Coordonator științificLector Univ.Dr.

DINU TEODORESCU

Târgoviște 2010

AutorProf. BADEA

VASILEȘc. Brănești

CUPRINS

Elemente fundamentale privind structurile algebrice. pg. 2

Capitolul I. INELE

1.1.    Subinel. Ideal. Inel factor pg. 10 1.2.    Idealele şi inelele factor ale inelului Z pg. 16 1.3.    Inele de fracţii pg. 18 1.4.    Inele de polinoame pg. 20 1.5.    Inelul claselor de resturi modulo n pg. 23

Capitolul II. PROPRIETĂŢI ARITMETICE ALE INELELOR

2.1.   Divizibilitatea în inele pg. 26 2.2.   Inele euclidiene pg. 33 2.3.   Inele principale pg. 37 2.4.    Inele factoriale pg. 40 2.5. Ideale prime şi ideale maximale pg. 46

Capitolul III. METODE ŞI TEHNICI DE ÎNVĂŢARE-PREDARE-EVALUARE

3.1. Unitate de invățare pg. 50Proiect didactic I pg. 54Proiect didactic II pg. 57

3.2. Strategii de predare-învățare-problematizare pg. 603.3. Strategii,moduri şi tipuri de evaluare pg. 64

Evaluarea prin metodele cercetării pedagogice pg. 66 Observaţia de evaluare pg. 66 Chestionarul de evaluare pg. 67 Analiza produselor activităţii elevilor pg. 67

Bibliografie pg. 70

1

„Matematician nu este cel ce ştie matematică, ci cel ce creează matematică” Gr. C. Moisil

INTRODUCERE

Marile succese ale tehnicii, adânc pătrunse în viaţa oamenilor, sub toate formele ei, au contribuit la recunoaşterea rolului fundamental al matematicii. Oricine ştie sau are cel puţin idee că aceste succese, în totalitatea lor, nu s-ar putea obţine fară matematică. Din acest motiv, interesul pentru matematică a crescut mereu şi, odată cu acesta, necesitatea de informare asupra acestei ştiinţe.

În multe privinţe, matematica este o ştiinţă abstractă şi aceasta în special în ceea ce priveşte modul de punere a problemelor. În timp ce un cercetător dintr-un domeniu ca medicina, zoologia , botanica, geografia, geologia sau chiar din lingvistică, istorie şi astronomie, poate sa expună unui neiniţiat marea parte a problemelor, rezultatelor, ba chiar şi a metodelor şi principiilor de bază din domeniul său de specialitate, în aşa fel încât neiniţiatul sa-şi poată face o idee de ansamblu asupra domeniului respectiv, acest lucru este foarte greu de făcut pentru fizica şi chimia contemporană şi încă şi mai greu pentru matematica contemporană. Nu numai întinderea rezultatelor a crescut mult, dar problemele sunt aşa de greu de tratat şi atat de adânci, încât nici chiar un matematician nu poate avea decât o idee de ansamnblu asupra întregii matematici.

S-a remarcat o altă descoperire a cărei fundamentare a început aproximativ cu 150 de ani în urmă. S-a observat de mult că anumite reguli pentru înmulţirea numerelor prezintă o asemănare formală cu unele reguli de adunare a numerelor. Legităţi asemănătoare, foarte simple, s-au observat şi la alte operaţii matematice, de exemplu, compunerea mişcărilor sau a permutărilor. Mult mai târziu însă, s-a ajuns la consecinţa de a deduce din aceste proprietăţi de bază, cu ajutorul unor procese logice, unele proprietaţi noi mai complexe şi mai adânci. Acest domeniu creat succesiv este ceea ce se numeşte astăzi teoria grupurilor. Şi în acest caz se poate iarăşi observa cum, la fel ca în geometria euclidiană, un sistem de axiome poate duce la dezvoltările cele mai complexe.

Părţi însemnate ale matematicii moderne, în primul rând algebra se tratează astazi axiomatic. Acest lucru se realizează astfel: fiind dată o colecţie de obiecte matematice cu un sistem de axiome, adică cu unele propoziţii, care descriu proprietaţile de bază ale acestor obiecte, să se deducă din aceste axiome consecinţele cele mai tari, cele mai complexe, adică să se dezvolte cât mai adânc teoria unei astfel de structuri, obţinându-se o privire de ansamblu asupra tuturor posibilitaţilor de realizare ale unui astfel de sistem de axiome.

Mulţimi de elemente sau obiecte pentru care oricare două dintre acestea se pot combina dupa o regulă specificată şi într-o anumită ordine, astfel încât să se obţină un al treilea element, apar în mod frecvent în toate ramurile matematicii.

2

În algebră acestea poartă numele de legi de compoziţie. Aceste legi determină pe mulţimile de numere structurile algebrice: grup, inel şi corp.

Inelele joacă un rol important în rezolvarea problemelor legate de mulţimi înzestrate cu două operaţii binare. Exemple concrete de mulţimi înzestrare cu două operaţii se întâlnesc de către cei care vor să studieze matematica încă din primele clase de şcoală . Ei discută despre suma şi produsul a două numere naturale deşi definiţiile mai concrete ale operaţiilor de adunare şi înmulţire în mulţimea numerelor naturale nu le pot înţelege încă. În liceu sunt învăţaţi să definească corect operaţiile de adunare şi înmulţire în mulţimea numerelor întregi, raţionale, reale, complexe, în mulţimea polinoamelor cu o nedeterminată, în mulţimea matricilor pătratice.Asemenea exemple concrete de mulţimi înzestrate cu două operaţii binare, pot fi studiate dintr-un punct de vedere mai larg, prin introducerea noţiunilor de inel şi corp.

În lucrarea de faţă am facut o trecere în revistă a celor mai cunoscute noţiuni despre inele, realizând o prezentare teoretică a acestora, cu accent pe cele euclidiene.

3

INELE

Se numeşte inel o mulţime nevidă A, împreună cu două operaţii algebrice, dintre care una se notează de regulă aditiv, iar cealaltă multiplicativ, cu următoarele proprietăţi: a) A împreună cu operaţia aditivă este grup abelian;b) A împreună cu operaţia de înmulţire este semigrup;c) operaţia de înmulţire este distributivă faţă de adunare, deci:

a (b+c) = ab + ac,(b+c) a = ba + ca

pentru orice a, b, c ∈ A.Pe o mulţime formată dintr-un singur element există o singură structură de inel

în care acel element este elementul nul şi elementul unitate. Acest inel va fi numit inel nul. Un inel care conţine cel puţin două elemente va fi numit inel nenul.

Inelul A - se numeşte comutativ dacă operaţia de înmulţire este comutativă;

- se numeşte unitar sau inel cu element unitate dacă operaţia de înmulţire are element unitate, adică semigrupul multiplicativ este unitar.

Dacă 0 este elementul unitate pentru operaţia de adunare din A, atunci avem 0a = a0 =0, pentru orice a∈A. Întradevăr avem a0 = a(0+0) = a0+a0 şi deci, adunând la ambii membrii ai acestei relaţii pe -a0, obţinem a0 =0. Faptul că 0a = 0 se demonstrează cu totul analog.

Un element a din inelul A se numeşte divizor al lui zero la stânga ( la dreapta) dacă există b ≠ 0, b∈A, astfel ca ba = 0 (respectiv ab = 0 ). Rezultă astfel că 0 este divizor al lui zero la stânga şi la dreapta în orice inel nenul. Un inel nenul A comutativ,cu element unitate şi care nu are divizori ai lui zero se numeşte inel integru sau domeniu de integritate. Spunem că inelul A nu are divizori ai lui zero dacă 0 este singurul divizor al lui zero în A şi spunem că A are divizori ai lui zero în caz contrar.

Dacă a∈A şi -a este opusul său, atunci pentru orice b,c ∈A avem c(b-a) = cb - ca şi ( b-a)c = bc - ac. În particular, (-a)b = a(-b) = - (ab). Întradevăr, fie b - a = d, atunci b = d + a şi cb = cd + ca, adică cb - ca = cd = c(b-a). A doua relaţie se demonstrează analog. Elementele inversabile pentru operaţia de înmulţire din inelul (unitar) A se mai numesc şi unităţi ale lui A [ a se face distincţie între o unitate a unui inel (element inversabil) şi elementul unitate al inelului]. Aceste elemente formează un grup multiplicativ.

Propoziţia I : Dacă inelul unitar A este diferit de inelul nul, atunci orice element inversabil din A nu este divizor al lui zero, în particular este ≠ 0 şi 1 ≠ 0.

Demonstraţie : Să presupunem că a este element inversabil în A şi că ar fi divizor al lui zero la dreapta. Atunci ar exista b≠ 0 astfel ca ab = 0. Înmulţind această relaţie cu inversul lui a, care există, obţinem b = 0, clară contradicţie.

4

Definiţie: Fiind date două inele A,B, o funcţie φ: A→B se numeşte morfism (sau omomorfism) de inele dacă satisface următoarele două proprietăţi:

1) φ(a + b) = φ(a) + φ(b), pentru orice a,b∈ A;2) φ(ab) = φ(a) φ(b), pentru orice a,b∈ A.

Prima proprietate exprimă faptul că φ este, în particular, un morfismde grupuri de la grupul aditiv al lui A la grupul aditiv al lui B. Deci din proprietăţile morfismelor de grupuri rezultă atunci că φ(0) = 0 (am notat cu 0 elementul nul în A şi B) şi φ(-a) = -φ(a), pentru orice a∈ A.

Din a doua proprietate însă nu se poate deduce că φ(1) = 1 (cu 1 am notat elementul unitate la înmulţire din A şi B) în cazul în care A şi B sunt inele unitare. Dacă această proprietate este însă satisfăcută, se spune că morfismul φ este unitar.

Se verifică imediat că compunerea (în sensul compunerii funcţiilor) a două morfisme (unitare) de inele este încă un morfism (unitar) de inele. De asemenea,

funcţia identică : A→A este pentru orice inel A un morfism de inele (evident acest

morfism este unitar dacă A are element unitate).Dacă A→B este un morfism unitar de inele, A fiind un inel comutativ, atunci

se spune că B este o A-algebră, dacă pentru orice a∈ A, b∈B avem φ(a)b = bφ(a) (ultima condiţie este întotdeauna verificată dacă B este comutativ). De obicei, atunci când nu se poate face nicio confuzie, pentru a∈ A şi b∈B produsul φ(a)b = bφ(a) se notează cu ab = ba. Se verifică imediat că dacă B este o A-algebră comutativă, iar C este o B-algebră, atunci C este o A-algebră prin intermediul compunerii morfismelor respective. Morfismul φ se numeşte morfismul structural (sau de structură) al A-algebrei B. Noţiunea de A-algebră este mai des utilizată în cazul în care A este corp comutativ. O A-algebră se numeşte comutativă dacă B este inel comutativ. Deci, un acelaşi inel B poate să aibă mai multe structuri de A-algebră.

Fie φ: A→B şi φ: A→C două A-algebre. Atunci o funcţie θ: B→C se numeştemorfism de A-algebre dacă θ este un morfism de inele şi θφ = ψ, adică diagrama

C este comutativă. Numim endomorfism al inelului A un morfism de inele de la A la A.

Un morfism de inele φ: A→B se numeşte injectiv dacă funcţia φ este injectivă. Morfismul φ se numeşte surjectiv dacă φ este o funcţie surjectivă.

Spunem că un morfism de inele φ: A→B este izomorfism dacă există un

morfism de inele φ :B→A astfel încât φ φ = , φφ = . Ca şi

la grupuri şi mulţimi este adevărată următoarea propoziţie: Propoziţia 1.4: Un morfism de inele este izomorfism dacă şi

numai dacă este bijectiv (adică este injectiv şi surjectiv). Demonstraţie: Dacă φ: A→B este izomorfism de inele,atunci rezultă că φ este

şi un izomorfism de mulţimi (şi de grupuri), deci după cum ştim este bijecţie. Reciproc, dacă φ este morfism bijectiv, atunci el este în particular un izomorfism de

grupuri, deci există φ :B→A, morfism de grupuri, astfel ca φ φ= şi φφ = .

5

Rămâne doar să arătăm că φ este chiar morfism de inele, adică satisface condiţia 2) de mai sus. Fie deci a `, b`∈B; trebuie să arătăm că φ ( a ` b`) = φ ( a `) φ (b`). Avem φ(φ ( a ` b`)) = a ` b` şi φ( φ ( a `) φ ( b`)) = φ(φ ( a)) φ(φ ( b)) = a ` b` şi afirmaţia rezultă din faptul că φ este funcţie injectivă.

Mulţimea numerelor întregi Z, mulţimea numerelor raţionale Q şi mulţimea numerelor reale R cu operaţiile de adunare şi înmulţire formează inel. Acestea sunt inele comutative cu element unitate, iar injecţiile canonice Z →Q→R sunt evident morfisme unitare de inele. Elementele inversabile în Z sunt 1 şi -1, iar în Q şi R toate elementele nenule.

În inelul Z dacă considerăm subgrupul nZ ale grupului aditiv al lui Z, unde n∈Z,atunci este clar că, considerând pe acest subgrup şi operaţia de înmulţire, avem pe nZ o structură de inel comutativ care nu are element unitate dacă n ≠ ±1 şi n ≠ 0, adică nZ ≠ Z şi nZ ≠ (0). Inelele nZ pentru orice n∈Z, n >1, sunt evident fără divizori ai lui 0; injecţiile canonice nZ→Z sunt morfisme de inele.

Fie A şi B două inele. Atunci considerându-le cu structura lor de grupuri abeliene, putem construi produsul lor direct A B, care este, de asemenea,un grup abelian. Putem însă introduce pe A B o structură de inel dedusă din structurile de inele ale lui A şi B în modul următor: definim pe A B următoarea operaţie de înmulţire ( a , b) ( a `, b`) = (a a `,b b`) pentru a, a `∈ A şi b, b`∈B. Se verifică imediat că, cu aceste două operaţii algebrice, A B formează inel (verificarea distributivităţii înmulţirii faţă de adunare este imediată,ea se face pe componente). Evident, dacă A şi B sunt inele comutative şi produsul lor direct este un inel comutativ, iar dacă A şi B sunt unitare şi notăm elementul unitate ci 1 în ambele inele, atunci elementul (1,-1) este unitate în produsul direct A × B. Dacă inelele A şi B sunt nenuleatunci produsul lor direct A × B este un inel cu divizori ai lui zero. Întradevăr, dacă a∈ A, a ≠ 0, b∈B, b ≠ 0, atunci (a,0) (0,b) = (0,0). În particular, inelul Z × Z are divizori ai lui zero.

Aplicaţiile canonice i : A→ A × B, i : B→ A× B

p : A× B→ A, p : A× B→B definite prin i (a) = (a,0), i (b) = (0,b), p (a,b) = a, p (a,b) = b pentru a∈ A, b∈B sunt morfisme de inele, p şi p sunt morfisme surjective unitare dacă inelele A şi B sunt inele unitare, pe când i , i nu sunt morfisme unitare pentru A şi B inele unitare nenule, ele sunt însă injective.Fie M o mulţime şi R un inel. Pe mulţimea R a funcţiilor de M la R se poate introduce o structură de inel, indusă de structura de inel a lui R, definind operaţiile algebrice astfel:dacă f, g ∈ R

(f+g)(a) = f(a) + g(a), pentru orice a∈ R.(fg) (a) = f(a)g(a)

Este evident că dacă R este inel comutativ, şi inelul R este comutativ. Aplicaţia canonică

φ: R →R ,

6

definită prin φ(a)(m) = a, pentru orice m∈M, a∈ R, este un morfism injectiv de inele, care este unitar dacă R are element unitate şi este izomorfism dacă M este constituită dintr-un singur element.

Dacă { R }, i ∈I, este o familie de inele, atunci putem defini pe produsul direct al grupurilor R o structură de inel definind produsul pe componente; adică, pentru f,

g ∈ R =

definim fg = h, unde h(i) = f(i) g(i), pentru orice i ∈I. Folosind notaţiile din

aliniatul precedent, rezultă R = , unde R ≌ R.

Fie R un inel, M = {1,.....,m}, N = {1,....,n} mulţimea primelor m, respectiv n numere naturale nenule. Considerăm mulţimea funcţiilor de la M×N cu valori în R, notată R . Pe această mulţime se poate introduce o operaţie algebrică indusă de operaţia algebrică de adunare a lui R, împreună cu care această mulţime formează grup. Fie A∈R , atunci punând A(i,j) = a ∈R, i∈M, j∈N putem să notăm pe A ca un tablou de forma

care se numeşte de obicei matrice cu elemente din inelul R, mai precis, matrice cu m linii şi n coloane cu elemente din inelul R. Importanţa faptului că se consideră matrice cu elemente dintr-un inel constă în aceea că între anumite matrice se poate da o

compunere numită produsul matricelor. Anume, dacă A ∈ şi B∈ , unde

P = {1, 2, ...,p} atunci cuplului A, B i se ataşează o matrice C ∈ , astfel: fie

A = ( ) , B = ( ) atunci C =( )

are elementele definite astfel: = aijbjk. Aşadar, pentru a obţine elementul

din matricea C de pe linia i şi coloana k se face suma produselor elementelor corespunzătoare de pe linia i a matricei A cu cele de pe coloana j a matricei B. De aceea se spune uneori că se „înmulţesc liniile cu coloanele” .

Se scrie C = AB.Compunerea matricelor nu este o operaţie algebrică definită pe mulţimea tuturor

matricelor; ea este asemănătoare compunerii funcţiilor, compunerii morfismelor de grupuri sau inele etc. Vom vedea ulterior legătura strînsă care există între înmulţirea matricelor şi morfismele de module.

Vom nota cu Mmxn(R) mulţimea tuturor matricelor cu m linii şi n coloane cu elemente din inelul R şi vom considera pe această mulţime operaţia dedusă din operaţia de adunare pe R cu care formează grup comutativ (notat aditiv).

Înmulţirea matricelor are următoarele proprietăţi:

a) Dacă A = ( ) , B = ( ) , C=( )

atunci

7

(1) (AB)C = A(BC),deci o proprietate de asociativitate. Se observă mai întîi că în (1) produsele sunt definite. Să demonstrăm acum egalitatea (1). Fie

AB = ( ) , atunci = şi (AB)C = ( )

unde

= = ( ) = .

Fie:

BC = ( ) , atunci =

şi dacă A(BC) = ( ), atunci

= = = ,

ceea ce demonstrează egalitatea (1). b) Dacă A = ( ) , B = ( ) , C = ( ) ,atunci A(B + C) = AB + AC.

În adevăr, dacă

A(B + C) = ( ) , atunci = ( + ) .

Dacă AB + AC = ( ), atunci = +

şi egalitatea cerută rezultă din distributivitatea înmulţirii faţă de adunare în inelul R.Analog, dacă

A=( ) , B =( ) , C =( ) ,atunci

(A + B)C = AC + BC.Este evident, de asemenea, că dacă A este matricea din Mmxn(R) cu toate elementele nule (deci elementul nul al grupului aditiv), atunci pentru orice matrice B∈Mnxp(R) avem AB = A0 . Dacă B este elementul nul al .grupului Mnxp(R) iar A o matrice oarecare din Mmxn(R) atunci AB = A0, unde A0 este elementul nul al grupului Mmx p(R) .

Dacă se consideră grupul matricelor Mmxm(R) pe care îl vom nota cu Mm(R), atunci operaţia de compunere definită mai sus induce pe Mm(R) o operaţie algebrică notată multiplicativ şi Mm(R) împreună cu operaţia de adunare şi înmulţire astfel definită formează un inel, numit inelul matricelor pătrate de ordinul m. Acest lucru rezultă imediat din proprietăţile produsului de matrice, demonstrate mai sus. Dacă inelul A are element unitate, atunci matricea

E = (δ )∈Mm(R),cu δ ={

8

este element unitate în acest inel, după cum se verifică cu uşurinţă (funcţia δ definită mai sus se numeşte simbolul lui Kronecker, uneori se scrie δ ). Matricea E are forma

E =

Inelul (R) este evident izomorf cu R prin morfismul care asociază

elementului a∈ R matricea cu o singură linie şi coloană (a) . Dacă R este inel cu element unitate diferit de 0, atunci inelul Mm(R) nu este

comutativ pentru m > 0. Vom demonstra acest lucru pentru m = 2, pentru m > 2 demonstraţia se face analog. Fie

A = şi B = ,

atunci AB = şi BA = ,

deci AB BA.În aceleaşi condiţii Mm (R) are divizori ai lui zero. Vom arăta acest lucru

pentru matricele de ordinul 2. Se observă că:

= ,

Funcţia φ: R →Mm(R), definită prin φ(a) = (δ a) este un morfism unitar de inele. În adevăr, este clar că φ păstrează sumele şi duce elementul unitate în elementul unitate. Să arătăm că păstreaza şi produsele. Fie a ,b∈R, atunci

φ (ab) =(δ ab) , iar φ(a) φ(b) =(cij) unde cij = (δ a) (δ b)= (δ ab) . De

asemenea se verifică imediat că, dacă R este inel comutativ, φ(a)A = A φ(a), unde a∈R , A∈ Mm(R) şi deci în acest caz Mm(R) are o structură de R- algebră.

Pentru a∈R şi A = (aij ) o matrice din Mm(R), avem că φ(a)A = (aaij ) şi se notează această matrice cu aA. Analog, Rφ(a) se notează cu Aa. Această convenţie de notaţie se obişnuieşte întotdeauna pentru un morfism de inele şi generalizează convenţia făcută pentru R-algebre, R fiind în acel caz inel comutativ.

Orice inel R cu element unitate are o unică structură de Z-algebră, adicăexistă un singur morfism unitar de inele φ: Z→R. În adevăr, dacă φ(1) =1, atunci în mod necesar φ(n) = 1+ ...... + 1 = n · 1 (de n ori) pentru n > 0 şi φ(n) = – (1+ ..... +1) = n · 1 (de –n ori) pentru n< 0 şi astfel φ este complet definită şi se observă că este morfism de inele (adică păstrează şi produsele).

Fie R un inel care nu are element unitate. Atunci lui îi putem asocia un inel unitar în modul următor: considerăm produsul direct al grupurilor aditive Z X R pe care introducem următoarea operaţie de înmulţire:

(n , a ) (n ' , a') = (nn', na' + an' + aa').Se verifică imediat că această înmulţire este asociativă şi distributivă faţă de

adunare. Deci Z x R formează un inel. Acest inel are ca element unitate elementul (1,0) şi dacă R este comutativ inelul Z xR este comutativ. Funcţia φ: R→ Z X

9

R, definită prin φ(a) = (0, a), este evident un morfism de inele, deci A se poate identifica cu un subinel al lui ZxR.

Folosind proprietăţile de mai sus, se poate constata că multe proprietăţi ale inelului R se pot obţine din proprietăţi corespunzătoare ale inelului cu element unitate ZxR asociat lui R.

2. Subinel, ideal şi inel factor

Definiţia 2.1. O submulţime nevidă A' a inelului A se numeşte subinel al inelului A dacă operaţiile algebrice de pe A induc pe A' operaţii algebrice împreună cu care A' formează un inel.

Aşadar, A' trebuie să fie în particular subgrup al grupului aditiv al lui A, ceea ce este echivalent după câte ştim de la grupuri cu:

1)Oricare ar fi a ,b∈A' , rezultă a — b∈A'.Apoi trebuie ca operaţia de înmulţire pe A să inducă pe A' o operaţie algebrică, ceea ce este echivalent cu:

2)Oricare ar fi a ,b∈ A ' , rezultă ab∈A'.Prin urmare, condiţiile 1) şi 2) sunt necesare ca A' să fie subinel al lui A. Ele sunt însă şi suficiente. În adevăr, dacă ele sînt verificate, A' este subgrup al grupului aditiv al lui A, după cum rezultă din 1). Mai rămîne să arătăm că operaţia de înmulţire pe A' este asociativă, ceea ce rezultă din faptul că operaţia de înmulţire pe A este asociativă, şi că această operaţie este distributivă faţă de adunare, ceea ce rezultă din faptul că operaţia de înmulţire în A este distributivă faţă de adunare. De obicei, în cazul inelelor cu unitate, se consideră îndeosebi subinele care conţin elementul unitate.

Propoziţia 2.1. O intersecţie de subinele (unitare,) ale unui inel este un subinel (unitar).Demonstraţie. Fie {Bi} i∈I o familie de subinele ale inelului A şi B = . Dacă a,b∈B, atunci a ,b∈Bi pentru toţi i∈I , deci a — b∈Bi şi ab∈Bi pentru

orice i ∈I , fiindcă Bi sunt subinele. De aici rezultă că a — b∈ =B şi ab∈= B, adică B este subinel. Este clar că dacă 1∈ Bi pentru toţi i∈I , adică

Bi sunt subinele unitare, atunci 1∈ B ; deci B este subinel unitar.Definiţia 2.3. Fie A un inel. O submulţime I a lui A se numeşte ideal stâng

(respectiv drept) sau ideal la stânga (respectiv la dreapta) dacă I este un subgrup al grupului aditiv al lui A, adică:

3)Oricare ar fi a ,b∈I , rezultă a— b∈I şi în plus4)Oricare ar fi a∈ I şi ∈A, rezultă a∈I (respectiv a ∈I).

I se numeşte ideal bilateral dacă este ideal la stânga şi la dreapta.. Din această definiţie rezultă imediat că orice ideal stâng sau drept al inelului A este un subinel al lui A.De asemenea, dacă inelul A este comutativ, noţiunile de ideal stâng, ideal drept şi bilateral coincid. De aceea, în acest caz se foloseşte denumirea de ideal al inelului A. În orice inel submulţimea formată din elementul nul, notată cu (0) şi întreg inelul sunt ideale bilaterale.

10

În continuare, dacă nu vom specifica altfel, prin inel vom înţelege un inel unitar,iar prin subinel un subinel unitar. De asemenea, toate morfismele de inele vor fi considerate unitare, dacă nu se specifică altfel. Unele dintre proprietăţi pot rămîne însă valabile şi pentru inele,subinele şi morfisme care nu sunt unitare.

Propoziţia 2.4. Fie f: A →B un morfism de inele.Atunci: i)Dacă A' este un subinel în A, atunci f (A') este subinel în B. În

particular,Imf estesubinel în B.

ii)Dacă B' este subinel al lui B, atunci (B') este subinel în A.

iii)Dacă J este ideal stâng (drept, bilateral) în B, atunci (J) este ideal

stâng (drept, bilateral) în A. În particular, Ker f este ideal bilateral în A. iv)Dacă în plus f este morfism surjectiv şi I este ideal stâng

(drept,bilateral) în A, atunci f ( I )es te idea l s tâng( drept,bilateral) în B. Aplicaţia care asociază unui ideal stâng(drept,bilateral) J din B idealul

stâng(drept,bilateral) (J) din A este un izomorfism de mulţimi ordonate(cu

incluziunea) între idealele stângi (drepte,bilaterale) ale lui B şi idealele stângi (drepte,bilaterale) ale lui A care conţin pe Ker f.

Demonstraţie. i) Deoarece orice morfism de inele este şi morfism pentru grupurile aditive respective, rezultă că f (A') este subgrup al grupului aditiv al lui B. Fie ,β∈ f (A') .Există atunci a ,b∈ A' astfel ca f (a )= şi f (b)= β. Atunci, din faptul că a ,b∈ A' şi f (ab)= f (a ) f (b), rezultă că ,β∈ f (A') .Mai observăm că elementul unitate din B aparţine lui f (A'), deci acesta este subinel în B.

ii) Faptul că (B') este subgrup al grupului aditiv al lui A rezultă din

afirmaţia corespunzătoare demonstrată la grupuri. Este,de asemenea, evident că

1∈ (B'). Fie a ,b∈ (B'), atunci f (ab)= f (a ) f (b) ∈ B', deci a ,b∈ (B').

iii) Ca şi mai sus rezultă că (J) este subgrup în A. Presupunem că J este

ideal stâng. Fie a∈ (J) şi ∈ A, atunci f ( a )= f ( ) f (a ) ∈ J. Deci a∈(J) .Pentru J ideal drept sau bilateral demonstraţia este analoagă. A doua afirmaţie rezultă din faptul că (0) este ideal bilateral în B. iv) Ca şi în iii), demonstrăm afirmaţia pentru I ideal stâng şi rămâne să arătăm că dacă a’∈ f (I ) şi ’ ∈B avem că ’ a’∈ f (I ). Din faptul că f este surjectivă rezultă că există a∈ I şi ∈A astfel ca f(a)= a’ şi f( )= ’. Dar I fiind ideal stâng, avem a∈ I . Deci f( a)= f( ) f(a) ∈ f(I ), prin urmare ’a’∈ f (I ).

A doua afirmaţie se demonstrează analog cu corolarul II,2.7. Se observă că aplicaţia considerată este morfism de mulţimi ordonate iar inversa ei este aplicaţia care asociază unui ideal I al lui A, care conţine pe Ker f, pe f(I ) şi care este de asemenea morfism de mulţimi ordonate. Fie A un inel şi {J i}, i∈I, o familie de ideale stângi(drepte,bilaterale) în A. Atunci J = este un ideal

11

stâng (drept,bilateral) în A. În adevăr, ştim că o intersecţie de subgrupuri ale unui grup este un subgrup al acestuia, deci J este un subgrup al grupului aditiv al lui A. Să presupunem că J i sunt ideale stângi a le lu i A(cazul în care J i sunt ideale drepte sau bilaterale se demonstrează cu totul analog). Fie ∈A şi a J. Atunci a J,pentru orice i I, deci, J fiind ideal stâng, rezultă a J i pentru orice i I ,adică a

=J.

Definiţia 2.5. Fie A un inel unitar şi M o submulţime a lui A. Prin ideal sting (drept, bilateral) generat de mulţimea M se înţelege intersecţia tuturor idealelor stângi (drepte, bilaterale) care conţin mulţimea M. Mulţimea vidă generează idealul (0). Un ideal stâng (drept, bilateral) al inelului A se numeşte de tip finit sau finit generat dacă există o mulţime finită de elemente din I care genereaza pe I. În cazul în care există un singur element care generează pe I se spune ca I este ideal stîng (drept, bilateral) principal.

Propoziţia 2.6. Fie A un inel, M o submulţime a lui A şi I un ideal stâng(bilateral) al lui A. Atunci următoarele afirmaţii sunt echivalente:

a) I este generat de mulţimea M.b) I M şi pentru orice ideal stâng(bilateral) J în A din J M

rezultă J I.c) I este mulţimea tuturor sumelor finite de forma

(1) x = ixi cu i A, x i M

(respectiv x = , A, M) pentru orice n ≥ 0 întreg.

O afirmaţie analoagă este adevărată şi pentru I ideal drept. Demonstraţie. Vom demonstra afirmaţia pentru cazul în care I este ideal stâng,

în celelalte cazuri demonstraţia se face la fel. Echivalenţa dintre a) şi b) este evidentă.' 'Fie I' mulţimea sumelor finite de forma (1). Atunci evident diferenţa a două

sume de acest tip este tot o sumă de acest tip şi înmulţind la stânga o sumă de acest fel cu un element din A se obţine un alt element din I', adică I' este ideal stâng şi evident conţine pe M. Din b) rezultă că I' I. Pe de altă parte, deoarece I M şi este ideal stâng, rezultă că I I',deci I= I’ şi s-a demonstrat astfel că afirmaţiile b) şi c) sunt echivalente.

Fie I şi J ideale stângi (drepte, bilaterale) ale inelului A. Atunci prin suma acestor ideale vom înţelege idealul stâng (drept, bilateral) generat de reuniunea submulţimilor I şi J ale lui A şi se notează cu I+ J. Din propoziţia precedentă rezultă că I + J I, I + J J şi că I + J este mulţimea elementelor din A care se scriu sub forma x = a + b, unde a I şi b J, adică I + J coincide cu subgrupul grupului aditiv al lui A, generat de subgrupurile I şi J. Dacă considerăm mulţimea idealelor stângi (drepte, bilaterale) ale inelului A, cu ordonarea dată de incluziune (adică ordonarea indusă de cea a mulţimii submulţimilor lui A), din cele demonstrate mai sus rezultă că această mulţime ordonată este o latice, cele două operaţii fiind

12

intersecţia şi suma. Mai rezultă totodată că aceste latice sunt sublatice ale laticii subgrupurilor grupului aditiv A. Din cele de mai sus rezultă că laticea idealelor stângi (respectiv drepte, bilaterale), este completă, căci există şi suma unei familii oarecare de ideale, stângi (drepte, bilaterale), ea este egală cu idealul generat de reuniunea acestor ideale stângi (respectiv drepte, bilaterale).

Pe mulţimea idealelor stângi (drepte, bilaterale) mai introducem o operaţie algebrică, numită produsul idealelor în modul următor: dacă I şi J sunt două ideale stângi (drepte, bilaterale), atunci produsul lor IJ se defineşte ca fiind idealul stâng (drept, bilateral) generat de submulţimea lui A formată din toate elementele de forma x = ab , cu a I şi b J. Din propoziţia precedentă rezultă că IJ este

mulţimea tuturor elementelor x din A de forma x = aibj ,pentru n ≥ 0

număr întreg întreg convenabil şi I, J.Se verifică imediat că, datorită asociativităţii înmulţirii din A, înmulţirea

idealelor stângi (drepte, bilaterale) este o operaţie asociativă, iar dacă inelul A este comutativ, această operaţie este şi ea comutativă. Aşadar, mulţimea idealelor stângi(drepte, bilaterale) împreună cu produsul idealelor formează un semigrup, care este unitar dacă inelul este unitar, elementul unitate fiind în acest caz întreg inelul. Acest semigrup este evident comutativ dacă inelul este comutativ.

Dacă I şi J sunt ideale stângi (drepte, bilaterale) ale inelului A, generate respectiv de mulţimile M şi N, atunci I +J este generat de M N, iar IJ este generat de mulţimea produselor de forma xy, unde x∈M şi y∈N, după cum rezultă imediat din definiţia sumei şi a produsului de ideale. De aici rezultă, în particular,că suma şi produsul a două ideale stângi(drepte, bilaterale) de tip finit este un ideal de tip finit.

Dacă A este un inel comutativ unitar şi {x }i∈I este o submulţime de

elemente din A vom nota cu (x i ) , i∈I sau x A sau încă Ax idealul

generat de această mulţime. În particular,idealul generat de un element x∈A se va nota cu (x ), xA sau Ax.

În orice inel A idealul (0) şi întreg inelul A sunt ideale principale; (0) este generat de elementul 0, iar A este generat de orice element inversabil.

Dacă f : A→B este un morfism de inele, atunci este clar că f este injectiv dacă şi numai dacă Ker f = (0), după cum am văzut pentru grupuri ( f fiind şi morfism de grupuri pentru structurile de grup aditiv ale lui A şi B).Morfismul f este

surjectiv dacă şi numai dacă f = B. Dacă Ker f = 0, adică f este injectiv, din

propoziţia 2.4 rezultă că A este izomorf cu f şi deci A poate fi identificat cu

imaginea sa în B, adică putem considera pe A ca un subinel al lui B, ceea ce se face de obicei. Reciproc, dacă A este un subinel al lui B, atunci injecţia canonică A→B este evident un morfism injectiv de inele.

Vom introduce o altă noţiune importantă în teoria inelelor, care se obţine prin „dualizarea” observaţiei precedente, adică vom numi inel factor (sau cât) al inelului A un inel A' împreună cu morfism surjectiv de inele p: A→ A'. Morfismul

13

surjectiv p se numeşte morfismul canonic sau surjecţia canonică. Să observăm că dacă A este inel comutativ orice inel factor A' al său este încă comutativ. În adevăr,fie ,β∈ A'; atunci, din faptul că p este morfism surjectiv, rezultă că există a ,b∈A astfel ca p(a) = , p(b) = β, unde p: A→ A' este morfismul canonic. Atunci din relaţia β = p(a) p(b) = p(ab) = p(ba) = p(b) p(a) = β verificată datorită faptului că A este inel comutativ, rezultă afirmaţia de mai sus. În mod analog, dacă A este inel unitar, atunci şi A' este inel unitar, iar morfismul canonic p este unitar. Pentru a arăta acest lucru,este suficient să arătăm că dacă 1 este elementul unitate din A, atunci p(1) este element unitate în A'. Fie ∈ A'. Atunci,dacă a∈A este astfel că p(a) = , avem p(1)= p(1) p(a) = p(1a) = p(a) = .De asemenea, trebuie să menţionăm că dacă A' este inel factor al inelui A, atunci reţinând doar structurile de grupuri aditive ale lui A şi A', se vede că A' este grup factor al lui A. La fel, în acest caz, A' este şi o mulţime factor a mulţimii A. Dacă A' este un inel factor al lui A de morfism canonic p: A→ A', atunci vom nota acest lucru şi prin (A',p) punând astfel în evidenţă şi morfismul canonic.

Propoziţia 2.7. (Proprietatea de universalitate a inelelor factor). Fie p: A→ A' un inel factor al inelului A şi φ : A→B un morfism de inele.

i) Există un morfism de inele u: A'→ B astfel ca up = φ, adică astfel încât diagrama

A A'φ u B

să fie comutativă dacă şi numai dacă Ker φ Ker p. În cazul în care u există, el este unic.

ii)Dacă există morfismul de inele u cu proprietatea din i), atunci u este surjectiv dacă şi numai dacă φ este surjectiv, adică (B, φ) este şi el inel factor al lui A.

iii)Dacă există morfismul de inele u cu proprietatea din i), atunci u este injectiv dacă şi numai dacă Ker p = Ker φ .

Demonstraţie. Folosind propoziţia II.3.5, este suficient să arătăm că dacă există morfismul de grupuri u, atunci le este morfism de inele. Fie β ∈A' şi a ,b∈A astfel ca p(a) = şi p(b) = β . Atunci:pu( β ) = u(p(a)p(b)) = (up)(ab) = φ (ab) = φ (a) φ (b) = (up)(a)(up)(b) = u( )u(β)

Corolarul 2.8. Fie (A', p') şi (A", p"), două inele factor ale inelului A. Atunci există un izomorfism de inele u: A' → A", astfel ca up' = p" dacă şi numai dacă Ker p' = Ker p".

Teorema 2.9. Fie A un inel şi I un ideal bilateral al lui A. Atunci există un inel A' şi un morfism surjectiv de inele φ: A→A' astfel încât Ker φ = I.

Demonstraţie. Considerăm pe A ca grup aditiv. Atunci I este subgrup al lui A şi considerăm grupul factor A' = A ∕ I , iar φ: A→A' morfismul canonic de grupuri, care ştim (cap. II, § 3) că are proprietatea Ker φ = I. Vom arăta că pe A' putem introduce o structură de inel astfel ca φ să fie morfism de inele. În adevăr, fie ,β∈ A ' şi fie a∈ şi b∈ β. Deci = a + I, β =b + I , atunci definim β = ab + I.

14

Clasa produsului nu depinde de elementele a şi b alese în clasele respective. Căci dacă a' ≡ a (mod I) şi b'≡ b (mod I), atunci a' = a + c, b' = b + d, cu c, d∈ I, deci a' b' = ab + cb + ad + cd şi, deoarece I este ideal bilateral în A, cb + ad+ cd∈ I, deci a' b'≡ ab (mod I). Această operaţie este asociativă pe A', deoarece operaţia de înmulţire pe A este asociativă, are element unitate dacă A are element unitate şi este distributivă faţă de adunarea pe A', deoarece înmulţirea pe A este, distributivă faţă de adunare. Avem, de asemenea:

φ (ab)= ab+ I, iar φ (a) φ (b) = (a + I)(b + I) = ab +1pentru orice a,b∈ A, deci φ este morfism de inele. Inelul construit în teorema precedentă se numeşte inelul factor (cit) a lui A în raport cu idealul bilateral I şi se

notează prin A ∕ I sau .

Corolarul 2.10. Dacă f: A→ B este un morfism de inele, atunci există un izomorfism canonic: θ׃A/Ker f Im f .

Demonstraţie. Fie f’: A →I m f morfismul de inele dedus din f prin restrângerea codomeniului.Se observă imediat că f’ este surjectiv şi că Ker f’= Ker f,adică Im f este un inel factor al lui A în raport cu Ker f şi din corolarul2.8 rezultă afirmaţia. larul 2.8 rezultă afirmaţia. Corolarul 2.11. Fie A un inel şi I J două ideale bilaterale ale sale. Atunci există un izomorfism canonic de inele:

A|IΨ: A|J

J|I

Demonstraţia este analoagă demonstraţiei corolarului .3.10, folosind propoziţia 2. 7 şi corolarul 2.10, sau se deduce direct din corolaruL.3.10 demonstrând că în acest caz Ψ este izomorfism de inele. Din cele de mai sus rezultă că subinelul, idealul bilateral şi inelul factor în teoria inelelor sunt noţiuni analoage celor de subgrup, subgrup normal, grup factor în teoria grupurilor. Propozitia 2. 12 .Fie A un inel unitar şi I un ideal stâng (drept sau bilateral). Atunci I=A dacă şi numai dacă I conţine un element inversabil din A.

Demonstraţie. Dacă I=A, atunci evident I conţine orice element inversabil din

A. Reciproc, să presupunem că I este ideal stâng şi conţine un element inversabil u. Deci există u A astfel ca u u = u u = 1.Atunci avem u u = 1 I (deoarece u I ), deci pentru orice element a A avem a =a ∙ 1 I . Fie A un inel unitar nenul şi M = inelul matricelor pătrate de ordinul m>1. După cum ştim, M este un inel necomutativ. Vom de un exemplu de ideal stâng în acest inel care nu este ţi ideal drept. Fie I mulţimea matricelor din M ale căror elemente de pe prima coloană sunt toate egale cu 0. Se verifică imediat că I este un ideal stâng în M. I nu este ideal drept pentru că:

15

=

Evident prin schimbarea liniilor cu coloanele se obţine un ideal drept al inelului M, care nu este un ideal stîng.

Propoziţia 2.13. Fie A≠ (0) inel unitar, comutativ şi finit şi a A. Atunci a este sau divizor al lui zero sau element inversabil.

Demonstraţie. Considerăm funcţia f: A A, definită prin f(b) = ab pentru orice b A. Dacă a nu este divizor al lui zero, atunci f este injectivă, căci din ab = ab' rezultă b= b'. A fiind însă mulţime finită, rezultă că f este şi funcţie surjectivă, deci există a' A astfel ca f(a') = 1, deci aa' = 1 şi a este inversabil în A.

Corolarul 2.14. Un inel integru finit are toate elementele nenule inversabile.

3. Idealele şi inelele factor ale inelului Z.

Deoarece orice ideal este subgrup al grupului aditiv al inelului, rezultă că idealele lui Z sunt printre subgrupurile grupului aditiv al lui Z, care, după cum ştim, sunt de forma n Z, cu n ≥ 0. Se observă însă că subgrupurile n Z ale lui Z sunt toate ideale ale lui Z, deci idealele lui Z coincid cu subgrupurile grupului aditiv al lui Z şi sunt toate ideale principale.Suma a două ideale n Z şi m Z este idealul generat de cel mai mare divizor comun al numerelor m şi n pe care îl notăm cu (n, m). În adevăr, dacă nZ + mZ = qZ, q ≥ 0, atunci din faptul că n qZ şi m qZ rezultă că q divide pe n, respectiv m, adică q divide pe (n, m). Pe de altă parte, rezultă că q = ns + mt, s,t Z, deci orice divizor comun al lui n şi m divide şi pe q. Aşadar, (n, m) divide pe q, de unde rezultă egalitatea cerută. În mod analog se arată că nZ ∩ mZ = [n, m]Z, unde am notat cu [n, m] cel mai mic multiplu comun al numerelor n şi m. De asemenea, rezultă că produsul idealelor nZ şi mZ este generat de produsul nm. Reamintim că două numere întregi n, m se numesc prime între ele (sau relativ prime) dacă 1 este cel mai mare divizor comun al lor.Din cele de mai sus rezultă că inelele factor ale lui Z sunt de forma: Zn = Z/nZ.

Acestea sunt inele comutative cu element unitate şi Zn are n elemente pentru n > 0. Pentru n = 0, Z 0 este izomorf cu Z.Vom demonstra câteva proprietăţi ale inelelor Zn precum şi câteva aplicaţii ale acestora.

16

Propoziţia 3.1. În inelul Zn, n > 1, un element este inversabil dacă şi numai dacă există a Z, a relativ prim cu n, astfel încât p(a) = , unde p : Z Zn este surjecţia canonică. În particular, dacă n este prim, orice element nenul din Zn este inversabil.Demonstraţie. A doua afirmaţie a propoziţiei rezultă din prima. Pentru a demonstra prima afirmaţie vom observa că dacă a Z şi are proprietatea că este relativ prim cu n , adică (a, n) = 1, atunci, pentru orice a ' Z, cu a ' ≡ a mod n, avem de asemenea (a ' ,n) = 1. În adevăr, dacă un număr divide pe a ' ş i n atunci el divide pe a, căci acesta are forma a '+ kn, cu k Z .Dacă a este un reprezentant al lui şi (a, n) = 1, atunci, după cum am observat mai sus, există b, c Z astfel încât ab + nc = 1. Trecând această relaţie în Zn, se obţine că p(b) = 1, deci p(b) este inversul lui . Reciproc să presupunem că Zn este inversabil, deci există β Zn astfel încât β = 1.Dacă, a, b Z sunt astfel încât p(a) = , p(b) = β, atunci rezultă că ab ≡1 mod n,de unde rezultă că (a, n) = 1.

Propoziţia 3.2. Fie m,n > 1 numere întregi, prime între ele. Atunci inelul Zn Zm este izomorf cu Zmn.

Demonstraţie. Fie pm : Z Zm,pn : Z Zn, pmn : Z Zmn, surjecţiile canonice şi p’ : Z Zm Zn aplicaţia definită prin p’( a )=( pm( a ), pn( a)). Aplicaţia p’ este un morfism de inele, după cum se verifică cu uşurinţă, iar Ker p’ = mn Z .În adevăr, mn Z Ker p’. Fie x Ker p’. Atunci pm( ) = 0 şi pn( ) = 0, deci se divide cu m şi cu n şi cum (m,n) = 1 rezultă că x se divide cu produsul mn , adică mn Z şi Ker p’ mn Z . Din propoziţia 2.7 rezultă că există un morfism injectiv de inele p : Zmn Zm x Zn şi.deoarece inelele Zmn şi Zm x Zn au acelaşi număr de elemente. rezultă că p este şi surjectiv.

Fie φ׃ N N funcţia definită prin:φ(0) = 0, φ(1) = 1 şi φ(n) = numărul numerelor naturale nenule, prime cu n şi mai mici decât n, pentru n > 1 . Aplicaţia φ se numeşte funcşia lui Euler sau indicatorul lui Euler. Din propoziţia 3.1 rezultă că Zn coincide cu numărul elementelor inversabile din inelul Zn, dacă n ≥ 1.

Propoziţia 3.4. Dacă m şi n sunt numere naturale prime între ele, atunci φ(mn) = φ(m) φ(n).

Demonstraţie. Dacă unul din numerele m, n este nul,afirmaţia este evidentă. În caz contrar, φ(mn) coincide cu numărul elementelor inversabile din inelul Zm x Zn după cum rezultă din propoziţia precedentă. Acum afirmaţia propoziţiei rezultă din lema care urmează şi a cărei demonstraţie este imediată.

Lema 3.5. Fie A şi B două inele unitare. Notăm cu A*, B* şi (AxB )* respectiv, grupul multiplicativ al elementelor inversabile din A, B şi AxB. Atunci există egalitatea (AxB )* = A* x B*.

Propoziţia 3.6. Fie n > 1 un număr întreg şi n = .......descompunerea sa în produs de numere prime, unde , ,....... sunt numere prime

distincte. Atunci φ(n) = ( 1 - ) ( 1 - ) ........... ( 1 - ).

17

Demonstraţie Din propoziţia 3.4 rezultă că φ(n) = φ( )φ( )......φ( )

Atunci este suficient să arătăm că φ( ) , ceea ce rezultă din faptul că

numerele naturale mai mici decât şi care se divid cu sunt în număr de

, anume 0, ,2 ,....,( -1) , ,...,( ) .

Propoziţia 3.7 ( Teorema lui Euler). Dacă a şi n>0 sunt numere întregi prime între ele, atunci

Demonstraţie. Deoarece grupul multiplicativ al elementelor inversabile din are ordinul , iar clasa â a lui a aparţine acestui grup, rezultă că = , relaţie care este echivalentă cu afirmaţia propoziţiei.

Pentru n număr prim, avem φ (n)=n-1 şi se obţine din propoziţia precedentă următorul corolar cunoscut sub numele de Teorema lui Fermat sau mica teoremă a lui Fermat.

Corolarul 3.8 Dacă p>1 este un număr întreg prim şi a un întreg care nu se divide cu p ,atunci

4. Inele de fracţii

O noţiune importantă în teoria structurilor algebrice, în particular în teoriainelelor, este aceea de scufundare izomorfă . Anume, vom spune că inelul (A, +, ×) se scufundã izomorf în inelul (B, +, ×) dacă există un morfism injectiv f : A ® B .Evident, în acest caz f(A) este un subinel al inelului B izomorf cu inelul A.În leg ă tură cu această noţiune este adevărată următoarea afirmaţie:

Teorema 4.1. Fiecare inel se scufundă izomorf într-un inel cu unitate.Demonstraţie. Fie inelul (A, +, ×) si să notăm B = A x Z , unde Z este

mulţimea numerelor întregi. În mulţimea B s ă definim două operaţii binare, notate tot prin + si × astfel

(a1, n1) + (a2, n2) = (a1 + a2 , n1 + n2)(a1, n1) × (a2, n2) = (a1a2 + n2a1 , n1n2)Se constată că (B, +, ×) este un inel care posedă ca element unitate perechea

(0,1) .Funcţia f : A ® B definită prin f(a) = (a, 0) este un morfism injectiv de la

inelul (A, +, ×) la inelul (B, +, ×) . Într-adevăr, faptul că această funcţie este injectivă este evident, apoi observăm că pentru orice a bÎ A ,

f(a + b ) = (a + b ,0 ) = (a, 0) + (b, 0) = f(a) + f(b)f(ab) = (ab, 0) = (a, 0) × (b, 0) = f(a) × f(b) .Prin urmare , inelul (A, +, ×) se scufundă izomorf în inelul cu unitate

(B, + , ×) .ｷO altă teoremă de scufundare, deosebit de importantă în teoria inelelor, esteurmătoarea:

18

Teorema 4.2. Fie (A, +, ×) un inel comutativ şi cu element unitate şi fie Smulţimea tuturor elementelor din A care nu sunt divizori ai lui zero. Atunci există inelul ( , +, ×) comutativ şi cu element unitate şi morfismul injectiv f : A ® A astfel încât toate elementele din f(S) sunt inversabile în inelul ( ,+ , ×) .

Demonstraţie. Observăm, mai întâi, că S ¹ Ø, deoarece cel puţin elementulunitate din inelul (A, +, ×) aparţine lui S (adică 1 Î S ) şi că , dacă s1, s2 Î S, atunci s1s2 Î S .

Apoi, se demonstrează uşor că , relaţia binară ~definită în produsul cartezian A x S prin

(a1, s1) ~ (a2, s2) Û a1s2 = a2s1este o relaţie de echivalenţă în mulţimea A x S . Deci, există mulţimea cât

A x S ~ pe care să o notăm prin , adică = ﾗ , unde

Definind în mulţimea cât A operaţiile binare prin + şi × prin

( ) + ( ) = ( )

( ) × ( ) = ( )se constată că operaţiile de adunare şi înmulţire astfel definite nu depind de

alegerea reprezentanţilor claselor. Mai mult, ( ,+ , ×), devine inel comutativ, care

posedă ca element unitate clasa ( ) .

Funcţia f :A ®A, definită prin f( a) = ( ) este un morfism injectiv de la

inelul (A,+ ,×) la inelul ( ,+ ,×) . Într-adevăr, dacă f(a1) = f(a2) , atunci , adică (a1,1) ~ (a2.1), deci a1×1 = a2×1 şi astfel a1 = a2 , prin urmare aplicaţia f este injectivă . Apoi, observăm că oricare ar fi a1, a2 Î A ,

f (a1 + a2) = ( ) = ( ) + ( ) = f(a1) + f( a2) ,

f (a1a2) = ( ) = ( ) × ( ) = f(a1) × f(a2) .Pentru a termina demonstraţia, rămâne să arătăm că elementele din f(S) sunt

inversabile în inelul ( ,+ , ×) . Dacă b Î f(S) , atunci există s Î S astfel încât

b = f(s)= ( ) deci f(S) = . Cu această precizare , observăm că oricare ar fi clasa (

) Î f (S) , există clasa ( ) Î A astfel încât ( ) × ( ) = ( ) .

De obicei elementele inelului se notează simplu prin , în loc de ( ) ,

adică = . Acest inel se numeşte inelul de fracţii al inelului (A, +, × ).

În cazul când inelul (A, +, ×) este domeniu de integritate, atunci inelul său defracţii ( ,+ , ×) este chiar un corp, deci:

Teorema 4.3. Fiecare domeniu de integritate se scufundă izomorf într-uncorp, numit corpul de fracţii al domeniului de integritate respectiv.

Pentru exemplificare, să ne reamintim cum a fost construit corpul

19

numerelor raţionale (Q,+ , ×) . Vom constata că (Q,+ , ×) este corpul de fracţii aldomeniului de integritate (Z,+ , ×).

5. Inele de polinoame.

Inelul polinoamelor intr-o nedeterminată.Fie A un inel comutativ si unitar. Vom face o construcţie a inelului de

polinoame intr-o nedeterminată peste A, care la început nu foloseşte scrierea obişnuita a polinoamelor cu ajutorul unei nedeterminate X.

Peste inelul A se considera şirurile f = (a0, a1, a2, …), ai ÎA a.i. toţi termenii săi, in afara de un număr finit dintre ei, sunt nuli.

Fie A’ mulţimea tuturor şirurilor de acest tip. Şirurile f = (a0, a1 , …) si g = (b0 , b1 , …) sunt egale daca si numai daca ai = bi, pentru orice i. Pentru A’ se definesc doua operaţii algebrice , adunarea si înmulţirea, in raport cu care A’ devine un inel comutativ si unitar.

Fie f, g ÎA’, f = (a0, a1, a2, …) , g = (b0, b1, b2,…). Atunci adunarea se defineşte astfel: f + g = (a0 + b0, a1 + b1, a2 + b2, …).

Este evident ca f + g are numai un număr finit de termeni nenuli, deci f + g Î A . Sa verificam ca (A’,+) este grup abelian .

Într-adevăr , daca f ,g, h Î A , f = (a0, a1, a2, …), g = (b0, b1, b2, …), h = (c0, c1, c2, …), atunci (f + g) + h = (a0 + b0, a1 + b1, a2 + b2, …) + + (c0, c1, c2, …) = [(a0 + b0) + c0, (a1 + b1) + c1, …] si f + (g + h) = (a0, a1, a2, …) + [(b0, b1, b2, …) + (c0, c1, c2,…)] = [a0 + (b0 + c0),a1 + (b1 + c1),…] .

Cum adunarea in inelul A este asociativa ,avem (ai + bi) + ci = ai + (bi + ci) , i = 1, 2, 3 …, de unde (f + g) + h = f + (g + h) . Analog se arata ca f + g = g + f.

Daca 0 = (0, 0, 0, …) , atunci 0 + f = (0, 0, …) + (a0, a1, …) = (0 + a0, 0 + + a1, …) = (a0, a1, a2, …) = f = f + 0, deci 0 este element neutru pentru adunare. Daca fÎA’, f = (a0, a1, a2, …), atunci –f = (- a0, - a1, - a2, …) este opusul lui f si f + (- f) = (- f) + f = 0 .

Înmulţirea pe A se defineşte astfel:F × g = (a0b0, a0b1 + a1b0, a0b2 + a1b1 + a2b1, …) = (c0, c1, …) , unde

Ck= .Este clar ca f, gÎA’. Înmulţirea pe A’, astfel definită , este asociativă,

comutativă şi are element unitate. Să arătam mai întâi asociativitatea . Fie f, g, h ÎA’ , unde f = (a0, a1, a2, …) , g = (b0, b1, b2, …) , h = (c0,

c1, ,c2, …) şi să arătăm că (fg)h = f(gh).

Fie fg = (d0, d1, d2,…). Atunci . De asemenea, fie

(fg)h = (d0’,d1’,d2’,…), unde d’m =Daca gh = (c0,c1,…), atunci :

20

si fie f(gh) = (l’0,l’1,l’2,…), unde :

.Deci d’m = l’m pentru orice m. Deci (fg)h = f(gh) . Comutativitatea

înmulţirii rezulta din faptul ca înmulţirea in inelul A este comutativa, iar in expresia produsului polinoamelor f şi g termenii factorilor intervin in mod simetric.Elementul unitate din A’ este şirul (1, 0, 0, …) . Înmulţirea pe A’ este distributivă faţă de adunare. Într-adevăr, cu notaţiile de mai sus, rezulta :

f(g + h) = (d0, d1,…) , unde

fg + fh = (d’0,d’1,…), unde Cum operaţia de înmulţire pe A este distributiva fata de adunare rezulta f(g +

h) = fg + fh. Evident are loc si relaţia (f + g)h = fh + gh şi afirmaţia s-a demonstrat.Propoziţia 5.1.

Daca A este un inel unitar comutativ, atunci mulţimea A’ ( a şirurilor de elemente din A, care au numai un număr finit de termeni nenuli) împreuna cu operaţiile de adunare si înmulţire definite mai sus este un inel comutativ si unitar.

Elementele acestui inel se numesc polinoame peste A sau polinoame cu coeficienţi din A .

Daca f = (a0, a1, …) este un polinom nenul (adică nu toţi termenii ai sunt nuli ) şi daca n este cel mai mare număr natural cu proprietatea ca an ¹ 0 , atunci n se numeşte gradul polinomului f . Pentru polinomul nul nu se defineşte gradul. Convenim sa considerăm gradul sau ca fiind - . Daca gradul (f) = n , atunci a0, a1, …, an se numesc coeficienţii polinomului f.Fie aplicaţia u: A® A’ definita prin u(a) = (a, 0, 0, …) . Aplicaţia u este injectiva , căci, daca u(a) = u(b), atunci (a, 0, …) = (b, 0, …) Û a = b. De asemenea , u(a + b) = u(a) + u(b) şi u(ab) = u(a)u(b) , " a, b Î A , deoarece , după definiţie , este evident ca (a, 0, …) + (b, 0, …) = (a + b, 0, … ) şi (a, 0, …) × (b, 0, …) = (ab, 0, …) .

Deci u este omomorfism injectiv. Acest fapt permite sa se identifice elementul a ÎA cu imaginea sa prin u , adică polinomul (a, 0, …) din A’. Astfel, A se poate considera ca un subinel al lui A’. Notam prin X polinomul (0, 1, 0, …), care se numeşte nedeterminata X. Obţinem:

Pentru orice a Î A, avem ax = (0, 0, …, 0, a, 0, …). Fie acum un polinom de gradul n , f = (a0, a1, a2, …, an, 0, …) = (a0, 0, 0, …) + (0, a1, 0, …) + …

21

…+ (0, 0, …an, 0, …) = a0(1, 0, …) + a1(0, 1, 0, …) + … + an(0, 0, …, 1, 0,

…) = Daca an = 1 , spunem că polinomul este unitar. Inelul A’ obţinut se numeşte

inelul polinoamelor in nedeterminata X cu coeficienţi in inelul A (sau peste inelul A) si se notează cu A[X]. Observam ca f are gradul 0 sau - daca si numai daca f aparţine inelului A. Din definiţia sumei şi produsului a doua polinoame , rezultă că grad (f + g) £ max (grad(f), grad(g)) ; grad(fg) £ grad(f) + grad(g), pentru " f, g ÎA[x].Daca A este un domeniu de integritate , se poate înlocui a doua inegalitate printr-o egalitate.

Propoziţia 5.2. Daca A este un domeniu de integritate, atunci inelul de polinoame A[x] este

domeniu de integritate.Demonstraţie:

Fie f, gÎA[x] ; Atunci :

A fiind domeniu de integritate, rezultă din am ¹ 0 şi bn ¹ 0 că ambn ¹ 0, adică fg ¹ 0. În particular , pentru un corp comutativ K, inelul polinoamelor de o nedeterminată cu coeficienţi in K este un inel integru.

Propoziţia 5.3.Fie A un domeniu de integritate si A[x] inelul polinoamelor in nedeterminata X cu coeficienţi in A. Atunci elementele inversabile ale inelului A[x] coincid cu elementele inversabile ale inelului A. deci, cu notaţiile cunoscute, avem: u(A[x]) ==u(A).

Demonstraţie:Fie aÎA, inversabil in A , adică exista bÎA a.i. a × b = 1. Evident, aceasta

relaţie are loc si in A[x] , deoarece a si b sunt polinoame de gradul zero, deci a este inversabil in A[x].

Invers, fie f un polinom din A[x] inversabil. Atunci exista un polinom g Î A[x] a.i. fg = 1 şi , deci, grad(f) + grad(g) = grad(1) = 0, adică f, g Î A. Deci f Î A si f este inversabil in A. In particular, pentru un corp comutativ K, polinoamele inversabile din K[x] sunt polinoame de gradul 0 si numai acesta. Daca A nu este domeniu de integritate, putem avea u(A[x]) ¹ u(A). Intr-adevăr , polinomul neconstant 1 + 2X Î Z [x] este inversabil, deoarece (1+2x)(1+2x) = 1.

Aplicații: 1.    Sa se arate ca in inelul Q[x, y], polinomul x + y este ireductibil.

 Soluţie. Este clar ca x + y este nenul si neinversabil . Daca ar fi reductibil s-ar

descompune astfel: x + y = (a + a x + a y)(b + b x + b y) = a b + (a b + a b )x + + (a b + a b )y + (a b + a b )xy + a b x + a b y . De aici obţinem a b = 0, a b = 1 ,

22

a b = 1, a b + a b = 0 de unde a = b = 0. Apoi, din a a (a b + a b ) = 0 se obţine se obţine că a + a = 0, contradicţie .

2. Sa se arate ca in inelul C[X, Y] , polinomul X (Y + 1) + X Y + X Y + + XY + Y este ireductibil, n ³ 2 , n Î N .

Soluţie. Polinomul poate fi considerat in nedeterminata X cu coeficienţi in Q[Y] deci, in inelul Q[X][Y]. Atunci, pentru valoarea particulara y = p, p – prim , in inelul factorial Q[Y] sunt îndeplinite condiţiile din criteriul lui Eisenstein . Deci, polinomul X (Y+1) +X Y +X Y +XY +Y este ireductibil in inelul Q[X][Y] = Q[X,Y].

3. Sa se arate ca polinomul f = 3X + 4X – 6X + 7X + 21 este ireductibil in Z[X] .Soluţie. Polinomul f este primitiv. Aplicam criteriul reducţiei pentru p=2. Avem f = X +X +1Î Z [X] şi arătam că f este ireductibil in Z [X]. Deoarece f(0) = (1) = 1 ¹ 0 , rezultă că f nu are factori de gradul întâi in descompunere. Fie acum X +X +1= (aX + bX + c)(mX + nx + pX + q). Prin identificarea coeficienţilor se ajunge la am = 1, an + mb = 0, ap + bn + cm = 0, aq + bp + cn = 1, cq = 1. De aici, avem a = m = c = q = 1 si deci, b + n = 0, p + bn = 1, bp + n = 1, b + p = 0, de unde, prin calcul simplu ajungem la a = 1, contradicţie. In concluzie, f este ireductibil in Z [X]. Din criteriul reducţiei rezulta f ireductibil in Z[X].

6. Inelul claselor de resturi modulo n

Operaţiile de adunare şi înmulţire conferă mulţimii Z a numerelor întregi o structură de inel comutativ unitar şi fără divizori ai lui zero .(pe scurt inel integru ) .În acest inel mulţimea nZ a multiplilor numărului natural n (fixat) formează un ideal (bilateral) . Pe de altă parte dacă I este un ideal al inelului (Z, +, ×) atunci I este un subgrup al grupului (Z, +) deci există un număr natural n astfel încât I = nZ . Dacă I = nZ şi J = mZ sunt două ideale ale lui Z atunci I + J este de asemenea un ideal al lui Z şi există d Î Z astfel încât I + J = dZ sau nZ + mZ = dZ (putem presupune d Î N) . Din relaţia n m Î dZ rezultă d ç n şi d ç m , iar din relaţia d Î nZ + mZ rezultă că există a, b Î Z astfel încât d = an + bm . Din urma relaţiei deducem că orice divizor comun al lui m şi n este şi un divizor al lui d . Prin urmare d este cel mai mare divizor comun al numerelor întregi n şi m . Analog se demonstrează că dacă nZ Ç mZ = qZ atunci q este cel mai mic multiplu comun al lui n şi m . De asemenea are loc relaţia (nZ)(mZ) = (nm)Z .

Inelele factor ale inelului Z se construiesc prin factorizare cu ideale care au forma nZ , n Î N . Reamintim că pornind de la structura de grup aditiv a lui Z şi considerând un subgrup nZ al acestuia , relaţia x ~ y Û x – y Î nZ

23

este o relaţie de echivalenţă (numită şi relaţie de congruenţă modulo n ) şi notată în teoria numerelor prin x º z (mod n) ale cărei clase de echivalenţă au forma

Clasele de echivalenţă se mai numesc şi clase de resturi modulo n , în rolul reprezentantului r putând fi ales totdeauna un număr natural cuprins între 0 şi n – 1 . Mulţimea acestor clase Zn = capătă o structură de grup comutativ în raport cu

operaţia Construcţia amintită ţine seama numai de operaţia de adunare pe Z . Ţinând cont şi de operaţia de înmulţire din Z , deci de structura de inel , se poate completa şi structura lui Zn . Astfel operaţia

împreună cu operaţia de adunare induc pe Zn o structură de inel comutativ şi unitar Acest inel poartă numele de inelul claselor de resturi modulo n . Elementele remarcabile ale acestui inel sunt următoarele : 0 – elementul neutru (al operaţiei de adunare ) , - opusul clasei , - elementul unitate (al operaţiei de înmulţire ) .Aplicaţia jn : Z ® Zn definită prin jn (x) = este un morfism unitar de inele deoarece :

Morfismul jn se numeşte surjecţia canonică a lui Z pe inelul său factor Zn .

Dacă n = 0 atunci fiecare clasă de resturi în Z0 este de forma . Surjecţia canonică j0 = Z ® Z0 este şi injectivă , deci inelele Z şi Z0 sunt canonic izomorfe .

Dacă n = 1 atunci = Z , deci toate numerele întregi fac parte dintr-

o singură clasă de resturi , iar inelul Z1 este inelul nul , Z1 = .Inelul Zn are mai multe aplicaţii în teoria numerelor . În continuare , pe baza proprietăţilor grupurilor finite vom deduce câteva astfel de rezultate . Pentru aceasta vom stabilii mai întâi care sunt unităţile (elementele inversabile ) inelului Zn .

Teorema 6.1. În inelul Zn , n > 1, elementul este inversabil dacă şi numai dacă x şi n sunt relativ prime .

Demonstraţie. Observăm mai întâi că dacă x şi n sunt relativ prime şi y = x + kn , k Î Zn , atunci z şi n sunt de asemenea relativ prime. Dacă este inversabilă în

Z n atunci există Î Z n astfel încât , de unde xz = 1 + kn , pentru un anumit k Î Z . Din relaţia xz – kn = 1 rezultă că divizorii comuni ai lui x şi n sunt 1 , deci x şi n sunt relativ prime . Reciproc , dacă x şi n sunt relativ prime , atunci există numerele întregi a şi b astfel încât ax + bn = 1 .Luând imaginile acestor elemente prin surjecţia canonică jn şi

ţinând seama că jn (n) = 0 rezultă , adică este inversabilă în Zn . Conform teoremei precedente , de exemplu , în Z15 , şi sunt inversabile ,

dar nu este inversabilă .

24

1. Consecinţă . Dacă n este număr prim , atunci Zn este corp . Într-adevăr dacă n este număr prim , atunci 1, 2, … . n – 1 sunt relativ prime cu n şi deci toate

elementele inelului Zn diferite de elementul neutru al adunării ( ) sunt inversabile .2. Consecinţă . Inelul Zn (n > 1) conţine atâtea elemente inversabile câte numere naturale mai mici ca n şi prime cu n există , adică j (n) elemente , unde j : N ® N este funcţia lui Euler .3. Observaţie . Legătura dintre elementele inversabile din Zn şi j (n) ne permite să dăm o nouă demonstraţie faptului că indicatorul lui Euler este o funcţie multiplicativă . Pentru aceasta vom demonstra lema care urmează .

1. Lemă . Dacă m1 şi m2 , sunt numere întregi relativ prime , atunci

.Demonstraţie . Considerăm funcţia f : Z ® Zm1 x Zm2 , definită prin f (x) = (j1(x ) , j2 (x)) , unde j1 , j2 sunt surjecţiile canonice ale lui Z pe Zm1 , Zm2 . Se verifică imediat că f este morfism de inele . Dacă x Î Ker f , atunci m1 ç x , m2 ç x , şi deoarece m1 , m2 sunt relativ prime , deducem m1m2 ç x . Dacă m1m2 ç x , atunci x Î Ker f . Deci Ker f = m1m2 Z . Conform teoremei fundamentale de izomorfism Im f » Z / Ker f = Zm1m2 . Deoarece Im f are m1m2 elemente rezultă că Im f = Zm1 x Zm2 , de unde izomorfismul din enunţ .

Aplicând propoziţiile din 5. pentru izomorfismul din lema precedentă se obţine U(Zm1m2) » u (Zm1) x U (Zm2) din care deducem că j( m1m2 ) = j(m1) j(m2)

PROPRIETĂŢI ARITMETICE ALE INELELOR

Aritmetica în diverse inele a stat la baza dezvoltării algebrei în sensul ei actual. Noţiunile fundamentale ale algebrei, ca cele de inel, ideal, corp, morfism de inele etc., s-au degajat din cercetările întreprinse pentru construirea unor aritmetici în diverse inele. Interesul pentru cercetarea aritmeticii în inele a fost impulsionat de cotribuţia pe care a adus-o în rezolvarea, în anumite cazuri particulare, a celebrei probleme a lui Fermat.

Această problemă, despre care nu se ştie dacă este adevărată sau falsă (numită de obicei marea teoremă a lui Fermat), afirmă că pentru n > 2 ecuaţia nu are soluţii în numere întregi nenule. Kummer a fost acela care a adus, până în prezent, una dintre cele mai mari contribuţii în rezolvarea ei, arătând că pentru fiecare n , i se poate

25

asocia ecuaţiei un inel integru, iar în cazul în care acest inel are anumite proprietăţi aritmetice se poate arăta că ecuaţia nu are soluţii în numere întregi nenule.

În acest capitol, prin inel vom înţelege un inel comutativ unitar, deşi o bună parte dintre noţiuni rămân valabile, cu modificările respective, şi pentru inele necomutative. Noţiunile de inel Euclidian, inel principal si inel factorial care sunt introduse aici se obţin extrapolarea naturală a unor proprietăţi aritmetice ale lui . Aceste tipuri de inele au numeroase aplicaţii în teoria numerelor şi în geometria algebrică. În această lucrare se vor folosi proprietăţile lor, în special în cazul inelelor polinoamelor de o nedeterminată cu coeficienţii într-un corp. În ultimul paragraf se introduc noţiunile de ideal prim şi ideal maximal şi se arată legăturile lor cu noţieunile de element prim şi element ireductibil, precum şi cu noţiunea de inel integru şi corp.

1. Divizibilitatea în inele

Fie A un inel comutativ cu element unitate. Se spune că un element a A divide un element b A (sau b este un multiplu al lui a) şi se scrie a|b dacă există un elemnt c

A astfel ca b= ac. Dacă a|b se mai spune ca a este divizor al lui b, denumire care nu va fi folosită dacă b=0.

Este clar că relaţia de divizibilitate în A este o relaţie binară care este reflexivă, căci a|a , a=a·1 şi tranzitivă căci din a|b şi b|c rezultă b=ac, c= bc’, deci c=acc’, adică a|c. Aşadar,relaţia de dvizibilitate este o relaţie de cuasiordine pe inelul A. Ea nu este însă în general o relaţie de ordine. În adevăr, chiar în inelul al întregilor avem că 1|-1 şi -1|1, însă 1 -1.

Direct din definiţie rezultă că dacă a,b,c şi a|b, atunci a|bc, şi dacă in plus a divide şi pe c, atunci a|(b+c). De asemenea, dacă a|(b+c) şi a divide unul dintre termenii sumei el divide şi pe celălalt.

Dacă a şi b sunt elemente în A astfel încat a divide b şi b divide a, se spune că a este asociat cu b şi vom scrie a~b. Relaţia de asociere este o relaţie de echivalenţă căci a~a, iar dacă a~b, atunci evident b~a. De asemenea, se verifică imediat că relaţia de asociere este tranzitivă. În fapt această relaţie de echivalenţă este relaţia de echivalenţă asociată relaţiei de divizibilitate considarată ca o relaţie de cuasiordine .Dacă considrăm mulţimea factor în raport cu această relaţie de echivalenţă, atunci relaţia de divizibilitate introduce pe această mulţime o relaţie de ordine. Mai mult dacă a~b şi c~d, rezultă ac~bd şi atunci se constată că pe mulţimea factor putem introduce o operaţie dedusă din operaţia de înmulţire în A şi cu care această mulţime factor devine semigrup. Multe dintre proprietăţile divizibilităţii în inelul A se reduc la studiul divizibilităţii în acest semigrup, după cum se va vedea mai departe, căci aproape toate noţiunile şi afimaţiile rămân adevărate pentru elemente asociate. Acest fapt este o generalizare a aceluia că studiul aritmeticii în se reduce la studiul acesteia în .

Lema 1.1. Fie A un inel şi a, b două elemente din A. Atunci A divide pe b dacă şi numai dacă aA bA. În particular, a şi b sunt asociate dacă şi numai dacă aA= bA.

26

Demonstraţie. Dacă a divide pe b , rezultă b=aa’ cu a’ A, deci b aA, de unde rezultă bA aA. Atunci în particular b aA, adică b=aa’, cu a’ A

Propoziţia 1.2 . Fie A un inel şi a A. Atunci următoarele afirmaţii sunt echivalente:a) a~1;b) a este element ireversibil în A;c) aA=A;d) a divide orice element al inelului A.

Demonstraţie. a) b). Din faptul că a~1 rezultă că a divide pe 1, adică există a’ A astfel ca 1=aa’ şi deci a este ireversabil în A.

Implicaţia b) c) rezultă din propoziţia III.c) d) din lema precedentă, iar d) a) este evidentă.

Propoziţia precedentă dă o caracterizare a elementelor ireversabile dintr-un inel în legătură cu divizibilitatea. Ea arată că elementele ireversabile ale inelului se comportă în raport cu divizibilitatea lafel ca şi elementul unitate al inelului; de aici provine denumirea lor de unităţi.

Propoziţia 1.3. Fie A un inel integru. Atunci două elemente a,b din A sunt asociate dacă şi numai dacă a=ub, unde u este elemnt ireversabil în A.

Demonstraţie. Dacă a=ub, unde u este element ireversabil în A, atunci este clar că a şi b sunt asociate. Reciproc, să presupunem că a şi b sunt asociate. Atunci rezultă că există a’, b’ A astfel ca b=ab’ şi a=ba’, adică b=ba’b’, deci b(1-a’b’)=0. Dacă b=0, atunci evident şi a=0 şi totul este demonstrat. În caz contrar, rezultă 1-a’b’=0 (căci A este integru), deci a’ şi b’ sunt elemente ireversabile în A.

Definiţia 1.4. Fie A un inel şi a,b elemente din A. Un element c A se numeşte divizor comun al lui a şi dacă c divide pe a şi c divide pe b. Elementul d A se numeşte cel mai mare divizor comun (c.m.m.d.c) al elementelor a şi b şi se mai notează cu (a,b), dacă d este un divizor comun al elementelor a şi b şi pentru orice alt divizor comun d’ al elementelor a şi b avem d’ divide pe d.

Un element n A se numeşte multiplu comun al elementelor a,b dacă a divide pe n si b divide pe n. Elementul m A se numeşte cel mai mic multiplu comun (c.m.m.m.c) al elementelor a şi b şi se mai notează cu [a,b] dacă m este multiplu comun al elementelor a şi b şi pentru orice multiplu comun m’ al elementelor a şi b avem că m divide pe m’.

Se spune că două elemente a,b ale inelului A sunt relativ prime (sau prime între ele) dacă 1 este cel mai mare divizor comun al lor.

Evident, definiţiile date mai sus pentru c.m.m.d.c şi c.m.m.m.c. a două elemente din inelul A ca şi definiţia dată elementelor relativ prime se generalizează cu uşurinţă la un număr finit sau chiar infinit de elemente ale inelului A şi vor avea proprietăţi analoage celor din cazul a două elemente. Menţionăm că pentru două elemente arbitrare dintr-un inel oarecare se poate ca c.m.m.d.c şi c.m.m.m.c. să nu existe, după

27

cum vedea în cele ce urmează. Însă daca c.m.m.d.c şi c.m.m.m.c. a două elemente există, atunci există c.m.m.d.c şi c.m.m.m.c. pentru un număr finit de elemente.

Se observă că dacă consideram relaţia de divizibilitate ca o relaţie de preordine, atunci c.m.m.d.c al unei mulţimi de elemente este o margine inferioară a acestei mulţimi si c.m.m.m.c. este o margine superioară a acesteia.

Propoziţia care urmează exprimă proprietăţi generale ale marginilor inferioare şi superioare pentru o mulţime cuasiordonată .

Propoziţia 1.5. Fie A un inel şi a,b două elemente din A.i) Daca d A este cel mare divizor comun al elementelor a şi b , atunci un element d’ A este cel mai mare divizor comun al elementelor a şi b daca şi numai dacă este asociat cu d.ii) Dacă m este cel mai mic multiplu comun al elementelor a şi b , atunci un elemet m’ A este cel mai mic multiplu comun al elemetelor a şi b dacă şi numai dacă este asociat cu m.

Demonstraţie. Vom demonstra doar afirmaţia i), căci ii) se demonstrează analog. Din faptul că d este cel mai mare divizor comun al elementelor a şi b , iar d’ este cel mai mare divizor al elementelor a şi b rezultă că d’ divide pe d (pentru că d’ este în particular divizor comun al elementelor a şi b) şi divide d’ (pentru că în particular d este divizor comun al elementelor a şi b), adică d şi d’ sunt asociate. Reciproc, dacă presupunem d’ asociat cu d, atunci din faptul că d|a, d|b,d|d’ rezultă că d’ este divizor comun al elementelor a şi b.

Fie acum c un divizor comun arbitrar al elementelor a şi b; atunci c|d (căci d este cel mai mare divizor comun al elementelor a şi b) şi doarece d|d’ rezultă c|d’, adică d’ este cel mai mare divizor comun al elemntelor a şi b.

Din această propoziţie rezultă că cel mai mare divizor comun şi cel mai mic multiplu comun a două (sau mai multe) elemente dintr-un inel A sunt determinate până la o asociere.

Lema 1.6. Fie A un inel inegru şi a,b două elemente nenule. Dacă d este cel mai mare divizor comun al elementelor a şi b şi a=da’, b=db’, atunci a’, b’ sunt relativ prime.

Demonstraţie. Va fi suficient să arătăm că orice divizor comun al elementelor a’ şi b’ este ireversabil. Fie u un astfel de divizor; atunci du este divizor comun al lui a şi b , deci du divide pe d, adica d=duu’, u’ A. Deoarece d 0, rezultă 1=uu’, deci u este ireversabil.

Lema 1.7. Fie A un inel integru, a,b două elemente nenule din A şi d cel mai mare divizor comun al a elementelor a şi b. Dacă pentru un element c A, c 0, există cel mai mare divizor comun al elementelor ca şi cb, atunci acesta este asociat cu cd (deci şi cd este cel mai mare divizor comun al elementelor ca şi cb).

28

Demonstraţie. Fie d’ cel mai mare divizor comun al elementelor ca şi cb. Atunci din faptul că cd divide pe ca şi cb divide pe d’, deci d’=cdu, cu u A. Din ipoteză rezultă că există , a’, b’ A astfel ca:

ca=d’ , a=da’cb=d’ , b=db’

din care deduce relaţiile:cdu =cda’cdu =cdb’

şi, deoarece cd 0 ,rezultă:u =a’u =b’

deci u este divizor comun al elementelor a’ şi b’, iar din lema precedentă rezultă u element ireversabil în A.

Corolarul 1.8. Fie A un inel integru în care orice două elemente au c.m.m.d.c . Dacă a, b, c A sunt astfel încât a|bc şi a este prim cu b rezultă că a divide pe c.

În adevăr, din (a,b)=1 şi din lema precendentă rezultă că (ac,bc)=c. Cum a|ac şi a|bc rezultă că a divide pe c.

Propoziţia 1.9. Fie A un inel integru. Dacă oricare două elemente din A au cel mai mare divizor comun , atunci oricare două elemente din A au cel mai mic multiplu cmun si produsul (a,b) [a,b] este asociat cu ab, pentru a,b A, a 0, b 0.

Demonstraţie. Ne putem limita la cazul în care a şi b sunt elemente nenule. Fie d un cel mai mare divizor comun al elementelor a şi b şi a=da’, b=db’, a’,b’ A. Atunci relaţiile da’b’=ab’=a’ arată că m=da’b’ este multiplu comun al lui a si b. Fie m’ un alt multipli comun al elementelor a,b.Deci m’=a =da’ ,m’=d =db’ , cu , A. De aici rezultă că m este divizor comun al elementelor m’a’ şi m’b’, deci divide pe cel mai mare divizor comun al acestor elemente, care este, conform lemei, egal cu m’ (căci (a’,b’)=1). Aşadar, am arătat că m este cel mai mic multiplu comun al elementelor a şi b şi avem evident relaţia md=ab.

Definiţia 1.10. Fie a un element nenul si neireversabil ditr+un inel integru A. Se spune că a este ireductibil dacă orice divizor al lui a este sau asociat cu a sau este ireversabil (adică asociat cu 1) şi reductibil în caz contrar.

Din această definiţie rezultă ca dacă a este un element ireductibil din inelul A şi b un element oarecare, atunci e’cel mai mare divizor comun al elementelor a şi b există şi este asociat cu a sau un element inversabil.

Propoziţia 1.11. Într-un inel integru A un element asociat cu un element ireductibil este ireductibil.

29

Demonstraţie. Fie a un element ireductibil din A si b A un element asociat cu a. Atunci este clar ca b 0 şi b nu este ireversabil. Fie c un divizor al lui b. Atunci c divide pe a, deci este sau asociat cu a, deci şi cu b, sau c este ireversabil, ceea ce demonstrează afirmaţia propoziţiei.

Propoziţia 1.12. Fie A un inel integru si a A un element nenul si neinversabil în A. Atunci următoarele afirmaţii sunt echivalente:a) A este ireductibil în a;b) dacă a=bc, atunci a este asocia cu cel puţin unul dintre elementele b sau c;c) dacă a=bc, atunci a este asociat cu cel puţin unul dintre elementele b sau c, iar celălalt este inversabil.

Demonstraţie. a) b). Din a=bc rezultă că b este sau inversabil sau asociat cu a; lafel c este sau inversabil sau asociat cu a. Însă nu se poate ca ambele să fie inversabile căci ar rezulta a inversabil.b) c). Fie a=bc. Din b) rezultă că unul dintre elementele b sau c, sa zicem b, este asociat cu a. Deci conform propoziţiei 1.3, b=au cu u inversabil în A. Atunci din a=auc şi din faptul ca a 0 rezultă 1=uc, deci c este element inversabil. Implicaţia c) a) este evidentă.

Datorită proprietăţilor b) şi c) din propoziţia precedentă, uneori elementele ireductibile sunt numite nedecompozabile.

Definiţia 1.13. Un element neinversabil si nenul p din inelul integru A se numeste prim dacă din faptul că p|ab cu a,b A rezultă sau p|a sau p|b.

Este clar că orice element asociat cu un element prim este şi el prim.

Propoziţia 1.14. Dacă A este un inel integru , orice element prim din A este ireductibil.

Demonstraţie. Fie p un element prim în A. Atunci, dacă p=ab, rezultă p|ab, deci p|a sau p|b. În primu caz rezultă, evident, p asociat cu a, iar în cel de-al doilea p asociat cu b. Reciproca acestei teoreme nu este intotdeauna adevărată, însă propoziţia următoare dă o condiţie în care acest fapt are loc.

Propoziţia 1.15. Fie A un inel integru în care orice două elemente au un cel mai mare divizor comun . Atunci în A orice element ireductibil este prim.

Demonstraţie. Fie q un elemnt ireductibil şi să presupunem că q|ab. Dacă q|a totul s-a terminat altfel, (q,a)=1 şi din 1.8 rezultă q|b.

În inelul al întregilor raţionali numărul 2 este prim, deci şi ireductibil. În adevăr, dacă 2|ab, atunci trebuie ca cel puţin unul dintre numerele a sau b să se dividă cu 2, altfel produsul lor nu se divide cu 2, căci dacă a=2a’+1, b=2b’+1, atunci ab=4a’b’+2(b’+a’)+1, care se observă că nu se divide cu 2. Analog se arată că 3,5,7

30

etc. sunt numere prime, deci şi ireductibile. În acelaşi timp se obţine că -2,-3,-5 sunt şi ele ireductibile, fiind asociate cu cele precedente.

Fie k un corp. Atunci în inelul k[X] orice polinom de gradul 1 este ireductibil. În adevăr, dacă f este un astfel de polinom, atunci din f=gh rezultă g 0, h 0 şi grad (f)=grad(g)+grad(h)=1. De aici rezultă că sau grad (g)=1 şi grad (h)=0, sau invers, şi afirmaţia rezultă din faptul că in k[X] un polinom de gradul 0 este inversabil.

Elementul X din k[X] este prim în k[X], căci dacă X|fg, atunci este clar că cel puţin unul dintre polinoamele f sau g se divide cu X.

Fie A un domeniu de integritate a şi a un element ireductibil. Atunci a este ireductibil şi în inelul A[X] căci el este acolo, de asemenea, neinversabil şi 0 (elementele inversabile din A[X] fiind cele inversabile în A[X]), iar dacă a se descompune în produsul a două polinoame, acestea vor fi de grad 0, deci elemente din A.

Să considerăm acum inelul întregilor lui Gauss [i].

Pentru a studia în continuare mai uşor divizibilitatea în [i], considerăm funcţia N:C R, definită prin N(a+bi)=(a+bi)(a-bi)= (N este numită funcţia normă, iar N(a) norma numărului complex a).

Dacă, atunci avem relaţia:

În adevăr, fie =a+a’i, =b+b’i; atunci:=N(ab-a’b’+(ab’+a’b)i)=(ab-a’b’) +(ab’+a’b)

Iar=

Şi se verifică imediat egalitatea cerută. Evident, resticţia lui N la [i] are imaginea cuprinsă în (chiar în N) şi o vom nota tot cu N.

Să vedem mai întâi care sunt elementele inversabile în [i]. Fie une element inversabil. Atunci există astfel ca =1, de unde rezultă 1=N(1)=N( )N(

) şi deoarece N( ) şi N( ) sunt numere naturale 1 rezultă că N( )=1. Reciproc, dacă este un element astfel încât N( )=1, atunci este inversabil în [i] căci avem 1= N( )= unde este conjugatul lui , deci este inversul lui . Fie

=a+bi, a,b Z. Din cele de mai sus rezultă că este element inversabil în [i] dacă şi numai dacă N( ) , de unde rezultă că elemente inversabile din [i] sunt 1, -1, i,-i.

Din propoziţia 1.3 rezultă că dacă şi sunt elemente asociate în [i], atunci N( )= . Să mai observăm că dacă | , atunci N( )| . Reciproc, este adevărată următoarea lemă.

Lema 1.16. Dacă şi sunt astfel încât | şi N( )= , atunci este asociat cu .

Demonstraţie. Dacă =0,afirmaţia este evidentă. Pentru 0 , din faptul că | rezultă ’ astfel încât = ’. Avem atunci , deci =1, adică ’ este inversabil în [i] şi lema este demonstrată.

31

În [i] numărul 2 este reductibil căci el se scrie sub forma 2=(1+i)(1-i), iar 1+i şi 1-i nu sunt inversabile căci N(1+i)= N(1-i)=2.

Să arătăm acum că 1+i şi 1-i sunt elemente ireductibile în [i] . Fie 1+i= . Atunci 2= N(1+i)= şi avem deci o descompunere în Z a lui 2,de unde rezultă sau N( )=2 şi N =1, sau invers. Deci, conform lemei de mai sus sau este asociat cu 1+i în ,sau este asociat cu 1+i. Aşadar 1+i este element ireductibil în

. Pentru 1-i raţionamentul este analog.

Numărul 3 în este ireductibil. În adevăr, dacă ar fi ireductibil ar exista o descompunere a sa de forma 3= , în care şi sunt neinversabile. Atunci obţinem că 9=N(3)= , de unde rezultă =3 şi =3, deoarece am presupus că şi sunt neinversabile. Fie =a+bi. Atunci:

=Deci a şi se observă că nu există numere întregi a,b care să verifice

această egalitate, deci un astfel de nu există şi prin urmare 3 este ireductibil în .Considerăm inelul ;acesta este format din toate elementele care se

scriu sub forma a+bi , unde a, b Z. Definim şi aici funcţia N: N (numită funcţie normă) prin = , unde = a+bi .Se verifică imediat acestă funcţie este multiplicativă, adică pentru , avem

,de unde rezultă că dacă | , atunci .

Ca şi pentru inelul întregilor lui Gauss, avem că un element este inversabil dacă şi numai dacă =1, raţionamentul fiind întrutotul analog. Fie = a+bi ; este inversabil dacă şi numai dacă =1, de unde rezultă că în acest inel elementele inversabile sunt 1 şi -1. Se observă, de asemenea, că şi pentru acest inel ramâne valabilă lema.

Să considerăm acum elemental 3 din acest inel . 3 este ireductibil, căci dacă 3= şi şi neinversabile rezultă că 9= , adică . Dacă = a+bi ,

atunci avem 3= , ceea ce nu este posibil. Însă 3 nu este un număr prim în acest inel căci , iar 3 nu divide nici unul dintre factori. Dacă ar divide de exemplu pe , ar rezulta că N(3)=9 ar divide pe N =21. Acest exemplu arată că reciproca propoziţiei 1.14 nu este întotdeauna adevărată, adică nu în orice inel integru un element ireductibil este prim. Deducem, de asemenea, că în nu oricare două elemente au un c.m.m.d

2. Inele euclidiene

Definiţia 2.1. Un inel integru A împreună cu o funcţie se numeşte inel euclidian dacă are următoarele două proprietăţi:i) Oricare ar fi elementele nenule a,b A astfel ca a sa dividă pe b, rezultă (a) (b).ii) Pentru orice a,b A, b există q,r A astfel încât a=bq+r, unde r=0 sau (r)<

(b).

32

Ca exemplu de inele euclidiene avem inelul întregilor Z pentru care funcţia este valoarea absolută a numărului întreg:

Se ştie atunci că proprietăţile i) şi ii) din definiţia de mai sus sunt verificate. Proprietatea ii) în acest caz se numeşte teorema împărţirii întregi, denumire pe care o vom păstra pentru orice inel euclidian. Vom vedea în paragraful următor că de fapt numai această proprietate este esenţială în definiţia de mai sus.

Observăm că în Z este adevărată chiar o afimaţie mai precisă decât condiţia ii) de mai sus. Anume, pentru a,b numere întregi există q,r Z astfel încât a=bq+r, unde

, care este numită de fapt teorema împărţirii întregi.Orice corp este inel euclidian. În adevăr, dacă k este un corp, considerăm funcţia

definită prin (a)=1, pentru orice a k, a . Este evident că această funcţie are proprietăţile i) şi ii).

De asemeanea, inelul al polinoamelor de o nedeterminată cu coeficienţi în corpul k este Euclidian dacă considerăm drept funcţie gradul unui polinom nenul.

În adevăr, dacă f,g sunt polinoame nenule f|g, atunci g=ff’ cu f’ , deci grad g=grad f+grad f’ şi cum f’ 0, rezultă că grad g grad f, ceea ce verifică pe i).Pentru a verifica pe ii) să considerăm f şi g două polinoame din cu g . Dacă grad g=0 atunci f=g(g f) căci g este element diferit de zero în k, deci inversabil şi afirmaţia este dovedită.

Putem deci presupune că grad g>0;atunci vom face o inducţie după grad f. Dacă grad f<grad g, în particular pentru grad f=0, din relaţia f=g0+f rezultă ii). Presupunem acum că ii) a fost demonstrată pentru toate polinoamele f cu grad f<n. Fie atunci f un polinom de grad n:

şi să presupunem că g este un polinom de grad m. Putem presupune că m n, conform celor demonstrate mai sus. Fie:

atunci polinomul

are gradul cel mai mult n-1 şi din ipoteza inductivă rezultă că există q,r , astfel încât:

,r=0 sau grad r<grad g.Atunci avem

şi polinoamele +q şi r satisfac condiţia ii).Un alt exemplu de inel euclidian este inelul întregilor lui Gauss , în care

funcţia din definiţie este norma N. În adevăr, din faptul că norma produsului a două elemente este egală cu produsul normelor acestor elemente rezultă că i) este satisfacută. Verificăm condiţia ii). Fie =a+a’i şi =b+b’i două elemente din cu

. Atunci considerăm elementul din Q :

33

care se scrie sub forma r+si, cu r,s Q. Fie =c+c’i, unde c şi c’ sunt cele mai apropiate numere întregi de r, respectiv s şi =r-c+(s-c’)i. Avem atunci relaţia = +

şi deoarece şi (fiindcă evident ), avem = . Avem

totodată N( )=

=N( )=N( )N( )=((r-c) +(s-c’) )N( ) N( ), căci şi De aici

rezultă că este satidfăcută şi condiţia ii).

În mod analog putem să arătăm că inelul este inel euclidian. Acest inel este cel mai mic subinel al corpului numerelor complexe C care conţine elementul

. Se vede imediat că elementele lui sunt toate numerele complexe de forma a+b . Corpul de fracţii al acestui inel este corpul Q , care este constituit din toate numerele complexe de forma r+s , cu r,s Q. Definim norma unui număr din acest corp punând pentru =r+s , =(r+s )(r+s = = . Se verifică uşor relaţia:

(1) pentru orice .Evident ,resticţia lui N la este o funcţie de la acest inel în N. Din

relaţia (1) de mai sus rezultă că proprietatea i) din definiţia inelului euclidian este satisfăcută. Pentru a verifica cea de-a doua proprietate, procedăm ca şi în cazul inelului întregilor lui Gauss. Fie şi două elemente din ;atunci elementul

, deci se scrie sub forma = r+s . Fie =c+c’ ,

unde c şi c’ sunt cele mai apropiate numere întregi de r, respective s şi =r-c+(s-c’). Avem atunci relaţia = + şi , deoarece şi aparţin lui ,

rezultă că:

=

Dar N( )=N( )=N( )N= căci

. De aici rezultă că este satisfăcută condiţia ii).

Propoziţia 2.2. Într-un inel euclidian orice două elemente au un cel mai mare divizor comun şi un cel mai mic multiplu comun.

Demonstraţie.Pentru a demonstra această propoziţie vom utiluza raţionamentul care se face de obicei pentru a arăta că pentru Z este adevărată afirmaţia, adică vom aplica succesiv teorema împărţirii intregi, ceea ce se numeşte algoritmul lui Euclid. Fie a, b două elemente din inelul euclidian A. Dacă unul dintre aceste elemente este nul, atunci se observă că celălalt este un cel mai mare divizor comun al lor. Deci putem presupune a ,b . Aplicăm teorema împărţirii întregi elementelor a şi b şi obţinem a=bq +r , unde r =0 sau (r )< (b), apoi dacă r , aceeaşi teoremă o aplicăm elementelor b şi r , b= r q + , unde =0 sau

34

( )< ( r ); dacă obţinem analog r = q +r , cu r =0 sau (r )< ( ) şi se continuă mereu dacă restul obţinut este diferit de zero. Deoarece şirul ( r )> ( )>... este un şir descrescător de numere naturale, după un număr finit de paşi obţinem neapărat un rest nul şi atunci obţinem nişte relaţii de forma:

(2)

unde r , i=1,…,n. Să arătăm ca r este cel mai mare divizor comun al elementelor a şi b.

Din relaţiie (2) se vede că r divide pe r , apoi că r divide pe r , r etc. Deci r divide pe a şi b. Fie acum c un divizor comun al lui a şi b. Atunci din relaţiile (2) rezultă că c divide pe , apoi c divide pe etc. Adică c divide pe r . A doua afirmaţie a propoziţiei rezultă din cea precedentă şi din propoziţia 1.9. Din propoziţia precedentă şi din propoziţia 1.15 rezultă:

Corolarul 2.3. Într-un inel Euclidian orice element ireductibil este prim.De aici deducem că inelul nu este inel Euclidian căci în 1 am arătat că 3

este ireductibil, însă nu este prim în acest inel.Dacă A este un inel integru care nu este corp, vom arăta în 3 că A[X] nu este

euclidian.Totuşi o afirmaţie analoagă proprietăţii ii) din definiţia 2.1. este adevărată şi în acest caz. Propoziţia 2.4 Fie A un inel şi A[X] inelul polinoamelor de o nedeterminată cu coeficienţii în A. Fie

două polinoame din A[X]de grad m, respectiv n , deci b şi k =max(m-n+1,0). Atunci există polinoame q şi r din A[X] astfel ca

cu grad r<n. În plus, dacă b este nondivizor al lui zero, atunci q şi r sunt unic determinate.

Demonstraţie. Pentru m<n luăm q=0, k=0 şi r=0. Pentru m=n=k=0, rezultă k=1 şi putem lua q=a , r=0; pentru m n-1, k=m-n+1 şi vom demonstra prima afirmaţie a propoziţiei prin inducţie după m. Pentru m=n-1, k=0 şi putem lua q=0 şi r=f. Fie m n. Atunci polinomul f = are gradul cel mai mult m-1, deci există, din ipoteza inductivă, polinoamele q şi r , astfel ca

unde grad r <n.Atunci pentru f este suficient să considerăm şi r= r .

Să presupunem acum că . Atunci rezultă (q’-q)g=r’-r. Dacă q’=q, atunci evident şi r’=r. Dacă q’ , atunci din faptul că b este nondivizor al lui zero

35

rezultă că gradul polinomului din membrul stâng este n, iar cel din membrul drept <n, absurd.

Menţionăm că uneori noţiunea de inel euclidian este dată într-un sens puţin diferit. Anume, un inel integru A împreuna cu o funcţie se numeşte euclidian dacă are următoarele proprietăţi:1) (a)=0 dacă şi numai dacă a=0;2) Pentru a,b A, (ab)= (a) (b);3) Pentru a,b A nenule există q şi r A, astfel ca

a=bq+r, cu (r)< (b)Observăm că din 2) rezultă ca satisface prima proprietate din definiţia 2.1 şi

deci un inel euclidian în sensul definiţiei de mai sus este euclidian şi în sensul definiţiei 2.1. De asemenea, toate exemplele de inele euclidiene care le-am dat satisfac condiţiile 1),2) şi 3) de mai sus. În adevăr, pentru Z şi valeoarea absolută, norma, respectiv valoarea absolută a normei, satisfac condiţiile 1),2) şi 3) după cum am verificat. În cazul unui inel de polinoame cu coeficienţi într-un corp, se consideră funcţia (f)= , unde a >1 este un număr întreg şi se verifică uşor că are proprietăţile 1),2),3).

La sfârşitul paragrafului următor vom arăta că în definiţia 2.1 putem lăsa la o parte condiţia i).

Mai menţionăm, de asemenea, că în proprietăţile demonstrate aici de spre inelele euclidiene şi în teorema 3.2 nu s-au folosit alte proprietăţi ale lui N decât faptul că ordinea obişnuită N este o mulţime bineordonată, încat în definiţia 2.1 putem să înlocuim pe N cu o mulţime bineordonata arbitrară.

3. Inele principale

Definiţia 3.1. Vom numi un inel principal sau inel cu ideal principal un inel integru în care orice ideal este principal.

Din această definiţie rezultă că cprpurile comutative sunt inele principale. De asemenea, inelul întregilor Z este un inel principal. Următoarea teoremă ne dă posibilitatea să dăm şi alte exemple de inele principale.

Teorema 3.2. Un inel euclidian este principal.Demonstraţie. Demonstraţia acestei teoreme este o generalizare firească a

demonstraţiei faptului că Z este inel principal. Fie A un inel euclidian funcţia respectivă şi I un ideal în A. Vom arăta că I este ideal principal. Dacă I=(0), afirmaţia este evidentă. Dacă I , considerăm submulţimea al lui N. Deoarece N este o mulţime bineordonată, rezultă că există un element b I, b 0 astfel ca (b) să fie elementul minimal în M. Vom arăta că bA=I. Incluziunea este evidentă, deoarece b I şi I este ideal în A. Reciproc, fie a I. Deoarece b 0, existp q,r A astfel ca a=bq+r, unde r=0 sau (r) < (b). Va fi suficient să observăm că r=0, că atunci a bA. Dacă r 0, atunci din faptul că r=a-bq I şi (r) < (b) rezultă o contradicţie cu alegerea lui b.

36

Din această teoremă rezultă că inelul întregilor lui Gauss , inelul şi orice inel de polinoame de o nedeterminată cu coeficienţi într-un corp

sunt inele principale, fiindcă acestea sunt inele euclidiene . Următoarea propoziţie ne permite să dăm exemple de inele care nu sunt principale.

Propoziţia 3.3. Fie A un inel integru care nu este corp. Atunci inelul polinoamelor de o nedeterminată cu A[X] nu este inel principal.

Demonstraţie. Din faptul că A nu este corp rezultă că există un element a A, a0 şi a neinversabil. Să arătăm că idealul generat de a şi X nu este principal. Să presupunem că a A[X] +XA[X]=(f), cu f A. Atunci din a=fg cu g A[X] rezultă că fA, iar din faptul că X=fg’, g’ A[X], rezultă că f este inversabil în A si deci rezultă că A[X] +XA[X]= A[X] . De aici rezultă relaţia 1=a +X , cu a,b A[X], relaţie imposibilă căci 0, fiindcă a nu este inversabil.

Din această propoziţie rezultă că Z[X] nu este inel principal şi orice inel de polinoame de n>1 nedeterminate cu coeficienţi într-un corp nu este inel principal şi deci nici euclidian.

Vom demonstra acum câteva proprietăţi aritmetice ale inelelor principale.

Propoziţia 3.4. Fie A un inel principal şi a,b A. Atunci:i) Elementul d A este cel mai mare divizor comun al elementelor a şi b dacă şi numai dacă Aa+bB=dA.ii) Elementul m A este cel mai mic multiplu comun al elementelor a şi b dacă şi numai dacă mA= .

Demonstraţie. i) Dacă d A este cel mai mare divizor comun al elementelor a şi b, atunci avem evident a dA, b dA şi deci aA+bA dA. Însă aA+bA este ideal principal, deci aA+bA=d’A. Atunci rezultă d’ divizor comun al lui a şi b, deci d’ divide pe d, adică d’A= aA+bA dA. Reciproc, dacă d A este astfel încât aA+bA=dA, atunci evident d este divizor comun al lui a şi b şi în plus există relaţia d= a +b , cu a,b A din care rezultă că orice divizor comun al lui a şi b divide pe d.

ii) Dacă m este cel mai mic multiplu comun al elementelor a şi b, atunci evident mA . Însă idealul este principal, deci =m’A şi deoarece m’ este evident multiplu comun al elementelor a şi b, rezultă că m divide pe m’, adică mAm’A= , şi deci egalitatea cerută.

Reciproc, dacă m A este astfel ca mA= , atunci m este un multiplu comun al lui a şi b. Fie m’ alt multiplu comun al lui a şi b; atunci m’ A şi m’ bA, deci m’A =mA, deci m divide pe m’.

Aşadar într-un inel principal A idealul generat de un număr finit de elemente coincide cu idealul generat de cel mai mare divizor comun al acestor elemente.

De aici provine notaţia ( ); utilizată atât pentru c.m.m.d.c al elementelor cât şi pentru idealul generat de aceste elemente.

37

Corolarul 3.5. Într-un inel principal orice două elemente au cel mai mare divizor comun şi cel mai mic multiplu comun, iar dacă d A este cel mai mare divizor comun al elementelor a şi b din A, atunci există , A astfel ca d= a+ a.

Din acest corolar şi din propoziţia 1.15 rezultă:Corolarul 3.6. Într-un inel principal orice element ireductibil este prim. Din

acest corolar deduce că inelul nu este inel principal.Teorema 3.7. Într-un inel principal orice element nenul şi neinversabil se

descompune în produs finit de elemente prime.Demonstraţie. Deoarece orice element ireductibil este prim în inelele principale

(corolarul precedent), este suficient să arătăm că orice element nenul este produs de elemente ireductibile. Vom demonstra prin reducere la absurd, adică vom presupune că există în inelul A un element nenul şi neinversabil a care nu este produs finit de elemente ireductibile şi vom ajunge la o contradicţie. În adevăr, a nu poate fi ireductibil, deci există o descompunere a lui de forma a= ’, în care şi ’ nu sunt asociaţi cu a şi sunt elemente neinversabile şi nenule. Este clar că atunci cel puţin unul dintre elemetele şi ’ are proprietatea lui a, adică nu este produs finit de elemente ireductibile (căci altfel a ar fi produs finit de elemente ireductibile împotriva ipotezei). Raţionând analog cu , găsim un divizor lui , care este neinversabil şi neasociat cu şi care are aceeaşi proprietate ş.a.m.d. Se obţine astfel un sir infinit de elemente neinversabile din A:

a= , , ,…,cu proprieatatea divi pe şi nu este asociat cu acesta, i=0,1,… Din acest şir rezultă strict crescător infinit ideale ale inelului A:

A A A A …Lema următoare arată însă că un astfel de şir nu poate exista într-un inel principal.

Lema 3.8. Fie A un inel principal şiA A A …

un şir crescător infinit de ideale din A. Există atunci n>0 astfel că A= A pentru orice i 0

Demonstraţie. Fie . Atunci I este ideal în A, căci dacă b,c , atunci există i,j astfel ca b , iar dacă k=max(i,j), atunci b,c . Deoarece A este ideal, rezultă b-c şi pentru orice , ab , deci b-c şi a,b . Inelul A fiind principal, există astfel ca I=aA. Cum a , rezultă că există un număr natural n astfel ca a

. Atunci deduce aA şi din incluziunile A aA, pentru i , se deduce afirmaţia lemei.

În încheierea acestui paragraf să observăm că în demonstraţia faptului că orice inel euclidian este principal am folosit din definiţia inelelor euclidiene numai proprietatea ii), adică teorema impărţirii întregi. S-ar putea crede că această proprietate este eventual satisfăcută de o clasă mai largă de inele. Propoziţia următoare arată însă că în definiţia inelelor euclidiene este esenţială numai proprietatea ii).

Propoziţia 3.9. Fie A un inel integru si o funcţie care are proprietatea ii) din definiţia 2.1. Atunci funcţia , definită prin

38

când b parcurge toate elementele asociate cu a, satisface i) şi ii) şi din aceeaşi definiţie.

Demonstraţie. Vom verifica mai întâi că ’ satisface pe ii). Fie a şi b elemente din A, b 0 şi b’ un element asociat cu b pentru care ’(b)= (b’). Atunci evident b’ 0 deoarece satisface ii), rezultă că există q şi r astfel ca a=b’q+r, cu r=0 sau (r) <(b’). Însă b’=bu, cu u element inversabil în A şi deci avem că a=buq+r şi că ’(r) (r) < (b’)= ’(b), dacă r 0.

Pentru a verifica pe i), observăm că din modul în care s-a definit ’ rezultă că pentru a asociat cu a’ avem ’(a)= (a’). Să presupunem acum că a|b şi a,b 0. Atunci, din faptul că satisface ii) şi din demonstraţia teoremei 3.2, rezultă că idealul aA este ideal principal generat de un element a’, cu proprietatea că a’ 0, (a’) (c) pentru orice c . Dar din aA=a’A rezultă că a şi a’ sunt asociate, deci ’(a)= (a’), de unde

’(a)= (a’) ’(b), pentru orice element asociat cu b este idealul aA.

4. Inele factoriale

Definiţia 4.1. Un inel integru A se numeşte inel factorial sau cu descompunere unică în factori primi (ireductibili), dacă orice element neinversabil şi nenul din A se descompune într-un produs finit de elemente prime.

Din teorema 3.7 rezultă că orice inel principal este factorial. În particular, inele Z, Z[i], şi orice inel de polinoame de o nedeterminată cu coeficienţi într-un corp este inel factorial.

Lema 4.2. Dacă A este inel factorial , descompunerea unui element în produs de elemente prime este unică în afară de ordinea factorilor şi o asociere a lor. Adică, dacă

(1)unde şi , i=1,…,n, j=1,….m sunt elemente prime, atunci n=m li, schimbând eventual eventual ordinea factorilor, avem = , unde sunt elemente inversabile, i=1,…,n.

Demonstraţie. Vom face o inducţie după numărul minim al factorilor din cele două descompuneri. Vom presupune, de exemplu, că n m. Atunci, pentru n=1 avem

şi deoarece este ireductibil rezultă că este asociat cu unul dintre ,1 jm.Putem presupune că acela este . Atunci produsul …~1 şi deci toţi ,2 j m, ar

fi elemente inversabile ale linelului A, ceea ce nu este posibil. Deci m=1 şi afirmaţia este dovedită în acest caz . Presupuneam afirmaţia devedită pentru orice două descompuneri în care una are mai puţin de n factori.

Atunci , în descompunerea (a) de mai sus, din faptul că este element prin rezultă ca divide cel puţin unul dintre ,1 j m.Putem presupune că | şi deoarece este ireductibil, rezultă că ~ . Deci = u, unde u este element inversabil în A. Deci din (1) obţinem, simplificând cu ,

39

.Deoarece este element prim , rezultă că avem aici două descompuneri ale elementului a’ în produs de elemente prime şi, din ipoteză inductivă, rezultă n-1=m-1, deci n=m, iar după o eventual renumerotare ~ ,1 i n-1 şi cu aceasta totul este demonstrat.

Dacă A este un inel factorial , atunci luând din fiecare clasă de elemente asociate prime câte un reprezentant, obţinem o mulţime de elemente prime, astfel încât orice element a din A, a 0 se scrie sub forma:

Cu , i ,numere întregi nenegative şi numai un număr finit sunt nenule, iar u un element inversabil în A. Unicitatea descompunerii se exprimă atunci prin faptul că dacă

Este o altă scriere a lui a sub forma (2) , atunci u=u’ şi = , i .

Teorema 4.3. Fie A un inel integru. Următoarele afirmaţii sunt echivalente:

a) A este inel factorial.b) Orice element nenul şi neinversabil din A se descompune în produs finit de elemente ireductibile şi orice element ireductibil este prim.c) Orice element nenul şi neinversabil din A se descompune în produs finit de elemente ireductibile şi două astfel de descompuneri sunt unice în afară de ordinea factorilor şi de asociere.d) Orice element nenul şi neinversabil din A se descompune în produs finit de elemente ireductibile şi orice două elemente din A au un cel mai mare divizor comun.

Demonstraţie. Fie a un element ireductibil din inelul A. Atunci din faptul că el este produs de elemente prime rezultă că se divide cu un element prim p. Dar p fiind neinversabil, este asciat cu a.

Revenind la demonstraţia teoremei, se observă că din a) şi b) rezultă c). Pentru a arăta că c) b) este suficient să observăm că din c) rezultă că orice element ireductibil din A este prim. Fie q un element ireductibil şi să presupunem că q|ab. Atunci:

(3) ab=qq’.Considerând descompuneri ale lui a ,b şi q’ în factori ireductibili şi utilizând

unicitatea descompunerii în factori ireductibili din relaţia (3), rezultă q|ab.Până acum am arătat că a),b) şi c) sunt echivalente. Din propoziţia 1.15 rezultă

că d) b). Este suficient să observăm următoarea lemă.

Lema 4.5. Într-un inel factorial orice două elemente au cel mai mare divizor comun.

40

Demonstraţie. Fie a şi b două elemente din inel factorial A. În cazul în care unul dintre ele este nul , afirmaţia este evidentă. Putem deci presupune că a şi b sunt nenule şi fie { }, i , un sistem de reprezentanţi de elemente prime . Atunci fie

Descompunerile lui a şi b în produs de elemente prime şi

unde r =min( ),i . Atunci este clar că d este divizor comun al lui a şi b şi dacă d’ este divizor comun al elementelor a şi b,

atunci din faptul că d’ divide pe a rezultă , i , iar din faptul că d’ divide pe b rezultă n, i . Deci , i , de unde obţinem că d’ divide pe d. Aşadar, d este cel mai mare divizor comun al elementelor a şi b şi lema este demonstrată.

Din lema de mai sus rezultă că într-un inel factorial există şi cel mai mic multiplu a două elemente dacă se ţine seama de propoziţia 1.9. Se poate însă vedea imediat, cu notaţiile din lema precedentă, că elementul

Unde = max( ) este cel mai mic multiplu comun al elementelor a şi b.

Propoziţia 4.6. Fie A un inel factorial şi a, , i=1,...,s. Dacă (a, )=1,

pentru i=1,...,s, atunci

Demonstraţie. Va fi suficient să arătăm că nu există niciun element prim în A

care să dividă pe a şi pe . Fie p un astfel de element prim. Atunci rezultă că

există un j, 1 j s, astfel încat p să dividă pe , ceea ce contrazice ipoteza.Să observăm că, deoarece în inelele factoriale orice element ireductibil este

prim, rezultă că inelul nu este factorial. Se poate însă arăta cu uşurinţă, prin inducţie după norma elementelor că orice element nenul şi neinversabil din acest inel este produs de elemente ireductibile, încât această condiţie nu este suficientă ca un inel să fie factorial. Iată un exemplu de două descompuneri dinstincte în produs de elemente ireductibile ale elementului 21 în inelul :

Pentru inelele factoriale avem însă următoarea teoremă.Teorema 4.7. Dacă A este un inel factorial, atunci este un inel factorial.Pentru demonstrarea acestei teoreme avem nevoie de câteva pregătiri.

Dacă A este inel integru şi inelul polinoamelor de o nedeterminată cu coeficienţii în A , atunci, după cum ştim, este inel integru, iar elementele inversabile din sunt cele din A şi numai ele. De aici rezultă că două polinoame din sunt asociate dacă şi numai dacă se obţin unul din celălalt prin înmulţire cu

41

un element inversabil din A. Un element a divide un polinom din dacă şi numai dacă toţi coeficienţii polinomului se divid cu a.

Lema 4.8. Fie A un inel integru şi p un element prim în A. Atunci p este element prim şi în inelul .

Demonstraţie. Avem p 0 şi p neinversabil în . Fie p|fg cu f, g . Va trebui să arătăm că p divide pe f sau pe g. Să presupunem că p nu divide nici pe f nici pe g şi arătăm că atunci p nu divide nici produsul fg. Fie

.

Deoarece p nu divide pe f, rezultă că există ,0 i m, care nu se divide cu p. Fie coeficientul lui f cu k, pentru care nu se divide cu p. Analog, pentru g există

,0 l m,, cu l minim, pentru care nu se divide cu p. Atunci coeficientul al produsului fg este egal cu

şi se observă că nu se divide cu p(căci p este prim în A), iar prima sumă se divide cu p, căci fiecare termen conţine un cu i <k sau cu j<l sau suma este zero. Aşadar p nu divide pe şi nici pe fg.

Fie A un inel integru si f . Se spune că f este un polinom primitiv dacă coeficienţii lui f nu se divid cu acelaşi element prin din A. Dacă A este inel factorial, se noteaza cu c(f) cel mai mare divizor comun al coeficienţilor lui f care există după cum rezultă din lema 4.5 (c(f) se numeşte conţinutul polinomului f). Polinomul f va fi primitiv daca şi numai dacă c(f)=1. Evident, orice polinom f se scrie sub forma f= c(f)f’, unde f’ este un polinom primitiv.

Lema 4.9. Dacă A este un inel factorial şi f,g sunt două polinoame în , atunci c(fg) este asociat cu c(f)c(g). În particular, produsul a două polinoame primitive este polinom primitiv.

Demonstraţie. Fie f= c(f)f’ şi g= c(g)g’. Atunci fg= c(f)c(g)f’g’ şi este suficient să demonstrăm doar partea a doua a lemei. Fie f şi g polinoame primitive. Dacă produsul f ar fi polinom primitiv, ar exista un element prim p din A care să dividă produsul fg. Atunci, conform lemei precedente, rezultă că p divide pe f sau p divide pe g, absurd.

Lema 4.10. Fie A un inel factorial, a , a 0, g , cu polinom primitiv. Dacă g divide produsul af, atunci g divide pe f. În particular, dacă pentru două polinoame primitive f,g din avem relaţia ag=bf cu a,b , b 0, atunci f şi g sunt asociate.

42

Demonstraţie. Din faptul că g divide produsul af rezultă că există g’ astfel ca af=gg’. Aplicând lema precedentă, obţinem că ac(f)=c(g’) (deoarece c(g)=1), de unde rezultă afirmaţia lemei.

Lema 4.11. Fie A un inel factorial şi f cu grad f 1. Atunci următoarele afirmaţii sunt echivalente:a) f este ireductibil în ;b) f este primitiv şi ireductibil în , unde K este corpul de fracţii al lui A.

Demonstraţie. a) b). Dacă f este ireductibil în , atunci f este polinom primitiv. Să presupunem că f ar fi ireductibil în . Atunci ar exista, o descompunere a lui f de forma f=gh, cu 1 grad g<grad f, g,h , de unde înmulţind cu un element convenabil a A, a 0 (a poate fi luat egal cu produsul tuturor numitorilor coeficienţilor polinoamelor g şi h, obţinem în o relaţie de forma af=g’h’, cu grad g’=grad g şi grad h’=grad h. Fie g’=c(g’)g . Atunci rezultă că g’’ divide pe f în şi deoarece grad g =grad g, rezultă că f este reductibil în împotriva ipotezei. Implicaţia b) a) este evidentă.

Lema 4.12. Dacă A este un inel factorial orice polinom ireductibil din este prim.

Demonstraţie. Fie f un polinom ireductibil din . Dacă grad f=o, atunci f este element ireductibil în A, deci prim în A şi deci prim şi în , conform lemei 4.8. Dacă grad f>0, atunci rezultă că f este polinom primitiv şi să presupunem că f divide produsul gh. Din lema precedentă rezultă că f este element prim în , deci f divide în unul dintre polinoamele g sau h. S ă presupunem că f|g. Deci g=ff’, unde f’

. Atunci există a A, a 0, astfel încât af’ . Rezultă că f divide pea g în şi din lema 4.10 deducem că f divide pe g în .

Ne întoarcem să demonstrăm teorema 4.6 Vom verifica condiţia b) din teorema 4.3. Pentru aceasta, conform lemei precedente, va fi suficient să arătăm că orice element neinversabil şi nenul din , este produs finit de polinoame ireductibile. Dacă f este polinom de grad zero neinversabil, atunci el este produs finit de elemente prime în A care sunt prime deci şi ireductibile în conform lemei 4.8. Dacă grad f>1, f se scrie sub forma f=c’(f)f’, unde f’ este un polinom primitiv, şi este suficient să demonstrăm afirmaţia pentru polinoamele primitive. Deci dacă f este primitiv şi ireductibil, afirmaţia este evidentă. În caz contrat f=gh, unde g şi h sunt polinoame de grad strict mai mic decât cel al lui f şi din ipoteza inductivă rezultă afirmaţia.

Din teorema demonstrată rezultă:Corolarul 4.13. Dacă A este inel factorial, atunci , inelul

polinoamelor de n nedeterminate cu coeficienţii în A , este factorial. În particular, orice inel de polinoame de n nedeterminate cu coeficienţi într-un corp este inel factorial.

Din teorema 4.7 şi teorema 4.3 rezultă că pentru inelul factorial A în innelul există cel mai mare divizor comun a două elemente. Însă putem să observăm că

43

propoziţia 3.4 nu mai rămâne în general valabilă. Astfel în inelul idealul generat de 2 şi X, adică idealul 2 +X este diferit de ( v. demonstraţia propoziţiei 3.3.), însă 1 este evident cel mai mare divizor comun al lui 2 şi X.

Cu ajutorul rezultatelor de mai sus vom demonstra două criterii de ireductibilitate a polinoamelor de o nedeterminată, cu coeficienţi într-un corp.

Propoziţia 4.14. (Criteriul lui Eisenstien). Fie A un inel factorial, K corpul său

de fracţii, un polinom de grad n>1 din şi p un element prim în A cu

proprietăţile: mod p, mod p pentru i <n şi mod p . Atunci f este polinom ireductibil în , şi deci şi în dacă este primitiv.

Demonstraţie. Putem presupune că f este polinom primitiv. Atunci dacă f este ireductibil în , el este reductibil în . Fie f=gh, g, h ,

Unde , , , . Din şi mod pentru p rezultă că unul şi numai unul dintre elementele şi se divide cu p. Presupunem că mod p şi mod p. Întrucât mod p , nu toţi coeficienţii lui g se divid cu p. Deci există un

indice I minim, cu proprietatea că nu se divide cu p. Atunci nu se

divide cu p, ceea ce contrazice ipoteza.

Propoziţia 4.15. Fie u:A B un morfism de inele integre cu A inel factorial, K corpul de fracţii al lui A şi L corpul de fracţii al lui B. Notăm cu u’ morfismul

, cu proprietatea că u’(X)=(X) şi care extinde pe u. Atunci dacă f este astfel încât u’(f) este ireductibil în iar grad f= u’(f), rezultă că f este ireductibil în .

Demonstraţie. Putem presupune că f este primitiv . Atunci, dacă presupunem că f este reductibil în , el este reductibil şi în . Fie f=gh, cu grad g 1, grad h 1. Atunci u’(f) =u’(g) u’(h) şi rezultă grad u’(g)= grad g, iar grad u’(h)=grad h, ceea ce contrazice faptul că u’(f) este ireductibil,

5. Ideale prime şi ideale maximale

Am văzut în paragrafele precedente că în studiul aritmeticii unui inel intervin şi elemente din teoria idealelor. Aici vom defini două tipuri de ideale care dunt foarte importante în întreaga matematică: ideal prim şi ideal maxim.

44

Definiţia 5.1. Fie A un inel comutativ unitar. Un ideal P al lui A se numeşte ideal prim dacă P A din faptul că produsul a două elemente a, b este în P rezultă că cel puţin unul dintre aceste elemente este în P.

Idealul (0) este prim în inelul A dacă şi numai dacă A este inel integru.În adevăr, dacă (0) este ideal prim şi dacă a, b , ab=0, atunci ab ,deci sau

a ,adică a=0, sau b ,adică b=0. Invers, dacă A este inel integru, rezultă imediat din definiţie că (0) este ideal prim.

Propoziţia 5.2. Fie A un inel integru şi p un element nenul şi neinversabil din A. Atunci idealul principal pA este prim dacă şi numai dacă p este un element prim în A.

Demonstraţie. Presupunem că idelul pA este prim şi fie a, b astfel încât p|ab. Atunci rezultă că ab şi deoarece pA este ideal prim, avem sau a din care arată că p|a, sau b , ceea ce arată că p|b. În plus, p nu este inversabil căci în cazul contrar ar rezulta pA=A.

Reciproc, dacă p este element prim, atunci rezută că pA A, altfel rezultă 1=ap, cu a ,adică p ar fi inversabil. Fie a, b ,astfel încât a,b . Aceasta inseamnă că p|ab, deci p|a, adică a , sau p|b,adică b .

Propoziţia precedentă ne permite să dăm numeroase exemple de ideale în diverse inele. Astfel inelul întregilor raţionali Z sunt indeale prime (0) şi toate idealele generate de numerele prime şi numai acestea, deoarece Z este inel principal. Prin urmare , Z are o infinitate de ideale prime, căci numărul numerelor prime pozitive este infinit.

În inelul întregilor lui Gauss , idealul 2 nu este prim , deoarece, după cum am văzut 2 este reductibil, deci nu este prim. În schimb, idealele (1-i) ,(1+i)

li 3 sunt prime, deoarece am arătat că elementele 1-I, 1+I li 3 sunt ireductibile în şi cum este inel factorial, rezultă că elementele ireductibile sunt şi prime. De asemenea şi idealul (0) este prim căci este integru. Dacă k este un corp, atunci inelul k[X] orice ideal generat de un olinom de gradul 1 este prim. De asemenea, este evident prim şi idealul nul.

Dacă A este un inetgru şi p un element prim în A atunci idelul p din este prim. În adevăr, din 4.8 rezultă că p este prim şi în inelul şi afirmaţia rezultă din propoziţia precedentă.

Propoziţia 5.3. Fie un morfism de inele.i) Dacă P’ este ideal prim în A’,P= (P’) este idel prim în A.ii) Dacă, în plus, este surjectiv şi P este ideal prim în A astfel încât P Ker , atunci P’= (P) este ideal prim în A’.

Demonstraţie. i) Stim că P= (P’) este ideal în A. Să demonstrăm acum că P este ideal prim. Fie a, b astfel încât ab . Atunci (ab)= (a) (b) şi deci sau

45

(a) , adică a , sau (b) , adică b , deoarece P’ este ideal prim în A’. Avem de asemenea P A, căci (1)1 .iii) Ştim că P’= (P) este ideal în A’. Să arătăm că P’ este ideal prim. Fie a’, b’ astfel încât a’, b’ şi fie a, b astfel încât (ab)= (a) (b)= a’ b’ , adică ab=p+c, unde p şi c Ker . Deoarece P Ker , avem că ab şi deoarece P este ideal prim, rezultă că a sau b . Atunci rezultă că (a)=a’ sau (b)= b’ . P A, căci dacă 1 , atunci rezultă că există a astfel încât (a)=1, deci (a-1)=0, adică a-1 Ker P, deci 1 .

Corolarul 5.4. Fie a un inel şi I un ideal al său. Atunci următoarele două afirmaţii sunt echivalente:a) I este ideal prim.b) Inelul factor A|I este integru.

Rezultă din propoziţia precedentă, tinând cont de faptul că dacă notăm cu surjecţia canonică, atunci Ker =I şi (Ker )=(0).

Definiţia 5.5. Fie A un inel şi M un ideal al său. Se spune că M este ideal maxim în A dacă M A oricare ar fi idealul I al lui A, cu A I M, rezultă I=A sau I=M. Cu alte cuvinte idealele maximale sunt elementele maximale din mulţimea ordonată cu incluziunea a idealelor din A diferite de A .

Deoarece corpurile comutative sunt caracterizate prin faptul că au două ideale distincte, rezultă că idealul (0) dintr-un inel A (comutativ) este maximal dacă şi numai dacă A este corp.

Propoziţia 5.6. Fie A un inel principal care nu este corp şi p un element nenul şi neinversabil din A. Atunci idealul pA este maximal dacă şi numai dacă p este ireductibil.

Demonstraţie. Reamintim că A fiind principal, orice element ireductibil este prim. Dacă p este ireductibil, atunci rezultă că pA A. Fie I un inel al lui A astfel încât A I pA. Deoarece a este inel principal, există un element a astfel încât I=aA. Din faptul că aA pA rezultă că există a’ astfel încât p=aa’ şi deoarece p este ireductibil, avem că p este sau asociat , cu a, sau a este element inversabil în A. În primul caz rezultă aA=pA, iar în al doilea caz aA=A şi prima afirmaţie a propoziţiei este demonstrată. Fie acum M un ideal maximal în A. Deoarece A este inel principal, rezută că există a astfel încât M=aA. Vom arăta că a este element ireductibil. Deoarece A este inel factorial, rezultă că există un element ireductibil p al inelului A astfel încât p să dividă pe a. Atunci A pA aA şi deoarece pA A, rezultă că pA=aA, deci a este ireductibil.

Propoziţia precedentă ne furnizează numeroase exemple de ideale maximale în diverse inele principale. Astfel, în inelul întregilor Z sunt ideale maximale idealele generate de numere prime şi numai acestea, iar (0) nu este ideal maximal căci Z nu este corp. În inelul întregilor lui Gauss , idealele principale generate de 3,1-i,1+i sunt ideale maximale deoarece aceste elemente sunt ireductibile iar este inel

46

principal. Pe de altă parte, idealul generat de 2 în nu este maximal, deoarece 2 nu este ireductibil.

Dacă k este un corp, atunci în inelul , care este principal, idealele maximale coincid cu idealele generate de polinoamele ireductibile. În particular, idelalele generate de polinoamele de gradul 1 sunt maximale.

Propoziţia 5.7. Fie un morfism surjectiv de inele.i) Dacă M’ este ideal maximal în A’, atunci M= (M’) este ideal maximal în A.ii) Dacă M este ideal maximal în A astfel încât Ker M, atunci M’= (M) este ideal maximal în A’.

Demonstraţie. Afirmaţiile rezultă din faptul că mulţimile ordonate ale idealelor lui A’ şi idealelor lui A care conţin pe Ker sunt izomorfe, deci elementele maximale din cele două multimi ordonate se corespund.

Corolarul 5.8. Fie A un inel şi M un ideal în A. Atunci următoarele afirmaţii sunt echivalente:a) M este ideal maximal în A;b) Inelul factorial A|M este corp.

Aplicând teorema precedentă pentru morfismul canonic , rezultă că M este maximal în A dacă şi numai dacă (0) este ideal maximal în A|M şi acest fapt este echivalent cu acela că A|M este corp. Corolarul 5.9. Orice ideal maximal al unui inel este şi ideal prim.

În adevăr, din corolarul precedent rezultă că M este ideal maximal în A, atunci A|M este corp, deci este în particular inel integru şi afirmaţia corolarului rezultă din 5.4.

Nu orice ideal prim este maximal, căci, de exemplu, în inelul Z, (0) este ideal prim dar nu este maximal.

Propoziţia 5.10. Dacă A este un inel şi I este idealul său, I A, atunci există un ideal maximal M în A astfel îcât M I.

Demonstraţie. Dacă considerăm muIţimea idealelor din A, distincte de A, care conţin pe I cu relaţia de incluziune, obţinem o mulţime ordonată care este inductivă .În adevăr dacă este o mulţime total ordonată de ideale din A cu A şi I, atunci I’= este ideal în A şi 1 . Prin urmare, I’ A. Aplicând lema lui Zorn, rezultă că această mulţime are un element maximal, care va fi evident ideal maximal în A şi conţine pe I.

Din propoziţia 5.2 şi teorema 3.7 rezultă că intr-un inel principal orice ideal este produsul unui număr finit de ideale prime şi din lema 4.2 rezultă că această descompunere este unică exceptând ordinea factorilor.

47

3.Metode și tehnici de învățare predare evaluare

3.1. Unitate de învățare

Clasa a XII-a, M2, 3h/săpt.Disciplina: Matematică – Algebră

Proiectul unit ăţii de învăţare : Inele de polinoame cu coeficienţi într-un corp comutativ

48

COMPETENŢE SPECIFICE

1. Recunoaşterea mulţimilor de polinoame2. Aplicarea unor algoritmi în calculul polinomial sau în rezolvarea ecuaţiilor algebrice3 Determinarea unor polinoame sau ecuaţii algebrice care îndeplinesc condiţii date4. Exprimarea unor probleme practice folosind calcul polinomial5. Aplicarea prin analogie, în calcule cu polinoame a metodelor de lucru din aritmetica numerelor

Nr. ore alocate : 8

CONŢINUTURI- detaliate

ale unităţii de învăţare

COMPETENŢE

SPECIFICEvizate

ACTIVITĂŢI DE ÎNVĂŢARE

RESURSE EVALUARE

Ce? De ce? Cum? Cu ce? Cât?1.Forma algebrică a unui polinom, operaţii cu polinoame

12

- Definiţie- Forma

algebrică- Operaţii:

adunarea, înmulţirea şi împărţirea polinoamelor

Resurse materiale :manual , culegeri de probleme , fisa de probleme Metode : explicatia,conversatia euristica , exercitiul,activitati frontale si individuale

Tema pentru acasa

Observatia sistematica a elevilor si aprecierea verbala,chestionarea orala,

aprecierea raspunsurilor

primite

2.Teorema împărţirii cu rest, împărţirea polinoamelor

12

- Enunţul teoremei

- Algoritmul de imparţire a 2 polinoame

Resurse materiale :manual , culegeri de probleme , fisa de probleme Metode :

Observatia sistematica a elevilor si aprecierea verbala,chestionarea orala,aprecierea

49

explicatia,conversatia euristica , exercitiul,activitati frontale si individuale Tema pentru acasa

raspunsurilor primite

3.Împărţirea cu x – a , schema lui Horner, divizibilitate, teorema lui Bezout

12

- Se arată procedeul de împărţire prin schema lui Horner

- Se enunţă teorema lui Bezout

Resurse materiale :manual , culegeri de probleme , fisa de probleme Metode : explicatia,conversatia euristica , exercitiul,activitati frontale si individuale Tema pentru

acasa

Observatia sistematica a elevilor si aprecierea verbala,chestionarea orala,aprecierea raspunsurilor primite

4.C.m.m.d.c şi c.m.m.m.c al unor polinoame descompunerea unui polinom în factori ireductibili

124

- Se enunţă c.m.m.m.c şi c.m.m.d.c.

- Se arată cum se descompun în factori polinoamele

Resurse materiale :manual , culegeri de probleme , fisa de probleme Metode : explicatia,conversatia euristica , exercitiul,activitati frontale si individuale

Observatia sistematica a elevilor si aprecierea verbala,chestionarea orala,aprecierea raspunsurilor primite

50

Tema pentru acasa

5.Rădăcini ale polinoamelor; relaţiile lui Viete pentru polinoame de grad cel mult 4

12345

- Se enunţă relaţiile lui Viete pt un polinom de gradul II, III şi IV.

Resurse materiale :manual , culegeri de probleme , fisa de probleme Metode : explicatia,conversatia euristica , exercitiul,activitati frontale si individuale Tema pentru

acasa

Observatia sistematica a elevilor si aprecierea verbala,chestionarea orala,aprecierea raspunsurilor primite

6.Rezolvarea ecuaţiilor algebrice cu coeficienţi în Z, Q,R,C , ecuaţii binome, ecuaţii reciproce, ecuaţii bipătrate.

12345

- Se arată procedeul de reyolvare al ecuaţiilor binome, reciproce si bipătrate

Resurse materiale :manual , culegeri de probleme , fisa de probleme Metode : explicatia,conversatia euristica , exercitiul,activitati frontale si individuale Tema pentru

acasa

Observatia sistematica a elevilor si aprecierea verbala,chestionarea orala,aprecierea raspunsurilor primite

Test de evaluaresumativă Evaluare sumativă a unităţii

de învăţare

Activitate

individuală

Test de evaluare

sumativă, pe numere.

51

PROIECT DIDACTIC I

Clasa : a-XII-a Obiectul : Matematică - AlgebrăSubiectul lecţiei : Împărţirea polinoamelor prin X – a. Schema lui Horner.Tipul lecţiei : Lecţie de formare de priceperi şi deprinderi de calcul.Conpetenţe generale :

1. Identificarea unor date si relaţii matematice şi corelarea lor în funcţie de contextul în care au fost definite.

52

2. Prelucrarea datelor de tip cantitativ, calitativ, structural sau contextual cuprinse în enunţuri matematice.

3. Utilizarea algoritmilor şi a conceptelor matematice pentru caracterizarea locală sau globală a unei situaţii conccrete.

4. Analiza şi interpretarea caracteristicilor matematice ale unei situaţii problemă în scopul găsirii de strategii pentru optimizarea soluţiilor.

5. Exprimarea caracteristicilor matematice cantitative sau calitative ale unei situaţii concrete şi a algoritmilor de prelucrare a acestora.

Competenţe specifice :3.2 Aplicarea unor algoritmi în calculul polinomial sau în rezolvarea ecuaţiilor algebrice5.2 Determinarea unor polinoame sau ecuaţii algebrice care îndeplinesc condiţii date6.1 Exprimarea unor probleme practice folosind calcul polinomial6.2 Aplicarea prin analogie, în calcule cu polinoame a metodelor de lucru din aritmetica numerelorStrategia didactică: activ-participativă.

Metode şi procedee didactice: conversaţia euristică , exerciţiul, demonstraţia, munca independentă.

Material didactic utilizat : manual şi culegere clasa a-XII-a , fişe de lucru, planşe .

Tipuri de actităţi : frontală şi individuală. Procedee de evaluare: analiza răspunsurilor, observarea sistematică a

atenţiei, verificarea cantitativă si calitativă a temei.Scenariu didactic:

1.Moment organizatoric: Verificarea prezentei elevilor şi notarea absenţelor (dacă sunt) in catalog;Asigurarea unei atmosfere adecvate pentru buna desfăşurare a orei ;2.Captarea atenţiei: Verificarea temei elevilor prin sondaj folosind dialogul

profesor-elev; elev-elev, prin confruntarea rezultatelor (in cazul in care apar diferente se rezolvă exerciţiile la tablă ).

3.Informarea elevilor asupra obiectivelor lecţiei: Se anunţă şi se scrie pe tablă titlul lecţiei: Împărţirea polinoamelor prin X – a. Schema lui Horner.

4. Prezentare de material nouÎn cazul particular când împărţitorul este restul se poate

determina mult lai simplu:Teoremă. (Teorema restului) Restul împărţirii polinomului prin

polinomul este egal cu valoarea polinomului f în punctul a, adică .

Demonstraţie : Conform teoremei împărţirii cu rest putem scrie , unde grad(r) < grad(g) = 1 r constant (1) . Pentru X = a obţinem (2). Din (1) şi (2)

53

Exemplu : 1. Să se determine restul împărţirii lui prin Rezolvare Conform teoremei restul împărţirii prin X – 2 este

Teorema factorului ( Teorema lui Bezout) Un element este rădăcină a polinomului dacă şi numai dacă X – a divide pe f .Deci .Exemplu : 1. Se consideră polinomul cu coeficienţi reali. Să se determine

astfel încât polinomul f să fie divizibil cu polinomul . (Var .22. Bacalaureat 2009).Rezolvare : 2. Se consideră polinomul cu coeficienţi reali. Să se determine astfel încât polinomul f să fie divizibil cu . (Var .23. Bacalaureat 2009).Rezolvare : Û

Û Û Û

Schema lui Horner

Se consideră polinomul . Câtul şi restul împărţirii polinomului f prin X – a se poate obţine prin următorul procedeu numit schema lui Horner:

... X

...

a=1nb =

=...

= = =r

... XRestul

Câtul împărţirii este iar restul împărţirii este .

Exemplu : Să se determine câtul şi restul împărţirii polinomului prin .

X3 X2 X X03 -6 2 -4

2 3 Câtul împărţirii este iar restul este r = 0.

5.Consolidarea cunostinţelor şi asigurarea feed-back-ului : Fiecare elev va primi cate o fişă de lucru .Pe parcursul rezolvării exerciţiilor, profesorul intervine cu

54

întrebări , adresate atât elevilor de la tablă cât şi celor din clasă, pentru a se clarifica demersul rezolvării.

6.Tema pentru acasă : Se vor propune spre rezolvare ca temă pentru acasă , exerciţiile rămase nerezolvate din fişă .

7.Aprecieri: se noteaza elevii care s-au evidenţiat în timpul orei.

Fişă de lucru

1.Să se determine restul împărţirii lui a) prin .b) prin .

2. Se consideră polinomul cu coeficienţi reali. Să se determine astfel încât polinomul f să fie divizibil cu polinomul .

3. a) Se consideră polinomul cu coeficienţi reali. Să se determine astfel încât polinomul f să fie divizibil cu .

b) Se consideră polinomul f =X4- 4X3 + 6X2 – 4X + m cu coeficienţi reali. Să se determine ştiind că are rădăcina x1 = 2 – i.

4. Să se determine câtul şi restul împărţirii polinomului la polinomul dacă:a) şi .b) şi c) şi

PROIECT DIDACTIC II

Clasa : a-XII-a Obiectul : Matematică - AlgebrăSubiectul lectiei : Inele – definiţie, exemple Tipul lecţiei : Lecţie de dobândire de noi cunoştinţe.

Conpetenţe generale :

1. Folosirea terminologiei specifice matematicii în contexte variate de aplicare.2. Prelucrarea datelor de tip cantitativ, calitativ, structural sau contextual, cuprinse în enunţuri matematice.3. Utilizarea algoritmilor şi a conceptelor matematice în rezolvarea de probleme.4. Exprimarea şi redactarea coerentă, în limbaj formal sau în limbaj cotidian, a rezolvării sau a strategiilor de rezolvare a unei probleme.

55

5. Analiza de situaţii – problemă, în scopul descoperirii de strategii pentru optimizarea soluţiilor.6. Generalizarea unor proprietăţi prin modificarea contextului iniţial de definire a problemei sau prin generalizarea algoritmilor.

Competenţe specifice :

1. Identificarea proprietăţilor operaţiilor cu care este înzestrată o mulţime.2. Evidenţierea asemănărilor şi a deosebirilor dintre proprietăţile unor operaţii definite pe mulţimi diferite3.1 Determinarea şi verificarea proprietăţilor structurilor algebrice, inclusiv verificarea faptului că o funcţie dată este morfism sau izomorfism.4. Utilizarea proprietăţilor operaţiilor în calcule specifice unei structuri algebrice.5.1 Utilizarea structurilor algebrice în rezolvarea unor probleme de aritmetică.6.1 Transferarea, între structuri izomorfe, a datelor iniţiale şi a rezultatelor, pe baza propriet

Strategia didactică: activ-participativă.

Metode şi procedee didactice :conversaţia euristică , exerciţiul, demonstraţia, munca independentă.

Material didactic utilizat : manual şi culegere clasa a-XII-a , fişe de lucru, planşe.

Tipuri de actităţi : frontală şi individuală. Procedee de evaluare: analiza răspunsurilor, observarea sistematică a

atenţiei ,verificarea cantitativă si calitativă a temei.

Scenariu didactic:

1. Moment organizatoric: Verificarea prezentei elevilor şi notarea absenţelor (dacă sunt) in catalog. Asigurarea unei atmosfere adecvate pentru buna desfăşurare a orei ;2. Captarea atenţiei: Verificarea temei elevilor prin sondaj folosind dialogul profesor-elev ;elev-elev, prin confruntarea rezultatelor (in cazul in care apar diferente se rezolvă exerciţiile la tablă ).3. Informarea elevilor asupra obiectivelor lecţiei: Se anunţă şi se scrie pe tablă

titlul lecţiei: Inele – definiţie , exemple.

4. Prezentare de material nou

1. Definiţie. Fie A o mulţime nevidă şi legile de compoziţie:

56

Tripletul se numeşte inel dacă sunt verificate axiomeleAxioma grupului comutativ: Perechea este grup comutativ.

Axioma asociativităţii:

Axioma elementului neutru: astfel încât

Axioma elementelor simetrizabile: astfel încât

Axioma comutativităţii:

Axioma monoidului: Perechea este monoid. Axioma asociativităţii:

Axioma elementului neutru:

astfel încât

Axioma distributivităţii: Legea „ ” este distributivă în raport cu legea „* ”:

Inelul se numeşte inel comutativ dacă legea de compoziţie „ ” este comutativă.

Grupul se numeşte grupul subiacent al inelului .Prima operaţie a inelului se numeşte adunare iar a doua operaţie se numeşte înmulţire.Elementul neutru al primei operaţii se numeşte zeroul inelului şi se notează sau .Simetricul unui element în grupul subiacent se numeşte opusul lui .Elementul neutru al celei de a doua oeraţii se numeşte elementul unitate al inelului

şi se notează sau .Elementele simetrizabile ale monoidului se numesc elementele inversabile sau unităţi ale inelului . Mulţimea unităţilor inelului se notează . Perechea este un grup, numit grupul unităţilor inelului .Exemple de inele.Din proprietăţile adunării şi înmulţirii numerelor deducem că tripletele , , , sunt inele comutative.Având în vedere proprietăţile adunării şi înmulţirii matricelor, rezultă că tripletele

, , , sunt inele necomutative.Elementul nul în aceste inele este matricea nulă iar elementul unitate este matricea unitate .

5.Consolidarea cunostinţelor şi asigurarea feed-back-ului : Fiecare elev va primi cate o fişă de lucru. Pe parcursul rezolvării exerciţiilor, profesorul intervine cu

57

întrebări ,adresate atât elevilor de la tablă cât şi celor din clasă, pentru a se clarifica demersul rezolvării.

6.Tema pentru acasă : Se vor propune spre rezolvare ca temă pentru acasă , exerciţii din fişă .

7.Aprecieri: se noteaza elevii care s-au evidenţiat în timpul orei.

Fişă de lucru

Activitate individuală.Pe mulţimea numerelor întregi se definesc legile de compoziţie

1. 2. 3.

4. 5. 6.

a) Să se studieze dacă este inel comutativ.b) Să se determine grupul unităţilor inelului.

3.2. Strategii de predare-invățare-problematizare

Strategia didactică poate fi definită ca o modalitate de organizare şi conducere a procesului de predare-învăţare-evaluare, pe baza combinării eficiente a mijloacelor de învăţământ şi a formelor de grupare a elevilor, în funcţie de conţinutul şi cunoştinţele anterioare, vizând obţinerea de performanţe maxime, în raport cu obiectivele pedagogice fixate. Profesorii îşi stabilesc strategiile didactice pornind de la concepţia contemporană şi concepţia personală , având în vedere conţinutul şi obiectivele situaţiilor de instruire, diferite tipuri de învăţare, principiile şi legile didactice, sistemul de gândire şi, nu în ultimul rând, nivelul de cunoştinţe al elevilor sau spaţiul şcolar unde se desfăşoară lecţia precum şi timpul alocat acesteia. Dintre strategiile didactice mai des utilizate menţionez:- strategii inductive- strategii deductive- strategii transductive(explicaţii prin metafore)- strategii analogice - strategii mixte(inductiv- deductive, deductiv-inductive)- strategii algoritmice

58

- strategii euristice de elaborare a cunoştinţelor prin efort propriu de gândire, folosind problematizarea, descoperirea, modelarea, formularea de ipoteze, dialogul euristic, având ca efect stimularea creativităţii. Mă voi referi pe scurt la problematizare. Ca modalitate metodologică, problematizarea conduce pe elevi la rezolvarea unor ,,situaţii-problemă’’, care apar între nevoia găsirii soluţiei unei probleme şi experienţa redusă sau priceperea nesatisfăcătoare a elevului.Misiunea profesorului este dificilă deoarece, el trebuie să descopere, să inventeze, să genereze ,,situaţii- problemă’’ care să solicite gândirea elevilor.Pentru ca problematizarea să fie eficientă este necesar ca profesorul să respecte unele condiţii în formularea situaţiilor-problemă:-să asigure un bagaj minim de informaţii cerute de probleml-să organizeze informaţiile astfel încât întrebarea-problemă să fie însoţită de direcţionarea spre rezolvare a gândirii elevilor-să se raporteze la cunoştinţe dobândite anterior.

Aplicații:

1)   Inelul (Z,+,) este euclidian. Intr-adevar , in acest inel are loc teorema impartirii cu rest pentru numere intregi , si anume:

" a,bÎZ , b¹0 , $ q,rÎZ a.i. a=bq+r . unde 0£ r ¸| b| .

Mai mult q si r sunt unice.

Considerind functia f: Z-®N, f(n)=| n |, rezulta clar ca inelul Z impreuna cu f este euclidian (satisface conditiile 1 si 2). Mentionam ca teorema impartirii cu rest la numere intregi o vom demonstra in paragraful 1 al capitolului III.

2)   Orice corp este inel euclidian. Intr-adevar, daca K este un corp, consideram functia f : K-®N definita prin f(a)=1, "aÎK ,a¹0 . Aceasta functie satisface 1 si 2.

3)   Inelul K[x] al polinoamelor cu coeficienti intr-un corp K pentru care functia f :K[x] -®N, definita prin f(g)=grad(g), " gÎK[x] , g¹0 , este un inel euclidian.

Intr-adevar, daca g,h ÎK[x], g¹0 si g/h, atunci h=gg’, cu g’ÎK[x], deci grad(g) £ grad(h), adica f(g)£ f(h). Deci conditia 1 este indeplinita.

Sa verificam proprietatea 2. Fie f,gÎK[x] cu g¹0. Daca grad(g)=0, atunci f=g(g f), deoarece g¹0 din K, deci inversabil si afirmatia este dovedita, adica este verificata proprietatea 2. Daca grad(g)>0, atunci vom face o inductie dupa gradul lui f. Daca grad(f)<grad(g), in particular, pentru grad(f)=0, din relatia f=g0+f, rezulta 2.

59

Presupunem ca 2 afost verificata pent 434q1619e ru toate polinoamele f, cu

grad(f)<n.Fie atunci f un polinom de grad n, si g un

polinom de gradul m,

Putem presupune ca m£ n , conform celor demonstrate mai sus. Atunci,

polinomul are gradul cel mult n-1, deoarece termenii de gradul cel mai mare se reduc , deci grad(f1)<grad(f). Din ipoteza inductiva rezulta, atunci ca exista q,rÎK[x] a.i. f1=gq+r, unde r=0 sau grad(r)<grad(g). Atunci avem:

satisfac proprietatea 2. Polinoamele q si r ÎK[x] , numite citul si restul , astfel incit f=qg+r, r=0 sau grad(r)<grad(g); In cazul inelului K[x] sunt chiar unice (ca si la Z , de altfel). Dar unicitatea acestora nu este necesara in formula de impartire cu rest , in cazul inelului euclidian.

4)   Fie inelul Z[i] al intregilor lui Gauss. Am văzut că elementele sale inversabile sunt -1,1,-i,i. Fie 1+iÎZ[i], acesta este neinversabil. Să arătăm că 1+i este ireductibil. Să presupunem că 1+i=uv. Atunci |1+i | = |u | |v |; deci |u | |v |=2, de unde rezultă că |u | =2 si |v |=1 sau invers. Deci, sau u este asociat cu 1+i şi v inversabil, sau invers. Prin urmare,1+i este element ireductibil în Z[i]. În schimb, 2ÎZ[i] este reductibil. El se descompune într-un produs de forma 2=(1+i)(1-i) , unde 1+i şi 1-i sunt elemente neinversabile.

Numarul 3 este ireductibil în Z[i]. Într-adevăr dacă ar fi reductibil , atunci ar exista o descompunere a sa de forma 3=uv, în care u,v sunt neinversabile.

Atunci |3 |=|u | |v |=9, de unde rezultă că |u |=3 si |v |=3, deoarece am presupus u,v neinversabile. Fie u = a+bi. Atunci |u |= a + b =3. Deci |a |,|b |£1, însă asemenea numere întregi care să verifice egalitatea nu există. Prin urmare, un astfel de u nu există şi, deci 3 este ireductibil în Z[i].

5)   Fie inelul Z[i ], unde Z[i ]=. Fie u=a+bi , u este inversabil dacă în mod necesar a + 5b =1, de unde rezultă că u = +-1. Aşadar, pentru acest inel, elementele inversabile sunt 1 si -1. Fie elementul 3ÎZ[i ]. Elementul 3 este ireductibil, căci dacă 3 = uv, cu u,v neinversabile , rezultă că |3 | =|u | |v | sau 9 = |u | |v | , adică |u | =|v | =3. Dacă u = a+bi , atunci 3 = a + 5b , ceea ce nu este posibil. Însă 3 nu este prim în acest inel, căci 3/(4+i )(4-i )=21, iar 3 nu divide nici unul din factori. Dacă 3 ar divide, de exemplu, pe 4+i , rezultă că |3 | =9 ar divide | 4+i |=21, ceea ce nu este adevărat. Acest exemplu arată că reciproca punctului 1 al teoremei nu este întotdeauna adevărată, adică există elemente care nu sunt prime. În domenii de integritate noţiunile de element prim şi element ireductibil sunt în general distincte.

6) Fie și două șiruri de matrici pătratice de ordinul n cu elemente din R. Dacă pentru orice k , este inversabilă, sp se arate că există o

60

infinitate de numere reale astfel încât + este inversabilă, oricare ar fi k.

Soluție. Pentru fiecare k , scriind matricea + și dezvoltând conform definiției, constatăm că det ( + ) este un polinom în , în care termenul ce conține pe are coeficientul det

Așadar, acest polinom este nenul (are gradul n) și ca atare mulțimea rădăcinilor reale ale acestui polinom este finită (eventual poate mulțimea vidă). Să notăm

, k =1,2,3,...

Mulțimea X este o reuniune numărabilă de mulțimi finite, deci este

nenumărabilă.

Deoarece R nu este nenumărabilp, rezultă că mulțimea R\X este infinită.

Dar pentru \X, avem ,( ) k , deci det ( + ) , adică + este inversabilă, ( ) k . Cu acestea soluția se incheie.

7) Considerăm o mulțime A={ , ,..., } și legile de compoziție și pe acestă multime definită astfel

= și =

Unde este restul împărțirii lui i+j prin n, iar este restul împărțirii lui ij prin n.

Ce structură algebrică este tripletul ( )?Soluție. ( ) este inel izomorf cu inelul claselor de resturi modulo n, ceea ce se poate verifica cu ușurință. Aplicația ( ) î este izomorf de inele.

8) Există inele comutative unitare A astfel încât ineleul de polinoame într-o nedeterminată A[X] să fie izomorf cu inelul ?Soluție. Să presupunem că ar exista un inel comutativ unitar A astfel încât A[X] Z. Cum A este subinel unitar al lui A[X], rezultă că A este izomorf cu un subinel unitar al lui Z. În particular, (A,+) va fi izomorf cu un sub grup nenul al grupului aidtiv (Z,+), deci există n astfel încât A Z. Dar 1 A Z, ceea ce este o contradicție (căci inelul Z nu este izomorf cu inelul de polinoame Z[X]. Deci nu există inele A cu proprietatea din enunț.

9) Fie A uninel necomutativ unitar,iar a,b . Să se arate că daca 1-ab este inversabil, atunci 1-ba este inversabil.Soluție. Fie u inversul elementului 1-ab. Vom arăta că elementul v=1+bua este inversul lui 1-ba. Într-adevăr:

61

v(1-ba)=(1+bua)(1-ba)=1-ba+bua-buaba (1)Dar u(1-ab=1, deci uab=u-1. Continuând în (1) rezultă:v(1-ba)=1-ba+bua-b(u-1)a=1-ba+bua-bua+ba=1.Analog se arată că (1-ba)v=1. Deci 1-ba este inversabil, inversul acestui element fiind v.

10) Fie A un inel cu element unitate 1 și M mulțimea elementelor sale idempotente. Să se demonstreze că dacă M este mulțime finită, atunci M are un număr par de elemente.Soluție Să observăm că dacă x este element idempotent, atunci și 1-x este idempotent. Într-adevăr,(1-x) =1-2x+x =a-2x+x=1-xRezultă că elementele lui M se pot grupa în perechi de forma (x,1-x).Elementele din oricare asemenea pereche sunt distincte. Într-adevăr dacă ar exista x

cu proprietatea că x =1- x , înmulțind cu x și ținând seama că x = x , obținem x= x - x , adică x = x - x deci x =0.În felul acesta egalitatea x =1-x conduce la 0=1, contradicție.Notând cu n numărul perechilor din M, de tipul descris mai sus, rezultă că M are 2n elemente.

3.3. Strategii,moduri şi tipuri de evaluare

În literatura psihopedagogică sunt identificate mai multe forme de evaluare, astfel încât există un consens în rândul specialiştilor care consideră că cele mai importante dintre acestea sunt evaluarea iniţială, evaluarea continuă şi evaluarea sumativă sau certificativă. În literatura psihopedagogică există o serie de comparatii între formele evaluării în care se menţionează punctele tari şi punctele slabe ale fiecărei modalităţi de evaluare:

Evaluarea sumativă se distinge de celelalte modalităţi de evaluare prin trei aspecte, şi anume:

1) momentul când se realizează;2) obiectivele pe care le vizează;3) consecinţele pe care le determină.În legătură cu momentul când se realizează, ea se distinge de alte modalităţi de

evaluare, pentru că operează la sfârşitul unor perioade mai lungi de instruire fie că este vorba de sfârşitul unui trimestru/ semestru, de sfârşitul unui an şcolar sau chiar de sfârşitul unui ciclu de şcolaritate având menirea să scoată în evidenţă progresele realizate de elevi pe perioada când au făcut obiectul activităţii de instruire.

În privinţa obiectivelor pe care le vizează, trebuie făcută precizarea că această modalitate se raportează în mod firesc la obiectivele educaţionale ale disciplinelor de învăţământ ale căror conţinuturi fac obiectul evaluării la sfârşitul unei perioade mai

62

lungi de instruire, dar, la fel, ea se poate raporta şi la obiectivele educaţionale specifice unui ciclu de învăţământ (primar, gimnazial, liceal) şi, nu în ultimul rând, la obiectivele unui anumit tip sau profil de şcoală.

Referitor la ultimul aspect, şi anume la consecinţele sau urmările pe care le generează evaluarea sumativă, se poate face aprecierea că prima şi cea mai importantă dintre acestea se concretizează în validarea sau invalidarea instruirii, lucru relevat şi de N. Lebrun şi S. Berthelot (1994, pag. 243), care notează: ,,În cadrul realizării sistemului de instruire, evaluarea formativă vizează ameliorarea instruirii sau a materialului didactic, în timp ce evaluarea sumativă are ca obiectiv să determine eficacitatea instruirii. Datele (sau informaţiile) strânse în primul caz vor facilita revizuirea şi modificarea instruirii; datele colectate în cel de-al doilea vor permite să se valideze instruirea însăşi”.

O paralelă interesantă între evaluarea sumativă şi cea formativă face şi Y. Abernot (1993, pag. 242), din care rezultă, la fel, unele caracteristici ale celei dintâi.

Cu siguranţă, evaluarea sumativă posedă şi o serie de avantaje pentru că, în lipsa lor, această modalitate nu s-ar mai utiliza în demersurile evaluative, dar şi foarte multe neajunsuri pe care multe lucrări de psihopedagogie le semnalează ori de câte ori această modalitate face obiectul unei analize mai detaliate.

În rândul celor care manifestă rezerve serioase faţă de evaluarea sumativă se află şi B. Petit - Jean (apud M. Manolescu, 2002, p. 150-151) care îi identifică acesteia critici de genul:

1) tehnicile şi instrumentele de evaluare folosite în examene cu miză mare sunt, de cele mai multe ori, puţin valide, nereprezentative şi nu sunt totdeauna justificate;

2) evaluările sumative rareori au caracter ameliorativ, deoarece, de puţine ori se analizează critic rezultatele examenelor, fie din lipsă de timp, fie din lipsă de mijloace;

63

Evaluarea formativă Evaluarea sumativă funcţie de formare funcţie de certificare şi

selecţie intermediară terminală unei

secvenţe pedagogice urmată de

aprofundarea remedierii (remedierea lacunelor)

urmată de o schimbare a temei sau a ciclului (perioadei)

nenotată (sau în alb) notată şi contând pentru medie şi pentru trecere sau promovare

criterială (relativ numai la elev însuşi)

normativă,deci, comparând elevii între ei

3) este dificil, dacă nu chiar imposibil de precizat cu exactitate cât din ceea ce au învăţat elevii pentru un examen important le-a fost util în cariera profesională sau în viaţă;

4) se acordă o valoare absolută unor măsurători relative, ceea ce conduce inevitabil la decizii arbitrare şi automate;

5) reuşita sau eşecul unui elev sunt legate mai degrabă de distribuţia unor note decât de capacitatea lui de a opera cu cunoştinţele respective;

6) anxietatea provocată de orice examen şi de evaluări în general este un factor important care diminuează considerabil obiectivitatea rezultatelor;

7) evaluările sumative nu permit identificarea dificultăţilor de învăţare ale elevilor şi conţinuturile neasimilate decât la sfârşitul unei perioade de instruire, când este foarte târziu, dacă nu imposibil, să se ia măsuri ameliorative;

8) elevul controlat, evaluat la finalul unei perioade de instruire, nu are posibilitatea de a-şi dezvolta capacitatea de autoevaluare, nefiind pregătit pentru acest exerciţiu.

Totdeauna va fi o mai mare diferenţă între judecata sa proprie (a elevului examinat) şi rezultatul său la examen. De aici derivă opinia larg răspândită privind arbitrariul examenelor şi al sistemului şcolar în ansamblul său.

Cu siguranţă, multe sunt limitele evaluării sumative, dar, dintre toate, două par a-i mări inferioritatea faţă de celelalte modalităţi de evaluare, iar acestea sunt:

1) nu asigură evaluarea întregii materii predate elevilor, ci numai o evaluare prin sondaj a acesteia, cu toate consecinţele negative care rezultă dintr-o astfel de strategie;

2) nu are caracter ameliorativ şi nu poate conduce la corecţii ale procesului de instruire-învăţare, pentru că ea operează după ce acesta deja s-a finalizat.

Analizându-i şi avantajele, dar şi limitele, concluzia care se poate detaşa este aceea că în demersurile evaluative trebuie luate toate măsurile pentru a i se minimiza neajunsurile, pe de o parte, iar pe de altă parte, trebuie concepută evaluarea formativă într-o aşa manieră încât aceasta să debuşeze în finalul instruirii într-o evaluare sumativă.

Evaluarea prin metodele cercetării pedagogice

Deşi fac parte din două categorii metodologice distincte, metodele de cercetare şi metodele de evaluare au un punct de convergenţă, ca metode ce servesc şi studiului fenomenelor educative şi evaluării şcolare. Prin urmare, verificarea beneficiază de cercetarea pedagogică, împrumutând de la aceasta metode de cunoaştere şi apreciere a subiecţilor.

Observaţia de evaluare

Metoda observaţiei constă în perceperea intenţionată, planificată şi sistematică a manifestărilor comportamentale, individuale şi colective ale elevilor, în condiţii

64

naturale, în timpul desfăşurării lecţiei sau al altor activităţi realizate cu elevii. Caracteristica principală a observaţiei este neintervenţia, faptul că profesorul nu produce sau nu schimbă artificial comportamentele pe care la observă, acestea fiind surprinse în desfăşurarea lor normală. De regulă, observaţia de evaluare nu este o metodă folosită de sine stătător, ci însoţeşte celelalte metode de verificare şi evaluare. Observaţia se efectuează concomitent cu conversaţia de evaluare, cu aplicarea unui test, a unei lucrări scrise, având rolul de a oferi o informaţie complementară privind reacţiile şi comportamentele elevilor pe parcursul evaluării.

Similar observaţiei ştiinţifice, observaţia de evaluare trebuie să fie planificată, sistematică şi selectivă. Este evident că nu se poate observa totul deodată. De aceea, profesorul trebuie să efectueze o anumită selecţie în câmpul perceptiv, ceea ce presupune sistematizarea conduitelor ce vor fi supuse observaţiei, raportarea lor la clase de comportament şi la tipologii, adică reducerea diversităţii la unităţi de observaţiei accesibile şi semnificative, care să ofere o informaţie relevantă despre elevi. De aceea, observaţia trebuie pregătită prin stabilirea indicatorilor observabili ce vor fi urmăriţi, indicatori care să fie semnificativi şi pertinenţi, să "spună" ceva despre caracteristicile evaluate. De exemplu, participarea elevului la lecţii, ca o caracteristică semnificativă pentru actul evaluării, poate fi transpusă în următorii indicatori observabili: participă la lecţii din proprie iniţiativă; participă numai la solicitarea profesorului; participă la incitarea colegilor; nu participă prin indiferenţă (apatie); refuză să participe (non-participare activă). După cum se constată, fiecare dintre aceşti indicatori reflectă un anumit tip de comportament, iar în combinaţie cu alţi indicatori, de pildă cu cei privind nivelul şi calitatea răspunsurilor date de elev, completează informaţia necesară unei evaluări corecte. Observaţia poate oferi informaţii utile despre stările emoţionale şi efectele acestora asupra prestaţiei elevilor, despre o seamă de caracteristici care îşi pun amprenta asupra nivelului performanţei elevilor cum sunt: încrederea în sine, siguranţa, neîncrederea în sine, timiditatea, anxietatea, mobilitatea etc.

Cu toate că observaţia de evaluare nu poate fi transpusă nemijlocit în acordarea notelor şcolare, ea poate fi folosită în evaluare prin aprecieri verbale adresate elevilor, cu rol de încurajare, de recomandare sau de avertisment, precum şi ca o circumstanţă luată în considerare şi comunicată elevilor, cu sens pozitiv sau negativ, la acordarea notelor.

Chestionarul de evaluare

Chestionarul de evaluare constă într-o succesiune logică şi psihologică de întrebări şi răspunsuri prin care se urmăreşte verificarea şi evaluarea nivelului şi calităţii achiziţiilor elevilor pe o gamă largă de obiective şi conţinuturi. Spre deosebire de testul de cunoştinţe, chestionarul de evaluare nu este o probă docimologică standardizată, rolul lui este de a colecta informaţii şi nu de a măsura (în sensul în care se face măsurarea prin testele de cunoştinţe). Acelaşi chestionar poate să cuprindă întrebări de tipuri diferite, cu solicitări de naturi diferite, scopul lui fiind acela de a oferi profesorului o informaţie bogată şi diversă.

65

În construirea chestionarului, mai importante decât standardizarea şi tipizarea itemilor sunt fluenţa şi coerenţa internă a succesiunii de întrebări, legătura logică şi de conţinut între o întrebare şi alta. Chiar dacă se prezintă ca un formular scris, chestionarul păstrează în bună măsură caracterul unui dialog sau al unui discurs în care întrebările nu sunt entităţi izolate, ci fac parte dintr-un demers cognitiv şi comunicativ coerent, cu o anumită continuitate de conţinut şi înlănţuire logică. De aceea, chestionarul de evaluare se elaborează în jurul unei anumite teme, la încheierea unui anumit capitol din programă, când sunt necesare şi posibile sinteze, transferuri de cunoştinţe, comparaţii, generalizări.

Chestionarul poate fi şi un bun instrument de autoevaluare pentru elevi. În acest scop, profesorul poate da elevilor chestionare ca ghid în pregătirea lecţiilor de recapitulare, a lucrărilor scrise semestriale sau a examenelor.

Analiza produselor activităţii elevilor

Activitatea de învăţare desfăşurată de elevi se materializează deseori în produse, în lucrări, în obiecte fizice care pot constitui un bun reper pentru verificarea şi evaluarea cunoştinţelor, capacităţilor şi deprinderilor dobândite în procesul de învăţământ. Produsul activităţii are avantajul că sintetizează foarte bine un complex de caracteristici incluzând domeniul cognitiv (cunoştinţe, capacităţi), domeniul motivaţional-atitudinal (motivaţii, interese, atitudini) şi domeniul psiho-motor, de aplicare şi execuţie (deprinderi, abilităţi). într-o anumită măsură, se poate afirma că în fiecare produs se reflectă întreaga personalitate a elevului.

În sens larg, prin produs se înţelege orice rezultat fizic al activităţii elevilor realizat de ei în cadrul sau în legătură cu procesul de învăţământ. în acest sens, sunt produse ale activităţii: lucrările scrise, referatele, desenele, obiectele de lucru manual, lucrările de atelier etc. în practica evaluării, analiza produselor activităţii elevilor apare în două ipostaze:a) ca metodă specifică de evaluare, în cazul tipurilor de activitate didactică (ateliere, lucrări practice, laboratoare) ce presupun prin obiectivele şi conţinutul lor realizarea de produse. în acest caz, realizarea produsului reprezintă principala modalitate de învăţare, iar caracteristicile produsului principalul criteriu de evaluare.b) ca metodă complementară e evaluare, în cazul activităţilor didactice care nu presupun realizarea unor produse de către elevi. în acest caz, o serie de lucrări realizate de elevi, cu scop de învăţare sau de evaluare, sunt tratate şi ca produse. De exemplu, o compunere, un referat sau, în general, o lucrare scrisă poate fi abordată şi ca produs al activităţii şi analizată şi sub alte aspecte decât cele privind conţinutul ei: aspectul estetic, plasarea în pagină, acurateţea, lizibilitatea ş.a.

Pentru a oferi o evaluare semnificativă, analiza produselor activităţii elevilor trebuie să se întemeieze pe repere şi criterii clare şi pertinente. Desigur, acestea sunt în bună măsură dependente de natura produsului şi a activităţii didactice în care produsul a fost realizat. Dintre criteriile de evaluare cu o aplicabilitate mai generală se pot menţiona:

66

- gradul de corespondenţă cu obiectivele sau cu parametrii proiectaţi, în baza cărora produsul a fost realizat;

- aspectele tehnice sau procedurale ale realizării produsului: aplicarea tehnicilor şi procedeelor recomandate, calitatea operaţiilor efectuate;

- aspectele estetice ale produsului;- aspectele relevante pentru atitudinea elevului în procesul executării produsului, cu referire la acurateţea execuţiei, atenţia acordată detaliilor aparente, temeinicia realizării, exigenţa în autocontrolul calităţii etc.

În cadrul reformei educaţionale actuale a învăţământului românesc, un accent deosebit se pune pe utilizarea unor metode şi tehnici de evaluare eficientă a elevilor, aceasta presupunând şi o serie de metode alternative. Experienţa de la catedră ne-a demonstrat că nu se poate renunţa definitiv la metodele tradiţionale de evaluare, în favoarea celor alternative, dar se impune îmbinarea acestora în scopul optimizării actului didactic. Spre deosebire de metodele tradiţionale, care realizează evaluarea rezultatelor şcolare obţinute pe un timp limitat şi de regulă cu o arie mai mare sau mai mică de conţinut, dar oricum definită – metodele alternative de evaluare prezintă cel puţin două caracteristici:

- pe de o parte realizează evaluarea rezultatelor în strânsă legătură cu instruirea învăţarea, de multe ori concomitent cu aceasta;

- pe de altă parte ele privesc rezultatele şcolare obţinute pe o perioadă mai îndelungată, care vizează formarea unor capacităţi, dobândirea de competenţe şi mai ales schimbări în planul intereselor, atitudinilor, corelate cu activitatea de învăţare.

- principalele metode alternative de evaluare, al căror potenţial formativ susţine individualizarea actului educaţional prin sprijinul acordat elevului sunt:

o observarea sistematică a activităţii şi a comportamentului elevului; o investigaţia; o portofoliul; o proiectul; o studiul de caz; o interviul; o referatul; o autoevaluarea; o hărţile conceptuale

Prin consecinţele ei, evaluarea depăşeşte graniţele sălii de clasă, ale şcolii şi depăşesc cadrul strict al procesului de învăţământ; nu evaluăm doar elevii ci în acelaşi timp, direct sau indirect, evaluăm cadrele didactice, calitatea actului de predare, a procesului de învăţământ, a instituţiei şcolare şi, nu în ultimul rând, evaluarea sistemului educativ cu componentele sale.

67

68

Bibliografie

1. Ion D. Ion , R. Nicolae, Algebra, Ediţia a III-a, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1981.

2. Gheorghe Fărcaş, , Algebră, Editura universităţii “Petru Maior”, Târgu Mureş, 2001

3. M. Becheanu, C. Niţă, M. Ştefănescu, A. Dincă, I. Purdea, I. D. Ion, N. Radu, C. Vraciu , Algebră Pentru Perfecţionarea Profesorilor, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1983 4. C. Năstăsescu, C. Niţă, C. Vraciu, Bazele Algebrei, vol.I , Editura Academiei R.S.R. , Bucureşti, 1986

5. Atyiah M., Mac Donald I., Introduction to Communitative Algebra, Addison-Wesley Publishing Company, 1969

6. Bourbaki N., Algebre commutative, Chap. 1-7 Act. Sci. Ind., Hermann, Paris, 1961-1965.

7. Dixon J., Problems in Group Theory, Waltham, Massachusetts Toronto-London, 1967.

8. Niţă C., Spircu T., Probleme de structuri algebrice. Ed. tehnică, Bucureşti, 1974.

9. Ion, I., Ghioca, A., Nediţă, N., Algebră (manual pentru cl.XII), Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1980.

10. Manyoni, R., Presentation moderne de quelquea notions de mathematiques, Vuibert, Paris, 1970.

11. Miron, R., Brânyei, D., Fundamentele aritmeticii şi geometriei, Editura Academiei R.S.R., Bucureşti, 1983.

12. Năstăsescu, C., Niţă , C., Popa , S., Algebră ( manual pentru cl.X), Editura Didactică şi Pedagogică , Bucureşti, 1980.

13. Năstăsescu, C.,Nişă C., Stănescu, I., Elemente de algebră superioară ( manual pentru cl. XI), Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1980.

14. Mică enciclopedie matematică după „ Kleine enzyklopadie der mathematik” – 1971 şi „ Mathematics at a glance”- 1975.

15 Cucoş C., 2002, Pedagogie, ed. a II-a, Ed. Polirom, Iaşi;

16. Cucoş C. (coord.), 2008, Psihopedagogie pentru examenele de definitivare şi grade didactice, Ed. Polirom, Iaşi;

17. Ionescu M., Radu I., 2001, Didactica modernă, Ed. Dacia, Cluj-Napoca;

69

18. Moise C., 1996, Concepte didactice fundamentale, Ed. Ankarom, Iaşi;

19. Nicola I., 1996, Tratat de pedagogie şcolară, EDP, Bucureşti.

20. Postolache Mihai, Buican Cristian, 2008, Metodica predării matematicii în liceu , Ed. Fair Partners;

21. Cerghit Ioan, 2006, Metode de învăţământ, Ed. Polirom;

22. Brânzei Dan, 2008, Metodica predării matematicii , Ed. Paralela 45;

23. Cucoş C., 2008, Teoria şi metodologia evaluării, Ed. Polirom:

24.Cerghit Ioan,2008, Sisteme de instruire alternative şi comparative, Ed. Polirom.

70