lectia 9 logaritmi exponentiale
TRANSCRIPT
7/23/2019 Lectia 9 Logaritmi Exponentiale
http://slidepdf.com/reader/full/lectia-9-logaritmi-exponentiale 1/10
Lectia numarul 9 clasa a 10-a Algebraautor prof. Martin Elena
Colegiul National „B. P. as!eu" Bu#au
Funcţia exponenţială/ Funcţia logaritmică
ax logax
ax : R R *+ a>0, a≠ 1
Ex: f(x)!x
logax : R *+
R a>0, a≠ 1E$. g%$&'log!xPrin !efini(ie, loga"c !ac) "ac
Grafic:exemplificare pentru a=2
x #∞ #! #1 0 ! $ % ∞
f(x) *
1 +
1 1 * , 1
!#!*
1 +-1'
+
1 +0'1 etc.
/iin! biecti) f a!mite iners). 2nersa
ei se nume3te func(ia logaritmic) 3i esterepre#entat) 4n coloana al)turat).5bser)m c) cele !ou) repre#ent)ri !ine$emplul consi!erat sunt simetrice fa()!e prima bisectoare.
x0 *
1
+
1
1 ! % &
∞
f(x) #! #1 0 1 + 6
log+*
1' log++-+'-+7 log+
+
1=log++-1'-1
log+1'0 !eoarece +0'17 log++'1 etc
Grafic:exemplificare pentru a=+
1
Pentru aceast) situa(ie om obsera c) monotonia !ifer) 3i anume cele !ou) func(iisunt !escresc)toare. 8n rest au acelea3i caracteristici.
1
7/23/2019 Lectia 9 Logaritmi Exponentiale
http://slidepdf.com/reader/full/lectia-9-logaritmi-exponentiale 2/10
Lectia numarul 9 clasa a 10-a Algebraautor prof. Martin Elena
Colegiul National „B. P. as!eu" Bu#au
8n coloana al)turat) s ee!e proprietatea!e simetrie fa() !e prima bisectoare.
Proprietăţi
a>1: f e'te cre'cătoare0a1: f e'te e'cre'cătoare
a0
'1 a1
'aa$:'a$a: a$-:a$;a:
%a$&:'a$: a-$'1<a$
a$ b$'%ab&$ a$;b$' x
x
b
a
a>1: f e'te cre'cătoare0a1: f e'te e'cre'cătoare
loga1'0 %a0
'1& logaa'1 %a1
'a&loga$:'loga$loga: loga
y
x
'loga$-loga:loga$m'mloga$/ormula !e sc=imbare a ba#ei;
loga$'a
x
c
c
log
log
Calcule cu logaritmi numerici
Cum aducem la o formă mai simplă-scriem logaritmii 4n aceea3i ba#) 3i restr>ngem folosin! propriet)(ile !e mai sus.%c)ut)m o ba#) c>t mai potriit) eentual ba#a 10 sau ba#a e&-intro!ucem constantele care 4i 4nso(esc 4n argumenbtul acestora-constantele !in e$presie se transform) 4n logaritmi potrii(i pe ba#a formulei a'log b ba un!e b este ba#a !orit). E$; 6'log++6'log??6'lg106'lne6'...
Not)m;lg$'log10$ logaritmul #ecimal
+
7/23/2019 Lectia 9 Logaritmi Exponentiale
http://slidepdf.com/reader/full/lectia-9-logaritmi-exponentiale 3/10
Lectia numarul 9 clasa a 10-a Algebraautor prof. Martin Elena
Colegiul National „B. P. as!eu" Bu#auln$'loge$ logaritmul natural un!e e este constanta lui Euler %e'+.@1@....&
Exemplu rezolvat 1:
E'log+@-6log*1++log,1?Cea mai potriit) ba#) este + !eoarece obser)m c) toate ba#ele sunt puteri ale lui +.E'log+@-log*1+6log,1?+'
*+
6
+*
1
+
*
++
*
+
++
+
+
*
+
+
++++
+
+
+
+
6
+
-
++
6
+
+
+
+
+
6+
++
+
+
+
+
6
++
+?9,
@log+log&
+?+@
9@%log6
+?+@
9@log
*
1
6&+?log9log+@log@%log*
1
*
?log9log+@log+1+@log*
*
?log6log
+
6log+log@log
+log
&?6%log
+log
&6+%log@log
,log
1?log
*log
1+log@log
⋅=−=−=
=−−+−=
−+−−
=
=+
++
−=
=⋅
+−=+−=
Exemplu rezolvat 2:
) se erifice egalitatea; log1+? log11@'log11? log1+@eoarece nu e!em o „leg)tur)" 4ntre ba#e 3i argumente care s) ne permit) alegereaunei ba#e conenabile alegem s) folosim o ba#) „neutr)" 3i anume ba#a 10.E$presia !in membrul st>ng !eine;
11lg
@lg
1+lg
?lg iar cea !in !reapta !eine
1+lg
@lg
11lg
?lg !e un!e se e!e egalitatea.
Exemplu rezolvat 3:
Ce rela(ie e$ist) 4ntre a 3i b un!e a' 6log + x b' 9log x
a'a
x x x +
1log.
log+
1
log
6log6
6
+
6
6== b'
a
a
x x*
+
1
+
log
+
log
9log
66
6===
Exemplu rezolvat 4:
) se arate c) log6*Dlog*6.
log6*'6lg
*lg7 log*6'
*lg
6lg. Pentru a compara !ou) e$presii 4n general facem !iferen(a
celor !ou) e$presii sau raportul acestora %e#i compararea a + ra!icali sau a !ou) puteri&. Alegem s) facem raportul !atorit) aspectului lui a respecti b.
6
7/23/2019 Lectia 9 Logaritmi Exponentiale
http://slidepdf.com/reader/full/lectia-9-logaritmi-exponentiale 4/10
Lectia numarul 9 clasa a 10-a Algebraautor prof. Martin Elena
Colegiul National „B. P. as!eu" Bu#au
6lg
*lg
*lg
6lg
6lg
*lg
+
+
==b
a. Cum 101 lg$ este cresc)toare !eci *6 ne con!uce la
lg*lg6lg1'0 !eci lg+
*lg+
6 !e un!e ab.
Exemplu rezolvat 5:
Logaritmarea unor e$presii ; !eoarece func(ia logaritmic) este inecti) !ac) E'/atunci logaE'loga/. E$presiile multiplicatie care con(in puteri 3i e$ponen(iale pot filogaritmate !eoarece logaritmul pro!usului se transform) 4n suma !e logaritmi !e
puteri%e$ponen(iale&.
Exemplu rezolvat 6:
) se logaritme#e e$presia; E' * ?6 ba
lgE'lg% * ?6ba
&'lga6lg * ?b '6lga
*
?lgb
Exemplu rezolvat 6:
) se erifice egalitatea; 1lglglg
=⋅⋅ b
a
a
c
c
b
cba
Logaritm)m ambii membri ai egalit)(ii;
lg% b
a
a
c
c
b
cba lglglg⋅⋅ &'lg1'0⇔ lg c
b
alg lg a
c
blg lg b
a
clg '0⇔ lg c
b
lga lg a
c
lgb lg b
a
lgc'0⇔
%lgb-lgc&lga%lgc-lga&lgb%lga-lgb&lgc'0 ceea ce se erific) u3or.
E$erci(ii propuse;
2.Calcula(i aloarea urm)toarelor e$presii;
1.E1'lg1
+ lg
+
6 lg
6
*... lg
99
100+.E+'log+%? @ &log+%?- @ &-
+log+66.E6'
+log
19+log
+log
+*log
1+
+
9-
+− *.E*'log+@+? log*9 log?,
?.E?' -+?
6log
6+
9log
6
16+
++
.E'log+?100 log1+?-+log1?
22. /olosin! monotonia func(iei logaritmice s) se !emonstre#e urm)toarele inegalit)(i;
+
??log
*
9+ << ,.log6*log*? 9.log6*D+D ?
10. ?log6+ +6 << 11. +6log+
6+ <<
*
7/23/2019 Lectia 9 Logaritmi Exponentiale
http://slidepdf.com/reader/full/lectia-9-logaritmi-exponentiale 5/10
Lectia numarul 9 clasa a 10-a Algebraautor prof. Martin Elena
Colegiul National „B. P. as!eu" Bu#au222.1+.Calcula(i partea 4ntreag) a num)rului a'log+6log6+16.ac) log6+'a calcula(i log1+1, 4n func(ie !e a.1*. ac) log*0100'a atunci s) se !etermine log+0?0.
1?. Calcula(i 100lg+6 +@−
1. ) se !etermine+1
1log
6-+
− !ac) a' 6log++6−
1@.) se e$prime log60?* 4n func(ie !e a'log1?100 b'log@+*,1,. Calcula(i Flg1GFlg+G...Flg10+011G19. ) se arate c) urm)toarele e$presii nu !epin! !e $;
a&A' x x x
x x x
+
?
?
?
6
66
6
loglog
loglog
−
+ −
b&B' +
+*+
*+
+ &log,6%+
log1+log* x x
x −−+
c&C' x x x x x x log...+log1log
1
log...+log1log
1
log...+log1log
1
666+++ +++
+
+++
+
+++
$ natural nenul !iferit !e 1+0.) se !emonstre#e inegalit)(ile ;
a& 6016+log--log
1
--66
>−
b& 10+*log1+log
1
1+-
<−
+1.) se logaritme#e urm)toarele e$presii;
a&E'*a 6 +- ab b&E'6 +*? 6
6 6 ++*6
abcba
bcacba
++. ) se calcule#e E'lg+*0lg+ ?
+
-+ lg+0 lg0001
Ecuaţii exponenţiale i logaritmice
- Ecuaţii logaritmice Pentru aceste tipuri de ecuaii se impune determinarea condiiilor de existen! a
lo"aritmilor# $i anume f%x&'()
1Ecuaţii elementare e forma: logaf(x)", a>0, a≠ 1⇔ f%$&'a b
logg(x)f(x)" ⇔ f%$&'g%$& b
Exemplu rezolvat *:
log6%$+&'*a&con!i(ii !e e$isten() $+0 &+% ∞−∈⇒ x
b&He#ol)m; log6%$+&'*'log66* !e un!e %log e inecti) II& aem $+',1 a!ic)$'@9-+ !eci e solu(ie.
Exemplu rezolvat +:
log%$-1&%$
+
+&'+a& con!i(ii !e e$isten(); $-10 $++0 $-1≠ 1 !e un!e $1 $≠ +
?
7/23/2019 Lectia 9 Logaritmi Exponentiale
http://slidepdf.com/reader/full/lectia-9-logaritmi-exponentiale 6/10
Lectia numarul 9 clasa a 10-a Algebraautor prof. Martin Elena
Colegiul National „B. P. as!eu" Bu#au
b& %$-1&+'$++⇒$+-+$1'$++⇒+$'-1⇒$'- J+KL&.1%+
1∞∉ !eci ecua(ia nu are
solu(ii.
! Ecuaţii e forma logaf(x)logag(x)⇔
f(x)g(x)
Exemplu rezolvat ,:
log6%$-*&'log6%+$-10&Con!i(ii !e e$isten(); $-*0 +$-100 !e un!e $?$-*'+$-10⇒$'? !eci are solu(ie
$Ecuaţii cu logaritmi care 'e pot re'tr.nge p.nă la o expre'ie care ne conuce lao ecuaţie e forma (1) ('ume e logaritmi n "ae iferite, ar care 'e pot 'crie nfuncţie e o "aă comunăa)trecem logaritmii n aceeai "aă i tran'formăm con'tantele n logaritmi")re'tr.ngem n logaritmi in prou'e/rapoarte
Exemplu rezolvat 1(:
log+$+log*%$-1&'6C.E.; $07 $1⇒$1
log+$ .660,,&1%6&1%log6+
&1%log+ +
+
+=∆⇒=−−⇒=−⇒=−⇒=
− x x x x x x
x
+
661+.1
±= x !intre care 1
+
661>
+= x
% Ecuaţii care 'e reolă prin 'u"'tituţii care ne conuc la ecuaţii e graul -, --'au ecuaţii omogene:
Exemplu rezolvat 11:
lg+
$-6lg$+'0 C.E.;$0/acem substitu(ia :'lg$ !e un!e :'1 respecti :'+ apoi !etermin)m $;lg$'1⇒ $'10 respecti lg$'+⇒ $'100 care 4n!eplinesc con!i(ia $0
2 Ecuaţii im"ricate ;loga(log"(f(x))"# 'e reolă 3in aproape n aproape4 latipul 1
Exemplu rezolvat 12:
log+%log6%$6&&'+
7/23/2019 Lectia 9 Logaritmi Exponentiale
http://slidepdf.com/reader/full/lectia-9-logaritmi-exponentiale 7/10
Lectia numarul 9 clasa a 10-a Algebraautor prof. Martin Elena
Colegiul National „B. P. as!eu" Bu#auC.E. $60 7 log6%$6&0 !e un!e $-6 respecti $617 re#ult) x>#! !in intersec(iacelor !ou) interale.
log+%log6%$6&&'+⇒ log6%$6&'++⇒$6'6*
⇒$',1-6'@,-+ !eci aem o solu(ie
. Ecua(ii cu solu(ie unic); au forma f%$&'g%$& sau se pot a!uce la aceast) form) un!efg au monotonii !iferite. /olosim interpretarea grafic) a acestui aspect 3i anumenum)rul punctelor !e intersec(ie ale celor !ou) grafice este NL ;
#gă'im o 'oluţie x0
#arătăm că nu are 'oluţii xx0
#arătăm că nu are 'oluţii x>x0
%de obicei sunt ecuaii -n care nu apar doar
lo"aritmi&
Exemplu rezolvat 13:
x+log!(x+1)2/ie f%$&'log+%$1& cresc.7 g%$&'?-$ !escr.)sim $0'6 care satisface ecua(ia/ie $D6. Construim „!in aproape 4n aproape"e$presiile lui f respecti g;$D6 ⇒ log+%$1&Dlog+*'+ %log e cresc& !eci f%$&D+
$D6⇒
-$-6⇒
?-$?-6⇒
g%$&+Prin urmare aem; f%$&D+Dg%$& !e un!e f%$& nu poate fi egal) cu g%$&
Analog alegem $6 !e un!e om aea f%$&+g%$&.eci $0'6 a fi singura solu(ie.
E$erci(ii propuse;) se re#ole ecua(iile urm)toare;
1.log6%$+-6$&'log6%?$-@& +.log+$'-6 6.lg%@-$+&'6lg%6-$&
*.log,%$-1&log,%$+@&' 6
@
?.0?lg%+$-1&lg 9− x '1.+%lg$-lg&'lg$-+%lg x -1& @.log+%-6$+1$-11&'1
,.log$%6$+6$&'log$%9-6$& 9. &++%log&+
1%log
1
1
1
1 x x x
x
x
x −=+
+
−
+
−
10.6lg+$-?lg$+'0 11. 1log1+
?log
-
1++
+=− x x
1+. ,0&1&%lg1lg9% 6++
=+− x x 16.,lg*$-9lg+$1'01*.lg%$+-$?&-lg%6-$&'lg6 1?.lg%+$6&-+lg%+$-6&'11.log6%-$&log6 x−* '1 1@.+ln%$+&'ln%$1*&
1,.lg 66@
+
−
x x -lg+'-lg%+@-$& 19.log++%$1&-*log+%$1&6'0
@
7/23/2019 Lectia 9 Logaritmi Exponentiale
http://slidepdf.com/reader/full/lectia-9-logaritmi-exponentiale 8/10
Lectia numarul 9 clasa a 10-a Algebraautor prof. Martin Elena
Colegiul National „B. P. as!eu" Bu#au
+0.+log++%*$+&-log+%,$&
+
1'0 +0.log+%$log+%+$&&'+
+1.log6%6log+%+log?$&&'1 ++.+log$%$-1&log%$+
&%$-1&'0+6.lg%@ x &- 1&91%log
10 =−+ x +*. x log+%$1&'+
+?.$-,'$lg+
--Ecuaţii exponenţiale
1.Ecuaţii elementare !e forma af%$&'b un!e b0 a0 a ≠ 1⇔ f%$&'loga b%se ob(ine prin logaritmare cu ba#a a&
Exemplu rezolvat 14:
+$-+'*⇒ $-+'+ %putem scrie pe *'++ +$ este inecti)& ⇒ $'*
Exemplu rezolvat 15:
6$-*'+⇒ $-*'log6+⇒ $'*log6+⇒ $'log66*log6+'log61+
!5rou'e e exponenţiale cu "ae iferite; 0&%&%&%
>= d cba x. x " x f
-logaritmăm într-o bază neutră (lg)-apare o sumă de logaritmi deoarece numitorii fracţiilor obţinute vor fi constanţi
-obţinem o ecuaţie de gradul I/II cu necunoscuta (grupăm după puterile lui )
Exemplu rezolvat 16:
+$-16+$-6'?⇒ lg%+$-16+$-6&'lg?⇒ lg%+$-1&lg%6+$-6&'lg?⇒ %$-1&lg+%+$-6&lg6'lg?⇒
$%lg++lg6&'lg+6lg6lg?⇒ $' +@0log1,lg
+@0lg1,=
$ Expre'ii cu ! exponenţiale %f)r) alte constante&; împărţim prin una din ele
Exemplu rezolvat 1*:
+$1'6$-+⇒+×+$'6$×6-+
⇒1,
1log
1,
1&
6
+%
+
6
6
+
6
+
+
=⇒=⇒=
−
x x
x
x
Exemplu rezolvat 1+:
6$6$16$+'?$?$1⇒ 6$%166+&'?$%1?& ⇒16
-&
?
6% =
x⇒ $'
16
-log
?
6
%Ecuaţii care 'e reolă prin 'u"'tituţii care ne con!uc la ec. !e gra!ul 22 sauomogene %sume !e e$presii cu e$pon.&;a& ecua(ii !e forma ma!f(x)+naf(x)+p0: not!m a f%x&=t'(⇒mt 2/nt/p=(
b&ecua(ii !e forma maf(x)+n"g(x)c, une a"1: not!m a f%x&=t ⇒mt/nt
1=c
,
7/23/2019 Lectia 9 Logaritmi Exponentiale
http://slidepdf.com/reader/full/lectia-9-logaritmi-exponentiale 9/10
Lectia numarul 9 clasa a 10-a Algebraautor prof. Martin Elena
Colegiul National „B. P. as!eu" Bu#au Exemplu rezolvat 1,:
6×++$+$'1*⇒6t+t'1*⇒6t+t-1*'0 !e un!e !etermin)m t1+ 3i alegem pecee<cele po#itie apoi re#ol)m ecua(ii !e forma +$'t1+ %tipul 1-logaritmare sau
scriere ca putere a constantei& Exemplu rezolvat 2(:
1,&+?%&+?% =++− x x Not)m x
t &+?% −=
a' +? − b' +? + .erific)m ab'?-*'1
b'a
1 !e un!e ob(inem t
t
1'1, ceea ce ne con!uce la ecua(ia; t+-1,t1'07
t1+' ?*9+
?,1,
+
+01-1,
+
&+1,&%+1,%1,
+
*1,1, +
±=±
=⋅±
=+−±
=−±
+&+?%?*9&+?%
+
1 =⇒−=−=−= xt
x
%e#i ra!icali compu3i&+&+?%?*9&+?%
&+?%
1&+?%
+
+ −=⇒+=+=+=
+
=−= −
xt x
x
x
eci $'± +
Exemplu rezolvat 21:
?×*$-11×$×9$'0 Not)m +$'u 6$'⇒?u+-11u+'0- ecua(ie omogen)7 4mp)r(im prin + %e nenul
!in !efini(ia e$ponen(ialei& 3i not)m t' v
u
!e un!e aem ?t+
-11t'0 afl)m t0apoi afl)m $.
?.Ecua(ii cu solu(ie unic); !e forma f%$&'g%$& sau re!uctibile la acestea cu fg !emonotonii !iferitea)'ume e mai mult e trei exponenţiale cu "ae i'tincte ; grupăm convenabil!i împărţim prin cea mai mare sau cea mai mică dintre ele pentru a a"unge la
forma de mai sus")expre'ii tran'cenente cu exponenţiale %care con(in 3i alte func(ii&; grupăm
termenii pentru a a"unge la o formă cu funcţii de monotonii diferite (sau de forma f()#ct cu f monotonă)8n ambele situa(ii proce!)m ca la ec. cu solu(ie unic) !e tip logaritmic;
#gă'im o 'oluţie x0
#arătăm că nu are 'oluţii xx0
#arătăm că nu are 'oluţii x>x0
Exemplu rezolvat 22:
+$6$'?$. Ambii membri sunt cresc)tori7 4mp)r(im prin ?$0⇒ 1&?
6%&?
+% =+ x x
9
7/23/2019 Lectia 9 Logaritmi Exponentiale
http://slidepdf.com/reader/full/lectia-9-logaritmi-exponentiale 10/10
Lectia numarul 9 clasa a 10-a Algebraautor prof. Martin Elena
Colegiul National „B. P. as!eu" Bu#auMembrul st>ng este func(ie cresc)toare cel !rept e func(ie constant) graficele lorau !oar un punct !e intersec(ie. )sim $0'1 o solu(ie %prin 4ncerc)ri& 3i !emonstr)mc) este unic)./ie $D17 construim f%$& !in aproape 4n aproape;
1&?+%&
?+% >
x %!escresc)toare !eoarece ba#a este subunitar)&
1&
?
6%&
?
6% >
x . A!un)m cele !ou) rela(ii pentru a ob(ine membrul st>ng al ecua(iei. ⇒
1?
6+&
?
6%&
?
+% =
+>+
x x # deci nu are soluii pentru x01)
/ie $1. Analog ob(inem;1&
?
+%&
?
+% <
x
1&
?
6%&
?
6% <
x⇒ 1
?
6+&
?
6%&
?
+% =
+<+
x x nu poate fi e"al cu 1# deci nu are
soluii
E$erci(ii propuse;) se re#ole ecua(iile urm)toare;
1.+6$1'10+* +.66$-1' 6 9 6. +&+
1%
1=
+− x
*.+$-6'*-1 ?. 61+?? +++
=++ x x . +$+?$+'+6$1+?$
@. -*+ =+ x x ,. 1
19
?
@
1+,+?.06+ −
+
−
+
⋅= x
x
x
x
9.+$-1+$-++$-6'**, 10.6+$69×6+$-6+$1'+9@11.?$-+?$-6?$-*'@@? 1+.6$'*$ 16.++$-1,×+$6+'01*.6$-*+×$+1'0 1?.6+$'$ 1.6$×*$1'?+$×@$-+
1@.?$1?$+'6$16$+6$6 1,.+×*9$'6?$+?$ 19.×96$-16×1?6$×+?6$'0
+0.%@-* 6 &6$%@* 6 &6$'1* +1.,6
+&++6%&++6%
1++ 1
−=−++
+−+−
x x x x
++. 10&-+?%&-+?% =−++ x x +6.+9$6$'+×+@$ +*. +++
116, x x x=+
+?.1
16 +
−
=−
x
x
bservaie: pentru sisteme !e ecua(ii se or folosi te=nici combinate %gruparea ec.substitu(ii etc&
10