.

Fig.19.4.2. Geometria cuţitului cu profil rectiliniu.

Semnul superior trebuie să fie ales cu condiţia ca versorul normalei la suprafaţă să fie direcţionat

către spira melcului.

Matricea este reprezentată prin ecuaţia (Fig.19.4.3):

(19.4.3)

664

În expresia (19.4.3), este parametrul elicoidal, care este considerat ca o valoare aritmetică

Semnele, superior şi inferior, pentru , corespund cazului când sunt generaţi, melci de sens

dreapta, respectiv, melci de sens stânga. Figura 19.4.3 arată generarea unui melc de sens dreapta.

Suprafeţele flancurilor şi , pentru melcii de sens dreapta şi de sens stânga, sunt generate de către linia

generatoare şi, respectiv de linia generatoare .

Fig.19.4.3. Transformarea de coordonate în cazul mişcării elicoidale.

Utilizând ecuaţiile: (19.4.1) şi (19.4.2), se pot reprezenta ecuaţiile suprafeţei şi versorul normalei la

suprafaţă, pentru ambele flancuri ale spirei melcului, în sistemul de coordonate astfel:

(i) Suprafaţa flancului , la melcul de sens dreapta:

(19.4.4)

Versorul normalei este:

(cu condiţia ca, ), (19.4.5)

unde

Se reaminteşte că, parametrul este măsurat de-a lungul liniei generatoare , de la punctul

al intersecţiei acestei linii cu axa (Fig.19.4.2). Parametrul constructiv, ,

665

este egal cu lăţimea axială a golului melcului în secţiunea axială. Pentru angrenajele

standard se aplică:

(19.4.6)

unde este pasul diametral axial.

(ii) Suprafaţa flancului , la melcul de sens dreapta:

(19.4.7)

Versorul normalei la suprafaţă este:


unde,

(iii) Suprafaţa flancului , la melcul de sens stânga:

(19.4.9)



unde,

(iv) Suprafaţa flancului , la melcul de sens stânga:

(19.4.11)


666


unde,

Problema 19.4.1

Suprafaţa melcului este reprezentată prin ecuaţiile (19.4.7). Se consideră secţiunea axială a lui

ca intersecţie a lui cu planul Ecuaţiile (19.4.7), cu furnizează două soluţii:

(i) Să se deducă ecuaţiile a două secţiuni axiale ca, şi

(ii) Să se determine coordonatele şi , pentru punctul de intersecţie al respectivelor secţiuni

axiale cu clindrul de divizare de rază .

Soluţie

(i) Soluţia 1

Soluţia 2

(ii) Soluţia 1

Soluţia 2

Problema 19.4.2

Suprafaţa melcului este reprezentată prin ecuaţiile (19.4.7). Se consideră secţiunea transversală

a lui , prin planul Să se investigheze ecuaţia unde şi să se verifice că,

aceasta reprezintă o spirală Arhimede.

Soluţie

(i) Ecuaţia oferă:

667

(ii) Secţiunea transversală este reprezentată prin ecuaţiile:

(iii) Din ecuaţia:

Fig.19.4.4 Secţiunea transversală a unui melc Arhimede.

se obţine,

Mărimea vectorului de poziţie, pentru este Incrementul şi decrementul mărimii

vectorului de poziţie este proporţional cu iar aceasta este o verificare că, secţiunea transversală este o

spirală Arhimede. Figura 19.4.4 arată secţiunea transversală a melcului ZA cu trei începuturi.

19.5 GENERAREA ŞI GEOMETRIA MELCILOR ZN

Generarea

Melcii ZA sunt utilizaţi, dacă, unghiul elicei melcului este relativ mic În cazul generării

melcilor cu unghiuri mari ale elicelor, cuţitul este reglat după cum arată figurile 19.5.1(a) sau (b), pentru a

se asigura condiţii mai bune de aşchiere. Prima versiune de reglare [Fig.19.5.1(a)] asigură un profil

rectiliniu în secţiunea normală pe spiră. Profilul rectiliniu este asigurat în secţiunea normală pe gol,

668

conform celei de a doua versiuni de reglare [Fig.19.5.1.(b)]. Suprafeţele melcului vor fi generate de către

cuţit, care execută o mişcare elicoidală, în raport cu melcul.

Pentru a descrie reglarea cuţitului în raport cu melcul, se utilizează sistemele de coordonate şi

, care sunt conectate rigid la cuţit şi la melc. Se demarează discuţia cu generarea golului melcului

(Fig.19.5.2). Axa coincide cu axa melcului; axele şi formează unghiul care este unghiul

Fig.19.5.1: Reglarea cuţitului pentru generarea melcului ZN: (a) pentru generarea plinului spirei; (b) pentrugenerarea golului spirei.

elicei pe cilindrul de divizare al melcului; originile şi sunt situate pe axa melcului.

Profilul rectiliniu al cuţitului este ilustrat în figura 19.5.3. Liniile drepte prelungite sunt în tangenţă

cu cilindrul care va fi determinat de raza Intersecţia planului al sistemului de coordonate ,

cu cilindrul, reprezintă o elipsă cu axele şi Transformarea de coordonate de la la este

669

Fig.19.5.2: Sistemele de coordonate aplicate pentru reglarea cuţitului.

Fig.19.5.3: Reprezentarea liniilor generatoare în sistemul de coordonate .

670

reprezentată de către matricea

. (19.5.1)

Semnele, superior şi inferior, corespund generării melcului de sens dreapta şi, respectiv, melcului

de sens stânga.

Fig.19.5.4: Interpretarea ecuaţiei elipsei.

Reprezentarea liniilor generatoare în sistemele de coordonate

În continuare, se vor considera liniile generatoare şi (Fig.19.5.3). Fiecare linie generatoare

este tangentă la elipsa, a cărei ecuaţie este reprezentată în sub formă parametrică, astfel:

(19.5.2)

Figura 19.5.4 ilustrează determinarea coordonatelor punctului curent al elipsei; este

parametrul variabil.

Versorul tangentei, la elipsă, este reprezentat prin ecuaţia:

(19.5.3)

671

Direcţia lui care este arătată în figura 19.5.3, coincide cu direcţia încrementului parametrului

(Fig.19.5.4).

Versorii , ai liniilor generatoare şi , sunt reprezentaţi în în modul următor:

(19.5.4)

(19.5.5)

Este evident că, în punctul de tangenţă al liniei generatoare cu elipsa (punctul şi, respectiv, )

există şi Ecuaţiile: (19.5.3); (19.5.4) şi (19.5.5), oferă (a se vedea explicaţiile

suplimentare în Notele 1 şi 2, care urmează în această secţiune):

(19.5.6)

Aici,

(19.5.7)

Simbolurile şi corespund liniilor generatoare şi, respectiv, .

Liniile generatoare sunt reprezentate, în , prin ecuaţiile:

(19.5.8)

Semnele superioare şi inferioare, din ecuaţia (19.5.8), corespund liniilor generatoare şi,

respectiv, . Simbolizările “I” şi “II” au fost abandonate, dar mărimile lui sunt diferite pentru liniile

generatoare şi [a se vedea ecuaţia (19.5.6)]. Parametrul determină locaţia punctului curent (sau

) pe linia generatoare; şi, sunt arătate în figura 19.5.3.

Nota 1: Determinarea expresiilor pentru şi

Folosind egalitatea şi ecuaţiile: (19.5.3) şi (19.5.4), se va obţine:

(19.5.9)

Din ecuaţiile (19.5.9.) se obţine: 672

(19.5.10)

Folosind ecuaţia (19.5.10), se va obţine că,

(19.5.11)

Folosind, în scopul simplificării simbolizarea:

(19.5.12)

se obţine următoarea expresie pentru şi

Ecuaţiile (19.5.7) sunt confirmate.

Nota 2: Obţinerea Expresiilor pentru şi

Din ecuaţiile (19.5.9) rezultă:

(19.5.13)

deoarece

Ţinând seama că, [a se vedea ecuaţiile (19.5.7)], seva obţine:

(19.5.14)

Similar se pot obţine expresiile pentru şi Expresiile pentru

au fost reprezentate în ecuaţiile (19.5.6).

Determinarea lui

Ecuaţiile (19.5.8) reprezintă liniile generatoare care sunt tangente la elipsa arătată în figura 19.5.3.

Punctele de tangenţă sunt şi, respectiv, Ecuaţiile (19.5.8), pentru punctul , al liniilor generatoare

(Fig.19.5.3) sunt reprezentate astfel:

(19.5.15)

unde,

Se consideră ecuaţiile (19.5.15) ca un sistem de două ecuaţii liniare cu necunoscutele şi şi

reprezentate astfel:

673

(19.5.16)

Soluţia pentru necunoscuta este:

(19.5.17)

unde

(19.5.18)

(19.5.19)

Ecuaţiile: (19.5.16), până la (19.5.19), oferă:

(19.5.20)

Fig.19.5.5: Generarea spirei melcului [Fig.19.5.1(a)]: reprezentarea liniilor de generare în

unde,

Pentru cazul în care cuţitul este reglat ca în figura 19.5.1(a), se va obţine (Fig.19.5.5):

(19.5.21)

Aici, este distanţa dintre cuţite măsurată după cum arată figura 19.5.5.

674

Ecuaţiile suprafeţelor spirelor melcului

Suprafaţa spirei melcului este generată de către muchia aşchietoare a cuţitului (linia generatoare),

care execută o mişcare elicoidală, în jurul axei melcului. Ecuaţia vectorială a suprafeţei este reprezentată

în de către următoarea ecuaţie matriceală:

(19.5.22)

Aici, este ecuaţia vectorială a liniei generatoare, care este reprezentată în sistemul de

coordonate matricea este reprezentată prin (19.5.1); matricea este reprezentată de către

(19.4.3).

Versorul normalei la suprafaţă este reprezentat în modul următor:

(19.5.23)

Alegând, cum trebuie, semnul în ecuaţia (19.5.23), se poate obţine ca normala să fie spre spira

melcului.

Suprafeţele şi versorii normalelor la suprafaţă, la melcii ZN, sunt reprezentate în modul următor

(i) Suprafaţa flancului , la melcul de sens dreapta

(19.5.24)

Aici,

(19.5.25)

Componentele versorului normalei la suprafaţă sunt:

(19.5.26)

Aici,


675

(19.5.27)

Aici, expresiile pentru şi sunt aceleaşi ca

în ecuaţiile (19.5.25).


(19.5.28)


(19.5.29)

Aici,

(19.5.30)


(19.5.31)


(19.5.32)

676

Aici,

(19.5.33)


(19.5.34)

Interpretarea cinematică a suprafeţei generate

Vizualizarea generării suprafeţei melcului este bazată pe următoarele consideraţii:

(i) Linia generatoare poate fi reprezentată în planul care este tangent la

cilindrul de rază (cu indicii superiori şi , indicaţi de liniile generatoare şi,

respectiv, ).

(ii) şi axa melcului reprezintă două linii drepte încrucişate. Astfel, poate fi reprezentată

într-un sistem de coordonate ai cărui versori sunt simbolizaţi prin şi

Versorul este direcţionat de-a lungul axei melcului şi Versorul este

direcţionat de-a lungul distanţei dintre versorul liniei generatoare şi axa melcului. Versorul

este determinat de către produsul vectorial al lui şi (a se vedea în continuare).

(iii) Sistemele de coordonate şi (figurile: 19.5.6 şi 19.5.7) sunt conectate

rigid unul cu celǎlalt şi execută o mişcare elicoidală cu parametrul elicoidal , în jurul axei

melcului. Punctul de intersecţie a lui cu generează, în mişcarea elicoidală, o

elice pe cilindrul de rază Versorul tangentei la elice, în punctul şi versorul , a lui

nu coincid, în cazul melcilor ZN şi formează un unghi oarecare.

(iv) Se pot considera, acum, două linii drepte, conectate rigid cu versorii şi , care sunt

situaţi în planul tangent şi au un punct comun ca punct al lor de intersecţie.

Ambele linii drepte execută aceeaşi mişcare elicoidală, iar linia generează suprafaţa

melcului, care este o suprafaţă convolută. Linia ar genera o suprafaţă elicoidală

evolventică, dacă ar coincide cu

677

Pentru deducerile, în continuare, se consideră următoarele ecuaţii:

(19.5.35)

Aici, este punctul de intersecţie al ambelor linii generatoare (Fig.19.5.3), iar

(19.5.36)

Fig.19.5.6: Reprezentarea liniei generatoare în

Vectorii: şi , pot fi reprezentaţi în astfel:

(19.5.37)

Fig.19.5.7: Reprezentarea liniei generatoare şi în .

678

(19.5.38)

unde,

(19.5.39)

(19.5.40)

(19.5.41)

Indicile , în şi , arată că, aceşti vectori sunt reprezentaţi în

Determinarea semnului corespunzător, în ecuaţia (19.5.39), este bazat pe următoarele consideraţii:

(i) Din ecuaţiile: (19.5.35), până la (19.5.39), rezultă:

(19.5.42)

(ii) Ţinând seama că, şi sunt pozitivi, se obţine:

(19.5.43)

(iii) Din ecuaţiile: (19.5.42) şi (19.5.43), rezultă că, semnul superior (inferior) în ecuaţia

(19.5.39), corespunde cazului unde .

Folosind expresiile: (19.5.39) şi (19.5.40), se pot determina cosinusurile directoare pentru vectorii

şi , în sistemul de coordonate Se poate determina, de asemenea, locaţia originii

în folosind ecuaţia vectorială (19.5.35). Atunci se vor obţine, următoarele matrici

pentru transformarea de coordonate :

(19.5.44)

679

(19.5.45)

Liniile generatoare sunt reprezentate, în de către următoarele ecuaţii (figurile: 19.5.6 şi

19.5.7):

(19.5.46)

(19.5.47)

Tangenta la elice în punctul este reprezentată în de către:

(19.5.48)

unde,

(19.5.49)

Folosind deduceri similare, ca pentru un melc de sens dreapta, se vor obţine ecuaţiile liniilor

generatoare pentru melcul de sens stânga. Liniile generatoare sunt reprezentate în sistemele de coordonate

, care permite să se determine orientarea liniilor generatoare în planul ce este tangent

la cilindrul de rază (figurile: 19.5.6 şi 19.5.7).

Versorii liniilor generatoare, dreapta şi stânga, sunt reprezentaţi în şi după cum urmează:

(19.5.50)

(19.5.51)

Secţiunea transversală a suprafeţei melcului este o evolventă alungită (Fig.19.5.8), care este trasată

în afară de către punctul al segmentului acest segment este conectat rigid la linia dreaptă care

rulează pe cercul de rază Secţiunea transversală a unui melc ZN, cu trei începuturi este reprezentată

în figura 19.5.9.

680

Fig.19.5.8: Evolventa alungită, ca profil al melcului ZN în secţiunea transversală.

Fig.19.5.9: Secţiunea transversală a unui melc ZN.

Cazuri particulare

Suprafaţa melcului Arhimede (ZA) este un caz particular al suprafeţei elicoidale convolute (ZN).

Ecuaţiile suprafeţei ZA pot fi obţinute din ecuaţiile suprafeţei ZN, luând şi şi

pentru flancurile suprafeţei, I şi, respectiv, II. Suprafaţa elicoidală evolventică poate fi obţinută din

ecuaţiile suprafeţei elicoidale convolute (ZN), prin considerarea că, linia generatoare este tangentă la

elicea de pe cilindrul de rază (a se vedea în continuare).

Problema 19.5.1

681

Se consideră că, suprafaţa melcului reprezentată prin ecuaţiile (19.5.24) este tăiată de către planul

Axa este axa de simetrie a golului spirelor în secţiunea axială. Punctul de intersecţie al

profilului axial cu cilindrul de divizare este determinat cu coordonatele:

Aici, este valoarea nominală a lăţimii golului în secţiunea axială, care este măsurată în lungul

generatoarei cilindrului de divizare; este distanţa dintre două spire învecinate, în lungul generatoarei

cilindrului de divizare; este pasul diametral al melcului.

Să se obţină sistemul de ecuaţii, care va fi aplicat pentru a determina (Fig.19.5.3), considerând,

ca date: şi

Soluţie

Unghiul poate fi obţinut prin următoarea ecuaţie:

(19.5.52)

Atunci, poate fi exprimat astfel:

(19.5.53)

La rezolvarea ecuaţiei neliniare, se va lua, pentru prima aproximare,

Direcţii

(1) Ecuaţiile (19.5.52) pot fi obţinute considerând următorul sistem de ecuaţii:

(19.5.54)

(19.5.55)

(19.5.56)

682

Din ecuaţia (19.5.55) se obţine:

(19.5.57)

Ecuaţiile: (19.5.54) şi (19.5.55) considerate simultan oferă:

(19.5.58)

Se consideră ecuaţiile: (19.5.54); (19.5.55) şi (19.5.56), ca un sistem de trei ecuaţii liniare

cu necunoscutele u şi Dacă, un astfel de sistem există într-adevăr, rangul matricei mărite

trebuie să fie egal cu 2. Această cerinţă oferă o ecuaţie care coincide cu ecuaţia (19.5.52),

reprezentată mai înainte.

(2) Obţinerea ecuaţiei (19.5.53) este bazată pe următoarele consideraţii:

(a) Conform cu ecuaţia (19.5.20) există:

(b) Se transformă această ecuaţie utilizând substituţiile [a se vedea ecuaţiile (19.5.58) şi

(19.5.25)]:

După transformări, se obţine ecuaţia (19.5.53), reprezentată mai înainte.

19.6 GENERAREA ŞI GEOMETRIA MELCILOR ZI (ZE)(EVOLVENTICI)

Ecuaţiile suprafeţei

Suprafaţa melcului este generată de către o linie dreaptă, care execută o mişcare elicoidală şi este

tangentă la elicea , de pe cilindrul de bază (Fig.19.6.1). Vectorul de poziţie , a unui punct

curent de pe flancul suprafeţei , pentru un melc de sens dreapta este reprezentat prin:

(19.6.1)

Aici,

(19.6.2)

unde, este raza cilindrului de bază, este unghiul elicei, este parametrul elicoidal, iar

variabilele şi sunt parametrii suprafeţei.

683

Fig.19.6.1: Generarea suprafeţei elicoidale evolventice pentru flancul suprafeţei , al unui melc de sens dreapta.

Din ecuaţiile (19.6.1) şi (19.6.2), rezultă:

(19.6.3)

Versorul normalei la suprafaţă, direcţionat spre spira melcului, este reprezentat de către

(19.6.4)

Atunci se obţine că,

(cu condiţia ca ). (19.6.5)

Orientarea versorului normalei la suprafaţă, , nu depinde de . Aceasta înseamnă că, versorul

normalei, de-a lungul liniei generatoare, are aceeaşi orientare, iar suprafaţa melcului este riglată şi

desfăşurabilă. (Se reaminteşte că, suprafeţele melcilor ZA şi ZN sunt riglate, dar, nedesfăşurabile.).

Este uşor de a verifica, că, , când Atunci, punctul suprafeţei este singular, în punctul

de tangenţă al liniei generatoare cu elicea. Într-un astfel de punct, vectorii şi sunt coliniari.

684

Fig:19.6.2: Obţinerea suprafeţei elicoidale evolventice a unui melc de sens stânga.

Secţiunea transversală a suprafeţei melcului, prin , este o curbă evolventă, cu raza cercului de

bază

Obţinerea suprafeţei flancului , la melcul de sens dreapta este bazată pe desenul reprezentat în

figura 19.6.2. Utilizând consideraţii similare celor discutate mai înainte, se obţin următoarele ecuaţii,

pentru suprafaţă şi versorul normalei:

(19.6.6)

(19.6.7)

(cu condiţia ca ).

Scopul următor este de a reprezenta ecuaţiile ambelor flancuri, cu axa , ca axă de simetrie pentru

secţiunea transversală, Figura 19.6.3 oferă, că,

(19.6.8)

Aici, este mărimea golului dintre spire, în secţiunea transversală, pe cilindrul de divizare, iar

este unghiul profilului în secţiunea transversală (format între vectorul de poziţie şi tangenta la profil

în punctul ). Este cunoscut din trigonometria evolventei, că,

685

(19.6.9)

Fig.19.6.3: Secţiunea transversală a melcului evolventic: (a) cu profilul ; (b) cu profilul .

Se reaminteşte că, unghiurile profilurilor, transversal şi axial, şi , sunt corelate prin ecuaţia

(19.3.20), iar raza cilindrului de bază este reprezentată de către ecuaţia (19.3.21). Expresiile finale, pentru

ambele flancuri ale suprafeţei melcului, pentru melcii de sens dreapta şi stânga, sunt următoarele:


(19.6.10)

(19.6.11)

Unghiurile, şi , sunt măsurate în sens orar, de la la direcţia axei pentru un

observator situat pe axa negativă


686

(19.6.12)

(19.6.13)

Unghiurile, şi , sunt măsurate în sens antiorar, de la la direcţia negativă axei

pentru un observator situat pe axa negativă


(19.6.14)

(19.6.15)

Unghiurile, şi , sunt măsurate în sens orar, de la la direcţia axei pentru un

observator situat pe axa negativă


(19.6.16)

(19.6.17)

Unghiurile, şi , sunt măsurate în sens antiorar, de la la direcţia negativă a axei

pentru un observator situat pe axa negativă

Metode de generare

Suprafaţa melcului poate fi generată (i) de către un cuţit, (ii) de către o freză disc şi (iii) de către un

plan abraziv. Generarea de către un cuţit este bazată pe simularea mişcării elicoidale a liniei drepte, care

este tangentă la elicea de pe cilindrul de bază (Fig.19.6.4). Coincidenţa muchiei aşchietoare a cuţitului, cu

linia generatoare, este asigurată, dacă, suprafaţa plană a cuţitului este tangentă la cilindrul de bază al

melcului şi unghiul profilului muchiei aşchietoare este egal cu unghiul de pantă al elicei (Fig.19.6.4).

Fiecare flanc al suprafeţei melcului trebuie să fie generat separat.

Generarea de către un plan devine posibilă, deoarece, suprafaţa melcului este o suprafaţă riglată

desfăşurabilă. O astfel de metodă este utilizată pentru rectificare, de exemplu, de către David Brown Co.

(Fig.19.6.5). Rectificarea este realizată de către un plan. Capul cu discul de rectificare are două grade de

687

Fig.19.6.4: Generarea melcului evolventic de către un cuţit.

Fig.19.6.5: Generarea melcului evolventic de către un plan abraziv: reglarea planului abraziv în raport cu (a) şi (b) .

libertate şi pot fi reglate, în raport cu axa melcului, prin rotaţie în jurul axelor reciproc perpendiculare,

şi . Al treilea grad de libertate - rotaţia discului abraziv în jurul axei - nu este corelat cu

procesul de generare şi asigură viteza de aşchiere a discului abraziv. Rotirea discului abraziv în jurul

axelor, şi , asigură ca planul de rectificare, , să devină tangent la suprafaţa melcului

688

Planul şi suprafaţa , sunt în contact în fiecare moment, de-a lungul unei linii drepte, care este linia

generatoare, . Normalele la de-a lungul lui şi axa , a discului abraziv, au aceeaşi orientare.

Mişcarea relativă a melcului, în raport cu discul abraziv, este o mişcare elicoidală în jurul axei melcului,

cu parametrul elicoidal, , al suprafeţei elicoidale evolventice. Suprafaţa melcului este provenită ca o

familie de linii drepte , care sunt generate în mişcarea elicoidală descrisă mai înainte.

Reglarea discului abraziv, în raport cu melcul, este bazată pe următoarele consideraţii:

(i) Se poziţionează trei sisteme de coordonate (Fig.19.6.6): (a) sistemul mobil , care este

conectat rigid la discul abraziv, (b) sistemul mobil de coordonate care este conectat

rigid la capul de rectificare şi (c) sistemul fix de coordonate care este conectat rigid la

batiu, pe care este montat capul de rectificare. Sistemul de coordonate poate fi rotit, în

jurul axei , a batiului, iar sistemul de coordonate poate fi rotit în jurul axei ,

care este montată în

(ii) Se consideră că, iniţial, axa , a discului abraziv şi axa melcului, sunt situate în plane

paralele şi formează unghiul [Fig.19.6.6(a)]. Versorul al axei discului abraziv va fi în

poziţia .

Fig. 19.6.6: Reglarea corpului abraziv şi aplicarea sistemelor de coordonate: reglarea iniţialǎ a corpului abraziv cu (a) poziţia a vectorului , (b) poziţia a vectorului şi (c) poziţia a vectorului .

689

(iii) Atunci, se consideră că, sistemele de coordonate, şi , sunt rotite în jurul axei (în

jurul axei ) cu unghiul [Fig.19.6.6(b)]. Versorul va fi în poziţia .

(iv) Figura 19.6.6(c) arată, că, sistemul de coordonate este rotit în jurul axei (axa )

cu unghiul Versorul va lua poziţia Se poate reprezenta versorul în sistemul de

coordonate utilizând următoarea ecuaţie matriceală:

(19.6.18)

Ecuaţia (19.6.18) oferă

(19.6.19)

(v) Versorul normalei, , la suprafaţa melcului, a fost reprezentat în prin ecuaţia (19.6.5).

Schimbând direcţia lui , pentru una opusă, după deduceri, se reprezintă, în sistemul de

coordonate , versorul normalei a suprafeţei melcului, astfel:

, (19.6.20)

unde este unghiul de rotaţie al melcului în mişcarea elicoidală.

Ţinând seama că, se pot obţine două ecuaţii independente care corelează patru parametri:

şi Doi, din aceşti parametri, trebuie să fie aleşi şi atunci, cei doi rămaşi, pot fi deduşi.

Considerând, de exemplu, că, se poate utiliza următoarea procedură de calcul, pentru

determinarea lui şi considerând că, este ales.

Pas 1: Determinarea lui

(19.6.21)

Ecuaţia (19.6.21) dă două soluţii pentru dar este luată soluţia cu valoarea mai mică

a lui

Pas 2: Determinarea lui .

Unica soluţie pentru este determinată cu următoarele ecuaţii:

(19.6.22)

690

(19.6.23)

Unghiurile de profil, şi în secţiunile normală şi, respectiv, transversală, sunt corelate prin

ecuaţia (19.3.18).

19.7 GEOMETRIA ŞI GENERAREA MELCILOR K

Generarea

Cel mai important avantaj al angrenajelor melc evolventic-roată melcată este posibilitatea

rectificării melcului de către o suprafaţă plană. O metodă alternativă pentru rectificare, dezvoltată pentru

Fig.19.7.1: Freza disc biconică pentru frezarea melcilor K: (a) ilustrarea sculei biconice; (b) ilustrarea

parametrilor: a, şi ai frezei disc biconice.

melcii K, este bazată pe aplicarea conului de rectificare. Axele, conului de rectificare şi a melcului, care va

691

fi generat, sunt încrucişate. Aceeaşi metodă de generare poate fi utilizată pentru frezarea cu o freză disc,

cum este arătată în Fig.19.7.1. Secţiunea axială a sculei (a discului abraziv biconic, sau a frezei disc

biconice) are profilul cuţitului care este utilizat pentru generarea melcilor N (Fig.19.5.3), dar suprafaţa

melcului K diferă faţă de suprafaţa melcului N, deoarece melcii K sunt generaţi de către suprafaţa sculei,

nu de către un cuţit.

Aplicarea sistemelor de coordonate

Se vor utiliza sistemele de coordonate şi conectate rigid la freza disc biconică (sculă) şi la

melc. este un sistem de coordonate fix, utilizat pentru descrierea reglărilor aplicate sculei şi mişcării

melcului. Se consideră că, scula, în procesul de generare, este în repaus, iar melcul care va fi generat

execută mişcarea elicoidală în jurul axei proprii, cu parametrul elicoidal (Fig.19.7.2); axele, sculei şi

melcului sunt încrucişate formând unghiul uzual, unde este unghiul de pantă al elicei pe

cilindrul de divizare. În procesul de rectificare, scula execută rotaţie în jurul axei proprii, însă aceasta

corespunde numai pentru viteza necesară de aşchiere (frezare sau rectificare) şi poate fi ignorată când sunt

considerate aspectele matematice ale generării melcului.

Ecuaţiile suprafeţei melcului

Există o familie a suprafeţelor sculei care este generată în sistemul de coordonate Suprafaţa

melcului este determinată ca înfăşurătoare a familiei de suprafeţe ale sculei. Suprafaţa este

reprezentată ca familia liniilor de contact ale suprafeţelor şi prin următoarele ecuaţii:

(19.7.1)

(19.7.2)

Ecuaţia (19.7.1) reprezintă familia de suprafeţe ale sculei; sunt coordonatele Gaussiene ale

suprafeţei sculei, iar este unghiul de rotaţie în mişcarea elicoidală. Ecuaţia (19.7.2) este ecuaţia

angrenării. Vectorii şi sunt reprezentaţi în şi indică normala la şi, respectiv, viteza relativă

(de alunecare). Este demonstrat, în continuare [a se vedea ecuaţia (19.7.8)], că ecuaţia (19.7.2) nu trebuie

să conţină parametrul Ecuaţiile: (19.7.1) şi (19.7.2), considerate simultan, reprezintă suprafaţa

melcului în funcţie de trei parametri corelaţi

Pentru deducerile, în continuare, se consideră că, este generată suprafaţa flancului , a melcului de

sens dreapta. Suprafaţa conului este reprezentată de către ecuaţiile (Fig.19.7.3).

(19.7.3)

692

Fig.19.7.2: Sistemele de coordonate aplicate pentru generarea melcilor K.

Fig.19.7.3: Generarea suprafeţei conului

Aici, determină locaţia punctului curent pe generatoarea conului; determină

locaţia vârfului conului.

Versorul normalei la suprafaţa conului este determinat de către,

693

(19.7.4)

de unde rezultă:

(19.7.5)

Viteza relativă este reprezentată ca viteză în mişcarea elicoidală (Fig.19.7.4):

(19.7.6)

unde, este vectorul de poziţie al punctului , al liniei de acţiune a lui

Din ecuaţia (19.7.6) se obţine:

(19.7.7)

Ecuaţia angrenării, a suprafeţei de rectificare cu suprafaţa melcului, după eliminarea lui

este reprezentată astfel:

(19.7.8)

unde

Ecuaţia (19.7.8), cu valoarea dată a lui furnizează două soluţii pentru şi determină două

curbe, şi , în planul (Fig.19.7.5). Numai curba este linia de contact real în spaţiul

parametrilor

Ecuaţiile: (19.7.3) şi (19.7.8), considerate simultan, reprezintă în linia de contact dintre şi

Linia de contact nu se schimbă în mişcarea elicoidală a melcului, deoarece ecuaţia angrenării (19.7.8)

nu conţine parametrul mişcării Suprafaţa melcului este reprezentată de către ecuaţiile (19.7.1) şi

(19.7.8), considerate simultan.

Figura 19.7.6 arată liniile de contact pe dintre şi Parametrii constructivi ai suprafeţei

melcului sunt relataţi prin ecuaţiile:

(17.7.9)

unde, este unghiul profilului melcului în secţiunea sa axială, iar este unghiul de pantă al elicei de

694

Fig.19.7.4.: Reglarea conului de rectificare: (a) ilustrarea poziţionării parametrului (b) ilustrarea reglării

parametrului .

Fig.19.7.5.: Linia de contact dintre conul generator şi melcul K: reprezentarea în planul parametrilor .

695

Fig.19.7.6.: Liniile de contact dintre conul generator şi melc, pe suprafaţa melcului.

pe cilindrul de divizare şi

(17.7.10)

unde este lăţimea golului spirelor melcului, în secţiunea axială, şi este măsurată pe cilindrul de

divizare.

Valoarea exactă a lui necesar, poate fi determinată utilizând ecuaţiile secţiunii axiale a melcului

generat.

Parametrii constructivi, şi , sunt reprezentaţi astfel:

(19.7.11)

(19.7.12)

Deducerea ecuaţiilor (19.7.11) şi (19.7.12), este bazată pe figurile 19.7.1 şi 19.7.2.

Expresiile finale pentru ambele flancuri ale melcilor, de sens dreapta şi de sens stânga şi a

versorilor normalelor la suprafaţă, sunt reprezentate prin următoarele ecuaţii:


(19.7.13)

(19.7.14)

unde,

696

(19.7.15)

(ii) Suprafaţa flancului , la melcul de sens dreapta

(19.7.16)

(19.7.17)

unde,

(19.7.18)


(19.7.19)

(19.7.20)

unde

(19.7.21)

(iv) Suprafaţa flancului , la melcul de sens stânga

(19.7.22)

697

(19.7.23)

unde,

(19.7.24)

Caz particular

Se poate verifica că, pentru cazul când, , suprafaţa melcului generat este o suprafaţă

elicoidală evolventică. Această afirmaţie este corectă pentru toate cele patru suprafeţe ale melcului

reprezentate prin ecuaţiile: (19.7.13); (19.7.16); (19.7.19) şi, respectiv, (19.7.22).

Verificarea se bazează pe următoarele consideraţii:

(i) Ecuaţia angrenării (19.7.15), oferă

(19.7.25)

Aceasta înseamnă că, este constant, iar contactează , de-a lungul unei linii drepte,

generatoarea conului.

(ii) Suprafaţa melcului este generată de către o linie dreaptă, adică este o suprafaţă riglată.

Aceasta este o suprafaţă desfăşurabilă, de asemenea, deoarece normala nu depinde de

coordonata suprafeţei Se reaminteşte că, determină locaţia punctului curent pe linia

generatoare.

(iii) Considerând ecuaţiile suprafeţei melcului şi versorul normalei la suprafaţă, se poate

reprezenta un punct curent al normalei la suprafaţă prin ecuaţia:

(19.7.26)

unde, parametrul variabil determină locaţia punctului curent pe normala la suprafaţă.

Funcţia reprezintă familia monoparametrică a curbelor care sunt trasate, în a

fara lui , de către un punct curent al normalei la suprafaţă.

(iv) Înfăşurătoarea familiei de curbe este determinată cu ecuaţia (19.7.26) şi cu ecuaţia (a se

vedea Secţiunea 6.1):

(19.7.27)

698

(v) Ecuaţiile: (19.7.26) şi (19.7.27), arată că, normalele la suprafaţa melcului sunt tangente la

cilindrul de rază şi formează unghiul cu axa melcului.

Aici,

(19.7.28)

Problema 19.7.1

Se consideră că, suprafaţa melcului, reprezentată de către ecuaţiile (19.7.13), este tăiată de către

planul Axa este axa de simetrie a golului dintre spire, în secţiunea axială. Punctul de intersecţie

al profilului axial cu cilindrul de divizare este determinat prin coordonatele:

Aici, este valoarea nominală a lăţimii golului dintre spire, în secţiunea axială, care este

măsurată de-a lungul generatoarei cilindrului de divizare; este distanţa dintre două spire învecinate,

de-a lungul generatoarei cilindrului de divizare, iar este pasul diametral al melcului în secţiunea

axială.

Să se obţină sistemul de ecuaţii, care va fi aplicat pentru determinarea lui (Fig.19.7.1),

considerând date: şi

Soluţie

unde,

Sistemul de ecuaţii obţinut, conţine patru ecuaţii, cu patru necunoscute: şi . Soluţia

sistemului pentru necunoscute oferă valoarea căutată a lui

Problema 19.7.2

699

Se consideră cazul particular de reglare a sculei, când Să se obţină (i) ecuaţia angrenării

(19.7.27) şi (ii) ecuaţiile înfăşurătoarei la familia normalelor la suprafaţa melcului (19.7.13). Se

reaminteşte că, înfăşurătoarea este reprezentată de către ecuaţiile: (19.7.26) şi (19.7.27) care vor fi

considerate simultan

Soluţie

(i)

(ii)

Fig.19.8.1.: Reglarea discului abraziv la generarea melcului F-I: (a) ilustrarea reglării parametrului (b)

ilustrarea reglării parametrului

19.8 GEOMETRIA ŞI GENERAREA MELCILOR F-I (VERSIUNEA I)

700

Melcii F, cu suprafeţe concave-convexe au fost concepuţi de către Niemann şi Heyer (1953) şi

aplicaţi în practică de către Flender Co.-Germania. Marele avantaj, al angrenajelor melc-roată melcată de

tip F, constă în îmbunătăţirea condiţiilor de ungere, care este obţinută datorită profilurilor favorabile ale

liniilor de contact, dintre suprafeţele flancurilor melcului şi roţii melcate. Se consideră două versiuni ale

melcilor F: (i) una originală F-I şi (ii) una modificată, F-II, propusă de Litvin (1968). Ambele versiuni ale

angrenajului melc-roată melcată sunt concepute ca unele nestandardizate: raza , a cilindrului de

divizare de funcţionare al melcului, diferă faţă de raza , a cilindrului de divizare al melcului, iar

Pentru evitarea ascuţirii dinţilor roţii melcate, grosimea dintelui melcului, pe cilindrul de

divizare este concepută cu formula:

Reglarea discului abraziv pentru F-I

Suprafaţa discului abraziv este un tor. Secţiunea axială a discului abraziv este un arc, de rază

[Fig.19.8.1(b)]. În prezentarea următoare, se consideră generarea flancului suprafeţei , al unui melc de

sens dreapta.

Raza este aleasă aproximativ egală cu raza , a cilindrului de divizare. Reglarea discului

abraziv în raport cu melcul este arătată în figura 19.8.1(a). Axele, discului abraziv şi a melcului, formează

unghiul unde este unghiul de pantă al elicei de pe cilindrul de divizare al melcului, iar distanţa

dintre axe este Figura 19.8.2(a) arată secţiunea, discului abraziv şi a melcului, de către un plan care

este trasat prin axa care este axa de rotaţie a discului abraziv şi distanţa [Fig.19.8.1(b)]. Se

presupune că, distanţa dintre axe, trece prin punctul , al profilului melcului; şi detrmină locaţia

centrului , al arcului circular, în raport cu

Aici,

(19.8.1)

unde este raza arcului

Ecuaţiile suprafeţei de generare

Se poziţionează sistemele de coordonate, şi , care sunt conectate rigid la discul abraziv;

701

Fig.19.8.2.: Generarea discului abraziv cu suprafaţă de tor: (a) secţiunea discului abraziv şi (b) sistemele de coordonate aplicate.

sistemele de coordonate, şi , sunt conectate rigid la arcul circular de rază (Fig.19.8.2). Arcul

circular, , este reprezentat în de către ecuaţia:

(19.8.2)

Figura 19.8.2(a) arată sistemele de coordonate, şi în poziţia iniţială. Suprafaţa discului

abraziv este generată în în timp ce, arcul circular, cu sistemele de coordonate, şi sunt rotite în

jurul axei [Fig.19.8.2(b)].

Transformarea de coordonate este bazată pe următoarea ecuaţie matriceală:

(19.8.3)

Aici,

(19.8.4)

Se utilizează următoarele simboluri [Fig.19.8.1(b)]:

; (19.8.5)

(19.8.6)

şi

Din ecuaţiile: (19.8.2), până la (19.8.4) se obţine:

702

(19.8.7)

Versorul normalei la este reprezentat astfel:

Atunci se obţine:

(19.8.8)

Ecuaţiile angrenării discului abraziv cu melcul

Versorul normalei este direcţionat înspre suprafaţa generatoare, şi spre exterior faţă de

suprafaţa melcului. Suprafaţa melcului este generată ca înfăşurătoare a familiei de suprafeţe, care este

generată în , de către în mişcarea sa relativă, în raport cu suprafaţa Sistemul de coordonate

este conectat rigid la melc.

Ecuaţia angrenării este:

(19.8.9)

unde, este viteza în mişcarea relativă a discului abraziv, în raport cu melcul.

Vectorii în ecuaţia (19.8.9) sunt reprezentaţi în

Se consideră că, melcul execută mişcare elicoidală, cu parametrul elicoidal (Fig.19.7.4) în raport

cu discul abraziv, iar este reprezentată de către ecuaţiile (19.7.7). După transformări, ecuaţia

angrenării, a suprafeţei discului abraziv cu suprafaţa melcului, este reprezentată prin,

(19.8.10)

Ecuaţia angrenării nu conţine parametrul , în mişcarea elicoidalǎ, deoarece, mişcarea relativă

este una elicoidală. Ecuaţia (19.8.10), cu valoarea dată a lui oferă două soluţii pentru dar numai

soluţia pentru , va fi utilizată pentru deducerile care urmează. Se reaminteşte că, ecuaţia

(19.8.10) este obţinută pentru cazul când este generată suprafaţa flancului , a melcului de sens dreapta.

Liniile de contact pe suprafaţa melcului.

Linia de contact, dintre şi , este o linie unicǎ pe şi este reprezentată în de către

703

ecuaţiile (19.8.7) şi (19.8.10), considerate simultan. Figura 19.8.3 arată linia de contact în spaţiul

parametrilor ;linia întreruptă reprezintă linia de contact, care este în afara părţii de lucru a discului

abraziv.

Suprafaţa melcului este reprezentată, în ca un set de linii de contact, dintre suprafeţele şi

Utilizând această abordare, se obţin ecuaţiile suprafeţei melcului pentru ambele flancuri, considerând

melcii de sens dreapta şi de sens stânga. Axa în ecuaţiile obţinute, este axa de simetrie pentru fiecare

secţiune a golului dintre spirele melcului, printr-un plan care este trasat prin axa O secţiune axială a

golului dintre spirele melcului este obţinută prin intersecţia golului cu planul Pentru a obţine

Fig.19.8.3.: Linia de contact dintre discul abraziv şi suprafaţa melcului F-I.

locaţia mai sus menţionată, a axei ca axă de simetrie a secţiunii axiale a golului, se vor considera

următoarele:

(i) Sistemul de coordonate, aplicat iniţial, este substituit de către un sistem de coordonate

paralel a cărui origine este deplasată de-a lungul axei la distanţa (Fig.19.8.4).

(ii) Coordonatele punctului de intersecţie, a golului secţiunii axiale a melcului, cu cilindrul de

divizare, trebuie să fie:

(19.8.11)

unde, este lăţimea golului dintre spire pe cilindrul de divizare.

704

Fig.19.8.4.: Obţinerea secţiunii axiale a melcului F-I.

Rezultatele deducerii suprafeţei melcului şi a versorului normalei la suprafaţă, sunt următoarele:


(19.8.12)

unde,

(19.8.13)

(19.8.14)

Parametrii şi , în ecuaţiile: (19.8.12) şi (19.8.14), sunt corelaţi prin ecuaţia angrenării,

(19.8.15)


(19.8.16)

unde,

705

(19.8.17)

(19.8.18)

Parametrii, şi , în ecuaţiile: (19.8.16) şi (19.8.18), sunt corelaţi cu ecuaţia angrenării,

(19.8.19)


(19.8.20)

unde,

(19.8.21)

(19.8.22)


(19.8.23)


(19.8.24)

unde

(19.8.25)

706

(19.8.26)


(19.8.27)

Figura 19.8.5 arată secţiunea transversală a melcului F-I, care a fost obţinută pentru următorii

parametri: modul axial Raza cilindrului de divizare de

Fig.19.8.5.: Secţiunea transversală şi secţiunea axială a melcului F-I.

funcţionare este

19.9 GEOMETRIA ŞI GENERAREA MELCILOR F-II (VERSIUNEA II)

Metoda de rectificare

Rectificarea melcilor F-de versiunea II poate fi realizată prin aceeaşi sculă, care este utilizată

pentru generarea melcilor de versiune I. Diferenţa este în aplicarea parametrilor speciali de reglare.

707

Geometria melcilor F de versiune II are anumite avantaje în comparaţie cu melcii de versiune I: (i) linia

de contact dintre suprafaţa abrazivă şi suprafaţa melcului, este o curbă plană, arcul circular al secţiunii

axiale a torului; şi (ii) profilul liniei de contact nu depinde de diametrul discului abraziv şi de distanţa

dintre axe

Ideea principală a metodei propuse de rectificare este bazată pe aplicarea axelor de angrenare.

Există două axe de angrenare, când un elicoid este generat de către o sculă periferică, cu o suprafaţă de

revoluţie. Una din axele de angrenare , coincide cu axa de rotaţie a sculei (Fig.19.9.1); locaţia şi

orientarea celeilalte axe de angrenare, , parametrii şi, respectiv, sunt determinaţi cu ecuaţiile:

(19.9.1)

unde, este parametrul elicoidal, iar este unghiul format de către axele, discului abraziv şi a melcului,

iar

(19.9.2)

unde este distanţa dintre axele menţionate anterior.

Reglarea discului abraziv este bazată pe respectarea următoarelor cerinţe:

(a) Centrul al arcului circular, (Fig.19.9.2), este localizat pe axa , care este linia

distanţei dintre axele, discului abraziv şi a melcului.

Fig.19.9.1.: Axele de angrenare în cazul rectificării melcului F-II.

(b) Distanţa , de la axa melcului (Fig.19.9.1) şi unghiul de încrucişare , trebuie să fie

708

Fig.19.9.2.: Discul de rectificare pentru melcul F-II.

corelate de către ecuaţia:

(19.9.3)

unde, este parametrul elicoidal al mişcării elicoidale a melcului, în procesul de

rectificare.

Normala la , deja, intersectează axa discului abraziv, care este, de asemenea, şi axa de angrenare

. Normala la de asemenea intersectează, şi cealaltă axă de angrenare , deoarece, centrul

al arcului circular este localizat pe .

Ecuaţia (19.9.3) cere numai relaţia dintre a şi dar poate fi ales arbitrar. Cu toate acestea,

profilul liniilor de contact, dintre suprafaţa melcului, şi suprafaţa roţii melcate, depind de . Bazat

pe investigări preliminare, alegerea recomandată este

(19.9.4)

Rezumând, se poate formula diferenţa de reglare a discului abraziv, pentru generarea melcilor F-I

şi F II, în modul următor:

Versiunea 1: linia distanţei dintre axe trece prin punctul mediu , al arcului circular

; (figurile: 19.8.1 şi 19.8.2).

Versiunea 2: linia distanţei dintre axe trece prin dar şi sunt corelate prin

ecuaţia (19.9.1) (Fig.19.9.1).

Ecuaţia angrenării

Se poate obţine, pentru melcul F-II, ecuaţia angrenării dintre suprafeţele şi considerând

709

ecuaţia obţinută anterior (19.8.10), dar, luând şi După deduceri, se obţine

următoarea ecuaţie a angrenării pentru melcul F-II:

(19.9.5)

Există două soluţii ale ecuaţiei (19.9.5): (i) cu şi nici o valoare a lui şi (ii) cu relaţia dintre

şi , determinată astfel:

(19.9.6)

Sensul primei soluţii este că, linia de contact dintre, şi , este arcul circular, arc

secţiunea axială a discului abraziv. A doua soluţie furnizează linia de contact pe ,care este în afara părţii

de lucru a discului abraziv. Ambele linii de contact, în spaţiul parametrilor şi , sunt arătate în figura

19.9.3.

Fig.19.9.3: Linia de contact dintre discul abraziv şi suprafaţa melcului F-II.

Urmând o abordare similară, cu aceea aplicată la melcii F-I, se vor obţine următoarele ecuaţii

pentru suprafaţa melcilor F-II şi pentru versorul normalei la suprafaţă:

(i) Suprafaţa flancului , la melcul de sens dreapta

(19.9.7)

unde,

710

(19.9.8)

(19.9.9)


(19.9.10)

unde,

(19.9.11)

(19.9.12)


(19.9.13)

unde,

(19.9.14)

(19.9.15)

(iv) Suprafaţa flancului , la melcul de sens stâng:

(19.9.16)

unde,

(19.9.17)

711

(19.9.18)

Axa , în toate cele patru cazuri, este axa de simetrie a secţiunii axiale a golului dintre

spirele melcului (a se vedea Fig.19.8.4).

19.10 ECUAŢIILE ELICOIDULUI GENERALIZAT

Se consideră că, secţiunea transversală a melcului este reprezentată în formă parametrică, în

sistemul auxiliar de coordonate [Fig.19.10.1(a)], astfel:

(19.10.1)

unde, este ecuaţia polară a secţiunii transversale.

Suprafaţa melcului, acum, poate fi reprezentată ca suprafaţa care este generată de către curba

care execută mişcare elicoidală în jurul axei [Fig.19.10.1(b)]. Suprafaţa melcului poate fi

determinată de către ecuaţia matriceală:

(19.10.2)

unde [Fig.19.10.1(b)]:

(19.10.3)

Utilizând ecuaţiile: (19.10.1), până la (19.10.3), se reprezintă suprafaţa melcului în felul următor:

. (19.10.4)

Pentru deducerile următoare, este necesar unghiul , care este format între vectorul de poziţie

şi tangenta la această curbă [Fig.19.10.1(a)]. Este cunoscut că,

(19.10.5)

O ecuaţie alternativă, pentru determinarea lui , este bazată pe expresia [Fig.19.10.1(a)]:

(19.10.6)

unde, este normala la curba plană

712

Fig.19.10.1: Obţinerea elicoidului generalizat.

Versorul normalei, la suprafaţa (19.10.4), este determinat cu ecuaţiile

(19.10.7)

de unde rezultă:

. (19.10.8)

Se reaminteşte că, deoarece, suprafaţa melcului este un elicoid, coordonatele suprafeţei melcului şi

versorul normalei la suprafaţă, sunt corelate de către următoarea ecuaţie (a se vedea Secţiunea 5.5):

(19.10.9)

Parametrul elicoidal, , este pozitiv, pentru un melc de sens dreapta.

Avantajul ecuaţiilor: (19.10.4) şi (19.10.8), constă în faptul că, suprafaţa melcului şi normala sa,

sunt reprezentate în formă biparametrică. Cu toate acestea, o astfel de abordare reclamă determinarea

analitică, sau numerică, a secţiunii transversale a melcului. Abordarea discutată este eficace, în special, în

713

cazul când, melcul este generat de către suprafaţa unui disc abraziv, iar suprafaţa melcului este

reprezentată prin trei parametri.

19.11 ECUAŢIA ANGRENĂRII SUPRAFEŢELOR MELCULUI ŞI ROŢII MELCATE

Ecuaţia angrenării determină relaţia dintre parametrii suprafeţei , a melcului şi unghiul de rotaţie

, a melcului, care este în angrenare suprafaţa , a roţii melcate. Suprafeţele, şi sunt în contact

de-a lungul unei linii , în fiecare moment. Determinarea lui este bazată pe necesitatea ca, în orice

punct al lui , trebuie să fie valabile ecuaţiile:

(19.11.1)

Aici, indicii inferiori, (1,2,f), simbolizează sistemele de coordonate şi care sunt conectate

rigid, la melc, la roata melcată şi la carcasă; este normala la suprafaţa melcului; este viteza relativă

a lui în raport cu (a se vedea Capitolul 2).

Se poate aplica ecuaţia angrenării luând în considerare că, melcul este un elicoid. Pentru

simplificarea ecuaţiei angrenării, se poate utiliza ecuaţia (19.10.9), sau ecuaţia:

(19.11.2)

Utilizând ecuaţia (19.11.1) cu şi ecuaţia (19.10.9), se reprezintă ecuaţia angrenării în în

modul următor:

(19.11.3)

Aici, este raportul de transmitere al angrenajului; sunt coordonatele suprafeţei

melcului; sunt proiecţiile normalei, , la suprafaţa melcului; este unghiul de pivotare a

axelor. Ecuaţia angrenării poate fi reprezentată în sistemul de coordonate astfel:

(19.11.4)

Se consideră, acum, cazul când, suprafaţa melcului este reprezentată ca un elicoid generalizat (a se

vedea Secţiunea 19.10). Ecuaţia angenării este reprezentată în acest caz, astfel:

714

(19.11.5)

Aici, este mărimea vectorului de poziţie al punctului curent al secţiunii transversale a

melcului [Fig.19.10.1(a)]; . Coordonatele punctului curent de contact pot fi exprimate, în

, de către ecuaţiile:

(19.11.6)

Oricare din ecuaţiile: (19.11.3); (19.11.4) şi (19.11.5), oferă relaţia dintre parametrii suprafeţei

melcului, şi unghiul de rotaţie al melcului, care este

(19.11.7)

Ecuaţiile:

(19.11.8)

unde, este suprafaţa melcului, şi reprezintă, în , familia liniilor de contact pe suprafaţa

este un parametru fixat al mişcării, parametrul familiei de linii de contact.

Liniile de contact pe suprafaţa roţii melcate sunt reprezentate prin ecuaţiile:

(19.11.9)

unde, este matricea care descrie transformarea de coordonate, din sistemul de coordonate , în

sistemul de coordonate

Aici, şi sunt conectate rigid, la melc şi, respectiv, la roata melcată.

Figura 19.11.1, arată liniile de contact pe suprafaţa unui melc Arhimede. Figura 19.11.2. arată

liniile de contact pe suprafaţa roţii melcate.

A fost menţionat, în Secţiunea 6.6, că, liniile de contact pe suprafaţa generatoare pot avea o

înfăşurătoare. În cazul angrenajelor melc-roată melcată, suprafaţa generatoare este suprafaţa melcului.

Înfăşurătoarea liniilor de contact la suprafaţa melcului Arhimede este arătată în figura 19.11.1. Figurile:

19.11.1 şi 19.11.2, corespund unui angrenaj melc-roată melcată cu următorii parametri: numărul de

începuturi ale melcului şi numărul de dinţi ai roţii; sunt şi, respectiv, modulul axial al

melcului este unghiul de pivotare a axelor, este distanţa dintre axele, melcului şi roţii

melcate este .

Liniile instantanee de contact există numai pentru un angrenaj melc-roată melcată ideal, în absenţa

abaterii poziţiei axelor şi erorilor de manufacturare. În realitate, contactul suprafeţelor şi este un

715

Fig.19.11.1: Liniile de contact pe suprafaţa melcului.

Fig.19.11.2: Liniile de contact pe suprafaţa flancului roţii melcate.

punct instantaneu de contact, care poate fi acompaniat cu deplasarea contactului de portanţă la o muchie

de contact şi o formă indezirabilă a funcţiei de transmitere a erorilor. Astfel de erori de transmitere

cauzează vibraţii pe durata angrenării.

Pentru a minimaliza influenţa abaterii de poziţie a axelor şi a erorilor de manufacturare, este

necesară localizarea contactului de portanţă, dintre şi utilizând modificarea corectă dintre

suprafeţele, teoretică şi reală, ale melcului.

716

19.12 ARIA DE ANGRENARE

Aria de angrenare este partea activă a suprafeţei de acţiune (de angrenare) . Suprafaţa de acţiune

(de angrenare) este setul de linii de contact dintre suprafeţele, melcului şi roţii melcate, care sunt

reprezentate în sistemul fix de coordonate Cunoscând aria de angrenare, este posibil să se determine

lungimea axială de lucru a melcului şi lăţimea axială de lucru a roţii melcate (a se vedea în continuare).

Deducerile următoare sunt bazate pe reprezentarea suprafeţei melcului ca elicoid generalizat (a se vedea

Secţiunea 19.11).

Figura 19.12.1(b) arată aria de angrenare a unui angrenaj melc-roată melcată, ortogonal,

care este limitatǎ în planul prin curbele şi . Aria de angrenare este reprezentată în

Fig.19.12.1: Obţinerea ariei de angrenare.

sistemul fix de coordonate Curba corespunde intrării în angrenare a acelor puncte ale suprafeţei

melcului, care aparţin cilindrului de cap al melcului, de raza [Fig.19.12.1(a)]. Curba , corespunde

intrării în angrenare a acelor puncte ale suprafeţei roţii melcate, care aparţin cilindrului de cap al roţii.

Punctul curent M, al curbei , este determinat de către următoarele ecuaţii

717

(19.12.1)

(19.12.2)

(19.12.3)

Dată de intrare, pentru soluţionarea sistemului de ecuaţii: (19.12.1), până la (19.12.3), este

valoarea curentă a lui şi sunt considerate cunoscute. Ecuaţiile sistemului, de mai înainte,

sunt reprezentate în formă eşalon. Variind se pot determina valorile corespunzătoare ale lui, şi

ale curbei . Ecuaţia (19.12.1) oferă două soluţii, pentru unghiul dar numai soluţia care

corespunde pentru trebuie să fie utilizată. Această consideraţie este bazată pe locaţia specifică a

ariei de angrenare (Figurile: 19.12.1 şi 19.12.2)

Fig.19.12.2: Intersecţia suprafeţelor, melcului şi roţii melcate prin planul .

718

Fig.19.12.3: Obţinerea curbei arătată în figura 19.2.1.

Se consideră, acum, detrminarea punctului curent , al curbei [Fig.19.12.1(b)]. Discuţia se

limitează la profilul suprafeţei capului dintelui roţii melcate, care este arătat în figura 19.12.2. Suprafaţa

(sau ) a suprafeţei capului dintelui roţii melcate, este un cilindru de rază axa cilindrului

coincide cu axa roţii melcate. Suprafaţa , a suprafeţei capului de dinte a roţii melcate, este un cilindru

de rază axa acestui cilindru coincide cu axa melcului. Intersecţia suprafeţei , de către planul ,

este arcul de cerc de rază (figurile: 19.12.2 şi 19.12.3). Punctul , al curbei , poate fi determinat

ca punct de intersecţie al curbei şi cercul de rază (Fig.19.12.3). Curba este obţinută ca

rezultat al intersecţiei suprafeţei de acţiune (de angrenare) cu planul

Determinarea punctului curent , al curbei , pentru suprafaţa capului dintelui roţii melcate,

, este bazată pe următoarele ecuaţii:

(19.12.4)

(19.12.5)

(19.12.6)

719

(19.12.7)

Aici, unde, este raza cilindrului de la piciorul spirelor melcului, iar este jocul de

fundul spirelor; uzual, Ecuaţiile: (19.12.5) şi (19.12.6) sunt desemnate pentru determinarea lui

iar este utilizată în ecuaţia (19.12.7); coordonata este considerată ca dată de

intrare; unde,

Sistemul de ecuaţii: (19.12.4), până la (19.12.7), poate fi considerat ca un sistem de două ecuaţii

neliniare cu două necunoscute, şi Sistemul de două ecuaţii este format de către ecuaţiile:

(19.12.4) şi (19.12.7) şi poate fi rezolvat prin utilizarea unei subrutine numerice [More şi alţii, 1980;

Visual Numerics, Inc., 1998]. Un proces iterativ pentru rezolvare este bazat pe următoarea procedură, care

poate fi aplicată astfel:

Pas 1: Se utilizează ecuaţia (19.12.4), considerând ca dat şi alegând o valoare a lui Atunci, se

poate determina din ecuaţia (19.12.4). Această ecuaţie furnizează două soluţii pentru

dar numai soluţia cu va fi selectată (a se vedea locaţia ariei de angrenare în

figurile: 19.12.1 şi 19.12.2).

Pas 2: Se determină valorile lui şi utilizând ecuaţiile: (19.12.5) şi,

respectiv, (19.12.6).

Pas 3: Se verifică, dacă, ecuaţia (19.12.7) este satisfăcută, cu valoarea aleasă a lui şi, respectiv,

valoarea lui determinată din ecuaţia (19.12.4). Dacă nu, este necesară pornirea unei noi iteraţii cu

noua valoare a lui

Determinarea punctului curent , al curbei (Fig.19.12.1), pentru suprafaţa capului dintelui

(Fig.19.12.2), este bazată pe sistemul de ecuaţii, care conţine ecuaţiile: (19.12.4); (19.12.5);

(19.12.6) şi ecuaţia,

(19.12.8)

Ecuaţia (19.12.8) este utilizată în locul ecuaţiei (19.12.7). Parametrul este arătat în figura

19.12.2.

Ecuaţiile: (19.12.4) şi (19.12.8), considerate simultan, reprezintă un sistem de două ecuaţii

neliniare cu două necunoscute: şi Ecuaţiile: (19.12.5) şi (19.12.6) sunt utilizate, în acest caz,

720

Fig.19.12.4: Aria de angrenare pentru un angrenaj melc-roată melcată standard cu melc ZA (Arhimede)

Fig.19.12.5: Aria de angrenare pentru un angrenaj melc-roată melcată nestandardizat cu melc ZA.

pentru determinarea coordonatelor şi pentru punctul curent , al curbei .

Determinarea ariei de angrenare permite să se afle lungimea , a părţii active a melcului şi lăţimea

, a părţii active a roţii melcate. Aria de angrenare, pentru angrenajul melc-roată melcată cu melc ZA

(melc Arhimede), este reprezentată în figurile: 19.12.4 şi 19.12.5. Datele de intrare pentru calcul sunt

721

următoarele: Raza de divizare de funcţionare este

unde (Fig.19.12.4) şi (Fig.19.12.5). Distanţa dintre axe este

19.13 PERSPECTIVE ALE NOILOR DEZVOLTĂRI

Observaţii introductive

Angrenajele melc-roată melcată cu melci cilindrici sunt, totuşi, un exemplu de transmisie cu roţi

dinţate, pentru care, un contact al portanţei, satisfăcător este obţinut prin lepuire, sub sarcină, în carcasa

angrenajului. Cu toate acestea, astfel de lepuire este scumpă, în perioadă de timp şi nu este suficient de

eficace.

Calitatea angrenajului de construcţie actuală, depinde substanţial de identitatea frezei melc cu

melcul angrenajului melc-roată melcată. Contactul instantaneu al melcului şi roţii melcate este o linie de

contact. Noile tendinţe spre localizarea contactului de portanţă au neglijat, totuşi, domeniul angrenajelor

melc-roată melcată. Modificarea geometriei angrenajelor melc-roată melcată este inevitabilă. Secţiunile

anterioare ale acestui capitol acoperă geometria angrenajelor melcate cu melci cilindrici, având linii

instantanee de contact, ale melcilor şi roţilor melcate. Scopul acestei secţiuni este de a descrie pe scurt

perspectivele unei noi geometrii.

Bombament dublu al melcului

Abordarea spre modificarea geometriei angrenajului melc-roată melcată, cu perspective de

îmbunătăţire va fi bazată pe dublul bombament al melcului, în raport cu freza melc. Aceasta înseamnă că,

suprafaţa melcului va fi, propriu-zis, deviată faţă de suprafaţa frezei melc. Principiul de bază al

construcţiilor actuale este bazat pe aplicarea melcilor şi frezelor melc identice.

Modificarea geometriei obţinută prin dublul bombament al melcului este o extensie a abordării

care a fost deja dezvoltată pentru angrenajele, conice cu dinţi curbi, hypoid, cu dantură înclinată şi cu

dantură dreaptă. Bombamentul dublu al melcului înseamnă că, suprafaţa sa este deviată în direcţia,

profilului şi respectiv, în direcţia longitudinală, în raport cu suprafaţa frezei melc.

Bombamentul de profil al melcului, în raport cu freza melc, este echivalent cu aplicarea a doi

elicoizi modificaţi, unde un elicoid reprezintă melcul angrenajului, iar celălalt este freza melc, care a

generat roata melcată. Suprafeţele elicoizilor modificaţi sunt în tangenţă de-a lungul unei elice comune.

722

Modificarea elicoizilor este precondiţia de localizare a contactului dintre suprafeţele melcului angrenajului

şi roţii melcate.

S-a menţionat, mai înainte că, bombamentul longitudinal al melcului va fi aplicat suplimentar

bombamentului de profil. Scopul bombamentului longitudinal este de a reduce deplasarea contactului de

portanţă, evitarea contactului de muchie şi reducerea erorilor de transmitere. Toate aceste defecte sunt

cauzate de abaterea poziţionării axelor. Bombamentul longitudinal al melcului asigură o funcţie parabolică

a erorilor de transmitere. ale angrenajului melc-roată melcată, în procesul angrenării. O astfel de funcţie

este capabilă să absoarbă funcţii liniare discontinue a erorilor de transmitere cauzate de abaterea

poziţionării axelor.

Bombamentul dublu al melcului, ca o combinare bombamentului de profil şi longitudinal, este

eficace, în special, pentru angrenaje melc-roată melcată cu melci cu mai multe începuturi. Angrenajele

melcate, cu mai multe începuturi ale melcului, sunt mai sensibile la abaterile de poziţionare ale axelor,

care cauzează erori de transmitere mai mari şi vibraţii. Aceste defecte sunt reduse datorită efectului de

aplicare a funcţiei parabolice a erorilor de transmitere (a se vedea Secţiunile: 17.4; 17.6 şi 17.7).

Aplicarea frezei melc supradimensionate

Modificarea geometriei angrenajelor melcate a fost bazată, în trecut, pe aplicarea frezei melc

supradimensionate [Colbourne, 1989; Seol & Litvin 1996]. Ideea principală a construcţiei unei freze melc

supradimensionate este bazată pe creşterea numărului de începuturi ale frezei melc, în raport cu melcul

angrenajului melc-roată melcată. Această abordare reclamă o creştere a diametrului de divizare a frezei

melc.

Se poate ilustra ideea aplicării unei freze melc supradimensionate, considerând freza melc şi

melcul angrenajului a fi în angrenare interioară şi axele lor încrucişate (Fig.19.13.1). Principalele trăsături

caracteristice ale angrenării frezei melc supradimensionate cu melcul sunt următoarele:

(i) Cilindrul de divizare al frezei melc este mai mare decât al melcului, iar şi sunt,

creşterea unghiului şi a distanţei dintre axe (Fig.19.13.1).

(ii) Punctul , de tangenţă a cilindrilor de divizare, al frezei melc şi al melcului, aparţine

distanţei dintre axa frezei melc şi a roţii melcate şi axelor de angrenare (a se vedea

Secţiunea 6.11). Este uşor de verificat că, normalele la suprafeţele: frezei melc, melcului şi

roţii melcate, trec prin punctul şi aceste suprafeţe sunt în tangenţă simultană la începutul

angrenării.

(iii) Freza melc este prevăzută cu acelaşi tip de suprafaţă a spirelor ca, aceea a melcului.

723

Fig.19.13.1: Tangenţa cilindrilor de divizare, al melcului şi al frezei melc. este unghiul de încrucişare a axelor; este distanţa dintre axe.

(iv) Este evident că, suprafeţele frezei melc şi roţii melcate, care va fi generată. sunt în contact

de linie în fiecare moment, dar suprafeţele melcului şi roţii melcate sunt în contact de

punct, în fiecare moment.

(v) Alegerea supradimensionării afectează mărimea axei mari a elipsei instantanee de

contact şi nivelul erorilor de transmitere.

(vi) Generarea roţii melcate, de către o freză melc supradimensionată, trebuie să fie însoţită de

către următoarea reglare a parametrilor

unde şi , sunt distanţele dintre axele, frezei melc şi roţii melcate, precum şi dintre

melc şi, respectiv, roata melcată; şi sunt razele cilindrilor de

divizare, al frezei melc şi, respectiv, al melcului; ; şi sunt unghiurile de

pantă ale elicelor, melcului şi, respectiv, frezei melc.

De exemplu, în cazul unui angrenaj melc-roată melcată evolventic, freza melc şi melcul sunt doi

elicoizi evolventici. În cazul angrenajului melc-roată melcată de tip K (a se vedea Secţiunea 19.7), freza

melc şi melcul sunt generate de către un con cu acelaşi unghi de profil.

Figura 19.13.2 arată datele de ieşire ale TCA, pentru un angrenaj melc-roată melcată de tip K, la

care, roata melcată a fost generată cu o freză melc supradimensionată [Seol & Litvin, 1996]. Traiectoria

724

Fig.19.13.2: Exemplu de TCA pentru localizarea contactului obţinut de către o freză supradimensionată: (a) traiectoria contactului; (b) funcţia erorilor de transmitere de tip parabolic.

contactului este orientată transversal pe suprafaţa roţii melcate şi este localizată în jurul centrului flancului

roţii melcate [Fig.19.13.2(a)]. Funcţia erorilor de transmitere este de tip parabolic [Fig.19.13.2(b)].

Pentru anumite cazuri de abatere a poziţiei axelor, supradimensionarea frezei melc este negreşit,

mai mică, pentru a asigura o funcţie continuă a erorilor de transmitere. În opinia autorilor acestei cărţi,

localizarea contactului de portanţă prin bombamentul dublu al melcului este abordarea cu cel mai bun

potenţial.

Capitol corectat pe data:(i) 21. 01.07.(ii) 22.02.07.(iii) 07.05.07.(iv) 22.07.07.(iv) 27.09.07

(v) 03.06.08.

725

lit

Documents