functii2009_teoriesiprobleme

7/26/2019 functii2009_teoriesiprobleme

http://slidepdf.com/reader/full/functii2009teoriesiprobleme 1/8

Prof. Constantin Obreja, Scoala Nr. 5, Roman

Funcţii

1/8

Definiţie. Dacă A si B snt ml!imi, nmim fnc!ie "e la A la B orice cores#on"en!ă $ntreelementele celor "oă ml!imi care asocia%ă fiecări element "in A n element &i nmai nl"in B. Notăm f'A→B. (l!imea A se nme&te domeniul de definiţie iar B se nme&tecodomeniul fnctiei. )lementl asociat li * se notea%ă c f+* &i se nme&te imaginea lui x

#rin fnc!ia f. (l!imea Im(f)={f(x)| x A} se nme&te imaginea mulţimii A prin funcţia f ,sa -#e scrt- imaginea lui f.

Doă fnc!ii f &i snt eale "acă a acela&i "omeni "e "efini!ie, acela&i co"omeni &if+*+* #entr orice * "in "omenil "e "efini!ie.

Dacă f'A→B este o fnc!ie, atnci ml!imeaG(f)= {(x,f(x))| x A} se nmeste graficul

funcţiei f . a&a"ar +*,0∈+f $nsemnă că*∈A &i f+*0.

A re#re%enta rafic o fnc!ie $nseamnă are#re%enta $ntr-n sistem "e coor"onatecarte%iene ml!imea #nctelor raficlifnc iei

Pentr a re#re%enta rafic o fnc!ie al cări"omeni "e "efini!ie este finit re#re%entămrafic toate #nctele raficli

)*. 2ie f' 3-4,-1,,1,46→R, f+**-1. A7em+f3+-4,-,+-1,-4,+,-1,+1,, +4,16

Nmim funcţie de gradul I au funcţie

liniar! o fnc!ie f'A→B, n"e A, B sntml!imi "e nmere, "ată #rintr-o lee "eforma f+*a*9b, n"e a, b∈R. Nmărl ase nme&te #anta sa coeficientl n:ilaral fnc!iei.

raficl nei fnc!ii liniare este o ml!ime "e #ncte coliniare.

Pentr a re#re%enta rafic o fnc!ie liniară +al cărei "omeni este infinit, este sficient săre#re%entăm "oă #ncte ale raficli iar "rea#ta "eterminată "e ele să o limităm #e "omenil"e "efini!ie al fnc!iei. Ob!inem o "rea#tă +AR, o semi"rea#tă +A+-∞,a sa A+a,∞ nsement +A+a,b sa o renine "e asemenea firi.

f'R →R, f+**94

f+-4⇒A+-4,∈+ff+4⇒B+,4∈+f

f'+-1, ∞→R, f+**94

f+4⇒A+,4∈+ff+4;⇒B+4,;∈+f

f'+-,1→R, f+**94

f+--1⇒A+-,-1∈+ff+1⇒B+1,∈+f

Panta nei fnc!ii liniare e*#rimă tanentatrionometrică a n:ili format "e +f c O*.

Dou! funcţii liniare au graficele paralele ⇔aupantele egale. Dacă #anta nei fnc!ii este #o%iti7ă,atnci fnc!ia este crec!toare< "acă #anta esteneati7ă, atnci fnc!ia este decrec!toare.

Re#re%entarea raficli nei fnc!ii #rin t!ieturi, $nseamnă in"icarea

"irectă a intersec!iilor raficli ca*ele +c=n" e #osibil>. Pentrf+*a*9b a7em * -b/a f+* a




Funcţii liniare" pro#leme tipice

4/8

1. Re#re%enta!i rafic fc!ia f'R →R, f+*4*-;A7=n" o fnc!ie liniară, snt sficiente "oă #ncteale raficli, raficl ei fiin" "rea#ta "eterminată"e cele "oă #ncte. ?n fa#t, 7om la #ncte, #entr a 7erifica coliniaritatea lor. Dacă #nctele nsnt coliniare, n"e7a am re&it.

Obser7a!ie. Pentr "eterminarea celor "oă #ncte #tem la orice 7alori +"in "omenil "e"efini!ie #entr *. @ot&i, snt "e #referat7alorile * &i *1 soltia ecatiei f+*,"eoarece se ob!in "irect intersec!iile c a*ele.Acest mo" "e re#re%entare se nme&tere#re%entare #rin tăietri. Aten!ie, n $ntot"eanare#re%entarea #rin tăietri este #osibilă' trebie cacele "oă 7alori să a#ar!ină "omenili fnc!iei>

4. Determina!i m∈ N, #entr care A+1,∈+f,n"e f+*m4*-1.A+1,∈+f⇒f+1⇒m4-1⇒m4;⇒m∈{4 ,-4}. Cm m∈ N⇒m4

. Determina!i fnc!ia liniară al cărei rafic con!ine #nctele A+-1;,4, B+, -4 &i afla!i "+O, +f.2ie f+*a*9b fnc!ia cătată. Din A+-1;,4∈+f, ob!inem -1;a9b4. Analo, "in B+,-4∈+f, ob!inema9b-4. Re%ol7ăm sisteml format "e cele "oă eca!ii &i ob!inem a-4, b;. Deci fnc!ia cătată are leeaf+*-4*9;. Deoarece se cere "istan!a "e la O la +f, 7om re#re%enta fnc!ia #rin tăietri.)ca!ia f+* are sol!ia 4, "eci $n tabel trecem +#t * 7alorile &i 4.

* 4f+* ; #ct P

OP;, O4, &i cteorema li Pitaora P

54

Constrim O( $năl!ime $n trOP, "e

n"e O( PQ

OQOP ⋅, a"ică

O( 58, . Ptem calcla &i ariatr format "e +f c a*ele sistemli,Sc1⋅c4/4; .a.

;. Dacă f'R →R este o fnc!ie #entr care f+*-44*94-f+, "etermina!i #nctele "e #e raficlfnc!iei care a abscisa eală c or"onata.R%' 2ie 0*-4. Ob!inem *094. ?nlocim #e * $nrela!ia "ată &i ob!inem f+04+09494-f+, a"icăf+0409-f+. 2olosin" armentl stan"ar" +* ,7om a7ea f+*4*9-f+ +Pentr *, rela!ia "e mai ss "e7ine f+4 ⋅9-f+, "e n"e f+, a"ică, "in +, f+*4*9-4*9. Pnctele care a coor"onatele eale snt "eforma P+m,m &i "in P∈+f, ob!inem f+mm,a"ică 4m9m, "eci m &i P+, este #nctlcert.

5.Stabili!i "acă #nctele A+4,-1, B+-,-4 &iC+1,41 snt coliniare.R%. Problema n se re%ol7ă #rin re#re%entare.Determinăm o fnc!ie liniară al cărei rafic săcon!ină "oă "in #nctele "ate &i 7erificăm "acăal treilea #nct a#ar!ine raficli fnc!iei.2ie f+*m*9n astfel $nc=t A,C∈+f.Din A+4,-1∈+f⇒ f +4-1⇒ 4m9n-1 +1Din C+1,4E∈+f⇒ f +14E⇒ 1m9n4E +4Re%ol7ăm sisteml format "e +1 &i +4 &i ăsimm4 &i n-5, a"ică f+*4*-5.Calclăm f+-4⋅+--5-4 ⇒ B+-, -4∈+f &i cm +f"rAC⇒ A, B, C snt coliniare

. Determina!i fnc!ia liniară f, &tiin" că 4f+*949f+*-*-E #entr orice *∈R.R%. Din fliniară ⇒ f+*a*9b, "eci f+*94a+*949b &i f+*-a+*-9b. ?nlocin" $n rela!ia "ată ob!inem,"#ă rer#area termenilor, a*9+a9b*-E. Această rela!ie trebie să fie a"e7ărată #entr orice *∈R ,"eci coeficien ii snt e ali⇒ a i a9b-E "e n"e a4 b- "eci f * 4*-.

E. Determina!i coor"onatele #nctli "e intersec!ie "intre raficele fnc!iilor f, 'R →R, f+*4*-;,

+**94.R%. 2ie P+m,n∈+f∩+ ⇒f+mn &i +mn, "e n"e f+m+m. ?n ca%l "at, a7em 4m-;m9, "en"e m-;. Cm f+-;-E4+-; ⇒P+-;,-E4 este #nctl cătat &i este nic.

* 4 ;f+* -; ;

A B C




Functii, din variantele pentru Testarea Nationala, propuse pentru clasa

a VIII-a in 2007, posibile si in 2009 sau 20xx $ %' 2ie fnctia f' R R ,f+*a*9b snt nmere reale.

a Calclati 7alorile nmerelor a si b stiin" ca f+4 si f+8 b Pentr a4 si b4 re#re%enteti rafic fnctia intr-n sistem "e a*e *O0 c 2ie #nctele (+ <4 , N+-1 < si P+c <.Determinati 7aloarea nmarlireal c astfel incat "re#tele (N si (P sa fie #er#en"iclare.$ &' Consi"eram fnctiile f 'R R ,f+*5-* si 'R R ,+*4*-5. a Re#re%entati rafic fnctia f intr-n sistem "e a*e #er#en"iclare *O0. b Calclati aria c#rinsa intre a*a oronatelor si re#re%entarile rafice alefnctiilor f si . c Calclati 7aloarea smei s+9+;9+59F9+14.$ '' Pnctele A+-1<; si B+4<-5 ∈+f, f'R R, f+*-a*9b. a Calclati 7alorile nmerelor reale a si b. b Determinati aria trin:ili format "e "rea#ta care re#re%inta raficl

fnctiei f'R R , f+**91 si a*ele "e coor"inate O* si O0. c Pnctl P+m< m- a#rtine raficli fnctiei f 'R R, f+* -*91.Calclati 7alorile nmarli real m.$ 'aScrieti coor"onatele #nctli A re#re%entat in fira "e mai jos.. b Determinati nmerele a si b astfel incat fnctia f'R R, f+*a*9b sa a"mitaca re#re%entare rafica "rea#ta OB, n"e B+4<;. c 2ie #ntele C+-< si B+4<;.Calclati "istanta "e la #nctl C la "rea#ta OB

$ ' Se consi"era fnctia f 'R R, f+*+4m-1*9-m, n"e m a#artine R a Determinati 7aloarea nmarli m stiin" ca #nctl A+1 <1 a#artineraficli fnctiei. b Pentr m -1, re#re%entati rafic fnctia intr-n sistem "e a*e

#er#en"iclare *O0. c Pentr m -1, calclati lnimea ra%ei cercli circmscris trin:ili"eterminat "e re#re%entarea rafica a fnctiei f si a*ele sistemli "e coor"onate *O0.$ * ' 2ie mltimile A3+* , 0G4*-09, * a#artine R, 0 a#artine R6 si B3+*,0G*90-5, *∈R, 0∈R6. a Aratati ca #erec:ea "e nmere reale +4 < a#artine mltimii B. b Re#re%entati mltimea A intr-n sistem "e a*e #er#en"iclare *O0. c Determinati intersectia mltimii A c B.$ + ' 2ie fnctiile f 'R R , f +* -4*9 si 'R R ,+*4. a Re#re%entati rafic fnctiile f si intr-n sistem "e a*e *O0. b Calclati aria #atrlaterli format "e re#re%entarile rafice ale fnctiilor f si c a*ele O* si O0. c Calclati 7aloarea #ro"sli #f+-f+1-f+4-F-f+1.$ % ' Se consi"era fnctia f 'R R, f+*4*-;. a Re#re%entati raficl fnctiei intr-n sistem "e a*e #er#en"iclare *O0.

b Calclati tanenta n:ili "intre a*a coor"onatelor si "rea#ta carere#re%inta raficl fnctiei f.

/8




c Determinati nmarl a, intre, #entr care1

,+

+a

a f este nmar intre.

$ %%' a Determinati fnctia f'R R, f+*a%9b, stiin" ca #nctele A+-1<-5 si B+4<1a#artin raficli fnctiei f. b Re#re%entati rafic fnctia f'H-1<;IR, f+*4*- intr-n sistem "e a*e

#er#en"iclare *O0. c Aflati #nctl care a#artine raficli fnctiei f 'R R, f+*4*- si arecoor"onate eale.$ %-' Se "a fnctia f 'R R, f+*a*9b, n"e a si b snt nmere reale. a Aratati ca f+19f+;+49f+. b Pentr a4 si b -; , re#re%entati rafic fnctia f intr-n sistem "e a*e

#er#en"iclare *O0. c Pentr a4 si b -; , aflati 7alorile nmarli real m, stiin" ca #nctl(+4m91 <m4 9 1 se afla #e raficl fnctiei f.$ % ' Se "a fnctiile f 'R R, f+*4*-4 si 'R R, +* +4J * 94

a Calclati f+-9+-. b Re#re%entati raficele celor "oa fnctii c acelasi sistem *O0. c Aflati "istanta "e la #nctl "e intersectie al "re#tei care re#re%intaraficl fnctiei f c a*a or"onatelor la raficl fnctiei .$ % ' Kntr-n sistem "e a*e #er#en"iclare *O0 se consi"era #ncteleA+1 <4 siB+; <8. a Determinati fnctia f 'R R a carei re#re%entare rafica este "rea#ta AB. b Calclati lnimea sementli AB. c Determinati #nctal (+m<n care este mijlocl sementli AB.

$ %+' Se consi"era fnctia f'3<;<86R, f+*;

1 * - 1

a Re#re%entati rafic fnctia intr-n sistem "e a*e #er#en"iclare *O0. b Care "intre #nctele (+;< -1, N+8<1, P+14<4 a#artine raficli fnctiei L c Re%ol7ati inecatia f+*M4*-8.$ ' 2ie fntia f 'R R, f+*m*9n, c m si n nmere reale . Pnctele A+4<m si+< a#artin re#re%entarii rafice a fnctiei f. a Aratati ca m si n -. b Re#re%entati rafic fnctia f intr-n sistem "e a*e #er#en"iclare *O0. c 2ie #nctele C+1 <f+1, "+ <f.Aflati coor"onatele #nctli ), "in

#lan, astfel incat #nctl O+ < sa fie centrl "e retate al trin:ili CD).$ ' 2ie fntia f 'R R, f+*a*9b. a Demonstrati ca este a"e7arata ealitatea f+9f+E4f+5.

b Determinati fnctia f, stiin" ca #nctele A+< si B+4

<4

∈+f.

c Pentr a-4 si b, re%ol7ati inecatia f+*4.$ *' Pnctl A+1<5/4 este comn raficelor fnctiile f'RR, f+*4*9a si 'RR , +* 1,5* - b a Determinati 7alorile nmerelor reale a si b.

b Pentr a 4

1, calclati 7aloarea smei Sf+19f+49f+9F9f+4.

c Daca a 4

1 si b -1, re%ol7ati inecatia f+*4+*91.

$ -' Se "a fnctia f'RR, f+*+a-*9b91, n"e a si b snt nmere reale.

;/8




a Determinati nmerele a si b stiin" ca #nctele A-4<4 si B+<4 a#artinraficl fnctiei. b Pentr a si b1, trasati raficl fnctiei f intr-n sistem "e a*e

#er#en"iclare *O0. c Determinati #ntele "e #e raficl fnctiei f'RR , f+*4, care a

coor"onate eale.$ -%' 2ie fnctiile f'R -M R. f+*

4

1* 9

4

8si 'R -M R. +* +1-m +*9m

a Aratati ca f+5 5 f+5 este nmar natral. b Determinati nmarl real #entr care #nctl D+-5< -1 a#artine

re#re%entarii rafice a fnctiei .c Pentr m1 , re%ol7ati ecatia Gf+*G 9 G+*G

$ -' 2ie fnctia f'R -M R. f+* +a91* 9 5, n"e a este nmar real.a Aflati 7alorile nmarli a #entr care #nctl A+a< 45 a#artine

re#re%entarii rafice a raficli fnctiei f. b Pentr a ;, re#re%entati rafic fnctia f intr-n sistem "e a*e

#er#en"iclare *0.c Pentr a ;, #nctl (+m<n a#artine re#re%entarii rafice a fnctiei f.

Determinati coor"onatele #nctli ( stiin" ca 5GmG GnG

$ -&' Se consi"era fnctia f'R -M R. f+*

1* 4

a Re#re%entati rafic fnctia f intr-n sistem "e a*e #er#en"iclare *0. b Determinati nmarl real m stiin" ca #nctl A+m< 4 se afla #e

re#e%entarea rafica a fnctiei f.c Aratati ca 7aloarea e*#resiei f+b f+a 9 4f +a-b/4 este n nmar intre,

oricare ar fi nmerele reale a si b.

$ -'' Se consi"era fnctia f'R -M R. f+* +4-5* 9 5a Qerificati "aca #nctal A+1< 4 a#artine re#re%entarii rafice a fnctiei b Re%ol7ati, in mltimea nmerelor reale, inecatia' f+* 4 c Determinati nmerele reale a si b #entr care f+a b 9 b5

$ -' Kntr-n sistem "e a*e #er#en"iclare *0 se consi"era #nctele A+-5< , B+5< si C+< 14.

a Re#re%entati cele #ncte in sisteml "e a*e #er#en"iclare *0 b Calclati aria trin:ili ABC.c Determinati fnctia f'R -M R, f+* a* 9 b care are re#re%entare rafica

"rea#ta AC.$ -+' 2ie fnctiile f'R -M R. f+* * 1 si 'R -M R. +* 4*.

a Re#re%entati rafic fnctiile f si in acelasi sistem "e a*e #er#e# *0 b Calclati aria #atrlaterli format "e re#re%entarile rafice ale celor "oafnctii si a*ele "e coor"inate * si 0

c Determinati 7alorile intrei ale nmarli a #entr care ra#ortl f+a / +are#re%inta n nmar intre

$ &' 2ie fnctia f'R -M R. f+* a* 9 b. Pnctele A+1< 5 si B+-4< -1 a#artinre#re%entarii rafice a fnctiei f.

a Re#re%entati rafic fnctia f intr-n sistem "e a*e #er#en"iclare *0 b Determinati nmerele reale a si bc Pentr a 4 si b , "eterminati nmerele reale #entr care f+*∈H-5< I

$ &-' 2ie fnctia f'R -M R. f+* 4* 1

a Re#re%entati rafic fnctia f intr-n sistem "e a*e #er#en"iclare *0

5/8




b Aflati nmarl real a #entr care #nctl C+GaG< 4a91 a#artine re#re%entariirafice a fnctiei f

c Aratati ca nmarl f+1 9 f+4 9 f+ 9 F 9 f+4E este #atrat #erfect.$ &' Se consi"era fnctiile f'R -M R. f+* ,5*4 si 'R -M R. +* -4*9.

a Re%ol7ati in mltimea nmerelor reale ecatia f+* +*

b Re#re%entati rafic fnctiile f si in acelasi sistem "e a*e #er#en"iclare*0c Re#re%entarea rafica a fnctiei interesectea%a a*a * in #nctl P.

Calclati "istanta "e la #nctl P la "rea#ta care re#re%inta raficlfnctiei f.

$ '%/ 2ie fnctia f 'R -M R, f+* * 9 1.a Re#re%entati rafic fnctia f intr-n sistem "e a*e #er#en"iclare *0

b Aratati ca nmarl N 4E 9 4Hf+ 9 f+1 9 f+4 9 F 9 f+45I este #atrat #erfect

c 2iin" "ate #nctele A+1 < 4 si B+-4 < -1, "eterminati coor"onatele #nctli ( sitat #e a*a 0 #entr care sma lnimilor (A si (B este

minima.$ '- / 2ie fnctia f 'R -M R, f+* * 9 4.

a Calclati f+-f+-E b Re#re%entati rafic fnctia f intr-n sistem "e a*e #er#en"iclare *0c 2ie #nctele A+ < f+ si B+4 < f+4. Aflati coor"onatele #nctli C sitat

#e a*a *, astfel incat AB BC.$ % / Se consi"era fnctiile f' R -M R, f+* 4* 9 5 < ' R -M R, +* * 9 4

a Re#re%entati rafic fnctiile f si in acelasi sistem "e a*e #er#en"iclare*0

b Determinati #nctl "e intersectie al re#r rafice ale fnctiilor f si c Determinati aria trin:ili format "e a*a 0 si re#re%entarile rafice

fnctiilor f si $ + / 2ie fnctia f 'R -M R, f+* +1 - * - 8

a Calclati 7aloarea fnctiei #entr * -1 b Re%ol7ati in mltimea nmerelor natrale, inecatia f+* 9 1 c Determinati nmerele rationale a si b #entr care f+a 9 1 b

$ %/ Se consi"era fnctia f'R -M R. f+* +a 1 * 9 ba Determinati nmerele natrale a si b stiin" ca re#re%entarea rafica a

fnctiei intersectea%a a*ele "e coor"inate in #nctele (+1< si N+< b Pentr a -4 si b , re#re%entati rafic fnctia intr-n sistem "e a*e

#er#en"iclare *0

c Pentr a -4 si b , calclati "istanta "e la #nctl P+-; < la "rea#tacare re#re%inta raficl fnctiei f $ / Consi"eram fnctia f 'R -M R. f+* 4m* 9 m 4, n"e m este n nmar real

a Pentr m 1, re#re%entati rafic fnctia intr-n sistem "e a*e #er#en"iclare *0

b Determinati coor"onatele #nctli "e intersectie a re#re%entarii raficeale fnctiilor

'R -M R. +* ;* si : 'R -M R. :+* -;* ;c Aratati ca, #entr orice nmar real m, P+-1/4 < -4 a#artine re#re%entarii

rafice a fnctiei f

$ + / 2ie fnctia f ' R -M R, f+* +4a 9 * 9 1

/8




a Determinati 7alorile nmarli natral a, stiin" ca #nctl A+a < se afla #e re#re%entarea rafica a fnctiei f

b Pentr a 1 re#re%entati rafic fnctia f intr-n sistem "e a*e #er#en"iclar *0

c Pentr a -1, aratati ca nmarl N f+n f+n94 9 1 este #atrat #erfect,

oricare ar fi n a#artinan" mltimii nmerelor natrale$ * / 2ie fnctia f 'H-4 < I -M R. f+* *

a Qerificati "aca #nctele D+1 <1, P+-1 < -1 si +- < -4 a#artin re#re%entariirafice a fnctiei f

b Re#re%entati rafic fnctia f intr-n sistem "e a*e #er#en"iclare *0c Re%ol7ati in mltimea nmerelor natrale inecatia ; f+* - *4 T ;

$ *% / 2ie fnctia f' R-M R, f+* 4* 9 1a Calclati f+4 f+4 1

b Re#re%entati rafic fnctia f intr-n sistem "e a*e #er#en"iclare *0c Aratati ca #entr orice n a#artinan" li N, nmarl

nn f f f f 4,I+...,8+,4+,1+H −++++ este natral$ */ 2ie fnctia f'R -M R, f+* * 9 4, 'R -M R, +* * 9 ;.

a Aratati ca f+* +* +*+* 9 * 9 8, oricare ar fi * nmar real. b Re#re%entati rafic fnctiile f si in acelasi sistem "e a*e #er# *0c 2ie n #nct oarecare ( sitat #e re#re%entarea rafica a fnctiei .

Determinati "istanta "e la #nctl ( la re#re%entarea rafica a fnctitiei f.$ ** / Se consi"era #nctele A+-1 < 5 si B+ < ; si fnctia f 'R -M R,f+* a* 9 b, n"e a si b snt nmere reale

a Determinati fnctia f, stiin" ca #nctele A si B a#artin "re#tei carere#re%inta raficl fnctiei

b Calclati lnimea sementli AB

c Pentr a - 1 si b ;, "eterminati #nctl sitat #e re#re%entarea rafica afnctiei f care are coor"onatele eale$ *+ / Se consi"era fnctia f 'R -M R, f+* m* 9 m 5

a Aflati 7aloarea nmarli real m, stiin" ca #nctl A+4 < a#artinere#re%entarii rafice a fnctiei f

b Pentr m -5, re#re%entati rafic fnctia intr-n sistem "e a*e #er#en"iclare *0

c Pentr m -5, "eterminati #erimetrl trin:ili format "e a*ele *, 0si re#re%entarea rafica a fnctiei f

$ + / Consi"eram fnctia f ' 3 1 < 4 < < 5 6 -M R, f+* * 4a Determinati mltimea 7alorilor fnctiei f

b Re#re%entati rafic fnctia f intr-n sistem "e a*e #er#en"iclare *0c Calclati "istanta "intre #nctl "e abscisa 1 sitat #e re#re%entarearafica a fnctiei f si #nctl P+-4 <

$ +% / 2ie f 'R -M R o fnctie "e forma f+* a* 9 b, n"e a si b snt nmere reale.Re#re%entarea rafica a fnctiei f intersectea%a a*ele "e coor"onate in #nctele A+4 < si B+ < ;

a Re#re%entati rafic fnctia f intr-n sistem "e a*e #er#en"iclare *0 b Determinati fnctia f c Kn sisteml "e a*e #er#en"iclare *0 se consi"era #nctele D+4 < -4 si C

#roiectia #nctli D #e a*a 0. Calclati aria #atrlaterli ABCD

$ +- / 2ie fnctia f 'R -M R , f+* * 9 a Re%ol7ati in mltimea nmerelor natrale ecatia 4f+* f+ f+-4

E/8




b Re#re%entati rafic fnctia f intr-n sistem "e a*e #er#en"iclare *0c Calclati 7aloarea smei f+ 9 f+4 9 f+; 9 F 9 f+4

$ + / 2ie fnctiile f 'R -M R, f+* 4* 4, 'R -M R, +* ,5* 9 1a Calclati f+4 4+

b Re#re%entati rafic fnctiile f si intr-n sistem "e a*e #er#en"iclare *0

c Demonstrati ca, in sisteml "e a*e #er#en"iclare *0, #nctl O+ < seafla la "istanta eala fata "e re#re%entarile rafice ale fnctiilor f si $ ++ / 2ie fnctiile f ' R -M R, f+* -* 9 , ' R -M R, +* -* 9 ;

a Aflati coor"onatele #nctli "e intersectie al re#re%entarilor rafice alefnctiilor f si

b Re#re%entati rafic fnctiile f si , in acelasi sistem "e a*e #er#en"iclare*0

c Calclati aria trin:ili format "e a*a or"onatelor si re#re%entarilerafice ale fnctiilor f si

Func ţii

1. 2ie f'3-4<-1<<1<46→A, f+*-4*91, n"e A3*∈0G G*G≤6. Se cere' a "emonstra!ică f este fnc!ie< b "etermina!i +f &i re#re%enta!i $ntr-n sistem "e coor"onatecarte%iene raficl fnc!iei< c "emonstra!i că m∈1 +m, m9;∈+f-1< ""emonstra!i că m∈1 +m91, ;m-5∈+f∅< e "etermina!i m∈1 #entr care +-4, m49m-1∈+f< f "emonstra!i că f+*f+% ⇔ *% + s#nem că f este injectivă< "emonstra!i că f+*< f+% ⇔ *<% + spunem că f este crescătoare.

4. 2ie f,' 1

1 "oă fnc!ii "ate #rin rela!iile f+*4*91 &i +*4*-5. Se cere' are#re%enta!i $n acela&i sistem "e coor"onate carte%iene raficele celor "oă fnc!ii<

b "etermina!i coor"onatele #nctelor "e intersec!ie "intre raficele fnc!iilor &ia*ele sistemli< c "emonstra!i că +f∩+∅ +"eci, fnc!iile a raficele

#aralele< " fie :'1 1 o fnc!ie care are leea :+*a*9b, n"e a &i b sntnmere reale. Demonstra!i că +f||+: ⇔ a4 &i b≠1. Ce #te!i s#ne "es#reraficele celor "oă fnc!ii "acă a4 &i b1L e "etermina!i fnc!ia liniară i'1 1

al cărei rafic este #aralela #rin A+;5, 1 la raficl fnc!iei f &i re#re%enta!irafic acestă fnc!ie.

. a Determina!i fnc!ia liniară al cărei rafic con!ine #nctele A+, &i B+;,5< barăta!i că #nctele A, B, "efinite la a, C+-1,-5 &i D+4,E snt coliniare< c fie" "rAB, n"e A &i B snt #nctele "e mai ss. Determina!i aria trin:iliformat "e " c a*ele sistemli "e coor"onate, tanenta n:ili asc!it format"e " c a*a O* &i "istan!a "e la O la ".

;. a Demonstra!i că fnc!ia f'1

1 "ată #rin f+*4*-1 7erifică rela!ia f+*-1f+*-

4< b "emonstra!i că "acă '1 1 este liniară, +11 &i +*-1+*-4, atnci f.5. ?ntr-n sistem "e coor"onate carte%iene se consi"eră #nctele A+1,4, B+E,E ,C+;,-

4. Se cere' a "etermina!i f, liniară, a&a $nc=t +fAB< b "etermina!i , liniară,a&a $nc=t +AC< c "etermina!i :, liniară, a&a $nc=t C∈+: &i +:||+f< ""etermina!i i, liniară, a&a $nc=t +i||+ &i B∈+i< e "etermina!i +:∩+i.

. 2ie A+-4,1, B+1,;, C+,1 &i D+,4. Se cere' a "etermina!i fnc!iile liniare alecăror rafice snt "re#tele AB, BC, CD, AD &i "e"ce!i că ABCD este

#araleloram. Determina!i coor"onatele centrli #araleloramli ABCD. Celeătră e*istă $ntre coor"onatele centrli &i coor"onatele 7=rfrilor

#araleloramliL bDetermina!i coor"onatele ni #nct ), &tiin" că AB)C este

#araleloram.

8/8

functii2009_teoriesiprobleme

Documents