hidraulica

7/17/2019 Hidraulica

http://slidepdf.com/reader/full/hidraulica-5690080d35a66 1/43

1.PROPRIETĂŢILE FLUIDELOR

Densitatea şi greutatea specific. Densitatea sau masa specifcă ρ a unui fuid este, prin deniţie,raportul dintre masa m a fuidului şi volumul V ocupat de acesta, adică

,V m=ρ

Densitatea are ormula dimensională ML–3 şi unităţile de măsură: kgm3 !n "#, gcm3 !nsistemul $%" şi kg&s'm( !n sistemul M)"*

#nversul densităţii, v + ρ, se numeşte volum specifc*

%reutatea specică, notată cu γ , este denită ca raportul dintre greutatea G a fuidului şivolumul V ocupat de acesta, adică

,V G=γ

are e-presia dimensională ML–' .–' şi se măsoară !n /m3 !n "#, d0ncm3 !n sistemul $%",respectiv kgm3 !n sistemul M)"*

Legea a doua a mecanicii clasice leagă greutatea specică şi densitatea prin relaţia, g ρ=γ

unde g este acceleraţia gravitaţională, cu valoarea standard 1,2445 ms'* 6entrulatitudinea 7ucureştiului, g + 1,24 ms', valoare recomandată pentru aplicaţiilenumerice*

Vâscozitatea. 89scoitatea este proprietatea fuidelor de a opune reistenţă mişcăriiparticulelor unele aţă de altele* ;ntr<un lic=id afat !n mişcare apar, pe l9ngă eorturile normale,eorturi tangenţiale, care se maniestă prin orţe de recare internă, av9nd tendinţa să r9neemişcarea şi să !mpiedice deplasările lic=idului, adică să se opună deormaţiilor*

,

d

d

y

v A F µ=

iar eortul unitar tangenţial corespunător este dat de relaţia

,d

d

y

vµ=τ

unde µ este o constantă de proporţionalitate caracteristică fuidului la presiune şitemperatură date, numită coefcient de vâscozitate dinamică, iar dv d y este modululgradientului de viteă pe normala y la direcţia mişcării*

89scoitatea dinamică are dimensiunile ML– .– şi se e-primă !n /&sm' !n "#, !n kg&sm' !n

$%" şi !n 6 >poise + d0n&scm

'

? !n M)"* 89scoitatea cinematică ν este denită prin relaţia

ρµ= ν

şi are unităţile de măsură m's !n "# şi !n M)", respectiv "t >stokes + cm's? !n sistemul $%"*/umele de v9scoitate cinematică indică a@senţa din deniţia ei a mărimilor ice de naturădinamică >masă, orţă etc*?*

Compresibilitatea. 6roprietatea corpurilor maniestată prin micşorarea volumului lor su@acţiunea orţelor e-terioare de compresiune se numeşte compresibilitate. Aa este

caracteriată cantitativ prin coecientul de compresi@ilitate β, care, potrivit relaţiei dedeniţie >'*''?, are dimensiunile M–L.' şi unităţile de măsură 6a– + m'/ !n "#, cm'd0n !nsistemul $%" şi m'kg !n sistemul M)"*



2.Starea de tensiuni într-un fluid în echilibruBn corp C >fgura 3.1?, supus acţiunii unui sistem de orţe e-terioare , ',*C, n, se

afă !n ec=ili@ru dacă sistemul de orţe este static ec=ivalent cu ero*

orţelerepreintăacţiunireciproce dintremase* orţelecare e-primăacţiunea altorcorpuri asupraunui corp dat senumesc orţee-terioare*orţelee-terioare carese e-ercită asupra tuturor particulelor unui corp se numesc orţe masice sau de volum, iarcele care acţioneaă doar pe supraaţa corpului sau pe o parte a acesteia se numesc orţesuperciale* $a reultat al acţiunii orţelor e-terioare asupra unui corp, !ntre particulele saleia naştere un sistem de orţe interioare*

olosind metoda secţiunilor imaginare a lui $EB$FG, prin secţionarea corpului C şiintroducerea, pe supraaţa ! reultată din secţionare, a densităţii de orţe interioarecorespunătoare, se poate ace a@stracţie de partea "' dacă se studiaă ec=ili@rul părţii " şiinvers* orţele interioare de pe ! devin astel orţe e-terioare superciale şi repreintă

acţiunea pe care o e-ercită partea "' asupra părţii "* Bnui element de supraaţă ∆! av9nd

aria ∆ # !i revine o orţă F ∆

, ale cărei componente pe supraaţa ! şi pe normala la această

supraaţă suntT ∆

şi N ∆

>fgura 3.1?*

Limitele rapoartelor ∆$∆ # şi ∆% ∆ # c9nd ∆ # tinde către ero se numesc tensiunenormală σ, respectiv tensiune tangenţială τ şi constituie componentele tensorului tensiune*;n orice punct interior aparţin9nd unui corp solid !n repaus se devoltă, !n toate direcţiile,tensori tensiune av9nd mărimi care se !nscriu !ntr<un elipsoid al tensiunilor*

;n caul c9nd corpul C este un fuid afat !n repaus, conorm relaţiei >'*33? reultă τ + ,

deci ∆ + ∆$, adică tensorul tensiune are numai componenta normală* care se e-primaastel

A

F p

A ∆∆

=→∆

lim0

>3*?

şi se numeşte presiune. 6rin deniţie, presiunea !ntr<un fuid este orientată după normala lasupraaţa >reală sau imaginară? considerată* "e poate demonstra că, !n orice punct dindomeniul ocupat de un fuid !n repaus, se devoltă tensiuni cu valori egale !n toate direcţiile,ceea ce corespunde degenerării elipsoidului tensiunilor !ntr<o seră*

igura 3.1. !ec&ionarea imaginară a unui corp a'at (n ec)ilibru sub ac&iunea unui sistem de *or&e



3.cua!ia microscopic" a echilibrului fluidelor"e consideră un

element de volum deormăparalelipipedică

>fgura 3.+?, cudimensiunileinniteimale d , d y ,d z raportate la unsistem de a-ecarteiene paralele cumuc=iile sale, detaşatdin domeniul ocupatde un fuid !n repaus*"e introduc orţele de

legătură x F 1d

, x F 2d

,

y F 1d

,

y F 2d

, z F 1d

, z F 2d

!n centrele celor şase eţe, precum şi orţa masică

m F d

, care este singura orţă e-terioară, cu punctul de aplicaţie !n centrul - al elementului*$ondiţia de ec=ili@ru al fuidului din volumul de control se e-primă prin relaţia

.0ddddddd 212121 =++++++ m z z y y x x F F F F F F F

>3*?

Ev9nd !n vedere că presiunea este o uncţie continuă !n domeniul ocupat de fuid şinot9nd cu p valoarea presiunii !n punctul D, orţele de legătură >care sunt reultanteleorţelor de presiune pe cele 4 eţe ale paralelipipedului? şi orţa masică >denită de

acceleraţia A

? au e-presiile

,dddd,ddd 21 z y x x

p pi F z y pi F x x

∂∂

+−==

,dddd,ddd 21 z x y y

p p j F z x p j F y y

∂∂

+−==

>3*'?

,dddd,ddd21

y x z z

p pk F y x pk F

z z

∂

∂

+−==

igura 3.+. Domeniu paralelipipedic elementar detaat dintr/un 'uid a'at (n repaus



,dddd z y x A F m ρ=(3.13)

care, introduse !n relaţia >3*?, dau, după reducerea termenilor asemenea şi simplicare cuρ d d y d z , ecuaţia microsco<pică a ec=ili@rului fuidelor, scrisă su@ orma

,01

=∇ρ

− p A

>3*(?

unde∇

este operatorul lui FEM#L.H/, denit !n coordonate carteiene >pe @aa versorilori

,

j

,k

ai a-elor 0, 0y, 0z astel

. z

k y

j x

i∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇

>3*5?A-prim9nd acceleraţia c9mpului orţelor masice prin proiecţiile sale 2 , , 4 pe cele trei

a-e carteiene, adică

, Z k Y j X i A ++=>3*4?

ecuaţia vectorială >3*(? va ec=ivalentă cu următoarele trei ecuaţii scalare:

,1

,1

,1

z

p Z

y

pY

x

p X

∂∂

ρ=

∂∂

ρ=

∂∂

ρ=

>3*I?

cunoscute su@ numele de ecua&iile lui ABLAJ din statica fuidelor*

#.$egea %aria!iei presiunii într-un gaz aflat în repaus în câmpul gra%ita!ional terestru

Eşa cum s<a preciat anterior, !n c9mp gravitaţional 2 + , + , 4 + –gK !n consecinţă

g k A −=, iar ecuaţia >3*1? se reduce la egalitatea

d p + –ρ g d z * >3*'4?

Dacă se admite că gaul este perect şi sueră un proces ioterm >% + const*?, dinecuaţia de stare >'*1? se poate e-prima masa specică su@ orma

, pT R

M

u

=ρ

>3*'I?care se !nlocuieşte !n ecuaţia >3*'4?, reult9nd e-presia

,dd z pT R

g M p

u

−=

!n care se separă varia@ilele şi se integreaă

,dd

z T R

g M

p

p

u

−=

,dd

11

∫ ∫ −= z

z u

p

p

z T R

g M

p

p

( ) ,ln 11

z z T R

g M

p

p

u

−−=

o@ţin9ndu<se relaţia

( )

,e1

1

z z T R

g M

u p p−−

=>3*'2?



unde p este presiunea !ntr<un punct de cotă z *

ormula >3*'2? permite calculul presiunii statice sau dinamice la ad9ncimea de -are agarniturii de ţevi de e-tracţie !ntr<o sondă de gae, c9nd se cunoaşte presiunea p citită lamanometrul montat la coloană* .emperatura !n sondă ind varia@ilă cu ad9ncimea, relaţia>3*'2? se oloseşte pe tronsoane pe care variaţia de temperatură este neglia@ilă sau sepoate apro-ima printr<o valoare medie constantă*

;n caul aerului atmoseric, relaţia >3*'2? poate scrisă su@ orma

,e 0

1

1 H

z z

p p

−−

=>3*'1?

unde, !n @aa ecuaţiei >3*'I?,

,0

00

T R

g M

p

g H

u

a=ρ

=

>3*3?-a + '2,1 kgkmol este masa molară a aerului, p + *3'5 6a – presiunea atmoserică

normală, iar ρ + ,'21 kgm3 – densitatea aerului !n condiţii normale* Acuaţia >3*'1? senumeşte *ormula barometrică*

&.$egea %aria!iei presiunii într-un lichid aflat în repaus în câmpul gra%ita!ionalterestru

$onsider9nd că lic=idul este incompresi@il >ρ + const*?, prin integrarea ecuaţieidierenţiale a presiunii >3*'4? reultă relaţia

p + –ρ g z a , >3*35?

care arată că supraeţele io@are sunt plane oriontale > z + const*?* 6lanul oriontal z + z o, !ncare presiunea este egală cu presiunea atmoserică p, se numeşte planul supra*e&ei libere alic=idului. orma plan–oriontală a supraeţelor io@are corespunde condiţiei de

ortogonalitate a orţelor gravitaţionale, diriate după verticala locului, cu supraeţeleec=ipotenţiale* $a urmare, supraeţele li@ere de dimensiuni mari >aparţin9nd mărilor sauoceanelor? au orma geoidală specică scoarţei terestre, care numai pentru !ntinderi relativmici se conundă cu orma plană*

6un9nd ecuaţiei >3*35? condiţia la limită p + p la z + z , se o@ţine pentru constanta deintegrare e-presia

a + p ρ g z

şi ecuaţia >3*35? devine

p + p ρ g> z – z ? * >3*34?

Dacă se consideră originea a-ei 0z la supraaţa li@eră a lic=idului din vas, z + şi

ecuaţia >3*34? se identică ormal cu ecuaţia >3*3(?, cu deose@irea că, ρ ind mult mai maredec9t ρg, termenul ρ g z nu mai este neglia@il !n raport cu presiunea p de la supraaţa deseparaţie ga–lic=id*

/ot9nd cu ) ad9ncimea la care se găseşte un punct oarecare !n masa lic=idului, se constată

igura 3.5. Varia&ia presiunii absolute i relative (ntr/un lic)id a'at (n repaus (n câmpul gravita&ional



>fgura 3.5? că z – z + ) şi ecuaţia >3*34? ia orma

p = p0 + ρ g h . (3.37)

6egea )idrostaticii, e-primată su@ orma >3*34? sau >3*3I?, arată că presiunea !ntr<unlic=id afat !n repaus !n c9mp gravitaţional creşte proporţional cu ad9ncimea punctuluiconsiderat, iar valoarea presiunii p de la supraaţa de separaţie ga–lic=id se regăseşte,conorm principiului lui 6E"$EL, !n ecare punct al domeniului ocupat de acel lic=id*

6resiunea !ntr<un fuid este o presiune a@solută p sau relativă pr după cum ea includesau nu valoarea presiunii atmoserice p + I4 mm Fg + ,33 kgcm' + ,33 at ' + atm 3 + ,3'5 @ar* $a urmare, din relaţia >3*3I? se poate scrie

p + p pr , >3*32?unde

pr + ρ g ) * >3*31?

/ot9nd cu ) !nălţimea coloanei de lic=id ec=ivalentă presiunii atmoserice >fgura 3.5?şi cu 7 suma dintre !nălţimea ) Ni sarcina =idraulică relativă ), relaţia >3*32? devine

p + ρ g 7 * >3*(?

Acuaţiile >3*31? şi >3*(? denesc două drepte care trec prin origine, dar ecaredreaptă !şi are originea ei* 6lanul oriontal care conţine originea 0a se numeşte planul

sarcinilor absolute, iar cel care conţine originea 0r coincide ca supraaţa li@eră şi repreintă planul sarcinilor relative.

$9nd presiunea a@solută este mai mică dec9t presiunea atmoserică, presiunearelativă are valoarea negativă* 8aloarea a@solută a presiunii relative negative se numeşte presiune de vacuum8

r vac p p =

c9nd pr O , >3*(?

sau pvac + p – p c9nd p O p * >3*('?

6resiunea de vacuum se e-primă, de o@icei, prin !nălţime coloană de lic=id

ec=ivalentă:

,0

γ −

= p p

hvac

c9nd p O p * >3*(3?

'.(or!a de presiune pe o suprafa!" plan" aflat" în contact cu un lichidie un

capac plan careacoperă odesc=idere deormă oarecarepracticată !n

mm Fg este sim@olul unităţii de măsură a presiunii Pmilimetri coloană de mercurQ

' kgcm' + at >atmosera te=nică, unitate de măsură a presiunii egală cu presiunea e-ercitată de o coloană de

apă cu !nălţimea de m?

3 atm + ,3'5&5 6aK atmosera ică este unitatea de măsură a presiunii egală cu valoarea p a presiunii

atmoserice normale

Figura 3.7. Schema determinării forţei de presiune exercitate de un lichid in repaus asupra unei suprafeţe plane



peretele plan !nclinat al unui vas desc=is >fgura 3.9?* 8asul este plin cu lic=id afat !n repaus, !n contact cu aerul atmoseric* /e propunem să determinăm orţa de presiune e-ercitată de

lic=id asupra capacului, !n uncţie de densitatea ρ a lic=idului, aria # a capacului şi poiţia G

a centrului de greutate al acestuia, denită prin coordonatele G, y G*

$onsider9nd un element de supraaţă cu aria d #, orţa elementară de presiune areintensitatea

d + p d # , >3*((?

unde p este presiunea relativă şi are, conorm relaţiei >3*31?, valoarea ρ g ). 6e de altă

parte, ) + y sin α şi relaţia >3*((?, după integrare, devine

,dsin ∫ αρ= A

A y g F

>3*(5?

unde

A y A y G

A

=∫ d

>3*(4?este momentul static al supraeţei cu aria #*

/ot9nd cu )G şi pG ad9ncimea, respectiv presiunea relativă corespunătoare centrului

de greutate al supraeţei şi ţin9nd seama că y G sin α + )G, iar ρ g )G + pG, relaţia >3*(5? iaorma

F = pG A (3.47)

şi arată că forţa de presiune care acţioneaă pe o suprafaţă plană are mărimea e!ală cu produsul dintre presiunearelati"ă #n centrul de !reutate şi aria suprafeţei considerate.

$oordonatele xC , yC ale centrului de presiune C se o%ţin din ecuaţiile de momente ale forţelor faţă de a&eleOx şi Oy, scrise astfel'

,sindsindsind xy

A A A

C I g A y x g A y x g F x x F αρ=αρ=αρ==

∫ ∫ ∫ ,sindsindsind 22

xx

A A A

C I g A y g A y g F y y F αρ=αρ=αρ== ∫ ∫ ∫

su% forma

,sin

sin

A y

I

A y g

I g x

G

xy

G

xyC =

αρ

αρ=

>3*(2?

,

sin

sin

A y

I

A y g

I g y

G

xx

G

xxC =

αρ

αρ=

>3*(1?

unde

∫ ∫ == A

xx

A

xy A y I A y x I d,d 2

>3*5?

repreintă momentul centriugal, respectiv momentul de inerţie al supraeţei capacului*

Epel9nd la teorema lui " .A#/AJ şi la analoaga acesteia se poate scrie

,,2 A y x I I A y I I GG XY xyG XX xx +=+=

>3*5?

iar relaţiile >3*(2?, >3*(1? devin



, A y

I x x

G

XY GC +=

>3*5'?

, A y

I y y

G

XX GC +=

>3*53?

unde : 22 şi : 2 sunt momentele de inerţie şi centriugal denite aţă de a-ele G2 , G ce auoriginea !n G şi sunt paralele cu a-ele 0 , respectiv 0y * Jelaţia >3*53? arată că centrul depresiune se situeaă mai os dec9t centrul de greutate, distanţa dintre ele, numităecentricitate, ind cu at9t mai mică cu c9t y G este mai mare* $9nd capacul este oriontal,centrul de presiune coincide cu centrul de greutate, presiunea ind !n acest ca uniormdistri@uită pe capac*

(or!a de presiune pe o suprafa!" plan" aflat" în contact cu un gaz

Dacă vasul din fgura 3.9 este !nc=is şi conţine un ga cu presiunea relativă pg admisăconstantă pe @aa consideraţiilor din R3*'*', orţa de presiune pe capac, ca reultantă a unuisistem de orţe paralele uniorm distri@uite, are mărimea

+ pg # >3*5(?şi se aplică #n centrul de !reutate al capacului.

). (or!a de presiune pe o suprafa!" curb" aflat" în contact cu un lichid

"e consideră un vas desc=is care are un perete cur@ şi este plin cu lic=id >fgura

3.;?* orţele elementare ale sistemului de orţe distri@uite, generate de presiune pesupraaţa cur@ă #<C, variaă at9t ca mărime c9t şi ca direcţie, corespunător poiţieipunctului şi direcţiei normalei la supraaţa cur@ă !n acel punct* aţă de sistemul de a-e ales,

unde planul 0y conţine supraaţa li@eră a lic=idului din vas, orţa de presiune pe unelement de supraaţă cur@ă cu aria d # se e-primă astel

,ddd A z g A p F ρ==>3*55?

unde

este versorul normalei la supraaţa cur@ă !n centrul elementului de supraaţă, iar z

este cota acestui punct*

"e proiecteaă relaţia >3*55? pe cele trei a-e carteiene şi se integreaă, o@ţin9ndu<seecuaţiile

igura 3.; !c)ema determinării *or&elor de presiune eercitate de un lic)id (n repaus asupra unei supra*e&e curbe



,dd ∫ ∫ ρ=ρ= x A

x

A

x x A z g A z g F

,dd ∫ ∫ ρ=ρ= y A

y

A

y y A z g A z g F

>3*54?

,dd ∫ ∫ ρ=ρ= x A

z

A

z z A z g A z g F

unde # , # y şi # z sunt ariile supraeţelor plane 0#C, 0<C, 0#< >repreent9nd proiecţiilesupraeţei cur@e #<C pe cele trei plane carteiene?, iar integralele respective sunt, !n ordine,momentele statice ale supraeţelor 0#C şi 0<C, respectiv volumul vasului:

.d,d,d V A z A z A z A z A z

z y x A

z yGy

A

y xGx

A

x === ∫ ∫ ∫

Ntiind că,, GyGyGxGx p z g p z g =ρ=ρ

unde pG , pGy sunt presiunile relative !n centrele de greutate ale supraeţelor plane 0#C,respectiv 0<C, ecuaţiile >3*54? devin

.,, V g F A p F A p F z yGy y xGx x ρ===

>3*5I?

şi denesc modulele componentelor orţei de presiune reultante pe supraaţa cur@ă #<C*$ele trei orţe au direcţiile normalelor care trec prin centrele de presiune ale supraeţelor0#C şi 0<C, respectiv direcţia verticalei duse prin centrul de greutate al volumului V *

$9nd normalele supraeţei cur@e converg !ntr<un punct sau !ntr<un a-, cele trei orţeale sistemului redus se reduc la o singură orţă av9nd mărimea

.222 z y x F F F F ++=

>3*52?

;n caul general al unei supraeţe cur@e oarecare, două din suporturile celor trei orţee-primate prin relaţiile >3*5I? sunt concurente, iar sistemul se reduce la două orţe situate !nplane dierite*

(or!a de presiune pe o suprafa!" curb" aflat" în contact cu un gaz

Dacă vasul 0#<C este !nc=is şi conţine un ga a cărui presiune relativă pg este admisă

constantă, modulele celor trei orţe de presiune se calculeaă cu relaţiile,,, z g z y g y x g x A p F A p F A p F ===

>3*51?

iar suporturile lor sunt normalele care trec prin centrele de greutate ale proiecţiilorsupraeţei cur@e pe cele trei plane rectangulare*

*.(or!a de presiune pe o suprafa!" curb" închis". +lutirea corpurilor



,.chilibrul relati% al lichidului dintr-un %as aflat în mişcare de rota!ie uniform" în urul unei ae %erticale

"e consideră un vas cilindric vertical care conţine lic=id >afat !n ec=ili@ru relativ? şi seroteşte cu viteă ung=iulară constantă !n urul a-ei sale de simetrie* "e aleg a-ele 0z şi 0 z !n poiţie suprapusă cu a-a de simetrie a vasului >fgura 3.11?* "e particularieaă relaţia

>3*4I? pentru:0a

+ >deoarece originile 0 şi 0 ale sistemelor de a-e coincid?, A

+ –k

g,

ω=ω k

+ constant şi

! ddω+ astel

( ) .1

r p g k

×ω×ω=∇ρ

−−

>3*42?

Ntiind că

, z k y j xir ++=

se pot determina e-presiile produsului vectorial

x j yi

z y x

k ji

r ω+ω−=ω=×ω

00

şi du@lului produs vectorial

( ) ,

0

00 22 y j xi

x y

k ji

r ω−ω−=ωω−

ω=×ω×ω

iar ecuaţia >3*42? devine

igura 3.11 !c)ema unui vas cu lic)id a'at (n micare de rota&ie uni*ormă (n =urul unei ae verticale



.1 22 y j xi p g k ω+ω=∇ρ

+

>3*41?

6roiect9nd relaţia de mai sus pe cele trei a-e carteiene se o@ţin, pentru derivateleparţiale ale presiunii, e-presiile

,,, 22

g z

p

y y

p

x x

p

ρ−=∂∂

ωρ=∂∂

ωρ=∂∂

care, !nlocuite !n dierenţiala presiunii duc la ecuaţia

.dddd 22 z g y y x x p ρ−ωρ+ωρ=

>3*I?

6rin integrarea relaţiei >3*I? se o@ţine legea variaţiei presiunii su@ orma

,2

222 C z g

y x p +ρ−

+ωρ=

sau, dacă se !nlocuieşte '

y '

+ >'

,

,2

22

C z g R

p +ρ−ωρ

=

>3*I?

din care se o@servă că supraeţele io@are sunt para@oloii de rotaţie !n urul a-ei 0z *

6entru determinarea constantei de integrare se pune ecuaţiei >3*I? condiţia la limită

la > + şi z + z , p + p ,

unde z este cota v9rului para@oloidului supraeţei li@ere, şi se găseşte

C + p ρ g z ,

cu care ecuaţia presiunii !m@racă orma

( ) .2

0

22

0 z z g R

p p −ρ+ωρ

+=

>3*I'?

6entru p + p, din relaţia >3*I'? se o@ţine ecuaţia supraeţei li@ere

.2

22

g

R z z "

ω+=

>3*I3?

/0.chilibrul relati% al lichidului dintr-un %as aflat în mişcare de transla!ie uniformaccelerat"

ie un vas cu lungimea l, care conţine lic=id pe !nălţimea de repaus )* ;n timpul

mişcării cu acceleraţia constantăa

, supraaţa li@eră a lic=idului devine un plan !nclinat*6entru găsirea legii de variaţie a presiunii se particularieaă ecuaţia generală a ec=ili@rului

relativ >3*4I? !n următoarele condiţii: A

+ –k

g,0a

+a

+a j

,ω

+ , reult9nd e-presia

,1

a j p g k

=∇ρ

−−

igura 3.1? !c)ema unui vas cu lic)id a'at (n micare rectilinie uni*orm accelerată



>3*I(?

din care, prin proiectare pe a-ele sistemului de reerinţă, se o@ţin ecuaţiile scalare

,,,0 g z

pa

y

p

x

pρ−=

∂∂

ρ−=∂∂

=∂∂

care se !nlocuiesc !n dierenţiala presiunii astel

.ddd z g ya p ρ−ρ−= >3*I5?

"oluţia ecuaţiei dierenţiale >3*I5?

( ) C z g ya p ++ρ−=>3*I4?

arată că supraeţele io@are >şi, !n mod particular, supraaţa li@eră? sunt plane, av9nd panta –ag*

6un9nd condiţia la limită

la y + l' şi z + ), p + p

ecuaţiei >3*I4? se o@ţine e-presia constantei de integrare

.2

00

# ah g pC

ρ+ρ+=

Estel, ecuaţia >3*I4? devine

( ) ,2

00 z h g y#

a p p −ρ+

−ρ+=

>3*II?

conduc9nd, pentru p + p, la ecuaţia supraeţei li@ere de orma

.2

0h y#

g

a z +

−=

(3.7)

//.$inie de curentLocul geometric al punctelor la care vectorii viteă ai particulelor de fuid sunt tangenţi se

numeşte linie de curent *

Dacă se noteaă cu $d

un element vectorial de linie de curent şi cuv

vitea fuidului

!n originea elementului

$d

, din deniţia liniei de curent reultă ecuaţia vectorială a acesteia:

.0d =× $v

>(*4?

Ntiind că

,dddd, z k y j xi $vk v jviv z y x ++=++=

>(*I?

iar produsul vectorial are e-presia



( ) ( ) ( ) ,dddddd

ddd

d xv yvk z v xv j yv z vi

z y x

vvv

k ji

$v y x x z z y z y x −+−+−==×

ecuaţia vectorială >(*4? este ec=ivalentă cu relaţiile

,ddd

z y x v

z

v

y

v

x==

>(*2?

numite %cua&ii#% $ca#ar% a#% #ii%i '% cur%! .

1ub de curent

Mulţimea liniilor de curent care trec printr<o linie cur@ă !nc=isă ormeaă o supraaţătu@ulară care mărgineşte un domeniu tu@ular numit tub de curent. "upraaţa tu@ului decurent are caracter de instantaneitate >se modică !n timp? şi se comportă ca o supraaţăimpermea@ilă >nu este traversată de fuid?*

(luul %itezei

lu-ul viteeiv

relativ la supraaţa ! cu aria # se numeşte debit volumic de fuid şiare, prin deniţie, e-presia

,dd ∫ ∫ =⋅= A

A

Av Av(

>(*1?

unde

este versorul normalei la elementul de supraaţă cu aria d #, iar v n este proiecţia viteei

pe normala

* 6rin multiplicarea de@itului volumic cu densitatea ρ sau cu greutatea specică γ

se o@ţin de@itul masic, respectiv de@itul gravic:

- + ρ @ , G + γ @ A ρ g @ * >(*?

Japortul dintre de@itul volumic şi aria supraeţei asociate acestui de@it se numeşteviteză medie:

v m + @ # * >(*?

otorul %itezei

6rin deniţie, rotorul viteei unei particule de fuid are e-presia

.rot

∂∂

−∂

∂+

∂∂

−∂∂

+

∂

∂−

∂∂

=∂∂

∂∂

∂∂

= y

v

x

vk

x

v

z

v j

z

v

y

vi

vvv z y x

k ji

v x y z x y z

z y x

>(*'?

Dacă

vrot

≠ , particula de fuid are o mişcare de rotaţie !n urul unui punct propriu*



Mişcarea fuidului la care

vrot

≠ !n orice punct se numeşte micare rota&ională*

Mişcarea caracteriată prin

vrot

= pentru orice particulă din domeniul ocupat de fuidpoartă numele de micare poten&ială sau irota&ională, iar c9nd !n domeniul fuidului e-istă

un număr nit de particule pentru care

vrot

≠ , mişcarea fuidului respectiv se numeşte

micare poten&ială cu vârte=uri. 8ectorul vârte=, notatω

, repreintă umătate din rotorulviteei fuidului

.rot2

1v

=ω

>(*3?

$ondiţia necesară pentru ca mişcarea fuidului să e potenţială

,0rot =v>(*(?

este !ndeplinită dacă e-istă o uncţie ϕ> , y, z, t ?, numită poten&ial de viteză, al căruigradient să e egal cu vitea fuidului* adică

.ϕ∇=v>(*5?

$inia de %ârte

Locul geometric al punctelor la care vectorul v9rteω

este tangent se numeşte linie de

vârte= şi are ecuaţia vectorială

.0drot =× $v

>(*4?

olosind a doua egalitate >(*I? şi relaţia >(*'?, se poate scrie e-presia

.ddd ) d

dd

ddd

drot

∂∂

−∂∂

−

∂

∂−

∂∂

+

∂

∂−

∂∂

∂∂

−∂

∂+

+

∂

∂−

∂

∂−

∂

∂−

∂

∂=

∂

∂−

∂

∂

∂

∂−

∂

∂

∂

∂−

∂

∂=×

x x

v

z

v y

z

v

y

vk z

z

v

y

v x

y

v

x

v j

y

y

v

x

v z

x

v

z

vi

z y x y

v

x

v

x

v

z

v

z

v

y

v

k ji

$v

z x y z y z x y

x y z x x y z x y z

>(*I?

care arată că ecuaţia >(*4? este ec=ivalentă cu ormulele

,ddd

y

v

x

v

z

x

v

z

v

y

z

v

y

v

x

x y z x y z

∂

∂

−∂

∂=

∂

∂−

∂

∂=

∂

∂

−∂

∂

>(*2?



numite ecua&iile scalare ale liniei de vârte=*

1ub de %ârte

Mulţimea liniilor de v9rte care trec printr<o linie cur@ă !nc=isă ormeaă o supraaţătu@ulară care mărgineşte un domeniu tu@ular numit tub de vârte=*

Circula!ie

#ntegrala pe o linie cur@ă !nc=isă a produsului scalar dintre viteav

şi elementul

vectorial de linie de curent $d

se numeşte circula&ie şi se e-primă astel

.d∫ ⋅=Γ C

$v

>(*1?

$onorm ormulei lui " .H)A" de trecere de la integrala cur@ilinie la integrala desupraaţă, se poate scrie relaţia

,drotd ∫ ∫ ⋅=⋅=Γ AC

Av $v

>(*'?

care e-primă teorema lui " .H)A": circulaţia de<a lungul unei cur@e !nc=ise C este egală cudu@lul fu-ului de v9rteuri ce trece printr<o supraaţă ! de arie #, mărginită de cur@a C* Din

ecuaţiile >(*(? şi >(*'? se constată că, pentru mişcările potenţiale, Γ + , iar potenţialul de

viteă ϕ este o uncţie uniormă*

;nlocuind relaţia >(*5? !n e-presia >(*'? particulariată pentru caul mişcării potenţiale,circulaţia !m@racă orma

,dd 12 A A

C C

$ ϕ−ϕ=ϕ=⋅ϕ∇=Γ ∫ ∫

>(*'?

unde ϕ #, ϕ #' sunt valorile potenţialului de viteă !nainte de parcurgerea cur@ei C, respectiv dupăparcurgerea acestei cur@e*

$onorm ecuaţiei >(*'?, dacă ϕ # + ϕ #' atunci Γ + * ;n consecinţă, pentru o mişcare

potenţială, Γ + de<a lungul oricărei cur@e !nc=ise considerate !n domeniul mişcării, iar

potenţialul de viteă ϕ este o uncţie uniormă* ;n caul mişcărilor potenţiale cu v9rteuri, Γ ≠ dacă şi numai dacă cur@a C !nconoară o onă care conţine cel puţin un v9rte*

Legat de noţiunea de circulaţie, se disting domenii simplu conee şi domenii multiplu

conee* Bn domeniu este simplu cone- dacă orice cur@ă !nc=isă ormeaă suportul uneiamilii de supraeţe ipotetice care nu intersecteaă rontierele domeniului mişcării*Domeniile care nu posedă această particularitate se numesc domenii multiplu cone-e*

/2.cua!ia microscopic" a continuit"!ii$onsider9nd, ca domeniu de control, un paralelipiped de dimensiuni inniteimale

>fgura B.?? şi not9nd densitatea fuidului şi componentele viteei !n punctul " cu ρ, v , v y , v z ,



ecuaţia >(*'5? ia, !n a@senţa surselor, orma

( ) ( ) ( ) +

ρ

∂∂

+ρ+

ρ

∂∂

+ρ−ρ+ρ+ρ z x yv y

v z y xv x

v! y xv z xv z yv y y x x z y x ddddddddddddd

( ) ,ddddddddddd z y x ) z y x! !

! y x z v z

v z z −

∂ρ∂

+ρ=

ρ∂∂

+ρ+

care, după reducerea termenilor asemenea,

!mpărţirea prin

! z y x dddd

şi grupareatermenilor !ntr<un singur mem@ru, devine

( ) ( ) ( ) 0=∂ρ∂

+ρ∂∂

+ρ∂∂

+ρ∂∂

! v

z v

yv

x z y x

>(*'4?

şi repreintă ecuaţia microscopică a

continuităţii e-primată !n coordonatecarteiene*

Dacă mişcarea fuidului preintă simetrie aţă de un a- sau aţă de un punct, esteavantaos să se olosească ecuaţia continuităţii scrisă !n coordonate cilindrice

( ) ( ) ( ) ,011

=∂ρ∂

+ρ∂∂

+ρθ∂∂

+ρ∂∂

θ!

v z

vr

vr r r

z r

>(*'I?

respectiv !n coordonate serice

( ) ( ) ( ) .0sin

1sin

sin

11 2

2 =

∂ρ∂

+ρθ∂∂

ϕ+ϕρ

ϕ∂∂

ϕ+ρ

∂∂

θϕ!

vr

vr

vr r r

r

>(*'2?

olosind relaţia >3*5?, ecuaţia >(*'4? mai poate scrisă su@ orma

( ) .0=∂ρ∂

+ρ∇!

v

>(*'1?

13.Ecuatia microscopica a continuitatii pentru un

tub de curent

Acuaţiile >(*'4C(*'1? !m@racă ormesimplicate !n caul fuidelor incompresi@ile

>pentru care ρ + constant?, mişcărilor staţionare

>c9nd

! ∂ρ∂+ ?, precum şi dacă una sau mai

multe componente ale viteei sunt constante saunule*

Acuaţia continuităţii pentru un tu@ decurent ţine scama de caracterul deinstantaneitate al tu@ului de curent, caracter care este refectat prin variaţia !n timp a arieisecţiunii transversale a tu@ului* Eplic9nd ecuaţia >(*'5? domeniului tu@ular lipsit de surse dinfgura B.3 şi admiţ9nd că tu@ul de curent are aria # + > # #'?', se o@ţine egalitatea

( ) ( ) ,dddddd $ A $! A! A! $( $(! ( ρ− ρ∂∂

+ρ= ρ∂∂

+ρ−ρ

sau, după reducerea termenilor asemenea şi !mpărţire prin ds dt ,

igura B.?. Domeniu paralelipipedic elementar de control

igura B.3. %ub de curent de lungime infnitezimală



( ) ( ) ,0=ρ∂∂

+ρ∂∂

A!

( $

>(*3?

care este ecuaţia microscopică a continuităţii pentru un tu@ de curent* Ni relaţia >(*3? iaorme mai simple dacă fuidul este incompresi@il, mişcarea este staţionară sau o parte dincomponentele viteei sunt nule*

/#. cua!ia microscopic" a mişc"rii fluidelor perfecte"e consideră un

element paralelipipedic devolum detaşat dintr<un fuidperect afat !n mişcare* ;ncentrele celor şase eţe seintroduc orţele de legătură

x F 1d

,

x F 2d

,

y F 1d

,

y F 2d

,

z F 1d

, z F 2d

, care sunt orţe depresiune, iar !n centrul - alelementului se aplică orţa

masicăm F d

şi orţa de inerţiei F d

>fgura +.1?* /ot9nd cu

! va dd= acceleraţia centrului

paralelipipedului, se poate scrie condiţia de ec=ili@ru dinamic al orţelor >3*4? !n care, conormprincipiului al doilea al mecanicii >ormulat de /AS.H/?, suma dintre orţele de presiune şi orţamasică este egală cu produsul dintre masă şi acceleraţie sau cu minus orţa de inerţie, a cărei

e-presie este,ddd

d

dd z y x

!

vam F i

ρ−=−=

>5*?

#ntroduc9nd !n relaţia >3*4? e-presiile >3*'?, >3*3? şi >5*?, după reducerea

termenilor asemenea şi simplicarea cu ρ d d y d z , se o@ţine ecua&ia microscopică a

dinamicii 'uidelor per*ecte, su@ orma

.d

d1a

!

v p A

==∇

ρ−

>5*'?

Eceastă relaţie este cunoscută şi su@ numele de ecua&ia impulsului, e-prim9nd teoremamicroscopică a impulsului* #mpulsul este produsul dintre masă şi viteă* Dacă masa elementuluide volum este constantă !n timpul dt reultă că

( ) ,dddd

dddd

d

d z y x

!

v z y xv

!

ρ=ρ

>5*3?

ceea ce arată că ormula >5*'? e-primă teorema microscopică a impulsului*

olosind varia@ilele ABLAJ v , v y , v z şi proiect9nd ecuaţia >5*'? pe cele trei a-ecarteiene, reultă următoarele ecuaţii scalare:

,1

x

p X v

z

vv

y

vv

x

v

!

v z

x y

x x

x x

∂∂

ρ−=

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

Figura 5.1. Domeniu paralelipipedic elementar detaşat dintr-un fluid perfect aflat in mişcare



,1

y

pY v

z

vv

y

vv

x

v

!

v z

y y

y x

y y

∂∂

ρ−=

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

>5*(?

,1

z

p Z v

z

vv

y

vv

x

v

!

v z

z y

z x

z z

∂∂

ρ−=

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

cunoscute ca %cua&ii#% #ui **- 'i 'iamica *#ui'%#"r p%r*%c!%+

Acuaţia >5*'?, !mpreună cu ecuaţia continuităţii

( ) 0=∂ρ∂

+ρ∇!

v

>(*'1?

şi cu ecuaţia de stare, ormeaă un sistem de ecuaţii determinat, !n care necunoscutele sunt

vitea v , presiunea p şi densitatea ρ*

/&.cua!ia macroscopic" a mişc"rii fluidelor perfecte. 1eorema impulsului

6rin integrarea ecuaţiei >5*'? pe un volum V , mărginit de o supraaţa ! de arie #, seo@ţine ecuaţia macroscopică a mişcării, care e-primă teorema propriu<isă a impulsului*

Multiplic9nd ecuaţia >5*'? cu ρ dV şi integr9nd<o pe volumul V se o@ţine

.dddd

d

∫ ∫ ∫ ∇−ρ=ρV V V

V pV AV !

v

>5*5?

#mpulsul fuidului din volumul V este

.d∫ ρ=V

V v I

>5*4?deci mem@rul st9ng al ecuaţiei >5*5? repreintă variaţia !n timp a impulsului masei de fuid

din volumul V ,

! I dd

* 6e de altă parte, se poate scrie

( ) ( ) ( ) ( ) −ρ∂∂

+ρ∂∂

+ρ∂∂

+∂∂

ρ=∇⋅ρ+∂∂

ρ=

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

ρ=ρ vv z

vv y

vv x!

vvv

!

vv

z

vv

y

vv

x

v

!

v

!

v z y x z y x

d

d

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]vvvvk vv jvvi!

vv

z v

yv

xv z y x z y x

ρ∇−ρ∇⋅+ρ∇⋅+ρ∇⋅+

∂∂

ρ=

ρ

∂∂

+ρ∂∂

+ρ∂∂

−

şi ţin9nd seama că, din ecuaţia >(*'1?, se poate !nlocui

( )[ ]vv ρ∇ cu

! v∂ρ∂

−

, e-presia de maisus devine

( ) ( ) ( ) ( ) .d

dvvk vv jvviv

! !

v z y x

ρ∇⋅+ρ∇⋅+ρ∇⋅+ρ

∂∂

=ρ

>5*I?

;nlocuind relaţia >5*I? !n mem@rul st9ng al ecuaţiei >5*5?, reultă egalitatea

( ) ( ) ( ) ( ) =ρ∇+ρ∇+ρ∇+ρ

∂

∂=ρ=

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ V vvk V vv jV vviV v

!

V

!

v

!

I

A

z

A

y

A

x

V V

ddddd

d

d

d

d



( ) ( ) ( ) ( ) ,dddd Avvk Avv j AvviV v!

A

z

A

y

A

x

V

∫ ∫ ∫ ∫ ⋅ρ−⋅ρ−⋅ρ−ρ∂∂

=

unde s<a transormat integrala de volum !n integrală de supraaţă prin olosirea teoremei lui

%EB"", consider9nd că normala

este orientată de la e-teriorul către interiorul elementului

de volum studiat*$a urmare, se poate scrie

( ) ( ) ( ) ( ) .ddddd

d AvvV v

! Avk v jvivV v

! !

I

AV A

z y x

V

∫ ∫ ∫ ∫ ⋅ρ−ρ∂∂

=++⋅ρ−ρ∂∂

=

>5*2?

$ele două integrale din mem@rul drept al ecuaţiei >5*5? pot scrise su@ orma

,dd,dd ∫ ∫ ∫ ∫ −=∇=ρ−=ρ AV

g

V V

A pV p F V g k V A

unde s<a ţinut seama, pentru prima egalitate, că acceleraţia A

a c9mpului orţelor masice

este egală, !n c9mp gravitaţional, cu acceleraţia gravitaţională

g k − , iar pentru cea de a

doua, că presiunea are direcţia normalei

, dar sens contrar* Estel, ecuaţia >5*5? devine

( ) ( ) .ddddd

d∫ ∫ ∫ ∫ +ρ−=⋅ρ−ρ

∂∂

= AV AV

A pV g k AvvV v! !

I

>5*?

Acuaţia >5*? repreintă ecua&ia macroscopică a micării 'uidelor per*ecte şi e-primăteorema impulsului, enunţată astel: variaţia !n timp a impulsului masei de fuid care ocupăvolumul V este egală cu suma dintre orţa de greutate şi orţele de presiune pe supraaţa !care mărgineşte domeniul de control cu volumul V *

;n caul unui tu@ de curent >fgura +.?

aria supraeţei de control se compune

din ariile supraeţelor de intrare #, de

ieşire #', respectiv laterală #l aletu@ului* #nde-9nd cu , ' valorile mediiale mărimilor !n secţiunile de intrare,respectiv de ieşire, ecuaţia >5*? !m@racă orma

( ) ( ) ( )

,ddd

dddd

d

21

21

222111

2222211111

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ++++

+⋅ρ+⋅ρ=ρ∂∂

=

# A

# # #

A A

g

A AV

A p A p A p F

Avv AvvV v! !

I

unde al doilea termen din prima egalitate a ost trecut, cu semn sc=im@at, !n a douaegalitate* Ntiind că

Figura 5.. Schema deducerii teoremei impulsului pentru un tu! de curent



,d,, 222111 p#

A

# # # F A pvvvv

#

=−=⋅=⋅ ∫

unde

p# F

este orţa de presiune pe supraaţa laterală a tu@ului de curent, relaţia de mai susdevine

( ) .d 22211122221111 p# g

V

F A p A p F Avv AvvV v!

++++ρ−ρ=ρ

∂∂ ∫

>5*?Dacă mişcarea este staţionară, mem@rul st9ng al ecuaţiei >5*? este nul, iar dacă

fuidul este incompresi@il ρ + ρ' + ρ şi astel ecuaţia >5*? se reduce la orma

( ) ,22211112 R F A p A pvv( g −++=−ρ

>5*'?

!n care s<a ţinut seama de ecuaţia continuităţii >(*3(? şi s<a !nlocuit reultanta presiunilorsupraeţei tu@ulare asupra lic=idului cu acţiunea lic=idului asupra supraeţei, potrivit

principiului acţiunii şi reacţiunii, e-primat su@ orma R F p# −=

* orţa R

se numeşte orţă deimpuls sau reac&iunea impulsului*

Acuaţia >5*'? e-primă teorema impulsului pentru un tu@ de curent de fuidincompresi@il afat !n mişcare staţionară* $u autorul ei se pot determina: orţa de impact a eturilor asupra pereţilor, orţa de impuls a fuidului afat !n mişcare asupra unei conducte cur@e,pierderea locală de energie provocată de variaţia @ruscă a secţiunii unei conducte etc*

/'.1eorema momentului impulsului

Dacă se noteaă cur

vectorul de poiţieal centrului elementului de volum dV aţă depunctul - 0 >fgura +.3?, atunci momentulimpulsului masei de fuid conţinute !n volumulV , !n raport cu originea 0 are e-presia

( ) .d∫ ρ×=V

V vr M

>5*3?

"e deriveaă relaţia >5*3? !n uncţie de timp

.dd

dd

d

d

d

d∫ ∫ ρ

×+ρ

×=

V V

V !

vr V v

!

r

!

M

>5*(?

unde primul termen din mem@rul drept este nul, deoarece

! r dd

+v

şi0=×vv

* Tin9nd seamade teorema impulsului >5*2?, conorm căreia

Figura 5.3. Schema deducerii teoremei momentului impulsului



( ) ( ) ( ) ,dddddd

d(vV v

! AvvV v

! V

!

v

AV AV V

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ρ−ρ∂∂

=⋅ρ−ρ∂∂

=ρ

ecuaţia >5*(? devine

( ) ,dddd

d

d

d

∫ ∫ ∫ ρ×−ρ∂∂

×=ρ ×= AV V

(vr V v! r V !

vr !

M

sau

( ) ( ) ,ddd

d g p

AV

M M (vr V vr ! !

M +=×ρ−×ρ

∂∂

= ∫ ∫ >5*5?

unde

p M

este momentul orţelor de presiune,

g M

– momentul greutăţii fuidului, iar

i g p M M M −=+

*

Acuaţia >5*5? e-primă teorema momentului impulsului, potrivit căreia derivatamomentului impulsului !n raport cu timpul este egală cu suma momentelor orţelor depresiune şi orţei de greutate*

6entru un tu@ de curent prin care are #oc mişcarea staţionară a unui fuid incompresi@il,conorm relaţiei >5*'? se o@ţine ecuaţia

( ) ,211122 R g p p M M M M vr vr ( −++=×−×ρ

>5*4?

unde1r

şi2r

sunt vectorii de poiţie ai centrelor secţiunilor de intrare, respectiv de ieşireaţă de originea 0*

/).cua!ia energieiA-primarea matematică a principiului conservării energiei mecanice a unui fuid afat !n

mişcare iotermă constituie o ecuaţie de @ilanţ energetic numită ecua&ia energiei*

6entru deducerea acestei relaţii, se transormă ecuaţiile lui ABLAJ din dinamica fuidelorperecte >5*(? !ntr<o ecuaţie dierenţială specică liniei de curent, !n condiţiile negliăriieectelor superciale, c=imice şi electrice, considerării fuidul ca ind perect şi atemperaturii acestuia invaria@ile*

"e multiplică prima ecuaţie >5*(? cu d

,d1ddddd x x p x X xv

z v xv

yv xv

xv x

! v z x y x x x x

∂∂ρ−=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂



apoi, pe @aa ecuaţiilor scalare ale liniei de curent >(*2? se !nlocuiesc v y d cu v d y şi v z d

cu v d z , reult9nd relaţia

,d1

ddddd x x

p x X z

z

v y

y

v x

x

vv x

!

v x x x x

x

∂∂

ρ−=

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

>5*I?

!n care parantea rotundă repreintă dierenţiala d , iar

=

2dd

2 x

x x

vvv

, ceea ce conduce laorma

.d1

d2

dd2

x x

p x X

v x

!

v x x

∂∂

ρ−=

+

∂∂

>5*2?

6roced9nd !n mod similar cu celelalte două relaţii >5*(? multiplicate cu d y , respectiv cud z, reultă

,d1

d2

dd2

y y

p yY

v y

!

v y y

∂∂

ρ−=

+

∂∂

>5*1?

.d1

d2

dd2

z z

p z Z

v z

!

v z z

∂∂

ρ−=

+

∂∂

>5*'?

6rin !nsumarea relaţiilor >5*2?C>5*'? se o@ţine ecuaţia

.ddd1

ddd2

dddd

222

∂∂

+∂∂

+∂∂

ρ−++=

+++

∂∂

+∂

∂+

∂∂

z z

p y

y

p x

x

p z Z yY x X

vvv z

!

v y

!

v x

!

v z y x z y x

>5*'?

Ntiind că, !n c9mpul gravitaţional terestru, 2 + , + şi 4 + –g, apoi o@serv9nd că suma

primilor trei termeni din mem@rul st9ng ormeaă produsul scalar

$!

v d⋅

∂∂

>a cărui valoare este

$!

vd

∂∂

deoarece vectorii!

v

∂∂

şi $d

sunt coliniari? şi că ultimul termen din mem@rul drept estedierenţiala presiunii d p, se poate scrie relaţia

,0d

d2dd

2

=ρ++

+∂

∂ p z g

v $!

v

>5*''?

care constituie ecua&ia microscopică a energiei mecanice pentru mişcarea iotermă a unuifuid perect, unde v este vitea fuidului !n originea elementului de linie de curent ds*

6rin integrarea ecuaţiei >5*''? se o@ţine ecuaţia macroscopică a conservării energieimecanice pentru mişcarea iotermă de<a lungul unei linii de curent

,d

2d

2

a p

z g v

$!

v

$ $

=ρ

+++∂∂ ∫ ∫

(5.23)

care arată că suma energiilor inerţială, cinetică, potenţială şi de presiune–volum este

constantă de<a lungul unei linii de curent de fuid perect* 6entru mişcarea staţionară,ecuaţia >5*'3? se reduce la orma



, p

z g v

$

=ρ

++ ∫ d

2

2

(5.24)

numită ecuaţia lui 7AJ/HBLL#*Dacă

fuidul

este

incompresi@il, ecuaţia >5*'(? poate pusă su@ orma

,2

2

c g

v

g

p z =+

ρ+

>5*'5?

!n care termenii sunt !nălţimi, apt care permite o interpretare geometrică, prin denirealiniilor caracteristice: de reerinţă >o linie oriontală?, de poiţie >linia de curent?,pieometrică şi de sarcină =idraulică >fgura +.B?* 6inia piezometrică este denităe-perimental prin nivelele li@ere ale lic=idului !n tu@urile pieometrice care ar plasate de<a

lungul liniei de curent, iar linia de sarcină )idraulică este linia oriontală indicată de aceleaşitu@uri pieometrice c9nd lic=idul se afă !n repaus*

#nterpretarea geometrică a ecuaţiei >5*'5? este: distanţa dintre linia de reerinţă şi liniade sarcină =idraulică este constantă şi egală cu mem@rul drept al ecuaţiei >5*'5?*

6entru e-tinderea ecuaţiei energiei la un tu@ de curent de fuid incompresi@il, seconsideră o secţiune transversală printr<un tu@ de curent, av9nd centrul !n punctul G >fgura

+.+?* Edmiţ9nd că fuidul este perect, iar mişcarea este staţionară, ecuaţia >5*'5? capătăorma

,2

2

C g

v

g

p z mG =

α+

ρ+

>5*'4?

unde, conorm ecuaţieicontinuităţii >(*3(?, vitea medieeste

. A(vm =

>5*'I?

"e alege un elementinnimesimal de pe secţiune, cuaria d #, cota z şi presiunea p*

"uma z p>ρ g? este un

invariant, adică are aceeaşivaloare indierent de poiţiaelementului cu aria d # pe

Figura 5.". #nterpretarea geometrică a ecuaţiei energiei pentru un fluid perfect incompresi!il aflat $n mişcare staţionară

igura +.+. !c)ema deducerii ecua&iei energiei pentru un tub de curent



supraaţa secţiunii, deci

.GG z g

p z

g

p+

ρ=+

ρ>5*'2?

6uterea =idraulică ce corespunde ariei elementare d # are e-presia

,d2dd2d

22

Av g g

v

( g g

p

z ( g g

v

g

p

z - ρ+ρ

ρ+=ρ

+ρ+=

iar puterea =idraulică totală se o@ţine prin integrarea ecuaţiei precedente astel

.d2

d2

d 33 ∫ ∫ ∫ ρ

+ρ

ρ

+=ρ

+ρ

ρ

+= A A A

Av( g g

p z Av( g

g

p z -

>5*'1?

6e de altă parte, puterea =idraulică poate scrisă şi !n raport cu vitea medie dinsecţiune su@ orma

.

2

2

( g

g

v( g

g

p z - mG

G ρα

+ρ

ρ

+=

>5*3?

6rin egalarea relaţiilor >5*'1? şi >5*3? se o@ţine ecuaţia

,2

d2

33 A

v Av m

A

m ρα

=ρ∫

>5*3?

!n care @ din termenul al doilea al mem@rului drept din e-presia >5*'1? a ost !nlocuit prin v m # pe @aa ecuaţiei >5*'I?*

Din relaţia >5*3? se poate e-prima

,

d

3

3

Av

Av

m

A

m

∫ =α

>5*3'?

care se numeşte coecientul lui $HJ#HL#"* ;n caul fuidelor perecte, α + *

Acuaţia energiei pentru mişcarea nestaţionară >5*'3? e-tinsă la un tu@ de curent !n

condiţiile !n care fuidul este incompresi@il >ρ + constant? are, după !mpărţirea la g, orma

,2

d2

. g

v

g

p z $

!

v

g

m

$

m =α

+ρ

++∂∂β∫

>5*33?

unde

.3

2+α=β

>5*3(?

Acuaţia lui 7AJ/HBLL# !n caul mişcării relative a fuidului incompresi@il !ntr<un canalafat !n rotaţie, ca !nt9lnit la tur@ine, pompe centriuge, roţi =idraulice etc*, are orma

,2

22

/ g

uv

g

p z r =

−+

ρ+

>5*35?

unde v r este vitea relativă a fuidului, u + r ω – vitea de transport, iar ω – vitea ung=iulară

a tur@inei*Deoarece ecuaţia energiei este o@ţinută din ecuaţia de impuls, ea are un caracter

dependent şi poate olosită numai !n locul uneia din ecuaţiile microscopice sau



macroscopice ale impulsului*

/*.c!iunea fluidului asupra unei conducte curbe"e consideră o conductă oriontală prin care se transportă un fuid perect

incompresi@il* luidul are tendinţa de a<şi menţine starea de mişcare rectilinie şi uniormă,

datorită inerţiei sale* Euns !ntr<o porţiune cur@ă a conductei, fuidul loveşte partea

e-terioară a cur@ei, asupra căreia e-ercită o orţă de impuls R

>fgura +.5?, a cărei mărimepoate determinată olosind ecuaţia >5*'?, proiectată pe a-ele 0 , 0y astel:

( ) ,0coscos 221112 x R A p A pvv( −+α+=−α−ρ

( ) ,0sin00sin 222 y R A pv( −+α+=−α−ρ

unde s<a avut !n vedere că greutatealic=idului din volumul de control este

verticală, deci nu se proiecteaă !n planul

0y , şi că normala interioară2

are direcţia

viteei2v

dar sens contrar* Din acesterelaţii se pot e-prima componentelereacţiunii impulsului

( ) ,coscos 212211 α+ρ+α+= vv( A p A p R x

( ) ,sin222 αρ+= v( A p R y

>5*34?

apoi se afă reultanta

.22 y x R R R +=

>5*3I?

$onsider9nd cunoscute densitatea ρ a fuidului, diametrele d, d' ale secţiunilortransversale, vitea v şi presiunea p !n secţiunea de intrare a porţiunii cur@e, se determinămai !nt9i ariile supraeţelor celor două secţiuni, apoi se aplică ecuaţia continuităţii pentru

afarea de@itului @ şi viteei v ', respectiv ecuaţia energiei pentru calcularea presiunii p', iar !n nal se olosesc ecuaţiile >5*34?, >5*3I?*

/,.c!iunea eturilor libere de fluid asupra pere!ilor rigizi

Cazul peretelui de întindere infinit"

igura +.9. !c)ema unui =et liber orizontal de 'uid la impactul cu un perete plan (nclinat i infnit

igura +.5 #c&iunea 'uidului asupra unei conducte curbe



ie un et li@er oriontal de fuid perect incompresi@il, cu vitea1v

şi diametrul d, care

loveşte un perete plan de !ntindere innită, !nclinat cu ung=iul α aţă de oriontală >fgura

+.9?*Eleg9nd secţiunile şi ' ca !n fgura +.9, orţa de impuls a etului asupra peretelui se

poate afa prin proiectarea ecuaţiei >5*'? pe direcţia a-ei 0 astel( ) ,000sin0 1 x Rv( −++=α−ρ

unde s<a ţinut seama că etul este li@er, deci are, !n orice secţiune, presiunea atmoserică p,iar aceasta nu creeaă orţe de presiune, iar pe de altă parte s<a negliat greutatea lic=iduluidin volumul de control >cuprins !ntre secţiunile şi '?*

Din relaţia precedentă se e-primă

.sin1 αρ= v( R x

>5*32?

8aloarea ma-imă a orţei de impuls corespunde caului !n care peretele este dispus

vertical*

Cazul peretelui de dimensiuni finite

Din punct de vedere practic, dacă etul de fuid !şiepuieaă energia cinetică !nainte de a atingemarginile peretelui, acesta poate considerat de !ntindere innită* ;n cele ce urmeaă, se admite căperetele, de orma unui disc, are diametrul relativmic, astel !nc9t etul de fuid care<l loveşte central,pe direcţie normală, să<şi continue drumul după ce

părăseşte peretele, pe o direcţie !nclinată cuung=iul α aţă de direcţia etului incident >fgura

+.;?*

6roiecţia teoremei impulsului >5*'? pe a-a 0 areorma

( ) ,000cos 12 x Rvv( −++=−αρ

din care se o@ţine

( ) .cos21 α−ρ= vv( R x

Dacă se scrie ecuaţia energiei >5*'5? !ntresecţiunile şi ', av9nd !n vedere că p + p' + p,iar z + z ' + pentru caul c9nd a-a oriontală a etului incident este aleasă ca linie de reerinţă,reultă că v ' + v , deci

( ) .cos11 α−ρ= v( R x

>5*31?

Cazul peretelui de dimensiuni finite cu marginea curbat" în unghi drept spre amonte

orma marginii e-terioare a peretelui o@ligă etul de fuid care părăseşte peretele să<şicontinue drumul pe direcţia din care a venit, dar !n sens contrar* ;n aceste condiţii, proiecţia

pe a-a 0 a teoremei impulsului este( ) ,00012 x Rvv( −++=−−ρ

Figura 5.%. Schema unui &et Figura 5.'. Schema unui &et

ori(ontal la impactul cu un ori(ontal la impactul cu un

perete )ertical finit perete )ertical cu marginea

cur!ată $n unghi drept



deci

( ) ,21 vv( R x +ρ=

unde se poate demonstra că v ' + v la el ca !n R5*5*'*', deci

.2 1v( R x ρ=>5*(?

20.cua!iile turbinelor hidraulice"e

alege cadomeniu decontrol tu@ulde curentdelimitat dedouă palete

consecutiveale uneitur@ine=idraulice oriontale >cu a-ul vertical?* "e proiecteaă teorema momentului impulsuluipentru un tu@ de curent >5*4? !n planul fgurii +.11 astel

( ) ,000coscos 111222 h M vr vr ( −++=α−αρ

unde momentele orţelor de presiune sunt nule deoarece suporturile acestor orţe suntperpendiculare pe cele două circumerinţe, deci trec prin a-ul tur@inei, iar momentulgreutăţii lic=idului din volumul de control este nul deoarece greutatea este verticală, deciparalelă cu a-a tur@inei* Estel, se o@ţin ecuaţiile momentului =idraulic şi puterii =idraulice

ale tur@inei( ) ,coscos 222111 α−αρ= vr vr ( M h

>5*((?

,hh M - ω= >5*(5?

numite ecuaţiile lui ABLAJ pentru tur@inele =idraulice, !n care ω este vitea ung=iulară derotaţie a a-ului tur@inei*

2/.4"rirea brusc" a diametrului conducteiDeşi, !n acest capitol, fuidele sunt

considerate perecte, deci lipsite dev9scoitate, mişcarea lor prin conductepoate asociată uneori cu disiparea uneipărţi din energia totală* Estel, creşterea@ruscă a secţiunii transversale a conducteidetermină ormarea unor v9rteuri !n avalde această onă, apt care conduce latransormarea unei părţi din energia cinetică !n energie termică, disipată către mediul

am@iant* ;n ecuaţia conservării energiei mecanice >5*'5? tre@uie adăugat termenul energieidisipate, e-primat su@ ormă de !nălţime, care se numeşte şi pierdere locală de sarcină

)idraulică*

igura +.11. !c)ema tubului de curent dintre două palete consecutive ale unei turbine )idraulice

igura +.1. !c)ema măririi brute a diametrului conductei



"e aleg secţiunile şi ' conorm fgurii +.1, se ia ca linie de reerinţă a-a 0 şi sescriu ecuaţiile impulsului şi energiei astel

( ) ,00222112 −+−=−ρ A p A pvv(

>5*(?

,2

02

0222

211

# h g

v

g

p

g

v

g

p++

ρ+=+

ρ+

>5*('?unde orţa de impuls este nulă deoarece fuidul se deplaseaă !n lungul conductei rectilinii,iar )l este pierderea locală de sarcină =idraulică*

$onorm ecuaţiei continuităţii, @ + v ' #', deci relaţia >5*(? devine, după simplicare cu #',

( ) .21122 p pvvv −=−ρ

iar din e-presia >5*('? se o@ţine egalitatea

( ) .2

21

2221 # h g vv p p ρ+−

ρ=−

#dentic9nd ecuaţiile precedente se aunge la e-presia

( ),

2

221

g

vvh#

−=

>5*(3?cunoscută su@ numele de ormula 7HJDE – $EJ/H.*

22.1ubul +it5t

;ntr<un curent de fuid se consideră un o@stacol, asupra căruia fuidul acţioneaă cu oorţă de impact* Linia de curent centrală >fgura +.1?? se opreşte la contactul cu o@stacolul* "escrie ecuaţia lui 7AJ/HBLL# >5*'5? !ntre secţiunile şi '

002

0 2211 +

ρ+=+

ρ+

g

p

g

v

g

p

(5.46)

şi se introduc notaţiile: p' + pt >presiunea totală?, p + ps >presiunea statică?,

221vρ

+ pd

>presiunea dinamică?*

Estel, relaţia >5*(4? devine pt = ps + pd . (5.47)

.u@ul 6 #.U. este un tu@ desc=is la un capăt, dispus pe direcţia de mişcare a fuidului

cu densitatea ρ şi conectat la un manometru dierenţial, care conţine lic=id cu densitatea ρm

igura +.1?. :mpactul unui curent igura +.13. %ubul "itt igura +.1B. !onda de presiune

igura +.1+. %ubul "itt E "randtl

de 'uid cu un obstacol



>fgura +.13?* Denivelarea ) a lic=idului manometric va corespunde presiunii totale acurentului de fuid

.0 h g p p m! ρ+=>5*(2?

Sonda de presiune

"onda de presiune este un tu@ !nc=is la am@ele capete, dar prevăut cu oricii laterale>fgura +.1B?* ;ntruc9t vitea curentului de fuid nu are componentă pe direcţia oriciilor,acest tu@ măsoară presiunea statică, su@ orma denivelării lic=idului din manometru

.0 h g p p m $ ρ+=>5*(1?

1ubul +it5t 6 +randtl

Ecest dispoitiv repreintă !m@inarea dintre tu@ul 6#.U. şi sonda de presiune, ind

ormat din două tu@uri concentrice, cel interior desc=is la un capăt, iar cel e-terior prevăutcu oricii laterale >fgura +.1+?* $ele două tu@uri sunt conectate la ramurile unui manometrudierenţial, care indică dierenţa dintre presiunea totală şi cea statică, adică presiuneadinamică, su@ orma denivelării ):

.2

2

h g v

p m' ρ=ρ

=

>5*5?

Din ecuaţia >5*5? se poate e-prima vitea fuidului

.22 h g h g v m =ρρ

=

>5*5?

unde )V este denivelarea e-primată !n metri coloană de fuid afat !nmişcare* Jelaţia >5*5? se numeşte ormula lui .HJJ#$ALL#*

1ubul Venturi

.u@ul 8A/.BJ# este un de@itmetru simplu, care constă dintr<o porţiune cudiametru redus intercalată pe o conductă prin intermediul a două tu@uri cu secţiunea varia@ilă>fgura +.15?*

"criind ecuaţia >5*'5? !ntre secţiunile şi '

,22

222

2

211

1 g

v

g

p z

g

v

g

p z +

ρ+=+

ρ+

şi o@serv9nd, din fgura +.15, că

,22

11 h

g

p z

g

p z =

ρ

+−ρ

+

igura +.15. %ubul Venturi



se aunge la relaţia

,2

21

22 h

g

vv=

−

>5*5'?

;n continuare se e-primă v !n uncţie de v ' olosind ecuaţia continuităţii

,

2

1

221

=

'

' vv

iar e-presia >5*5'? devine

.

1

24

1

2

2

−

=

'

'

h g v

6rin multiplicarea viteei v ' cu aria #' a supraeţei secţiunii transversale a porţiunii !ngustate se o@ţine de@itul teoretic al tu@ului 8A/.BJ# >corespunător curgerii unui fuidperect?

.

1

2

4 4

1

2

22

−

π=

'

'

h g ' (!

De@itul real @ este mai mic dec9t cel teoretic şi se o@ţine prin multiplicarea acestuia dinurmă cu un coecient de de@it

,

1

2

4 4

1

2

22

−

π=

'

'

h g ' c( '

>5*53?

care depinde de densitatea şi v9scoitatea fuidului, vitea medie şi raportul diametrelorsecţiunilor caracteristice ale tu@ului 8A/.BJ# conorm relaţiei

,,-e1

22

=

' ' cc ' '

>5*5(?

unde Je' repreintă valoarea numărului JAG/HLD" !n secţiunea minimă a tu@ului*

23.ectorul



Aectorul >fgura +.19? este un dispoitiv caretransormă energia de presiune–volum a unui curentde lic=id !n energie cinetică* Al poate olosit capompă de lic=id*

uncţionarea eectorului este următoarea: dinreervorul superior , afat la cota ) relativ mare, se

scurge de@itul de apă @* La trecerea acestuia prindua afată !n secţiunea , vitea apei >şi, implicit,energia sa cinetică? !nregistreaă o creştereimportantă* $reşterea energiei cinetice implicăscăderea accentuată a energiei de presiune–volum acurentului de apă @, astel !nc9t presiunea dincamera eectorului este inerioară presiuniiatmoserice, iar prin conducta ' este aspirat de@itulde apă @' din reervorul inerior* Epa din cameră esteevacuată, la de@itul @3, către reervorul din parteadreaptă a fgurii +.19*

Aectorul are 5 parametri: cotele )i, ariile supraeţelor secţiunilor transversale #i,de@itele @i, viteele medii v i şi presiunile pi !n cele 3 secţiuni >i + , ', 3?* Dintre aceştia,şase parametri se aleg, pe criterii constructive, iar ceilalţi nouă pot determinaţi din nouăecuaţii independente* Ecestea sunt:

– patru ecuaţii de continuitate:

,111 v A( =>5*55?

,222 v A( =>5*54?

,333 v A( =

>5*5I?,321 ((( =+

>5*52?>5*54?

– ecuaţiile conservării energiei scrise !ntre: "L şi, "L' şi , "L3 şi:

,2

02

211

210

1 g

v

g

p

g

v

g

ph 01 +

ρ+=+

ρ+

>5*51?

,

22

222

220

2

g

v

g

p z

g

v

g

p z h 01 +

ρ

+−=+

ρ

+−−

>5*4?

,2

02

233

230

3 g

v

g

p

g

v

g

ph 01 +

ρ+=+

ρ+

>5*4?

unde ca linie de reerinţă a ost aleasă a-a oriontală a dispoitivuluiK se ace o@servaţia cătermenii energiilor cinetice pe supraeţele li@ere sunt neglia@iliK

– ecuaţia puterii =idraulice a eectorului

,332211 (h g (h g (h g ρ+ρ=ρ>5*4'?

igura +.19. F=ectorul



unde puterea =idraulică este produsul dintre presiunea relativă şi de@itK eectorul consumălucrul mecanic al curentului de apă cu de@itul @ pentru a ridica de@itul @' şi a !mpinge spredreapta de@itul @3K

– o@servaţia

p + p' , >5*43?

@aată pe aptul că secţiunile şi ' sunt oarte apropiate*

2#.4işc"ri poten!iale bidimensionale

Mişcările care se desăşoară !n domenii plane, caracteriate prin două coordonatespaţiale, se numesc micări bidimensionale* ;n această clasă intră şi mişcările din spaţiultridimensional care au viteele tuturor particulelor paralele cu un plan - şi invariante de<alungul oricărei normale la acest plan, numite micări bidimensionale (n sens generalizat *

Hricărei mişcări potenţiale @idimensionale !i corespunde o uncţie analitică *z, numită poten&ial comple al micării, av9nd ca parte reală poten&ialul de viteză ϕ> , y ? şi ca parte

imaginară *unc&ia de curent ψ > , y ?, adică

* > z ? + ϕ iψ , >4*1?

unde1−=i

, iar , y sunt coordonate spaţiale din planul mişcării*

A-istenţa relaţiei >4*1? cere ca uncţiile ϕ şi ψ să e *unc&ii armonice con=ugate, adicăsă satisacă ecuaţia lui LE6LE$A şi să e legate !ntre ele prin relaţiile $EB$FG–J#AME//*

Acuaţia continuităţii >4*'?, scrisă, pentru mişcarea @idimensională, su@ orma

, y

v

x

v y x

∂

∂

−=∂

∂

>4*?

este satisăcută de o uncţie ψ > , y ? dacă sunt !ndeplinite relaţiile

., x

v y

v y x ∂ψ ∂

−=∂ψ ∂

=

>4*?

$ondiţia de anulare a rotorului viteei e-primat de relaţia >(*'? se reduce la

0=∂

∂−

∂

∂

y

v

x

v x y

>4*'?

şi, prin introducerea e-presiilor >4*?, devine

,02

2

2

2

=∂ψ ∂

+∂ψ ∂

y x

>4*3?

ceea ce arată că uncţia ψ este o uncţie armonică*

Jelaţia >4*3? conrmă că şi uncţia ϕ este o uncţie armonică, iar din identicarearelaţiilor >4*? şi >4*? se o@ţin relaţiile $EB$FG–J#AME//

,, x y y x ∂ψ ∂

−=∂ϕ∂

∂ψ ∂

=∂ϕ∂

>4*(?

care atestă că ϕ şi ψ sunt uncţii conugate*

uncţia ψ se numeşte uncţie de curent deoarece ea păstreaă o valoare constantă>este invariantă? de<a lungul oricărei linii de curent* ;ntr<adevăr, dacă se scrie ecuaţia



dierenţială >(*2? a liniilor de curent din mişcarea potenţială @idimensională, su@ orma

v d y – v y d + >4*5?şi se apeleaă la relaţiile >4*? se o@ţine ecuaţia

dψ + , >4*4?

care, integrată de<a lungul unei linii de curent, devine

ψ > , y ? + H , >4*I?

unde H este constanta specică acelei linii de curent*Locul geometric al punctelor !n care potenţialul de viteă este constant se numeşte

linie ec)ipoten&ială şi are ecuaţia

ϕ> , y ? + C * >4*2?

Dacă C şi H sunt constante generice, ecuaţiile >4*I? şi >4*2? constituie ecuaţiileamiliilor liniilor de curent, respectiv liniilor ec=ipotenţiale* %racele acestor amilii de liniiormeaă spectrul micării*

Din !mpărţirea ormulelor >4*(? !ntre ele şi rearanarea termenilor se o@ţine relaţia

,0=∂ψ ∂

∂ϕ∂

+∂ψ ∂

∂ϕ∂

y y x x

>4*1?care, scrisă vectorial su@ orma

,0dd =ψ ⋅ϕ>4*'?

e-primă proprietatea de ortogonalitate a liniilor ec=ipotenţiale cu liniile de curent*

"e poate arăta cu uşurinţă că de@itul de fuid care trece prin spaţiul delimitat de două

linii de curent de ecuaţii ψ + ψ , respectiv ψ + ψ ' este dat de relaţia

@ + ψ ' – ψ * >4*'?

$unoaşterea potenţialului comple- al mişcării este de importanţă primordială pentrustudiul mişcării* Estel, separ9nd partea reală a uncţiei * > z ? şi apel9nd la ecuaţiile >4*?, seo@ţine c9mpul viteelor, iar din ecuaţia >4*2? reultă c9mpul presiunilor* 6e de altă parte,c9mpul viteelor se poate o@ţine şi din ormula

,d

d y x viv

z

* −=

>4*''?

reultată prin dierenţierea relaţiei >4*1? şi apelarea la ormulele >4*? şi >4*?*Mişcările potenţiale pot simple sau compuse. 6otenţialul comple- al ecărei mişcări

simple este cunoscut, iar potenţialul comple- al unei mişcări compuse se poate o@ţine eprin (nsumarea poten&ialelor micărilor simple c9nd se cunosc mişcările elementare caredau, prin suprapunere, acea mişcare reultantă, e prin trans*ormări con*orme c9nd nu secunoaşte componenţa mişcării compuse*

2&.4işcarea uniform"

Mişcarea uniormă,numită şi curent plan

paralel, se caracterieaăprin traiectorii paralele aletuturor particulelor de

igura 5.+. 6iniile de curent i liniile ec)ipoten&iale (n cazul unei micări uni*orme



fuid şi printr<o valoare constantă a viteei fuidului*

$onsider9nd mişcarea uniormă care are liniile de curent paralele cu a-a 0 şiorientate !n sensul contrar acesteia >fgura 5.+? şi not9nd cu v o valoarea a@solută a viteei,c9mpul de vitee are e-presia

,"viv −= >4*'4?

ec=ivalentă cu) x = – )o , ) * = 0 . (6.27)

/in relaţiile (.1), (,11) şi (.27) reultă

,0, =∂ψ ∂

−=∂ϕ∂

−=∂ψ ∂

=∂ϕ∂

x yv

y x "

>4*'2?

ceea ce corespunde ecuaţiilor

dϕ + –v o d , dψ + –v o d y , >4*'1?

care, după integrare, dau

ϕ + –v o ϕo , ψ + –v o y ψ o , >4*3?

unde ϕo şi ψ o sunt valorile lui ϕ şi ψ !n originea sistemului de a-e carteiene*$onorm primei relaţii >4*3?, liniile ec=ipotenţiale au ecuaţia + const*, adică sunt

drepte paralele cu a-a 0y şi satisac condiţia de ortogonalitate cu liniile de curent*#ntroduc9nd e-presiile >4*3? !n ecuaţia >4*1? reultă pentru potenţialul comple- care

se anuleaă !n originea sistemului de a-e ormula* > z ? + –v o z , >4*3?

2'.Sursa bidimensional" Mişcarea fuidului generată de un punct care emite sau a@soar@e fuid !n respectiv din

toate direcţiile planului se numeşte sursă bidimensională pozitivă, respectiv negativă*

$onsider9nd o sursăpoitivă >fgura 5.5? şiţin9nd seama că liniilede curent sunt rae,de@itul de fuid caretraverseaă ocircumerinţă de raă r

av9nd ca centru sursarespectivă are e-presia

@ + ' π r v , >4*3'?

de unde reultă

,1

2 r

(v

π=

>4*33?ceea ce arată că viteele au c9mpul denit de relaţia

,2 r

r (v

π=

>4*3(?

care este ec=ivalentă, !n coordonate polare, cu ormulele

.0,2

=π

= θv(

vr

>4*35?De@itul @ se numeşte intensitatea sursei* Din relaţiile >4*? şi >4*?, scrise !n

coordonate polare astel

igura 5.5. 6iniile de curent i liniile ec)ipoten&iale (n cazul sursei plane pozitive



1

,θ∂ϕ∂

=∂ϕ∂

= θr

vr

vr

>4*34?

r v

r vr ∂

ψ ∂−=

θ∂ψ ∂

= θ,1

>4*3I?

şi asociate cu relaţiile >4*35? reultă ecuaţiile dierenţiale,d

2d,

d

2d θ

π=ψ

π=ϕ

(

r

r (

>4*32?

care, după integrare, duc la

.2

,ln2

""

(r

(ψ +θ

π=ψ ϕ+

π=ϕ

>4*31?

Edmiţ9nd, din punct de vedere matematic, că ϕo + ψ o + şi introduc9nd e-presiile>4*31? !n relaţia >4*1? se o@ţine pentru potenţialul comple- al sursei ormula

( ) ,ln2

z (

z *

π=

>4*(?

unde s<a ţinut seama că

. z %r i =θ

>4*(?

Din relaţia >4*33? se o@servă că originea este punct singular* Deoarece !n natură nue-istă viteă innită, reultă că punctul 0 este lipsit de semnicaţie ică*

Ev9nd !n vedere că originea este unica singularitate a mişcării, se poate calculacirculaţia pentru orice cur@ă !nc=isă care !nconoară acest punct* olosind un cerc de raă r

reultă

,0dd

2

0

=θ=⋅=Γ ∫ ∫ π

θ r v $v

>4*('?

ca urmare a aptului că v θ + *

$onorm primei relaţii >4*31?, liniile ec=ipotenţiale sunt cercuri cu centrul !n punctul 0

şi satisac condiţia de ortogonalitate cu liniile de curent, care sunt raele acestor cercuri*

2).Vârteul simpluMişcarea potenţială plană !n care toate particulele fuidului se rotesc !n urul unei punct- poartă numele de v9rte simplu şi are c9mpul de viteă denit de relaţia

,2 r

vπΓ

ε=

>4*(3?

undeε

este versorul tangentei la cercul de raă r al cărui centru este intersecţia planului !ncare se studiaă mişcarea cu a-a rectilinie innită de<a lungul căreia se afă v9rteul*

Jelaţia >4*(3? este ec=ivalentă cu ormulele



,2

,0r

vvr πΓ

== θ

>4*((?

care, asociate cu relaţiile>4*34? şi >4*3I?, dau ecuaţiile

,d

2d,d

2d

r

r

πΓ −=ψ θ

πΓ =ϕ

>4*(5?

ale căror soluţii sunt

.ln2

,2

"" r ψ +πΓ

−=ψ ϕ+θπΓ

=ϕ

>4*(4?

Dacă se admite că ϕo + şi ψ o + , şi se introduc e-presiile >4*(4? !n relaţia >4*1?, se

o@ţine( ) ,ln

2 z

i z *

πΓ

−=

>4*(I?

unde z este denit de ormula >4*(?*

Jelaţiile >4*(4? arată că liniile ec=ipotenţiale sunt rae, iar liniile de curent sunt cercuriconcentrice >fgura 5.9?*

$a şi !n caul sursei @idimensionale, originea este un punct singular şi tre@uie e-clusădin domeniul mişcării potenţiale care devine astel un domeniu multiplu cone-* Deoareceoriginea este unicul punct singular, circulaţia denită pentru orice linie !nc=isă care !nconoară originea este un invariant* Eleg9nd ca linie !nc=isă un cerc de raă r , cu centrul !n

origine, circulaţia are valoarea

Γ =θπΓ

=θ=⋅ ∫ ∫ ∫ ππ

θ

2

0

2

0

d2

dd r r

r v $v

>4*(2?

şi se numeşte intensitatea vârte=ului*

2*.Dubletul bidimensional

otenţialul comple& al du%letului se o%ţine printrun procedeu de trecere la limită care pare a fi #ntru totulartificial. $u toate acestea, du%letul este o mişcare potenţială simplă foarte importantă, fiind folosit la analia unor mişcări practice.

6entru sta@ilirea potenţialului comple- al du@letului se consideră două surse de semnecontrare situate la distanţa 'd una aţă de cealaltă şi se alege originea sistemului de a-e la

umătatea distanţei dintre ele >fgura 5.;?* Eleg9nd sursa negativă !n st9nga originii,potenţialele comple-e ale celor două surse au orma

igura 5.9. 6iniile de curent i liniile ec)ipoten&iale (n cazul vârte=ului simplu

igura 5.;. !istemul a două surse de semne contrare raportat la coordonate carteziene i la coordonate bipolare



( ) ( ) ,ln2

1 ' z (

z * +π

−=

>4*(1?

( ) ( ) ,ln2

2 ' z (

z * −π

=

>4*5?

iar prin !nsumare dau uncţia( ) ,ln

2 ' z

' z ( z *

+−

π=

>4*5?

care repreintă potenţialul comple- al mişcării reultante*Dacă se presupune că am@ele surse se apropie indenit una de cealaltă, astel !nc9t

mărimeam + ' @ d >4*5'?

să păstree o valoare nită, se poate scrie

( ) .1

1ln

2limln

2lim

00 z '

z ' (

' z

' z ( z *

' ' +−

π=

+−

π=

→→

>4*53?;ntruc9t

,...

1

3

112

1

1ln

4

3

2

+++−=

+−

z

'

z

'

z '

z '

z '

>4*5(?

reultă că

z

m

z

'

z

'

z

('

'

1

2...

1

3

11

2

2lim

4

3

2

0 π−=

+++

π−

→

şi repreintă potenţialul comple- al du@letului, adică( ) ,

1

2 z

m z *

π−=

>4*55?

unde m, denit de relaţia >4*5'?, este momentul dubletului*"epar9nd partea reală de partea imaginară, din relaţia >4*55? se o@ţine

,2

,2 2222

y x

ym

y x

xm

+π=ψ

+π−=ϕ

>4*54?ceea ce arată că liniile de curent sunt cercuri cu centrul pe a-a 0y, tangente la a-a 0 !norigine şi av9nd ecuaţia

,02

22 =π

−+ y /

m y x

>4*5I?

iar liniile ec=ipotenţiale suntcercuri cu centrul pe a-a 0,

tangente !n origine la a-a 0y

>fgura 5.I? şi date de ecuaţia

.0

2

22 =

π

++ x

C

m y x

>4*52?

Figura +.'. ,iniile de curent şi liniile echipotenţial $n ca(ul du!letului !idimensional



Din relaţiile >4*54?, scrise su@ orma

,sin

2,

cos

2 r

m

r

m θπ

=ψ θ

π−=ϕ

>4*51?

se o@servă că vitea radială devine innită spre centrul du@letului, ceea ce arată că origineasistemului de a-e este un punct singular şi, ca urmare, domeniul mişcării va multiplu

cone-* $irculaţia este !nsă ero pe orice linie care !nconură acest punct singular*

2,.4işcarea generat" de dou" surse de semne contrareie mişcarea reultată din suprapunerea a două surse de aceeaşi intensitate, dar de

semne contrare, dispuse ca !n fgura 5.;* 6otenţialul comple- al mişcării este dat de relaţia>4*5?, reultată din !nsumarea potenţialelor comple-e e-primate prin relaţiile >4*(1? şi>4*5?*

6entru studiul mişcării este necesară trasarea liniilor ec=ipotenţiale şi a liniilor decurent* ;n acest scop se vor separa şi egala cu c9te o constantă partea reală şi parteaimaginară ale uncţiei >4*5?, iar ecuaţiile de tipul >4*I? şi >4*2? o@ţinute se vor repreentagrac*

#ntroduc9nd coordonatele @ipolare r , θ, r ', θ', denite !n fgura 5.;, şi ţin9nd seama că

,e,e 2121

θθ =−=+ iir ' z r ' z

>4*4?

uncţia denită de relaţia >4*5? devine

( ) ( )

θ−θ+

π= 12

1

2ln2

ir

r ( z *

>4*4?şi este constituită din uncţiile armonice conugate

( ) ,2

,ln2

121

2 θ−θπ

=ψ π

=ϕ (

r

r (

>4*4'?

care, prin egalare cu c9te o constantă, dau ecuaţiile liniilor ec=ipotenţiale şi ale liniilor decurent su@ orma

( ) .2

,ln2

121

2 θ−θπ

=ψ π

=ϕ (

r

r (

>4*43?

Jevenind la coordonate carteiene, pe @aa relaţiilor,sinsin,cos,cos 2211211 θ=θ=θ=−θ=+ r r yr ' xr ' x $

>4*4(?

prima ecuaţie >4*43? poate scrisă astel

( )

( ) ,22

22

c y' y

y' y=

+++−

>4*45?

unde

(C c π= 4e

*

Acuaţia >4*45? repreintă ecuaţia unei amilii de cercuri, care poate scrisă su@ orma

( ) ( ) 222 R, ya x =−+−

>4*44?



unde a, b, > sunt coordonatele centrului cercului şi raa cercului* 6un9nd ecuaţia >4*45? su@orma

( )2

22

2

1

4

1

1

c

c' y'

c

c x

−=+

−+

−

>4*4I?

şi compar9nd<o cu relaţia >4*44?, reultă e-presiile

,1

2,0,

1

1

c

c' R,'

c

ca

−==

−+

=

>4*42?

care arată că liniile ec=ipotenţiale sunt cercuri cu centrele pe a-a 0 *

Eplic9nd celei de<a doua relaţii >4*43? operatorul tangentă şi ţin9nd seama că

( ) ,t!t!1

t!t!t!

21

1212 θθ

θ−θ=θ−θ

>4*41?

,t!,t! 21' x

y

' x

y

−

=θ

+

=θ

>4*I?

se o@ţine ecuaţia

,

122

2 k

' x

y

' x

y

' x

y

=

−+

+−

−

>4*I?

unde J + tg >'H @?*Educ9nd ecuaţia >4*I? la orma

( )2

2

222

1 k k

'

k

'

y x +=

−+(6.72)

şi compar9nd<o cu ecuaţia >4*44?, reultă că liniile de curent sunt cercuri care au coordonatelecentrului şi raa

,1

,,02

k

k ' R

k

' ,a

+===

>4*I3?

adică sunt cercuri cu centrele pe a-a 0y * "pectrul mişcării o@ţinut prin repreentarea gracăa ecuaţiilor >4*4I? şi >4*I'? este preentat !n fgura 5.1*

5.1 6iniile de curent i liniile ec)ipoten&iale (n cazul micării generate de două surse de semne contrare



Mişcarea studiată !n acest paragra se regăseşte !n caul mişcării generate de o sondăde petrol situată !n poiţie e-centrică aţă de un contur de alimentare circular, sau !n poiţielaterală unui contur de alimentare liniar*

30.4işcarea f"r" circula!ie în urul unui cilindru

ie mişcarea reultată din suprapunerea unei mişcări uniorme şi a unui du@let*6otenţialul de viteă şi uncţia de curent aerente acestei mişcări compuse reultă prin

!nsumarea !ntre ele a uncţiilor ϕ pe de o parte şi ψ pe de altă parte, denite de relaţiile>4*3? şi >4*51?

,sin

2,

cos

2 r

m yv

r

m xv ""

θπ

+−=ψ θ

π−−=ϕ

(.74)

Linia de curent care are uncţia de curent nulă poate admisă ca rontieră

impermea@ilă a unui corp cilindric şi, dacă se ţine seama că y + r sin θ, se o@ţine ecuaţiaalge@rică

,02

sin =

π−θ

r mr v"

>4*I5?

a cărei soluţie

,2

,0

π

="v

ma

>4*I4?

deneşte raa cilindrului respectiv* 6unctele # şi < de pe cercul de raă a >fgura 5.11?, denite

de sin θ + sau θ + θ' + , se caracterieaă prin viteă nulă şi se numesc puncte de

stagnare*

Wona circulară !nc=isă de

linia de curent ψ + poate admisă caaparţin9nd unui corpcilindric de lungimeinnită, afat !ntr<uncurent de fuid perectcare, !ncep9nd de la odistanţă sucient demare, se deplaseaăuniorm !n direcţienormală la a-a cilindrului, !n timp ce, !n vecinătatea

corpului cilindric, liniile de curent ocolesc o@stacolul, !n cadrul unui spectru simetric aţă deoriontală >fgura 5.1??* "e poate sta@ili cu uşurinţă că circulaţia pe orice linie !nc=isă care !nconoară acest cilindru este nulă*

"pectrul mişcării răm9ne nesc=im@at dacă cilindrul se deplaseaă uniorm !n fuidulafat !n repaus, iar o@servatorul se afă !n originea sistemului mo@il de a-e asociat cilindrului*

Jeultanta > a presiunilor fuidului pe rontiera cilindrului poate proiectată pe direcţiamişcării şi dă orţa > , numită rezisten&ă la (naintare, sau pe direcţia normală şi dă orţa > y ,numită portan&ă* Dacă orţa > nu trece prin a-a cilindrului, atunci ea preintă un moment

aţă de această a-ă*

6roiect9nd pe a-ele carteiene orţa elementară Rd

denită pentru un element $d

igura 5.11. 6inia de curent ψ + igura 5.1?. 6iniile de curent (n cazul

micării

uni*orme (n =urul unuicilindru



aparţin9nd cercului de raă a, se o@ţine

,dd,dd x p R y p R y x =−=

>4*II?

unde p este presiunea pe rontiera cercului*

Btili9nd conugata comple-ă a orţei elementare de presiune, denită su@ orma

( ) dddddd z pi yi x pi Ri R R y x −=−−=−= >4*I2?

şi apel9nd la ecuaţia >4*2?, scrisă pentru z + astel

,2

2v

C p ρ−=

>4*I1?

reultă, după integrare pe rontiera c a cercului,

.d2

dd2

22 ∫ ∫ ∫ ρ

=−ρ

=ccc

z vi z C i z vi R

>4*2?

Tin9nd seama că v d y – v y d + pe rontiera c, iar v ' + >v i v y ?>v – i v y ?, se poatescrie

( )( ) ( ) z z

* z viv yi xviv y x y x d

d

dddd =−=−+

(6.81)

şi, din relaţia >4*2?, reultă ormula

,dd

d

2

2 ∫

ρ

=−=c

y x z z

* i Ri R R

>4*2'?

unde s<a olosit ecuaţia >4*''?*

Momentul elementar al orţelor de presiune aţă de centrul cercului poate e-primatastel

( ) ddddd R z i% R z z p% R y y x x p M ==+=

>4*23?

şi, după integrare, duce la relaţia

.dd

d

2d

2

ρ

−=

= ∫ ∫ cc

z z z

* % R R z i% R M

>4*2(?

Jelaţiile >4*2'? şi >4*2(? se olosesc pentru calculul reistenţei la !naintare, portanţei şi

momentului orţelor de presiune !n caul mişcării potenţiale cu sau ără circulaţie !n urulunui cilindru de secţiune transversală oarecare* Eceste relaţii se numesc *ormulele 7LE"#B"–$AE6L;%F#/*

$onorm relaţiilor >4*3?, >4*55? şi >4*I4?, potenţialul comple- al mişcării !n acest caare e-presia

( ) ,2

+−=

z

a z v z * "

>4*25?

unde v o este vitea curentului uniorm !n ona mişcării nepertur@ate de preenţa cilindrului>onă care, teoretic, se afă la innit?*

#ntroduc9nd e-presia >4*25? !n ormula >4*2'? şi integr9nd se o@ţine reultatulcontradictoriu > + , care constituie parado-ul lui DXELEM7AJ. şi este o consecinţă a negliăriiorţelor v9scoase*



3/.4işcarea cu circula!ie în urul unui cilindruMişcarea reultată din com@inarea curentului uniorm, v9rteului şi du@letului este

ec=ivalentă cu mişcarea potenţială cu circulaţie !n urul unui cilindru si corespunde situaţiei !n care cilindrul se roteşte !n urul a-ei proprii !ntr<un curent uniorm av9nd direcţia normalăla a-a cilindrului*

6otenţialul de viteă şi uncţia de curent reultă prin !nsumarea relaţiilor >4*3?* >4*(4?şi >4*51?, pe categorii de uncţii, astel

,cos

22cos

r

mr v"

θπ

−θπΓ

+θ−=ϕ

>4*24?

,sin

2ln

2sin

r

mr r v"

θπ

+πΓ

−θ−=ψ

>4*2I?

unde s<au olosit relaţiile + r cos θ, y + r sin θ, iar valorile ϕo şi ψ o au ost considerate nule*

;ntruc9t, !n caul acestei mişcări, linia de curent ψ + nu preintă interes, pentru

studiul mişcării se determină punctele de stagnare şi liniile de curent care se opresc !naceste puncte*

olosind relaţiile >4*24? şi >4*2I? se o@ţin prin derivare e-presiile

,cos

2cos

2r

mv

r v "r

θπ

+θ−=∂ϕ∂

=

>4*22?

,sin

22sin

2r

mv

r v "

θπ

+πΓ

+θ=∂ψ ∂

−=θ

>4*21?

care, !n punctele de stagnare, sunt simultan nule dacă,0

2

π

=="v

mar

şi

( )

( ) .

2

2sin

2

1

π+πΓ −

=θ −

amv

a

"

>4*1?

6rima relaţie >4*1? coincide cu ormula >4*I4?, iar cea de<a doua relaţie >4*1? sereduce la

( )[ ]

ππΓ −

=θ −,0

1

24sin

"vm

>4*1?

şi arată că e-istă două puncte de stagnare simetrice aţă de a-a 0y.

#ntroduc9nd e-presiile >4*I4? şi >4*1? !n ormula >4*2I? se o@ţine valoarea uncţiei decurent !n punctele de stagnare:

.2

ln2

,0

ππ

Γ −=ψ

" $

v

m

>4*1'?

Linia de curent ceinclude punctele destagnare are, conormrelaţiilor >4*2I? şi >4*1'?,ecuaţia

igura 5.13. 6iniile de curent (n cazul micării cu circula&ie (n =urul unui cilindru



,2

ln2

sin

2ln

2sin

,0

ππ

Γ −=

θπ

+πΓ

−θ−"

"v

m

r

mr r v

>4*13?

care, după rearanarea termenilor, devine

02

lnln22

sin

,0

=

π−

π

Γ −

π+−θ

"" v

mr

r

mr v

>4*1(?

şi este satisăcută de punctele de pe circumerinţa cercului r + a* Deşi e-istă şi alte cur@ecare satisac ecuaţia >4*1(?, nu se insistă asupra lor, ci doar asupra spectrului liniilor decurent din aara domeniului cilindric de raă a. Ecest spectru este preentat !n fgura 5.13 şiarată că eectele v9rteului şi du@letului devin neglia@ile !ncep9nd de la o anumită distanţăaţă de cilindru, determin9nd ca mişcarea să capete caracterul uniorm pe care, teoretic, !lare la innit*

$irculaţia de<a lungul liniilor !nc=ise care !nconură cercul este egală cu intensitatea Γ av9rteului*

Din !nsumarea uncţiilor >4*3?, >4*(I? şi >4*55? se o@ţine pentru potenţialul comple- almişcării e-presia

( ) ,ln2

12

z i

z

av z * " π

Γ −

+=

>4*15?

unde, pe @aa relaţiei >4*I4?, s<a !nlocuit m>'π? cu v o a'*

Derivata uncţiei >4*15? are e-presia

,2

1d

d2

2

z

i

z

av

z

* " π

Γ −

−=

>4*14?care, introdusă !n relaţia >4*2'?, duce #a ormula

,d2

12

2

2

2 Γ ρ−=

πΓ

−

−

ρ= ∫ "" vi z

z

i

z

avi R

>4*1I?

din care reultă pentru portanţă relaţia

> y + ρ v o Γ , >4*12?

cunoscută su@ numele de teorema ) B..E–YB)H8")#*

6ortanţa > y şi, odată cu ea, circulaţia Γ au o importanţă primordială !n aerodinamică*

$u autorul transormărilor conorme pot sta@ilite mişcări potenţiale @idimensionaleincompresi@ile !n urul prolelor =idrodinamice*

hidraulica

Documents