Întrebări si răspunsuri MS

1. Sisteme si procese. Noţiunea de model matematic. Prin sistem întelegem o structura fizica (un reactor chimic, masina electrica, un amplificator electronic, atmosfera Pamantului societatea omeneasca, economia unei tari, etc.) in cadrul careia se desfasoara un anumit proces în conformitate cu legitatile careguverneaza. De regula legile care guverneaza desfasurarea proceselor sunt legile generale ale naturii, însotite în cazuri speciale (cum ar fi: functionarea economiei unei tari) de protocoale, conventii, reglementari.Procesul se defineste ca o succesiune de operatii care au loc într-o anumitaordine într-o structura fizică în conformitate cu legile generalale naturii. Deorece un proces nu poate să se desfăşoare decât în cadrul unei structuri fizice, putem spune în consecinţă că, modelul este în egală măsură atât al sistemului cât şi al procesului cu precizarea că atunci când vorbim de modelul unui sistem înţelegem o structură fizică în care se desfăşoară un proces. Remarcăm faptul că sistemul ca structură fizică în care se desfăşoară procesul îşi pune amprenta în mod esenţial asupra procesului. De exemplu, să presupunem că avem de reacţionat două substanţe. Reacţia dintre ele poate fi realizată practic sau teoretic într-o infinitate de structuri fizice numite reactoare chimice. Este evident că reacţia dintre aceste două substanţe are loc diferit de la o structură fizică de reactor la alta. Este adevărat că în aceeaşi structură fizică pot avea loc procese diferite dacă condiţiile se schimbă (condiţiile de presiune, temperatură,natura fizică a substanţei).Datorită tuturor acestor motive este necesar ca modelul să se elaboreze pentru fieccare caz concret în parte.

Noţiunea de model matematicÎn general procesele care se desfăşoară în sistemele concepute şi realizate de om trebuie să fie conduse în scopul realizării unor obiective precise (de exemplu în cazul reactorului chimic în care reacţionează doi componenţi, în scopul realizării unui anumit produs, cu anumite caracteristici fizico - chimice). Pentru a putea realiza conducerea procesului este necesar să cunoaştem desfăşurarea cantitativă a acestuia. Cu alte cuvinte, să cunoaştem descrierea sa matematică, să putem exprima printr-o relaţie matematică legătura cantitativă dintre mărimile procesului. Deoarece, orice proces se desfăşoară într-un sistem fizic, descrierea matematică a procesului caracterizează în egală măsură şi sistemul.În consecinţă putem spune că modelul matematic al unui process sau sistem este reprezentat de o mulţime de relaţii matematice care exprimă legătura cantitativă dintre mărimile procesului. Aşa după cum se cunoaşte de la teoria sistemelor, sistemele sunt caracterizate de aşa numitele variabile terminale. Acestea se împart în două categorii: variabile de intrare şi variabile de ieşire. Modelul matematic stabileşte de regulă legătura dintre variabilele terminale (împărţirea variabilelor în cele două categorii se facprin orientarea cauzală a modelului).

2. Metode de elaborare a modelelor matematice În conformitate cu cele discutate mai înainte construirea unui model matematic implică utilizarea expresiilor matematice ale legilor generale ale naturii. Prin urmare, cel puţin în principiu, elaborarea unui model matematic ar trebui să fie foarte simplă: analizăm caracterul proceselor care se desfăşoară în sistem, stabilim care sunt acele leg. generale ale naturii care le guvernează şi scriem expresiile matematice al acestora. Mulţimea de relaţii matematice astfel obţinute ar representa modelul matematic. Din păcate lucrurile nu sunt aşa de simple deoarec structurile fizice au în majoritatea cazurilor forme complicate şi implică procesele care se desfăşoară în ele nu pot fi descrise cu precizie în profunzime utilizând expresiile matematice ale legilor naturii. Să considerăm exemplul unui supraâncălzitor de abur (fig. 1.1). Fluxul de căldură transmis peretelui este dat de următoarea relaţie

Determinarea coeficientului hgp numit coeficient de transfer de căldură prin suprafaţa de contact este o problemă foarte complicată. Acel coeficient nu poate fi determinat prin metode teoretice. De asemenea, datorită complexităţii proceselor şi sistemelor în foarte multe situaţii structura matematică a modelelor este foarte complicată, atât de complicată încât nu poate fi utilizată în rezolvare problemelor de analiză sau de sinteză, în special atunci când este vorba de problemele de conducere automată. O soluţie radicală a unor astfel de situaţii constă în abordarea problemei elaborării modelului matematic ca o relaţie cu structură prestabilit ai cărei coeficienţi să fie determinaţi în baza valorilordeterminate experimental ale mărimilor de intrare şi de ieşire. Această abordare poartă denumirea de abordarea black box.

Presupunând că acest sistem este descris de un model cu o anumită structură, coeficienţii modelului se determină utilizând valorile determinate experimental. Rezultă, prin urmare că metodele cu ajutorul cărora se pot elabora modelele matematice ale proceselor se împart în două categorii1. metodele analizei teoretice - sunt acele metode care folosesc în acest scop expresiile matematice ale legilor generale ale naturii.2. metodele analizei experimentale - sunt acele metode care folosesc pentru stabilirea modelelor matematice numai valorile experimentale ale mărimilor de intrare şi de ieşire ale procesului.

3. Clasificarea modelelor 1. După caracterul relaţiei intrare - iesire modelele matematice se clasifică în două mari categorii: - Modele fără memorie - acele modele la care mărimile de ieşire la un moment de timp oarecare depind numai de mărimile de intrare la acelaşi moment de timp. Prin urmare aceste modele sunt reprezentate de expresii algebrice.

În general un sistem în evoluţia sa parcurge regimuri tranzitorii care despart regimuri staţionare (ca în fig. 1.3).

Obiectele fără memorie sunt caracterizate de regimuri tranzitorii de durată nulă. Altfel spus, aceste modele se află într-un permanent regim staţionar. Acesta este motivul pentru care modelele fără memorie se mai numesc modele staţionare. Modelele cu memorie sunt acele modele la care mărimea de ieşire depinde în mod esenţial de istoria evoluţiei anterioare. În cazul modelelor cu memorie descrierile matematice vor fi reprezentate de ecuaţii diferenţiale, integro-diferenţiale sau ecuaţii cu diferenţe. Deoarece în cazul acestor modele regimul tranzitoriu are o duratfinită şi cum regimul tranzitoriu impune o mişcare, înseamnă că aceste modele se pot numi modele dinamice. Modelele dinamice includ regimurile staţionare ca nişte cazuri particulare. Dacă modelul dinamic al unui proces este descris de x= f(x(t),u(t)) (1.2) regimul staţionar înseamnă f(x0,u0) = 0 (1.3)2. După numărul parametrilor - modele parametrice - modele pentru a căror caracterizare est necesar şi suficient un număr finit de parametri (ecuaţiile diferenţiale ecuaţiile cu diferenţe, funcţia de transfer)

- modele neparametrice - modelele pentru a căror caracterizare completă este necesar un număr infinit de parametri. Modelele neparametrice sunt infinit dimensionale.

Exemplu: caracteristicile de frecvenţă, răspunsul la impuls (funcţia pondere), funcţia indicială.

Observaţie: De obicei printr-o trunchiere corespunzătoare modelele neparametrice pot fi transformate în modele parametrice (limitări de număr de parametri la valori finite).3. După caracterul operaţiilor implicate de structura modelului (operaţiile pot să aibă fie caracter liniar, fie caracter neliniar; pe de altă parte orice model are mărimi variabile şi parametri). Din acest punct de vedere modelele se clasifică în- modele liniare în parametri;- modele neliniare în parametri;- modele liniare în mărimile variabile;- modele neliniare în mărimile variabile;4. După numărul variabilelor de intrare - ieşire- modele monovariabile - modele cu o singură intrare şi o singură ieşire;- modele multivariabile - modele care au cel puţin două mărimi de intrare şi/sau două mărimi de ieşire.5. După modul de reprezentare a mărimilor variabileMărimile variabile pot admite două moduri de reprezentare- o reprezentare continuă- când iau o infinitate de valori;- o reprezentare discretă - când iau un număr numărabil de valori.Modelele matematice pot fi- modele continue - la care mărimile sunt funcţii continue;- modele discrete - la care mărimile sunt funcţii discrete.În cazul modelelor staţionare (relaţia intrare-ieşire este fără memorie) modelele continue implică în mod necesar şi suficient continuitateaintrarii. În cazul modelelor dinamice reprezentarea continua nu implicareprezentarea continua a intrarii. Intrarea poate fi discreta.6. După caracterul variaţiei mărimilorO mărime variabilă poate avea fie caracter determinist, fie caracter stochastic. Dacă o mărime variabilă poate fi reprezentată de o funcţie în raport cu timpul a cărei structură este exprimabilă analitic atunci mărimea respectivă are caracter determinist. Această caracteristică e fundamentală pentru că, dându-se expresia funcţiei se poate calcula cu precizie valoarea sa în orice moment de timp. Rezultă că valoarea unei astfel de mărimi în orice moment de timp are o semnificaţie fizică precisă.Atunci când valorile luate de o mărime oarecare la momentul sunt influenţate de cauze cu caracter aleator este clar că reprezentarea e printr-o funcţie cu structură analitică nu mai e posibilă. Valorile luate de mărimea respectivă la diverse momente de timp nu mai au semnificaţie fizică. Peste valorile adevărate se suprapun altele despre care nu ştim de unde provin. Astfel de mărimi ţin de mărimi stochastice a căror caracterizare este mai complicată şi mai bogată în acelaşi timp. Modelele matematice se împart în:- modele deterministe - modelele în care toate mărimile variabil sunt deterministe;

- modele stochastice - modelele în care cel puţin o mărime are caracter stochastic (aleatoriu).7. După caracterul dependenţei mărimilor variabile de coordonatele spaţiale. Atunci când mărimile variabile ale modelului depind de o singură variabilă cu caracter determinist (nu depind de coordonate spaţiale modelul este cu parametrii concentraţi (ecuaţiile diferenţiale ordinare). Atunci când cel puţin o mărime variabilă depinde de cel puţin coordonată spaţială şi de timp modelul este cu parametrii distribuiţi Aceste modele sunt reprezentate de ecuaţii cu derivate parţiale. Analizând clasificarea modelelor se poate deduce că un acelaşi model poate să satisfacă simultan toate cele şapte criterii. De exemplu ecuaţie diferenţială ordinară, liniară cu coeficienţi constanţi, cu condiţii iniţiale date şi termen forţator cunoscut sub formă analitică reprezintă un model cu memorie, parametric, liniar, continuu, determinist şi cu parametri concentraţi. Modelele construite cu ajutorul expresiilor matematice ale legilor naturii care guvernează desfăşurarea proceselor respective au o structură bine precizată. Deci metodele analizei teoretice conduc la modele cu structuri bine precizate. Aceasta înseamnă că posibilităţile de manevră în legătură cu structura modelelor stabilite cu ajutorul metodelor analizei teoretice sunt foarte reduse. În cazul utilizării metodelor analizei experimentale posibilităţile de manevră din acest punct de vedere (al structurii modelelor) sunt incomparabil mai largi deoarece în cazul acestor metode structuramodelului este aleasă în baza unor reguli de către experimentator.

4. Liniarizarea modelelor neliniare Majoritatea sistemelor dinamice reale, conduc la modele matematice neliniare. Din punct de vedere al comportării dinamice, sistemele neliniare pot fi deosebite imediat de cele liniare pe cale experimentală, la excitare cu semnal treaptă, prin faptul că, spre deosebire de acestea din urmă la o dublare a amplitudinii intrării, ieşirea nu se dublează ci ia o valoare oarecare. Din punct de vedere teoretic, ecuaţiile neliniare nu pot fi studiate pe cale analitică (în afara unui număr redus de cazuri). Modelele matematice liniare pot fi tratate cu ajutorul unor metode teoretice foarte puternice. În cazul acestor modele este valabil principiul superpoziţiei şi se poate utiliza calculul operaţional. Teoria sistemelor liniare este foarte bine pusă la punct atât în ceea ce priveşte rezolvarea problemelor de analiză cât şi a celor de sinteză. În ceea ce priveşte sistemele neliniare nu există până în present o teorie unitară închegată. Există un număr relativ mare de metode de studiu care din păcate pot rezolva cazuri relativ simple şi cu un character de generalitate extrem de redus. Este normal ca în această situaţie să ne punem problema elaborării unor modele liniare (liniarizate) care – în anumite condiţii – să descrie suficient de exact procesele neliniare care se desfăşoară în instalaţiile industriale. Acest lucru este posibil utilizând metoda liniarizării în jurul aşa numitului punct de funcţionare. Prin punct de funcţionare înţelegem mulţimea valorilor constante în jurul cărora variază în domenii de întindere mică mărimile variabile.

5. Caracterizarea modelelor deterministe parametrice. Caracterizarea intrare - ieşire Ecuaţia diferenţială (sau cu diferenţe) Ecuaţia diferenţială generală care descrie comportarea dinamică unui sistem (proces) continuu monovariabil în funcţie de mărimea de intrare u(t) şi de ieşirea y(t), este:

unde a0 = 1 iar r reprezint timpul mort. Pentru sistemele realizabile fizic avem na ≥ nb .în cazul liniar, coeficienţii ai, bj nu depind de u, y şi nici de derivatele lor. Dacă în plus, ei nu depind nici de timp, ecuaţia este cu coeficienţi constanţi iar sistemul invariabil. Dacă coeficienţii ai, bj depinde timp (ai = ai(t); bj = bj(t)) ecuaţia se numeşte variabilă ín timp. Pentru ca sistemul (1.17) să fie în plus şi stabil este necesar ca rădăcinile ecuaţiei caracteristice să aibă partea reală negativă.

Pentru descrierea comportării dinamice a sistemelor (proceselor în care sunt disponibile numai valori eşantionate ale semnalelor de intrare şi de ieşire (sisteme discrete) în locul ecuaţiilor diferenţiale se utilizează ecuaţiile cu diferenţe, a căror formă generală este dată de ecuaţia (1.20) (pentru sisteme monovariabile)

unde intrarea u(t) şi respectiv ieşirea y(t) se consideră pentru t = 0, T, 2T ..., cu T perioada de eşantionare (pentru simplitate se consideră T=1), iar

x(t) - vectorul (n × 1) al variabilelor de stareu(t) - vectorul (nu × 1 ) al variabilelor de intrarey(t) - vectorul (ny× 1) al variabilelor de ieşire

A - matricea sistemului [n × n]B - matricea intrării [n × nu]C- matricea ieşirii [ny × n]Condiţia de stabilitate este realizată dacă valorile proprii ale lui A au partea reală negativă.Dacă x(t) este vectorul de stare n dimensional la momentul t (t = 0, T 2T,..., T = 1) atunci forma generală a ecuaţiilor de stare pentru un system discret multivariabil este următoarea

cu aceeaşi semnificaţie ca şi în cazul continuu. Matricea de transfer şi secvenţa de ponderare corespunzătoare lui (1.28) sunt respectiv

6. Caracterizarea modelelor deterministe neparametrice. a)Funcţia pondere Cazul continuuNotând u(t) - intrarea la momentul t y(t) - ieşirea la momentul t h(t) - valoarea funcţiei pondere la momentul t, atunci pentru sisteme liniare, invariante este adevărată integrala de convoluţie

Pentru procese realizabile fizic, h(t) ≡ 0, t < 0 (nici un răspuns înainte de excitaţie). Dacă procesul este stabil şi durata regimului tranzitoriu este T atunci avem: h(t) ≅0 pt. t ≥ T Funcţia pondere (răspuns la impuls) este soluţia ecuaţiei diferenţiale (1.17) când condiţiile iniţiale sunt nule şi când u se defineşte astfel:

În sens fizic, orice funcţie de timp u(t) poate fi considerată ca fiind compusă din astfel de funcţii, fapt care conduce în cazul coeficienţilor constanţi şi condiţiilor iniţiale nule, la noţiunea de integrală de convoluţie (1.30).

care lămureşte denumirea de răspuns la impuls pentru h(t). Cazul discretRelaţia (1.20) conduce ín domeniul timpului la suma de convoluţie

este segvenţa de pondere.

Pentru sisteme fizic realizabile, h(t ) = 0, t < 0 , iar pentru sisteme stabile secvenţa de ponderare poate fi trunchiată la un număr finit de termen deoarece h(t ) ≅ 0, t ≥NPentru sisteme multivariabile, h(t) este o matrice ny × nu .b)Răspunsul indicial

7. Conservarea masei totale. Exemple. Legea conservárii masei - sub forma bilanţului pentru întreaga masăse aplică: - sau sub forma bilanţului pe componenteConservarea masei total

Observaţie: Pentru un sistem fizic dat, poate fi scrisă o singură ecuaţie de acest tip.

In regim staţionar, ecuaţia este: masa care intră în sistem este egală cu masa care iese din sistem. Termenul din membrul stâng se exprimă prin derivata ordinară d/dt , sau derivata parţiala ∂/∂t a cantităţii de masă conţinută în interiorul sistemului. Exemplul 1. Se consideră un vas prevăzut cu un agitator, în care intră 2 componenţi lichizi cu densităţile ρ1 şi ρ2 .

unde: Q1, Q2 - debite de intrare volumice, ρ1, ρ2 - densităţile lichidelor la intrare, h – înălţimea lichidului, A - aria suprafeţei transversale, Qe- debitul volumic de ieşire, ρ - densitatea amestecului, V=Ah. Presupunem: curgerea prin robinetul R are loc in regim turbulent, astfel încât:

Δ PR- căderea de presiune pe robinet, KV - coeficient care depinde de deschiderea robinetului. Scriind bilanţul de masă pentru întregul vas, avem:

Lichidul din vas este amestecat perfect, densitatea ρ este aceeaşi în orice punct din masa de lichid.Rezultă că: ρ şi h variază doar în raport cu timpul, adică derivata parţială se înlocuiste cu cea ordinară.

Dar, ΔPR=ρgh, astfel încât

Concluzia: modelul matematic obţinut este reprezentat de o ecuaţie diferenţială ordinară neliniară.Exemplul 2. Se consideră un tub de lungime L şi diametru constant prin care circulă ungaz, regimul de curgere fiind turbulent. Din cauza turbulenţei puternice se poate considera curgerea piston, adică gazul prezintă aceleaşi proprietăţi în secţiunea transversală a tubului. Densitatea şi viteza variază de-a lungul tubului - în direcţia axei x:

Aplicând legea conservării masei elementului infinitezimal de volum dV=Adx, obţinem:-viteza de variaţie a cantităţii de masă din volumul dV: ∂/∂t (ρ(x,t)A(x,t)dx)-debitul de masă intrată în volum: A(x,t)ρ(x,t)v(x,t)-debitul de masă ieşită din sistem: A(x+dx,t)ρ(x+dx,t)v(x+dx,t)Dezvoltând în serie Taylor mărimile A(x+dx,t), ρ(x+dx,t) ßi v(x+dx,t), obţinem:

Efectuând produsele şi neglijând infiniţii mici de ordin superior, avem:

8. Conservarea masei pe componente. Exemple. In sistemele chimice, masa componenţilor nu se conservă. Atunci când într-un sistemchimic sunt prezente reacţii chimice, masa reactanţilor scade, în timp ce masa produşilor de reacţie creşte. De obicei, cantitatea de masă dintr-un component se exprimă în moli. Formularea legii conservării masei unui component i este: Ultimul termen al (2.2) este pozitiv pentru produsele rezultate din reacţie şi negativ pentru reactanţi. Exemplul 3. Fie reactorul chimic din figură cu amestecare perfectă, în care are loc reacţia chimică:

de ordinul 1, ireversibilă, K fiind constanta vitezei de reacţie, unde:A-reactant; B-produs de reacţie; V-volumul amest. reactanţi - produse de reacţie;Q - debitul; cAO - concentraţia reactantului la intrare;cA, cB - concentraţiile reactantului şi produsului în reactor.

Termenii ecuaţiei (2) scrisă pentru reactantul A au expresiile:- viteza de variaţie a nr. de moli din comp. A în interiorul sistemului: d/dt(VcA)- debitul molar din comp. A intrat în sistem: QcAO- debitul molar din comp. A ieşit din sistem: QcA

- viteza de variaţie a nr. de moli din comp. A produşi de reacţia chimică: - VKcARezultă ecuaţia diferenţială:

Efectuând aceleaşi consideraţii pentru produsul B, în ipoteza că lipseşte din alimentare, se obţine:

*9. Modelul matematic al motorului de c.c. cu excitaţie separată. Se considera un motor de c. c. la care se poate modifica atat tensiunea indusului cat sitensiunea de excitatie, cu schema fizica de mai jos:

Unde:u – tensiunea la bornele indusului; i – curentul rotoric;ue – tensiunea de excitatie;ie – curentul de excitatie;R, L – parametrii (rezistenta si inductanta) circuitului rotoric;Re , Le – parametrii circuitului de excitatie; ω --viteza de rotatie; Ca – cuplul activ; Cr – cuplul rezistent; Cv – cuplul datorat frecarii vascoase; Kv – coeficient de frecare vascoasa; J – momentul de inertie.Acest obiect fizic poate fi modelat printr-un obiect orientat.

Comportarea motorului este descrisa de urmatorul sistem de ecuatii diferentiale:

Acest sistem de ecuatii reprezinta modelul matematic neliniar al motorului de curentcontinuu (neliniaritate introdusa atat de (3) cat si de (4)).In ipoteza ca punctul de functionare se gaseste in zona liniara (nu se ajunge la saturatie),atunci relatia (3) se aproximeaza cu:

Motorul de curent continuu poate fi comandat atat prin indus (u variabil, ue constant) cat si prin excitatie (ue variabil, u constant).

*10. Modelul matematic al convertorului electromecanic

Acest dispozitiv se foloseste in foarte multe sisteme de reglare pentru convertirea uneimarimi electrice intr-o marime mecanica, de regula a unei tensiuni (curent ) intr-o deplasare (forta).Constructiv, convertorul electromecanic se compune dintr-o armatura fixa si una mobila. Armatura mobila este reprezentata de regula de o bobina in care se stabileste un curent determinat de tensiunea aplicata la bornele bobinei, tensiunea fiind marimea de intrare in convertor. Armatura fixa este reprezentata in majoritatea cazurilor de un magnet permanent. In unele cazuri poate fi reprezentata de alta bobina. Acest dispozitiv poate fi realizat si in constructie inversa: armatura fixa reprezentata de bobina parcursa de curent, armatura mobila de magnetul permanent. Sa ne imaginam urmatoarea constructie a acestui dispozitiv:

In bobina se stabileste un curent, deci apare un flux care interactioneaza cu fluxulmagnetului permanent dand nastere unei forte de interactiune.

Cele patru ecuatii reprezinta modelul matematic al dispozitivului. Daca se considera capunctul de functionare se gaseste in zona de dependenta liniara flux-curent, atunci acest model esteliniar. Schema bloc cu functii de transfer este urmatoarea:

Alegand vectorul de stare de forma:

obtinem modelul matematic sub forma ecuatiilor de stare:

Aplicand transformarea Laplace (in conditii initiale nule) relatiilor (1 ÷ 4) obtinem modelulmatematic sub forma functiei de transfer

*11. Modelul matematic al generatorului de curent continuu

Se consideră un generator de curent continuu comandat prin tensiunea de excitaţie:

Ecuaţiile diferenţiale ce descriu funcţionarea generatorului sunt:

unde:ue – tensiunea de excitaţie;ie – curentul de excitaţie;Re, Le – parametrii înfăşurării de excitaţie;Φ (fi) – fluxul produs de înfăşurarea de excitaţie;ω – viteza de rotaţie;

Ke – factorul de proporţionalitate al generarii tensiunii electromotoare.

Ca obiect orientat, generatorul de curent continuu poate fi reprezentat astfel:

Modelul matematic reprezentat de cele trei ecuatii este neliniar datorita relatiei (2). In ipoteza ca punctul de functionare al circuitului de excitatie este in zona liniara, se poate scrie:

*12. Modelul matematic al grupului generator – motorSe considera sistemul generator – motor din figura de mai jos. Marimea de comanda seconsidera tensiunea de excitatie a generatorului. Curentul de excitatie al motorului iEM se considera constant dupa cum constanta este si viteza ωG de antrenare a generatorului .

Ecuatiile care descriu functionarea acestui sistem sunt:

Considerand ca punctul de functionare se gaseste pe portiunea liniara, rezulta urmatoareleecuatii de stare:

Pentru determinarea functiei de transfer, aplicam transformata Laplace in conditii initiale nule. Obtinem:

13. Transmisia căldurii.

a) Transmisia căldurii prin conducţie - are loc datorită variaţiei temperaturii pe o direcţie oarecare. Fie două suprafeţe izotermice într-un câmp de temperatură şi o direcţie oarecare x:

Cantitatea de căldură care este transmisă (prin conducţie) în direcţia x, în unitatea de timp, prin suprafaţa elementară Adreste dată de relaţia:

semnul (-) apare deoarece temperatura scade pe direcţia x (∂T/∂x<0) numită legea lui Fourier, λ fiind aşa numitul coeficient de conductivitate termică (o constantă de material). Dacă direcţia x coincide cu normala la suprafaţa izotermică, atunci (2.1) devine:

Cantitatea de căldură transmisă în direcţia x, în unitatea de timp, printr-o suprafaţă Σ, conform cu (2.2) este dată de relaţia:

şi se numeşte flux de căldură. Dacă suprafaţa Σ este plană, atunci (2.3) devine:

Cantitatea de căldură transmisă prin conducţie, într-o direcţie normală la o izotermică a câmpului de temperatură, în unitatea de timp, prin unitatea de suprafaţă perpendiculară pe normală este:

numit flux de căldură elementar. b. Transmisia căldurii prin convecţie - are loc datorită transportului de substanţă. Să ne reamintim ecuaţia energiei:

unde ultimul termen reprezintă energia transportată prin schimb de substanţă între două medii separate printr-o suprafaţă Σ.

Relaţia (2.6) poate îmbrăca diverse forme,în funcţie de modul concret în care are loc schimbul de energie şi de natura substanţei schimbate. În cazul în care energia cinetică şi energia potenţială de poziţie sunt neglijabile, relaţia (2.6) devine:

Dacă fluidul este un gaz care traversează o suprafaţă plană de arie A, cu o viteză vΣ

perpendiculară pe A, atunci (2.7) devine:

c) Transmisia căldurii prin radiaţie – decurge conform legii lui Stefan-Boltzmann a cărei expresie în cazul corpului negru este:

În tehnică se înâlnesc situaţii când căldura se transmite prin radiaţie în următoarele cazuri:

1) de la solid la rigid; considerăm două corpuri gri solide cu suprafeţe plan-paralele:

d) Fluxul de căldură schimbat între două corpuri, cu temperaturi diferite, care sunt în contact pe o suprafaţă de arie A, este dat de relaţia: q(t) = hA(T1 (t) – T2 (t)) (2.15) numită legea lui Newton, unde: h – coeficientul de schimb de căldură între corpul 1 cu temperatura T1 şi corpul 2 cu temperatura T2

*14. Modelarea proceselor termice cu schimb de substanţă.

Fie un recipient cu pereţi buni conducători de căldură în care se află un volum de lichid V şi care face schimb cu exteriorul aşa cum se vede în figură:

Lichidele care se introduc la temperaturi diferite, pot fi de aceeaşi natură sau nu. Problema care se pune este să obţinem la ieşire un lichid (amestec) cu o anumită temperatură Te. Presupunând că lichidul din vas este omogenizat prin agitare permanentă, putem scrie:

În cazul prezentat în figură ecuaţia energiei trebuie scrisă atât pentru schimbul de căldură, cât şi pentru pentru schimbul de călură pe care-l fac pereţii acestuia. Privit ca un obiect orientat, procesul de amestec se prezintă în felul următor:

Pentru simplificare considerăm că avem două lichide de aceeaşi natură dar de temperaturi diferite. Ecuaţia energiei devine:

a) pentru lichidul din vas:

b) pentru pereţii vasului

Cele două ecuaţii se comletează cu ecuaţia continuităţii pentru volumul V:

Cele trei ecuaţii repezintă modelul matematic al procesului reprezentat în figură. Dacă recipientul are pereţii izolaţi, ecuaţiile (2.22) (2.23) capătă forma:

15. Cazul mărimilor care depind atât de timp cât şi de coordonatele spaţiale. Există numeroase situaţii în tehnică ce se încadrează în acestă categorie( de

exemplu instalaţiile de supraîncălzire a aburului la cazanele de mare putere; supraîncălzitorul constă într-un mănunchi de conducte de lungime foarte mare (sute de metri) şi diamentrul interior foarte mic (2-3 cm) prin care cirulă abur, exteriorul fiind scăldat de gaze la temperaturi mari rezultate prin arderea combustibilului. Este evident că temperatura aburului diferă de la un punct la altul al conductei, ceea ce înseamnă că depinde de o cordonată spaţială – lungimea conductei). Dintre situaţiile foarte diverse în care mărimile variabile depind şi de coordonatele spaţiale, cele mai des întâlnite sunt cele în care acestă dependenţă este de o singură

variabilă spaţială. Fie o conductă uniformă, rigidă cu pereţii buni conductori de căldură, care face scimb de căldură cu mediul exterior, aşa cum se vede în figură:

În această situaţie ecuaţia energiei trebuie scrisă atât pentru schimbul de căldură pe care-l face lichidul din tronsonul de conductă de lungime infinitensimală dx cât şi pentru schimbul pe care-l fac pereţii acestui tronson. Dacă energia cinetică specifică este neglijabilă în raport cu energia termică, iar lucrul mecanic schimbat cu exteriorul este nul, atunci, conform cu notaţiile din figură, ecuaţia energiei pentru lichidul din tronson devine:

În ambele cazuri (fluid compresibil sau incompresibil) ecuaţia energiei scrisă pentru pereţii tronsonului de conductă devine:

Deoarece tronsonul de conductă are o lungime infinitesimală, putem scrie:

Pentru ca modelul matematic să fie complet trebuie adăugate la ecuaţiile (2.36) şi (2.41) ecuaţia continuităţii, ecuaţia impulsului şi ecuaţia de stare. Celelalte cazuri de procese termice în care mărimile variabile depind de timp şi de coordonatele spaţiale, se tratează intr-un mod similar cu cel prezentat mai sus.

16. Modelarea proceselor chimice de amestec fãrã reacþie chimicã.

Deşi nu au loc reacţii chimice, aceste procese utilizându-se pe larg în industria chimică şi producându-se de regulă în prezenţa unui solvent, sunt considerate ca făcând parte din categoria acestora. Presupunem un rezervor în care introducem doi componenţi A şi B solubili în solventul S, ca în figură:

Presupunem că instalaţia de agitare asigură o compoziţie omogenă în tot vasul, încât la ieşire, amestecul va avea aceeaşi compoziţie ca cea din vas. Scopul acestui proces: asigurarea la ieşire a unei anumite compoziţii a componentelor A şi B în solventul S, deci de a asigura o anumită concentraţie a celor doua componente în solventul S. Vom defini concentraţia celor doi componenţi:

Variaţia în timp a volumului componentului A va fi dată de ecuaţia continuităţii:

Ţinând cont de [ 1] relaţia [ 3] devine:

Analog, pentru componentul B :

Ţinând cont de relaţia [ 2] obţinem:

Scriind ecuaţia continuităţii pentru tot volumul V, avem:

Relaţia [ 4] se poate scrie sub forma :

Înlocuind [ 7] in [ 8] avem:

Similar pentru [ 5] avem:

Relaţiile [7], [9], [10] reprezintă modelul matematic al procesului de amestec în rezervorul dat. Dacă vom considera debitul Fe ca o perturbaţie deoarece depinde de procesul tehnologic ce urmează procesului de amestec, acesta se va prezenta ca un obiect orientat ca in figura de mai jos:

h-nivelul de lichid din rezervor

Să vedem cum putem să reglăm cele două concentraţii CAe ,CBe. Singura modalitate constă în a interveni asupra lui FAi şi FBi. Deoarece FAi şi FBi intră în [ 7] (deci modifica nivelul h) va trebui obligatoriu să intervenim asupra lui FSi (deoarece asupra lui Fe nu putem interveni). Rezultă următoarea schemă bloc de reglare:

Modelul de mai sus reprezintă un model multivariabil. Să încercăm să scriem ecuaţiile de stare :

unde: A este suprafaţa rezervorului [16]

Relaţiile [13] –[15] reprezintă modelul matematic, neliniar sub forma ecuaţiilor de stare care se poate pune sub forma generală :

*17. Modelarea proceselor chimice de amestec cu reacţie chimicã. Fie un proces de amestec însoţit de următoarea reacţie chimică : A+B→C+D În dinamica acestor procese un rol foarte important îl are viteza de reacţie dintre componentul A şi B. Experimental s-a stabilit că viteza de reacţie, pe componente are următoarea expresie :

unde KA,B reprezintă constante de timp ce caracterizează componenţi A,B (la presiune şi temperatură dată).

Cu aceste viteze de reacţie, [4] şi [6] devin

Pentru componenţii ce rezultă în urma reacţiei putem defini concentraţiile acestora astfel:

Se poate defini viteza de reacţie pentru componenţii C şi D:

Putem defini şi viteza totală de reacţie având semnificaţia de component A şi component B ce reacţionează în unitatea de timp :

Este evidenta restricţia :

Variaţia în timp a volumului de B componenţi C şi D ce rezultă în urma reacţiei se poate scrie :

Înlocuind [22] şi [23] în [28] şi [29] obţinem:

Utilizând [7] relaţiile [30] şi [31] devin:

Relaţiile [7], [32], [33], [34] şi [35] reprezintă modelul matematic al procesului de amestec însoţit de reacţie chimică .

21. Elemente de cinetică Starea energetică a unui reactor nuclear este caracterizată prin factorul de multiplicare, definit prin relaţia:

Conform definiţiei factorului de multiplicare, rezultă următoarele situaţii

posibile: Keef= 1 reactorul este în stare critică (staţionară); puterea termică

dezvoltată în zona activă a reactorului rămâne constantă; Keef> 1 reactorul este în stare supracritică; puterea termică dezvoltată în

zona activă a reactorului este în creştere; Keef< 1 reactorul este în stare subcritică; puterea termică dezvoltată în

zona activă este în scădere. Pentru a înţelege cu mai multă uşurinţă problema bilanţului de neutroni în

reactor, se prezintă în figură, schematic, succesiunea generaţiilor în timpul proceselor de fisiune în ipoteza Keef > 1:

Între două fisiuni succesive, un neutron parcurge un spaţiu mediu s cu viteza medie v. Rezultă că un neutron care ia naştere într-un act de fisiune produs în generaţia K (precedentă) are un timp mediu de viaţă (timpul mediu care trece până la producerea actelor de fisiune din generaţia următoare) dat de relaţia: l=s/vNotând cu n numărul de neutroni care există în generaţia precedentă şi cu n1, numărul de neutroni care există în generaţia următoare generaţiei precedente, rezultă - conform definiţiei timpului mediu de viaţă – că raportul n/l reprezintă numărul de neutroni care se consumă în unitatea de timp, iar raportul n1 /l reprezintă numărul de neutroni care iau naştere în unitatea de timp.

Conform celor de mai sus, rezultă că variaţia numărului de neutroni în unitatea de timp este dată de următoarea relaţie:

Ţinând cont de definiţia factorului de multiplicare se poate scrie:

Introducând [2.6.29] în [2.6.28] rezultă:

Ecuaţia de bilanţ [2.6.30] reprezintă un proces idealizat care nu ţine seama

de existenţa altor fenomene, cum ar fi de exemplu prezenţa altor fenomene, cum ar fi de exemplu prezenţa neutronilor întârziaţi. Cu ajutorul relaţiei [2.6.30] definim următoarele mărimi:

Conform cu definiţia factorului de exces, ecuaţia [2.6.30] se poate scrie:

Integrând ecuaţia [2.6.31] cu condiţia iniţială n(0)=n0 obţinem

Definim timpul mediu de generare Λ ca fiind valoarea medie a timpului care se scurge din momentul când au luat naştere neutronii dintr-o generaţie oarecare, până în momentul când iau naştere neutronii din generaţia următoare.

Se poate demonstra că timpul mediu de este dat de relaţia:

Mărimea definită de relaţia:

se numeşte reactivitate. Conform cu definiţia factorului de multiplicare, rezultă:

ρ=0 reactorul este în stare critică >0 reactorul este în stare supracritică ρ<0 reactorul este în star subcritică

*22. Modelul matematic (punctual) al reactorului nuclear

Înainte de a trece la discuţia componentelor bilanţului de neutroni, să precizăm modul în care pot fi luaţi în consideraţie neutronii întârziaţi.

Conform celor prezentate în paragraful [2.6.1.9], la un timp oarecare după producerea unui act de fisiune, are loc datorită precursorilor, emisia unui anumit număr de neutroni. Fie ci, i= 1, 2, .., m cantitatea de precursori, care iau naştere în urma actelor de fisiune şi λi constantele de dezintegrare corespunzătoare. Ca urmare a dezintegrării unui precursor oarecare i, ia naştere un anumit număr de neutroni care reprezintă o fracţiune βi din numărul total de neutroni produşi în unitatea de timp, în zona activă. Pentru toţi cei m precursori rezultă o fracţiune de neutroni, care este dată de relaţia următoare:

Pentru a stabili expresia variaţiei numărului de neutroni în unitatea de timp, este necesar să facem bilanţul ţinând cont atât de neutronii prompţi cât şi de neutronii întârziaţi.

Conform cu cele discutate mai înainte putem defini următoarele mărimi:

Conform legii dezintegrării radioactive, pentru un precursor i, existent în cantitatea ci, cu constanta de dezintegrare λi, se dezintegrează în unitatea de timp un număr de nuclee egal cu λici. Ţinând cont că prin dezintegrarea unui nucleu de precursor ia naştere un neutron întârziat, rezultă că putem defini următoarele mărimi:

Conform cu cele mai sus, putem de asemenea defini:

Făcând bilanţul neutronilor cu ajutorul mărimilor definite mai sus, rezultă

ecuaţia diferenţială, care guvernează variaţia numărului de neutroni în unitatea de timp, a cărei formă este următoarea:

Această ecuaţie diferenţială se poate pune sub forma:

Ţinând cont de definiţiile [2.6.33] şi [2.6.34] ecuaţia [2.6.37] devine:

Bilanţul precursorilor se face ţinând cont de legea dezintegrării radioactive şi de faptul că pe lângă precursorii care dispar (prin dezintegrare), producând neutronii întârziaţi, apar alţii în urma actelor de fisiune. Prin urmare, putem scrie:

Scriind ecuatia [2.6.40] pentru cei m precursori si adunind ,rezulta:

Este evident ca pentru cei m precursori cantitatea totala este data de urmatoarea relatie:

Ne punem problema sa determinam o valoare medie λ a constantei de dezintegrare, astfel incit sa fie valabila relatia urmatoare:

Din [2.6.42] si [2.6.43] rezulta:

Tinind cont de definitiile cantitatilor de neutroni intirziati produsi in unitatea de timp,se poate scrie:

Introducind [2.6.33] in [2.6.45] rezulta:

Din [2.6.44] si [2.6.46] rezulta:

Cu aceste precizari ecuatiile [2.6.38] si [2.6.41] devin:

Ecuatiile [2.6.42] si [2.6.49] reprezinta modelul mathematic al reactorului cu o singura zona activa in care fenomenele au o distributie omogena(modelul punctual). O descriere matematica de detaliu a fenomenelor care se desfasoare in zona activa trebuie sa tina cont in primul rind de faptul ca acesta se compune din mai multe regiuni cuplate intre ele prin schimb de neutroni pentru fiecare din aceste regiuni fiind valabil modelul punctual.In al doile rind trebuie sa se tina cont de influenta temperaturaii asupra reactivitatii .