REZOLVAREA SISTEMELOR DE ECUATII LINIARE

Studiem daca sistemul este compatibil Pentru aceasta determinam rangul sistemului (r) si aplicam una din cele doua

teoreme din care ne va rezulta compatibilitatea sau incompatibilitatea sistemului .

• a). Daca sistemul este incompatibil ;• b). Daca sistemul este compatibil nedeterminat (are mai multe

solutii). Pentru gasirea solutiilor unui sistem compatibil procedam astfel :

- alegem determinantul principal , determinantul de ordinul r diferit de zero , si specificam ecuatiile principale , necunoscutele principale (cele continute in determinantul principal) si necunoscutele secundare ale sistemului .

• - pastram din sistemul dat doar ecuatiile principale in care vom trece necunoscutele secundare in dreapta egalului ;

• - vom atribui fiecarui necunoscute secundare cate o valoare arbitrara ;

• - vom rezolva sistemul astfel obtinut cu ajutorul regulii lui Cramer .

• 1. Sa se rezolve sistemul urmator:

;

3211

6432

A

Calculez rangAmin{2,3}=2a11 =2≠0, prin bordare (adaugam o linie si o coloana din matricea A) obtinem

3264 132 zyx

zyxA=

= 4 +4=8 ≠0 d1= => rangA =2 =rang A=> d1

= = dp

=>necunoscute principale x, z; necunoscuta secundara y=α; α R

• sistem de tip Cramer deoarece

• dp= d= =8 ≠0

• dx= = 2+6α-3+6α= 12α- 1 =>

• dz= =6-12α+4+12α= 10 =>

• S={ (12 α -1 /8, α, 5/4 ) / α € R }

3264 132 zyx

zyx

6324 312

zxzx

: Sistemul format din m ecuatii liniare (de gadul intai cu n necunoscute)

(S)

unde aij , bi, ,i {1,…,m}, j {1,…,n }se numeste sistem de m ecuatii liniare cu n necunoscute.

Sistemul (S) se poate scrie sub forma prescurtata:

mnmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxabxaxaxa

2211

22221121

11212111

.............................................

: Un sistem de ecuatii liniare care : - are solutie unica se numeste sistem compatibil

- are o infinitate de solutii se numeste sistem compatibil nedeterminat;

-nu are solutii se numeste sistem incompatibil.

: Sistemul (S) se numeste omogen daca toti termenii liberi sint egali cu zero.

Fie sistemul (S) sistem de n ecuatii cu n necunoscute

A= matricea sistemului

Etapa 1: -se scrie sistemul sub forma matriceala AX = B si se calculeaza detA;

Etapa 2:-daca detA ≠ 0, se calculeaza A-1 ;Etapa 3: -solutia sistemului este X =A-1B. Observatie: Daca detA = 0, atunci sistemul poate fi compatibil nedeterminat

sau incompatibil.

nnnnn

nn

bxaxa

bxaxa

11

11111..................................

nnnn

n

n

aaa

aaaaaa

...............

...

...

21

22221

11211

dd

xdd

xdd

x nn ,,, 2

21

1

nnnnn

nn

bxaxa

bxaxa

11

11111..................................Fie sistemul

Teorema: Daca pentru sistemul de ecuatii liniare (1) d = detA ≠ 0 atunci sistemul este compatibil determinat , iar solutia este data de formulele (2)

unde este determinantul obtinut din d prin inlocuirea coloanei i cu coloana termenilor

liberi , celelalte coloane raminind neschimbate.

Obs: 1). – in conditiile teoremei de mai sus , sistemul (1) se numeste sistem de tip Cramer; 2). – formulele (2) se numesc formulele lui Cramer.

id