hidraulica retelelor de conducte si masini hidraulice_2007_georgescu

Andrei-Mugur GEORGESCU

Sanda-Carmen GEORGESCU

HIDRAULICA REELELOR DE CONDUCTE I MAINI HIDRAULICE

Editura PRINTECH

Andrei-Mugur GEORGESCU

Sanda-Carmen GEORGESCU

HIDRAULICA REELELOR DE CONDUCTE I MAINI HIDRAULICE

Editura Printech 2007

Copyright Printech, 2007 Editura acreditat C.N.C.S.I.S. Descrierea CIP a Bibliotecii Naionale a Romniei

Andrei-Mugur GEORGESCU Hidraulica reelelor de conducte i maini hidraulice

Andrei-Mugur Georgescu, Sanda-Carmen Georgescu Bucureti: Printech, 2007

p.; cm. Bibliogr.

ISBN 978-973-718-623-2

Refereni tiinifici:

Prof. dr. ing. Lucian SANDU Universitatea Tehnic de Construcii Bucureti Dr. ing. Sandor Ianos BERNAD Academia Romn Filiala Timioara

TIPAR: Editura PRINTECH (S.C. ANDOR TIPO S.R.L.)

str. TUNARI nr.11, sector 2, BUCURETI Tel/Fax: 211.37.12

Copyright 2007 Toate drepturile prezentei ediii sunt rezervate editurii i autorului. Nici o parte din aceast lucrare nu poate fi reprodus, stocat sau transmis indiferent prin ce form, fr acordul prealabil scris al autorului.

PREFAA

Prezentul curs de Hidraulica reelelor de conducte i maini hidraulice se adreseaz cu precdere studenilor de la Facultatea de Instalaii i Facultatea de Hidrotehnic a

Universitii Tehnice de Construcii Bucureti, respectiv studenilor de la Facultatea de

Energetic a Universitii Politehnica din Bucureti. Acest curs poate fi ns util

tuturor studenilor care au prevzute n programa de nvmnt disciplinele Mecanica

fluidelor, Hidraulic, Maini hidraulice, Staii de pompare i reele hidraulice. Subliniem nc de la nceput c volumul Hidraulica reelelor de conducte i maini hidraulice nu se refer la proiectarea propriu-zis a mainilor hidraulice, sau a reelelor

de conducte, ci mai curnd prezint principiile generale care se aplic la proiectarea i

exploatarea acestora.

Cursul Hidraulica reelelor de conducte i maini hidraulice este structurat n dou pri. n prima parte, se reamintesc pe scurt cunotinele dobndite de studeni n

domeniile Dinamicii fluidelor i Hidraulicii, accentul fiind pus pe noiunile legate de

curgerea fluidelor incompresibile n regim permanent, care sunt necesare pentru

nelegerea ct mai corect a celei de a doua pri a cursului. Aceast a doua parte, se

refer la utilizarea propriu-zis a mainilor hidraulice, la tipurile de baz ale acestora, precum i la parametrii de comand i algoritmii de automatizare a funcionrii acestora

n sisteme hidraulice.

Alegerea corespunztoare a pompelor pentru un sistem hidraulic dat (astfel nct s se

realizeze parametrii necesari, cu un consum minim de energie) joac un rol primordial

n reducerea consumurilor de energie pe plan mondial. Acesta este motivul principal

pentru care se acord o atenie deosebit nelegerii de ctre studeni a fenomenelor care

apar la funcionarea generatoarelor hidraulice n sisteme hidraulice, respectiv la

cuplarea acestora n serie sau paralel. Nu n ultimul rnd, cursul acord atenie

problemelor legate de algoritmii de reglare a funcionrii staiilor de pompare (n special

Hidraulica reelelor de conducte i maini hidraulice

2

funcionarea pompelor antrenate de motoare electrice acionate cu turaie variabil),

care aduc importante economii de energie n exploatarea sistemelor hidraulice cu cerine

de debit variabile n timp.

Importana prii legate de turbinele hidraulice din acest curs poate fi neleas prin

prisma directivelor Uniunii Europene, care indic statelor membre ca pn n anul 2010

s realizeze circa 20% din producia proprie de energie din surse regenerabile (ntre care

cursurile de ap i curenii marini ocup un loc semnificativ). Resursele alocate prin

diferite programe internaionale pentru producerea de energie din resurse regenerabile,

retehnologizarea sistemelor de alimentare cu ap a localitilor, retehnologizarea

staiilor de pompare pentru irigaii, sau retehnologizarea reelelor de termoficare, vor

asigura, nc muli ani de acum nainte, efectuarea de proiecte i lucrri n aceste

domenii, n care cunotinele legate de funcionarea mainilor hidraulice n sisteme

hidraulice complexe sunt strict necesare.

Autorii

decembrie 2006

CUPRINS

Pagina

PREFAA ........................................................................................................... 1

1. MODELUL CURENTULUI UNIDIMENSIONAL DE FLUID ............... 7

1.1. Generaliti. Elemente caracteristice ................................................ 7

1.2. Conservarea masei ........................................................................... 10

1.3. Legea energiilor ............................................................................... 12

1.4. Conservarea cantitii de micare ..................................................... 18

1.5. Pierderi de sarcin hidraulic ...........................................................

1.5.1. Pierderi de sarcin uniform distribuite ...................................

1.5.2. Pierderi de sarcin locale .......................................................

21

21

35

2. ELEMENTE DE CALCUL ALE SISTEMELOR HIDRAULICE ........... 41

2.1. Tipuri de sisteme hidraulice. Particulariti i clasificare ................ 41

2.2. Sisteme hidraulice unifilare sau reductibile la sisteme unifilare ......

2.2.1. Conducta simpl .....................................................................

2.2.2. Conducte simple montate n serie ..........................................

2.2.3. Conducte simple montate n paralel .......................................

2.2.4. Conducte simple montate mixt ...............................................

2.2.5. Conducte care debiteaz pe parcursul traseului .....................

2.2.5.1. Aripa de aspersiune ...................................................

2.2.5.2. Conducta cu debit uniform distribuit ........................

43

43

44

47

49

51

51

54

2.3. Reele de conducte ...........................................................................

2.3.1. Reele ramificate ....................................................................

2.3.2. Reele inelare .........................................................................

2.3.3. Reele binare (tur-retur) .........................................................

56

56

60

64

2.4. Orificii i ajutaje ............................................................................... 70


4

2.4.1. Definiii i clasificare .............................................................

2.4.2. Calculul debitului printr-un orificiu mic ................................

2.4.3. Calculul debitului printr-un orificiu mare ..............................

2.4.4. Calculul debitului prin ajutaje ................................................

2.4.5. Diafragme i ajutaje pentru msurarea debitului ...................

70

72

73

74

78

2.5. ncadrarea rezervoarelor n sisteme hidraulice ................................

2.5.1. Elemente de calcule grafice ...................................................

2.5.2. Sisteme hidraulice cu mai multe rezervoare ..........................

2.5.3. Golirea rezervoarelor .............................................................

79

79

84

87

3. GENERALITI ASUPRA MAINILOR HIDRAULICE ..................... 93

3.1. Clasificarea mainilor hidraulice ...................................................... 93

3.2. Parametrii fundamentali care determin funcionarea mainilor

hidraulice ..........................................................................................

3.2.1. Generatoare hidraulice ...........................................................

3.2.1.1. Turbopompe ..............................................................

3.2.1.2. Ventilatoare ...............................................................

3.2.2. Motoare hidraulice (turbine hidraulice) .................................

95

95

96

101

104

3.3. Criterii de similitudine ale turbomainilor hidraulice ...................... 110

3.4. Ecuaia fundamental a turbomainilor hidraulice ........................... 116

3.5. Alte principii de funcionare ............................................................

3.5.1. Principiul de funcionare al pompelor volumice ....................

3.5.2. Principiul de funcionare al turbinei Pelton ...........................

128

128

131

4. POMPE ...................................................................................................... 135

4.1. Principalele tipuri constructive de pompe ........................................

4.1.1. Turbopompe ...........................................................................

4.1.2. Etanarea turbopompelor .......................................................

4.1.3. Pompe volumice .....................................................................

135

135

142

144

4.2. Curbe caracteristice ale turbopompelor ...........................................

4.2.1. Tipuri de curbe caracteristice ale turbopompelor ...................

4.2.2. Factori externi care influeneaz curbele caracteristice .........

4.2.3. Factori interni care influeneaz curbele caracteristice ..........

146

146

150

151

Cuprins

5

4.3. Funcionarea turbopompelor n reea ...............................................

4.3.1. Punctul de funcionare energetic ..........................................

4.3.2. Cuplarea turbopompelor .........................................................

4.3.2.1. Cuplarea n serie a turbopompelor ............................

4.3.2.2. Cuplarea n paralel a turbopompelor .........................

4.3.3. Punctul de funcionare cavitaional ......................................

4.3.4. Factori care influeneaz punctul de funcionare energetic ..

155

155

158

158

161

166

170

4.4. Reglarea funcionrii turbopompelor ...............................................

4.4.1. Tipuri de reglare a funcionrii pompelor n sisteme

hidraulice ................................................................................

4.4.1.1. Modificarea caracteristicii instalaiei ........................

4.4.1.2. Modificarea caracteristicii de sarcin a pompei ........

4.4.2. Reglarea funcionrii pompelor n staii de pompare .............

4.4.2.1. Reglarea discret a funcionrii pompelor n staii

de pompare .................................................................

4.4.2.2. Reglarea continu a funcionrii pompelor n staii

de pompare .................................................................

175

175

177

188

196

196

201

5. TURBINE HIDRAULICE ......................................................................... 205

5.1. Clasificarea turbinelor i domeniile de utilizare ale turbinelor

hidraulice .......................................................................................... 205

5.2 Roi de ap gravitaionale ................................................................. 214

5.3. Turbine hidraulice cu aciune ...........................................................

5.3.1. Roi de ap cu aciune ............................

5.3.2. Turbina Pelton ............

5.3.3. Turbina Turgo ............

5.3.4. Turbina Bnki sau Ossberger-Michell ...............................

215

215

216

221

222

5.4. Turbine hidraulice cu reaciune ........................................................

5.4.1. Turbine axial-radiale ..............................................................

5.4.2. Turbina radial-axial Francis .............................

5.4.3. Turbina diagonal Driaz ...............................

5.4.4. Turbina axial Kaplan ................................................

5.4.5. Turbina axial semi-Kaplan i turbina elicoidal ...............

225

225

228

236

238

242


6

5.4.6. Turbina axial bulb ........................................

5.4.7. Turbina axial Straflo .....................................

5.4.8. Turbina axial tubular de tip S .....................................

243

246

247

5.5. Turbine marine n curent transversal ................................................

5.5.1. Turbina de tip Darrieus ..........................................................

5.5.2. Turbina de tip Gorlov .............................................................

5.5.3. Turbina de tip Achard ............................................................

248

249

251

252

5.6. Curbe caracteristice ale turbinelor hidraulice .................................. 253

ANEXA: Notaii i mrimi caracteristice ........................................................... 259

REFERINE BIBLIOGRAFICE ........................................................................ 281

1. MODELUL CURENTULUI UNIDIMENSIONAL

DE FLUID

1.1. Generaliti. Elemente caracteristice

La nivelul principiilor generale, ecuaiile care guverneaz micarea fluidelor sunt bine

cunoscute: conservarea masei, conservarea energiei, conservarea cantitii de micare.

Diferena major fa de ecuaiile studiate n mecanica clasic este dat de marea

mobilitate a fluidelor. Trebuie amintit c pentru un fluid, noiunile de micare,

deformare i curgere reprezint acelai lucru. De aceea, abordarea utilizat pentru

deducerea ecuaiilor i, bineneles, forma lor final difer. n loc de a considera o

cantitate constant de materie i de a deduce legile micrii, cum se procedeaz n

mecanica clasic, pentru fluide (unde n majoritatea cazurilor este dificil s se aprecieze

limitele corpului fluid) se deduc ecuaiile considernd un volum de control fix, care se

gsete n interiorul unei suprafee de control permeabile i n general nedeformabile.

nc de la nceput trebuie semnalat un aspect oarecum sintactic, care pare important.

Volumul fluidelor poate fi modificat prin dou mecanisme distincte din punct de vedere

fizic: prin modificarea presiunii fluidului, sau prin modificarea temperaturii acestuia.

Exist ns un singur termen care exprim scderea volumului: comprimarea (indiferent

prin ce mecanism fizic se obine aceasta), respectiv exist un singur termen care

exprim creterea volumului: dilatarea (indiferent prin ce mecanism fizic se obine

aceasta). Acest fapt poate crea confuzii. Astfel, n cazul calculului reelelor de nclzire

sau de termoficare, apa vehiculat este considerat a fi un fluid incompresibil din

punctul de vedere al variaiei volumului cu presiunea, ns calculele sunt efectuate cu

densiti ale apei diferite pe conductele de tur, respectiv pe conductele de retur deci

apa este considerat a fi un fluid compresibil din punctul de vedere al variaiei

volumului cu temperatura.


8

Pentru a elimina oarecum acest neajuns, n lucrarea de fa vom utiliza termenii

compresibil i incompresibil n legtur cu mecanismul fizic de modificare a volumului

fluidelor ca urmare a variaiei presiunii (n general, creterea presiunii comprim

fluidul). Respectiv, vom utiliza termenii dilatabil i nedilatabil n legtur cu

mecanismul fizic de modificare a volumului fluidelor ca urmare a variaiei temperaturii

(n general, creterea temperaturii dilat fluidul). n acest context, apa care tranziteaz,

de exemplu, reelele de alimentare cu ap potabil, va fi considerat un fluid

incompresibil i nedilatabil, n timp ce apa care tranziteaz reelele de nclzire, va fi

considerat un fluid incompresibil i dilatabil.

Practica uzual n inginerie permite utilizarea unor simplificri importante pentru

modelele matematice de curgere a unui fluid prin conducte sau canale. Pentru aceste

tipuri de curgere, se pot neglija, de exemplu, distribuiile reale ale vitezei sau presiunii

ntr-o seciune normal pe direcia de curgere, acestea putnd fi nlocuite cu ali

parametri globali/ medii.

Caracteristicile modelului unidimensional de fluid sunt:

Viteza medie Micarea fluidului se consider a fi dat de o vitez medie pe o

seciune S normal la direcia principal de curgere, vitez definit ca raport ntre

debitul volumic i aria seciunii:

A

QAu

Av

S

d 1

, (1.1)

unde u este viteza local1 ntr-o seciune de arie elementar dA.

Nivelul piezometric mediu O seciune S normal la direcia de curgere este

caracterizat printr-un nivel piezometric constant, n raport cu un plan de referin

(figura 1.1).

Nivelul piezometric mediu este definit ca sum ntre cota z a axei seciunii fa de un

plan de referin (P.R.) i nivelul manometric gp n seciunea respectiv:

g

pzH p

. (1.2)

nlimea piezometric pH reprezint energia potenial medie pe greutate, n

seciunea considerat (a se vedea tabelul A7 din Anex).

1 definit n tabelul A4 din Anex

cap.1. Modelul curentului unidimensional de fluid

9

Fig. 1.1. Reprezentarea nivelului piezometric mediu ntr-o seciune

Nivelul hidrodinamic Pe lng energia potenial, energia mecanic a unui fluid n

curgere cuprinde i energia cinetic. Suma dintre nivelul piezometric mediu i

termenul cinetic raportat la greutate, gv 22 , definete nivelul hidrodinamic n

seciunea considerat. Sarcina hidrodinamic este definit n tabelul A7.

Pierderile de sarcin n orice fluid n micare apare o disipaie intern a energiei

mecanice. Cantitatea de energie mecanic disipat, corespunztoare unitii de

greutate de fluid care curge de la o seciune la alta, reprezint pierderea de sarcin

hidraulic total, rh (a se vedea tabelul A7, precum i paragraful 1.5).

Din punctul de vedere al mecanismului de disipare, pierderile de sarcin hidraulic pot

fi clasificate n dou categorii: pierderile de sarcin uniform distribuite, dh , datorate

vscozitii fluidului i pierderile locale de sarcin, lh , datorate neuniformitilor

care apar pe traseul fluidului aflat n micare.

Panta hidraulic Reprezint pierderea de sarcin uniform distribuit

corespunztoare unei uniti de lungime: LhdI .

Raza hidraulic Reprezint raportul dintre aria A corespunztoare seciunii

normale la direcia principal de curgere i perimetrul P udat de fluid n seciunea

considerat: PR A .


10

1.2. Conservarea masei

Ecuaia care exprim principiul fundamental de conservare a masei valabil pentru orice

curgere se numete ecuaia continuitii. Pentru deducerea expresiei acesteia, se va

considera un volum de control oarecare dintr-un fluid n micare, volum delimitat de o

suprafa permeabil. n acest caz, principiul fundamental de conservare a masei

exprim faptul c fluxul masic care iese prin suprafaa de control permeabil ntr-un

interval de timp, este egal cu scderea masei din interiorul volumului n acelai interval

de timp (figura 1.2).

Fig. 1.2. Reprezentarea variaiei masei de fluid din volumul de control elementar dV

Fluxul de mas care iese prin suprafaa de control n intervalul de timp dt, este egal cu:

tll

QtQtl

l

QQ MM

MM ddd d d

, (1.3)

unde MQ este debitul masic. Variaia masei din interiorul volumului elementar dV n

acelai interval de timp dt se poate scrie: tt

Vd

)d(

. Dac se ine seama de faptul c

volumul se poate exprima n funcie de arie i lungimea elementar dl, adic lAV dd

(ipotez acceptabil din moment ce este vorba despre variaii elementare), respectiv

dac se ine seama c dl este constant n timp, rezult:


11

tlt

At

t

lAdd

)(d

)d(

. (1.4)

Egalnd expresiile (1.3) i (1.4), se ajunge la forma diferenial a ecuaiei continuitii

pentru o curgere unidimensional:

0)(

l

Q

t

A M . (1.5)

Aceast expresie se poate particulariza prin diferite aproximaii succesive, astfel nct s

poat fi utilizat ntr-o form simpl n calculele hidraulice. Astfel:

Pentru o conduct rigid (seciune nedeformabil), aria A este contant ( .constA )

deci ecuaia (1.5) devine:

0

l

Q

tA M . (1.6)

Pentru o curgere permanent (independent de timp), n care toate derivatele n

raport cu timpul sunt nule, 0

t, ecuaia (1.5) devine:

0

l

QM (1.7)

i integrnd se obine un debit masic constant:

.constQM (1.8)

Pentru o curgere permanent a unui fluid incompresibil (densitatea nu depinde de

presiune) i nedilatabil (densitatea nu depinde de temperatur) cea mai utilizat

aproximaie pentru lichidele n curgere (respectiv pentru gaze la viteze mici, cu

numrul Mach 3,0Ma ), n absena fenomenelor de schimb de cldur, rezult:

0

t i .const Exprimnd debitul masic ca produs ntre densitate i debitul

volumic, se obine forma integral a ecuaiei continuitii:

.constQ (1.9)


12

1.3. Legea energiilor

Se numete legea energiilor ecuaia care exprim principiul fundamental al conservrii

energiei valabil pentru orice curgere. Pentru deducerea expresiei acesteia, se va

considera, pentru nceput, un volum oarecare dintr-un fluid n micare, mrginit de dou

seciuni, S1 i S2, normale pe direcia principal de curgere (figura 1.3).

Dac se ia n considerare curgerea unui fluid incompresibil i nedilatabil i se consider

numai bilanul energiei mecanice, fluxul de energie mecanic2 1E , care intr prin

suprafaa S1 n volumul de control V, este divizat n dou tipuri diferite de fluxuri de

energie mecanic: primul este fluxul de energie mecanic util 2E , care se regsete

n seciunea S2 de ieire a fluidului din volumul de control i al doilea este fluxul de

energie mecanic disipat 21E (disipaia fiind datorat vscozitii fluidului).

Fig. 1.3. Bilanul energiei mecanice pentru un fluid n micare

Se amintete c pentru o linie de curent, energia mecanic raportat la greutate,

denumit i sarcin3, se poate scrie:

2 Deoarece suprafaa S este normal la direcia de curgere, n cazul modelului unidimensional de fluid, noiunea de flux de energie mecanic prin suprafaa S coincide cu noiunea de debit de energie mecanic.

3 A se vedea tabelul A7.


13

zg

p

g

uH

2

2

, (1.10)

unde termenul gu 22 reprezint energia cinetic raportat la greutate, iar termenul zgp reprezint energia potenial raportat la greutate.

Pentru o seciune jS (de arie jA ), normal la direcia principal de curgere a unui fluid

n micare, fluxul de energie mecanic se poate scrie:

jS

jE QgH d (1.11)

i innd seama de faptul c debitul elementar dQ este produsul dintre viteza local u i

aria elementar dA, se ajunge la expresia:

Auzg

p

g

ug

jS

jE d2

2

. (1.12)

Deoarece aceast ecuaie este dedus pentru modelul unidimensional de fluid

incompresibil, se pot scoate de sub integral termenii constani pe seciune i rezult:

jj S

jj

S

jE Auzg

pgAu

g

gdd

2

3 . (1.13)

Dac pentru seciunea considerat jS se presupune c vectorii vitez sunt paraleli,

atunci se poate exprima mrimea vitezei u ca un procent k(A) din viteza medie v, adic:

vAku )( . (1.14)

inndu-se seama de relaia de definiie a vitezei medii (1.1) n funcie de debitul

volumic Q, expresia (1.13) a fluxului de energie mecanic n seciune devine:

j

j

Sj

j

jE zg

pgQAAk

Ag

vgQ

j

d1

2 3

2

. (1.15)

Se noteaz cu j termenul:

jS

jj AAk

Ad

1 3 , (1.16)

numit coeficient de neuniformitate a vitezei, sau coeficientul lui Coriolis. Acest

coeficient ine seama de distribuia neuniform a vitezei n seciunea normal


14

considerat (a se vedea i tabelul A4). Cele mai des utilizate valori ale coeficientului lui

Coriolis , obinute pe cale analitic sau experimental, sunt urmtoarele:

pentru curgerea laminar n conducte circulare: 2 ;

pentru curgerea turbulent n conducte circulare: 1,105,1 ;

pentru curgerea turbulent cu suprafa liber: 2,1 1,1 .

Expresia fluxului de energie mecanic ntr-o seciune jS devine atunci:

jjjjj

jE gQHzg

pgQ

g

vgQ

2

2

. (1.17)

Raportnd ecuaia (1.17) la gQ , se obine energia mecanic corespunztoare unitii

de greutate a fluidului n seciunea jS :

jjjj

j zg

p

g

vH

2

2

. (1.18)

Termenul jH reprezint sarcina hidrodinamic a fluidului4 n seciunea considerat.

S-a demonstrat astfel c fluxul de energie mecanic ntr-o seciune jS se poate scrie:

jS

jE gQHAugH

j

d . (1.19)

Utiliznd aceleai considerente, se noteaz cu 21rh raportul dintre fluxul de energie

mecanic disipat i produsul gQ , obinndu-se astfel:

gQ

hE

r

2121 . (1.20)

Termenul 21rh se numete pierdere de sarcin hidraulic total ntre seciunile S1 i

S2. Trebuie subliniat faptul c se urmrete scrierea bilanului energiei totale. Pierderile

de sarcin 21rh (care reprezint disipaii din punctul de vedere al energiei mecanice a

fluidului) se regsesc sub forma unei creteri de temperatur n fluidul n micare. Se

poate deci scrie c, fluxul de energie mecanic disipat de fluid prin suprafa,

21 rhgQ , ntr-un interval de timp, este egal cu o cantitate de cldur primit de fluid

n acelai interval de timp. Astfel:

4 conform tabelului A7


15

t

hgQ rd

d

*

21

Q , (1.21)

unde Q* reprezint cantitatea total de cldur primit de fluid datorit frecrilor

interne generate de curgerea acestuia.

Primul principiu al termodinamicii se poate enuna astfel: Variaia de energie a unui

sistem este egal cu suma cantitii de cldur Q i a lucrului mecanic L primite de

sistem. Utiliznd urmtoarea convenie de semne:

Cantitatea de cldur primit de sistem este pozitiv;

Cantitatea de cldur cedat de sistem este negativ;

Mrimea lucrului mecanic primit de sistem este pozitiv;

Mrimea lucrului mecanic efectuat de sistem este negativ,

i considernd un volum de control care primete cldur Q din exterior, respectiv

cedeaz lucru mecanic L prin suprafaa exterioar, se poate scrie suma menionat n

primul principiu al termodinamicii, n cantiti elementare (independente de timp),

astfel: tt dddd LQ .

Energia total corespunztoare unitii de greutate ( te ) este suma dintre energia

mecanic raportat la greutate (H) i energia intern corespunztoare unitii de greutate

a fluidului (eint) ntr-o seciune, anume:

intintt ezg

p

g

ueHe

2

2

. (1.22)

Variaia energiei sistemului este format din doi termeni: primul termen reprezint

diferena dintre fluxul de energie total care iese i fluxul de energie total care intr n

acelai volum, iar al doilea termen reprezint variaia energiei totale raportat la

greutate, datorat unei transformri oarecare suferite de ctre volumul considerat.

Considernd suprafaa de intrare S1 n volumul de control i suprafaa de ieire S2,

primul principiul al termodinamicii se scrie:

V

t

S

t

S

t Vt

geAugeAuge

ttd

)(d d

d

d

d

d

1 2

LQ. (1.23)

Diferena fluxurilor de energie total dintre ieire i intrare se poate scrie:

1 2

d d

S

t

S

t AugeAuge


16

1 2 1 2

d d d d

S

int

S

int

SS

AugeAugeAugHAugH

1 2

d d 12S

int

S

int AugeAugegQHgQH , (1.24)

unde pentru primii doi termeni s-a inut seama de (1.19).

Lucrul mecanic efectuat de sistem poate fi considerat ca o scdere de valoare H a cotei

hidrodinamice, unde s-a notat cu H sarcina cedat de fluid sub form de lucru mecanic

ctre o main hidraulic. Rezult astfel:

HHHL

SV

gQAugVgtt

d dd

d

d

d. (1.25)

Variaia energiei totale raportat la greutate, datorat unei transformri oarecare,

suferite de ctre volumul V considerat, poate fi scris:

V V V

intt Vt

geV

t

gHV

t

ged

)(d

)(d

)(. (1.26)

Astfel, dac se ine seama de relaiile (1.25), (1.24), respectiv (1.26), iar apoi se adun i

se scade termenul de pierderi de sarcin (1.21) sub form mecanic i sub form de

cldur, primul principiu al termodinamicii (1.23) se scrie:

1 2

d d d

d12

S

int

S

int AugeAugegQHgQHgQt

HQ

t

gQhVt

geV

t

gHr

V

int

Vd

dd

)(d

)(21

Q, (1.27)

Prin rearanjarea termenilor, relaia (1.27) devine:

ttgQhgQgQHgQH r

d

d

d

d2121

QQH

VV

int

S

int

S

int Vt

gHV

t

geAugeAuge d

)(d

)(d d

1 2

. (1.28)

Se mparte relaia (1.28) cu gQ , iar suma termenilor care conin cldura i energia

intern se consider a fi lucrul mecanic raportat la greutate 12l , efectuat pentru

trecerea de la o stare la alta. Se obine astfel forma general a legii energiilor:

V

r Vt

gH

gQlhHH d

)(

1122121 H . (1.29)


17

Prin particularizarea formei generale a legii energiilor (1.29), se obine legea energiilor

pentru cazul curgerii permanente a fluidelor incompresibile i nedilatabile:

H 2121 rhHH , (1.30)

unde H1, respctiv H2 reprezint sarcina hidrodinamic a fluidului n seciunea de intrare,

respectiv de ieire din sistemul considerat, iar H este energia raportat la greutate,

cedat de fluid sub form de lucru mecanic ctre o main hidraulic sau primit de

fluid sub form de lucru mecanic de la o main hidraulic. Considernd conveniile de

semne adoptate pentru lucrul mecanic la nceputul acestui paragraf, termenul H apare n

legea energiilor (1.30) cu semn:

pozitiv ( H ) atunci cnd fluidul cedeaz energie, conform relaiei (1.25). Acesta

este cazul sistemelor cu turbine hidraulice sau cu eoliene;

negativ ( H ) atunci cnd fluidul primete energie. Acesta este cazul sistemelor cu

pompe sau cu ventilatoare.

n mod evident, atunci cnd sistemul nu conine maini hidraulice, termenul H este

nul i legea energiilor (1.30) se scrie:

2121 rhHH . (1.31)

Explicitnd sarcinile hidrodinamice5, legea energiilor (1.31) devine:

2122

222

11

211

22

rhz

g

p

g

vz

g

p

g

v. (1.31)

Se subliniaz c prezenta lucrare este axat pe sisteme hidraulice care includ

turbomaini. n continuare, pentru simplificarea notaiei, termenul H va fi notat H i va

desemna:

sarcina pompei, sau nlimea de pompare, adic sarcina disponibil ntre

seciunea de refulare, respectiv seciunea de aspiraie a pompei (a se vedea tabelul A7).

Cu aceast notaie, pentru un sistem hidraulic care include o pomp, legea energiilor

(1.30) se scrie:

2121 rhHHH sau 2112 rhHHH . (1.32)

sarcina turbinei hidraulice, sau cderea net a turbinei, adic sarcina net

disponibil ntre seciunea de aspiraie, respectiv de refulare a turbinei (a se vedea

5 conform relaiei (1.18)


18

tabelul A7). Cu aceast notaie, pentru un sistem hidraulic care include o turbin,

legea energiilor (1.30) se scrie:

HhHH r 2121 sau 2121 rhHHH . (1.33)

Se menioneaz c majoritatea sistemelor hidraulice industriale funcioneaz n regim de

curgere turbulent, pentru care coeficientul lui Coriolis are valori cvasi-unitare:

1,105,1 . Din acest motiv, n cadrul acestei lucrri, ncepnd cu capitolul 2

(exceptnd paragrafele 2.3.3 Reele binare, 2.4 Orificii i ajutaje i 2.5.3 Golirea

rezervoarelor), se consider 1 , deci acest coeficient nu mai apare explicit n

cadrul termenului cinetic.

1.4. Conservarea cantitii de micare

Se numete teorema cantitii de micare, sau teorema impulsului, ecuaia care exprim

principiul fundamental de conservare a cantitii de micare valabil pentru orice curgere.

Pentru deducerea expresiei acesteia, se va considera un volum oarecare, mrginit de o

suprafa nchis dintr-un fluid n micare care, datorit distribuiilor de vitez n cele

dou seciuni de separaie, se va deforma ntr-un interval de timp foarte mic, ca n figura

1.4. Acest principiu fundamental arat c variaia cantitii de micare C

a unei mase

de fluid ntr-un interval de timp, este egal cu impulsul forelor exterioare F

care se

exercit asupra masei de fluid n acelai interval de timp, adic:

tFC dd

. (1.34)

La momentul iniial it , volumul de control este format din suma volumelor VI i VIII

(figura 1.4), iar la momentul final ft , datorit distribuiilor de vitez n seciunile S1 i

S2, volumul de control este format din suma volumelor VII i VIII:

IIII VVVti ,

IIIII VVVdttt if . (1.35) Forele exterioare care se exercit asupra masei de fluid considerate sunt:


19

RGFFF pp

21 , (1.36)

unde 1pF

i 2pF

sunt forele de presiune, normale la suprafeele de separaie i

orientate spre masa considerat (fore care nlocuiesc aciunea fluidului disociat de

volumul considerat), G

este greutatea masei considerate, iar R

este reaciunea pereilor

solizi, ndreptat asupra masei de fluid (figura 1.4).

Fig. 1.4. Reprezentarea deformrii masei de fluid datorate distribuiilor de vitez

Variaia cantitii de micare este dat de diferena cantitilor de micare la momentul

final, respectiv la momentul iniial:

if CCC

d . (1.37)

Cantitile de micare sunt definite prin urmtoarele relaii:

La momentul iniial:

IIII

d

VV

i muC

; (1.38)

La momentul final:

IIIII

d

VV

f muC

. (1.39)

n acest caz, variaia masei poate fi scris:

Vm dd , (1.40)

i se poate astfel calcula variaia cantitii de micare (1.37):

IIII IIIIIIII

d d d d d d d

VVV VVV

VuVuVuVuVuVuC

. (1.41)


20

Pentru variaii elementare se poate considera c AtuV ddd , unde u este viteza local.

n consecin, integralele pe volum pot fi nlocuite cu integrale pe suprafa. Deci:

1 2

dd dd d

SS

AtuuAtuuC

. (1.42)

Se va explicita mai departe doar prima din cele dou integrale din (1.42), rezultatele

putnd fi folosite pentru cea de-a doua integral, nlocuind indicele 2 cu 1.

Trebuie remarcat c pentru o seciune n care vectorii vitez sunt paraleli, versorii

vitezelor locale sunt identici cu versorul vitezei medii, putndu-se scrie: v

v

u

u

. n

continuare se va considera c densitatea nu variaz pe o seciune de curgere, deci se

poate scoate de sub integral, alturi de intervalul de timp dt:

2 2 2

d dd ddd 22

SSS

Auv

vtAu

u

utAtuu

. (1.43)

Se va presupune c distribuia vitezelor n seciune este dat de o lege de forma (1.14).

Integrala (1.43) devine n acest caz:

tvQAAkA

AvvtAAkv

v

vt

SS

dd ddd 22

2

22

22

2 2

, (1.44)

unde s-a notat cu 2 expresia:

2

d1 2

22

S

AAkA

, (1.45)

care reprezint coeficientul lui Boussinesq, un coeficient care caracterizeaz influena

repartiiei neuniforme a vitezei n seciune asupra cantitii de micare. Trebuie notat

c ntre coeficientul lui Boussinesq i coeficientul lui Coriolis (1.16) care se

gsete n legea energiilor, exist o dependen dat prin relaia:

32311 . (1.46)

Cu acestea, variaia cantitii de micare (1.42) devine:

tvQvQC d d 1122

, (1.47)

iar teorema impulsului (1.34) se scrie:

FvvQ

1122 . (1.48)

Cum membrul stng al teoremei impulsului este de natura unei fore, care are direcia i

sensul vectorului vitez medie n seciunea considerat, se poate scrie:


21

RGFFII pp

2112 . (1.49)

Bilanul (1.49) reprezint expresia principiului fundamental de conservare a cantitii

de micare. n aceast expresie, s-au notat cu vQI

forele datorate impulsului

fluidului.

1.5. Pierderi de sarcin hidraulic

Pierderea de sarcin hidraulic total, notat rh (a se vedea tabelul A7), se determin

prin nsumarea pierderilor de sarcin distribuite dh i pierderilor locale de sarcin lh .

Pentru o conduct circular, de diametru D i lungime L, de-a lungul creia exist un

numr de n neuniformiti (elemente perturbatoare ale curgerii, ca de exemplu: coturi,

vane, ngustri sau lrgiri de seciune), pierderea de sarcin hidraulic total se scrie:

n

jjldr

hhh1

. (1.50)

Din punct de vedere fizic, mecanismul de disipare a energiei difer la cele dou tipuri de

pierderi de sarcin hidraulic.

1.5.1. Pierderi de sarcin uniform distribuite

Pierderile de sarcin uniform distribuite se datoreaz vscozitii fluidului. Ele apar

datorit frecrilor existente ntre straturile de fluid care se deplaseaz cu viteze diferite

de-a lungul curgerii. Datorit proprietii de adeziune a fluidelor la frontiera solid pe

lng care curg, viteza relativ dintre un fluid n micare i peretele solid pe lng care

curge fluidul este nul i, n consecin, nu pot aprea disipri ale energiei prin frecare

la interfaa fluid-solid. Totui, msurtorile efectuate experimental de diferii autori au

artat c, n majoritatea cazurilor, rugozitatea frontierei solide este unul dintre factorii

importani n determinarea valorilor pierderilor de sarcin. Vom ncerca, n cele ce

urmeaz, s prezentm o explicaie succint a acestui fenomen complex.


22

S presupunem c pierderile de sarcin uniform distribuite se datoreaz existenei unui

efort tangenial mediu 0 , care apare la interfaa dintre fluidul n curgere i peretele

solid, denumit efort mediu la perete6. Acesta este o funcie care depinde de mai muli

parametri, cum ar fi: rugozitatea absolut k a peretelui solid, viteza medie v de curgere a

fluidului, densitatea i coeficientul dinamic de vscozitate ale fluidului, respectiv

lungimea caracteristic a curgerii (n cazul curgerii n conducte sub presiune, se

consider diametrul conductei, D).

Aplicnd teoremele analizei dimensionale unei funcii de forma:

kvDf , , , ,0 (1.51)

i alegnd D, i v ca mrimi fundamentale, se obine o relaie de forma:

kf ,0 , (1.52)

unde RevDvD

1

, n care Re este numrul lui Reynolds (tabelul A10),

D

kk , raport denumit rugozitate relativ, iar 2

0

0

v

, deci relaia (1.52) se scrie

ReD

kf

v

1,

2

0 , de unde rezult expresia efortului mediu la perete:

ReD

kfv

1,20 . (1.53)

Efortul mediu la perete duce n mod normal la apariia unei reaciuni a peretelui

conductei, care se opune ca direcie sensului de curgere al fluidului (existena acestei

reaciuni este o realitate fizic, numai c ea este datorat transmiterii eforturilor prin

fluid ca urmare a vscozitii). Pentru a determina mrimea reaciunii, trebuie s

considerm un volum V de fluid incompresibil n micare ntr-o conduct rectilinie, de

diametru i rugozitate constante (figura 1.5).

Modulele forelor care acioneaz asupra acestui volum de fluid sunt urmtoarele:

fora de greutate: gLD

VgmgG 4

2 ;

forele de presiune: 4

2

1111

DpApFp

i

4

2

2222

DpApFp

;

6 Trebuie s subliniem faptul c existena efortului tangenial la perete este un model matematic i nu o realitate fizic.


23

forele datorate impulsului: vQvQI 111 i vQvQI 222 .

Direciile i sensurile acestor fore sunt cele din figura 1.5.

Fig. 1.5. Determinarea reaciunii peretelui conductei

Aplicnd teorema impulsului pentru acest volum de fluid, se obine relaia vectorial:

RGFFII pp

2112 , (1.54)

care prin proiectare pe axa conductei, considernd sensul curgerii ca sens pozitiv,

devine: 21

cos0 pp FFRG ,

de unde rezult reaciunea peretelui conductei:

cos4

cos 21

2

21gLpp

DGFFR pp . (1.55)

innd seama de faptul c din considerente geometrice, 12cos zzL , precum i de

faptul c reaciunea poate fi considerat ca fiind produs de efortul mediu la perete 0 ,

care acioneaz pe suprafaa lateral (n contact cu solidul) a volumului de fluid

considerat, adic LDR 0 , relaia (1.55) devine:

12212

04

zzgppD

LD

,

adic

2

21

10

4z

g

pz

g

pD

g

L,


24

sau

gD

Lz

g

pz

g

p

0

22

11 4 . (1.56)

n continuare, aplicnd legea energiilor (1.31) aceluiai volum de fluid, obinem:

212

2222

11

211

22

dhz

g

p

g

vz

g

p

g

v. (1.57)

Deoarece pentru configuraia considerat viteza este constant, vvv 21 , relaia

(1.57) devine:

212

21

1

dhz

g

pz

g

p. (1.58)

Din (1.56) i (1.58), se obine pierderea de sarcin uniform distribuit:

gD

Lhd

021

4. (1.59)

Introducnd n relaia (1.59), dependena (1.53) obinut pe baza aplicrii teoremelor

analizei dimensionale, rezult:

1

,4 2

21 g

v

D

LReD

kf

hd

. (1.60)

Pentru a pune n eviden termenul cinetic din legea energiilor, relaia (1.60) se scrie:

2

1,8

2

21 g

v

D

L

ReD

kfhd

. (1.61)

Notnd 1

,8

ReD

kf , obinem relaia de definiie a pierderilor de sarcin uniform

distribuite:

2

2

21 g

v

D

Lhd , (1.62)

numit relaia Darcy-Weissbach. Coeficientul de pierdere uniform distribuit de

sarcin, , denumit i coeficientul lui Darcy, depinde de rugozitatea relativ Dk i de

numrul Reynolds, Re.

Dac se ine seama de relaia de definiie a debitului volumic, 4 2DvQ , relaia Darcy-Weissbach (1.62) se poate scrie n funcie de debit sub forma:


25

225

2

25 0826,0

2

16QMQ

D

LQ

gD

Lh dd

, (1.63)

unde 5 0826,0 DLMd este modulul de rezisten hidraulic distribuit (a se vedea

tabelul A2). Termenul constant, 0826,0216 2 g [s2/m], din relaia (1.63), va fi introdus n continuare n formule prin valoarea 0,0826 fr a mai meniona unitatea sa

de msur. n formulele de calcul ale pierderilor de sarcin hidraulic, toate celelalte

mrimi trebuie introduse cu valorile corespunztoare n uniti de msur ale S.I., astfel

nct rezultatul s fie corect din punct de vedere dimensional.

Coeficientul lui Darcy depinde de regimul de curgere din conduct, astfel:

n cazul micrii laminare, definit pentru numere Reynolds 2300Re ,

coeficientul lui Darcy depinde numai de numrul Reynolds, adic Re i este

definit prin formula Hagen-Poiseuille:

Re

64 , (1.64)

unde numrul Reynolds este:

D

Q

D

QDvRe

4 4 . (1.65)

Pentru regimul de tranziie corespunztor intervalului 35002300 Re , curgerea

este instabil i nu sunt propuse formule de calcul general valabile pentru coeficientul

lui Darcy.

n cazul micrii turbulente, coeficientul lui Darcy se determin cu diferite relaii

(explicite sau implicite), n funcie de tipul de turbulen i de tipul de rugozitate

aferent pereilor conductei (se consider dou categorii: conducte cu rugozitate

omogen, respectiv conducte tehnice, care au rugozitate neomogen). n continuare se

prezint cteva exemple de relaii pentru calcularea coeficientului lui Darcy:

Pentru regimul turbulent neted, definit de condiia aproximativ 13500 eReR ,

coeficientul lui Darcy depinde doar de numrul Reynolds, adic Re . Limita

inferioar a numrului Reynolds (notat 1eR ) nu are valoare constant, ci depinde de

rugozitatea relativ. Acest numr limit, 1eR , de la care ncepe s fie resimit influena


26

rugozitii, caracterizeaz trecerea de la regimul de curgere turbulent neted, n care

Re , la regimul turbulent preptratic, n care DkRe, .

Pentru conducte cu rugozitate omogen, numrul Reynolds limit inferior este

k

DRe

39,91 , iar coeficientul lui Darcy poate fi calculat cu:

formula explicit propus de ctre Blasius:

25,04

3164,0

100

1

ReRe , (1.66)

valabil pentru 5104000 eR , sau cu

formula implicit Prandtl-Krmn:

51,2lg 2

1

Re, (1.67)

valabil pentru 64 104,310 eR , sau cu

formula explicit Filonenko-Altul:

264,1lg8,1

1

Re, (1.68)

pentru 510eR .

Variaia coeficientului lui Darcy n funcie de numrul Reynolds, Re , definit

pentru regimul laminar (1.64) i pentru regimul turbulent neted (1.66)(1.68) este

reprezentat grafic n figura 1.6, n coordonate logaritmice. Reprezentarea logaritmic a

formulei (1.64) corespunde unei drepte, numit dreapta lui Poiseuille; reprezentarea

logaritmic a formulei (1.66) corespunde de asemenea unei drepte, numit dreapta lui

Blasius. Formula Prandtl-Krmn (1.67) a fost aplicat pentru intervalul

54 1010 eR , valorile lui fiind determinate iterativ, pornind de la o valoare de start

egal cu 0,0015.

Pentru conducte tehnice (conducte cu rugozitate neomogen), numrul Reynolds limit

inferior este kDeR 100 201 . n continuare, respectiv n calculele curente aferente

reelelor de conducte, se va considera relaia [68]:

kDRe 231 . (1.69)


27

Pentru conducte tehnice, coeficientul lui Darcy poate fi calculat, pentru regimul

turbulent neted, cu formula Prandtl-Krmn (1.67), care este valabil pentru orice tip

de rugozitate.

Fig. 1.6. Variaia Re pentru regimul laminar, respectiv turbulent neted, n cazul conductelor cu rugozitate omogen

Pentru regimul turbulent preptratic (sau turbulent mixt), definit pentru

21 eReReR , coeficientul lui Darcy depinde att de numrul Reynolds, ct i de

rugozitatea relativ Dk , anume DkRe, . Limita superioar a numrului

Reynolds (notat 2Re ) caracterizeaz trecerea de la regimul de curgere turbulent

preptratic, n care DkRe, , la regimul de curgere turbulent rugos, n care

Dk .

Pentru conducte cu rugozitate omogen, numrul Reynolds limit superior este:

k

DRe

2002 . (1.70)


28

Pentru conducte tehnice, numrul Reynolds limit superior este definit mai simplu,

prin relaia:

kDRe 5602 , (1.71)

care va fi utilizat n calculele curente aferente reelelor de conducte.

Pentru conducte tehnice, coeficientului lui Darcy poate fi calculat cu formula lui Altul:

25,068

1,0

D

k

Re, (1.72)

sau cu formula Colebrook-White:

D

k

Re 71,3

51,2 lg 2

1, (1.73)

o fomul implicit, dificil de utilizat n practic (utilizarea sa este comod n cadrul unui

program de calcul numeric). Formula lui Colebrook i White (1.73) este valabil att n

regim turbulent neted, caz n care se neglijeaz termenul care conine rugozitatea

relativ (cnd 0k , se obine formula Prandtl-Krmn (1.67)), ct i n regimul

turbulent rugos, caz n care se neglijeaz termenul care conine numrul Reynolds (cnd

eR , se obine formula Prandtl-Nikuradse (1.74) de mai jos).

Pentru regimul turbulent rugos (sau turbulent ptratic), definit pentru 2eReR ,

coeficientul lui Darcy depinde numai de rugozitatea relativ Dk , adic Dk .

Pentru orice gen de rugozitate (omogen sau neomogen) i pentru kDRe 560 ,

coeficientului lui Darcy poate fi calculat cu formula Prandtl-Nikuradse:

2 71,3

lg 2

k

D, (1.74)

care poate fi pus i sub forma:

2

14,1lg 2

k

D. (1.74)

Rezultatele experimentale obinute pentru conducte cu rugozitate omogen au condus

la diagrama lui Nikuradse, o diagram trasat n planul ,Re , pentru valorile

logaritmate7 ale numrului Reynolds (n abscis) i ale coeficientului lui Darcy (n

7 logaritm zecimal


29

ordonat), avnd rugozitatea relativ ca parametru, adic DkRe, . Pe aceast

diagram se disting zonele corespunztoare regimurilor de curgere, anume: regimul

laminar (pe dreapta lui Poiseuille, reprezentat n figura 1.6), regimul turbulent neted

(reprezentat, de asemenea, n figura 1.6), regimul turbulent preptratic pentru

DkRe, , respectiv regimul turbulent rugos pentru Dk .

Rezultatele experimentale obinute pentru conducte tehnice au condus la diagrama lui

Moody, o diagram trasat n planul ,Re , n acelai stil ca i diagrama lui

Nikuradse, ceea ce permite efectuarea comparaiilor ntre zonele corespunztoare

regimurilor de curgere. Diagrama lui Moody este reprezentat n figura 1.7.

Fig. 1.7. Diagrama lui Moody

n diagrama lui Moody, regimul laminar este definit prin dreapta lui Poiseuille. n

zona regimului de tranziie, delimitat prin verticalele care trec prin valorile critice


30

aproximative 2300Re i 3500Re , a fost prelungit8 dreapta lui Poiseuille (cu linie

punctat). Regimul turbulent neted este reprezentat de curba descris de formula

Filonenko-Altul9 (1.68), prelungit i ctre valori mai mici ale numrului Reynolds

3500Re i este delimitat de curba notat C1, care va fi explicitat n relaia (1.75)

care urmeaz. Regimul turbulent preptratic este cuprins ntre cele dou curbe limit,

notate C1 i C2 (cea din urm explicitat n (1.76)). Regimul turbulent rugos este

delimitat inferior de curba C2. Pentru zona corespunztoare regimului turbulent s-a

utilizat formula Colebrook-White (1.73), n care valorile coeficientului au fost

determinate iterativ, pornind de la o valoare de start egal cu 0,001. Rugozitatea relativ

variaz n intervalul: 14,0108,1 6 Dk .

Dup cum s-a precizat, pe diagrama lui Moody (figura 1.7) se disting dou curbe limit,

C1 i C2, care delimiteaz tipurile de turbulen: prima (C1) este frontiera inferioar

1Re a regimului turbulent preptratic, frontier pe care kDReRe 231 , iar

cea de-a doua (C2) este frontiera superioar 2Re a regimului turbulent

preptratic, frontier pe care kDReRe 5602 . Ecuaiile acestor curbe limit se

obin n felul urmtor: se extrag rugozitile relative din (1.69) i (1.71), adic

ReDk 23 , respectiv ReDk 560 i se introduc n formula Colebrook-White

(1.73). Se obin astfel ecuaiile curbelor limit cutate, sub form implicit, anume:

frontiera inferioar C1

ReRe 71,3

23

51,2 lg 2

1, (1.75)

frontiera superioar C2

ReRe 71,3

560

51,2 lg 2

1. (1.76)

Reprezentarea tridimensional (3D) a diagramei lui Moody este realizat n figura

1.8, n spaiul definit de cele trei variabile: , , DkRe . n spaiul 3D din aceast

figur se distring trei suprafee, separate unele de altele, anume:

8 n condiii speciale de laborator, regimul laminar poate fi meninut pentru valori ale numrului Reynolds mai mari dect 2300, ns la cea mai mic perturbaie, curgerea fiind instabil, se face un salt la urmtorul regim de curgere, cel turbulent.

9 Ar fi fost corect s fie utilizat formula Prandtl-Krmn (1.67), ns pe de o parte, aceasta nu

acoper toat plaja dorit a numrului Reynolds i este mai greu de utilizat, fiind implicit, iar pe de alt parte, din figura 1.6 rezult c formula (1.68) are alura potrivit pentru a aproxima n mod acceptabil variaia coeficientului lui Darcy pentru Re > 3500.


31

S1 planul nclinat corespunztor regimului laminar;

S2 suprafaa cvasi-triunghiular, simplu curbat, aferent regimului turbulent neted;

S3 suprafaa dublu curbat, aferent regimului turbulent preptratic (ntre curbele

limit C1 i C2), respectiv regimului turbulent rugos (mrginit inferior de curba limit

C2); n zona numerelor Reynolds mari i a rugozitilor relative mari, suprafaa

corespunztoare regimului turbulent rugos se aplatizeaz, palierul fiind datorat lipsei de

influen a numrului Reynolds.

Mrimea i delimitarea diferitelor regimuri de curgere este mult mai bine evideniat n

reprezentarea 3D din figura 1.8, dect n reprezentarea clasic, bidimensional, din

figura 1.7.

Fig. 1.8. Reprezentarea tridimensional a diagramei lui Moody

Curbele limit tridimensionale C1 i C2 reprezint intersecia suprafeelor S2 i S3 cu

suprafeele verticale, generate de curbele DkfRe 11 i DkfRe 22 din planul

DkRe, . Se observ, dup cum era de ateptat, c regimul laminar corespunde


32

planului nclinat S1 generat de (1.64) independent de rugozitate. Se ilustreaz faptul c

regimul turbulent neted este ntlnit ntr-o zon foarte mic (S2) de forma unui

triunghi curbiliniu foarte ascuit; practic, acest regim nu poate fi obinut pentru valori

mari ale rugozitii relative! Turbulena neted poate fi atins doar pentru valori ale

rugozitii relative mai mici dect10 0,0065. Cu alte cuvinte, pentru conducte cu

rugozitate relativ mare, se face un salt direct de la regimul de tranziie, la regimul

turbulent preptratic. n fine, se observ c att regimul turbulent preptratic, ct mai

ales regimul turbulent rugos, ocup suprafee nsemnate din diagram. Se

menioneaz de altfel, c majoritatea sistemelor hidraulice, ale cror conducte sunt de

metal sau de azbociment, sau ale cror conducte sunt vechi (indiferent de material),

funcioneaz n regim de curgere turbulent preptratic sau turbulent rugos. n cazul n

care conductele sunt din polietilen, pexal sau alte materiale cu rugozitate foarte mic

(de exemplu, sticl), sau n cazul n care conductele de metal sunt noi, curgerea poate

corespunde regimului turbulent neted.

Existena celor patru zone11 de variaie diferit a coeficientului de pierdere uniform

distribuit de sarcin poate fi explicat observnd variaia diferit a vitezelor v n funcie

de raza r, ntr-o seciune normal la direcia principal de curgere, ntr-o conduct

circular de diametru R2 (figura 1.9). Pentru efectuarea comparaiei ntre profilele de

vitez aferente celor 4 regimuri de curgere, n figura 1.9 au fost adimensionalizate

variabilele, prin raportarea la valorile lor maxime, anume: maxvv n abscis (viteza

maxim maxv nregistrndu-se n axa conductei) i Rr (n procente) n ordonat.

S ne reamintim c factorul care determin pierderile de sarcin este vscozitatea

fluidului, o proprietate care se pune n eviden atunci cnd exist diferene ntre

vitezele straturilor adiacente de fluid.

n cazul regimului laminar (datorit profilului de viteze care apare n aceast situaie),

diferenele se regsesc n toat masa fluidului i n consecin sunt puin influenate de

rugozitatea peretelui conductei.

10

Cnd valoarea numrului Reynolds se apropie de 3500, din condiia kDReRe 231 ,

rezult: 00657,0350023 Dk . 11

anume: zona laminar, zona de turbulen neted, zona de turbulen preptratic i zona de turbulen rugoas


33

Fig. 1.9. Profilul vitezelor medii temporale la curgerea n conducte circulare

n cazul regimului turbulent, variaiile importante de vitez se regsesc n apropierea

peretelui conductei. Spre exemplificare, n figura 1.10 este prezentat variaia vitezei

medii temporale n ultimii 10 milimetri ai unei conducte cu diametrul de 200 mm i

rugozitatea absolut k de 1 mm. Pentru o mai uoar nelegere a fenomenului, a fost de

asemenea trasat limita de la care viteza depete 50% din viteza maxim (verticala

5,0max vv ), precum i mrimea medie a rugozitii (orizontala 99r mm). Se poate

astfel observa cu uurin c grosimea zonei n care viteza ajunge la 50% din viteza

maxim n conduct scade o dat cu creterea numrului Reynolds. De asemenea, n

cazul regimului turbulent neted, grosimea acestei zone este mai mare dect rugozitatea

absolut, ceea ce face ca mecanismul de disipare a energiei s nu fie mult influenat de

rugozitatea peretelui conductei (ca i n cazul micrii laminare).

La regimul turbulent preptratic, grosimea zonei cu variaii importante de vitez este

de acelai ordin de mrime cu grosimea rugozitii absolute a peretelui conductei, deci

disiparea de energie este influenat att de aceast valoare, ct i de numrul Reynolds.


34

n sfrit, n cazul regimului turbulent rugos, grosimea acestei zone cu variaii

importante de vitez este mult mai mic dect mrimea rugozitii absolute i, n

consecin, numrul Reynolds nu mai influeneaz semnificativ disiparea energiei

mecanice.

Fig. 1.10. Variaia vitezei n apropierea peretelui unei conducte circulare cu diametrul de 200 mm i rugozitatea absolut de 1 mm, pentru diferite numere Reynolds:

4200Re (regim turbulent neted), 50000Re (regim turbulent preptratic) i

200000Re (regim turbulent rugos)

Trebuie menionat c:

zona n care apar variaii semnificative de vitez, concentrnd astfel pierderile

energetice, este impropriu denumit substrat limit laminar (ntr-adevr, zona de regim

laminar este mult mai apropiat de peretele conductei). O denumire mai corect este

aceea de substrat vscos (n care eforturile tangeniale date de vscozitate sunt

preponderente), dei aceast denumire presupune inexistena pulsaiilor de vitez pe


35

direcii transversale curgerii (ipotez evident n apropierea pereilor solizi, dar greu de

demonstrat experimental pe ntreaga grosime a zonei);

valoarea de 50% din viteza maxim din axa conductei a fost aleas arbitrar, cu titlu

de exemplu. Pentru relaii de calcul adecvate definirii grosimii zonei n care se

concentreaz pierderile de energie mecanic n cazul micrii turbulente, trebuiesc

consultate lucrrile de specialitate menionate n bibliografie.

1.5.2. Pierderi de sarcin locale

Pierderea de sarcin hidraulic local lh este definit prin relaia:

g

vhl

2

2

, (1.77)

care se poate scrie i n funcie de debit:

224

08260 QMQD

,h ll , (1.78)

unde 4 0826,0 DM l este modulul de rezisten hidraulic local (a se vedea

tabelul A2).

Dup cum s-a precizat n tabelul A2, valorile coeficientului de pierdere local de sarcin

hidraulic sunt date sub form de grafice, tabele sau formule, n funcie de tipul

singularitii (neuniformitii), precum i de caracteristicile geometrice ale conductei

[71; 85]. Acest coeficient depinde de numrul Reynolds n cazul regimului laminar i

este, n general, constant n cazul regimului de micare turbulent.

O atenie deosebit trebuie acordat cazurilor n care pierderile de sarcin locale apar la

frontiera dintre dou tronsoane diferite de conduct (schimbri de seciune, ramificaii).

n aceste cazuri, pierderea local de sarcin poate fi calculat cu termenul cinetic de

dinaintea neuniformitii sau de dup neuniformitate, coeficientul avnd valori

diferite astfel nct valoarea lh s fie unic.

n continuare se abordeaz, pentru exemplificare, cazul lrgirii brute de seciune. S

considerm un volum V de fluid incompresibil n micare n acest caz (figura 1.11).

Modulele forelor care acioneaz asupra acestui volum de fluid sunt urmtoarele:


36

Fig. 1.11. Pierderea de sarcin local n cazul lrgirii brute de seciune

fora de greutate: gLD

VgmgG 4

2 ;

forele de presiune: 4

2

1111

DpApFp

i

4

2

2222

DpApFp

;

forele datorate impulsului: 111 vQI i 222 vQI ;

reaciunea peretelui solid, care n conformitate cu cele artate n paragraful anterior

(1.5.1), este: LDR 0 .

Direciile i sensurile acestor fore sunt cele din figura 1.11.

Aplicnd teorema impulsului pentru acest volum de fluid, se obine relaia vectorial:

RGFFII pp

2112 , (1.79)

care prin proiectare pe axa conductei, considernd sensul curgerii ca sens pozitiv,

devine: LDLD

gD

pD

pvQvQ cos444

0

22

2

2

11122

. (1.80)

Efortul mediu la perete poate fi exprimat n funcie de pierderea uniform distribuit de

sarcin, conform relaiei (1.59):

L

hDg

d 210

4

. (1.81)


37

Cu acestea i innd seama de faptul c din considerente geometrice, 21cos zzL ,

precum i de faptul c debitul poate fi exprimat n funcie de vitez ca: 422 DvQ ,

teorema impulsului proiectat pe axa conductei (1.80) devine:

21

2

21

22

2

2

121

2

122

2

2444444

dh

Dgzz

Dg

Dp

Dpvv

Dv

D,

iar prin simplificare cu 42Dg , se obine:

2121

21211222

dhzz

g

p

g

p

g

vvv, (1.82)

deci pierderea uniform distribuit de sarcin este n acest caz:

g

vvvz

g

pz

g

phd

222211

22

11

21

. (1.83)

Legea energiilor (1.31) ntre seciunile 1S i 2S se scrie:

1212

2222

11

211

22ld hhz

g

p

g

vz

g

p

g

v

, (1.84)

de unde rezult valoarea pierderii de sarcin locale din seciunea 1S :

21

222

211

22

11

1 2

dl h

g

vvz

g

pz

g

ph . (1.85)

nlocuind n (1.85) expresia pierderii uniform distribuite de sarcin (1.83), obinut pe

baza aplicrii teoremei impulsului, se obine:

g

vvv

g

vvhl

211222

222

211

1 2

. (1.86)

n continuare, considernd micarea turbulent n ambele seciuni, se pot admite

aproximrile: 121 i 121 , iar expresia pierderii de sarcin locale

(1.86) devine:

g

vv

g

vvvvvhl

22

222

212122

22

21

1

, (1.87)

cunoscut sub numele de relaia Borda-Carnot. Astfel, pierderea local de sarcin la

lrgirea brusc de seciune poate fi obinut fie pentru termenul cinetic din amonte de

neuniformitate,


38

g

v

g

v

v

vhl

221

21

1

21

2

1

21

, (1.88)

fie pentru termenul cinetic din aval de neuniformitate

g

v

g

v

v

vhl

221

22

1

22

2

2

11

. (1.89)

n practic, cele dou conducte formeaz tronsoane diferite, pentru care se scrie separat

legea energiilor n cadrul unui sistem de ecuaii, care duce la rezolvarea unei probleme

complexe. Pierderea local de sarcin datorat modificrii de seciune poate fi introdus

(cu formula corespunztoare) n oricare dintre aceste ecuaii, dar nu n ambele, astfel

nct, valoarea ei s apar o singur dat n sistemul general de ecuaii.

n cazul ramificaiilor, n general valorile coeficientului sunt diferite n funcie de

traseul fluidului i, n consecin, pierderile locale de sarcin trebuiesc luate n

considerare pe tronsoanele pe care acest traseu este evident. n tabelul 1.1 sunt

prezentate schematic cazurile posibile pentru teuri cu brae egale i tronsoanele pe care

se consider pierderile locale de sarcin.

Tabelul 1.1. Considerarea pierderilor locale de sarcin n cazul teurilor cu brae egale

Separarea

curentului de

fluid

mpreunarea

curentului de

fluid


39

n cazul n care teurile au braele inegale, se consider separat pierderea de sarcin

local datorat modificrii de seciune.

innd seama de relaiile (1.63) i (1.78), pierderea de sarcin hidraulic total (1.50) se

poate scrie la rndul su n funcie de debit:

2

1

QMMhn

jjldr

2MQhr , (1.90)

unde M este modulul de rezisten hidraulic al conductei. n continuare, pentru

simplificarea scrierii, pierderea de sarcin hidraulic total se va exprima

preponderent sub forma 2MQhr .


40

2. ELEMENTE DE CALCUL ALE SISTEMELOR HIDRAULICE

2.1. Tipuri de sisteme hidraulice. Particulariti i clasificare

Din punct de vedere constructiv, sistemele hidraulice pot fi monofilare, cu o intrare i o ieire, respectiv reductibile la un sistem monofilar, sau pot fi formate din reele de conducte, a cror configuraie geometric i numr de intrri/ieiri depinde de destinaia

sistemului.

Sistemele hidraulice monofilare sau reductibile la un sistem monofilar sunt constituite din:

o singur conduct simpl cu diametru constant, prevzut cu o singur intrare i o singur ieire;

conducte simple montate n serie extremitatea aval a unui tronson este conectat la extremitatea amonte a tronsonului urmtor; debitul care tranziteaz sistemul este

constant, ns viteza variaz de la un tronson la altul, n funcie de diametru;

conducte simple montate n paralel extremitile amonte ale tronsoanelor sunt legate ntr-un nod comun de distribuie, respectiv extremitile aval sunt legate ntr-un nod comun de colectare; debitul intrat n nodul de distribuie este egal cu suma debitelor

care tranziteaz tronsoanele montate n paralel, respectiv este egal cu debitul ieit din

nodul de colectare;

conducte simple montate mixt conducte montate n serie i n paralel, n diferite configuraii geometrice;

conducte care debiteaz pe parcursul traseului, anume aripa de aspersiune, respectiv conducta cu debit uniform distribuit conducte n care debitul intrat prin extremitatea din amonte este parial tranzitat ctre extremitatea din aval; debitul distribuit pe traseu

reprezint diferena dintre debitul de alimentare din amonte i debitul evacuat n aval;

Hidraulica reelelor de conducte i maini hidraulice 42

aceast diferen de debit este distribuit ctre consumatori, prin racorduri dispuse de-a

lungul conductei.

Reelele de conducte sunt constituite din artere (conducte simple) i noduri. Reelele de conducte se mpart n urmtoarele categorii:

reele de conducte ramificate conducta magistral de alimentare se ramific n conducte principale, care la rndul lor se ramific n conducte secundare, acestea din

urm ajungnd la consumatori; astfel, dou noduri din sistem pot fi unite prin artere care

formeaz un singur traseu; preponderent, acestea se ntlnesc la instalaiile interioare de

alimentare cu ap;

reele de conducte inelare (sau buclate) conductele formeaz ochiuri de reea; dou ochiuri (inele) adiacente au cel puin un tronson comun de conduct; n acest fel, dou

noduri din sistem pot fi unite prin artere care formeaz cel puin dou trasee; conductele reelei se intersecteaz n noduri, din care se pot preleva sau nu debite de consum;

sensul debitelor pe arterele reelei inelare nu se cunoate apriori. reele mixte de conducte n anumite noduri ale unei reele inelare pot fi conectate reele ramificate de conducte, obinndu-se astfel o reea complex, denumit mixt; preponderent, aceste reele hidraulice sunt caracteristice reelelor exterioare de

distribuie a apei n oraele mari;

reele binare de conducte reprezint un caz particular de reele inelare: sunt reele inelare la care se cunoate sensul debitelor pe artere; sunt constituite dintr-un circuit de tur i un circuit de retur (deci corespund vehiculrii lichidului n circuit nchis); se

ntlnesc n general la instalaiile de nclzire, de termoficare, de recirculare a apelor

industriale sau la instalaiile frigorifice.

Din punct de vedere hidraulic, sistemele pot fi constituite din: conducte scurte conducte la care pierderile locale de sarcin hidraulic se iau n considerare alturi de pierderile de sarcin distribuite (ambele tipuri de pierderi de

sarcin au acelai ordin de mrime). n consecin, n cazul conductelor scurte din punct de vedere hidraulic, pierderea de sarcin total se calculeaz cu relaia (2.50). n aceast

categorie se ncadreaz conductele al cror raport ntre lungime i diametru are valori

reduse1: 200DL .

1 se poate admite i ( )400 , ,200 KDL

cap.2. Elemente de calcul ale sistemelor hidraulice

43

conducte lungi conducte la care pierderile locale de sarcin hidraulic, precum i termenii cinetici de la intrarea i ieirea din conducte, se neglijeaz n raport cu

pierderile de sarcin hidraulic distribuite ( dl hh DL .

2.2. Sisteme hidraulice unifilare sau reductibile la sisteme unifilare

2.2.1. Conducta simpl

Fie conducta circular de diametru constant D i lungime L, din figura 2.1. Legea

energiilor (1.31), sau relaia lui Bernoulli generalizat, ntre seciunea de intrare i i seciunea de ieire e se scrie:

eireee

iii hz

gp

gvz

gp

gv

+++=++ 2222

. (2.1)

Fig. 2.1. Reprezentarea schematic a conductei simple

2 se poate admite i ( )400 , ,200 K>DL


Din ecuaia continuitii ntre i i e: ( ) ( ) QDvDv ei == 44 22 , rezult c viteza este constant: ei vv = . Din relaia (2.1), se obine sarcina sistemului hidraulic H* (definit n tabelul A7. n funcie de nlimile piezometrice pH ):

2MQhzg

pzg

pHHH eiree

ii

epip==

+

+==

. (2.2)

Pierderile totale de sarcin hidraulic eirh au fost exprimate prin relaia (1.90). Se

reamintete c modulul de rezisten hidraulic al conductei M include modulul de rezisten hidraulic distribuit dM ntre seciunile i i e, respectiv suma modulelor de

rezisten hidraulic locale lM (definite n tabelul A2).

2.2.2. Conducte simple montate n serie

Fie un numr de n conducte simple (tronsoane) montate n serie, delimitate de punctele i

i e ca n figura 2.2, tranzitate de debitul constant Q, avnd diametre, rugoziti i

lungimi diferite.

Notnd cu jQ debitul care tranziteaz tronsonul j i cu jrh pierderea de sarcin total

corespunztoare tronsonului j (unde j = 1, 2, 3, ..., n), pentru sistemul de n tronsoane

montate n serie se poate scrie:

QQQQQQ nj ======= KK321 , (2.3)

Fig. 2.2. Reprezentarea schematic a conductelor simple montate n serie (n acest caz, n = 4)


45

=

+=

+=1

1 1,

1

n

jjjl

n

jjreir hhh , (2.4)

unde 1, +jjlh reprezint pierderea local de sarcin la trecerea de la tronsonul j la

tronsonul (j+1). Aceast pierdere local poate fi datorat modificrii de diametru, acolo

unde aceast modificare exist. Se subliniaz ns c dou tronsoane sunt diferite dac

au rugoziti diferite, chiar dac au acelai diametru i sunt parcurse de acelai debit.

O atenie deosebit trebuie acordat termenilor 1, +jjlh care pot fi calculai fie pentru

tronsonul j situat n amonte de jonciune (nodul de legtur), fie pentru tronsonul aval

(j+1), astfel:

241

24

21

2

1, 0826,00826,022Q

DQ

Dgv

gv

hjj

jjjjl

++

+==== . (2.5)

n funcie de modul n care se determin valoarea coeficientului de pierdere local de

sarcin ( pentru viteza jv i diametrul jD , respectiv pentru viteza 1+jv i diametrul 1+jD ), aceste pierderi pot fi incluse n calculul pierderii de sarcin de pe

tronsonul corespunztor vitezei considerate/ diametrului considerat, cu condiia ca

acestea s apar o singur dat n expresia pierderii totale de sarcin dintre intrare i

ieire (2.4). n aceast lucrare convenim s introducem aceste pierderi locale n pierderea de sarcin a tronsonului amonte, anume tronsonul j, astfel nct: 1, ++= jjljrjr hhh , unde 1 , ,2 ,1 = nj K . (2.6) Cu aceasta, relaia (2.4) devine:

nrnrjrrreir hhhhhh ++++++= 121 KK . (2.7) Legea energiilor ntre seciunile i i e se scrie ca n (2.1). Tronsoanele avnd diametre

diferite, vitezele sunt diferite, n consecin ei vv . Rezult c:

eirepe

ipi hH

gvH

gv

++=+ 2222

, (2.8)

unde pierderea de sarcin hidraulic total din sistemul considerat este calculat cu

relaia (2.7). Sarcina sistemului hidraulic se scrie n acest caz:

( ) eirieepip hgvvHHH +== 2 22 . (2.9)


Termenul cinetic gv 22 se poate scrie n funcie de modulul cinetic3 cM definit n

tabelul A2 (n care coeficientul lui Coriolis s-a considerat egal cu unitatea4), adic:

2242 1 0826,0

2QMQ

Dgv

c== . (2.10)

Diferena termenilor cinetici din legea energiilor (2.8), se scrie deci sub forma:

( ) ( ) 224422 11 0826,02 QMMQDDgvv icecieie =

= . (2.11)

Pierderea total de sarcin poate fi scris n funcie de modulele de rezisten hidraulic

corespunztoare fiecrui tronson de conduct, astfel:

22 1122

22211 nnnnjjeir QMQMQMQMQMh ++++++= KK . (2.12)

innd seama de (2.3), rezult:

=++++++= 22122221 QMQMQMQMQMh nnjeir KK

221

1 QMQMM sechnn

jj =

+=

=. (2.13)

Se observ c putem calcula un modul echivalent de rezisten hidraulic corespunztor conductelor montate n serie, de forma:

nn

jjsech MMM +=

=

1

1 , (2.14)

cu ajutorul cruia, legea energiilor (2.8) se poate scrie:

222

22QMH

gvH

gv

sechepe

ipi ++=+ . (2.15)

Sarcina sistemului hidraulic (2.9) poate fi scris i sub urmtoarea form compact:

( ) 22 QMQMMMHHH sechicecepip =+== . (2.16) Prin aceast echivalen, sistemul de conducte legate n serie se reduce la o conduct simpl monofilar al crei modul global de rezisten5 este definit prin expresia:

( )sechicec MMMM += , astfel nct sarcina sistemului se poate calcula cu o relaie 3 modul fictiv de rezisten hidraulic 4 S-a specificat la sfritul paragrafului 1.3 c n sistemele hidraulice tratate n aceast lucrare,

curgerea este turbulent, deci 1. 5 vezi tabelul A2


47

de tipul 2QMH = . n cazul particular n care vitezele la intrarea n sistem, respectiv la ieirea din sistem sunt egale ( ei vv = ), rezult c icec MM = , sau dac la capetele sistemului sunt rezervoare (caz n care 0== ei vv ), modulul global de rezisten devine egal cu modulul echivalent al sistemului de conducte simple montate n serie:

sechMM = .

2.2.3. Conducte simple montate n paralel

Fie un numr de n conducte simple (tronsoane) montate n paralel ca n figura 2.3.

Extremitile amonte ale tronsoanelor sunt legate n nodul comun de distribuie, notat i (intrarea n sistemul hidraulic), iar extremitile aval sunt legate n nodul comun de

colectare, notat e (ieirea din sistemul hidraulic).

Fig. 2.3. Reprezentarea schematic a conductelor simple montate n paralel

Conform ecuaiei continuitii, debitul de ap Q intrat n nodul de distribuie este egal cu suma debitelor jQ (j = 1, 2,, n) care tranziteaz tronsoanele montate n paralel,

respectiv este egal cu debitul ieit din nodul de colectare:

=

=n

jjQQ

1 . (2.17)

Se reamintete c pentru un sistem de conducte simple (fr maini hidraulice) montate

n paralel, legea energiilor ntre nodurile i i e, se poate scrie pe fiecare tronson j astfel:


jrepe

ipi hH

gvH

gv ++=+

22

22, unde nj , ,2 ,1 K= . (2.18)

Cu alte cuvinte, distribuia debitelor pe cele n conducte montate n paralel se face astfel

nct pierderile de sarcin hidraulic s fie egale: 2jjjreir QMhh == . (2.19) Putem considera pierderea de sarcin eirh ca rezultnd dintr-un modul echivalent de

rezisten hidraulic a cuplajului n paralel, parcurs de debitul total Q, care tranziteaz cuplajul:

2QMh pecheir = . (2.20) Egalnd ecuaiile (2.19) i (2.20), se obine:

22 jjpech QMQM = . (2.21) Relaia (2.21) permite explicitarea debitului care parcurge tronsonul j:

j

pechj M

MQQ = , cu nj , ,2 ,1 K= . (2.22)

Introducnd valoarea jQ din (2.22) n relaia (2.17),

=

=n

j j

pech

M

MQQ

1 , adic

==

n

j jpech M

MQQ1

1 ,

se obine formula de calcul a modulului echivalent de rezisten hidraulic corespunztor conductelor montate n paralel:

=

=n

j jpech MM 1

11 2

1

1

=

= nj j

pech MM . (2.23)

Pentru simplificarea calculului pierderilor de sarcin hidraulic eirh din ntreg

sistemul, au fost neglijate pierderile de sarcin locale n nodul de distribuie (i) precum i n cel de colectare (e).

Sarcina sistemului hidraulic

( ) eirieepip hgvvHHH +== 2 22 (2.24) se poate reduce n acest caz la forma:


49

( ) 22 QMQMMMH pechicec =+= . (2.25) Prin aceast echivalen, sistemul de conducte montate n paralel se reduce la o

conduct simpl monofilar, al crei modul global de rezisten este definit prin relaia: ( )pechicec MMMM += . Se precizeaz c modulele cinetice icM i ecM sunt

calculate cu ajutorul diametrelor iD i eD corespunztoare seciunilor aflate imediat

amonte, respectiv imediat aval de jonciunea conductelor. n cazul particular n care

icec MM = , modulul global de rezisten devine egal cu modulul echivalent al sistemului de conducte simple montate n paralel: pechMM = .

2.2.4. Conducte simple montate mixt

Fie un sistem de conducte montate mixt (n serie i n paralel) conform configuraiei geometrice din figura 2.4: primele dou conducte simple (ntre nodurile i-A, respectiv

A-B) sunt nseriate cu un sistem de n conducte simple montate n paralel (ntre nodurile

B i C), iar acesta din urm este nseriat la rndul su cu o alt conduct simpl (ntre

nodurile C-e).

Fig. 2.4. Reprezentarea schematic a conductelor simple montate mixt

Se scrie ecuaia continuitii (2.17), conform creia debitul de ap Q intrat n nodul de

distribuie B este egal cu suma debitelor jQ (j = 1, 2, , n) care tranziteaz tronsoanele

montate n paralel, respectiv este egal cu debitul ieit din nodul de colectare C.


Echivalnd sistemul de n conducte montate n paralel, cu un sistem monofilar al crui

modul echivalent de rezisten hidraulic este pechM , definit prin relaia (2.23), se

obine pierderea de sarcin hidraulic din sistemul monofilar echivalent delimitat de

punctele B i C:

2QMh pechCBr = . (2.26) i aici sunt valabile relaiile (2.21) i (2.22).

Prin echivalena efectuat, sistemul mixt din figura 2.4. se reduce la un sistem de 4 conducte simple montate n serie. Legea energiilor ntre nodurile i i e se scrie:

eirepe

ipi hH

gvH

gv

++=+ 2222

, (2.27)

unde pierderea de sarcin hidraulic total ntre i i e se determin prin nsumarea

pierderilor de pe conductele montate n serie, cu ajutorul unei relaii de tipul (2.13):

( ) 22 QMQMMMMh secheCpechBAAieir =+++= . (2.28) Cu aceasta, sistemul de 4 conducte legate n serie se reduce la o conduct simpl monofilar al crei modul de rezisten este sechM definit n (2.28). Se subliniaz c pentru cele n conducte simple montate n paralel n figura 2.4, au fost

neglijate pierderile de sarcin locale n nodul de distribuie B precum i n cel de colectare C. Pentru configuraia aleas pentru exemplificare, singura pierdere local de sarcin la trecerea de la un tronsonul la altul se nregistreaz deci n nodul A, la jonciunea tronsoanelor i-A i A-B, anume: Alh . Conform paragrafului 1.5.2., aceast

pierdere local se include n pierderea de sarcin aferent tronsonului din amonte, i-A.

Se obine astfel: 2QMhhh AiAlAirAir =+= . innd seama de relaia (2.28), legea energiilor (2.27) devine:

222

22QMH

gvH

gv

sechepe

ipi ++=+ . (2.29)

Sarcina sistemului hidraulic

( ) 2222

QMgvvHHH sech

ieepip

+== , (2.30)

poate fi redus la forma:


51

( ) 22 QMQMMMH sechicec =+= . (2.31) Prin aceast ultim echivalen, se demonstreaz c un sistem de conducte simple

montate mixt (de exemplu, ca n figura 2.4) se poate reduce n final la o conduct simpl monofilar al crei modul global de rezisten este ( )sechicec MMMM += , unde sechM este definit n (2.28).

2.2.5. Conducte care debiteaz pe parcursul traseului

Dup cum s-a precizat n paragraful 2.1., conductele care debiteaz pe parcursul traseului sunt de dou tipuri, anume: aripa de aspersiune i conducta cu debit uniform

distribuit. Aripa de aspersiune este utilizat n irigaii (se mai numete i arip de ploaie), ns calculul hidraulic aferent este aplicabil i la ramificaiile instalaiilor de alimentare cu ap a princlerelor pentru stingerea incendiilor6.

2.2.5.1. Aripa de aspersiune

Aripa de aspersiune este o conduct monofilar de diametru constant D, nchis la

extremitatea din aval i prevzut de-a lungul generatoarei sale de lungime L cu n prize

de ap (ajutaje), care n realitate pot fi aspersoare, princlere etc (figura 2.5). Pentru simplificare, se va considera o conduct monofilar orizontal, iar coeficientul lui Darcy

se va presupune constant ntre amonte i aval. Ajutajele au acelai diametrul d i sunt n

general egal distanate, lungimea dintre dou ajutaje fiind ( )1= nLl . Prin fiecare ajutaj trebuie evacuat debitul jQ (unde nj , ,2 ,1 K= ). Debitul jQ este variabil, mai exact scade dinspre amonte ctre aval, n funcie de pierderile de sarcin hidraulic de pe traseu, deci n funcie de scderea presiunii din conducta monofilar. Presiunea scade

de-a lungul conductei, de la valoarea ip la intrare, la valoarea ep din captul aval.

6 Instalaia cu princlere este o reea ramificat de conducte, umplut permanent cu ap sub

presiune. Pe fiecare ramur a instalaiei sunt montate princlere.


Primul ajutaj, va evacua debitul: iiq papdQ 2

4 2

1 == , unde s-a notat constanta

= 2

4 2da q , iar q reprezint coeficientul de debit corespunztor ajutajului. Se

consider nodul j plasat n axa conductei (figura 2.5). Ajutajul plasat n dreptul nodului j

va evacua debitul jj paQ = , unde jp este presiunea din nodul j, cuprins ntre valorile eji ppp


53

Pentru ( )1= nj , cu relaia (2.34) se obine presiunea n ultimul nod (nodul n) din axa conductei, adic ( )1= ne pfp . Calculul hidraulic al aripii de aspe

hidraulica retelelor de conducte si masini hidraulice_2007_georgescu

Documents