lab.ps-pachet_fft-l1.pdf
DESCRIPTION
JJTRANSCRIPT
-
Dan Dan tefnoiutefnoiuPProfesorrofesor
PrelucrareaPrelucrarea SemnalelorSemnalelor
LucrriLucrri de de laboratorlaborator
UniversitateaUniversitatea Politehnica din Politehnica din BucuretiBucuretiFacultateaFacultatea de de AutomaticAutomatic & & CalculatoareCalculatoare
[email protected]@acse.pub.ro
http://http://acs.curs.pub.roacs.curs.pub.ro//
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9-20
0
20
40
S
p
e
c
t
r
u
[
d
B
]
Spectrul [seriei de t imp] [zgomotui colorat] evaluat cu Algoritmul [Goertzel] [FFT- timp] [FFT-frecventa]
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9-20
0
20
40
S
p
e
c
t
r
u
[
d
B
]
Spectrul semnalului evaluat cu funct ia FFT din MATLAB
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9-202468
x 10-1 0
Frecventa normalizata
E
r
o
a
r
e
[
d
B
]
Eroarea spectrala
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9-20
0
20
40
S
p
e
c
t
r
u
[
d
B
]
Spectrul [seriei de t imp] [zgomotui colorat] evaluat cu Algoritmul [Goertzel] [FFT- timp] [FFT-frecventa]
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9-20
0
20
40
S
p
e
c
t
r
u
[
d
B
]
Spectrul semnalului evaluat cu funct ia FFT din MATLAB
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9-202468
x 10-1 0
Frecventa normalizata
E
r
o
a
r
e
[
d
B
]
Eroarea spectrala
abs(fft(xabs(fft(x))))[dB][dB]
http://ro.linkedin.com/pub/http://ro.linkedin.com/pub/dandan--stefanoiu/30/bb/617stefanoiu/30/bb/617
-
SumarSumar
qq AlgoritmulAlgoritmul FFT FFT bazatbazat pepe segmentareasegmentarea semnaluluisemnalului nn timptimp
rr AlgoritmulAlgoritmul FFT FFT bazatbazat pepe segmentareasegmentarea semnaluluisemnalului nn frecvenfrecven
BibliografieBibliografie
nn NotaiiNotaii i i conveniiconvenii
pp AlgoritmulAlgoritmul luilui GoertzelGoertzel
oo ObiectivulObiectivul lucrrilorlucrrilor de de laboratorlaborator
))nn NotaiiNotaii i i conveniiconvenii
))
))
oo ObiectivulObiectivul lucrrilorlucrrilor de de laboratorlaborator
pp AlgoritmulAlgoritmul luilui GoertzelGoertzel
ss Date de Date de intrareintrare, , prezentareaprezentarea rezultatelorrezultatelor i i punctajepunctaje
BibliografieBibliografie))
1
-
1. Oppenheim A.V., Schafer R. Digital Signal Processing, Prentice Hall, NJ, USA, 1985. 2. Proakis J.G., Manolakis D.G. Digital Signal Processing Principles, Algorithms and
Applications, Prentice Hall, NJ, USA, 1996. 3. Stnil O., Stanomir D. Metode matematice n Teoria Semnalelor, Editura Tehnic,
1980. 4. tefnoiu D. Introducere n Prelucrarea Numeric a Semnalelor, Tipografia
Universitii Politehnica din Bucureti, 1996. 5. tefnoiu D. Tehnici de calcul n Prelucrarea Numeric a Semnalelor, Tipografia
Universitii Politehnica din Bucureti, 1996.
BibliografieBibliografie
Curs, Examen,
Lucrri de laborator
Curs, Curs, ExamenExamen, ,
LucrriLucrri de de laboratorlaborator
Curs & ExamenCurs & Curs & ExamenExamen
2
-
nn NotaiiNotaii ii conveniiconvenii 1q Operatorul de ntrziere cu un pas.OperatorulOperatorul de de ntrzierentrziere cu un pas.cu un pas. N Numrul de eantioane ale semnalului
(i ale Transformatei Fourier Discrete (TFD) asociate).NumrulNumrul de de eantioaneeantioane ale ale semnaluluisemnalului(i ale (i ale TransformateiTransformatei Fourier DiscreteFourier Discrete (TFD) (TFD) asociateasociate).).
LN 2= (de (de regulregul))
nn cazcaz contrarcontrar::CompletareCompletare cu cu zerourizerouri sausautrunchieretrunchiere pnapna la prima la prima putereputere a a luilui 2 , 2 , superioarsuperioar, , respectivrespectiv inferioarinferioar luilui NN..
x Secvena discret de semnal ce trebuie analizat.SecvenaSecvena discretdiscret de de semnalsemnal cece trebuietrebuie analizatanalizat.. ( )1,0 = NxSupp X Transformata Fourier Discret asociat lui x.TransformataTransformata Fourier Fourier DiscretDiscret asociatasociat luilui x.. ( )1,0 = NXSupp
Nk
Nkew N
kdefkN
2sin2cos2
jj ==
0u Treapta unitar discret.TreaptaTreapta unitarunitar discretdiscret..
===
},2,,0{,0},2,,0{,1
][
NNNkNNNk
kdef
N ZZ
Z
Impulsul unitar periodic.ImpulsulImpulsul unitarunitar periodic.periodic.
Armonic elementar.ArmonicArmonic elementarelementar..
P
r
o
p
r
i
e
t
i
P
r
o
p
r
i
e
t
i
PeriodicitatePeriodicitate:: ;NkNkN ww
= SimetrieSimetrie::
knN
nNkN ww = )(
knN
nNkN ww =+ )(
GenerareaGenerarea impulsuluiimpulsului unitarunitar periodic:periodic:
][1
0
1
0
kNww NN
n
knN
N
n
knN Z==
=
= Z nk,** minusminus 3
-
oo ObiectivulObiectivul lucrrilorlucrrilor de de laboratorlaboratorImplementareaImplementarea unorunor algoritmialgoritmi eficienieficieni de de calculcalcul pentrupentru urmtoareleurmtoareleformuleformule dualeduale de de analizanaliz--sintezsintez din din PrelucrareaPrelucrarea SemnalelorSemnalelor::
))
1,0,][][1
0
= =
NkwnxkXN
n
nkN
defAnaliz(TFD)
AnalizAnaliz(TFD)(TFD)
Sintez(ITFD)
SintezSintez(ITFD)(ITFD)
1,0,][1][1
0
= =
NnwkXN
nxN
k
knN
Observaii:ObservaiiObservaii::
Se Se poatepoate artaarta cc, , pentrupentru a a calculacalcula ITFD, ITFD, esteeste suficientsuficient ss se se utilizezeutilizezedefiniiadefiniia TFD.TFD.
Se Se poatepoate verificaverifica uor uor cc: : ITFD(TFD(ITFD(TFD(xx)) )) xx..
NumrulNumrul de de operaiioperaii necesarenecesare calcululuicalculului nn implementareaimplementarea directdirect a TFD:a TFD:
[ ] [ ] 220 4~)12(24][ NNNNN ++=Onumrulnumrul de de
nmulirinmuliri realerealenumrulnumrul de de
adunriadunri realereale
((pentrupentru xx = = secvensecven discretdiscret complexcomplex, de , de duratdurat N)N)
Reducerea numrului de operaii folosind proprietilearmonicelor elementare.
ReducereaReducerea numruluinumrului de de operaiioperaii folosindfolosind proprietileproprietilearmonicelorarmonicelor elementareelementare..
4
-
pp AlgoritmulAlgoritmul luilui GoertzelGoertzelpp..nn Prima Prima variantvariant de de calculcalcul a TFDa TFD
Exprimare echivalent a TFDExprimareExprimare echivalentechivalent a TFDa TFD 1,0,][][1
0
)( = =
NkwnxkXN
n
nNkN
=
1,0
1
Nk
wkNN
sumsum de de convoluieconvoluieIeIeireairea la la momentulmomentul NN
a a unuiunui sistemsistem liniarliniar
khx kkhxy 1,0,][][][][
1
0
)(
0
== =
NpwnxnphnxpyN
n
npkN
nkk
1,0],[][ = NkNykX k
( )1,0 = NxSupp
Z= ppuwph kpNdef
k ,][][ 0
Funcia de transfer a sistemului
FunciaFuncia de transfer de transfer a a sistemuluisistemului
( ) 1,0,1
1][)( 10
1
0
===
NkzwzwzphzH kNp
pkN
p
pk
def
k
1>zZ= nnxnywny kkNk ],[]1[][
TeoremaTeorema ntntrzieriirzierii
))(())(( 11 zfqzfz =ZZ
Ecuaia recursiv a TFDEcuaiaEcuaia recursivrecursiv a TFDa TFD
==+=
+==
][]1[][]1[][
]1[]0[]1[]0[]0[
kXNywNxNywNy
xywyxy
kkNk
kNk
kkNk
k
# 1,0 Nk
periodicitateperiodicitate
5
Ecuaia recursiv a ieiriiEcuaiaEcuaia recursivrecursiv a a ieiriiieirii
-
pp AlgoritmulAlgoritmul luilui GoertzelGoertzelpp..oo A A douadoua variantvariant de de calculcalcul a TFD (a TFD (mbuntitmbuntit))
Exprimare echivalent ecuaiei recursive anterioareExprimareExprimare echivalentechivalent ecuaieiecuaiei recursive recursive anterioareanterioare
( ) 1,0,,0],[][1 1 = NkNnnxnyqw kkNnmulirenmulire foratforat cu cu ( )11 qwkN
( ) 1,0,,0],[1][2cos21 121 = + NkNnnxqwnyqqNk kNk
1,0,,0],1[][]2[2cos]1[2][ += NkNnnxwnxnyNknyny kNkkk
Schema de calculSchema de Schema de calculcalcul
1qkNw
1qNk2cos2
11q
x ky
IniializareIniializareIniializare
1,0
0]2[]1[
==
Nk
yy kk
6
-
pp AlgoritmulAlgoritmul luilui GoertzelGoertzelpp..pp VariantaVarianta eficienteficient de de calculcalcul a TFDa TFD
Schema anterioar de calcul se poate transforma echivalent, folosind Teorema lui TELLEGEN.Schema Schema anterioaranterioar de de calculcalcul se se poatepoate transformatransforma echivalentechivalent, , folosindfolosind TeoremaTeorema luilui TELLEGENTELLEGEN..
1qkNw
1qNk2cos2
11q
x ky Algoritmul lui GoertzelAlgoritmulAlgoritmul luilui GoertzelGoertzel
=
+=
==
]2[]1[2cos2][
][]2[]1[2cos2][
0]1[]2[
NvNvNkNv
nxnvnvNknv
vv
kkk
kkk
kk
#
#
]1[][][][ == NvwNvNykX kkNkk1,0 Nk
Numr de operaiiNumrNumr de de operaiioperaii
[ ] 21 ~)1(4)52(21][ NNNNNN +++
+
=O
** de 4 de 4 oriori maimai micmic
7
1qNk2cos2
11q
ky
kNw
x kv
Prelucrarea Semnalelor Lucrri de laborator SumarBibliografie Notaii i convenii Obiectivul lucrrilor de laborator Algoritmul lui Goertzel Algoritmul lui Goertzel Algoritmul lui Goertzel