CAPITOLUL 1

INTRODUCERE

1.1. Obiectul hidraulicii şi scurtul ei istoric

1.1.1. Obiectivul şi rolul hidraulicii în formarea specialistului hidrotehnician

Diferite ramuri ale ştiinţelor se ocupă cu studiul stării fluide a materiei şi în special a apei. Multitudinea de denumiri ale ramurilor ştiinţei legate de studiul fluidelor arată diversitatea aspectelor dezbătute.

Mecanica fluidelor, deseori numită şi hidromecanică, dezbate, în general, legile fluidelor ideale cu mijloacele matematicii superioare, fără să se sprijine pe rezultatele cercetărilor experimentale.

Hidraulica este disciplina care se ocupă cu studiul legilor de repaus şi de mişcare ale fluidelor, precum şi cu aplicarea acestor legi la rezolvarea problemelor inginereşti. Domeniul ei de aplicabilitate corespunde mărimii parametrilor la care lichidele şi gazele se supun unor legi comune. La alţi parametri se vorbeşte de mecanica lichidelor, mecanica gazelor, pneumatică etc. Din definiţia hidraulicii rezultă dublul ei caracter, referitor la studiile şi cercetările pe care le efectuează: caracterul fundamental, în sensul că primul său obiectiv este stabilirea legilor de bază, a modelelor fluidelor şi caracterul aplicativ, în sensul că al doilea obiectiv este aplicarea legilor, modelelor, relaţiilor de calcul în soluţionarea problemelor inginereşti. Cel de al doilea obiectiv îi conferă hidraulicii natura de disciplină tehnică.

Denumirea de hidarulică derivă din cuvintele greceşti hydor (apă) şi aulos (tub) şi care la început avea semnificaţie de "orgă de apă". Ulterior denumirea a fost utilizată la mişcarea apei în conducte, ce se presupune că ar fi fost prima preocupare a acestei ramuri a ştiinţelor naturii şi arată importanţa deosebită pe care o aveau în antichitate problemele transportului apei în conducte.

În timp hidraulica s-a dezvoltat în două ramuri:- hidraulică teoretică (ramură a mecanicii fluidelor), care utilizează metodele şi rezultatele

mecanicii fluidelor şi- hidraulică aplicată, care rezolvă probleme practice cu ajutorul studiului teoretic (însă

accesibilă inginerilor şi tehnicienilor) şi experimental. Dezvoltarea tehnicii de calcul diminuează diferenţele între cele două ramuri, fiindcă există condiţii de renunţare la ipoteze simplificatoare se pot elabora noi modele de calcul -descrise de relaţii complicate, care însă se pot soluţiona operativ.

Hidraulica este împărţită în mai multe diviziuni:- hidrostatica dezbate starea de repaus a fluidelor şi acţiunea lor asupra solidelor cu

care sunt în contact;- hidrocinematica se ocupă cu mişcarea fluidelor fără să se ţină seama de forţele care

determină mişcare şi de transformările energetice produse;- hidrodinamica studiază mişcarea fluidelor ţinând seama de forţele care le produc şi

de transformările energetice în fluidele în mişcare.Hidraulica aplicată este împărţită şi ea în diviziuni în funcţie de domeniul de activitate. În

domeniul hidrotehnic interesează: hidraulica curgerilor sub presiune, hidraulica curgerilor cu nivel liber şi hidraulica subterană.

Disciplina de hidraulică prezintă importanţă deosebită în formarea specialistului hidrotehnician fie el de îmbunătăţiri funciare, construcţii şi instalaţii hidrotehnice sau de ingineria mediului. Proiectarea, execuţia şi exploatarea sistemelor hidrotehnice, de gospodărirea apei, de irigaţii, desecări, drenaj, regularizări de râuri, acumulări, alimentări cu apă şi canalizări, staţii

de pompare, microhidrocentrale şi în contextul protecţiei mediului cer hidrotehnicienilor cunoştinţe aprofundate de hidraulică.

1.1.2. Scurt istoric al dezvoltării hidraulicii

Hidraulica s-a dezvoltat ca urmare a cerinţelor practicii şi în strânsă dependenţă cu alte discipline, mult timp însă a avut caracter tehnic-experimental empiric. Importante lucrări tehnice - privite ca aplicaţii ale hidraulicii - au fost realizate cu 4...5 mii de ani în urmă în Asia Mică (valea râurilor Tigru şi Eufrat), China, India, Egipt şi mai târziu în Grecia şi Roma antică. Aceste lucrări sunt cunoscute din descrieri, iar unele au rezistat până în zilele noastre (baraje, rezervoare, apeducte, porturi, sisteme de irigaţii etc). Cu toate acestea hidraulica teoretică era foarte puţin dezvoltată. Unele descrieri privind cunoştiinţele empirice sau regulile practice au rămas de la Arhimede din Siracuza (287-212 î.e.n.) - "Despre corpurile plutitoare", Heron din Alexandria (circa 100 de ani după Arhimede), Vitruvius (25 î.e.n.) - "De architectura", Sextus Iulius Frontius (30-103) - "De aquis urbis Romae".

După circa 1500 ani, în epoca Renaşterii (sec.XVI-XVII), se conturează problemele hidraulicii. Lucrarea lui Leonardo da Vinci (1452-1519) "Del moto e misura dell acqua", publicată după 300 de ani (1797), care deşi cuprinde observaţii experimentale şi descrieri, n-a putut contribui la vremea autorului la dezvoltarea hidraulicii. Descoperirile lui Simon Stevin (1548-1620) privind presiunea lichidelor pe pereţii şi fundul vaselor şi principiul vaselor comunicante; Evangelista Torricelli (1608-1647) - legea curgerii prin orificii; Blaise Pascal (1623-1662) - legea fundamentală a hidrostaticii; iar Isaac Newton (1642-1727) - legea vâscozităţii lichidelor şi rezistenţa la înaintare conduc la dezvoltarea hidraulicii.

În secolul XVIII, după stabilirea principiilor mecanicii generale, se pun bazele hidraulicii teoretice. De atunci hidraulica se dezvoltă după două direcţii: teoretic şi experimental. Cele mai importante lucrări se datorează savanţilor: Daniel Bernoulli (1700-1782), fondatorul hidrodinamicii teoretice, Leonhard Euler (1707-1783), Mihail V. Lomonosov (1711-1765), Jean Baptiste d'Alambert (1717-1783), Joseph-Luis Lagrange (1736-1813) etc.

În secolul XIX hidrodinamica face mari progrese; se remarcă lucrările lui S. Poisson (1784-1840), L. Navier (1785-1836), A.Cauchy (1789-1857), J. Poncelet (1788-1867), G. Coriolis (1792-1843), A. Saint-Venant (1797-1886), J. Poiseuille (1799-1869), M. Ostrogradschi (1801-1862), H. Darcy (1803-1858), J. Weisbach (1810-1879), W. Froude (1801-1862), G. Stokes (1819-1929), H. Bazin (1829-1917), J. Boussinesque (1842-1829) ş.a.. În acest secol sunt introduse noţiunile cinematice ale mişcării fluidelor, se stabilesc ecuaţiile generale ale mişcării fluidelor vâscoase, sunt descoperite şi analizate regimurile de curgere, criteriile de similitudine hidraulică, sunt descoperite ecuaţiile generale de mişcare a apelor subterane. Prin cercetări experimentale sunt stabilite legi empirice ale mişcării permanente în conducte şi canale, ale mişcării peste deversoare, problemele mişcării permanente neuniforme şi ale mişcării nepermanente, legile filtraţiei etc.

În secolul XX se pun şi bazele aerodinamicii care a condus la o teorie unitară a mecanicii fluidelor. Contribuţii importante la dezvoltarea mecanicii fluidelor au avut: N. Jukovschi, K. Tilkovschi, S. Ceaplâghin, L. Prandtl, Th. Kărmăn, J. Nikuradse, M. Velikanov, L. Loitianski, L. Allievi, F. Prăsii, D. Thoma, E. Vogt, L. Escande, N. Pavlovschi, B. Bahmetev, S. Hristianovici, V. Goncearov, A. Zegjda, E. Zamarin, P. Du Boys, A. Schoklitsch, E. Mayer-Peter, H. Eistein, C. White, Chien Ning, I. Agroskin, R. Ciugaev, P. Kiselev, M. Certousov, A. Troskolanschi etc.

În România lucrări hidrotehnice importante se fac după 1880, dar publicaţiile şi cercetările ştiinţifice încep abia în secolul XX. Sunt demne de remarcat contribuţia lui Gogu Constantinescu la crearea sonicităţii şi studiile lui Elie Carafoli asupra aerodinamicii profilelor de aripi la avion. Printre vârfurile hidraulicienilor români se situează D. Ghermani, I. Andreescu Cale, A. Bărglăzan, Cr. Mateescu, D. Pavel, D. Dumitrescu ş.a.

Laboratoare de hidraulică, cu instalaţii şi aparatură de înalt nivel, efectuează cercetări

fundamentale şi aplicative. Pe lângă laboratoarele I.C.H., Universităţile Tehnice ICEMENERG, Academia Română şi universităţile tehnice importante realizează cercetări remarcabile.

1.2. Metode generale de studiu în hidraulică

Hidraulica, precum toate ştiinţele naturii, foloseşte în investigări metode teoretice şi experimentale. O justă îmbinare a acestor metode conduce la rezultate în cercetarea şi explicarea fenomenelor de orice natură, inclusiv hidraulice. La îmbinarea celor două metode de studiu importanţă mare prezintă similitudinea hidraulică.

1.2.1. Metoda teoretică

Problemele de studiu ale mecanicii fluidelor şi ale hidraulicii se referă la echilibrul static şi la mişcarea fluidelor, stare a materiei caracterizată prin deformabilitate uşoară.

Formularea şi interpretarea legilor hidraulicii este posibilă prin studiul pe cale teoretică, ceea ce constă în aplicarea teoremelor din mecanică şi a aparatului matematic adecvat. Complexitatea fenomenelor reale necesită elaborarea unor scheme de calcul care simplifică fenomenul. Schema de calcul se obţine prin eliminarea anumitor aspecte secundare ale fenomenelor, ceea ce simplifică problema şi permite exprimarea sa printr-un model matematic. În anumite cazuri se pot utiliza legile mecanicii clasice, fluidul fiind considerat ca un sistem de puncte materiale discrete – molecule. În alte cazuri sistemul de puncte materiale complică problemele, iar pentru studiu se consideră particule mai mari decât moleculele ce umplu complet spaţiul. În astfel de situaţii particulele se consideră arbitrar atât de mici, încât asupra lor să nu influenţeze mişcarea moleculelor sau mişcarea browniană. Modelul de fluid astfel definit este un mediu continuu.

Chiar modelul de mediu continuu poate avea în hidraulică diferite grade de complexitate, şi anume: model Euler, model Newton, model Pascal sau model real de fluid.

1.2.2. Analiza dimensională

Un instrument important al metodei teoretice îl reprezintă analiza dimensională. Ea studiază structura relaţiilor fizice pentru a găsi regulile de formare ale acestora şi se bazează pe faptul că fenomenele naturale sunt guvernate de legi obiective, exprimabile prin simbolism matematic. Trebuie ţinut seama de faptul că relaţiile fizice se referă la mărimi dimensionale (fizice) pe când relaţiile matematice operează cu numere abstracte.

1. Mărimea fizică reflectă cantitativ şi calitativ un aspect al unui fenomen. Cantitatea se exprimă prin numere, rezultate dintr-o operaţie de măsurare (comparare), iar calitatea prin unitatea de măsurare, caracteristică a dimensiunii. Astfel se poate scrie:

mărime fizică = valoare numerică x unitate de măsurare,

(1.1)

Operaţiile matematice cu mărimi fizice sunt: adunare -scădere

(1.2)

care se poate efectua numai pentru mărimi care au aceeaşi unitate de măsură şi produs-cât

(1.3)

Prin produs (cât) se obţine o nouă mărime fizică, cu unitatea de măsurare .

2. Dimensiune. Unităţi de măsurare. Sisteme de unităţi de măsurare

Dimensiunea exprimă sub aspect calitativ anumite proprietăţi ale mărimilor fizice şi este legată de sistemele de măsurare. Orice sistem de măsurare are câteva dimensiuni de bază. Sistemul internaţional - S.I. (a fost introdus prin STAS 737-72) cuprinde 7 dimensiuni fundamentale, cu unităţile de măsurare aferente (tab.1.1.)

Tabelul 1.1. Dimensiuni şi unităţi fundamentale în S.I.

Nr.crt.

Denumirea Simboluldimensiune

Unitatede

măsurare1. Lungime L m

2. Masă M kg3. Timp T s4. Intensitatea curentului

electricI A

5. Temperatura termodinamică

θ °K6. Intensitatea luminoasă c cd7. Cantitatea de substanţă mol mol

Hidraulica făcând parte din mecanică operează cu cele trei dimensiuni specifice mecanicii - lungime, masă şi timp. Uneori însă se mai utilizează şi celelalte dimensiuni, în special la caracterizarea proprietăţii fluidelor.

Toate celelalte mărimi utilizate sunt derivate. În hidraulică se întâlnesc mărimile derivate din tabelul 1.2.

Pentru mărimile fizice xi,yi corespund dimensiunile ., unităţile de măsurare

ai,bi şi cantităţile .

3. Reguli de formare a relaţiilor fizice. O relaţie fizică exprimă legea de desfăşurare a unui fenomen sub forma unei dependenţe funcţionale:

(1.4)Formularea matematică are doar rol de investigare, dar pentru a permite operaţiile

matematice relaţia fizică trebuie să fie reductibilă la operaţii între numere. Acest deziderat este exprimat de prima teoremă a analizei dimensionale, "teorema omogenităţii" şi anume: Pentru ca o relaţie fizică să fie reductibilă la o relaţie între numere, aceasta trebuie să fie omogenă, din punct de vedere dimensional, în raport cu un sistem coerent de dimensiuni fundamentale.

Tabelul 1.2. Mărimi fizice utilizate în hidraulică

Mărimeafizică

Simbol Formuladimensio-

nală

Mărimeafizică

Simbol Formuladimensional

ă

Arie

Volum

Unghi,unghi solid

Moment static al suprafeţei

plane

Moment deinerţie alsuprafeţei

Viteză

Acceleraţie

Acceleraţieterestră

Viteză unghiularǎ

Acceleraţie unghiularǎ

Perioadă

Frecvenţă

Lungime de undǎ

Densitate

Forţă

Greutate

A,

W,

α, β, θ

S, M1

I, M2

,

T0

f

λ

ρ

L2

L3

-

L3

L4

LT-1

LT-2

LT-2

T-1

T-2

T

T-1

L

L-3M

LMT-2

LMT-2

Greutate specificǎ

Momentul forţei faţăde punct sau axă

Cantitate demişcare

Moment cinetic

Lucrul mecanic,Energie

Putere

Efort unitar

Presiune

Coeficient de compresibilitate

izotermǎ

Coeficient de vâscozitate dinamicǎ

Coeficient de vâscozitate cinematicǎ

Coeficient de tensiune superficiala

Debit volumic

Debit masic

Debit de greutate

Coeficient de dilatare volumică izobară

γ

M

L,E,U

P

p

β

μ

ν

σ

Q Qm

Qg

α

L-2MT-2

L2MT-2

LMT-1

L2MT-1

L2MT-2

L2MT-3

L-1MT-2

L-1MT-2

LM-1T2

L-1MT-1

L2T-1

MT-2

L3T-1

MT-1

LMT-3

θ

În cazul modificării sistemului de unităţi de măsurare, ca o relaţie fizică să nu-şi modifice forma trebuie să fie satisfăcută a II-a teoremă a analizei dimensionale: Pentru ca o relaţie fizică, omogenă în raport cu un anumit sistem de unităţi de măsurare, să nu-şi modifice forma la schimbarea sistemului de unităţi de măsurare este necesar ca dimensiunile mărimilor derivate în ambele sisteme să fie exprimate de formule dimensionale monome.

Exemplu: Dacă Bi este dimensiunea unei mărimi derivate yi, iar A1,A2,...,An sunt

dimensiunile mărimilor fundamentale xl,x2,...,xn, formula dimensională a lui yi este:

[yi] = i , (1.5)

dji fiind exponenţii dimensionali. Mărimea yi se poate scrie

yi = Yi (1.6)

Monomul ... este unitatea de măsurare derivată a mărimii yi.

Mărimi şi complexe adimensionale sunt mărimile care în relaţia lor dimensională au toţi exponenţii dimensionali nuli, deci

yi = Bi = (1.7)

Aceastǎ condiţie este îndeplinită de rapoartele a două sau mai multor mărimi dimensionale care caracterizează un fenomen fizic concret. Numerele abstracte nu se încadrează în definiţia de mai sus.

Complexele adimensionale care caracterizează fenomene fizice şi au roluri speciale se numesc criterii. Valorile critice ale acestor complexe adimensionale sunt numere intrinseci ale fenomenelor. Complexele adimensionale pot fi privite şi ca numere, fiindcă sunt raportul a unor mărimi cu aceleaşi dimensiuni şi se notează cu Π.

Πi= , cu [yi]= [y0] (1.8) A III-a teoremă a analizei dimensionale "teorema produselor (teorema Π sau

teorema Vaschy-Buckingham) este o teoremă de inducţie completă, folosită pentru descoperirea (şi scrierea sub formă de relaţie fizică) a legilor unor fenomene care nu se cunosc. Există doar informaţii cu privire la mărimile care pot descrie fenomenele, dar nu se cunoaşte legea însăşi. Cu ajutorul teoremei produselor relaţiile pot fi scrise sub forme simple dacă la formarea lor se folosesc complexe adimensionale, definite în raport cu fenomenele studiate.

O relaţie fizică, constituită prin respectarea primelor două teoreme ale analizei dimensionale, de forma:

yi= f(x1,x2,....,xk,...,xp,..,xn) ,

(1.9)

care reflectă un fenomen concret dat şi cuprinde n + 1 mărimi (x1,...,xn,yi), exprimată

în sistemul de măsurare x1..xn, poate fi scrisă ca o relaţie între n+1-k complexe

adimensionale şi k(x1...,xk) mărimi fundamentale, astfel:

x p = Xp ... ,

(1.10)

unde p=k+l,...,n, respectiv

= (1.11)

Monoamele formate cu ajutorul unităţilor de măsurare a1,a2,...,ak sunt mărimi determinante ale mărimii fizice studiate, iar Xp şi Yi sunt complexe adimensionale definite prin relaţiile:

Xp = =

(1.13)şi

=

Complexele adimensionale corespunzătoare mărimilor fundamentale sunt unitare, iar

Yi = Πyi = (1.14)

yi= (1.15)

Astfel mărimea yi este exprimată în funcţie de x1...,xk mărimi principale, iar influenţa

mărimilor este luată în considerare printr-o funcţie globală determinată de

complexele adimensionale

Teorema produselor are o largă întrebuinţare la stabilirea formei relaţiilor fizice când se cunoasc factorii fizici de care depinde fenomenul, dar nu se cunoaşte legea.

În probleme de mecanică (implicit şi hidraulică) sunt trei mărimi fundamentale: lungimea [L], masa [M] şi timpul [T]. Pentru ca trei mărimi derivate x1,x2,x3, exprimate prin

x1=X1 ; x2 = X2 ; x3=X3 (1.16)

să fie mărimi fundamentale în descrierea fenomenului este necesar ca determinantul exponenţilor dimensionali să fie nenul:

(1.17)

Dacǎ un fenomen fizic este caracterizat prin mărimile

y=f(x1, x2, .., xn) ,

iar dimensiunile de bază sunt L,M şi T, pe baza tabelului

x1 x2 . . . xn y

L a1 a2 . . . an a0

M b1 b2 . . . bn b0

T c1 a c2... . . . . cn a0

se poate forma matricea exponenţilor dimensionali

(1.19)

Din matricea A se extrag determinanţi de ordin maxim nenuli. În funcţie de mărimile care admit această condiţie se compune, pe baza teoremei produselor, relaţia fizică care descrie fenomenul. Uneori aceste mărimi pot prezenta importanţă diferenţiată în descrierea fenomenului, iar din soluţiile multiple se reţine una singură care caracterizează cel mai bine fenomenul.

Exemplu: Se cere stabilirea structurii relaţiei pentru calculul debitului curs peste deversoare. Debitul specific curs (pe unitatea de lăţime), q (m3/s ∙ m), depinde de elementele geometrice ale deversorului (p, p1,δ) de nivelul lichidului în amonte (H) şi în aval de deversor (hn), de natura lichidului (ρ, μ), acceleraţia gravitaţională (g) ş.a., astfel:

q = f (p, p1, δ, H, ρ, μ, g)

Se formează tabelul

p p1 δ H hn ρ μ g q

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

L

M

T

1

0

0

1

0

0

1

0

0

1

0

0

1

0

0

-3

1

0

-1

1

-1

1

0

-2

2

0

-1

Din tabel se pot forma următorii determinanţi de ordin maxim nenuli, astfel:coloana 4 6 7 coloana 4 7 8

coloana 4 6 8 coloana 6 7 8

Fenomenul poate fi descris de relaţii cu trei variabile independente. Alegând ca mărimi

fundamentale H, q şi g (coloanele 4,6,8), se formează funcţia complexelor adimensionale (

) şi relaţia devine

q =

Din condiţia de omogenitate a relaţiei (ecuaţia de dimensionare) se poate scrie:

[q] =L2T-1 =

respectiv

L2M0 =

sau

; şi , deci

q =

Influenţa parametrilor p,p1, δ, hn, μ se determină experimental şi au valoarea m . Debitul specific nu depinde de densitate. Din determinantul al doilea se obţine aceeaşi relaţie şi informaţia, că debitul curs nu depinde de . Din determinanţii 1 şi 4 rezultă

Cele două relaţii obţinute sunt echivalente, dar este de preferat folosirea primei

relaţii; elementele care intervin în aceasta având pondere mai mare în descrierea fenomenului.

1.2.3. Metoda experimentală

Aceastǎ metodă se foloseşte sub două aspecte:- ca experiment pentru studiul legilor generale ale fenomenelor, verificarea rezultatelor

teoretice şi stabilirea corecţiilor pentru legile determinate formal pe cale teoretică;- ca metodă directă de rezolvare a unor probleme practice cu grad ridicat de

complexitate şi care nu permit încă soluţionare teoretică.Metodele experimentale de investigare se împart în:- metode directe de studiu asupra fenomenelor fizice efective, în mărime

naturală sau la diferite scări (reduse sau mărite);- metode indirecte-analogice când se studiază fenomene din diferite

domenii ale fizicii, descrise de legi formal asemenea.Exemplu: Distribuţia potenţialului electric într-un domeniu fără surse electrice este

dată de ecuaţia lui Laplace

O ecuaţie asemănătoare descrie potenţialul hidraulic la mişcarea irotaţională a fluidelor euleriene

Distribu ia potenţialului electric în valori relative este identic cu distribuţia potenţialului hidrodinamic relativ.

Ca metode analoge de studiu în hidraulică se utilizează metode reoelectrice (pe foi conductoare, în electrolit sau reţele de rezistenţe), analogia Helle-Shaw (este o analogie între curgerea în medii poroase şi între plăci plan paralele) şi modelarea hidraulică în curenţi de aer. Uneori fenomenele atmosferice (petrecute în aer) se modelează în curenţi de apă.

Studiul fenomenelor la altă scară decât cea naturală este modelarea hidraulică şi poate avea loc la scară normală sau distorsionată.

1.3. Similitudinea hidraulică

Teoria similitudinii hidraulice formează baza teoretică a modelării hidraulice, domeniu important de studiu direct a fenomenelor hidraulice.

Se ştie că mulţimea fenomenelor fizice descrise de ecuaţii generale analoage, având condiţii de unicitate de acelaşi tip formează o clasă de fenomene fizice. Între două fenomene de aceeaşi clasă există o similitudine fizică, dacă există o corespondenţă biunivocă între punctele domeniilor lor şi dacă raportul a două mărimi fizice scalare, de aceeaşi natură, din două puncte corespondente este constant.

Similitudinea se bazează pe două criterii şi anume:a) la două sau o serie de fenomene similare toate complexele adimensionale sunt

identice;b) pentru ca un fenomen "M" să fie similar cu un fenomen determinat "m" trebuie ca

ambele să fie de aceeaşi natură şi să aibă criterii determinante identice.Similitudinea poate fi geometrică, cinematică sau dinamică în funcţie de

proporţionalitatea mărimilor determinante.

1.3.1. Similitudinea geometrică (asemănarea)

Similitudinea geometrică se caracterizează prin raportul constant al tuturor coordonatelor punctelor analoage. Astfel, M(X,Y,Z) şi m(x,y,z) sunt analoage dacă este satisfăcută condiţia

=ΠL const.

Mai generală este similitudinea afină la care raportul coordonatelor punctelor omoloage este constant pentru fiecare axă de coordonate în parte:

Πx ; Πy; Πz (1.21)

În general, pentru similitudinea fizică trebuie să fie satisfăcută similitudinea geometrică, dar la modele fizice distorsionate este satisfăcută doar similitudinea afină.

1.3.2. Similitudinea cinematică

Între două fenomene fizice există similitudine cinematică, dacă este realizată similitudinea geometrică sau afină şi raportul timpilor omologi este constant:

Πt = const. (1.22)

În aceste condiţii scările de similitudine pentru mărimile derivate sunt:

- pentru viteze Πv = = Πl Πt-1

- pentru acceleraţii Πa= = Πl Πt-2

-pentru debit volumic = Π3l Πt

-1

1.3.3. Similitudinea dinamică

Între două fenomene fizice există similitudine dinamică dacă între foiţele omoloage există raport constant:

(1.20)

sau = (1.24)

Similitudinea dinamică are loc când există similitudinea cinematică şi raportul intensităţii forţelor omoloage este constant:

(1.25)sau

sau (1.26)

Relaţia (1.26) exprimă criteriul Newton al similitudinii mecanice, produsele adimensionale n fiind criterii de similitudine.

Conform principiului de formare a complexelor adimensionale şi a numărului de mărimi fundamentale (în mecanică k=3) se pot formula criteriile de similitudine dinamică folosite în hidraulică. în mişcarea lichidelor sunt caracteristice mărimile: x1=l (lungimea); x2 = V (viteza); forţe masice, definite prin x3 = ρ (densitate); x4=g (acceleraţia gravitaţională); xs=t (timp); x6=p (presiune);x7 = υ (coeficient de vâscozitate cinematic) pentru forţe capilare; x8 = σ (coeficient de tensiune superficială) pentru forţe capilare; x9=c (viteza de propagare a sunetului în lichide) pentru caracterizarea compresibilităţii lichidelor. Rangul matricei dimensionale a mărimilor x1,...,x9 este k=3, deci se pot forma n-k=6 complexe adimensionale, care pot fi criterii de similitudine hidraulică. Alegând drept mărimi fundamentale l,V,ρ se obţine:

(1.27)

cu i=4,....9. Considerând , dimensiunea ecuaţiei de mai sus este:

(1.28)

din care, prin egalarea exponenţilor dimensionali, obţinem sistemul:

(1.29)

Pentru β = 1 soluţia sistemului este

; β= 1 ; ; (1.30)

Considerând succesiv xi mărimile caracteristicilor enumerate, cu excepţia celor

considerate fundamentale, se obţin următoarele:

1) Pentru x,=t, deci [xi]=L°M°Tl, respectiv a=0; 6=0; c = l, iar din (1.30) segăseşte α= -l; γ=0; δ=1. Din (1.27) rezultă

Ca un criteriu de similitudine este utilizat

(1.31)

numărul Strouhal. Numerele Sh ale fenomenului din natură şi cel modelat trebuie să fie egale când se respectă criteriul Strouhal.

2) Pentru xi=p, respectiv [ ] = , cu a = -l; 6 = 1; c = -2 se

obţine α=0; β=l;γ=1/2;δ=-1/2. Complexul adimensional (1.27) pentru mărimea "presiune" devine: