fizica22

5/17/2018 Fizica22 - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/fizica22 1/63

1

4. Aplicatii ale ecuatiei lui Schrodinger

4.1 Groapa de potential cu pereti infiniti (impenetrabili)

Particula cuantică în groapa de potenial cu perei impenetrabili

Groapa de potenial unidimensională

Groapa de potenial are forma din figura 7 şi este descrisă de relaia:

0 pentru 0< x<2a U( x)= (1)

∞ în rest

U( x)V= ∞

V= ∞

a x

Fig. 7

Aşadar particula se mişcă liber în interiorul gropii, dar nu poate ieşi afară din ea(cazul electronilor liberi în metale). Soluia ecuaiei Schrödinger va fi scrisă pentruregiunea din interiorul gropii, deoarece particula nu se poate afla în interiorul gropii, deci:

02

22

2

=Ψ+Ψ

E m

dx

d

h(2)

Notând:2

2

2k E

m=

h(3)

relaia (2) devine:

022

2

=Ψ+Ψ

k dx

d (4)



2

şi are soluia:( )ϕ +=Ψ kx Asin (5)

Constantele k şi ϕ se obin din condiiile la limită:Ψ(0)=0 şi Ψ(a)=0

deci:

Asinϕ=0, rezultând ϕ=0şi

Asinka=0, de unde se obine:a

nk

π = (6)

Cunoscând k se obin imediat valorile energiei particulei pe baza relaiei (3)

2

222

2 amn E n

π

=

h(7)

Aşadar condiiile standard ale problemei sunt satisf ăcute doar pentru un şir discretde valori ale energiei E n. Starea în care particula are cea mai mică valoare se numeştestare fundamentală, iar toate celelalte stări sunt stări excitate.

Se poate arăta că aspectul cuantic este pus în evidenă atunci când particulacuantică se află într-o groapă de dimensiuni cuantice, în cazul în care particula se află într-o groapă de dimensiuni clasice comportarea cuantică nefiind sesizabilă. Astfel încazul unui electron ( 31101,9 −⋅=m kg) aflat într-o groapă de lăime clasică (a=1cm),energia stării n este:

152 10−⋅= n E n

eViar distana dintre două nuvele succesive este:

1510)12( −⋅+=∆ n E n

[eV] (8)acest interval energetic fiind extrem de mic, ceea ce face să se considere că particula secomportă ca în cazul clasic (spectrul energetic fiind continuu). Dacă însă se consideră că

electronul se află într-o groapă de dimensiuni cuantice (a=10A°), atunci se obine:110)12( −⋅+=∆ n E

n[eV] (9)

aceasta fiind o diferenă sesizabilă, ceea ce înseamnă că energia este cuantificată.Funcia de undă asociată particulei dată de relaia (5) poate fi complet determinată

utilizând condiia de normare:

∫ =ΨΨa

dx0

* 1 (10)

sau

∫ =a

xdxa

n A

0

221sin

π (11)

de unde rezultă

a A

2=

Încât în funciile proprii asociate valorilor proprii ale energiei vor fi

xa

n

a

π sin

2=Ψ (12)



3

Dacă din punct de vedere clasic o particulă se poate afla cu egală probabilitate înorice punct al gropii, în cazul cuantic, probabilităile de a găsi într-un punct al gropii este

dată de ( )2

xΨ . In figura 8 este reprezentată ( )2

xΨ pentru diefrite valori ale lui n.Se

vede că în stare fundamentală probabilitatea de a afla particula în apropierea pereteluieste nulă în timp ce în centrul gropii probabilitatea este maximă. Se observă de asemeneacă odată cu creşterea numărului cuantic n maximele curbei se apropie, astfel încât lavalori foarte mari ale lui n se obine o repartiie a maximelor ce corespunde stăriimacroscopice (probabilitatea de a găsi particula pe nivelul energetic fiind practic aceeaşipentru orice poziie).

n=3

n=2

n=1

Fig. 8

Groapa de potenial tridimensională

Particula se află în interirul unei cutii de potenial de formă paralelipipedică descrisă de un potenial de forma:

0 pentru 0< x<a 0< y<b

U( x,y,z)=0 0< z<c

∞ în rest

Forma atemporală a ecuaiei Schrödinger în interiorul cutiei se scrie astfel:0

22

2 =Ψ+Ψ∇ E m

h(13)

Condiiile la limită pentru funcie Ψ sunt:0lim

0=Ψ

→→

a x x

(14)



4

0lim0

=Ψ→→

b y y

(15)

0lim0

=Ψ→→

c z z

(16)

ceea ce arată că probabilitatea ca particula şa se găsescă pe pereii cutiei este nulă.

Pentru rezolvarea ecuaiei (13) se utilizeză metoda separării varibilelor, astfel încât vom scrie:

( ) ( ) ( ) z y x 321 Ψ⋅Ψ⋅Ψ=Ψ (17)

După introducerea lui Ψ dat de relaia (17) în ecuaia (13) se obine:

02

32122

2

212

2

312

2

32 =ΨΨΨ+Ψ

ΨΨ+Ψ

ΨΨ+Ψ

ΨΨ E m

dz

d

dy

d

dx

d

h(18)

Împărind relaia (18) la Ψ1Ψ2Ψ3 se obine:

223

2

3

22

2

2

21

2

1

2111

h

mE

z y x−=

∂

Ψ∂

Ψ+

∂

Ψ∂

Ψ+

∂

Ψ∂

Ψ(19)

sau:

23

2

32

22

222

12

1

1121

z y

mE

x ∂

Ψ∂

Ψ−

∂

Ψ∂

Ψ−−=

∂

Ψ∂

Ψ h(20)

Cum termenul din membrul stâng depinde doar de x, iar termenii din partea dreaptă depind de y şi z rezultă că pentru ca relaia (20) să fie adevărată pentru orice x, y. z estenecesar ca

212

12

1

1k

x−=

∂

Ψ∂

Ψ(21)

şi în mod analog

222

22

2

1 k y

−=∂Ψ∂

Ψ(22)

şi

232

32

3

1k

z−=

∂

Ψ∂

Ψ(23)

unde: E m

k k k k 2

223

22

21

2

h==++ (24)

Soluiile ecuaiilor (21), (22) şi (23) sunt de forma:( )111 sin)( ϕ +=Ψ xk A x (25)

( )222 sin)( ϕ +=Ψ xk B x (26)( )333 sin)( ϕ +=Ψ xk C x (27)

inând seama că pentru x=0, y=0 şi z=0, Ψ( x,y,z)=0 rezultă imediat ϕ1=0, ϕ2=0, ϕ3=0.inând seama de faptul că pentru x=a avem Ψ(a)=0 putem scrie:

( ) 0sin 11 ==Ψ ak Aa (28)

deci:a

mk

π =1 , m=1,2… (29)



5

şi în mod similar: ( ) 0sin 22 ==Ψ bk Bb şi ( ) 0sin 33 ==Ψ ck C c , de unde va rezulta:

b

nk

π =2 , n=1,2… (30)

şi

c

p

k

π

=3 , p=1,2… (31)Introducând relaiile ( ), ( ) şi ( ) în ( ) se obin valorile proprii ale energiei

particulei:

++=

2

2

2

2

2

222

2 c

p

b

n

a

m

m E mnp

hπ (32)

Funciile de undă ataşate particulei vor fi:

zc

p y

b

n x

a

m ABC

mnp

π π π sin=Ψ (33)

Din condiia de normare:

1

2

=Ψ∫ dvV rezultă:

abc ABC

8=

încât forma funciilor de undă ortonormate va fi:

zc

p y

b

n x

a

m

abcmnp

π π π sin

8=Ψ (34)

Analizând valorile proprii ale energie date de relaia (32) şi forma funciilorproprii corespunzătoare ale particulei se pot trage următoarele concluzii:a) Cea mai mică valoare a energiei nu poate fi nulă ( 0≠m , 0≠n , 0≠ p );

b) Dacă raportul lungimilor a cel puin două laturi este un număr iraional toate niveleleenergetice sunt nedegenerate;

c) În cazul când două din dimensiunile cutiei sunt egale apare degenerarea, unei valori aenergiei proprii corespunzându-i mai multe funcii proprii;

d) Pentru valori mari ale numerelor m, n, p diferena energetică dintre două nivelevecine devine foarte mică, tinzând către zero în cazul când m, n, p devin foarte mari,astfel încât spectrul energetic discret se transformă într-un spectru continuu.

Bariera de potenial

Bariera de potenial de lungime finită (Treapta de potenial)

În cazul general, prin barieră de potenial, se înelege un domeniu de separaieexistent între alte două domenii, câmpul de fore ce acionează asupra unei particulecuantice fiind definit în domenii diferite.



6

In cazul în care particula cuantică se deplasează într-un domeniu al cărui potenialvariază după legea:

0 pentru x<0U( x)= (1)

U0 pentru 0≥ x

Avem de-a face cu o treaptă de potenial. Atât din punct de vedere clasic cât şi cuantic sepot considera două situaii dacă se ine seama de ărimea energiei totalr a particulei (E) înraport cu mărimea energiei barierei (U0). Asrfel dacă E> U0, în cazul clasic, particula vapătrunde în madiul al doilea, micşorându-şi viteza deoarece o parte din energia sa estetransformată în energie potenială a câmpului de fore pe care îl întâlneşte. Tot în cazulclasic, o particulă ce întâlneşte o barieră a cărei energie potenială depăşeşte energiaparticulei nu va pătrunde în interiorul barierei, întrucât acest lucru ar presupune caparticula să aibe o energie cinetică negativă, ceea ce nu este posibil.

Analiza unei particule ce se comportă cuantic în celed ouă situaii de mai sus ducela cu totul alte rezultate. De aceea vom analiza cele două situaii:

a)

Cazul E> U0.Se scrie ecuaia Schrödinger pentru cele două regiuni. Vom avea:

02

1221

2

=Ψ+Ψ

h

mE

dx

d (2)

0)(2

20222

2

=Ψ−+Ψ

U E m

dx

d

h ( )0≥ x (3)

Notând

2

21

2

h

mE k = şi )(

2022 U E

mk −=

h(4)

ecuaiile (2) şi (3) devin

012

12

1

2

=Ψ+Ψ k dx

d (5)

022

222

2

=Ψ+Ψ

k dx

d (6)

Soluiile acestor ecuaii sunt:)exp()exp( 11111 xik B xik A −+=Ψ (7)

)exp()exp( 22222 xik B xik A −+=Ψ (8)unde k 1 şi k 2 sunt numerele de undă asociate particulelor în cele două regiuni. În relaia(7) termenul )exp( 11 xik A reprezintă unda de Broglie incidentă de amplitudine A1, iar

)exp(11

xik B − este unda de Broglie reflectată de barieră. Termenul )exp(22

xik A din (8)reprezintă unda de Broglie care se deplasează în direcia x-ilor pozitivi. Termenul

)exp( 22 xik B − nu are semnificaie fizică, deoareca el este de forma unei unde reflectate,care însă nupoate exista întrucât în regiunea II nu mai există discontinuitate de potenial.Deci în mediul II funcia asociată undei are forma:

)exp( 222 xik A=Ψ (9)În continuare vom scrie condiiile la graniă ( x= ) pentru funcie şi prima derivată.



7

U( x) U( x)

E U0 E U0

x x Fig. 1 Fig. 2

)0()0( 21 =Ψ==Ψ x x (10)

0

2

0

1

==

Ψ=

Ψ

x x dx

d

dx

d (11)

deci:

211 A B A =+ (12)

221111 Aik Bik Aik =− (13)Din sistemul format din ecuaiile (12) şi (13) rezultă:

121

12

2 A

k k

k A

+= (14)

şi

121

211 A

k k

k k B

+

−= (15)

astfel încât funciile de undă se scriu acum:

)exp()exp( 1121

21111 xik A

k k

k k xik A −

+−+=Ψ (16)

)exp(2

1121

12 xik A

k k

k

+=Ψ (17)

Diferena dintre cazul cuantic şi cel clasic este evidentă, în cazul clasic existând şio undă reflectată în regiunea I )0( 2 ≠ B deşi energia particulei este superioară celei abarierei de potenial. Faptul acesta se datorează comportării ondulatorii a particuleicuantice. Calculăm în continuare reflectana ( R) şi transmitana (T ) ale barierei depotenial.

Reflectana reprezintă probabilitatea ca particula să fie reflectată la frontieradintre cele două domenii, fiind dată de raportul dintre densitatea fluxului de particulereflectate jr şi densitatea fluxului de particule incidente. Transmitana T reprezintă probabilitatea ca particulele să treacă în mediul II şi este egală cu raportul dintredensitatea fluxului de particule transmise şi densitatea fluxului de particule incidente.Deci

i

r

I

J R r= (18)



8

i

t

I

I T r

r

= (19)

unde densităile sunt date de relaii de forma:

( )Ψ∇Ψ−Ψ∇Ψ=

**

2m

i

I

hr

(20)In cazul paticulei libere (particula incidentă) vom avea:

( )

−−Ψ=Ψ px Et i

hexp0 (21)

( )

−−Ψ=Ψ px Et

i

hexp*

0* (22)

Prin introducerea relaiilor (21) şi (22) în (20) se obine:*ΨΨ=

m

p I

rr

(23)

unde2

0* Ψ=ΨΨ (24)

inând seama de relaiile (23) şi (24) se obin uşor expresiile densităilor fluxurilor departicule:

2

1

2

0

22

Am

E

m

p I i

ii =Ψ= (25)

2

1

2

0

22

Bm

E

m

p I r

r r =Ψ= (26)

2

202

0

)(2

2A

m

U E

m

p I t

t

t

−=Ψ= (27)

Utilizând relaiile (25)÷(27)obinem expresiile reflectanei şi transmitanei:2

21

212

1

21

+

−===

k k

k k

A

B

I

I R

i

r (28)

( )221

210

2

1

2

20 4

k k

k

E

U E

A

A

E

U E

I

I T

i

t

+

−=

−== (29)

Înlocuind constantele k 1 şi k 2 în expresiile (28) şi (29) se obine:



9

2

0

0

1

1

−+

−−

=

E

U E

E

U E

R (30)

şi

( )2

0

0 )(4

U E E

U E E T

−+

−= (31)

Calculele arată că pentru cazul E>U0 probabilitatea reflexiei este o mărime mică,crescând rapid cu scăderea lui E, astfel încât pentru E=U0 probabilitaea reflexiei este100%. În experiene efectuate cu electroni nu se observă o astfel de reflexie pentrumotivul că la frontieră potenialul nu variază brusc ci pe o regiune de dimensiuni“macroscopice”.

b) Cazul E<U0

În cele două regiuni ecuaia Schrödinger se scrie:

02

1221

2

=Ψ+Ψ

h

mE

dx

d , x<0 (32)

şi

0)(2

220

22

2

=Ψ−

+Ψ

h

U E m

dx

d , 0≥ x (33)

Făcând notaiile:

h

mE k

21 = şi

h

)(2 02

E U mk

−= ,

soluiile vor fi:)exp()exp()( 11111 xik B xik A x −+=Ψ (34))exp()exp()( 22222 xk B xik A x −+=Ψ (35)

În relaia (35) se vede că pentru cazul când x→∞, fincia este mărginită doar dacă A2=0.Deci

)exp()( 222 xk B x −=Ψ (36)Condiiile de continuitate la frontieră se scriu pe baza relaiilor (10), (11)

211 B B A =+ (37)

22111 )( Bk B Aik −=− (38)Din relaiile (37) şi (38) rezultă

+=

1

221 12 k

k i B A (39)

−=

1

221 1

2 k

k i

B B (40)

Reflectana barierei va fi



10

1

114

114

1

2

1

22

2

1

2

1

22

2

2

1

2

1

2

2

=

+

−

−

+

===

k

k i

k

k i

B

k

k i

k

k i

B

A

B

I

I R

i

r (41)

iar transmitana:T =0. (42)Probabilitatea ca particula să pătrundă în regiunea x>0 este

P2=2

2 )( xΨ (43)

unde:

−−=−=Ψ x

E U m B xk B x

h

)(2exp)exp()( 0

2222 (44)

Deci:

PII=

⋅−− x E U m B )(22

exp 02

2

h

(45)

Se observă că deşi reflectana este nulă, particulele pătrund pe o distană mică îndomeniunl II, după care are loc o reflexie totală şi se întorc în mediul I.

În figura 3 este ilustrată shematic evoluia particulei pentru cele două cazuridiscutate mai sus.

E>U0

U0

E<U0

x=0 x

Se observă că în cazul când E>U0, amplitudinea undei este mai mare în regiunea

în care viteza particulei este mai mică.

Pătrunderea unei particule printr-o barieră de potenial (Efectul tunel)



11

Considerăm o barieră de potenial de înălime U0 şi de lăime l şi o particulă cuenergia E care se mişcă în regiunea I spre barieră (fig. 4).

U( x)

E

I II III

0 l x

Fig. 4Potrivit legilor mecanicii clasice comportarea particulei este următoarea:

a) dacă E>U0, particula trece peste barieră, în regiunea barierei având o viteză mai mică decât în rest.

b) Dacă E<U0 particula va fi reflectată de barieră, f ără a trece prin aceasta.Comoprtarea particulei în cazul cuantic se poate stabili prin determinareafunciilor de undă asociate acesteia, funcii cu ajutorul cărora se poate determinatransmitana barierei T.

Analizâm situaia în care E<U0.Ecuaia Schrödinger în cele trei regiuni se scrie:

02 1221

2

=Ψ+ΨhmE

dxd (46)

pentru regiunile I şi III şi:

0)(2

220

22

2

=Ψ−

+Ψ

h

U E m

dx

d (47)

pentru regiunea II.Vom nota:

2

21

2

h

mE k = şi

202

2

)(2

h

E U mk

−= .

Scriem soluiile ecuaiilor (46) şi (47)

)exp()exp( 11111 xik B xik A −+=Ψ (48))exp()exp( 22222 xk B xk A −+=Ψ (49))exp()exp( 13133 xik B xik A −+=Ψ (50)

Deoarece în regiunea III, nu există vreo discontinuitate de potenial, nu există undă reflectată astfel încât punem B3=0.

Condiiile de continuitate a funciilor şi primelor derivate la graniă sunt( ) ( ) 0201 == Ψ=Ψ

x x(51)



12

( ) ( )l xl x == Ψ=Ψ 32 (52)

0

2

0

1

==

Ψ=

Ψ

x xdx

d

dx

d (53)

l xl x dx

d

dx

d

==

Ψ=

Ψ 32 (54)

sau:

2211 B A B A +=+ (55))exp()exp()exp( 132221 lik Alk Blk A =−+ (56)

22221111 Bk Ak Bik Aik −=− (57))exp()exp()exp( 131222222 lik Aik lk Bk lk Ak =−− (58)

Împărim ecuaiile prin A1 şi introducem notaiile:

1

11

A

Bb = ,

1

22

A

Aa = ,

1

33

A

Aa = ,

E

E U

k

k n

−== 0

1

2 .

Ecuaiile (55)÷(58) se scriu acum asrfel:2211 bab +=+ (59)

)exp()exp()exp( 132222 lik alk blk a =−+ (60)

221 nbnaibi −=− (61))exp()exp()exp( 132222 lik ialk nblk na =−− (62)

Calculăm transmitana barierei dată de:

2

1

2

3

A

AT = (63)

care determină probabilitatea ca particula să pătrundă prin barieră. Înmulim ecuaia (59)

cu i, o adunăm cu relaia (61) şi obinem:22 )()(2 binaini −−+= (64)

Înmulim ecuaia (60) cu I şi o scădem din (62):0)exp()()exp()( 2222 =−+−− blk inalk in (65)

Din sistemul format cu ecuaiile (64) şi (65) obinem:( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )lk inlk in

lk inia

22

22

22

expexp

exp2

−−−+

−+= (66)

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )lk inlk in

lk inib

22

22

22

expexp

exp2

−−−+

−= (67)

Introducând valotile lui a2 şi b2 în relaia (60), obinem expresia lui a3:

( ) ( ) ( ) ( )lk inlk in

nia

22

223

expexp

4

−−−−+= (68)

Remarcăm faptul că, mărimea



13

l E U m

lk h

)(2 02

−=

este mult mai mare decât unitatea, ceea ce face ca termenul ce conine )exp( 2lk − de lanumitor să poată fi neglijat, inând seama şi de faptul că numerele complexe (n+i) şi (n-i)au aceeaşi mărime. Noi putem presupune astfel că:

)exp()(

)exp(422

13 lk

in

lik nia −

−

−−≈ (69)

unde 12 +=− nin .Transmitana dată de relaia (63) se va scrie acum:

)2exp()1(

16222

22

3 lk n

naT −

+≈= (70)

unde

1002 −=−

= E

U

E

E U n

Expresia22

2

)1(

16

+n

neste de ordinul de mârime al unităii (ea are un maxim egal cu 4

pentru n=1).Se poate considera cu bună aproximaie că:

−−≈−≈ l E U mlk T )(22

exp)2exp( 02h

(71)

Din expresia (71) se vede că probabilitatea ca o particulă să stră bată o barieră depotenial depinde de lăimea barierei l, de masa particulei şi de diferena U0-E. Astfeltransmitana scade extrem de rapid cu creşterea masei particulei şi a diferenei U0-E, darmai ales cu creşterea lăimii l a barierei.

Relaia (71) se mai scrie:

⋅−−= l E U mT T )(22

exp 00h

(72)

unde T 0 este o constantă.Analizând comportarea unei particule cuantice ( 2410−=m kg) care trebuie să

treacă printr-o barieră de lăime macroscopică (l≈1cm) se ajunge la o valoare a lui T de~10-13, ceea ce înseamnă că la scară macroscopică probabilitatea de trecere prin efecttunel este foarte mică.

În cazul studierii comportării unei particule cuantice cu E>U0 se ajunge laexistena unei reflexii, lucru ce nu se produce în cazul clasic. Pentru cazul unei beriere de

potenial de o formă oarecare (fig. 5), calculele conduc la o expresie a transmitanei deforma

−−= ∫2

1

)(22

exp0

x

xdx E U mT T

h(73)

unde: U=U ( x).



14

U ( x)

E

x1 x2 x Fig.5

Fenomenul în urma căruia o particulă cuantică poate trece printr-o barieră depotenial este cunoscut ca efect tunel. Aşa cum s-a văzut acest efect este un fenomen

specific mecanicii cuantice, neavând un analog clasic.La prima vedere s-ar părea că trecerea particulei în regiunea E<U0 constituie o încălcare a legii conservătii energiei. Acest lucru nu este însă adevărat dacă se ine seamade faptul că în mecanica cuantică energia nu poate fi împăită în energie cinetică şi

potenială, întrucât relaia de incertitudine (2h

≥∆⋅∆ x p x) ne arată că impulsul şi poziia

particulei cuantice nu pot fi măsurate simultan foarte precis, ceea ce implică imposibilitatea cunoaşterii simultane a energiei cinetice şi a energiei poteniale. Putemspune că la baza efecctului tunel se află comportarea ondulatorie a microparticuleleor.

Efectul tunel a fost descoperit de Gamov, Condon şi Gurney în anul 1928. Pe bazalui pot fi explicate o serie de fenomene ca de exemplu emisia la rece a electronilor din

metale, dezintegrarea α, comportarea purtătorilor de sarcină într-o jonciunesemiconductoare.În continuare vom încerca să aplicăm teoria străpungerii barierei de potenial în

cazul unei situaii fizice reale.

Dezintegrarea alfa

Dezintegrarea alfa constă în expulzarea spontană de către nucleele grele (A>200)a unor particule cu sarcina pozitivă egală cu 2e şi având masa nucleului de heliu( 241064,6 −⋅=m kg), numite particule α. Energia tipică a unei particule α emise de unnucleu se găseşte în intervalul 4÷10MeV.

Atâta timp cât particula α se află în interiorul nucleului, asupra ei acionează forenucleare tari. Aceste fore au o rază de aciune mică, aciunea lor nefiind simită în afara



15

nucleului. În exteriorul suprafeei nucleului fora dominantă este fora de respingeredintre nucleul rezultat în urma dezintegrării şi particula α.

În figura 6 se reprezintă schematic energia potenială în care se află particula α înapropierea nucleului. Aşa cum se vede în interiorul nucleului forele sunt puternicatractive, iar în afara nucleului, la distane mai mari decât R potenialul este de tip

coulombian. Remarcăm faptul că forma exactă a potenialului nu este cunoscută.

Regiunea Regiunea de respingere coulombiană foreitari

Energia E a particulei emise

R r

Fig. 6

În procesul dezintegrării α-radioactive se disting două etape, în prima etapă areloc formarea particulei α în nucleu (într-un timp foarte scurt), iar în cea de-a doua etapă,care are loc într-un timp mult mai lung, se produce emisia particulelor. În a doua etapă particulele α traversează bariera de potenial prin efect tunel, bariera prezentând otransparenă:

−

⋅

−= ∫ dr E r

ZeemT

c R

R04

22

2exp

πε h(73)

unde Rc este dat de intersecia dreptei ce reprezintă energia particulei cu curba ce descriepotenialul din exteriorul nucleului:

c

c E

Ze R

0

2

42πε

= (74)

unde E c este enrgia cinetică a particulei.Energie cinetică a particulei în interiorul nucleului este mult mai mare decât în

afara acestuia, deoarece la părăsirea nucleului de către particulă are loc o conservare aimpulsului, nucleul preluând o parte a enegiei particulei, astfel încât în afara nucleuluiparticula are energia:



16

∫∞ −

= R

dr r

Z e E

2

2 )2(2(75)

Oscilatorul cuantic liniar armonic

În mecanica cuantică oscilatorul liniar armonic prezintă o deosebită importană,dacă se ine seama că vibraiile atomilor în moleculele biatomice, mişcarea ionilor încristale ionice şi atomice ca şi mişcările altor particule cuantice pot fi tratate ca mişcărioscilatorii liniar armonice. Un oscilator cuantic poate fi asimilat cu o particulă cuantică,care efectuează mici oscilaii în jurul unei poziii de echilibru. Este cunoscut faptul că înmecanica clasică o mişcare oscilatorie se caracterizează prin aciunea unei fore elasticeasupra corpului care efectuează oscilaia. Fora are forma:

kxF −= (1)

unde k reprezintă constanta de elesticitate a resortului. Energia potenială a oscilatoruluise obine prin integrarea relaiei (2):

2

2kxFdxU =−= ∫ (3)

Este cunoscut faptul că pulsaia oscilaiei este dată de relaiam

k =2ω , încât energia

potenială a oscilatorului clasic se mai scrie:

2

22 xmU

ω = (4)

Expresia (4) reprezintă operatorul asociat energiei poteniale a oscilatorului cuantic

armonic unidimensional.Determinarea valorilor proprii ale energiei şi a funciilor proprii ale oscilatorului

cuantic se face pornind de la foarma atemporală a ecuaiei Schrödinger:

Ψ=Ψ+∂

Ψ∂− E

xm

xm 22

22

2

22 ω h(5)

Inmulind relaia (5) cuω h

2se obine:

Ψ=Ψ+∂

Ψ∂−

ω

ω

ω hh

h nn E x

m

xm

222

2

(6)

In relaia de mai sus am notat cu E n energia oscilatorului aflat în starea n, iar cu Ψn,

funcia oscilatorului în aceeaşi stare. Se efectuează următoarele schimbări de variabile:

xm

y

212

=h

ω şi

ω ε

h

n

n

E =

şi relaia (6) va deveni:

)(2)(22

2

y y y y

nnn Ψ−=Ψ

−

∂

∂ε (7)



17

Vom aplica apoi succesiv funciei Ψn operatorii

−

∂∂

y y

şi

+

∂∂

y y

:

nn y y

y y

y y

Ψ

−−

∂

∂=Ψ

−

∂∂

+

∂∂

122

2

(8)

Comparând relaiile (7) şi (8) se ajunge imediat la:

( ) nnn y y

y y

Ψ−−=Ψ

−

∂∂

+

∂∂

12ε (9)

Prin aplicarea operatorului

−

∂∂

y y

vom avea:

( )nnn y

y y

y y

y y

yΨ

−

∂∂

−−=Ψ

−

∂∂

+

∂∂

−

∂∂

12ε (10)

Dacă se analizează relaia (10) se observă că sunt posibile două situaii:

a) 0=Ψ

−∂

∂n y y (11)

ceea ce conduce la o valoare a lui Ψn (obinută în urma integrării) care tinde spre infinitpentru ∞→ y .

b) 1+Ψ=Ψ

−

∂∂

nn y y

(12)

aceasta însemnând că aplicarea operatorului

−

∂∂

y y

, funciei Ψn crează o nouă funcie

care s-a notat cu Ψn+1 din motive ce vor fi explicate ultarior. Introducând relaia (12) în(10) se obine:

( ) 11 12 ++ Ψ−−=Ψ

+∂∂

−∂∂

nnn y y

y y

ε (13)

Scriind relaia (11) pentru funcia Ψn+1 se obine:

( ) 111 12 +++ Ψ+−=Ψ

+

∂∂

−

∂∂

nnn y y

y y

ε (14)

Comparând relaiile (13) şi (14) rezultă:11 +=+ nn

ε ε (15)

Dacă se aplică relaiei (11) operatorul

−

∂∂

y y

se constată că sunt de asemenea posibile

două situaii:

a) 0=Ψ

+

∂∂

n y y

(16)

această relaie conducând la o funcie mărginită.

b) 1−Ψ=Ψ

+

∂∂

nn y y

(17)



18

ceea ce înseamnă că prin aplicare operatorului

+

∂∂

y y

se obine o nouă funcie.

Prin introducerea relaiei (17) în (11) rezultă

( ) nnn y

y

Ψ+−=Ψ

−

∂

∂− 121 ε (18)

Aplicăm relaiei (18) operatorul

+

∂∂

y y

( ) 11 12 −− Ψ+−=Ψ

+

∂∂

−

∂∂

nnn y y

y y

ε (19)

relaia (9) scrisă pentru funcia Ψn-1 are forma:

( ) 111 12 −−− Ψ−−=Ψ

+

∂∂

−

∂∂

nnn y y

y y

ε (20)

Comparând relaiile (19) şi (20) obinem:

11 += −nn ε ε (21)Din relaiile (15) şi (21) se trage concluzia că dacă se cunoaşte Ψn căreia îii

corespunde valoarea proprie εn, atunci se pot determina valorile εn-1 şi εn+1 ale stărilorΨn-1 şi respectiv Ψn+1.

inând seama de modurile în care o funcie este transformată în alte funcii

utilizând operatorii

−

∂∂

y y

şi

+

∂∂

y y

aceştia poartă numele de operator de creere şi

respectiv operator de anihilare.Aplicând operatorul de anihilare stării energetice celei mai scăzute a oscilatorului

(starea fundamentală) se obine:

00 =Ψ

+∂∂ y y

(22)

deoarece nici o altă stare cu energie mai mică nu există. Dacă se scrie acum relaia (10)pentru funcia Ψ0 rezultă:

( ) 00 12 Ψ+−=Ψ

+

∂∂

−

∂∂

n y y

y y

ε (23)

Comparând relaiile (22) şi (23) vom avea:-2ε0+1=0

sau:21

0 =ε (24)

Pe baza relaiilor (15), (21) şi (24) se poate scrie succesiv:

21

11 +=ε

21

2112 +=+= ε ε

…………………..



19

21

+= nn

ε (25)

inând seama de substituiaω

ε h

n

n

E = şi de relaia (25) se obine:

ω h

+= 2

1n E n (26)

unde: n= 0,1,2…şi se numeşte număr cuantic de vibraie . Aşa cum se vede enrgia stării fundamentale aoscilatorului este diferită de zero, iar spectrul energetic al oscilatorului este cuantificat,nivelelem energetice fiind echidistante, separate între ele prin cuanta de enegie ω h .Trecerea oscilatorului de pe un nivel pe altul se face prin absorbie sau cedare de energie.

Operatorul de creere

−

∂∂

y y

corespunde absorbiei unei cuante ω h , iar operatorul de

anihilare

+

∂

∂ y

y

corespunde meisiei unei cuante de energie.

Cum în cadrul diferitelor fenomene fizice există interacii între diferite forme deenergie şi diferite clase de particule, operatorii de creere şi anihilare vor corespundeacestor interacii. Astfel în cazul interaciei dintre o undă electromagnetică şi materie,cuanta de energie corespunzătoare operatorilor de creere sau anihilare poartă numele defoton. Excitarea sau dezexcitarea unui set de oscilatori ai unei reele (vibraii ale reelei)se realizează prin intermediul unei cuante de energie numită fonon, iar în cazul excităriisau dezexcitării modurilor normale în cazul unui corp magnetizat, operatorilor de creereşi anihilare le corespunde cuanta numită magnon.

În ceea ce priveşte energia stării fundamentale este de remarcat faptul că aceastaa fost confirmată prin experiene în care s-a studiat împrăştierea undelor

electromagnetice pe cristale la temperaturi scăzute. S-a stabilt că intensitatea radiaiei împrăştiate nu tinde spre zero odată cu scăderea temperaturii spre 0K. Aceasta arată că lazero absolut oscilaiile în reeaua unui cristal nu încetează. Mecanica cuantică permite să se calculeze probabilitatea diferitelor tranziii ale unui sistem cuantic de la o stare la alta.Calculele arată că pentru un oscilator armonic sunt posibile doar tranziii între niveleadiacente. În astfel de tranziii numărul cuantic n se schimbă cu o unitate

1±=∆n Condiiile impuse asupra schimbării unui număr cuantic sunt cunoscute ca reguli

de selecie.

Remarcăm de asemenea că energa stării de zero a oscilatorului

= ω h21

0 E este

o necesitate impusă de relaiile de incertitudine. Asrfel dacă energia ar deveni nulă,oscilatorul ar avea impulsul nul şi în acelaşi timp ar avea poziia bine precizată (avândenerga potenială nulă). Incertitudinea în ceea ce priveşte determinarea simultană apoziiei şi a impulsului implică E0=0.

Funciile proprii ale oscilatorului pot fi obinute pronind de la funcia Ψ0, care larândul ei se obine prin integrarea relaiei (22). Integrând (22) în urma separăriivariabilelor se obine:



20

−=Ψ

2exp

2

0

y(27)

Pornind de la (27) putem deduce următoarele funcii proprii:

−−=

−

−

∂

∂=Ψ

2

exp2

2

exp)(22

1

y y

y y

y

y (28)

( )

−−=Ψ

−

∂∂

=Ψ2

exp24)()(2

212

y y y y

y y (29)

…………………………………………………Factorii din paranteză reprezintă polinoamele Hermite definite de relaia:

( )[ ]n

nn

ndy

yd y y H

22 exp)exp()1()(

−−= (30)

În acest fel se observă că funciile de undă pot fi scrise sub forma:

)(2

exp)(2

y H y

A y nnn

−=Ψ (31)

unde constanta An se determină din condiia de normare:

∫ =ΨΨ 1*dynn (32)

În urma calculelor se obine2 / 1

!21

=

hπ

ω m

n A

nn(33)

Forma funciilor de undă normate asociate oscilatorului liniar armonic va fi:

n

n

nndy

yd y

ym

n

)exp()exp()1(2exp!2

1 22

22 / 1

−−

−

=Ψ hπ

ω

(34)

unde:

xm

y

2 / 1

=h

ω

Funciile de undă sunt ortogonale şi normate satisf ăcând condiia

∫ =ΨΨ mnnm dy δ *

În figura 9 sunt date graficelel câtorva funcii proprii pentru diferite numere cuantic

Ψ

Ψ0 Ψ1

Ψ2

y



21

Observăm din figura 9 că în timp ce funcia Ψ0 nu se anulează niciodată, funciileΨ1 şi Ψ2 se anulează o dată şi respectiv de două ori, punctele în care se anulează funciasunt numite moduri de funcie de undă. Numărul de moduri este dat de numărul cuantic

n. Analizând probabilităile de a găsi particula ce oscilează în anumite puncte dinspaiu pe un anumit nivel energetic se observă imediat deosebirea existentă întreoscilatorul clasic şi cel cuantic. În figura 10 sunt reprezentate densităile de probabilitateale celor doi oscilatori, oscilatorul cuantic fiind considerat în starea fundamentală n=0.

-a +a Fig. 10

Densităile de probabilitate ale oscilatorilor clasic şi cuantic (starea n=0).Din punctul de vedere al mecanicii clasice oscilatorul se găseşte cu cea mai mare

probabilitate în punctele de amplitudine maximă, unde viteza particulei este nulă. În cazuloscilatorlui cuantic acesta se poate găsi cu cea mai mare probabilitate în punctul x=0.\

4. Mişcarea în câmp central de fore a unei particule cuantice

nerelativiste

4.1 Teoria cuantică a momentului cinetic orbital

4.1.1. Operatorii asociai proieciei pe axa z a momentului cinetic orbital (L z) şipătratului momentului cinetic orbital (L2)

Momentul cinetic al unui punct material clasic se defineşte prin relaia vectorială: pr Lrrr

×= (4.1)

unde r r

reprezintă vectorul de poziie al punctului în raport cu o axă, iar pr

este impulsulpunctului material.

Componentele pe axele x, y şi z ale momentului cinetic sunt:

y x x zp yp L −=

z x y xp zp L −= (4.2)

x y z yp xp L −=



22

inând seama de relaia generală de formare a operatorilor în mecanica cuantică şi utilizând operatorii asociai coordonatelor şi impulsurilor asociate acestora, obinemurmătoarele expresii pentru operatorii asociai proieciilor pe axe ale momentului cinetic:

∂∂

−∂∂

−= y

z z

yi L x hˆ

∂∂−

∂∂−=

z x

x zi L x hˆ (4.3)

∂∂

−∂∂

−= x

y y

xi L x hˆ

Operatorul pătratului momentului cinetic este:2222 ˆˆˆˆ

z y x L L L L ++= (4.4)

Vom deduce în continuare expresia operatorului z

L (asociat direciei unui câmpmagnetic) în coordonate sferice. Pentru aceasta se utilizează relaiile de transformare:

ϕ θ cossinr x = ϕ θ sinsinr y = (4.5)

θ cosr z = Considerăm o particulă cuantică descrisă de funcia de unde Ψ. Derivata funciei

Ψ în raport cu coordonata ϕ va fi:

ϕ ϕ ϕ ϕ ∂∂

⋅∂Ψ∂

+∂∂

⋅∂Ψ∂

+∂∂

⋅∂Ψ∂

=∂Ψ∂ z

z

y

y

x

x(4.6)

Utilizând (4.5) rezultă

x y

y x

∂Ψ∂

−∂Ψ∂

=∂Ψ∂ϕ

(4.7)

Observând expresiile (4.3) şi (4.7), rezultă că:

ϕ ∂∂

−= hi L zˆ (4.8)

Această expresie reprezintă operatorul z

L în coordonate sferice.

Pentru a calcula expresia operatorului 2ˆ L în coordonate sferice, procedăm ca maisus pentru calculul lui

x L şi y L . Se va obine:

∂

∂

+∂

∂

−= ϕ ϕ θ θ ϕ cossinˆ

ctgi L xh

(4.9)

∂∂

−∂∂

−=ϕ

ϕ θ θ

ϕ sincosˆ ctgi L y h (4.10)

Introducem relaiile (4.8), (4.9) şi (4.10) în relaia (4.4) şi rezultă;

∂

∂+

∂∂

∂∂

−=2

2

222

sin1

sinsin

1ˆϕ θ θ

θ θ θ

h L (4.11)



23

Se notează cu Λ expreisa

2

2

2sin

1sin

sin1

ϕ θ θ θ

θ θ ∂

∂+

∂∂

∂∂

=Λ (4.12)

care reprezintă partea unghiulară a oparatorului Laplace în coordonate sferice şi poartă numele de operator al lui Legendre.

Se poate deci scrie:Λ−= 22ˆ h L (4.13)

Operatorul Legendre joacă un rol însemnat în teoria funciilor sferice.

4.1.2. Proprietăile momentului cinetic

Mometul cinetic în mecanica cuantică posedă anumnite proprietăi, care îldeosebesc de momentul cinetic din mecanica clasică.

O primă caracteristică a momentului cinetic cuantic este aceea că proieciile saleL x, L y, L z nu pot avea valori bine determinate determinate simultan, astfel încât dacă unadintre proiecii este determinată celelalte sunt nedeterminate. Acest lucru este evideniatşi prin relaiile de necomutare existente între operatori. Astfel operatorii

x L) , y L) şi z

L) nu

comută între ei, ceea ce înseamnă că ei nu admit aceleaşi sisteme de valori proprii.Se poate uşor arăta că între operatorii

x L) şi y L

) există relaia:

z y x Li L L ˆˆ,ˆ h= (4.14)

Astfel( )( )

z x y z y x p x p z p z p y L L ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ −−= (4.15)

( )( ) y z z x x y p z p y p x p z L L ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ −−= (4.16)

în urma calculalor se obine:

)ˆˆˆˆ()ˆˆˆˆ(ˆˆˆˆ y z z y z x x z x y y x p z p p p z x p p z p z p y L L L L −+−=− (4.17)

Utilizând relaia de comutare:hi zp z p

z z−=−ˆˆ (4.18)

se obine după simplificări:

z x y y x Li L L L L ˆˆˆˆˆ h=− (4.19)

Într-o manieră asemănătoare se obin relaiile:

x y z z y Li L L L L ˆˆˆˆˆ h=− (4.20)

y z x x z Li L L L L ˆˆˆˆˆ h=− (4.21)

O altă caracteristică a momentului cinetic orbital cuantic este legată de faptul că pătratul momentului cinetic (şi deci modulul momentului cinetic) şi una din proieciilesale pot avea valori simultan determinate. Acest lucru rezultă din relaiile de comutareexistente între operatorul corespunzător lui 2ˆ L şi cel corespunzător unei proiecii amomentului cinetic ( ) z y x L L L ˆ,ˆ,ˆ .



24

Vom arăta în continuare că 2ˆ L comută cu oricare dintre operatorii asociaiproieciilor lui L

r. Multiplicăm relaia (4.19) cu y L :

y x y y z y x L L L L Li L L ˆˆˆˆˆˆˆ 2 += h (4.22)

Cu ajutorul relaiei (4.19), al doilea termen din dreapta se scrie:

2ˆˆˆˆˆˆˆ y x y z y x y L L L Li L L L +−= h (4.23) încât putem scrie:

)ˆˆˆˆ(ˆˆˆˆ 22 z y y z x y y x L L L Li L L L L +=− h (4.24)

Multiplicăm relaia (4.21) la dreapta cu z

L şi aplicând din nou formula (4.21)obinem:

( )x z y z x y z x L L L L L Li L L ˆˆˆˆˆˆˆˆ 22 ++−= h (4.25)

de unde:( )

y z x y x z z x L L L Li L L L L ˆˆˆˆˆˆˆˆ 22 +−=− h (4.26)

Însumând (4.24) cu (4.26) rezultă:

( ) ( ) 0ˆˆˆˆˆˆ 2222 =+−+ x z y z y x L L L L L L (4.27)

sau( ) ( ) 0ˆˆˆˆˆˆˆˆ 222222 =++−++ x z y x z y x x L L L L L L L L

de unde rezultă:0ˆˆˆˆ 22 =−

x xL L L L (4.28)

În mod analog se vor obine relaiile:0ˆˆˆˆ 22 =− y y L L L L (4.29)

0ˆˆˆˆ 22 =−z z

L L L L (4.30)

Relaiile (4.28), (4.29) şi (4.30) arată că operatorul pătratului momentului cineticposedă funcii proprii comune cu operatorii oricăreia dintre proieciile sale. Aceasta înseamnă că momentul cinetic şi una dintre proieciile sale pot fi măsurate simultan înmod precis. Această concluzie este o consecină a absenei noiunii de traiectorie pentruparticula cuantică (relaiile Heisenberg).

O altă proprietatate a pătratului momentului cinetic L2 şi a compenentelor

momentului cinetic x

L)

, y L)

, z L)

este aceea că ele se conservă în cazul mişcării particulei

într-un câmp cu simetrie centrală (U=U (r )). Vom demonstra acest lucru scriind mai întâioperatorul energiei în coordonate polare:

)(ˆ12

2

)(ˆ11

2

ˆ

2

ˆ22

22

22

2

22

2

r U

r r r r m

r U

r r

r

r r m

U

m

H +

Λ−

∂

∂+

∂

∂−=+

Λ−

∂

∂

∂

∂−=+∇−=

hhh

(4.31)

Prin analogie cu operatorul asociat impulsului liniarq

i pq ∂

∂−= h se poate

introduce operatorul impulasului radial pr , definindu-l în modul următor

Ψ+∂Ψ∂

−=Ψ∂∂

−=Ψr r

ir r r

i pr

1)(

1ˆ hh (4.32)



25

Putem scrie deci:

∂Ψ∂

+∂

Ψ∂−Ψ

+∂∂

+∂∂

−=Ψr r r r r r r

pr

211ˆ

2

2222

hh (4.33)

inând seama că: 222ˆ ∇= h L expresia (4.31) se va scrie:

)(ˆˆ1ˆ21ˆ 2

22 r U L

r p

m H r +

+= (4.34)

aceasta fiind forma funciei Hamilton pentru o particulă care se mişcă în câmp central.În continuare considerăm relaia;

Ψ=Ψz z

L L ˆˆ unde funcia Ψ este o funcie de coordonatele r, θ, ϕ. Aplicăm relaiei de mai susoperatorul dat de (4.34) la stânga:

Ψ

+

+=Ψ zr z Lr U Lr

pm

L H ˆ)(ˆˆ1ˆ

21ˆˆ 2

2

2 (4.35)

Deoarece, aşa cum s-a arătat operatorul z L

)

este ϕ ∂

∂

− hi şi nu acionează decât

asupra funciilor dependente de ϕ în timp ce operatorii 2ˆr

p şi 2ˆ L acionează doar asuprafunciilor dependente de r putem scrie:

Ψ=Ψ 22 ˆˆˆˆr z zr

p L L p (4.36)şi

Ψ=Ψ 22 ˆ)(ˆ)(ˆˆr r

pr U r U p (4.37)

Dar cum z

L)

comută cu 2ˆ L , rezultă imediat:

H L L H z z

ˆˆˆˆ = (4.38)

Considerând că în mos similar operatorii x L

)

şi y L

)

acionează decat asuprafunciilor unghiulare şi că aceşti operatori comută cu 2ˆ L rezultă că toi aceşti operatoricomută cu opreratorul asociat energiei. Aceasta înseamnă că valoarea numerică amomentului cinetic ca şi oricare dintre componentele sale se conservă în timp. Se poatede asemena afirma că cei trei operatori 2ˆ L ,

x L)

şi H ˆ posedă funcii proprii comune astfelcă valoarea numerică a momentului cinetic, una dintre proieciile sale şi energia pot aveavalori bine determinate în mod simultan.

4.1.3. Valori proprii si functii proprii ale ale operatorului z L)

Exprimăm în coordonate sferice operatorul z

L)

:

∂∂

−∂∂

−= z

y y

xi L z hˆ (4.39)

Pentru aceasta inem seama că în cazul unei funcii compuse Ψ( x,y,z)=Ψ(r ,θ,ϕ)putem scrie:



26

ϕ ϕ ϕ ϕ ∂∂

⋅∂Ψ∂

+∂∂

⋅∂Ψ∂

+∂∂

⋅∂Ψ∂

=∂Ψ∂ z

z

y

y

x

x

Deoarece în coordonate sferice avem relaiile ϕ θ cossinr x = , ϕ θ sinsinr y = şiθ cosr z = rezultă:

x y

y x

∂Ψ∂−

∂Ψ∂=

∂Ψ∂ϕ

(4.40)

Comparând această expresie cu (4.39) rezultă că:

ϕ ∂∂

−= hi L zˆ (4.41)

Ecuaia cu valori proprii ale lui z L)

este

Φ=Φz z

L L (4.42)sau:

Φ=∂

Φ∂−

z Li

ϕ

h (4.43)

Notândh

z L

m = ecuaia (4.43) devine;

Φ=∂Φ∂

imϕ

(4.44)

Ecuaia (4.44) are soluia:

Φ(ϕ)=C exp(imϕ) (4.45)

unde C este o constantă care se determină din condiia de normare.

Periodicitatea funciei Φ(ϕ) (cu perioada 2π) impune caΦ(ϕ)=Φ(ϕ+2π) (4.46)

Întroducând (4.45) în (4.46) rezultă exp(imϕ)=1 (4.47)

deci...2,1,0 ±±=m (4.48)

În cazul momentului cinetic orbital, numărul m este numit număr cuantic orbital.

Condiia de normare a funciei Φ(ϕ) se scrie:

1)(22

0=Φ∫ ϕ ϕ

π

d (4.49)

sau

∫ =π

ϕ 2

0

21d C

deci:



27

π

12=C

şi funcia Φ(ϕ) are forma:

( ) )exp(2

1ϕ

π ϕ im=Φ (4.50)

4.1.4. Valori proprii şi funcii proprii ale operatorului asociat

pătratului mometului cinetic -2ˆ L

Am arătat mai înainte că operatorul asociat pătratului momentului cinetic poate fiscris în coordonate sferice, utilizând operatorul lui Legendre:

Λ−= 22ˆ h L Funciile proprii asociate acestui operator sunt dependente de coordonatele unghiulare

(θ,ϕ), operatorul Λ fiind dependent de aceste coordonate. Ecuaia cu valori propriiasociată lui 2ˆ L este:

),(),(ˆ 22 ϕ θ ϕ θ Y LY L = (4.51)

Ecuaia se scrie după înlocuirea lui 2ˆ L sub forma:

02

2

=+Λ Y L

Y h

(4.52)

Facem notaia: λ =2

2

h

L şi explicităm operatorul Legendre:

0

sin

1sin

sin

12

2

2=+

∂

∂+

∂

∂

∂

∂Y

Y Y λ

ϕ θ θ

θ

θ θ

(4.53)

În continuare procedăm la separarea variabilelor punând)()(),( ϕ θ ϕ θ ΦΘ=Y (4.54)

Înlocuind (4.54) în (4.53) obinem:

2

22 1

sinsinsin1

ϕ θ λ

θ θ

θ θ

∂

Φ∂Φ

−=+∂Θ∂

∂∂

Θ(4.55)

Intrucât membrul stâng este funcie doar de θ, iar membrul drept doar de ϕ, rezultă că ecuaia este satsf ăcută identic doar dacă cei doi membri sunt egali cu o aceeaşi constantă.

Vom nota această constantă cu m2, şi vom putea scrie:

22

21m

d

d =

ΦΦ

−ϕ

(4.56)

sau

022

2

=Φ+Φ

md

d

ϕ (4.57)



28

Ecuaia (4.57) are soluia;ϕ ϕ im

Ce=Φ )( (4.58)aceeaşi cu soluia (4.45).

Univocitatea funciei Φ(ϕ) impune:Φ(ϕ)=Φ(ϕ+2mπ) (4.59)

Înlocuind Φ(ϕ) din ecuaia (4.45) în ecuaia (4.47) obinem:...2,1,0 ±±=m

Se observă că Φ(ϕ) este o funcie proprie pentru 2ˆ L şi pentru z

L .Ecuaia referitoare la funcia Θ(θ) se scrie:

0sin

sinsin

12

2

=Θ

−+

Θ

θ λ

θ θ

θ θ

m

d

d

d

d (4.60)

Facem schimbarea de variabilă w=cosθ şi ecuaia (4.60) devine:

( ) 01

12

22 =

−−+− P

w

m

dw

dPw

dw

d mλ

β (4.61)

Unde Θ trebuie să fie finită în intervalul [-1,+1]. Ecuaia (4.49) se poate scrie sub forma:

( )0

1112

2

2

222

2

=

−−

−+

−− P

w

m

wdw

dP

w

w

d

Pd λ

θ (4.62)

Ecuaia (4.62) are singularităi în punctele 1±=w , unde unii coeficieni devin infinii.Pentru cazul când 1±=w putem scrie:

wwww

w

−≈

+−

−=

− 11

11

11

12

2

şi

( )222

)1(4

1

1

1

ww −

≈

−

Aceasta înseamnă că în ecuaia (4.62) termenul în λ este neglijabil în raport cu cel ceconine m

2, încât ecuaia devine:

0)1(41

12

2

2

2

=−

−−

− Pw

m

dw

dP

wdw

Pd (4.63)

Pentru ecuaia (4.51) se alege o soluie de forma...)1()1()1( 2

210 +−+−+−= wawaawP α (4.64)

unde 00 ≠a .

Dacă se introduce soluia (4.64) în (4.63) se obine:

12

12

2

0 )1(4

13)1()1(4

)1( −− −

−++−+−

−+− α α α α α α α α w

maw

ma +

0...)1(4

45)1(2

2 =+−

−++−+ α α α α w

ma (4.65)



29

Relaia (4.65) este adevărată dacă se anulează coeficienii tuturor puterilor lui(1-w). Anulând coeficientul lui (1-w)α-2 şi inând seama că 00 ≠a rezultă:

2

m±=α (4.66)

Rezultă că ecuaia (4.51) admite două soluii independente:

[ ]...)1()1( 102)1(

0 +−+−= waawP

m

(4.67)

[ ]...)1('')1( 102)1( +−+−=

−

∞ waawP

m

(4.68)indicii soluiilor arătând că prima tinde la 0, iar a doua la ∞ atunci când 1→w . Deci

)1(0P este finită atunci când 1→w .

Pentru un calcul similar efectuat pentru 1−→w se obin de asemenea două soluii independente:

[ ]...)1()1( 102)1(

0 ++++=−wbbwP

m

(4.69)

şi

[ ]...)1('')1( 102)1( ++++=−

∞ wbbwP

m

(4.70)

Aşadar pentru 1−→w soluia )1(0−Θ este finită.

În aceste condiii vom considera soluia ecuaiei (4.60) de forma: ,aceasta putând fi scrisă astfel:

)()1()( 22 w Z wwP

m

m−=λ (4.71)

Introducând (4.68) în (4.60) se obine:

( ) ( ) ( )[ ] Z mm

dw

dZ wm

dw

Z d w 1121

2

22 +−++−− λ (4.72)

unde se va lua Z (w) sub forma unei serii de puteri:

∑∞

=

=0

)(k

k

k waw Z (4.73)

Întroducând (4.71) în (4.70) se obine o ecuaie cu diferite puteri ale lui w. Ecuaia va fivalabilă dacă toi coeficienii puterilor lui w sunt nuli. Anulând coeficienii lui wk vorrezulta relaiile:

( )[ ] 0121 02 =+−+⋅⋅ amma λ ;

( )[ ] ( ){ } 012132 13 =+−+−+⋅⋅ ammma λ ;

……………………………………………..( )[ ] ( ){ } 0)1(121)2)(1( 2 =−−+−+−+++ + k k ak k mk mmak k λ

Pe baza relaiilor de mai sus se obine următoarea formulă de recurenă:( )( )[ ] k k amk mk ak k β −+++=++ + 1)1)(2( 2 (4.74)

Această relaie de recurenă permite să se calculeze coeficienii pari pornind de laa0 şi pe cei impari pornind de la a1. Dacă avem o serie infinită de ak , atunci se constată că pentru ak foarte mare vom avea

k k aa ≈+2 .



30

Aceasta înseamnă că în apropierea lui 1±=w , Z (w) se comportă ca (1-w2)-1 (careare o dezvoltare în serie asemănătoare). Deci pentru valori mari ale lui m

lmΘ devine

divergentă. Pentru a elimina acest lucru este necesar ca Z (w) să aibă o serie finită decoeficieni, adică să fie un polinom. Limitând seria la ordinul k rezultă:

λ=l(l+1) (4.75)

unde mk l += sau mlk −= . Pentru mlk −= impar, a0=0 şi soluia )(wmlΘ este un

polinom de puteri impare, iar pentru mlk −= par, a1=0 şi )(wm

lΘ este un polinom de

puteri pare. Valorile proprii ale lui 2ˆ L vor fi)1(22 += ll L h , l=0,1,2… (4.76)

Se poate deduce imediat o relaie între numerele m şi l pe baza relaiei mk l += .

Deoarece k este un număr întreg şi pozitiv, rezultă că l este mai mare sau cel puin egal cum , deci:

lm ±±±= ...,2,1,0 (4.77)În ceea ce priveşte funciile proprii asociate acestor valori proprii, acestea se obin

inând seama de ecuaiile (4.75) şi (4.60). Introducând (4.73) în (4.60) avem:

( ) ( ) 0)(1

1)(

12

22 =

−−++− wP

w

mll

dw

wdPw

dw

d m

l

m

l (4.78)

unde )(wP m

lreprezintă funcia asociată a lui Legendre de gradul l şi de ordinul m, l şi m

fiind numere întregi şi pozitive.Pentru m=0, soluia ecuaiei (4.61) este dată de polinomul Legendre simplu.

Astfel polinomul simplu de ordin l este de forma:

l

ll

lldwwd

lwP )1(

!21)(

2

−= (4.79)

Pentru 0≠m , se va obine polinomul asociat de ordin l şi grad m având forma:

ml

lml

llm

mm

m

ldw

wd w

lwP

dw

d wwP l

+

+ −−=−=

)1()1(

!2

1)()1()(

2222 (4.80)

Factorul!2

1ll

este un factor de normare ales astfel ca:

[ ] 1)(21

1=∫

+

−dwwP

l(4.81)

Aşadar soluiile ecuaiai (4.64) sunt polinoamele Legendre asociate şi formează

un sistem de funcii ortogonale în intervalul 11 ≤≤− w .Dăm în continuare un exemplu de calcul al polinoamelor Legendre luând cazulpolinomului de ordinul l=3 şi gradul m=2,

( ) ( ) =

−+−

∂

∂−=

−

∂

∂⋅

−= 133

481

18!3

1)( 246

5

5232

5

522

3 wwww

ww

w

wwP

( ) )1(15...612648

1 2354

42

wwwwww

w−==

+−

∂

∂−=



31

inând seama de substituia w=cosθ vom avea:θ θ θ cossin15)(cos 22

3 =P Pentru câteva cazuri particulare simple prezentăm mai jos polinoamele Legendre

asociate:

l m )(cosθ mlP

0 0 1

1 1 sinθ 1 0 cosθ

2 2 3sin2θ 2 1 3sinθ cosθ

2 0 ( )1cos32

1 2 −θ

3 3 15sin3θ 3 2 15cosθ sin2θ

3 1 ( ) θ θ sin1cos523 2 −

3 0 ( )θ θ cos3cos521 3 −

Tabelul 1Pe baza condiiei de normare (4. 81) şi inând seama că polinomul m

lP îi

corespunde un polinom m

lΘ putem scrie:

1sin0

=ΘΘ∫ θ θ π

d m

l

m

l(4.82)

obinând funciile ortonormate:

( )( )

( )θ θ cos!

!

212

)( m

l

m

lP

ml

mll

+

−⋅

+=Θ (4.83)

În aceste condiii se pot scrie funciile sferice Y(θ,ϕ), care satisfac ecuaia (4.52):

( )( )( )

)(cos)exp(!

!

212

)1(, θ ϕ ϕ θ m

l

k

lmPim

ml

mllY ⋅

+

−⋅

+−= (4.84)

unde m are valorile date de (4.47), k=m pentru 0≥m şi k =0 pentru m<0.Funciile sferice formează un set complet ortonormat, adică:



32

∫ ∫ =π π

δ δ ϕ θ θ ϕ θ 0

2

0 ''* sin),( mmlllm d d Y (4.85)

Pe baza relaiilor (4.75) şi (4.83) rezultă că fiecărei valori proprii a pătratuluimomentului cinetic îi corespund (2l+1) funcii proprii Ylm diferite, funcii ce diferă prinnumărul cuantic m. Am văzut că acest număr cuantic cuantifică proiecia pe axa z a

momentului cinetic. Vom arăta că acest număr cuantifică de asemenea proiecia pe axa z a momentului magnetic asociat momentului cinetic. Din acest motiv numărul cuantic m poartă numele de număr cuantic magnetic. În cazul momentului cinetic orbital el senumeşte număr cuantic magnetic orbital.

Analizând cele de mai sus se constată că funcia Ylm(θ,ϕ) este în acelaşi timpfuncie proprie comună a operatorilor

z L şi 2ˆ L .

Funciile de undă Ylm(θ,ϕ) pentru stările l=0,1 şi 2 sunt prezentae în tabelul 1.

4.1.5. Paritatea momentului cinetic orbital

Termenul de paritate este folosit în mecanica cuantică pentru a caracterizaproprietăile de simetrie ale funciilor de undă faă de inversie (reflexia prin origine0.Inversia este echivalentă cu schimbarea semnului fiecărei coordonate carteziene. Paritateapară sau impară se referă la cazurile simetrice sau antisimetrice.

Operatorul paritate G efectuează transformarea x x −→ , y y −→ , z z −→ şiare deci proprietatea:

),.(),,(ˆ z y x z y xG −−−Ψ=Ψ (4.86)Este evident că

),.(),,(ˆ),,(ˆ 2 z y x z y xG z y xG Ψ=−−−Ψ=Ψ (4.87)

Aşadr valoarea proprie a operatorului 2P este 1, iar valorile asociate operatorului paritatesunt 1± . Astfel valoarea +1 corespunde parităii pare, iar valoare –1 corespunde parităiiimpare.

Pentru a stbili modul în care se schimbă coordonatele sferice r , θ, ϕ în funcie deschimbarea semnului coordonatelor carteziene x, y, z, analizăm figura 1.

Observăm că la schimbarea coordonatelor carteziene x, y, z coordonatele sfericese modifică astfel:

r’=r θ’=π-θ (4.88)ϕ’=ϕ+π

z z r ,θ,ϕ r’,θ.ϕ

x’ x’

θ



33

y’ y y’ ϕ’ y

ϕ θ x x

z’ z’

Figura 1

Pentru a stabilin aciunea operatorului G asupra funciei de undă Y lm(θ,ϕ) caredescrie starea momentului cinetic orbital, observăm că transformările (4.88) conduc la:

θ θ coscos −→ ; )exp()1()exp( ϕ ϕ imim m−→ ;

)(cos)1()cos( θ θ m

l

mlm

l PP−−=− , care rezultă din schimbarea derivatei

θ cosd

d

în

( )[ ]θ −cosd

d de ordinul l-m.

Se va obine în mod succesiv:

== )'exp()'(cos),(ˆ ϕ θ ϕ θ imP N Y Gm

llmlm

[ ] ( )[ ]=+−= π ϕ θ π imP N m

llm exp)cos(mm

llm imP N )1)(exp()cos(1 −−= ϕ θ

Dar: )(cos)1()cos( θ θ m

l

mlm

l PP−−=− aşa încât

),()1()exp()(cos)1(),(ˆ ϕ θ ϕ θ ϕ θ lm

lm

l

l

lm Y imPY G −=−= (4.89)Putem spune acum că paritatea stării al oricărui moment cinetic orbital este

specificat de numărul cuantic orbiatl l este (-1)l.

1.4.6 Cuantificarea spaială

În paragraful anterior am stabilit că valorile posibile pentru L şi L z sunt date derelaiile:

h)1( += ll L şi hm L z =

unde: l=0,1,2,…, iar lm ±±±= ,...,2,1,0 .

În cadrul spectroscopiei atomice se obişnuiaeşte notarea după schema următoare:numarul cuantic orbital: l=0, 1, 2, 3…starea: s, p, d, f…

Se observă că uniatea de măsură pentru L şi L z este constanta lui Planck – ħ.Pentru o valoare fixă a pătratului momentului cinetic orbital, proiecia momentului cineticpe axa O z poate lua (2l+1) valori cuprinse între –lħ şi +lħ. O reprezentare geometrică a



34

valorilor pe care le poate lua L z în cazul l=1, este dată în figura 2.

+ħ

0 h2= L

-ħ

Figura 2

În figura 3 este înf ăişat într-un sistem de coordonate carteziene momentul cineticorbital L

z

L z L θ

y

x

Figura 3

Aşa cum s-a văzut momentul cinetic orbital L poate face cu axa O z. Doar anumiteunghiuri obinute pe baza relaiei

θ cos Lm L z == h (4.90)

deci:

)1()1(cos

+=

+=

ll

m

ll

m

h

hθ (4.91)

Relaia (4.91) stabileşte numărul orientărilor posibile pe care le poate luamomentul cinetic L cu axa O z. Pentru fiecare valoare a lui Lr

sunt permise numai 2l+1orientări diferite ale lui L faă de axa O z. Numărul de orientări ale lui L coincide cunumărul valorilor pe care le poate lua proiecia L z a momentului cinetic. Aşa cum se vede în figura 3 vârful vectorului L execută o mişcare de precesie în jurul axei O z. Pentru oanumită orientare a momentului cinetic se cunoaşte valoarea proieciei L z, în timp cecelelalte două proiecii ( L x , L y) sunt complet nedeterminate. Aşadar în mecanica cuantică este imposibil să se cunoască simultan mai mult de o componentă a momentului cinetic şi



35

modulul său | L|. In aceste condiii putem vorbi doar de orientarea lui L faă de L z, întimp ce orientarea lui spaială rămâne nedeterminată (necunoscându-se toate cele treiproiecii simultan). Situaia privilegată a axei O z fată de celelalte două apare din cauză că Y lm(θ,ϕ) reprezintă o funcie proprie comună numai pentru operatorii 2ˆ L şi

z L , ea nefiind

funcie şi a operatorilor L x şi L y. Evident că se poate realiza ca oricare dintre cele două

axe să fie privilegiate.

4.1.5 Momentul magnetic orbital al electronului.

Este cunoscut din electromagnetism ca un curent ce strabate o spira determinaaparitia unui moment magnetic. In acelasi timp intensitatea unui curent electreic este datade relatia:

I = q/TIn cazul unui electron vom avea

r

ev

T

e

I π 2== Momentul magnetic al spirei parcurse de electron este:

lm

erp

m

eevr r I

2222 ==== π µ

Am tinut seama ca marimea momentului cinetic al eletronului ce parcurge spira este l=rpVectorial relatia se scrie:

µ= -

m

e

2

l

Semnul minus apare datorita sarcinii negative a electronului.

Tinand sema de relatia care cuantifica momentul cinetic orbital al electronului se poatescrie:

µ =m

e

2 )1( +ll ħ

sauµ = µ B )1( +ll

unde marimea:

µ B=m

e

2h

poarta numele de magnto al lui Bohr.Asadar numarul cuantic orbital l cuantifica si momentul magnetic orbital, iar acesta dinurma se masoara in magntoni ai lui Bohr.



36

5 . Atomul de hidrogen – starea normală

Vom studia miscarea unui electron de sarcina -e aflat in jurul unui nucleuincarcat pozitiv, de sarcina +Ze (atomi hidrogenoizi). Pentru: Z = 1 se obtine atomul dehidrogen.Fora care leagă electronul cu nucleul de sarcină + Ze, la distane de ordinul dimensiuniloratomice (~10-8 cm) este fora de atracie Coulomb. Energia potenială care îi corespundeeste:

r

ZeU

0

2

4πε −=

Energia potentiala a electronului in campul nucleului este

r

Z U e

π 4

2

−= (5.1)unde r este distanta electron – nucleu.

Alegand un sistem de coordonate sferice cu originea in centrul nucleului atomic,ecuatia Schrödinger atemporala:

ψ ψ ψ E U m

=+∆−2

2h

devine

04

2 2

2 =

++∆ ψ π ψ r

Ze

E

m

h (5.22)unde functia de unda este:

),,( ϕ θ ψ ψ r =

Rezolvam ecuatia Schrödinger (5.2). In cazul particular al atomului cu simetriesferica, caz in care functia de unda va fi:

)(),,( r r ψ ϕ θ ψ ψ ==

Aceasta stare este caracterizata prin l = 0 , adica numarul cuantic orbital este nul.

2

2

2222

2 sin

1sin

sin

11

r r r r r

r r ∂

∂⋅+

∂∂

∂∂

⋅+

∂∂

∂∂

⋅=∆θ θ

θ θ θ

(5.23)

din cauza simetriei sferice, devine



37

r r r r r

r r ∂∂

⋅+∂

∂=

∂∂

∂∂

⋅=∆21

2

22

2(5.24)

In aceste conditii, ecuatia (5.22) devine

++⋅+ E m

dr

d

r dr

d (

2222

2

h

ψ ψ

r

Ze

π 4

2

)ψ = 0 (5.25)

Notand

β π

α ==2

2

2 4;

2

hh

emZ mE (5.26)

se obtine

022

2

2

=

+++ ψ γ

β

α

ψ ψ

dr

d

r dr

d

Cea mai simpla solutie a acestei ecuatii, care are o valoare finita pentru 0=r sicare tinde spre zero pentru ∞→r , este

r e A ⋅−⋅= γ γ )( (5.27)

Inlocuind in ecuatia de mai sus, rezulta

0

2

22

=

++⋅−⋅⋅−−− r rr rr

e Ar e Ar e A

γ γ γ β

α

γ

γ sau

( ) ( ) 02212 =−++ γ β α γ r

02 =+α γ γ β =

adica

2 β α = (5.28)Tinand cont de substitutia (5.28) si de relatia (5.26) rezulta

22

422

2 16

2

hh π

e Z mmE =

−

adica



38

22

42

32 hπ

emZ E −= (5.29)

Formula nivelelor energetice deduse din teoria lui Bohr

22

42

2 321

hπ

emZ

n E n ⋅−=

se reduce la relatia (5.29) pentru n = 1 , adica la energia atomului de hidrogenoid aflat instare fundamentala.

Determinarea constantei A din expresia functiei de unda se afla din conditia denormare

1sin22=∫∫∫ ψ θ θ ψ d d dr r

sau

14sin 222

0

2

0

222 =⋅=⋅ −+∞

∞−

+∞

∞−

−∫∫∫∫ dr er adyd dr r e A

rr rr γ π π

γ π θ θ

Se stie ca :

∫+∞

∞−

− =α

α 1dxe x

si derivand de doua ori in raport cu α , avem

∫+∞

∞−

− −=−2

1α

α dxe x x

∫+∞

∞−

− −=3

2 2α

α dxe x

x

incat

∫+∞

∞−

− −=3

22

)2(

2

γ

γ dr er

r

Deci :

π

γ 3= A

iar functia de unda are forma



39

r er γ

π

γ ψ −⋅=

3

)( (5.30)

Probabilitatea de a gasi electronul in elementul de volum dV este

ϕ θ θ π

γ ψ γ

d d dr r edV r dV r Pr sin)()( 22

32

⋅⋅== −

Probabilitatea ca electronul sa se afle la distanta dr r r +÷ de nucleu, este

dr ed d dr r edr r Pr r 223

0

2

0

223

4sin)( γ γ ψ θ θ π

γ γ π π

γ ⋅⋅=⋅⋅= −−∫ ∫ (5.31)

Reprezentand grafic P(r) se constata ca densitatea de probabilitatea devine nulapentru 0=r (din cauza lui r) si pentru ∞→r (din cauza exponentialei) ( Fig.17 ).

Fig. 17

Deci, exista in general o anumita probabilitate nenula de a gasi electronul la odistanta oarecare de nucleu, cuprinsa intre 0 si ∞ .

Sa calculam distanta r1 si r2 care probabilitatea devine maxima

[ ] 0224)( 2223 =−= −− r r er re

dr

r dP γ γ γ γ

incat

r1 = 1/ γ



40

Deci γ reprezinta inversul distantei, unde exista probabilitatea maxima de a gasielectronul

2

2

1

1

h

mze

r === β γ

incat

12

2

max r mze

r ==h

Pentru hidrogen

12

2

max r me

r ==h

adica, distanta la care probabilitatea norului electronic este maxima, coincide cu razaprimei orbite Bohr ( r1).

Functia P(r) fiind in general nenula, inseamna ca electronul se poate gasi oriunde

in atom, dar cu probabilitati diferite. Sunt excluse starile pentru care 0=r si ∞=r , daraceste doua stari nu mai descriu un atom de hydrogen. Pentru 0=r electronul se gasestechiar in nucleu, deci sistemul nu mai este format din doua particule distincte. Pentru

∞=r intersectia dintre nucleu si electron este nula, deci electronul nu mai face parte dinatom.

Raza primei orbite (notiunea clasica) din nucleu Bohr nu este altceva decatdistanta de maxima probabilitate a electronului fata de nucleu. Modelul cuantic admite caelectronul se poate gasi la orice distanta de nucleu (dar cu probabilitati diferite) ceea ceface ca notiunea de orbita sa nu mai aiba sens ( concluzie obtinuta si pe baza relatiilor denedeterminare Heisenberg).

Atomul se reprezinta deci ca un sistem format dintr-un nucleu central inconjurat

de un ’’nor electronic’’ intelegand aceasta ca un ’’nor’’al densitatii de probabilitate, aldistantei in spatiu a probabilitatii de a gasi electronul.

Spinul electronului

Ipoteza spinului electronului

O serie de rezultate experimentale ca: structura de multiplet a nivelelor energetice aleatomului, efectul Zeeman, experinta Stern- Gerlach s. a, au pus in evidenta o nouaproprietate a electronului ( in afara de masa si sarcina). Este vorba de un moment cineticpropriu datorat unei miscari necunoscute a electronului. Proprietatea se numeste spin simomentul cinetic datorat miscarii de spin se noteaza cu s. Existenta spinului a afostpostulata de fizicienii olandezi Uhlenbeck si Goudsmit in anul 1925. Spre deosebire demasa si sarcina, aceast miscare nu are un analog clasic. Ca si in cazul momentului cinetic



41

orbital proiectiile momentului pe cele trei aze nu pot fi masurate simultan ci doar doar sz

si s2 .

Experienta Stern- Gerlach

Un fascicul de atomi, obtinut prin evaporarea unui metal monovalent (Cs, Ag) intr-unvid suficient de inaintat, se deplaseaza pe directia y intre piesele polare ale unuielectromagnet a caror forma este aleasa astfel incat sa creze un camp magnetic puternicneomogen pe directia z (fig.1). Este necesar ca gradientul lui B sa fie atat de mare incatforta datorata acestuia sa se poata simti pe dimensiunea unui atom.

Fig. Montajul experientei Stern-Gerlach

In interiorul cuptorului se introduce o bucata de Ag. Atomii sunt incalziti in interiorulcuptorului la o astfel de temperatura suficient de scazuta, incat electronul de valenta alatomilor de Ag sa ramana in starea fundamentala cu numarul cuantic orbital l=0. Dupatrecerea printr-un sistem de fante, fascicolul intra intre polii magnetului dupa care estetrimis pe o placa fotografica. Pe placa apar doua urme simetrice in raport cu directiainitiala a fascicolului. Forta care se exercita asupra atomilor este determinata de

interactiunea dintre momentul magnetic al atomului si campul magnetic neomogen.

z

BF

∂∂

= µ cos (µ, B),

unde (µ, B) este unghiul facut de vectorii moment magnetic µ si cmp magnetic B.

Aceasta forta determina o deviatie a atomilor pe directia z data de:



42

z

B

m z

∂∂

= µ 21

cos (µ, B)t2

Din punct de vedere clasic, cos (µ, B ) poate lua toate valorile in intervalul +1 si -1, astfelincat pe placa ar trebui sa se obtina o urma continua intre valorile extreme ale lui z

Timpul t reprezinta timpul in care atomii parcurg distanta situata in interiorul magnetului,

in cazul cand placa se afla la iesirea acestuia.In realitate experienta arata ca depunere este sub forma a doua urme discrete, simetricefata de directia initiala.Dat fiind ca electronul de valenta se afla in starea s, descrisa de l=0 , acesta are unmoment magnetic orbital nul (ml=0), ceea ce insemna ca devierea fascicolului nu estelegata de electronul de valenta. Restul atomului are configuratia unui gaz inert (Kr) , careeste diamagnetic, deci este lipsit de moment magnetic, ceea ce insemna ca deviatia nueste determinata nici de acest rest. Singura ipoteza admisibila este aceea a existentei unuimoment magnetic propriu asociat electronului altul decat cel orbital. In baza acesteiipoteze s-a admis ca electronul are un moment cinetic de spin s, caruia ii corespunde unmoment magnetic de spin µs , care interactioneaza cu campul magnetic, acesta nteractie

determinand deviatia atomilor. Momentul cinetic de spin este cuantificat in modasemantor cu cel orbital.

s= s(s+1)Si momentul magnetic de spin este cuantificat in mod asemanator cu momentul magneticde spin.Exista insa o anomalie de spin, care consta in faptul ca raportul magnetomecanic alspinului este:

γs = µs/ s = e/mAceasta anomalie lamureste rezulatele experientei Einstein –de Haas.Momentul magnetic de spin este legat de momentul sau cinetic prin relatia:

µs= - sm

e

Tinand sema de relatia de cuantificare a momentului cinetic orbital rezulta:

s= )1( +ss ħ

iar cuantificarea momentului magnetic de spin va fi data de relatia:µs= 2 µB )1( +ss

Proiectia pe axa z a momentului magnetic de spin este data de relatia:

µsz= 2ms µB Unde ms are un numar de 2s+ 1 valori. Dat fiind ca numarul de urme pe placa este egal cunumarul de valori ale lui ms, se poate deci scrie:

2s + 1= 2Deci s= ½ , de unde rezulta ca ms = +/- ½



43

5.5 Momentul mecanic rezultant al unui atom cu mai muli electroni

Fiecare electron dintr-un atom are un moment mecanic orbital (l) şi un moment

mecanic intrinsec (s). Intre momentele cinetice exita interactiuni, care dau posibilitateaobtinerii unui moment cinetic total.

Prin compunere, momentele cinetice l şi s formează momentul unghiular rezultant alatomului, notat cu J. Există două cazuri posibile:

1. Momentele orbitale l interacionează mai puternic între ele şi foarte puin cumomentele de spin s care, la rândul lor, interacionează mai puternic între ele şifoarte puin cu momentele l. Prin compunere, toate momentele cinetice orbitalevor forma momentul rezultant L iar momentele cinetice de spin s vor formamomentul S. Doar după aceea, prin compunerea momentelor S şi L se formeaza

momentul cinetic total al atomului J . Acest tip de cuplaj este foarte des întâlnit,fiind numit Russell-Saunders sau cuplajul LS.Momentele cinetice totale sunt cuantificate in acelasi mod cu cele ale electronului.Cunatificarile sunt realizate cu ajutorul numerelor cuantice, orbital total L si despin total S. Momentul cinetic total al atomului este cuantificat dupa aceiasiregula cu ajutorul numarului cuantic total J.

2. La fiecare pereche de l şi s, există o interaciune mai puternică între parteneriicare formează perechea decât interaciunea dintre un partener al perechii şi un l respectiv s, al altei perechi. Prin urmare fiecare electron are un moment kinetic j rezultant iar ulterior, are loc compunerea momentelor j ale atomului. Acest tip decuplaj, numit cuplaj jj se observă la atomii grei.

Momentele unghiulare se însumează cu respectarea regulilor mecanicii cuantice. Vomconsidera de exemplu, însumarea momentelor unghiulare la un cuplaj Russell-Saunders.

Numerele cuantice orbitale li sunt întotdeauna numere întregi. Prin urmare, numărulcuantic L al momentului orbital total este de asemenea un număr întreg (sau zero).

Numărul cuantic S al momentului rezultant de spin al unui atom S poate fi un număr întreg sau semiîntreg, în funcie de numărul total de electroni ai atomului, care poate fipar sau impar. Pentru un număr (N) – par, de electroni, numărul cuantic S ia toate valorile întregi de la N x 1/2 (toate momentele S sunt „paralele” între ele) la 0 (toate momenteleS se compensează reciproc, în perechi). De exemplu, pentru N = 4, numărul cuantic Spoate avea valorile 2, 1, sau 0. Atunci când N este un număr impar, S ia toate valorile

semiîntregi de la N x 1/2 (toate momentele S sunt „paralele” între ele) la 1/2 (toatemomentele S cu excepia unuia, se compensează reciproc, în perechi). De exemplu, cândN = 5, valorile posibile ale parametrului S sunt 5/2, 3/2, 1/2.

Pentru nişte valori date ale numerelor cuantice L şi S, numărul cuantic J almomentului cinetic total (rezultant ) poate avea una dintre următoarele valori:

J = L + S, L + S – 1, …, | L - S|



44

Aşa cum se poate observa, J va fi un număr întreg dacă S este un număr întreg (unnumăr par de electroni ai atomului), şi semiîntreg dacă S este semiîntreg (atom cu unnumăr impar de electroni). De exemplu:

1) dacă L = 2 şi S = 1, valorile posibile ale lui J sunt 3, 2, 1;2) dacă L = 2 şi S = 3/2, valorile posibile ale lui J sunt 7/2, 5/2, 3/2 şi 1/2.

Energia unui atom depinde de orientarea momentelui cinetic L (adică de numărulcuantic L), de orientarea momentului cinetic de spin S(adică de numărul cuantic S) şi deorientarea reciprocă a momentelor L şi S (de numărul cuantic J). Un nivel energeticatomic sau altfel spus un termen spectral atomic se notează în general cu:

2S+1LJ (5.39)

unde L poate fi una dintre următoarele litere: S, P, D, F, etc., depinzând de valoareanumărului L. De exemplu, termenele:

3P0, 3P1, 3P2 (5.40)

sunt asociate cu stările având L = 1 identic, S = 1 identic, dar şi valorile J = 0, 1, sau 2,diferite.

Simbolul - 2S+1LJ - conine informaii legate de valorile a trei numere cuantice L, Sşi J. Atunci când S < L, termenul superior din partea stângă a notaiei: 2S+1, oferă multiplicitatea termenului, adică numărul de subnivele diferite din valoarea numărului J,aşa cum este exemplificat anterior prin: 3P0,

3P1,3P2.

Atunci când S > L, multiplicitatea actualizată este 2L + 1. Cu toate acestea,simbolul termenului este scris tot în forma 2S+1LJ, pentru că altfel nu ar conine informaiidespre valoarea numărului cuantic S.

5.6 Momentul magnetic al unui atom

Am mai notat de câteva ori faptul că momentul magnetic µL este asociat cumomentul cinetic al unui atom ML. Raportul µ /M este numit raport giromagnetic.

Raportul determinat experimental între momentul orbital magnetic µµµµL şimomentul unghiular orbital mecanic ML coincide cu raportul giromagnetic care reiesedin teoria clasică ). Acest raport este – e/2mec; Prin urmare,

(5.41)

Cantitatea:

(5.42)



45

este numită magnetonul Bohr şi este unitatea momentului magnetic. Semnul minus dinecuaia (5.41) indică faptul că direciile momentului magnetic şi ale momentuluiunghiular mecanic sunt opuse (aspect care se datorează sarcinii negative a electronului).Prezena semnului minus ne permite să obinem proiecia pe axa z a lui µL prin simpla

substituire a numărului cuantic mL pentru în ecuaia 5.41:

µL,z = -µBmL (5.43)

Când mL > 0, proiecia lui L este pozitivă, în timp ce proiecia lui µµµµL estenegativă. Când mL < 0, proiecia lui L este negativă, şi proiecia lui µµµµL este pozitivă.

Un număr de date experimentale indică faptul că raportul giromagnetic al

momentului magnetic intrinsec (spin) şi momentului unghiular este dublul raportului

giromagnetic al momentului orbital magnetic şi momentului unghiular. Astfel,

(5.44)

Legat de acest aspect, se spune că spinul are un magnetism dublu.

Magnetismul dublu al spinului rezultă din experimentul realizat de A. Einstein şiW. De Haas precum şi din experimentul realizat de S. Barnett.

Datorită magnetismului dublu al spinului, raportul giromagnetic al momentuluimagnetic total µµµµJ şi momentului unghiular total J este dependent de numerele cuantice L,

S şi J. Trebuie să observăm că numerele L şi S caracterizează raportul valorilor lui L şi S, în t imp ce numărul J determină orientarea reciprocă a momentelor unghiulare de spin şiorbital. Calculele realizate pe baza regulilor mecanicii cuantice, oferă următoarea formulă pentru momentul magnetic al unui atom:

(5.45)unde

(5.46)

Expresia (5.46) da expresia factorului Lande (g). Atunci când momentulunghiular total de spin al unui atom are valoarea zero (S = 0), momentul unghiular totalcoincide cu cel orbital (J = L). Introducând S = 0 şi J = L în ec. (5.46) rezultă g = 1, şiajungem la valoarea momentului magnetic determinată prin ec. (5.41). Atunci cândmomentul unghiular orbital total al unui atom este zero (L = 0), momentul unghiular totalcoincide cu cel de spin (J = S). Introducerea acestor valori ale numerelor cuantice în ec.(5.46) conduce la obinerea valorii g = 2, şi ajungem la valoarea momentului magnetic



46

determinată prin ec. (5.44). Trebuie să observăm că factorul Lande g poate avea valorimai mici decât unitatea, şi poate fi chiar zero (aşa cum se obine, de exemplu, pentruvalorile L = 3, S = 2 şi J = 1). În ultimul caz, momentul magnetic al unui atom este zero,deşi momentul unghiular mecanic diferă de zero.

Prezena semnului minus în ec. (5.45) face posibilă obinerea proieciei lui µJ pe

axa z prin simpla substituire a lui mJ pentru . Astfel,

(5.47)

Figura 5.9

Un număr de întrebări de fizica atomului î şi pot găsi răspunsuri prin folosirea aşanumitului model vectorial al atomului. În construcia unui astfel de model, momenteleunghiulare mecanice şi momentele magnetice sunt descrise sub formă vectorială (lungimea liniilor direcionale). Într-o exprimare foarte exactă, datorită incertitudiniiexistente în ceea ce priveşte direciile vectorilor M în spaiu, o astfel de abordare esteaproximativă. De aceea, atunci când se lucrează cu un model vectorial, trebuie să inemcont de natura limitelor în care se obin construcii relevante. Un model vectorial nutrebuie îneles „ad litteram”. El trebuie considerat ca o mulime de reguli care ne permitsă obinem rezultate al căror adevăr este confirmat de calcule stricte de mecanică cuantică.

5.9 Principiul lui Pauli. Distribuia electronilor pe nivelele energetice ale atomului.

Fiecare electron din atom se deplasează într-o primă aproximaie într-un câmpcentral simetric, non-Coulombian. Starea unui electron în acest caz este determinată decele trei numere cuantice n, l şi m a căror semnificaie fizică a fost stabilită anterior.



47

Datorită existenei spinului unui electron, este necesar să adăugăm la aceste numerecuantice, numărul cuantic ms care poate lua valori de ± 1/2 şi determină proiecia spinuluipe o anumită direcie. În cele ce urmează, vom folosi simbolul ml în locul lui m pentrunumărul cuantic magnetic, pentru a sublinia că acest număr determină proieciamomentului unghiular orbital a cărui valoare este dată de numărul cuantic l.

Astfel, starea fiecărui electron din atom este caracterizată de 4 numere cuantice:- principal: n (n = 1, 2, 3, …)- azimutal: l (l = 0, 1, 2, …, n-1)- magnetic: ml (ml = -l, …., -1, 0, +1, …. , +l)- spin: ms (ms = + 1/2, - 1/2)

Energia unei stări depinde în principal de numerele n şi l. În plus, există o dependenă uşoară a energiei de numerele ml şi ms pentru că valorile acestora sunt asociate cuorientarea reciprocă a momentelor unghiulare L şi S de care depinde magnitudineainteraciunii dintre momentele magnetice orbitale şi intrinseci ale electronului. Energia

unei stări creşte mai rapid cu mărirea numărului n decât cu a numărului l. De aceea,rezultă regula conform căreia, o stare cu o valoare mai mare a numărului n are mai multă energie, indiferent de valoarea numărului l.

La un atom aflat în starea de bază (ne-excitată), electronii ar trebui să fie pe niveleleenergetice disponibile pentru ei, nivele care au cea mai puină energie. De aceea, s-arpărea că la orice atom aflat în starea de bază, toi electronii ar trebui să fie în starea 1s (n= 1, l = 0), iar termenii fundamentali ai tuturor atomilor trebuie să fie de tipul termenilorS (L = 0). Experimentele demonstrează că nu este mereu aşa.

Se pot explica tipurile de termeni observai, după cum urmează. În conformitate cu

una dintre legile mecanicii cuantice, numită principiul de excluziune al lui Pauli (legenumită aşa în cinstea descoperitorului, un fizician austriac Wolfgang Pauli, 1900 - 1958),“acelaşi atom (sau oricare alt sistem cuantic) nu poate conine doi electroni care au

acelaşi set de patru numere cuantice n, l, ml şi ms”. Cu alte cuvinte, doi electroni nu sepot afla simultan în aceeaşi stare.

Dat fiind legatura dintre l şi ml se deduce usor ca n2 stări diferite prin valorile lui l şiml, corespund unui anumit n. Numărul cuantic ms poate lua două valori: ± 1/2. Prinurmare, nu mai mult de 2 n2 electroni pot fi în stări cu o anumită valoare n într-un atomasfel ca se poate scrie numarul de stari asociate numarului n:

Numărul cuantic n ………….1 2 3 4 5……Numărul maxim posibilde electroni într-o stare……..2 8 18 32 50……….



48

Tabelul 5.2

Setul de electroni care au valori identice ale numărului cuantic n formează un strat.Straturile sunt în continuare descompuse în substraturi care diferă prin valoareanumărului cuantic l. inând cont de valoarea lui n, straturile au primit simboluri împrumutate din spectroscopia cu raze X:

Numărul cuantic n …..1 2 3 4 5 6 7….Simbolul stratului……K L M N O P Q……

Divizarea stărilor posibile ale unui electron dintr-un atom în straturi şi substraturieste prezentată în tabelul 5.2, în care simbolurile ↑↓ au fost folosite în locul

denumirilor/notaiilor care folosesc ms = ± 1/2. Substraturile, aşa cum este indicat întabel, pot fi notate în două moduri (de exemplu L1 sau 2s).

Un substrat completat în totalitate, este caracterizat de egalitatea cu zero amomentelor unghiulare totale de spin şi orbitale (L = 0, S = 0). În plus, momentulunghiular al unui astfel de substrat este egal cu 0 (J = 0). Să ne convingem pentruexemplificare, că acest aspect este adevărat pentru substratul 3d. Spinul tuturor celor 10electroni din acest substrat se compensează unul cu celălalt în perechi, şi prin urmare S



49

= 0. Numărul cuantic al proieciei momentului unghiular orbital rezultant ML al acestuisubstrat pe axa z are o singură valoare mL = Σml = 0. Prin urmare, L este de asemeneazero, L = 0.

Astfel, când determinăm L şi S ale unui atom, nu trebuie acordată atenie

substraturilor completate.

5.10 Radiatia X caracteristica

Deja am consemnat la studiul radiatiei X de franare că există două tipuri deradiaii de raze X, radiaia de frânare şi radiaia caracteristică. Dacă energiile electronilorcare bombardează anticatodul nu sunt prea mari, doar radiaia de frânare este observată,care are un spectru continuu şi nu depinde de materialul din care e realizat anticatodul.Atunci când energia electronului de bombardament devine suficient de mare pentru ascoate electroni din straturile interioare ale unui atom, linii ascu ite ale radiaiei

caracteristice încep să apară în fundalul dat de radiaia de frânare. Frecvenele acestorlinii depind de natura substanei din care e realizat anticatodul (acesta fiind şi motivulpentru care radiaia se numeşte caracteristică).

Spectrele de raze X sunt remarcabile pentru că sunt caracterizate de o anumită simplitate. Ele sunt compuse din câteva serii, notate prin literele K, L, M, N şi O. Fiecareserie conine un număr mic de linii desemnate în ordinea crescătoare a frecvenelor prinlitere subscrise α, β, γ , ……..(Kα, Kβ, Kγ , ….; Lα, Lβ, Lγ ,….., etc.). Spectrele diferitelorelemente au o natură similară. La creşterea numărului atomic Z, întregul spectru de razeX doar se deplasează spre lungimi de undă mai mici, f ără a-şi schimba structura (fig.5.20). Explicaia este dată de faptul că spectrele de raze X sunt produse de tranziiile

electronilor din straturile interioare ale atomilor iar aceste pări au o structură similară. Odiagramă care prezintă cum spectrele de raze X sunt produse, este dată în figura 5.21.Excitarea atomului constă în îndepărtarea unuia dintre electronii din interior. Dacă unuldintre cei doi electroni ai unui strat K este eliminat, atunci poziia eliberată poate fiocupată de un electron din straturile exterioare (L, M, N, etc). Aici, se produce o serie K.Alte serii apar într-o manieră similară. Seriile K sunt urmate mereu de alte serii pentru că,atunci când liniile sale sunt emise, se eliberează nivele în straturile L, M, etc., care larândul lor, vor fi umplute de electroni din straturile superioare.



50

Figura 5.20 Figura 5.21

Fizicianul englez Henry Moseley (1887-1915) a stabilit în 1913 o lege care leag ă frecvenele liniilor din spectrul de raze X cu numărul atomic Z al elementului care leemite. În conformitate cu această lege, frecvenele liniei Kα pot fi reprezentate de formula

(R este constanta Rydberg), a liniei Kβ prin formula

a liniei Lα prin formula

şi aşa mai departe. Toate aceste formule au forma

Legea lui Moseley este de regulă exprimată prin formula



51

(C şi σ sunt constante) şi are următorul enun: rădăcina pătrată a frecvenei este o funcieliniară cu numărul atomic Z.

Figura 5.22

Figura 5.22 prezintă grafic (ω)1/2 faă de Z, grafic care este obinut pe cale experimentală pentru liniile Kα şi Lα. Aceste grafice permit observarea preciziei cu care legea Moselyeste urmată. O examinare atentă va dovedi că graficul pentru linia Kα nu este în totalitate

liniar.

Legea lui Moseley face posibil să stabilim exact numărul atomic al unui elementdat, din măsurarea lungimii de undă a liniei de raze X. Această lege a avut un rolimportant în aranjarea elementelor în tabelul periodic.

Moseley a dat o explicaie teoretică simplă pentru legea pe care a descoperit-o. Ela notat că liniile cu frecvena determinată de formula (5.61) coincid cu liniile emise înurma tranziiei unui electron în câmpul de sarcină (Z - σ)e de la nivelul notat cu n2 la celnotat cu n1. Este uşor de îneles semnificaia constantei σ: electronii care efectuează tranziii la emisia de raze X sunt sub aciunea nucleului a cărui atracie este slăbită într-o

oarecare măsură de aciunea altor electroni din jurul său. Este exact acest aşa numit efectde ecranare sau aciune de protejare, care este exprimată din nevoia de a substrage oanumită cantitate σ, numită constanta de ecranare, de Z.

Trebuie să notăm că ecuaia (5.61) este bazată pe presupunerea că σ-constanta deecranare are aceeaşi valoare pentru ambii termeni. În realitate, ecranarea de exemplu,pentru termenul K va fi mai slabă decât pentru termenul L, pentru că un electron în stratulL este ecranat de ambii electroni din stratul K. În plus, ceilali electroni ai stratului L



52

joacă un anumit rol în ecranare, în vreme ce un electron al stratului K este ecranat doar decelălalt electron al stratului K. Formula (5.61) se poate scrie mai strict sub forma:

Efectul Zeeman

Prin efect Zeeman se înelege despicarea nivelelor de energie în urma aciunii

unui câmp magnetic asupra atomului. Despicarea nivelelor are ca urmare despicarea

liniilor spectrale în componente. Această despicare a fost descoperită în 1896 de

fizicianul olandez Pieter Zeeman.

Oexplicaie cantitativă a acestui efect a fost dată de Lorentz pe baza teorieielectronice, însă o explicaie riguroasă este dată cu ajutorul mecanicii cuantice.

Vom considera cazul simplu (sau normal) al efectului Zeeman când avem de-am

face cu o despicare în trei linii.

Experimentul arată că dacă o sursă care emite spectru de linii se introduce într-un

câmp magnetic (între polii unui magnet) are loc o despicare a liniilor spectrale în mai

multe componente ce au frecvenele situate simetric faă de frecvena iniială (fig.5.1). În

cazul simplu la observarea după o direcie perpendiculară pe direcia câmpului magnetic

(efect transversal) se constată că linia iniială se despică în trei componente. Componenta

π are aceeaşi fecvenă ω0 ca şi linia iniială şi este polarizată liniar într-un plan care

cuprinde vectorul B al câmpului magnetic, în timp ce componentele σ sunt deplasate faă

de frecvena iniială cu cantitatea ω ∆± proporională cu B şi sunt polarizate într-un plan

perpendicular pe B . Dacă observaia se face pe direcia câmpului (efect longitudinal),

componenta π nu apare, iar componentele σ sunt polarizate circular. Efectul simplu apare

numai pentru liniile care provin din tranziiile de singlet (S (numărul cuantic de spin)=0)

Efectul de mai sus a fost observat când liniile iniiale nu au o structură fină

(singlei). Pentru liniile ce au o structură fină numărul de componente este mai mare, iar

efectul se numeşte efect Zeeman complex sau anormal.



53

ms

+11P1 0

-1

σ π

0ω h

1S0

ω ω ∆−0 0ω ω ω ∆+0

f ără câmp cu câmp

Fig.5.1

Efectul de mai sus a fost observat când liniile iniiale nu au o structură fină

În cazul liniei 5896 Å ( )2 / 12

2 / 12 SP → din dubletul sodiului situaia este cea din figura 5.2

5896 Å

( )2 / 12

2 / 12 SP →

Fig. 5. 2



54

Dăm în continuare explicaia fenomenului Zeeman în cazul câmpurilor slabe,

când se admite că între momentul orbital rezultant I şi momentul de spin rezultant se

menine un cuplaj normal, prezena câmpului magnetic fiind tratată ca o perturbaie mică.

Din punct de vedere clasic unui sistem cu moment magnetic M MM M aflat într-un

câmp magnetic B se exercită un cuplu BC ×=M . Energia de interaciune este deci:

∫ +−=+−== const Bconst Bd BW zMMM θ θ θ cossin

(am considerat B x= B y=0, B z= B).

Operatorul cuantic al energiei perturbatoare va fi:

BW z

µ ˆˆ −=

Din

=

−=

hI

II

I

M

m

mg

z

B z µ 1

B

z

z g µ

µ

h

=⇒I

, deci

z B BgW I ˆˆ ⋅+=h

µ .

Dacă se notează cu 0 H hamiltonianul sistemului neperturbat, după aplicarea

câmpului magnetic vom avea:

W H H ˆˆˆ0 += ,

iar ecuaia Schrödinger atemporală se va scrie:

Ψ=Ψ+Ψ=Ψ W W H H ˆˆˆ0 . (A)

În absena perturbaiei : Ψ+Ψ W H 0ˆ (B)

W 0 fiind valorile proprii ale lui 0ˆ H .

Deoarece Ψ=Ψ hI

I m zˆ urmează că:

Bm

lgm Bgm BgW

B z B

2ˆˆ h

hII

I =Ψ+=Ψ+=Ψ µ µ

(C)

Introducând (B) şi (C) în (A) rezultă

Bm

lgmW W

20

hI

+= .

Numărul cuantic magnetic este supus regulii ,0=∆ jm 1± .



55

Efectul Pachen-Back (1921). În câmpuri magnetica foarte intense avem o rupere a

cuplajului L , S , iar efectul Zeeman complex se transformă într-un efect Zeeman simplu.

Efectul Stark. Se referă la despicarea liniilor în câmp electric.

Teoria benzilor de energie în cristale

Electronii de valenă într-un cristal nu au o mişcare în întregime liberă – câmpulperiodic al reelei acionând asupra lor. Ca rezultat spectrul valorilor posibile ale energieise rupe într-un număr de benzi permise şi interzise.

Vom prezenta în continuare modelul benzilor de energie bazat pe animitesimplificări.

Variaia periodică a potenialului electronului în cristal este prezentată în figura 1. X

Figura 1Se observă că electronul se mişcă în câmpul periodic al reelei cristaline,

satisf ăcând lipsa de electroni a ionilor pe lângă care trece f ără a fi legat. Un astfel deelectron se numeşte cuasiliber. Câmpul electric al reelei poate fi prezentat sub forma

)( na xV V += Pentru electronii sificient de puternic legai de atomi energia potenială va fi scrisă

sub forma:V V V

a δ += unde V a este energia electronilor în atomii izolai. Într-un cristal V a este o funcieperiodică cu o perioadă egală cu parametrul reelei, deoarece există o recurenă învaloarea energiei câand electronul se mişcă de la un atom la altul.

V δ reprezintă o corecie care se face având în vedere efectele atomilor alăturai peenergia electronilor.

Dacă se neglijează corecia V δ , aceasta fiind aproximaia de ordin zero, se poateconsidera că descrierea stării electronului se realizează prin

aΨ=Ψ , iar energia esteW=W (n,l) ceea ce corespunde cazului unui electron aparinând unui atom izolat. n şi l

sunt numerele cuantice principal şi orbital, care determină energia electronului în atom.Diferena între un cristal şi un atom izolat este că într-un atom izolat un nivel de

energie specificat W (n,l) este unic, dar într-un cristal alcătuit din N atomi sunt N astfel denivele. Cu alte cuvinte fiecare nivel de energie într-un atom izolat este de N ori degenerat într-un cristal. O astfel de degenerescenă se numeşte transpoziională.

Vojm estima corecia V δ în energia potenială. Dacă atomii izolai sunt puşi împreunăsă formeze reeaua, fiecare atom suferă câmpul vecinilor cu care



56

interacionează. Astfel de interacii duc la degenerescenă transpoziională Fiecare nivelnedegenerat se despică în N subnivele formând o bandă de energie.

Pentru a stabili distribuia energiei electronilor ……..dintr-un cristal tratăm cazulcel mai simplu al unei reele unidimensionale – modelul Kronig-Penney.

Modelul se referă la un electron ce se mişcă într-o succesiune de gropi de

potenial de adâncime V 0 şi de lăime c despărite prin perei de grosime b. Fiecărui iondin reea îi corespuinde o astfel de groapă, încât a este chir constanta reelei.

c V 0 b

Starea unui electron cu energia W mai mică decât înălimea barierei situat încâmpul reelei, în aproximaia de ordin zero, este descrisă de ecuaia Schrödinger:

( ) 02

22

2

=Ψ−+Ψ

V W m

dx

d

h

Pentru regiunea I 0< x<c, V =0 deci xik xik

Be Ae x 11)(1−+=Ψ (2)

unde21

2

h

mW k =

iar pentru regiunea a II-a –b< x<0 V =V 0 xk xk

DeCe x 22)(2−

+=Ψ (3)

20

2

)(2

h

W V mk

−=

Fizicianul american Felix Bloch a arătat că soluia ecuaiei Schrödinger cu cazulunui potenial periodic are forma:

)exp()( ikr r uk k =Ψ unde U k ( r ) este o funcie ce are periodicitatea potenialului, adică a reelei.

Este necesar, aşadar ca soluiile determinate de (2) şi (3) să fie funcii de tipBloch, adică

ikxe xu x )()( 11 =Ψ şi ikxe xu x )()( 22 =Ψ

Se obine:( ) ( ) xk k i xk k i

Be Ae xu+−− += 11)(1

( ) ( ) xik k xik k DeCe xu

+−− += 22)(2 Coeficienii A, B, C, D se determină din condiia de continuitate a funciei u( x) şi

aprimei derivate a ei în punctele unde potenialul se schimbă brusc, precum şi dincondiia de periodicitate.

Din continuitatea lui u( x) la x=0 se obine



57

A+B=C+D,

iar din continuitatea luidx

du:

( ) ( ) ( ) ( )ik k Dik k C k k Bik k Ai +−−=+−− 2211

Din periodicitate:pentru u( x)

( ) ( ) ( ) ( ) )()( 2211 bk ik bk ik cik ik cik ik DeCe Be Ae

−−−−+−−−+− +=+

pentrudx

xdu )(

( ) ( ) ( ) ( ) =−−++− −−+− cik ik cik ik eik ik Beik ik A 11

11 (2k ik +−

( ) ( ) ( ) )(2

)( 22 bk ik bk ik Dek ik Ce

−−−−+− −−+

Pentru ca sistemul să fie compatibil este necesar ca determinantul să fie nul. Seobine:

( ) k bcck bk ck bk k k

k k

)cos(coscoshsinsinh2 121221

21

22

+=+

−

Problema se simplifică dacă se consideră grosimile barierelor de potenial tinzând

la zero, iar înălimile tinzând la infinit, încât bV 0 să rămână constant (când 0→b ,∞→0V )

2sinh

22

2

0

12

bk bk eebk

W V

k k

−−=

>>

>>

Ecuaia devine:

kcck ck bV m

k coscossin)(1

11

2 / 1

20

1

=+

h(4)

Ecuaia (4) este de formakcck F cos)( 1 = (5)

fiind o ecuaie transcendentă ce leagă mărimean k 1 (proporională cu W 1/2) de vectorul de

undă k . Soluiile ecuaiei (5) permit construirea funciilor Bloch ce descriu starea reală aelectronilor.

F (k 1c)

+10 k 1c

-1



58

Se obin benzi permise de energie separate prin benzi interzise, având în vedere că funcia cos k 1c nu poate lua valori decât între –1 şi 1. Se vede că pe măsură ce k 1 ( deci W ) creşte lărgimea benzilor interzise scade şi cea a celor permise creşte.

Cu cât produsul cbV 0 este mai mic cu atât curba F (k 1c) este mai bine cuprinsă înintervalul (-1, 1) deci lăimea gbenzilor permise este ami mare.

Dacă cbV 0 este mare benzile interzise sunt mult mai mari, iar în locul benzilorpermise se obin stări (având în vedere că F taie perpendicular dreptele duse la –1 şi +1).Avem astfel situaia unei particule într-o groapă cu perei infinii.

Zona Brillouin

În aproximaia electronilor liberi, dependena de energie a electronilor de numărul

de undă este reprezentată în fgura…

=

m

k W

2

22h

W

0 k Valorile energiei formează o secvenă cuasicontinuă. Graficul W (k ) constă din

puncte discrete. Aceste puncte sunt însă atât de dense încât vizual ele alcătuiesc o curbă continuă.

Când câmpul este periodic dependena lui W de k are forma din figura…

W

a

π − 0

a

π k

a doua zona prima zonă a douaBrillouin Billouin zonă Brillouin



59

Se vede că există benzi în care energia se schimbă cuasicontinuu (benzi permise)ce alternează cu benzi interzise.

Fiecare bandă constă din nivele discrete apropiate al căror număr este egal cunumărul atomilor în cristal.

Regiunea din spaiul k în care energia electronului se schimbă cuasicontinuu se

numeşte zonă Billouin. În figura de mai sus sunt prezentate zonele pentru un cristalunidimensional. S-a văzut deci că spectrul valorilor posibile ale energiei electronilor devalenă îtr-un cristal este împărit într-un număr de benzi permise şi interzise. Lărgimeabenzilor nu depinde de dimensiunile cristalului. Însă numărul de atomi într-un cristaldetermină numărul nivelelor dintr-o bandă. Lărgimea benzilor permise are valoarea deordinul a zeci de eV. Dacă un cristal are 1023 atomi, atunci distană între nivele alăturatebandă este în jur de 10-23 eV.

Pe fiecare nivel se pot află doi electroni cu spin opus.Existena benzilor de energie face posibilă explicarea existenei metalelor,

semiconductorilor şi dielectricilor.

Wc

Wc ∆E∆W

Wv Wv WWv =Wc

Metal Semiconductor Dielectric

Banda formată din nivele pe care electronii sunt în starea de bază este banda de

valenă. La zero absolut electronii de valenă umplu nivelele cele mai de jos în perechi.Benzile mai înalte sunr f ără electroni.În cazul metalului electronii umplu banda de valenă parial. Cu energii suficient

de mici (10-23 – 10-22 eV) ei se vor transfera pe nivele mai ridicate.Energia de mişcare termică este de 10-4 eV la 1K. Deci la temperaturi apropiate de

zero absolut electronielectric în direcie opusă acestui câmp.i setransferă pe nivelesuperioare. Energia adiională datorată aciunii unui câmp electric asupra electronuluieste suficientă pentru a transfera electronii pe nivele superioare. În consecină electroniisunt accelerai de un câmp

Banda de valenă la un metal se numeşte şi bandă de conducie.

Presupunem aplicat un câmp E EE E cristalului. Câmpul acionează asupra electronului

cu F=qE EE E care duce la o schimbare a vitezei. Deoarece acceleraia sau frânarea produc o

schimbare a energiei electronului, aceasta este echivalentă cu tranziia electronului de la o

stare la altă stare energetică.



60

In cazurile b şi c nivelele benzii de valenă sunt pline cu electroni. Pentru a creşte

energia electronului este necesar să se dea o importantă cantitate de energie mai mare

decât energia benzii interzise.

În aceste condiii proprietăile elctrice ale cristalelor sunt determinate de lăimea

benzii interzise ∆W.

Dielectricii includ solide cu benzi interzise mari. Pentru dielectric Wg>3

eV.

Pentru diamant Wg=5,2 eV.

Semiconductorii au benzi relativ înguste Wg≤1 eV.

Pentru germaniu Wg=0,66 eV

Pentru siliciu Wg=1,08 eV

Dinamica electronilor în reeaua cristalină. Masa efectivă

Numărul de undă k este legat de impulsul unui electron prin ecuaia k p h= .

Dacă se substituie k în relaia de incertitudine ∆ p∆ x~ħ se obine

∆k ∆ x~1

Se vede că dacă vectorul k este determinat, poziia electronului în cristal va fi complet

nedeterminată. Dinamica electronului se referă la viteza şi acceleraia sa. Dar pentruavorbi de viteză electronul trebuie localizat, cel puin aproximativ în spaiu.

Presupnem ∆k diferit de zero. Electronul va fi deci localizat în regiunea ∆ x~k ∆

1.

În concordană cu principiul superpoziiei funcia de undă a unui electron poate

fireprezentată ca o suprapunere de unde plane de forma k ie având valorile lui k cuprinse

în intervalul∆k . Dacă ∆k nu este mare, superpoziia undelor plane formează un pachet de

undă. Maximul amplitudinii rezultante se deplasează cu viteza:

dk

d v

gr

ω = (1)

Cum localizarea cea mai probabilă a unui elctron coincide cu centrul pachetului de undă,

rezultă că viteza de grup este viteza unui electron în cristal. inând seama de relaia

h=W , şi substituindn ω în (1) se obine



61

dk

dW v

gr h

1= (2)

Urmărim comportarea unui electron aflat sub aciunea unui câmp electric extern E

impus de cristal. Asupra electronului se va exercita o foră E qF = . În timpul dt această

foră va efectua lucrul dt Fvd gr =α . Introducând expresia lui gr v din (2) se obine:

dt dk

dW F d

h=α (3)

Acest lucru produce o creştere a energiei electronului în cristal: dW d =α .

inând seama că dk dk

dW dW

= şi introducând în (3) rezultă:

dt dk

dW F dk

dk

dW

h

=

de unde rezultă

h

F

dt

dk = (4)

Acceleraia electronului în cristal se obine difereniind în timp (2)

dt

dk

dk

W d

dk

dW

dt

d

dt

dvgr

⋅=

= 2

211hh

Înlocuind (4) rezultă:

hh

F

dk

W d

dt

dvgr

2

21=

Formula se mai scrie:

dt

dv

dk W d

F gr

=

2

2

2h

(5)

Comparând (5) cu legea a doua a lui Newton:

F dt

dvm =

se obine:



62

2

2

2

*

dv

W d

hm = (6)

Cantitatea dată de relaia (6) joacă formal rolul masei faă de fora F=eE E E E . De

aceea ea este numită masă efectivă a electronului în cristal. Masa efectivă m* poate diferi

de masa actuală a unui electron, în particular ea poate lua şi valori negative.

Valoarea lui m* determină natura mişcării unui electron sub aciunea unui câmp

extern al reelei.

Cunoscând masa m* a unui electron se poate studia comportarea sa sub aciunea

unei fore eE considerând electronul liber.

Urmează că relaiile obinute pentru cazul aproximaiei electronillor liberi suntmeninute pentru electronii ce se mişcă într-un câmp periodic, dacă se înlocuieşte masa

adevărată cu masa efectivă.

În particular, pentru un câmp periodic se scrie

22

*2k

mW

h= .

După o dublă difereniere cu privire la k se obine:

*

2

2

2

mdk

W d h

=

ceea ce concordă cu definiia lui m*.

Să vedem cum depinde masa efectivă de “localizarea” electronului în interval de

benzi cu energie permisă.

W

B

A



63

0a

π k

În apropierea fundului benzii (punctul A) curba diferă puin de curba electronilor

liberi deci mm ≈* . În punctul de inflexiune B: 02

2

=dk

W d , deci m* devine infinit.

Aceasta înseamnă că un câmp eelectric extern nu exercită aciune pe mişcarea unui

electron într-un câmp extern cu energia W B. În apropierea vârfului benzii (punctul C)

02

2

<dk

W d (cantitatea

dk

dW scade cu creşterea lui k ). Masa efectivă este deci negativă.

Aceasta înseamnă că sub aciunea forelor eE EE E şi F const un electron cu energia W C primeşte

o acceleraie opusă în direcie forei externe eE .

fizica22

Documents