probleme de algebrĂ -...

Download PROBLEME de ALGEBRĂ - images3.wikia.nocookie.netimages3.wikia.nocookie.net/nccmn/ro/images/8/84/Probleme_de... · cuprinde probleme legate de grupuri, inele, corpuri şi inele de

If you can't read please download the document

Upload: lythien

Post on 05-Feb-2018

383 views

Category:

Documents


26 download

TRANSCRIPT

  • 1

    DUMITRU BUNEAG

    FLORENTINA CHIRTE DANA PICIU

    PROBLEME

    de

    ALGEBR

  • 2

    Dumitru BUNEAG

    Florentina CHIRTE Dana PICIU

    PROBLEME de ALGEBR

  • 3

    Dumitru BUNEAG

    Florentina CHIRTE Dana PICIU

    PROBLEME

    de

    ALGEBR

    Editura UNIVERSITARIA

    CRAIOVA 2002

  • 4

    Refereni tiinifici: Prof.univ.dr.Constantin Nstsescu,Universitatea Bucuresti Membru corespondent al Academiei Romne Prof.univ.dr. Constantin Ni,Universitatea Bucureti Prof.univ.dr. Alexandru Dinc,Universitatea Craiova 2002 EUC CRAIOVA All rights reserved. No part of this publication may be reproduce, stored in a retrieval system, or transmitted, in any forms or by any means, electronic, mechanical, photocopying, recording, or other wise, without the prior written permission of the publisher. Tehnoredactare computerizat : Dana Piciu, Florentina Chirte Copert: Ctlin Buneag

    Bun de tipar: 20.02.2002 Tipografia Universitii din Craiova, Strada, Al. Cuza, nr.13 Craiova, Romnia

    Published in Romania by: EDITURA UNIVERSITARIA CRAIOVA

    Descrierea CIP a Bibliotecii Naionale Dumitru Buneag (coordonator),

    Probleme de Algebr

  • 5

    ISBN: 973 8043 189 9

  • 6

    CUPRINS

    Prefa i Index de notaii i abrevieri ii Partea 1 : Enunurile problemelor 1 1. Operaii algebrice. Semigrupuri. Monoizi. Morfisme de monoizi 1 2. Grup. Subgrup. Subgrup generat de o mulime. Calcule ntr-un 6 grup. Grupuri de permutri 3. Teorema lui Lagrange. Ordinul unui element. Indicele unui 17 subgrup. Subgrupuri normale 4. Morfisme i izomorfisme de grupuri. Grupuri factor. Teoremele 24 de izomorfism pentru grupuri 5. Produse directe de grupuri 36 6. Inel. Subinel. Exemple. Calcule ntr-un inel. Elemente inversabile. 39 Divizori ai lui zero. Elemente idempotente. Elemente nilpotente. Produse directe de inele 7. Morfisme i izomorfisme de inele 50 8. Ideale. Laticea idealelor unui inel comutativ. Anulatorul i radicalul 54 unui inel. Factorizarea unui inel printr-un ideal bilateral. Ideale prime. Ideale maximale 9. Corp. Subcorp. Caracteristica unui corp. Morfisme i 61 izomorfisme de corpuri 10. Inele de polinoame 70 Partea 2 : Soluiile problemelor 79 1. Operaii algebrice. Semigrupuri. Monoizi. Morfisme de monoizi 79 2. Grup. Subgrup. Subgrup generat de o mulime. Calcule ntr-un 90 grup. Grupuri de permutri 3. Teorema lui Lagrange. Ordinul unui element. Indicele unui 119 subgrup. Subgrupuri normale

  • 7

    4. Morfisme i izomorfisme de grupuri. Grupuri factor. Teoremele 131 de izomorfism pentru grupuri 5. Produse directe de grupuri 163 6. Inel. Subinel. Exemple. Calcule ntr-un inel. Elemente inversabile. 175 Divizori ai lui zero. Elemente idempotente. Elemente nilpotente. Produse directe de inele 7. Morfisme i izomorfisme de inele 208 8. Ideale. Laticea idealelor unui inel comutativ. Anulatorul i radicalul 225 unui inel. Factorizarea unui inel printr-un ideal bilateral. Ideale prime. Ideale maximale 9. Corp. Subcorp. Caracteristica unui corp. Morfisme i 244 izomorfisme de corpuri 10. Inele de polinoame 276 Bibliografie 310

  • 8

    Prefa

    Lucrarea de fa este destinat n principal seminarizrii cursurilor de algebr legate de structurile algebrice fundamentale (grup, inel, corp). Ea cuprinde probleme legate de grupuri, inele, corpuri i inele de polinoame.

    Aceast lucrare este util n primul rnd studenilor de la facultile de matematic - informatic dar i celor de la facultile tehnice. Ea poate fi ns util n egal msur att profesorilor de matematic din nvmntul preuniversitar (n procesul didactic i de perfecionare), ca i elevilor din ultima clas de liceu participani la tradiionalele concursuri de matematici de la noi.

    Pentru anumite aspecte teoretice recomandm cititorilor lucrrile [4, 12, 13, 18, 19, 20, 21].

    Att tehnoredactarea ct i corectura aparin autorilor. Craiova, 20.02.2002 Autorii

  • 9

    Index de notaii i abrevieri a.. : astfel nct () : implicaia (echivalena) logic () (()) : cuantificatorul universal (existenial) xA : elementul x aparine mulimii A AB : mulimea A este inclus n mulimea B AB : mulimea A este inclus strict n mulimea B AB : intersecia mulimilor A i B AB : reuniunea mulimilor A i B A \ B : diferena mulimilor A i B AB : diferena simetric a mulimilor A i B P(M) : familia submulimilor mulimii M CMA : complementara n raport cu M a mulimii A AB : produsul cartezian al mulimilor A i B |M| (sau card M) : cardinalul mulimii M ( dac M este finit |M|

    reprezint numrul elementelor lui M) 1A : funcia identic a mulimii A (*) : mulimea numerelor naturale (nenule) (*) : mulimea numerelor ntregi (nenule) (*) : mulimea numerelor raionale (nenule) *+ : mulimea numerelor raionale strict pozitive

    (*) : mulimea numerelor reale (nenule) *+ : mulimea numerelor reale strict pozitive

    (*) : mulimea numerelor complexe (nenule) ij : simbolul lui Kronecker ( adic 1 pentru i = j i 0 pentru

    i j) |z| : modulul numrului complex z Un : mulimea rdcinilor complexe de ordin n ale unitii T : mulimea numerelor complexe de modul 1 m | n : numrul ntreg m divide numrul ntreg n [m,n] : cel mai mic multiplu comun al numerelor naturale m i

    n c.m.m.m.c. : cel mai mic multiplu comun (m,n) : cel mai mare divizor comun al numerelor naturale m i

  • 10

    n c.m.m.d.c. : cel mai mare divizor comun m n ( mod p) : m este congruent cu n modulo p ( adic p | m-n) n : mulimea claselor de resturi modulo numrul natural n

    (n 2) Mn(K) : mulimea matricelor ptratice de ordin n cu elemente

    din mulimea K Mm,n(K) : mulimea matricelor cu m linii i n coloane, cu elemente

    din mulimea K In(On) : matricea unitate ( nul) de ordin n ( n 2) Tr(M) : urma matricei ptratice M det(M) : determinantul matricei ptratice M U(M, o ) : mulimea elementelor inversabile din monoidul (M, o ) (n) (n*) : numrul numerelor naturale mai mici dect n i prime

    cu n ( poart numele de indicatorul lui Euler) GLn(K) : grupul liniar de grad n peste corpul K SLn(K) : grupul special de grad n peste corpul K (X) : grupul simetric al mulimii X ( adic grupul funciilor

    bijective f : X X relativ la compunerea funciilor) Sn : grupul simetric al unei mulimi cu n elemente An : grupul altern de grad n Dn : grupul diedral de grad n DIn : grupul diciclic de grad n Q : grupul quaternionilor Qn : grupul generalizat al quaternionilor o(g) : ordinul elementului g din grupul G HG : H este subgrup al grupului G HG : H este subgrup normal al grupului G |G:H| : indicele subgrupului H n grupul G (G/H)d : mulimea claselor la dreapta ale grupului G relative la

    subgrupul H al grupului G (G/H)s : mulimea claselor la stnga ale grupului G relative

    la subgrupul H al grupului G G/H : grupul factor al grupului G prin subgrupul su normal H L(G) : mulimea subgrupurilor grupului G L0(G) : mulimea subgrupurilor normale ale grupului G : subgrupul generat de mulimea X n grupul G (X G) H K : subgrupul generat de H K n grupul G ( H,K G) HK

    : mulimea elementelor de forma hk cu hH i kK (H,K G)

    H K : grupurile H i K sunt izomorfe

  • 11

    H K : grupurile H i K nu sunt izomorfe Hom(G1,G2) : mulimea morfismelor de grup de la grupul G1 la grupul

    G2 Aut(G) : mulimea automorfismelor grupului G Inn(G) : mulimea automorfismelor interioare ale grupului G CM(x) : centralizatorul n monoidul M al elementului x ( adic

    mulimea elementelor lui M ce comut cu x) Z(M) : centrul monoidului M ( mulimea elementelor lui M ce

    comut cu oricare element al lui M) NG(H) : normalizatorul lui H n G ( adic mulimea elementelor

    xG pentru care xH = Hx, H G) [x,y] : x-1y-1xy ( comutatorul elementelor x i y din grupul G) ch a = (ea + e-a) / 2 : cosinus hiperbolic sh a = (ea - e-a) / 2 : sinus hiperbolic Car(A) : caracteristica inelului A U(A) : grupul unitilor inelului A Z(A) : centrul inelului A N(A) : mulimea elementelor nilpotente ale inelului A Id(A) : mulimea idealelor inelului comutativ A A / I : inelul factor al lui A prin idealul I J(A) : radicalul Jacobson al inelului comutativ A r(I) : radicalul idealului I Ann(I) : anulatorul idealului I (M) : idealul generat de submulimea M din inelul A [x,y] : comutatorul elementelor x i y din inelul A

    (adic xy yx) A[[X]] :inelul seriilor formale peste inelul A A[X] :inelul polinoamelor ntr-o nedeterminat cu coeficieni

    n inelul comutativ A A[X1,,Xn] : inelul polinoamelor n nedeterminatele X1,,Xn (n 2)

    cu coeficieni din inelul comutativ A f~ : funcia polinomial ataat polinomului fA[X]

  • 12

    Partea 1: Enunurile problemelor

    1. Operaii algebrice.Semigrupuri. Monoizi. Morfisme de monoizi.

    1.1. Fie M o mulime cu n elemente. (i) Cte operaii algebrice se pot defini pe M ?

    (ii) Cte dintre acestea sunt comutative? (iii) Cte dintre acestea admit element neutru? (iv) S se arate c numrul operaiilor algebrice ce se pot defini

    pe M care sunt n acelai timp comutative i cu element neutru este 222 +nn

    n . 1.2. Pe considerm operaia algebric :

    xo y = xy + ax + by + c (a, b, c). (i) Pentru ce valori ale lui a,b,c operaia o este asociativ?

    (ii) S se demonstreze c operaia o este asociativ are element neutru ; (iii) n ipoteza c operaia o este asociativ, s se pun n eviden U(,).

    1.3. Pe considerm operaia algebric :

    xo y = axy + b(x + y) + c (a, b, c). S se demonstreze c:

    (i) Operaia o este asociativ b2-b-ac = 0; (ii) Dac b2-b-ac = 0, atunci operaia o are element neutru dac i numai dac b | c.

    1.4. Fie M o mulime nevid iar o o operaie algebric asociativ pe M. S se demonstreze c : H = {aM: (x o a) o y = x o (a o y), pentru orice x,yM} este parte stabil a lui M n raport cu operaia dat.

    1.5. Fie M o mulime nevid. Pe M se definete o operaie algebric asociativ. Artai c dac M este finit i exist aM a.. funcia f: M M , f(x) = axa este injectiv, atunci (M,) este monoid.

  • 13

    1.6. Fie S un semigrup finit i aS. S se arate c exist m * a.. am este idempotent. 1.7. Fie A o mulime nevid i o operaie algebric asociativ pe A cu proprietatea c exist n* a.. xnyn = yx, pentru orice x,y A. Artai c operaia dat este comutativ. 1.8. Fie M i o operaie algebric asociativ cu proprietatea c exist n* a.. (xy)n = yx, pentru orice x,yM. Atunci operaia algebric este comutativ. 1.9. Pe mulimea M se definete o operaie algebric cu proprietile:

    1) x2 = x, pentru orice xM; 2) (xy)z = (yz)x, pentru orice x,y,zM. S se arate c operaia este asociativ i comutativ.

    1.10. Pe mulimea S se definete o operaie algebric asociativ cu urmtoarele proprieti:

    1) x3 = x, pentru orice xS 2) xy2x = y x2y, pentru orice x,yS. S se arate c operaia este comutativ.

    1.11. Fie [i]={x+yi : x,y, i, i2 = -1}. S se demonstreze c ([i],) este monoid comutativ. S se determine U([i], ). 1.12. Fie d un numr natural liber de ptrate (d 2) iar [ d ] = {x+y d | x,y}. Definim N : [ d ][ d ] prin N(x+y d ) = x2- dy2, pentru orice x,y . S se demonstreze c ([ d ],) este monoid comutativ iar zU([ d ],) N(z){1}.

    1.13. S se demonsteze c U([ 2 ],) este o mulime infinit.

    1.14. Fie n un numr natural, n2 i Mn = {x: (n,x) 1}. S se demonstreze c Mn este parte stabil a lui (,+) n este o putere natural a unui numr prim.

  • 14

    1.15. Fie M parte stabil a lui (,+) a.. {z: |z| = 1} M. S se demonstreze c M = . 1.16. Pe mulimea M = definim operaia algebric :

    (x1, y1) o (x2, y2) = (x1x2, x2y1 + y2). S se demonstreze c (M, o ) este monoid iar apoi s se determine U(M, o ).

    1.17. Fie M = {

    dcba

    | a,b,c,d i a + b = c + d }.

    S se demonstreze c M mpreun cu nmulirea matricelor este monoid iar apoi s se pun n eviden unitile monoidului M.

    1.18. Fie A = {f : * }. Pe A definim operaia algebric astfel: (fg) =

    ndf(n)g(n/d).

    S se demonsteze c (A, ) este monoid comutativ i f U(A, ) f(1) 0. Observaie. Funciile din A se numesc funcii aritmetice iar operaia algebric poart numele de produs de convoluie sau produs Dirichlet.

    1.19. Fie (M, ) un monoid i 1 elementrul su neutru. (i) S se arate c dac M este mulime finit, atunci nu exist a,bM a..

    ab = 1 i ba 1 ; (ii) S se dea un exemplu de dou aplicaii f,g : a.. fo g = 1

    i g o f 1 ; (iii) Fie a i b n M a.. ab = 1 i ba 1. S se arate c dac bn am = bq ap

    cu m,n,p,q*, atunci n = q i m = p. 1.20. S se demonstreze c dac M este parte stabil relativ la

    operaiile de adunare i nmulire a numerelor complexe i M , atunci M = sau M = . 1.21. Pentru monoidul (M, ) definim

    Z(M) = {xM | xy = yx, pentru orice yM}. S se demonstreze c Z(M) este submonoid al lui M.

    Observaie. Z(M) poart numele de centrul monoidului M. 1.22. Fie n, n2. S se demonstreze c

  • 15

    Z (Mn(), ) = {aIn | a}.

    1.23. Fie matricea A =

    1021

    M2().

    (i) S se determine XM2() a.. AX = XA ; (ii) S se rezolve n M2() ecuaia Xn = A (n, n 2).

    1.24. Fie A =

    dcba

    M2() a.. a+d >2 i det (A) = 1.

    S se demonstreze c An I2, pentru orice n, n 1. 1.25. Fie n, n 2 i A,BMn() a.. A + B = AB. S se demonstreze c AB = BA. 1.26. Fie n, n 2 i A,BMn(). S se demonstreze c

    In- ABU(Mn(),) In- BAU(Mn(),). 1.27. Fie S un semigrup. S se arate c exist un monoid M i un

    morfism injectiv de semigrupuri f : S M. 1.28. Fie M1, M2 monoizi, f,g : M1 M2 dou morfisme de monoizi,

    Mf,g= {xM1: f(x) = g(x)} iar i : Mf,g M1 morfismul incluziune. S se demonstreze c :

    (i) Mf,g este submonoid al lui M1 iar f o i = go i ; (ii) Dac M este un alt monoid iar i : M M1 este un morfism de

    monoizi a.. f o i = g o i, atunci exist un unic morfism de monoizi u : M Mf,g a.. i o u = i. Observaie. Dubletul (Mf,g, i) l notm cu Ker(f,g) i poart numele de nucleul perechii de morfisme de monoizi (f,g). Dac g este morfismul nul (g(x) = 1, () xM1), notm Ker(f) = Mf,1 = {xM1 : f(x) = 1} i l numim nucleul lui f.

    1.29. Fie M1,M2 monoizi, f : M1M2 un morfism de monoizi. Considerm urmtoarele afirmaii : (i) f este aplicaie injectiv ; (ii) Ker(f) = {1}.

  • 16

    S se demonstreze c (i) (ii) ns n general (ii) (i).

    1.30. Fie M1,M2 monoizi, f : M1M2 un morfism de monoizi. Considerm urmtoarele afirmaii : (i) f este aplicaie injectiv ; (ii) Dac M0 este un alt monoid iar g,h :M0 M1 sunt morfisme de

    monoizi a.. fo g = f o h, atunci g = h ; (iii) Ker(f) = {1}.

    S se demonstreze c (i) (ii) i (ii) (iii). Observaie. Un morfism ce verific (ii) se numete monomorfism de monoizi.

    1.31. Fie M1,M2 monoizi, f : M1M2 un morfism de monoizi. Considerm urmtoarele afirmaii : (i) f este aplicaie surjectiv ; (ii) Dac M3 este un alt monoid iar g,h :M2 M3 sunt morfisme de

    monoizi a.. go f = ho f, atunci g = h . S se demonstreze c (i) (ii) ns n general (ii) (i). Observaie. Un morfism ce verific (ii) se numete epimorfism de monoizi.

    2. Grup. Subgrup. Subgrup generat de o mulime.

    Calcule ntr-un grup. Grupuri de permutri.

    2.1. Pe mulimea definim operaia algebric: x o y = xy + 2(x + y + 1).

    (i) S se arate c dubletul (, o ) nu este grup ; (ii) S se determine cea mai mare submulime G (fa de

    incluziune) a.. dubletul (G, o ) s fie grup comutativ. 2.2. Pe mulime a se definete operaia algebric :

    x o y = x + ykxy (k* fixat). S se arate c exist a a.. ( \ {a},o ) s fie grup abelian.

    2.3. Fie a,b,c,d* i operaia algebric : xo y = xy+ax+by+c. Ce condiie trebuie s ndeplineasc a,b i c pentru ca ((d,), o ) s fie

    grup abelian ?

  • 17

    2.4. Fie G =

    >

    0,:

    000100ln1

    aRaa

    a.

    S se demonstreze c G mpreun cu nmulirea matricelor este grup comutativ.

    2.5. Fie G =

    }{:

    10000

    01

    21Rx

    xx

    xx.

    S se demonstreze c G mpreun cu nmulirea matricelor este grup comutativ.

    2.6. S se determine x a.. mulimea :

    M =

    =

    1,,,,:

    000

    0bcadRdcba

    dcx

    ba

    s fie grup n raport cu operaia de nmulire a matricelor. 2.7. S se determine numerele reale a i b a..:

    G =

    =

    ++

    14,,: 22 yxRyxayxbxybxyayx

    s formeze un grup n raport cu nmulirea matricelor.

    2.8. Fie n natural, n 2 dat. S se arate c mulimea :

    G =

    =

    = 2,,,:

    00

    2 nIACyxyx

    A n

    este un grup n raport cu nmulirea matricelor. Cte elemente are grupul G ?

    2.9. S se arate c mulimea :

    G =

    =

    +112,,:

    4224 22 yxRyx

    yxyyyx

    mpreun cu nmulirea matricelor formeaz grup comutativ.

  • 18

    2.10. Fie G mulimea matricelor de forma M(a,b) =

    abbbabbba

    cu

    proprietatea c det M(a,b) = 1. S se arate c G este grup n raport cu nmulirea matricelor.

    2.11. Considerm mulimea M =

    .1,,, 3,

    2

    =++=

    eletreniprimesuntXgiscXbXafiarRcba

    acbbaccba

    S se arate c M este grup n raport cu nmulirea matricelor.

    2.12. Fie E = iar pentru t, funcia ft:EE, ft(x,y) = (x+ ty + t2/2, y + t), oricare ar fi (x,y) E.

    S se demonstreze c mulimea G = {ft : t} formeaz grup comutativ n raport cu compunerea funciilor.

    2.13. Se consider mulimea :

    G =

    +++

    ||||,0)()()( 224 dbcadbcaRM

    adcbbadccbaddcba

    .

    (i) S se arate c (G,) este grup abelian ; (ii) Pentru n i XG, s se arate c exist an, bn, cn, dn i

    H = {A,B,C,D}, H G, a.. (H, ) s fie grup abelian i Xn = anA + bnB + cnC + +dnD pentru orice n numr natural.

    (iii) Pentru n* calculai :

    n

    2300023000233002

    .

    2.14. Fie A =

    448224112

    i

    MA = { xI3 + yA | (x,y)* }. S se arate c :

  • 19

    (i) det X nu depinde de y, pentru orice XMA ; (ii) (MA, ) este un grup abelian ; (iii) (X*)n + (X*)-n MA i det ( (X*)n + (X*)-n) 8, pentru orice

    n* i orice XMA, unde X* este adjuncta lui X.

    2.15. Fie M =

    +

    baaQbaba

    ba,0,,

    0.

    (i) S se arate c (M,) este grup ; (ii) S se determine toate matricele XM a.. XXt = I2 ; (iii) Ecuaia Yt Y = I2 are soluii n M ?

    2.16. S se demonstreze c Un = {z* : zn =1} i T = {z

    *: |z| = 1} este subgrup al grupului (*, ) (n). 2.17. Fie K o mulime cu patru elemente K = {1,a,b,c}. Pe K considerm operaia de nmulire a crei tabel este:

    1 a b c 1 1 a b c a a 1 c b b b c 1 a c c b a 1

    S se demonstreze c dubletul (K,) este grup comutativ. Observaie. Grupul K poart numele de grupul lui Klein. 2.18. Determinai a,b,c a..

    G = {x | a cos x + b sin x + c = 0 } s fie subgrup al grupului (, +).

    2.19. Determinai matricele AMn(), (n3), pentru care mulimea G(A) = {BMn()| det(A+B)= det(A)+det(B)} este grup n raport cu adunarea matricelor din Mn().

    2.20. S se demonstreze c orice grup cu cel mult cinci elemente este comutativ. 2.21. S se demonstreze c pe orice mulime finit se poate defini o structur de grup comutativ.

  • 20

    2.22. S se demonstreze c un grup nu se poate scrie ca reuniunea a dou subgrupuri proprii ale sale. 2.23. S se demonstreze c exist grupuri ce se pot scrie ca reuniunea a trei subgrupuri proprii ale sale.

    2.24. S se arate c nu exist nici un grup care s fie reuniunea a trei

    subgrupuri proprii ale sale, dintre care dou au cte trei elemente. 2.25. Fie (G, ) un grup i H = {x2 | xG}. S se arate c dac G este comutativ, atunci H este subgrup al lui G. Reciproca este adevrat?

    2.26. Fie (G, ) un dublet format dintr-o mulime i o operaie algebric

    asociativ. S se arate c dac oricare ar fi a,b,cG exist xG a.. axb = c, atunci (G,) este grup.

    2.27. Fie (G, ) un grup i a,bG a.. ab = cn, cu cG i n*. S se arate c exist dG a.. ba = dn.

    2.28. Fie p 3 un numr natural impar. Construii un grup (G,) cu p3 elemente, unde p > 2 este numr impar, cu proprietatea c pentru orice xG, xp = 1.

    2.29. Fie G o mulime finit pe care este definit o operaie

    algebric asociativ, notat multiplicativ. Dac operaia are proprietatea

    c : xy = xz y = z,

    yx = zx y = z, pentru orice x, y, zG, atunci (G,) este un grup.

    2.30. Fie (G,) un grup n care are loc implicaia xyn = znx y = z,

    unde n*. S se arate c (G,) este grup abelian. 2.31. Fie (G.) un grup i a,bG a.. aba = bab. S se arate c

    an = 1 dac i numai dac bn = 1.

    2.32. Fie (G,+) un grup abelian finit cu r elemente i s considerm dou elemente fixate a i b din acest grup. Pentru m i n numere naturale date,

  • 21

    notm cu Mm,n(G) mulimea matricelor cu m linii i n coloane avnd elementele din grupul G, iar cu M(a,b) notm submulimea lui Mm,n(G) format din acele matrice cu proprietatea c suma elementelor de pe fiecare linie este a, iar suma elementelor de pe fiecare coloan este b.

    S se demonstreze c : (i) (Mm,n(G), +) este grup abelian avnd rmn elemente; (ii) Dac ma nb, atunci M(a,b) este mulimea vid ; (iii) Dac ma = nb, atunci M(a,b) are r(m-1)(n-1) elemente.

    2.33. Fie G un grup iar A,B,CG a.. AB, AC = BC i AC =

    BC. S se demonstreze c A = B ( unde AC = {ac | aA i cC}). 2.34. Fie G un grup, H,K G iar x,yG a.. Hx = Ky.

    S se demonstreze c H = K. 2.35. Fie G un grup iar A,B G.

    S se demonstreze c |AB| |A B| = |A| |B|. 2.36. Fie G un grup finit iar A,B G a.. |A| + |B| > |G|.

    S se demonstreze c G = AB. 2.37. Fie (G, ) un grup cu proprietile:

    1) Dac x2 = 1, atunci x = 1 ; 2) (xy)2 = (yx)2, oricare ar fi x,yG.

    S se demonstreze c grupul G este abelian. 2.38. Fie G un grup a.. x2 = 1, pentru orice xG. S se demonstreze c G este comutativ iar dac G este finit, atunci |G| este o putere natural a lui 2.

    2.39. Fie G un grup finit i p un numr prim care divide ordinul lui G.

    Atunci numrul soluiilor ecuaiei xp = 1 este un multiplu nenul al lui p.

    2.40. Dac G este un grup, s se demonstreze c Z(G) G (vezi problema. 1.21.).

    2.41. Fie G un grup iar x,yG a.. xyZ(G). S se demonstreze c xy = yx.

    2.42. Fie (G, ) un grup, x, y G i m, n* a.. (m,n) = 1. S se arate c dac x comut cu ym i yn, atunci x comut i cu y.

  • 22

    2.43. Fie G un grup iar H G un subgrup propriu al su. S se demonstreze c < G \ H > = G.

    2.44. Fie (G,) un grup care are un subgrup H a.. G \ H are un numr

    finit de elemente. S se arate c grupul G este finit.

    2.45. Fie (G, ) un grup abelian finit. Spunem c subgrupul H al lui G are proprietatea (A) dac G H i produsul elementelor lui H este egal cu produsul elementelor din G \ H. S se arate c dac G are un subgrup cu proprietatea (A), atunci orice subgrup al lui G, diferit de G are proprietatea (A).

    2.46. Pentru un grup finit G notm cu s(G) numrul de subgrupuri ale sale.

    S se arate c:

    (i) Pentru orice numr real a > 0 exist grupuri finite G a.. aGsG

    0 exist grupuri finite G a.. aGsG

    >)(

    .

    2.47. Fie o operaie algebric asociativ pe mulimea M. S se

    demonstreze c (M,) este grup dac i numai dac oricare ar fi aM, exist n* a.. fa: M M, fa(x) = axan s fie surjectiv.

    2.48. S se demonstreze c grupul aditiv (,+) nu este finit generat. 2.49. Fie H un subgrup al grupului aditiv (, +). S se arate c dac = H + , atunci H = . 2.50. Fie (G,) un grup (abelian), G o mulime pentru care exist o

    bijecie f : G G. Pentru x,yG definim x o y = f(f-1(x)f-1(y)). S se arate c n felul acesta (G, o ) devine grup (abelian).

    2.51. S se demonstreze c pe orice interval deschis i mrginit de

    numere reale se poate defini o operaie algebric ce determin pe intervalul respectiv o structur de grup.

    2.52. Fie (G,) un grup. S se arate c urmtoarele afirmaii sunt

    echivalente : (i) Orice parte stabil a lui G este subgrup al su ; (ii) Pentru orice xG, exist k* a.. xk = 1.

  • 23

    2.53. Fie (G,) un grup, n, n3 i H1, H2,,Hn subgrupuri ale lui G

    a.. :

    1) in

    iH

    1=U = G

    2) Hi in

    jii

    H=1U .

    S se arate c pentru orice xG, exist k*, k (n-1)! a.. xk in

    iH

    1=I .

    2.54. Pentru orice n* considerm Hn = { !nk | k}. S se demonstreze c:

    (i) Hn este subgrup al grupului (, +) i c = nNn

    H*

    U ;

    (ii) Dac G1,G2,,Gm sunt subgrupuri ale grupului (,+) i Gi , pentru orice 1 i m atunci i

    m

    iG

    1=U .

    2.55. Fie n* iar Un = {z* : zn =1}. S se demonstreze c Un (*,), |Un| = n iar Un este grup ciclic (vezi

    problema 2.16.).

    2.56. Fie (G, ) un grup comutativ cu elementul unitate 1 i m, n *. S se arate c :

    HmHn = H[m,n], unde am notat Hn = {x G | xn = 1}, HmHn = {xy | x Hm, y Hn}, iar [m,n] = c.m.m.m.c (m,n).

    2.57. Fie (G, ) un grup iar L(G) mulimea subgrupurilor lui G. S se

    arate c (L(G), ) este latice complet. 2.58. S se arate c n laticea L() pentru H = m i K = n, cu m,

    n, H K = [m,n] iar H K = (m,n). S se deduc de aici faptul c (L(), ) este latice distributiv.

    2.59. Fie G un grup cu proprietatea c (xy)2 = x2 y2, pentru orice x,yG. S se demonstreze c G este comutativ.

  • 24

    2.60. Fie G un grup cu proprietatea c exist n*a.. (xy)k = xkyk, pentru k = n, n+1, n+2, oricare ar fi x,yG.

    S se demonstreze c G este comutativ. 2.61. Fie G un grup cu proprietatea c exist n*a.. (xy)k = xkyk,

    pentru k = n, n+2, n+4, oricare ar fi x,yG. S se demonstreze c G este comutativ. 2.62. Fie G un grup cu proprietatea c exist m,n*, (m,n)=1 a..

    oricare ar fi x,y G, (xy)n = (yx)n i (xy)m = (yx)m. S se demonstreze c G este comutativ. 2.63. Fie G un grup cu proprietatea c x3= 1 i x2 y2 = y2 x2, oricare ar fi

    x,yG. S se demonstreze c G este comutativ. 2.64. Fie G un grup iar x,yG. Notm [x,y] = x-1 y-1 xy. S se

    demonstreze c dac x,y,zG, atunci: (i) xy = yx [x,y] = 1 ; (ii) [xy,z] = y-1 [x,z] y [y,z] ; (iii) [x,yz] = [x,z] z-1 [x,y] z ; (iv) y-1 [[x,y-1],z] y z-1[[y,z-1],x] z x-1[[z,x-1],y] x = 1 .

    Observaie. [x,y] poart numele de comutatorul lui x i y. 2.65. Fie X o mulime nevid iar F(X) = {f : X X}. S se demonstreze c relativ la compunerea funciilor, F(X) este un monoid iar U(F(X), o ) = {f F(X) : f este o bijecie}. Observaie. Vom nota U(F(X), o ) = (X); grupul ((X) ,o ) poart numele de grupul de permutri asupra mulimii X. Dac X este o mulime finit cu n elemente, vom nota (X) prin Sn.

    2.66. n grupul permutrilor () considerm elementele , definite astfel: (x) = x + 1 i (x) = 2x, pentru orice x iar G = < , > (). Pentru n*, fie n = -n n G i Hn = < n > G. S se demonstreze c pentru orice n 1, Hn Hn+1 iar H = U

    1nHn nu

    este subgrup finit generat al lui G. 2.67. S se determine f : care admit primitive pe , cu

    proprietatea c mulimea primitivelor lui f este subgrup al grupului bijeciilor lui ( n raport cu compunerea funciilor).

  • 25

    2.68. Fie (X,d) un spaiu metric iar Izom(X) = {f (X) : d(f(x), f(y)) = d(x,y), pentru orice x,yX}. S se demonstreze c Izom(X) (X). Observaie. Elementele lui Izom(X) se numesc izometrii ale lui X. 2.69. Fie X = E2 planul euclidian nzestrat cu funcia distan uzual.

    Vom nota prin Tr(E2) = mulimea translaiilor lui E2 iar pentru un punct fixat OE2, Rot(O,E2) = mulimea rotaiilor lui E2 n jurul lui O. S se demonstreze c :

    (i) Tr(E2) Izom(E2), Rot(O,E2) Izom(E2) ; (ii) Pentru orice fIzom(E2), exist Rot(O,E2), Tr(E2) a.. f = o ,

    cu OE2. 2.70. Fie (X,d) un spaiu metric, Y X iar

    SX(Y) = {f Izom (X) | f(Y) = Y}. S se demonstreze c SX(Y) Izom(X). Observaie. SX(Y) poart numele de grupul de simetrie al lui Y n

    raport cu X. 2.71. Pentru un numr natural n i Pn un poligon regulat cu n laturi,

    definim Dn = PPSE ()(2 fiind conturul lui Pn). Fie O centru lui Pn, rotaia n jurul lui O de unghi 2/n iar simetria fa de una din axele de simetrie ale lui Pn. S se demonstreze c Dn = {1, , 2, 3, , n-1, , , , n-1}.

    Observaie. Grupul Dn de ordin 2n poart numele de grupul diedral de grad n .

    2.72. S se demonstreze c grupul simetric Sn este generat de

    transpoziiile i = (i,i+1), i = 1,2,,n-1.

    2.73. S se demonstreze c grupul simetric Sn este generat de transpoziiile i = (1,i), i = 1,2,,n.

    2.74. S se demonstreze c pentru orice 1 k n, grupul simetric Sn este generat de transpoziiile (1,k), (2,k),,(k-1,k), (k+1,k),, (n,k).

    2.75. S se demonstreze c grupul simetric Sn este generat de transpoziia = (1,2) i ciclul = (1,2,,n).

    2.76. S se demonstreze c grupul altern An este generat de ciclii de

    lungime 3.

  • 26

    2.77. S se demonstreze c grupul altern An este generat de ciclii

    (1,2,3), (1,2,4), ,(1,2,n).

    2.78. S se demonstreze c n Sn avem : (1,2, ,r) = (2,3, ,r,1) = = (r,1,2, ,r-1) (r n).

    2.79. S se demonstreze c dac este un r-ciclu n Sn , atunci r = e (r

    n) i r este cel mai mic numr natural cu aceast proprietate.

    2.80. Fie i doi r-ciclii n Sn (r n). S se demonstreze c dac exist iSn a.. (i) i i (i) i iar

    k(i) = k(i) pentru orice k natural , atunci = .

    2.81. Dou permutri ,Sn se zic disjuncte dac atunci cnd una din ele schimb un element, cealalt l fixeaz.

    S se demonstreze c dac = (i1,i2, ,ir), = (j1,j2, , js), r, s n, atunci i sunt disjuncte {i1,i2, ,ir } {j1,j2, , js} = .

    2.82. S se demonstreze c dac permutrile ,Sn sunt disjuncte, atunci = .

    2.83. S se demonstreze c Sn poate fi privit ca subgrup al lui An+2.

    2.84. S se demonstreze c pentru n 4, Z(An) = {e}.

    2.85. S se demonstreze c pentru n 3, Z(Sn) = {e}.

    2.86. S se demonstreze c n Sn dou permutri sunt conjugate dac i numai dac au aceeai structur ciclic.

    2.87. S se rezolve n Sn ecuaia x2 = (1,2, ,n).

    2.88. Fie p un numr prim iar Sn un ciclu de lungime m (m n). S se demonstreze c :

    (i) Dac p m, atunci p este un ciclu de lungime m, avnd aceeai orbit ca i ;

    (ii) Dac p | m, atunci p este un produs de p cicli disjunci de lungime m/p.

    2.89. Fie p un numr prim. S se demonstreze c :

  • 27

    (i) Dac Sn este un ciclu de lungime m , unde p m, atunci exist Sn un ciclu de lungime m a.. p = ;

    (ii) Dac 1,2, ,pSn sunt ciclii disjunci de aceeai lungime k , atunci exist Sn un ciclu de lungime m=kp a.. p = 12 p.

    2.90. Fie un numr prim, Sn, e. S presupunem c n descompunerea n ciclii disjunci a lui apar 1 ciclii de lungime m1, 2 ciclii de lungime m2, , t ciclii de lungime mt (m1, m2, , mt fiind distincte dou cte dou) iar m1, m2, ,mk (k t) sunt divizibile cu p.

    S se demonstreze c ecuaia xp = are soluie n Sn 1,2, , k sunt divizibile prin p.

    Aplicaie. S se studieze compatibilitatea ecuaiilor:

    x2 =

    10141891715416131912113218765

    19181716151413121110987654321 n S19;

    x3 =

    41028719563

    10987654321 n S10.

    2.91. Dac p este un numr prim, p n, s se demonstreze c ecuaia

    xp = are soluie pentru orice Sn, e.

    2.92. Fie p un numr prim. S se demonstreze c x Sn este soluie a ecuaiei xp = e x este un produs de ciclii disjunci de lungime p din Sn. 2.93. Fie G un grup comutativ cu n elemente. S se demonstreze c orice subgrup al lui G poate fi generat de cel mult n elemente.

    2.94. S se demonstreze c grupul (,+) nu admite un sistem de generatori minimal.

    2.95. S se demonstreze c orice subgrup finit generat al lui (,+) este

    ciclic (un astfel de grup se numete local ciclic).

  • 28

    3. Teorema lui Lagrange. Ordinul unui element.

    Indicele unui subgrup. Subgrupuri normale.

    3.1. Fie G un grup finit a.. |Z(G)| > 21 |G|. S se demonstreze c grupul

    G este comutativ.

    3.2. Fie G un grup finit comutativ a.. x2 = 1 pentru mai mult de jumtate din elementele lui G. S se demonstreze c x2 = 1, oricare ar fi xG. 3.3. S se demonstreze c ntr-un grup G cu 2n elemente, unde n este numr impar, exist cel mult n elemente de ordin 2. 3.4. Fie G un grup iar xG un element de ordin finit. S se demonstreze c :

    o(xn) | o(x), oricare ar fi n. 3.5. S se arate c ntr-un grup abelian G exist un element al crui ordin este egal cu c.m.m.d.c al ordinelor tuturor elementelor x 1 ale lui G.

    3.6. Fie G un grup, x,yG a.. xy = yx iar xm = yn = 1 (m,n). S se demonstreze c (xy)k = 1, unde k = [m,n]. Putem avea o(xy) < k ? 3.7. Fie G un grup iar x,yG. S se demonstreze c o(xy) = o(yx) i o(x) = o(x-1). 3.8. Fie G un grup iar xG un element de ordin finit n. S se demonstreze c pentru orice m*, o(xm) = n/(m,n). 3.9. Fie G un grup i x,yG cu o(x) = n1, o(y) = n2 finite, (n1,n2) = 1

    iar xy = yx. S se demonstreze c o(xy) = o(x) o(y). Dac condiia (n1,n2) = 1 se nlocuiete cu = {1}, s se arate

    c o(xy) = [n1,n2]. 3.10. Fie G un grup, xG a.. o(x) = n1n2 cu n1,n2*, (n1,n2)=1. S se demonstreze c exist i sunt unic determinate elementele y,zG

    a.. x = yz = zy i o(y) = n1, o(z) = n2.

  • 29

    3.11. Fie G un grup iar x,yG a.. o(x) = m, o(y) = n, (m,n*). S se demonstreze c dac x i y comut cu [x, y], atunci [x,y]d = 1,

    unde d = (m,n).

    3.12. Fie (G,) un grup comutativ de ordin finit. Sunt echivalente : (i) G este de ordin impar ; (ii) Pentru orice aG ecuaia x2 = a are soluie unic n G.

    3.13. Fie (G,) un grup finit. Dac m i n sunt divizori ai ordinului

    grupului, atunci ecuaiile xm = 1 i xn = 1 au o singur soluie comun dac i numai dac (m,n) = 1.

    3.14. Fie G un grup cu 10 elemente n care exist a,bG \ {1} distincte a. a2 = b2 = 1. S se arate c G nu este abelian.

    3.15. n monoidul multiplicativ M2() considerm matricele: A =

    0110

    i B =

    1110

    .

    S se demonstreze c o(A) = 4, o(B) = 3 iar o(AB) = . 3.16. Fie G un grup , H G i x G a.. o(x) = n (n*). S se demonstreze c dac xmH pentru orice m* a.. (m, n) = 1,

    atunci xH. 3.17. Fie G un grup comutativ de ordin n. Artai c produsul celor n elemente ale lui G este egal cu produsul

    tuturor elementelor de ordin cel mult 2. Aplicnd acest rezultat grupului multiplicativ ( p ,) cu p prim, s se

    demonstreze c p | (p-1)!+1. Observaie. Consecina de la problema 3.17. este datorat lui Wilson.

    3.18. Fie p un numr prim iar n 2 un numr natural. S se demonstreze c: (i) Dac p = 2 i n > 2, atunci n grupul U( n2 ,) numai

    elementele ,1,1 2n-11 , 2n-1 + 1 au ordinul cel mult 2 ;

  • 30

    (ii) Dac p > 2, atunci n grupul U( np ,) numai elementele 1 i -1 au ordinul cel mult 2 ;

    (iii) S se deduc de aici urmtoarele variante de generalizare pentru teorema lui Wilson:

    a) Dac p este un numr prim, p > 2 i n 1 un numr natural, atunci : pn | (

    =2, atunci : 2n | ( =

  • 31

    S se demonstreze c U,V,WGL2() iar < {U,V,W} > = GL2(). 3.24. Fie (G,) un grup iar L0 (G) mulimea subgrupurilor normale ale

    lui G. S se arate c L0(G) este sublatice modular a lui L(G). 3.25. Dac M este un A-modul, atunci laticea (LA(M),) a

    submodulelor lui M este modular. 3.26. Fie G un grup, H G a.. H Z(G). S se demonstreze c H < G. 3.27. Fie G un grup iar H< G . S se demonstreze c Z(H) < G. 3.28. Fie G un grup i H < G cu |H| = 2. S se demonstreze c H

    Z(G). 3.29. Fie G un grup, H G a.. |G:H| = 2 .S se demonstreze c H < G. 3.30. Fie G un grup finit i n* a.. (n, |G|) = 1.

    S se demonstreze c oricare ar fi xG exist i este unic yG a.. yn = x. S se deduc de aici c dac y,z G i yn = zn, atunci y = z. 3.31. Fie G un grup a.. |G:Z(G)| = n (n*). S se demonstreze c oricare ar fi x,y G avem:

    [x,y]n+1 = [x,y2] [y-1xy, y]n-1.

    3.32. Dac orice subgrup propriu al unui grup G este comutativ, rezult c grupul G este comutativ ? 3.33. Fie G un grup finit cu n elemente. S se demonstreze c xn =1, pentru orice xG.

    S se deduc de aici c dac a,n* a.. (a,n) = 1, atunci n | a(n)-1.

    Observaie. Consecina acestui rezultat este datorat lui Euler 3.34. Fie G = { a1, a2,, an} un subgrup al grupului (*, ) i k*.

    S se arate c : (i) G = Un ; (ii) Exist relaia :

  • 32

    =+++ .,,0

    ...21 ndemultipluestekadacnndemultipluestenukadac

    aaa knkk

    (

    (

    3.35. Fie G un grup a.. exist A G finit i nevid cu proprietatea c G

    \ A este un subgrup al lui G. (i) S se arate c G este finit i |G| 2|A| ; (ii) Dac |A| este prim, atunci |G| = 2|A| sau |G| = |A| + 1.

    3.36. S se demonstreze c cel mai mic subgrup normal al lui G ce conine pe H este subgrupul lui G generat de elementele de forma g-1hg cu gG i hH. Observaie. Cel mai mic subgrup normal al lui G ce conine pe H se noteaz prin NG(H) i poart numele de nchiderea normal a lui H n G ( sau normalizatorul lui H n G).

    3.37. Fie A,B,C subgrupuri ale grupului G. S se demonstreze c : (i) Dac A B, atunci | B : A | | (CB) : (CA) | ; (ii) | G : (AB) | | G : A || G : B | ; (iii) | (A B) : B | | A : (AB) |. 3.38. Fie A,B subgrupuri ale unui grup G a.. | G : A | i | G : B | sunt

    finite i prime ntre ele. S se demonstreze c : (i) | G : (AB) | = | G : A || G : B | ; (ii) Dac n plus G este finit, atunci G = AB. 3.39. Fie G un grup finit iar A,B subgrupuri ale lui G.

    S se demonstreze c dac |A : (AB)| > 21 |G : B|, atunci A B = G.

    3.40. Fie G un grup finit generat. S se demonstreze c orice subgrup de indice finit n G este finit

    generat.

    3.41. S se demonstreze c ntr-un grup G intersecia unui numr finit de subgrupuri de indice finit este un subgrup de indice finit.

    3.42. Fie G un grup, xG iar CG(x) = { yG : xy = yx}. S se demonstreze c CG(x) G iar mulimea conjugailor lui x (adic a elementelor de forma axa-1 cu aG) are cardinalul egal cu | G : CG(x)|.

  • 33

    Observaie. CG(x) poart numele de centralizatorul lui x n G; n general, dac M este o submulime a lui G, definim CG(M) ca fiind intersecia centralizatoarelor tuturor elementelor lui M.

    3.43. Fie G un grup iar K G. S se demonstreze c CG(K) = {1} Z(H) = {1}, oricare ar fi H a.. K H G.

    3.44. Fie n un numr natural, n 2, K un corp, K 2 iar D mulimea matricelor diagonale din GLn(K). (i) Artai c CG(D) = D. Deducei de aici c Z(GLn(K)) = {aIn : aK}; (ii) Presupunnd n plus c n 3 sau K 3 s se demonstreze c CGL n (K) (D SLn(K)) = D i deducei de aici c

    Z(SLn(K)) = SLn(K) Z(GLn(K)).

    3.45. S se demonstreze c pentru n 3, Dn are un singur subgrup de ordin n.

    3.46. Fie n 3. S se demonstreze c dac n este impar, atunci |Z(Dn)| = 1 iar dac n este par, atunci | Z(Dn) | = 2. 3.47. S se demonstreze c grupul altern A4 (care are ordinul 12) nu are subgrupuri de ordin 6. Observaie. Acest exerciiu ne arat c reciproca teoremei lui Lagrange nu este adevrat.

    4. Morfisme i izomorfisme de grupuri.

    Grup factor. Teorema lui Cauchy. Teoremele de izomorfism pentru grupuri.

    4.1. Fie G1, G2 dou grupuri, f,g : G1 G2 morfisme de grupuri, G =

    {xG1 : f(x) = g(x)} iar i : G G1 incluziunea canonic. S se demonstreze c G G1 i c dubletul (G,i) verific urmtoarea

    proprietate de universalitate: (i) f o i = g o i; (ii) Dac G este un alt grup, i : G G1 un morfism de grupuri a..

    f o i = g o i, atunci exist un unic morfism de grupuri u : G G a.. i o u = i. Observaie. Dubletul (G,i) se noteaz prin Ker(f,g) i poart numele de nucleul perechii de morfisme (f,g).

  • 34

    Dac g este morfismul nul (adic g(x) = 1, pentru orice xG1), convenim s notm Ker(f) = Ker(f,1) = {xG1 : f(x) = 1} ( fr a mai specifica morfismul incluziune).

    4.2. Fie G1, G2 dou grupuri, f : G1 G2 un morfism de grupuri. S se demonstreze c urmtoarele afirmaii sunt echivalente: (i) f este aplicaie injectiv;

    (ii) Ker(f) = {1}.

    4.3. Fie G1, G2 dou grupuri, f : G1 G2 un morfism de grupuri. S se demonstreze c urmtoarele afirmaii sunt echivalente: (i) f este aplicaie injectiv;

    (ii) Dac G0 este un alt grup i g,h : G0 G1 sunt morfisme de grupuri a.. f o g = f o h, atunci g = h. Observaie. Acest exerciiu ne arat c n categoria grupurilor, monomorfismele sunt exact morfismele injective.

    4.4. Fie G1, G2 dou grupuri, f : G1 G2 un morfism de grupuri. S se demonstreze c urmtoarele afirmaii sunt echivalente: (i) f este aplicaie surjectiv;

    (ii) Dac G3 este un alt grup i g,h : G2 G3 sunt morfisme de grupuri a.. g o f = h o f, atunci g = h. Observaie. Acest exerciiu ne arat c n categoria grupurilor, epimorfismele sunt exact morfismele surjective.

    4.5. Fie M un monoid comutativ cu proprietatea c dac x,yM i xy = xz atunci y = z. S se demonstreze c exist un grup GM i un morfism injectiv de monoizi iM : M GM a.. pentru orice grup abelian G i orice morfism de monoizi u : M G exist un unic morfism de grupuri u : GM G a.. u o iM = u.

    Observaie. Acest rezultat este datorat lui Malev. 4.6. Fie M = (1,) i o operaie algebric pe M, o : MM M, definit astfel: x o y = xy + ax + by + c (a,b,c). S se determine a,b,c tiind c ( M, o ) este grup i s se arate c (M, o ) este izomorf cu (,+). 4.7. Fie G un subgrup nenul al lui grupului (,+) cu proprietatea c G (-a,a) este mulime finit, oricare ar fi a, a > 0. S se arate c grupul (G,+) este izomorf cu grupul (,+).

  • 35

    4.8. ntr-un grup (G,) se consider submulimile:

    Hn = {xG | xn = 1}, n*. S se arate c:

    (i) H2 este subgrup al lui G xy = yx pentru orice x,yH2 ; (ii) Dac p este un numr prim cu proprietatea c Hp are cel mult p

    elemente, atunci Hp = {1} sau Hp este subgrup al lui G izomorf cu grupul (p ,+).

    4.9. Fie G = (0,) \{1} i aG, *. Definim pe G operaia algebric: xo y = x yalog i notm cu Ga, = (G, o ). S se arate c : (i) Ga, este grup abelian; (ii) Dac bG, * atunci grupurile Ga, i Gb, sunt izomorfe.

    4.10. Artai c mulimea M a matricelor de forma

    A=

    chashashacha

    , a, formeaz un grup multiplicativ izomorf cu (, +).

    4.11. Fie mulimile:

    M =

    =

    + Qbaba

    babbba

    QMA ,,110,22

    32)( 222 i

    G = { x( 10 ) | x = a + b 10 , a2 10b2 = 1, a,b}. S se arate c :

    (i) (M,) i (G,) sunt grupuri n raport cu operaiile de nmulire obinuite ;

    (ii) Avem izomorfismul de grupuri (M,) (G,).

    4.12. Fie T mulimea matricelor de forma

    xy

    yx unde x i y

    parcurg mulimea 3 a claselor de resturi modulo 3. (i) Determinai numrul elementelor mulimii T;

    (ii) S se determine mulimea G a matricelor

    xy

    yx din T a..

    x2 + y2 = 1 ; (iii) Artai c mulimea G formeaz un grup fa de operaia de nmulire a matricelor ;

  • 36

    (iv) Artai c grupul G este izomorf cu grupul aditiv (4,+) al claselor de resturi modulo 4.

    4.13. (i) Fie M =

    =+

    1,0,,

    0000

    0222 ibaRba

    aib

    iba.

    Artai c M este un grup n raport cu nmulirea matricelor, izomorf cu grupul (*,) ;

    (ii) Dac A =

    10000

    01

    i

    i, calculai A2002 (folosind eventual

    izomorfismul dintre grupurile (*,) i (M,)) . 4.14. S se arate c :

    (i) Mulimea M =

    = Zk

    kDk ,10

    1formeaz grup n raport cu

    operaia de nmulire a matricelor, grup izomorf cu grupul (,+) ;

    (ii) Mulimea M =

    += Zk

    kM k ,

    100100

    1211este grup abelian n

    raport cu nmulirea matricelor, izomorf cu (,+) ;

    (iii) Mulimea M =

    = Ra

    aAa ,10

    1este subgrup al grupului

    matricelor inversabile din M2(), izomorf cu (,+).

    4.15. Fie M =

    = Ra

    aaaa

    aM ,12)1(2

    12)( .

    (i) S se arate c (M,) este grup izomorf cu (*, ); (ii) S se calculeze [M(a)]n, a*.

    4.16. S se demonstreze c mulimea:

    G =

    Rzyxz

    yx,,

    10010

    1

    este grup n raport cu nmulirea matricelor, iar grupul automorfismelor lui G este infinit.

  • 37

    4.17. Pentru n 1 fixat, se noteaz cu M mulimea matricelor AM2n() de forma :

    A(x) =

    xxxx

    xxxx

    xx

    00...0000...00...............00...0000...00

    00...00

    cu x 0.

    S se arate c : (i) M este grup abelian fa de nmulirea matricelor ; (ii) Grupurile (M,) i (*,) sunt izomorfe.

    4.18. Fie fixat i A =

    0cossincos01sin10

    .

    (i) S se calculculeze A3;

    (ii) Pentru x definim Ax = I3+ xA+ 21 x2A2. S se arate c

    G = { Ax | x} este grup abelian n raport cu nmulirea matricelor; (iii) (G,) (,+).

    4.19. Fie Md =

    0,, 22 dbaRba

    abdba

    , unde d este un numr

    real fixat. S se determine valorile lui d pentru care (Md, ) este grup izomorf cu grupul (*, ).

    4.20. Fie Gn mulimea matricelor ptratice de ordin n avnd pe fiecare

    linie cte un element egal cu 1 i celelalte elemente egale cu 0 i acelai lucru valabil i pe coloane.

    S se demonstreze c Gn este grup relativ la operaia de nmulire a matricelor iar Gn Sn.

    4.21.Se consider (G, o ) i ( + ,) unde G = (3,) i

    xo y = xy3x3y+12, oricare ar fi x,yG. S se arate c :

    (i) (G, o ) este un grup abelian ;

  • 38

    (ii) S se determine a,b a.. f : + (3,), f(x) = ax + b s fie un izomorfism de grupuri ; (iii) S se calculeze xn, unde xG i n*.

    4.22. G = (5,) i legea o definit prin

    xo y = xy 5x 5y + 30, oricare ar fi x,yG. S se arate c : (i) (G, o ) este un grup abelian; (ii) (G, o ) ( + , ); (iii) (G, o ) (,+) ; (iv) S se calculeze xn , unde xG i n*.

    4.23. Fie S = { AM2() | A + I2 este inversabil}. Pe S definim o

    astfel: A o B = A + B + AB. S se arate c (S, o ) este grup izomorf cu grupul matricelor de ordin 2 cu elemente reale, inversabile.

    4.24. Spunem c grupul (G,) are proprietatea g(n) dac conine cel

    puin n+1 elemente i oricare ar fi x1, x2,,xn G \ {1} exist xn+1 G a.. x1x2xn = x nn 1+ .

    S se arate c: (i) Dac (G,) are proprietatea g(n), atunci, pentru orice xG, exist yG a.. x = yn; (ii) Grupul ( *+ , ) are proprietatea g(n); (iii) ( *+ , ) (*,).

    4.25. Fie G un grup pentru care f : GG, f(x) = x3 este un morfism de

    grupuri. S se arate c : (i) Dac f este un morfism injectiv, atunci (G,) este abelian ; (ii) Dac f este un morfism surjectiv, atunci (G,) este abelian.

    4.26. Fie (G,) un grup i H un subgrup propriu al su. S se arate c

    funcia f : GG , f(x) =

    HGxHxx\,1

    ,are proprietatea c duce subgrupuri n

    subgrupuri, dar nu este morfism de grupuri.

    4.27. Fie G1,G2 grupuri, f:G1G2 morfism de grupuri i xG1. S se demonstreze c :

    (i) Dac o(x) = n* o(f(x)) | n ;

  • 39

    (ii) Dac f este izomorfism de grupuri, atunci o(f(x))=o(x).

    4.28. Fie G1,G2 dou grupuri, (G2 comutativ) iar Hom(G1,G2) ={ f: G1 G2 | f morfism de grupuri}.

    Pentru f,gHom(G1,G2) definim fg:G1G2 prin (fg)(x)=f(x)g(x). S se demonstreze c : (i) Dubletul (Hom(G1,G2),) este grup comutativ ; (ii) Dac G1 = (,+), atunci Hom(,G2) G2; (iii) Dac G1 = (m,+), G2 = (n,+), atunci Hom(m,n) d, unde d = (m,n), (m,n*). 4.29. Fie mulimea G = { fn : (2,) (2,), fn(x) = 2+(x-2)2n, n}. S se arate c (G, o ) este grup abelian izomorf cu grupul abelian (,+). 4.30. Fie grupul (,+). S se arate c : (i) Funciile fm : definite prin fm(x) = mx sunt morfisme de grup ; (ii) Orice morfism de la (,+) la (,+) este de acest tip ; (iii) S se determine automorfismele grupului (,+). 4.31. Fie k>0. Pe mulimea G = (-k,k) se definete operaia algebric

    abkbakba

    +

    += 2

    2 )(o . S se arate c:

    (i) (G, ) este grup abelian;

    (ii) Funcia f : G , f(t) =t

    xkdx

    0

    122 este un izomorfism de grupuri

    de la (G, o ) la (,+). 4.32. Pe considerm operaia algebric xy = 22 11 xyyx +++ . S se arate c (,) este grup comutativ, izomorf cu (,+).

    4.33. Fie a* fixat, M = { -arctg a1 +k | k}, grupurile G = (,+)

    i H = (*,) iar f : G H o funcie definit prin: f(x) =

    +

    MGxxxaMxtgx

    \,cossin,

    .

  • 40

    (i) Artai c exist un subgrup G al lui G pentru care restricia fG a lui f la G este morfism de grupuri ;

    (ii) Determinai reuniunea subgrupurilor G cu proprietatea de la (i).

    4.34. S se demonstreze c grupul Hom(, ) este nul. 4.35. S se demonstreze c dac n 2, atunci grupul Hom(n,) este nul.

    4.36. Fie G un grup finit iar f:GG un morfism de grupuri ce nu are puncte fixe netriviale (adic f(x) = x x = 1) i fo f = 1G. S se demonstreze c G este comutativ.

    4.37. Fie G un grup comutativ a.. singurul automorfism al su este cel identic.

    S se arate c x2 = 1, oricare ar fi xG.

    4.38. Fie G un grup cu proprietatea c aplicaiile f(x) = x4 i g(x) = x8 sunt automorfisme ale lui G. S se arate c G este abelian.

    4.39. Fie (G, ) un grup i fEnd (G). (i) Dac aplicaiile x xf(x) i x x2f(x) sunt endomorfisme ale lui

    G, atunci G este abelian; (ii) Dac aplicaiile x x2f(x) i x x4f(x) sunt endomorfisme ale lui

    G, atunci G este abelian.

    4.40. Fie (G, ) un grup finit i fAut(G). S se demonstreze c f are un singur punct fix dac i numai dac funcia F : G G, F(x) = x-1 f(x) este bijectiv. 4.41. Fie (G,) un grup, f,g : G G endomorfisme i H G un subgrup propriu. Dac f = g pe G \ H, atunci f = g pe G. 4.42. Fie G un grup i presupunem c exist nN, n2 a.. f : G G, f(x) = xn, pentru orice xG este un automorfism al lui G. S se demonstreze c pentru orice xG xn-1 Z(G). 4.43. Fie (G,) un grup. Dac exist n* astfel nct funciile f, g : G G, f(x) = xn , g(x) = xn+1 s fie morfisme surjective de grup, atunci grupul G este abelian.

  • 41

    4.44. S se demonstreze c singurul morfism de grupuri de la grupul (,+) la grupul simetric (Sn, o ) este cel nul (n*). 4.45. Fie p un numr prim, p2. S se demonstreze c singurul morfism de grupuri de grupul (p,+) la grupul ( p ,) este cel nul.

    4.46. . Definii pe (1,2) o operaie care s confere acestei mulimi structur de grup izomorf cu grupul multiplicativ al numerelor reale strict pozitive ((0,),). 4.47. S se determine toate morfismele de grupuri de la grupul (,+) la grupul (*,).

    4.48. S se arate c grupul (, +) nu este izomorf cu nici un subgrup propriu al su. 4.49. Fie G un grup i pentru aG, a : G G, a(x) = axa-1. (i) S se demonstreze c pentru orice aG, aAut(G) ; (ii) Aplicaia :G Aut(G), (a) = a, este morfism de grupuri iar Ker() = Z(G); (iii) Dac notm Im() = Inn(G), s se arate c Inn(G)=1 G este comutativ. Observaie. a poart numele de automorfism interior al lui G. 4.50. Fie G un grup. S se demonstreze c dac Z(G) = {1}, atunci i Z(Aut(G)) = {1}. 4.51. S se determine toate grupurile care admit un singur automorfism. 4.52. S se determine toate grupurile comutative i finite care au un numr impar de automorfisme. 4.53. S se demonstreze c un grup ciclic este izomorf cu (,+) sau cu (n,+), dup cum grupul respectiv este infinit sau are n elemente.

    4.54. S se demonstreze c dac un grup are un numr finit de subgrupuri, atunci i el este finit.

    4.55. Artai c orice grup infinit are o infinitate de subgrupuri distincte.

  • 42

    4.56. S se demonstreze c un grup cu 4 elemente este izomorf cu 4 sau cu grupul lui Klein, iar 4 K.

    4.57. Fie G un grup cu proprietatea c G se scrie ca reuniune de

    trei subgrupuri diferite de G, dintre care dou au cte dou elemente. S se arate c G este izomorf cu grupul lui Klein.

    4.58. S se demonstreze c un grup cu 6 elemente este izomorf cu 6 sau cu S3, iar 6 S3 (vezi problema 4.75.). 4.59. S se demonstreze c grupurile aditive (,+), (,+) i (,+) nu sunt izomorfe dou cte dou. 4.60. S se demonstreze c grupurile aditive (,+) i (,+) sunt izomorfe. 4.61. S se demonstreze c grupurile multiplicative (*,), (*,) i (*,) nu sunt izomorfe dou cte dou. 4.62. Fie + = {x : x >0} i + ={x : x >0}. S se demonstreze c: (i) + (*.) i + (*,) ; (ii) ( + ,) (,+), ( + ,) (,+). 4.63. S se demonstreze c grupurile (,+) i (*,) nu sunt izomorfe. 4.64. S se arate c (,+) nu este izomorf cu grupul ([i],+) ([i] = {a + bi | a,b}). 4.65. S se demonstreze c grupurile (,+) i ([X],+) nu sunt izomorfe. 4.66. S se demonstreze c grupurile aditive (,+) i ([X],+) nu sunt izomorfe .

  • 43

    4.67. S se demonstreze c grupurile aditive ([X],+) i ([X],+) nu sunt izomorfe. 4.68. Determinai endomorfismele grupului (,+) integrabile pe [-b,b], unde b >0 este un numr real fixat.

    4.69. S se arate c orice grup de matrice din M2 () n raport cu nmulirea matricelor, al crui element neutru este diferit de I2, este izomorf cu un subgrup al grupului (*, ) 4.70. Fie (K,+,) un corp netrivial (0 1). S se demonstreze c grupurile (K,+) i (K*,) nu sunt izomorfe. 4.71. Fie G un grup a.. G/Z(G) este ciclic. S se arate c G este grup abelian. 4.72. Fie G un grup, H< G i presupunem c | H | = m *. Considerm de asemenea xG i n* a.. (m,n) = 1. S se demonstreze c: (i) Dac o(x) = n, atunci o(xH) = n (xH privit ca element n G/H); (ii) Dac o(xH) = n (n G/H), atunci exist yG a.. o(y) = n i xH = yH.

    4.73. Fie G un grup comutativ iar H subgrupul elementelor de ordin finit.

    S se demonstreze c n G/H orice element diferit de 1 are ordinul infinit.

    4.74. Fie G un grup finit, p un numr prim, p 2 a.. p | |G|. S se demonstreze c exist xG a.. o(x) = p (echivalent cu exist H G a.. |H| = p). Observaie. Acest rezultat este datorat lui Cauchy. 4.75. Fie p un numr prim, p 2. S se demonstreze c orice grup necomutativ cu 2p elemente este izomorf cu grupul diedral Dp. 4.76. Fie G un grup finit iar p un numr prim, p 2. S se demonstreze c urmtoarele afirmaii sunt echivalente: (i) Ordinul oricrui element al lui G este o putere natural a lui p; (ii)Geste o putere natural a lui p.

  • 44

    Observaie. Un grup n care ordinul oricrui element este o putere natural a lui p se zice p-grup. 4.77. Fie p un numr prim, p 2. S se demonstreze c dac G este un p-grup finit, atunci Z(G) p. 4.78. Fie p un numr prim, p 2. S se demonstreze c orice grup finit cu p2 elemente este comutativ.

    4.79. S se determine toate grupurile G cu proprietatea c orice

    automorfism, diferit de cel identic, admite un punct fix. 4.80. Considerm (,+). (i) S se descrie grupul ct / i s se demonstreze c orice element din acest grup are ordin finit ; (ii) S se arate c pentru orice numr natural n 2, / are un singur subgrup de ordin n iar acesta este ciclic.

    4.81. Fie G un p grup finit cu |G| = pm (m). S se demonstreze c

    exist subgrupurile normale G0,G1, , Gm ale lui G a.. 1 = G0 < G1 < < Gm = = G i | Gi | = pi pentru orice 0 i m.

    4.82. Caracterizai grupurile finite cu proprietatea c toate subgrupurile

    sale proprii au acelai numr de elemente. 4.83. Considerm (,+) i T = {z* : | z | = 1}. S se demonstreze c: (i) T (*,) i / T ; (ii) */T ( + ,) ; (iii) + (*,) i */ + T ; (iv) (,+) i / (,+). 4.84. Fie n* i A = { 1,2,,n2}. Construii un izomorfism ntre grupurile (P(A), ) i (Mn(2), +). 4.85. Fie n, n 3 iar Qn un grup de ordin 2n generat de dou elemente a i b ce verific relaiile:

    a22 n = b2 = (ab)2.

  • 45

    S se demonstreze c dac G este un grup de ordin 2n generat de dou elemente a i b ce verific relaiile a

    12 n = 1, bab-1 = a-1 i b2 = a22 n , atunci

    G Qn. Observaie. Q3 (care se mai noteaz i prin Q sau C8) poart numele de grupul quaternionilor iar Qn (n 4) de grupul generalizat al quaternionilor. 4.86. n monoidul multiplicativ M2() considerm matricele:

    j =

    i

    i0

    0, k =

    01

    10 iar G = , J = , K = .

    S se demonstreze c G| = 8, J=K=4, J,K< G iar G Q3. 4.87. n monoidul multiplicativ M2() considerm matricele:

    A =

    0

    0i

    i, B =

    01

    10 iar G = .

    S se demonstreze c G Q3. 4.88. Considerm mulimea G = {1, i, j, k} cu urmtoarea regul de multiplicare: i2 = j2 = k2 = -1, ij = k, jk = i, ki = j, ji = -k, kj = -i, ik = -j, -1 i 1 fiind supuse multiplicrii obinuite. S se demonstreze c G Q3. 4.89. S se caracterizeze Z(Q3). 4.90. S se demonstreze c Q3/Z(Q3) este comutativ. 4.91. S se demonstreze c Q3 D4. 4.92. S se demonstreze c un grup necomutativ cu 8 elemente este izomorf cu Q3 sau cu D4.

    4.93. S se demonstreze c dac G este un grup, atunci G/Z(G) Inn(G).

    4.94. Fie n* i K un corp. S se arate c aplicaia : GLn(K) GLn(K), (A) = (At)-1, oricare ar

    fi AGLn(K) este corect definit i c Aut(GLn(K)). Demonstrai de asemenea c dac K nu este 2 sau 3, atunci nu este automorfism interior al lui GLn(K).

  • 46

    4.95. S se demonstreze c numrul structurilor de grup ce se pot defini pe o multime cu n elemente, izomorfe cu o structur de grup fixat (G,) este egal cu n!/ | Aut(G,) |.

    4.96. S se demonstreze c numrul structurilor de grup ciclic ce se pot defini pe o mulime cu n elemente este egal cu n! / (n), unde este indicatorul lui Euler. S se deduc de aici c numrul structurilor de grup ciclic ce se poate defini pe o mulime cu n elemente ( n prim) este egal cu (n-2)!n.

    4.97. S se demonstreze c (,+) este divizibil.

    4.98. S se demonstreze c dac p este un numr prim, atunci grupul ( pU ,) este divizibil (vezi problema 3.19.).

    4.99. S se demonstreze c orice grup comutativ divizibil conine un

    subgrup izomorf cu (,) sau cu un grup de forma ( pU ,) cu p prim (vezi problema 3.19.).

    4.100. S se demonstreze c orice grup factor al unui grup divizibil este divizibil.

    4.101. S se demonstreze c n categoria grupurilor abeliene obiectele injective sunt exact grupurile divizibile

    5. Produse directe de grupuri

    5.1. Dac H,K sunt grupuri, s se demonstreze c H {1} < H K i

    {1} K < H K.

    5.2. S se demonstreze c dac {Gi}iI este o famile finit de grupuri, atunci Z(

    Ii Gi) =

    Ii Z(Gi).

    S se deduc de aici c un produs direct de grupuri este comutativ dac i numai dac fiecare din factorii produsului este comutativ.

    5.3. Fie G un grup iar G = G = {(x,x) : xG}. S se demonstreze c : (i) G G G, G G; (ii) G < G G G este comutativ;

  • 47

    (iii) NGG( G ) = G Z(G) = 1.

    5.4. Fie G un grup iar H,K < G a.. G = HK. S se demonstreze c G/(HK) G/H G/K.

    5.5. Fie H,K dou grupuri, J< H, L< K. S se demonstreze c (J L)< H K i (H K) / (J L) H/J K/L.

    5.6. S se demonstreze c (*,) (*,) (T,).

    5.7. S se demonstreze c (*,) ( *+ ,) ({-1,1},).

    5.8. S se demonstreze c (*,) ( *+ ,) ({-1,1},).

    5.9. S se demonstreze c (*,) (,+) (/,+).

    5.10. S se demonstreze c (,+) (,+) (,+).

    5.11. S se demonstreze c :

    (i) (,+) (,+) (,+) ; (ii) (,+) (,+) (,+).

    5.12. S se demonstreze c (*,) (2,+) ([X],+).

    5.13. S se demonstreze c grupul (,+) (,+) nu este ciclic.

    5.14. S se descrie subgrupurile grupului (,+) (,+).

    5.15. S se demonstreze c dac n este un numr natural, n 2, atunci grupul (,+) (n,+) nu este ciclic.

    5.16. Fie K un corp iar H =

    Kcbac

    ba,,:

    10010

    1.

    S se demonstreze c : H GL3(K), Z(H) (K,+) i H/Z(H) (K,+) (K,+).

  • 48

    5.17. S se caracterizeze : (i) grupurile abeliene finite cu pn elemente ( p prim, p 2, n*);

    (ii) grupurile abeliene finite cu p 11n p 22

    n p sns elemente (p1,, ps numere

    prime distincte dou cte dou iar n1,,ns *).

    5.18. S se caracterizeze grupurile comutative cu 8 elemente.

    5.19. S se demonstreze c un grup cu 9 elemente este izomorf cu 9 sau cu 3 3.

    5.20. S se demonstreze c un grup cu 10 elemente este izomorf cu 10 sau cu D5.

    5.21. Fie A=

    dcba

    M2() cu det(A) = -1 sau 1. S se demonstreze

    c funcia tA: definit prin tA(x,y) = (ax + by, cx + dy), este un automorfism al lui i c oricare alt automorfism al lui este de forma tA. 5.22. Fie p,q numere prime distincte, p > q i G un grup abelian a.. |G| = pq. S se arate c : (i) Dac q p-1, atunci G este ciclic ; (ii) Dac q | p-1, atunci G este generat de dou elemente a i b satifcnd condiiile aq = bp = 1, a-1ba = br, cu r 1 (mod p) ns rq 1 (mod q). 5.23. S se demonstreze c un grup cu 15 elemente este ciclic (deci izomorf cu (15,+)). 5.24. S se caracterizeze grupurile finite de ordin p3 ( p prim). 5.25. S se caracterizeze grupurile cu 12 elemente. 5.26. S se fac un tabel de caracterizare a grupurilor cu cel mult 15 elemente.

  • 49

    6. Inel. Subinel. Exemple. Calcule n inele. Caracteristica unui inel. Elemente inversabile.

    Divizori ai lui zero.Elemente idempotente. Elemente nilpotente. Produse directe de inele.

    6.1. S se determine toate legile de compoziie de pe pentru care

    (, ,+) este inel.

    6.2. Fie (A,+,) un inel. Definim pe A operaia algebric prin: xy = x + y - xy, oricare ar fi x, yA.

    S se arate c este asociativ i are element neutru. Mai mult, dac inelul A este unitar i 1-x este inversabil (xA), atunci i x este inversabil fa de operaia .

    6.3. Notm cu A mulimea funciilor aritmetice, adic A={f:*}. Pe

    mulimea A introducem operaia algebric definit astfel (f, g)fg, unde (fg)(n)=

    nd dngdf )( , oricare ar fi n* (vezi problema 1.18.). Se cere:

    (i) S se demonstreze c (A, ) este monoid comutativ; (ii) Notnd cu (U(A), ) grupul elementelor inversabile din monoidul

    (A, ), s se demonstreze echivalena: fU(A) f(1)0; (iii) Notnd cu M mulimea funciilor aritmetice multiplicative nenule,

    adic M = {fA |f(nm)=f(n)f(m) dac (n, m) = 1 i exist k* cu f(k)0}, s se demonstreze c (M, ) este subgrup al lui (U(A), );

    (iv) S se demonstreze c tripletul (A, +, ) este domeniu de integritate. 6.4. S se arate c mulimea

    A= ( )

    = Ca

    aa

    aaaM

    0000

    0

    mpreun cu operaiile obinuite de adunare i nmulire a matricelor este un domeniu de integritate.

    6.5. Pe mulimea = {(x, y) | x, y} definim operaiile algebrice:

  • 50

    (x, y)+(x, y) = (x+x, y+ y) (x, y)(x, y) = (xx, xy+xy), oricare ar fi (x, y), ( x, y).

    S se arate c (, +, ) devine inel unitar i comutativ. 6.6. Fie M2() mulimea matricelor ptratice de ordinul al doilea cu

    elemente din . Dac A, BM2(), notm [A, B] = AB-BA. S se arate c: (i) [A, B]2 comut cu orice matrice din M2(); (ii) Dac A, B, C, DM2(), atunci matricea

    [A, B][C, D]+[C, D][A, B] comut cu orice matrice din M2().

    6.7. S se determine (i) Matricele XM2(2) a.. X2+I2 = O2; (ii) Matricele XM2(3) a.. X2 = I2. 6.8. Fie A un inel care conine nondivizori ai lui zero att la stnga ct

    i la dreapta. Dac A are un numr finit de elemente, s se demonstreze c inelul A este unitar.

    6.9. Fie A un inel cu 5 elemente. S se arate c A este de caracteristic 5 i pe baza acestui rezultat s se demonstreze c A este comutativ.

    6.10. Fie A un inel. (i) Dac car(A) = 2 i xA, s se exprime (x+1)n ca sum de puteri ale

    lui x pentru n{2, 3, 4, 5}; (ii) Dac exist n* a.. xn+1 = xn pentru orice xA, s se arate c

    car(A) = 2 i x2 = x, pentru orice xA.

    6.11. Fie A un inel de caracteristic 2 a.. pentru orice xA, x2 = 0 sau x2 = 1.

    (i) S se demonstreze c A este comutativ; (ii) S se dea exemplu de inel cu 4 elemente avnd proprietile de mai

    sus.

    6.12. Fie A un inel cu proprietatea c oricare ar fi n* ecuaia xn = 0 are n A numai soluia x = 0. S se arate c:

    (i) Dac ab=0 (cu a, bA), atunci ba=0 i axb=0 pentru orice xA;

  • 51

    (ii) Dac a1a2a3 =0 (cu a1, a2, a3A), atunci a2a3a1 = a3a1a2 = 0; (iii) Dac a1a2an = 0 (cu akA, 1kn), atunci 0...21 =niii aaa oricare

    ar fi permutarea (i1, , in) a mulimii {1, 2, , n}.

    6.13. Fie A un inel cu proprietatea c dac x2 = 0 atunci x = 0. Notm M = {aA|a2 = a}.S se arate c:

    (i) Dac a, bM rezult a+b-2abM; (ii) Dac M este finit atunci numrul elementelor lui M este o putere

    natural a lui 2. 6.14. Fie A un inel necomutativ unitar iar a, bA. S se arate c dac

    1-ab este inversabil, atunci i 1-ba este inversabil. 6.15. Fie (A, +. ) un inel unitar i a, bA cu proprietatea c exist

    n* a. . (aba)n = 0. S se demonstreze c elementele 1-a2b i 1-ba2 sunt inversabile.

    6.16. Fie (A, +, ) un inel cu elementul unitate 1. Spunem c elementul xA are proprietatea (P) dac exist a, bA care comut cu x, cu b inversabil, a. . x2-ax+b = 0.

    (i) S se arate c n inelul (M2(),+,) o matrice X are proprietatea (P) dac i numai dac ea este nesingular;

    (ii) Dac x are proprietatea (P), atunci oricare putere a lui x are aceast proprietate.

    6.17. Fie A un inel unitar i a, bA a.. a, b i ab-1 sunt inversabile. S

    se arate c elementele a-b-1 i (a-b-1)-1a-1 sunt inversabile. Mai mult, are loc egalitatea (( a-b-1)-1-a-1)-1 = aba-a. 6.18. Fie A un inel i aA a.. exist bA cu proprietatea c ab = 1.

    Atunci urmtoarele afirmaii sunt echivalente: (i) card{ xA |ax = 1}>1; (ii) a nu este inversabil; (iii) exist cA, c 0, a.. ac = 0.

    6.19. Fie A un inel i aA, a neinversabil. Fie X = {xA|ax = 1}.

  • 52

    Dac X , atunci X este o mulime infinit. 6.20. Fie (A, +, ) un inel comutativ cu un numr finit de divizori ai lui

    zero. Dac D = {d1, d2, , dn} este mulimea acestor divizori demonstrai c d1+ d2+ +dnD{0,1}.

    6.21. Fie (A, +, ) un inel comutativ cu 1+1 0, iar D mulimea

    divizorilor lui zero. Considerm mulimea G = {xD | 2x = 0}{0}. Demonstrai c (G, +) este grup abelian.

    6.22. Fie n, n2. S se arate c n inelul (n, +, ) numrul

    elementelor inversabile este egal cu cel al celor neinversabile dac i numai dac n = 2k, cu k*.

    6.23. Fie A mulimea tuturor funciilor continue f:[0, 1]. (i) Artai c A formeaz inel comutativ n raport cu operaiile de adunare

    i nmulire a funciilor; (ii) Un element fA, f 0, este divizor al lui zero dac i numai dac

    mulimea punctelor x pentru care f(x) = 0 conine un interval; (iii) S se determine elementele fA a.. f 2 = f; (iv) S se determine elementele inversabile ale inelului A. 6.24. S se demonstreze c dac A este un inel atunci: (i) Z(A) este subinel comutativ al lui A; (ii) Dac x2-xZ(A), oricare ar fi xA, atunci A este comutativ. 6.25. Fie A un inel i funcia f: AAA, definit prin

    f(x,y) = (xy)2-x2y2. (i) S se calculeze valoarea expresiei

    E(x, y) = f(1+x, 1+y)-f(1+x, y)-f(x, 1+y)+f(x, y), unde 1A este elementul unitate al inelului A;

    (ii) Dac inelul A are proprietatea c x+x = 0 implic x = 0 i dac (xy)2-(yx)2 = x2y2-y2x2 oricare ar fi x, yA, atunci A este comutativ.

    6.26. S se demonstreze c orice inel unitar cu pq elemente, unde p, q sunt numere prime nu neaprat distincte, este comutativ.

  • 53

    6.27. Fie A un inel unitar. Artai c dac x, yA sunt a.. xny = 0 = (x+1)my pentru anumii m, n , atunci y = 0.

    6.28. Fie A un inel unitar i n2 un ntreg fixat. Presupunem c (xy)n = xnyn i (xy)n+1 = xn+1yn+1, pentru orice x, yA.

    Artai c y(xy)n = (xy)ny, oricare ar fi x, yA. 6.29. Fie A un inel unitar, n1 un numr natural fixat. Presupunem c

    (xy)n = xnyn, (xy)n+1 = xn+1yn+1 i (xy)n+2 = xn+2yn+2, pentru orice x, yA. Atunci A este comutativ. 6.30. Fie n2 un numr natural fixat i A un inel integru care verific

    urmtoarele dou condiii: 1) xn-xZ(A), pentru orice xA; 2) centrul Z(A) al lui A conine cel puin n elemente. S se demonstreze c inelul A este comutativ. 6.31. Fie A un inel unitar i xA un element fixat. Presupunem c

    pentru orice yA exist ntregii relativ primi n = n(y)1 i m = m(y)1 a.. [x,yn] = 0 = [x,ym]. Atunci xZ(A).

    6.32. Fie inelul [ 2 ]={m+n 2 |m, n} (mpreun cu adunarea i nmulirea obinuite).

    Definim funcia :[ 2 ], (m+n 2 )=|m2-2n2|. S se arate c: (i) (z) = 0 z = 0; (ii) (zz) = (z)(z), oricare ar fi z, z[ 2 ]; (iii) [ 2 ] are o infinitate de elemente inversabile. 6.33. Fie d \ {0, 1} un ntreg liber de ptrate. Definim funcia norm:

    N:[ d ] prin N(a+b d ) = a2db2, pentru orice a, b. S se demonstreze c: (i) N(z1z2) = N(z1)N(z2), oricare ar fi z1, z2[ d ]; (ii) Elementul z[ d ] este inversabil n inelul ([ d ],+,) dac i

    numai dac N(z){1};

  • 54

    (iii) Notnd cu U([ d ]) grupul multiplicativ al elementelor inversabile din inelul [ d ], avem pentru d = -1, U([i])={1,-1, i, -i}, respectiv pentru d-2, U([ d ]) = {-1, 1}.

    6.34. Fie inelul ([i] = {m+ni|m, n}, +, ). Definim funcia :[i], (m+ni) = m2+n2. S se arate c: (i) (z) = 0 z = 0; (ii) (zz) = (z)(z), oricare ar fi z, z[i]; (iii) Dac z, z[i], z0, exist q, r[i] a.. z=zq+r, unde (r)

    < (z); (iv) (z) = 1 z este inversabil z{1, i}. Observaie. Inelul ([i], +, ) poart numele de inelul ntregilor lui

    Gauss. 6.35. Fie inelul [i 2 ]={m+ni 2 | m, n} (mpreun cu operaiile

    de adunare i nmulire obinuite). Definim funcia :[i 2 ], (m+ni 2 ) = m2+2n2. S se arate c: (i) (z) = 0 z = 0; (ii) (zz) = (z)(z), oricare ar fi z, z[i 2 ]; (iii) Dac z, z[i 2 ], z0, exist q, r[i 2 ] a.. z=zq+r, unde

    (r) < (z); (iv) (z) = 1 z este inversabil z{1}.

    6.36. Fie A un inel unitar i comutativ. S se arate c suma dintre un element inversabil i un element nilpotent

    este element inversabil n A. Observaie. Un element xA se numete nilpotent dac exist n

    a.. xn = 0.

  • 55

    6.37. Fie A=

    realenumeredcba

    adacba

    ,,,00

    0 . S se arate c

    (A, +, ) este un inel unitar necomutativ n care orice element este inversabil sau nilpotent.

    6.38. Fie krkr ppn ...11= *. Demonstrai c mn este element

    nilpotent dac i numai dac p1pk divide m.

    6.39. Fie rrppn ...11= descompunerea n factori primi distinci a

    numrului natural n. S se arate c exist o bijecie ntre mulimea elementelor idempotente ale lui n ((Idemp(n)) i mulimea A a prilor mulimii {p1, , pr}.

    n particular, s se arate c n are 2r elemente idempotente i pentru n=12 s se gseasc elementele idempotente ale lui 12.

    6.40. In inelul (n, +, ) al claselor de resturi modulo n, s se determine

    mulimea N={ x | x n a.. exist k i x k = 0 }. Fie de asemenea, I={ x | xn a.. exist k i x k = x }. S se arate c NI={ 0 }. 6.41. Fie n, n2. S se arate c an este inversabil (a, n) =1. 6.42. Fie ecuaia bxa = , cu ba , n. S se arate c: (i) Dac (a, n) = d > 1 i db ecuaia nu are nici o soluie; (ii) Dac (a, n) = d >1 i d|b atunci ecuaia are d soluii distincte; (iii) Dac (a, n) = 1 ecuaia are soluie unic. 6.43. Fie a, bn, a 0, b 0. Dac ecuaia ax = b are soluii, atunci

    numrul soluiilor ei este egal cu numrul de soluii ale ecuaiei ax = 0. 6.44. S se rezolve n 12 urmatoarele sisteme de ecuaii:

    (i)

    =+

    =+

    234

    123

    yx

    yx (ii)

    =+

    =+

    364

    237

    yx

    yx .

  • 56

    6.45. Fie A un inel boolean (adic un inel cu proprietatea c x2 = x pentru orice xA). S se arate c:

    (i) Inelul A este de caracteristic 2 (deci x+x = 0, pentru orice xA); (ii) A este comutativ. 6.46. Demonstrai c fiind dat un inel comutativ A, el este boolean dac

    i numai dac nu are elemente nilpotente nenule i pentru orice a, bA are loc egalitatea (a+b)ab = 0.

    6.47. Fie A un inel cu proprietatea c pentru orice aA avem a3+a = 0. Artai c inelul A este boolean. 6.48. Fie (A, +, ) un inel cu proprietile: 1) Pentru orice xA, x+x = 0;

    2) Pentru orice xA, exist k = k(x)* a. . xx k =+12 . Demonstrai c x2 = x, pentru orice xA.

    6.49. Fie (A, +, ) un inel boolean i x, a, bA a.. a = xab. Atunci a = xa. De asemenea, dac x = a+b+ab atunci a = xa i b = xb.

    Pentru a1, , anA gsii un element xA a.. ai = xai, oricare ar fi 1in.

    6.50. Fie A un inel unitar a.. x6 = x, oricare ar fi xA. Demonstrai c x2 = x, oricare ar fi xA.

    6.51. Fie A un inel unitar cu proprietatea c x12 = x, pentru orice xA. Demonstrai c x2 = x, oricare ar fi xA.

    6.52. Fie A un inel a.. x3 = x, oricare ar fi xA. (i) S se calculeze (x2yx2-x2y)2 i (x2yx2-yx2)2 unde x, yA; (ii) S se arate c inelul A este comutativ. 6.53. Fie A un inel finit. S se arate c exist dou numere naturale m,

    p, m>p1 a.. am = ap, oricare ar fi aA. 6.54. Fie (A, +, ) un inel i a, bA, a inversabil. S se arate c dac

    relaia:

  • 57

    ak-bk = (a-b)(ak-1 + ak-2b + + abk-2 + bk-1) este satisfcut pentru k = m, m+1, m+2 (m), atunci ab = ba.

    6.55. Fie (A,+,) un inel cu proprietatea c exist n n2 a.. xn+1 = xn, oricare ar fi xA. S se arate c:

    (i) x2 = 0 x = 0; (ii) x2 = x, oricare ar fi xA.

    6.56. Fie p2 un numr prim. Un inel A se zice p-inel dac sunt

    verificate urmtoarele dou condiii: 1) 0... =++= 43421

    oripdexxpx , pentru orice xA,

    2) xp = x, pentru orice xA. S se demonstreze c orice p-inel unitar este comutativ.

    6.57. Fie A un inel unitar cu proprietatea c (xy)2 = x2y2, pentru orice x,

    yA. Atunci A este comutativ. 6.58. Fie A un inel care nu are elemente nilpotente nenule. Artai c

    orice element idempotent din A aparine lui Z(A).

    6.59. Fie A un inel cu element unitate 10 i M={xA | x2=x} mulimea elementelor sale idempotente. S se demonstreze c dac M este mulime finit, atunci M are un numr par de elemente.

    6.60. Fie A un inel comutativ finit cu 10. S se calculeze produsul

    elementelor idempotente nenule din inelul A.

    6.61. Pentru un inel A de caracteristic 2, notm OA={xA| x2=0}, EA={xA| x2=1}, IA={xA| x2=x}.

    Artai c: (i) Dac xOA, atunci 1+xEA; Dac xEA, atunci 1+xOA; Dac xIA, atunci 1+xIA. (ii) |OA| = |EA|.

  • 58

    6.62. Fie d >1 un ntreg liber de ptrate. (i) S se determine inelele A cu proprietatea A [ d ], operaiile

    din A fiind cele induse de adunarea i nmulirea din [ d ]; (ii) S se determine inelele B cu proprietatea B( d ), operaiile

    din B fiind cele induse de adunarea i nmulirea din ( d ). 6.63. Fie A un inel. Dac T={(aij)Mn(A) | aij = 0, oricare ar fi i, j{1, .., n}, i > j}

    este o mulime de matrice, atunci T este subinel al lui (Mn(A),+,).

    6.64. Fie A un inel i S o submulime oarecare a lui A. Mulimea C(S) a elementelor din A care comut cu elementele lui S formeaz un subinel al lui A. Dac A=Mn(R), R fiind un inel unitar oarecare i mulimea SA este format doar din matricea (aij) definit prin aij=j,i+1, atunci s se determine C(S).

    6.65. Fie p un numr prim. Artai c mulimea (p) a numerelor

    raionale de forma ba , cu a, b iar p nu divide numitorul b, formeaz un

    subinel al inelului al numerelor raionale.

    6.66. (i) Aflai subinelele inelului al numerelor ntregi; (ii) Artai c mulimea [

    21 ] a numerelor raionale de forma n

    a2

    , cu

    a i n, formeaz un subinel al inelului al numerelor raionale. 6.67. Este {m+n 3 5 |m, n} subinel al lui ? 6.68. Fie A1 i A2 dou inele unitare i fie adunarea i nmulirea pe

    A1A2 definite astfel: (x1, x2)+(y1, y2) = (x1+y1, x2+ y2) (x1, x2)(y1, y2) = (x1y1, x2y2).

    S se arate c A1A2 cu aceste operaii este un inel unitar care are divizori ai lui zero.

    S se determine elementele inversabile ale acestui inel n funcie de elementele inversabile ale inelelor A1 i A2.

    Aplicaie: a) A1 = A2 =

  • 59

    b) A1 = , A2 = c) A1 = m, A2 = n. 6.69. Calculai caracteristica inelelor , 3, End() i End(3). 6.70. Pentru m, n* demonstrai c car(mn) =[m,n]. Generalizare. 6.71. Dai exemplu de un inel unitar, comutativ, care nu este corp avnd

    caracteristica un numr prim. 6.72. Artai c 44 are exact trei subinele unitare. 6.73. Fie A un inel cu 4 elemente, de caracteristic 2. (i) Artai c exist aA, a 0, a 1 a..: 1) A = {0, 1, a, 1+a} i a2 = 0 sau

    2) A = {0, 1, a, 1+a} i a2 = a sau 3) A = {0, 1, a, 1+a} i a2 = 1+a.

    (ii) Dai cte un exemplu de inel pentru fiecare din tipurile de la punctul (i).

    6.74. (i) Fie A i B dou inele (comutative). Determinai elementele

    nilpotente ale inelului AB; (ii) Aflai numrul elementelor nilpotente din inelul n.

    7. Morfisme de inele. Izomorfisme de inele. 7.1. S se dea un exemplu de inel neunitar. Dac A este un inel neunitar, exist un inel unitar B ce conine pe A ca

    subinel. 7.2. Fie A un inel, S o mulime i f : AS o aplicaie bijectiv. S se

    arate c exist o unic structur de inel pe S a.. f s devin morfism de inele. Dac g : SC este o aplicaie, cu C inel oarecare, s se demonstreze c

    g este morfism de inele pentru structura introdus pe S dac i numai dac gf este morfism de inele.

    7.3. S se determine numrul structurilor de inel neizomorfe care pot fi definite pe o mulime cu 4 elemente.

  • 60

    7.4. Dac p este un numr prim, s se demonstreze c exist doar dou tipuri de inel cu p elemente.

    7.5. S se arate c pe grupul aditiv G = (n, +) exist (n) operaii de

    nmulire care nzestreaz pe G cu o structur de inel unitar ( fiind indicatorul lui Euler). Sunt ele izomorfe?

    S se descrie toate operaiile de nmulire care se pot defini pe grupul aditiv H=(/, +), operaii pentru care H devine inel unitar.

    7.6. S se caracterizeze morfismele de inele de la la n (n2). 7.7. Fie m, n numere naturale m, n2. S se caracterizeze morfismele de

    inele de la m la n.

    7.8. Fie A un inel comutativ i unitar i f, g :A dou morfisme de inele unitare (f(1) = g(1) = 1A). Dac f(n) = g(n), oricare ar fi n, atunci f = g.

    7.9. Fie A, A dou inele unitare iar f:AA un morfism de inele

    unitare. S se arate c f duce elemente inversabile n elemente inversabile,

    elemente nilpotente n elemente nilpotente iar n ipoteza c este injecie i divizori ai lui zero n divizori ai lui zero.

    7.10. Fie I={f:[0,1] f continu} i I={f:[0,1] f derivabil}. S se demonstreze c inelele (I, +, ) i (I, +, ) nu sunt izomorfe (unde + i sunt operaiile uzuale de adunare i nmulire a funciilor reale).

    7.11. Fie f:AA un morfism surjectiv de inele unitare i comutative.

    Analizai afirmaia: ,,f(a) este divizor al lui zero dac i numai dac a este divizor al lui zero.

    7.12. Fie A un inel unitar i comutativ.

    S se arate c urmtoarele afirmaii sunt echivalente: (i) A conine cel puin un element idempotent diferit de 0 i 1; (ii) A este izomorf cu produsul direct BC a dou inele comutative,

    unitare (nenule). 7.13. Artai c:

  • 61

    (i) Inelul T2() al matricelor de ordinul doi, triunghiulare (adic au sub diagonala principal toate elementele zero), cu componente ntregi, nu este comutativ ; determinai centrul acestui inel ;

    (ii) Funcia :T2() ce asociaz unei matrice triunghiulare oarecare

    cba

    0 din T2() perechea (a, c) din format din elementele de

    pe diagonala principal, este morfism de inele. 7.14. Pentru fiecare k se consider mulimea de matrice

    = Zba

    akbba

    Ak , .

    (i) S se demonstreze c Ak este inel comutativ (fa de adunarea i nmulirea matricelor) ;

    (ii) Pentru ce valori ale lui k, inelul Ak are divizori ai lui zero ? (iii) S se demonstreze c inelele Ak i Ap sunt izomorfe dac i numai

    dac k=p. 7.15. Fie d un ntreg liber de ptrate. S se arate c: (i) Mulimea [ d ] = {m+n d |m, n} mpreun cu adunarea i

    nmulirea numerelor este un inel unitar i comutativ izomorf cu inelul Ad (definit la problema 7.14.) ;

    (ii) Dac d este un alt numr liber de ptrate, atunci inelele [ d ] i [ d ] sunt izomorfe dac i numai dac d = d.

    7.16. Dac M este o mulime nevid, atunci (P(M), , ) este inel

    boolean. n cazul n care M={1, 2, .., m} cu m1, atunci inelul (P(M), , ) este izomorf cu inelul (

    43421orimde

    ZZ 22 ... , +, ).

    7.17. Fie A un inel boolean a.. |A| = n >1. Artai c exist m1 a..

    n = 2m i (A, +, ) (43421orimde

    ZZ 22 ... , +, ).

    7.18. S se arate c: (i) Pe o mulime finit A cu n2 elemente se poate introduce o structur

    de inel boolean dac i numai dac n = 2k, k*;

  • 62

    (ii) Pe mulimea numerelor naturale se poate introduce o structur de inel boolean.

    7.19. Fie E o mulime i E2 inelul funciilor definite pe E cu valori n

    2, cu adunarea i nmulirea induse de adunarea i nmulirea din 2. S se arate c E2 este izomorf cu inelul prilor mulimii E ale crui operaii sunt: E1+E2=E1E2 i E1E2=E1E2.

    S se arate c toate elementele din aceste inele sunt idempotente. n particular, deducei c pentru dou mulimi disjuncte M i N are loc

    urmtorul izomorfism de inele P(MN)P(M)P(N) ( unde P(M) desemneaz inelul prilor lui M relativ la operaiile i ).

    7.20. Fie A un inel. S se arate c exist o coresponden bijectiv ntre mulimea morfismelor de inele definite pe cu valori n A i mulimea idempotenilor lui A. Cte morfisme de inele exist de la ntr-un domeniu de integritate? Dac A este un inel unitar s se arate c exist un singur morfism de inele unitare de la n A.

    7.21. (i) Fie (G, +) un grup comutativ. Artai c mulimea

    End(G)={f:GG | f este morfism de grupuri} este un inel n raport cu adunarea i compunerea morfismelor;

    (ii) Fie (A, +) grupul aditiv subiacent al unui inel (unitar) i comutativ, (A, +, ). Artai c inelul (End(A), +, ) este comutativ dac i numai dac este izomorf cu (A, +, ).

    7.22. Fie G grupul subiacent inelului produs direct ( 43421

    orindeZZ ... , +, ).

    Artai c inelul End(G) ( definit la problema 7.21. ) este izomorf cu inelul de matrice Mn().

    7.23. S se arate c grupul aditiv al unui inel integru nu este izomorf cu grupul multiplicativ al elementelor sale inversabile.

    7.24. Fie A i B dou inele necomutative i f:AB cu proprietile: 1) f(x+y)=f(x)+f(y), oricare ar fi x, yA; 2) Pentru orice x, yA avem f(xy)=f(x)f(y) sau f(xy)=f(y)f(x). S se demonstraze c f este morfism de inele sau antimorfism de inele.

  • 63

    Observaie. Reamintim c f : AB se numete antimorfism de inele dac pentru orice x, yA avem f(x+y)=f(x)+f(y) i f(xy)=f(y)f(x).

    8. Ideale. Laticea idealelor unui inel comutativ. Anulatorul i

    radicalul unui inel. Factorizarea unui inel printr-un ideal bilateral. Ideale prime. Ideale maximale.

    8.1. S se dea exemplu de un inel n care care exist subinele ce nu sunt

    ideale. 8.2. S se dea exemplu de inel n care reuniunea a dou ideale ale sale

    nu este ideal. 8.3. Artai c mulimea idealelor Id(A) ale unui inel comutativ A

    formeaz o latice complet.

    8.4. Fie inelul comutativ A={f:[-1, 1]} mpreun cu operaiile uzuale de adunare i nmulire a funciilor. Care din urmtoarele submulimi ale lui A sunt ideale i care doar subinele:

    (i) P = {fA | f este funcie polinomial}; (ii) Pn = {fP | grad(f) n}; (iii) Qn = {fPn | grad(f) = n}; (iv) B = {fA | f(0) = 0}; (v) C = {fA | f(0) = 1}? 8.5. S se arate c exist inele n care divizorii lui zero nu formeaz un

    ideal. 8.6. Dai exemplu de un morfism de inele f:AA i de un ideal I al lui

    A a.. f(I) s nu fie ideal n A. 8.7. Fie A un inel unitar i comutativ a.. s existe uA, u0 i u1 cu

    u2 = u. Fie A1 = {ux | xA}. (i) S se demonstreze c A1 este un subinel al lui A care are unitate. (ii) S se arate apoi c exist un subinel A2 al lui A a..: a) A2 este unitar; b) Fiecare element al lui A se exprim ca x1+x2 cu x1A1 i x2A2;

  • 64

    c) Dac x1A1 i x2A2 atunci x1x2 = 0; d) A1A2 = {0}. (iii) S se arate c funcia f:AA1A2, f(x) = (x1, x2), unde x = x1+x2

    este un izomorfism de inele. 8.8. Artai c inelul M2() nu are ideale bilaterale netriviale. 8.9. S se dea exemplu de inel necomutativ i de ideale stngi (drepte)

    care nu sunt ideale drepte (stngi). 8.10. Fie n un numr natural n1. S se arate c asocierea d d n

    constituie un antiizomorfism de latici ntre laticea divizorilor (pozitivi) ai lui n cu ordinea dd dac d|d i laticea idealelor lui n .

    8.11. S se determine forma general a numerelor naturale n1 pentru

    care laticea idealelor lui n este total ordonat. 8.12. Exist pentru orice latice cu un numr finit de elemente, un numr

    natural n a.. ea s fie izomorf (ca latice) cu laticea idealelor lui n? 8.13. S se stabileasc o coresponden bijectiv ntre mulimea

    idealelor bilaterale ale unui inel unitar A i mulimea idealelor bilaterale ale lui Mn(A), n1.

    8.14. S se arate c dac m, n atunci n+m=D, n m=M,

    unde prin D i M am notat cel mai mare divizor comun respectiv cel mai mic multiplu comun al numerelor m i n.

    8.15. Fie I, J, K ideale n inelul comutativ A. Artai c dac IK atunci

    (I+J)K = I+(JK). 8.16. Fie A un inel I, J, L ideale bilaterale n A a.. I+J = A i I JL. S

    se arate c L I. 8.17. Demonstrai c ntr-un inel boolean orice ideal finit generat este

    principal. 8.18. Fie A un inel comutativ i I un ideal finit generat al lui A a..

    I = I2. S se gseasc un element idempotent eA a.. I = Ae.

  • 65

    8.19. Dai exemplu de un morfism de inele comutative f:AA i de un

    ideal maximal M al lui A a.. f -1(M) A i f -1(M) nu este ideal maximal n A.

    8.20. Se pot pune n eviden un numr infinit de ideale prime n inelul

    ? 8.21. S se dea exemplu de un inel n care nu orice ideal prim este

    maximal. 8.22. S se arate c pentru orice numr natural n1 exist un inel care

    are n ideale.

    8.23. Demonstrai c R=

    Qba

    ba

    ,00

    este un subinel necomutativ al

    lui M2(). Dac I ={AR|A2 = O2} atunci I este ideal i R/I . 8.24. Fie f:AA un morfism de inele,