Aplicaii ale algebrei liniare n genetic i economie folosind lanurile Markov

Aplicaii ale algebrei liniare n genetic i economie folosind lanurile Markov

Profesor coordonator:Prof.Univ.Dr. Constantin Raischi Componena grupei:Bucur Claudia-gr.1022Bucur Simona-gr.1003 Barti Andrei-gr.1002n toate crizele din afaceri exist dou cursuri larg deschise pentru un om. El poate rmne unde este sau poate merge n alt parte.

P.G. Wodehouse, Indiscreiile lui Archie

Motivaie:Evoluia societii i a nevoilor acesteia a impus o nou viziune asupra sistemelor economice caracterizate prin complexitate i interdependen. Teoria probabilitilor i algebra liniar sunt printre cele mai inovatoare domenii ale ultimelor dou secole, ncununnd astfel noua paradigm a societii moderne: Nu este suficient s tim rspunsul la o ntrebare. Cel mai important este s integrm rspunsurile ntr-un ansamblu coerent.Lanul Markov este un proces ce se detaeaz de viziunea determinist, analiznd evoluia viitoare n condiii de incertitudine.

Aplicabilitatea procesului Markov depete graniele domeniului economic fiind utilizat i n genetic, codificarea aritmetic, bioinformatic, paginile web folosite de Google.

2. Scurte noiuni teoretice Definiia lanului Markov

Presupunem un sistem matematic sau fizic care are n posibile stri i ca la fiecare moment sistemul este ntr-una din cele n stri . Se consider c la perioada de observare k probabilitatea ca sistemul s fie ntr-o stare anume depinde de starea din perioada k-1. Acest sistem poart numele de LAN MARKOV.

irul (Xn)n se numete lan Markov cu mulimea strilor I dac n i i0, ...,in+1 I dac P (Xn+1=in+1 | Xn=in,..., X0=i0) = P (Xn+1=in+1 | Xn=in) .

2) Matricea de trecere a lanului Markov Pentru un lan Markov cu n stri vectorul de stri este un vector coloan unde componenta i reprezint probabilitatea ca sistemul s fie n starea i la acel moment de timp. Suma elementelor dintr-un vector de stare este 1. Astfel, vectorii X0 i X1 din exemplu sunt vectori de stare. Dac pij este probabilitatea de tranziie de la o stare j la starea i, atunci matricea T = [pij] este numit matrice de trecere a lanului Markov.

O matrice de tranziie se numete periodic dac pentru orice numr ntreg r toate elementele matricei Tr sunt strict pozitive (0 nu este o valoare strict pozitiv).

Un proces al unui lan Markov se numete periodic dac matricea lui de tranziie este periodic.

Considerm un lan Markov cu matricea periodic de tranziie T iar S denot limita lui Tn pe msur ce n se apropie de infinit, atunci Tn XSX=p i prin urmare sistemul se apropie de un vector fixat de stri p numit vectorul strii de echilibru a sistemului. Acum din moment ce Tn+1=TTn i ambele Tn+1 i Tn se apropie de S, avem: S=TS . Orice coloan a acestei ecuaii matriciale ne d Tp=p . Prin urmare, vectorul strii de echilibru a unui lan Markov periodic cu matricea de tranziie T este vectorul unic de probabiliti p care satisface condiia: Tp=p .

Fiind dat o matrice ptratic, spunem ca numrul este o valoare proprie a lui A dac exist un vector X diferit de 0 satisfcnd condiia : AX=X . n acest caz spunem c X este un vector propriu al lui A corespunznd valorii proprii .

n concluzie, un vector al strii de echilibru al unui lan Markov periodic este un vector propriu pentru matricea de tranziie corespunznd-i valoarea proprie 1.

Pentru un lan Markov, viitorul este independent condiionat de trecut, fiind dat prezentul.

Fie X = (Xn; n 0) o secven de variabile aleatoare ce iau valori ntr-un sistem de numeraie. Stabilim S, numit spaiul de stare. Dac pentru toate valorile n0 i toate valorile posibile ale lui i, k, k0, . . . , kn1, avem P(Xn+1 = k|X0 = k0, . . . , Xn = i ) = P(Xn+1 = k|Xn = i )= P(X1 = k|X0 = i ),atunci X se numete lan Markov sau se poate afirma c are proprietatea lui Markov. Lan Markov omogen

Un lan Markov este omogen sau cu probabiliti de trecere staionare, dac acestea nu depind explicit de timpul t: p(t; it-1,it)=p(it-1it)Pentru un lan Markov omogen (cu probabilitile de trecere staionare) are loc relaia:P(Xt()=it,0tn)=pi0

Probabilitile

-elementele unei matrici numit matricea de trecereEXEMPLU: S considerm r urne numerotate 1,2,...,r care conin fiecare bile de r tipuri diferite, marcate de asemenea, 1,2,...,r. Probabilitatea de a extrage o bila de tipul j din urna i este egal cu pij, i,j=1,2,...,r. La momentul iniial se alege o urn conform repartiiei de probabilitate (pi)1ir.Din aceast urn se extrage o bil care se reintroduce apoi la loc. Dac bila extras a fost de tipul i, atunci extragerea urmtoare se va face din urna i .a.m.d.Concluzie: irul tipurilor de bile extrase succesiv este un lan Markov cu mulimea strilor I={1,2,...,r}, probabilitile iniiale (pi)1ir i probabilitile de trecere (pi)1i, jr

3. Exemple ale lanurilor MarkovDac ai fi trit n Constana pentru un timp, trebuie s fi realizat c vremea este o mare grij a populaiei. Un studiu neoficial al vremii din ora n timpul unei primveri timpurii duce la urmtoarele observaii: ->Este aproape imposibil s existe dou zile frumoase la rnd.->Dac este o zi frumoas, este la fel de posibil ca ziua urmtoare s fie una cu ploaie sau cu zpad. ->Dac avem ploaie sau zpad, atunci exist i ansa ca s fie la fel ziua urmtoare. ->Dac este o ans de ninsoare sau ploaie, numai n jumtate din cazuri este ansa s fie o zi frumoas.

Matricea de trecere a sistemului este:

N R SN

R

SUnde N= nice (vreme frumoasa) , R=rain (vreme ploioasa) , S=snow (ninsoare)Presupunand ca azi este vreme frumoasa, vectorul initial de stare va fi :

x0=

N

R

S

Dup 7 zile (o sptmn), vectorul de stare va fi:

n concluzie, exist anse de 20% s fie frumos ntr-o sptmn.

X7=T7X0=

Aplicatii ale algebrei liniare in ECONOMIEExemplu: aplicabilitatea procesului Markov ntr-un model economic privind probabilitatea de avansare pe scara social a familiilor n funcie de avuia acestora Ipotez: 3 trepte sociale: de jos, de mijloc i nstritProbabilitatea de avansare este reprezentat n urmatoarea matrice de tranziie.T=

probabilitatea ca o generaie urmtoare s avanseze pe scara social este de t1,3=0.1Consideram urmtorul vector de stare ce corespunde apartenenei la clasa de mijloc.

X(0)=

Dupa o generatie,vom avea:

X(1)=TX(0)=

=>dac o familie aparine iniial clasei de mijloc, probabilitatea de a accede la clasa de vrf este de 0.1X(2)=T2X(0)=

..X(5)=T5X(0)=

..X(10)=T10X(0)=

=>dac n momentul iniial o familie aparine clasei de mijloc, dup 10 generaii probabilitatea ca familia s aparina clasei de vrf este de 20%, clasei de mijloc 55,53% , iar clasei de jos de 25%.Aplicatii ale algebrei liniare in GENETICFiinele vii motenesc de la prinii lor multe dintre caracteristicile fizice ale acestora.Genele prinilor determin aceste caracteristici.Genetica populaiei este ramura geneticii care studiaz structura genetic a unei populaii i caut s explice modul n care se modific transmiterea genelor de la o generaie la alta.

Motenirea autozomala este tipul de ereditate n care fiecare trstur ce poate fi motenit este dominat de o singur gen.Tipuri de gene:Dominante (A)Recesive (a)Tipuri de genotip:AAAaaaExemple: n anumite populaii de animale, un model autozomal de motenire controleaz culoarea ochilor. Indivizii cu genotip AA si Aa au ochi cprui,n timp ce aceia cu genotipul aa au ochi albatri. Se consider o serie de experimente n care se ncrucieaz descendeni numai cu animale dominante. Astfel, se continu ncruciarea cu AA, Aa i aa. Scopul: determinarea probabilitilor ca descendenii s fie de tipul AA, Aa sau aa.

Distribuia iniial a populaiei:

Concluzie: n urma experimentelor, toi descendenii vor avea ochi cprui.Urmtorul pas este s examinm modul n care fiecare fracie din genotipurile iniiale se va modifica de la o generaie la alta.Pentru acest lucru, vom numi Xn distribuia vectorilor de genotip a generaiei n.Rezolvarea problemei porneste de la X1=AX0

Fraciile genotipurilor AA, Aa i aa n prima generaie pot fi exprimate ca 1(1/3)+(1/2)(1/3)+0(1/3)0(1/3)+(1/2)(1/3)+(1/3)0(1/3)+1(1/3)+0(1/3)

A=

IntrriRezultatAAAaaaAA10Aa01aa000111AA Aa aaMatricea de transmitere

n general, Xn=AXn-1

AA

Aa

aaX1=AX0

n general, Xn=AXn-1BIBLIOGRAFIE 1. David Stirzaker , Elementary probabilities, Cambridge University. 2. Bharucha-Reid, A.T., Elements of the Theory of Markov Processes and their Applications, McGraw-Hill Book Company, Inc, Now York. Toronto. London, 1960. 3. Iosifescu, M., Lanturi Markov finite si aplicatii, Ed. Tehnica, Bucuresti, 1977.4. Peder A. Tyvand, Steinar Thorvaldsen, Theoretical Population Biology, Volume 72, Issue 1, August 2007, Pages 148-1525. F. R. de Hoog, A. H. D. Brown, I. W. Saunders, M. Westcott, Journal of Mathematical Analysis and Applications, Volume 115, Issue 1, April 1986, Pages 181-191