11. LANŢURI DE DIMENSIUNI

11.1 GENERALITĂŢI; CLASIFICARE; EXEMPLE

În construcţia de maşini, dimensiunile liniare şi unghiulare determină mărimea, forma

şi poziţia relativă a suprafeţelor, atât în cazul unor piese, cât şi într-un ansamblu. Între

diferitele dimensiuni ale unei piese sau ansamblu există anumite legături, directe şi indirecte,

cu caracter funcţional şi tehnologic, [1-3], [6], [8-9], [13].

Prin lanţ de dimensiuni se înţelege un ansamblu (şir, totalitatea) de dimensiuni liniare

şi/sau unghiulare care leagă între ele elementele unei piese sau ansamblu şi formează un

contur închis.

Un lanţ de dimensiuni este format din dimensiunile primare, care se realizează direct

în procesul tehnologic (la valorile prescrise pe desenele de execuţie) şi din dimensiunea de

închidere, care rezultă indirect (automat la prelucrarea sau asamblarea pieselor). Aceasta din

urmă nu se trece pe desenul de execuţie, [1-2], [13].

În cazul lanţurilor de dimensiuni reprezentate schematic este indicată şi dimensiunea

de închidere R.

Un lanţ de dimensiuni poate avea minim trei dimensiuni: două primera şi una

rezultantă. Ajustajele asamblărilor cilindrice pot fi considerate lanţuri cu trei dimensiuni:

diametrul alezajului şi arborelui fiind dimensiunile primare, iar jocul sau strângerea fiind

dimensiunea rezultantă.

Câteva exemple de lanţuri de dimensiuni sunta date în Figurile 11.1 şi 11.2.

Clasificarea lanţurilor de dimensiuni, [1], [5-6], [8-9], [13]:

1) După apartenenţa la piesă sau ansamblu:

a) ale pieselor;

b) de asamblare

2) După felul dimensiunilor:

a) liniare;

b) unghiulare;

c) mixte.

146

a) b) c)

d) e)Figura 11.1 Lanţuri de dimensiuni cu valori numerice şi cu notaţii convenţionale

a) b) c)

d) e)Figura 11.2 Reprezentarea schematică a lanţurilor de dimensiuni

3) După poziţia în spaţiu:

a) plane

- cu dimensiuni liniare paralele;

- cu dimensiuni liniare neparalele;

b) spaţiale.

147

4) După complexitate:

a) simple;

b) complexe:

- în serie, cu bază de cotare diferită;

- în paralel, cu bază de cotare unică;

- mixte.

5) Dup rolul funcţional:

a) funcţionale;

b) tehnologice.

În cotarea fucţională (întocmită de proiectantul constructiv) dimensiunile sunt, cel mai

adesea, aşezate în serie, astfel încât să corespundă rolului funcţional al piesei, fără a se ţine

seama de complicaţiile tehnologice legate de existenţa bazelor de cotare diferite pentru fiecare

dimensiune. În cotarea tehnologică, prin care se urmăreşte realizarea cât mai uşoară şi ieftină

a dimensiunilor, se aplică principiul numărului minim de baze de cotare şi se încearcă ca

bazele de cotare tehnologice să coincidă cu cele funcţionale, [5].

În teoria şi practica lanţurilor de dimensiuni se deosebesc două probleme principale,

[1], [6], [8-9], [13]:

a) problema directă, prin care cunoscându-se valorile nominale, toleranţele şi abatreile

limită ale dimensiunilor primare se cere determinarea valorii nominale, toleranţei şi

abaterilor limită ale dimensiunii rezultante;

b) problema inversă, prin care cunoscându-se valoarea nominală, toleranţa şi abaterile

limită ale dimensiunii rezultante şi valorile nominale ale dimensiunilor primare se cere

determinarea toleranţelor şi abaterilor limită ale acestora.

11.2 REZOLVAREA PROBLEM DIRECTE A LANŢURILOR DE

DIMENSIUNI PLANE, LINIARE ŞI PARALELE

11.2.1 Metoda de maxim şi de minim

Pentru aplicarea acestei metode este necesar ca dimensiunile primare ale lanţului de

dimensiuni să fie realizate strict între limitele prescrise şi fără nici o sortare, ajustare sau

reglare să se obţină piese şi ansambluri corespunzătoare.

148

Înainte de efectuarea calculelor, trebuie să se stabilească influenţa fiecărei dimensiuni

primare asupra celei rezultante, din acest punct de vedere dimensiunile primare fiind fie

măritoare, când prin mărirea lor individuală provoacă mărirea dimensiunii rezultante, fie

reducătoare, când prin mărire produc micşorarea acesteia,

Exemplu: Fie lanţul de dimensiuni din Figura 11.3.

Figura 11.3 Metoda de maxim şi de minim

Se observă că 32 B ,B ,1B sunt dimensiuni măritoare, iar 5B ,4B sunt dimensiuni

reducătoare.

Deoarece:

B54321 RBBBBB ++=++ , (11.1)

rezultă:

( ) ( )54321B BBBBBR +−++= . (11.2)

Deci, dimensiunea nominală BR a unui element rezultant este egală cu diferenţa

dintre suma dimensiunilor nominale a elementelor măritoare şi suma dimensiunilor nominale

a elementelor reducătoare.

Considerând cazul general, când lanţul de dimensiuni este format dintr-un număr n+1

elemente (n elemente primare şi unul tezultant) şi considerând m elemente măritoare şi n-m

elemente reducătoare, rezultă:

∑ ∑= +=

−=m

1j

n

1mjjjB BBR .

(11.3)

Valorile limită ale elementului rezultant sunt:

149

( ) ( )min min max max max ...... n1mm1B BBBBR ++−++= + , (11.4)

adică:

∑∑+==

−=n

1mjj

m

1jjB BBR min max max . (11.5)

Analog:

∑∑+==

−=n

1mjj

m

1jjB BBR max min min . (11.6)

Cum:

jjj AsBB +=max şi jjj AiBB +=min , (11.7)

atunci:

RBB AsRR +=max şi RBB AiRR +=min , (11.8)

deci:

BBR RRAs −= max şi BBR RRAi −= min . (11.9)

Toleranţa algebrică a elementului rezultant este:

( ) ( ) RRRBRBBBa AiAsAiRAsRRRT −=+−+=−= min max R . (11.10)

Făcând diferenţa dintre dimensiunea rezultantă maximă şi cea minimă şi grupând

convenabil termenii, obţinem:

( ) ( )

( ) ( )min max min max

min max min max min max R

...

...

nn1m1m

mm11BBa

BBBB

BBBBRRT

−++−+

+−++−=−=

++

(11.11)

∑=

=+++++=+

n

1jBBBBBa jn1mm1TTTTTT ......R

Deci:

150

∑=

=n

1jBa jTT R .

(11.12)

Toleranţa algebrică a elementului rezultant este egală cu suma toleranţelor elementelor

primare, deci elementul rezultant este elementul cel mai puţin precis dintr-un lanţ de

dimensiuni. Ca urmare, se recomandă ca lanţul de dimensiuni să aibă un număr cât mai mic

de elemente primare pentru ca dimensiunea rezultantă să nu aibă o toleranţă excesiv de mare

(mai ales dacă are un rol important).

Expresiile stabilite sunt relaţiile fundamentale ale lanţurilor de dimensiuni, respectiv

relaţiile care stau la baza rezolvării problem directe şi inverse a lanţurilor de dimensiuni.

Observaţie: Nu există lanţ de dimensiuni cu toate dimensiunile primare reducătoare (au cel puţin o dimensiune măritoare).

Un exemplu de rezolvare a unui lanţ de dimensiuni, folosind metoda de maxim şi

minim este cel din Figura 11.4.

Figura 11.4 Exemplu de rezolvare a unui lanţ de dimensiuni

[ ]mm 15454020303020R =−−+++= ,

[ ]mm ,,,,,,,,,max 6157843100944839120130929220R =−=−−+++= ,

[ ]mm ,,,,,,,,,min 514185599145939719929829120R =−=−−+++= ,

[ ]mm ,,max 6015615RRAsR =−=−= ,

[ ]mm5015514RRAi R ,,min −=−=−= ,

[ ]mm ,,,minmax 11514615RRTR =−−= ,

( ) [ ]mm ,,, 115060AiAsT RRR =−−=−= ,

[ ]mm ,,,,,,, 11201040201010TT6

1jjR =+++++=∑

=.

Elementul rezultant are forma:6050

AsAi 15R R

R

,,

+−= .

11.2.2 Metoda algebrică

151

În aplicarea acestei metode se are în vedere faptul că într-o sumă sau diferenţă de

mărimi tolerate, fiecare mărime tebuie luată sub formă desfăşurată (valoare nominală şi

abateri limită), după care se adună sau se scad între ele părţile de acelaşi fel. Evident, în cazul

diferenţelor, semnul minus în faţa unei mărimi tolerate schimbă atât semnul valorii nominale

cât şi semnele abaterilor şi, ca urmare,abaterile îşi vor scgimba locurile (abaterea superioară

va deveni inferioară şi invers), [1], [5-6], [8-9], [11], [13].

Pornind de la relaţiile (11.5), (11.6) şi (11.7):

∑∑+==

−=n

1mjj

m

1jjB BBR min max max , (11.5)

∑∑+==

−=n

1mjj

m

1jjB BBR max min min , (11.6)

jjj AsBB +=max şi jjj AiBB +=min , (11.7)

rezultă că:

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]( )

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]n1mm1n1mm1

nn1m1mmm11RBB

AiAiAsAsBBBB

AiBAiBAsBAsBAsRR

++−+++++−++

=++++−++++=+=

++

++

............

11.13

......max

Deci:

∑ ∑∑∑= +=+==

−=−=m

1j

n

1mjjj

n

1mjj

m

1jjB AiAsBBR RAs ; .

(11.14)

Analog, din relaţia lui min BR , rezultă valoarea lui BR şi RAi :

∑ ∑∑∑= +=+==

−=−=m

1j

n

1mjjj

n

1mjj

m

1jjB AsAiBBR RAi ; .

(11.15)

Toleranţa elementului rezultant este dată de aceeaşi relaţie (11.12):

∑=

=−=−=n

1jBRRBBR jTAiAsRRT min max . (11.12)

Se deduc următoarele două reguli:

152

- abaterea superioară a elementului rezultant este egală cu diferenţa dintre suma

algebrică a abaterilor superioare ale elementelor măritoare şi suma algebrică a

abaterilor inferioare ale elementelor reducătoare;

- abaterea inferioară a elementului rezultant este egală cu diferenţa dintre suma

algebrică a abaterilor inferioare ale elementelor măritoare şi suma algebrică a

abaterilor superioare ale elementelor reducătoare.

Observaţie: Această metodă conduce la acelaşi rezultat ca şi metoda de maxim şi de

minim, dar este cea mai simplă şi mai rapidă în aplicare.

11.2.3 Metoda probabilistică

În cadrul acestei metode, valoarea nominală a dimensiunii rezultante se determină ca şi

la metodele precedente. Pentru calculul abaterilor limită şi toleranţei dimensiunii rezultante se

ţine seama de faptul că dimensiunile primare efective sunt mărimi cu caracter întâmplător şi

au distribuţii proprii, [1], [8-9], [11], [13]. Cum dispersia unei sume de mărimi întâmplătoare

este egală cu suma dispersiilor, rezultă:

( ) ( )∑=

=n

1jjB BDRD . (11.16)

Dar cum:

( ) ( )B2

B RRD σ= , (11.17)

rezultă:

( ) ( )∑=

σ=σn

1jj

2B

2 BR , (11.18)

sau:

( ) ( )∑=

σ=σn

1jj

2B BR , (11.19)

în care:

σ - abaterea medie pătratică.

153

Un important parametru statistic este şi abaterea pătratică medie relativă:

2ωσ=λ

, (11.20)

în care:

ω - amplitudinea câmpului de toleranţă ( )minmax xx −=ω .

Pentru legea de distribuţie normală (Gauss), considerată ca etalon T6=ω . Dacă

amplitudinea intervalului de împrăştiere se ia egală cu toleranţa ( )T=ω , atunci 2TT=λ .

Prin urmare, presupunând că distribuţia valorilor efective ale dimensiunilor primare se

conduce după legea Gauss-Laplace, ( )nn11 BBBB 6T6T σ=σ= ,..., , rezultă:

( ) ∑=

=

++

=σ

n

1j

2B

2

B

2

BB j

n1 T61

6

T

6

TR ... , (11.21)

adică:

∑=

=n

1j

2BR jBTT sau ∑

==

n

1j

2jpr TT . (11.22)

Dacă se ţine seama de abaterea distribuţiei valorilor efective ale dimensiunilor primare

de la legea repartiţiei normale, relaţia devine:

∑=

=n

1j

2jDpr TKT , (11.23)

în care:

81K D ,= ÷0,8

∑

∑

=

=

n

1jj

n

1j

2j

T

T

, (11.24)

DK - coeficient de dispersie.

Relaţiile determinate arată că toleranţa dimensiunii rezultante, calculată prin metoda

probabilistică este mai mică decât cea calculată prin metodele precedente, lucru extrem de

important, mai ales la rezolvarea problemei inverse (de proiectare) a lanţurilor de dimensiuni).

154

Abaterile limită probabile (practice) ale dimensiunii rezultante se pot calcula fie în

funcţie de abaterile limită teoretice (algebrice) determinate prin metodele precedente, Figura

11.5, fie în funcţie de abaterea centrală a dimensiunii rezultante, Figura 11.6, (mijlocul

câmpului de toleranţă), [1], [13].

Figura 11.5 Toleranţa teoretică şi toleranţa probabilistică a dimensiunii de închidere

(funcţie de abaterile limită teoretice)

Figura 11.6 Toleranţa teoretică şi toleranţa probabilistică a dimensiunii de închidere

(funcţie de abaterea centrală)

a) În primul caz se poate scrie:

2

TTAi

2

TTAsAs pa

apa

apR R

R R pR R

R R Ai ;−

−=−

+= .

(11.25)

b) În al doilea caz (dacă distribuţiile primare sunt simetrice), abaterile limită probabile ale

dimensiunii rezultante, în funcţie de mijlocul câmpului de toleranţă, sunt:

2

Tx

2

TxAs p

cp

cpR

R R pR

R R Ai ; −=+= .

(11.26)

11.3 REZOLVAREA PROBLEMEI DIRECTE A LANŢURILOR

DE DIMENSIUNI LINIARENEPARALELE

Se face prin aceleaşi metode ca şi în cazul lanţurilor de dimensiuni paralele, [1], [11],

[13].

Fie lanţul de dimensiuni liniare neparalele din Figura 11.7, în care 1L şi 2L sunt

dimensiuni primare, iar LR este dimensiunea rezultantă.

155

Figura 11.7 Lanţ de dimensiuni liniare neparalele

Problema se reduce la rezolvarea unui lanţ de dimensiuni paralele dacă dimensiunile

primare se proiectează pe direcţie dimensiunii de închidere, [1], [13]:

( )α°⋅+α⋅= -90 cos cos 21L LLR . (11.27)

Relaţia arată că valorile nominale şi abaterile dimensiunilor primare nu se transmit

integral dimensiunii rezultante ci într-un raport determinat, în cazul de faţă, de α cos ,

respectiv de ( )α°-90 cos .

Notând cu 1k şi 2k aceste rapoarte, rezultă:

∑=

=+=n

1jjj2211L LkLkLkR (11.28)

Exemplu de rezolvare:

a) prin metoda algebrică:

( ) ( ) ( ) 2211

2211

2

2

1

1a

A skA skA ikA ik2211

A sA i22

A sA i11A iL LkLkLkLkR +

++=+=R a

R

A s,

2211aaa TkTkAiAsT +=−= R R R .

b) prin metoda probabilistică:

2211L LkLkR += ,

2

TxAs pcp

R R R += ;

2

TxAi pcp

R R R −= ; 2 1 R c2c1c xkxkx += ;

22

22

21

21p TkTkT +=R .

156

11.4 REZOLVAREA PROBLEM DIRECTE A LANŢURILOR DE

DIMENSIUNI UNGHIULARE

Se rezolvă, în general, prin aceleaşi metode ca şi lanţurile de dimensiuni liniare, [1],

[11].

Fie, de exemplu, lanţul de dimensiuni din Figura 11.8.

Figura 11.8 Lanţ de dimensiuni unghiulare

a) prin metoda de maxim şi de minim:

321R α−α−α=α ,

min min max max 321R α−α−α=α ,

max max min min 321R α−α−α=α ,

ααα −= RRAs max R ,

ααα −= RRAi min R ,

R R R ααα −= AiAsT ,

3 2 1 R αααα ++= TTTT (verificare).

b) prin metoda algebrică:

( ) 321

321

A sA sA sA iA iA i321A iR −−

−−++α α−α−α=α

α

R

R

A s,

3 2 1 R αααα ++= TTTT (verificare).

c) prin metoda probabilistică:

321R α−α−α=α ,

2

TxAs pcp

α

α+= R

r R ; 2

TxAi pcp

α

α−= R

r R ; 321 R ααα −−=

ε cccc xxxx ;

222p 321

TTTT ααα ++=αR .

157

Observaţie: Pentru dimensiunile unghiulare primare şi pentru cea rezultantă se

consideră distribuţia normală şi asimetria zero.

11.5 REZOLVAREA PROBLEM INVERSE A LANŢURILOR

DE DIMENSIUNI

Problema inversă a lanţurilor de dimensiuni, denumită şi problema de proiectare,

este în acelaşi timp şi o problemă tehnologică care trebuie rezolvată corespunzător cu

condiţiile concrete de realizare a pieselor şi produselor în industria constructoare de maşini,

[1], [13].

În rezolvarea problemei inverse a lanţurilor de dimensiuni se pot întrebuinţa mai multe

metode: metoda toleranţei medii, metoda determinării precizie lanţului, metoda sortării pe

grupe de dimensiuni, metoda reglării şi metoda ajustării.

11.5.1 Metoda toleranţei medii

În cadul acestei metode se cere să se determine toleranţele şi abaterile limită ale

dimensiunilor primare astfel încât, prin asamblarea neselectivă a pieselor componente,

dimensiunea rezultantă să aibă valori între limitele prescrise, [1], [9], [13].

a) varianta algebrică

Iniţial se presupun toleranţele dimensiunilor primare egale între ele:

man21 TTTT ==== ... , ( maT - toleranţa medie algebrică).

Din relaţia: ∑=

=n

1jjR TT , rezultă: maR TnT ⋅= , deci:

nT

T Rma = (11.29)

Această toleranţă poate fi considerată doar ca o valoare orientativă şi, în consecinţă,

pentru fiecare dimensiune primară, în funcţie de mărimea ei, de importanţa şi mai ales de

158

dificultăţile tehnologice de realizare, se stabileşte o toleranţă corespunzătoare, mai mare, egală

sau mai mică, cu condiţia respectării relaţiei: ∑=

=n

1jjR TT .

În ceea ce priveşte valorile abaterilor limită, respectiv poziţiile toleranţelor faţă de

dimensiunile nominale, se recomandă următoarea soluţie, [1], [13]:

- pentru toleranţele dimensiunilor primare măritoare se stabileşte o poziţie identică

cu cea a toleranţei dimensiunii rezultante (în aceeaşi proporţie deasupra,

dedesubtul sau de o parte şi de alta a liniei zero);

- pentru toleranţele dimensiunilor primare reducătoare se stabileşte o poziţie inversă

poziţiei toleranţei elementului rezultant.

De menţionat că toleranţele pot avea şi alte poziţii, dacă pornind de la soluţia de mai

sus, abaterile limită se micşorează sau se măresc, cu aceeaşi valoare şi în acelaşi sens, atât la

dimensiunile măritoare, cât şi la cele reducătoare.

b) varianta probabilistică

Iniţial se presupun toleranţele dimensiunilor primare egale între ele:

mpn21 TTTT ==== ... , ( mpT - toleranţa medie probabilistică).

Din relaţia: ∑=

=n

1j

2jR TT , rezultă: mpR TnT = , deci:

n

TT Rmp = (11.30)

Întrucât:

nT

Tn

TT R

maR

mp =>= , (11.31)

rezultă că rezolvarea probabilistică este evident mai convenabilă din punct de vedere

tehnologic, dar poate fi aplicată numai dacă procesul tehnologic de realizare a dimensiunilor

primare este bine pus la punct (stabil ca reglaj şi stabil ca precizie). Valorile abaterilor limită

se determină ca la varianta algebrică.

Metoda toleranţei medii se poate aplica cu mare uşurinţă şi rapiditate în producţia de

serie mare şi de masă, [1], [13].

159

11.5.2 Metoda determinării preciziei lanţului

O metodă asemănătoare cu cea a toleranţei medii este metoda determinării precizie

lanţului, metodă la care, spre deosebire de cea a toleranţei medii la care se pleacă de la

considerentul că toate dimensiunile primare au toleranţe egale, se admite iniţial că toate

dimensiunile primare au aceeaşi precizie (sunt executate în aceeaşi treaptă de precizie).

În cazul acestei metode se face o analogie cu asamblările pieselor lise cilindrice. Se

porneşte de la relaţia:

iaT ⋅= (1.2)

în care:

a – coeficientul clasei de precizie (numărul unităţilor de toleranţă);

i – unitatea de toleranţă, [ ]mµ .

În cazul lanţurilor de dimensiuni, coeficientul a reprezintă numărul de unităţi de

toleranţă care caracterizează precizia lanţului, [13].

a) varianta algebrică:

Dacă: j

n

1jj

n

1jjR iaTT ⋅== ∑∑

==, rezultă: nn11R ia...iaT ++= .

Dacă se pune condiţia ca toate dimensiunile să aparţină aceleiaşi clase de precizie,

an21 aa...aa ==== , rezultă: ( ) ∑=

=+++=n

1jjan21aR iai...iiaT .

Deci:

∑=

=n

1jj

Ra

i

Ta

(11.32)

b) varianta probabilistică:

Dacă: ∑=

=n

1j

2jR TT , rezultă: 2

n2n

22

22

21

21R ia...iaiaT +++= .

Dacă se pune condiţia ca toate dimensiunile să aparţină aceleiaşi clase de precizie,

pn21 aa...aa ==== , rezultă: ∑=

=n

1j

2jpR iaT .

Deci:

160

∑=

=n

1j

2j

Rp

i

Ta

(11.33)

Evident:

∑=

=n

1j

2j

Rp

i

Ta

> ∑=

=n

1jj

Ra

i

Ta

(11.34)

Observaţii:

1. Unitatea de toleranţă, i se determină cu relaţia D001,0D45,0i 3 += , în care D

reprezintă media geometrică a limitelor intervalului de dimensiuni din care face parte

dimensiunea considerată.

2. Deşi în calculele efectuate s-a considerat că toate dimensiunile primare au aceeaşi

precizie, se admite ca toleranţele dimensionale mai dificile din punct de vedere

tehnologic să fie mărite cu o treaptă de precizie, iar toleranţele dimensiunilor fără

probleme din punct de vedere tehnologic să fie micşorate cu o treaptă. Astfel,

rezolvarea lanţurilor de dimensiuni devine mult mai economică.

3. Pe baza numărului a calculat se adoptă aa imediat superior din STAS, treapta de

precizie care corespunde acestui număr şi toleranţele dimensiunilor primare.

4. Abaterile limită se determină cu regula cunoscută de la metoda anterioară.

Metoda se aplică în producţia de serie mare şi de masă, în condiţiile

interschimbabilităţii totale, când asamblarea pieselor componente se face fără nici o selecţie

prealabilă, [11], [13].

11.5.3 Metoda sortării pe grupe de dimensiuni

Prin această metodă se înlătură inconvenientele metodelor anterioare, întrucât se

lucrează cu toleranţe economice, din acest motiv metoda fiind recomandată atunci când

toleranţa dimensiunii rezultante este mică sau foarte mică, astfel încât toleranţele elementelor

primare sunt extrem de mici sau imposibil de realizat, [1-2], [8-9], [11], [13].

Pentru prezentarea metodei se consideră un ajustaj cu joc, în care caz diamtrul

alezajului şi arborelui sunt dimensiuni primare, iar jocul dimensiunea rezultantă, Figura 11.9.

161

Figura 11.9 Metoda sortării pe grupe de dimensiuni

Pentru prelucrarea pieselor cu toleranţe economice se majorează toleranţele de

execuţie ale elementelor lanţului de n ori. Se sortează (prin măsurare) elementele pe n grupe

de dimensiuni, astfel încât, în cadrul fiecăreia din cele n grupe, câmpul de dispersie să fie egal

cu toleranţa prescrisă şi se asamblează elementele din aceeaşi grupă de sortare. Noile

toleranţe de execuţie vor fi: DD TnT ⋅=′ şi dd TnT ⋅=′ .

Se pune problema determinării legăturii care există între jocurile limită pentru o grupă

oarecare k în comparaţie cu grupa 1:

( ) ( ) ( )( )dD1 maxdD1 maxk max TT1kJT1kT1kJJ +−+=−−−+=(11.35)

( ) ( ) ( )( )dD1 mindD1 mink min TT1kJT1kT1kJJ +−+=−−−+=

Numărul grupelor de sortare se determină în funcţie de mărimea toleranţelor prescrise

şi de precizia economică de prelucrare a pieselor.

Se observă că toleranţa jocului pentru oricare grupă rămâne constantă:

dD1 min1 maxk mink maxk j TTJJJJT +=−=−= . (11.36)

În schimb, valorile jocurilor limită vor diferi de la o grupă la alta dacă dD TT = , iar

ajustajul îşi poate schimba caracterul dacă difere nţe dD TT − sau numărul grupelor de

sortare sunt prea mari, ceea ce din punct de vedere funcţional nu este admis.

Într-adevăr pentru dD TT > valoarea jocurilor creşte cu numărul de ordine al grupei

de sortare, iar pentru dD TT < aceasta scade. De asemenea, toleranţa totală (integrală)a

162

ajustajului este cu atât mai mare faţă de cea prescrisă iniţial cu cât numărul n al grupelor de

sortare şi diferenţa dD TT − sunt mai mari.

Pentru cazul din figură, toleranţa jocului total:

( ) ( ) ( )( )

( )( )dDdD

1 mindD1 max1 minn maxminminmaxmax totalj

TT1nTT

JTT1nJJJJJT

−−++=

=−−−−=−=−=

(11.37)

De aceea, pentru aplicarea metodei sortării, cu respectarea caracteristicilor iniţiale ale

ajustajului este necesar ca dD TT = sau, în cazul general, n21 T...TT === , situaţie în care:

1 maxk maxn max JJJ ==(11.38)

1 mink minn min JJJ ==

Pentru aceasta se micşorează toleranţele mai mari până la o valoare egală cu cea mai

mică dintre toleranţe.

Un exemplu tipic de aplicare al acestei metode îl constituie lanţul de dimensiuni de la

rulmenţii radiali, la care dimensiunea rezultantă este jocul radial, Figura 11.10, [1], [13].

În general, metoda sortării se aplică eficient în producţia de serie mare şi de masă la

lanţuri de dimensiunicu toleranţe foarte miciale dimensiunilor rezultante. Aplicarea metodei

necesită un control în volum de 100% al dimensiunilor.

Figura 11.10 Lanţul de dimensiuni la rulmentul radial

Figura 11.11 distribuţiile dimensiunilor

Pentru a se putea asambla prin această metodă toate piesele fabricate (să nu rămână

piese desperecheate) este necesar ca toate elementele lanţului să aibă curbe de distribuţie

identice în cadrul toleranţelor economice, astfel încât în grupele de sortare cu acelaşi număr de

ordine să fie acelaşi număr de piese, Figura 11.11.

163

11.5.4 Metoda reglării

Prin aplicarea acestei metode dimensiunile primare ale lanţului se execută cu precizii

convenabile din punct de vedere tehnologic, iar dimensiunea rezultantă se obţine în limitele

prescrise prin modificarea, fără prelucrare, a mărimii unui element numit compensator.

Reglarea se poate efectua în două variante, [1-2], [8-9], [11], [13]:

a) cu compensator fix, Figura 11.12;

b) cu compensator mobil, Figura 11.13.

Figura 11.12 Lanţ de dimensiuni cu compensator fix

Figura 11.13 Lanţ de dimensiuni cu compensator mobil

a) În primul caz, funcţia de compensator fix poate fi îndeplinită fie de piese speciale, fie

de piese ale ansamblului, având dimensiunile în trepte (bucşe, şaibe, garnituri, etc.).

În Figura 11.12 cu ajutorul inelului compensator dimensiunea rezultantă BR este

adusă la o valoare efectivă cuprinsă între limitele prescrise. Reglarea cu ajutorul

compensatoarelor fixe se aplică, de obicei, în producţia individuală şi de serie mică, fiind mai

puţin precisă şi necesitând un volum relativ mare de muncă (montări şi demontări repetate în

vederea obţinerii dimensiunii de închidere între limitele prescrise), [1], [8-9], [13].

b) utilizarea compensatoarelor mobile este mai comodă şi permite realizarea oricărui grad

de precizie a elementului de închidere. Ea conduce însă la complicarea construcţiei

prin introducerea unor elemente suplimentare.

În Figura 11.13 dimensiunea 2A poate fi modificată prin deplasarea axială a bucşei 1

în limitele toleranţei de compensare, după care se face blocarea cu şurubul 2. În acest fel

164

dimensiunea rezultantă AR se obţine în limitele prescrise. Reglarea cu compensator mobilo

poate fi aplicată la lanţuri de dimensiuni cu multe elemente sau de precizie ridicată sau la

lanţuri de dimensiuni la care precizia variază în timp datorită uzurii, vibraţiilor, etc. Atât în

producţia individuală şi de serie mică, cât şi în producţia de serie mare şi de masă, [8-9], [13].

11.5.5 Metoda ajustării

La rezolvarea lanţurilor de dimensiuni prin această metodă, aducerea dimensiunii

rezultante în limitele prescrise se face prin schimbarea valorii uneia din dimansiunile primare

prin prelucrarea suplimnentară (ajustarea) acesteia. Dimensiunile primare ale lanţului se

realizează cu precuzii convenabile din punct de vedere tehnologic, [1], [8], [11], [13].

În Figura 11.14 este prezentat un subansamblu în care brida 1 are rolul de a împiedica

ridicarea saniei 2 la deplasarea acesteia pe ghidajul 3. Dacă dimensiunea rezultantă BR nu

este cuprinsă între valorile prescrise, se pot ivi următoarele două situaţii, rezolvabile prin

ajustarea elementului primar stabilit, [1], [9], [13]:

a) jocul dintre brida 1 şi sania 2 este mai mic decât min BR , caz în care trebuie rectificată

suplimentar suprafaţa M pentru micşorarea dimensiunii primare reducătoare 4B .

b) jocul dintre brida 1 şi sania 2 este mai mare decât max BR , caz în care trebuie rectificată

suuplimentar suprafaţa N pentru micşorarea dimensiunii primare măritoare 2B .

Principalul avantaj al metodei îl constituie posibilitatea realizării, la precizia cerută, a

dimensiunii de închidere în condiţii economice convenabile.

Figura 11.14 Rezolvarea problemei inverse prin metoda ajustării

În schimb, metoda necesită executarea unor prelucrări suplimentare, o înaltă calificare, fapt

care exclude interschimbabilitatea în producţie. Domeniul de utilizare economică a metodei

se limitează la producţia individuală şi de serie mică, [1], [9], [11], [13].

165

11.6 LANŢURI DE DIMENSIUNI CU ELEMENTE DE POZIŢIE ALE

ALEZAJELOR ŞI ARBORILOR

Acestea constituie o aplicaţie a lanţurilor de dimensiuni fiind cazuri particulare care se

preocupă de poziţiile alezajelor şi arborilor, [2-3], [6].

Exemplul 1: Fie două piese1 şi 2 prevăzute cu câte un alezaj de diametru 1D şi 2D

şi un arbore de diamteru d care trece prin acestea, Figura 11.15.

a)

b)

c)

d) e)Figura 11.15 Asamblare cu joc lateral

Dezaxarea între alezajele celor două piese 21 eee += . Conform lanţului de

dimensiuni care se formează, rezultă:

d2

D

2

De

2

d

2

De

2

d

2

De

21

22

11

−+≤⇒

−=

−=

(11.39)

Cum:

166

11 jdD += şi 22 jdD += , (11.40)

rezultă:

d2

jd

2

jde 21 −

++

+≤ , (11.41)

deci:

2

j

2

je 21 +≤ . (11.42)

Exemplul 2: Fie de determinat toleranţa dintre alezajele a două piese, astfel încât să

aibă loc asamblarea cu doi arbori, Figura 11.6, [2-3], [6].

a) b)Figura 11.16 Tolaranţa distanţei dintre alezaje cu dornuri libere

Luându-se distanţele extreme, rezultă:

e4LL min 2max 1 =−(11.43)

e4LL min 1max 2 =− .

Adunând relaţiile de mai sus, rezultă:

( ) ( ) e8LLLL min 2max 2min 1max 1 =−+− , (11.44)

adică:

e8TT21 LL =+ . (11.45)

Pentru LLL TTT21

== , rezultă:

e4TL = (11.46)

167

Cum 2je min= , rezultă:

minL j2T ⋅= (11.47)

Cotarea alezajelor se poate face în lanţ, Figura 11.17a sau în scară, Figura 11.17b,

valarea toleranţei fiind:

a)1n

j2T min

L −⋅

= , (11.48)

b) minL jT = . (11.49)

a) b)Figura 11.17 Cotarea mai multor alezaje:

a) cotarea în lanţ; b) cotarea în trepte.

După cum se observă primul caz este mai avantajos pentru 3n > .

168