57781877 lanturi de tolerante
TRANSCRIPT
11. LANŢURI DE DIMENSIUNI
11.1 GENERALITĂŢI; CLASIFICARE; EXEMPLE
În construcţia de maşini, dimensiunile liniare şi unghiulare determină mărimea, forma
şi poziţia relativă a suprafeţelor, atât în cazul unor piese, cât şi într-un ansamblu. Între
diferitele dimensiuni ale unei piese sau ansamblu există anumite legături, directe şi indirecte,
cu caracter funcţional şi tehnologic, [1-3], [6], [8-9], [13].
Prin lanţ de dimensiuni se înţelege un ansamblu (şir, totalitatea) de dimensiuni liniare
şi/sau unghiulare care leagă între ele elementele unei piese sau ansamblu şi formează un
contur închis.
Un lanţ de dimensiuni este format din dimensiunile primare, care se realizează direct
în procesul tehnologic (la valorile prescrise pe desenele de execuţie) şi din dimensiunea de
închidere, care rezultă indirect (automat la prelucrarea sau asamblarea pieselor). Aceasta din
urmă nu se trece pe desenul de execuţie, [1-2], [13].
În cazul lanţurilor de dimensiuni reprezentate schematic este indicată şi dimensiunea
de închidere R.
Un lanţ de dimensiuni poate avea minim trei dimensiuni: două primera şi una
rezultantă. Ajustajele asamblărilor cilindrice pot fi considerate lanţuri cu trei dimensiuni:
diametrul alezajului şi arborelui fiind dimensiunile primare, iar jocul sau strângerea fiind
dimensiunea rezultantă.
Câteva exemple de lanţuri de dimensiuni sunta date în Figurile 11.1 şi 11.2.
Clasificarea lanţurilor de dimensiuni, [1], [5-6], [8-9], [13]:
1) După apartenenţa la piesă sau ansamblu:
a) ale pieselor;
b) de asamblare
2) După felul dimensiunilor:
a) liniare;
b) unghiulare;
c) mixte.
146
a) b) c)
d) e)Figura 11.1 Lanţuri de dimensiuni cu valori numerice şi cu notaţii convenţionale
a) b) c)
d) e)Figura 11.2 Reprezentarea schematică a lanţurilor de dimensiuni
3) După poziţia în spaţiu:
a) plane
- cu dimensiuni liniare paralele;
- cu dimensiuni liniare neparalele;
b) spaţiale.
147
4) După complexitate:
a) simple;
b) complexe:
- în serie, cu bază de cotare diferită;
- în paralel, cu bază de cotare unică;
- mixte.
5) Dup rolul funcţional:
a) funcţionale;
b) tehnologice.
În cotarea fucţională (întocmită de proiectantul constructiv) dimensiunile sunt, cel mai
adesea, aşezate în serie, astfel încât să corespundă rolului funcţional al piesei, fără a se ţine
seama de complicaţiile tehnologice legate de existenţa bazelor de cotare diferite pentru fiecare
dimensiune. În cotarea tehnologică, prin care se urmăreşte realizarea cât mai uşoară şi ieftină
a dimensiunilor, se aplică principiul numărului minim de baze de cotare şi se încearcă ca
bazele de cotare tehnologice să coincidă cu cele funcţionale, [5].
În teoria şi practica lanţurilor de dimensiuni se deosebesc două probleme principale,
[1], [6], [8-9], [13]:
a) problema directă, prin care cunoscându-se valorile nominale, toleranţele şi abatreile
limită ale dimensiunilor primare se cere determinarea valorii nominale, toleranţei şi
abaterilor limită ale dimensiunii rezultante;
b) problema inversă, prin care cunoscându-se valoarea nominală, toleranţa şi abaterile
limită ale dimensiunii rezultante şi valorile nominale ale dimensiunilor primare se cere
determinarea toleranţelor şi abaterilor limită ale acestora.
11.2 REZOLVAREA PROBLEM DIRECTE A LANŢURILOR DE
DIMENSIUNI PLANE, LINIARE ŞI PARALELE
11.2.1 Metoda de maxim şi de minim
Pentru aplicarea acestei metode este necesar ca dimensiunile primare ale lanţului de
dimensiuni să fie realizate strict între limitele prescrise şi fără nici o sortare, ajustare sau
reglare să se obţină piese şi ansambluri corespunzătoare.
148
Înainte de efectuarea calculelor, trebuie să se stabilească influenţa fiecărei dimensiuni
primare asupra celei rezultante, din acest punct de vedere dimensiunile primare fiind fie
măritoare, când prin mărirea lor individuală provoacă mărirea dimensiunii rezultante, fie
reducătoare, când prin mărire produc micşorarea acesteia,
Exemplu: Fie lanţul de dimensiuni din Figura 11.3.
Figura 11.3 Metoda de maxim şi de minim
Se observă că 32 B ,B ,1B sunt dimensiuni măritoare, iar 5B ,4B sunt dimensiuni
reducătoare.
Deoarece:
B54321 RBBBBB ++=++ , (11.1)
rezultă:
( ) ( )54321B BBBBBR +−++= . (11.2)
Deci, dimensiunea nominală BR a unui element rezultant este egală cu diferenţa
dintre suma dimensiunilor nominale a elementelor măritoare şi suma dimensiunilor nominale
a elementelor reducătoare.
Considerând cazul general, când lanţul de dimensiuni este format dintr-un număr n+1
elemente (n elemente primare şi unul tezultant) şi considerând m elemente măritoare şi n-m
elemente reducătoare, rezultă:
∑ ∑= +=
−=m
1j
n
1mjjjB BBR .
(11.3)
Valorile limită ale elementului rezultant sunt:
149
( ) ( )min min max max max ...... n1mm1B BBBBR ++−++= + , (11.4)
adică:
∑∑+==
−=n
1mjj
m
1jjB BBR min max max . (11.5)
Analog:
∑∑+==
−=n
1mjj
m
1jjB BBR max min min . (11.6)
Cum:
jjj AsBB +=max şi jjj AiBB +=min , (11.7)
atunci:
RBB AsRR +=max şi RBB AiRR +=min , (11.8)
deci:
BBR RRAs −= max şi BBR RRAi −= min . (11.9)
Toleranţa algebrică a elementului rezultant este:
( ) ( ) RRRBRBBBa AiAsAiRAsRRRT −=+−+=−= min max R . (11.10)
Făcând diferenţa dintre dimensiunea rezultantă maximă şi cea minimă şi grupând
convenabil termenii, obţinem:
( ) ( )
( ) ( )min max min max
min max min max min max R
...
...
nn1m1m
mm11BBa
BBBB
BBBBRRT
−++−+
+−++−=−=
++
(11.11)
∑=
=+++++=+
n
1jBBBBBa jn1mm1TTTTTT ......R
Deci:
150
∑=
=n
1jBa jTT R .
(11.12)
Toleranţa algebrică a elementului rezultant este egală cu suma toleranţelor elementelor
primare, deci elementul rezultant este elementul cel mai puţin precis dintr-un lanţ de
dimensiuni. Ca urmare, se recomandă ca lanţul de dimensiuni să aibă un număr cât mai mic
de elemente primare pentru ca dimensiunea rezultantă să nu aibă o toleranţă excesiv de mare
(mai ales dacă are un rol important).
Expresiile stabilite sunt relaţiile fundamentale ale lanţurilor de dimensiuni, respectiv
relaţiile care stau la baza rezolvării problem directe şi inverse a lanţurilor de dimensiuni.
Observaţie: Nu există lanţ de dimensiuni cu toate dimensiunile primare reducătoare (au cel puţin o dimensiune măritoare).
Un exemplu de rezolvare a unui lanţ de dimensiuni, folosind metoda de maxim şi
minim este cel din Figura 11.4.
Figura 11.4 Exemplu de rezolvare a unui lanţ de dimensiuni
[ ]mm 15454020303020R =−−+++= ,
[ ]mm ,,,,,,,,,max 6157843100944839120130929220R =−=−−+++= ,
[ ]mm ,,,,,,,,,min 514185599145939719929829120R =−=−−+++= ,
[ ]mm ,,max 6015615RRAsR =−=−= ,
[ ]mm5015514RRAi R ,,min −=−=−= ,
[ ]mm ,,,minmax 11514615RRTR =−−= ,
( ) [ ]mm ,,, 115060AiAsT RRR =−−=−= ,
[ ]mm ,,,,,,, 11201040201010TT6
1jjR =+++++=∑
=.
Elementul rezultant are forma:6050
AsAi 15R R
R
,,
+−= .
11.2.2 Metoda algebrică
151
În aplicarea acestei metode se are în vedere faptul că într-o sumă sau diferenţă de
mărimi tolerate, fiecare mărime tebuie luată sub formă desfăşurată (valoare nominală şi
abateri limită), după care se adună sau se scad între ele părţile de acelaşi fel. Evident, în cazul
diferenţelor, semnul minus în faţa unei mărimi tolerate schimbă atât semnul valorii nominale
cât şi semnele abaterilor şi, ca urmare,abaterile îşi vor scgimba locurile (abaterea superioară
va deveni inferioară şi invers), [1], [5-6], [8-9], [11], [13].
Pornind de la relaţiile (11.5), (11.6) şi (11.7):
∑∑+==
−=n
1mjj
m
1jjB BBR min max max , (11.5)
∑∑+==
−=n
1mjj
m
1jjB BBR max min min , (11.6)
jjj AsBB +=max şi jjj AiBB +=min , (11.7)
rezultă că:
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]( )
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]n1mm1n1mm1
nn1m1mmm11RBB
AiAiAsAsBBBB
AiBAiBAsBAsBAsRR
++−+++++−++
=++++−++++=+=
++
++
............
11.13
......max
Deci:
∑ ∑∑∑= +=+==
−=−=m
1j
n
1mjjj
n
1mjj
m
1jjB AiAsBBR RAs ; .
(11.14)
Analog, din relaţia lui min BR , rezultă valoarea lui BR şi RAi :
∑ ∑∑∑= +=+==
−=−=m
1j
n
1mjjj
n
1mjj
m
1jjB AsAiBBR RAi ; .
(11.15)
Toleranţa elementului rezultant este dată de aceeaşi relaţie (11.12):
∑=
=−=−=n
1jBRRBBR jTAiAsRRT min max . (11.12)
Se deduc următoarele două reguli:
152
- abaterea superioară a elementului rezultant este egală cu diferenţa dintre suma
algebrică a abaterilor superioare ale elementelor măritoare şi suma algebrică a
abaterilor inferioare ale elementelor reducătoare;
- abaterea inferioară a elementului rezultant este egală cu diferenţa dintre suma
algebrică a abaterilor inferioare ale elementelor măritoare şi suma algebrică a
abaterilor superioare ale elementelor reducătoare.
Observaţie: Această metodă conduce la acelaşi rezultat ca şi metoda de maxim şi de
minim, dar este cea mai simplă şi mai rapidă în aplicare.
11.2.3 Metoda probabilistică
În cadrul acestei metode, valoarea nominală a dimensiunii rezultante se determină ca şi
la metodele precedente. Pentru calculul abaterilor limită şi toleranţei dimensiunii rezultante se
ţine seama de faptul că dimensiunile primare efective sunt mărimi cu caracter întâmplător şi
au distribuţii proprii, [1], [8-9], [11], [13]. Cum dispersia unei sume de mărimi întâmplătoare
este egală cu suma dispersiilor, rezultă:
( ) ( )∑=
=n
1jjB BDRD . (11.16)
Dar cum:
( ) ( )B2
B RRD σ= , (11.17)
rezultă:
( ) ( )∑=
σ=σn
1jj
2B
2 BR , (11.18)
sau:
( ) ( )∑=
σ=σn
1jj
2B BR , (11.19)
în care:
σ - abaterea medie pătratică.
153
Un important parametru statistic este şi abaterea pătratică medie relativă:
2ωσ=λ
, (11.20)
în care:
ω - amplitudinea câmpului de toleranţă ( )minmax xx −=ω .
Pentru legea de distribuţie normală (Gauss), considerată ca etalon T6=ω . Dacă
amplitudinea intervalului de împrăştiere se ia egală cu toleranţa ( )T=ω , atunci 2TT=λ .
Prin urmare, presupunând că distribuţia valorilor efective ale dimensiunilor primare se
conduce după legea Gauss-Laplace, ( )nn11 BBBB 6T6T σ=σ= ,..., , rezultă:
( ) ∑=
=
++
=σ
n
1j
2B
2
B
2
BB j
n1 T61
6
T
6
TR ... , (11.21)
adică:
∑=
=n
1j
2BR jBTT sau ∑
==
n
1j
2jpr TT . (11.22)
Dacă se ţine seama de abaterea distribuţiei valorilor efective ale dimensiunilor primare
de la legea repartiţiei normale, relaţia devine:
∑=
=n
1j
2jDpr TKT , (11.23)
în care:
81K D ,= ÷0,8
∑
∑
=
=
n
1jj
n
1j
2j
T
T
, (11.24)
DK - coeficient de dispersie.
Relaţiile determinate arată că toleranţa dimensiunii rezultante, calculată prin metoda
probabilistică este mai mică decât cea calculată prin metodele precedente, lucru extrem de
important, mai ales la rezolvarea problemei inverse (de proiectare) a lanţurilor de dimensiuni).
154
Abaterile limită probabile (practice) ale dimensiunii rezultante se pot calcula fie în
funcţie de abaterile limită teoretice (algebrice) determinate prin metodele precedente, Figura
11.5, fie în funcţie de abaterea centrală a dimensiunii rezultante, Figura 11.6, (mijlocul
câmpului de toleranţă), [1], [13].
Figura 11.5 Toleranţa teoretică şi toleranţa probabilistică a dimensiunii de închidere
(funcţie de abaterile limită teoretice)
Figura 11.6 Toleranţa teoretică şi toleranţa probabilistică a dimensiunii de închidere
(funcţie de abaterea centrală)
a) În primul caz se poate scrie:
2
TTAi
2
TTAsAs pa
apa
apR R
R R pR R
R R Ai ;−
−=−
+= .
(11.25)
b) În al doilea caz (dacă distribuţiile primare sunt simetrice), abaterile limită probabile ale
dimensiunii rezultante, în funcţie de mijlocul câmpului de toleranţă, sunt:
2
Tx
2
TxAs p
cp
cpR
R R pR
R R Ai ; −=+= .
(11.26)
11.3 REZOLVAREA PROBLEMEI DIRECTE A LANŢURILOR
DE DIMENSIUNI LINIARENEPARALELE
Se face prin aceleaşi metode ca şi în cazul lanţurilor de dimensiuni paralele, [1], [11],
[13].
Fie lanţul de dimensiuni liniare neparalele din Figura 11.7, în care 1L şi 2L sunt
dimensiuni primare, iar LR este dimensiunea rezultantă.
155
Figura 11.7 Lanţ de dimensiuni liniare neparalele
Problema se reduce la rezolvarea unui lanţ de dimensiuni paralele dacă dimensiunile
primare se proiectează pe direcţie dimensiunii de închidere, [1], [13]:
( )α°⋅+α⋅= -90 cos cos 21L LLR . (11.27)
Relaţia arată că valorile nominale şi abaterile dimensiunilor primare nu se transmit
integral dimensiunii rezultante ci într-un raport determinat, în cazul de faţă, de α cos ,
respectiv de ( )α°-90 cos .
Notând cu 1k şi 2k aceste rapoarte, rezultă:
∑=
=+=n
1jjj2211L LkLkLkR (11.28)
Exemplu de rezolvare:
a) prin metoda algebrică:
( ) ( ) ( ) 2211
2211
2
2
1
1a
A skA skA ikA ik2211
A sA i22
A sA i11A iL LkLkLkLkR +
++=+=R a
R
A s,
2211aaa TkTkAiAsT +=−= R R R .
b) prin metoda probabilistică:
2211L LkLkR += ,
2
TxAs pcp
R R R += ;
2
TxAi pcp
R R R −= ; 2 1 R c2c1c xkxkx += ;
22
22
21
21p TkTkT +=R .
156
11.4 REZOLVAREA PROBLEM DIRECTE A LANŢURILOR DE
DIMENSIUNI UNGHIULARE
Se rezolvă, în general, prin aceleaşi metode ca şi lanţurile de dimensiuni liniare, [1],
[11].
Fie, de exemplu, lanţul de dimensiuni din Figura 11.8.
Figura 11.8 Lanţ de dimensiuni unghiulare
a) prin metoda de maxim şi de minim:
321R α−α−α=α ,
min min max max 321R α−α−α=α ,
max max min min 321R α−α−α=α ,
ααα −= RRAs max R ,
ααα −= RRAi min R ,
R R R ααα −= AiAsT ,
3 2 1 R αααα ++= TTTT (verificare).
b) prin metoda algebrică:
( ) 321
321
A sA sA sA iA iA i321A iR −−
−−++α α−α−α=α
α
R
R
A s,
3 2 1 R αααα ++= TTTT (verificare).
c) prin metoda probabilistică:
321R α−α−α=α ,
2
TxAs pcp
α
α+= R
r R ; 2
TxAi pcp
α
α−= R
r R ; 321 R ααα −−=
ε cccc xxxx ;
222p 321
TTTT ααα ++=αR .
157
Observaţie: Pentru dimensiunile unghiulare primare şi pentru cea rezultantă se
consideră distribuţia normală şi asimetria zero.
11.5 REZOLVAREA PROBLEM INVERSE A LANŢURILOR
DE DIMENSIUNI
Problema inversă a lanţurilor de dimensiuni, denumită şi problema de proiectare,
este în acelaşi timp şi o problemă tehnologică care trebuie rezolvată corespunzător cu
condiţiile concrete de realizare a pieselor şi produselor în industria constructoare de maşini,
[1], [13].
În rezolvarea problemei inverse a lanţurilor de dimensiuni se pot întrebuinţa mai multe
metode: metoda toleranţei medii, metoda determinării precizie lanţului, metoda sortării pe
grupe de dimensiuni, metoda reglării şi metoda ajustării.
11.5.1 Metoda toleranţei medii
În cadul acestei metode se cere să se determine toleranţele şi abaterile limită ale
dimensiunilor primare astfel încât, prin asamblarea neselectivă a pieselor componente,
dimensiunea rezultantă să aibă valori între limitele prescrise, [1], [9], [13].
a) varianta algebrică
Iniţial se presupun toleranţele dimensiunilor primare egale între ele:
man21 TTTT ==== ... , ( maT - toleranţa medie algebrică).
Din relaţia: ∑=
=n
1jjR TT , rezultă: maR TnT ⋅= , deci:
nT
T Rma = (11.29)
Această toleranţă poate fi considerată doar ca o valoare orientativă şi, în consecinţă,
pentru fiecare dimensiune primară, în funcţie de mărimea ei, de importanţa şi mai ales de
158
dificultăţile tehnologice de realizare, se stabileşte o toleranţă corespunzătoare, mai mare, egală
sau mai mică, cu condiţia respectării relaţiei: ∑=
=n
1jjR TT .
În ceea ce priveşte valorile abaterilor limită, respectiv poziţiile toleranţelor faţă de
dimensiunile nominale, se recomandă următoarea soluţie, [1], [13]:
- pentru toleranţele dimensiunilor primare măritoare se stabileşte o poziţie identică
cu cea a toleranţei dimensiunii rezultante (în aceeaşi proporţie deasupra,
dedesubtul sau de o parte şi de alta a liniei zero);
- pentru toleranţele dimensiunilor primare reducătoare se stabileşte o poziţie inversă
poziţiei toleranţei elementului rezultant.
De menţionat că toleranţele pot avea şi alte poziţii, dacă pornind de la soluţia de mai
sus, abaterile limită se micşorează sau se măresc, cu aceeaşi valoare şi în acelaşi sens, atât la
dimensiunile măritoare, cât şi la cele reducătoare.
b) varianta probabilistică
Iniţial se presupun toleranţele dimensiunilor primare egale între ele:
mpn21 TTTT ==== ... , ( mpT - toleranţa medie probabilistică).
Din relaţia: ∑=
=n
1j
2jR TT , rezultă: mpR TnT = , deci:
n
TT Rmp = (11.30)
Întrucât:
nT
Tn
TT R
maR
mp =>= , (11.31)
rezultă că rezolvarea probabilistică este evident mai convenabilă din punct de vedere
tehnologic, dar poate fi aplicată numai dacă procesul tehnologic de realizare a dimensiunilor
primare este bine pus la punct (stabil ca reglaj şi stabil ca precizie). Valorile abaterilor limită
se determină ca la varianta algebrică.
Metoda toleranţei medii se poate aplica cu mare uşurinţă şi rapiditate în producţia de
serie mare şi de masă, [1], [13].
159
11.5.2 Metoda determinării preciziei lanţului
O metodă asemănătoare cu cea a toleranţei medii este metoda determinării precizie
lanţului, metodă la care, spre deosebire de cea a toleranţei medii la care se pleacă de la
considerentul că toate dimensiunile primare au toleranţe egale, se admite iniţial că toate
dimensiunile primare au aceeaşi precizie (sunt executate în aceeaşi treaptă de precizie).
În cazul acestei metode se face o analogie cu asamblările pieselor lise cilindrice. Se
porneşte de la relaţia:
iaT ⋅= (1.2)
în care:
a – coeficientul clasei de precizie (numărul unităţilor de toleranţă);
i – unitatea de toleranţă, [ ]mµ .
În cazul lanţurilor de dimensiuni, coeficientul a reprezintă numărul de unităţi de
toleranţă care caracterizează precizia lanţului, [13].
a) varianta algebrică:
Dacă: j
n
1jj
n
1jjR iaTT ⋅== ∑∑
==, rezultă: nn11R ia...iaT ++= .
Dacă se pune condiţia ca toate dimensiunile să aparţină aceleiaşi clase de precizie,
an21 aa...aa ==== , rezultă: ( ) ∑=
=+++=n
1jjan21aR iai...iiaT .
Deci:
∑=
=n
1jj
Ra
i
Ta
(11.32)
b) varianta probabilistică:
Dacă: ∑=
=n
1j
2jR TT , rezultă: 2
n2n
22
22
21
21R ia...iaiaT +++= .
Dacă se pune condiţia ca toate dimensiunile să aparţină aceleiaşi clase de precizie,
pn21 aa...aa ==== , rezultă: ∑=
=n
1j
2jpR iaT .
Deci:
160
∑=
=n
1j
2j
Rp
i
Ta
(11.33)
Evident:
∑=
=n
1j
2j
Rp
i
Ta
> ∑=
=n
1jj
Ra
i
Ta
(11.34)
Observaţii:
1. Unitatea de toleranţă, i se determină cu relaţia D001,0D45,0i 3 += , în care D
reprezintă media geometrică a limitelor intervalului de dimensiuni din care face parte
dimensiunea considerată.
2. Deşi în calculele efectuate s-a considerat că toate dimensiunile primare au aceeaşi
precizie, se admite ca toleranţele dimensionale mai dificile din punct de vedere
tehnologic să fie mărite cu o treaptă de precizie, iar toleranţele dimensiunilor fără
probleme din punct de vedere tehnologic să fie micşorate cu o treaptă. Astfel,
rezolvarea lanţurilor de dimensiuni devine mult mai economică.
3. Pe baza numărului a calculat se adoptă aa imediat superior din STAS, treapta de
precizie care corespunde acestui număr şi toleranţele dimensiunilor primare.
4. Abaterile limită se determină cu regula cunoscută de la metoda anterioară.
Metoda se aplică în producţia de serie mare şi de masă, în condiţiile
interschimbabilităţii totale, când asamblarea pieselor componente se face fără nici o selecţie
prealabilă, [11], [13].
11.5.3 Metoda sortării pe grupe de dimensiuni
Prin această metodă se înlătură inconvenientele metodelor anterioare, întrucât se
lucrează cu toleranţe economice, din acest motiv metoda fiind recomandată atunci când
toleranţa dimensiunii rezultante este mică sau foarte mică, astfel încât toleranţele elementelor
primare sunt extrem de mici sau imposibil de realizat, [1-2], [8-9], [11], [13].
Pentru prezentarea metodei se consideră un ajustaj cu joc, în care caz diamtrul
alezajului şi arborelui sunt dimensiuni primare, iar jocul dimensiunea rezultantă, Figura 11.9.
161
Figura 11.9 Metoda sortării pe grupe de dimensiuni
Pentru prelucrarea pieselor cu toleranţe economice se majorează toleranţele de
execuţie ale elementelor lanţului de n ori. Se sortează (prin măsurare) elementele pe n grupe
de dimensiuni, astfel încât, în cadrul fiecăreia din cele n grupe, câmpul de dispersie să fie egal
cu toleranţa prescrisă şi se asamblează elementele din aceeaşi grupă de sortare. Noile
toleranţe de execuţie vor fi: DD TnT ⋅=′ şi dd TnT ⋅=′ .
Se pune problema determinării legăturii care există între jocurile limită pentru o grupă
oarecare k în comparaţie cu grupa 1:
( ) ( ) ( )( )dD1 maxdD1 maxk max TT1kJT1kT1kJJ +−+=−−−+=(11.35)
( ) ( ) ( )( )dD1 mindD1 mink min TT1kJT1kT1kJJ +−+=−−−+=
Numărul grupelor de sortare se determină în funcţie de mărimea toleranţelor prescrise
şi de precizia economică de prelucrare a pieselor.
Se observă că toleranţa jocului pentru oricare grupă rămâne constantă:
dD1 min1 maxk mink maxk j TTJJJJT +=−=−= . (11.36)
În schimb, valorile jocurilor limită vor diferi de la o grupă la alta dacă dD TT = , iar
ajustajul îşi poate schimba caracterul dacă difere nţe dD TT − sau numărul grupelor de
sortare sunt prea mari, ceea ce din punct de vedere funcţional nu este admis.
Într-adevăr pentru dD TT > valoarea jocurilor creşte cu numărul de ordine al grupei
de sortare, iar pentru dD TT < aceasta scade. De asemenea, toleranţa totală (integrală)a
162
ajustajului este cu atât mai mare faţă de cea prescrisă iniţial cu cât numărul n al grupelor de
sortare şi diferenţa dD TT − sunt mai mari.
Pentru cazul din figură, toleranţa jocului total:
( ) ( ) ( )( )
( )( )dDdD
1 mindD1 max1 minn maxminminmaxmax totalj
TT1nTT
JTT1nJJJJJT
−−++=
=−−−−=−=−=
(11.37)
De aceea, pentru aplicarea metodei sortării, cu respectarea caracteristicilor iniţiale ale
ajustajului este necesar ca dD TT = sau, în cazul general, n21 T...TT === , situaţie în care:
1 maxk maxn max JJJ ==(11.38)
1 mink minn min JJJ ==
Pentru aceasta se micşorează toleranţele mai mari până la o valoare egală cu cea mai
mică dintre toleranţe.
Un exemplu tipic de aplicare al acestei metode îl constituie lanţul de dimensiuni de la
rulmenţii radiali, la care dimensiunea rezultantă este jocul radial, Figura 11.10, [1], [13].
În general, metoda sortării se aplică eficient în producţia de serie mare şi de masă la
lanţuri de dimensiunicu toleranţe foarte miciale dimensiunilor rezultante. Aplicarea metodei
necesită un control în volum de 100% al dimensiunilor.
Figura 11.10 Lanţul de dimensiuni la rulmentul radial
Figura 11.11 distribuţiile dimensiunilor
Pentru a se putea asambla prin această metodă toate piesele fabricate (să nu rămână
piese desperecheate) este necesar ca toate elementele lanţului să aibă curbe de distribuţie
identice în cadrul toleranţelor economice, astfel încât în grupele de sortare cu acelaşi număr de
ordine să fie acelaşi număr de piese, Figura 11.11.
163
11.5.4 Metoda reglării
Prin aplicarea acestei metode dimensiunile primare ale lanţului se execută cu precizii
convenabile din punct de vedere tehnologic, iar dimensiunea rezultantă se obţine în limitele
prescrise prin modificarea, fără prelucrare, a mărimii unui element numit compensator.
Reglarea se poate efectua în două variante, [1-2], [8-9], [11], [13]:
a) cu compensator fix, Figura 11.12;
b) cu compensator mobil, Figura 11.13.
Figura 11.12 Lanţ de dimensiuni cu compensator fix
Figura 11.13 Lanţ de dimensiuni cu compensator mobil
a) În primul caz, funcţia de compensator fix poate fi îndeplinită fie de piese speciale, fie
de piese ale ansamblului, având dimensiunile în trepte (bucşe, şaibe, garnituri, etc.).
În Figura 11.12 cu ajutorul inelului compensator dimensiunea rezultantă BR este
adusă la o valoare efectivă cuprinsă între limitele prescrise. Reglarea cu ajutorul
compensatoarelor fixe se aplică, de obicei, în producţia individuală şi de serie mică, fiind mai
puţin precisă şi necesitând un volum relativ mare de muncă (montări şi demontări repetate în
vederea obţinerii dimensiunii de închidere între limitele prescrise), [1], [8-9], [13].
b) utilizarea compensatoarelor mobile este mai comodă şi permite realizarea oricărui grad
de precizie a elementului de închidere. Ea conduce însă la complicarea construcţiei
prin introducerea unor elemente suplimentare.
În Figura 11.13 dimensiunea 2A poate fi modificată prin deplasarea axială a bucşei 1
în limitele toleranţei de compensare, după care se face blocarea cu şurubul 2. În acest fel
164
dimensiunea rezultantă AR se obţine în limitele prescrise. Reglarea cu compensator mobilo
poate fi aplicată la lanţuri de dimensiuni cu multe elemente sau de precizie ridicată sau la
lanţuri de dimensiuni la care precizia variază în timp datorită uzurii, vibraţiilor, etc. Atât în
producţia individuală şi de serie mică, cât şi în producţia de serie mare şi de masă, [8-9], [13].
11.5.5 Metoda ajustării
La rezolvarea lanţurilor de dimensiuni prin această metodă, aducerea dimensiunii
rezultante în limitele prescrise se face prin schimbarea valorii uneia din dimansiunile primare
prin prelucrarea suplimnentară (ajustarea) acesteia. Dimensiunile primare ale lanţului se
realizează cu precuzii convenabile din punct de vedere tehnologic, [1], [8], [11], [13].
În Figura 11.14 este prezentat un subansamblu în care brida 1 are rolul de a împiedica
ridicarea saniei 2 la deplasarea acesteia pe ghidajul 3. Dacă dimensiunea rezultantă BR nu
este cuprinsă între valorile prescrise, se pot ivi următoarele două situaţii, rezolvabile prin
ajustarea elementului primar stabilit, [1], [9], [13]:
a) jocul dintre brida 1 şi sania 2 este mai mic decât min BR , caz în care trebuie rectificată
suplimentar suprafaţa M pentru micşorarea dimensiunii primare reducătoare 4B .
b) jocul dintre brida 1 şi sania 2 este mai mare decât max BR , caz în care trebuie rectificată
suuplimentar suprafaţa N pentru micşorarea dimensiunii primare măritoare 2B .
Principalul avantaj al metodei îl constituie posibilitatea realizării, la precizia cerută, a
dimensiunii de închidere în condiţii economice convenabile.
Figura 11.14 Rezolvarea problemei inverse prin metoda ajustării
În schimb, metoda necesită executarea unor prelucrări suplimentare, o înaltă calificare, fapt
care exclude interschimbabilitatea în producţie. Domeniul de utilizare economică a metodei
se limitează la producţia individuală şi de serie mică, [1], [9], [11], [13].
165
11.6 LANŢURI DE DIMENSIUNI CU ELEMENTE DE POZIŢIE ALE
ALEZAJELOR ŞI ARBORILOR
Acestea constituie o aplicaţie a lanţurilor de dimensiuni fiind cazuri particulare care se
preocupă de poziţiile alezajelor şi arborilor, [2-3], [6].
Exemplul 1: Fie două piese1 şi 2 prevăzute cu câte un alezaj de diametru 1D şi 2D
şi un arbore de diamteru d care trece prin acestea, Figura 11.15.
a)
b)
c)
d) e)Figura 11.15 Asamblare cu joc lateral
Dezaxarea între alezajele celor două piese 21 eee += . Conform lanţului de
dimensiuni care se formează, rezultă:
d2
D
2
De
2
d
2
De
2
d
2
De
21
22
11
−+≤⇒
−=
−=
(11.39)
Cum:
166
11 jdD += şi 22 jdD += , (11.40)
rezultă:
d2
jd
2
jde 21 −
++
+≤ , (11.41)
deci:
2
j
2
je 21 +≤ . (11.42)
Exemplul 2: Fie de determinat toleranţa dintre alezajele a două piese, astfel încât să
aibă loc asamblarea cu doi arbori, Figura 11.6, [2-3], [6].
a) b)Figura 11.16 Tolaranţa distanţei dintre alezaje cu dornuri libere
Luându-se distanţele extreme, rezultă:
e4LL min 2max 1 =−(11.43)
e4LL min 1max 2 =− .
Adunând relaţiile de mai sus, rezultă:
( ) ( ) e8LLLL min 2max 2min 1max 1 =−+− , (11.44)
adică:
e8TT21 LL =+ . (11.45)
Pentru LLL TTT21
== , rezultă:
e4TL = (11.46)
167
Cum 2je min= , rezultă:
minL j2T ⋅= (11.47)
Cotarea alezajelor se poate face în lanţ, Figura 11.17a sau în scară, Figura 11.17b,
valarea toleranţei fiind:
a)1n
j2T min
L −⋅
= , (11.48)
b) minL jT = . (11.49)
a) b)Figura 11.17 Cotarea mai multor alezaje:
a) cotarea în lanţ; b) cotarea în trepte.
După cum se observă primul caz este mai avantajos pentru 3n > .
168