unitatea 1_numere complexe

5/12/2018 Unitatea 1_Numere complexe - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/unitatea-1numere-complexe 1/6

Numere complexe

1Matematici speciale I – Curs şi aplicaţii

Unitatea de învăţare nr. 1

Numere complexe

Cuprins Pagina

Obiectivele unităţii de învăţare nr. 1 2

1.1 Forma numerelor complexe 2

1.2 Operaţii cu numere complexe 3

Lucrare de verificare – unitatea de învăţare nr. 1 5

Răspunsuri şi comentarii la întrebările din testele de autoevaluare 5

Bibliografie – unitatea de învăţare nr. 1 6



Numere complexe


OBIECTIVELE unităţii de învăţare nr. 1

Principalele obiective ale Unităţii de învăţare nr. 1 sunt:

• Înţelegerea noţiunilor de număr complex, funcţiecomplexă • Scrierea unui număr complex sub formă algebrică,

trigonometrică şi exponenţială

1.1 Forma numerelor complexe

Mulţimea numerelor complexe a apărut din necesitatea extinderii noţiunii de număr,având ca punct de pornire mulţimea numerelor reale, cu scopul ca orice ecuaţie de gradul n

să aibă n soluţii în noua mulţime.

Fie R corpul numerelor reale. Pe mulţimea =×= R R R 2 {(x,y ) / x , y ∈R}, produsul

cartezian al perechilor ordonate de numere reale, se definesc operaţiile de adunare şi înmulţire astfel:

),(),(),(21212211

y y x x y x y x ++=+

),(),(),(212121212211 x y y x y y x x y x y x +−=⋅

Definiţia 1.1. Mulţimea 2 R înzestrată cu operaţiile de adunare şi înmulţire definite mai sus

formează corp, numit corpul numerelor complexe , ale cărui elemente se numesc numere

complexe: ),,(2 ⋅+= RC

Definiţia 1.2. Forma algebrică a unui număr complex este: iy x z += , R y x ∈,

Observaţie: iy x z −= se numeşte conjugatul lui z .

Definiţia 1.3. Forma trigonometrică a numărului complex z este: ( ),sincos α α ρ i z +=

unde modulul ρ şi argumentul α sunt date de relaţiile:

,)(222

1

y x z z z +=⋅== ρ

ρ α

xarccos= sau

ρ α

yarcsin= sau

x

yarctg=α

Definiţia 1.4. Forma exponenţială a numărului complex z este: α

ρ i

e z ⋅=



Numere complexe


Definiţia 1.5. Două numere complexe )sincos( 1111α α ρ i z += şi )sin(cos 2222

α α ρ i z += sunt

egale dacă21

ρ ρ = şi Z).(k ;221 ∈+= π α α k

Aplicaţii:

1. Determinaţi valorile întregi ale lui n pentru care puterile numărului:( )

n

i+

1 sunt reale.

( )n

in

ei z

=+= 4

121

π

Rezolvare:

k nk nn

zk

4404

sin

1,3k 0Im

=⇒=⇔=

==

π π π

Test de autoevaluare 1.1

1. Determinaţi valorile întregi ale lui n pentru care puterile numărului:

)i+3 sunt reale.

2. Ce reprezintă mulţimea soluţiilor ecuaţiei ?1042 =++− i zi z

1.2 Operaţii cu numere complexe

Oricare ar fi111

iy x z += ,222

iy x z += , C iy x z ∈+= sunt verificate următoarele proprietăţi: .

1. )(212121

y yi x x z z ±+±=±

2. )( 1221212121 y x y xi y y x x z z ++−=⋅

3.2

2

2

2

21122121

2

1 )( y x

y x y xi y y x x z z

+

−++=

4. ( )21

2121

α α ρ ρ

+⋅=⋅ ie z z

5. ( )21

2

1

2

1 α α

ρ

ρ −

⋅=i

e z

z

6. .1-n0,k ,1

z ;

2

n111

1 =⋅=⋅=+

n

k i

innn e

n

e z

π α

α ρ ρ



Numere complexe


7.2121z z z z +=+ ,

2121z z z z ⋅= , z z =

8. Re z =2

z z +, Im z =

i

z z

2

−

9.2

z z z =⋅ ,2

1

z

z

z= , z ≠ 0 , nn z z = , ∀n N ∈

10. z z = , z z ⋅=⋅ α α , z z −= , ∀ R∈α

11. 2121 z z z z ⋅= ,2

1

2

1

z

z

z

z= , ∀ 2

z ≠ 0 , 2121 z z z z +≤+

12. .2

z z z =

Aplicaţii:

1. Dacă ,2,,...,2,1, ≥== nnir zi arătaţi că

( )( ) ( ) R z z z

z z z z z z E n

n∈+++=

......

21

13221

( )( ) ( ) E

r

z z z

z z z z z zr

z z z

z z z z z z E

n

n

n

n

n

n =

+

+

+=

+++=

2

21

13221

2

21

13221 ...11...

1111

...

...

Rezolvare:

Deci E E = implică R E ∈ .

Test de autoevaluare 1.21. Completaţi spaţiul liber:

Dacă111

iy x z += şi222

iy x z += atunci2

2

2

2

211221

2

1 )(....

y x

y x y xi x x

z

z

+

−++=

2. Să se se arate că în C are loc identitatea:

2

2

2

1

2

21

2

21111 z z z z z z ++=−++



Numere complexe


De reţinut!

• forma algebrică a numerelor complexe

• forma trigonometrică a numerelor complexe

• forma exponenţială a numerelor complexe • operaţiile cu numere complexe

Lucrare de verificare la Unitatea de învăţare nr. 1

1. Determinaţi valorile întregi ale lui n pentru care puterile numărului:

( )n3i-1 sunt reale.

2. Să se se arate că în C are loc identitatea:

2121

2

21

2

2

2

1z z z z z z z z ++−=+

Răspunsuri şi comentarii la întrebările din testelede autoevaluare


1. k nn

606

sin =⇒=π

2. Elipsa cu focarele în z = 2i şi z = 4i.


1.21

y y

2. Se foloseşte relaţia .2

z z z =



Numere complexe


Recapitulare• Forma algebrică a unui număr complex este: iy x z += , R y x ∈,

• Forma trigonometrică a numărului complex z este: ( )α α ρ sincos i z

+=

• Forma exponenţială a numărului complex z este: α ρ

ie z ⋅=

Bibliografie1. Ioan–Mircea Popovici, Matematici speciale (pentru ingineri şi economişti),Editura Nautica, Constanţa, 2005

2. I.M. Popovici, D. Popovici, M. Dumitru, A. Costea, Capitole de matematici:Speciale, probabilităţi şi statistică, Editura Nautica,Constanţa, 2007 3. I.M. Popovici, E. Constantinescu, F. Memet, D. Popovici, Şt. Szabo,D.M. Popovici, Probleme de matematici speciale, 19984. R. Cristescu, Matematici superioare , Editura Didactică şi Pedagogică,Bucureşti, 1976.

unitatea 1_numere complexe

Documents