Electroenergetica ~i electrotehnica

EXPRESII GENERALE ALE POTENrIALULUI VECTOR PENTRU CIMPURILE MAGNETICE CVASISTArIONARE

CU SIMETRIE AXIALA

DE

I. R. CIRIC

517.9: 621.31

In ecuatia 'iectoriala de tip Helmholtz satisfacuta de potentialul vector al clm­pului magnetic cvasistationar cu simetrie axiala din interiorul conductoarelor in regim permanent sinusoidal, variabilele se separa in acelea~i conditii ca in ecuatia scalarli Helmholtz, prin urmare in urmlitoarele sisteme de. coordonate curbilinii ortogonale de rotatie : cilindrice, sferice, ale sferoidului alungit, ale sferoi­dului turtit ~i parabolice. Ca ~i in cazul ecuatiei scalare Laplace, prin efectuarea unor transformari de functie corespunzlitoare, ln ecuatia vectorialli de tip Laplace satisfacuta de potenValul vector din exteriorul conductoarelor variabilele se pot separa, bi plus fata de cazul ecuatiei de tip Helmholtz, atlt ln coordonate toroidale, cit ~i in coordonate bisferice. ln lucrare se obtin expresii generale ale potentialului vector pentru interiorul con­ductoarelor ~i pentru exteriorul lor in principalele sisteme de coordonate curbi­linii ortogonale de rotatie.

1. INTRODUCERE

1n numeroase probleme de curenti turbionari (incalzire prin in­ductie, ecra.nare electromagnetica, levitatie electromagnetica), de efect pelicular, de efect de proximitate etc., este necesar sa se determine cimpul magnetic cvasistationar [1] in prezenta unor conductoare masive imo­bile, intregul sistem prezentind simetrie de rotatfo in raport cu o axa ( simetrie axiala).

Pentru determinarea cimpului magnetic cvasistationar al unor astfel de sisteme, trebuie sa se tina seama de urmatoarele particularitati ale acestora:

- suprafetele de discontinuitate ale cimpului din exteriorul fJi din interiorul conductoarelor sint, ca ~i suprafetele conductoarelor inse~i, suprafete de rotatie in raport cu o axa · comuna ;

St. cerc. energ. electr., tom. 20, nr. 3, p. 591....,,613, 1970

592 I. R. CIRIC 2

- conductoarele ~i mediul din afara conductoarelor sint consti­tuite din materiale liniare, izotrope ~i omogene pe port;iuni din punct de vedere magnetic ~i electric, fara magnetizat;ie permanenta, dielec­tricul din exteriorul conductoarelor fiind perfect izolant ;

- cimpul magnetic este un cf-mp magnetic cu simetrie axiala [2 ], avind liniile de cimp cont;inute in planele determinate de axa de simetrie a sistemului considerat, spectrul cimpului magnetic fiind acela~i in ori­care dintre aceste plane.

ProprietaWe cimpului magnetic cvasistat;ionar cu simetrie axiala atit pentru regimul permanent sinusoidal, cit ~i pentru regimul tranzi­toriu sint analizate in lucrarea [2 ], in care se stabilesc ~i condit;iile de determinare univoca a solut;iilor ecuat;iilor cimpului.

ln lucrarea de fat;a se considera numai regimul permanent sinu­soidal al cimpului, regim care intereseaza in piod deosebit in aplicat;iile practice.

2. ECUATIILE CIMPULUI MAGNETIC CVASIST~TIONAR CU SIMETRIE AXIALA .

Ecuat;iile cimpului magnetic cvasistat;io'r_ar in medii liniare, izo­trope ~i omogene cu permeabilitatea µ ~i conductivitatea a se scriu in regim permanent sinusoidal de pulsat;ie Co.1 sub forma

rotH= J, (1)

(2)

div(µ H) = O, (3)

J = a E (in dielectric a=i:O), (4)

in care H ~i "!} sint intensitat;He cimpului magnetic ~i, respectiv, electric, .f_ este densitatea curentului electric de conduct;ie, iar notat;ia cu bara dedesubt simbolizeaza reprezentarea in complex a marimilor respective in regimul permanent sinusoidal considerat [1] (H (r, t) =Im { V2 0Jwt H(r)} etc., r fiind vectorul de pozit;ie al punctului curent din cimp, iar t timpul).

Determinarea cimpului se poate face coµiod cu a.jutorul potent;ia­lelor electrodinamice (reprezentate in complex), care se introduc finind seama de ecua t;iile ( 3) ~i ( 2) prin rela t;iile

1 H= -rot A, - µ -

E = - grad !'" - jwA, I

(5)

(6)

unde 4 este potentialul magnetic vector' iar r' potentialul electric scalar.

3 POTENl'IALUL VECTOR PENTRU C!MPURILE MAGNETICE CVASISTATIONARE 593:

Cimpul magnetic cu simetrie axiala ( H'I' = o, :: = O) se poate,

scrie sub forma

H = u,fL (z, r) + u,H, (z, r), (7)

in care r, cp, z sint coordonatele cilindrice circulare ale unui punct curent. (fig. 1), drept axa Oz fiind aleasa tocmai axa de simetrie a sistemului,. iar u, ~i u, sint versorii orientati in sensul de cre~tere al coordonatelor z, respectiv r. Fara a particula.riza acest cimp magnetic, se poate alege un. potential vector strict tangential (.4, = O, -4, = O), independent de coor-

donata cp ( ~~ = 0) ~i deci strict solenoidali

· . 1 oA A=u9 ,4(z,r), d1vA=--===O, -: - r ocp (8)•

u"' fiind versorul orientat in sensul de cre~tere al coordonatei cp. Relatia (5)· se poate scrie deci sub forma

1 1 H =--grad(rA) x u'I' - µ r 'I

- H = _!___!__ o (r,4) , -· µ r or

(9)-1 oA

H = -----=-, _, µ oz

care asigura verificarea ecuatiei (3) fara sa introduca vreo restrictie asupra. cimpului (7).

Vectorul H satisface in interiorul conductoarelor ecuatia vectoriala. de tip Helmholtz

ll.H-y2 H = O, - - (10)'

iar in exteriorul conductoarelor ecuatia vectoriala de tip Laplace

AH= o, (11}

unde s-a notat 1

1 ( 2 1 y=(jwµa)2 = w~a) (1 +j) = a(l +j), (12)-

8 fiind adincimea echivalenta de patrundere a cimpului electromagnetic: in semispatiul conductor [3 ].

594. I. R. CIRIC 4

~inind seama de relatiile (5), (6) ~i (8), re21ulta ca potentialele electro­~inamice satisfac ecuaWle

AA - y24 =µa grad I, AV=O

in interiorul conductoarelor ~i

AA=O,

AV=O

(13)

(14)

(15)

(16)

in dielecticul din exteriorul conductoarelor (presupus neincarcat cu sarcini electrice).

Pentru cimpul electromagnetic cvasistavionar al sistemelor cu si­metrie axiala [2], potentialul electric scalar ~ este constant in interiorul conductoarelor nealimentate cu curent din' exterior (pasive) ~i depinde liuiar de coordonata unghiulara p in interiorul conductoarelor alimentate cu curent din exterior (active). in acest caz, !ecuatiile (10), (11), (13) ~i (15) se scriu in coordonate cilindrice circulare corespunzator sub forma

__!___i_[r(oH, _ oHr)]- y~!L = O, r or or oz - . -

i_ ( oHr __,., oH,) = o, oz oz or

I

__!_~ [r ( oH, _ oHr )] = O, . r or ' or oz -

1 dV

- - - (r4) + ----=---y2 4 = r dtp a [ 1 a ] 02 .A µa - -:--=--or r or oz2 0

- --(r.A) +------=-- = 0. a [ 1 o ] a2.A

or r or ~ oz2

in conductoa­rele active,

in conductoa­rele pasive,

(10')

(11')

(13')

(13")

(15')

Ecuatiile satisfacute de vectorul H sint, in general, mai compli­cate ~i se utilizeaza mai rar. Cele mai utilizate pentrudeterminarea cim­pl;i.rilor. magnetice cvasistationare cu simetrie axiala sint ecuatiile satis­facute de potentialul vector ((13") ~i (15') ).

5 POTENTIALUL VECTOR PENTRU C!MPURILE MAGNETICE CVASISTATIONARE 595

Odata cunoscute solutiile generale ale ecuatiilor satisfacute de potentialul vector, determinarea completa a acestuia se face impunind conditiile de trecere pe suprafetele de discontinuitate ale cimpului. Pe suprafetele conductoarelor reale [2], aceste conditii se scriu sub forma

(17)

A -A =0 __ ez ~tn ' (18)

in care -0- simbolizeaza derivata dupa normala exterioara pe supra-

onv fetele conductoarelor, iar indicii ex ~i in se refera la valorile din exteriorul ~i, 1espectiv, din interiorul conductoarelor. Pe suprafetele conductoarelor perjecte [2], conditfa. (17) se transcrie sub forma

1 1 a ------(r4,x) =./_.,,

r flex onv (19)

care serve~te pentru determinarea densitaW .Z. a pinzdor de curent de pe suprafetele acestor conductoare ; pentru conductoarele perfecte intepate de catre axa de simetrie a sistemului, conditia de trecere (18) devine

(20)

Conditiile de trecere de tipul (17) exprima saltul componentelor tangentiale ale intensitatii cimpului magnetic, iar conditiile de trecere de tipul (18) exprima conservarea componentelor normale ale inductiei magnetice.

A vind potentialul vector, se poate obtine imediat intensitatea cim­:pului magnetic in interiorul ~i in exteriorul conductoarelor (cu relaWle (9)), densitatea curentului electric in coductoare (cu relatia (1)) ~i intensi­tatea cimpului electric in interiorul conductoarelor (cu relatia (4)).

Observatii. a) Solutia generala a ecuatiei neomogene (13') se poate

-0btine, in principiu, adaugind solutia particulara 4p = KP la solutia r

generala a ecuatiei omogene, constanta KP urmind a fi determinata im­preuna cu celelalte constante de integrare din conditiile problemei con­.siderate.

b) Solutiile ecuatiei (15') (de tip Laplace) se pot obtine de multe -0ri direct din solutiile ecuatiei omogene (13") (de tip Helmholtz), facind in acestea din urma y = 0.

3. SEPARAREA VARIABILELOR IN ECUATIILE POTENTIALULUI VECTOR

0 metoda exacta pentru integrarea ecuatiilor diferentiale cu deri­vate partiale liniare cu coeficienti constanti este metoda separarii varfa­bilelor. 0 conditie necesara, dar nu ~i suficienta pentru a putea aplica

7 - c. 5517

596 I. R. CIRIC 6

aceasta metoda este ca toate suprafetele de discontinuitate ale cim­pului (de exemplu suprafetele conductoarelor situate in cimp) sa fie su­prafete de coordonate intr-un sistem oarecare de coordonate curbilinii ortogonale atit in privinta domeniului dintr-o parte, cit ~i in privinta domeniului din cealalta parte a fiecarei suprafete, astfel incit sa se poata pune conditiile de trecere corespunzatoare (de tipul conditiilor (17) ~i (18) ).

Pentru a putea utiliza metoda separarii variabilelor mai este necesar ca sistemul de coordonate curbilinii ortogonale in care se lucreaza sa satisfaca anumite conditii. In cele ce urmeaza se pun in evidenta in mod direct conditiile in care se pot separa variabilele in ecuatiile potentia­lului vector (13") ~i (15') referitoare la sistemele cu simetrie axiala.

Transformarea generala cu ajutorul careia se poate exprima lega­tura dintre sistemele de coordonate curbilinii ortogonale de rotatie ~i sistemul de coordonate cilindrice circulare este [4]

z + jr = f ( oc + j ~), (21)

in care oc ~i ~ sint parametri ai unor familii de suprafete de rotatie (a caror axa este tocmai axa Oz), ortogonale intreele ~ifatade semiplanele cp = const.

In sistemul de coordonate oc, ~' cp, patratul elementului de arc al unei curbe este

<as) 2 =f' (oc + j~)f' (oc - j~) [(doc) 2 + (d~) 2 ] + r 2 (dcp) 2, (22)

iar parametrii lui Lame corespunzatori sint

h~ = h~ =f' (oc + j~)f' (oc - j~) = lf'l 2, h; = r 2

• (23)

Ecuatia (13") se transcrie in coordonatele oc, ~' cp sub forma

-- - --(h~A) +- --(h A) -v2A=O. 1{a[1 a l a[1 a· J hrxhf; ooc h'P ooc .,._ a~ h'I' a~ 'I'- • -

(24)

Metoda separarii variabilelor pentru integrarea ecuatiei (24) consta in cautarea unor solutii avind forma produsului F (oc) G (~) dintre dorn1 functii de cite o singura variabila independenta. Inlocuind acest produs in (24) ~i impartind cu F (oc) G (~) (se cauta solutii diferite de zero), se ob tine

Rezulta ca, pentru ca variabilele oc ~i ~ sa poata fi separate in ecuatia potentialului vector scrisa sub forma (24), functia f (oc + j~) trebuie. sa fie histfel incit sa fie indeplinite urmatoarele conditii :

7 POTENTIALUL VECTOR PENTRU C!MPURILE MAGNETICE CVASISTA'fIONARE 597

.. 1 1 ohq> . 1 ohq> v f. f .. . d A - expresu e - -- ~1 - -- sa ie unctu numa1 e cite o singura hq> Oct. hq> o~ '

variabila, ct. ~i, respectiv, ~ :

(26)

(27)

conditii echivalente cu conditia ca h(j) sa fie produsul unei functH numai de ct. printr-o functie numai de ~ ;

- produsul h" hr> sa fie sau functie numai de ct., sau functie numai de ~' sau suma a doua functii una numai de ct. ~i cealalta numai de ~ :

h'J. h~ = F 2 (ct.)+ G2 (~). (28)

tn aceste conditii, din ecuatia (25) rezulta ca

(29)

~i simultan

(30}

in care t..2 este o constanta reala ~i pozitiva deocamdata nedeterminata. Ecuatiile diferentiale ordinare (29) ~i (30) se scriu dezvoltat sub forma

Prin urmare, daca functia j (ct. + j~) (21) satisface tuturor conditiilor enumerate mai sus (26)-(28), ecuatia (24) a potentialului vectordin interiorul conductoarelor se poate trata cu metoda separarii variabilelor.

Pentru ca separarea variabilelor sa se poata face in ecuatia mai ;impla (15') a potentialului vector din exteriorul conductoarelor, ecuatie 3are se scrie cu ajutorul coordonatelor ct., ~' r.p sub forma

- ---(hA) +- ---(hA) =0 o[l 0 j o[l 0 ] Oct. hq> oct. q>_ o~ hq> o~ q>_ '

(31)

'unctia j (ct. + j ~) trebuie sa fie astfel incit sa fie satisfacute doar conditiile, 26)-(27), nemaifiind necesara satisfacerea conditiei suplimentare (28).

598 I. R. CIRIC 8

Mulyimea valorilor J.. ~i a constantelor de integrare corespunzatoare solutiilor ecuayiilor (29')-(30'), cu ajutorul oarora se construie~te soluyia

generala -4 (ex., ~) = ~F,. (ex.) G,_ ( ~) a ecuayiei (24), se determina din con­

diyiile (de frontiera ~i de trecere, de regularitate) care se impun in fie. care pro blema in parte.

4. SOLUTII GENERALE ALE ECUATIILOR POTENTIALULUI VECTOR

in cele ce urmeaza se considera diferite domenii de forma particu­lara, marginite de suprafeye de coordonate corespunzatoare principalelor sisteme de coordonate curbilinii ortogonale de rotayie, ~i se stabilesc expresiile generale ale potenyialului vector din interiorul conductoarelor ~i diri exteriorul acestora.

4.1. Ooordonatele cilindrice circulare se utilizeaza fn cazul domeniilor marginite de supraj efele unor cilindri circulari drepti coaxiali sau de supra­jefele plane perpendiculare pe axa de simetrie. Funcyia f (ex. + j ~) este banala in acest caz :

z + jr = z + jr, (32)

coordonatele ex., ~' q> fiind chiar coordonatele cilindrice z, r, q> (fig. 1). Ecuayia potenyialului vector in interiorul conductoarelor pasive este (13"), far in exteriorul conductoarelor (15'). Paranietrii lui Lame sint

ha. = hr> = 1, h~ = r ;

z

Fig. 1. - Sistemul de coordonate cilin­

drice circulare.

(33)

condiyiile (26)-(28) fiind satisfacute, in ambele ecuayii variabilele se separa. Daca se considera, de exemplu, F 2 = Q, ecuatiile (29) ~i (30) devin, respectiv,

rF" (z) =t= J..2F (z) = O, .

lG"(r)+ >G'(r)+(±J..2 -y2- : 2 )G(r)=0.

(34)

(35)

9 POTENTIALUL VECTOR PENTRU C!MPURILE MAGNETICE CVASISTA'fIONARE 599

Observind ca ecuat;ia (35) este de tip Bessel, solut;iile ecuat;iilor (34) ~i (35) se vor scrie sub forma

[Ft.. (z) = Gt..e"• + Dt.. e-"•, Gt.. (r) = M 1, J 1 (r V t.2 - y2) + .Nt.. Y1 (r V t.2 - y2),

1

pentru semnul superior al lui t.2, ~i sub forma

[Ff.. (z) = cf.. cos AZ+ DA sin AZ,

Gt.. (r) = Mt.. 11 (rV1. 2 + y2) + N" K 1 (r y ,_2 + y2),

(36)

(37)

(38)

(39)

pentru semnul inferior al lui J.2 ; J 1 ~i Y1 sint junctiile Bessel de spet;a intii, respectiv a doua, de ordinul intii, iar 11 ~i K1 functiile Bessel modi­jicate de spet;a intii, respectiv a doua, de ordinul intii.

Solutiile corespunzatoare ecuatiei (15') se obt;in din (~6)-(39), facind y = o.

Pentru domeniul care contine axa de simetrie r = O, constantele N" sint nule, deoarece functiile Bessel de speta a doua Y1 ~i K1 sint infinit de mari pentru argumente zero. Pentru domenii extinse pina la infinit, constanta Mt.. din (39) este nula, functia Bessel modificata de speta intii 11 tinzind spre infinit atunci cind argumentul acesteia tinde spre infinit.

4.2. Goordonatele sferice se folosesc pentru domenii marginite de su­prafetele unor sfere concentrice. Functia (21) este in cazul acesta

z + jr = elnR+i6, (40)

coordonatele ex, ~' rp fiind legate de coordonatele sferice R, e, rp (fig. 2) prin relatiile

ex =In R, ~ = 6, rp = rp.

Parametrii lui Lame se scriu sub forma

ha = hr, = R, hep = R sin 6.

z

t Fig. 2. - Sistemul de

coordonate sferice.

(41)

(42)

600 r. R. cmre 10

Oonditiile (26)-(28) sint satisfacute, deci se pot separa variabilele in ambele ecuatii ale potentialului vector ((24) ~i (31)). Se observa ca

(43)

Ecuatia potentialului vector in interiorul conductoarelor (24) se scrie sub forma

--- R 2 ---=- + --- ---(sm 6A) -y2A=0 1 a ( aA ) 1 a [ 1 a . ] R 2 a R a R R 2 a e sitt e a e - - ' (44)

i ar ecuatiile (29') ~i (30') devin

d 2 F(Rl dFm>

[

R2 +2R-- - y2R2F<R) = ±'A2F(R> dR2 dR '

d 2 G dG 1 -- +ctg6----G = =F 'A2 G, d62 d6 sin2 0

(45)

( 46)

in care s-a introdus notatia F(R> ( R) = F (In R). Efectuind schimbarile de functie ~i de varia bila

1

F<R>R2 = llf, cos 0 = 1&t (47)

~i alegind semnul superior al lui 'J..2 , ecuatiile (45)-(46) devin

d 2 1lf 1 dllf A + 4 [

2 1 ]

dR2 + R dR - y2 + R 2 ~ = O, (45')

~[(1 -u2) dGJ + ('J..2 - -1-)G = o.

_du du l-u2 (46')

Se observa ca pentru

)..2 = l (l + 1), (48)

.ecuatia (45') este o ecuatie Bessel mod.ificata in care ordinul functiilor

Bessel mo'dificate este (z + __!_) (functii Bessel sferice de ordinul l), iar 2 - . 10cuatia ( 46') este o ecuatie Legendre generalizata. Solutiile acestor ecuatii se scriu deci sub forma

1

[

Ft> (R) = R- 2 [01 11 +~ (yR) + D1K1 +~ (y R)}

G, (0) = M 1 P} (cos0) + N 1 Q} (cos0),

(49)

(50)

11 POTENTIALUL VECTOR PENTRU CIMPURILE MAGNETICE CVASISTATIONARE 601

in care Pl §i Ql sint funcfiile Legendre asociate de speta intii, respectiv a doua, de indici l §i 1.

Pentru exteriorul conductoarelor (y = O), ecuatia (45') devine o ecua tie de tip Euler :

R2d2SF + R d8F -(t+!)28F=O dR2 dR 2 '

(51)

rezultind in locul solutiei ( 49) solutia

FiR) (R) = GI R' + DI R-(l+l). (52)

.A vind in vedere ca domeniile contin axa de simetrie 6 = o, 6 = 7t,

rezulta ca N 1 = O §i ca l trebuie sa fie un numar intreg pozitiv (l = n). Pentru domeniul care contine originea sistemului de axe de coordonate (R = O), D 1 = O, iar pentru domeniul care se extinde pina la infinit (JI= 0.

Potentialul vector se scrie deci atit pentru interiorul conductoarelor, cit §i pentru exteriorul acestora sub forma

00

A (R, 6) = ~ F~m (R) P~ (cos 6). (53) n=l

4.3. Goordonatele sjerice R, 6, q> se utilizeaza §i 1,n cazul domeniilor marginite de pinzele unor supraf efe con ice coaxiale 6 = const ( 6 =I= 7t)

(fig. 2). 1:n acest caz nu mai exista nici. un motiv pentru a se considera ca l (48) este un numar intreg pozitiv, deoarece domeniile (cu exceptia unuia singur) nu contin semiaxa 6 = 7t §i deci functia Pt (cos 6) este marginita oricare ar fi l .

.Alegind de data aceasta constanta de separare (intotdeauna reala) de forma

rezulta ca

- J..2 = l ( l + 1) < 0'

l . 1 1 = JP - - , cu p rea .

2

Solutiile e cuatiilor ( 45 )-( 46) au forma

[F~R) (R) = R-~ [Gp lip (yR) +DP Kip (yR)],

G11 (6) =Mp P:p _ _!_ ( ± cos 6) + Np Q:p _ _!_ ( ± cos 6), 2 2

(54)

(55)

(56)

(57)

9n care intervin functiile Bessel modificate de ordin imaginar §i de ar­gument complex, precum §i functiile Legendre asociate de indici infe-

riori jp - ..!. (funcfiile conice). 2

602 I. R. CIRIC 12

Pentru domeniile (conductoare sau neconductoare) care contin una din semiaxele 6 = o, 6 = 7t, trebuie ca Np= 0. Functiile P~ 1 ( + cos6)

. w-2 se utilizeaza in domeniul care contine semiaxa 6 = o, iar functiile P'. 1 ( - cos 6) se utilizeaza in domeniul care contine semiaxa 6 = 7t

JP-2

(deoarece P 1 1 (- 1) = oo [4]). Aceste functii nu formeaza un sistem

jp-2

de functii ortogonale. Pentru exteriorul conductoarelor (y = O), ecuatia in R admite

solutii de tipul

(58)

care se mai poate scrie sub forma

I

F1R> (R) = R-2 [0~ cos (p ln R) + D; sin (p ln R)]. (58')

La rezolvarea problemelor trebuie studiata cu atentie vecinatatea originii sistemului de axe de coordonate, R == 0.

Pentru punerea conditiilor de trecere pe suprafetele de separatie 6 = const, este necesar sa se dezvolte fun<ltiile Bessel modificate de ordin imaginar ~i de argument complex, IiP (yR) ~i Ki. (yR), dupa sis-

temul complet de functii ortogonale {cos (pln R)} · sin (pln R)

4.4. Ooordcnatele toroidale a, ~' <p [5], [6] se introduc cu ajutorul functiei

z + jr = jc cth a + j ~ 2

~i sint legate de coordonatele cilindrice z, r, <p prin relatiile

c sin~ Z=

c sh a r=------

ch a - cos~ ch IX - COS~

Parametrii lui Lame sint

c c sh a ha. = ha = , hep = ------

ch a - cos ~ ch a - cos ~

(59)

(60)

(61)

Se constata ca conditiile (26.)-(28) nu sint satisfacute ~i, prin ur..:· mare, nu se poate efectua separarea variabilelor in ecuatiile scrise sub formele care decurg din (24) (pentru interiorul conductoarelor) ~i din (31) (pentru exteriorul conductoarelor).

13 POTEN'.['IALUL VECTOR PENTRU C!MPURILE MAGNETICE CVASISTATIONARE 603

Daca insa se efectueaza schimbarea de functie

1

.A (IX,~) =(ch IX - cos ~)2 Q (IX,~), (62)

ecuatia satisfacuta de functia Q (IX, ~) va fi

y2 02g_

(ch1X-cos~)2 ( 63)

in conductoare,

0 in afara conductoarelor.

Se observa ca, dupa transformarea (62), in ecuatia corespunzatoare exteriorului conductoarelor (de tip l1aplace) variabilele se separa; chiar

z

Fig. 3. - Sistemul de coordonate toroida!e.

in aceasta situatie insa, in ecuatia corespunzatoare interiorului conduc­toarelor (de tip Helmholtz) variabilele nu se separa.

Expresia generala a potentialului vector in mediul neconductor (y = 0) este pentru domeniile marginite de toruri IX = const (fig. 3)

1 pl I

:4 (IX,~)= (ch IX - cos~) 2 Q;-~ cos

ch IX • n~, Slll

(64)

n-2

•604 I. R. CIRIC 14

in care n este un numar intreg datorita periodicitatii dupa variabila ~;

in solutia (64) apar functiile Legendre asociate de indici n - _!_ ~i 1 2

~i de argument ch (J. (funcfiile toroidale sau inelare). Pentru domeniul care contine cercul (J. = + oo, in solutie nu intervin functiile P 1

1 (ch (/.), n-2

iar pentru domeniul care contine axa de simetrie (J. = 0 in solutie nu in­tervin functiile Q1

1 (ch (/.). n-2

La studiul sistemelor care contin domenii marginite de toruri trebuie sa se tina seama ca aceste domenii nu sint intotdeauna simplu conexe.

Cu ajutorul coordonatelor toroidale se poate determina ~i cimpul magnetic in domeniile (neconductoare) mdrginite la exterior de sf ere~ = const care se intersecteaza (fig. 3).

4.5. Ooordonatele bisferice (coordonatele bipolare in spafiu) se pot utiliza in cazul domeniilor marginite de suprafefele unor sfere care nu se intersecteaza, avind centrele pe axa de simetrie a sistemului (fig. 4). Functia de legatura (21) este in acest caz [5], [6)

z + jr = jc ctg (J. + j ~ , 2

(65)

coordonatele bisferice (J.' ~' (j) fiind legate de coordonatele cilindrice z, r, (j) prin relatiile

c sh~ c sin IX (66) Z= r=

ch~ - cos (J. ch~· - cos (J.

Suprafetele de coordonate sint suprafetele de rotatie (J. = const, avind forma unor fusuri cu axa comuna Oz, sferele ~ = const avind cen­trele pe aceea~i axa Oz ~i semiplanele (j) = con,st.

Parametrii lui Lame sint

c c sin IX h(/.=h'i3=-· ' ' hqi=------

ch ~ - cos (J. ch ~ - cos (J.

(67)

Conditiile (26)-(28) nu sint satisfacute ~i deci in ecuatiile scrise .sub formele care decurg din (24) ~i (31) nu se pot separa variabilele. Daca insa se face schimbarea de functie

1

4 ((/.,~)=(ch~ - cos (J.rf Q ((/., ~), ecuatia satisfacuta de functia Tl. ( (J.' ~) este

.a2y_ + a2y_ + ctg(J. fJQ -(_!_ + -. _1_) U = a(J.2 a~2 a(J. 4 sin2 (J. -

,y2 02 y_ (ch~ - COS(J.) 2

ill: conductoare,

0 in afara conduc­toarelor.

(68)

(69)

15 POTENTIALUL VECTOR PENTRU CIMPURILE MAGNETICE CVASISTATIONARE 605

Se observa, ca ~i in cazul coordonatelor toroidale, ca in urma trans­formarii (68) ecuatia corespunzatoare exteriorului conductoarelor (de tip Laplace) i~i separa variabilele, in timp-..ce ecuatia corespunzatoare interio­rului conductoarelor (de tip Helmholtz) ramine cu variabilele neseparabile.

Pentru domenii marginite de sferele (care nu se intersecteaza) fj = const, solutia generala a ecuatiei potentialului vector din exteriorul conductoarelor se scrie sub forma

!"- ±(n+I)i> ,4(ix, ~)=(ch~ - cos ix) 2 e 2 P!(cos ix), (70)

in care n este un nuruar intreg ~i pozitiv pentru ca P! (cos ix) sa fie mar­ginit pentru ix = 7t (in punctele axei Oz cuprinse intre polii z = - c ~i z = + c). Pentrn domeniul care contine polul .~ = + oo, in solutie nu

z

Ol:O

r

Fig. 4. - Sistemul de coordonate bisferice.

se folosesc exponentialele e + ( n + ~)" , iar pentru domeniul care con tine polul -(n+-2) f>

~ = - oo in solutie nu se folosesc exponentialele e 2 •

Cu ajutorul coordonatelor bisferice se poate studia cimpul magnetic (din exteriorul conductoarelor) ~i in cazul domeniilor marginite de jusuri ix= const.

4.6. Ooordonatele elipsoidului de rotatie ( sjeroidului) alungit ix, ~' q> sint legate de coordonatele cilindrice z, r, <p prin relatiile [4], [5]

z + jr = c ch (ix+ j~),

z = c ch ix cos (3, r = c sh ix sin (3.

(71)

(72)

606 I. R. CIRIC 16

Suprafetele de coordonate sint sferoizii alungiti confocali oc = const, 0 < oc < oo (cu focarele in z = ± c, r = 0), hiperboloizii de rotatie con­focali ~ = const, 0 < ~ < 7t (avind focare com1,me cu sferoizii oc = const) ~i semiplanele qi = const, 0 < q> < 27t (fig. 5).

Parametrii lui Lame sint 1

hrx =hr>= c (sh2 oc + sin2 ~)2, h'P = c sh oc sin~- (73)

z

Fig. 5. - Sistemul coordonatelor sferoidului alungit.

Se constata ca sint satisfacute conditiile de separare a variabilelor in ecuatia potentialului vector (24), care devine

___ l --{_!__ (-1- _!_____(sh o:A)J + ~ [-1- _!__(sin ~A)]}-

02 (sh2 oc + sin2 ~) Bo: sh o: Bo: - B~ sin~ B~ -

- y2,4 = 0. (74)

Ecuatiile diferentiale ordinare (29')-(30') pentru semnul al lui J..2 capata acum forma

- + cth oc - - 1.2 + y2 c2 sh2 oc + -- F = O, - d2_F dF ( 1 ) doc2 doc sh2 oc

-- + ctg ~~- + (J.2 -y2c2 sin2 (1 - -.-- G = 0. d2 G dG · 1 ) _ d~2 d~ sm2 ~

superior

(75)

(76)

Daca se utilizeaza (pentru simplificarea scrierii) coordonatele 71, ~' qi [7], legate de coordonatele oc, ~' qi prin relatiile

(77)

!7 ?OTENTIALUL VECTOR PENTRU C!MPURILE MAGNETICE CVASISTATIONARE 607

cu parametrii lui Lame corespunzatori

I .!_

hT)= c(~2 - 'Yl

2

)

2, h'fl = c(~2

- 'YJ2

)

2 ,h~ = c [(l - YJ 2 ) (~2 -1)]~. (78) 1 - 1J2 ll ~2 - 1)

ecuatiile (74), (75) ~i (76) se transforma, respectiv, in

-y2 :4 = o, (7 4')

(75')

(76')

in care s-a_u facut notatiile

(79)

Se observa ca ecuatiile (75') ~i (76') au aceea~i forma, in prima ecuatie variabila fiind cuprinsa in intervalul 1 <. ~ < oo, iar in a doua in intervalul - 1 ~ 1J ~ + 1. Tipul acesta de ecuatii diferentiale ordi­nare a fost studiat mai mult pentru valori reale ale parametrului h [8], [7]. Solutiile ecuatiilor (75'), (76') se pot scrie [9] formal identic cu so­lutiile cunoscute pentru ecuatiile cu valori reale ale parametrului h :

[ Fl~) = cl Rel (h, ~) + Dl Rf.l (h, ~),

G(i~ 1 = M 1 Si~/ (h, 1J) + N, Bi:l (h, 1J),

(80)

(81)

in care Ri~l ~i Ri:I sint junctiile radiale de speta intii, respectiv a doua, ale sferoidului alungit, de indici 1 ~i l, iar Si~l ~i Bi:I sint functiile unghiu­lare de speta intii, respectiv a doua, ale sjeroidului alungit, de aceia~i indici 1 ~i l. Functiile Si~l ~i Bi:l sint de fapt serii de functii Legendre asociate de indice superior 1, iar functiile Ri~I ~i Ri:l sint serii de functii Bessel sferice in ai caror coeficienti a par ca factori distincti tocmai coefi­cientii din seriile Si~l , respectiv Bi:I . Ooeficientii aces tor serii se pot o btine prin rezolvarea unor ecuatii de recurenta, valorile proprii C rezultind ca solutii ale unor ecuatii transcendente care se scriu sub forma de fractii continue.

Deoarece pe axa de simetrie Oz (1J = ± 1) functiile s1:1 capata valori infinit de mari, aceste functiuni nu se folosesc in cazul domeniilor

608 I. R. CIRIC 18

marginite de suprafete ale sf eroizilor alungiti confocali ~ = const, expresia generala a potentialului vector din aceste domenii (conductoare) fiind

4 ('l), ~) = t [01 Ri~! (h, ~) +DI Ri:I (h, ~)] Si~l (h, 'l)). (82) l

Pentru domeniul care con tine segmentul ~ = 1 ( sferoidul degenerat de lungime 2c), in solutie nu se folosesc functiile Ri:l (care prezinta sin­gularitati in punctele cu s = 1), expresia potentialului vector fiind acum

.4 ('fl, ~) = t 01 REl (h, ~) Si~l (h, 'fl). (83) l

Pentru domeniul extins pina la infinit - ~i uneori chiar in lucul solutiei (82) - se poate utiliza pentru potentialul vector expresia

4 ('f), ~) = t [01 Ri:l (h, ~)+DI Ri~! (h, ~)] Si~l (h, 'l)), (84) I

in care Ri:l ~i Ri:l sint functiile radiale de speta a treia, respectiv a patra, ale sferoidului alungit, de indici 1 §i l.

Pentru regiunile din exteriorul conductoarelor (y =0), ecuatia satis­facuta de potentialul vector in sistemul de coor.donate ()(' ~' qi este

!___ [-1- _i_ (sh ()(:4)] + -~ [-.-1- _!_(sin~::!)] = O, ih sh()( ih a~ sm ~ a~

(85)

iar in sistemul de coordonate 'fl, s, qi, (vezi (77))

(1 - 'l)2)2 - [(l-'l)2) 2 :4J + ( ~2-1)2- [( ~2-1)2 :4J = 0. 1 { i 02 i i 02 i }

0 2 ( ~2 _ 'fl2) a'll2 . a ~2 (85')

Ecuatiile diferentiale ordinare satisfacute de functiile F §i G in coordonatele ~' respectiv 'fl, sint ecuatii Legendre generalizate de tipul ecuatiei ( 46') :

- ~ [(1 - ~2) dF'~i] + ['A2 - _1_] F(~J =0 d~ d~ 1-~2

'

~ [(1 - 'tl2) dG('tJ)] +'['A2 - _1_. Jo('tj) =0. - d'fl d'fl l-'lj2

(86)

(87)

Solutiile generale ale acestor doua ecuatii sint (cu (48)) de aceea~i forma:

[FF·1 = cl P~ '~)+DI Q~( s), Gl'1J1 = M1 P~ ('fl)+ N1 Q 1 1(~),

(88)

(89)

19 POTENTIALUL VECTOR PENTRU ClMPURILE MAGNETICE CVASISTATIONARE 609•

in care intervin functii Legendre asociate de argument ~' respectiv de argument 'Yl· Din conditia de marginire a potentialului vector pe axa Oz ( 'Yl = ± 1) rezulta N 1 = 0 ~i l trebuie sa fie un numar intreg ~i pozitiv ( l _ n). Expresia generala a potentialului vector in domeniile exterioare conductoarelor ~i marginite de suprafete ~ = const este, prin urmare,.

00

:4("1J, ~) = ~ [C,.P}.(~) +D,.Q}.(~)] P}.(YJ). (90) n=l

Pentru domeniul care contine sferoidul degenerat ( ~ = 1), conditia de marginire a solutiei impune Dn = O, expresia (90) devenind acum

00

:4 (YJ, ~) = ~ C,.P}. ( ~) P}. (YJ), (91). n=I

iar pentru domeniul extins pina la infinit ( ~ = oo) conditia de marginire a solutiei impune C,. = O, exptesia (90) devenind in acest caz

00

:4 (YJ, ~) = ~ DnQ~ (~) P}. (YJ). (92). n=l

Pentru determinarea diverselor constante de integrare care intervin in expresiile generale ale potentialului vector se pun conditiile de trecere (17)-(18) pe suprafetele de discontinuitate ale cimpului (~ = const in acest caz). Se constata (dupa forma pe care o au expresiile (80)-(84)),. ca diversele constante de integrare sint solutii ale unor sisteme de ecuatii algebrice cu o infinitate de ecuatii, avind o infinitate de necunoscute.

Ooordonatele sferoidului alungit se pot utiliza ~i pentru studiul cimpului in domenii miirginite de suprafete ale hiperboloizilor de rotafie [3 = const.

Din rezultatele obtinute mai sus se pot obtine prin particularizare rezultatele corespunzatoare cazului domeniilor marginite de suprafetele unor sfere concentrice (vezi par. 4.2).

4. 7. Ooordonatele elipsoidului de rotafie (sferoidului) turtit ex, [3, ~· se introduc prin relatiile [4], [5]

z + jr = c sh (ex + j [3), <p = <p,

z = c sh ex cos [3, r = c ch ex sin [3.

(93)

(94)

Suprafetele de coordonate sint sferoizii turtiti confocali ex = const~. 0 < ex < oo (cu cercul focal z = O, r = c), hiperboloizii de rota tie cu o singura pinza confocali [3 = const, 0 < f3 < 7t (avind acela~i cerc focal ca ~i sferoizii ex = const) ~i semiplanele <p = const, 0 < tp < 27t (fig. 6) ..

610 I. R. CIRIC 20

Parametrii lui Lame fiind

1

hrz = hf. = c (ch2 ix - sin2 ~) 2, h~ = c ch ix sin ~' (95)

.se constata ~i aici ca conditiile de separare a variabilelor in ecuatiile poten-tiialului vector sint satisfacute. ·

z

Fig. 6. - Sistemul coordonatelor sferoidului turtit.

Ecuatia potentialului 4 pentru interiorul conductoarelor (24) ca­~pata forma

- - - (chixA) + - ---(sm~A) -1 { a [ 1 a J a [ 1 a . ]} c2 (ch2 ix-sin2 ~) OIX chixoix - a~ sin~ a~ -

(96)

Daca in locul coordonatelor ix, ~' q;i se folosesc (pentru simplificarea ;scrierii) coordonatele 'Y), ;, (f) [7], definite pri:q. relat;iile

(97)

-0 -<. ~ < oo, - 1 -<.'Yl-<. + 1, cu parametrii lui Lame corespunzatori

21 POTEN'flALUL VECTOR P.ENTRU OlMPURILE MAGNETICE CVASISTA'fIONARE 611

ecuatia (96) se transforma in

(96')

Observafie. Ecuatia (96') se obtine direct din ecuatia (74') daca in aceasta din urma se face transformarea

~ ---,)- + j ~' c ---,)- - jc, '1J ---,)- '1J (99)

~i, invers, daca in ecuatia (96') se face transformarea

~ ---,)- - j ~' c __.,.. + jc, '1J ---,)- '1), (100)

se obtine ecuatia (74'). Evident, utilizind acelea~i transformari, se poate obtine ~i ecuatia potentialului vector din exteriorul conductoarelor in coordonatele 1J, ~' cp (97) direct din ecuatia (85') ~i invers. 1n consecinta, utilizind transformarile (99) ~i (100), se pot obtine direct toate rezultatele corespunzatoare coordonatelor sferoidului turtit din acelea corespunza­toare coordonatelor sferoidului alungit ~i invers.

Prin urmare, expresiile potentialului vector pentru domeniile conduc­toare marginite de suprafete ale sferoizilor turtiti confocali a = const se obtin direct din relatiile (82), (83), (84) corespunzator:

4 ('1), ~)=~[Cl Ri~I (- jh, j ~) +DI Ri~! (-jh, g)] Si~l (-jh, '1)), (101) l

4 ('YJ, ~) = ~ G, Ri!l ( -jh, j ~) Si!I (- jh, 1J), (102) l

:4 ('YJ, ~) = ~ [G, R~l (- jh, j ~) + D 1 Ri~l (- jh, j ~)]Si!) (- jh, 1J). (103) l

Pentru domeniile din exteriorul conductoarelor, expresiile poten­tialului vector se obtin direct din relatiile (90), (91), (92) corespunzator :

00

!!('YJ, ~)=~[On P!(j~) + Dn Q!(j~)]P!('1)), (104) n=l

00

-4 (1J, ~) = t On P!(g) P! (1J), (105) n=I

00

:4(1J, ~) = ~ DnQ~(g)P!(1J). (106) n=l

8 - c. 5517

612 1. R. cm1c

Coordonatele sferoidului turtit se pot utiliza §i pentru studiul cim­pului ~n domenii marginite de supra/ ete ale Mperboloizilor ae rotatie cu o singura pfoza (3 = const.

Din rezultatele obtinute pentru cazul coordonatelor sferoidului turtit se pot obtine prin particularizare rezultatele corespunzatoare cazului coordonatelor sferice (vezi par. 4.2), precum §i cazului discului circular.

5. CONCLUZII

Analiza directa efectuata in capitolul 3 al lucrarii de fata arata ca, daca parametrul lui Lame corespunzator coordonatei unghiulare (j),

h~ este produsul unei functii numai de coo~donata oc printr-o functie numai de coordonata (3, in ecuatia vectoriala de tip Laplace, scrisa sub forma (31), se pot separa variabilele; daca, in plus, produsul ha. h'J al ce­lorlalti doi parametri ai lui Lame este surna ·unei functii numai de oc §i a unei functiuni numai de (3 (sau este o functie ~urnai de oc ori numai de (3), se separa variabilele §i in ecuatia vectoriala ·de tip Helmholtz, scrisa sub forrna (24). Rezulta ca in ecuatiile vectoriale de tip Laplace §i de tip Helmholtz, satisfacute de potentialul vector (8) corespunzator cii:npu­rilor cu simetrie axiala, variabilele se pot separa in acelea§i conditii ca. ~i in ecuatiile scalare ale lui Laplace, respectiv Helmholtz, corespunza­toare cimpurilor cu simetrie de rotatie [4]. La aceasta concluzie se poate ajunge studiind ecuatiile vectoriale de tip Laplace §i de tip Helmholtz sub forma lor generala [7], tinind searna de simetria axiala a cimpului cwi.siderat. ·

in capitolul 4 al lucrarii se stabilesc expresii generale ale potentia­lului vector (8) pentru domenii (conductoare; sau neconductoare) margi­nite .de diferite suprafete de coordonate corespunzatoare sistemelor de coordonate cilindrice circulare, sferfoe, toroidale, bisferice, ale sferoidului alungit ~i ale sferoidului turtit. Sistemele de coordonate toroidale §i bi­sferice pot fi utilizate numai pentru integrarea ecuatiilor vectoriale de tip Laplace (31) ~i numai dupa efectuarea unor transformari de functie corespunzatoare ; in aceste doua sisteme de coordonate, ecuaWle vec­toria.le de tip Helmholtz (24) nu-~i separa variabilele. Sistemele de. coor­donate ale sferoidului alungit ~i ale sferoidului :turtit pot fi utilizate pentru integrarea atit a ecuatiilor vectoriale de tip La:place (31), cit §i a ecuatiilor . vectoriale de tip Helmholtz (24), insa in acest din urrna caz diversele constante de integrare rezulta ca solutii ale 'u.nor sisterne de ecuatii al­gebrice cu o infinitate de ecuatii, avind o infinitate de necunoscute.

Rezultatele obtinute in lucrare sint deosebit de utile in aplicatiile practice; bunaoara, pentru determinarea cimpurilor magnetice cvasi­stationare cu simetrie axiala in regim permanent sinusoidal, se poate porni direct de la aceste rezultate, fiind necesara numai punerea con­dijiilor de. trecere ~i de frontiera corespunzatoare. Analog se poate pro­ceda i;i pentru rezolvarea altor problerne tehnice in care intervin .~cuatiile vectorfa,le de tip Laplace (31) sau de tip Helmholtz (24).

23 POTENTIALUL VECTOR PENTRU OIMPURILE MAGNETICE CVASISTATIONARE 613

BIBLIOGRAFIE

1. R. R1nuLET, Baze/e teoretice ale e/ectrotehnicii ,vol. IV, Bucure~ti, Tipografia ~i litografia tnva\amintului, 1956.

2. A. TrMOTIN, I. R. Cmrc, Unicitatea solu/iilor # ca/culul puterilor in cimpu/ electromagnetic cl'asistafionar al sisteme/or cu simetrie axiald, St. cerc. energ. electr., 20, 1, 125-138 (1970).

3. A. TrMOTIN, V. HoRTOPAN, Lecfii de baze/e e/ectrotehnicii, vol. II, Bucure~ti, Edit. didactica ~i pedagogica, 1964.

4. E. W. HOBSON, The theory of spherical and ellipsoidal harmonics; Cambridge University Press, 1931. '

5. N. N. LEBEDEV, Funcfi11ni specia/e $i ap/icafiile /or, Bucure~ti, Edit. tehnica, 1957. 6 . .£. MADELUNG, Die mathematischen Hi/fsmitte/ des Physikers, Berlin- Gottingen-Heidelberg,

Springer-Verlag, 1957. 7. PH. M. MORSE, H. FESHBACH, Methods of theoretical physics, partea I-II, New York-To­

ronto-Londra, McGraw-Hill Book Co., lnc., 1953. 8. C. FLAMMER, Spheroidal wave functions, Stanford University Press, Stanford, California,

1957. 9. R. R1DULET, C. I. MocANU, Contribufii la teoria cuptoarelor de inducfie farli fier, St. cerc.

energ. electr.,12 , 3, 445-470 (1962).