UNIVERSITATEA PETROL GAZE DIN PLOIETIEUGEN MIHAI IONESCU

2010

Tehnoredactare i editare computerizat: Eugen Mihai Ionescu

CUPRINSpag.

1

2

3

4

5

Introducere 1.1 Obiectul cursului i legtura cu alte discipline 1.2 Scurt istoric 1.3 Mrimi fizice i uniti de msur. Sistemul Internaional Proprietile fluidelor 2.1 Clasificarea fluidelor 2.2 Densitatea i greutatea specific 2.2.1 Densitatea fluidelor monocomponente 2.2.2 Densitatea fluidelor multicomponente 2.3 Vscozitatea 2.4 Compresibilitatea 2.5 Tensiunea interfacial i presiune capilar Statica fluidelor 3.1 Starea de tensiuni ntr-un fluid n echilibru 3.2 Ecuaia microscopic a echilibrului fluidelor 3.3 Legea variaiei presiunii ntr-un fluid n echilibru 3.3.1 Legea variaiei presiunii ntr-un gaz aflat n repaus n cmpul gravitaional terestru 3.3.2 Presiunea ntr-un fluid aflat n repaus n absena forelor masice 3.3.3 Legea variaiei presiunii ntr-un lichid aflat n repaus n cmpul gravitaional terestru 3.4 Fore de presiune pe suprafee 3.4.1 Fore de presiune pe o suprafa plan 3.4.1.1 Fora de presiune pe o suprafa plan aflat n contact cu un lichid 3.4.1.2 Fora de presiune pe o suprafa plan aflat n contact cu un gaz 3.4.2 Fore de presiune pe suprafee curbe 3.4.2.1 Fora de presiune pe o suprafa curb aflat n contact cu un lichid 3.4.2.2 Fora de presiune pe o suprafa curb aflat n contact cu un gaz 3.4.3 Fora de presiune pe o suprafa curb nchis. Plutirea corpurilor 3.5 Echilibrul relativ al lichidelor 3.5.1 Ecuaia fundamental a echilibrului relativ al lichidelor 3.5.2 Echilibrul relativ al lichidului dintr-un vas aflat n micare de rotaie uniform n jurul unei axe verticale 3.5.3 Echilibrul relativ al lichidului dintr-un vas aflat n micare de translaie uniform accelerat 3.6 Probleme 3.6.1 Probleme rezolvate 3.6.2 Probleme propuse Cinematica fluidelor 4.1 Noiuni fundamentale de cinematica fluidelor 4.1.1 Parametrii cinematici ai micrii unui fluid 4.1.2 Cmp de viteze 4.1.3 Linie de curent 4.1.4 Tub de curent 4.1.5 Fluxul vitezei 4.1.6 Rotorul vitezei 4.1.7 Linie de vrtej 4.1.8 Tub de vrtej 4.1.8 Circulaia 4.2 Micarea de deformaie a unui particule de fluid 4.3 Ecuaia continuitii 4.3.1 Ecuaia microscopic a continuitii 4.3.2 Ecuaia macroscopic a continuitii Dinamica fluidelor perfecte 5.1 Ecuaia microscopic a micrii fluidelor perfecte 5.2 Ecuaia macroscopic a micrii fluidelor perfecte. Teorema impulsului

7 7 7 9 11 11 11 12 14 15 15 16 19 19 20 21 21 22 22 23 23 23 24 24 24 25 25 26 26 27 28 28 28 31 35 35 35 35 35 35 36 36 36 36 36 37 37 37 38 39 39 39

4

Cuprins

6

7

8

Teorema momentului impulsului Ecuaia energiei Aplicaii ale teoremei impulsului pentru un tub de curent 5.5.1 Aciunea fluidului asupra unei conducte curbe 5.5.2 Aciunea jeturilor libere de fluid asupra pereilor rigizi 5.5.2.1 Cazul peretelui de ntindere infinit 5.5.2.2 Cazul peretelui de dimensiuni finite 5.5.2.3 Cazul peretelui de dimensiuni finite cu marginea curbat n unghi drept spre amonte 5.5.3 Turbina Pelton 5.5.4 Pierderea local de sarcin hidraulic la mrirea brusc a diametrului conductei 5.6 Aplicaii ale ecuaiei conservrii energiei mecanice (ecuaia lui BERNOULLI) 5.6.1 Tubul PITT 5.6.2 Sonda de presiune 5.6.3 Tubul PITTPRANDTL 5.6.4 Tubul VENTURI 5.6.5 Ejectorul 5.6.6 Trompa de vid 5.6.7 Oscilaia unei coloane de lichid perfect 5.8 Probleme 5.8.1 Probleme rezolvate 5.8.2 Probleme propuse Micri poteniale 6.1 Aspecte fundamentale 6.2 Micri poteniale bidimensionale 6.2.1 Potenialul complex al micrii 6.2.2 Micri poteniale simple 6.2.2.1 Puncte singulare 6.2.2.2 Micarea uniform 6.2.2.3 Sursa bidimensional 6.2.2.4 Vrtejul simplu 6.2.2.5 Dubletul bidimensional 6.2.3 Micri poteniale compuse 6.2.3.1 Micarea generat de dou surse de semne contrare 6.2.3.2 Micarea fr circulaie n jurul unui cilindru 6.2.3.3 Micarea cu circulaie n jurul unui cilindru 6.3 Probleme 6.3.1 Probleme rezolvate 6.3.2 Probleme propuse Dinamica fluidelor vscoase 7.1 Aspecte generale 7.2 Micarea laminar 7.2.1 Ecuaiile NAVIER STOKES 7.2.2 Micarea laminar ntr-un tub de seciune circular 7.3 Micarea turbulent 7.4 Ecuaia energiei 7.5 Probleme 7.5.1 Problem rezolvat 7.5.2 Probleme propuse Similitudinea i analiza dimensional 8.1 Similitudinea 8.1.1 Aspecte generale 8.1.1 Criterii de similitudine 8.2 Analiza dimensional 8.2.1 Legea omogenitii dimensionale 8.2.2 Teorema 8.2.3 Aplicaii ale teoremei 8.2.3.1 Legea fundamental a hidrostaticii 8.2.3.2 Legea rezistenei opuse unui corp la naintarea sa printr-un fluid 8.2.3.3 Legea variaiei efortului tangenial la perete n cazul micrii unui fluid vscos printr-o conduct 8.3 Probleme

5.3 5.4 5.5

41 42 44 44 44 44 44 45 45 45 46 46 46 46 47 47 48 48 49 49 50 53 53 53 53 55 55 55 56 56 57 58 58 59 60 62 62 62 63 63 63 63 65 67 69 70 70 70 71 71 71 71 73 73 74 74 74 75 75 76

Hidraulica general

5

9

10

11

12

13

Micarea lichidelor n conducte 9.1 Pierderile longitudinale de sarcin hidraulic 9.2 Determinarea coeficientului de rezisten hidraulic longitudinal n cazul micrii laminare 9.3 Determinarea coeficientului de rezisten hidraulic longitudinal n cazul micrii turbulente 9.3.1 Rugozitatea conductei 9.3.2 Domeniul conductelor netede 9.3.3 Domeniul conductelor parial rugoase 9.3.4 Domeniul conductelor rugoase 9.4 Graficele coeficientului de rezisten hidraulic longitudinal 9.5 Pierderile locale de sarcin hidraulic 9.6 Clasificarea hidraulic a conductelor 9.7 Calculul hidraulic al conductelor pentru transportul lichidelor 9.7.1 Conducte simple 9.7.2 Conducte n serie 9.7.3 Conducte n paralel 9.8 ocul hidraulic 9.9 Probleme 9.9.1 Problem rezolvat 9.9.2 Probleme propuse Scurgerea lichidelor prin orificii sau ajutaje i peste deversoare 10.1 Orificii 10.1.1 Aspecte generale 10.1.2 Orificii mici 10.1.3 Orificii mari 10.2 Ajutaje 10.3 Golirea rezervoarelor de lichid prin orificii i ajutaje 10.4 Deversoare 10.5 Probleme 10.5.1 Probleme rezolvate 10.5.2 Probleme propuse Micarea lichidelor n canale 11.1 Aspecte generale 11.2 Energia specific 11.3 Micarea uniform a lichidelor n canale 11.4 Valurile 11.5 Saltul hidraulic 11.6 Probleme 11.6.1 Problem rezolvat 11.6.2 Probleme propuse Micarea gazelor 12.1 Propagarea micilor perturbaii de presiune 12.2 Unda de oc 12.3 Micarea staionar izoterm a gazelor n conducte 12.4 Scurgerea gazelor prin orificii 12.5 Scurgerea gazelor prin ajutaje i difuzoare 12.6 Probleme Micarea fluidelor nenewtoniene 13.1 Relaia constitutiv a unui fluid nenewtonian 13.1.1 Cazul fluidelor pseudoplastice 13.1.2 Cazul fluidelor dilatante 13.1.3 Cazul fluidelor binghamiene 13.1.4 Cazul fluidelor reintoare 13.1.5 Cazul fluidelor tixotropice 13.1.6 Cazul fluidelor reopectice 13.1.7 Cazul fluidelor vscoelastice 13.2 Micarea fluidelor nenewtoniene independente de timp n conducte 13.2.1 Micarea staionar a fluidelor pseudoplastice 13.2.2 Micarea staionar a fluidelor binghamiene 13.3 Probleme 13.3.1 Problem rezolvat

77 77 77 77 78 78 79 79 79 80 81 82 82 83 83 84 85 85 85 87 87 87 87 88 88 90 91 92 92 92 93 93 93 94 96 96 97 97 98 99 99 100 103 104 106 108 109 109 109 110 111 111 111 111 112 113 113 114 116 116

6

Cuprins

14

13.3.2 Problem propus Micarea fluidelor multifazice 14.1 Separarea gravitaional a unui fluid bifazic 14.2 Separarea centrifugal a unui fluid bifazic. Hidrociclonul 14.3 Probleme Bibliografie Anexe

116 117 117 120 124 129 131

INTRODUCERE1.1. Obiectul cursului i legtura cu alte disciplineHidraulica general este disciplina care studiaz legile echilibrului i micrii fluidelor n natur i n construciile tehnice concepute i realizate de societatea uman. Termenul romnesc hidraulic provine din cuvntul francez hydraulique care, la rndul su, i are etimologia n cuvntul grecesc hidraulis, derivat din hidor (ap) i aulos (tub). Hidraulis era un instrument muzical folosit n antichitate, precursor al orgii, la care un rezervor cu ap stabiliza presiunea aerului furnizat tuburilor. Ulterior, acest termen a fost atribuit ca denumire tiinei care se ocupa de folosirea apei de ctre om (alimentri cu ap, sisteme de irigaii, poduri, baraje, canale pentru navigaie, amenajarea cursurilor de ap etc.). Prin extinderea treptat a preocuprilor hidraulicii la studiul ntregului domeniu al lichidelor i gazelor, a aprut necesar folosirea unei noi denumiri: mecanica fluidelor. n prezent, sintagma mecanica fluidelor este folosit pentru partea cu caracter pronunat teoretic a disciplinei menionate, iar termenul hidraulic desemneaz partea preponderent aplicativ a acesteia, care utilizeaz metode experimentale i formule empirice, alturi de metodele teoretice. Problemele asociate echilibrului i micrii fluidelor prin mediile permeabile (poroase i/sau fisurate) subterane, cu particularizare la straturile saturate cu ap, iei sau gaze, fac obiectul unei pri distincte a hidraulicii, numit hidraulica subteran. Hidraulica este o ramur a mecanicii, desprins, la rndul ei, din fizic. Ea dispune de informaii de natur experimental i este guvernat de legile conservrii masei i energiei care, exprimate diferenial, conduc la ecuaii cu derivate pariale, a cror soluionare necesit utilizarea unui aparat matematic adecvat. Operarea cu vectori (vitez, acceleraie, fore etc.), n cadrul ecuaiilor fundamentale ale echilibrului i micrii fluidelor implic apelarea la cunotinele de calcul vectorial. Utilizarea funciilor de variabil complex la studiul unor clase de micri ale fluidelor necesit cunoaterea teoriei acestui tip de funcii. n cadrul hidraulicii sunt necesare, de asemenea, elemente de calcul diferenial i integral, teoria cmpului, statistic matematic. metode numerice etc. Hidraulica a preluat din mecanic ecuaiile fundamentale ale echilibrului i micrii corpurilor rigide, iar din disciplina elasticitate i-a nsuit ecuaiile corpurilor deformabile. Noiunile i legile termodinamicii sunt utilizate frecvent n dinamica gazelor, precum i la formularea ecuaiilor de micare a fluidelor n cadrul metodelor termice de recuperare a petrolului sau n cazul exploatrii zcmintelor de ape geotermale. Cunotinele de hidraulic sunt eseniale pentru nelegea ulterioar a noiunilor specifice disciplinelor care profileaz specialitile: forajul sondelor, extracia petrolului, transportul, depozitarea i distribuia hidrocarburilor, precum i ingineria zcmintelor de hidrocarburi fluide. Dintre aceste discipline menionm: transportul petrolului i gazelor prin conducte, tehnologia extraciei petrolului, tehnologia extraciei gazelor, geologia zcmintelor de hidrocarburi, fluide de circulaie i izolare, tehnologia forrii sondelor, fizica zcmintelor de hidrocarburi, proiectarea exploatrii zcmintelor de petrol etc. ntr-un cadru mai larg, legile i noiunile specifice hidraulicii generale sunt aplicabile practic tuturor specializrilor inginereti, iar n sfera produciei aproape c nu exist domeniu n care acestea s nu-i dovedeasc utilitatea.

1.2. Scurt istoricPrimele cunotine de hidraulic dateaz din vremuri strvechi i sunt atestate de existena unor baraje, apeducte, diguri de protecie mpotriva inundaiilor, canalizri, bi publice, care au fost construite ncepnd din mileniul 3 .e.n. n Asia Mic, India, Egipt, China, iar mai apoi n Grecia i Roma antic. Aceste realizri, asociate cu cele din domeniul navigaiei, confer hidraulicii, n aceast lung perioad, un caracter predominant experimental. ARHIMEDE, savant grec din Siracuza (287212 .e.n.), care a adus contribuii eseniale n domeniul geometriei i mecanicii, este n acelai timp fondatorul hidrostaticii. El a enunat principiul care i poart numele i a scris un scurt tratat despre plutirea corpurilor. De la lucrarea lui ARHIMEDE i pn la tratatul privind micarea i msurarea apei, elaborat de LEONARDO DA VINCI (14521519), nu se cunoate apariia altei lucrri de hidraulic care s ateste preocupri tiinifice n acest domeniu. Conturarea hidraulicii pe baz de cunotine teoretice i experimentale are loc ncepnd abia din secolul al XVIIlea, dup perioada Renaterii, cnd ideile lui ARHIMEDE au fost reluate i duse mai departe de o pleiad de oameni de tiin, dintre care cei mai proemineni sunt amintii n cele ce urmeaz. SIMON STEVIN , cunoscut i sub numele de Simon de Bruges (15481620), matematician i fizician flamand, care a demonstrat imposibilitatea micrii perpetue i a studiat fraciile zecimale, a avut contribuii majore n hidrostatic, descoperind legile presiunii lichidelor asupra pereilor vaselor. Fizicianul, astronomul i scriitorul italian GALILEO GALILEI (15641642), unul din fondatorii mecanicii moderne prin lucrarea sa Discurs privind dou noi tiine (1638), s-a aflat printre precursorii introducerii matematicii pentru explicarea legilor fizicii; a descoperit legea cderii corpurilor n vid, a dat o prim formulare principiului ineriei i a revizuit concepia asupra vidului; prin punerea bazelor tiinifice ale mecanicii, a facilitat descoperirea legilor hidraulicii. EVANGELISTA TORRICELLI (16081647), matematician i fizician italian, unul din elevii lui GALILEI, a enunat implicit principiul conservrii energiei i a descoperit att efectele presiunii atmosferice (pe care a msurat-o, construind primul barometru), ct i legea scurgerii lichidelor prin orificii.

8

Capitolul 1. Introducere

Matematicianul, fizicianul, filosoful i scriitorul francez BLAISE PASCAL (16231662) a efectuat, pn n 1652, numeroase experimente asupra presiunii atmosferice i echilibrului lichidelor, stabilind principiul transmiterii presiunii ntr-un fluid. Sir ISAAC NEWTON, fizician, matematician i astronom englez (16421727), fondator al mecanicii clasice (prin lucrarea Principiile matematice ale filosofiei naturale, 1687), inventator al telescopului i pionier (alturi de GOTTFRIED WILHELM LEIBNITZ, 16461716) al calculului diferenial, are meritul de a fi impulsionat dinamica fluidelor reale prin stabilirea legilor vscozitii lichidelor i rezistenei opuse de un fluid n repaus unui corp n micare. Bazele tiinifice ale dinamicii fluidelor perfecte incompresibile sunt puse n secolul al XVIII-lea de ctre matematicianul elveian LEONHARD EULER (17071783) i fizicianul elveian de origine belgian DANIEL BERNOULLI (17001782). LEONHARD EULER i-a desfurat activitatea la Sankt Petersburg, unde a funcionat ca profesor la invitaia arului PETRU I CEL MARE (16821725) i a avut realizri tiinifice remarcabile n matematic, mecanic i fizic, care au fost concretizate n domeniul hidraulicii prin stabilirea ecuaiilor fundamentale ale staticii i dinamicii fluidelor perfecte, demonstrarea ecuaiei de continuitate i formularea teoremei impulsului, pe care a aplicat-o roilor hidraulice, crend teoria turbinelor. DANIEL BERNOULLI a publicat, n anul 1738, primul tratat de hidraulic i a stabilit ecuaia energiei pentru un fluid n micare staionar, cunoscut sub numele de ecuaia lui Bernoulli. Contribuii importante la dezvoltarea hidraulicii n secolul al XVIII-lea au fost aduse i de alte personaliti. JEAN-BAPTISTE LE ROND D'ALEMBERT (17171783) a stabilit principiul echilibrului dinamic al unui fluid i paradoxul rezultantei nule a presiunilor pe un cilindru aflat n micare de translaie ntr-un fluid. Inginerul i fizicianul francez HENRI PITT (16951771) a construit tubul pentru msurarea presiunii totale a unui curent de fluid. GIOVANNI BATTISTA VENTURI, fizician italian (17461822), a cercetat micarea fluidelor prin ajutaje i a realizat debitmetrul care-i poart numele. Fizicianul, matematicianul i navigatorul francez JEAN-CHARLES DE BORDA (17331799) a stabilit formula rezistenei hidraulice locale provocate de variaia brusc a seciunii conductei, iar ANTOINE DE CHZY (17181798) a preconizat relaia de calcul a vitezei medii a lichidului ntr-un canal. n fine, matematicianul francez JOSEPH LOUIS DE LAGRANGE (17361813), fondator al calculului diferenial i integral, preedinte al comisiei nsrcinate cu stabilirea sistemului de msuri i greuti care a stat la baza actualului Sistem Internaional, a formulat, independent de L. EULER, ecuaiile fundamentale ale dinamicii fluidelor perfecte i a publicat tratatul de mecanic analitic. Dinamica fluidelor perfecte cunoate o mare dezvoltare n secolul al XIX-lea, paralel cu apariia dinamicii fluidelor vscoase i a dinamicii gazelor. Prin contribuiile lor din aceast perioad se remarc: Sir GEORGE GABRIEL STOKES (18191903), care, independent de CLAUDE-LOUIS MARIE HENRI NAVIER (17851836) i SIMON DENIS POISSON (17811840), a stabilit ecuaiile micrii laminare a lichidelor; JEAN LOUIS MARIE POISEUILLE (17991869), care a cercetat micarea lichidelor n tuburi capilare i a stabilit legea micrii laminare a unui lichid ntr-un tub; HENRI PHILIBERT GASPARD DARCY (18031858), care a studiat micarea apei n medii poroase i a stabilit legea liniar a filtraiei; OSBORNE REYNOLDS (18241917), care a studiat micrile laminar i turbulent ale lichidelor n tuburi i a stabilit criteriul separrii regimului laminar de cel turbulent; WILLIAM FROUDE (18101879), care a studiat pe modele comportarea navelor i a formulat criteriul de similitudine n cazul preponderenei forelor gravitaionale i a celor de inerie. nceputul secolului XX este marcat n hidraulic prin: formularea ecuaiilor generale ale micrii apelor subterane de ctre NICOLAI EGOROVICI JUKOVSKI (18471921); crearea teoriei aripii de avion de ctre N. E. JUKOVSKI, MARTIN WILHELM. KUTTA (18671944), LUDWIG PRANDTL (18751953), S. A. CIAPLGHIN; elaborarea teoriei stratului limit de ctre L. PRANDTL; contribuii la teoria turbulenei aduse de GEOFFREY INGRAM TAYLOR (18861975), L. PRANDTL, THEODORE VON KRMN (18811963), ANDREI NICOLAEVICI KOLMOGOROV (19031987); cercetarea micrii fluidelor n conducte netede realizat de PAUL RICHARD HEINRICH BLASIUS (18831970); stabilirea diagramei rezistenelor hidraulice n conducte de ctre JOHANN NIKURADSE (18941979). Hidraulica subteran, fondat pe legea liniar a filtraiei, stabilit de HENRI DARCY n anul 1856, are ca obiect, pn n anul 1920, n principal, studiul micrii apei prin medii poroase, dup care obiectul ei se extinde i asupra problemelor asociate exploatrii zcmintelor de iei i gaze. Prima monografie privind micarea fluidelor prin medii poroase este elaborat de L. S. LEIBENZON, n anul 1924, iar urmtoarea este cea a americanului MAURICE MUSKAT, publicat n anul 1937. n Romnia, primele lucrri importante din domeniul mecanicii fluidelor sunt cele ale lui V. VLCOVICI, din 1913, prezentate n teza sa de doctorat susinut la Gttingen. Primul doctorat susinut n domeniul hidraulicii n ar este cel al lui A. BRGLZAN, din 1940, la Timioara, iar primul tratat romnesc de hidraulic aparine lui DIONISIE GHERMANI (18771948) i a fost publicat n anul 1942. Contribuii nsemnate la dezvoltarea hidraulicii au adus, de asemenea, GEORGE (GOGU) CONSTANTINESCU (18811965) (prin elaborarea teoriei sonicitii) i HENRI MARIE COAND (18861972), descoperitorul efectului care i poart numele Cercetrile ntreprinse de CAIUS IACOB, ELIE CARAFOLI (19011983), DUMITRU DUMITRESCU, CRISTEA MATEESCU, TEODOR OROVEANU, VECESLAV HARNAJ, TEFAN I. GHEORGHI i DUMITRU CIOC au dus la mbogirea cunotinelor n domeniul mecanicii fluidelor. GHEORGHE ALDEA i NICOLAE CRISTEA au contribuit la dezvoltarea hidraulicii zcmintelor de petrol i au creat, n cadrul Institutului de cercetri i proiectri pentru petrol i gaze de la Cmpina, o valoroas coal de cercettori n inginerie de zcmnt. NICOLAE CRISTEA a publicat, n anul 1956, primul tratat romnesc de hidraulic subteran. Universitatea Petrol Gaze din Ploieti, prin rezultatele cercetrilor ntreprinse de GRIGORE IOACHIM, GABRIEL MANOLESCU, CONSTANTIN BECA, ION CREU, CORNEL POPESCU i ALEXANDRU SOARE, se poate mndri cu realizri importante n domeniile tehnologiei extraciei hidrocarburilor i ingineriei de zcmnt.

Hidraulica general

9

1.3. Mrimi fizice i uniti de msur. Sistemul InternaionalMrimea este un atribut al elementelor unei mulimi de obiecte sau fenomene crora li se poate asocia un criteriu de comparaie. Msurarea unei mrimi const n operaia de comparare a ei cu o alt mrime de aceeai natur, luat drept unitate de msur. Mrimea m asociat unei mulimi de obiecte sau fenomene fizice de aceeai natur se numete mrime fizic i se poate exprima ca produsul dintre un numr adimensional m i unitatea ei de msur u, astfel m = mu . (1.1) Mrimile fizice pot fi clasificate, n funcie de modul de stabilire a unitilor lor de msur, n trei categorii: fundamentale, suplimentare i derivate. Mrimile fundamentale sunt cele ale cror uniti de msur sunt alese n mod arbitrar. Mrimile suplimentare sunt cele ale cror uniti de msur, stabilite de asemenea arbitrar, sunt folosite pentru deducerea unitilor de msur ale unor mrimi derivate. Toate celelalte mrimi fizice sunt derivate, iar unitile lor de msur se deduc prin produsul sau ctul unitilor de msur ale unor mrimi fundamentale i, eventual, suplimentare. Unitile de msur se organizeaz n sisteme, definite pe baza unui numr de mrimi fundamentale. n cadrul mecanicii, pentru a defini un sistem coerent de uniti de msur sunt suficiente trei mrimi fundamentale. Astfel, sistemele CGS (centimetru gram secund) i MKfS (metru kilogram for secund) au ca mrimi fundamentale lungimea. masa i timpul, respectiv lungimea, fora i timpul, ale cror uniti de msur formeaz numele sistemelor respective. Pentru a acoperi toate domeniile fizicii, un sistem de uniti de msur trebuie s aib apte mrimi fizice fundamentale. ara noastr, ca membr a Conveniei metrului din 1883, a adoptat Sistemul Internaional de uniti de msur (SI) printre primele ri din lume, n anul 1961. Ca urmare, la noi, sistemele CGS i tehnic (MKfS) au devenit sisteme tolerate. nceputul organizrii Sistemului internaional de uniti Tabelul 1.1 de msur are la baz propunerea de unificare a msurilor i Unitatea SI greutilor fcut la 9 martie 1790, n Frana, de deputatul Mrimea fizic Denumirea Simbolul TALLEYRAND i aprobat de Academia de tiine, la 8 mai 1790. metru m O comisie constituit din LAGRANGE, LAPLACE, MONGE i lungimea masa kilogram kg CONDORCET a hotrt, la 19 martie 1791, asupra stabilirii timpul secund s metrului (de la metron msur, n limba greac) ca unitate de intensitatea curentului electric amper A msur a lungimii egal cu a patruzecea milioana parte din temperatura termodinamic kelvin K meridianul terestru. intensitatea luminoas candel cd kilomol kmol n cadrul evoluiei lui, sistemul zecimal metric i-a cantitatea de substan nceput etapele de internaionalizare cu Comisia internaional a metrului, din 813 august 1872, care s-a ntrunit din nou la 20 mai 1875 i a obinut, prin 17 ri semnatare, nfiinarea Biroului internaional de msuri i greuti (BIPM) i organizarea Conferinei generale (CGPM) ale crei decizii sunt executate de Comitetul internaional (CIPM).Tabelul 1.2 Mrimea fizic frecven for presiune, tensiune mecanic energie, lucru mecanic, cantitate de cldur putere, flux energetic cantitate de electricitate, sarcin electric potenial electric, tensiune electric, tensiune electromotoare capacitate electric rezisten electric conductan fluxul induciei magnetice inducie magnetic inductan temperatura Celsius fluxul luminos iluminarea activitatea radiaiilor ionizante doza absorbit, energie masic comunicat, kerma, indice de doz absorbit Denumirea hertz newton pascal joule watt coulomb volt farad ohm siemens weber tesla henry grad Celsius lumen lux becquerel gray Unitatea de msur SI Simbolul Expresia n alte uniti SI Hz N Pa N/m2 J Nm W J/s C V W/A F S Wb T H C lm lx Bq Gy C/V W/A2 A/V Vs Wb/m2 Wb/A lm/m2 J/kg Expresia n uniti SI fundamentale s1 kgms2 kgm1s2 kgm2s2 kgm2s3 As kgm2s3A1 kg1m2s4A2 kgm2s2A2 kg1m2s3A2 kgm2s2A1 kgs2A1 kgm2s2A2 K cdsr cdm2sr s1 m2s2

Sistemul internaional de uniti de msur a fost pus la punct ntre 1948 (la a 9-a CGPM) i 1960 (la a 11-a CGPM). n anul 1960 s-a adoptat denumirea prescurtat SI, dup care acest sistem s-a mbogit la fiecare conferin CGPM cu noi definiii sau denumiri de uniti de msur. Unitatea de msur a presiunii N/m2 a primit, la cea de a 14-a CGPM, din anul 1971, denumirea de pascal (Pa). La a 16-a CGPM (1979) s-a redefinit candela i s-a introdus unitatea de msur sievert.

10

Capitolul 1. Introducere

Mrimile fundamentale ale Sistemului Internaional i unitile de msur ale acestora sunt prezentate n tabelul 1.1. Mrimile suplimentare sunt msura unghiului plan, cu unitatea de msur radian (rad), i msura unghiului sferic (solid), cu unitatea steradian (sr). Anumite uniti de msur derivate au denumiri specifice, care sunt prezentate n tabelul 1.2. Sistemul Internaional este un sistem coerent, Tabelul 1.3 ceea ce nseamn c produsul sau ctul a dou uniti de Factor de Prefix Simbol Factor de Prefix Simbol msur d direct unitatea mrimii rezultante (singurul multiplicare multiplicare factor numeric este 1). Astfel, raportul dintre unitile de 1024 yotta Y 101 deci D mas i volum d unitatea de msur a densitii. 21 2 10 zetta Z 10 centi C 18 3 Prin prefixele prezentate n tabelul 1.3 se pot exa E 10 mili M 10 forma multiplii i submultiplii zecimali ai unitilor de 1015 penta P 106 micro msur din SI. 1012 tera T 109 nano N 9 10 giga G 1012 pico p Evoluia Sistemului Internaional de uniti de mega M 1015 femto f 106 msur pune n eviden caracterul dinamic, evolutiv, al 103 kilo k 1018 atto a unui sistem care caut s se adapteze noilor necesiti hecto h 1021 zepto z 102 ale tiinei i tehnicii. 1 24 10 deca da 10 yocto y n tabelul 1.4 sunt prezentate valorile factorilor de conversie a unor uniti de msur n altele, unde litera E urmat de semnele + sau i de dou cifre indic puterea lui 10 cu care trebuie multiplicat numrul care precede simbolul respectiv.Tabelul 1.4 Pentru convertire din acre acre (S.U.A.) amper-or angstrm an civil an lumin atmosfer (normal) atmosfer (tehnic) bar barre (42 gal) barye Btu (International Table) Bushel (S.U.A.) calorie (IT) carat metric centimetru col. ap (4 C) cm col. mercur (0 C) centipoise centistokes cal putere ciclu pe secund dalton darcy dyn electronvolt erg erg pe secund foot foot ptrat foot cub galon (S.U.A.) grad centezimal grad sexagesimal grad Celsius grad Fahrenheit grad Fahrenheit n m2 m2 C m s m Pa Pa Pa m3 Pa J m3 J kg Pa Pa Pas m2/s W Hz kg m2 N J J W m m2 m3 m3 rad rad K C K se multiplic cu 4,046856 E+03 4,046873 E+03 3,600000 E+03 1,000000 E10 3,153600 E+07 9,460530 E+15 1,013250 E+05 9,806650 E+04 1,000000 E+05 1,589873 E01 1,000000 E01 1,055056 E+03 3,523907 E02 4,186800 E+00 2,000000 E04 9,806380 E+01 1,333220 E+03 1,000000 E03 1,000000 E06 7,354988 E+02 1,000000 E+00 1,660530 E27 9,869233 E13 1,000000 E05 1,602190 E19 1,000000 E07 1,000000 E07 3,048000 E01 9,290304 E02 2,831685 E02 3,785412 E03 1,570796 E02 1,745329 E02 Tk = Tc + 273,15 Tc = (Tf 32)/1,8 Tk = (Tf + 459,68)/l,8 Pentru convertire din grad Rankine inch inch ptrat inch cub kilocalorie (IT) kilogram for kilowattor micron mil (internaional) mil marin milibar milidarcy ounce parsec poise pound-mass pound-force pound-force pe inch ptrat (psi) pound-mass pe inch cub poundal quart (S.U.A.) rad slug stokes stone tex ton (register) ton (long, 2.240 lb) ton (short, 2.000 lb) tonne torr (mm Hg, 0 C) tour (o tur) Yard Yard ptrat Yard cub Yard cub pe minut n K m m2 m3 J N J m m m Pa m2 kg m Pas kg N Pa kg/m3 N m3 Gy kg m2/s kg kg/m m3 kg kg kg Pa rad m m2 m3 m3/s se multiplic cu Tk = Tx/1,8 2,540000 E02 6,451600 E04 1,638706 E05 4,186800 E+08 9,806650 E+00 3,600000 E+06 1,000000 E06 1,609344 E+03 1,852000 E+03 1,000000 E+02 9,869233 E16 2,834952 E02 3,085678 E+16 1,000000 E0l 4,535924 E01 4,448222 E+00 6,894757 E+03 2,767990 E+04 1,382550 E01 9,463529 E04 1,000000 E02 1,459390 E+01 1,000000 E04 6,350300 E+00 1,000000 E06 2,831685 E+00 1,016047 E+03 9,071847 E+02 1,000000 E+03 1,333220 E+02 6,283185 E+00 9,144000 E 01 8,361274 E01 7,645549 E01 1,274258 E02

2. PROPRIETILE FLUIDELOR2.1. Clasificarea fluidelorFluidele sunt corpurile care-i schimb forma fr a opune rezistene apreciabile la deformarea lor. Ele se mpart n lichide i gaze. Lichidele iau forma vaselor n care sunt puse, prezint suprafa liber i sunt fluide foarte puin compresibile. Gazele sunt fluide cu compresibilitate mare i se caracterizeaz prin absena forelor de coeziune, ceea ce le face s ocupe ntregul volum disponibil. Fluidele pot fi monofazice sau multifazice, dup cum sunt formate dintr-o singur faz sau din mai multe faze. Fluidele monofazice sunt fluide omogene, n timp ce fluidele multifazice pot fi pseudoomogene (cu comportare similar celei a fluidelor omogene) sau eterogene. Un fluid multifazic poate fi bifazic sau trifazic, cele trei faze fiind gazoas, lichid i solid. Fluidele bifazice pot fi, deci, de urmtoarele patru tipuri: gaz lichid, lichid lichid, gaz solid sau lichid solid. Lichidele i gazele pot fi monocomponente sau multicomponente, dup cum sunt formate dintr-o singur substan chimic, respectiv din mai multe substane. Pe de alt parte, dou sau mai multe lichide aflate n contact pot fi miscibile sau nemiscibile, dup cum se amestec ntre ele fr a se forma interfee, respectiv rmn separate de interfee. Fluidele bifazice, reprezentate prin cele patru tipuri enumerate anterior, pot fi grupate n: a) dispersii fine, constnd fie din bule mici de gaz, picturi de lichid nemiscibil sau particule solide dispersate, mai mult sau mai puin uniform, ntr-o faz lichid continu, fie din picturi mici de lichid sau particule solide fine dispersate ntr-o faz gazoas continu 1; b) dispersii grosiere, formate fie din bule mari de gaz, picturi mari de lichid nemiscibil sau particule solide mari dispersate n faza lichid continu, fie din picturi mari de lichid sau particule solide mari dispersate ntr-o faz gazoas continu; c) macroamestecuri, constituite din spume sau amestecuri puternic turbulente ale unui gaz cu un lichid sau a dou lichide imiscibile, n condiiile n care nici una din faze nu este continu; d) fluide stratificate, constituite din amestecuri gazlichid sau lichidlichid (nemiscibile), n condiiile n care ambele faze sunt continue. Dispersiile n cadrul crora particulele fazei discontinue sunt suficient de fine (avnd dimensiuni sub 1 m) pot fi stabile fie sub aciunea micrii browniene sau a sarcinilor electrostatice, n absena micrilor turbulente, fie ca urmare a proprietilor de consisten ridicat sau special a fazei continue. Aceste suspensii pot fi considerate pseudoomogene, iar comportarea lor la curgere poate fi inclus n aceea a fluidelor monofazice. Dispersiile de finee moderat, care nu sunt stabile n repaus sau n micare laminar, dar care pot fi meninute n stare de dispersie aproape uniform n condiii de micare turbulent, pot fi incluse n domeniul comportrii fluidelor monofazice aflate n micare turbulent. Fluidele omogene sau fluidele pseudoomogene cu comportare similar acestora se clasific, n funcie de comportarea lor la curgere, n fluide vscoase i fluide vscoelastice. Fluidele vscoase pot avea, n cadrul micrii lor, o comportare independent sau dependent de timp. Fluidele independente de timp care, n stare de repaus, prezint tensiuni tangeniale nule, iar n stare de micare laminar au tensiunile tangeniale proporionale cu gradientul vitezei se numesc fluide newtoniene. Restul fluidelor vscoase i vscoelastice se numesc fluide nenewtoniene i sunt clasificate ca n tabelul 2.1. Studiul fluidelor nenewtoniene constituie obiectul reologiei. Hidraulica se ocup ndeosebi de fluidele newtoniene, ale cror principale proprieti sunt densitatea, vscozitatea, compresibilitatea i tensiunea interfacial.

2.2. Densitatea i greutatea specificDensitatea sau masa specific a unui fluid este, prin definiie, raportul dintre masa m a fluidului i volumul V ocupat de acesta, adic=m V ,2

(2.1)

Densitatea are formula dimensional ML3 i unitile de msur: kg/m3 n SI, g/cm3 n sistemul CGS i kgfs /m4 n sistemul MKfS. Inversul densitii, vs = 1/, se numete volum specific. Greutatea specific, notat cu , este definit ca raportul dintre greutatea G a fluidului i volumul V ocupat de acesta, adic =G V , (2.2) are expresia dimensional ML2T2 i se msoar n N/m3 n SI, dyn/cm3 n sistemul CGS, respectiv kgf/m3 n sistemul MKfS.1

Exemple (n ordinea din text): spume, emulsii, suspensii, cea. fum

12

Capitolul 2. Proprietile fluidelor

Tabelul 2.1 Fluide multifazice (gaz-lichid, lichid-lichid, gaz-solid, lichid-solid) Fluide monofazice Dispersii fine Fluide pseudoomogene Fluide omogene Micare laminar sau turbulent Fluide newtoniene Fluide pseudoplastice Fluide dilatante Fluide binghamiene Fluide reintoare pseudoplastice sau dilatante Fluide tixotropice Fluide reopectice Fluide nenewtoniene Micare exclusiv turbulent Fluide eterogene Dispersii grosiere Macroamestecuri Fluide stratificate

Fluide vscoase

Fluide independente de timp

Fluide cu comportare multifazic

vscoelastice

Fluide dependente de timp

Multe forme

Legea a doua a mecanicii clasice leag greutatea specific i densitatea prin relaia =g , (2.3) unde g este acceleraia gravitaional, cu valoarea standard 9,80665 m/s2. Pentru latitudinea Bucuretiului, g = 9,806 m/s2, valoare recomandat pentru aplicaiile numerice. 2.2.1. Densitatea fluidelor monocomponente Ecuaia care coreleaz parametrii de stare ai unui fluid (presiune, volum sau densitate i temperatur) se numete ecuaie de stare. Cea mai simpl i cunoscut ecuaie de stare general este cea propus de VAN DER WAALS (1873), care are forma p + a (vsm b ) = Ru T , (2.4) 2 vsm unde 2 2 27 Ru Tcr (2.5) a= , 64 pcr R T (2.6) b = u cr , 8 pcr p este presiunea, vsm volumul molar, T temperatura absolut, Ru = 8.314,3 J/(kmolK) constanta universal a gazelor, Tcr temperatura critic, pcr presiunea critic, Aceast ecuaie reproduce cu aproximaie comportarea fluidelor monocomponente, dar nu este aplicabil n zona bifazic i nu d rezultate bune n zona lichidului sau lng zona bifazic. Dintre ecuaiile de stare cu aplicabilitate general i avnd doi parametri, ecuaia lui REDLICH i KWONG (1949) este cea mai frecvent folosit. Ea are forma a1 (vsm b1 ) = Ru T , p+ (2.7) 0,5 T vsm (vsm + b1 ) unde 2 2 0,7248 Ru Tcr,5 0,0867 Ru Tcr (2.8) , b1 = . a1 = pcr pcr

Hidraulica general

13

La fel ca i ecuaia VAN DER WAALS, ecuaia REDLICH KWONG nu este aplicabil n zona bifazic i d aproximaii grosiere n zona lichidului. KENNEDY i BHAGIA (1969) au exprimat constantele REDLICH KWONG (pentru substane individuale) ca funcii empirice de temperatur i au artat c densitatea acelor substane pure poate fi determinata cu o eroare de numai 0,25 procente. Ecuaiile de stare cu mai mult de doi parametri caracteristici ai fluidului sunt mai exacte, dar utilizarea lor este limitat la puinele fluide pentru care sunt determinai aceti parametri. Cele mai cunoscute ecuaii de acest tip sunt ecuaia lui BEATTIE i BRIDGEMAN (1927), care are cinci parametri, i ecuaia BENNEDICT, WEBB i RUBIN (1940), bazat pe opt parametri caracteristici ai fluidului. n zona gazului aflat la presiune mic sau destul de departe de frontiera zonei bifazice se poate aplica, cu rezultate bune pentru calcule inginereti, legea gazelor perfecte, p vs = R T , (2.9) unde: vs = 1/ este volumul specific, R = Ru/Mm constanta gazului, iar Mm masa molar. O aplicabilitate mai general n zona gazului i n apropierea frontierei zonei bifazice o are legea gazelor reale p vs = Z R T , (2.10) unde Z este factorul de abatere de la legea gazelor perfecte. Pentru determinarea factorului de abatere s-au fcut multe ncercri de stabilire a unei corelaii bazate pe valorile lui Z calculate din relaia (2.10) cu ajutorul datelor experimentale. n acest sens au fost elaborate metode bazate pe principiul strilor corespondente, conform cruia toate fluidele se comport n mod similar la aceleai raii ale presiunilor i temperaturilor critice. Cea mai simpl corelaie bazat pe conceptul strilor corespondente are forma Z = f ( prd , Trd ) , (2.11) unde presiunea redus i temperatura redus sunt definite astfel: prd = p/pcr, Trd = T/Tcr. Aceast corelaie a fost prezentat grafic de ctre STANDING i KATZ Figura 2.1 Variaia factorului de abatere Z pentru gaze pure (1942) pentru o serie de gaze. De atunci au fost publicate noi date, care au mbuntit precizia rezultatelor. Diagrama lui VISVANATH i SU (1965), prezentat n figura 2.1, este, probabil, cea mai bun corelaie general aplicabil de acest tip, disponibil pentru gaze pure. Factorul de abatere citit din aceast diagram pentru gaze obinuite, altele dect hidrogen, dioxid de sulf i hidrogen sulfurat, prezint o eroare cuprins ntre 2 i 10 procente. Dei corelaiile factorului de abatere de tipul (2.10) sunt foarte utile, iar pentru gaze nepolare cu structur molecular simpl sunt destul de precise, pentru extinderea aplicrii lor i pentru obinerea unor rezultate cu precizie mrit s-a propus s se ia n consideraie i alte variabile n afar de presiunea i temperatura redus. n acest sens, s-a considerat ca variabil adiional factorul de abatere Zc n punctul critic (care variaz de la 0,23 pentru abur la 0,304 pentru hidrogen, n timp ce diagrama din figura 2.1 corespunde lui Zc = 0,28) i s-au obinut corelaii care dau valori mbuntite n vecintatea punctului critic, fr a avea ns caracter de generalitate. O alt corelaie, legat mai direct de comportarea moleculelor de fluid, are la baz factorul de acentricitate, care reprezint o msur a abaterii forelor intermoleculare fa de cazul gazului perfect i este definit astfel = lg pvr 1 ,

(2.12)

unde pvr este presiunea de vapori redus corespunztoare unei temperaturi reduse egal cu 0,7. Aceast relaie se bazeaz pe observaia c, n cazul gazelor simple ca argon, neon, kripton i metan, pvr este apropiat de valoarea 0,1, ceea ce corespunde lui = 0. Pentru multe alte fluide, variaz ntre 0 i 0,4. n absena presiunii de vapori, valoarea lui poate fi determinat din relaia aproximativ = 3,6375 12,5Z c .

(2.13)

n cazul gazelor simple, factorul de abatere de la legea gazelor perfecte este funcie numai de presiunea redus i temperatura redus. Pentru gaze mai complexe, Z are expresiaZ = Z ( 0) + Z (1) ,(0)

(2.14)

unde Z este factorul de abatere pentru gaze simple, prezentat n figura 2.2, iar Z(1) este factorul de corecie dat n figura 2.3.

Figura 2.2. Variaia factorului de abatere Z(0) pentru gaze pure

14

Capitolul 2. Proprietile fluidelor

Dei lichidele sunt mult mai puin sensibile la variaia presiunii dect gazele, densitatea lor i variaia acesteia cu temperatura sunt dependente de structura molecular. Densitatea hidrocarburilor lichide poate fi determinat din ecuaia VAN DER WAALS, modificat de ALANI i KENNEDY (1960) prin definirea constantelor a i b sub formaa = 36,61 K e n T , Pa(m 3 /kmol) 2 ,

(2.15) (2.16)

b = 0,0624(m T + C ) , m 3 /kmol ,

Figura 2.3 Variaia coreciei factorului de abatere Z(1) pentru gaze pure

unde parametrii K, n, m i C sunt prezentai pentru o serie de hidrocarburi n anexa 1. Densitatea hidrocarburilor lichide saturate rezult din relaia lui BRADFORD i THODOS, exprimat astfells = c 1 + a(1 Tr ) + b(1 Tr )2 + c(1 Tr )n ,

[

]

(2.17) (2.18) (2.19) (2.20) (2.21)

unde c este densitatea n punctul critic, iar parametrii a, b, c i n au expresiile n = 0,16 + 0,586 Zc , c = 2,785 3,544 Zc , a = 2,924 7,34 Zc , b=ca1 . Densitatea lichidelor la temperatur constant se compresibilitate , definit astfel 1 = V

exprim, n mod obinuit, n funcie de coeficientul de

V (2.22) , p T unde indicele T indic un proces izoterm, iar semnul minus a fost introdus deoarece factorul V p este negativ (volumul scade odat cu creterea presiunii). Dac se admite constant, relaia (2.22) scris sub forma 1 d = , (2.23) dp

duce, dup integrare, la formula

= 0 e ( p p 0 ) ,

(2.24)

care este cunoscut sub numele de ecuaia de stare a lichidelor compresibile i poate fi aproximat, reinnd doar primii doi termeni din dezvoltarea n serie a exponenialei, astfel = 0 [1 ( p p0 )] . (2.25) 2.2.2. Densitatea fluidelor multicomponente Exist puine corelaii destinate determinrii densitii fluidelor multicomponente, independent de starea lichid sau gazoas a acestora. Una dintre aceste corelaii este cea a lui KENNEDY i BHAGIA (1969), obinut prin extinderea ecuaiei (2.7) la cazul fluidelor gazecondensat din cadrul zcmintelor de hidrocarburi. Comportarea densitii gazelor multicomponente este similar cu aceea a gazelor monocomponente, dar prezint un grad sporit de complexitate. n acest sens, pentru determinarea densitii gazelor multicomponente se poate folosi relaia (2.10), pentru care factorul de abatere se obine, conform propunerii lui KAY (1936), n funcie de presiunea pseudoredus i temperatura pseudoredus definite astfel (2.26) p pr = p p pc ,T pr = T T pc ,

(2.27)n

unde:p pc =

i =1

n

nmi pcr i , T pc =

ni =1

mi Tcr i

sunt presiunea, respectiv temperatura pseudocritice, nmi fracia molar a componentului i din gaze; pcr i, Tcr i presiunea critic i temperatura critic ale acestuia. Valoarea lui Z corespunztoare lui ppr i Tpr calculate cu relaiile (2.26) i (2.27) se citete din figura 2.1. Pentru amestecurile de gaze naturale constituite din hidrocarburi parafinice lipsite de dioxid de carbon i hidrogen sulfurat se folosete, n mod frecvent n industria de petrol, diagrama lui STANDING i KATZ (1942), prezentat n figura 2.4.

Hidraulica general

15

Pentru lichidele multicomponente, ca i n cazul gazelor, relaia dintre densitate i structura molecular, precum i dependena densitii de presiune i temperatur au o complexitate sporit fa de cazul lichidelor monocomponente. Ecuaiile de stare pentru amestecurile lichide pot fi folosite n acelai mod n care au fost folosite pentru gazele multicomponente. Coeficienii acestor ecuaii se determin din coeficienii componenilor puri. Pentru sistemele de hidrocarburi lichide se poate folosi metoda ALANI KENNEDY, nlocuind relaiile (2.15) i (2.16) cu ecuaiilea= b=

ni =1 n

n

mi

ai , bi ,*

(2.28) (2.29)T

ni =1

mi

bi = 0,0624(mi T + Ci ) ,

ai = 36,61 K i e ni

,

(2.30) (2.31)

cu nmi fraciile molare ale componenilor i Ki, ni* , mi i Ci avnd valorile prezentate n anexa 1 pentru o serie de componeni puri.

2.3. VscozitateaVscozitatea este proprietatea fluidelor de a Figura 2.4. Variaia factorului de abatere Z pentru gaze naturale opune rezisten la deformarea (micarea) lor. ntr-un lichid aflat n micare apar, pe lng eforturile normale, eforturi tangeniale, care se manifest prin fore de frecare intern, avnd tendina s frneze micarea i s mpiedice deplasrile lichidului, adic s se opun deformaiilor. Vscozitatea este caracterizat cantitativ prin coeficientul pus n eviden de NEWTON n expresia efortului tangenial ce apare la micarea laminar ntre dou plci plane paralele. Considernd dou plane P i P ale micrii laminare a unui fluid ntre dou plci plane paralele distanate cu dy i avnd vitezele de micare v, respectiv v + dv, NEWTON a artat c, ntre dou suprafee de arii egale, situate n planele P i P, acioneaz o for tangenial proporional cu aria A, cu diferena de vitez dv i invers proporional cu distana dy, adic dv F =A , (2.32) dy iar efortul unitar tangenial corespunztor este dat de relaia= dv , dy

(2.33)

unde este o constant de proporionalitate caracteristic fluidului la presiune i temperatur date, numit coeficient de vscozitate dinamic (sau, pe scurt, vscozitate dinamic), iar dv/dy este modulul gradientului de vitez pe normala y la direcia micrii. Comportarea reologic a fluidului newtonian este aadar definit de o singur constant de proporionalitate care caracterizeaz frecarea intern a particulelor de fluid aflate n micare. Vscozitatea dinamic are dimensiunile ML1T1 i se exprim n Ns/m2 n SI, n kgfs/m2 n CGS i n P (poise = dyns/cm2) n MKfS. Vscozitatea cinematic este definit prin relaia = (2.34) i are unitile de msur m2/s n SI i n MKfS, respectiv St (stokes = cm2/s) n sistemul CGS. Numele de vscozitate cinematic indic absena din definiia ei a mrimilor fizice de natur dinamic (mas, for etc.).

2.4. CompresibilitateaProprietatea corpurilor manifestat prin micorarea volumului lor sub aciunea forelor exterioare de compresiune se numete compresibilitate. Ea este caracterizat cantitativ prin coeficientul de compresibilitate , care, potrivit relaiei de definiie (2.22), are dimensiunile M1LT2 i unitile de msur Pa1 = m2/N n SI, cm2/dyn n sistemul CGS i m2/kgf n sistemul MKfS.

16

Capitolul 2. Proprietile fluidelor

Lichidele sunt fluide foarte puin compresibile, fapt reflectat de valorile foarte mici ale coeficientului lor de compresibilitate. Neglijarea compresibilitii unui lichid presupune 0, ceea ce este echivalent cu propagarea instantanee a oricrei variaii de presiune n ntreaga mas a lichidului. innd seama c orice variaie de presiune se propag ntr-un fluid cu viteza sunetului, nsui sunetul fiind o manifestare a variaiei de presiune, rezult c un lichid poate fi asimilat cu un fluid incompresibil dac viteza c a sunetului n acel lichid, definit sub forma 1 dp c2 = = , (2.35) d este teoretic egal cu infinit. n funcie de extinderea domeniului ocupat de lichid, acesta se poate comporta ca un fluid incompresibil sau compresibil, dup cum o variaie brusc de presiune produs ntr-un punct al lichidului se face simit instantaneu sau difereniat n timp, n toat masa lichidului. Astfel, apa este considerat, n general, ca fiind un fluid incompresibil, dei n cazuri speciale ca ocul hidraulic, exploatarea unui zcmnt de iei mrginit de o zon de ap de ntindere foarte mare, msurarea adncimilor mari ale fundului mrii cu ajutorul batimetrului VEEREN i altele, luarea n considerare a compresibilitii apei este eseniala. Ecuaia (2.24) se reduce pentru = 0 la relaia = 0 , (2.36) care reprezint ecuaia de stare a lichidelor incompresibile. Ecuaia (2.9), particularizat pentru T = const, sub forma p = const ,

(2.37)

cunoscut sub numele de ecuaia de stare a gazelor perfecte aflate n cmp izoterm, duce n baza relaiei (2.23) la formula 1 = . (2.38) pn cazul gazelor reale, din relaiile (2.10) i (2.23) se obine pentru expresia p Z 1 = 1 Z p p , care, n cmp izoterm, se modific formal prin nlocuirea derivatei pariale Z p cu derivata total dZ/dp. Din anexa 6 se observ c, pentru ap, coeficientul de compresibilitate scade n ritm lent, att cu creterea presiunii, ct i cu creterea temperaturii.

(2.39)

2.5. Tensiunea interfacial i presiunea capilarLa suprafaa de separaie lichid gaz, lichid lichid sau lichid solid exist fore moleculare neechilibrate, care au ca efect tendina de contractare a acestei suprafee ctre o suprafa cu arie minim. O molecul oarecare de ap din interiorul volumului ocupat de o cantitate de ap ntr-un vas este atras n mod egal, n toate direciile, de ctre moleculele vecine. Dac molecula de ap se gsete pe suprafaa liber, ea nu va avea alte molecule de ap deasupra ei i, ca urmare, rezultanta forelor de atracie exercitate de moleculele de ap vecine va tinde s atrag molecula respectiv ctre interiorul volumului de lichid. Deci, pentru a se aduce la suprafaa liber o molecul de ap din interiorul volumului de lichid este necesar s se efectueze un lucru mecanic. Astfel, pentru a se crea un element de suprafa liber de arie unitar trebuie s se produc un lucru mecanic egal cu suma lucrurilor mecanice necesare aducerii tuturor moleculelor unitii de arie din interiorul lichidului la suprafaa liber. Lucrul mecanic necesar crerii unei suprafee libere de arie unitar poart numele de energie de suprafa a acelui lichid. Pentru caracterizarea acestui fenomen se folosete, mai frecvent dect energia de suprafa, noiunea de tensiune superficial, care, prin definiie, este raportul dintre fora care se exercit tangenial la suprafaa lichidului i unitatea de lungime a normalei dus din punctul respectiv la aceast suprafa. Tensiunea superficial este numeric egal cu energia de suprafa. Noiunea de tensiune superficial este rezervat tensiunii care acioneaz pe suprafaa de contact a lichidului cu vaporii si sau cu aerul. Cnd suprafaa separ dou lichide sau un lichid i un corp solid se folosete noiunea de tensiune interfacial. Tensiunea superficial a unei substane pure sau tensiunea interfacial dintre dou substane pure este o caracteristic a substanei sau perechii respective de substane. Spre exemplificare, tensiunea superficial a apei pure la temperatura de 20 C este egal cu 72,6 mN/m, iar tensiunea interfacial dintre ap i hidrocarburi lichide are valoarea aproximativ Figura 2.5. Schema ridicrii lichidului ntr-un tub capilar de 3 mN/m i variaz n funcie de natura hidrocarburilor lichide. Ca urmare a aciunii tensiunii superficiale sau interfaciale, o pictur de lichid n aerul atmosferic sau ntr-un alt lichid nemiscibil tinde s ia forma unei sfere (care are aria minim pentru un volum dat). Tensiunea superficial poate fi msurat prin diferite metode, dintre care cea mai frecvent folosit are la baz ridicarea lichidului ntr-un tub capilar (ilustrat, n condiii de echilibru static, n figura 2.5). Unghiul dintre suprafaa liber a lichidului n tubul capilar i suprafaa tubului se numete unghi de contact. Folosind notaiile: r raza tubului capilar, a densitatea lichidului, tensiunea superficial i h nlimea lichidului n tub, condiia de echilibru static dintre fora capilar i greutatea lichidului din tub se exprim astfel2 r cos = r 2 h a g

(2.40)

Hidraulica general

17

i se reduce la egalitatear h a g . (2.41) 2 cos Relaia (2.41) arat c, pentru un lichid dat (adic pentru constant), nlimea de ridicare a lichidului n tubul capilar este cu att mai mare cu ct raza tubului este mai mic. Fenomenele de ridicare a lichidelor n tuburi de diametru relativ mic se numesc fenomene capilare. Membrul stng al relaiei (2.40) definete fora capilar, care, dup cum se observ, depinde (pentru un tub de raz dat) att de tensiunea superficial, ct i de unghiul de contact. n timp ce tensiunea superficial caracterizeaz contactul dintre dou fluide, unghiul de contact descrie comportarea celor dou fluide aflate n contact cu o suprafa solid. Aceast comportare definete proprietatea de umidibilitate i se poate manifesta fie prin ridicarea lichidului n tubul capilar (caz n care se spune c lichidul ud peretele tubului sau c este umezitor), fie prin coborrea lichidului n tub (caz n care lichidul este numit neumezitor n raport cu peretele tubului). Conform relaiei (2.41), nlimea h a lichidului n tub este pozitiv, negativ sau zero dup cum < 90, > 90 sau = 90. Aceste concluzii privind caracterizarea umidibilitii unui lichid prin valoarea unghiului de contact sunt confirmate experimental. Astfel, dac n experimentul ilustrat n figura 2.5 se folosete mercur n loc de ap, unghiul , care n cazul apei era unghi ascuit, va deveni unghi obtuz, iar lichidul n tubul capilar va cobor sub suprafaa liber a mercurului din vas. n cazul experimentului cu un tub capilar scufundat n poziie vertical ntr-un vas care conine dou lichide nemiscibile, spre exemplu ap i iei, relaia (2.41) permite exprimarea tensiunii interfaciale sub forma = r h( a t ) g , (2.42) 2 cos n care nlimea h va avea valoarea pozitiv sau negativ dup cum suprafaa tubului capilar va fi umezit preferenial de ap sau de iei. Fora capilar ta = Fc = 2 r cos ,

(2.43)

mprit la aria r a seciunii transversale a tubului se numete presiune capilar i are expresia2 cos . (2.44) r Pe de alt parte, presiunea capilar este egal cu diferena dintre valorile presiunii existente pe cele dou fee ale suprafeei comune celor dou fluide din tubul capilar. n cazul ilustrat n figura 2.5, presiunea pa pe faa apei din tubul capilar este mai mic dect presiunea paer de pe faa de contact a aerului i, ca urmare, presiunea capilar se exprima astfel pc = pc = p aer pa = a g h ,

2

(2.45)

dac se ine seama i de membrul drept al relaiei (2.42) sau de condiia de echilibru hidrostatic. n cazul sistemului ap iei, presiunea capilar, definit drept cderea de presiune la meniscul ap iei, are expresiap c = p t p a = ( a t ) g h

(2.46)

i poate fi pozitiv sau negativ dup cum presiunea ieiului pe interfaa ap iei este mai mare sau mai mic dect presiunea apei, ceea ce corespunde comportrii ieiului ca faz neumezitoare, respectiv umezitoare.

18

Capitolul 2. Proprietile fluidelor

3. STATICA FLUIDELORStatica este capitolul mecanicii fluidelor care studiaz echilibrul fluidelor i interaciunea dintre fluidele aflate n repaus relativ i corpurile solide. Un fluid se afl n echilibru static n raport cu un sistem de referin dac orice particul din acel fluid este n repaus fa de sistemul de referin respectiv.

3.1. Starea de tensiuni ntr-un fluid aflat n repausUn corp C (figura 3.1), solicitat de un sistem de fore exterioare F1, F2,., Fn, se afl n echilibru static (n repaus) dac sistemul de fore este static echivalent cu zero. Forele sunt aciuni reciproce ntre mase i se mpart n: fore exterioare, care reprezint aciuni ale altor corpuri asupra unui corp dat, i fore interioare, care apar ntre particulele corpului studiat n urma aciunii forelor exterioare. Forele exterioare care se exercit asupra tuturor particulelor unui corp se numesc fore masice sau de volum, iar cele care acioneaz doar pe suprafaa corpului sau pe o parte a acesteia se numesc fore superficiale. Singura for masic de pe Pmnt este greutatea (fora gravitaional). Se folosete metoda seciunilor imaginare a lui CAUCHY. Se secioneaz corpul C n prile P1 i P2 cu un plan. Pe suprafaa de secionare S se introduce densitatea de fore interioare corespunztoare i astfel se poate face abstracie de partea P2 dac se studiaz echilibrul prii P1 i invers. Forele interioare de pe suprafaa S devin astfel fore exterioare Figura 3.1. Secionarea imaginar a unui corp aflat superficiale i reprezint aciunea pe care o exercit partea P2 asupra prii P1. n echilibru sub aciunea unui sistem de fore r Unui element de suprafa S avnd aria A i revine o for F , ale r r crei componente pe suprafaa S i pe normala la aceast suprafa sunt T i N (figura 3.1). Limitele rapoartelor N/A i T/A cnd A tinde ctre zero se numesc tensiune normal (efort unitar normal) , respectiv tensiune tangenial (efort unitar tangenial) i constituie componentele tensorului tensiune: N T = , lim =. lim A 0 A A 0 A n orice punct interior aparinnd unui corp solid n repaus se dezvolt, n toate direciile, tensori tensiune avnd mrimi care se nscriu ntr-un elipsoid al tensiunilor. n cazul cnd corpul C este un fluid aflat n repaus, conform relaiei lui NEWTON privind vscozitatea (2.33) rezult = 0, deci F = N, adic tensorul tensiune are numai componenta normal. care se exprim astfel F =p (3.1) lim A 0 A i se numete presiune. Prin definiie, presiunea ntr-un fluid este orientat dup normala la suprafaa (real sau imaginar) considerat. Se poate demonstra c, n orice punct din domeniul ocupat de un fluid n repaus, se dezvolt tensiuni cu valori egale n toate direciile, adic elipsoidul tensiunilor degenereaz ntr-o sfer. Conform principiului solidificrii sau al rigidizrii prilor, un corp se afl n echilibru static dac i numai dac forele care acioneaz asupra fiecreia din prile sale formeaz un sistem static echivalent cu zero. Acest principiu permite s se separe o parte a corpului orict de mic, introducndu-se asupra acestei pri un sistem de fore (de legtur) echivalent cu aciunea restului corpului asupra acesteia. Detand n acest mod dintr-un fluid n repaus un domeniu de forma unei prisme triunghiulare, orientate arbitrar (figura 3.2) i introducnd forele de legtur n centrele feelor prismei (ca rezultante ale r presiunilor pe fiecare fa), precum i fora masic Fm (de Figura 3.2. Domeniu prismatic separat dintr-un fluid aflat n repaus direcie oarecare) aplicat n centrul prismei, se poate scrie condiia de echilibru sub forma r r r r r r Fa + Fb + Fc + Fd 1 + Fd 2 + Fm = 0 . (3.2) Prin proiectarea acestei ecuaii pe axa prismei rezult Fd 1 Fd 2 = 0 , (3.3) ceea ce este echivalent cu Fd1 = Fd2 , (3.4) sau

20

Capitolul 3. Statica fluidelor

r r Fd 1 + Fd 2 = 0

(3.5)

r r r r + Fma + Fb + Fc + Fmc = 0 , (3.6) r r r r r unde Fma i Fmc sunt componentele forei masice Fm pe direciile forelor Fa i Fc , ale cror suporturi sunt concurente (figura 3.3). Prisma are dimensiunile a, b, c, d infinitezimale, iar n procesul de trecere la limit pentru definirea tensiunilor punctiforme ele vor tinde ctre zero. Ca urmare, n relaia (3.5) s-a putut admite aproximaia c fora masic (figura r r 3.3) este concurent cu Fa i Fc . n aceste condiii, poligonul forelor se reduce la figura 3.4. Triunghiurile A1B1C1 (v. figura 3.2) i LMN (v. figura 3.4) sunt asemenea, avnd Figura 3.3 Descompunerea forei masice Figura 3.4 Poligonul forelor r r laturile perpendiculare ntre ele. Condiia de dup suporturile forelor Fa i Fc proporionalitate a laturilor acestor triunghiuri, exprimat sub forma Fa Fma Fb Fc + Fmc , (3.7) = = a b c unde Fma = V Am cos a , Fmc = V Am cos c , (3.8) r r cu Am acceleraia cmpului forelor masice, V volumul prismei, a, c unghiurile fcute de Fm cu Fa respectiv r Fc , duce, dup amplificare cu 1/d i trecere la limit, laa

i relaia (3.2) se reduce la forma

r (F

)

(

)

Fa F F F F lim ma = lim b = lim c + lim mc . (3.9) a d V 0 a d V 0 b d V 0 c d V 0 c d Deoarece, n baza relaiilor (3.8), limitele componentelor forelor masice sunt nule, ecuaiile (3.9) se reduc, n conformitate cu expresia (3.1), la pa = pb = pc , (3.10) ceea ce arat c n centrul prismei, pe cele trei direcii normale la feele acesteia, exist tensiuni avnd mrimi egale ntre ele. ntruct prisma poate avea orice orientare n spaiu, meninndu-i ns poziia centrului de greutate, rezult c n centrul ei de greutate acioneaz tensiuni dezvoltate n toate direciile, avnd aceeai intensitate. Reprezentnd grafic aceste tensiuni se obine o sfer de raz egal cu presiunea n acel punct.V 0

lim

3.2. Ecuaia microscopic a echilibrului static al fluidelorSe consider un element de volum de form paralelipipedic (figura 3.5), cu dimensiunile infinitezimale dx, dy, dz raportate la un sistem de axe carteziene paralele cu muchiile sale, detaat din domeniul ocupat de un fluid r r r r aflat n repaus. Se introduc forele de legtur dF1x , dF2 x , dF1 y , dF2 y , r r r dF1z , dF2 z n centrele celor ase fee, precum i fora masic dFm , care este singura for exterioar, cu punctul de aplicaie n centrul M al elementului. Condiia de echilibru static al fluidului din volumul de control se exprim prin relaia r r r r r r r (3.11) dF1x + dF2 x + dF1 y + dF2 y + dF1z + dF2 z + dFm = 0 .Figura 3.5. Domeniu paralelipipedic elementar detaat dintr-un fluid aflat n repaus

Avnd n vedere c presiunea este o funcie continu n domeniul ocupat de fluid i notnd cu p valoarea presiunii n punctul D, forele de legtur (care sunt rezultantele forelor de presiune pe cele ase fee ale r paralelipipedului) i fora masic (definit de acceleraia Am ) au expresiile

r r r r p dF1x = i p dy dz , dF2 x = i p + dx dy dz , x r r r r p dF1 y = j p dx dz , dF2 y = j p + dy dx dz , y r r r r p dF1z = k p dx dy , dF2 z = k p + dz dx dy , z r r dFm = Am dx dy dz .

(3.12)

(3.13)

Hidraulica general

21

Se introduc expresiile (3.12) i (3.13) n relaia (3.11), se reduc termenii asemenea i se simplific cu dx dy dz, rezultnd egalitatea r p r p r p r i j k + Am = 0 , x y z care poate fi scris sub forma r 1 Am p = 0 , (3.14) i reprezint ecuaia microscopic a echilibrului static al fluidelor, unde este operatorul lui HAMILTON, definit n r r r coordonate carteziene (pe baza versorilor i , j , k ai axelor Ox, Oy, Oz) astfel r r r =i +j +k . (3.15) x y z r Exprimnd acceleraia Am a cmpului forelor masice prin proieciile sale X, Y, Z pe cele trei axe carteziene, adic r r r r Am = i X + j Y + k Z , (3.16) ecuaia vectorial (3.14) este echivalent cu urmtoarele trei ecuaii scalare: 1 p 1 p 1 p X= , Y= , Z= , x y z cunoscute sub numele de ecuaiile lui EULER din statica fluidelor. (3.17)

3.3. Legea variaiei presiunii ntr-un fluid n repausDac se cunosc componentele X, Y, Z ale acceleraiei cmpului forelor masice, din ecuaiile (3.17) se obin expresiile derivatelor pariale ale presiunii, care, introduse n difereniala presiunii p p p dp = dx + dy + dz (3.18) x y z conduc la ecuaia dp = ( X dx + Y dy + Z dz ) , (3.19) al crei membru drept este o diferenial total exact dac exist o funcie F(x, y, z) astfel nct s avem egalitatea F F F X = , Y = , Z = . x y z n acest caz, fora masic deriv dintr-un potenial de fore U = F, iar ecuaia (3.19) se reduce la forma dp = dF , (3.20) care integrat d relaia (3.21) p = F + C1 , unde C1 este constanta de integrare egal cu presiunea p1 corespunztoare absenei forelor masice. Cnd fluidul este incompresibil, membrul drept al ecuaiei (3.19) este o diferenial total exact dac acceleraia r Am deriv dintr-un potenial U* = a , adicX = a , Y= a , Z= a , x y z dp = da ,

(3.22) (3.23)

ceea ce duce la sau (3.24) r n cmpul gravitaional terestru, alegnd axa Oz vertical ascendent, componentele acceleraiei Am a cmpului r r forelor masice sunt X = 0, Y = 0, Z = g, deci Am = k g , da = g dz, a = g z, iar relaia (3.24) devine p=Cgz , cunoscut sub numele de ecuaia fundamental a hidrostaticii. (3.25)p = a + C .

3.3.1. Legea variaiei presiunii ntr-un gaz aflat n repaus n cmpul gravitaional terestru Ecuaia (3.19) se reduce, n cmp gravitaional, la egalitatea dp = g dz . (3.26) Dac se admite c gazul este perfect i sufer o transformare izoterm (T = const.), din ecuaia de stare (2.9) se poate exprima densitatea sub forma M (3.27) = m p , Ru T

22

Capitolul 3. Statica fluidelor

care se nlocuiete n ecuaia (3.26), rezultnd expresiadp = Mm g p dz , Ru T

n care se separ variabilele i se integreaz astfelM g dp = m dz , p Ru T

p1

p

M g dp = m p Ru T

z1

dz ,

z

ln

M g p = m (z z1 ) , p1 Ru T

obinndu-se legea variaiei presiunii sub forma p = p1 e Mm g ( z z1 ) Ru T

,

(3.28)

unde p1 este presiunea la cota de referin z1. Formula (3.28) permite calculul presiunii statice sau dinamice la adncimea de fixare a garniturii de evi de extracie ntr-o sond de gaze, cnd se cunoate presiunea p1 citit la manometrul montat la coloan. Temperatura n sond fiind variabil cu adncimea, relaia (3.28) se folosete pe tronsoane pe care variaia de temperatur este neglijabil sau se poate aproxima printr-o valoare medie constant. n cazul aerului atmosferic, dac se introduce, pe baza ecuaiei (3.27), notaia p R T (3.29) , H0 = 0 = u 0 g M ma g relaia (3.28) poate fi scris sub forma p = p1 e z z1 H0

,

(3.30)

unde Mma = 28,9 kg/kmol este masa molar a aerului, p0 = 101.325 Pa presiunea atmosferic normal, iar 0 = 1,289 kg/m3 densitatea aerului n condiii normale. Ecuaia (3.30) se numete formula barometric.3.3.2. Presiunea ntr-un fluid aflat n repaus n absena forelor masice Dac forele masice lipsesc sau sunt neglijabile, se poate scrie X = Y = Z = 0 i, din ecuaia (3.19), rezult dp = 0 (3.31) sau, dup integrare, p = pi = const. , (3.32) ceea ce arat c presiunea este constant n domeniul ocupat de fluid i are valoarea iniial pi. Aceast situaie se ntlnete n cazul fluidelor aflate n stare de imponderabilitate sau n cazul gazelor care ocup nlimi relativ mici. Astfel, presiunea gazului aflat n repaus ntr-un recipient are, practic, aceeai valoare n orice punct al domeniului ocupat de gaz, ntruct argumentul exponenialei din formula (3.28) este neglijabil cnd z z1 are valori mici. Pe de alt parte, pentru valori mici ale argumentului, exponeniala din relaia (3.28) poate fi aproximat prin primii doi termeni din dezvoltarea n scrie i relaia (3.28) devine M g (3.33) p = p1 1 m (z z1 ) . Ru T

Punnd condiiile: z1 = 0, p1 = pg i M g/(Ru T) = g g/pg, ecuaia (3.33) capt forma (3.34) p = pg g g z , care arat c, n cazul cnd gazul ocup nlimi mici, variaia densitii gazului cu nlimea poate fi neglijat, iar termenul g g z este i el neglijabil fa de valoarea pg a presiunii gazului din recipient.3.3.3. Legea variaiei presiunii ntr-un lichid aflat n repaus n cmpul gravitaional terestru

Considernd c lichidul este incompresibil ( = const.), prin integrarea ecuaiei difereniale a presiunii (3.26) rezult relaia p = g z + a , (3.35) care arat c orice plan orizontal (z = const.) dintr-un lichid aflat n repaus este o suprafa izobar (p = const.). Planul orizontal de cot z = z0 n care presiunea este egal cu presiunea atmosferic p0 se numete planul suprafeei libere a lichidului. Forma planorizontal a suprafeelor izobare corespunde condiiei de ortogonalitate a forelor gravitaionale, dirijate dup verticala locului, cu suprafeele echipoteniale. Ca urmare, suprafeele libere de dimensiuni mari (aparinnd mrilor sau oceanelor) au forma scoarei terestre (geoidal), care numai pentru ntinderi relativ mici se confund cu forma plan. Punnd ecuaiei (3.35) condiia la limit p = p0 la z = z0, se obine pentru constanta de integrare expresia a = p 0 + g z0 i ecuaia (3.35) devine (3.36) p = p0 + g(z0 z) .

Hidraulica general

23

Dac se consider originea axei Oz la suprafaa liber a lichidului din vas, z0 = 0 i ecuaia (3.36) se identific formal cu ecuaia (3.34), cu deosebirea c, fiind mult mai mare dect g, termenul g z nu mai este neglijabil n raport cu presiunea p0 de la suprafaa de separaie gazlichid. Notnd cu h adncimea la care se gsete un punct oarecare n masa lichidului, se constat (figura 3.6) c z0 z = h i ecuaia (3.36) ia forma (3.37) p = p0 + g h . Ecuaiile (3.36) i (3.37) exprim legea hidrostaticii, care arat c presiunea absolut ntr-un lichid aflat n repaus n cmp gravitaional crete direct proporional cu adncimea, iar valoarea presiunii p0 de la suprafaa de separaie gazlichid se transmite n ntreaga mas a lichidului cu aceeai intensitate (principiul lui PASCAL). Presiunea ntr-un fluid este o presiune absolut p sau relativ pr dup cum ea include sau nu valoarea presiunii atmosferice p0 = 101.325 Pa = 760 mm Hg 2 = 1,033 kgf/cm2 = 1,033 at 3 = 1 atm 4. Se numete presiune relativ valoarea presiunii msurate de la suprafaa liber a lichidului, adic pr = g h . (3.38) Astfel, ecuaia (3.37) devine Figura 3.6. Variaia presiunii absolute i relative p = p0 + p r . (3.39) ntr-un lichid aflat n repaus n cmpul Notnd cu h0 nlimea coloanei de lichid echivalent presiunii gravitaional atmosferice (figura 3.6) i cu H suma dintre nlimea h0 i sarcina hidraulic relativ h, relaia (3.39) devine p =g H . (3.40) Ecuaiile (3.39) i (3.40) definesc dou drepte care trec prin origine, dar fiecare dreapt i are originea ei. Planul orizontal care conine originea Oa se numete planul sarcinilor absolute, iar cel care conine originea Or coincide ca suprafaa liber i reprezint planul sarcinilor relative. Cnd presiunea absolut este mai mic dect presiunea atmosferic, presiunea relativ are valoarea negativ. Valoarea absolut a presiunii relative negative se numete presiune de vacuum: pvac = pr cnd pr < 0 , (3.41) sau pvac = p0 p cnd p < p0 . Presiunea de vacuum se exprim, de obicei, prin nlime coloan de lichid echivalent: p p p0 p hvac = 0 = , cnd p < p0 , g unde = g este greutatea specific a lichidului de referin (mercur sau ap). (3.42) (3.43)

3.4. Fore de presiune pe suprafeen fiecare punct al peretelui unui vas n care se afl un fluid n repaus acioneaz o for de presiune elementar, avnd direcia normalei la perete, sensul de la fluid spre perete i mrimea egal cu produsul dintre presiunea relativ i aria elementului de suprafa. Prin integrarea acestui sistem de fore distribuite se obin fie o for rezultant, cnd suprafaa este plan sau curb cu simetrie axial ori central, fie dou fore situate n plane diferite, n cazul suprafeelor curbe oarecare.3.4.1. Fore de presiune pe o suprafa plan3.4.1.1. Fora de presiune pe o suprafa plan aflat n contact cu un lichid n repaus

Se consider un capac plan care acoper o deschidere de form oarecare practicat n peretele plan nclinat al unui vas deschis (figura 3.7). Vasul este plin cu lichid aflat n repaus, n contact cu aerul atmosferic. Se cere s se determinm fora de presiune exercitat de lichid asupra capacului, n funcie de densitatea a lichidului, aria A a capacului i poziia G a centrului de greutate al acestuia, definit prin coordonatele xG, yG. Considernd un element de suprafa cu aria dA, fora elementar de presiune are modulul (3.44) dF p = pr dA , unde pr este presiunea relativ. nlocuind pr conform ecuaiei (3.38) i observnd c h = y sin ,2 3

Figura 3.7. Schema determinrii forei de presiune exercitate de un lichid in repaus asupra unei suprafee plane

mm Hg este simbolul unitii de msur a presiunii milimetri coloan de mercur 1 kgf/cm2 = 1 at (atmosfera tehnic, unitate de msur a presiunii egal cu presiunea exercitat de o coloan de ap cu nlimea de 10 m) 4 1 atm = 1,01325105 Pa; atmosfera fizic este unitatea de msur a presiunii egal cu valoarea p0 a presiunii atmosferice normale

24

Capitolul 3. Statica fluidelor

relaia (3.44), dup integrare pe aria A a suprafeei capacului, devineFp = g sin y dA ,A

(3.45)

unde

y dA = yA

G

A

(3.46)

este momentul static al suprafeei cu aria A, iar yG ordonata centrului de greutate. Notnd cu hG i prG adncimea, respectiv presiunea relativ corespunztoare centrului de greutate al suprafeei i innd seama c yG sin = hG, iar g hG = prG, relaia (3.45) ia forma Fp = prG A (3.47) i arat c fora de presiune care acioneaz pe o suprafa plan are mrimea egal cu produsul dintre presiunea relativ prG n centrul de greutate i aria A a suprafeei considerate. Coordonatele xC, yC ale centrului de presiune C se obin din ecuaiile de momente ale forelor fa de axele Ox i Oy, scrise astfel:F p xC = x dF p = g x y sin dA = g sin x y dA = g sin I xy ,A p A A

A

F p yC =

y dF

= g y sin dA = g sin y 2 dA = g sin I xx ,A A

2

sub formaxC = yC = g sin I xy g sin yG A = I xy yG A,

(3.48) (3.49)

I g sin I xx = xx , g sin yG A yG A

undeI xy = x y dA , I xx =A

yA

2

dA

(3.50)

reprezint momentul centrifugal, respectiv momentul de inerie al suprafeei capacului. Apelnd la teorema lui STEINER i la analoaga acesteia se poate scrie2 I xx = I XX + yG A , I xy = I XY + xG yG A ,

(3.51)

iar relaiile (3.48), (3.49) devinxC = xG + yC = yG + I XY , yG A I XX , yG A

(3.52) (3.53)

unde IXX i IXY sunt momentele de inerie i centrifugal definite fa de axele GX, GY ce au originea n G i sunt paralele cu axele Ox, respectiv Oy. Relaia (3.53) arat c centrul de presiune se situeaz mai jos dect centrul de greutate, distana dintre ele, numit excentricitate, fiind cu att mai mic cu ct yG este mai mare. Cnd capacul este orizontal, centrul de presiune coincide cu centrul de greutate, presiunea fiind n acest caz uniform distribuit pe capac.3.4.1.2. Fora de presiune pe o suprafa plan aflat n contact cu un gaz n repaus Dac vasul din figura 3.7 este nchis i conine un gaz cu presiunea relativ prg admis constant pe baza consideraiilor din 3.3.2, fora de presiune pe capac, ca rezultant a unui sistem de fore paralele uniform distribuite, are mrimeaF p = p rg A

(3.54)

i se aplic n centrul de greutate al capacului.3.4.2. Fore de presiune pe suprafee curbe3.4.2.1. Fora de presiune pe o suprafa curb aflat n contact cu un lichid n repaus

Se consider vasul deschis, plin cu lichid de densitate , OABC, care are trei perei plani (OAB, OAC, OBC) i un perete curb (ABC, figura 3.8). Forele de presiune elementare de pe suprafaa curb ABC variaz att ca mrime ct i ca direcie, corespunztor poziiei punctului i direciei normalei la suprafaa curb n acel punct.

Hidraulica general

25

Fa de sistemul de axe ales, unde planul xOy conine suprafaa liber a lichidului din vas, fora de presiune pe un element de suprafa curb cu aria dA se exprim astfel r r r (3.55) dF p = n pr dA = n g z dA , r unde n este versorul normalei la suprafaa curb n centrul elementului de suprafa, iar z este cota acestui punct. Se proiecteaz relaia (3.55) pe cele trei axe carteziene i se integreaz, obinndu-se ecuaiileFpx = g z n x dA = g z dAx ,A Ax

Fpy = g z n y dA = g z dAy ,A Ay

A

(3.56)

Fpz = g z n z dA = g z dAz ,Ax

unde Ax, Ay i Az sunt ariile suprafeelor plane OAC, OBC, OAB (reprezentnd proieciile suprafeei curbe ABC pe cele trei plane carteziene), iar integralele respective sunt, n ordine, momentele statice ale suprafeelor OAC i OBC, respectiv volumul vasului:Ax

z dA

x

= zGx Ax ,

Ay

z dA

y

= zGy Ay ,

Az

z dA

z

=V .

tiind c

Figura 3.8 Schema determinrii forelor de presiune exercitate de un lichid n repaus asupra unei suprafee curbe

g z Gx = p rGx , g z Gy = p rGy ,

unde prGx, prGy sunt presiunile relative n centrele de greutate ale suprafeelor plane OAC, respectiv OBC, ecuaiile (3.56) devin (3.57) F px = prGx Ax , F py = p rGy Ay , F pz = g V i definesc modulele componentelor forei de presiune rezultante pe suprafaa curb ABC. Cele trei fore au direciile normalelor care trec prin centrele de presiune ale suprafeelor OAC i OBC, respectiv direcia verticalei duse prin centrul de greutate al volumului V. Cnd normalele suprafeei curbe converg ntr-un punct sau ntr-un ax, cele trei fore ale sistemului redus se reduc la o singur for avnd mrimea2 2 2 Fp = F px + Fpy + F pz .

(3.58)

n cazul general al unei suprafee curbe oarecare, dou din suporturile celor trei fore exprimate prin relaiile (3.57) sunt concurente, iar sistemul se reduce la dou fore situate n plane diferite.3.4.2.2. Fora de presiune pe o suprafa curb aflat n contact cu un gaz n repaus

Dac vasul OABC este nchis i conine un gaz a crui presiune relativ prg este admis constant, modulele celor trei fore de presiune se calculeaz cu relaiile (3.59) Fpx = prg Ax , F py = prg Ay , Fpz = prg Az , iar suporturile lor sunt normalele care trec prin centrele de greutate ale proieciilor suprafeei curbe pe cele trei plane rectangulare.3.4.3. Fora de presiune exercitat de un lichid n repaus pe o suprafa curb nchis. Plutirea corpurilor Se consider un corp cu volumul V, mrginit de suprafaa curb nchis S i scufundat, n condiii de echilibru indiferent, ntr-un lichid aflat n repaus n cmp gravitaional (figura 3.9). Corpul este supus forelor de presiune exercitate de lichid asupra sa. Componentele orizontale Fpx, Fpy ale forei de presiune sunt nule, deoarece fiecare dintre ele este rezultanta a dou fore egale, de sensuri contrare, iar componentele verticale au, conform celei de-a treia ecuaii (3.57), expresiile' Fpz = g V AA'B 'BCA , F pz = g V AA'B 'BDA .

Ca urmare, rezultanta forelor de presiune pe suprafaa curb nchis S este' FA = F pz F pz = g (V AA'B 'BDA V AA'B 'BCA ) = g V . (3.60)

Relaia (3.60) arat c, potrivit principiului lui ARHIMEDE, rezultanta forelor de presiune pe suprafaa nchis S este o for vertical ascendent, egal

Figura 3.9. Schema determinrii forei de presiune exercitate de un lichid n repaus asupra unei suprafee curbe nchise

26

Capitolul 3. Statica fluidelor

cu greutatea volumului de lichid dezlocuit de corp. Aceast for se numete for de plutire, portan sau for arhimedic i are ca punct de aplicaie, numit centru de plutire, centrul de greutate al volumului V. Un corp se afl n echilibru indiferent dac greutatea sa este egal cu portana, iar centrul de greutate G al corpului se afl pe aceeai vertical cu centrul de plutire C, ocupnd o poziie inferioar acestuia. Cnd greutatea corpului este mai mare dect portana, corpul se scufund pe fundul vasului, iar dac portana depete greutatea corpului, acesta va pluti parial scufundat, astfel nct fora de plutire a prii scufundate s fie egal n modul cu greutatea corpului. Orice corp plutitor este stabil sub aciunea unor fore laterale perturbatoare, dac micarea de oscilaie generat de aceste fore nu depete o anumit amplitudine, care corespunde rsturnrii acelui corp.

3.5. Echilibrul relativ al lichidelor3.5.1. Ecuaia fundamental a echilibrului relativ al lichidelor Un lichid aflat ntr-un vas n micare este n echilibru relativ, fa de un sistem de axe solidar legat de vas, dac viteza i acceleraia lichidului n raport cu acest sistem mobil de axe sunt nule. Considernd un domeniu paralelipipedic detaat din lichidul aflat n r r r r r r vas i introducnd forele de legtur dF1x , dF2 x , dF1 y , dF2 y , dF1z , dF2 z r i fora masic dFm , definite de relaiile (3.12) i (3.13), condiia de echilibru dinamic al lichidului din acest paralelipiped, fa de triedrul fix O1x1y1z1 din figura 3.10, se exprim astfel r r r r r r r r (3.61) dF1x + dF2 x + dF1 y + dF2 y + dF1z + dF2 z + Fm = dFi ,

unde dFi este fora de inerie dat de relaia r r dFi = a a dx dy dz , r n care aa este acceleraia absolut.Figura 3.10. Domeniu paralelipipedic elementar detaat dintr-un lichid aflat in echilibru relativ

r

(3.62)

r care, pentru a a = 0, se reduce la ecuaia (3.14) a echilibrului static al fluidelor.

Introducnd n relaia (3.61) expresiile (3.12), (3.13) i (3.62) i simplificnd cu dx dy dz se obine ecuaia fundamental a micrii unui fluid perfect, sub forma r r 1 Am p = aa , (3.63)

Conform figurii 3.10, se poate scrie egalitatea

(3.64) r r n care r1 i r sunt vectorii de poziie ai centrului M al paralelipipedului fa de sistemul de referin fix, respectiv fa r de triedrul mobil, iar r0 vectorul de poziie al sistemului de referin mobil n raport cu cel fix. Se introduc notaiile: r r r va viteza absolut, v0 viteza originii O a sistemului de axe mobil fa de originea O1 a sistemului fix, vr viteza r r relativ a punctului M, viteza unghiular a micrii de rotaie n jurul unei axe instantanee care trece prin O, a0 r acceleraia originii O a sistemului mobil fa de sistemul fix de axe, ar acceleraia relativ a punctului M. Prin derivarea ecuaiei (3.64) n raport cu timpul se obine egalitatea r r r dr1 dr0 r r dr , = + r + dt dt dt saur r r r va = v0 + r + vr ,

r r r r1 = r0 + r ,

care se deriveaz din nou n raport cu timpul, rezultnd relaia r r r r r dva dv0 d r r r r r dr r r dvr = + r + ( r ) + + vr + , dt dt dt dt dt care poate fi scris sub forma r r r r r r d r r r r a a = a0 + r + ( r ) + 2 vr + ar dt i definete acceleraia absolut. Dac se introduc noiunile de acceleraie de transport i acceleraie CORIOLIS, exprimate prin egalitile r r r r r d r r r r r at = a 0 + r + ( r ) , ac = 2 vr , dt ecuaia (3.65) devine

(3.65)

Hidraulica general

27

(3.66) r r r Dac lichidul se afl n echilibru relativ fa de sistemul mobil de axe, prin definiie vr = 0 i ar = 0, deci ac = 0, iar acceleraia absolut este egal cu acceleraia de transport, conform relaiei (3.66). n aceste condiii, ecuaia (3.63) se reduce la forma r r r d r r r r 1 Am p = a0 + (3.67) r + ( r ) dt i constituie ecuaia fundamental a echilibrului relativ al lichidelor.3.5.2. Echilibrul relativ al lichidului dintr-un vas aflat n micare de rotaie uniform n jurul unei axe verticale Se consider un vas cilindric vertical care conine lichid (aflat n echilibru relativ) i se rotete cu vitez unghiular constant n jurul axei sale de simetrie. Se aleg axele Oz i O1z1 n poziie suprapus cu axa de simetrie a vasului (figura 3.11). r r r Se particularizeaz relaia (3.67) pentru: a0 = 0 (deoarece originile O i O1 ale sistemelor de axe coincid), Am = k g, r r r = k = constant i d dt = 0 astfelr r r r 1 k g p = ( r ) .

r r r r a a = at + a c + a r .

(3.68)

tiind c

r r r r r = i x+ j y+k z ,

se pot determina expresiile produsului vectorial r r r i j k r r r r r = 0 0 = i y + j x x y z i dublului produs vectorialr r r ( r ) = r i r j r k

r r 0 0 = i 2 x j 2 y , y x 0Figura 3.11 Schema unui vas cu lichid aflat n micare de rotaie uniform n jurul unei axe verticale

iar ecuaia (3.68) deviner r r 1 k g + p = i 2 x + j 2 y . p p p = g , = 2 y , = 2 x , z y x

(3.69)

Proiectnd relaia de mai sus pe cele trei axe carteziene se obin, pentru derivatele pariale ale presiunii, expresiile

care, nlocuite n difereniala presiunii duc la ecuaiadp = 2 x dx + 2 y dy g dz .

(3.70)

Prin integrarea relaiei (3.70) se obine legea variaiei presiunii sub formap = 2 x2 + y2 g z +C , 2

sau, dac se nlocuiete x2 + y2 = R2, 2 R 2 g z +C , 2 din care se observ c suprafeele izobare sunt paraboloizi de rotaie n jurul axei Oz. Pentru determinarea constantei de integrare se pune ecuaiei (3.71) condiia la limit la R = 0 i z = z0 , p = p0 , unde z0 este cota vrfului paraboloidului suprafeei libere, i se gsete p=

(3.71)

C = p 0 + g z0 , cu care ecuaia presiunii mbrac formap = p0 + 2 R 2 + g ( z0 z ) . 2

(3.72)

28

Capitolul 3. Statica fluidelor

Pentru p = p0, din relaia (3.72) se obine ecuaia suprafeei liberez = z0 + 2 R 2 . 2g

(3.73)

3.5.3. Echilibrul relativ al lichidului dintr-un vas aflat n micare de translaie uniform accelerat Fie un vas cu lungimea l, care conine lichid pe nlimea de repaus h0. n timpul micrii cu acceleraia constant r a , suprafaa liber a lichidului devine un plan nclinat. Pentru gsirea legii de variaie a presiunii se particularizeaz ecuaia r r r r r r general a echilibrului relativ (3.67) n urmtoarele condiii: A = k g, a0 = a = j a , = 0, rezultnd expresia r r 1 k g p = j a , (3.74)

Figura 3.12 Schema unui vas cu lichid aflat n micare rectilinie uniform accelerat

din care, prin proiectare pe axele sistemului de referin, se obin ecuaiile scalare p p p = 0, = a , = g , x y z care se nlocuiesc n difereniala presiunii astfel dp = a dy g dz .p = (a y + g z ) + C

(3.75) (3.76)

Soluia ecuaiei difereniale (3.75)

arat c suprafeele izobare (i, n mod particular, suprafaa liber) sunt plane, avnd panta a/g. Punnd condiia la limit la y = l/2 i z = h0, p = p0 ecuaiei (3.76) se obine expresia constantei de integrare al . C = p0 + g h0 + 2 Astfel, ecuaia (3.76) devine

l p = p0 + a y + g (h0 z ) , 2 conducnd, pentru p = p0, la ecuaia suprafeei libere de formaz= al y + h0 . g2

(3.77)

(3.78)

3.6. Probleme3.6.1. Probleme rezolvate

Figura 3.13

Figura 3.14.

Figura 3.15

3.1. S se calculeze nlimea ht a coloanei de iei din rezervorul prezentat n figura 3.13, dac se cunosc urmtoarele: cotele ha = 2 m, hm = 0,3 m, densitile ieiului, apei i mercurului t = 830 kg/m3, a = 998 kg/m3, m = 13.600 kg/m3 i presiunea absolut a gazelor din rezervor pg = 0,105 MPa. Rezolvare Variaia presiunii absolute n funcie de adncime, ntre captul liber al manometrului i interfaa iei gaze din rezervor, este descris de ecuaia

Hidraulica general

29

p0 + m g hm a g ha t g ht = p g ,

din care se expliciteazht =

p0 p g + g ( m hm a ha ) t g

101.325 0,105 106 + 9,806(13.600 0,3 998 2) = 2,0593 m . 830 9,806 3.2. S se calculeze adncimea minim, h, a apei, astfel nct stvilarul plan basculant din figura 3.14 s se deschid, rotindu-se fa de axa orizontal ce trece prin punctul A. Se cunosc: = 65, a = 1 m, = 103 kg/m3 i limea stvilarului b = 3 m. Se neglijeaz greutatea stvilarului, precum i forele de frecare. Rezolvare Coordonatele centrului de presiune se exprim fa de un sistem de axe xOy ales astfel nct axa Ox s aparin att planului stvilarului, ct i planului suprafeei libere a lichidului (figura 3.15). Condiia de deschidere a stvilarului este ca punctul de aplicaie al rezultantei forelor de presiune pe partea scufundat a acestuia s se afle deasupra punctului A. Altfel spus, ordonata yC a centrului de presiune C trebuie s ndeplineasc condiia h yC a. (3.79) sin Pe de alt parte, conform ecuaiei (3.53), particularizat pentru o suprafa plan de form dreptunghiular, cu nlimea prii scufundate h/sin , se poate scrie c 2 h yC = , (3.80) 3 sin iar prin egalarea ecuaiilor (3.79) i (3.80) se obine expresia h a , h 3 a sin , 3 sin care conduce la valoarea h 3 1 sin 65 = 2,719 m . 3.3. Evacuarea apei dintr-un bazin se realizeaz printr-o galerie orizontal, obturat de un stvilar semicilindric, cu raza R = 40 cm i lungimea l = 60 cm, care se poate roti fa de axa orizontal ce trece prin punctul A (figura 3.16). r Se cere s se calculeze modulul forei orizontale F necesar pentru a menine stvilarul nchis, cunoscnd sarcina hidraulic la partea superioar a stvilarului h = 3 m i densitatea apei = 103 kg/m3. Rezolvare Se alege sistemul de axe la care se raporteaz componentele forei de presiune ca n figura 3.17. Ecuaiile (3.57) iau formele particulare R2 F px = g (h + R ) 2 R l ; F py = 0 ; F pz = g l. 2 unde, pentru componenta vertical Fpz s-a recurs la metoda haurilor (figura 3.17). Modulul i orientarea forei de presiune rezultante se pot determina din relaiile Fpz 2 2 2 F p = F px + F py + F pz , = arctg . F px ht = Din ecuaia de momente ale forelor fa de punctul A Fp b F 2 R = 0 se gsete expresia2R Succesiunea calculelor este urmtoarea: F= Fp b = F p R cos 2R = F p cos 2 = F px 2 .Figura 3.16 Figura 3.17

i se obine valoarea

0,4 2 0,6 = 1.478,7 N ; 2 1.478,7 16.003,4 Fp = 16.003,4 2 + 1.478,7 2 = 16.071,6 N ; = arctg = 516' 45" , F = = 8.001,7 N . 16.003,4 2 3.4. S se determine modulul i orientarea rezultantei forelor de presiune care acioneaz pe suprafaa curb a vasului semicilindric din figura 3.18, vas care conine, n jumtatea sa superioar, un gaz sub presiune. Se cunosc urmtoarele: diametrul pistonului d = 0,25 m, raza i lungimea semicilindrului R = 2d, L = 4d, cotele h1 = 3d, h2 = 2d, h3 = 3d, densitile 1 = 1 kg/dm3, 2 = 0,9 kg/dm3 i modulul forei F = 1,8 kN. Rezolvare Se noteaz cu h cota vertical dintre planul interfeei lichid-gaz i planul suprafeei libere virtuale. Se F px = 10 3 9,806(3 + 0,4) 2 0,4 0,6 = 16.003,4 N ; F pz = 103 9,806

30

Capitolul 3. Statica fluidelor

poziioneaz sistemul de axe Oxyz ca n figura 3.19, planul xOy coinciznd cu planul suprafeei libere. Din ecuaia variaiei presiunii se exprim presiunea relativ pr la interfaa lichid-gaz i cota h astfel 4F p pr = + g [1 (h1 h2 ) 2 (h3 + R )] , dar pr = 2 g h h = r . 2 2 g d Asociind indicele l prii cu lichid i indicele g prii cu gaz a vasului, componentele forei de presiune n cele dou zone au expresiile 1 R F pxl = pr + 2 g R L ; F pyl = 0 ; F pzl = 2 g R L h + R 2 L ; 2 4 F pxg = pr R L ; F pyl = 0 ; F pzl = pr R L . Se compun mai nti forele orizontale, respectiv cele verticale F px = Fpxl + F pxg ; F pz = F pzl F pzg , apoi se determin modulul rezultantei i orientarea acesteia Fpz 2 2 2 Fp = Fpx + Fpy + Fpz , = arctg . Fpx Rezultatele numerice sunt prezentate n continuare. 4 1,8 10 3 pr = + 9,806 1 10 3 (0,75 0,5) 0,9 10 3 (0,75 + 0,5) = 28.089 Pa , 0,25 2 28.089 h= = 3,183 m , 0,9 10 3 9,806

[

]

Figura 3.18

Figura 3.19

0,5 F pxl = 28.089 + 0,9 10 3 9,806 0,5 1 = 15.147,7 N , 2 1 F pzl = 0,9 10 3 9,806 0,5 1 3,183 + 0,5 2 1 = 15.778,5 N , 4 F pxg = F pzg = 28.089 0,5 1 = 14.044,5 N ,F px = 15.147,7 + 14.044,5 = 29.192,2 N , F pz = 15.778,5 14.044,5 = 1.734 N ,

F p = 29.192,2 2 + 1.734 2 = 29.243,7 N ; = arctg

Figura 3.20

Figura 3.21

1.734 = 3 23' 58" . 29.192,2 3.5. n peretele despritor, plan vertical, al unui vas deschis care conine ulei i ap, este ncastrat o sfer cu diametrul d = 300 mm (figura 3.20). tiind c: hu = 4,4 m, ha = 3 m, u = 905 kg/m3, a = 998 kg/m3, se cere s se determine modulul i orientarea rezultantei forelor de presiune care acioneaz asupra sferei. Rezolvare Se divizeaz, n mod imaginar, sfera n dou emisfere, prin planul vertical al peretelui despritor, apoi se studiaz, pe rnd, forele de presiune care acioneaz pe cele dou emisfere. Sistemele de axe se poziioneaz ca n figura 3.21. Fiecare din emisfere se proiecteaz astfel: ca un disc n planul yOz, respectiv ca dou jumti de disc suprapuse n planul xOz. Componenta vertical a forei de presiune aferente fiecrei emisfere se stabilete folosind metoda haurilor. Se gsesc astfel expresiile:

d d 2 d 3 F pxu = u g hu + , F pyu = 0 , F pzu = u g , 2 4 12 d d 2 d 3 F pxa = a g ha + , F pya = 0 , F pza = a g , 2 4 12 iar calculele decurg dup cum urmeaz

0,33 0,3 0,32 F pxu = 905 9,806 4,4 + = 2.854,2 N , F pzu = 905 9,806 = 62,7 N , 2 4 12 0,33 0,3 0,32 F pxa = 998 9,806 3 + = 2.179 N , F pzu = 998 9,806 = 69,2 N , 2 4 12 Fpx = Fpxu Fpxa = 675,2 N , Fpz = Fpzu + Fpza = 131,9 N , 131,9 F p = 675,2 2 + 131,9 2 = 688 N ; = arctg = 11 3'13" . 675,2

Hidraulica general

31

3.6. Un vas cilindric vertical deschis (figura 3.22), cu diametrul d = 20 cm i nlimea h = 40 cm, conine lichid pe nlimea de repaus h1 = 30 cm i se rotete uniform n jurul axei sale de simetrie. Se cere s se determine urmtoarele: a) turaia n1 la care suprafaa liber a lichidului atinge limita superioar a vasului; b) turaia n2 la care suprafaa liber a lichidului atinge fundul vasului, precum i nlimea h2 a lichidului din vas dup oprire. Rezolvare. a) Fie A un punct de pe gura vasului, care aparine suprafeei libere (figura 3.23), deci coordonatele sale (R = d/2, z = h) satisfac ecuaia suprafeei libere (3.73), care devine Figura 3.22 Figura 3.23 8 g (h z 01 ) 2 d 2 h = z 01 + 1 1 = . 8g d Pentru aflarea expresiei cotei vrfului paraboloidului z01 se egaleaz volumul de lichid din vas n repaus cu cel din timpul rotirii uniforme cu turaia n1: 1 d 2 d 2 d 2 (h z01 ) z01 = 2h1 h . V1 = h1 = h 4 4 2 4 Relaia dintre viteza unghiular i turaie este 30 n= . Cu datele problemei se obin valorilez01 = 2 0,3 0,4 = 0,2 m , 1 =

8 9,806(0,4 0,2 ) 30 19,805 = 189,12 ture/min . = 19,805 rad/s , n1 = 0,2 b) Cnd paraboloidul suprafeei libere atinge baza vasului, punctul A continu s aparin suprafeei libere i, n plus, z02 = 0, deci ecuaia (3.73) ia forma 8g h 2 d 2 2 . 2 = 8g d Dac se egal