ghid mate m4 elev

Investete n oameni !

FONDUL SOCIAL EUROPEAN Programul Operaional Sectorial Dezvoltarea Resurselor Umane 2007 2013 Axa prioritar 2 Corelarea nvrii pe tot parcursul vieii cu piaa muncii Domeniul major de intervenie 2.2 Prevenirea i corectarea prsirii timpurii a colii Titlul proiectului: Educaie, calificare i facilitarea tranziiei spre un loc de munc pentru elevi i tineri cu risc sau n situaie de abandon colar

Numrul de identificare al contractului: POSDRU/8/2.2/S/4/ ID 3024 Beneficiar: Ministerul Educaiei Cercetrii Tineretului i Sportului

NICOLAE PELLEGRINI

MATEMATIC Provocri matematice

Modulul 4

Ghidul elevului

Viitorul incepe la scoala!

2012 Ministerul Educaiei Cercetrii Tineretului i Sportului Toate drepturile sunt rezervate Ministerului Educaiei Cercetrii Tineretului i Sportului Att publicaia ct i fragmente din ea nu pot fi reproduse fr permisiunea Ministerului Educaiei Cercetrii Tineretului i Sportului. Bucureti, 2012

Ministerul Educaiei Cercetrii Tineretului i Sportului Str. Gen. Berthelot 28-30

Sector 1, 010168, Bucureti Tel. Central: 4056200;4056300

e-mail: [email protected]

mailto:[email protected]

Cuprins

Introducere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4Lecie introductiv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

Capitolul I. Date i cerine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81. Mulimi i puin logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102. Ipotez i concluzie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123. Deducia i inducia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144. Logica de toate zilele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

Autoevaluare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

Capitolul II. Numrare i combinatoric . . . . . . . . . . . . 201. Probabiliti i jocuri de noroc . . . . . . . . . . . . . . . . 222. ncercm s numrm? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243. Alegeri i voturi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264. Paradoxuri i dileme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

Autoevaluare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

Capitolul III. Algoritmi i modele . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321. Scheme logice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342. Descompuneri i recompuneri . . . . . . . . . . . . . . . . . 363. Proporionalitate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384. Ecuaii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405. Probleme cu probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426. Funcii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

Autoevaluare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48Cuvnt de final . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

PROGRAMUL A DOUA ANS NIVEL SECUNDAR 3

PROVOCRI MATEMATICE

Introducere

MATEMATIC GHIDUL ELEVULUI4

Iat o nou invitaie la o incursiune n secretele matematicii, ochemare s continum mpreun excursia noastr n aceastdisciplin. Bun venit i succes tuturor! Cine a ajuns la Modulul 4,intitulat provocator Provocri matematice, cu siguran s-a obinuitdeja cu efortul necesar unei asemnea plimbri.

Modulul nostru finalizeaz un drum parcurs, dar i deschideperspective. El recapituleaz i aspecte nvate deja, dar dintr-unanumit punct de vedere nou i fr s-i propun repetiia. Acestnou perspectiv este rezolvarea de probleme, ceea ce constituiechiar esena matematicii. Desigur, vom vedea mpreun cenelegem prin problem, i ce nelegem prin rezolvare.

Am ntlnit diferite probleme i n modulele anterioare, problemepe care nu intenionm s le relum acum. Vom avea, ns, nevoiede cunotinele acumulate pe parcurs i de cunotinele iexperienele personale pe care le avei. Scopul acestui modul estedezvoltarea capacitilor de gndire, pentru c zilnic, n toatesituaiile cotidiene, avem nevoie de acestea, n ncercarea noastrde a face fa provocrilor vieii. Am ales coninuturi noi, care nuau mai aprut n modulele parcurse. Sperm c temele vor fiinteresante, suficient de provocatoare i accesibile, nctparcurgerea lor s nu fie un efort prea mare pentru nimeni.

Ateptm, n urma parcurgerii modulului, s fii mai siguri nluarea de decizii, s avei curajul s cercetai situaii-problem noii s combinai gndirea intuitiv cu cea raional.

Acest modul este structurat pe 35 de ore alocate leciilor i temelorpropriu-zise i orelor de evaluare ntre capitole. Coninutul acestuimodul este grupat n 3 capitole:

Date i cerine Numrare i combinatoric Algoritmi i modele

Ca orice delimitare i mprire pe capitole, i cuprinsul nostru estepuin artificial. Astfel, vom ntlni probleme care s-ar puteainvestiga sub alt titlu de capitol, dar nu acest lucru este important,ci intenia de rezolvare, de soluionare a problemelor.

Ateptm de la voi ca aritmetica, folosirea i operarea cu numere snu fie un obstacol pentru nimeni i ca formele geometrice s fiecunoscute, mpreun cu proprietile lor simple. De asemenea,credem c v-ai familiarizat cu datele, cu statisticile cele mai simplei c prelucrarea datelor nu e strin pentru voi. Completnd acesteelemente, ceea ce prezint modulul nostru duce la formarea uneiimagini de ansamblu despre matematic, despre utilitatea ei nviaa cotidian, chiar dac nu eti matematician sau inginer.

Despre acest ghidGhidul pe care tocmai l citii ofer doar un anumit cadru de lucrupentru voi i profesorul vostru, o posibil orientare a nvrii. Va deveniutil, n msura n care activitile concrete pe care le vei organiza vorntregi oferta ghidului i vor face ca ideile s fie nsuite prin exerciiu.

Leciile au o construcie asemntoare. Fiecare dou pagini de lecieconin trei blocuri, oarecum distincte: un prim bloc care urmrete s vpun n tem, s v orienteze atenia spre un anumit context, un aldoilea bloc n care se dezvolt ideile de pornire i n care se ncearcrealizarea achiziiilor principale i, n sfrit, un al treilea grupaj destinataplicaiilor n i n afara matematicii. ntinderea acestor blocuri difer dela lecie la lecie. Coninutul leciilor este, de cele mai multe ori, unpretext pentru formarea, dezvoltarea i exersarea unor deprinderi, pentruformarea unor aa-numite competene. n acelai timp, consideraileciile ca pre-text, adic text ce urmeaz s se constituie prin activitateavoastr. Astfel, textul ghidului trebuie prelucrat: citit, analizat,reformulat, nlocuit, recompus etc., n funcie de sarcinile de nvare pecare vi le propunei mpreun cu profesorul vostru.

Ghidul v propune s participai la o serie de activiti (de nvare), maimult sau mai puin specifice matematicii. Printre acestea, cel maifrecvent apar exerciiul, discuiile cu colegii, rezolvarea de probleme,dar vom avea i activiti de proiect. n cadrul acestor activitispecifice, este de mare importan s deosebii informaia relevant decea irelevant, s elaborai strategii de tratare i rezolvare a situaiei-problem, s formulai ceea ce este de fcut ntr-un limbaj ct mainatural i, poate cel mai semnificativ aspect, s argumentai demersulvostru, s susinei modul n care ai judecat.

Ghidul v va oferi posibilitatea s v formulai cteva idei de proiect,dac acestea corespund ateptrilor voastre. Iat i aici cteva sugestii. Oprim tem poate fi legat de jocuri i de strategiile aferente acestora, unfel de mini-studiu comparativ al jocurilor mai cunoscute, fie de noroc,fie jocuri strategice. Un alt proiect se poate referi la algoritmii cei maicunoscui. Ca produs al acestui proiect se poate imagina, de exemplu, oculegere de probleme. De asemenea, v putei referi la aplicaiilematematicii n arhitectur, art plastic, sau orice alt domeniu care esten interesul vostru.

Ghidul pune un accent deosebit pe aspecte care, de regul, nu suntamintite n manualele de matematic. Este vorba de trimiteri spre altedomenii ale cunoaterii, aparent nematematice, aa cum, probabil, v-aobinuit deja modulul despre forme. Vrem s v convingem din nou c ogndire matematic, ordonat i raional poate fi de mare folos ntr-o seriede situaii-problem, chiar dac nu e singurul mod de abordare a acestora.

S nu v ateptai ca acest ghid s prezinte un tablou complet. Esteimposibil s avem un inventar al problemelor, chiar i al celor maifrecvente. Nici nu avem acest scop. Nu vrem s facem o culegere deprobleme de diverse tipuri, ci, dimpotriv, s ncercm o pregtire anoastr pentru probleme noi, nentlnite, strine pentru noi. Merit!


PROVOCRI MATEMATICE

Lecie introductiv


Orice problem ar fi n atenia noastr, recomandm s ncercai ct mai frecventorganizarea informaiei noi, s folosii diveri organizatori, grafici, sau de alt natur.

Iat un exemplu. n primulcapitol vei discuta desprediferenele dintre deducie iinducie, aa cum aparacestea n gndirea noastr, nmatematic sau n contextemai largi. Pentru o nelegeremai simpl a fenomenului,poate ajuta, cu siguran, cevade felul urmtor:

nsui desenul sugereaz esena: deducia trimite de la general la particular, dinexterior spre interior, de la general la particular. n cazul induciei, desenul neamintete contrariul.

Putei explica ce neles are desenul pentru voi?Asemenea reprezentri putei face cu uurin. Profesorul vostru v va ajuta, cusiguran. Putei folosi tabele, grafice, desene, scheme, planuri, .a.m.d., nfuncie de scopul pe care l avei i de natura problemei.

n introducere, s vedem mpreun o problem, pe care vrem s o analizm nspiritul acestui ghid. Iat situaia:Pe o strad a unui ora se afl o benzinrie. La un moment dat, pe parteacealalt a strzii, se deschide o alt benzinrie, aproape de prima. Exist o lege,care permite modificarea preului benzinei doar o dat pe lun, exact n data de15 ale fiecrei luni, pn cel trziu la ora 24. Proprietarii celor dou benzinriinu cunosc inteniile lor reciproce de a majora sau nu preul.

i care e problema? ne putem ntreba, pe bun dreptate. O situaie devineproblem, doar dac o percepem ca atare. Dac aa stau lucrurile, atunci ne putemformula o serie de ntrebri care vor dezvlui caracterul de problem. Spre exemplu:

1. Se apropie data de 15. Majorm sau nu majorm preul?

2. Avem vreun motiv s majorm?

3. Ce va face benzinria vecin? Va majora i ea?

4. (ntrebarea voastr) ____________________________________________________

5. (ntrebarea voastr) ____________________________________________________

Fr ntrebri de acest fel, problema nu este problem. Unele ntrebri se leagdirect de context, altele mai puin.Care credei c este ntrebarea cea mai arztoare din lista de mai sus?

n toate cazurile, este foarte importants distingem ntre ce tim (dateleproblemei) i ce vrem s aflm(cerinele problemei). De cele maimulte ori nu avem cale direct s aflmrspunsul la ntrebarea noastr.

Pe mine m-ar interesa dac vecinulmrete preul, sau nu, n data de 15.

Credei c ar fi o msur deteapt sm duc s-l ntreb pe patronul vecin?Ar spune, oare, ce intenie are? i chiardac i declar intenia, este sigur c ova respecta pn la miezul nopii?Sau, s ncerc mai bine o rezolvare dealt natur?

n spiritul acestui ghid, DA! ncearc o rezolvare a ta, o strategie ct maiindependent, o soluie care s-i aparin!

Comentarii. Mai important dect soluia problemei este modul n care ajungem (sau nu!)

la ea S-ar putea s nu putem gsi soluie la problema noastr S-ar putea s gsim mai multe rezolvri

Discutai n clas despre aspectele prezentate mai sus. Alegei spre analiz alttext (alt context de problem), care s v permit discuii similare.

Este important s observai c nu despre probleme de matematic va fi vorba,ci despre probleme cotidiene, pe care vom ncerca s le abordm (i) cu ajutorulmatematicii. Pentru acest lucru, avem nevoie de cteva instrumente:cunotine, deprinderi de lucru i foarte important o atitudine pozitiv fa deaceast provocare.

Putei s dai exemple de cunotine matematice pe care le avei?

(Ajutor: triunghi, numr, ______________________________________________)

Putei exemplifica deprinderi de lucru folosite des n matematic?

(Ajutor: calcul, desenare, ______________________________________________)

Reflectai asupra unor atitudini pe care e bine s le avem n procesul de nvare.Un exemplu: CURIOZITATEA.

Cert este c avem nevoie de o gndire ct mai corect, ct mai raional, cu uncuvnt, de logic. De ce? Iat un exemplu celebru:Un crocodil prinde un copil, dar i promite tatlui acestuia c l las liber, dactatl va ghici ce face el, crocodilul. Tatl spune: Nu l vei lsa pe copilul meu.

Punei-v n rolul crocodilului i gndii-v ce va trebui s facei. S nu uitai, csuntei un crocodil cinstit!


DATE I CERINE

Capitolul I


Provocrile matematice sunt, de fapt, problemele. Problemele pe care trebuie s le nfruntm zi de zi,unele exprimate n limbajul matematicii, altele n mod obinuit. Nu exist rezolvare de probleme fr s ne gndim ordonat, fr s facem apel la reguli i la logic.

n capitolul 1 am grupat acele cunotine introductive i elementele de logic de care avem nevoie nrezolvri de probleme. Temele cu care vei face cunotin sunt:1.1. Mulimi i puin logic;1.2. De la ipotez la concluzie;1.3. Deducie i inducie;1.4. Logica de toate zilele.

Leciile v vor ajuta s v nsuii o serie de termeni i noiuni pe care le vom folosi n ghid. V oferim ointroducere sumar n elementele de logic, necesare n rezolvarea de probleme.

Vom vedea ce nelegem printr-o problem, care sunt datele i cerinele ei, care sunt operaiile logicede baz i cum ajungem de la ipotez la concluzie. Deja din acest capitol vom avea prilejul sdescoperim, s formulm, s rezolvm diferite probleme i s cutm aplicaii ale celor nvate nsituaii i contexte interesante nou.

Capitolul se va parcurge n 8 ore, la care se mai adaug 2 ore destinate evalurii i autoevalurii.

Matematica din jurViaa de zi cu zi este plin de surprize icapcane. De multe ori greim, mai mult sau maipuin, i pltim pentru erorile noastre. De multeori judecm lucrurile i oamenii n mod eronat.O ans bun s ne aprm de greeli este sinem lucrurile i ideile noastre n ordine.Mulimile sunt foarte des utilizate nmatematic, poate ai i auzit, chiar ai i lucratcu ele. n ceea ce privete logica, o exersaizilnic, chiar dac nu v gndii c tocmai ofolosii n raionamentele voastre.Discutai cu colegii despre mulimi i reamintii tot ce tii despre ele.

Descoper i nvaCine seamn se adun, spune un proverb nelept. Obiectele, lucrurile, persoanele careau ceva n comun se pot pune ntr-o singur mulime. Proprietatea comun a elementeloreste definitorie pentru mulime. Spre exemplu, taximetrele aparinnd aceleiai firme dinoraul Arad constituie, dac ne este util s gndimastfel, o mulime bine definit. Cmile din dulapformeaz o alt mulime, precum i toate numerelenaturale, spre exemplu.

Mulimile sunt formate din elemente. Dac unelement face parte din mulime, spunem c aparinemulimii. Formal, scriem aa: a M, ceea ce nseamnc elementul a aparine mulimii M. Interpretaidesenul alturat:

ntr-un mod destul de abstract, mulimea A,format din acele elemente x care au proprietateacomun, definitorie P, este scris astfel:

A = {x | P(x)}

Spre exemplu, M = {x | x N, x < 4} este, evident, format din 0,1, 2 i 3. Putem scrielinitii: {x | x N, x < 4} = {0,1,2,3}. N este simbolul mulimii numerelor naturale, deciN = {0,1,2,3,4,5.}.

Proprietatea notat cu P este o afirmaie, o propoziie n care avem i un predicat. Dup legileuzuale ale gndirii, o propoziie este sau adevrat, sau fals, nu exist o a treia alternativ.Adevrat i fals sunt numite valori de adevr. Gsii exemple de astfel de propoziii? Decideivaloarea de adevr ataat urmtoarelor propoziii: Romnia se afl n Europa este oafirmaie adevrat. Dac o negm spunnd Romnia nu se afl n Europa, ea devine fals.(S observm c negm predicatul!).

Dac P este propoziia n cauz, P va nsemna negarea ei. Citim nonP.n raionament i n vorbire legm propoziiile simple n multe feluri. Cel mai frecvent,

ns, folosim ca operaie de conectare I ori SAU.

DATE I CERINE

Mulimi i puin logic 1


I.

Cum sun?(a) n aceast var vizitez Spania i merg n Frana.;(b) n aceast var vizitez Spania sau merg n Frana..Dac cele dou propoziii, (a) i (b), au aceeai valoare

logic, operaiile I i SAU produc acelai efect? Niciadunarea numerelor nu este acelai lucru cu nmulirea lor.

p I q este adevrat dac p i q sunt ambele adevratep SAU q este adevrat dac cel puin una dintre p sau q

este adevrat.

EXERSEAZDai ct mai multe exemple de situaii n care se potidentifica mulimi. Precizai elementele mulimilor gsite. Folosind imaginea de mai sus, exersai exprimareamatematic pentru apartenen. Cnd enumerm elementele unei mulimi, conteazordinea acestora? Argumenteaz-i prerea. O mulime care nu are nici un element se numete mulimevid i se noteaz cu . Oare ce nseamn notaia {}?Acelai lucru cu ? (ncearc s te gndeti la cutii goale.a.m.d.)

Am neles i pot s aplicExist cteva operaii simple prin care putem construi noimulimi.

Reuniunea, notat prin , se definete astfel:A B = {x | x A sau x B}.

Intersecia, n schimb, notat prin simbolul , estedefinit n felul urmtor:

A B = {x | x A i x B}.Altfel spus, reuniunea mulimilor A i B conine acele

elemente care provin ori din A, ori din B, pe cndintersecia lor este mulimea elementelor comune celordou mulimi.

Identific reuniunea i intersecia pe desenul de mai jos.Ce putem spune despre intersecie n cazul n care

mulimile nu au nici un element comun?Calculeaz A B, apoi A B, dac A = {0, 1, 3, 5},

iar B = {0, 2, 3, 6}.

Dincolo de lecieConstruiete cte dou exemple pentruafirmaii compuse cu operaiile I, respectiv cuSAU, astfel nct ceea ce primeti s fie

adevrat, respectiv fals.Argumenteaz de ce suntpropoziiile astfel obinute adevrate, respectiv false!Pune acest exerciiu rezolvat n portofoliul tu.


Limba vorbit n situaii

cotidiene este mult mai

nuanat, mult mai complex

i flexibil dect un limbaj

tiinific, riguros. Deseori,

nici mcar nu ne punem

problema s decidem asupra

valorii de adevr a unei

propoziii, doar vorbim i

comunicm, pur i simplu.

Sunt situaii cnd nu putem

decide dac afirmaiile sunt

adevrate sau false.

Ce prere avei despre:

Sptmna aceasta voi

ctiga la Loto?

n creierul nostru, centrul

gndirii logice este localizat

n emisfera stng. tiina de

astzi este capabil s

localizeze anumite regiuni

ale creierului, care sunt

centre ale unor funcii

specifice, spre exemplu

gndirea vizual sau

orientarea n spaiu.

tiai c...?

Logica obinuit este

bivalent, adic folosete

doar valorile de adevr

adevrat i fals. Exist ns

i logici cu mai multe

valori de adevr.

Reine

S observm c datele problemei i cerinele ei se pot completa cu altele, dupinteresele i orientarea acelei persoane care-i formuleaz problema. Deseori, nureproducem problema n cuvinte, ea este sesizat i perceput doar n gnd.n modul cel mai firesc, ncercm s gsim o rezolvare, o soluie pentru problema noastr.n cazul de mai sus:

alegerea vitezei adecvate, sau schimbarea frecvent a benzilor de circulaie, sau folosirea acelor experiene pe care le-am dobndit pe acelai drum, cu alte ocazii,

sau ______________________________________________________________________________

Soluia este doar imaginat, pregtit n mintea noastr. Ca s se rezolve problema,soluia trebuie ncercat, paii imaginai ai rezolvrii trebuie parcuri.

Atunci cnd ne exprimm mai matematic, datele problemei se numesc ipoteze, iarcerinele pe care le dorim ndeplinite concluzii.

DATE I CERINE

Ipotez i concluzie 2


Am o problem! vi se pare cunoscut o asemenea afirmaie? Exist o ntreag coleciede probleme (cteodat i soluii), de la procurarea hranei i satisfacerea nevoilor de bazpn la probleme tiinifice i spirituale. n cele mai multe situaii, n ncercarea de arezolva problema, gndirea noastr recurge la logic i produce diferite raionamente, darcolorate de emoii i sentimente de tot felul.Explicai, mpreun cu colegii, ce neles are pentru voi expresia raionament?

Descoper i nvaProblema trebuie mai nti sesizat, recunoscut i apoi formulat. Suntem pui ndiferite contexte i situaii n care percepem anumite probleme. Iat un exemplu:

Conducem maina pe un bulevard lung de civa km, pe care avem, din loc n loc,semafoare. Constatm c traficul este uniform, dar destul de intens. Deoarece ne grbim,nu vrem s pierdem timpul stnd la culoarea roie a semaforului. Att. Avem doar osituaie, nu i o problem n sine, pn ce nu o percepem noi ca atare. Iat acumproblema:

Cu ce vitez medie s conducem pentru a prinde band verde?Aceasta este problema mea, nu neaprat i a celorlali participani la trafic. Dar s

vedem cte pri are, n general, o problem? Schematic avem:

1. Se dau: 2. Se cer:

bulevardul parcurgerea bulevardului

semafoarele timp minim de parcurs

alte maini respectarea regulilor de circulaie

Matematica din jur

I.

EXERSEAZDistinge ntre ipotez i concluzie n urmtoarele situaii.a. Un obiect cost 120 RON, dar se ieftinete cu 15%. Care este preul nou al produsului?b. Distana pn la destinaie este de 600 km. Ci km mai rmn dac 3/4 din drum s-auparcurs deja?c. O plac de faian are dimensiunile de 20 cm i 40 cm. Avem de acoperit 3m2 deperete. Dac o plac de faian cost 6 lei, ne ajung 300 de lei pentru a achiziionacantitatea necesar de faian?

Alegei alte asemenea probleme i exersai delimitarea ipotezelor de concluzie, adatelor problemei de cerinele ei!


Am neles i pot s aplicIat un text de problem, aa cum gsim n multe cri.Vom face un antrenament folosind acest text:

ntr-un internat de studeni stau 52 de fete. Printreele sunt blonde, sau fete cu ochi albatri, sau fete istee.33 sunt blonde, 37 au ochi albatri, 32 sunt istee. Avemprintre ele 22 de fete care sunt blonde i au ochialbatri, 25 de fete au ochi albatri i sunt istee, iar 20sunt blonde i istee.

Avem de-a face cu o situaie de problem? Formuleaz ntrebri! Desparte ipotezele (datele) de concluzii (cerine)! Extrage i organizeaz datele din textul de mai sus! Cum vom rezolva problema? (Folosii ideile legate de mulimi i operaii cu

mulimi).

Dac ai ntrebat, cumva, cte fete istee avem care nu sunt nici blonde, nici cu ochialbatri, rspunsul corect este 4. Profesorul v va ajuta s gsii soluia la ntrebareavoastr. Dac problema vi se pare prea complicat, putei s o reformulai, considernddoar dou caracteristici, nu trei.

Dincolo de lecien funcie de datele problemei, de ipotezele acceptate, se ncearc obinerea soluiei, deciconstruirea unei rezolvri. Este sigur c se va gsi o asemenea soluie? Invers,s-ar putea ntmpla s gsim mai multe rezolvri acceptabile? n care dintre aceste situaiine aflm depinde de problema n sine i de abilitile noastre de rezolvare.

Rezolvarea de probleme este, n definitiv, un ir de decizii. Spre exemplu:n vltoarea unui parc de distracii, la un moment dat constatm c persoana cu care

eram s-a rtcit. Nu o mai vedem i, chiar dac am striga-o, oricum nu ne-ar auzi. Trebuies ne ntlnim ns cu orice pre!

Rezolvai urmtoarea problem: Decidei cum ar cum ar trebui s se comporte cei doipentru ca ansele de a se regsi s fie ct mai mari?

Este foarte important cum se formuleaz ntrebarea problemei!Strategia pe care o vom urma este bun, n msura n care ne aduce cel mai mare

avantaj.

Matematica din jurDup ce ai recunoscut i ai formulat problema, este normal s cutai soluiile ei. nmatematic, mecanismul cel mai frecvent i cel mai puternic prin care cutm sajungem de la datele problemei la concluziile ei este deducia, iar un ir de deduciiformeaz demonstraia. n viaa cotidian ne rezolvm problemele pe ci empirice, maipuin formale i folosind matematica n mod indirect.Discut cu colegii despre experienele legate derezolvarea de probleme i de cutarea de soluii.ncearc, apoi, s caui o rezolvare de problem dinleciile parcurse i analizeaz paii urmai.

Descoper i nvaVom accepta urmtorul principiu: dac punctul deplecare este adevrat, argumentele deductive vorproduce concluzii adevrate. Spre exemplu:

Dac munceti, merit s fii pltit.Ai muncit, deci, merii plata.

Poate nu spunem de fiecare dat, dar deducia pleacde la un dac i se termin cu un deci. Acel dacdescrie i delimiteaz condiiile problemei, iar deciintroduce ceea ce rezult (sau ce poate rezulta) pe caleraional din datele iniiale.Putei construi alte exemple similare cu cel de sus?Avem, deci, urmtoarea schem:

ipotez concluzie

S considerm acum un exemplu simplu de deducie:(Dac) X face parte din Y. x aparine de X.

(Deci) x aparine de Y.

Spre exemplu: Oraul Deva este n Romnia.

Prietenul meu locuiete n Deva. Deci el locuiete n Romnia.

Identificai ipoteza i concluzia. Cutai alte exemplede tipul acesta!

Gndirea superficial, ns, ne poate conduce uor laerori. S urmrim un exemplu clasic:

Toate vrjitoarele au pisici negre.Vecina mea are o pisic neagr.

Deci vecina mea este o vrjitoare.Cum vi se pare acest raionament? Este evident c nu poate fi dect fals (chiar dac

vecina se comport, uneori, ca o vrjitoare).Construii exemple similare de raionamente greite!


DATE I CERINEI.

Deducia i inducia 3

EXERSEAZUn alt mod de a face raionamente este calea inductiv. nacest fel ncercm s generalizm experienele punctuale,unice i s extindem valabilitatea lor. Dac am ntlnitciva (chiar foarte muli!) copii care erau curioi, suntemtentai s generalizm aceast constatare i s afirmm ctoi copiii sunt curioi.

Evident, un asemenea raionament nu poate fi corect.Ajunge s gsim un singur copil care nu este curios igreeala de gndire devine vizibil. Aceast constatare nunseamn c nu avem i cazuri destule n care induciaproduce concluzii corecte. De exemplu, se constat cnumerele naturale se descompun n factori primi:

1=1, 2=2, 3=3, 4=22, 5=5, 6=23, 7=7, 8=23, 9=32,

Nu chiar uor, dar se poate demonstra, inductiv, caceast proprietate este valabil pentru orice alt numrnatural. Continuai irul de mai sus, scriind nc 10 termenicare urmeaz.

Am neles i pot s aplicDiscutai cu profesorul vostru despre nelesul cuvintelor:formal, empiric, deducie, deductiv, demonstraie. Plecnd de la imaginea a dou mulimi care seintersecteaz, dai exemple de deducii (raionamente)corecte, apoi de deducii greite. (Folosii modelul dinlecie, chiar dac mulimile sunt acum n alt relaie.) Cu ce alte cuvinte i expresii introducem, n vorbireauzual, deduciile noastre i concluziile la care ajungem?Cutai asemenea exemple?

Dincolo de lecieDeduciile, simplificnd total situaia, reprezint drumul dela ipotez la concluzie i corespund, schematic,urmtorului tipar de gndire:

DAC p, ATUNCI q.

(A se nelege: dac are loc ceea ce afirm propoziia p,atunci va avea loc i ceea ce afirm propoziia q). Formal, notm implicaia aceasta cu:

p q

Deocamdat, s ne nelegem c, prin raionament deductiv corect, din adevr rezult totadevr, iar dintr-o ipotez fals poate rezulta orice: i un adevr, dar i un neadevr.Construii exemple de implicaii care conduc la afirmaii adevrate i care conduc laafirmaii false! Analizai-le i argumentai de ce unele vor fi adevrate, iar altele false.Punei aceast lucrare n portofoliul vostru.


Este cunoscut metoda

induciei matematice,

metod prin care se pot

demonstra multe

proprieti interesante, n

special ale numerelor

naturale.

Reine!

Totul este o problem

Marele fizician german Max

Planck a spus odat, n

cadrul unei conferine:

Lumea noastr este plin

de probleme. Acesta, de

exemplu i a artat spre

perete , este pentru mine

peretele din stnga slii,

dar pentru dumneavoastr

este peretele din dreapta.

tiai c...?

DATE I CERINE

Logica de toate zilele 4


Matematica din jurn primele trei lecii am fcut cunotin cu anumiteaspecte ale gndirii logice, ale raionamentului riguros,aa cum le pretinde matematica. n viaa de toate zilele,ns, normele de rigoare sunt nlocuite, mai degrab, cucondiii de eficien i cursivitate ale gndirii. Chiardac folosim des diferite scheme de gndire, rarreflectm asupra corectitudinii i respectrii regulilor.Enumerai regulile de gndire pe care le cunoatei.Discutai despre ele cu colegii!

Descoper i nvan vorbirea curent folosim o serie de cuvinte i expresii care fac referire la ipotezelenoastre, la concluziile ateptate sau la modul n care am gndit.1. Caut nelesul urmtoarelor expresii i explic-le:

evident ______________________________________________________________________ probabil ______________________________________________________________________ prin urmare __________________________________________________________________ sut la sut ___________________________________________________________________ imposibil ____________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________

2. Completeaz lista de mai sus cu alte expresii care se leag de raionamentul nostru icare descriu, oarecum, modul n care gndim!

3. Exist anumite noiuni sau operaii pe care le folosimcu mult uurin, fr un control adecvat al raiunii.De exemplu:

Producia de lapte a crescut n luna iunie cu 18% scrie ziarul, fr s spun la ce se refer procentul de 18%.

Toi japonezii sunt harnici, tie toat lumea. Aadar,noul meu prieten japonez trebuie s fie i el harnic putem afirma, oricare dintre noi, n baza unei prejudeci.

Discutai cu profesorul vostru nelesul cuvntuluiprejudecat!

Nu mai spl mrul, doar n-am s m mbolnvesc chiaracum i chiar eu! spunem, convini c nou nu ni sepoate ntmpla.

Formulai alte asemenea argumente i judeci?

4. n luna ianuarie, temperatura medie a celor apte zile aleprimei sptmni a fost de 3C. nseamn c cel puin ntr-ozi temperatura a fost chiar de 3 C!Nu este chiar aa. De exemplu, se putea ntmpla urmtoarea distribuie a temperaturilor:1C, 4C, 2C, 2C, 1C, 1C, 15C. Media lor este 3C.

Gnditorul lui Rodin

I.

Ceva similar se produce la coal, atunci cndelevul primete media 7, la o not de 4 i una de10, fr s fi rspuns vreodat de 7.

Cutai exemple similare cu cele de mai sus, dinziare, pliante sau alte publicaii!

EXERSEAZ Gndete-te la un prieten sau la o prieten.Adunai, n dou mulimi, cteva dintreobiceiurile voastre, respectiv ale prietenului sauprietenei. (S zicem cititul, mersul n excursii,privitul la TV, fumatul, dansul etc). Reprezentaimulimile prin diagrame. (Atenie, prietenii au, deregul, i obiceiuri comune!) A este rud cu B. B este rud cu C. Atunci i A este rud cuC. Alege csua potrivit:adevrat fals nu pot determina A este prieten cu B. B este prieten cu C. Atunci i A esteprieten cu C. Alege i bifeaz csua potrivit:adevrat fals nu pot determina

Am neles i pot s aplic La jocul de loto 6 din 49 au ieit ctigtoare numerele:2, 17, 23, 25, 36 i 40. Doi juctori, A i B, au pusurmtoarele numere:

A: 3, 11, 29, 31, 46 i 48B: 3, 18, 24, 31, 36 i 44.

Dup cum vedei, nu a ctigat nici unul. Rspundei lantrebarea: Care juctor a fost mai aproape de ctig? Bifaidin nou! Argumentai rspunsul vostru!A B la fel nici unul nu avem date relevante

Dincolo de lecieAvem o serie de ancore, de repere, la care ne raportm nprocesul de gndire. Reflectai asupra urmtorului text:Tatl i fiul se grbeau la un meci important de baschet,cnd maina lor s-a mpotmolit exact pe trecerea cu caleaferat. Tatl ncerca disperat s reporneasc motorul, ntimp ce zgomotul locomotivei se auzea din ce n ce maiaproape.Dup accident, tatl nu a mai rezistat pn la spital. Cndtarga cu biatul grav rnit a ajuns la ua blocului operator,chirurgul, cu voce necat de lacrimi i alb ca varul, a spus: Eu nu l pot opera pe acest pacient. El este biatul meu!.Explicai, n scris, cum este posibil acest lucru, pentru cdoi tai nu poate avea biatul. Ce nu este n regul?


Erorile de gndire, ns,

duc la decizii greite i,

astfel, n loc s scpm de

problemele noastre, ele se

nmulesc ngrijortor.

Acesta este un motiv

pentru care merit s

nvm matematic.

Reine

Dac performana noastr

este extrem de bun sau

extrem de proast ntr-o

anumit situaie, atunci la

urmtoarea manifestare

performana se va modifica

n direcia valorii medii

(spre deosebire de ce spune

intuiia noastr). Acest

fenomen se numete

regresie spre medie. n

viaa cotidian gsim multe

exemple care ilustreaz

aceast regul: serviciile

reuite la tenis,

performanele la examene,

reuita discursurilor

politice etc.

tiai c...?

DATE I CERINE

Autoevaluare I


La sfritul primului capitol, v propunem cteva exerciii pentru evaluare i auto-verificare. Citii cu atenie textul i ncercai s reprezentai i s prelucrai problemele,chiar dac nu le-ai mai ntlnit.

1. Ne gndim la o mulime A. Vom spune c mulimea B este o submulime a mulimii Adac orice element din B aparine i mulimii A. n acest caz, mai spunem c mulimea Beste inclus n mulimea A.S nu confundai incluziunea cu apartenena!

a. Reprezentai prin desen o mulime A n care este inclus o mulime B.b. Mulimea A are 4 elemente i este de forma {a, b, c, d}. Dai exemple de submulimi

ale mulimii A.c. Enumerai toate submulimile lui A. (Facem convenia c pentru orice mulime,

mulimea vid i mulimea iniial sunt considerate ca submulimi ale mulimii date).d. Cte submulimi ai gsit? Oare cte submulimi sunt n caz general, cnd A are n

elemente?

2. Ai ntlnit n lecie operaia I i SAU, prin care conectm dou propoziii. Valoarea deadevr a propoziiei noi depinde de valoarea de adevr a componentelor. De exemplu:

p q p SAU qp q p I q

1 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 0

a. Interpretai primul tabel i completai urmtoarea afirmaie:

p I q este o propoziie _______________, doar atunci dac

_________________________ sunt adevrate.

b. Completai cel de-al doilea tabel. (Dac citii atent, n ghid gsii informaiisuficiente!)

c. Interpretai tabelul al doilea i completai urmtoarea afirmaie:

p SAU q este o propoziie _______________, doar dac

________________________________ sunt false.

3. n tabelul urmtor gsii o serie de afirmaii n legtur cu care trebuie s decidei dacsunt adevrate sau nu.

Afirmaia Adevrat Fals Nu pot decide

Nu neleg matematica.

Toi oamenii sunt muritori.

Nimeni nu e mai presus de lege.

Triunghiurile pot fi asemenea.

22006 < 22007

Dac a = b, atunci b = a.

Eu nu spun adevrul.

1200 : 20 = 15 6

Voi tri 100 de ani.

Alegei afirmaiile care conin negaie n textul lor. Transformai aceste propoziii astfelnct s nu mai fie negative. Analizai valoarea de adevr a propoziiilor astfel obinute.

4. Calculai:a. Distana pn la destinaie este de 800 km. Ci km mai rmn pe mine dac 3/4

din drum s-au parcurs deja azi?b. Un obiect cost 100 RON, dar se scumpete cu 12%. Putem cumpra din 250 RON

dou asemenea produse?

5. 33% dintre elevii unei clase sunt fete, iar 67% biei, 50% sunt brunei, iar 25% suntblonzi. Care afirmaie de mai jos este sigur adevrat?

a. Toi bieii sunt blonzi.b. Unele fete sunt blonde.c. Sunt i biei brunei.d. Toi bieii i toate fetele au culoarea prului la fel.

(Sfaturi: Elaborai un desen sau o schem pentru a nelege mai bine problema. Eliminaiafirmaiile care sunt sigur false.)

6. Analizai corectitudinea urmtorului raionament:Toate ptratele au diagonalele congruente.Toate ptratele sunt i romburi.

Rezult c:Toate romburile au diagonalele congruente.

a. Care sunt ipotezele noastre? Care este concluzia?

I: ____________________________________________________________________________

C: ___________________________________________________________________________

b. Sunt adevrate ipotezele? Este adevrat concluzia?

______________________________________________________________________________

c. Din ipoteze adevrate poate rezulta o concluzie fals?

______________________________________________________________________________


NUMRARE I COMBINATORIC

Capitolul II


Titlul acestui capitol indic de la nceput intenia noastr: regndirea modului n care tim s numrm.n aparen, numratul nu este o problem, pentru c avem impresia cu toii c tim s numrm.Capitolul de fa ne atrage atenia c numratul nu este chiar aa de simplu. n special atunci nu estesimplu, cnd avem multe variante de numrat i metodele uzuale nu ne mai ajut.

Capitolul 2 prezint urmtoarele titluri:2.1. Probabiliti i jocuri de noroc2.2. ncercm s numrm?2.3. Alegeri i voturi2.4. Paradoxuri i dileme

Vei face cunotin cu noiunea de probabilitate, cu referire la jocurile de noroc sau la alte situaii carene sunt cunoscute. Vei exersa anumite proceduri de numrare i vei vedea ce importan au acestean numratul voturilor la alegeri, de exemplu.

De asemenea, vei nva cte ceva despre paradoxuri i despre situaii (aparent) imposibile. Acesteasunt capcane ale gndirii noastre i reprezint cazuri foarte interesante.

Capitolului 2 i sunt alocate 8 ore, completate cu 2 ore destinate evalurii i autoevalurii.

pentru c un singur caz este favorabil pentru ceea ce dorim (apariia stemei se realizeazntr-un singur mod), din dou variante posibile. La aruncarea zarului, faa cu numrul 6va aprea cu probabilitatea 1/6 (sau aproximativ 16,66%), deoarece un singur caz seraporteaz acum la ase posibiliti egal probabile. Cu jocul de loto s mai ateptm puin.

Probabilitatea realizrii unui eveniment este deci un raport: se compar numrul cazurilorfavorabile realizrii evenimentului cu numrul total al cazurilor posibile.

Dac evenimentul este notat cu A, iar probabilitatea realizrii lui cu P, putem scrie maiformal:


Probabiliti i jocuri de noroc 1


Matematica din jurFolosii frecvent expresia probabil? Cnd un eveniment nu vi se pare sigur, este, totui,probabil s se realizeze. Sigur, ai jucat diferite jocuri de noroc, ncepnd cu jocuri de cri,pn la partide de jocuri pe calculator. V-ai dat seama c toate acestea au ceva n comun?Ctigul depinde de noroc, de ans, nu doar de priceperea voastr. Ctigul sau pierderea nusunt deloc sigure, sunt doar probabile. Reflectai asupra nelesului cuvntului probabilamintindu-v de contexte n care l-ai folosit. Discutai despre acest subiect cu colegul debanca.

Descoper i nvaLa nce pu tul meciu lui de fot bal, arbi trularun c o mone d, pentru a deci de care echi -p ale ge ter enul i care va avea lovi tu ra dence put. De fapt nu arbi trul ale ge. Cum cademone da, cu ste ma sau cu paju ra, nu depin -de de arbi tru. Sunt dou an se, dou varian -te de real iza re a eve ni men tu lui: sau ste ma,sau paju ra.

n mul te jocu ri de socie ta te se arun c cuzar ul. Noro cul sau ghi nio nul ale ge acum dinase posi bi li t i, dup acea fa a zar ului careajunge sus dup arun ca re.

La jocul de Loto 6 din 49 situa ia estemai com pli ca t. Se extrag, ntm pl tor, 6nume re din 49, dar care sunt aces tea estedecis, din nou, de soar t, nu de noi.

C apa re ste ma sau paju ra, un punct pefaa de sus a zar ului, dou sau ase, c seextra ge sau nu un anu mit numr sunt eveni-mente egal pro ba bi le. Pro ba bi li ta tea lordepin de de num rul cazu ri lor favo ra bi lereal iz rii eve ni men tu lui stu diat i de num -rul total al cazu ri lor.

Dac aruncm cu moneda, probabilitatea s apar stema este:

II.

EXERSEAZ1. M-am rtcit n pdure. Poteca se bifurc, iar eu, care nutiu drumul bun, aleg la ntmplare ntre stnga i dreapta.Rspundei la ntrebarea: Care este probabilitatea alegeriidrumului bun?2. Care este probabilitatea s te fi nscut n martie? Dar nnoiembrie? Dar ntr-o lun oarecare? Exprimai matematicrspunsul vostru.3. n mod sigur ai jucat jocul de table. Oare ce ans avems obinem dublu ase aruncnd cu dou zaruri?Rspunde la aceste ntrebri folosind formula de calcul alprobabilitii!

Am neles i pot s aplicCunoatei jocul alba-neagra? Oare de ce nu merit s puneipariu c vei ghici unde este obiectul ascuns? Cel care vprovoac la joc are aceleai anse de ctig ca i voi? Exprimaiprobabilitatea ctigului i v vei convinge.

Mai precis: calculai probabilitatea cu care ctig cel carev-a provocat la joc, apoi probabilitatea cu care ai putea cti-ga voi. Ce observai?

Dincolo de lecieAtunci cnd dorim s calculm o probabilitate, avem de aflatdou numere: cel al cazurilor favorabile i numrul total alcazurilor. Acestea sunt probleme de numrare. Numrarea nueste ntotdeauna foarte simpl. Dac sunt multe variante deluat n calcul, lucrurile se complic destul de mult.

Iat o problem de numrare, pe care te invitm s orezolvi n scris. Caut o cale de rezolvare eficient!

Trebuie s schimbm o bancnot de 100 de lei, avnd ladispoziie bancnote mai mici de 10 i de 50 de lei. n ctemoduri putem face acest schimb?

Dar dac putem folosi i bancnote de 1 leu?


Un joc este corect i

cinstit dac ansele de

ctig sunt egale pentru toi

partenerii, adic 50%, n

cazul n care sunt doi

competitori. n acest caz,

decide norocul i strategia

aleas de juctori. Strategia

este calea pe care o

urmeaz un juctor pentru

a-i asigura ctigul.

Reine

Un experiment de

gndire: arunci cu moneda

i notezi rezultatul. Repei

acest exerciiu, de exemplu

de 20 de ori. Ce crezi, vei

avea sigur de 10 ori

stem i de 10 ori

pajur?

Repet exerciiul de 1000

de ori. Vei avea 500 de

stem i 500 de pajur?

(Nu este sigur c avem

aceast repartiie, dar cu

ct repetm mai mult

experimentul, cu att mai

mult rezultatele sunt mai

aproape de probabilitatea

calculat a evenimentului.

Aceasta se numete legea

numerelor mari.)

tiai c...?


ncercm s numrm? 2


Matematica din jurNu avem o zi n viaa noastr n care s nu fim nevoiis numrm ceva. Dac nu altceva, cel puin banii dinbuzunar. De multe ori, ns, numrarea poate devenifoarte complicat, pentru c avem de controlat un marenumr de cazuri, variante sau situaii. Amintii-v deexerciiul din lecia precedent! Vi s-a ntmplat s vsimii n ncurctur ntr-o situaie de numrare? Vi s-antmplat s greii la o numrare? Reflectai asupraacestor ntrebri i discutai cu colegii despreexperienele voastre.

Descoper i nvaIat cel mai simplu caz: dac vrem s rspundem repede la ntrebarea cte numere suntde la 12 la 20, mai toi rspundem: 8! Normal, din moment ce 20 12 = 8, nu? Dacns numrm atent, irul 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20 conine 9 numere, nu 8. Cumar arta calculul n cazul nostru? Dar dac vrem saflm cte numere sunt de la a la b?

Dac avem de numrat doar cteva obiecte, situaiaeste simpl. De la o mrime, ns, numrarea prinnirarea elementelor nu ne mai este posibil. Depild, ce ai face s putei numra cte crmizi suntntr-o grmad mare? Oare ordonarea, punerea n ordinev-ar ajuta ntr-un fel?

n spa te le scrie rii nume re lor se ascun de ceva simi lar.tim cu toii c, de exem plu, 563 nseam n

563 = 5102 + 6101 + 3100, adi c

3 blo cu ri a cte un ele ment, 6 blo cu ri a cte 10elemen te i 5 blo cu ri a cte 100 ele men te chiar dac aveam n gnd o gr ma d dezor do nat, amor f de 563 ele men te.

Explicai n acelai mod, semnificaia altor numere scrise n sistemul de numeraiezecimal!

De multe ori avem de-a face cu un anumit numr de obiecte, pe care le inem n atenianoastr, ns n alt ordine. O asemenea schimbare de ordine, n care nu se modificnumrul obiectelor se numete permutare. Un caz simplu:avem 3 ghivece de flori, s spunem a, b, c, pe care vrem sle aezm n geam. Gsii n cte moduri putem face acestlucru? Un ajutor:

n ce fel ne ajut desenul?Dac permutm 3 obiecte, numrul total al

permutrilor este 6. Acest numr se obine prinprodusul 1.2.3, ceea ce se numete factorial nmatematic, notat cu !. Mai exact, vom scrie 3! = 1.2.3 = 6 sau 4! = 24 etc.

II.

EXERSEAZUn drapel are culorile galben (G), albastru (A) i negru(N), dispuse vertical i arat astfel: G-A-N, ceea censeamn ordinea culorilor de la stnga la dreapta.Rspunde la cerinele de mai jos. Cte drapele diferite aiputea face?Primeti 6 musafiri, pe care vrei s-i aezi la o masrotund. n cte moduri diferite poi face acest lucru?Rezolv aceast problem de numrare.Arunci cu dou zaruri identice. Care este probabilitatea cvei obine dublu ase? n cte moduri poate aprea 6-6pe cele dou cuburi? Dar numrul total al combinaiilor lpoi calcula? Putei dezvolta aceste idei?Este adevrat c 100 < 5! < 120? Ce vom face pentru a gsiun rspuns sigur?

Am neles i pot s aplicn campionatul de fotbal al judeului X particip 16 echipe.Fiecare echip joac cu fiecare alt echip i ntr-osptmn toi joac doar un singur meci. Gsii ctemeciuri se vor organiza, dac se joac n sistemul tur-retur.Notai echipele cu A, B, C etc. i elaborai o planificare ameciurilor combinnd echipele la ntmplare. Putei folosiun tabel n acest scop?

Dincolo de lecieMarele matematician german Carl Friedrich Gauss(1777-1855) era considerat nc de la o vrst foarte mic unmare talent. ntr-o zi, pe vremea cnd era la coala primar,nvtorul le-a cerut copiilor s adune toate numerelenaturale de la 1 la 1000. Probabil c era obosit i spera s seodihneasc pn cnd copiii calculau. Nici nu a terminatbine enunul problemei, c micul Gauss a i venit cu orezolvare neateptat: a observat c1 + 1000 = 1001; 2 + 999 = 1001; 3 + 998 = 1001 .a.m.d.Continuai voi raionamentul i calculai suma.


A calcula i a estimansemn lucruri diferite.

Sunt situaii n care ajungeo estimare, o apreciere, pe

cnd n alte cazuri este

nevoie de un rezultat

precis.

Reine

Legenda spune c

inventatorul jocului de ah

ar fi cerut, drept rsplat, 1

bob de gru pe primul ptrat

al tablei de ah, 2 boabe pe

cel de-al doilea, 4 boabe pe

urmtorul .a.m.d. Adic, pe

fiecare ptrat, exact dublul

numerelor de boabe de gru

de pe ptratul precedent.

Folosind puterile, pe

primele 8 ptrate ale tablei

de ah trebuia s fie 20 = 1,

21 = 2, 22 = 4, 23 = 8, 24 = 16,

25 = 32, 26 = 64, respectiv 27

= 128 boabe de gru. Poi

exprima numrul de boabe

de pe ultimul ptrat?

(Atenie la exponentul lui 2!)

Ai o idee despre ct de mare

este acest numr? Dar dac

adunm toat cantitatea de

pe fiecare ptrat? Rezultatul

este un numr imens.

tiai c...?


Alegeri i voturi 3


Matematica din jurDin patru n patru ani avem an electoral: ne alegemreprezentanii pentru consiliile locale, pentru parlamenti ne dm votul pentru preedintele rii. Participarea laalegeri este un exerciiu democratic i o datorie civic nacelai timp. Dac eti cetean romn i ai peste 18 ani,du-te i voteaz!

Descrierea fenomenului votului are n spate un aparatmatematic complicat. Estimarea preferinelor oameniloreste foarte dificil. Vom ncerca doar s amintim ctevachestiuni interesante legate de alegeri i voturi. Discutai cu colegii despre experienelevoastre legate de vot.

Descoper i nvaDe ce este nevoie pentru a putea vorbi despre o alegere? Evident, alegerea este fcut decineva, de o persoan sau un grup de persoane. Uneori, am vzut deja, n locul nostrualege hazardul, norocul sau ghinionul, iar ceea ce ne revine nou este doar estimareaprobabilitii realizrii unei variante sau a alteia. Spre exemplu:

Experiment Varianta 1 Varianta 2aruncarea cu moneda stema pajuraalegeri n Consiliul Local Popescu Ionescualegerea culorii mainii verde galben

Este spaiu n tabel unde s com ple ta i cu alte exem ple. Comen ta i cui i apar i ne ale ge rea n aces te cazuri.

Stu dia te din punct de vede re mate ma tic, ale ge ri le sunt foar te inter esan te. nainte amvzut exem ple de ale ge ri din dou varian te. Dac num rul varian te lor este mai mare,lucruri le se com pli c.

n exemplul urmtor presupunem c tu decizi, tu eti alegtorul. Ai de analizat treialternative:

A. m voi duce pe jos la locul meu de munc;B. fac o plimbare cu bicicleta pn la locul meu de munc;C. iau tramvaiul i apoi parcurg, pe jos, 100 m pn la locul meu de munc.Ce preferi comparnd varianta A cu B i, separat, varianta B cu C? Folosete simbolul

pentru a nota preferina ta. De exemplu, dac preferi A mai mult dect B, scrie A B.Completeaz urmtorul mic tabel:

A comparat cu B B comparat cu C

Opiunea mea

II.


EXERSEAZncearc acum s reflectezi asupra ntrebrii: rezult, demai sus, preferina mea n ceea ce privete A sau C?.Alegerea ntre mersul pe jos i plimbatul cu bicicleta, apointre plimbatul cu bicicleta i mersul cu tramvaiul are vreoconsecin n alegerea mea ntre mersul pe jos sau cel cutramvaiul?

i ce se ntmpl dac A, B i C desemneaz politicienidintre care vrei s alegi s te reprezinte? i nu vei alege deunul singur, aa c s-ar putea uor ntmpla s ctigecandidatul pe care nici nu l preferi. Dac alegem din trei,dup sistemul de mai sus, nu este sigur nici mcar c vactiga cel care are susinere majoritar. Rspunde la acestentrebri.

Am neles i pot s aplicLa o alegere proporional, reprezentarea celor alei esteproporional cu numrul voturilor acordate. Aa se ntmpln alegerile parlamenta re. Analizai i explicai graficul demai jos, n care procentele exprim numrul locurilor obinu -te n parlament de ctre formaiunile politice. Parlamentulare 321 de locuri. Calculai cte locuri va obine fiecare partidn acest parlament.

Dincolo de lecieCerei profesorului s v explice ce nseamn majoritatea iminoritatea! Ce nseamn expresia alegere democratic? Explicai faptul c n comisiile cu drept de decizie avem,ntotdeauna, un numr impar de membri? Notm cu A,B i C preferinele la o anumit alegere (dintrei variante) i presupunem c avem doar trei alegtori.Rspunde la urmtoarele ntrebri!

a. Cte moduri de ordonare are fiecare alegtor pentrupreferinele sale?

b. Care este numrul total al variantelor celor treialegtori?

Originile alegerilor politice

dateaz din secolul al VI-lea

.Hr., din timpul democraiei

din Atena. Sistemele de vot

s-au dezvoltat mult pe

parcursul istoriei, spre

exemplu n secolul al

XIII-lea, n Statul Veneia i,

mai cu seam, n timpul

Revoluiei Franceze din anii

1770. Intranzitivitatea

preferinelor ntre A, B i C

era descris de marchizul de

Condorcet nc din acei ani.

Reine

S numim paradox

fenomenul n care A este

preferat lui B, B este

preferat lui C, dar C este

preferat lui A. n cazul

descris n Dincolo de lecie,

se poate calcula

probabilitatea ca n urma

exprimrii preferinelor de

ctre cei trei alegtori s

apar paradoxul. Aceast

probabilitate este de

aproximativ 0,05, deci

relativ mic. Dac, ns,

crete numrul alegtorilor

i a variantelor din care se

alege, probabilitatea de a

aprea paradoxul tinde

rapid spre 1. Cu alte

cuvinte, paradoxul apare

aproape sigur!

tiai c...?


Paradoxuri i dileme 4


Matematica din jurn lecia precedent am amintit de paradoxuri n legtur cu voturile i alegerile.Ai mai auzit n vorbirea curent expresia paradox sau paradoxal? Oare censeamn un paradox? Unde le putem ntlni?

Descoper i nvaCunoatem lucruri care par a fi adevrate, dar care sunt, de fapt, false saucontradictorii. Invers, sunt i situaii care ascund contradicii aparente, dar suntde fapt corecte, adevrate. Iat un exemplu celebru:

Achile i broasca estoasLa un concurs de alergare, Achile st la linia de plecare, iar broasca estoas areun avans de 100m. Achile fuge de 100 de ori mai repede dect broasca. n timpce el ajunge acolo unde a fost broasca, aceasta a avansat deja cu 1m. Pn ajungeAchile aici, broasca mai parcurge 1cm, i tot aa, mai departe, pn la infinit.Astfel, Achile nu va ajunge niciodat broasca din urm!

Cum este posibil acest lucru? Simul realitii ne spune c nu poate fi aa! Daratunci unde este greeala n raionamentul de mai sus?(Suma infinit a intervalelor de timp, din ce n ce mai scurte, este totui un timpfinit, exact timpul care i este necesar lui Achile s ajung din urm broasca!)

De mul te ori, para doxul este creat de un cal culnegli jent. Un alt exem plu cele bru:

Trei turi ti nnop tea z la un hotel. Came ra lorcos t 30 Euro i dimi nea a pl tesc fie ca re cte 10Euro. Patro nul obser v, ns, c pre ul corect ar fifost doar 25 Euro i cere recep io ne ru lui snapoi e ze cei 5 Euro. Aces ta se gn de te c 5Euro nu se pot mpr i uor n trei i, mai bineps trea z el 2 Euro ca s retur ne ze turi ti lor dife -ren a de 3 Euro. Ast fel, turi tii au pl tit 9 3 = 27Euro i cu cei 2 Euro ps tra i de recep io neravem 29 Euro. Unde a dis p rut 1 Euro?

Punei-v n locul oricruia din turiti sau n locul patronului i ncercai scompletai tabelul de mai jos!

(Putei nota i invers: debit pentru hotel i credit pentru turiti!)

Debit (cheltuial pt. turiti)

Credit (venit pt. hotel)

Costul real al camerei(patului)Bani lsairecepionerului

II.

De multe ori avem de-a face cu paradoxurivizuale, aa cum ai putut vedea i nModulul 2 (de exemplu, la lecia Realitatesau desen), sau cu situaii n care seamestec vizualul cu calculul defectuos.Avem i acum un exemplu celebru:

Am neles i pot s aplic Reluai exemplul cu crocodilul, din lecia de nceput! Analizai din nou dilema! Ce se ntmpl dac se amestec debitul cu creditul? Este normal s se adune

cheltuielile cu veniturile? Aranjai datele problemei de mai jos n tabel! Reprezentai variantele posibile sub

forma unei matrice! (Profesorul v va ajuta!)

Dincolo de lecie


Sunt prin i doi ru f c to ri care exis t sus pi ci u nea aucomis mpreu n o cri m. Dove zi con cre te nu exist, dareste foar te pro ba bil c ei sunt fp ta ii. Sus pec ii suntnchi i sepa rat n dou celu le, fr s poa t comu ni cantre ei. Jude c to rul face fie c ruia din tre ei urm to a reaofer t, puin neo bi nui t:

Dac TU recu no ti fap ta i EL nea g, te eli be rm, iarcole gul tu pri me te 10 ani i cazul se ncheie.

Dac i tu, i el mr tu ri si i, amn doi pri mi i cte 5 anide nchi so a re i nchi dem cazul.

Dac nici tu, nici el nu recu no a te i nimic, pri mi i cte1 an de nchi so a re i nchi dem dosar ul.

Cole gu lui tu i se va face exact acee a i ofer t ca i ie!.

Care strategie este cea mai bun pentru suspeci: mrturia sau negarea?S ne gndim cu capul unuia dintre suspeci! Continuai raionamentul pe care lncepem mai jos! Completai pe caietele voastre:

1. Dac eu mrturisesc, colegul are dou posibiliti: sau nu Dac i elrecunoate, primesc ani. Dac el nu recunoate, sunt liber.Dac nu mrturisesc, din nou sunt dou situaii, dup cum va reaciona colegul.Dac el , primesc 10 ani i el e liber, iar dac i el mrturisete, primesc 5 ani.E clar c VOI MRTURISI, pentru c astfel pedeapsa probabil este mai mic.Numai c la fel se va gndi i cellalt suspect, deci va depune mrturie i se voralege amndoi cu cte 5 ani de detenie, cu toate c puteau scpa cu doar 1 andac n-ar fi recunoscut nimic nici unul din ei. Aici este DILEMA!

2. Pe de alt parte, pot presupune c rezultatul raionamentului meu va fi identiccu al colegului. Deci dac eu recunosc, va recunoate i el i primim cte 5 ani.Dac eu nu recunosc nimic, nici el nu va recunoate i primim cte 1 an. Aadar,NU RECUNOSC NIMIC. Aici e a doua DILEM!

Care raionament este corect? Ambele? Totui, ele au produs dou rezultate diferite!Altfel spus, adevrata dilem este urmtoarea: cooperm sau nu cooperm nasemenea situaii? (Dac exist asemenea situaii!)


Decizia 5


Matematica din jurPe parcursul leciilor au fost prezentate situaiin care era vorba de decizie. Au fost, deasemenea, exerciii sau probleme de rezolvatn care tocmai decizia corect era elementulcentral. Gsirea soluiei depindea decapacitatea noastr de a lua o decizie corect.Realizai un inventar al acestor probleme,ceea ce va fi, totodat, o bun ocazie derecapitulare.

Descoper i nvanvnd acum despre decizie, nu facem altceva dect selaborm o alt perspectiv despre chestiuni dejadiscutate. Aceasta ns este n sine o alegere, o chestiunede decizie

Decizia presupune existena alternativelor. n lipsaacestora, nu avem ce s decidem. Iat un exemplu.

oseaua trece pe lng localitile A i B, aa cumsugereaz desenul. Trebuie s decidem unde vom construistaia de autobuz, astfel nct distanele de la A, respectivde la B la aceast staie s fie minime.

nainte de a lua decizia, ceea ce nseamn, de fapt, rezolvarea unei probleme, ncercais formulai cteva alternative. n cazul nostru, acestea ar fi poziiile posibile pentru staia deautobuz. S presupunem c vei stabili patru asemenea poziii, notate cu P1, P2, P3, P4,folosind desenul n acest scop. Fiecrei alternative i putem asocia avantaje i dezavantaje,ctiguri i pierderi sau, mai simplu plusuri i minusuri. Pentru a le inventaria, putem folosiun tabel, precum cel de mai jos:

Printre alternative ar trebui s se gseasc i soluia problemei, a crei valoare(utilitar) reiese atunci (i) din tabel. Profesorul v va ajuta s rezolvai corect problema.

II.

Alternativa +

Poziia P1 (de exemplu: aproape de A)(de exemplu: trebuie traversat unpru)

Poziia P2

Poziia P3

Poziia P4

EXERSEAZ Eti la supermarket, unde doreti s cumperi o valiz de oanumit mrime. Ai de ales ntre ase modele, avndpreul, culoarea, materialul i forma diferite. Descrie cum aiputea lua o decizie raional. Folosete un tabel ca i celdin exemplul precedent.

Am neles i pot s aplicAvem patru cri, primele dou cu faa n sus, ultimele cu faan jos. Fiecare carte are pe una din pri ori litera E, ori K, iarpe cealalt fa ori cifra 4, ori cifra 7.

Problema noastr este s decidem care cri trebuieneaprat ntoarse invers, pentru a verifica dac afirmaia demai jos este adevrat: Dac o carte are o vocal pe o fa, pecealalt fa va avea o cifr par. Rezolv problema!

Dincolo de lecieUn exerciiu clasic

Eti invitat s alegi una din urmtoarele dou alternative,notate cu A i B, care descriu ansa unui ctig.

A: ai ansa de 1 la 1000 s ctigi 5000$,B: ai ansa sigur s ctigi 5$.Decide, care este alegerea ta!Exprim ansele date n A i n B sub form de

probabiliti.Discut cu colegii despre alegerea ta. ncearc s argumentezi decizia pe care ai fcut-o.Punei-v urmtoarea ntrebare:Oare, matematic, a ctiga 5000 de dolari, cu ansa de 1 la 1000, nu este acelai lucru

cu cel al ctigului sigur a sumei de 5 dolari?Modelul de mai sus a fost propus de economitii americani Tversky i Kahneman, cel

din urm laureat al Premiului Nobel n 2003.


n viaa noastr privat,

decizia nu este ntotdeauna

rezultatul unui mecanism

raional. Incontient i

dirijat de sentimente,

alegem i decidem deseori

n mod ne-raional. Ne-

raionalitatea deciziei nu

nseamn automat c ea nu

este bun sau c decizia nu

satisface nevoile persoanei

decidente. Ceea ce conteaz

este utilitatea deciziei,

asociat n mod individual

rezultatului.

Ideea raionalitii

limitate a fost introdus n

tiinele economice nc

din 1955, de ctre Herbert

Simon, laureat i el cu

Premiul Nobel.

tiai c...?


Autoevaluare II


V propunem din nou cteva exerciii pentru evaluare i auto-verificare. Recomandm scitii textul cu mare atenie, s ncercai s nelegei i s prelucrai problemele chiardac nu le-ai mai ntlnit.

1. Mai jos avei o list cu afirmaii care descriu evenimente sigure, probabile sau imposibile.Alegei i bifai n dreptul lor varianta corect. (Avei un exemplu.)

Sigur Probabil Imposibil

Ziua de mine va ine 24 de ore.

Cupa Mondial la fotbal va fi ctigat n2010 de Brazilia.

Dac arunc cu zarul, obin un ase. Orice minune ine trei zile.

Ajung cu maina n 10 minute de la Arad laTimioara.

La testul de evaluare obin punctaj maxim.

2. Considerm irul numerelor naturale de la 1 la 1000.a. Cte numere gsim n acest ir care se divid la 3?b. Cte numere gsim n acest ir care se divid la 6?c. Dar care nu se divid nici la 2, nici la 3, nici la 5?

3. Cuvntul rob este scris cu literele R, O, B. Cutai toate permutrile iruluiR O B.

Avem printre acestea cuvinte care au sens?

4. ntr-o familie cu doi copii, cel puin unul este biat. Care este probabilitatea ca al doileacopil s fie fat? Reprezint toate variantele posibile n urmtorul tabel:

Primulcopil

B F

Al

doi

lea

cop

il B

F

Care este varianta imposibil n conformitate cu textul?

5. Mai jos avem suma numerelor naturale pare de la 2 la 1000:

2 + 4 + 6 + 8 + +996 + 998 + 1000

Care este valoarea acestei sume?

6. n desenul de mai jos am redat legarea n serie i legarea n paralel a componentelor.

Componenta A sau B se pot defecta. Estimai probabilitile pentru cazurile descrisemai jos:

7. Pe o insul triesc dou feluri de locuitori: care ntotdeauna spun adevrul care ntotdeauna mint

Am ntrebat un localnic: Tu spui adevrul?a. Care este rspunsul localnicului?b. Descriei modul n care v-ai gndit.

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

8. Extragem la ntmplare un numr din primele o sut de numere naturale. Calculaiprobabilitatea ca numrul extras s fie numr prim!

9. Un zar are dou fee galbene, trei verzi i una neagr. Care este probabilitatea ca duparuncarea zarului s obinem:

a. o fa galben,b. o fa verde,c. o fa neagr?


Legarea n seriefuncioneaz

Legarea n paralelfuncioneaz

A i B defecte

A sau B defecte

A i B bune

A sau B bune

ALGORITMI I MODELE

Capitolul III


Ultima parte a ghidului este o colecie de probleme, adunate pe categorii. n leciile acestui capitol vomregsi majoritatea ideilor prezentate n prima parte, aplicate aici la probleme pe care le considermimportante.

Temele capitolului 3 sunt urmtoarele :3.1. Scheme logice3.2. Descompuneri i recompuneri3.3. Proporionalitate3.4. Ecuaii3.5. Probleme cu probleme3.6. Funcii simple

Dintr-un anumit punct de vedere, foarte multe probleme v cer s descompunei i apoi s recompuneilucrurile. Dac nu altceva, datele problemei cu siguran. Vei vedea din nou proporiile i ctevasituaii de proporionalitate. Vei exersa s reformulai anumite probleme, s le redai ca ecuaii i sle rezolvai sub aceast form.

n ultima parte a capitolului vei nva ce sunt funciile i cum putem modela cu ajutorul lor anumitefenomene ale lumii care ne nconjoar.

Pentru capitolul 3 avei 12 ore la dispoziie i alte 2 ore pentru evaluare i autoevaluare.

ALGORITMI I MODELE

Scheme logice 1


Matematica din jurn mod sigur ntlnii mereu probleme, sub o form sau alta. Unele se rezolv folosinddiverse scheme, diverse mecanisme care conduc la rezultat. Alte probleme sunt maideosebite i rezolvarea lor cere mai mult ingeniozitate. Este cert ns c oricare ar fiproblema, raionamentul corect i logica nu prea se pot pune la o parte. Primul pas, i dedata acesta, este s avem un plan de rezolvare. n acest sens ne pot ajuta schemele logice.Sigur ai elaborat asemenea scheme cnd aveai de rezolvat diferite probleme n viaa voastr.Aducei-v aminte de situaii cnd v-ai stabilit un plan de rezolvare i discutai despre elecu colegii.

Descoper i nvaAlegem urmtoarea problem: splatul hainelor cu mainaautomat de splat.Aparent, acest lucru nu este o problem. Splm att dedes nct rezolvarea acestei sarcini se ntmpl mecanic.S ne uitm, totui, puin mai atent. Iat dateleproblemei noastre:

maina de splat, sursa de curent, sursa de ap rece,hainele murdare, detergentul

Vom avea de parcurs unele proceduri i operaii (mai mult sau mai puinmatematice). n cazul nostru:

n timpul prelucrrii problemei, avem de luat decizii. De exemplu:

Desigur, putem avea mai multe asemenea blocuri de decizie. Formulai alte ntrebriasupra crora trebuie s reflectm? Poate legat de detergent? De duritatea apei? Altele?

punerea hainelor n maina de splat; adugarea detergentului;deschiderea robinetului de ap, conectarea la sursa de curent; alegerea

programului; pornirea

III.

Adugai i momentul de nceput i de sfrit:


Astfel, problema splatului hainelor, chiar i cu mainaautomat, apare SCHEMATIC, n felul urmtor:

Am neles i pot s aplic Construiete o schem logic pentru rezolvareaurmtoarei probleme: ne-am rtcit noraul Berlin, dar avem hart icunoatem limba german. Vrem sgsim gara central. ncearc s elaborezi o schemlogic pentru dilema prizonierului! Elaboreaz o schem logic cedescrie construcia unei case devacan? Dar schema rezolvrii unei ecuaiisimple, de tipul 5x = 20?

Dincolo de lecieSchemele logice sunt organizatorigrafici. Deschide aplicaia Word alunui calculator i caut caseta deForme automate. Vei gsi acolo o serie de imagini grafice care se pot utiliza n prezentareaschemelor logice elaborate. Folosete aceste imagini n prezentarea schemei logice aleunei rezolvri de problem. Tiprete ceea ce ai elaborat i pune-l n portofoliul tu!

Schema logic este o

reprezentare grafic a pailor

din cadrul unui algoritm.

Reine

Algoritmii sunt iruri de

pai sau de proceduri care

conduc la rezolvarea unor

probleme. Desigur, nu orice

problem are soluii i cu

att mai puin soluii

algoritmice. Spre exemplu,

descompunerea n factori

primi a unui numr natural

este un procedeu algoritmic.

Un alt exemplu v-a fost

prezentat n ghidul Forme, la

lecia Modele matematice.

Spirala se poate construi

algoritmic, plecnd de la

irul lui Fibonacci. Putei

desena aceast spiral dup

ce ai aezat i ptratele

corespunztoare n desen.

tiai c...?

Matematica din jurA descompune ceva n componentele sale este oactivitate obinuit pentru toat lumea. Copilul idesface jucria din curiozitate, iar tnrul bicicleta saumotorul. De cele mai multe ori nu descompunerea esteproblema, ci recompunerea, refacerea originalului. Vi s-antmplat s desfacei ceva i s nu mai reuii s l faceila loc? Relatai colegilor despre asemenea experiene.

Descoper i nvaImaginai-v un numr, de exemplu 12. Am mai vzut c aceast scriere ascunde puterilelui 10, coninute n numrul ales, n felul urmtor:

12 = 1 101 + 2 100

Numrul 12 este compus dintr-un 10 i un 2. Oare am putea descompune acest numr(sau orice alt numr natural) i n alt mod?

S ncercm dou idei noi.

1. Descompunerea n sumSpre exemplu, 12 = 3 + 7 + 2. Descompunei n sum acest numr i n alte moduri,folosind

a. doar termeni diferiib. i termeni care s se repeteCte descompuneri gsii?

2. Descompunerea n produsAvem, de exemplu, 12 = 2 6 sau 12 = 1 12 i, astfel, 12 apare ca un produs, nu ca o

sum. n acest caz, factorii n care se descompune numrul se numesc i divizori ai lui.Printre asemenea descompuneri, cea mai important este descompunerea n factori primi.

Un numr natural se numete numr prim dac, n afara lui 1 i el nsui, nu are alidivizori.

Exemple de numere prime: 2, 3, 5, 17, 31, .

Exerciiu. Cutai alte exemple de numere prime i un mod de averifica dac un numr este prim sau nu. (rugai profesorul s vajute dac avei nevoie)

Relund numrul 12, el apare descompus n factori primiastfel: 12 = 22 3

Un rezultat foarte important i celebru, cunoscut deja dinvremea lui Euclid, afirm c:

Orice numr natural se poate descompune n mod unic nfactori primi.

Descompunerea este unic dac ordinea factorilor nuconteaz.

ALGORITMI I MODELE

Descompuneri i recompuneri 2


III.

EXERSEAZ Descompunei n factori primi numerele: 18, 25, 44, 60 i120. Descompunei aceleai numere n sum, n cteva modurialese dup preferin. Rezolvai ecuaia 5x + 10y = 130. Cte soluii gsii? Este perechea (6,10) soluie? Dar (10,6)? Gsii soluii i pentru ecuaia 7x + 10y = 130?

Am neles i pot s aplicn geometrie, un caz tipic de descopunere recompunereeste cel al pavajelor. n varianta cea mai simpl, un pavajacoper o anumit suprafa, utiliznd diverse figurigeometrice plane: triunghiuri, ptrate, hexagoane .a.m.d.,sau combinaii ale acestora. Un pavaj trebuie s fie plcut,estetic. Exist figuri plane cu care se poate acoperi un planfr probleme: figurile se ating perfect, nu se suprapun ivor umple complet planul. Aa se comport, de exemplu,triunghiulechilateral. Rspundei lantrebrile: Rmne adevratafirmaia de mai susdac folosimtriunghiuri oarecare?(nainte de arspunde, ncearcs desenezi, s faci oschi!) Dar dac folosimptrate? Dar hexagoaneregulate?

Dincolo de leciei acum un exerciiu simplu:Baia are o form dreptunghiular, cu o latur de 3 m i una de 2,2 m. Se poate acoperiaceast suprafa cu plci de gresie de dimensiunile 44 20 cm fr s se taie plcile?(Nu lum n considerare rosturile dintre plci!)a) Folosete un desen, o schi la scar pentru rezolvarea acestui exerciiu.b) Explic i argumenteaz, n scris, cum ai judecat.


Descompunerea n factori

primi este un algoritm de

baz n matematic. Este

folosit foarte des, pentru

c, astfel, n multe aplicaii

este mai avantajoas

folosirea scrierii sub form

de produs dect sub form

de sum. Descompunerea

n factori se utilizeaz i n

cazul expresiilor algebrice.

tiai c...?

Deseori avem restricii n

realizarea descompunerii

unui numr. Iat un

exemplu:

Se poate plti suma de 130

lei folosind doar bancnote

de 5 i 10 lei? Dac da, cte

bancnote de fiecare fel se

vor folosi?

Dac analizm atent, se

poate stabili o legtur

ntre textul de mai sus i

expresia:

5x + 10y = 130.

Expresia de mai sus este o

ecuaie. Mai precis, o

ecuaie cu dou

necunoscute,

notate prin x i y.

tiai c...?

Proporionalitate


Matematica din jurAi ncercat vreodat s folosii o carte de bucatesau o reet culinar pentru un anumit fel demncare? Ce putem face dac reeta este formulatpentru o porie de 4 persoane, iar nou ne trebuiede 12? Sau, dimpotriv, doar pentru 2 persoane?Cum vom calcula cantitile necesare? Probabil, vis-a ntmplat s fii nevoii s mrii sau smicorai un desen sau o schi, s modificaicantitatea de vopsea, dar pstrnd nuana pe careai stabilit-o .a.m.d.Spunem c n asemenea cazuri trebuie s pstrm proporia. Reflectai asupra nelesuluiacestui cuvnt i discutai cu colegii despre sensul lui. S vedem despre ce este vorba.

Descoper i nvaAvem mai jos reeta pentru budinc de carne cu sos de smntn, cu urmtoarele ingrediente:1 kg carne de viel sau de purcel, 1 felie de franzel, 1 ceac cu lapte, 75 g unt, 4 ou, sare,piper, salat i sos de smntn. Presupunem c reeta este pentru 4 persoane. Cum vomschimba cantitile dac pregtim acest fel de mncare pentru 16 persoane? Vom modificaproporional fiecare cantitate nmulindu-le, n cazul nostru, cu 4. Completai mai jos:

Dac ai calculat, observai c toate cantitile s-au modificat de acelai numr de ori,adic n mod proporional. Reeta presupune c ingredientele sunt ntr-un anumit raport:dac cretem cantitatea de carne, va crete i cantitatea de ou de exemplu de acelainumr de ori. Asemenea cantiti sunt considerate direct proporionale.

S vedem un alt exemplu! Presupunem c pentru a ajunge n localitatea X avem nevoie de3 ore, dac viteza medie a micrii este de 60 km/h. Ce se va ntmpla dac viteza mediecrete la 90 km/h? Va crete i timpul necesar pentru a parcurge acest drum? Viteza s-a mritde 1,5 ori i, tocmai din aceast cauz, timpul s-a micorat de acelai numr de ori. Unasemenea raport se numete proporionalitate invers. n cazul n care vrem s facem calculecu cantiti direct sau invers proporionale, avem la ndemn regula de trei simpl.Simplificnd lucrurile, s relum exemplele de mai sus. Avem schematic:

Porie de 4 persoane Porie de 16 persoane Porie de 2 persoane

1kg carne

1 felie de franzel

1 ceac cu lapte

75g unt

4 ou

ALGORITMI I MODELEIII.

3

4 persoane .. 75 g unt

16 persoane .. x g unt


ceea ce exprim, n exemplul acesta, c ne-am ntrebat cecantitate de unt este necesar dac pregtim mncare pentru16 persoane. Dac proporionalitatea este direct, vom avea x= (16. 75) / 4 = 300 (g unt). Creterea numrului persoanelorde 4 ori duce la creterea cantitii tot de 4 ori. Altfel spus,avem:

4/16 = 75/x, de unde x = 300.

Am neles i pot s aplicAm ntlnit deja proporionalitatea n modulul intitulatForme, la leciile referitoare la asemnare. De exemplu,dou triunghiuri sunt asemenea dac laturile lor sunt proporionale i unghiurilecongruente, dou cte dou.

Un alt caz tipic este ilustrat prin exerciiul de mai jos:La o lucrare avem alocat suma total de 1800 RON. Aceast sum trebuie mprit n

mod proporional, n funcie de volumul de munc efectuat, ntre trei muncitori. Primula lucrat 5 pri din lucrare, al doilea muncitor 3 pri, iar cel de-al treilea doar o parte.Ct i se cuvine fiecrui muncitor? Rezolvai aceast problem folosind, de exemplu,metoda grafic.

Dincolo de leciencercai s rezolvai aceast problem folosind ca punct deplecare urmtoarea relaie, care exprim proporionalitatea:

x/5 = y/3 = z/1, unde

x,y i z nseamn sumele pe care le vor primi cei treimuncitori.

Argumentai de ce vom mpri 1800 la 9.

Mrimile, chiar dac sunt

n relaie, nu trebuie s fie

neaprat proporionale.

Spre exemplu, dac 10

muncitori pot construi o

cas n 120 de zile, nu

nseamn c 100 de

muncitori, la fel de harnici,

vor termina aceeai

construcie de 10 ori mai

repede, adic n 12 zile.

Reine

O proporie cu totul

special este cea din

seciunea de aur. n

prezentarea cea mai simpl,

aceast valoare apare

atunci cnd avem un

segment de dreapt, cu un

punct pe el, aezat n aa

fel nct lungimea

segmentului ntreg

comparat cu lungimea

segmentului mai mare s

fie aceeai valoare ca i

lungimea segmentului mai

mare comparat cu lungimea

segmentului mai mic. Pe

desen este mult mai

simplu:

AB/AC = AC/CB

tiai c...?

A C B

ALGORITMI I MODELE

Ecuaii 4


Matematica din jurAm vzut n leciile precedente c multe probleme se reduc la cutarea unei(unor) cantiti necunoscute. Diferitele situaii n care ne pune viaa cotidian serezum la cutarea, punerea unor ntrebri adecvate i gsirea rspunsurilor laacestea. Rspunsurile sunt, foarte des, diverse mrimi exprimabile prin numere.ntrebrile noastre se pot exprima n multe situaii pe cale formal, sub formaunor ecuaii.

Descoper i nvaIat un prim exemplu clasic:Suntem proprietari la un mic magazin de haine. Seapropie perioada reducerilor de preuri i ne decidem sreducem preul unui costum cu 25%. Dup puin timphotrm s majorm preul, tot cu 25% din preul actual,i astfel costumul va costa 320 RON.

Ce ntrebare vom pune n mod firesc? Probabil neintereseaz dac preul actual este mai mare sau mai micdect preul iniial.

Notm preul iniial cu x. Reducerea cu 25% din acesta face ca noul pre alcostumului s fie 0,75x. (De ce?)Dac acesta se va mri cu 25% din el, vom putea scrie pentru preul final:0,75x + 0,75x 0,25 = 320.

Aceast expresie este o ecuaie, cu necunoscuta x.Rezolvarea ecuaiei nseamn gsirea acelor valori ale necunoscutei (x, n cazulnostru) pentru care egalitatea este adevrat. (Observai c pentru un numr alesla ntmplare n locul lui x egalul nu este corect!)

Nu orice ecuaie are o form att de simpl. Spre exemplu:Pardoseala bii este de 16 m2 i vrem s o pavm cu 64 de plci de gresie deform ptratic. Ct de mare trebuie s fie plcile de gresie?Care este ntrebarea, ce cutm? Dar datele problemei?Ne ajut i acum o notaie pentru necunoscut? Ce vom nota i cu ce liter? Cumtranscriem problema noastr ntr-o ecuaie?

Am neles i pot s aplic Rezolvai ecuaia din primul exemplu. Cerei ajutorul profesorului i fii ateni la

ordinea operaiilor. Observai ntrebrile din exerciiul al doilea. Reinei c asemenea ntrebri

trebuie s formulai singuri n rezolvarea problemelor!

Rezolvai acum ecuaia 64 x2 = 16. Cte soluii obinem? Cte soluii corespundsituaiei problem care a condus la ecuaie?

ncercai s rezolvai urmtoarele ecuaii pentru a exersa tehnicile de rezolvare:a. 2x + 4,5 = x + 6,3b) 5(3x 1) = 15xc) 3x2 = 27

Analizai numrul soluiilor acestor ecuaii!

V amintii de proporiile din lecia precedent? Deseori, avem o necunoscutntr-o proporie, adic o ecuaie. Ct este valoare lui x din proporia x/5 = 3/7?

Dincolo de lecien problemele reale avem, de regul, mai mult dect o necunoscut. Problemareformulat n limbajul ecuaiilor va necesita mai multe ecuaii pentru gsireanecunoscutelor. Astfel, avem de-a face cu sisteme de ecuaii. Iat un exemplupentru un sistem de ecuaii foarte simplu:5 kg de detergent de dou caliti diferite cost 76 RON. Primul fel de detergentare preul de 16 RON, iar al doilea tip cost 14 RON.

Se nelege de la sine c ne vom ntreba cte kg de detergent avem din fiecare fel.Ne-ar ajuta notaiile i n aceast problem? Cte necunoscute cutm? Ce vomnota cu litere i ce simboluri s folosim? i tot aa, irul ntrebrilor poatecontinua. Cu ct ntrebm mai mult i mai pertinent, cu att vor crete ansele derezolvare a problemei.

O rezolvare: notez cu x cantitatea de detergent de primul fel i cu y cantitatea deal doilea fel. Atunci:

x + y = 516x + 14y = 76

Ecuaiile considerate mpreun formeaz un sistem de ecuaii. Rezolvnd acestsistem (profesorul v va arta cum!), primim pentru x valoarea 3 i pentru y valoarea2. Interpretai rezultatul obinut i reflectai dac soluia este acceptabil sau nu.

tiai c?Soluia sistemului se poate reprezenta ntr-un sistem deaxe de coordonate, cu condiia ca valoarea lui x s fiemsurat pe orizontal, iar a lui y pe axa vertical. Astfel,soluia ne furnizeaz un punct geometric. Acest punct estetocmai intersecia celor dou drepte descrise mai sus deecuaiile sistemului.Gndii-v geometric:

dou drepte se intersecteaz ntotdeauna? pot dou drepte s coincid?

Altfel: cte soluii poate avea un sistem de ecuaii? ncercai s analizai cazurileposibile i s cutai exemple pentru ceea ce gsii.

Exerciiu suplimentar: Cutai alte exemple de sisteme de ecuaii i ncercai s lerezolvai!


ALGORITMI I MODELE

Probleme cu probleme 5


Matematica din jurn lecia aceasta vom ncerca s studiemcteva probleme mai deosebite. Asemeneaprobleme sunt, de fapt, exerciii degndire, de raionament i de decizie. Chiardac nu le ntlnim sub aceast form nviaa de zi cu zi, indirect, ele ne sunt demare folos. Prin rezolvarea lor contribuimla disciplinarea minii noastre, ladezvoltarea gndirii corecte i facem astfelun exerciiu de perseveren. nainte detoate ns, ncercai s inventariaiproblemele mai deosebite pe care le-ai ntlnit i de care v aducei aminte. Discutaidespre modul cum ai ncercat s le rezolvai i ce sentimente ai avut n timpul acesta?

Descoper i nva1. Din motive de simplitate, ne referim la micarea uniform, adic la situaia cnd vitezamicrii rmne neschimbat. Iat situaia:

Pe un fluviu, un vapor parcurge o anumit distan n 4 ore, n sensul curgerii apei.Invers, mpotriva curentului apei, acelai drum ar ine 4 ore i 20 de minute.

nainte de cutarea unei rezolvri, ncercai s v formulai un plan, s punei ntrebriajuttoare, s cutai asemnri ale problemei cu altele pe care poate le-ai mai vzut.

nc ceva: nu att rezultatul este interesant i important, ct modul n care ajungem la el!Notm viteza proprie a vaporului cu v, iar viteza apei cu va. Exprimm drumul parcurs,

care este acelai, i egalm expresiile astfel obinute:

4(v + va) = 13/3(v va).

De aici primim v = 25 va, iar asta nseamn c timpul necesar pentru ca pluta s parcurgdistana este de 104 ore.Discutai n clas rezolvarea acestei ecuaii. Interpretai rezultatul obinut!

2. Un alt caz pe care l prezentm este legat de amestecuri i aliaje. Spunem c titlul unuialiaj este raportul dintre masa metalului preios din acel aliaj i masa total a aliajului.Problema noastr este urmtoarea:

Un aliaj de aur i cupru cntrete 20g i are titlul de 0,850. Ct aur ar trebui sadugm aliajului pentru ca acesta s aib titlul de 0,950?

Putei folosi notaii, ca i n problema precedent. Reformulai problema folosindecuaii.

3. nc un exemplu:Avem 3 obiecte pe care vrem s le mprim la 2 persoane, dar fiecare dintre acesteatrebuie s primeasc cel puin un obiect. n cte moduri se poate face acest lucru?

Pentru rezolvarea acestei probleme v propunem s ncercai metode euristice. Maisimplu: gsii un mod de a numra variantele, folosind o schi sau orice alt metod prin

III.

care v putei organiza aceast munc de cutare. i dinnou: punei ntrebri i rspundei la ele. De exemplu: Care2 obiecte din acele 3? n cte moduri putem alege aceste 2obiecte din obiectele date?

Convingei-v astfel c nu att rspunsul este greu dedat la o ntrebare, ci mai degrab formularea nsi antrebrii!

Am neles i pot s aplicMulte probleme se leag de jocuri. Un joc strategicpresupune aa cum s-a mai vzut o serie de decizii irezolvri de probleme. V propunem un exemplu, un jocpe care l putei ncerca chiar i n clas. Jocul se numetepuncte i linii i se joac n doi, pe o reea de 4 4ptrate, aa cum se vede pe desenul alturat. Folosii n jocdou culori!

Regula jocului: fiecare juctor deseneaz, pe rnd, cuculoarea sa, o linie orizontal sau vertical, unind doupuncte alturate ale reelei. Dac o celul (ptrel de 1 1)are toate laturile de aceeai culoare, se coloreaz i ninterior i respectivul juctor primete o mutare n plus.Mai multe celule alturate i de aceeai culoare formeazun lan. Ctig cel care realizeaz mai multe ptratecolorate cu culoarea sa.

Jocul este aparent simplu, dar strategia de ctig este oproblem destul de complicat, neelucidat complet.

Dincolo de lecientr-un sistem de axe de coordonate construim o reea dedrepte paralele cu axa Ox, apoi cu axa Oy, drepte care trecprin punctele de coordonate ntregi ale axelor. Alegempunctul M de coordonate (3,4).Gsii cte drumuri duc de la O(0,0) la M(3,4)! Elaborai orezolvare a acestei probleme i argumentai n scris soluiagsit.Un drum nseamn un traseu de la O la M, compus dinsegmente care duc doar la dreapta sau n sus.


a) Rezolvarea unei

probleme presupune, mai

nti, elaborarea unui plan.

Acesta este, de fapt, o

strategie de rezolvare,

pentru c alege, dintre toate

posibilitile, calea ce ni se

pare cea mai bun.

b) Verificarea de la final

nseamn s ne convingem

c soluia problemei

satisface la toate cerinele

iniiale.

tiai c...?

Exist n matematic

multe probleme

nerezolvate. Un caz celebru

este al numerelor prime

gemene. Numerele prime

gemene sunt perechile de

numere prime de forma (p,

p + 2). De exemplu: (3, 5)

sau (29, 31).

Se pot gsi i alte exemple

de perechi de numere

prime gemene.

Problema la care ne referim

afirm c exist o infinitate

de perechi de numere

prime gemene. Mai exact,

se ntreab dac este aa

sau nu, deoarece nu se

cunoate o rezolvare a

acestei conjecturi.

tiai c...?

ALGORITMI I MODELE

Funcii 6


Matematica din jurVom reveni, n final, la ideea de model i modelare, prin exemplul, relativ simplu, alfunciilor. Cuvntul funcie este utilizat i n vorbirea curent. Spre exemplu, spunem cadaptm viteza mainii n funcie de condiiile de drum. Cutai alte exemple deutilizarea a acestui cuvnt!

n matematic ns, expresia are un neles bine precizat. De altfel, noiunea de funcieeste una dintre noiunile de baz cele mai des folosite n matematic.

Descoper i nvaLumea n care trim este plin de relaii i corespondene. Multe dintre acestea au fostrecunoscute de oameni i folosite n ncercarea lor de a nelege i modela realitatea. Sobservm cteva exemple:

Codul numeric

personal:

1721117040034

Este vreo coresponden ntre individ i codul lui numeric personal? Sau ntre maini numrul de nmatriculare?

Corespondena care ne intereseaz pe noi presupuneca fiecrui element s i se ataeze, n mod unic, unsingur alt element. Spre exemplu, fiecrui om i putemasocia nlimea lui, fiecrui telefon mobil numrul deapel de pe cartela SIM din aparat, fiecrui traseulungimea sa .a.m.d.

Un exerciiu:Cutai ct mai multe asemenea exemple, n care

exist o coresponden ntre elementele a doumulimi. Identificai aceste mulimi i descriei ncuvinte relaia sau corespondena pe care o descoperii.

Putem reda prin desen, simplificnd lucrurile, celpuin dou situaii diferite:

Numrul de nmatriculare: AR-04-RDC

III.

Care sunt deosebirile ntre aceste dou situaii?Analizai cu atenie mulimile i relaiile dintre

elementele lor. Sgeile simbolizeaz corespondena ntreelemente.

Desenul din figura 1 nu reprezint o funcie, pe cnddesenul 2 da!

Putem vorbi despre funcie dac: fiecrui element dintr-omulime i se asociaz un singur element dintr-o altmulime n baza unei legi sau a unei reguli de asociere.

Dac mulimile sunt A i B, iar regula de corespondeneste f, putem scrie formal

f: A B, ceea ce reprezint funcia despre care vorbim.Mulimea A se numete domeniul de definiie, iar B estedomeniul de valori. Avem funcii n primele exemple? Darn cele gsite de voi n primul exerciiu?

EXERSEAZ Mulimea A are 3 elemente, iar mulimea B are 4. Ctefuncii diferite putem avea definite pe A cu valori n B?Numrai aceste funcii!

Aceasta este o nou problem de numrare. S neimaginm c elementele mulimii B sunt patru cutii goale, ncare vom aeza cele trei elemente ale mulimii A, n toatemodurile posibile.

Primul element se poate pune n oricare din cutii, deciavem 4 posibiliti. Al doilea element are, de asemenea, 4locuri posibile, deci alte 4 posibiliti .a.m.d. Astfel, numrultotal al funciilor este, n cazul nostru, 43.

Am neles i pot s aplicDe cele mai multe ori cel puin n matematic corespondena se face ntre mulimi de numere. Dac acestemulimi sunt tocmai mulimea R a numerelor

reale, atunci funcia se mai poate pune n eviden iprintr-un grafic. Nu este nevoie dect de un sistem de axede coordonate xOy, aa cum l-ai ntlnit n modulul 3.

Iat un exemplu:De pe grafic putem citi cu uurin corespondena

realizat prin funcie, putem vedea ce valoare icorespunde unui anumit x ales de pe axa orizontal.

Simbolic, scriem f: R R, f(x) = 2x + 1.Construii grafi

ghid mate m4 elev

Documents