Un numar complex este format din doua parti: o parte reala si o parte imaginara

--forma algebrica Ex.: z=a + bi , a= parte reala ; b= parte imaginara;

--forma geometrica Ex.: M(z), ’z’ reprezentand afixul punctului in plan.

Interpretari geometrice• Interpretarea geometrica a adunarii a doua

numere complexe Fie numerele 111 yxz += si 222 yxz += si vectorii de pozitie corespunzatori

)1,1(1 yxMO

si )2,2(2 yxMO

.Vectorul sumei MOMO

21+ este )21,21( yyxxSO ++= astfel ca

SMOM 21 este paralelogram (vezi fig.1).

• Interpretarea geometrica a numerelor complexe conjugate Imaginile geometrice a doua numere complexe conjugate

sunt simetrice in raport cu Ox (vezi fig.2).

• Interpretarea geometrica a opusului unui numar complex Imaginile geometrice a doua numere complexe

opuse sunt simetrice in raport cu originea O (vezi fig. 3).

1

• Interpretarea geometrica a scaderii a doua numere complexe

Daca )1(1 zM si )2(2 zM sunt imaginile geometrice a doua numere complexe, atunci lungimea segmentului MM 21 este dat de relatia: |21|21 zzMM −= (vezi fig.4).

Aplicatii ale numerelor complexe in geometrie

• 1) Afixul mijlocului unui segment:

A(ZA) B(ZB) M – mijlocul segmentului de dreapta AB

2ZZZ BA

M+= ;

• 2) Afixul unui punct care imparte un segment de dreapta

intr-un raport dat :

ABM ∈ a.i. kBMMA =

=> kkZZZ BA

M++=

1 ;

• 3) Afixul centrului de greutate a unui triunghi :

A(ZA) B(ZB) C(ZC) G – centrul de greutate al ABC∆

3CBA

GZZZZ ++= ;

2

• 4) Distanta dintre doua puncte : A(ZA) B(ZB) => AB=|ZA-ZB| ;

• 5) Conditia de coliniaritate :

A,B,C – sunt trei puncte coliniare, daca RZZZZAC

AB ∈−−

;

• 6) Conditia de paralelism :

AB||CD, daca RZZZZCD

AB ∈−−

;

• 7) Conditia de perpendicularitate :

AB ⊥ CD, daca 0Re =

−−

CD

AB

ZZZZ

;

• 8) Ecuatia cercului de centru C(Mo,r) este :

|Z-Zo|=R, unde Mo(Zo) ;

3

• 9) Aflarea argumentului catului dintre doua numere complexe sub forma

trigonomrtrica:

A(ZA) B(ZB), unde

=

B

A

ZZBOAm arg)(

;

• 10) Unghiul din varful unui triunghi reprezentat in planul complex:

( )

−−=

BC

BA

ZZZZCBAm arg

;

• 11)Conditie de conciclicitate(inscriptibilitate)Punctele A,B,C,D sunt conciclice(inscriptibile) daca si numai daca

( ) ( ) { }π,0argarg ∈−−

−−−

zDzBzDz A

zCzBzCz A .

• 12)Radacinile de ordin n ale unui numar complex

Daca A( z A ) si solutiile ecuatiei z Azn= sunt 1,0,2sin2cos −=

++

+= nk

nki

nkn rzk

παπα,

Unde ( )αα sincos irz A += , atunci ( )zkM k sunt varfurile unui poligon regulat cu n laturi inscris in cercul cu cntrul in origine si raza n r .

4

• 13)TranslatiaO functie ππ →:f se numeste translatie de vector V daca si numai daca ( ) BAf = astfel incat AB =V .Exemplu: zVz AzB +=

• 14)Simetria centralaSe numeste simetrie fata de un punct o functie ππ →:SM astfel incat

( ) MMSM = si daca ( ) ⇒=BASM M este mijlocul segmentului [AB].Exemplu:Se cunosc afixele punctelor A si M, z A , si zM .Sa se afle afixul punctului B.

Din definitie rezulta ca z AzMzBzBz AzM −=⇒= 2 .

• 15)Simetria axialaSimetria fata de axa Ox este caracterizata de proprietatea

( ) ( )zzSOx = .Simetria fata de axa Oy este caracterizata de proprietatea

( ) ( )zzSOy −= .

• 16)OmotetiaSe numeste omotetie functia ππ →:,H kO astfel incat

( ) ', AAH kO = daca si numai daca kAOOA =' daca si numai daca

AOkOA ⋅=' . Exemplu: Se dau punctele A’( z A' ), A( z A ), O( zO ).Sa se afle afixul lui A’ prin omotetie. Rezolvare: ( ) z Akzkzz Az Azkz AzOA ⋅+⋅−=⇒−=−= 00'0'0' =>

( ) zkz Akz A 01' −+⋅= .

• 17)RotatiaRotatia de centru A0 si unghi β este functia ππβ →:,RO astfel incat

( ) ',0 MMR =β cu proprietatea ( )( )ββ sincos00 izzMzzM +−=− unde z0 este afixul lui A0 .Lecturi grafice

5